Introducao a Geometria Diferencial 2nd Ed Ketti EB 2008

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INTRODUÇÃO À

GEOMETRIA Dl.FERENCIAL

I~

Blucher

KETI TENENBLAT Professora Emérita da Universidade de Brasília (UnB)

INTRODUÇÃO À GEOMETRIA DIFERENCIAL '

2ª edição revisada

Introdução à geometria diferencial © 2008 Keti Tenenblat 2ª edição - 2008 1a reimpressão - 2011 Editora Edgard Blücher Ltda.

Blucher Rua Pedroso Alvarenga, l .245, 4° andar 04531-012 - São Paulo -SP- Brasil Tel.: 55 (11) 3078-5366 [email protected] www.blucher.com.br

FICHA CATALOGRÁFICA

Tenenblat, Keti Introdução à geometria diferencial / Keti Tenenblat ·· 2ª. ed. São Paulo: Blucher, 2008. Bibliografia. ISBN 978-85-212-0467-l 1. Geometria diferencial l. Título.

É proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer meiÓs, sem autorização escrita da Editora.

08-06319

Todos os direitos reservados pela Editora Edgard Blücher Ltda.

fndices para catálogo sistemático: 1. Geometria diferencial 51 6. 7

CDD·Sl 6.7

AS. S. Chem (in memoriam)

Prefácio

Esta é a segunda edição deste livro que tem o objetivo de servir como texto para um curso introdutório de Geometria Diferencial, em nível de graduação. Apresentamos a teoria local de curvas e superficies, no espaço euclidiano, admitindo como pré-requisitos os cursos básicos de cálculo diferencial e equações diferenciais. No Capítulo O, relacionamos os principais resultados do cálculo vetorial e do cálculo diferencial.para funções de várias variáveis, que serão utilizados, freqüentemente, nos capítulos seguintes. Sugerimos que a leitura do texto seja iniciada com o estudo de curvas planas, Capítulo 1, recordando os conceitos do Capítulo O, à medida que se tornarem necessários.· A teoria local clássica de curvas no espaço é introduzida no Capítulo II e a de superficies, no Capítulo III. Tendo em vista o caráter introdutório do curso, o estudo das superficies é desenvolvido para superficies parametrizadas regulares. Estas surgem naturalmente como uma extensão do conceito de curva parametrizada regular. No Capítulo. IV, julgamos conveniente ineluir o método do triedro móvel, como um método alternativo ao clássico, para o estudo local das superf~:cies. Procuramos ilustrar os conceitos e os resultados da teoria apresentados no texto, por meio de vários exemplos e :figuras. No :final de cada seção, incluímos uma série de exercícios. Esta edição difere pouco da anterior. Foi introduzida uma seção ao :final do Capítulo III, indicando algumas aplicações da computação gráfica, usando o programa "ACOGEO". Este programa permite visualizar tanto as curvas e superfícies no espaço euclidiano como ·os principais resultados· da teoria de geometria diferencial apresentados no livro. Desejamos agradecer aos alunos e colegas que leram criticamente este texto. Agradecimentos especiais são devidos a Manfredo_ P. do Carmo pelas sugestões e a José Anchieta Delgado pelas contribuiçõe~ na primeira edição deste livro. Finalmente, agradecemos a Hailton G. Reis pela digitação desta edição, a Rosângela Maria da Silva pela cuidadosa revisão e a Patrícia Fernandes do Nascimento por diversas :figuras do texto.

Conteúdo

Capítulo O- CÁLCULO NO ESPAÇO EUCLIDIANO 1. Cálculo Vetorial no Espaço Euclidiano ................................................................ 1 2. Cálculo Diferencial no Espaço Euclidiano ......................................................... 12

Capítulo 1 - CURVAS PLANAS 1. Curva Parametrizada Diferenciável .................................................................... 28 2. Vetor Tangente; Curva Regular........................................................................... 32 3. Mudança de Parâmetro; Comprimento de Arco ................................................. 36 4. Teoria Local das Curvas Planas; Fórmulas de Frenet.. ...................................... .42 5. Teorema Fundamental das Curvas Planas ......................................................... .52

Capítulo.II- CURVAS NO ESPAÇO 1. Curva Parametrizada Diferenciável .................................................................... 55 2. Vetor Tangente; Curva Regular; Mudança de Parâmetro ................................... 57 3. Teoria Local das Curvas; Fórmulas de Frenet .................................................... 61 4. Aplicações ........................................................................................................... 71 5. Representação Canônica das Curvas .................................................................. 78 6. Isometrias do IRP; Teorema Fundamental das Curvas ......................................... 81 7. Teoria do Contato .................................................~: ............................................ 97 8. Involutas e Evolutas .......................................................................................... 104

Capítulo ill TEORIA LOCAL DE SUPE~íCIES 1. Superficie Parametrizada Regular .................................................................... 109 2. Mudança de Parâmetros .................................................................................... 125 3. Plano Tangente; Vetor Normal .......................................................................... 131

X 4. Primeira Forma Quadrática .............................................................................. 138 5. Segunda Forma Quadrática; Curvatura Normal ............................................... 152 6. Curvaturas Principais; Curvatura de Gauss; Curvatura Média ......................... 160 7. Classificação dos Pontos de uma Superficíe ..................................................... 174 8. Linhas de Curvatura; Linhas Assintóticas; Geodésicas .................................... 187 9. Teorema Egregium de Gauss; Equações de Compatibilidade; Teorema Fundamental das Superficies ............................................................. 207 10. Aplicações Computacionais ............................................................................ 212

Capítulo IV MÉTODO DO TRIEDRO MÓVEL l. Formas Diferenciais em ~2 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 217 2. Triedro Móvel; Equações de Estrutura ............................................................. 233 3. Aplicações: Teorema de Bonnet; Teorema de Bãcklund .................................. 254

Referências Bibliográficas ........................................................................................ 266

Índice Alfabético Remissivo ..................................................................................... 268

Capítulo O CÁLCULO NO ESPAÇO EUCLIDIANO

No estudo de curvas e superfícies, serão utilizados os conceitos fundamentais do cálculo vetorial e do cálculo diferencial de funções de uma ou mais variáveis. Por esse 1TIOtivo, julgamos conveniente reunir neste capítulo inicial as noções necessárias, muito embora, admitindo que são do conhecimento do leitor.

1. Cálculo Vetorial no Espaço Euclidiano Denotamos por JR3 o espaço euclidiano de dimensão três, isto é, o conjunto

(x, y, z), chamados pontos de . A distância entre dois pontos Pl =(xi, y1, z1) e p2 = (x2, y2, z2) é

de termos ordenados de números reais p dada por

Dados dois pontos distintos PI e p2 de JR3 , o segmento orientado de PI a p2 é chamado vetor. O comprimento do seirnento é dito módulo do

vetor. Portanto, a cada vetor podemos associar uma direção, um sentido e o módulo. Se w é o vetor determinado pelo segmento orientado de p1 a p2, então (x2 - x1, Y2 - YI, z2 - z1) são as componentes do vetor w. Dizemos que dois vetores são iguais_ se têm o mesmo módulo, direção e sentido. Portanto, dois vetores são iguais se, e só se, têm as mesmas componentes. Vamos incluir o vetor nulo de componentes nulas, que denotamos por

O. Observamos que existe uma correspondência bijetora entre os pontos e os

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vetores de JR3 . Daqui por diante, vamos nos referir aos pontos ou vetores de JR3 indistintamente. Dados dois vetores w1 e w2 de componentes w1 = (xi, Yl, z1) e w2 (x2, Y2, z2), definimos a soma w1 + w2 como sendo o vetor de componentes w1 +w2 =(xi Yl +Y2, z1 +z2). Se  é um número real, definimos o produto  w como sendo o vetor de componentes  w = ( Âx, Ây, Âz). O conjunto de vetores de JR3 com essas operações é um espaço vetorial, isto é, são satisfeitas as oito propriedades seguintes: w1 +w2 = w2 +w1, (w1 +w2) +w3 = w1 + (w2 +w3), o+w1 =w1, w1 +(-w1)

O,

onde w1, w2, w3 são vetores, e se w1 (x1, y1, zi), -w1 indica o vetor de componentes -w1 =(-xi, -yi, -zi). Além disso, se Â.1 e Â.2 são números

Â.1 (À2 w1) = (À1 Â2) w1, (À1 + Â2) w1

Â.1 w1 + Â.2 w1,

Â1(w1 +w2) =Â.1 w1 +Â1 w2, 1 W1

O módulo de um vetor w

W}.

(x, y, z) é dado por

Um vetor w é dito unitário se lwl = 1. Os vetores wi, w2, · · ·, Wn são ditos linearmente dependentes se existem números reais Â.1, Â.2, · · ·, Íl,i nem todos nulos, tais que Â.1 w1 + Â.2 w2 + · · · + Íl,i Wn

O.

3

Os vetores w1, w2, · · ·, w11 são ditos linearmente independentes se não são linearmente dependentes, isto é, para toda combinação linear desses vetores da forma Â1 W1 +..:t2 W2 +···+Â.n Wn

tem-se Â1 = Â2 = · · · = Ân

0,

O.

1.1 Exemplos

a) Os vetores w1 (1, 2, O), w2 =(O, 1, 1) e w3 (2, 5, 1) são linearmente dependentes, pois 2w1 + w2 - w3 O. b) Todo conjunto de vetores que contém o vetor nulo é linearmente dependente. e) Os vetores e1 = (1, O, O), e1 =(O, 1, O) e e3 (O, O, 1) são linearmente independentes. d) Os vetores w1 (1, 2, O), w2 =(O, 1, 1) e w3 = (4, 5, 2) são linearmente independentes. e) Qualquer subconjunto .de vetores linearmente independentes é linearmente independente. Se wi, w2, · · ·, w11 são vetores linearmente independentes e w é um vetor que pode ser expresso como combinação linear de w1, w2, · · ·, w 11 , então decorre da definição de vetores linearmente independentes que esta combinação linear é única, isto é, se

então Â1 Âi, Â2 Â2, · ·., Ân Â,z. Os vetores e1 = (1, O, O), e1 =(O, 1, O), e3 =(O, O, 1) são linearmente independentes e, além disso, todo vetor w = (x, y, z) de IR3 pode ser expresso, de modo único, como combinação linear de ei, e1 e e3 na forma

4

Um conjunto de vetores B é dito uma base de R 3 se todo vetor de R 3 pode ser expresso como combinação linear dos vetores de B e B é um conjunto de vetores linearmente independentes. O conjunto B = {ei, e2, e3} do Exemplo 1.1 c) é denominado base canônica de Observamos que quaisquer três vetores linearmente independentes de JR 3 formam uma base de JR3 . Reciprocamente, toda base de JR3 é formada por três vetores linearmente independentes. Se { u1, u2, u3 } é uma base de JR3 , e se w azq + bu2 + cu3, então os números reais a, b, c são ditos coordenadas do vetor w na base { u 1, u2, u3}. 1.2 Exemplo. O vetor w = (6, 10, 3) tem coordenadas 6, 10, 3 na base canônica de JR3 . Se consideramos a base u1=(1,2, O), u2 (O, 1, 1), u3 (4, 5, 2), então as coordenadas de w nesta base são 2, 1, 1, pois w = 2u1 +u2 +u3.

As coordenadas de um vetor dependem da base escolhida. De modo geral, -_c:.ccc.c_-, __ cc_cccc.:c_

J>m·ém, o vetor nulo

tem coordenadas todas nulas em qualquer base. Seja { u1, u2, u3 } uma base de R 3 e

então { w1 , w2,

w1

a11 u1 +a21 u2 +a31 u3,

w2

a12

u1

+a22 u2 +a32 u3,

W3

a13

u1

+a23

w3 } ~,uma base

ui +a33 u3,

se, e só se, o determinante

Neste caso, o determinante é dito determinante de mudança de base. Dados dois vetores w1 e w2 de componentes (ou seja, coordenadas na base canônica de R 3) w1 = (x1, y1, z1) e w2 = (x2, y2, z2), o produto

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interno (ou produto escalar) de w1 e w2 é definido como sendo o número real dado por

(w1, w2)

x1 x2 + Yl Y2

z2.

Em particular, temos que (w, w) = lwl 2 para todo vetor w. É fácil verificar que o produto interno satisfaz as seguintes propriedades:

(w1, w2) = (w2, w1),

(À w1, w2)

=

(w1, À w2)

Â

(w1, w2),

(w1, w2 +w3) = (wi, w2) + (w1, w3), (w1, w1) ~O, (wi, w1) =O se, e só se, w1

O,

onde w1, w2, w3 são vetores de R 3 e  é um número real. Uma outra propriedade importante é a desigualdade de Cauchy-Schwarz: se w 1 e w2 são vetores de R 3 , e!ltão

A igualdade se verifica se, e só se, w1 e w2 são linearmente dependentes. Se w1 e w2 são vetores não-nulos, o ângulo e entre w1 e w2 é a solução da equação satisfazendo o :S e :S 1C. Dois vetores w1 e w2 são ditos ortogonais se (wi, w2) =O. Segue-se dessa definição que w1 e w2 são ortogonais se, e só se, w1 = O ou w2 = O OU O ângulo (} entre W} e W2 é JC/2. A base canônica ei = (1, O, O), e1 (O, 1, O), e3 (O, O, 1) de ~3 é formada por vetores unitários e dois a dois ortogonais. Uma base formada por vetores unitários e dois a dois ortogonais é dita uma base ortonormal (ou referencial ortonormal).

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w1

=

a11 u1 +a21 u2 +a31 u3,

w2

a12 u1 +a22 u2 +a32 u3,

W3

a13 u1 + a23 u2 + a33 u3.

Dizemos que as bases { u1, u2, u3} e {w1, w2, w3} têm a mesma orientação se o determinante de mudança de base é positivo, isto é,

Duas bases ordenadas têm orientação oposta quando o determinante de mudança de base é negativo. No caso particular de duas bases ortonormais, observamos que o determinante de mudança de base é igual a ± 1.

1.3 Exemplo. Consideremos as bases {e1, e1, e3} e {w1, w2, w3} e3} é base cané)nicª~~e w1 = 1(2, -2, 1), w2 = 1(2, 1, -2), w3 =1(1, 2, 2). Estas bases ortonormais têm a mesma orientação, já que o determinante de mudança de base é igual a 1. Dados dois vetores w1 e w2 de componentes w1 = (x1, YI, z1) e w2 =

(x2, y2, z2), o produto vetorial de w1 e w2, denotado por w1 x w2, é definido como sendo o vetor de componentes

O produto vetorial satisfaz as seguintes propriedades: a) Jw1 X w2J

= JwiJ

b) (w1 x w2, w1) c) w1 x w2

Jw2J sen8, onde 8 é O ângulo entre WI e w2;

= (w1

x w2, w2) =O;

= O se, e só se,

w1 e w2 são linearmente dependentes;

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onde w1, w2, w3 são vetores e  é um número real. De um modo geral, o produto vetorial não é associativo, isto é, w 1 x (w2 x w3) =!= (w1 x w2) x w3. Segue-se da propriedade a) que lw1 x w2I é a área do paralelogramo determinado por w1 e w2. Dados três vetores w1, w2, w3, o número real (w1, w2 x w3) é denominado produto misto de w1 , w2, w3. Se os vetores têm componentes

então XI

(w1, w2 x w3)

=

YI z1

Como consequência das propriedades do determinante, temos que

(w3, w2 x w1) = -(w2, w1 x w3) = -(w1, W3 x w2). Em particular,

Além disso, (w1, w2 x w3) =O se, e só se, w1, w2, w3 são linearmente dependentes. Se (u1, u2 x u3) é uma base ortonormal, então

8

Não é difícil verificar que duas bases ordenadas e ortonormais de IB.3

{ u 1,

u2, u3} e {w1, w2, w3} têm a mesma orientação se, e só se,

e têm orientações opostas se, e só se, (u1, u2 x u3)

= -(w1,

w2 x w3).

Dados um ponto po (xo, yo, zo) de IB.3 e um vetor não-nulo w = (a, b, e), a reta que passa pelo ponto po paralela ao vetor w é o conjunto de pontos p de IB.3 , tais que p

= Po +tw,

-=

< t < =,

isto é, o conjunto dos pontos (x, y, z) de IB.3 tais que (x, y, z) = (xo+ta, Yo+tb, zo+tc), -=

< t < =.

Dados um ponto po = (xo, Yo, zo) de IB.3 e dois vetores linearmente independentes w1 = (a1, b1, c1) e w2 = (a2, b2, c2), o plano ortogormal ao vetor w1 x w 2 que passa por po é o conjunto de pontos p de IB.3 tais que

(p- po, w1 x w2) =O. Equivalentemente, o plano gerado pelos vetores w1 e w1 é o conjunto dos pontos p

= (x, y, z)

de IB.3 , tais que p- Po

-= < u

< =,

-= < v

= uw1 +vw2,

< =, ou seja,

Se po, PI e p2 são três pontos não-colineares de IB.3 , então o plano que passa por esses pontos é o conjunto dos pontos p E IB.3 tais que (p-po, (pi - po) x (p1 -po)) =O.

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Dizemos que um subconjunto não-vazio W de IB.3 é um subespaço vetorial de IB.3 se, para cada par de vetores w1, w2 E W e À número real, os vetores w1 +w2 e À w1 pertencem a W. Pode-se verificar facilmente que todo plano de IB.3 que contém a origem é um subespaço vetorial de IB.3 . Analogamente, toda reta que passa pela origem é um subespaço vetorial de IB.3 . Uma base de um subespaço vetorial W de IB.3 é um conjunto de vetores linearmente independentes de W tal que todo vetor de W é uma combinação linear desses vetores. Se W é um plano de IB.3 passando na origem, então dois vetores linearmente independentes de W formam uma base do plano. No caso de uma reta em IB.3 , passando na origem, qualquer vetor não-nulo da reta é uma base. Concluímos esta seção observando que, com um tratamento inteiramente análogo, podemos introduzir os conceitos apresentados em IB.3 para um espaço euclidiano IB.11 de dimensão n. Entretanto, para o estudo da teoria local de curvas e superfícies, utilizaremos apenas os espaços euclidianos IB.2 e IB. 3 . 1.4 Exercícios 1. Considere os vetores u 1 = (2, 1) e u2

= (1, 3)

de IB.2 . Verifique que:

a) u 1 e u2 são vetores linearmente independentes; b) para todo vetor v =(a, b) de IB.2 , existem números reais x, y tais que v = xu1 +yu2. Obtenha x e y em termos de a e b.

2. Verifique que os vetores u1 = (1, 2, -2), (2, -2, -1) são dois a dois ortogonais.

u2

= (2,

1, 2) e u3

3. Verifique que o ângulo entre os vetores (1, 2, 1) e (2, 1, dobro do ângulo entre os vetores (1, 4, 1), (2, 5, 5).

=

1) é o

4. Obtenha um vetor não-nulo de IB.3 , ortogonal aos vetores (2, 1, -1) e

(1, -1, 2).

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5. Considere o vetor u1

(1, 2, -1 ).

a) Obtenha dois vetores não-nulos de IR.3 u2, u 3, ortogonais a u 1 e ortogonais entre si. b) Seja v um vetor ortogonal a u 1. Prove que v é uma combinação linear dos vetores u2, u3 obtidos em a). 6. Sejam w1 e w2 dois vetores de IR.3. Verifique que: a) lw1 +w21 2 b) Jw1

lwd 2 +2(w1, w2)+lw2j2;

w21 2 = lwd 2 -2 (w1, w2) + lw21 2;

c)Jw1+w2! 2

Jw1

w21 2 =4(w1,w2);

d) w1 e w2 são ortogonais se, e só se, lw1 +w2I

lw1

w2J.

7. Sejam wi, w2, w3 vetores linearmente independentes de IR.3. Prove que todo vetor de IR.3 pode ser expresso de uma única forma como combinação linear de w1, w2, w3. 8. Considere uma base ortonormal {ui, u2, u3} de IR.3 . Se w a2w2+ a3 u3 é um vetor unitário, prove que as constantes ai, são os cossenos dos ângulos ei formados por w e ui.

9. Considere o vetor v1 (1, 2) de .JR.2. Obtenha um vetor v2 de IR.2 ortogonal a v1 , de modo que a base {v1. v2} tenha a mesma orientação que a base canôt:rica.de IR.2. 10. Seja v1 = (x, y) um vetor unitário de IR.2. Prove que uma base ortonormal v1, v2 de IR.2 tem a mesma orientação que a base canônica se, e só se, v2

(-y, x).

11. Obtenha a equação do plano que passa pelo ponto (1, 2, -3) e é paralelo ao plano determinado por 3x -y + 2z

4.

11

12. Dois planos de JR.3 que se intersectam determinam dois ângulos que são os mesmos formados pelas retas normais aos planos. Obtenha esses = 1 e y +z =

ângulos para os planos determinados pelas equações

2. 13. Obtenhaaequaçãodoplanoquecontémospontos (1, 1, -1), (3, 3, 2) e (3, -1, -2). Obtenha um vetor normal ao plano. 14. Considere os vetores

w1

= (2, 3, -4)

e w2

(O, 1, 1).

a) Obtenha a equação do plano determinado por w 1 e w2, isto é, o plano que contém a origem e os pontos w1 e w2. b) Seja v = sw1 +tw2, onde s e t são escalares. Verifique que, para cada escolha de s e t, v é um ponto do plano obtido em a). c) Reciprocamente, prove que todo ponto do plano é da forma sw1 + tw2. Obtenha os escalares s ·e t para o ponto (-4, 11). 15. Determine uma equação da reta no plano JR.2 que: a) contém o ponto (1, 2) e é paralela ao vetor (3, 4); b) contém o ponto (-1, O) e é ortogonal ao vetor (2, 3); c)contémospontos (O, 2) e (1, -1). 16. Obtenha uma equação da reta em JR.3 que contém o ponto (2, 1, -3) e é ortogonal ao plano determinado pela equação 4x

3y + z

5.

17. a) Prove que, se w1 e w2 são vetores não-nulos de JR.3 e w1 x w2 =O, então w1

= Âw2

para algum núméro real  não-nulo.

b) Se w1 x w2 =/= O, prove que w1 e w2 são vetores não-nulos que não são paralelos.

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18. Verifique a identidade de Lagrange

19. Sejam w 1 e w2 dois vetores de IR3 linearmente independentes. Prove que: a) w1, w2, w1 x w2 formam uma base de IR3; b) se (w, w1) =O e (w, w2) =O, então w = Àw1 x w2 para algum número real À. 20. Considere os planos de IR3 determinados pelas equações (p- p 0 , w1 )

= O, onde w1 w = w1 x w2.

O e (p- po, w2) pendentes. Seja

=

e w2 são vetores linearmente inde-

a) Verifique que a reta determinada por p

= po + tw

está contida nos

dois planos. b) Prove que, se p é um ponto que pertence a ambos os planos, então

JL--:::Po+tow.

2. Cálculo Diferencial no Espaço Euclidiano Nesta seção, vamos rever os conceitos básicos do cálculo diferencial em espaços euclidianos e enunciar os resultados relevantes para o estudo de curvas e superfícies em IR3 • ·

Umafunção vetorial a de um subconjunto I de IR em IR3, denotada ---+ IR3 , é uma correspondência que, para cada t E I, associa a(t) E IR3 .

por

Uma função vetorial

a : I e IR ---+ IR3 pode ser representada por a(t)

= (x(t), y(t), z(t)),

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onde as funções reais de a.

X,

y, z: I-----+ lR são denominadas funções coordenadas

Daqui por diante vamos considerar as funções vetoriais definidas em um intervalo aberto I de R Se

f é uma função real e a

e f3 são funções vetoriais definidas em I,

então as funções a + f3, f a, (a, f3) , a x f3 são definidas da forma usual, isto é, para todo t E /,

(a+f3)(t) = a(t)+f3(t), (fa)(t)

f(t)a(t),

= (a(t), f3(t)), (a x f3)(t) = a(t) x f3(t). (a, /3) (t)

Dizemos que o limite de uma função vetorial a (t) é L quando t se aproxima de to, e denotamos por lim a(t) =L

t-+to

quando, dado qualquer e > O, existe 8 > O tal que, se O < Jt - to J < 8,

= (x(t), y(t), z(t)) e L = (R1, Ri, R3 ), lim x(t) = R1, lim y(t) = R2, limz(t) = R3 . t-+to t-+to t-+to

então Ja(t)-LJ O,

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não é diferenciável de classe

e=.

(Observe que existe a derivada de primeira

ordem de y(t), Vt E~). Duas curvas parametrizadas diferenciáveis podem ter o mesmo traço. Por exemplo,

a(t) f3(r)

(t, 2t), t E~' (2r+ 1, 4r+2), r E~'

têm o traço da Figura 6.

Y1J' i

! i l

/

/

V'""'

/I

X

Figura 6

2. Vetor Tangente; Curva Regular 2;1 Definição. Seja a: 1--+ ~2 uma curva parametrizada diferenciável que,

a cada t E 1, associa a(t)

= (x(t), y(t)).

O vetor

a'(t) = (x'(t), y'(t)) é chamado vetor tangente a a em t.

33

A definição de vetor tangente coincide com a noção intuitiva que temos de um vetor tangente a uma curva, isto é, um vetor cuja direção é a direção limite de cordas, determinadas por um ponto a(t) e pontos próximos a(t +h), quando h tende para zero. De fato, fixado t E/, para h =!= O tal que t + h E/,

a(t+h)- a(t) h 1

é o vetor de a(t) a a(t + h) multiplicado pelo escalar h (ver Figura 7). Observamos que

. a(t+h)-a(t) 1i m - - - - - h

h-+0

é exatamente a definição da derivada da função a em t.

"~t+h)-G!(t)

G!( t+h)

t

t+h

Figura 7

2.2 Exemplo. Seja a:~---+ ~2 a curva parametrizada diferenciável que, para cada t E ~' associa

a(t)

= (cost (2cost- l)'.

sent (2cost- l)).

O vetor tangente a a em t é igual a

a' (t) = ( sent -2 sen2t, 2 cos2t - cost).

34

Observamos que um vetor tangente a uma curva

a é definido no parâ-

metro t, e não no ponto a(t), pois, como pode ser visto no Exemplo 2.2

a ( ~)

=a(-~)

=O (ver Figura 2) e, no entanto, a' ( ~) =/= a' ( -~) . 2

Portanto, o vetor tangente ao traço da curva na origem de IR não está bem definido. Para o desenvolvimento da teoria local das curvas, é preciso que exista

a para cada valor do parâmetro t; para isso, é suficiente que o vetor tangente a a seja não-nulo para todo t. Portanto,

uma reta tangente a uma curva

restringiremos o nosso estudo apenas às curvas que satisfazem essa condição.

2.3 Definição. Uma curva parametrizada diferenciável

regular se 'Vt

E

a :I

__,. IR

2

é dita

I, a'(t) =/=O.

Dentre os Exemplos 1.2 de curvas parametrizadas diferenciáveis, apenas o exemplo d) não é uma curva regular, pois nesta curva

a' (O) =O.

2.4 Definição. Seja a: I __,. IR2 uma curva regular. A reta tangente a a em to E I é a reta que passa por a(to) na direção de a'(to), isto é, a reta dada pela função

g(r) = a(to) +ra'(to), r E IR. 2.5 Exercícios 1. Sejam a e b constantes não-nulas. Verifique que a aplicação a(t)

=

.(gc;9st, b sent), t E IR, é uma curva parametrizada diferenciável. Descreva o traço de

a.

O que representa geometricamente o parâmetro

t?

2. Obtenha uma curva regular a: JR _,. IR2 tal que a(O)

(t2, d).

= (2, O)

e a'(t)

=

35

3. Determine o ponto de interseção do eixo ox com a reta tangente à curva a(t) = (t, t 2 ) em t = 1. 4. Seja a: I __,. IR2 uma curva regular. Prove que la'(t)I é constante se, e só se, para cada t E I, o vetor a" (t) é ortogonal a a' (t). 5. Considere a aplicação

a(t) = ( sent, cost+log (tg ~)), t E (0,n). Prove que: a) a é uma curva parametrizada diferenciável; b) a'(t)-/= O para todo t-/=

n

2;

c) o comprimento do segmento da reta tangente, compreendido entre a(t) e o eixo y, é constante igual a 1. O traço desta curva é chamado tratriz. 6. Seja F: IR2 __,.IR uma aplicação diferenciável. Considere (xo, yo) E IR2 tal que F(xo, Yo) =O e F}(xo, Yo) + FJ'(xo, Yo) -/=O. Prove que o conjunto dos pontos (x, y) de IR2 próximos de (xo, yo) tal que F (x, y) = O é o traço de uma curva regular. 7. Considere um círculo de raio a rolando sobre o eixo dos x sem deslizamento. Um ponto dessa circunferência descreve uma ciclóide. Supondo que, para o tempo t =o; o ponto da circunferência coincide com a origem do sistema de coordenadas, obtenha uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é a ciclóide. Esta curva é regular? 8. Um círculo e de raio r rola externamente sobre um círculo fixo C, de raio R. Um ponto da circunferência de e descreve uma epiciclóide. Supondo que, para o tempo t =O, o ponto da circunferência e está em contato com a circunferência C, obtenha uma curva parametrizada

diferenciável cujo traço é a epiciclóide. Descreva a epiciclóide para o caso particular em que r = R. 9. Considere o conjunto C {(x, y) E JR.2 ; +y3 3axy} denominado fólio de Descartes. Obtenha uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é

e,

de tal forma que o parâmetro t seja a tangente do

ângulo compreendido entre o eixo dos x e o vetor posição (x, y). 10. Seja a(t) = (f(t), g(t)), t E R, uma curva regular e P = (xo, Yo) um ponto fixo do plano. A curva pedal de a em relação a P é descrita pelos pés das perpendiculares baixadas de P sobre as retas tangentes à curva a. Obtenha uma curva parametrizada cujo traço é a curva pedal de a em relação a P Determine a curva pedal de uma circunferência: a) em relação ao seu centro e b) em relação a um ponto P da circunferência.

3. Mudança de Parâmetro; Comprimento de Arco Já vimos na seção 1 que duas curvas planas podem ter o mesmo traço. Dada uma .curva regular a, podemos obter várias curvas regulares que têm o mesmo traço que a, da seguinte forma: 3.1 Definição. Sejam I e J intervalos abertos de curva regular e h: J

-r

a :I

-r

R 2 uma

I uma função·diferenciável (C°°), cuja derivada de

primeira ordem é nã9:-nula em todos os pontos de J e tal que h(J) = !. Então, a função composta

f3

aoh : J

-r

JR.2

é uma curva regular, que tem o mesmo traço que a, chamada reparametrização de a por h. A função h é dita mudança de parâmetro (ver Figura 8).

37

~

)

~

~

''*"(h(•l l

;/

X

Figura 8

3.2 Exemplos a) Consideremos a curva regular

a(t)

(a cost, a sent), t

E

IR,

onde a=/-= O é constante. Seja h(s) = ~' s E R. A reparametrização de a por h é a curva

[3(s)

=

aoh(s)

(a

cos~,

a

sen~). ·

b)A curva

[3(r)

(-2r+l, -4r+2), rEIR,

é uma reparametrização de

a(t) = (t, 2t), t E IR. Basta considerar a mudança de parâmetro h(r)

-2r + 1, r E IR.

Uma mudança de parâmetro h é uma função estritamente crescente ou decrescente, portanto é bijetora. Além disso, se [3 é uma reparametrização de a por h, então a é uma reparametrização de [3 por h- 1•

38

A orientação de uma curva regular plana a é o sentido de percurso do traço de a. Seja

f3

uma reparametrização de

f3

e

a

então

f3

e

a

a

por h. Se h é estritamente crescente,

têm a mesma orientação. Se h é estritamente decrescente, então

têm orientações opostas.

No Exemplo 3.2 b),

f3

e

a

têm orientações opostas (ver Figura 9).

y ~(.r)

X

Figura 9

Seja a : 1 - 7 IR 2 uma curva regular e fixemos t0 e t 1 do intervalo /. Subdividindo o intervalo [to, t1] nos pontos to= ao < a1 < · · · < a 11 t1, e ligando retilineamente os pontos a(ao), a(a1 ), · · · , a(a 11 ), obtemos uma linha poligonal cham~da_poligonal inscrita à curva entre a(to) e a(t 1). Esta poligonal tem um comprimento. Consideremos agora todas as poligonais inscritas à curva entre a(to) e a(t1 ). Como a é uma curva regular (na realidade, é suficiente que a derivada de primeira ordem da função

a

exista e seja contínua), pode-se verificar ([1], [5] e [14]) que existe o limite superior do conjunto dos comprimentos dessas linhas poligonais, e é igual a

!

a' (t) ldt, que é chamado comprimento de arco da curva a de to a t1.

ti 1

to

39

A aplicação s(t)

1t la'

(t)ldt é denominada função comprimento de

to

arco da curva a a partir de to. Esta função é diferenciável de classe

e=,

pois a é uma curva regular. 3.3 Definição. Uma curva regular a : I

--+

JR2 é dita parametrizada pelo

comprimento de arco se, para cada to, t1 E J, to da curva a de to a t1 é igual a t1

s ti,

o comprimento do arco

to. Isto é,

t1

1

la'(t)ldt

to

JR2 está parametrizada pelo comprimento de arco se, e só se, Vt E I, 1a' (t) 1 = 1. 3.4 Proposição. Uma curva regular a : I

Demonstração. Suponhamos a parametrizada pelo comprimento de arco e fixemos to E J. Consideremos a função s: I--+ :IR, que, para cada t E J,

1

a' (t) jdt. Se to S t , então, por hipótese,

1

to - t; se t S to'." então -s(t) t E J, s(t)

a' (t) 1 =

1

t

j º a' (t) ldt 1

1

associa s(t) =

t0 , e s'(t)

=

~ ["

a' (t) 1dt

1

1. Como s'(t)

to - t.

=

1

Pôrt~to, para todo

la'(t)I, concluímos que

1, Vt E J. A recíproca é imediata.

o 3.5 Exemplo. A aplicação

a (t)

(a cos ~, asen ~) , t E :IR,

onde a =J O, é uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco,

já que

la'(t)i

1, Vt E :IR.

A seguir, veremos que toda curva regular

f3,

onde

f3

a admite uma reparametrização

está parametrizada pelo comprimento de arco.

3.6 Proposição. Seja a : I---+ IR2 uma curva regular e s : I---+ s(I) e IR a função comprimento de arco de a a partir de to. Então existe a função inversa h de s, definida no intervalo aberto J = s(I), e f3 =a oh é uma reparametrização de a, onde f3 está parametrizada pelo comprimento de arco. Demonstração.

a é uma curva regular, portanto, s'(t)

= la'(t)I >O,

isto é, s é uma função estritamente crescente. Logo, existe a função inversa dh ds de s, h: J---+ J. Como Vt E I, h(s(t)) = t, temos que ds dt = 1, portanto, dh 1 1 -=-=-->0 ds s'(t) la'(t)I ·

Concluímos que f3(s) =a o h(s), s E J, é uma reparametrização de a e d a dh 1 a' (t) 1 . _ dt ds = la'(t)I = 1. Portanto, pela Propos1çao 3.4, f3 está i=-;~~---o'ai-ran'1·~:il'r1-z~-ú:-1a·····'· ·-·camprimenfo de arco. . . .

D A aplicação f3 da Proposição 3.6 é dita uma reparametrização de a pelo comprimento de arco. Observamos que essa reparametrização não é única,

pois depende da função comprimento. de arco, que, por sua vez, depende de to fixado. Usando a Proposição 3.6, vamos obter uma reparametrização pelo com-

primento de arco das· ·seguintes curvas regulares. 3.7 Exemplos a) Consideremos a(t) = (at+c, bt+d), t E IR e a2 +b 2 =/=O. Seja s(t) a função comprimento de arco de a a partir de to = O, isto é, s(t)

=

l

va 2 +b 2 dt= ../a2+b2t.

41

A função inversa de s é dada por h(s) =

s , s E IR. Portanto, v'a2+b2

f3

=

a oh, que a cada s associa

f3(s) =(a v'a2s+b2 +c, b v'a2s+b2 +d)'

é uma reparametrização de a pelo comprimento de arco. b) Consideremos a curva a(t) =(é cost, é sent), t E IR, chamada espiral logarítmica. Verificamos que 1a' (t) 1 = -J2 é e, portanto, a função comprimento de arco de a, a partir de to= O, é s(t)

= -Jjj -Vi.

A função inversa é dada por

h(s)=log(~+1). Portanto, f3(s) = ((

~ + 1) cos(log( ~+ 1)), ( ~ + 1)

sen(log(

~+ 1)))

é uma reparametrização de a pelo comprimento de arco. 3.8 Exercícios 1. Verifique que as curvas regulares a(t) = (t, é), t E IR, e (log r, r), r E (O, 00 ) , têm o mesmo traço. 2. Calcule o comprimento do arco da catenária (ver[9], pág. 39) a(t) = (t, cosht), t E IR,

entre t = a e t = b. 3. Obtenha uma reparametrização da ciclóide a(t) =(a( t - sent), a (l - cost)),

pelo comprimento de arco.

O< t < 2n,

f3 (r)

=

42

4. Teoria Local das Curvas Planas; Fórmulas de Frenet Na seção anterior, vimos que toda curva regular do plano pode ser reparametrizada pelo comprimento de arco. Consideremos uma curva regular

a(s)

= (x(s), y(s)), s E I,

parametrizada pelo comprimento de arco s. Para cada s E I, a'(s) é um vetor unitário, que denotamos por t(s), isto é,

t(s)

=

(x'(s), y'(s)).

Seja n(s) um vetor unitário ortogonal a t(s), tal que a base ortogonal de ffi. 2 formada por t(s) e n(s) tem a mesma orientação que a base canônica e1

= (1, O),

e2

=(O, 1) de ffi. 2 (ver Figura 10), isto é, n(s) = (-y'(s), x'(s)).

,_,=----------- __O _____C()]ljunto

de vetores t(s) e n(s) é dito referencial de Frenet da curva

a em s.

Figura 10

A reta normal a a em so é a reta que passa por a(so) na direção de

n(so).

43

Observamos que t(s) e n(s) são funções de I em JR.2 , diferenciáveis de classe e=, e, para cada s E I, os vetores de ffi. 2 , t'(s) e n'(s) podem ser escritos como combinação linear de t(s) e n(s). Como t(s) é unitário, temos que t' (s) é ortogonal a t(s) (ver 2.5 Exercício 4) e, portanto, t'(s) é proporcional a n(s). Este fator de proporcionalidade, denotado por k(s), é chamado curvatura de a em s, isto é,

t'(s) = k(s)n(s). Considerando a curva a(s)

=

(x(s), y(s)), s

E

I, segue-se da definição

que

k(s) = (t'(s), n(s)) = (a"(s), n(s)). Portanto,

k(s) = -x"(s)y'(s) +y"(s)x'(s). Analogamente, como n(s) é unitário, temos que n'(s) é ortogonal a n(s) e, portanto, n'(s) é proporcional a. t(s). Como

(n'(s), t(s)) = -x'(s)y"(s) +x"(s)y'(s), concluímos que

n'(s) = -k(s)t(s). Resumindo, se a : I--+ JR.2 é uma curva regular, parametrizada pelo comprimento de arco s, então o referencial de Frenet t(s), n(s) satisfaz as equações t' (s)

k( s) n (s),

n' (s)

-k(s )t(s),

que são as fórmulas de Frenet de uma curva plana. A função jk(s) 1 = 1a" (s) 1 indica a velocidade com que as retas tangentes mudam de direção. De fato, fixemos s 0 E I e consideremos os vetores tangentes a' (s 0 ) e a' (so + h), onde so + h E I. Seja



(h) o ângulo formado

44 por a'(so) e a'(so+h), istoé, Os O, a(a) a(b) = (0,0), o eixo x na direção de a'(a) e o laço da curva de a(a) a a(b) contido no semiplano y;:.::: O. Obtenha uma contradição calculando J:yk' ds. b) Considere a curva f3(s) = a(s) + n(s)/k(s) e k' >O (ver Exercício 9). · Verifique que 'r/s > so, l/3(s) /3(so)I < fs~

l/3'(s)ids = l/k(so) 1/k(s) e l/3(s) que a(s) não admite auto-interseção.)

/3(so)I < 1/k(so). Conclua

51

7. Determinar as curvas que têm a seguinte propriedade: o segmento das retas normais compreendido entre a curva e o eixo do x tem comprimento constante. 8. Verifique que a curvatura da tratriz (2.5 Exercício 5) é proporcional ao comprimento da reta normal compreendida entre o ponto da curva e o eixo dos y. 9. Seja a(s) uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco

s. A evoluía de a é a curva definida por /3(s) = a(s) + k~s) n(s), onde n(s) é o vetor normal e k(s) é a curvatura de a. Prove que:

f3 é uma curva diferenciável se k(s) i= OVs. b)Suponhaque k(s)#O, Vs, então f3 éregularse k'(s)#O, Vs.

a)

c) Nas condições do item b), o vetor tangente à evoluta em s é paralelo ao vetor normal a

a

em s.

1O. Seja a(s) uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco

s e tal que k( s) > O, Vs. Verifique que o comprimento do arco da evoluta de a entre so e s1 é igual à diferença entre os raios de curvatura em

so e

s1.

11. Obtenha a evoluta da elipse. 12. Sejam a(t) e f3(t) curvas regulares do plano tal que, para todo t, a reta determinada por a (t) e

/3 (t)

é ortogonal a a e f3 em t. Verifique

que o segmento de reta de a(t) a /3(t) tem comprimento constante. 13. Verifique que a reta normal a

a

em s é ortogonal à curva determi-

nada pelos centros de curvatura nos pontos em que a curvatura de a é máxima e mínima. 14. Uma curva plana a(B),

é o centro de curvatura de

e E 1, a

tem a seguinte propriedade: Se c(B)

em e' Q( e) é a projeção de

a (e)

sobre

r 52

o eixo Ox e T (e) é o ponto de interseção da reta tangente a a em e com este eixo, então a área do triângulo cQT é constante. Obtenha a curva a (e) onde o parâmetro e é o ângulo que a reta tangente forma com o eixo Ox.

5. Teorema Fundamental das Curvas Planas O teorema a seguir mostra que a curvatura determina uma curva plana a menos de sua posição no plano. Mais precisamente: 5.1 Teorema fundamental das curvas planas

e

IR, existe uma curva regular a (s), parametrizada pelo comprimento de arco s, cuja curvatura é a) Dada uma função diferenciável k(s), s E I

k(s). b) A curva a (s) acima é única quando fixamos a (so)

= Po

e a' (so)

=

2

vo, onde v0 é um vetor unitário de JR . - --c)Se-aiias-curvas a(s) e f3(s) têm a mesma curvatura, então diferem por sua posição no plano, isto é, existe uma rotação L e uma translação T em JR2 tal que a(s)

= (LoT)(f3(s)).

Demonstração. a) Consideremos e(s)

=

1s

k(s)ds, onde so E I é fixo.

so

Fixemos um ponto po = (xo, Yo) de IR2 e À E R Definimos uma curva a(s) = (x(s),y(s)) por

xo+ls

x(s)

cos(e(s)+À)ds,

so

y(s)

=

Yo +

1s

sen( e(s) +À )ds.

so

Vamos verificar que a curva a assim definida está parametrizada pelo com-

53

primento de arcos e sua curvatura é k(s). Como o referencial de Frenet é

= ( cos(e(s)+À),

t(s)

a'(s)

n(s)

( - sen(e(s)+À), cos(e(s)+À) ),

sen(e(s)+À) ),

temos que 1 a' (s) 1 = 1 e a curvatura de a é dada por

(t'(s), n(s)) = e'(s) =k(s). b) Seja a(s) = (x(s), y(s)) uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco s, cuja curvatura é k(s). Segue das equações de Frenet que

// y ") = k( -y,I (X,

X ') ,

isto é, x(s) e y(s) satisfazem as equações

x''

-ky''

y"

-kx'.

Portanto, segue do teorema de unicidade de solução do sistema de equações diferenciais que, fixados a(so) [13], [9]). e) Sejam a e

f3

= po

e a' (so)

= vo,

a curva a é única. (Ver

duas curvas que têm a mesma curvatura. Fixado so,

existe uma rotação L e uma translação T de JR2 tal que a curva ã =Lo To f3

= a(so) e a =Lo To f3.

satisfaz ã(so) Portanto,

ã'(so)

= a'(so).

Segue-se do item b) que ã =a.

D 5.2 Exercícios 1. Caracterize todas as curvas regulares planas que têm curvatura constante. 2. Prove que toda curva regular plana cuja curvatura é da forma

k(s)

1

= --b, as+

a "=I O,

54

é uma espiral logarítmica. .

3. Detennme as curvas planas de curvatura k(s)

1

= --h-. cos s

4. Determine as curvas regulares do plano cujas retas tangentes se interceptam em um ponto fixo. 5. Determine as curvas regulares do plano cujas retas normais se interceptam em um ponto fixo.

Capítulo II CURVAS NO ESPAÇO

Neste capítulo será desenvolvida a teoria local de curvas no espaço euclidiano Jlt3 . Como veremos a seguir, muitos conceitos básicos para curvas no espaço são introduzidos de modo análogo ao de curvas planas.

1. Curva Parametrizada Diferenciável 1.1 Definição. Uma curva parametrizada diferenciável de Jlt3 é uma aplica-

ção diferenciável a, de classe C'°, de um intervalo aberto I variável t E I é o parâmetro da curva, e o subconjunto de pontos a(t), t E J, é o traço da curva.

em Jlt3 . A formado pelos

e Jit

Observamos que uma curva parametrizada diferenciável de Jlt3 é uma aplicação a(t) = (x(t), y(t), z(t)), t E/, onde x(t), y(t) e z(t) são funções diferenciáveis de classe C'°. 1.2 Exemplos a) A aplicação

a(t)

=

(xo+at, Yo+bt, zo+ct), t E Jlt,

onde a 2 + b2 + c2 -=J O é uma curva parametrizada diferenciável, cujo traço é uma linha reta passando pelo ponto (xo, yo, zo) e paralela ao vetor de coordenadas (a, b, e). b) A curva parametrizada diferenciável

a(t) =(a cos t, a sen t, bt)

56 t E

JR, a> O, b ::j: O é a hélice circulm: O traço desta curva está contido no

cilindro x2 + y2 a2. Se a(t1) e a(t2) são dois pontos que têm as duas primeiras coordenadas respectivamente iguais, então as terceiras coordenadas diferem por um múltiplo de 2nb (ver Figura 14).

y

K

Figura 14

e) A aplicação

(et cost, d sent, d), t E JR,

a(t)

é uma curva parametrizada diferenciável, que tem o traço da Figura 15.

Z/,\

:

1

y

K

Figura 15

57

1.3 Definição. Uma curva parametrizada diferenciável a : I plana se existe um plano de JR3 que contém a(I).

---+

é dita

O Exemplo 1.2 a) é uma curva plana.

2. Vetor Tangente; Curva Regular; Mudança de Parâmetro As noções de vetor tangente, curva regular e mudança de parâmetro para curvas no espaço são motivadas pelas mesmas considerações já vistas para curvas planas, portanto, serão introduzidas sem muitos comentários. uma curva parametrizada difeSeja a(t) = (x(t), y(t), z(t)), t E I e renciável. O vetor tangente a a em t E I é o vetor a' (t) = (x' (t), y' (t), z' (t) ). A curva a é regular se 'í/t E/, a'(t) =f- O. A reta tangente à curva regular a em to E I é a reta que passa por, a(to) na direção de a' (to), isto é, a reta dadapelafunção g(r) a(to)+ra'(to), rER Sejam I e J intervalos abertos de IR, a : I ---+ JR 3 uma curva regular e h : J---+ I uma função diferenciável e=, cuja derivada de primeira ordem é não-nula em todos os pontos de J e tal que h(J) = J. Então, a função composta

f3 =

a oh :J

---+

:IR3

é uma curva regular, que tem o mesmo traço que a, chamada reparametrização de a por h. A função h é a mudança de parâmetro. Observamos que, se f3 é uma reparametrização de a por h, então a é uma reparametrização de f3 por h- 1 •. A orientação de uma curva regular a é o sentido de percurso do traço de a. Uma reparametrização f3 de a tem orientação igual (resp. oposta) à de a se a mudança de parâmetro é estritamente crescente (resp. decrescente).

58 2.1 Exemplo. A curva

a(s)

.ri' .ri' .ri) ,

= ( cos

sen

s E IIR,

é reparametrização da hélice circular

f3(t)

= (cost,

pela mudança de parâmetro h(s)

.ri'

=

sent, t),

s E IIR.

Seja a(t), t E 1, uma curva regular de 1!R3 . O comprimento do arco da curva a de to a t1 é dado por t1

1

la'(t)ldt

to

e a função comprimento de arco da curva a a partir de to é

s(t)

=

t1

1

la'(t)ldt.

to

Uma curva regular a : 1 __, 1!R3 é dita parametrizada pelo comprimento de arco se para cada to, t1 E 1, to ::; t1, t1

1

la'(t)jdt

= t1

to.

to

2.2 Proposição~.· Uma curva regu.lar a : 1 __, 1!R3 está parametrizada pelo

comprimento de a;co se, e só se, Vt E/, ja'(t)I

= 1.

Como ocorre com as curvas planas, toda curva regular no espaço admite uma reparametrização pelo parâmetro comprimento de arco. 2.3 Proposição. Sejam a: 1__,1!R3 uma curva regu.lar e s: 1 __, s(I) e 1IR

a função comprimento de arco de a a partir de to. Então, existe a função

59

inversa h de s, definida no intervalo aberto J = s(I), e f3 =a oh é uma reparametrização de a, onde /3 está parametrizada pelo comprimento de arco. A aplicação

f3

desta proposição é denominada uma reparametrização de

a pelo comprimento de arco. As demonstrações dessas duas proposições são idênticas às correspondentes do Capítulo I. 2.4 Exercícios 1. Verifique que as aplicações

= (t, a(t) = (t,

a) a(t)

t 2 , t 3 ), t E IR,

b)

t 2 +2, t 3 +t), t E IR,

são curvas regulares. 2. Verifique que a aplicação

(t, O, e-fz-) a(t) = { O (t,e-fz-,o)

se t

O,

é uma curva regular. 3. Prove que a aplicação a(t)

= (1 +cost,

sent, 2sen~), t E IR, é uma

= ; x2 +

curva regular cujo traço está contido na .,interseção do cilindro C

{(x, y, z) E IR y2+z2 =4}.

3

;

(x- l)

2

+y2 = 1}

e da esfera S= {(x, y, z) E IR

3

4. Obtenha uma curva regular em IR3 cujo traço coincide com a· interseção do cilindro C = {(x, y, z) E IR3 ;

x2 +y2 = 1}

5. Obtenha a curva regular tal que a(O)

= (2,

e o plano x+2y+z = 1.

3, 1) e a' (t)

= (t 2 , t, d).

60

6. Dê a equação da reta tangente à curva a(t) = (2t 2 +1, t-1, 3t 3 ) em to E JR, onde a(to) é o ponto de interseção do traço da curva com o plano xz. 7. Seja a : I -----+ lR3 uma curva regular. Prove que 1a' (t) 1 é constante se, e só se, 'í/t E/, a"(t) é ortogonal a a'(t). 8. a)Verifiquequeacurva a:(0,=)----+JR3 dadapor a(t)=(t, é uma curva plana.

-;-t,

1

1 -/)

b) Verifique que toda curva regular de JR 3 , cujas funções coordenadas são polinômios de grau menor ou igual a dois, é uma curva plana. 9. Se a : I-----+ JR3 uma curva regular, prove que Vto E/, existe um intervalo abert~ue contém to, no qual a é injetora. 10. Seja a : I-----+ JR3 uma curva regular. Prove que 'ílto E/, existe um intervalo aberto J que contém to e existem funções diferenciáveis F, G tal que o traço de a restrito a J está contido no conjunto "=~-----~------ -{(x, y, z) E JR3 ;F(x, y, z) = G(x, y, z) =O}. 11. Verifique que a curva

a(s) = onde u(s)

(~u(s),

= s+ v's2 +1,

1 u 2 (s),

~ log(u(s))),

está parametrizada pelo comprimento de arco.

12. Considere a curva regular a(t) = (2t, t 2 , logt), t E (O, =). Obtenha a função comprilnento de arco a partir de t = 1. Verifique que os pontos (2, 1, O) e (4, 4, log2) pertencem ao traço de a e calcule o comprimento de arco de a entre esses pontos. 13. Obtenha uma reparametrização pelo comprimento de arco das curvas

= (r! cost, r! sent, r!), t E JR; a(t) = (2 cosh2t, 2senh 2t,4t), t E JR.

a) a(t) b)

61

14. Seja a(t) uma curva regular. Prove que, se f3(s) e y(s) são duas reparametrizações de a por comprimento de arco, então s = ± s+a, onde a é uma constante.

3. Teoria Local das Curvas; Fórmulas de Frenet No capítulo anterior, vimos que a teoria local das curvas planas está contida essencialmente nas fórmulas de Frenet, que são obtidas considerando um diedro ortonormal associado naturalmente a uma curva plana. A seguir, vamos desenvolver um estudo análogo, considerando um triedro ortonormal associado a uma curva regular de ~3 . Seja a: I-----+ ~3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco. A velocidade com que as retas tangentes mudam de direção é denominada curvatura de a, isto é, 3.1 Definição. Se a : I -----+ ~3 - é uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco, então a curvatura de a em s E I é o número real

k(s) =la" (s)j. 3.2 Exemplos a) Consideremos a curva parametrizada pelo comprimento de arco

a(s)=(acos;,a sen;,o), sE~, cujo traço é uma circunferência contida no plano x o y, de raio a> O. A curvatura de a é k(s) b) A curva regular

a(s)=

(

= ~' a

Vs E R

(1 +s)z3 (1-s)z3 s ) , , v'2 3 3

, sE(-1,1),

62 está parametrizada pelo comprimento de arco e 1

k(s)

= J8(1-s2).

A proposição seguinte caracteriza as retas como sendo as curvas de curvatura identicamente nula. 3.3 Proposição. Seja a : 1 ---+ JR3 uma curva regular parametrizada

pelo comprimento de arco. Então, a(I) é um segmento de reta se, e só se, k(s) =0, Vs E/. Demonstração. Se a(I) é um segmento de reta, então a(s) = p + vs, onde p E JR3 e v é um vetor unitário de JR3 . Portanto, \;/ s E J, a' (s) = v e

a"(s) =O, donde k(s) = ja"(s)l =O. Reciprocamente, se 1a" (s) 1 = O, Vs E 1, então a" (s) = O. Integrando , = 1. Integrando novamente, obtemos a(s) = p+vs, cujo traço é um segmento de reta. D Se a : I---+ JR3 é uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco, então ja'(s)j

=

1 implica que a"(s) é ortogonal a a'(s). Portanto,

\;/ s E 1 onde k(s) =/=- O, isto é, na direção de a" (s).

a" (s)

=/=-

O, podemos definir um vetor unitário

3.4 Definição. Seja a : I---+ JR3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco tal que k(s) > O. O vetor

n(s)

=

a" (s) k(s)

é denominado vetor normal a a em s. A reta normal a a em so E 1 é a reta que passa por a (so) na direção do vetor normal n (s 0 ).

63

Denotando por t(s) o vetor unitário a'(s), temos que t(s) e n(s) são vetores ortonormais e

= k(s)n(s).

t' (s)

A seguir, definimos um terceiro vetor que, junto com t e n, forma uma base ortonormal de JR3 . 3.5 Definição. Seja a : 1 ---+ JR3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco tal que k(s) >O. O vetor binormal a a em s é b(s)

= t(s)

x n(s).

O referencial ortonormal t(s), n(s), b(s) é o triedro de Frenet da curva a

em s. Cada par de vetores do triedro _d.e Frenet determina um plano. O plano de JR que contém a(s) e é normal ao vetor t(s) é o plano normal à curva a em s. O plano que contém a(s) e é normal a b(s) é denominado plano osculador, e o plano que contém a(s) e é normal a n(s) é.o plano retificante da curva a em s (ver Figura 16). 3

b(.s)

1' 1

pl.ano no:rma.l ! l i F - - - - - 7 n( .s)

pl.ano i:etificante

1 ~(.s)

I

1 1 iç,.

t:(.s)

\

pl.azío o.s cul.adoi:

\

1 1

Figura 16

64

Observamos que b'(s) é paralelo a n(s). De fato, derivando b(s) t(s) x n(s), obtemos

b'(s)

t'(s)xn(s)+t(s)xn'(s) t(s) x n'(s).

Portanto, b'(s) é ortogonal a t(s). Como jb(s)j 1, temos que b'(s) é ortogonal a b(s). Donde concluímos que b'(s) é paralelo a n(s), isto é, b' (s) é igual ao produto de n (s) por um número real. 3.6 Definição. O número real i-(s) definido por b'(s) nominado torção da curva em s.

i-(s)n(s) é de-

Exi~m11lo. Vamos obter o triedro de Frenet, a curvatura e torção da hélice circular parametrizada pelo comprimento de arco

a(s)

onde a > Oé uma cqnstante.

t(s) =--;:::;;;;::===;;:.(-a sen--;=;=s=;:, a cos--;:::;;::s=::::, a11 (s)

_-_a_ ( cos --;:=;=s=::;;:, :st::u --;=;=s===;:,

k(s) = ja11(s)j =

2 a b2.

a+

O) ,

b),

Portanto,

a"(s) n(s) = k(s) b(s)

(

s - cos -;:::::;===:;:,

= t(s) x n(s)

b1 (s)

Observamos que, se a(s) é uma curva regular de R 3 , então k(s) 2::: O (em contraste com a definição do capítulo anterior de curvatura de uma curva plana), enquanto a torção pode ser negativa ou positiva. O módulo da torção mede a velocidade com que o plano osculador varia. De fato, fixado so E I, consideremos os vetores binormais b(so) e b(so + h), onde so + h E 1. Seja O, Vs E/, então o triedro de Frenet definido por

n(s)

a"(s) la"(s)I' b(s)

t(s) x n(s) satisfaz as equações

t' (s)

k(s)n(s),

n'(s)

-k(s)t(s)-1:(s)b(s),

b'(s)

,;(s)n(s),

que são denominadas fórmulas de Frenet. Na próxima seção e nos exercícios seguintes, veremos algumas das aplicações das fórmulas de Frenet. O triedro de Frenet, a curvatura e a torção foram definidos para uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco. A proposição seguinte permite obter a curvatura e a torção de uma curva regular com qualquer parâmetro, sem precisar reparametrizá-la pelo comprimento de arco.

67 3.8 Proposição. Seja a : I --+ JR.3 uma curva regular de parâmetro t e

f3 : J--+ JR.3 uma reparametrização de a pelo comprimento de arco, isto é, f3(s(t)) = a(t), Vt E/. Sejam k(s) >O e i-(s) a curvatura e a torção de /3 em s E J, então ja'(t) x a"(t)I la'(t)l3 (a'(t) x a"'(t), a"(t)) la'(t) x a"(t)1 2

k(s(t)) i-(s(t))

Demonstração. Derivando em relação a t a expressão f3(s(t)) = a(t), obtemos

d/3 ds ds dt =

ª

'( ) t'

(1)

2 2 2 d f3 (ds) d/3 d s _ "( ) ds2 dt + ds - a t ·

(2)

~;=la' (t)I,

(3)

(a"(t), a'(t)) =----la'(t)I

(4)

Como

temos que d 2s

Segue de (1) e (2) que 3

2

a' (t) x a" (t) = ( -ds) -d/3 x -d f32 . dt ds ds Portanto,

I

la'(t) x a"(t)J = ldsl3 ld2/32 dt ds '

68

f3 está parametrizada pelo comprimento de arco ,e ortogona1 a d2 ' () dsf3 . Conclunnos, usando 3 , que

onde usamos o fato de que d f3

e, portanto, ds

2

k(s(t))

= 1~~1

la'(t) x a"(t)I

la'(t)l 3

Para obter a expressão da torção, vamos utilizar os vetores normal e binormal de f3, que são dados por

n(s(t)) b(s(t)) Substituindo (3) e (4) em (1) e (2) e usando a expressão de k(s(t)), obtemos

n(s(t))

=

a"(t)la'(t)1 2 a'(t) (a"(t), a'(t)) la'(t)lla'(t) x a"(t)I a'(t) x a"(t) la'(t) x a"(t)I.

Derivando a última igualdade em relação a t, temos

db ds(s(t))

a' x a"' la'lla' x a"I

Como

i-(s(t)) = (

(a' x a"', a' x a") a' x a" la'lla' x a"l 3

~~ (s(t)), n(s(t))),

concluímos que

i-(s(t)) =

(a'(t) x a"'(t), a"(t)) la'(t) x a"(t)j2

As expressões k(s(t)) e i-(s(t)) obtidas na proposição acima são, respectivamente, a curvatura e a torção de a em t. D

69 3.9 Exercícios 1. Considere as seguintes curvas regulares:

a) a(t)

(4 cost, 5-5 sent, -3 cost), t

JR,

b) {3(t) = (1-cos t, sent, t), t E R, c) y(t) =(é~ e-t,

Vi t), t E R.

Reparametrize essas curvas por comprimento de arco, obtenha o triedro de Frenet, a curvatura e a torção de cada curva. 2. Calcule a curvatura e a torção das seguintes curvas:

a) a(t) = (t, t 2 , t 3 ), b) f3 (t) c) y( t)

= (cost,

sent, é),

(t, cosh t, senh t) .

3. Obtenha uma curva parametrizada cujo traço é a interseção do plano xoy com o plano normal à curva a(t) (cost, sent, t) em t = l 4. Seja a: I-+ R 3 uma curva regular, parametrizada pelo comprimento de arco, tal que k(s) > O,\:/ s E!. Obtenha a"' (s) como combinação linear do triedro de Frenet de a em s. 5. Seja a: I-+ R 3 tima curva regular. Prove que: a) Se todas as retas tangentes a a têm um ponto em comum, então o traço de a é um segmento de reta. b) Se para cada t E 1 os vetores a 11 (t) e a'(t) são colineares, então a(!) é um segmento de reta. 6. Seja a(t) uma curva regular onde t é um parâmetro qualquer. a) Verifique que

a 11 (t) é paralelo ao plano osculador de a em t.

70

b) Prove que o plano osculador de a em to é dado pelos pontos P de IR3 tal que (P- a(to), a'(to) x a"(to)) =O. c) Obtenha o plano osculador da curva a em t

=

1, onde

7. Verifique que os planos normais da curva

a(t) =(a sen 2 t, a sent cost, a cost), t E IR, passam pela origem. 8. Determine O se, e só se, a torção

73

't'

O e a curvatura k

=a1

Demonstração. Podemos considerar a(s) parametrizada pelo comprimento de arco. Suponhamos que a(I) está contido em uma circunferência a(s) - cl 2 a 2 e, pela proposição anterior, de centro e e raio a. Então, 1 para todo s E J, 't'(s) O e

(a(s)

e, b) =O,

onde b(s)

b é constante. Portanto, a(s)-c é ortogonal a b. Derivando duas vezes a expressão 1a (s) c! 2 = a2 , obtemos (a'(s), a(s)-c) =O e

(a"(s), a(s)-c) =

1.

Como a(s)-c é ortogonal aos vetores t(s) e b, temos que a(s)

e é

paralelo a n(s). Portanto, segue-se da última relação que

la"(s)lla(s)

cl

1,

logo 1 a Para provar a recíproca, consideremos a aplicação. diferenciável

k(s)

la"(s)I

= -.

f :I

~

3

JR definida por

f(s)

a(s) +an(s).

Vamos provar que f(s) é constante. Usando. as fórmulas de Frenet, temos que

f(s)

t(s)+an'(s) t(s) +a(-k(s)t(s)- 't'(s)b(s)).

74 Como -r(s) =O e k(s) =

~' a

concluímos que f'(s) =O. Portanto, f(s)

é constante, isto é, a(s) +an(s)

=c

= c. Logo,

la(s)-cl =a, ou seja, o traço de a está contido em uma circunferência de centro c e raio

a. D

A hélice circular a(t) =(a cost, a sent, bt), t E IR, a> O, tem a propriedade de que o vetor tangente forma um ângulo constante com o eixo Oz. Este é um caso particular de uma classe de curvas que têm essa propriedade. 4.4 Definição. Uma curva regular a : I ---+ IR3 é uma hélice se existe um vetor unitário v que forma um ângulo constante com a'(t), Vt E I, isto é, (a'(t), v) é constante.

1a'(t)1 a(t) =(e' cost, e' sent, e'), t E IR, é unia hélice (ver Figura 15),pois a'(t) formaumânguloconstantecomovetor (O, O, 1).

A seguir daremos uma caracterização das hélices. 4.6 Proposição. Seja a : I---+ IR3 uma curva regular de curvatura e torção ·.

k

não-nulas. Então, a é uma hélice se, e só se, - é constante. 't"

Demonstração. Podemos supor a parametrizada pelo comprimento de arco. Se a é uma hélice, então existe um vetor unitário v tal que (a' (s), v) ê constante .. Portanto, (a"(s), v) O, isto é, k(s) (n(s), v) =O. Como k(s) #O, segue-se que v pertence ao plano determinado por t(s) e b(s), para cada s E I. Então, seja v = cos B(s) t(s) + sen B(s) b(s).

75

Derivando e usando as fórmulas de Frenet, obtemos

o = -

sen e(s) e'(s) t(s)

+

+ (k(s) cos e(s) + -r(s) + cos e(s) e'(s) b(s).

sen e(s)) n(s)

+

Portanto, Vs E I,

= o, cos e(s) e'(s) = o, sen e(s) e' (s)

k(s) cos e(s) + -r(s) sen e(s)

= o.

As duas primeiras equações determinam B'(s) =O, Vs E I. Portanto, B(s) é constante. Além disso, a constante cos e é não-nula, pois, caso contrário, teríamos -r(s) =O, o que contradiz a hipótese. Segue da terceira igualdade k, R. k, :fix que - e constante. ec1procamente, se - e constante, emos e tal que 't"

tg

e=

't"

k 't"

.

Então, V= COS

8 t(s) + sen 8 b(s)

é um vetor unitário constante e V s E I, (t(s), v) =cose é constante. Portanto, a é uma hélice. D Outras aplicações das fórmulas de Frenet serão apresentadas nos exercíc10s. 4. 7 Exercícios

1. Considere uma curva regular a : I ---+ ffi.3 , parametrizada pelo comprimento de arco, tal que k(s) > O, Vs E I. Prove que: a) Se todos os planos osculadores dé

a têm um ponto em comum, então

a é uma curva plana. b) Se todos os planos osculadores são paralelos, então a curva é plana.

76

2. Seja a uma curva regular, parametrizada por comprimento de arco e k(s) >O. A reta normal a a em s é uma reta que passa por a(s) na direção de n (s). Prove que, se todas as retas normais têm um ponto em comum, então o traço de a está contido em uma circunferência. 3. Considere uma curva a(t) =(a cost, a sent, f(t)).

Determine

f (t) para que

a) os vetores normais de a sejam ortogonais ao eixo Oz; b) a seja uma curva plana. 4. Seja a: I ~ IJR3 uma curva regular, parametrizada pelo comprimento de arco, tal que k(s) >O e -r(s) =/=O Vs E I. a) Se a(J) está contida em uma esfera S, centrada em e em raio r, IP- cl =r},· então-

F#=~-------isto-é,S-={p E IJR3;

1 k!(s) e= - k(s) n(s) - k2(s)-r(s) b(s)

a(s) e, portanto,

1

2

··(

r = - k2 (s) + .

.·

1

b) Reciprocamente, se k2 (s)

+

(

k!(s) ) k2(s)-r(s)

k!(s) ) k2(s)-r(s).

2

2

é constante igual a

r2 e

k!(s)=/= O, então a(J) está contido em uma esfera de raio r. 5. Verifique que a curva regular a(t) =(a sen 2t, a sent cost,a cost), t E IIR, tem o traço contido em uma esfera. Além disso, todos os planos normais de a passam pela origem.

77

6. Seja

a :I

~ IJR3 uma curva regular cujo traço está contido em uma es-

fera de raio a> O. Prove que a curvatura k de 1? k ?:_ -1 • Quando e' que k

=-a

a

a, satisfaz a propriedade

7. Verifique que as curvas

a) a(t)

= (i,

e-~,

Vi t), t E IIR,

b) f3 (t)

= (t + -/3

sen t, 2 cos t,

vf3 t -

sen t), t E IIR, são hélices.

8. Prove que a curva

a(t)

=

(at, bt 2 , ct 3 ), t E IIR,

é uma hélice se, e só se, 3ac = ±2b2 . 9. Verifique que o vetor binormal de uma hélice circular forma um ângulo constante com o eixo do cilindro sobre o qual está a hélice. 10. Seja a: I-+ IJR3 uma hélice circular, parametrizada pelo comprimento de arco. Considere A

e I,

tal que todos os planos osculadores de

a

em s E A têm um ponto em comum exterior à hélice. Prove que a(A) está contido em um plano. 11. Prove que a é uma hélice se, e só se, existe um vetor unitário u de

IJR3 que forma um ângulo constante com os vetores binormais de

a.

12. Seja a : I-+ IJR3 uma hélice, eu o vetor unitário fixo que forma um ângulo constante

e

com a'(t). Seja s(t) a função comprimento

de arco de a a partir de t =O. Considere a curva f3(t) = a(t) -

s(t) cos

eu

e prove que:

a) f3 (I) está contida no plano que passa por a(O) e é ortogonal a u; b) a curvatura de f3 é igual a k/ sen 2 e, onde k é a curvatura de a.

78

13. Seja a : I---+ JR3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco. Prove que a é uma hélice se, e só se, Vs E !, as retas que passam por a(s), na direção de n(s), são paralelas a um plano fixo. 14. Prove que a indicatriz esférica tangente ou binormal (ver Exercícios 12 e 13 da seção anterior) de uma curva a é uma circunferência se, e só se, a é uma hélice.

5. Representação Canônica das Curvas Consideremos uma curva regular a(s) = (x(s), y(s), z(s)), s E!, parametrizada pelo comprimento de arco e de curvatura k(s) =/=-O, Vs E!. Para investigar o comportamento da curva em uma vizinhança de um de seus pontos, vamos expandir a função vetorial a (s) pela fórmula de Taylor. Sem perda de generalidade, vamos fixar s = O e vamos considerar o sistema de coordenadas de JR3 tal que a(O) =(O, O, O), t(O) = (1, O, O), n(O) =(O, 1, O), b(O) = (O, O, 1). Então,

--

. -s2 ... ·- s3 a(s) = a(O) +a' (O)s +a" (O) + a (O) ! + R, 21 3 111

onde R contém potências de s de ordem maior ou igual a quatro. Usando as fórmulas de Frenet, temos

a' (O) = a" (O)

t (O),

= k(O)n(O),

111

a (O)/ = k(O)n' (O)+ k' (O)n(O) = -k2(0)t(O) + k' (O)n(O) -k(O)-r(O)b(O). Portanto,

a(s) ~

(s- k'~O) s }(o) 3

+ e~) s2 +/(~O)

s n(O)3)

k(O)-r(O) s 3 b(O) +R. 6

79

Devido à escolha desse sistema de coordenadas, temos que

x(s)

y(s) z(s)

!c2(0)

s - - - s 3 +R1 6 ' k(O) 2 /((O) 3 - - s +--s +R2 2 6 '

k(O)-r(O) 6

(5)

s 3 +R3,

onde R = (R1, R1, R3)· As expressões (5) fornecem o que é chamado de representação canônica da curva a em uma vizinhança de s = O. Desta representação de a podemos tirar as seguintes conclusões: 5.1 Proposição. Seja a(s) uma curva regular IR3 de curvatura não-nula

Vs E !. Fixado so

E

!, as seguintes propriedades se verificam:

a) Para todo s szificientemente próximo de so, a(s) pertence ao semi-espaço determinado pelo plano retificante, que contém n(so). b) Se a torção -r(so) < O, então para todo s szificientemente próximo de so, a(s) pertence ao semi-espaço determinado pelo plano osculador, que contém -b(so) (resp. b(so)) ses< so (resp. s > so), (ver Figura 18). c) Se -r(so) >O, então, para todos szificientementepróximode so, a(s) pertence ao semi-espaço determinado pelo plano osculad01; q_ue contém b(s) (resp. -b(so)) se s < so (resp._ s > so). Demonstração. Sem perda de generalidade, podemos supor que s 0

=

JR3

O e que o sistema de coordenadas de é tal que a(O) é a origem e 3 t(O), n(O), b(O) é a base canônica de JR . Nessas condições, temos a representação canônica de a dada por (5). Desta representação concluímos que: a) Como k(O) >O, para s suficientemente próximo de O, y(s) >O (ver Figura 17).

80

pl.ano :retificante

y

Figura 17

b) Se -r(O) O e i-(s), s E I e IR, existe uma curva regular a(s) parametrizada pelo comprimento de arco, tal que k(s) é a curvatura e i-(s) é a torção de a em s. b)Acurva a(s) éúnicasefixarmosumponto a(so)=poEJIR3, a'(so)=vi, a"(so) = k(so)v2, onde v1 e v2 são vetores ortonormais de IR3 . c) Se duas curvas a(s) e f3 (s) têm a mesma curvatura e torção (a menos de sinal), então a e f3 são congruentes.

Demonstração. Vamos iniciar provando c). A idéia é considerar uma

isometria F conveniente e a curva ã seguida provar que ã f3.

F o a que é congruente a

a, em

Fixemos so E/ e suponhamos que 't"a = i-p (resp. 't"a =-i-p). Usaremos os índices a e f3 para indicar a curva à qual se refere a curvatura, torção, etc. Seja F a isometria de JJR3 , tal que F( a(so)) = f3(so) e dFa(so)(ta(so))

=

np(so),

dFa(so) (na(so)) dFa(so)(ba(so))

tp(so),

=

bp(so) (resp. dFa(so)(ba(so))

Observamos que a existência de F é garantida pela Proposição 6.12. Seja ã = F o a, denotaremos por k, -!, etc., a curvatura, torção, etc., relativos à curva ã. Segue-se da Proposição 6.14 e da escolha de F que ã(so) = f3(so),

k -!

ka 't"a

kp, i-p (resp.

t

= -'t"a

=i-p),

ii(so)

= np(so),

b(so)

b13(so).

Para provar que ã = /3, basta mostrar que t tp, pois neste caso teremos ã(s) f3(s) constante e, como ã(s0 ) = f3(so), poderemos concluir que

92

ã(s)

= f3(s), Vs E J.

Consideremos a função

f: I

IR, que a cada s

EI

associa

f(s) = ll(s) - t13 (s)l 2+ ln(s) - n13(s) 12 + lb(s) - b13 (s) J2. Não é difícil verificar que f'(s)

O, Vs E J, portanto, f(s) é constante.

Como f(so) =O, concluímos que f(s) =O e l = t13. a) Para provar a existência de a, veremos que basta mostrar que existe um referencial ortonormal t(s), n(s), b(s) que satisfaz as fórmulas de Frenet e em seguida definir a(s)

=

1s

t(s)ds.

so

Denotemos por t(s) (t1(s), t2(s), t3(s)), n(s) (n1(s), n2(s), n3(s)), b(s) = ( b1 (s), b2(s), b3 (s)). Queremos provar a existência de funções ti(s), ni(s), bi(s), 1 :::; i:::; 3 que satisfazem o sistema de nove equações diferenciais

tf(s)

k(s)ni(s),

n~(s)

-k(s)tt(s)

b~(s)

7:(s )ni(s).

7:(s)bi(s), 1 :::; i:::; 3,

(10)

Do teorema de existência e unicidade de soluções de sistemas de equações diferenciais ordinárias (ver por exemplo [13]), concluímos que, fixados os valores de ti(so), ni(so), bi(so), 1 :::; i:::; 3, para um so E J, existe uma única solução do sistema acima. Em particular, existe uma única solução

ti(s), ni(s), bi(s),

1;::; i $ 3,

do sistema (10) quando fixamos

t(so)

(t1(so), t2(so), t3(so))

(1, O, O),

n(so)

(n1(so), n2(so), n3(so)) =(O, 1, O),

b(so)

(b1(so), b2(so), b3(so))

(11)

(O, O, 1).

Vamos provar que esta solução t(s), n(s), b(s) é um referencial ortonormal. Para isso, consideremos o seguinte sistema de equações para as funções

93

(t(s),t(s)), (n(s),n(s)), (b(s),b(s)), (t(s),n(s)), (t(s),b(s)), (b(s),n(s)):

d 2k(t, n), ds (t, t) d -2k(t, n) 27: (b, n), ds (n, n) d ds (b, b) - 27: (b, n), d ds (t, n) = k(n, n)-k(t, t) -1: (t, b), d k(b, n)+7:(t, n), ds (t, b) d 7:(n, n)-k(t, b)-7:(b, b), ds (b, n)

(12)

com a condição inicial (t(so), t(so)) (n(so), n(so)) (b(so), b(so)) = 1, (t(so), n(so)) (t(so), b(so)) (b(so), n(so)) =O. A solução para este problema de valor inicial é única e é dada pelas funções (t(s), t(s)) (t(s), n(s)

(n(s), n(s))

(b(s), b(s))

= (t(s), b(s)) =

=1,

(b(s), n(s)) :=O.

De fato, basta substituir estas funções no sistema acima para verificar que formam uma solução do sistema. Portanto, a solução de (10) com a condição inicial (11) forma um referencial ortonormal para todo s. Além disso, b(s) t(s) X n(s), já que esta condição é satifeita para S SQ. Definimos a curva a(s) =.

r t(s)ds.

lso

Como t(s) . é um vetor unitário,

obtemos que a está parametrizada pelo comprimento de arco s. Além disso, a'(s) = t(s) e a"(s) = t'(s). Segue-se de (10) que a"(s) = k(s)n(s). Como n(s) é unitário e k(s) > O, temos que n é o vetor unitário na direção de a", ou seja, n é o vetor normal a a e, portanto, k(s) é a curvatura de a, e concluímos de (10) que 7: é a torção de a.

94 b) Provar que a curva a é única, quando fixamos a(so) = po, a'(so) = vi e a" (so) = k(so)v2, onde v1 e v2 são vetores ortonormais de ffi.3 , corresponde a provar, inicialmente, que existe uma única solução do sistema (10), quando fixamos t(so) = v1, n(so) = v2 e b(so) =vi x v2. Este fato decorre do teorema de existência e unicidade de solução de um sistema de equações diferenciais lineares. Obtida esta solução t(s), n(s), b(s), prova-se que é um referencial ortonormal usando o sistema (12). Como a curva a deve satisfazer a'(s)

t(s), concluímos que a(s)

= po +

1s so

t(s)ds. D

6.16 Exercícios

1. Se Ta indica translação por a e C uma transformação ortogonal, verifique que C o Ta = Tqa) o C. 2. Prove que toda isometria F de R 3 possui inversa p- l que também é uma isometria. Se F TaoC, obtenha p-l como composta de uma translação e uma transformação ortogonal. ~i~~~~·---~·-············-·-~-·-············~········

3. Verifique se as seguintes funções são isometrias de ffi.3 . Em caso afirmativo, obtenha a função como composta de uma translação e uma transformação ortogonal. a) F(x, y, z)

= (x, y, z), V(x, y, z)

E JR.3 ,

b) F(x,y,

(2-y,z-3,x+1),

e) F(x, y, z)

;n_(x-z, .J2y, x+z).

1

4. Considere uma isometria F To C e rc o plano que passa por um 3 ponto p de R , ortogonal ao vetor v. Prove que F ( TC) é o plano que passa por F(p) ortogonal ao vetor C(v). 5. Considere os pontos p = (1, -2, O) e q =(O, O, 1) e os referenciais

v1

(1/J2, O, 1/J2), v2

(O, 1, O), v3 = (1/J2, O, -1/J2) e

95

w1=(2/3,2/3,1/3), w2 (-2/3, 1/3, 2/3), w3 (1/3, -2/3, 2/3). Obtenha a isometria F de IH!.3 tal que F (p) = q e dFp (vi) = wi, para i = 1, 2, 3. 6. a) Verifique que toda translação preserva orientação. b) Verifique que a isometria F (x, y, z) ção.

(-x, -y,

inverte orienta-

7. Seja F: iR3 -T uma aplicação diferenciável, tal que Vp E iR3 , dFp preserva produto interno. Prove que F é uma isometria. 8. Verifique que a curva a(t) = (2 cost, 2 sent, 2t), t E iR, e a curva f3(t) = (t+V3 sent, 2 cost, V3 t sent) são congruentes. Obtenha a isometria F tal que F o a = f3.

a, f3 : 1 iR3 curvas regulares congruentes, tal que Vs E 1, k(s) > O. Prove que existe uma única isometria F tal que F o a f3,

9. Sejam

exceto quando 't' = O e neste caso existem exatamente duas. 1O. Sejam a, ã : 1 -7 iR3 curvas regulares, parametrizadas pelo comprimento de arco, tal que, para cada s E J, a curvatura e a torção de a e ã em s não se anulam. Prove que, se os vetores binormais das duas curvas coincidem, isto é, b(s) b(s), então a e ã são congruentes. 11. Determine a éurva cuja curvatura é dada' pela função k(s)

/f,

s >O, e a torção 't'(s) =O.

12. Seja a(s) uma curva regular de curvatura k(s)

a sen_:_ e a torção 2a 't'(s) = 2a, a> O. Verifique que o traço de a está contido em uma esfera de raio a.

13. Prove que uma curva regular

a, cuja curvatura não se anula, tem torção 1

96

constante

1

'1: = - ,

a

_/.. , a -r- O se, e so se,

a(t) onde (!1 , h, f3)

a

(j

f1(t)dt,

j fi(t)dt, j f3(t)dt),

F x F' e F é uma função vetorial tal que

IF (t) !=

1

e (F, F' xF") #O. 14. Verifique que, se uma curva regular tem a curvatura k(s) =

~ as

e torção

'l:(s) = bs, onde a e b são constantes, então a curva admite uma parametrização da forma

onde A, B e e são funções de a e b.

15. Duas curvas a (t) e

f3 (t)

são ditas curvas de Bertrand se em pontos

~'~i'-'--..--·-..·---~~---c_1_m~_T1e_E.=.>n_o__n~r1-~~-r:L_t~e_s. têm a mesma reta .1:1()_!1P._éll~ Prove que

a) a distância entre pontos correspondentes é constante;

bfo ângulo entre as retas tangentes de pontos correspondentes é constante.

16. Seja a(s) uma curva regular cuja torção não se anula. Prove que a) existe uma curva

f3

tal que a e

f3

são curvas de Bertrand se, e só

se, a curvatura e a torção de a satisfazem a uma relação da forma

ak(s)+b'l:(s)

=1,

onde a e b são constantes; b) existe mais de uma curva

f3

tal que a e

se, e só se, a é uma hélice circular.

f3

são curvas de Bertrand

97

7. Teoria do Contato JR3 , dentre todas as retas de IR3 que passam por a (to), intuitivaménte, parece-nos que a reta tangente a a em to é aquela Dada uma curva regular a : 1

que tem maior "contato" com a curva. Além disso, dentre todos os planos que contêm a reta tangente a a em to, o plano osculador parece ter maior "contato" com a curva. A fim de precisar melhor essas idéias, consideremos a seguinte 7.1 Definição. Sejam a : 1-+ JR3 e f3 : l-+ JR3 curvas regulares tal que

a(to) = f3(to), onde to E Jnl. Dizemos que a e f3 têm contato de ordem n em to (n inteiro 2::. 1) se todas as derivadas de ordem ::; n das funções a e f3 coincidem em to e as derivadas de ordem n + 1 em to são distintas. 7.2 Exemplos a) As curvas a(t) contato de ordem n

(t, t11 , O); t

E

e f3(t) = (t, O, O), t E IR, têm

1 em t =O.

b) As curvas regulares a(t) = (t, cosht, O), t E IR, e p(t)

(t,

1 2

2t +

1, O), t E IR, têm contato de ordem 3 em t =O. Observamos que, se a e f3 são curvas regulares tais que a(to)

f3(to)

e todas as derivadas de ordem ::; n de a e f3 coincidem em to, então a e

f3 têm contato de ordem 2::. n em to. 7.3 Proposição. Seja a: 1-+ JR3 uma curva regu.lar. Uma reta f3 tem

contato 2::. 1 com a em to se, e só se, f3 é a reta tangente a a em to. Demonstração. Seja f3 : IR -+ siderar definida por

f3(t)

uina reta qualquer, que podemos con-

a+ (t-to)v

98

onde v é um vetor não-nulo de R 3 e a E R 3 . Se f3 e a têm contato ~ 1 em to, então a

f3(to) = a(to),

v

f3'(to)=a'(to).

Portanto, a(to) + (t

f3(t) isto é, f3 é a reta tangente a

a

to)a'(to),

em to. A recíproca é imediata.

D Na teoria de curvas planas, consideramos a noção de raio de curvatura e círculo osculador. Analogamente, para uma curva regular no espaço a(s), cuja curvatura k(s) não se anula, definimos o raio de curvatura de a em

1

s, p(s) = k(s) e o círculo osculador de raio p(s) e centro em

c(s) = a(s) + p(s)n(s) denominado centro de curvatura. A proposição seguinte mostra que o círculo oscufador tem contato de ordem ~ 2 com a curva.

7.4 Proposição. Seja a : I _,.

uma curva regular parametrizada pelo

comprimento de arco s, tal que k(s)

/3 (s), s

#O,

\f s E J. Fixado so E J, seja

R, uma curva parametrizada pelo comprimento de arco tal que /3(so) = a(so) e o traço de f3 é o círculo osculador a a em so. Então, a e f3 (ou uma reparametrização de f3) têm contato de ordem ~ 2. E

Demonstração. Sejam t(so), n(so) e b(so) o triedro de Frenet da curva

a

em so. Como o traço de temos que \f s E R,

f3

(/3(s)

está contido no plano osculador de a(so), b(so)) =O.

a

em so, (13)

99

Além disso,

f3(s)

1

a(so)- k(so) n(so)

1 Considerando a derivada de (13) e (14) em s

12

k2(so).

(14)

so, obtemos

(/3' (so), b(so))

O,

(/3' (so), n(so))

O.

Portanto, /3'(so) = ±t(so). Se /3'(so) t(so) =a' (so), considerando as derivadas de segunda ordem de (13) e (14) em s = so, temos que

(/3"(so),b(so)) (/3" (so), n(so)) Como l/3'(s)I

O, =

k(so).

1, temos que /3"(so) é ortogonal a /3'(so) e, portanto,

(/3" (so)~ t(so)) =O. Logo concluímos que

/3 11 (so)

=

k(so)n(so) = a" (so),

isto é, a e f3 têm contato de ordem

2". 2.

Se /3'(so) = -t(so), _consideramos o argumento acima para a reparametrização da curva

~(s) = /3(2so -s). D A seguir, definimos a noção de contato entre uma curva e um plano. 7.5 Definição. Seja a: 1-. JR 3 uma curva regular e 1C um plano de JR3 que contém um ponto p = a (to), para algum to E!. Dizemos que a e 1C têm contato de ordem

2". n (resp.

n) em p se existe uma curva regular

100

J3 : l-+ JR3 tal que J3 (l) e n e a e J3 têm contato de ordem ~ n em to (resp. n em to e não existe cmva em n que tem contato de ordem > n com a em to). Todo plano de JR3 que contém a reta tangente a uma cmva a em to tem contato de ordem ~ 1 com a cmva a em to. Dentre esses planos, destaca-se o plano osculador que tem contato de ordem ~ 2. Mais precisamente: 7 .6 Proposição. Seja a : I-+ JR3 uma curva parametrizada pelo compri-

mento de arco, de curvatura não-nula, e n um plano de JR3 que passa por a(so). Então, a e n têm contato de ordem ~ 2 se, e só se, n é o plano osculador de a em so. Demonstração. Se

a e n têm contato de ordem

~

2, então existe uma que podemos supor parametrizada pelo compricmva regular ã : l-+ mento de arco, tal que so E Inl, ã(l) e n e ã e a têm contato de ordem ~'f~~-·~~-~-2--em so;-Portanto,

JR3

l(so)

t(so),

ã"(so)

a"(so).

Segue-se que a e ã têm o mesmo plano osculador em s 0 . O plano n é o plano osculador de ã em so, pois ã(l) e n (ver Lema 4.1), portanto, concluímos que n é o plano osculador de a em s 0 • A recíproca é uma consequência imediata da proposição anterior.

o Observamos que, se a torção de a em so é não-nula, então a e o plano osculador em so têm contato de ordem igual a 2 (ver Exercício 4). De modo análogo à Definição 7.5, pode-se introduzir o conceito de contato entre uma curva e uma esfera (ver Exercício 9). No caso de uma cmva a(s) cuja torção -r(s) não se anula, definimos a esfera osculatriz de a em so

101

como sendo a esfera de JR3 de raio

R(so)

p(so) + (p'(so))2 't'(so)

e centro, denominado centro de curvatura esférica,

p'(so) C(so) = a(so) + p(so)n(so) +-(-) b(so), 't' so onde p(s0 ) é o raio de curvatura. A esfera osculatriz tem contato de ordem ,;::: 3 com a curva (ver Exercício 9).

7. 7 Exercícios 1. Seja a : I --+ JR3 uma curva regular, parametrizada pelo comprimento de arco. Se para todo s E I, k(s) >O, então prove que a reta tangente a a em s, Vs E I, tem contàto de ordem 1 com a. Dê um exemplo de curva regular que tem contato de ordem 2 com uma de suas retas tangentes. É possível obter uma curva regular, que tem contato de ordem ,;::: n, com uma de suas retas tangentes, para todo inteiro n ,;::: 1? Justifique.

JR3 e f3 : l--+ JR3 curvas regulares que têm contato de 2. Sejam a : I ordem n em to E I n l. Se F : JR 3 --+ R 3 é um difeomorfismo, prove que F o a e F o f3 têm contato de ordem n em to. 3. Considere duas curvas regulares a(t) = (t,y(t), O) e ã(t) = (t,y(t),O), t E I, que têm contato de ordem n em to E I. Prove que: a) Se n é ímpar, existe uma vizinhança J de to em I, tal que Vt E J, y(t) -y(t) não muda de sinal (ver Figura 19).

102

Figura 19

b) Se n é par, então existem e y(t2)

t1

e t2 E I, tal que y(t1)

y(t1) < O

(t2) > O (ver Figura 20).

4. Seja a(s), s E I, uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Prove que, se k(so) e T(so) são não nulos, então o plano osculador a contato de orden.iigual_ a2.

y ~{tl

ri( t)

Figura20

5. Se a(s) é uma hélice círcular, prove que a curva c(s), determinada pelos centros de curvatura de a, também é uma hélice circular. Deter-

103

mine uma hélice circular a de tal modo que os traços de a e e estejam contidos no mesmo cilindro. 6. Determine as condições que uma curva a (s) deve satisfazer para que o centro da esfera osculatriz seja o mesmo para todo s. 7. Seja a(s), s E!, uma curva regular. Suponha que a curvatura k(s) e a torção -r(s) de a não se anulam. Seja c(s) a curva descrita pelos centros de curvatura de a. Prove que a curvatura de e é dada por

(p') R)2 + (

p2 d [( R 3 -r ds

1

p'

p-r2R2

-rp

)2] i l

onde p é o raío de curvatura de a e R o raío de curvatura esférica de

a. 8. Prove que, se o raio de curvatura esférica de uma curva a é constante, então a curvatura de a é constante ou o traço de a está contido em uma esfera. 9. Seja a(s), s E/, uma curva parametrizada pelo comprimento de arco s. Consideremos uma esfera em JR;.3 de centro e e ráio a > O

Dizemos que a e S têm contato de ordem 2: n (resp. = n) se existe curva f3(s), tal que f3(s) ES, Vs ea e f3 têm contato de ordem 2'.n em so (resp. = n e não existe curva f3 contida em S que tem contato de ordem > ~ com a). Prove que: e

e

a) Se S é uma esfera que tem contato de ordem 2: 1 com então o centro de S pertence ao plano normal de a em so.

a em so,

b) Se S é uma esfera que tem contato de ordem 2: 2 com a em so, então o centro de S pertence à reta que passa pelo centro de curvatura de a em so na direção do vetor binormal b(so).

104

2:: 2 com a em so intercepta o plano osculador de a em so ao longo do círculo osculador em so.

e) Uma esfera que tem contato de ordem

d) A esfera osculatriz de

a em so tem contato de ordem 2:: 3 com a

em so. 10. Obtenha a ordem de contato da curva a(s)

{(x, y, z)

E

JR3;

+y2 + i2 =

= (s, r, O)

e a esfera S =

r 2 }, onde r é uma constante positiva.

1 L Sejam a(s) uma curva regular,

n um plano de IR3 e S uma esfera.

a) Suponha que a(s) e n têm contato de ordem n em so. Prove que, se n é ímpar, então, para s suficientemente próximo de so, a(s) pertence a um mesmo semi-espaço de IR3 determinado por par, então existem

s1

e

s2

n. Se n é

tal que a(s1) e a(s2) pertencem a semi-

espaços distintos determinados por n (isto é, a atravessa o plano n). b) Suponha que a(s) e S têm contato de ordem n em so. Prove que, se n é ímpar, então, para s suficientemente próximo de so, a(s) ----..-.ertence·a-um: mesmo subespaço de JR3 ·(interior ou exterior à esfera) determinado por S. Se n é par, então existem

e a(s2)

s1

e

s2

tal que a(s1)

pertencem a subespaços distintos determinados por S.

8. Involutas e Evolutas a de IR3 determina duas famílias de curvas, que são as .fuvoiutas e evolutas de a. O estudo das evolutas de uma

Nesta seção veremos que uma curva

curva no espaço difere bastante de estudo das evolutas de uma curva plana. +, ........... - -Uma curva plana tem uma única evoluta descrita pelos centros de curvatura

(ver seção 4 do Capítulo I), enquanto que uma curva no espàço tem uma família infinita de evolutas. Como veremos a seguír, as curvas descritas pelos centros de curvatura ou pelos centros de curvatura esférica de uma curva

a,

cuja torção não se anula, não são evolutas de

a.

Entretanto, existe uma.

105

generalização natural, para curvas no espaço, do conceito de involuta de uma curva plana. Uma vez definida uma involuta ã de uma curva a, é natural definir a como sendo uma evoluta de ã.

8.1 Definição. Seja a (s), s E /, uma curva regular de IR3 . Uma involuta de a é uma curva ã(s) tal que, \Is E!, ã(s) intercepta a reta tangente a

a em s ortogonalmente. Supondo que a(s) parametrizada pelo comprimento de arco, vamos obter a família das involutas de a. Como ã(s) pertence à reta tangente a a em

s, então

ã(s) = a(s) + À(s)t(s). Além disso, ã'(s) deve ser ortogonal a t(s), isto é,

(t+Ã't+Ât 1 ,

t) =o.

Portanto,

l+;t'(s) =O, ou seja,

À(s) =a

s,

onde a é uma constante arbitrária. Daí concluímos que uma involuta de a é dada por

ã(s)

a(s) + (a-s)t(s).

(15)

Como a é arbitrária, essa equação representa uma família infinita de involutas de a. As curvas são distintas para escolhas diferentes da constante a. A família de involutas de uma curva pode ser interpretada geometricamente do seguinte modo. Se desenrolarmos uma corda que está sobre a curva, de tal forma que a parte desenrolada é mantida esticada na direção da tangente à curva e o restante da corda permanece sobre a curva, então nesse movimento todo ponto da corda descreve uma involuta da curva (ver Figura 21).

106

Figura 21

8.2 Definição. Se ã é uma involuta de

a, então definimos a como

sendo uma evoluta de ã. Suponhamos que ã (s) é parametrizada pelo comprimento de arco, tal que a curvatura k(s) =/= O, 'í/ s. Vamos denotar por l, fí, b o triedro de Frenet de ã. Para obter a evoluta a de ã, observamos que, pela definição de involuta de a para cada s, o segmento de reta determinado por a(s) e ã(s) é ortogonal a ã(s) em s e tangente a a em s. Portanto, podemos considerar

a(s) = ã(s) + Â(s)n(s) + µ(s)b(s).

(16)

Vamos determinar as funções À e µ. Derivando (16) e usando as equações de Frenet, temos que

a'

(1

Âk)l + (Ã' + µi)fí + (µ' -Â i)b.

Como a' é paralelp a Âfí + µb, obtemos Â

µ(Â 1 + µi) Logo,

1

k' Â(µ'

Âi}

107

Portanto,

onde a é uma constante arbitrária. Como À

1/k, obtemos que

Concluímos de (16) que

a(s)

ã(s)+ k(~)fi(s)+ kts) cotg ( / Us+a) b(s)

(17)

representa a família infinita de evolutas de ã. Se a torção i'(s) não é nula, então segue-se trivialmente de (17) que a curva determinada pelos centros de curvatura de ã não é uma evoluta de ã. Além disso, se consideramos a curva C(s) determinada pelos centros de curvatura esférica de ã, então C(s) não é uma evoluta de ã, pois C'(s) é paralelo a b(s), enquanto o vetor tangente a uma evoluta de ã é paralelo a 1

-

k(s) fi(s) + µb(s). Observamos que, se a curva ã de R 3 é plana, isto é, i' =O, a única evoluta plana de ã está contida no plano osculador, portanto, é obtida de (17) considerando a= .n/2, o que mostra que a família de evolutas de uma curva plana de R 3 contém a curva determinada peloscentros de curvatura. As outras evolutas de ã são hélices. 8.3 Exercícios 1. Seja a uma curva regular cuja curvatura não se anula. Dentre as involutas de a, determine as que são curvas regulares. 2. Prove que as involutas de uma hélice circular são curvas planas.

108

3. Seja a(s) uma curva regular. Prove que a curva determinada pelos centros de curvatura de a é uma evoluta de a se, e só se, a é uma curva plana. 4. Seja a(s) uma curva parametrizada pelo comprimento de arco, tal que k(s) :/=O, Vs. Prove que a curvatura k e a torção i da involuta ã de a, isto é, ã(s) a(s) +(a s)t(s), são dadas por

-

k! 1: k1:' - (a-s)k(7:2+1c2r

"(;-------

5. Sejam a1 (s) e a2(s) duas evolutas distintas de uma mesma curva ã(s) e seja B(s) o ângulo formado pelos vetores tangentes a a1 e a2 em s. Verifique que e(s) é constante. 6. Seja a(s) uma curva, parametrizada pelo comprimento de arco, cuja curvatura não se anula. Para cada s, considere uma reta /!. do plano normal a a em s que forma um ângulo B(s) com n(s). Prove que, se uma outra curva [3 (umaevoluta de a), então de = 1:, - de a. Al'em d'isso, a razao - entre a curvatura ds e a onde 1: e' a torçao torção de [3 é igual a -cotg e. 7. Verifique que as evolutas de uma curva regular plana de JR.3 são hélices. 8. Obtenha as involutas da circunferência a(s) fique que são todas congruentes.

(cos s, sen s, O). Veri-

9. Verifique que ~ catenária a (t) = (t, e cosh ! , O) pode ser reparametrizada pelo comprimento de arco por e

[3(s)

=

a(t(s))

s (e arcsenh - , e

O).

Obtenha as involutas de [3. Trace o gráfico da involuta obtida com a constante a= O em (15). (Esta involuta é uma tratriz).

Capítulo III TEORIA LOCAL DE SUPERFÍCIES

l.. Superfície Parametrizada Regular Neste capítulo, vamos investigar as propriedades geométricas locais de superfícies no espaço euclidiano JR.3 . O conceito de superfície parametrizada será introduzido de modo análogo ao de curvas. Assumimos que temos um sistema de coordenadas cartesianas x, y, z em JR.3 e consideramos uma função X(u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), de duas variáveis u, v que variam e_m um aberto U e JR.2 • Para cada (u, v) E U, X(u, v) determina um ponto de JR.3 . Denotamos por S o subconjunto de JR.3 formado pelos pontos X(u, v). A fim de que possamos utilizar as técnicas de cálculo diferencial no estudo de superfícies, vamos exigir a diferenciabilidade da função X. Além disso, vamos nos restringir ao estudo de superfícies que em cada ponto admitem um plano tangente. 1.1 Definição. Uma superficie parametrizada regular ou simplesmente uma superficie é um aplicação X : U e JR.2 -+ ~3 , onde U é um aberto de JR.2 , tal que: a)X é diferenciável de classe C""; b) Para todo q = (u, v) EU, a diferencial de X em q, dXq: JR.2 -+ JR.3 , é injetora. As variáveis u, -v são os parâmetros da superfície. O subconjunto S de

obtido pela imagem da aplicação X

6 denominado traço de

X.

110

1.2 Observações. a) A aplicação X(u, v)

(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) é diferenciável de

classe C" quando as funções x, y, z têm derivadas parciais de todas as ordens contínuas. b) A condição b) da Definição 1.1 vai garantir a existência de plano tangente em cada ponto da superficie. Vejamos algumas formas equivalentes de expressar essa condição. Sejam e 1 , e2 a base canônica de IR.2 e ê 1 , a base canônica de IR.3 . Para cada q = (u 0 , vo) EU, sabemos que a matriz associada a dXq nas bases canônicas (ver Capítulo O) é a matrizjacobiana

J(uo, vo)

=

a(uo, vo)

dx u

a)uo, vo)

dx

()y au (uo, vo)

()y a/uo, vo)

dz du (uo, vo)

dz dv (uo, vo)

Denotando esses dois vetores por Xi 1 (uo, vo) e Xv(uo, vo) respectivamente, observamos que as seguintes afirmações são equivalentes: b.l) dXq é injetora; b:2) a matriz J(u 0 , vo) tem posto 2; b.3) os vetores Xi 1 (uo, vo), Xv(uo, v0 ) são linearmente independentes;

b.4) Xii(ito, vo) xXv(uo, vo) #O. Se X : U e IR.2 -+ IR.3 é uma superficie parametrizada, então, fixado um

111

ponto (uo, vo) EU, as curvas

u

1--7

X(u, vo),

v

1--7

X(uo, v),

são chamadas curvas coordenadas de X em (uo, v0 ). Os vetores x;,(uo, v0 ) e Xv(uo, vo) são os vetores tangentes às curvas coordenadas (ver Figura 22). z

X

Figura 22 1.3 Exemplos

a) Sejam Po = (xo, yo, zo) um ponto de JR3, a= (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) vetores linearmente independentes de JR3: Consideremos a aplicação X: JR2 -+ JR3 que, para cada (u, v) E JR2 , associa X(u, v)

po + ua + vb, isto é,

X(u, v)

= (xo+ uai +vb1, .Po+ua2 +vb2, zo +ua3 +vb3).

Então, X é uma superfície parametrizada regular, pois X é diferenciável e os vetores x;, =a, Xv b são linearmente independentes. A aplicação X descreve um plano de JR3 que passa pelo ponto p 0 , ortogonal ao vetor a x b (ver Figura 23). As curvas coordenadas de X descrevem retas do plano, paralelas aos vetores a e b respectivamente.

=

112

Figura23

b) A aplicação

X(u,

v) (u, v,-~(d+au+bv)),

onde (u, v) E JR2 e a, b, e i= O são constantes, é uma superfície parametrizada regular, cuja imagem é o plano de JR3 , dado por

§= {(x, y, z) E JR3 ; ax+by+cz+d

O}.

e) Seja

(u, v, u + ~), (u, v) 2

X(u, v)

2

E JR ,

onde a e b são constantes não-nulas. A aplicação X é diferenciável e os vetores x;, (1, O, 2u/a2 ) Xv =(O, 1, 2v/b2 ) são linearmente independentes para todo (u., v) E JR2 . Portanto, X é uma superfície parametrizada regular, cuja imagem é o ptzrabolóide elitico (ver Figura 24)

As curvas coordenadas descrevem as parábolas obtidas pela interseção de S com os planos paralelos a xoz e yoz.

113

X

Figura24 d) Consideremos a aplicação X : U

e JR2 --t JR3

definida por

X(u, v) =(a sen v cos u, a sen v sen u, a cos v), onde a> O e U =:IR x (O, n) Figura 25).

{(u, v) E JR2 ; u E :IR e O< v < n} (ver

u

Figura25 A aplicação X é diferenciável e os vetores

x;,

(-a sen v sen u, a sen v cos u, O),

Xv

(a cos v cos u, a cos v sen u, -a sen v),

114

são linearmente independentes, para todo (u, v) E U. De fato,

já que v E (O, n). A imagem de X é a esfera centrada na origem de raio a, menos os dois pólos. As curvas coordenadas são os meridianos e paralelos da esfera. e) As aplicações

X(u, v)

(u, v,

X(u, v) =

(u, v, {(u, v) E JR.2 ; u2 +v2 < a 2 }, são su-

onde a> O e (u, v) varia em U

perfícies parametrizadas regulares cujas imagens são os dois hemisférios da esfera, centrada na origem de raio a (ver Figura 26).

\7

X(U) X

Figura 26

Os Exemplos b ), c) e e) são casos especiais de uma família de superfícies parametrizadas, cujas imagens são gráficos de funções diferenciáveis. Mais precisamente.

115

1.4 Proposiçao. Se f(u, v) é umafimção real diferenciável, onde (u, v) E U, aberto de JM;. 2 , então a aplicação X(u, v) (u, v, f(u, v)) é uma superficie parametrizada regular, que descreve o gráfico da função f. Demonstração. A diferenciabilidade de X decorre do fato de que as funções coordenadas de X são diferenciáveis. A matriz jacobiana de X é igual a

~ ~fv

J= (

fu

)

'

que tem posto 2, para todo (u, v).

D

1.5 Exemplo. Dessa proposição temos que a aplicação

X(u,v)=(u,v,:~ ~),

(u,v)EJM;.

2

,

onde a e b são constantes não-nulas, é uma superfície parametrizada regular, cujo traço é o parabolóide hiperbólico (ver Figura 27)

S

{ (x, y, z) E JM;.

3

;

z

~ ~}.

z

y

X

Figura 27

116

A proposição a seguir fornece uma família de superfícies parametrizadas, que descrevem o conjunto de pontos de R 3 , obtidos pela rotação do traço de uma curva regular plana em tomo de uma reta deste plano que não intercepta a curva. 1.6 Proposição. Seja a(u) = (f(u), O, g(u)), u E I regular tal que f( u) não se anula. Então, a aplicação X(u, v)

= (f(u)

e

R, uma curva

cos v, f(u) sen v, g(u)),

onde u E I e v E R é uma superficie parametrizada regular.

Demonstração. Como a é uma aplicação diferenciável, temos que as funções coordenadas de X são diferenciáveis. Os vetores

x;, Xv

(/ (u)

cos v,

= (- J(u)

f (u)

sen v, g' (u)),

sen v, J(u) cos v, O),

são linearmente independentes, pois

já que a é uma curva regular e f não se anula. Portanto, concluímos que X é uma superfícíe parametrizada regular. D A aplicação X da Proposição 1.6 é denominada supeifzcie de rotação da curva a em tomo do eixo Oz. A curva a está contida no plano xOz, e o eixo de rotação Oz não intercepta a curva, já que J(u)-=/=- O (ver Figura 28). As curvas coordenadas X(uo, v) e X(u, vo) são os paralelos e meridianos da superfície de rotação (ver Figura 28).

117

Observamos que, se a é uma curva regular de R 3 , cujo traço está contido num plano n, e /!, é uma reta deste plano que não intercepta a curva, podemos escolher um sistema de coordenadas de ffi. 3 de tal forma que n é o plano xoz e f, o eixo Oz. Portanto, pela Proposição 1.6, obtemos uma superfície de rotação da curva a em tomo de f. z V

X

i 1

~

u

1

o j

u

I

1

y

X

Figura 28 1.7 Exemplos de superfícies de-rotação a) A superfície

X(u, v) =(a cos v, a sen v, u), onde (u, v) E R 2 , descreve o cilindro circular, que é obtido pela rotação da reta a(u) =(a, O, u) em tomo do eixo Oz (ver Figura 29). z

X

Figura 29

118

b) Consideremos a catenária

a(u)

=

u a

(u, a cosh-, O), u E IR!,

onde a > O é constante. A superfície

X(u, v)

u u (u, a cosh- cos v, a cosh- sen v), a

a

X

(u, v) ·E R 2 , descreve o catenóide, que é obtido pela rotação da catenária a em tomo do eixo Ox (ver Figura 30). e) Seja a(u) = (a+r cosu, O, r senu), u E IR!, onde O< r si1;ã(]'~ Seja X :

U- e JR2 ···=-+ JR3 uma· superficie parametrizada

regular. Para todo (uo, vo) EU, existe um aberto Ü Ü e ·x restrita a Ü é injetiva.

e

U, tal que (uo, vo) E

Demonstração. Se X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) é regular, então a matriz jacobiana de X em (uo, vo) tem posto 2. Suponhamos, sem perda de generalidade, que

Consideremos a função F: U =-+ JR2 que, para cada (u, v) E U, associa F(u, v) = (x(u, v), y(u, v)). Usando o teorema da função inversa, segue-se

121

de (1) que existe um aberto Ü, (uo, vo) E Ü e U tal que F restrita a ü é inversível, em particular, F restrita a Ü é injetora. Portanto, concluímos que X restrita a Ü é injetiva.

o 1.9 Exemplo. A superficie do Exemplo 1.3 d)

X(u, v) =(a senv cosu, a senv senu, a cosv), onde a> O e U = {(u, v) E IR;. 2 ; u E IR;. e O< v < n}, não é uma aplicação injetora. Entretanto, X é injetora quando restrita a um domínio Ü I x (O, n), onde I é um intervalo aberto de IR;. de comprimento menor ou igual a 2n. Neste caso, o traço de X é a esfera menos um meridiano. Na definição de uma superficie parametrizada X( u, v), exigimos a condição da matriz jacobiana de X, J(u, v), ter posto 2, para todo (u, v) do domínio de X. Se X : U e _,. _IR;.3 é uma aplicação diferenciável tal que, para (uo, vo) EU, J(uo, vo) não tem posto 2, então dizemos que (uo, vo) é um ponto singular de X. Se para todo (u, v) EU, J(u, v) tem posto 1, então X representa uma curva, como ocorre, por exemplo, em

X(u, v)

(u+v, (u+v) 2 , (u+v) 3 ).

Podem aparecer pontos singulares pela escolha da aplicação X ou pela natureza da superficie. Um exemplo do primeiro caso é () da esfera descrita por (ver Exemplo 1.3 d)

X(u, v)

(a senv cosu, a senv senu, a cosv),

onde tivemos que considerar o domínio d~ X, como sendo u E IR;. e O< v < n. Excluímos assim os dois pólos da esfera, já que (u, O) ou (u, n) são pontos singulares de X. Entretanto, geometricamente não há diferença entre o pólo norte ou pólo sul e qualquer outro ponto da esfera. O traço da aplicação X

122

no Exemplo 1.3 e) inclui o pólo norte. Um exemplo do segundo caso é dado pelo cone circular descrito por X(u, v)

= (au

cosv, au senv, ub),

onde a e b são constantes não-nulas. Os pontos singulares (O, v) correspondem ao vértice do cone, que é um ponto particular do cone. Pode-se verificar que toda superfície parametrizada regular cujo traço está contido no cone exclui o vértice. Essas considerações mostram que devemos escolher convenientemente as aplicações X. Além disso, no caso de superfícies como a esfera, elipsóide, etc. devemos considerá-las como "união" de traços de superfícies parametrizadas regulares. Esta forma de abordar o estudo de superfícies é feita em cursos mais avançados (ver por exemplo [6]), principalmente quando são incluídas propriedades geométricas globais das superfícies. Entretanto, para o estudo das propriedades locais, é suficiente considerar as superfícies parametrizadas regulares. Vamos encerrar esta seção com a segumte proposição. 1.10 Proposição. Seja F : R.3 -7 R. uma aplicação diferenciável. Consideremos o conjunto S { (x, y, z) E R.3 ; F(x, y, z) =e}, onde c é um número real. Se Po = (xo, yo, zo) E Sé tal que F}(po) +FJ(po) =/=O, então o conjunto dos pontos (x, y, z) E S, suficientemente próximos de po, é o traço de uma superfície parametrizada regular. Demonstração. Suponhamos que Fz(po) =/=O. Segue-se do teorema da função-ímplícita (ver Capítulo O) que uma aplicação diferenciável