Introducción a La Econofísica

Introducci´ on on a la econof eco nof´ ´ ısica ısic a ´ ´ Angel Alvarez Alvar ez Ro Rodr´ dr´ıguez ıgu ez 20 de abril de 2015

1.

Intr Introdu oducc cci´ i´ on. on.

La econof´ econof´ısica se esta encargando de dar amparo a un sentimiento ampliamente a´mpliamente extendido: la HME es completamente falsa. En el mundo real las estrategias usadas por los agentes manifiestan correlaciones que son obviadas por las teor´ıas ıas al uso. Los econof´ısicos ısicos son capaces de modelizar sistemas con muchos componentes, la econof´ econof´ısica propone entonces, una descripci´on o n del comportamiento adaptativo de los agentes econ´omicos omicos frente a situaciones cambiantes. Tal enfoque es ahora posible debido a la creciente capacidad de simulaci´on de los ordenadores y a los m´ etodos etodos matem´ aticos aticos desarrollados en el ´area area de los sistemas complejos, que han demostrado demostr ado ´exitos exitos notables notable s en la comprensi´ com prensi´on on del comportamiento de sistemas con un gran n´umero umero de componentes que evolucionan e interaccionan fuertemente entre si.

Al igual que la biof´ısica ısica o la l a geof´ geof´ısica estudian estudi an procesos propios de la l a biolog´ b iolog´ıa ıa y la l a geolog geo log´´ıa desde d esde la perspectiva de la f´ısica, la econof´ econof´ısica trata de aplicar los m´ etodos etodos propios de esta ciencia a la teor´ teor´ıa econ´omiomica. Se puede definir la econof econof´ısica como el campo de investigaci´on on interdiscipli interd isciplinario nario que qu e aplica aplic a m´etodos, etod os, herramientas e ideas procedentes proced entes de la f´ısica estad´ıstica ıstica a la resoluci´on on de problemas de econom´ econom´ıa y finanzas. La f´ısica estad´ıstica ıstica estudia sistemas sistem as compuestos compuest os por una gran cantidad de individuos que interactuan entre ellos y para los que predecir el comportamiento de cada unidad individual ser´a imposible. Uno de los objetos ob jetos de la f´ısica estad´ıstica ıstica es encontrar leyes universales que rigen el comportamiento conjunto del sistema, siendo, hasta cierto punto independientes del comportamiento individual de cada uno de sus componentes que en econom´ e conom´ıa ıa podemo p odemoss identificar identific ar como agentes. a gentes. En este contexto la microeconom´ micro econom´ıa, ıa, la macroeconom´ macro econom´ıa ıa y especialmente las finanzas pueden ser entendidas como sistemas complejos. La econom´ıa ıa y las l as finanzas fi nanzas est´an an fuertemente matematizadas desde hace m´as as de un siglo, con herramientas que van desde el movimiento Browniano (caminatas al azar) azar) hasta la teor´ teor´ıa de juegos juegos (donde se usan conceptos como equilibrio de Nash). En finanzas, por ejemplo, se ha asumido que las fluctuaciones de precios siguen una distribuci´on on normal y que los mercados funcionan de forma eficiente. A partir de ah´ ah´ı se ha desarrollado una extensa teor´ıa. ıa. Una de las tesis fundamentales damentales en la que se ha basado basado el estudio estudio t´ ecnico ecnico de la econom´ econom´ıa en los ultimos u ´ ltimos cien a˜ nos nos es la llamada Hip´otesis otesis de Mercado Eficiente (HME), siendo a su vez la posici´on on m´ as as adoptada ado ptada y menos meno s cre´ıda. ıda. Asume , b´asiasicamente que toda la informaci´on on susceptible de ser conocida por el sistema (por ejemplo los datos referentes a la bolsa), est´an an en cada paso de tiempo incorporada a los precios. Exige que el sistema sea una computadora perfecta, que integra en cada paso de tiempo toda la informaci´ on relevante, recordemos que el sistema es un on conjunto de individuos comprando y vendiendo acciones. pare entonces una hip´otesis otesis un tanto pretenciosa y poco realista. La HME asigna como probabilidad a un crash como el de octubre de 1987, una entre 10 35 posibilidades, es decir, para la teor´ teor´ıa cl´asica, asica, semejante ocurrencia es imposible. M´as as aun, una perdida en un d´ıa ıa de mas del 5 por 100 en el Dow Jones (hecho (hecho que sucede alrededor de cada dos a˜nos), nos ), deber´ deb er´ıa ıa tener ten er una frecuencia de una cada miles de a˜ nos nos seg´ un un HME.

2. 2.1. 2.1.

Noci ociones nom´ ıa.

b´ asicas

de

eco-

Bien Bienes es financ financie iero ross de ries riesgo go y sin sin riesgo.

Supongamos que depositamos en un tiempo t = 0 una determ determina inada da cantida cantidad d de dinero dinero en una cuent cuentaa bancaria bancari a que qu e paga pag a una un a tasa ta sa de d e inter´es r es  r.. Con el tiempo la cantidad de dinero que tenemos en el banco ( B (t)) aumenta. dB( dB (t) =  rB (1) dt Suponiendo una condici´on on inicial B (0) = 1 se puede resolver esta ecuaci´on on diferencial. B (t) = e rt

(2)

Una cuenta bancaria es un ejemplo de bienes financieros sin riesgo, ya que esta garantizado una tasa de inter´es, es, normalmente nor malmente fijo, fi jo, independ ind ependientemente ientemente de la sisi tuaci´ on on del mercado.

2.2. 2.2.

La natura naturalez leza a aleator aleatoria ia del preci precio o de las acciones.

Ya que las acciones representan una pieza peque˜na na de las compa˜ n´ıas, el precio de las acciones debe de alguna manera reflejar el valor total de la compa˜n´ n´ıa. ıa . sin si n embargo el valor presente de una firma depende no solo de la situaci´on on corriente de la firma sino tambi´ en en de su rendimiento futuro. As´ As´ıque se ve ya el problema 1

b´ asico del precio de los bienes financieros de riesgo, estamos intentando predecir el futuro sobre la base de la informaci´ on del presente. Por lo tanto si se revela una informaci´ on que pueda de una manera u otra afectar al rendimiento futuro de la compa˜ n´ıa, entonces el precio de las acciones varia a consecuencia. As´ı el precio futuro de las acciones esta siempre sujeto a un cierto grado de incertidumbre. Esto es reflejado en el t´ıpico ’comportamiento err´atico’ que muestra el valor de las acciones a lo largo del tiempo. Aunque el precio de las acciones pueda variar de manera impredecible, esto no significa que no podamos modelizarlo, solo quiere decir que deber´ıa ser descrito por una funci´on probabil´ıstica. Sea S   el precio de una acci´on dada y supongamos que podemos escribir una ecuaci´on an´ aloga a la (1) para la tasa de crecimiento de S : dS  = R(t)S  dt

derecho a vender el bien subyacente por el precio  K  en el tiempo T . Si en la fecha de espiraci´on T  el precio de la acci´on S T  es superior al precio de  strike  K , el titular de la opci´on   call   puede ejercer su derecho a comprar la acci´on del subscriptor al precio K   y venderla en el mercado al precio S T , embols´andose as´ı la diferencia S T  K . Por otro lado, si en la fecha de espiraci´on el precio de la acci´on S T  cierra por debajo de  K   entonces la opci´on  call  deja de tener valor, ya que ser´ıa mas barato comprar la acci´on en el mercado. El pago (payoff  ) de la opci´on  call   en el vencimiento es por tanto dado por:  payof f call  = max(S T  K, 0) (5)

 −

 −

(3)

donde R(t) representa la ’tasa de retorno’ de la acci´on. La cuesti´ on es, ¿qu´e es R(t)? Bas´andonos en nuestra discusi´ on previa, es razonable esperar que R(t) pueda ser separada en dos componentes: i) una medida predecible de la tasa de retorno, denotada por µ y ii) un termino de fluctuaci´on ξ (t), responsable de la aleatoriedad en el precio de la acci´on. Por tanto R(t) = µ + ξ (t) y podemos escribir la ecuaci´on (3) como: El diagrama de pago de la opci´on  call  es ilustrado por la linea gruesa en la figura. En esta figura la linea fina dS  = [µ + ξ (t)]S  (4) representa el precio de la opci´on   call   en un tiempo dt arbitrario t < T  antes de la espiraci´on. Similarmente, la funci´on pago para la opci´on put  es:

2.3.

Opciones y derivados.

 payof f  put  =  max(K 

Ademas de los bienes financieros primarios ya mencionados (acciones, tasa de inter´ es, etc), muchos otros instrumentos financieros, como las opciones y los contratos futuros, son negociados en los mercados. Estos valores generalmente llamados derivados, porque derivan sus valores del precio de algunos bienes primarios subyacentes. Una opci´on financiera es un instrumento derivado que se establece en un contrato que da a su comprador el derecho, pero no la obligaci´on, a comprar o vender bienes o valores (el activo subyacente, que pueden ser acciones, bonos, indices burs´atiles, etc) a un precio predeterminado (strike ), hasta una fecha concreta (vencimiento). Existes dos tipos de opciones financieras,  call   (opci´ on a compra) y  put  (opci´ on a venta). Si la opci´on puede ser solo ejercida en una fecha futura especificada en el contrato, entonces se denomina opci´on europea, en caso de que la opci´on pueda ser ejercida en cualquier momento hasta el vencimiento se denomina opci´on americana. solo consideraremos las opciones europeas, cuya definici´on formal es:

− S T , 0)

(6)

Ya que el subscriptor tiene una obligaci´on (mientras que el titular tenga un derecho) el demandara el pago, que ser´a denotado por C 0 , por el titular con el fin de formalizar el contrato. As´ı, en el caso de que la opci´ on   call , si la opci´o n es ejercida por el titular (subscriptor) har´a un beneficio (perdida) dado por max(S T  K, 0) C 0 ; de otra manera, el titular (subso n europea call    con precio criptor) tendr´ a perdidas (ganancias) de cantidad C 0 Definici´ on 1 Una opci´ predeterminado (strike ) K   y vencimiento o fecha de pagada (recibida) por la opci´on. Simil´ armente para la espiraci´ on T   en el bien subyacente S , es un contrato opci´ on put . Es decir que el titular y el subscriptor tieque le da al titular el derecho a comprar el bien subya- nen una posici´on opuesta en relaci´on con la direcci´on cente por el precio K  en el tiempo T . del mercado. Por ejemplo, el titular de la opci´on call  esLa opci´ on europea put  es equivalente igual que la ta apostando por que el precio de la opci´on incremente, anterior, con la ´unica diferencia que le da al titular el mientras que el subscriptor esperar´ıa lo opuesto.

 −

2

−

Ahora, ya que el titular y el subscriptor tienen puntos de vista opuestos en cuanto a la direcci´on del mercado, ¿como pueden ellos ponerse de acuerdo en el precio de la opci´on? El problema central en el precio de la opci´on es por lo tanto determinar el precio ’racional’ de C 0 , que asegure que ninguno de los dos se encuentre en una posici´on mejor para ganar. La soluci´on a este problema (asumiendo ciertos supuestos) fue dada en 1973 en un articulo de Black y Scholes e independientemente por Merton. La historia de las opciones es sin embargo mas larga. De hecho,el primer cient´ıfico en estudiar las opciones se remonta al trabajo de un matem´ atico franc´es, Bachelier en 1900, el cual resolvi´o el problema del precio de las opciones bajo unos determinados supuestos (equivocados).

Ademas se cumple:

X  = m X 2 = σ 2 3.2.

 

(10) (11)

Movimiento browniano y ruido blanco.

El movimiento est´ andar browniano o proceso Wiener (W (t), t 0) es un proceso estoc´astico con las siguientes propiedades: 1. W (0) = 0. 2. El incremento W (t) W (s) es estacionario e independiente. 3. Para t > s, W (t)  W (s) es una distribucion normal, N (0, t s). 4. Las trayectorias son continuas. 3. Movimiento browniano y La condici´on estacionaria implica que la funci´on de densidad de probabilidad de W (t) W (s) para t > s, c´ alculo estoc´ astico. depende solo de la diferencia de tiempo  t s. Ademas las condiciones 2 y 3 implican que W (t) se distribuye de 3.1. Camino aleatorio. acuerdo a N (0, t) para t 0. En particular, nosotros La introducci´on t´ıpica al movimiento browniano se tenemos que W (t)  = 0 para todo t  0. Ademas se hace a trav´ es de la noci´on de camino aleatorio, en el puede ver f´acilmente que la covarianza del movimiencual un adecd´otico borracho camina a lo largo de una to browniano viene dado por, W (t)W (s) = s, para linea tomada en cada intervalo de tiempo ∆t   con un t > s. Entonces el movimiento browniano es un propaso de tama˜ no l, ya sea a la derecha o a la izquierda ceso Gaussiano,esto permite dar la siguiente definici´on con igual probabilidad. La posici´on, X (t), del caminan- alternativa para el movimiento browniano. te despu´es de t = N ∆t, donde N  es el n´umero de pasos dados, representa un proceso estoc´astico. Como es bien Definici´ andar browniano o on 3 El movimiento est´ conocido, la probabilidad P (X (t) = x) de que el cami- proceso Wiener (W (t), t 0) es un proceso Gaussiano nante sea encontrado en una posici´on dada x = nl, con W (t) = 0 y W (t)W (s) = min(s, t). donde n es un entero, en el tiempo t, es descrito por la El movimiento browniano tiene la importante prodistribuci´ on binomial. piedad de tener la variacion cuadratica acotada. Para El movimiento browniano es un proceso estoc´asti- ver que significa esto, consideremos una particion de co que resulta de tomar en el camino aleatorio en el ti ni=0  en el intervalo [0, t], donde 0 < t0  < ... < tn  < t. l´ımite continuo: ∆t  0,l  0, N   0, n  0 tal que Por simplicidad usaremos un espacio temporal igualt t = N ∆t y x = nl permanecen finitos. Aqui sin embarmente espaciado: ti  t i−1 = ∆t = . La variaci´on go, debemos tomar algunas precauciones para asegurar n cuadr´ a tica de W (t) se define como: que la densidad de probabilidad p(x, t) obtenida es finita, se debe tomar ∆t 0 y l 0 tal que l2 = σ∆t, Qn  = Σni=1 ∆W i2   (12) donde σ  es una constante. En este caso se obtiene que  p(x, t) esta dado por la distribuci´on Gaussiana: donde ∆W i  =  W (ti W (ti−1 ). Ya que ∆W i  se distribuye de acuerdo a N (0, ∆t) tenemos que ∆W 2 = ∆t, 2 x lo cual implica que: − 1 2  p(x, t) = e 2σ t (7) Qn = t   (13) 2πσ 2 t Definici´ on 2

≥

−  −

√  −

−

√ 

 

≥



−

 ≥

 

 

 →  →

 →



≥

 





{}

 →

 −

→

 →

− √ 

√ 





 

Sea X   una variable aleatoria con funci´on de densi- Ademas, usando el hecho que el incremento ∆W i es dad de probabilidad dada por p(x), entonces, el valor independiente y recordando que la varianza de la suma de variables independientes es la suma de las varianzas, esperado de una funci´on arbitraria f (X ): se obtiene que la varianza de  Q n es: ∞

f (X ) =

 

f (x) p(x)dx

(8)

var[Qn ] = = =

−∞

Una distribuci´on Gaussiana o normal en m con desviaci´on est´ andar σ  se denota por N (m, σ), con funci´on de densidad de probabilidad:

 pN (x, t) =

√ 

1

2πσ 2

x2 m − 2σ2 e

−

=

Σni=0 var[∆W i2 ] Σni=0 ∆W i4 (∆W i2 ) 2 Σni=0 [3(∆t)2 (∆t)2 ] 2t2 n

{

}− −

(14)



De esta manera se puede ver que: (9)

var[Qn ] 3

→ 0; n → ∞

 

(15)

Por otro lado, tenemos que:

en ninguna parte. Supongamos que intentamos calcudW (t) var[Qn ] = (Qn Qn )2 = (Qn t)2   (16) lar la derivada de W (t) de la siguiente forma: dt = ∆W  ∆W (t + ∆t) W (t) lim∆t→0 = lim∆t→0 . Pero Comparando estos dos ´ultimos resultados: ∆t ∆t l´ım (Qn t)2 = 0 (17) ya que ∆W  es del orden de ∆t, entonces: n→∞ ∆W  1 = O( ) (21) Se prueba as´ı que  Q n  converge a t en sentido cuadr´ati∆t ∆t 2 co. Este hecho sugiere que ∆W  puede ser considerado del orden de ∆t, lo que significa que como ∆t 0 asique, dW/dt cuando ∆t 0. Asique, la deriva2 la cantidad ∆W  se asemeja cada vez mas a ∆t. En da de W (t) no existe como un proceso regular estoc´astit´erminos de diferenciales, podemos escribir: co, sin embargo es posible dar un sentido matem´atico a dW/dt como un proceso generalizado. En este caso, dW 2 = dt   (18) la derivada de W (t) es llamada ruido blanco: De forma alternativa, podr´ıamos decir que dW   es del dW  orden de dt: ξ (t)   (22) dt dW  = O( dt) (19) Otra importante propiedad del movimiento brow- Ya que de acuerdo a la ecuaci´on (21) la derivada de 1 niano es el hecho de que es  auto-similar   en el siguiente W (t) diverge como , sugiere que la integral de la dt sentido: forma: t W (at) =d a1/2 W (t) (20) I (t) = g(t )ξ (t )dt (23) para todo a > 0. Donde =d significa, equivalente en el 0 sentido de la distribuci´on de probabilidad, esto es, los deber´ıa converger (en alg´un sentido). Es conveniente dos procesos W (at) y W (t) tienen exactamente la missin embargo introducir la definici´on de integrales esma distribuci´ on p(x1 , t1 ...xn , tn ) para cualquier electoc´ asticas en t´erminos de los procesos estoc´asticos reci´on de ti , i  = 1, 2...n, y n 1.  Auto-similar    significa gulares. Tal construcci´on fue hecha por primera vez por que alguna parte finita del camino browniano con reesel matem´ atico japones Itˆo. calar adecuadamente es indistinguible del camino total. Por ejemplo, si hacemos zoom en alguna regi´on dada asticas de Itˆ o. del camino browniano, reescalando el eje de tiempo por 3.3. Integrales estoc´ un factor a   y el eje vertical por un factor a, obteUsando la ecuaci´on (22) y escribiendo la integral nemos la curva similar (estadisticamente hablando) al (23) como una integral bajo el proceso Wiener  W (t): camino original. Este ejemplo se muestra en la figura t siguiente. En el lengua je de los fractales, dir´ıamos que I (t) = g(t )dW (t ) (24) la trayectoria de del movimiento browniano seria una 0 curva fractal de dimension 2. La idea es entonces la de definir la integral como una integral de Riemann-Steiljes. As´ı tomamos la partici´on ti i=1n  en el intervalo [0, t] y consideramos las sumas parciales:



−    

− 

−

√ 

− 

√ 

→

√ 

→∞

→

≡

√ 

√ 

 

≥

 √ 

 

{}

n

n

 g(t I   = n

i−1

i=1

 g(t )∆W (t ) ≡

i−1 )[W (ti

i

i=1

− W (ti

−

1 ))]

(25) La funci´ on g(t) debe satisfacer condiciones apropiadas, la mas importante es que g(t) sea una funci´on   nonanticipating . Esto significa, en particular, que el valor g(ti−1 ) en (25) es independiente de el siguiente incremento ∆W (ti ) en el movimiento browniano. Por esta raz´ on, elegir para evaluar g(t) en el principio del intervalo ∆t = t i ti−1  es un punto crucial en la definici´on de la integral estoc´astica de Itˆo. Bajo las condiciones apropiadas sobre g(t), es entonces posible mostrar que las sumas parciales I n  convergen en el sentido cuadr´atico. Esto es, existe un proceso I (t) tal que:

−

(I n − I (t))2 → 0

La propiedad  aunto-similar  implica que las trayectorias del movimiento browniano no sean diferenciables

cuando n 4

→ 0.

(26)

Usando el hecho de que g(t) es   non-anticipating  y Bajo ciertas condiciones en las funciones a(x, t) y b(x, t) que ∆W (t) = 0, se deduce inmediatamente que de la es posible demostrar que la ecuaci´on diferencial esdefinici´ on (25) que I (t) tiene media cero: toc´ astica tiene una soluci´on u ´nica X (t). Discutiremos otra ecuaci´on diferencial estoc´astica, t   a saber, el movimiento browniano con deriva: I (t) = g(t )dW (t ) = 0 (27)





  

 



0

dX  = µdt + σdW 

Las integrales estoc´asticas obedecen a la llamada propiedad isom´etrica: t

 

(I (t))2 = 

(g(t )dW (t ))2 =



0

t

  0

g2(t )dt 



t

0

1 W dW  = W (t)2 2

−  12 t

 

(35)

donde la constante µ representa la velocidad de desplazamiento media. Integrando (35), se obtiene el proceso:

(28) X (t) = µt + W (t)

Ademas las integrales de Itˆo no se conforman con las reglas habituales de integraci´on del calculo determinista. Un ejemplo es la siguiente formula:

 

 

(36)

cuya funci´on de distribuci´on es:

 p(x, t) =

(29)

1 e 2πσ 2 t

(x

− µt)2

2σ 2 t

 

(37)

Las integrales de Itˆ o son sin embargo un camino conve3.5. F´ ormula de Itˆ o. niente para definir las ecuaciones integrales estoc´asticas. Consideremos un proceso gen´ erico X (t) descrito por al ecuaci´on diferencial estoc´astica (33), y supongamos que tenemos un nuevo proceso estoc´ astico Z  3.4. Ecuaci´ on diferencial estoc´ astica. definido por: Los f´ısicos estamos bastante familiarizados con las Z (t) = F (X (t), t) (38) ecuaciones diferenciales involucradas en t´erminos estoc´ asticos, tales como la ecuaci´on de Langevin para una funci´on dada F (X, t). Ahora queremos encontrar la ecuaci´on diferencial estoc´astica la cual le corresdv = γv + σξ (t) (30) ponde la soluci´on del proceso Z (t). La respuesta esta dt dada por la formula de Itˆ o que derivaremos a continuala cual describe el movimiento de una part´ıcula brow- ci´on. niana en un liquido viscoso. Aqu´ı γ   es la viscosidad Consideremos la expansi´on de Taylor de la funci´on del fluido y σ  es la amplitud de la fuerza de fluctua- F (X, t) ci´on que act´ ua sobre la part´ıcula. La ecuaci´on (30) no tiene sin embargo tal sentido matem´atico, ya que invo∂F  ∂F   1 ∂ 2 F  dF  =  dt + dX    +  (dX )2 (39) lucra una cantidad, a saber, la derivada  ξ (t) del movi2 ∂t ∂x 2 ∂x miento browniano, que ni siquiera existe, (excepto co2 2 1 ∂  F   1 ∂  F  + (dt)2 + dtdX  + ... mo un proceso generalizado). Sin embargo, es posible 2 2 ∂t 2 ∂t∂x poner esta ecuaci´on en una forma matem´atica b´ asica expres´ andola como una ecuaci´on integral estoc´astica. Ademas:

−

dv =

−γudt + σdW 

 

(31)

((dX )2

que tras integrar se obtiene: t

v(t) = v(0)

−

  0

t





γv(t )dt +

 

σdW (t )

= =

b2 dW 2 + 2abdtdW  + a2 (dt)2 (40) b2 dt + O(dt3/2 )

En donde se ha tenido en cuenta que dW 2 = dt. Sustituyendo (40) en (39) y teniendo en cuenta solo t´erminos de orden dt  se obtiene:

(32)

0

Esta ecuaci´on integral ahora tiene buen sentido, de hacho puede ser encontrada explicitamente. Consideremos ahora una ecuaci´on diferencial estoc´ astica mas general de la forma:

dF  =

 1 ∂ 2 F  ∂F  + b2 2 dt + b dX    (41) ∂t 2 ∂x ∂x

 ∂F 



que es conocida colo la formula de Itˆo. Sustituyendo (33) dX   de la ecuaci´on (33), obtenemos la formula de Itˆo de manera mas explicita. donde a(x, t) y b(x, t) son funciones conocidas. Esta ecuaci´ on diferencial es la notaci´on contra´ıda de la si∂F  ∂F  1 2 ∂ 2 F  dF  = + a(X, t) + b (X, t) 2 dt guiente ecuaci´on integral estoc´astica: ∂t ∂x 2 ∂x t t ∂F  + b(X, t) dW    (42) X (t) = X (0)+ a(X, t )dt + b(X, t )dW (t ) (34) ∂x dX  = a(X, t)dt + b(X, t)dW 

 



  0

  0

5



4.

El modelo de Bachelier.

El problema de la distribuci´on limite de esta variable fue abordado por el matem´atico franc´es Abraham de Bachelier hizo el primer esfuerzo por utilizar las ma- Moivre que demostr´o lo que se conoce como un caso tem´ aticas para predecir el comportamiento del merca- particular del teorema central del limite: do de acciones e inspir´o el estilo de muchos de los traB (x x0 )2 1 − bajos te´ oricos posteriores. De hecho, descubri´o una forlim P (A X T  B) = e 2σ2 T  dx N →∞ mula que anticipo el trabajos de Einstein sobre el com2πσ 2 T  A (48) portamiento de las part´ıculas sujetas a choques aleatorios en el espacio. Desarroll´o el concepto de proceso Es decir que la variable X T  en el l´ımite cuando los paestoc´astico e hizo el primer intento de valorar contratos sos temporales y espaciales tienden a cero mantenien2 tales como opciones, que ya eran utilizados en aquella do constante σ , es una variable normal centrada en la 2 ´epoca. Bachelier se propuso establecer la ley de proba- posici´on inicial x0  y con varianza σ T . La misma disbilidades de cambio de precios consistente con el esta- tribuci´on l´ımite puede encontrarse utilizando variables do del mercado en un instante de tiempo dado. Esto normales est´andar en lugar de Z n   discretas. En este lo llev´o a investigaciones mas profundas en la teor´ıa caso tenemos que la posici´on de la part´ıcula a tiempo de probabilidad y de part´ıculas sometidas a choques T   viene dada por una variable continua: aleatorios. N  Bachelier describi´o los precios como  paseos aleatoW T  = x 0  + hZ n   (49) on de una part´ıcula a tiempo t, rios . Sea X t   la posici´ n=1 con salida a tiempo t = 0 desde una posici´on x0 , que h3 2 se mueve con periodicidad temporal k   una distancia h Tomando l´ımites para T   fijo, N  y σ = fik hacia la izquierda o hacia la derecha dependiendo del  jo obtenemos el mismo l´ımite que obtuvo de Moivre. resultado de arrojar una moneda. podemos calcular la Antes de tomar l´ımite, podemos reescribir esto como: probabilidad de que la part´ıcula se encuentre en una posici´on x  a un tiempo t = T : W t+k W t  = hZ t   (50)

 

√ 

≤  ≤

−



→∞

−

P (X T  = x X 0  =  x 0 )

(43) donde t es alguno de los instantes nk   para 0 n N  1. Para σ  = 1 tenemos que h  = k y en el l´ımite Las posiciones x que puede alcanzar la part´ıcula depen- escribimos: der´ an del n´ umero de veces N  que arrojemos la moneda y del tama˜ no del paso espacial h: dW t kZ t ; Z t N (0, 1) (51)

|

√ 

 −

 ∼

√ 

N 

 ≤  ≤

 ∼

Cuando x0  = 0 el proceso estoc´astico definido por W t (44) se llama proceso de Wiener o movimiento browniano y n=1 sirve de base para la formulaci´on de otros modelos de on estoc´astica. donde T  := N k, y las Z n   son variables aleatorias con evoluci´ La formulaci´on de Bachelier no resulta adecuada distribuci´ on: para describir los precios pues el proceso que el define 1 1 Z n  = +1 p = ; Z n  = 1 1  p =   (45) admite valores negativos. sin embargo, Bachelier reali2 2 za un aporte fundamental al ser el primero en proponer ´ Este es un proceso estoc´astico discreto, un juego discre- la no predictibilidad del mercado utilizando un modelo to de suma cero en el que es igualmente posible ganar o estoc´astico continuo que es fundamental para construir perder la misma cantidad. Se puede probar que el valor otros modelos mas realistas. esperado de X T  es x 0  y, bajo la condici´on de independencia de las variables, su varianza es  N h2 . A medida El modelo basado en el moque N    podemos encontrar a X T    a una distan- 5. cia arbitraria de su valor inicial. Se puede observar que vimiento geom´ etrico browcomo N   es el numero de pasos necesarios para llegar niano. hasta T , el u ´ nico modo de obtener una varianza finita al disminuir el paso temporal es que h  tienda a cero Un proceso estoc´astico de gran importancia en ficuando N  tiende a infinito. por lo tanto, usando que nanzas es el llamado movimiento geom´etrico browT    tenemos que: niano, el cual es definido como la soluci´on a la siguiente N  ecuaci´on diferencial estoc´astica. 2 h V ar(X T ) =   (46) dS  =  µSdt + σSdW    (52) k T  Si permitimos que h y k tiendan a cero haciendo que donde µ y σ son constantes, sometidas a la condici´on inicial S (t0 ) = S 0 . Ahora vamos a realizar el siguiente h2 2 el cociente σ := permanezca constante, obtenemos cambio de variable, Z  = lnS . Aplicando la formula de k siempre una variable final con varianza finita. En este Itˆo, con a = µs, b = σs y F (s) = lnS , se sigue entonces caso, σ 2 representa a la varianza por unidad de tiempo. que: 1 2 dZ = (µ σ )dt + σdW    (53) V ar(X T ) = σ 2 T    (47) 2

 hZ  X  = x  + T 

0

n

−

 

−

→∞

−

6

6.2.

Integrando, se obtiene: Z (t) = Z 0 + (µ

− 12 σ2)(t − t0) + σ[W (t) − W (t0)] (54)

Utilizando los siguientes cambios de variable en el problema anterior:

donde Z 0  =  lnS 0 . Invirtiendo el cambio de variable  S , obtenemos la soluci´on explicita de la ecuaci´on diferencial estoc´astica (52).

τ  =

{ − 12 σ2)(t − t0) + σ[W (t) − W (t0)]}   (55) De la ecuacion (54) vemos que  Z (t) − Z 0  se distribuye √  1 de acuerdo a N ((µ − σ2 )τ, σ τ ), donde τ  = t − t0 . 2 S (t) = S 0 (µ

 p(S, t; S 0 , t0 ) =

6. 6.1.

√ 

1

e 2σ2 τ S 

−

[ln SS0 (µ −

−

1 σ2 τ  2 2

) ]

2σ2 τ 

  

T 

 − t ; u(x, τ ) = eαx+β τ  C (S, t)   2

2 σ2

(62)

K 

donde: 1 α = 2

Se sigue entonces que el movimiento geometrico browniano sigue una distribucion log-normal:

  

La f´ ormula de Black-Scholes.

 2r  σ2

 −

1 1 ; β  = 2

 2r  σ2

+1

 

(63)

Entonces la ecuaci´on diferencial se transforma en: ∂u ∂ 2 u = ∂τ  ∂x 2

  (56)

 

(64)

mientras que la condici´on (61) se trasforma en una condici´on inicial:

El modelo est´ andar en finanzas.

u(x, 0) = u 0 (x) = max(eβx

− eαx, 0)

(65)

El modelo de Black-Scholes para el Recordando que la funci´on de Green para la ecuaci´on del calor es: precio de las opciones.

1 Los dos supuestos principales del modelo de BlackG(x, x ) =   (66) 2 −(x−x ) /4τ  4πτ e Scholes son: 1. Hay dos activos en el mercado, una cuenta bancaria B  y una accion S , cuya din´amica de precios esta as´ıque esto es la soluci´on general para unas condiciones de contorno arbitrarias, u0 (x) esta dado por: gobernada por las siguientes ecuaciones diferenciales:

√ 

dB = rBdt

 

dS  =  µSdt + σSdW 

(57)  



∞

u(x, τ )

=

(58)

 

u0 (x )G(x, x )dx

(67)

−∞

1 4πτ 

∞

 



2

donde r  es la tasa de inter´ es libre de riesgo, µ > 0 es = u0 (x )e−(x−x ) /4τ dx −∞ la tasa de retorno de la acci´on, σ > 0 es la volatilidad, y W (t) es el movimiento est´andar browniano. Insertando (65) en la integral anterior obtenemos 2. El mercado esta libre de arbitraje. Consideremos una opci´on  call   europea, describire∞ 2 1 mos por C (S, t; K, T ) el valor de la opci´on con precio de u(x, τ ) = eβx eαx e−(x−x ) /4τ dx 4πτ  −∞ ejercicio K  y fecha de espiraci´on T  del activo subyacen= I (β ) I (α) (68) te S . Por simplificar la notaci´on, escribiremos  C (S, t). Para un uso posterior, observamos que de acuerdo a la formula de Itˆo, la cual, a =  µS  y b =  σS , el precio de donde la opci´on obedece a la siguiente din´amica. ∞ 2 1 I (α) = eαx e−(x−x ) /4τ dx (69) ∂C  ∂C   1 2 2 ∂ 2 C  ∂C  4πτ  −∞ dC  = + µS  + σ S  dt + σS   dW  ∂t ∂S  2 ∂S 2 ∂S  (59) Despu´ es de completar los cuadrados y realizando alguEsto es la ecuaci´on de Black-Scholes (BSE) para el pre- na simplificaci´on, encontramos que cio de la opci´on C (S, t). Existen sin embargo otras for2 mas de derivar la ecuaci´on de Black-Scholes, se puede I (α) = e αx+α τ N (dα ) (70) obtener la BSE con la siguiente forma:

√ 

√ 

  





−





−



√ 



 





donde ∂C  1 2 2 ∂ 2 C  ∂C  + σ S  + rS  rC  = 0 (60) x + 2ατ  ∂t 2 ∂S 2 ∂S  dα  = (71) 2τ  La cual debe ser resuelta sujeta a la siguiente condici´on de contorno. y N (x) detona la funci´on de distribuci´ on para una variable normal N (0, 1): C (S, T ) = max(S  K, 0) (61)

 −

√ 

−

La soluci´on del problema anterior puede e ser encontrada explicitamente.

N (x) = 7

1 2π

√ 

x

 

−∞

e−s

2

/2

ds.

 

(72)

Insertando (70) en (68) y realizando el cambio de variable inverso, podemos obtener la formula de BlackScholes para el precio de una opci´on europea  call . C (S, t) = SN (d1 ) donde d1  =

7.

ln

1 2

S  K 

r (T −t)

−

− Ke

2

N (d2 )

  + r + σ  (T  − t) √   − t

σ T 

d2  =

ln

S  K 

1 2

2

  + r − σ  (T  − t) √   − t

σ T 

(75)

Esta formula es usada menudo en la practica, ade(73) mas ya esta predefinida en muchos paquetes software (Excel, Matlab, etc). Sin embargo, muchas personas en el mundo acad´emico, creen que el modelo de BlackScholes es demasiado idealizado para describir la situa(74) ci´on real del mercado.

Referencias.

[1] Vasconcelos, G. L. (2004). A guided walk down Wall Street: an introduction to econophysics. Brazilian Journal of Physics, 34(3B), 1039-1065. [2] Mansilla, R. (2003). Una breve introducci´on a la econof´ısica. Equipo Sirius. ISO 690

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