Introdução à Teoria da Probabilidade - Hoel, Port, Stone.pdf

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-

Introdulntrodut:iło

aTeoria

da Probabilidada .

DE

r

FUNDO E',72R,AL

Batschelet- lntrodução à Matematica para Biocientistas Bensa"ld- A Censuita Medica Bingham/Davies- Manual de Análise de Sistemas Buecken- Vocabulário T é c n i c o - Português, I nglês, F rances e Alemao Coutinho - Jardim, Horta e Pornar Dacorso- Elementos de Geometria Diferencial Dawson/Wool - De Bits ate lf's - Urna lntrodU m),

n, m

= O, l, 2, . .. .

59

Fazendo n = m = O vemos que P(X > O = P(X > 0) 2 , de modo que P(X > O) e igual a l ou O. Se P(X > O) = O, entao P(X = O) = l, o que e impossivel no nosso caso ja que X pode assumir somente valores inteiros positivos. Portanto P(X> O)= l. Fazendo p = P(X = 1), de modo que P(X P(X > n

+

> l) =

l -p, vemos de (9) que

l) = (l - p)P(X > n).

Por i teras:ao sobre n segue-se que P(X >n) = (l -p )n. Assim para n == l, 2, ... ,

(10)

P(X

=

n)

= P(X > n - l) - P(X > n) = {l - p)n-1 - (l -p)" = p{l -

p)"'-1.

Se p= O, entao P(X =n)= O para n= l, 2, ... e assim P(X= +oo) =l, isto e, o objeto nunca falha. Nós excluimos este caso de corisideras:ao. Da mesma forma excluimos p = l porque neste caso P( X = l) = l, e o objeto sempre falha no primeiro periodo de funcionamento. Seja Y = X - l. Entao Y assume os valores O, l, 2, ... com probabilidades P(Y =n) =p (l -p )n. Vemos portanto que Y tern distribuis:ao geometrica de panimetro p. Como acabamos de mostrar, a variavel aleatória Y= X- l distribui-se geometricam~nte. Este exemplo e tipico no sentido de que variaveis aleatórias com distribuis:ao geometrica ocorrem geralmente ero relas:ao ao tempo de espera ate a ocorrencia de algurn evento. Este fato seni discutido mais detalhadamente depois de tratarmas das repetis:oes independentes de urn experimento na Ses:ao 3.4.

3.3. VETORES ALEATÓRIOS DISCRETOS Acontece, freqiientemente , estarmos interessados ero estudar a relas:ao entre duas ou mais variaveis aleatórias. Assim , por exemplo, na extras:ao de urna aroostra aleatória de tamanho n de urna caixa, contendo r bolas, numeradas de l a r, podedarnos desejar saber qual o numero mais alto Y ou o numero mais baixo Z observado entre as bolas selecionadas. Seja (n, d, P) urn espas:o de probabilidacie e sejam X 1 , X 2 , ••• , X, r variaveis aleatórias discretas definidas neste espas;o. Entao para cada ponto w E n cada urna das variaveis aleatórias X 1 , ••• , X, assume urn de seus valores possiveis, fa to que sera indicado escrevendo

Em vez de pensarem observar r numeros re ais x 1 , x 2 , ••• , x ,, podemas pensarero observar urna r-tupla X= (X 1, X2, • • • , X r ), on de para cada i, X i e Uffi dentre O numera fmito ou infmito en urneravel de valores q ue a variavel aleatória Xi pode assumir. :JO

Seja R' a cole~?o de toda~ as r•tuplas de' numeros reais. Urn ponto X = (x l ' ' ' . x,) de R' e habitualmente chamado de vetor r-diinensional. Assim, para cada w E n, os r valores XI (w), ... ' X,( w) deflnem urn ponto o

'

X(w)

=

(X1 (w), X 2 (w), ... , X,(w))

de R'. Isto de fin e urna funyao vetorial r-dimensional em n, X: n -+ R', que se representa habitualmente por X = (X 1 , X 2 , •• • , X,) . . A fun~ao X e chamacta de vetor aleatório discreto r-dimensional. Acabamos de defmir urn vetor aleatório r-dimensional em termos de r variaveis aleatorias reais. Altemativamente , pode-se defmir iun vetor aleatório r-dimensional diretamente com a fun~ao X: n -+ R' , estendendo quase literalmente a defini~ao de urna variavel aleatória real. Defmi~o 4 . Urn vetor aleatório r-dimensional X, e urna fun~ao X de para R', assurnindo urn nUmero fmito ou infinito e numeravel de ~aiores X1, x 2 , •.. tais que

n

{w: X(w) = x;} e urn evento para todo i. Define-se a fun~ao de densidade f de urn vetor aleatório -X atraves -de f(x 1 ,

. •. ,

x,)

=

P(X1

=

x 1,

••. ;

X,

=

x,)

ou equivalentemente

f(x) = P(X = x),

XER'.

Pode-se deterrninar a probabilidade de que X de R' usando o analogode (7), a saber, P(X

E

A)

=

L

perten~a

ao su_bconjunto A

f(x).

X€.4.

Como no caso unidimensional, a fun~ao f tern as seguintes propriedades: (i) f(x) ~ 0, xER'. (ii) { x : f(x) =F O } e um subconjunto finito ou in_finito enumerdvel de R', que serd representado por { x 1 , x 2 , • - • } • (iii) ~i f(xi) = l.

Qualquer fun~ao real f definida em R', que tern estas tres propriedades, sera chamacta de fun~ao de densidade discreta r-dimensiÓńal. o argumento apresentado para o caso unidimensional aplica-se literalmente para mostrar que qualquer fun ao de densidade discreta r-dimensional e fun~ao de densidade de algurn vetor eatório r-dimensional. a terminologia tradicional associada com v?tores aleatórios e suas - - - Ses ~~,..;~ć.e. Seja X = (X 1 , X 2 , . .• , X,) urn vetor aleatório r-dimensional 61

com densidade f. En ta? a funyaO f e habitualmente chamacta de funriio de densidade eonjunta das variaveis aleatórias X 1 , X 2 , •• • , X,. A funyao de densidade da variavel aleatória X; e entao chamacta de i-esimadensidade marginal de X ou de f. Sejam X e Y duas variaveis aleatórias discretas: Para quaisquer numeros reais x e y, o eonjunto { w l X(w) = x e Y( w) = y} e urn evento, que sera representado por { X = x , Y = y } . Suponha que os valvres possiveis distintos de X sejam x 1 , x 2 , • • • e os de Y sejam y 1 , Y 2, ... Para cada x, os eventos {X= x, Y= Yj }, j = l, 2, .. . , sao disjuntos e sua unHio e o eventd {X= x }. As sim P(X

= x) = =

P (

y {X = x,

L P(X

=

Y =

yj})

L P(X

Y = Y) =

X,

= X, Y

= y).

Y

j

Esta ultima expressao resulta do uso da mesma conven9ao notacional introduzida para variaveis aleatórias na Se9ao 3.2. Analogamen te , P(Y = y) = p

=

(Y

{X =

L P(X

X;,

Y =

= X;, Y =

y})

y) =

L P(X

i

= x, Y = y).

X

Em outras palavras, se eonhecem as a densidade eonjunta de duas variaveis aleatórias discretas X e Y, podemas obter a densidade fx de X somando sobre y e, a densidade f y de Y somando sobre x. Assim em termos das densidades , se f e a densidade eonjunta de X e Y, entao

(l l)

fxCx)

=

L Jcx, r)

e (12)

f r(Y) =

L f(x,

y).

X

Exemplo 12. Suponha que se extraia aleatoriamente, sem reposiyao, duas cartas de urn baralho de 3 cartas numeradas de l a 3 . Sej a X o numero da primeira carta e Y o da segunda. Entao a densidade eonjunta de X e Y e dada por f(l , 2) =f(l , 3) = f( 2, l) =f(2, 3) =f(3, l) =f(3 , 2) = 1/6 e f(x,y)=O para outros pares de X e y. A primeira densidade marginal , isto e, a densidade de X e dada por f x (l ) =f( l , l)+ f(l , 2) + f(l , 3) =O+ 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 e similarmente para x = 2 e 3. Portanto fx(x) = 1/3 , x =l , 2, 3, .e fx(x) =O para outros valores de x , com o era de se esperar. Exemplo 13. Suponha que X e Y sao duas variaveis aleatórias que assumem os valores de x e y, onde x = l, 2 e y = l, 2, 3, 4, com as probabilidades dadas na tabela abaixo.

62

Y

4

X

1/ 16 1/8

Entao

f x( 2)

fx(l) = L:t=l :· l -fx( l) = l ::. ~

-

_ ~ - ltl6 + 1/16 = 1/2, e :stribui9ao uniforme sobre l e 2.

• ::OTTJ

=

Analogamen te

fy(l)=l / 4+1/16=:. ··-.::. =.3 i6,[y(3)= 5/16,[y(4)=3/16.

3.4. VARIAVEIS ALEATÓRHS I: iDEPENDENTES Considere o expcrr;:r: :no _j: h .'19ar . urna moeda e urn dado. Acreditamos intuitivamente que o re~:2.ć.o -io lan9amento da moeda, qualquer gue seja ele, nao deve ter influenca sob~ o ;anqamento do dado, e vice-versa. Desejamos construir urn modelo de prob3.biJdade que reflita essas ideias. Seja X urna variavel aleatória que e l ou O. dependendo de se o lanqamento da moeda resulta em cara ou coroa, isto e, o evento ~X= l } representa o resultado de se observar cara e o evento { X = O} o de se observar coroa. De forma semelhante representamos o resultado do lan9amemo do dado por urna variavel aleatória Y que assume o valor l , 2, . .. ou 6 dependendo de , se o numero observado no dado e l , 2, ... ou 6. Pode-se representar o resultado do experimento composto atraves do vetor aleatório (X, Y). A noqao intuitiva de que os resultados observados , na moeda e no dado, nao tern influencia urn sobre o outropode ser traduzida, precisan1ente dizendo, que se x e urn dos numeros l e O e y e urn dos numeros l, 2, .. . , 6 , entao os eventos {X = X } e { X = Y} devem ser independentes. Assim o vetor aleatório (X, Y) deveteradensidadeconjunta f(x,y) dadapor _ {P(X = x)P(Y = y), f(x,y)- O,,

Em outras palavras, a densidade eonjunta

X= 0 ,1, Y= l, 2, ... , 6,

f de

outros valores dt: x e y. X e Y deve ser dada por

f(x , y) = fx(x) fy(y) .

Defmis:ao 5. Sejam XI,

x2, ... , x,

r variaveis aleatórias discretas tendo

as densidades f 1 , [ 2 , . . . , f,, respectivamente . Diz-se que estas variaveis aleatórias sao mutuamente independentes se a sua fun9ao de densidade eonjunta f e dada por

Diz-se que as variaveis aleatórias sao dependentes se elas nao forem independentes. Com o no caso do experimento composto de lanyar urna moeda e urn dado, a no9ao de variaveis aleatórias independentes constitui urna forma conveniente de formular precisamente a no9ao intuitiva de que os experimentos sao independentes uns dos outros. Considere duas variaveis aleatórias independentes com densidades fx e {y, respectivamente. Entao para dois subconjuntos quaisquer A e B de R.

(14)

P(XEA, YEB) =P(XEA)P(YEB).

Para verificar ( 14), observe que P(X E A, Y E B)

= =

=

L L

fx.r(x, y)

XEA yEB

L L

XEA yEB

fx(x)fr(Y)

[x~A fx(x)] L~B fr(Y)]

= P(X E A)P(Y E B).

A fórmula (14) acima estende-se facilrnente de 2 para r variaveis aleatórias independentes. Assim, se A 1 , A 2 , . • . A, sao r subconjuntos quaisquer de R, entaó

(15)

P(X 1 EA 1 ,

. . .

,X,EA,) =P(X1 EA 1 ) ·· ·P(X,EA,).

Exemplo 14. Sejam X e Y duas variaveis aleatórias independentes com distribuiyao geometrica de panimetro p. (a) (b) (c) (d)

Determine a distribuiyao de min (X, Y) . Determine P(min (X, Y) = X)= P( Y;;;:. X). Determine a distribui9ao de X+ Y. Determine P( Y = y l X+ Y = z) para y = O, l, . . . , z.

Para resolver (a), observamos que para urn inteiro nao-negativo z P(min(X, Y);;;:. z) = P(X;;;;.

z, y;;;;, z) = P(X;;;;. z) P(Y;;;;. z),

de modo que, pelo Exemplo 11

Segue-se do Exemplo 11 que min (X, Y) tern urna distribuiyao geometrica de parametro

64

Para resolver (b), observamos que

=

P(Y ~ X)

00

P(X

=

x, Y ~ X)

=

L P(X x=O

=

x, Y·~ x)

=

L P(X x=O

=

x)P(Y ~ x)

=

L p(I x=O

L

x=O 00

00

00

00 •

L

=p

- p)"'(l -

PY

(l - p)2x

x=O

Para resolver (c), seja z urn inteiro nao-negativo. Entao P(X

+

Y = z) = =

%

L

P(X = x, X

L"

P(X = x, Y = z - x)

x=O

=

%

L P(X x=O z

=

+

Y = z)

x=O

L

= x)P(Y = z - x) ·

p(l - p)"'p(l - py-x

x=O

=

(z

+

l)p2 (1 -

py.

A solutyao de (d), e dada por P(Y

=

YlX

+ .

Y

= z) =

P(Y = y, X + Y = z) . P(X + Y= z) P(X = z - y, Y = y) P(X

+ Y:::::

z)

P(X = z - y)P(Y P(X

+

=

y)

Y= z)

p(l - py-yp(1 - p)Y (z

+

l)p 2 (1 -

PY

l

z

+

1

65

Considere urn e~perimento (tal como o lanc,:amento de urn dado) ..= ::-:- • somente urn numero finito ou infinito enumeravel de resultados poss! ·e · r -- ~ como ja foi explicado, podemas pensar neste experimento como a obse n - ;i valor de urna variavel aleatória X. Suponha que o experimento seja repe ·:: vezes. Pode-se descrever o experimento compasto como a observac,:ao d os'~ __ _ das variaveis aleatórias XI' x2' . .. ' X n ' on de X; e o resultado do ż..esimo ex;:':'· rimento. Repetindo-se os experimentos sob condic,:oes identicas, presumivehne l" _ mecanismo de chance permanece o mesmo, de modo que devemos exigir que estzs . variaveis aleatórias tenharo a mesma densidade . Pnde-se agora formular a n~3o intuitiva de que os repetidos experimentos nao tern influencia uns sobre os outros. exigindo que as variaveis aleatórias X 1 , X 2 , • .• , Xn sejam mutuamente independentes. Assim, em resumo, pode-se usar n variaveis aleatórias independentes, com densidade discreta f para representar n repetic,:oes de urn e:X:perimento, tendo urn numero fmito ou infmito en urneravel de resultados poss!veis. Os experimentos aleatórios mais simpies sao, aqueles que tern apenas dois resultados poss!veis, que podemas designar de sucesso e fracasso. No lanc,:amen,to de urna moeda, por exemplo, podemas pensar na obtenc,:ao de cara como sucesso, enquanto na extrac,:ao de urna cana de um baralho podemas considerar a obtenc,:ao de urn as como sucesso . Suponha que realizamos n repetic,:oes do nosso experimento simples. Entao podemas descrever a siruayao supondo que X 1 , X 2 , • . • , X n s:Io n variaveis aleatórias indieadoras tais que X; = l ou O dependendo de se a ż-esima repetic,:ao do experimento resulta em sucesso ou fracasso. a literatura, provas que podero resultar em sucesso ou fracasso sao chamadas de provas de Bemoulli , e descreve-se a situac,:ao acima dizendo que realizamos n provas de Bemoulli com probabilidade comurn de sucesso p = P(X; = l). ~este contexto diz-se que urna variavel aleatória que assurne os valores l e O, com probabilidades p e 1 - p, tern urna densidade de Bernou/li de panimetro p. O resultado da realizac,:ao de n provas de Bernoulli pode ser representado pelo vetor aleatório X = (X1 , X 2 , . . • , X n) . A informac,:ao contida neste vetor diz exatamente quais sao as provas que resultaram em sucesso e quais resultaram em fracasso. Freqiientemente nao se requer urna informac,:ao tao precisa, e tudo que desejamos conhecer e o numero de sucessos Sn obtidos em n provas. Mostramos no Exemplo 2 que Sn se distribui binomialmente com parametrds n e p. Observe que Sn = XI + x2 + ... + Xn. Pode-se pensar em qualquer variavel aleatória que se distribui binomialrnente com esses parametros como sendo a soma de n variaveis aleatórias independentes de Bernoulli, cada urna com parametro p . Consideremos agora as repetic,:oes independentes de urn experimento que tern urn numero finito r ;;:;. 2 de resultados poss!veis.

3.4.1. A DISTRIBUI~AO MULTINOMIAL. Considere urn experimento, tal como o lanc,:amento de urn dado, que pode resultar em somente urn nUmero finito r de distintos resultados poss!veis. Podemos representar este experimento dizendo que

66

observamos wna variavel aleatória Y que assume os valores l, 2, . . . , r, de modo que o evento { Y= i } representa o fato de que o experimento produziu o i.esimo resultado. Seja Pi = P( Y = i). Se realizamos ·n repetiy5es independentes do experimento, 'podemos representar o resultado dessas n provas por meio de wn vetor aleatório n-dimensional ( Y1 , . . . , Y n), on de a variavel aleatória Yi eorresponde a j.esima prova. Aqui as variaveis aleatórias Y1 , . . . , Y n sao mutuamente independentes e P( Yi = i) = Pi. O vetor aleatório ( Y1 , . . • , Y n) nos da o resultado de eada urna dessas n provas. Como no easo de r = 2 resultados, freqiientemente nao estamos interessados numa deseriyao tao detalhada, mas gostar!amos de saber apenas quantas das n provas eonduziram a eada wn dos diversos resultados poss!veis. Seja Xi, i = l, 2, ... , r, o numero de provas que proctuzem o i.esimo resultado. Entao Xi = xi se, e somente se, exatamente Xż das n variaveis aleatórias Y1 , • • • , Y n assumem o valor i, isto e,. exatamente Xż das n provas proctuzem o i.esimo resultado. Por exemplo, para r = 3 e n= 5, se

entao

A seguir determinaremos a densidade eonjunta de X 1 , • . • , X,. Para isso, sejam x 1 , x 2 , ••• , x, r numeros inteiros nao-negativos tais que x 1 + · · · + x, =n. Com o as variaveis aleatórias Y 1 , Y 2 , . • • , Y n sao independentes e tern densidade eomum, urn pouco de raeioe!nio m ostra que eada eseolha espee!fiea x 1 de las ten do valor l, x 2 delas ten do valor 2, ... , x, delas ten do valor r tern a mesma probabilidade que e x1 x2

Pt P2 Assim, representando por C(n; x 1 , vemos que

P(X1 = x 1 ,

...

•••

•.• ,

xr

Pr ·

x,) o numero de eseolhas poss{veis,

,X,= x,) = C(n;x 1 ,

••.

,x,)p~• ···p~'.

A determinayao de C(n; x 1 , . • • , x,) e urn probierna de analise eombinatória que se pode resolver facilmente pelos metodos do Cap!tulo 2. A maneira mais simpies de faze-lo e pensarnos r valores l, 2, . .. , r eomo r eaixas e nas n provas eomo n bolas. Entao C(n; X t' . . . 'x,) e o numero de maneiras em que podemos distribuir n bolas em r eaixas de modo que tenharnos exatamente x 1 , bolas na eaixa l, . . . , exatamente x, bolas na eaixa r. Se assim for feito a caix2 l ten1 x 1 bolas. Estas x 1 bolas poderao ser escolhidas dentre n bolas ·~

f n) ~ x1

maneiras. As n - x 1 bolas restantes estarao distnouidas nas r - l caix.as

2, 3, ... , T de modo que teremos x 2 bolas na caixa 2, . . . , x,. bolas na ca:ixa. r. Assim

(16)

C(n;x 1 ,

•••

,x,)=(: )

C(n..:...x 1 ;x 2 ,

1

• • •

, x,).

Segue-se por induyao sobre n que

(17) Realmen te, para T= l nao ha nada a demonstrar. Suponha que (17) seja verd.arlei! para T- l caixas. Entao de (16) vemos que

n!

C(n;x 1 ,

...

(n - xi) !

,x,) = (x 1 !)(n-xt}! (x 2 !) .. · (x, .)

.n! (x 1 !) ···(x, !) como desejado. Portanto a densidade eonjunta

(18)

f(x 1 ,

•••

f

, x,)

de X 1 ,

x;

te

O, Esta densidade chama-se

• •• ,

o

X

e

~ Otaisque x 1

+· ·· +x, =n ,

os valores de x ;

multinomial de parametros n e p 1 • • • , p, . Observamos de imed.iato que as variiveis aleatórias XI ' ... ' x, nao sao independentes. De fat6, como XI + x2 + ... + X, =n , quaisquer T - l delas determinam a T..esima. Usa-se as vezes esse fato, juntamente com a relayao p 1 + · · · + Pr = l, para expressar a distribuiyao multinomial de urna forma dife. rente. Sejam x 1 , x 2 , . . . , x,_ 1 ; T - l nfuneros inteiros nao-negativos tais que x1 +· · · + 1 ~n . Entao; densźdade

x,_

(19) P(X 1 = XI , . .. '

x.-1 = x. - l)

n!

Esta forma e conveniente quando estamos interessados nos primeiros T - l resultados e pensarnos no T..esimo resultado como o resultado que e "nenhum dos

68

r - l resultados". Assim, no lan9amento de urn dada

podeńamos esta.r interessados em saber se ocorrem 2, 4 ou 6. Entao o experimento teria quarro resultados possiveis "2", "4", "6" e "nao tf(2, 4 ou 6)". Seja k urn numero inteiro nao negativo, k ~ r . Urn simpies argumento probabilistico mastra que para numeros inteiros nao-negativos x 1 , x 2 , . . . , Xk tais que x 1 + · · · + xk ~ n,

n! (x 1!) .. ·(xk!)[n- (x 1 + ... + xk)J! X

P1' '' 'p:•(l - (p l

+ ''' +

Pk))n-(x, + ... +x•l.

Para ver isto, observe que na realiza9ao das n provas estamos agora interessados somente nos (k + l) resultados "l", "2", ... , "k" e "nao (1, 2, ... , k)". Assim, em essencia ternos n repeti96es de urn experi.Ihento tendo k + l resultados, com Xi sendo o ntimero de vezes que ocorre o i..esimo resultado, i== l, 2, ... , k. A equa9ao (20) decorre entao de (19) com r- l ==k.

3.4.2 APROXIMAl;AO DE POISSON PARA DISTRIBUil;AO BINOMIAL.

Existe urna importante liga9ao entre a distribui9ao binomial e a de Poisson. Suponha por exemplo que realizamos n provas de Bernoulli com probabilidade de sucesso Pn == A./n em cada prova. Entao a probabilidade de obter Sn == k sucessos nas n provas e dada por P(Sn == k) ==

(Z) (pn)k(l -

== J..k (n)k k! nk

amedida que n -Ho, (n)k/nk-+ l, Consequentemente, (21)

. l Im

n->OO

(l - ~)" (l - ~)-k. n n

(i- A./n)n -+e-A,

(n) (Pn)k(l _ Pn)n-k k

Pn)"-k

=

e ( l - A./n)-k-+ l.

Ak e -;. .

k!

Na deriva9ao de (21) tłnhamos npn == A.. Na realidade (21) e valido sempre que npn -+ A. quando n -+ oo. Usa-se a Equa9ao (21) nas aplica96es para aproximar a distribui9ao binomial pela distribui9ao de Poisson quando a probabilidade de sucesso p e pequena e n e grande. Faz-se isso aproximando a probabilidade binomial P(Sn == x) por meio de f(x), onde f e a densidade de Poisson de parametro A. == np. A aproxima9ao e. bastan te quando np 2 e pequeno. O exemplo seguinte ilustra essa tecnica.

69

Exemplo 15. Urna maquina produz parafusos dos quais 19 sao defeituosos. Determine a probabilidade de que nao haja parafusos defeituosos numa caixa de 200 parafusos. Ternos aqui n

=

200 provas de Bemoulli com probabilidade de sucesso

p= 0,01. A probabilidade de que nao haja parafusos defeituosos e

(l - 0,01) 200 = (0,99) 200 = 0,1340. A aproximayao de Poisson para esta probabilidade e dada por e- 2oo(o ,o1) = e - 2 =

O,l3S 3 .

O fato de que a distribuiyao de Poisson pode ocorrer como o lirnite de distribuiy6es binomiais tern im portan te s consequencias teóricas. E urna das justificativas para desenvolver modelos baseados em processo de Poisson, que serao discutidos no Capltulo 9. O uso da aproximayao de Poisson como artiflcio para poupar trabalho na determinayao de probabilidade binomia} tern importiincia secundaria, urna vez que sepode calcular facilrnente as próprias pro babilidades binomiais.

3.5. SEQUENCIAS INFINITAS DE PROV AS DE BERNOULU Considere a realizayao repetida de urn experirnento do tipo sucesso-fracasso com probabilidade de sucesso p ate que ocorra o prirneiro sucesso. Para qualquer numero predeterminado n de provas, existe a probabilidade nao-nula (l - p )n de que nao ocorra nenhum sucesso. Assim, considerando o numero de provas ate o prirneiro sucesso, nao podemos nos limitar a qualquer numero predeterrninado de provas mas, considerar urna seqi.iencia interrninavel de provas. Urn dado numero fmito n de provas constituem n provas de Bemoulli, representadas por n variaveis aleatórias independentes de Bemoulli X 1 , ••• , Xn. Para representar urna seqiiencia infmita de provas de Bemoulli consideramos urna seqi.iencia infmita {Xn } , n ;;;. l, de variaveis aleatórias independentes de Bemoulli tendo o mesmo parametro p. Em geral diz-se que as variaveis aleatórias XI, x2, . . . sao independentes se as variaveis aleatórias X 1 , . • • , X n forem mutuamente independentes para qualquer numero inteiro positivo n. Pode-se mostrar que dada urna densidade discreta qualquer f, existe urn espayo de probabilidade (n, d, P) no qual estao definidas as variaveis aleatórias mutuamente independentes X 1 , X 2 , ••• com densidade comurn f. Como modelo para a realizayao de urna seqiiencia ilimitada de Bernoulli tomamos, portanto, urna seqi.iencia infmita { Xn} , n;;;. l, de variaveis aleatórias de Bemoulli mutuamente independentes tais que P(Xn = l) = p, n ;;;. l. Inter- etamos Xn = l como significando que a n..esima prova resulta em sucesso e J..'= = O significando que ela resulta em fracasso.

Considere o nfunero de provas W, a:e o primeiro sucesso. A variavel aleatória W1 pode assumir somente os vclor..-s:.:: reiros l, 2, . . . O evento { W1 = n ; ocorre se, e somente se , as primeiras 11 - l pro\·as sao fracassos e a n.::esirna prova e urn sucesso. Portanto {w l =n } = { XI = O, ... 'Xn-

l

=O, X n = l }.

Segue-se que

P(W 1 = n)=P(X 1 =O , .. . , Xn - 1 =O,Xn=l) =P(X 1 = O) ·· ·P(Xn - t = O)P(Xn =l) =(1-p ) ll- lp. Consequen tern en te (22)

P(W 1 - l = n)=p(l-p)n .

Assim, W1 - l clistribui-se geometricamente com parametro p. Seja r ;;;;, l urn numero inteiro e T, o numero de provas ate o r.esimo sucesso (de modo que r.e sirno sucesso ocorre na prova Tr ) . En tao T, e urna variavel aleatória que pode assumir somente os valores r, r + l, . . . O evento {T, = n } ocorre se, e somente se , ocorrer urn sucesso na n.esirna prova e ocorrem exatamente r - l sucessos nas primeiras n - l provas. Assim { T7

= n } = {X 1 + · · · + X 11 _

1

=r -

l }

n {Xn = l } .

Como os dois eventos do segundomembro sao independentes e X 1 + · · · + Xn _ 1 tern distribuis;ao brnomial de parametros n - l e p, vemos que para n = r, r + l , . . . P(T, =n)= P(X 1

(~

+ · · · + X.- 1 = r- l)P(X. = l)

=D

p'-1(1 - p)"-'p

('; =Dp'(! -

p)"-'.

Consequentemente ( 23)

P(T, - r

=

n)

=

(

r

+r _n -

1

l) p'(l -

p)".

Vemos das equas;6es ( 4) e (23) que T, - r tern distribuis;ao binomial negativa de panunetros a= r e p. Seja T0 = O e T7 a variavel aleatória defmida acima para qualquer nfunero inteiro r;;;;;, l. Defma Wi = Ti- Ti _ 1 , i= l, 2, . . . Entao Wi eo numero de prm·as

l:

ti o i..esimo sucesso, ~pós o (i- l) i..esimo sucesso. Mostraremos a seguir que, para - alquer numero inteiro r ~ l' as varhiveis aleatórias wl - l' w2 - l' ... ' w, - l sao rnutuamente independentes e tern a mesma densidade geometrica de parametro p . Pa!a tanto, sejam n 1 , n 2 , •• • , n, r numeros inteiros positivos quaisquer. Entao o evento { W1 = n 1 , . • . , W, = n, } ocorre somente se todas as prirneiras n 1 + · · · + n, provas sao fracassos, exceto as provas

que sao sucessos. Como as provas sao mutuamente independentes com probabilidacte comurn de sucesso p, vemos que P(W1 = »1 , . . . , W,= n,)= (l- p)" 1 - 1 p(1- p)" 2 - 1p .. ·(1- p)"'- 1p

=

- py·-1 J.

n [p( l r

i= l

Assim as variliveis aleatórias W1 - l, .. . , W, - l sao independentes e distribuem-se geometricamente com parametro p. Vemos claramente que T, - r = (W 1 - l) + · · · + (W, - 1), de modo que T, - r e a soma de r variliveis aleatórias independentes geometricamente distribułdas. Mostramos anteriormente que T, - ,.. tern distribui9ao binomial negativa de parametros r e p . Fica assim estabelecido o fato interessante e importante de que a distribuiriio da soma de r variliveis aleatórias geometricas independentes identicamente distribuz'das com parrirrietro p terrz distribuiriio binbmial negativa de panimetros r e p. Propriedades adicionais de sequencias infmitas de provas de Bernoulli serao tratadas nos exercłcios . 3.6. SOMA DE VARIAVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES Nesta se9ao discutiremos metodos para determinar a distribui9ao da soma de urn numero fmito de variaveis aleatórias discretas independentes. Come9amos considerando duas de tais variaveis aleatórias, digamos X e Y. Suponhamos entao que X e Y sao variaveis aleatórias discretas independentes. Sejam x 1 , x 2 , • •• os distintos valores possłveis de X. Para qualquer z, o evento' {X + Y= z } e o mesmo que o evento

=

U {X i

Como os eventos { X segue -se que P(X +Y

= x;,

z) =

Y

=z

L P(X

X ;,

Y = z - x;}.

- x ; } sao disjuntos para valores distintos de i ,

= X;, Y

= z -

i

=

~ P(X

=

x;)P(Y

X;)

Em outras palavras, (24)

L fx(x)fr(z

fX+r(z) =

- x).

Se X e Y sao varhiveis aleatórias inteiras, entao X+ Y e tamhem inteira. Neste caso podemos interpretar (24) como sen do vilida, quando z e inteiro e a variavel x do segundo membro se estende sobre os (24) inteiros. Urna particularizayao adicional ~ util. Suponha que X e Y assumam somente valores inteiros nao-negativos. ·Entao X+ Y tamb~m assume somente valores inteiros nao-negativos. Se z ~urn nómero inteiro nao-negativo, entao fx(x) fy(z- x) =O a menos que x seja urn dos valores O, l, ... , z. Entao sob essas condiyoes podemos reescrever (24) como z

(25)

fx+Y(z)

= L

x=O

fx(x)fr(z - x).

Embora a equayao (25) seja util na determinayao da densidade de X + Y, geralmente ~ mais simpies usar funyoes geratrizes de probabilidade. Descreveremos a seguir tais fun_yoes e apresentaremos diversas aplicayoes irnportantes de seu uso . na determinayao da densidade de soma de variaveis aleatórias independentes. Defmiyao 6. Seja X urna variavel aleatória inteira nao-negativa. Defme-se funyao geratriz de pro babilidade IP x de X como

x(t)

=

xto P(X = x)t" = xto (:) (pt)"(l -

p)"-".

A seguir determinaremos IPx( t) para tres casos especificos. Exemplo 16. Distribuięao binomial. Seja X urna variavel aleatória tendo distribuiyao binomial de parametros n e p. Entao P(X

= x) = (:)

p"(l _ p)"-x

e portanto 00

x(t) =

L

00

x=O

P(X = x)t" =

Pela fórmula de expansao binomial

(a

+

b)" =

L

x=O

fx(x)t",

- l ::s; t:::;; l.

f (n) a"bn-x,

x=O

X

concluimos que

(26)

~Px(t)=(pt+

1-p)n.

Exemplo 17. Distribuięao b inomial negativa. Seja X urna variavel aleatória com distribuiyao binomial negativa de parametros a e p. Entao

3

e portanto

x(l) = Jo Pa

(~tX)

f (-(J.) (-t(l -

= pa

x=O

+ s)-a =

f (-a) sX,

x=O

X

com s = -t(l- p) , segue-se que p

x(t) = ( l - t(l - p)

(27)

p)y.

X

Da expansao em serie de Taylor

(l

(-lY(l- pytx

Exemplo 18. Oistribuic;ao de Poi sso n. de Poisson de parametro 'A. En tao

)a

.

Suponha que X tern urna distribuiO e y ;;;. o. 14. Seja X e Y duas variaveis aleatórias indepen den'tes com densidade uniforme em {0, l , . . . ,N }. Determine (a) P(X ;;;. Y) ; (b) P(X =Y). 15. Sejam X e Y comono Exerc!cio 14. Obtenha as densidades de : (a) min (X, Y); (b) max (X, Y); (c) l Y- X l. 16. Sejam X e Y duas variaveis aleatórias independentes tendo densidades geometricas de parametros p 1 e p 2 respectivamente. Obtenha: (a) P(X;;;. Y); (b) P(X= Y) . 17. Sejam X e Y comono Exerc!cio 16. Obtenha a densidade de (a) min (X, Y);

(b) X+ Y.

18. Sejam X e Y varhiveis aleatórias discretas e sejam g e h satisfa~am a identidade. P(X = x, Y= y)

(a) (b) (c) (d)

fun~oes

tais que

= g(x)h(y).

Expresse P(X = x) em termos de g e h. Expresse P( Y = y) em termos de g e h. Mostre que (Lx g(x)) (Ly h(y)) = l. Mostre que X e Y sao independentes. 79

19. Sejam X e Y variaveis aleatórias independentes com a mesma densidade geometrica de parametro p . Sejam Z= Y- X e M= min (X, Y). (a) Mostre que para z e m;;;. O inteiros

P(M=m Z=z)= {P(X=m-z)P(Y=m), ' P(X=m)P(Y=m+z),

z O, devemos ter zi = O. Assim o (mico valor possłvel de Z e O e conseqiientemente P(Z = O) = 1: Finałmen te ( v) decorre de (iv) e (ii) por que - l X l ~ X~ l X l e portan to - El X l ~ EX ~E l X 1. l sto compieta a demonstrac;:ao do teorema. Segue-se facilmente de (ii) e (iii) que. se X 1 , •• • , Xn sao n variciveis aleatórias quaisquer que tern expectiincia fmita e c 1 , . • . , en sao n constantes quaisquer, entao (6)

E(c 1 X 1

+ · · · + cnXn) = c1 EX1 + · · · + cnEXn.

E util saber que urna variavel aleatória limitacta sempre tern expectiincia fmita. Mais precisamente Teorema 3 . Seja X urna variavel aleatória tal que P( l X l ~ M) = l, para urna algurna constante M. Entao X tern expectiincia fmita e lEX l~ M. Demonstra~o. Sejam x 1 , x 2 , • • . os valores possłveis de X. Entao l X i l para todo i. Realmente, se l xi l> M para algurn valor possłvel de Xj, entao

~

M

o que contradiz o fato de que P(l X l ~M)= l. Conseqlientemente

L lx;/!(x;)

Li f (x;)

~ M

i

~ M,

de modo que X tern expectiincia fmita. Alem do mais, em virtude de (v) do Teorema 2.

IEXI ~ EIXI

=L lxdf(xi)

~ M.

i

Jsto compieta a demonstrac;:ao . Segue-se facilmente do Teorema 3 e de (iii) do Teorema 2 que , se X e Y sao duas variaveis aleatórias tais que , Y tern expectiincia fillita e P(l X - Y l ~M) = l, para algurna constante M, entao X tamhem tern expectiincia fmita e l EX- EY l~ M. Deixamos para o leitor a demonstrac;:ao deste resultado. Urna vez que a expectiincia da soma de duas variaveis aleatórias e a soma de suas expectiincias, podia-se supor que a expectiincia de urn produto fosse o produto

89

das expectancias. Pode-se ver que isto nao e verdade, em geral, considerando a variavel aleatória X que a5sume cada urn dos valores l e - l com probabilidade 1/2 e fazendo X= Y. Entao EX= EY = O mas EXY = EX 2 = 1. Existe urn caso importante em que esta regra do produto e vilida. Trata-se do caso em que X e Y sao variaveis aleatórias independentes. Estabelecemos formalmente este caso a seguir.

Teorema 4. Sejam X e Y duas variaveis aleatórias independentes tendo expectancias fmitas. Entao XY tern expectancia fmita e (7)

E(XY)

=

(EX)(EY).

Demonstra~o. Observe que a densidade eonjunta de X e Y e fx(x)fy(y) . urna vez que X e Y sao independentes. Assim

L !xy!f(x, y) =Lx ,y !xi!Yifx(x)fr(Y)

x,y

=

(~ !xlfx(x)) (~ !ylfr(Y))

< oo,

de modo que XY tern expectancia finita. Usando o Teorema l concluimos que E(XY)

=

L (xy)fx(x)fr(Y) x,y

= [ ~ xfx(x)] [ ~ Yfr(Y)] = (EX)(EY). A reci'proca desta propriedade nao e verdadeira; duas variaveis aleatórias podem ser tais que E(XY) = (EXXEY) mesmo que X e Y nao sejam independentes.

Exemplo 5. Suponha que (X, Y) assume os valores (1,0), (0,1), (-1,0) e (0, -l) com probabilidades iguais. Entao EX = EY = O. Como XY = O, segue-se que E(XY) = O e portanto E(XY) = (EX)(EY). Para ver que X e Y nao sao independentes, observe por exemplo que P(X = O) = P(Y = O) = 1/2 enquanto P(X= O, Y= O)= O. Assim P(X

= O, Y= O) =l P(X = O)P(Y = 0).

Freqiientemente e mais facil determinar expectancias usando as propriedades dadas no Teorema 2 do que usando diretamente a defmic;:ao. Ilustraremos agora essa tecnica com diversos exemplos. Exemplo 6. Distribui l, Assirn, em ambos os casos e sempre verdade que

Entao, pelo teorema da comparayao para convergencia de series, vemos que

L lxl"f(x) X

:S:

L [lxl' +

l]f(x) = E(IXI') + i < oo,

X

de modo que xk tern expectancia finita. Por outro lado, como mostramos no Exemplo 4, urna variavel aleatória X pode nao ter nem mesmo o primeiro momento. Urna simpies modificayao deste exemplo mostra que urna variavel aleatória pode ter urn momento de ordem r mas nao ter momentos de ordens superiores. (Ver Exerdcio 9.) O primeiro momento (r = l) e simplesmente a media de X. Em geral, quanto maior o numero de momentos de X que conhecemos, maior e a informayaO que ternos sobre a distribuiyao de X; entretanto, os dois primeiros momentos sao de maior interesse nas aplicay6es. Sabemos pela propriedade (iii) do Teorema 2 que se X e • Y tern ambos urn primeiro momento finito, entao X + Y tamhem o tern. Mostrarernos a seguir que esta desejavel propriedade mantem-se vilida para rnornentos de ordern r. 93

Teorema 6. Se _as variaveis aleatórias X e Y tern momentos de ordem r, entao X + Y tamhem tern momento de ordem r. Demonstra~ao. Este teorema baseia-se na simples desigualdade a seguir. Para . qualquer numero inteiro nao-negativo j..;; r,

(13)

X,

Y

E

R.

Para ver isto, observe que se lx 1..;; IY l, entao lx Ji ly l' -j ..;; ly Ji IY l'-; lyl'..;;lxl'+lyl'; enquantose lxi)>Jyl, entao lxJi Jy l' -i..;; Jxl' ..;;jxl' +lyl'. Assim (13) e verdadeiro. Usando (13) e o teorema binomial, vernos que

lx + yl':::;; (Jxl + lYlY

t

j=O

Mas

(~)

Jx li l yl'- i

)

t (r) =

j = O

)

2'

porque

Consequentemente

lx

+ yl' :::;; 2'(1x l' +

IYI').

Seja f a densidade eonjunta de X e Y. Entao

I,

lx

+ y !J(x , y) :::;; 2' L (l xl' + l yl' )f(x , y)

x ,y

x ,y

=

2'E(I X

l' + l Y l')

= 2'(E IX I'

+

E I Y IJ <

00 .

Portan to, pelo Teorema l, (X+ Y)' tern expectancia fmita. Segue-se facilmente por indu O

Teorema 8

!im p n-+ 00

(lS"n - . f.l l ::?: fJ)

= O.

A lei fraca e va!ida sempre que Xi tern media finita. Entretanto, se elas tern tamhem -variiincia finita. entao (27) se verifica. Esta e urna assercao inais precisa urna vez que elanos da urn limite superior para P

(i~

- f.l l ,::: fJ)

em termos de . n.

Ilustraremos agora o uso de (27) aplicando-a a variaveis aleatórias com distribui l. Entao S n tern media e variancia fmitas. Mostre que

e

V ar SN = a 2 EN

+

J.L

2

V ar N.

Sugestao: use os Exercfcios 31 (b) e 34. 36. Obtenha os resultados do Exercfcio 35 diferenciando a fun9ao geratriz de probabilidade de SN obtida no Exemplo 19 do Capituło 3 e fazendo t= l.

109

VARIAVEIS ALEATORIAS CONTiNUAS No Capituło 3 consideramos as variaveis aleatórias discretas e suas densidades como, por exemplo, a binomial, a hipergeom«Hrica e a de Poisson. Nas aplicay6es, estas variaveis aleatórias representam tipicamente o numero de objetos de urn certo tipo, como o numero de bolas vermelhas em urna amostra aleatória de tamanho n, com ou sem reposiyao, ou o numero de chamaclas que chegam a urna central telefonica num minuto. Existem muitas situay5es, tanto teóricas como aplicadas, em que as variaveis aleatórias naturais a considerar sao "continuas" em vez de discretas. Como aproximayao inicial, podemos definir urna variavel aleatória continua X num espayo de probabilidade n como urna funyaO X( w), w E n, tal que P( {w l X( w)= x}) =O,

_oo

O. Entao pela Pórmula (19) Y tern a densidade g dada por -(y g ( Y) -- ~l_ - e 1 uv 2n

p)2/2tr2

-oo < y < oo.

,

Esta densidade chama·se densidade normai de media JJ. e vananc1a a 2 , sendo representadapor n(JJ.,a 2 ) ou n(y;JJ.,a 2 ), -oo a)P(X > b)

= =

e - ).ae - Ab e-),(a+b)

= P(X

>a+ b).

Urna forma equivalente porem mais sugestiva de (28) e (29)

P(X>a +b i X>a) =P(X>b),

a~

O e

b~

O.

Pense em X como o tempo que decorre ate a falha de urn equipamento após sua instalal([o. Entao (29) afmna que , sob a condi~ao de que o equipamento nao falhe ate o tempo a, a probabilidade de falhar alem de nao ocorrer nas próximas b unidades de tempo, e igual a probabilidade incondicional do equipamento nao falhar nas primeiras b unidades de tempo. Isto implica que o envelhecimento do equipamento nao aurnenta nem diminui sua probabilidade de falhar num dado intervalo de tempo. O teorema seguinte mostra que (28) ou (29) caracteriza a farru1ia das disexponenciais.

tribui~oes

Teorema 3. Seja X urna variavel aleatória tal que (28) se verifica. Entao ou P(X > O) = O o u X tem distribui~ao expónencial. Demonstra9iio. Se P(X > O) = O, entao (28) se verifica trivialmente. Suponha que (28) se verifique e que P(X > O) =l= O. Entao vemos de (28) com a = b = O que P(X >O) = l, de modo que X e urna variavel aleatória positiva. Seja F a fun9ao de distribui~ao de X e defma G atraves de G(x) = 1 - F(x) = = P(X > x). Entao G e urna fun~ao nao crescente, continua a direita, G(O) = l, G(+oo) =O, e de acordo com (28) G( a+ b)= G(a)G(b ), 130

a >O e b >O.

'·

.,\

Segue-se que se c > O e m e n forem inteiros positivos, entao (30)

l ~r

G(nc) = (G(c))n

e

G( c)= (G(c/m))m .

Afirmamos a seguir que O < G(l) < l. Pois se G(l) = l, entao G(n) = (G(l))n = l, o que contradiz G(+oo) =O. Se G(l) =O, entao G(l/m) =O e pela continuidade a direita, G(O) = O, outra contradiyao. Umavezque O O para que g seja integnivel. A densi "' e::: (31) corresponde ao caso especial a = 1/2 e A. = 1/2a 2 . N a normaliz~ ·e :; para transforma-lo em densidade devemos avaliar

c = fooo xa-le-.l.x dx. Fazendo a mudanc;:a de variavel y = Ax, ternos

c

= ~ {"' A

Jo

ya-!e -y dy.

Nao existe urna fórmula simpies para a integral acima. Por isso ela e usada para defmir urna func;:ao chamada func;:ao gama e e representada por r . Assim l

c = - r(et), ).a

on de

a> O.

(32)

A func;:ao normalizada chama-se densiqade gama de parametros a e A. e sentada por I'(a, A.) ou r(x; a, A.). Vemos que

Aa

(33)

f(x;

et,

A.) = ( ~(et) x

a-1

X > O,

-.i.x

e

e repre-

' X~

'

O.

Deixamos tambem registrada a fórmula seguinte , que se mostrara util no futuro: (34)

J oo

O

X

a- l

e-

h

d

r(et)

X= -

).a

.

As densidades exponenciais sao casos especiais de densidades gama. Especificamente, a densidade de parametro A. e a mesma que a densidade I'(l, A.). Vimos tamhem que a densidade dada por (31) e a densidade gama de parametros (l = 1/2 e A = 1/2a 2 • Em outras palavras, se X tiver a densidade n(O, a 2 ), entiio X 2 tera a densidade gama I'(1/2, 1/2a2 ). Igualando (31) a (33) com a = 1/2 e A.= 1/2a2 , obtemos a util relac;:ao

(35)

r(l/2)

= y:;r.

Urnaimportante propriedade da func;:ao gama e que

(36)

I'( a+ l)= ar( a),

a> O.

Est.a fónn ula decotre de (32) por urna simpies aplicac;:ao de integrac;:ao por partes. Para sennos especificos

!

l

Como r(l) = l, segue-se facilmente de (36) que se n for urn positivo inteiro,

(37)

r(n)=(n-1) !.

Segue-se tamhem de (35) e (36), após algumas simplificav6es, que se n for urn positivo inteiro fmpar, entao (38)

r

(~)

, rr(n

2

n- l

n ;

l)!

l)

Nao existe urna fórmula simpies para a funq.ao de distribuiq.ao correspondente a r(a:, A) exceto quando a: = m e urn inteiro positivo. este caso podemas integrar por partes e obter para x >O

desde que m:;;;;, 2. Se integrarmos por partes m - l vezes desta maneira e observarmos que

J:

A.e-;.y dy = l

e -).x ,

()btemos a fórmula

X> O.

(39)

Esta fórmula reflete urna interessante relar;:ao entre urna variavel aleatória X com densidade gama r(m, A) e urna variavel aleatória Y com distribuir;:ao de Poisson de parametro AX. Especificamente, (39) estabeiece que

(40)

P(X~x)

=F( Y;;;;, m) .

Como veremos no Capftulo 9, esta relavao Poisson.

e relevante a teoria

dos processos de 133

O comportamento qualitativo da densidade gama, ilustrado na Figura 6 , e facilrnente obtido pelos metodos de ca.lculo.

l

. ._,l

Figura 6. A Densidade Gama Urna importante propriedade das densidades gama e que se X e Y forem variaveis aleatórias independentes tendo densidades r(a:l ' A.) e r (a1' ) respe ti\·amente. entao X + Y tera a densidade gama r(a 1 + a 2 , A.). Este resulta do sera demons· ado no Cap itu ło 6. Esta e outras propriedades das densidades gama tornam sua manipul a~ao bastan te sim pies. Existem muita.s sjrua, 5es pr:iticas em q ue nao se eonhece a densidade de urna variavel aleatória X. E poss1\-el que se saiba que X e urna variavel aleatória positiva cuja densidade pode ser aproxirna a razoa\-elmeme por urna densidade gama de parametros aprop riados. Em tais casos. resolvendo urn probierna envolvendo X, sob a hipótese que X tenha urna densjda e gama. proporcionani urna a prox irna ~ ao ou pelo rnenos urna compreensao melhor da situa~o real de sconhecida .

5.4. FUNc;:óES INVERSAS DE DISTRIBVIc;:AO Importantes aplicar;:oes das fórmulas de mudanr;:a de variaveis da Ser;:ao 5.2.1. podern ser obtidas relacion ando a funr;:ao ..p a fun r;:ao de distribuir;:ao F. Seja X urna variavel aleatória continua tendo fun~ao de distribuir;:ao F e funr;:ao de densidade f. Aplicaremos a fórmula de mu dan~a de variavel a fun r;:ao ..P = F. Se y = F(x) , entao dy jdx = F'(x) = f (x ) - e portanto dx jdy = 1/ f (x). Assim de acord o com ( 18 ), a variavel aleatória Y = F( X) tern densidade g on de q(y) = f(x) = 1

· 134

f(x)

'

O< y< l ,

\

l

e g(y) = O para outros valores de Y. Em outras ·palavras, a variavel aleatória Y = F(X) distribui-se uniformemente em (0,1). Este resultado e vellido mesmo que a fun O

fx+r(z)

=

J: A.e-lxA_e-l(z-x) dx

= A_2e-lz

,

r·

Jo

dx

=

Vemos que X.+ Y tern a densidade gama r(2, A.). 150

A_2ze-).z.

Exemplo 4. Stipoilha ·que X e Y se distribuem independente e uniformemente em (0, 1). Obtenha a densidade de X+ Y.

A densidade de X e dada por fx(x) = l para o < X < l e fx(x) = o para outros valores de x. A densidade de Y e a mesma. Assim fx + y(z) = O para z ~O. Para z> O aplicamos (16). O integrando fx(x) fy(z- x) assume apenas os v:alores de O e l. Ele assume O valor 1- se x e z sao tai s q ue O ~ x ~ l e O~z-x~l. Se O~z~l, ointegrandotemvalorlnointervalo O~x~z e zero caso contnirio. Portanto obtemos de (16) que .,_ O~z~l.

fx+y(z)=z,

Se l < z ~ 2? o integrando tern valor l no intervalo ? - l ~ x ~ l e zero caso .../ contnirio. Assim, de acordo com (16) l /X' (z)= 0 para z,.;;: O e r(l) z-1 { 2 jy2fX2(z) = r(l/2)r(l/2) (z + l) l

o<

z <

00.

l)Jz' (Lembramos da Equa~ao (35) do Capituło 5 que r(l/2) = VJr ). A titulo de exerci'cio deixamos para o leitor mostrar que, sob as mesmas condi~6es, tanto Y/X como Y/1 X l tern a densidade de Cauchy. 156 n(z

+

6.3. DENSIDADES CONDICIONAIS Para motivar a defmi9ao de densidades condicionais de variaveis aleatórias cont(nuas, discutiremos inicialmente as variaveis aleatórias discretas. Sejam X e Y duas variaveis aleatórias discretas tendo densidade eonjunta f. Se x e urn valor poss!vel de X, entao

P(Y=yiX=x)=

P(X = x, Y= y) _ f(x,y) P(X=x) - fx(x)

A func;:ao [y ;x defmida por (25)

fr1xC Y l x)

= (

f(x, y) f.x(x) '

O,

fx(x) # O,

fx(x) =O,

chama-se densidade condicional de Y da do X. Para qualquer valor possivel x de X,

Lfr1xCY l x) = Lyf(x,y) = lj(x) Y fx(x) fx(x)

= l,

de modo que para qualquer x nestas condic;:oes fy ;x(yjx) defme urna fun9ao de densidade discreta de y, conhecida com o densidade condicional de Y dada X = x. No caso discreto as densidades condicionais nao envolverri nenhum conceito novo. Entretanto se X e urna variavel aleatória contlnua, entao P(X = x) = O para todo x, de modo que P( Y = y jX = x) e sempre indefm!do. Neste caso, qualquer defmic;:ao de densidades condicionais envolve necessariamente urn conceito novo. A maneira mais simpies de defmir densidades condicionais de variaveis aleatórias cont!nuas e urna analogia com a Fórmula (25) do caso discreto.

Definic;:ao l. Sejam X e Y variaveis aleatórias cont!nuas tendo densidade eonjunta f. Defme-se a densidade condicional fy /X atraves de (26)

fr,x(Y l x)

f(x, y)

O < f x(x) O. Tudo que precisamos fazer e obter urna variavel aleatória discreta Y tal que P( l X - Y l ~ e) = l e determinar EY de acordo com os metodos do Capituło 4.

E facil obter tais aproximat;:oes para X. Seja 1

r

X E a variavel aleatória discreta-

definida por

(l)

e'k ~X< e(k + l) para k inteiro.

se

X E= ek

Pode-se tambem definir esta variavel aleatória em termos da funt;:ao de maior inteiro [ ] como XE =e(X/e]. Se e= 10-n paraalguminteironao-negativo n, XE(w) pode ser obtido de X(w) escrevendo X(w) em forma decimał e desprezando todos os digitos que estiverem a n ou mais casas alem do ponto decimal. Segue-se imediatamente de (l) que X( w)-

e portanto P( l X- X € fx.(x)

l

e< Xe(w) ~X( w),

~e)=

= {~(ek ~

X

w E

n,

l. A funt;:ao de densidade de X E e dada por

< e(k + 1))

se x = e k para k inteiro para outros valores de x.

A variavel aleatória X E tern expectancia fmita se e somente se

L lxlfx.(x)

=

L lekiP(ek

=

L t:kP(ek

X

~ X < e(k

+

l)) < co,

k

neste caso EX,

~ X

< e(k

+

1)).

k

Pode-se escrever estas expressoes em termos de F x. Para P(ek~X , consideremos iniciaimente urn caso especial em que a distribui~ao · exata de s; pode ser obtida facilmente. Suponha entao que X 1 tern a distribui~ao normai de media 11 e variancia a 2 • Entao, de acordo com os resultados do Capituło 6, s; distribui-se normalmente com media O e variiincia l , ou em outras paiavras, s; tern a fun~ao de distribui~[o normai padrao . Suponha a seguir que X 1 a8sume os vaiores l e O com probabilidades p e l - p, respectivamente. Ent[o, como vimos no Capituło 3, Sn tern a distribui~[o binomiai de parametros n e p; isto e

P(S.

=

k)

= (~)

pk(l - p)"-k.

Foi descoberto por DeMoivre (1667-1754) e Laplace (1749-1827) que, neste caso, a fun~ao de distribui~ao de S~ se aproxima de , a fun~ao de distribui~ao normai padrao, quando n~ ex> . 190

Houve mais recentemente diversas extensoes o teo:-e- :o _· _- -~ ::.:- - • Laplace, todas conhecidas como "teoremas do limite cen mais eonhecido desses resultados foi demonstrado por Lindebergem : Teorema 3 . Teorema do Limite Centra l. Sejam X I,

x2 . . .

tórias independentes, identićamente distribufdas com me dia fmita nao-nula a 2 • Seja S11 = X 1 + · · · +X11 . Entao

(8)

!im P n-HX:l

(S" Jnnf.J. :;:; x) n

=

(x),

- Co <

X

<

~

~.",..: ~=-

e

~7-.:-

CO.

(J

A generalidade deste teorema e extraordimiria. A variavel aleatória XI pode ser discreta, continua ou mista. Alem do mais, a conclusao e vilida mesmo que X 1 nao tenha nenhum momento alem do segundo. Outro aspecto bastante sur· preendente do teorema e que a distribui9a0 limite de independe da distribui9a0 especffica de X 1 (naturalmente desde que as hipóteses do teorema sejam satisfeitas). Entretanto, nao devemos ficar surpresos com o fato de que ci> e esta distribui9ao limite, pois vimos que isto e verdade quando XI tern distribui9[0 normai ou binomial. A demonstra9ao do Teorema do Limite Central sera adiada para o Capituło 8, urna vez que ela requer tecnicas avan9adas ainda nao discutidas que envolvem fun96es caracteristicas. E possivel dar urna demonstra9ao elementar, porem, labariosa do teorema de DeMoivre-Laplace, o caso especial do Teorema do Limite Centralem que X 1 tern distribui9ao binomial. Existem maneiras elementares de tornar plausivel o Teorema do Limite Central, mas elas nao sao demonstra96es. Urna dessas maneiras e mostrar que se X 1 tern m-esimo momento fmito, entao para qualquer numero inteiro positivo m

S;

!im E "~ "'

(S" - nf.J.)m CJ) n

existe e e igual ao m-esimo momento da distribui9ao normai padrao. Neste estagio e mais interessante compreender o significado do Teorema do Limite Central e ver como podemas aplica-lo em situa96es tipicas.

Exemplo 10. Sejam XI' x2'.. . variaveis aleatórias independentes, identicamente distribufdas segundo urna distribui9ao de Poisson de parametro A. Entao, de acordo com os resultados do Capituło 4, J.J. = a 2 =A e S11 tern ~ma distribui9ao de Poisson de parametro n A. O Teorema do Limite Central implica em . p l lffi "~ "'

(s" l

n}, :;:;

v nA.

X

)

=

m( X, ) o.v

-ook.

A variavel aleatória (l - l IT O, entao (21)

P(S T

=b)= l - (qjp)x-a l - (qjp)b-a'

Segue-se imediatamente de (21) que sob as mesmas condi l que os dois jogadores retornam aos seus capitais iniciais antes que ocorra a ruina de urn deles.

Lembramos que neste exemplo p= q= 1/2, a= O, x = 5 e b= 15. Aprobabilidade de retornar aos capitais originais antes que ocorra a ruina de urn deles ·e, de acordo com (26), (1 /2)(1 5) p o, 15 (5 , 5) =l- 5. 10 = 0,85.

Assim de acordo com (27) o numero esperado de vezes que ambos os jogadores voltaro aos seus capitais iniciais antes que ocorra a ruina de urn deles e G

o ,1 5

(5, 5)

=

p

0,15

l - p 0 ,8 5 0,15

(5,5)

0,15

=

(5, 5)

5,67.

9.3. CONSTRUtanto, escrever 242

::; n}.

G"(t 1 , t 2 , ••• , t") = P(N(tJ Conseqtientemente (38) e o mesmo que P(N(t;) ;?: i, l :=:; i :=:; n) (39) =

L' /

i, l :=:; i :=:; n).

;?:

1(s 1)P(N(t; - s 1)

~

i -

l , 2 :=:; i :=:; n) ds 1.

Para estabelecer (39) observe inicialmente que para qualquer k ~ l

(.A.t)k e -lt = k!

(40)

l' ' o

Ae -ls [.A.(t - s)J-l e -i·(r-s) ds. (k - l)!

De fato,

l'' o

l' (

Ae -ls [.A.(t- s)Jk-1 e -l(t-s). d s -- -e-).r.A.k -t - s)k-1 d s (k - l)! (k - l)! o

= e-lr.A,k

ds = (.A.t)k e-).r. k! ",;;;tn eque l.;;;;k 1 .;;;;k2 .;;;; ••• .;;;;kn. Alegarnos

f' sk-I

(k-l)!Jo

Suponhaque o.;;;;r 1 .;;;;t2

.,;;; • ••

a seguir que

(41)

P(N(tl) = k1, ... , N (t") = k") =

J~

1

.A.e-l5 P(N(t 1 -s)= k 1

l, ... , N (t"- s) = k" - l ) ds.

-

Para verificar este fato, observe que de acordo com (40)

(42)

P(N(tl) = kt, ... , N (t") = k")

x

O[.A.(ti _

j=2

..•

ti_ 1 )Ji-kJ- •e- i.(rrr 1 - •l

.

(kj - kj-1 )!

Por ou tro lado

(43)

f'' .A.e-l5 P(N(t 1 Jo

s) = k 1

-

f'' .A.e-l P(N(t 1 = Jo 5

X

-

-

1, ... , N(t" -s) = k" - l) ds s) = k 1

n P(N(tj- s)n

j=2

-

l)

N(tj-1 -s)= kj- kj-1) ds

243

Comparando o segundo membro de (42) com o de (43) vemos que (41) e verdadeiro. A igualdade desejada (39) segue-se entao de (4 1) pela soma de ambos os membrosde(4l)'sobretodososvaloresde k 1 , .•• ,kn taisque k 1 ~k2 ~--·~ n e k 1 ~1, k 2 ~2, ... , kn~n. Exercicios l. Seja S n urn caminho aleatório com J.l =O e S 0 = x. Suponha que P(a-c~ST~b+d)=

onde aO? (b) Qual e a probabilidade condicional de pelo merros urna f t+ h, dado que nenhuma falha ocorreu ate o tempo t ? 17. Suponha que ternos urn processo de Poisson de pariimetro A em [O = . Sej 2 Z t a distiincia de t ao ponto mais próximo a direita. Obtenha a funyao de distribui~ao de Z t· 18. Suponha que ternos urn processo de Poisson de parametro A em [O, oo ). Seja Yt a distiincia de t ao ponto mais próximo a esquerda., Fa~a Yr = t se nao existe nenhum ponto a esquerda. Obtenha a fun~ao de distribuis;ao de Y r· 19. Para Zr e Yt dosExercicios 17e 18, (a) Mostre que Z t e Y t sao independentes, (b) Obtenha a distribuis;ao de Zr +Y r. 20. Suponha que particulas chegam a urn contador de acordo com urn processo de Poisson de parametro A. Cada partieula provoca urn pulso de duras;ao unitaria. O contador registra a partieula se, e somente se, nao ha nenhum pulso presente no momento da chegada. Obtenha a probabilidade de que urna partieula seja registrada entre os tempos t e t + l. Suponha que t ;;;. l. 21. Considere u~ processo de Poisson de parametro A em [O, oo) e seja T urna variavel aleatória independente do processo. Suponha que T tern urna distribuis;ao exponencial de parametro v. Seja N T o numero de partkulas no intervalo [O, T]. Obtenha a densidade discreta de Nr. 22. Resolva o Exercfcio 21 supondo que T tern distribuis;ao uniforme em [0, a], a>O.

-23. Considere dois processos independentes de Poisson em [O, oo) ten do parametros x, e x2' respectivamente. Qual e a probabilidade de que o primeiro processo tenha urn evento antes do segundo? 24. Suponha que n partkulas se distribuem independente e uniformemente sobre urn disco de raio r. Seja D 1 a distiincia do centro do disco a partieula mais próxima. Obtenha a densidade de D 1 • 25. Determine os momentos da variavel aleatória D 1 do Exercicio 24. Sugestiio: ~btenha urna integral Beta por meio de urna mudans;a de variaveL 26. Considere urn proćesso de Poisson de parametro X em R'. Para urn eonjunto A que tern volume fmito, seja N A o numero de particulas em A. (a) Determine EN'3t. (b) Se A e B sao dois conjuntos com volumes fmitos, determine E(NANB). _46

V '

27. Sejam A 1 , A 2 , •• •., A n n conjuntos disjuntos com volumes fmitos , e de urna forma semelhante sejam B 1 , B 2 , • • • , Bn n conjuntos disjun os ~o:;: volumes fi nitos. Para numeros reais a 1 , ••. , et n e ~ 1 , •.. , ~n , seja

g(x) =

n

L

i= l

f3i1 8 ,(x).

e

f(x)

=

n

L o)A,(x)

i= l

Para urn processo de Poisson de parametro A mostre que

E

(t1aiNA,) (t1/3;N B,) = (Jw f(x) dx) (L, g(x) dx) + A fw f(x)g( x) dx. .Jc

2

28. No Exercicio 27 mostre que Var

(t a;NA, ) 1

29. Considere urn processo de Poisson de parametro A em R tiincia da origem m-esima partieula mais próxima.

a

3

e seja Dm . a dis-

(a) Obtenha a densidade de Dm. (b) Obtenha a densidade de D~ . 30. Suponha que ternos urn processo de Poisson de parametro A no serniplano superior de R 2 , isto e, o processo de Poisson esta no subconjunto S = = (x,y):y>O de R 2 •

31. Considere o seguinte sistema. Os tempos de chegada de partkulas no sistema constituem urn processo de Poisson de parametro A em [O, oo ) . Cada partieula permanece no sistema durante urn certo tempo independente dos tempos de chegada das partkulas e independente dos tempos de permanencia de outras particulas. Suponha que os tempos de pennanencia das partkulas se distribuam exponencialmente com parametro comurn J.l. Seja M(t) o nuinero de particulas presentes no sistema no tempo t . Deterrnine a qistribuiyao de M(t) atraves das etapas seguintes. (a) Suponha que urna partieula chega, de acordo com urna distribuiyao uni· fonne em [ 0, t] e, pennanece durante urn tempo exponencialmente distribuido com parametro J.l , Obtenha a probabilidade Pt de que a partieula esteja no sistema no tempo t. (b) Usando o fato de que, dado N ( t ) = n, as partkulas se distribuem independente e unifonnemente em [O, t], m ostre que t

P(M(t) = k

l N(t) =n)=

(Z) p~(l -

p1)"-k.

(c) Mostre a seguir que M(t) se distribui de acordo com urna distribuiyao de Poisson de parametro At p t · • 247

RESPOST AS DOS EXERCiCIOS

CAPITULO l 2 . 18/37.

3. 1/2.

4. 1/8.

6. 3/10.

7. 1/2.

8. 3/10.

1 o. 5/8, 3/8.

9. 5/12. 12. 1/2.

11 . 4/5.

13. (a) 1/2, (b) 1/2.

14. 2/5.

15. 5/29.

16. 10/19.

18. (a) 19/25, (b) 35/38.

19. O.

(r

+

r(r - l) ' b)(r + b - 1)

(~

(r

+

(r

+

br b)(r + b -

(d) _ (r

+

20. (a) (c)

,

l)

~

b)(r

+

b -

J)

'

_bC!?__-=J.)_ _ . b)(r + b - l)

21. (a) 98/153, (b) 55/153.

22. (b) 13/25, (c) 21 /25.

23. (b) 2/5, (c) 9/10.

25. (a) 1/ 12,

26. (a) 1/4, (b) 2/5, (c) l /2.

27. 14/23 .

28. 4/9.

29. 2/13.

31 . (a) (r

+

c)/(b

37. l - (4/5)

~S.

(a)

ktO

51

+

r

+

(b) b/(b

c),

c:) (~r (~rO-k' .

6 ·122 42 . 4 13 - 124

+

(c) 6/17.

30. 1/3. r

+

c).

56/5.

39 . .9976.

45 . (a)

(b) 17/36,

(b) 1 -

(~t

40. 2.

44. 1 - (1/10) 12.

.

12) ( -1)2 (5) ( 2 6 6

41. 75/91.

1 0,

(b)

(1)k L2 (12) - (5)12-k - · k 6 6

k= O

T 46. l - (11 /4)(3/4) 7 .

CAPfTULO 2 2. (a) 2", (b 1 2(2" - l ).

1. 64.

4. (10)6 / 10 6 .

3. 1/n.

5.

(11 -

l )(rln- 1 /r".

7. 2(n - k - 1)/n(n - l ).

8. n(n + 1)/2.

9. (a) (n - 2) /n(n - 1), (b)

(a) (;)n! n-",

10.

( 11 -

2)/(n -

(;)cn-1)!/(11-1)",

(b)

l)

2

.

1/n.

(c)

c~ Jl_._!!__ b- n+ r + b) r (

13.

l

.n - l

14. (a) 4q, (b) 4

(d ) l3 ·1 2 · 4·6ą. (g) 13.

(e)4·

c;) 4 ą, 3

(h)

; . (5?)-

en . er c=:) l(:) .

Sendo q =

(c) 13 ·48 ą,

·!Oą .

13

C~)

q.

G)

5

5

(f) l0·4 ą.

~). 11· 4ą.

18. 20.

21 . 23 24

. .

25 .

_s o

k)" /(r)",

E~pandir

16. 4. (48)n-l/(52)n· Cb) ( 1 -

~r

os termos .

(~~)l G~) ·

e:r1c:) ·

C:) (:)

l

15. 81

11. (a)

(i) \3

[c;) - Cs Jl[C:) - en l· [G) - (n ~ 3) ]/G).

22

.

6 )

26.

G) G~) lG~) ·

e;),C~).

3

4 q.

11 ( /' :

b)

t CAPiTULO 3 1 . f (x) =

1/10,

0,1 , . .. ,9,

X=

{O

para outros valores de x.

2. P(X + r =n)= p' ( -r )(-1)"-'(1- p)"-', n .-= r, r + !, . ... n - r

3.

(a) P(X

c

(!) ~

= k) =

k) ,

O

(',~)

(2)"-k, (n) (3)k 5 5

(b) P(X = k) =

k

ś ś k

6, ·

O ś k ś n.

5. (a) 0,3, (b) 0,3, (c) 0,55, (d) 2/9, (e) 5/11.

4. lj(2N+l - 2).

6. (a) (! - p) 4, (b) (l - p) 4 - (l - p) 8 + (l - p) 10 , (c) (l _ p)3 _ (l _ p)6

(l _ p) 7 _ (l _ p)11.

+

7. (a) 3/4, (b) 1/ 10, (c) 1/ 25, (d) 3/50. 8. F(X = k) = (2k - 1)/144, 9. P(X= k) _

=

(k

-l);c;).

_ {p(l -

10.P(Y-x)-

pt, x

l ś k ś 12. k= 2,3, ... ,12. = 0, l , ... , M -

x=M.

(1-p)M,

l,

,

11. (a) P(X 2 = k 2 ) = p(\ - p)\ (b) P(X

(b)

13.

15.

ś

y)

=

y

n 1 n

l' ,

l, 2, ... , r -

(a) 2/3,

14. (a)

k = O, l , 2, . .. , 3 = k) = p(\ - p)k- 3, k = 3, 4, ... .

(Y) /(r)· = n n+ l, ... , P(Z ~ z)= C+ ~ - z) / C), z= 1

12. (a) P(Y .

+

(b) 2/9, 2

N + , 2(N + l)

(c) 13/27.

(b) -

1

-

N+ l

.

2(N - z)+ 1 , z= O, . .. , N, (N + 1) 2 2z + l ( b ) P (max (X, Y) = z)= , z = O, .. . , N, (N+ 1)2

(a) P (min(X, Y) = z)=

11

+

l.

1 l

(a)

P1

+

,

N+ l

X ' = z) = 2(N

P( ly -

16.

1 -

XI =· 0) = -

(c) P( IY -

++l 1)2 - z), z

(N

l

Pz , Pz - P1P2

(b)

+

P1

+ p2

Ly h(y ),

20. 5/72. 21 . (a) _ _(_2 r_) _! X l! . . . x,! r 2 r

(b) h(y)

on de

'

X

N

.

-

P 1P2 ,

Z= O, l, 2, ... .

PIP2 [(l - Pz)z+ l - (l - P !)z+l ], P 1 - P2

18. (a) g(x)

,...,

P1P2 P2 - P1P2

17. (a) densidade geometrica de parametro P1 (b)

l

=

Lx g(x). i S[O numeros inteirOS nao-negatiVOS CUja Soma

(2r)! (b) 2~r2r .

22. (a) densida:de binomial de parametros n e p 1 (b)

(z) (

p

Y P1 512 23. (53/8)e- •

1

+

Pz

25. (a) l - (5 /6) 6 , 30.

(

X -

l) (Y -

i - l

X -

l

C)

x~' 2e- l

-

(x/2) !

O

r - j

2 :::; z:::; N,

+

Nz

1 :::; z :::; 2 rv,

para outros valores de z.

( 1 - cN+ I),

1- t

e

t "# l ,

x(l) = l.

. . . , x mte1ro nao-negatwo par, para outros valores de x .

). 1 36 (x + y + z)! ( · x ! y! z ! ). 1 + Az +

37. (a) /·PC s." 7.

=O.

-

3s 2 /s, s,' J /2 :. - X < X < OC . 29 . X- a e a- X tern a mesma distribui9ao. F(a- x ) = l - F(a + x) para todo x . 30. O,

e

.:

Y

~-- ::--:~

s.e 5 .:;:: ~o

n (0,4/1 5). 1 O. fr-x(z ) =

J:oo f x (x ) /y ( z

11. (a) fx+r(z)

=~ At -

.L.

x )d x.

(e-;. 2 z -

e-;. ,z),

fx - r( :. )

= O, z$ O;fx+Y(z) = l - e-}.z, O $ z $ fx+Y(z) = e-J.z(e;,- 1), l < z < oo .

(b) fx+y(z)

12 •

a

+ 2 ~+ ----- z 1 , O $

.

r

·(

z $ l , JX+Y z) 2 O para outros valores de z.

fx+r(z) = fx+r(z) =

2 13. fir-x 1( z) = - - b-a

=

O. :

$

O.

),2

(t - b-a __ z_),

a

=

+

l; 2

--

2

(2 -

O< z$ b- a, e fir - x 1(z) =O para outros

valores de z.

Joc f (x, z - ax) dx,

14. /z(Z) = _l_

lbl

15. (a 1

-

18. fxr(z)

l )/(a 1

+

J

-

oc

=

b

- 00

-OC>

a2

-OO O. e / 2 (z ) = O, z 21 . fr tx(z) = 1/(1 + z)

2

,

$

z > O, e f rtx (z ) = O, z

O. $

O.

22. Densidade Beta de panimetros a 1 , e a 2 .

23. (a) f Yix(x) = (b) !Yix(Y l x )

O $ x $ y, e fr 1x - '·

2) .

l) jn

+

1) (n

+

2(n - l) j(n

+

1) 1 (n

+ 2) .

21. p = 1/4. 22. EZ = f.la /A, Var Z= a(a 2 a + a 2 + f.l 2 )/A 1 .

25. p 3

;:::

0,458.

26. E[Y l X= x] = x, O < x < l; E[Y l X = x] = 2 - x, l ::::; x ::::; 2; e E [Y l X= x] = O para outros valores de x.

e o caso contnirio.

27. E [X l Z = z] = a 1zj (a 1 + a 2 ) para Z> O

28. E [n l Y = lores de y.

y]

=

(a 1

+ y)/(a 1 + a: 2 +

n), y

= O, l, 2, ... , n, e O para outros va-

33. P(X ::::; x) ~ ((Ax - a)j.J ~). 34: (a) EXt (b) P(Xf

=

a 1 e Var Xf

+ ·· · +

=

2a

4

.

x; : : ; x) ~ ((x -

2

2

na )/a V2n) .

35. (a) 0,921. (b) 0,842. (c) 23,26. (d) 27,71. 36. 0,9773.

40.

38. 0,0415.

37. 0,02.

39. 0,0053.

(a) fx(x) ~ A-l/Z rp((x - . A)( .Jl),

(b) fx(x) ~ ((x

+ 1/2 - :t);.JJ.) -

((x - 1/2 - :ł)j.J"i).

41. l j.J nn. 42. l j.J nn. A aproximacrao ( 15) nao pode ser aplicada diretamente porque o maximo divisor comurn do eonjunto X - 1/x e urn valor possfvel de SI e dois e nao urn. 45. n~ 6700. 46. 551. 44. 0,523. 43. 0,133 .

CAPITUW 8

1. Mx(t) = (eb' - ea')/(b - a)t, t t:- O, e Mx(O) = l.

2. ea'Mx(bt). 4. (a) Mx(t) = [p/(1 - e'(l -p))]", - ro < t < log (1 /(1

258

-p)).

5. (b) (2n)! 6. (a)

dMx(t) = npe'(pe'

dt 2 d_ M_ (t) x _ = npe'(pe' dt

10.

2

+

l -:- p)"- 1 e

+

l - p)"- 1

+

n(n -

11. p/(1 -

el(e"-1).

12. [p/(1 14. ąJx(t) 21. (a)

l)p 2e 2'(pe'

+

l - p)"- 2 .

ei'(l - p)).

13. [.?./().- it)]" .

e''(l - p))]" .

= x(ei' ).

(/Jx+r(t )

23. (b) !im P . O, ezeroparaoutrosvalores de r.

31. 260

(b) EDm = (h/2)-1 /2 l(m + 1/ 2) . e (m - l ) ! ! l -Jlf (a) Pr = -l e-1'(1-s) ds = - e t o pt

i

ED;,

=

2m. nJ.

TABELA I

r

Tabela I Valores da

cf>(z) =

fun~o

z

J

- oo

z

o

l

2

de distribui~o normai padronizada

)

----= e- u2 12 du v27T

3

4

= P(Z:::; z)

5

6

7.

8

9

-3 .

.0013 .0010 .0007 .0005 .0003 .0002 .0002 .0001 .0001 .0000

-2.9 -2.8 -2.7 -2.6 -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 -2.1 -2.0 -1.9 -1.8 -1.7 -1.6 -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -l.l -1.0 - .9 - .8 - .7 - .6 - .5 - .4 - .3 - .2 - .l - .O

.0019 .0026 .0035 .0047 .0062 .0082 .0107 .0139 .0179 .0228 .0287 .0359 .0446 .0548 .0668 .0808 .0968 .1151 .1357 . 1587 .1841 .2119 .2420 .2743 .3085 .3446 .3821 .4207 .4602 .5000

.0018 .0025 .0034 .0045 .0060 .0080 .0104 .0136 .0174 .0222 .0281 .0352 .0436 .0537 .0655 .0793 .0951 .1131 .1335 .1562 .1814 .2090 .2389 .2709 .3050 .3409 .3 783 .4168 .4562 .4960

.0017 .0024 .0033 .0044 .0059 .0078 .0102 .0132 .0170 .0217 .0274 .0344 .0427 .05 26 .0643 .0778 .0934 .1112 .1314 .1539 .1788 .2061 .2358 .2676 .3015 .3372 .3745 .4129 .4522 .4920

.0017 .0023 .0032 .0043 .0057 .0075 .0099 .0129 .0166 .0212 .0268 .0336 .0418 .0516 .0630 .0764 .0918 .1093 .1292 .1515 .1762 .2033 .2327 .2643 .2981 .3336 .3707 .4090 .4483 .4880

.0016 .0023 .0031 .0041 .0055 .0073 .0096 .0126 .0162 .0207 .0262 .0329 .0409 .0505 .0618 .0749 .0901 .1075 .1271 .1492 .1736 .2005 .2297 .2611 .2946 .3300 .3669 .4052 .4443 .4840

.0016 .0022 .0030 .0040 .0054 .0071 .0094 .0122 .0158 .0202 .0256 .0322 .0401 .0495 .0606 .0735 .0885 .1056 .1251 .1469 .1 71 t .1977 .2266 .2578 .2912 .3264 .3632 .4013 .4404 .4801

.0015 .0021 .0029 .0039 .0052 .0069 .0091 .Ol 19 .0154 .0197 .0250 .0314 .0392 .0485 .0594 .0722 .0869 .1038 .1230 .1446 .1685 .1949 .2236 .2546 .2877 .3228 .3594 .3974 .4364 .4761

.0015 .0020 .0028 .0038 .0051 .0068 .0089 .0116 .0150 .0192 .0244 .0307 .0384 .0475 .0582 ,0708 .0853 .1020 .1 210 . 1423 . 1660 .1922 .2206 .2514 .2843 .3192 .3557 .3936 .4325 .4721

.0014 .0020 .0027 .0037 .0049 .0066 .0087 .0113 .0146 .0188 .0238 .0300 .0375 .0465 .0570 .0694 .0838 .1003 .1190 .1401 . 1635 .1894 .2177 . .2483 .2810 .3516 .3520 .3897 .4286 .4681

.0014 .0019 .0026 .0036 .0048 .0064 .0084 .Ol lO .0143 .0183 .0233 .0294 .0367 .0455 .0559 .0681 .0823 .0985 . l 170 . 1379 .161 l .1867 . 2148 .2451 .2776 .3121 .3483 .3859 .4247 .4641

Reimpresso com a perrnissiio da Editora Macrnillan do original "Introduction to Probability and Statistic:s", segunda ediyao, de B.W. Lindgren e G.W. McElrath, Copyright © 1966 by B.W. Lindgren e G.W. McE!rath.

263

1

r Tabela I Valores da fun.y3o de distńbu~o nonnal padronizada

z

o

2

3

4

5

6

7

8

9 .5359 .5753 .6141 .6517 .6879 .7224 .7549 .7852 .8133 .8389 .8621 .8830 .901) .9177 .9319 .9441 .9545 .9633 .9706 .9767 .9817 .9857 .9890 .9916 .9936 .9952 .9964 .9974 .9981 .9986

.O .l .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

.5000 .5398 .5793 .6179 .6554 .6915 .7257 .7580 .7881 .8159 ;8413 .8643 .8849 .9032 .9192 .9332 .9452 .9554 .9641 .9713 .9772 .9821 .9861 .9893 .9918 .9938 .9953 .9965 .9974 .9981

.5040 .5438 .5832 .6217 .6591 .6950 .7291 .7611 .7910 .8186 .8438 .8665 .8869 .9049 .9207 .9345 .9463 .9564 .9648 .9719 .9778 .9826 .9864 .9896 .9920 .9940 .9955 .9966 .9975 .9982

.5080 .5478 .5871 .6255 .6628 .6985 .7324 .7642 .7939 .8212 .8461 .8686 .8888 .9066 .9222 .9357 .9474 .9573 .9656 .9726 .9783 .9830 .9868 .9898 .9922 .9941 P.9956 .9967 .9976 .9982

.5120 .5517 .5910 .6293 .6664 .7019 .7357 .7673 .7967 .8238 .8485 .8708 .8907 .9082 .9236 .9370 .9484 .9582 .9664 .9732 .9788 .9834 .9871 .9901 .9925 .9943 .9957 .9968 .9977 .9983

.5160 .5557 .5948 .6331 .6700 .7054 .7389 .7703 .7995 .8264 . 8508 .8729 .8925 .9099 .9251 .9382 .9495 .9591 .9671 .9738 .9793 .9838 .9874 .9904 .9927 .9945 .9959 .9969 .9977 .9984

.5199 .5596 .5987 .6368 .6736 .7088 .7422 .7734 .8023 .8289 .8531 .8749 .8944 .9115 .9265 .9394 .9505 .9599 .9678 .9744 .9798 .9842 .9878 .9906 .9929 .9946 .9960 .9970 .9978 .9984

.5239 .5363 .6026 .6406 .6772 .7123 .7454 .7764 .8051 .8315 . .8554 .8770 .8962 .9131 .9278 .9406 .9515 .9608 .9686 .9750 .9803 .9846 .9881 .9909 .9931 .9948 .9961 .9971 .9979 .9985

.5279 .5675 .6064 .6443 .6808 .7157 .7486 .7974 .8078 .8340 .8577 .8790 .8980 .9147 .9292 .9418 .9525 .9616 .9693 .9756 .9808 .9850 .9884 .9911 .9932 .9949 .9962 .9972 .9979 .9985

.5319 .5714 .6103 .6480 .6844 .7190 .7517 .7823 .8106 .8365 .8599 .8810 .8997 .9162 .9306 .9430 .9535 .9625 .9700 .9762 .9812 .9854 .9887 .9913 .9934 .9951 .9963 .9973 .9980 .9986

3.

.9987

.9990

.9993

.999"5

.9997

.9998

.9998

.9999

.9999 1.0000

-

'

Nota 1: Se urna variavel norma! X nao esta na forma padrao seus valores devem ser padronizados :

Z=(X-~)/a.

(- ~)

Istoe P(X.;;x)= -

-

0

.

Nota 2: Para pro babilidades bicaudais ver Tabela l b Nota 3: Para z ;;. 4, (x) = l para 4 casas decimais; para z .;;; -4, (z) =O ate 4 casas decimais. Nota 4: As entradas opostas z= 3 saopara 3,0; 3,1; 3,2; etc.

264

..

~

iNDICE REMISSIVO

-

a

Algebra dos conjuntos, 7 Algebra sigma, 7 Algebra sigma (a-algebra) de subconjunto, 7 Amostra aleatória, l 02 Aroostragem com reposi