Introducción Al Análisis Matemático II [Hebe T. Rabuffetti]

Introducción al

nnnusisηιιιτηιιήιο ÍCÁLCULO 2 ! Λ

Hebe T. Rabuffetti ^ E d ito rìa ! ElAtetìeo

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO (CÁLCULO 2) Quinta edición

HEBE T. RABUFFETTI Profesora de análisis matemático en el Instítuto . Nacional Superior del Pnjfesotado, en el Profesorado Especializado de la Escuela Normal N·? 1 y en la Facultad Regional Buenos Aires de la Universidad Tecnológica Nadonal.

LIBRERIA “EL ATENEO" EDITORIAL BUENOS AIRES - UMA - MEXICO - BARCELONA

517.1 RAB

Rabuffetti, Hebe t . · ‘ lnlrqducc|(5n al análisis matemático: cálculo 2. - 5a. ed. Buenos Aires: El Ateneo, *1994. 440 p.; 22 x 15 cm. ISBN 950-02-5281-3 1. Título -1 . Cálculo Matemáfico

Advertencia Importante: El derecho de propiedad de esta obra comprende para su autoría facultad de disponer de ella, publicarla, traducirla, adaptarla o autorizar su traducción y reproduciria en cualc^ier forma, total o parcialmente, por medios electrónicos o mecánicos, incluyendo fotocopias, grabación magnetofónica y cualquier sistema de almacenamiento delnfonnadón. Porccnsigulente, nadie tiene facultad a ejercitar los derechos precitados sin permiso del autor y del editor, pór escrito. Los Infractores serán reprimidos con las penas del artículo 172 y concordantes del Código Penal (arts. 2,9,10 ,7 1,7 2 ley 11.723). Queída hecho el depósito qua establece la ley N" 11.723.

0 1933,1984,1987,1992,1994, "EL ATENEO’ Ptídro García S. A. Übrerfa, EdAoríal e Inmoblliaxia, Rorida 340, Buenos Airée. Fungete en 1912pordonPedroGaic{a.

ISBN 950-02-5201-3 (3· Bdición, revisada y corregida; 4* y 5" edición) ISBN 950-02-5203-1 (1*y 2· edición) Imgreso en Grálica Anlonelli, Ba^VTÍbaso 948, Lanus Este, projrincia de Buenos Aires, el c|fa 25 de Junio de 1994. Tlrá'da: 3.000 ejemplares..

IMF?BESO EN LAARGENTINA

indice general 1. ESPACIO METRICO I. Distancia.................................... II. Entorno y entorno reducido ..... III. Intervalos ....................................... IV. Conjunto acotado .......................... V. Punto de acumulación................... VI. Punto in te rio r................................. VIL. Pünto aislado, exterior, frontera VIII. Algunas propiedades

1

4

6 7 9

12 14 17

2. VECTORES I. II. III. IV. V. VI. VIL

Espacio vectorial ................................ Dependencia lineal ............................. Álgebra vectorial................................. Ángulos y cosenos directores.............. Nociones de geometría analítica en Representaciones gráficas en ........ Sistemas de coordenadas...................

26 29 31 37 39 43 54

3. CAMPOS ESCALARES I. II. III. IV. V.

Función de dos variables .... Curvas y superficies de nivel Límite funcional doble (simultáneo) Límites sucesivos o reiterados__ Continuidad .................................

59 63

66 75 84

4. DERIVADAS I. II. III. IV. V.

Derivadas parciales Derivadas parciales sucesivas ..... Derivada direccional..................... Función diferenciable ............... . Plano tangente y recta normal a una superficie

94

102 105 117 127

V

5. FUNCIONES COMPUESTAS I. II. III. IV. V.

Generalización del concepto de función.......................................... Derivación de funciones compuestas............................................... Funciones definidas implícitamente................................................. Funciones definidas implícitamente por sistemas de ecuaciones ..... Funciones homogéneas ..................................................................

137 142 150 157 164

6. MÁXIMOS Y MÍNIMOS I. Fónmula de Taylor............................................................................ [|. Extrerrios de un campo escalar....................................................... III. Extremos condicionados..................................................................

170 175 187

7. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE I. II. III. IV. V. VI.

Integral doble ............................. ...................................................... Integral doble según Riemann ........................... ....................... Integrales reiteradas (sucesivas o iteradas) ......... Integración sobre regiones no rectangulares ......................... ......... Aplicaciones geométricas de la integral doble ............................... Integral trip le ............... ....................................................................

198 204 210 218 240 248

8. LA INTEGRAL COMO LÍMITE I. II. III. :' ly. V·

La integral simple como límite .......................................................... Integral doble y triple como lím ite.................................................... Cambio de variables........................................................................ Área desuna superficie en .......................................................... Aplicaciones físicas ................................................... .....................

261 268 270 280 285

9. FUNCIÓN VECTORIAL I. II. III. IV. V. VI. Vil·

Límite de una función vectorial....................................................... Álgebra de funciones vectoriales.................................................... Continuidad de una función vectorial ............................................. Curvas ................................. ........................................................ Derivada de una función vectorial................................................... Versores principales .......,...... ................................ ............... ....... Curvas rectificables ........................................................................

292 294 296 297 301 305 312

10. ÍKTEGRAL CURVILÍNEA f,·

sobre uña curva plana ................. .................. ............... de Green ............. ..................................... ....................... (fy ^v ^ ^n d e n c ia de la trayectoria ....................................................... ÍV R A f continua}. La distancia puede darse mediante una integral definida: -1

Vf6C[„.„VgeCp.,j : d(f;g) =

|f(x)-g(x)|d)c

Jo Puede verificarse que se satisfacen los axiomas y. por lo tanto, se confiere una métrica al espacio de funciones continuas elegido. Fihalrnente^puedeiobservarseïque^cualquier.'subconjunto. no vacío'de un con­ junto É, es -espacio:métrico:.para la ;misma distancia que conforma el èspàcio métri­ co (E.d). EJERCICIOS. . 1) Probar que d:(a;b)

1 si â îfrb; gg una distánciaen R^. . O SI a = b

2) Probar que d: (á;b)-> |a^-b^| + ¡a ^ -b j + já ^ -b j es una distancia en R3 si á = (a^.-ag.-ag) y 6 = (b.ib^ibg). 3) En Cp.^j se define; VfeCp.^jVgeC^j,.,^: d(f;g) = sup {|f(x)-g(x)|/xe[0;1]}. Verificar que d es una distancia.

II. Entorno y entorno reducido La definición dada para entorno de centro a y radio positivo r en el conjunto de los números reales puede extenderse simplemente á otros espacios. Así como se hizo en R, consideramos a R" como espacio métrico euclídeo, o sea, con la distancia euclídea. Recordemos la definición estudiada en el conjunto R de los números reales: E(a.r) = {x/xeR A |x-a|, todos sus puntos

son aislados: Punto exterior Sea CCR". Un punto á es exterior al conjunto C si y sólo si existe un entorno de á al cual no pertenece ningún punto de C. O sea, existe un entorno de à incluido totalmente en el· complemento de C. Es decir, á exterior a C 3E(á)/E(á)nC = (f>. Al conjunto de todos los puntos exteriores al conjunto C. lo designamos C^. Punto frontera Sea C cR ". Un puntó á es frontera del conjunto C si y sólo si à no es interior ni exterior al mismo. Por lo tanto, en todo entomo de un punto frontera hay puntos que pertenecen al conjunto y también puntos que no le pertenecen. La frontera de un-conjunto és el conjunto al cual pertenecen todos sus puntos frontera. La designamos C^. Ejemplo. 1 Hallar puntos aislados y exteriores del -conjunto A. Dar también su frontera. A = Í(x;y)/x24-y2l}. El conjunto A no tiene puntos aislados. La frontera de A es la circunferencia con centro en el origen y radio 1. A^ = {(x ;y )^ + y ^ = 1} Ejemplo 2 Analizar el conjunto siguiente: · B = {{x;y )/(lx -2) V/Va€KVveV;aaveV. 3) la ley externa satisface la asociatividad, enunciada así; VaeKV^eKVveV; (a ./3)dv = anOaav). 4) la ley externa.es distributiva: respecto de. la adición en K. Propiedad enun­ ciada así; VaeKVjSeKVveV; (q:+/3)gv = {aDv)@03av): 5) la ley externa es distributiva respecto de la adición en V. Propiedad que se indica: VaeKVxeWyiEV; aa(x@y) = (¿□x)© (any). 6) la unidad del cuerpo es elemento neutro para la ley extema. O sea: VveV: iD v = v, donde 1 es la unidad en el cuerpo (K, +, ·)· 26

El conjunto K recibe el nombre de conjunto de escalares y cada uno de sus elementos es un escalar. El conjunto V es el conjunto de vectores y cada uno de sus elementos ^ un vector. .. + y - son las leyes ihtémas en eltcuerpo y se llaman adición y multiplicación de escalares. La ley interna 0 , definida én V, es la adición de vectores, y la ley ex­ terna □ es la multiplicación de escalar por vector. Obsén/ese que la ley extema se define como función de KxV en V, y como el producto cartesiano no es conmutativo, no tiene sentido cambiar el orden y multi­ plicar vector por escalar. El producto de un escalar por un vector es, como ya se ha indicado, un vector. El neutro para la adición en V es el vector nulo, que se designa Ó. He usado símbolos diferentes para designar las operaciones en K y en V, con el objeto de clarificar las nociones iniciales que caracterizan la estructura abstracta de espacio vectorial. Si bien los símbolos diferentes pemniten aclarar dichas nocio­ nes, en el uso repetido complican y hacen muy tediosa la notación; Por eso, una vez comprendido su significado, prescindiremos de ellos al trabajar con el único modelo que nos interesa en este texto, que es R" con escalares en R. Es decir, al vector x@y lo designamos simplemente x+y, al vector ojDv lo indicamos av, etcétera. Comenzamos con un modelo simple de espacio vectorial, considerando como conjunto de vectores al conjunto R^ y como conjunto de escalares al conjunto R de los números reales. Para verificar que (R^, ©, R, o) es espacio vectorial, definimos las dos leyes de composición: 1) la adición de vectores es (a;b)©(c:d) = {a+c;b+d). Obsérvese que la adición en el primer miembro es @ (en R^) y la que aparece en el segundo miembro es + (en R). Puede verificarse de inmediato que R^, con ©, adquiere estructura de grupo conmutativo donde el vector nulo es (0;0). 2) la multiplicación de un escalar por un vector es o!a(a;b) = (a-a;a-b). Puede probarse ahora, en forma muy sencilla, que se satisfacen los restantes axiomas de espacio vectorial. Para simplificar la notación, como hemos anticipado, nos referimos al espacio vectorial R^ con escalares en R. Por lo tanto, un elemento perteneciente a R^ es un vector. Si el vector es V = (a;b), a es la primera componente y b la segunda y puede representarse en el plano por el punto de abscisa a y ordenada b. El vector nulo con-esponde al origen.

En geometría y en física es usual representar un vector mediante una flecha con extremo inicial en el origen de coordenadas y extremo final en el punto iridicado

en el plano. La recta determinada es la dirección del vector y los extremos dan el sentido. La suma de- dos vectores és un vector cüyas comporientes son ordenada­ mente las sumas de las componentes respectivas: El vector opuesto es un vector cuyas componentes son los números opuestos de las componentés iniciales. Geométricamente, la suma de vectores se obtiene utilizando la conocida “regla del paralelogramo".

Otro'ejemplo, dé ■espaGiO'VeQtorialf queíUtilizarsmos.'es ei.de con; esGálares; en R. Todo elemento dé R^ puede representarse mediante un puiito del espacio : tridimensional o un vector con tres componentes.; Utilizaremos la terna dextrógira o derecha. (Si colocamos el dedo pulgar de la mano derecha en la dirección positiva del eje x. y el índice en el sentido positivo del eje y. él dedo central indica naturalmente la dirección positiva del eje z.)

-

y

En general,-el conjunto R ^ también adquiere estructura de: espacio vectonal para cualq‘uier-n>3V. con-esGa|ares';.envRr Para ellpíse .definen laJey interna,y la.ley externa· en:forma;análQga;aia,;realizada%en^R?.vy:.R?. Igualdad de vectores en R" Considerando la igualdad de h-uplas, dos vectores son iguales si y sólo si sus componentes son respectivamente iguales. Es decir: x = y Vi; (x, = y, a 1^· Por ello,

el producto mixto á a B · c es positivo si a a B y c están en el mismo semiespado respecto del plano detemiinado por à y b.

EJERCICIOS 1) Considerar en los siguientes vectores: á = (1 ;-3;4), b = (2;-1;5)^c = (-2;0;3). Hallar a) á+b+c, b) á -c+ b , c) á+4c-3b, d) á- c, e) |áj, f) jbp, g) b a c, h) á · b A c. 2) Siendo á = 4T-2j+4k y b = -3 í+ 2 j-7 k verificar la desigualdad de CauchySchwarz. 3) Hallar el módulo del vector con origen en A = (5;2;3) que une A con P = (x;y;z). 4) Hallar un vector unitario con la dirección y sentido de v = -5 í+ 3 ]-4 k. 5) Hallar un versor paralelo a á+S si á = T+2]+5k, 6 = 4'í+3j-6Ít 6) Demostrar que á = T+]-f5k, 6 = 2 í+ 3 j-k y c = 1 6 í-1 lj-k forman un conjunto ortogonal de vectores {perpendiculares dos a dos).

IV.Ángulos y cosenos directores 1) En R2 Consideremos en el plaño un vector v = (a;b). Como ya hemos Indicado, a y b son las componentes del vector y son las longitudes de las proyecciones de v¿ resr pectivamente, sobre cada uno de los ejes coordenados. Interesan los ángulos que forman cada uno de los semiejes positivos con el vector, llamados ángulos directo­ res del vector, y sus cosenos, llamados cosenos directores. Los ángulos varían entre O y 7T y sus cosenos, por lo tanto, pueden ser positivos o negativos.

2) En B 3 Las mismas definiciones anteriores se repiten en el espacio.

V = (a;b;c) a, y y ángulos directores de v

p

37

Los cosenos directores de lös ángulos .son proporcionales a las componentes respectivas. En efecto, es c o s a = —^ c o s ß = —^ |vl

- c o s y = —^

(1)

|v|

|vt

con vj= Va^-rb^+c^. Estas igualdades permiten calcular las componentes si se co­ nocen los cosenos directores y la longitud del vector. Por otra parte, los cosenos directores están relacionados por la siguiente ex­ presión: cos2 a+cos2 ^+cos2 y = 1, que se obtiene elevando ai cuadrado primero y sumando luego las tres igualdades (1). De las igualdades. (1) se deduce también que las componentes de un vector unitario coinciden con sus cosenos directores. En efecto, si |v| = 1 resulta cos a. = = a A cos.fi =. b A eos y = c. Al vector nulo no se le adjudican ángulos directores.

Vectores, paralelos; en, R?,, Si dos.véctores no;nu}os á.=:(a,ía2;a¿);y:b = mo sentido, tienen los-mismos cosenos.directores: ; a^

ag

b^

bg

cos a = ----- = — A cos p = ------- —r [á| (b| |ál Ib) y, por lo

a. aa|à( tanto, —— = - r — = ~r— = —r - si °i

°2 °3

son paralelos y deT mis­ bg

a

cos y =

là!

ibi

b,=?í=0 a b2=ifc0 a bgitO.

ibi

Si los vectores sonparalelos pero tienensentido contrario, los cosenos tienen valores opuestos. a, ^ b, a, O sea, —— = -----r — A ----- = ------ r - a lál

u y resulta

|bl

^

*>,

bj

¡ál

^ = -r— = bj

|6l

lá|

bj |b|

|á|

|b|

En ambas situaciones, las componentes de vectores paralelos son proporcio­ nales. Recíprocamente, puede demostrarse:;si las componentes de dos vectores son. proporcionales, entonces los vectores resultan paralelos. Es decir, a. a, a.

Si las razones son positivas, los vectores tienen igual dirección y sentido. Si las razones son negativas, los vectores tienen igual dirección y sentidos opuestos. 38

EJERCICIOS 1) Hallar los cosenos,directores de á = (~3;5;4). 8 “* Í 4 2) (v¡ = 4 y sus cosenos directores son, respectivamente, -e ,-y —. Hallar v. 3) Cosenos directores del vector con extremo inicial en (2;-1;3) y extremo final en (4;5;-7). 4) Si -5· y —^ son dos de los ángulos directores de un vector, calcular el tercero. 3 4

V. Nociones de geometría analítica en FP Ya hemos visto que existe una biyección entre puntos y vectores del espacio tridinriensionai, que pennite utilizarlos indistintamente. Por lo tanto, al considerar ei punto P = (x;y;z), nos referimos de igual fomna ai vector OP = xT+y]+zk. En­ tonces, usaremos indistintamente las expresiones vector R, punto P-o vector PP; Si en algún caso es necesario distinguir entre punto y vector, surgirá de la índole del problema. Rectas en a) Una recta en el espacio puede determinarse mediante uno de sus puntos y un vector paralelo a ella. Sea Pq = (Xjj:yQ,Z(j) un punto^que pertenece a la recta ^ y á = (a^:a2,a3) un vec­ tor paralelo

Si P = (x;y;z) es un punto cualquiera ^ la r ^ a eí vector posición OP puede considerarse como suma de los vectores OP^ y P^P donde P^P = t á para un núme­ ro real t _ _ R ^u lta P = Pg+tá, ecuación vectorial de la recta Á paralela al vector á por el punto Pq. Recordando la igualdad de vectores, puede llevarse la ecuación anterior a su forma cartesiana' P = Po+tá

(x;y,z) = (Xo;yo-,Zo)+t(a^:a2;a3). 39

Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: X = Xg+t a, A y = y^+t aj a z = Zj,+t a^, ecuaciones paramétricas de la- recta con­ siderada. Si los números a^ ,a^ y ^3 no son nulos, puede hallarse el valor común t en las tres ecuaciones paramétricas y obtener: x -x „

y-Y o

Z^Zr

-, ecuaciones simétricas de la recta.

Como las componentes del vector á son proporcionales a sus cosenos directo­ res, las ecuaciones simétricas pueden darse también así: x^x

°

o

C OSot.

CO&.p.y.

^ ^

o

sjendp cós Í3f, eos j9 y eos 7 los cósenos di-

CQSyi

rectores (no nulbs):de:á^qúé.seillaman también‘cosenosTdireGtores de:la-recta;

v

b) Una; recta en el. espacio ^también puede -determinarse por dos puntos que le pertériécen;. _ Hallemos;^po^emploi^la^ecuación:;dejIaí;recta:iaJa:eual pertenecen^los puntos^

Obsérvese que el vector P.,P2 da la dirección de la recta y corresponde al vector _ à del caso ántenor. _ Luego, es P = P.,+t(P¿-P,),’,expresión que también puede escribirse P = (1 ^ t)^ + ^

(1).

Si 0< t< 1, entonces el punto: P, pertenece' al.segmento P.{P¿> Los demás puntos de la recta se obtienen:dando/a t valores reales:maypres que l o valores negativos.· De (1) podemos obtenerí^ igual :que .en. el caso anterior^ las ^uaciones paramé­ tricas: X = x^+tcxg-x,) A y = yi+t(y2-y ,) A z = z^+tCz^-z,), y las simétricas: 40

x -x .

y -y i

Xg-X,

y2-yi

z -z . (xjítx, A y2=íty, A Z2#Zi).

Ejemplo a) Ecuación de ia recta a la que pertenece Pq = (3;1 ;'-4) y es paralela al vector (2;5;-3). Ecuación vectorial; R es una función de dos variables. Su dominio, por estar incluido en. R^, puede representarse en el plano. El gráfico de la función se representa en el espacio de tres dimensiones. Usamos la notación z = F(x;y) para designar al número real z como imagen del par ordenado (x^). ■ Resulta, gráfico de F = {(x;y;z)/z = F(x;y)}. Si n = 3, o sea, si AGR^, entonces F:A—♦ R es función de tres variables y su dom inio puede representarse en el espacio tridim ensional; El gráfico de la fun­ ción no puede ¡nterpretarse.geom étricam ente.· En.todos los casos, para n > 2, la función de n variables se denomina función de vector o campo escalar. Igual que sucede con las funciones escalares, es común dar una o varías reglas para determinar la función, en cuyo caso, se le asigna el dominio más conveniente.

I. Función de dos variables 1) Sea F:(x;y)

xH-5y

x2-i-y2 Es decir. D = R 2-{(0;0)}.

. A su dominio no le puede pertenecer el origen.

x-i-7y—3 2) Si F;(x;y) —> -----— , su dominio no puede incluir a la recta de ecuación x -y y=

X.

59

3) F:(x;y)

1

ln (x+ y-3 )

a) Para que la imagen de cada par ordenado sea un número real, debe ser x + y -3 > 0 . b) Para que el denominador no sea nulo, debe ser x+y-3?!=i pues In 1 = 0. Luego, por a) y > 3 -x y por b) y 4 -x . s-

D = {(x;y)/y> 3 -x. A y ^A -x}. -X-

4) F:(x;y) >

arc sen (y-^x^) V 2^ · , :

En este caso, debemos tener en cuenta los valores de la función trigonométrica seno, además dei denominador. a) ly -x ^l