INTROCUCCIÓN A LA GEOMETRÍA EN OLIMPIADAS

APLICACIÓN DE GEOMETRÍA EN LAS OLIMPIADAS MATEMÁTICAS Milton F. Donaire Peña Lic. Física Pura Universidad Nacional de Ingeniería Docente del I.C.H. Lima – Perú Asesor de Olimpíadas Matemáticas OBJETIVOS -

Dar a conocer la importancia del estudio de las construcciones con regla y compás en la solución de ejercicios de concurso, Mostrar aspectos generales de los contenidos que se realizan en un curso inicial de Olimpiadas Internacionales Motivar al uso del software informático para el desarrollo de las capacidades matemáticas de los estudiantes

INTRODUCCIÓN En la enseñanza del curso de Geometría que se imparte en las aulas de los estudiantes de secundaria se busca principalmente familiarizar al alumno con métodos para obtener medidas de los objetos con los que interactúa frecuentemente, pero no se señala diferencia alguna de los métodos con los cuales trabaja la geometría como por ejemplo lo son el sintético y el analítico, sin embargo pese a algunas dificultades teóricas o programáticas, los estudiantes que luego se preparan para postular a las universidades ven un curso de geometría con ejercicios cuyas soluciones pueden abordarse de una manera secuencial y bastante lógica, salvo temas como el de congruencia, que sigue siendo tan innecesario cuando se pretende profundizar en él. Pero los problemas abordados a un nivel pre-univesitario distan aún mucho de los problemas que debe de afrontar un alumno que se prepara para concursos internacionales y esto se debe principalmente a la diferencia entre lo que se busca con los problemas. Las olimpiadas matemáticas han sido diseñadas para muchos niveles (diferentes alumnos y grados de dificultad) y los alumnos se van encaminando a desarrollar cuestiones generales y de allí que los temarios para concursos internacionales difieran en gran modo de los temarios que comúnmente se enseñan en los colegios. Particularmente estos últimos años se ha venido elevando el nivel académico de la delegación peruana en su participación tanto en nuestro continente como en otros, de tal modo que ha sido posible trabajar con temas de matemática pura y en el caso de la geometría con criterios avanzados de geometrías que ya no resultan ser euclidianas. Con la finalidad de motivar a los participantes a estos seminarios, he visto conveniente, particularmente para el curso de geometría, comentar aspectos generales de las construcciones con regla y compás por que además de ser imprescindible dentro de todos los sillabus de concurso, pueden generar en muchos estudiantes ese gusto a trabajar sobre problemas que no requieren mucho cálculo sino por el contrario destreza en comprender la forma en la que están dispuestas las líneas en un determinado gráfico. ACLARACION

Este material sirve como complemento de los aspectos a exponer, pero además incluye comentarios adicionales para el lector, por lo que se sugiere se lea y se desarrollen las actividades que en el se indican con anticipación Gracias

LA REGLA Y EL COMPÁS En tiempos de la antigua Grecia se decía que una figura geométrica “Existía” si era posible la construcción de la misma, con instrumentos convenientemente diseñados para tales fines. Es así por ejemplo que la trisección del ángulo (problema que consistía en trazar rayos en la región interior de un ángulo, a partir de su vértice de modo tal que se obtuvieran tres ángulos de igual medida) era imposible de construir con las herramientas de la época, lo que equivale a decir que no tenía solución. Pero otros muchos problemas si podían construirse de una manera sencilla usando los instrumentos señalados (Regla y Compás).

Sin embargo la trisección de un ángulo puede ser resuelta mecánicamente con el esquema de varillas que se muestra en la figura, basada en una idea dada por el genial Arquímedes

Basándonos en los tres primeros postulados de Euclides de su primer libro de Los Elementos podemos conseguir fácilmente las condiciones para construir nuestros instrumentos - regla y compás- con ayuda de los cuales podremos ingresar a los juegos de las construcciones geométricas y revisando un poco más la historia de la geometría veremos que otros tantos matemáticos crearon su propio par “Regla y Compás” desafiando aún mas al razonamiento aplicado a la solución de problemas ya conocidos. En la actualidad los concursos de olimpiadas matemáticas también incluyen dentro de sus temarios las Construcciones con Regla y Compás, para ello casi siempre usan una Regla de Euclides y Compás Moderno. Es un momento importante para el estudiante y para el maestro, pues para el

estudiante es uno de sus primeros desafíos donde podrá hacer uso de dos etapas en el proceso de su solución: - El considerar en borrador el problema resuelto y llevar acabo su análisis (“Del gráfico del problema resuelto puedo sacar la conclusión de que. . .”) - Encontrar el camino que lleve a comprobar que nuestras conclusiones obtenidas en la primera etapa del razonamiento, son ciertas. Generalmente el tema en sí de regla y compás es uno de los primeros temas a desarrollarse en un temario básico de olimpiadas matemáticas, sin embargo estará presente a lo largo de todo el curso y es que las transformaciones geométricas (operaciones que relacionan figuras) relacionadas con la construcción de un buen gráfico enriquecen más las posibilidades de llegar a una buena solución de algún ejercicio.

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS A diario, en nuestro proceso de entender al mundo, obtenemos información de formas y esquemas geométricos bien definidos, patrones que pretenden, descubramos la matemática que ellos contienen, y la relación que guardan con otros objetos. Por ejemplo la distribución espacial de los colores de las alas de una mariposa o los casquillos que encontramos en un caracol, o la figura que obtenemos de nosotros mismos al acercarnos a un espejo esférico, al razonar sobre estos hechos y basarlos en modelos matemáticos que nos permitan entenderlos mejor, es que de una manera natural se forja la idea de las transformaciones geométricas. Existen un gran número de transformaciones geométricas, pero las principales, aquellas que todo estudiante debe conocer son principalmente las Isometrías (transformaciones que conservan las longitudes y distancias) y las Conformes (transformaciones que conservan las medidas angulares). Entre las primeras contamos con la simetría, y de entre las simetrías la que primero se aprende a manejar es la simetría axial o simetría de puntos de un plano respecto de una recta del mismo plano, un muy buen ejemplo es el de la mariposa como lo mencionamos antes. La simetría es clave para la solución de problemas con regla y compás, el mismo Herón de Alejandría en su trabajo sobre óptica nos dio las bases de esta transformación, Einstein agregó que la simetría también se da en el tiempo. Cuando una persona permanece quieta y el tiempo transcurre, su posición en todo instante de tiempo es simétrica a la anterior Un ejemplo que nos brinda la Naturaleza sobre la simetría Axial

La simetría en una mariposa es tan admirable que nos ha llevado a dedicarle un teorema que lleva su nombre, teorema de la Farfalla, o Papilom o de Butterfly, en distintos idiomas y cuya demostración puede realizarse usando solamente simetría.

En la figura de la izquierda se muestra el teorema de la mariposa, ante tal construcción el alumno debe de comprobar que ED es igual a DA

Otra transformación que también conserva las medidas angulares y es de mucha aplicación en los concursos de olimpiadas matemáticas es lo que se conoce con el nombre de Inversión, es en realidad la simetría en una circunferencia (como mirarnos en un espejo esférico) y ha recibido este nombre de simetría en la circunferencia debido a la analogía con la simetría en la recta.

En una superficie pulida plana (espejo plano) la imagen no se distorsiona así las rectas se ven como rectas y las circunferencias como tales, pero en un espejo curvo las rectas se ven como circunferencias. Podemos realizar una analogía entre la simetría en una recta y la simetría en una circunferencia. SIMETRÍA RESPECTO A UNA RECTA -

Sea una recta L y P un punto exterior a ella Trazamos una recta PO perpendicular L desde P El punto H de PO que esté a igual distancia de L que P, es el simétrico de P

SIMETRÍA RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA

-

Sea una circunferencia C de centro O y P un punto de su región exterior a ella Trazamos una circunferencia C’ perpendicular a C desde P y la recta PO El punto H de intersección de PO con C’ es el simétrico de P Problemas para ejercitar (en un plano)

1.

Dadas dos circunferencias una a cada lado de una recta L encontrar sobre dicha recta un punto de manera tal que al trazar una recta tangente a la primera circunferencia y otra recta tangente a la segunda circunferencia, estas rectas tangentes determinen con la recta L ángulos congruentes.

2.

Dadas dos circunferencias una a cada lado de una recta L encontrar sobre dicha recta un punto de manera tal que al trazar una recta tangente a la primera circunferencia y otra recta tangente a la segunda circunferencia, estas rectas tangentes tengan igual longitud

3.

Dadas dos circunferencias una a cada lado de una recta L encontrar sobre dicha recta un punto de manera tal que las dos circunferencias sean vistas bajo el mismo ángulo desde ese punto.

En todos los casos se hace necesario que se analicen todas las posibilidades en las cuales el ejercicio tiene solución, para responder señalando en que casos no seria posible tal construcción. Algunos Edificios de nuestra capital así como de otros países muestran imponentes obras de arte pintadas en sus paredes, principalmente laterales, muchos de estos hermosos detalles se han logrado usando una sencilla técnica de transformación geométrica conocida como la homotecia (claro que no siempre los artistas recurren a este método) En la figura observamos el mural pintado sobre un edificio, podemos conseguir pintar grandes paredes a partir de una imagen pequeña dibujada en una superficie transparente y una lámpara potente, dejamos fija la imagen de manera que su superficie sea paralela a la superficie donde pintaremos (para que no se distorsione la imagen) y luego proyectamos la imagen sobre la pared usando un potente reflector, finalmente podemos realizar las marcas convenientes sobre la pared. Esta operación de proyección de superficies o líneas paralelas es precisamente estudiada bajo el nombre de Homotecia

En la solución de muchos ejercicios podemos hacer uso de la homotecia, cada vez que agrandamos una figura decimos que estamos dilatando a la figura, mientras que

si su tamaño disminuye diremos que la figura se ha contraído o le hemos aplicado una contracción. De esta manera se hace sencillo resolver problemas de inscribir una figura dentro de otra, principalmente sobre polígonos. Vemos que para hablar de homotecia es fundamental trabajar con figuras de líneas paralelas, en el caso de dos circunferencias siempre podemos inscribir polígonos regulares que tengan sus lados paralelos es decir que uno se transforme en el otro mediante una homotecia. Aumentando el número de lados de estos polígonos podremos justificar que cualquier pareja de circunferencias son homotéticas (es decir se relacionan mediante una homotecia). Las homotecias pueden ser de dos tipos las directas y las indirectas, las primeras suceden cuando se desea mantener la orientación de todas las líneas del dibujo, mientras que las segundas suceden cuando se desea invertir la orientación del dibujo, así todas las líneas correspondientes invierten su dirección dentro de la gráfica

Homotecia directa de centro E En la figura se observa una homotecia directa con centro en el punto E, si imaginamos que la circunferencia pequeña se transforma en la circunferencia grande diremos que existe una dilatación directa. Interpretando la transformación de grande a pequeña diremos que existe una contracción directa

Homotecia indirecta o inversa de centro F En la figura se observa una homotecia indirecta con centro en el punto F, análogamente si imaginamos que la circunferencia pequeña se transforma en la circunferencia mas grande diremos que existe una dilatación inversa. Interpretando la transformación de grande a pequeña diremos que existe una contracción inversa En la preparación de alumnos escolares (futuros olímpicos) es conveniente mostrarles la ubicación de los centros de homotecia de dos circunferencias dibujadas de forma arbitraria, para esto bastará trazar la recta que une los centros de las circunferencias y dos vectores (entendidos como segmentos dirigidos) de direcciones iguales (para el centro de homotecia directa) o de direcciones opuestas (para el centro de homotecia indirecta), y seguir como se indica en los siguientes ejemplos gráficos

En el gráfico H representa el centro de homotecia directo en cada caso; debe notarse que los vectores usados en todos estos casos tienen la misma dirección.

Actividades necesarias para ejercitar (en un plano)

4.

Dado un triángulo acutángulo ABC inscribir en dicho triángulo un cuadrado, de manera que uno de sus lados esté contenido en un lado del cuadrado.

5.

Graficar tres circunferencias, de distintos radios, en el plano y ubicar todos los centros de homotecia posibles, como es fácil notar encontrará un total de 3 centros directos y 3 centros indirectos. Encuentre mediante el uso de la regla los grupos de centros de homotecias que están en línea recta

6.

Sea una semicircunferencia de diámetro AB y un punto P de ella, éste punto se proyecta sobre el diámetro en H, grafiquemos una circunferencia tangente interiormente a la primera semicircunferencia en T y a PH en L. Demostrar que T, L y B son colineales.

SISTEMAS DE REFERENCIA PARA EL ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO El triángulo a pesar de ser sólo una figura de las muchas que existen en el espacio geométrico, ha sido estudiado por muchos geómetras. Y es que las propiedades que el presenta son de gran variedad. Se han catalogado cientos de “puntos notables” por lo que los conocidos como lo son el ortocentro, baricentro, circuncentro, excentros e incentro resultan ser los mas sencillos de analizar y en muchos casos estos resultan ser sólo casos particulares de otros mas complejos dentro de polígonos más generales. El propósito que se persigue al incluir este tema dentro del temario de olimpiadas (para alumnos de experiencia) es demostrar teoremas complejos, poder ampliar la colección de puntos notables que posee el alumno así como extender la cantidad de rectas que contienen a puntos notables. Luego de impartir las clases de geometría enfocadas bajo el método analítico (sistema de ejes perpendiculares) y cuando se considere que el alumno ha adquirido los conocimientos necesarios sobre el punto, la ecuación de la recta y sus relaciones fundamentales entonces podría ser muy instructivo dar el siguiente paso y enseñarle a trabajar con sistemas angulares

Los sistemas de referencia que elegimos para analizar un problema pueden simplificar mucho su solución, de allí la necesidad de instruir a los alumnos en estos temas

En coordenadas angulares los ejes X - Y determinan una medida angular distinta de 90° a esta medida podemos denotarla por β y debe ser elegida de acuerdo a la necesidad del problema. Para un sistema de coordenadas angulares bidimensional podemos continuar usando el par ordenado (x, y) para referirnos al punto, siendo sus componentes abscisa y ordenada respectivamente.

GEOMETRÍA DINÁMICA Y SUS APLICACIONES EN LA INVESTIGACIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS Hoy en día con el constante crecimiento de las tecnologías y el avance de la informática, casi cualquier estudio puede ser complementado con el uso de software de computadoras, a medida que las imágenes fueron apoderándose de las presentaciones en las computadoras nacía una geometría informática y se vio el uso importantísimo de los

sistemas de referencia así como de las proyecciones Geométricas y su participación con el uso de las matrices. La geometría euclidiana (principalmente su método analítico) se ha visto muy favorecida con abundante creación de programas para su enseñanza e investigación. Hoy contamos con programas como el Cabri el cual ha alcanzado tal popularidad que ya se han creado eventos de competencia de estudiantes de distintos grados de educación secundaria de distintos países, así como páginas web completas dedicadas al uso de este software. A diferencia de otros programas de geometría el Cabri permite crear pequeñas maquinas virtuales lo cual facilita la búsqueda de lugares geométricos o envolventes.

Una de las primeras interfaces usadas para trabajar en el programa CABRI

En la figura los botones horizontales nos permiten realizar todos los gráficos que necesitemos para la solución de los ejercicios en tanto que los verticales nos permiten dar estilo a nuestro trabajo, el programa dispone a demás del trazado de circunferencias de una herramienta que simula virtualmente el compás moderno detalle que otros programas no parecen haber creído importante, puesto que se puede emular de varias formas.

En el Cabri podemos guardar animaciones y llevarlas directamente a nuestra página Web presentando problemas de una forma interactiva. Existen muchos otros software que

podemos encontrar en Internet y que puede ayudarnos a preparar nuestras clases e inclusive a realizar investigaciones.

BIBLIOGRAFÍA Leonardo da Vinci. Treatise on Painting. (Codex Urbinas Latin 1270), traducido por A. Philip MccMahon, Princeton 1956. Abas, Syed. Symmetries of Islamic Geometrical Patterns, Singapore. World Scientific, 1995 Newman, James R., Ed. The World of Mathematics. NY: Simon and Shuster, 1956. RECURSOS EN LA WEB http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Mariposa.htm