Introducción A La Dinámica de Vehículo

 

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Introducción a la dinámica de vehículo

 

Dinámica de vehículo  

1.1 Introducción

  Este capítulo tiene por objetivo reunir la información relacionada, a partir de libros y papers, con la dinámica de vehículos. Muchos de los contenidos no definen claramente el proceso deductivo por el cual han obtenido sus ecuaciones, pero se ha tratado de realizar el trabajo para su obtención.   Se ha tratado de definir, mediante los puntos tratados, los conceptos de mayor relevancia, tales como: Roce, coeficiente fricción, velocidad deradio giro, Rresistencia del aire, En general, el análisis movimientode relacionado a un giro de , al volcamiento y aletc. movimiento lineal frontal. relaciona la dinámica del   También se debe indicar que esta recopilación de información se ha realizado a partir de varios textos escritos de los cuales se ha elegido los que permiten interpretar con mayor claridad los contenidos, pero en general todos ellos llegan a los mismos. Es claro que faltan detalles, pero estos nos han sido posible descubrirlos en el período de tiempo dedicado a este estudio inicial, pero que es la siguiente tarea a seguir.   Se ha incorporado comentarios entre los puntos tratados a partir de las componentes asociadas al tema de diferentes autores pero que concluyen, en términos, generales las misma concepción, salvo en algunas expresiones algebraicas que expresan ciertas diferencias las cuales deberían ser comprobadas mediante experimentación.   El análisis se plantea, inicialmente, desde el punto de vista de la dinámica asociada en el movimiento del vehículo hacia delante; luego, como segunda término, el movimiento en tomar una curva y finalmente, el tema del movimiento asociado a descarrilamiento. Dentro de estos temas, se ha incorporado algunos artículos adicionales tales como la dinámica de una rueda, frenos y otros.   Otro aspecto ha destacar del estudio es el hecho de la disociación del análisis de la cinemática, que en la mayoría de los textos analizados no se realiza, pero que todos los autores tratan de forma independiente, es por ello que sólo en mesuheconjunto. abocado a la dinámica pero es de mi opinión que estos dos temas deben ser analizados, en algún instante, Esta recopilación documental será es la base para dar inicio al planteamiento de un modelo dinámico para un   móvil . Todos los antecedentes obtenidos, en síntesis, constituyen un estudio exploratorio de los antecedentes conceptuales y de cierta manera, el estado del arte sobre el tema de Dinámica de vehículos.   1.2 Estado del arte  

El tema de dinámica de vehículos ha sido abordado por mucho autores y este se principia en los fundamentos básicos de la mecánica. En estos aspectos se principia con el modelos de ruedas en su análisis de giro [6] desde el punto de vista de velocidades angulares. Para un análisis más analítico se hace uso de los teoremas de Euler [7] y de Newton [34]. Es fácil encontrar en textos análisis estáticos [36] y dinámicos [31] de un vehículo, pero dicho análisis es genérico y sólo desde un punto de vista longitudinal de movimiento. Un análisis más descriptivo de una rueda está  presente en ciertas investigaciones donde se analiza el efecto que ejerce el sistema coordenado sobre dicho análisis [35]. Para comprender básicamente el comportamiento de una rueda se requiere conceptuar su análisis vectorial de las velocidades a las cuales se ve afectada [41]. Ampliando el desarrollo en el tema, los autores, en su mayoría se centran en el modelamiento cinemático de un móvil [3] haciendo referencia global al tema de la dinámica pero es fácil visualizar la interdependencia de ambos temas [5],  principalmente lo que a control se refiere. En este último tema se tiene que su influencia es notoria [9] puesto que es el tema central de muchas líneas de investigación. Una situación interesante es la aplicación de herramientas analíticas usadas en robótica [1]-[2]-[37]-[40] y que son aplicables a un vehículo en general [13], en particular, es el método de Newton-Euler el cual ha sido utilizado en el análisis dinámico de articulaciones con más de un grado de libertad [10] siendo dicha aplicación muy similar a la que se realiza en brazos robotizados [11]. El estudio y aplicación en la dinámica de un brazo humano se utiliza para su simulación [12] y para otros miembros del cuerpo humano [8]. Esto podemos visualizarlo en las siguientes dos figuras:   Figura a: Muestra la descomposición y modelo en ordenador del cuerpo humano  

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  Figura b: Muestra los ejes coordenados por articulación (uno para cada grado de libertad).  

Es interesante ver que la tendencia es aplicar este tipo de descomposición y a la cual se le aplica el siguiente algoritmo, muy similar a los típicos de la dinámica de articuladores robóticos:

   Nuestro interés en este tipo de aplicaciones radica en que en ell ellos os se aplica el algoritmo recursivo Newton-Euler, para articulaciones con más de un grado de libertad, como es el caso de una rueda. Esta propiedad es la que nos incentivo a su aplicación con excelentes resultados. Debo indicar que este fue el principio aplicado para obtener el modelo inicial de una rueda. Es claro que se persigue el modelamiento de un móvil de n-ruedas por lo que es necesario insertarse en las investigaciones que se han realizado para vehículos de mayor magnitud que una rueda. En este particular, los investigadores se han centrado en el análisis de vehículos de pasajeros [15] o de cuatro ruedas pero el análisis real y detallado de una rueda de diversas formas se encuentran en los análisis de robótica móvil [14]. En la figura siguiente se muestra el modelo de cuatro ruedas:   http://www.face.ubiobio.cl/~jparra/Dinamica_Vehiculo.htm

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  Este modelo no es el típico puesto que en general se utiliza el de tracción en dos ruedas y sólo con la posibilidad de maniobrar las delanteras. La dinámica de un coche contempla [23] el exhaustivo análisis de su comportamiento en movimiento lineal y en la tomadura de una curva; constituyéndose éste último tema en el centro de la mayoría de las publicaciones en el tema [20]-[27]-[30]-[32]. Un gran aporte han realizado todos aquellos autores que investigan en el tema con la finalidad de obtener ecuaciones para generar simuladores de coches con el objetivo final de juegos por ordenador [24]-[22]-[25][26] o en aplicaciones como la realidad virtual [18]. Estos últimos han logrado modelos básicos, que aunque con  bastantes restricciones, logran un acercamiento bastantes aceptable a la realidad. Debo señalar que el punto 1.3 se realizará la descripción de todos los conceptos utilizados y su planteamiento teórico, como es el caso, por ejemplo, de la amortiguación [34]. Existen publicaciones muy detallados del análisis dinámico de vehículos [21] como lo existen muy reducidos en los cuales es muy difícil deducir su obtención. Por otra parte, el análisis ampliado se puede encontrar en aquellos artículos que analizan la dinámica de vehículos mayores como es le caso de camiones [33]-[39]. En particular, es muy difícil encontrar análisis de 3 ruedas [38] y de más aún, como es el caso de un móvil de seis [17], pero se debe destacar que todos en general realizan una simplificación para obtener conclusiones. Por ejemplo, muchos los investigadores de modelo para cuatro ruedas hacen su análisis sobre dos (bicicleta) por motivos de simplificación perdiendo cierta objetividad. Para el caso de seis, trabajan sobre uno de tres (distribuidas linealmente). La figura siguiente muestra el modelo de 6 ruedas:  

y la simplificación que se realiza, de tres ruedas, es:  

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en esta figura muestra 5 combinaciones de posible posiciones que pueden adoptar las ruedas. En general, cada autor  expone su modelo con sus propias restricciones, ya sea considerando o no ciertas características del comportamiento del vehículo; por ejemplo, las vibraciones producto de frenar el vehículo [19]. Finalmente, otro aspecto que nos concierne es el comportamiento de un vehículo en interacción con otros; es decir, en convoy (o caravana) [16]. Este comportamiento es de interés debido a que debemos interpretar de alguna u otra forma las conductas del tráfico de vehículos [28], como es le caso de colisiones [29] y otros aspectos. El interés que ha despertado el tema de comportamiento de vehículos en carretera (tráfico) es importantes puesto que son los gobiernos los que están incorporando fondos para dichos análisis. En particular, el análisis en este tema se está centrando en le tema de los Sistemas Inteligentes de Transporta, cuya temática de interés se puede visualizar en la siguiente figura:  

En resumen, esto se traduce en lo que muestra la figura,  

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En síntesis, la investigación de vehículos se centra en los coches de cuatro ruedas pero debemos destacar que sus conclusiones son bastante válidas como para generalizar. La excepción está en le caso de que la ruedas (todas) puedan girar libremente.   1.3 La dinámica de vehículo

  La dinámica de vehículos se centra básicamente en la siguientes figura [23]:  

x : hacia delante ( forward) y sobre el plano longitudinal de simetría. y : salida lateral derecha del vehículo. abajodecon respecto al vehículo.  pz : hacia velocidad rodar en el eje x. q : velocidad de lanzar en el eje y. r : velocidad de despiste en el eje z. Un vehículo es generalmente descrito por las velocidades ( adelante, lateral, vertical, rodar, lanzar y despiste)   Sistema coordenado

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  x : recorrido hacia delante. y : recorrido a la derecha. z : recorrido vertical ( hacia abajo). y : ángulo cabezera ( entre x y x en el plano tierra). g : ángulo de trayectoria ( entre el vector de velocidad y el eje x).  b : ángulo sideslip ( entreel eje x y el vector de velocidad del vehículo).   Las relaciones entre el sistema coordenado fijo del vehículo y el sistema y el sistema coordenado fijo a tierra es definido como ángulos de Euler. Los ángulos de Euler están determinados por una secuencia de 3 rotaciones angulares. Comenzando en el sistema fijo de tierra, el sistema de ejes es primero rotado en “yaw” ( alrededor del eje z), luego en “pitch” ( alrededor del eje y) y luego en “roll” ( alrededor del eje x) para la línea con le sistema coordenado del vehículo. Los 3 ángulos obtenidos son los ángulos de Euler. Es necesario respetar extrictamente la secuencia de rotación. Esto quiere decir:   R y ,q ,f  = R xx,,y R yy,, q R zz,,f   El análisis de la dinámica de un móvil pasa por comprender los conceptos más relevantes involucrados en dicho tema. Estos temas son la base para cualquier estudio y posterior generación de un modelo. Los temas asociados son los siguientes:   ·  Actitud del vehículo en forma de ángulos de Euler Euler.. ·  Segunda Ley ddee Newton. ·  Leyes de rozamiento de Coulomb. ·  Resistencia a la rodadura.  

para la aceleración ·  Límite Interpretación de la acciónde detracción. frenada. ·  Oscilaciones amortiguadas   El detalle de estos tema es el siguiente:   1.3.1 Actitud del vehículo en forma del ángulo de Euler   1.3.1.1 Las convenciones del eje

  En los vehículos aeroespaciales, se z señala hacia abajo. Es utilizado para los aeroplanos y satélites. Aquí  z  señala   señala para arriba (para vehículos terrestres),  y hacia adelante, y x fuera del camino. Esto tiene la ventaja de que la proyección de la información 3D sobre el plano x-y es más natural a este tipo de móviles. La convención usada aquí corresponde a una secuencia z-x-y de los ángulos de Euler [40]. No es recomendable utilizar la conversión mediante la transformada homogénea aquí hasta que se verifique que este correcto para sensor y los actuadores que se utilicen.   Algunos marcos comunes se indican en la figura siguiente:   Figura http://www.face.ubiobio.cl/~jparra/Dinamica_Vehiculo.htm

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  En esta figura cuenta con marcos de referencia adicionales los cuales son utilizados según sea la necesidad. Por  ejemplo, si colocamos una cámara fija sobre el vehículo utilizaremos un marco adicional llamado marco del sensor. Por lo anterior, los de mayor uso son los siguientes:   a)   Marco de navegación.

  Es el sistema coordinado en el cual la posición y la actitud del vehículo se requiere en última instancia. "Normalmente", el eje  z   se alinea con el vector de la gravedad; la  y, o el eje del norte se alinea con el dirección geográfica; y los puntos del eje de x del este se termina a partir de la regla de la mano derecha.   b)   El marco marco del vehículo.

  Es colocado en el punto en el cuerpo del vehículo que es el más conveniente y se considera para ser fijado en actitud con   respecto al cuerpo del vehículo. c)   El marco marco de posición.

  Es colocado en un punto referencia fijo o cerca a cualquier posición que señale su propia posición. Si el sistema de  posición es pasivo y la actitud sólo clasifica la posición del móvil, este marco no se requiere porque la actitud del dispositivo también será la del vehículo.   d)   El marco marco de la pista del sensor. sensor.  

Es colocado en un punto conveniente en una pista del sensor por ejemplo: - la intersección de hazas rotatorias - centro de la placa de montaje - centro óptico del sensor.   e)   Marco del del sensor. sensor.

  Para las Para cámaras de vídeo,estéreos, se colocaseencoloca el ejeentre ópticoambas en el cámaras centro defotográficas la proyección lente odeenla elproyección plano de imagen. los sistemas o sedetrás asociadeallacentro del plano de imagen de una de ellas. Para los telémetros del laser de la proyección de imagen, se coloca como el punto medio de la convergencia de los rayos a través de cada pixel.    g)   El marco marco de la rueda.

  Este marco se coloca en el centro de la rueda, en el eje.   1.3.1.2 La transformada RPY. RPY.

  Es generalmente más conveniente expresar la actitud del vehículo en términos de tres ángulos especiales llamados de [1] volcamiento (roll), rodar (pitch), y desvío (yaw). Afortunadamente, la mayoría de los mecanismos de la inclinación de un móvil se forman cinemáticamente de una rotación del desvío seguida por una de rodamiento y termina con el volcamiento. Hayvariable. seis grados de libertad tres traslaciones y tres "a" rotaciones, cada unolaspuede ser un  parámetro o una Se definen dos implicados, marcos generales, definidos como y "b" y yconsidera operaciones móviles que transforman el marco "a" en coincidencia con el marco "b". Así, para estos ejes:   -  Traduce a lo largo de (x, y, z) de "a" los (u, v, w) hasta que su origen coincida con el de "b".   http://www.face.ubiobio.cl/~jparra/Dinamica_Vehiculo.htm

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-  Rotación sobre el nuevo eje z  por  por un ángulo y llamado de “yaw”.   -  Rotación sobre el nuevo eje x por un ángulo q llamado de “pitch”.   -  Rotación sobre el nuevo eje y por un ángulo f llamado de “roll”.   Los ángulos son positivos a la izquierda medido según la regla de la mano derecha. Estas operaciones se indican abajo  para el caso de transformar el marco de la navegación en el marco del cuerpo.   Figura

  La transformada cinemática que representa esta secuencia de operaciones está, según las siguientes reglas para la cinemática:   a)  Las rotaciones y traslaciones son con respecto a los ejes de "a".  b)  Sus columnas representan los ejes y el origen del marco "b" expresado en coordenadas del marco "a" c)  Convierte coordenadas del marco "b" al marco "a".   Esta matriz sería Tª b  = Trans (u, v, w) Rotz  (  (y) Rotx (q) Roty (f)

La matriz se puede considerar para ser la conversión de un vector de la actitud de la forma a un marco coordinado.   T   [ x y z q  f  y  ]  1.2.1.3  La cinemática inversa para la transformada RPY. RPY.

  La solución cinemática inversa a la transforma RPY tiene por lo menos dos aplicaciones: -  Dar el ángulo de conducir para el sensor de pista, o dar dirección a una antena direccional. -  Da la actitud del vehículo en los ejes del marco del móvil, que a menudo corresponde al plano tangente local al terreno en el cual se mueve, a partir de los parámetros finales de la actitud. Esta solución puede ser considerada para ser el procedimiento para extraer una actitud en un marco coordinado. De allí es que pueden existir diferente manera para conseguir la solución mediante la transformada RPY.   1.3.1.4 La velocidad angular http://www.face.ubiobio.cl/~jparra/Dinamica_Vehiculo.htm

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  El roll, el pitch, y los ángulos de yaw son, como los hemos definido, medidas sobre el movimiento en relación a los ejes. Por lo tanto, son una secuencia de los ángulos de Euler, específicamente, la secuencia z-x-y.   -  La definición del ángulo de Euler de la actitud del vehículo tiene la desventaja que el roll, el pitch, y los ángulos de yaw no son las cantidades que son indicadas realmente por los sensores montados en el vehículo tales como el compas de giro.   -  La razón entre los índices de los ángulos de Euler y el vector de la velocidad angular es no lineal. Los ángulos no se miden ni sobre los ejes del cuerpo ni sobre los ejes del marco de la navegación.   -  La velocidad angular total es la suma de tres componentes, cada uno cerca de la medida de los ejes intermedias en el encadenamiento de las rotaciones que traen el marco de la navegación en coincidencia con el marco del cuerpo. La expresión sería:

  Este resultado da la velocidad angular del vehículo expresada en el marco del cuerpo en los términos de los ángulos de Euler. Note que cuando el vehículo está a nivel, los componentes de  x y de y son cero y el componente de  z  es  es justo la razón del desvío esperado. Este lazo es también muy útil en su forma invertida. Uno puede verificar lo anterior por la substitución:  

1.2.1.5  Actuador cinemático

  Para los vehículos rodantes, la transformación de los ángulos de las ruedas orientables y sus velocidades sobre curvaturas del camino, o las velocidades angulares equivalentes, pueden ser muy complicadas. Allí puede haber más grados de libertad de giro que el necesario. En este caso, las ecuaciones que relacionan la curvatura con el ángulo de giro están sobre determinados.  

 Modelo de la bicicleta de los vehículos vehículos (ángulo de Ack Ackerman) erman)

  En un caso determinado, sin embargo, el mecanismo de manejo se diseña tal que éste no será el caso. Este mecanismo será utilizado en la mayoría convencional automóvil y su llamado manejo Ackerman. El ser útil para aproximar el mecanismo de manejo de la cinemática de Ackerman se asume que las dos ruedas delanteras pueden dar una vuelta leve de modo que el centro rotación instantáneo del vehículo puede ser determinado por la cinemática media. Se deja el vector velocidad angular dirigir a lo largo cuerpo en el eje  z  se  se llama b. Usando la aproximación del modelo de bicicleta, camino curvatura k, radio curvatura R, y ángulo de giro a puede ser relacionado por distancia entre ejes.  

a  

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1/R = tan a / L = d b / ds   L

a   R    La expresión de la razón obtenida para la velocidad V es:  

Así, el ángulo de giro a es una medida indirecta de la relación de transformación de b a la velocidad con la función:  

1.3.2 Segunda Segunda Ley de Newton

  1.3.2.1 Traslación y rotación

  Se aplica a la traslación y rotación[23].   Sistema traslacional:   La suma de las fuerzas externas activas sobre un cuerpo en una dirección dada son igual al  producto de su masa y la aceleración en esa dirección ( asumiendo que la masa es fija).   å Fx = m ax donde:   x F la dirección x. m  :: Fuerzas Masa delencuerpo. ax : Aceleración en la dirección x.  

Sistema rotacional:   La suma de los torques activos sobre un cuerpo con respecto a un eje dado es igual al producto de sus momentum rotacional de inercia y la aceleración rotacional sobre ese eje.   å Tx = Ixx a x donde:   Tx : Torques con respecto al eje x. Ixx : Momento de inercia con respecto al eje x. a x : Aceleración con respecto al eje x.   Gráficamente, esto es:   http://www.face.ubiobio.cl/~jparra/Dinamica_Vehiculo.htm

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  donde: ·  W es el peso del vehículo. ·  Si el vehículo está acelerando, es conveniente representar el efecto por un equivalente inercial conocido como “fuerza de d’Alambert” denotado como W/g ax activada en el centro de gravitación opuesta a la dirección de la aceleración. ·  Los neumáticos experimentan una fuerza normal a la calzada sobre la rueda frontal y trasera ( Wf , Wr  ).  ). ·  Fuerzas de adherencia, Fxf   y F xr , o fuerzas de resistencia rodante, R xxf f  y  y R xxf f , con respecto al plano en el lugar de contacto. ·  DA es la fuerza aerodinámica sobre el cuerpo del vehículo. ·  R hzhz y R hx hx son las fuerzas vertical y horizontal cuando el vehículo esta tirando un trailer.   La suma de los torques en el punto A. Presumiendo que el vehículo no está acelerando, la suma de los torques en el  punto A debe ser cero. Por   convensión, un torque en el sentido del reloj es positivo en A. Luego: hx hh + R hhzz dh + ( W sen q ) h – ( W cos q) c = 0 Wf  L  L + DA ha + W/g ax h + R hx    Note que una actitud cuesta arriba corresponde al ángulo positovo,  q , tal que el término “sen” es positivo. Una actitud cuesta abajo produce un valor negativo para este término ( esto para despejar Wf )).. Para Wr , se tiene en B:   Wr  L  L - DA ha - W/g ax h - R hx hx hh - R hhzz ( L + dh ) - ( W sen q ) h – ( W cos q) b = 0 Luego,   ( W cos q) c - DA ha - W/g ax h - R hx hx hh - R hhzz dh - ( W sen q ) h   Wf =   L   DA ha + W/g ax h + R hx hx hh + R hhzz ( L + dh ) + ( W sen q ) h + ( W cos q) b   Wr   =   L   hx = R hhzz = ax  = 0 Situación estática a nivel del suelo: sen q = q ; cos q  = 1; R hx   http://www.face.ubiobio.cl/~jparra/Dinamica_Vehiculo.htm

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Luego, si Wfs  = W c/L y Wrs  = W b/L   y consideramos que a baja aceleración DA = 0. Entonces:   Wf = W ( c/L – ax/g h/L ) = Wfs  - W ax/g h/L   y Wr = W ( b/L – ax/g h/L ) = Wrs  + W ax/g h/L   entonces, cuando el vehículo acelera, la carga es transferida desde el eje delantero al eje trasero en proporción a la aceleración ( normalizado por la aceleración de gravedad) y a la proporción del peso del CG a la distancia entre los ejes.   1.3.2.2 Carga en pendiente

  La influencia de la pendiente en la carga de los ejes es también digno de considerar. La pendiente está definida como la subida sobre la carretera. Esta relación es la tangente del ángulo q. Los grados corrientes entre estados de la carretera son limitado al 4 % en lo posible. En las carreteras primarias y secundarias, ellos ocasionalmente alcanzan el 10 al 12 %. Los cosenos de los ángulos es pequeño y muy cercanos a 1, y el seno es muy cerrado y cercano al ángulo. Esto es:   Cos q  = 0.99 @  1 y sen q = q   Esto en la carga de los ejes influye de la siguiente forma:   Wf = W ( c/L – q h/L ) = Wfs  - W h/L q   y Wr = W ( b/L – q h/L ) = Wrs  + W h/L q   1.3.2.3 Representación de aceleración

  El análisis del límite del poder de la aceleración involucra examinar las características de los motores y su interacción a través del eje de transmisión. El origen de la propulsión está en los motores. La fuerza y torque están relacionados con la velocidad. Específicamente:   Fuerza ( pie-lb/seg) = Tor Torque que ( pie-lb) * V Velocidad elocidad ( redianes/seg)   e

HP ( Caballo-fuerza) = T * w  / 550 = T * RPM / 5252   También,   Fuerza ( kw) = 0.746 * HP   donde 1 HP = 550 pies-lb/seg   Por la segunda Ley de Newton:   m ax  = Fx, donde m = W / g   se tiene, ax = ( 1/m) Fx = 550 ( g/V) ( HP/W) ( pies/seg²  ) donde:   V = Velocidad ( pies/seg). W = Peso del vehículo. g = gravedad ( 32.2 pies/seg²)   http://www.face.ubiobio.cl/~jparra/Dinamica_Vehiculo.htm

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Para el torque el agarre ( entrada para la transmisión)   Tc  = Te – Ie ae donde   Te  : Torque del motor dado por la velocidad ( dato del dinamometro) Ie   : Inercia rotacional del motor. ae  : Aceleración rotacional del motor.   El torque de salida puede ser aproximado por    Td  = ( Tc – It ae ) Nt donde:   Td  : Torque de salida para la transmisión.  Nt  : Relación numérica de la transmisión. It  : Aceleración rotacional de la transmisión.   Puesto que Tc  se ve afectado en el engranaje ( amplifica) y la inercia de los engranajes ( lo decrementa). Luego el torque para los ejes para los ejes del vehículo, se tiene:   Ta  = Fx r + Iw aw  = ( Td – Id ad ) Nf  donde   Fx  : Fuerza de tracción para el vehículo. r : Radios de la rueda. Iw  : Inercia rotacional de las ruedas y ejes. w rotacional las ruedas. a Id    :: Aceleración Inercia rotacional de lade transmisión. ad  : Aceleración rotacional de la transmisión.  Nf   : Relación numérica de la propulsión final.   Luego,   ad  = Nf aw  y ae  = Nt  ad  = Nt  Nf aw   Finalmente,   Te  Ntf ax   Fx  = - ( Iw  + It ) Ntf ²  + Id  Nf ²  + I N r r ²   donde   Ntf   = Relación combinada de transmisión y propulsión final   Incluyendo la eficiencia, se tiene:   Te Ntf   h tf ax   Fx  = - ( Iw  + It ) Ntf ²  + Id  Nf ²  + I N r r ²   donde h tf : Combinación de eficiencia de la transmisión y propulsión final.  

1.3.3 Leyes de rozamiento de Coulomb  

Otro factor relevante en la investigación en el rozamiento [36]. De este depende la aceleración que pueda adquirir el móvil en su movimiento. El comportamiento del rozamiento, en su aspecto estático y dinámico es el siguiente:  

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Coulomb presentó, en 1781, ciertas conclusiones que son aplicables a la condición de deslizamiento inminente o una vez que Coulomb el deslizamiento ha comenzado. Estas se conocen como leyes del rozamiento de Coulomb. Para el caso de un  bloque, afirmó que:   1.- La fuerza de rozamiento total que se puede desarrollar es independiente de la magnitud del área de contacto.   2.- Para velocidades relativas pequeñas entre los objetos deslizantes, la fuerza de rozamiento es prácticamente independiente de la velocidad. No obstante, la fuerza de rozamiento obtenida en el caso de existir el deslizamiento es menor que la fuerza de rozamiento correspondiente a cuando el deslizamiento es inminente.   3.- La fuerza de rozamiento total que se puede desarrollar es proporcional a la fuerza normal transmitida a través de la superficie de contacto.   En síntesis f a  N è  f = m N   Esto se puede esclarecer mediante las siguientes situaciones:  Situación 1:   Figura (a)

  Figura (b):

  La figura (a) muestra un vehículo situado sobre una calzada inclinada q grados respecto a la horizontal. Definimos los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre los neumáticos y el pavimento se toman como me  y md respectivamente totaltraseras como W. tracción Supongamos quey su laspeso ruedas noAsumiremos deslizan; esto es, latrasera. velocidad relativa en le punto de contacto entre la superficie del neumático y la superficie del pavimento es nula. Entonces, claramente, el máximo rozamiento es me veces la fuerza normal a esta superficie de contacto, tal como se indica en la figura (b). En las ruedas delanteras no hay fuerzas de rozamiento debido a que en estas ruedas no hay ningún momento  proveniente de la ttransmisión ransmisión del vehículo, mi mientras entras que al mi mismo smo tiempo éstas están girando a velocidad constante. http://www.face.ubiobio.cl/~jparra/Dinamica_Vehiculo.htm

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 Nótese que estamos despreciando la resistencia aall rodamient rodamientoo que proviene de las deformac deformaciones iones de la superficie del  pavimento y del neumático; esta es una fuerza pequeña. Podemos considerar este problema como coplanar con tres incognitas: N 1, N 2  y qmáx. De acuerdo con esto, como la fuerza de rozamiento está restringida a un punto, tenemos tres ecuaciones de equilibrio. Utilizando el sistema de referencia xy que se muestra en el diagrama, tenemos:   å Fx  = 0 è  me N1  - W sen qmáx = 0

å Fy  = 0

è 

N1 + N2  - W cos qmáx = 0

å MA  = 0

è 

( b + c)  N N2 - (W sen qmáx ) c – ( W cos qmáx ) h = 0

Si las ruedas traseras “deslizaran”, se debería utilizar md en lugar de me.   Situación 2:   Ahora calcularemos el par necesario en las ruedas tractoras para mover el vehículo a velocidad constante por una rampa inclinada q. Además, suponer que los frenos están bloqueados mientras el vehículo está aparcado sobre dicha rampa. Supondremos que el diámetro del neumático es d.   El diagrama de cuerpo libre para la rueda sería:   Figura (c)

   Nótese que la fuerza de rozamiento f está ahora determinada por la ley de Newton y no por la ley de Coulomb, ya que es este caso el deslizamiento entre la rueda y la calzada no es inminente. De acuerdo a esto, tenemos para f:   å Fx  = 0 è  f - W sen q = 0   el par necesario se calcula entonces utilizando las ruedas traseras como sólido libre ( figura c). Tomando momentos respecto A, tenemos:    par = f d/2   Para la situación 2, la figura (d) es:  

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 Nótese que hemos util utilizado izado llaa ley l ey de Coulomb para el rozamiento con eell coe coeficiente ficiente de rozamiento dinámico md  en todas las ruedas. Ahora escribimos las ecuaciones de equilibrio para este sólido libre:   å Fx  = 0 è  Tarriba  - md ( N1+ N2  ) - W sen q = 0 (i)

å Fy  = 0 è  N1 + N2  - W cos q = 0 (ii)   resolviendo para N1 + N2 de la ecuación (ii) y sustituyendo en la ec. (ii), podemos obtener el valor de Tarriba. Por tanto:   Tarriba  = md W cos q  + W sen q  Para arrastar vehículo hacia abajo del plano inclinado se debe invertir el sentido de las fuerzas de rozamiento el sentido de las elfuerzas de rozamiento.   Hallando Tarriba, tenemos: Tabajo  = md W cos q  - W sen q  1.3.4 Resistencia a la rodadura rodadura  

La figura siguiente nos muestra el efecto que produce un obstáculo que represente una resistencia al movimiento de la rueda.   Figura (a)  

donde:   W : Carga sobre la rueda. P : Fuerza necesaria para velocidad constante.   Consideremos una rueda sin deslizarse sobre una superficie horizontal mientras soporta una carga W en su centro. Como sabemos por experiencia que para mantener el movimiento uniforme se necesita una fuerza horizontal Py debe existir algún tipo de resistencia al avance. Podemos entender esta resistencia al avance si examinamos las deformaciones que se muestran de manera exagerada en la figura (a). Si tal como se muestra, la fuerza P está sobre el eje, el sistema de fuerzas equivalente en la rueda a las fuerzas existentes en la zona de contacto debe ser una fuerza N cuya línea de acción también pase a través del eje de la rueda. Tres fuerzas no paralelas deben ser concurrentes para que haya equilibrio. Claramente, para desarrollar una resistencia al avance, N debe estar orientada con un ángulo f respecto  a la vertical, como muestra W = Nsecos f; Pen=laNfigura. sen f Las ecuaciones escalares de equilibrio son:   Por tanto,   P / W = tan f   http://www.face.ubiobio.cl/~jparra/Dinamica_Vehiculo.htm

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Como el área de contacto es pequeña, vemos que f es un ángulo pequeño y que tan f @ sen f. A partir de la figura (a) se ve que sen f es igual a a/r. Por tanto, podemos decir que:   P / W = a / r    Despejando P, obtenemos:   P = W a / r    En estas ecuaciones la distancia “a” se denomina coeficiente de resistencia a la rodadura. Coulomb sugirió que para cargas W variables, el coeficiente P/W es constante para unos materiales, una geometría dada ( r = cte.).   1.3.5 Límite de aceleración de tracción

  [23] Supongamos que hay una adecuada fuerza del motor, la aceleración puede ser limitada por el coeficiente de fricción entre las ruedas y la pista. Luego,   Fx  = m W   Análisis de un eje:  

Utilizando la segunda ley de Newton ( centro coordenado en el centro del eje):   /2 + Wy – Wr /2 /2 + Wy ) t/2 + Ts – Td = 0 å T0  = ( Wr /2   o Wy  = ( Td – Ts ) / t   Td  = Fx  r / Nf  donde:   Fx  : Fuerza total de movimiento de las 2 ruedas traseras. r : Radio de la llanta.  Nf   : Razón de velocidad final.   La reacción en el torque de velocidad en el motor/transmisión es transferido al cuerpo y distribuido entre la suspensión frontal y trasera. Es generalmente el ángulo del chasis ( ley de Hooke).   Luego:   Tsf   = K ff   f; Tsr   = K fr   f; K f = K ff  +  + K fr    donde   Tsf   = Torción de balanceo en la suspensión frontal. http://www.face.ubiobio.cl/~jparra/Dinamica Vehiculo.htm

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Tsr   = Torción de balanceo en la suspensión trasera. K ff   = Balanceo rígido de la suspensión frontal. K fr   = Balanceo rígido de la superficie trasera. K f  = Balanceo rígido total. = Ángulo roll. f    De aquí, f = Td / K f  = Td / ( K ff  +  + K fr  )  )   Fx  r K ff    Wy =   Nf t K f  

Wb

Fx h Fx r K fr   Fx  = 2 m Wrr   = 2 m  + 2L 2 L Nf   t K f   donde   Wrr  

= Wr /2 /2 - Wy

  Wb Wrr   =

Fx h +

2L  tracción límite,     Fx max  =

2L

Nf   t K f

m W b / L 2 m r

h

  1m +   L Nf   t   Para el eje trasero, con diferencial no cerrado.   Con diferencial cerrado:     Fx max  =

Fx r K ff  

K ff  K f

m W b / L h

 

1-

L

m

Eje frontal con diferencial no cerrado:   m W c / L   Fx max  = h 2 m r   1+ m +   L Nf   t Con diferencial cerrado   m W c / L   Fx max  = h  

K ff  K f

1- L m

1.3.6 Interpretación de la frenada http://www.face.ubiobio.cl/~jparra/Dinamica Vehiculo.htm

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  1.3.6.1 Ecuación básica

  La ecuación general que interpreta la acción de frenar puede ser obtenida de la 2da. Ley de Newton:   m ax  = - W/g D x  = - Fxf   - Fxr  –  – DA – W sen q donde   W g Dx  Fxf   Fxr   DA  q   

: Peso del vehículo. : Aceleración gravitacional. = - ax : Desaceleración lineal. : Fuerza de frenado eje delantero. : Fuerza de frenado eje trasero. : Fuerzas aerodinámicas. : grado de cuesta arriba.

1.3.6.2 Desaceleración constante.

  Dx = Fxf / m = - dV / dt donde   Fxt  : Total de fuerzas sobre el vehículo de toda la desaceleración longitudinal (+). V : Velocidad hacia delante.   Al integrar:  

Vf

ò  dV = - F  / / m ò dt

ts

xf 

 

 

Vo

o

Vo - Vf   = Fxt / m ts donde   Vo  : Velocidad inicial. Vf   : Veloci elocidad dad final. Ts  : Tiempo para el cambio de velocidad.   También se tiene que, dado que V = dx/dt,   Fxt / m = - dV/dx/V = - V dV/dx   Integrando,  

Fxt  / m dx = - dV/dx/V = - V dV x

ò

Vf

ò

Fxf  / / m   dx = -  dV    

o

Vo

Fxt  / m x = ( V o²  - Vf ²  ) /2 donde   x : Distancia recorrida durante la desaceleración.   Cuando el vehículo se detiene, Vf = 0 y x = SD : Distancia de parada.  

Vo²    SD = 2 Fxt/m y tiempo de detención es:   Vo    ts =   Fxt/m

Vo² =

2 Dx Vo

=

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Dx 19/28

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  1.3.6.3 Desaceleración con resistencia del viento

  La resistencia del aire [34] es un factor relevante en lo que se refiere a la resistencia al movimiento del vehículo. Este genera una desaceleración al movimiento. Al instante de frenar se tiene:   å Fx  = F b + C V²   donde   F b  : Fuerza total de frenado de ruedas frontales y traseras. C : Factor de arrastre aerodinámica.   De aquí:   SD

0

ò  dx = - m ò V dV /( F  + C V )  b

 

o

²

Vo

 

m

F b + C0²

  SD = ln   2C F b   La resistencia del aire está compuesta de:   ·  Fricción del aire (es decir, resistencia) en el frente de un vehículo. ·  Fricción del aire alrededor del vehículo, y ·  Vacío parcial detrás del vehículo.   Resultado neto: Resistencia del aire es una función del área frontal del vehículo y al cuadrado de la velocidad del vehículo. Puede ser estimado por la siguiente ecuación:   r V²   Fa = CD A   2   donde  CD CD A r  V

: Coeficiente de resistencia aerodinámico ( automóviles: 0.25 deportivos a 50). : Área frontal ( m² ). : Densidad del aire ( kg / ms) ( 111 a 1.054). : Velocidad del vehículo ( m / seg.).

1.3.6.4 Energía / Fuerza

  La energía y fuerza absorbida durante la frenada, es:   Energía = M/2 ( Vo²- Vf ² ) La fuerza disipada es:  

Fuerza = M/2 Vo 

1.3.6.5 Fuerzas de frenado  

2

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  En el proceso de frenado existen los siguientes factores:  

·  Resistencia ondulante ( rolling resistance)   Siempre se opone al movimiento del vehículo:   R xf  xf   + R xxrr = f rr    ( Wf   + Wr   ) ) = f rr   W  W   Fr : “Coeficiente de resistencia al giro”, generalmente es equivalente a 0.01 g , desaceleración de 0.3 ft/seg²2.   ·  La aerodinámica   Es equivalente aproximado a 0.03 g ( 1 ft/seg²).   ·  Grados   La fuerza debido al grado sería:   R g = W sen q   Esto es para ángulos hasta de 4 % y será equivalente a una desaceleración de ± 0.04 g ( 1.3 ft/seg ²).   1.3.6.6 Frenos  

[23] Hoy es común el uso, como freno de vehículo, de 2 tipos: Tambor y disco.   Factor de freno  

Tomando momento en el pivote de la zapata A:   M p  = e Pa + n m NA – m NA  = 0 donde e : Distancia perpendicular desde la actuación de la fuerza al pivote. A  N   : Fuerza Normal entre las paredes de A y el tambor. n : Distancia perpendicular entre las paredes de fricción y el pivote. m : Distancia perpendicular entre la fuerza normal y el pivote.

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  La fuerza de fricción desarrollada por cada zapata de freno es:   FA  = m NA  y FB  = m NB Luego,   FA  m e FB  m e   = y =   Pa  m - m n P a  m + m n   El torque normalmente incrementa casi linealmente con la actuación del esfuerzo P a. Esto es:   T b  = f ( Pa, velocidad, temperatura)   El torque producido por el acto de frenar genera una fuerza de frenado al conjunto y desacelera las ruedas y los componentes. Luego:   ( T b  - Iw aw )   Fb =   r  donde   r : Radio de las ruedas. w I  : Inercia rotacional de las ruedas. aw  : Desaceleración rotacional de las ruedas.   En algunos casos, para simplificar el cálculo, se tiene:    b Fb = T     r  Fricción de rueda-carretera   Slip = ( V - w r ) / V donde   V : Velocidad hacia delante del vehículo. w  : Velocidad rotacional de la rueda.

 

1.3.7 Oscilaciones amortiguadas

  [34] Este tema es de relevancia por el hecho de tener, tarde o temprano, que considerar el incorporar al modelo a obtener el concepto de amortiguadores. Para ello haremos un análisis general del tema. Para comenzar, los sistemas oscilantes idealizados no tienen fricción. No hay fuerzas no conservativas, la energía mecánica amplitud. total es constante y un sistema puesto en movimiento sigue oscilando externamente sin disminución de la Sin embargo, los sistemas del mundo real siempre tienen fuerzas disipativas, y las oscilaciones cesan con el tiempo si no hay un mecanismo que reponga la energía mecánica disipada. Un reloj de péndulo mecánico sigue andando porque la energía potencial almacenada en el resorte o en un sistema de pesos colgantes repone la energía mecánica perdida  por fricción en el pivote y los engranajes. En algún momento, el resorte perderá su tensión o los pesos llegarán al

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fondo de su trayecto. Al no haber más energía disponible, la amplitud de las oscilaciones del péndulo disminuirá y el reloj se parará.   La disminución de la amplitud causada por las fuerzas disipativas se denomina amortiguación, y el movimiento correspondiente se llama oscilación amortiguada. El caso más sencillo para un análisis detallado es un oscilador armónico simple con una fuerza de amortiguación por fricción directamente proporcional a la velocidad del cuerpo oscilante. Este comportamiento ocurre en la fricción por flujo de fluidos viscosos, como en los amortiguadores de los coches o el deslizamiento entre superficies lubricadas con aceite. Así, tenemos una fuerza adicional sobre el cuerpo debida a la fricción, F = - b v, donde v = dx/dt es la velocidad y b es una constante que describe la intensidad de la fuerza amortiguadora. El signo menos indica que la fuerza siempre   tiene dirección opuesta a la velocidad. La fuerza neta sobre el cuerpo es entonces:   å  F = - k x – b v ( 0)   y la segunda ley de Newton para el sistema es:   - k x – b v = m a, o bien - k x – b dx/dt = m d²x/dt² ( 1)   La ecuación (1) es una ecuación diferencial en x; sería igual a la ecuación:   A = d²x/dt²  = - k/m x ( mov. armónico simple)   que da la aceleración en un MAS, si no fuera por el término adicional – b dx/dt. La resolución de esta ecuación es un  problema sencillo en e n ecuaciones diferenciales. Si la fuerza de amortiguación eess relativamente pequeña, el movimiento está descrito por,   - ( b/2 m ) t

(2)  

x = Ae

cos ( w’ t + f )

( oscilador amortiguado)

La frecuencia angular de la oscilación w’ está dado por,   (3) w = [ k/m – b²/ ( 2m )² ] ½ ( oscilador con poca amortiguación)   gráficamente la ecuación ( 2) que muestra un movimiento armónico amortiguado, en el caso en que el ángulo de fase f = 0. El periodo cuando no hay amortiguación ( b = 0) es To.   La curva rosada muestra el movimiento cuando b = 0.1 Ö km  

A

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0    

t -A

 

y la curva naranja cuando b = 0.4 Ö km. La amplitud disminuye con mayor rapidez cuando el valor de b es mayor. Si exageramos de cerca los puntos donde las curvas cruzan el eje t.   La frecuencia angular w’, dada por la ecuación ( 3), ya no es igual a w = Ö km, sino un poco menor, y se hace 0 si b es tan grande que   k/m - b²/ ( 2m )² = 0, o bien b = 2 Ö km ( 4)   Si se satisface la ecuación ( 4), la condición se denomina amortiguación crítica. El sistema ya no oscila, sino que vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar cuando se le desplaza y suelta. Si b es mayor que 2 Ö  km, la condición se denomina sobreamortiguación. Aquí tampoco hay oscilación, pero el sistema vuelve al equilibrio más lentamente que con amortiguación crítica. En este caso las soluciones de la ecuación (  1) tienen la forma: - a1 t

- a2 t

  X = C1  e + C2  e   Donde C1 y C2 son constantes que dependen de las condiciones iniciales y a 1 y a2 son constantes determinados por m, k  y b. Si b es menor que el valor crítico, como en la ecuación ( 2), la condición se llama subamortiguación. El sistema oscila con una amplitud constantemente decreciente.   En un diapasón o cuerda de guitarra que vibra normalmente queremos la mínima amortiguación posible. En cambio, la amortiguación es deseada en las oscilaciones de la suspensión de un coche. Las amortiguadores proveen una fuerza amortiguadora dependiente de la velocidad para que, cuando el coche pasa por un bache, no siga rebotando eternamente.   igura: Figura: F  

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  Amortiguador de automóvil. La parte superior, conectada al pistón, se une al chasis del coche; la parte inferior, conectada al cilindro inferior se une al eje. El fluido viscoso causa una fuerza amortiguadora que depende de la velocidad relativa de los dos extremos de la unidad. Esto ayuda a controlar el rebote y las sacudidas de las ruedas.   Para optimizar la comodidad de los pasajeros, el sistema debe estar críticamente amortiguado o un poco subamortiguado. Al hacerse viejos los amortiguadores, el valor de b disminuye y el rebote persiste más tiempo. Esto no sólo causa náuseas, perjudica la dirección porque las ruedas delanteras tienen menos contacto positivo con el suelo. Así, la amortiguación es una ventaja en este sistema. Demasiada amortiguación sería contraproducente; si b es excesiva, el sistema estará sobreamortiguado y la suspensión volverá al equilibrio más lentamente. En tal caso, si el coche golpea otro bache justo después del primero, los resortes de la suspensión todavía estarán comprimidos un poco  por el primer golpe y no podrán absorber plenamente el impacto. En las oscilaciones amortiguadas la fuerza amortiguadora no es conservativa; la energía mecánica del sistema no es constante, sino que disminuye continuamente, acercándose a 0 después de un tiempo largo. Para deducir una expresión del cambio de energía, primero escribimos una para la energía mecánica total E en cualquier instante:

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  E = ½ m v² + ½ k x²   Para calcular la razón a la que cambia esta cantidad, la derivamos respecto al tiempo:   dE/dt = m v dv/dt + k x dx/dt   Pero dv/dt = a y dx/dt = v, así que   dE/dt = v ( m a + k x ) ( 5)   Por la ecuación ( 1), m a + k x = - b dx/dt = - b v, así que   dE/dt = v ( - b v ) = - b v²  ( oscilaciones amortiguadas)   el lado derecho de la ecuación ( 5) siempre es negativo, sea v positiva o negativa. Esto indica que E disminuye continuamente, aunque no con una razón uniforme. El término v ( - b v ) = - b v²  ( fuerza por velocidad) es la razón a la que la fuerza amortiguadora efectúa trabajo ( negativo) sobre el sistema ( o sea, la potencia amortiguadora). Esto es igual a la razón a la que cambia la energía mecánica total del sistema.   1.4 Problemática de la dinámica

  La problemática se centra en no exitir un modelo que permita obtener el comportamiento dinámico para un vehículo de n-ruedas. Es claro que este modelo será un bosquejo simplificado de la realidad pero deberá poder servir de base  para el objetivo y, por ende, para posteriores posteriores mejoras. El modelo que se persigue debe responder a un móvil de la forma:  

1.5 Síntesis

  En síntesis, este capítulo ha recopilado la mayor parte de los conceptos que se definen dentro del tema de la dinámica de un vehículo. Todos ellos son de suma importancia a la hora de definir un modelo puesto que de basarse en los mismos o en parte de ellos. El modelo a obtener se basará en los antecedentes descritos obviando, por el momento, la amortiguación. Del análisis de los artículos analizados, ninguno presenta la deductiva de la expresiones expuestas lo que obligó a desarrollar todo el proceso con el fin de poder obtenerlas, desde su origen. Tal es el caso de las expresiones de la totalidad del punto 1.3. Debemos destacar que la dificultad mayor en esta recopilación ha sido este último punto; es decir, el poder logra todo el proceso que permite obtener dichas expresiones o ecuaciones.  

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