Intro a La Topologia de Espacios Metricos - Diaz Moreno

I

I TRODUCC ION a la TO'POLOG I R d·e los E [1 S METRIIJ S -

I

I

José Manuel Dí az Moreno

Seruicio de Publicaciones Uniuersidad de Cádiz

Díaz Moreno, José Manuel Introducción a la topología de los espacios métricos / José Manuel Díaz Moreno. -- Cádiz : Universidad, Servicio de Publicaciones, 1998. -- 200 p. ISBN 84-7786-514-0 l. Espacios métricos. 1. Universidad de Cádiz. Servicio de Publicaciones, ed. 11. Título. 515.124

Edita: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz I.S.B.N.: 84-7786-514-0 Depósito Legal: CA-741/1998 Diseño Cubierta: CREASUR Imprime: Jiménez-Mena, s.1. Polígono Industrial Zona Franca. Cádiz

Printed in Spain

PRÓLOGO

Como estructura matemática abstracta, el concepto de espacio métrico fue introducido inicialmente por el matemático francés M. Fréchet en 1906, y más tarde desarrollado por F. Hausdorff en su Mengenlehre. En parte, su importancia radica en que constituye una interesante generalización de los espacios normados, cuya teoría fue básicamente desarrollada por Stephan Banach como cimiento del Análisis Funcional. El desarrollo posterior de las investigaciones sobre topología métrica ha puesto de manifiesto su extraordinario poder para unificar una amplia variedad de teorías hasta entonces dispersas y aparentemente independientes. Actualmente, todas las obras de topología general dedican algún espacio al tratamiento de los espacios métricos, bien como caso particular de los espacios topológicos, bien como una manera natural de introducirlos. Sin embargo, la teoría de los espacios métricos es el fundamento indispensable para un estudio serio y riguroso del Análisis Matemático y puede presentarse en forma de una hermosa teoría acabada, muy asequible a la intuición geométrica y poco propensa a presentar fenómenos patológicos, muy al contrario de lo que ocurre con los espacios topológicos, raras veces al alcance de la intuición, llenos de sutilezas axiomáticas y de extraños fenómenos. Todo ello inclina a pensar que la teoría de espacios métricos merecería un estudio independiente; sin embargo, existe un sorprendente vacío de obras dedicadas al desarrollo independiente de la topología métrica. Este libro, que tiene su origen en los cursos que sobre la materia el autor explica en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Cádiz, recoge los principales conocimientos que es necesario poseer para estar en condiciones de seguir posteriormente un curso de Análisis Funcional elemental. El autor espera además que el lector perciba y disfrute de la belleza matemática que los espacios métricos por sí mismos representan. Los prerrequisitos para asimilar el contenido de este libro son pocos; desde un punto de vista formal, los únicos conocimientos previos que se presuponen son: familiaridad y destreza con las nociones elementales de la teoría de conjuntos, incluyendo lo relativo al principio de inducción y las nociones básicas sobre numerabilidadj y, muy especialmente, el conocimiento del cuerpo de los números reales, particularmente en lo que se refiere al axioma del supremo y a los resultados básicos sobre valor absoluto y desigualdades. El capítulo Oestá dedicado a recordar las nociones que deberían conocerse antes de abordar el texto en sí. Finalmente, el último capítulo, requiere conocimientos elementales de álgebra lineal. Con tales requisitos, la experiencia demuestra que el material del presente libro puede adoptarse como texto para un curso semestral de topología métrica destinado a estudiantes de Matemáticas o disciplinas afines. Aunque sería deseable que el lector poseyera cierta madurez matemática lograda después de haber perdido la inocencia matemática, predomina en la obra la idea de introducir la estructura definición-teoremademostración, característica de la matemática contemporánea, tan suavemente como sea posiblej además cada concepto nuevo se acompaña de motivaciones intuitivas, en un lenguaje llano y ordinario (en ocasiones con el riesgo que ello conlleva) y se ha procurado siempre destacar la significación y grado de trascendencia de los resultados.

Al final de cada capítulo se ofrece una numerosa colección de problemas, pero se ha intentando no hacer uso de ellos como parte integral del desarrollo teórico; a 10 más se cita alguno en calidad de contraejemplo. Sin embargo, no se debe interpretar que puede prescindirse de ellos; por el contrario, los problemas evidencian las posibilidades de la teoría, le confieren una mayor significación y apuntan hacia ramificaciones interesantes. Algunos capítulos finalizan con un apéndice dedicado a los espacios de sucesiones y de funciones. Tales espacios métricos son complejos de analizar en un primer curso sobre topología métrica pero ofrecen contraejemplos no triviales sobre algunas cuestiones poco intuitivas. Es en este sentido, y sólo en este, por lo que se han añadido al texto. El capítulo 1 introduce casi todos los conceptos básicos de la topología métrica en la recta real. Esto ayudará al lector a situar el contenido del libro y le familiarizará con las nociones más habituales en un contexto más asequible que la teoría general. Todo el capítulo 2 sirve para que el lector comprenda que los axiomas que definen los espacios métricos (que desde el punto de vista estructuralista constituyen el inicio abstracto de la teoría) son el resultado de un largo proceso de abstracción y de trabajo científico sobre las nociones intuitivas de distancia. Junto a la base axiomática de los espacios métricos, los capítulos 3 y 4 tienen la tarea de introducir los elementos topológicos primigenios. En los capítulos, 5,6,7 se tratan clases especiales de espacios métricos que son de importancia particular en las aplicaciones del Análisis Matemático; se habla respectivamente de las propiedades de conexión, compacidad y completitud, tres conceptos fundamentales y que constituyen junto al estudio de las aplicaciones continuas entre espacios métricos (capítulo 8), el núcleo central. Exigen, pues, un estudio cuidadoso porque deriva en una serie de teoremas fundamentales que constituyen los resultados más notables de la teoría. Se finaliza, en el capítulo 9 con una introducción a los espacios normados en el que se ha tratado, fundamentalmente, de resaltar las especiales, y a veces sorprendentes, relaciones entre dos estructuras, la topológica y la algebraica, que, al menos en principio, aparecen como fuertemente independientes. Estoy en deuda con el doctor don Francisco Benítez Trujillo, quien leyó y corrigió el manuscrito, haciendo muchas sugerencias siempre valiosas y útiles.

ii

Índice General

o

1

Introducción

. . .

.....

Valor absoluto

.

1

0.2

Conjuntos acotados. Supremo e ínfimo

5

0.3

Intervalos

8

~

. .

.

0.1

0.4 Sucesiones .

10

0.5

Conjuntos numerables

14

0.6

Problemas . . . . .

15

1 Topología usual de R

19

1.1

2

Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados

19

1.2 Interior, exterior y frontera de un conjunto

23

1.3 Adherencia y acumulación de un conjunto

25

1.4

Conjuntos densos . . .

29

1.5

Conjuntos compactos.

30

1.6 Problemas . . .

34

Espacios métricos

39

2.1

Distancias . . .

..........

39

2.2

Espacios y subespacios métricos .

42

2.3

Distancias entre conjuntos

45

2.4 Problemas . . . . . . . . .

48

2.5

50

Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones

3 Topología de los espacios métricos

53

3.1

Conjuntos abiertos

53

3.2

Conjuntos cerrados

58

3.3 Abiertos y cerrados en los subespacios

61

3.4 Distancias equivalentes .

64

3.5 Problemas . . . . . . . .

66

3.6 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones

68 iii

4 Subconjuntos notables

71

4.1

Interior, exterior y frontera de un conjunto

71

4.2

Adherencia y acumulación de un conjunto

74

4.3 Subconjuntos densos

79

4.4 Problemas . . . . . .

80

4.5 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones

84 81

5 Conjuntos conexos

5.1

Conjuntos separados

87

5.2

Conjuntos conexos

89

5.3 Componentes conexas

93

5.4

95

Conjuntos conexos en la recta real

5.5 Problemas . . . . . . 6

........

Conjuntos compactos

99

6.1

Conjuntos acotados y totalmente acotados .

99

6.2

Conjuntos totalmente acotados

103

6.3 Conjuntos compactos . . . . . .

106

6.4 Propiedad de Bolzano-Weierstrass

110

6.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . .

112

6.6 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones

114

1 Sucesiones y espacios completos

iv

111

7.1

Sucesiones . .

117

7.2

Subsucesiones

122

7.3 Sucesiones de Cauchy

124

7.4 Espacios y subespacios completos

128

7.5

131

Algunos espacios completos importantes n

133

7.7 Problemas . . . . . . . . . .

137

7.8 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones

140

Aplicaciones continuas

145

8.1

Continuidad local .

145

8.2

Continuidad global

152

8.3

Continuidad uniforme

158

7.6 Conjuntos compactos en R

8

96

8.4 Aplicaciones contractivas y teorema del punto fijo.

161

8.5 Homeomorfismos e isometrías

164

8.6 Problemas . . . . . . . . . . .

167

9

Espacios normados

172

..

9.1

Espacios normados

9.2

Topología de los espacios normados .

9.3

Normas equivalentes

..

172 175 179

9.4

Aplicaciones lineales continuas

182

9.5

Espacios normados de dimensión finita.

185

9.6 Problemas . . .

..

9.7 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones

191 193

BibliogratTa

197

índice de términos

199

v

o

Introducción

Este capítulo cero debe interpretarse como un breve recordatorio de algunas propiedades de los números reales estrechamente relacionadas con los axiomas de cuerpo y orden que los define. Hemos tenido la necesidad de reprimir tentaciones de desarrollar y ahondar en una variedad de cuestiones que conducen a resultados de gran trascendencia pero que están fuera de nuestras necesidades. Aunque se espera más bien que este capítulo sirva de soporte técnico al objeto principal de nuestro estudio, el lector debería poner un especial cuidado en comprender y dominar los conceptos y propiedades aquí expuestos porque serán usadas profusamente a lo largo de este libro.

0.1

Valor absoluto El hecho de que -a > O si a < O es la base de un concepto, el de valor absoluto, que va a desempeñar un papel sumamente importante en este curso. Definición 0.1.1 Para todo número a E IR definimos el valor absoluto lal de a como sigue:

lal = {

si si

a -a

a

~

O

a::; O

Tenemos, por ejemplo,

I - 31 11

= 3,

171

= 7, 101 = O,

+.J2 - V3/ = 1 +.J2 - V3,

y

11

+.J2 - v'lOl = v'lO - .J2 -

1.

En general, el método más directo de atacar un problema referente a valores absolutos requiere la consideración por separado de distintos casos. Por ejemplo, para demostrar que

la + bl ::; lal + Ibl deberían considerarse los cuatro casos posibles (i)

a~O

(ii) (iii)

a~O

a::;O (iv) a::;O

y y y y

b ~ O;

b::; O; b ~ O; b ::;

y

o.

Aunque esta manera de tratar valores absolutos es a veces el único método disponible, con frecuencia se pueden emplear métodos más sencillos. Nótese, por ejemplo, que lal es siempre positivo excepto cuando a = O y, 1

por tanto, es el mayor de los números a y -a; este hecho puede utilizarse para dar una definición alternativa,

lal = máx {a, -a}, que permite probar de forma muy simple algunos resultados básicos. Proposición 0.1.2 Para todo a E IR se tiene

-lal:5 a :5lal DEMOSTRACIÓN

Puesto que

o bien,

lal = máx {a, -a} se tiene que

-Ial :5 a; así que

lal ~ a y lal -Ial :5 a :5 la\.

~

-a,

•

Proposición 0.1.3 Para todo a, b E IR se verifica

-b

:5 a:5 b

si y sólo si

lal S b

DEMOSTRACIÓN

Se tiene que -b :5 a S b si y sólo si -b :5 y

a y a :5 bj es decir, si y sólo si

b ~ -a.

Por tanto, -b :5 a :5 b si y sólo si b ~ máx{a, -a}

= lal.

• Los resultados anteriores pueden usarse ahora para demostrar ciertos hechos muy importantes relativos a valores absolutos. Teorema 0.1.4 Para todo a, b E IR se verifica

la + bl Sial + Ibl DEMOSTRACIÓN

Puesto que se tiene, sumando,

-(Ial + lb!) :5 a + b :5 lal + Ibl y, por la proposición anterior,

la + bl :5 lal + Ibl

• 2

Teorema 0.1.5 Para todo a, bE lR se verifica

lal- Ibl $

Ilal- Ibll ::;

la - bl·

DEMOSTRACiÓN

La primera desigualdad es obvia. Veamos la segunda: se tiene

lal = la - b+ bl ::; por tanto, Así que

lal-Ibl ::; la -

la - bl

+ Ibl;

la - bl y, de forma análoga,

Ibl-Ial ::;

bl ~ máx{lal-lbl, -(¡al-lb!)}

lb - al

= lIal-lbll

= la - bl·

•

Cuando identificamos lR con la recta real de la manera habitual, el valor absoluto de un número lal puede interpretarse como la distancia desde el origen al punto a. Por ejemplo I ± 51 = 5 significa que los puntos 5 y -5 están a una distancia 5 del origen.

Más generalmente; el valor absoluto noS permite definir la distancia entre dos números reales cualesquiera, pero demoraremos esta cuestión hasta su momento adecuado. La idea fundamental en que se basan en última instancia la mayor parte de las desigualdades que involucran a valores absolutos es, por el elemental que pueda parecer, el hecho de que a2 ~ O para todo numero real a. En particular se tiene para cualesquiera números reales x e y (¿cómo se deduce esto?) (0.1) lo que permite probar la primera, sin duda, de las desigualdades importantes: la desigualdad de Schwarz. Teorema 0.1.6 (desigualdad de Schwarz)

Si

ai y bi son números reales para

todo i

= 1, ... , n,

entonces

DEMOSTRACiÓN

Si ai = O o bi = O para todo i = 1, ... , n, la desigualdad es evidente. Supongamos, pues, que existe algún a¡ #- O y algún b¡ #- O Y pongamos y

Sustituyendo ahora lail

x=p

e

Ib¡1

y=-

q

3

• en la desigualdad (0.1), se tiene (i::: 1, ... ,n)

de forma que

y, finalmente,

t; laill b./ n

(

$ pq:::

n

~ lail 2

) 1/2 (

t; Ib.1 n

2

) 1/2

• La desigualdad de Schwarz es la base para demostrar otro hecho que tendrá una muy importante consecuencia en el capitulo 2 (en su momento, el lector intuirá inmediatamente donde).

Teorema 0.1.1 (desigualdad de Minkowski)

Si

ai Y bi son números reales para todo i

::: 1, ... ,n, entonces

DEMOSTRACIÓN

Puesto que n

n

E lai + b;1 $ E lail 2

;=1

;=1

2

n

n

;=1

i=1

+ 2 E la;b;1 + L Ibil2

se tiene, por la desigualdad de Schwarz,

y. por tanto,

• 4

0.2

Conjuntos acotados. Supremo e ínfimo Definición 0.2.1 Se dice que un conjunto no vacío A

e

IR. está

1. acotado superiormente si existe un número x E lR tal que

a

~

x

para todo

a E A.

Tal número x se llama una cota superior de A. 2. acotado inferiormente si existe un número x E lR tal que ~

x

a

para todo

a E A.

Tal número x se llama una cota inferior de A. 9. acotado si está acotado superior e inferiormente. Obsérvese que si x es una cota superior de A, entonces y > x es también una cota superior de A¡ por tanto, un conjunto acotado superiormente tiene, de hecho, una infinidad de cotas superiores. Del mismo modo, un conjunto acotado inferiormente tiene una infinidad de cotas inferiores. EJEMPLO 0.2.1

1. El conjunto

A

=::

{x E IR.: O ~ x

< 1}

es un conjunto acotado. Para demostrar que A está acotado basta con exhibir alguna cota superior y alguna cota inferior de A, lo cual es bastante fácil: por ejemplo, 138 es una cota superior de A, e igualmente lo son 2, 3/2, 5/4 Y 1; por otra parte, cualquier número real negativo es una cota inferior y también lo es O. Evidentemente, 1 es la cota superior mínima de A y O es la cota inferior máxima. 2. Sean a y b dos números reales tales que a < b. Los intervalos siguientes son todos acotados, siendo a una cota inferior y b una cota superior.

< x < b} (b) {x E IR : a < x ~ b} (c) {x E IR : a ~ x < b} (a) {x E IR. : a

(d) {x E lR: a

~

x

~

b}

3. Para cada a E IR. los intervalos siguientes son conjuntos no acotados

(a) {xEIR:x a}

{xElR:x~a}

(d) {x E IR.: x ~ a}

4. El conjunto IR. de números reales y los números naturales N son ejemplos de conjuntos que no están acotados superiormente.

• Sea A e IR un conjunto no vacío y acotado y supongamos que existe una cota superior mínima x; es decir, si z es otra cota superior, entonces 5

x es menor o igual que z. Es evidente que si x .e y son ambos cotas superiores mínimas de A, entonces x ~ y e y ~ x (¿por qué?) y, por tanto, x = y, de forma que no puede haber dos cotas superiores mínimas distintas. Análogamente, si existe una cota inferior máxima de A, esta debe ser única. Son estas consideraciones las que motivan las definiciones siguientes.

Definición 0.2.2 Dado un conjunto no vacío A

e

IR,

1. Se dice que un número x E lR es el supremo de A y se escribe x = sup A si verifica (a) x es una cota superior de A; y ~

(b) si y es una cota superior de A, entonces x

y.

2. Se dice que un número x E lR es el ínfimo de A y se escribe x si verifica

= inf A

(a) x es una cota inferior de A; y (b) si y es una cota inferior de A, entonces y

~

x.

Nótese que si existe un x E A tal que a ~ x para ~odo a E A, entonces x es el supremo de A y, análogamente, si x ~ a para todo a E A, x es el ínfimo de A. En general, cuando el sup A E A se le suele llamar máximo y se escribe máx A y, de forma análoga, cuando inf A E A se le suele llamar mínimo y se escribe mín A. EJEMPLO 0.2.2

1. Sean a y b dos números reales tales que a < b y A={xElR:a b > a, la cuestión es evidente y si a < c < b, se tiene que x = (a+ c)/2 verifica a < x < c y x E A, así que c no es cota inferior de A. Por tanto a = inf A. De forma análoga se demuestra que b = sup A. 2. Si a, b, x E IR con a A

< by

= {x: a < x ~ b},

B

se tiene inf A y

supA

= {x: a ~ x < b},

C

= {x : a ~ x ~ b}

= inf B = inf C = a = supB = supC = b.

• Hemos omitido hasta aquí un detalle: la cuestión de cuáles son los conjuntos que tienen ínfimo o supremo. Consideremos el problema del supremo (las cuestiones relativas al ínfimo se resuelven con facilidad por analogía). Es evidente que si A no está acotado superiormente, entonces A no tiene 6

ninguna cota superior, de modo que no puede tener supremo. Recíprocamente, se tiene la tentación de afirmar que siempre que A tiene alguna cota superior, tiene supremo. Aunque no daremos una demostración formal aquí, nuestra intuición es correcta y el aserto es verdadero, y por cierto muy importante; tan importante que vale la pena enunciarlo con detalle. Teorema 0.2.3

e lR es un conjunto no vacío y acotado superiormente, entonces tiene supremo.

1. Si A

e lR es un conjunto no vacío y acotado injeriormente entonces tiene ínfimo.

2. Si A

Aunque los conjuntos no acotados superiormente no tienen supremo y, por tanto, la notación sup A carece de sentido, a veces, por conveniencia, escribiremos sup A = oo. De forma análoga, para el ínfimo pondremos inf A = -oo. Es posible que esta propiedad, cuya demostración omitimos, llame la atención del lector por su falta de originalidad, pero esta es, precisamente, una de sus virtudes. La propiedad del supremo no es, en realidad, tan inocente como parece; después de todo no se cumple para los números racionales Q (véase el problema 12). De hecho, la propiedad del supremo caracteriza, en cierto modo, a los números reales. EJEMPLO

0.2.3

Dado

A se tiene inf A

= {l/n : n E N}

= O.

En efecto, puesto que O < n para todo n E N, se tiene O < l/n, así que O es una cota inferior de A y, por tanto, A tiene ínfimo.

=

Pongamos a inf A, con a ~ O; entonces se verifica que a todo n E N. En particular, también será

~

l/n para

1

a O existe un número natural n con l/n < e, un hecho que será utilizado frecuentemente en este curso.

•

Al comienzo de este capítulo se ofreció el conjunto N de los números naturales como ejemplo de conjunto no acotado. Ahora vamos a demostrar que N es no acotado. El lector puede quedar sorprendido de encontrarse con un teorema tan evidente. Si esto es así, quizá la causa sea el que se haya dejado influir demasiado fuertemente por la imagen geométrica de lR. Sin embargo, un raciocinio basado sobre una imagen geométrica no constituye una demostración. La propiedad de que N no es acotado recibe el nombre de propiedad arquimediana de los números reales porque se deduce de un axioma de la geometría que se suele atribuir (no con absoluta justicia) a Arquímides. 7

Teorema 0.2.4 N no está acotado superiormente. DEMOSTRACIÓN

Supongamos que N estuviese acotado superiormente. Puesto que N :f 0, existiría una cota superior mínima cr para N. Entonces cr ~ n

n E N.

para todo

En consecuencia, cr

puesto que n

~

+ 1 está en

n

+1

para todo

n E N,

N si n está en N. Pero esto significa que

cr - 1 ~ n

para todo

n E N,

así que cr - 1 es también una cota superior de N, en contradicción con el hecho de que cr es la cota superior mínima.

• El que lR sea arquimediano es la base de un resultado extraordinariamente poderoso que enunciamos aquí porque haremos uso de ella frecuentemente. Teorema 0.2.5 Si X,lI son números reales tales que x < y, entonces existe un número racional r tal que x < r < y 11 un número irracional p tal que x < p < Y.

Entre otras consecuencias, el resultado anterior significa que en cada intervalo abierto (a, b) hay, al menos, un número racional. Esta propiedad es tan importante, que recibe un nombre específico: decimos que 10 es denso en lR, un concepto que proviene de la topología y que será precisado en su momento.

0.3

Intervalos Hay nueve tipos de subconjuntos de lR llamados interoalos que tienen un papel relevante en el análisis de las funciones reales y conviene, por tanto, familiarizarse con ellos. Los cuatro primeros son conjuntos acotados y pueden visualizarse como segmentos de la recta real (figura 0.1 (a». Sean a y b dos números reales tales que a < b. Se llama interoalo abierto de extremos a y b Yse designa por (a, b) al conjunto de los números reales estrictamente comprendidos entre a y b: (a,b)

= {x E lR: a < x < b}

Los interoalos semiabiertos (o semicerrados) de extremos a y b se definen de la forma (a,b] = {x E lR: a < x ~ b} 8

y

[a, b)

= {x E lR : a ~ x < b}

Se llama intervalo cerrado de extremos a y b Y se designa por [a, b] al conjunto de números reales [a,b] = {x E IR.: a::; x::; b}. Además, para cada a E IR. hay cuatro semirrectas (-oo,a) = {x E IR.: x < a} (a,oo)={xEIR.:x>a}

(-00, a] = {x E IR.: x::; a} [a, (0) = {x E IR. : x ~ a}

representadas gráficamente en la figura 0.1 (b). Finalmente, (figura 0.1 (c)) IR. en sí mismo puede ser entendido como el intervalo (extendido indefinidamente en ambas direcciones)

(-00,00) = IR

Fi ura 0.1: Intervalos (a)

•

o

•

El

o

El

•

•

(a,b] [a,b) (a, b) [a,b]

I

I

a

b

(b)

• •

El

•

(a, (0) o [a, (0)

•

(-00, a) (-oo,a]

.

I

a

(c)

•

I

O

Todos los intervalos se caracterizan por una propiedad simple llamada propiedad de convexidad. Teorema 0.3.1 Sea A e IR. un conjunto no vacío. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A es un intervalo. 2. Para todo x, y E A, el interoalo [x, y] está contenido en A.

9

DEMOSTRACIÓN

Que (1) implica (2) es evidente. Para ver el recíproco ponemos a == inf A

y

b == sup A

(Nótese que permitimos que a y b puedan ser, respectivamente, +00 si A no está acotado inferior o superiormente).

-00

o

Entonces, para cada z E (a, b), existen x, y E A tal que x < z < y (¿por qué?) y, como por hipótesis, [x,y] e A se tiene (a,b) e A. Puesto que a == inf A y b == sup A, A es uno de los intervalos con extremos a y b.

• 0.4

Sucesiones El concepto de sucesión es tan natural que incluso aparentemente se puede prescindir de una definición formal. No es dificil, sin embargo, formular una definición rigurosa; lo importante acerca de una sucesión es que para todo número natural n existe un número real a n y es precisamente esta idea lo que se formaliza en la definición siguiente. Definición 0.4.1 Una sucesión de números reales es una aplicación a:N-+lR

Desde el punto de vista de la definici6n, los valores particulares de la sucesión a deberían designarse mediante a(I), a(2), a(3),

pero la notación con subíndices

es la que se usa casi siempre; la sucesión misma se suele designar como (On)' Cuando el rango de una sucesi6n o es un conjunto acotado superiormente (inferiormente), es decir, existe un número M tal que a n ~ M (a n ~ M) para todo n, decimos que a es una sucesión acotada superiormente (interiormente). Una sucesi6n acotada inferiormente, pero no superiormente es la sucesión (on) definida por mientras que las sucesiones (b n ) y (en) definidas por en

1

== -

n

son acotadas superior e inferiormente. Una representaci6n muy conveniente de una sucesi6n se obtiene marcando los puntos a}, 02, 03, .. ' sobre una recta como en la figura 0.2. Este tipo de gráfica indica hacia donde va la sucesi6n. La sucesi6n (a n ) va hacia el infinito, la sucesión (b n ) salta entre -1 y 1, Y la sucesión (en) 10

Fi

o

ra 0.2: Sucesiones

al

o C4

o

•• •

C2

CI

converge hacia O. De las tres frases resaltadas, la última constituye el concepto crucial asociado con las sucesiones, y será definido con precisión (la definición se ilustra en la figura 0.3). Definici6n 0.4.2 Una sucesión (a n ) converge hacia 1,

lím an

n->oo

si para todo

~

= 1,

> O existe un número natural no tal que

lan -11 < ~

siempre que n > no

Además de la terminología introducida en esta definición,' decimos a veces que la sucesión (a n ) tiende hacia 1 o que tiene el límite l. Se dice que una sucesión (a n ) converge si converge hacia 1 para algún l. Para demostrar que la sucesión (c n ) converge hacia O, basta observar lo siguiente. Si ~ > O, existe un número natural no tal que 1

-

no tenemos

- no tenemos que a n a - an

~

~ ano'

é

> O,

de modo que

a - ano < é.

Esto demuestra que lím n --+ oo = a.

•

Un enunciado análogo se tiene si (a n ) es no creciente y acotada inferiormente. La hipótesis de que (a n ) está acotada superiormente es claramente esencial en el teorema anterior; si (a n ) no está acotada superiormente, entonces (tanto si es no decreciente como si no lo es) diverge. Con esta consideración podría parecer que no debería existir dificultad alguna en decidir si una sucesión no decreciente está o no acotada superiormente, y en consecuencia si converge o no. De momento puede el lector intentar decidir si la siguiente (evidentemente creciente) sucesión está o no acotada superiormente:

11111 1 1,1+ 2,1 + 2 + 3,1 + 2 + 3 + 4"" Aunque el teorema 0.4.3 trata solamente un caso muy particular de sucesiones, resulta más útil de lo que a primera vista pueda parecer, puesto que es siempre posible extraer de cualquier sucesión (a n ) otra sucesión que es, o bien no creciente, o bien no decreciente. Hablando sin precisión, definamos una subsucesión de una sucesión (a n ) como una sucesión de la forma donde los

12

ni

son números naturales con

Entonces toda sucesión contiene una subsucesión que es o bien no decreciente o bien no creciente (problema 22) Proposición 0.4.4 Cualquier sucesión (a n ) contiene una subsucesión que es o bien no decreciente o bien no creciente. Este hecho, de por sí ya relevante, es además el núcleo de un resultado aparentemente sorprendente, pero de inmediata comprobación. Teorema 0.4.5 (de Bolzano- Weierstrass).

Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente. Hasta aquí es donde podemos llegar sin suposiciones adicionales: es fácil construir sucesiones que tengan muchas, incluso infinitas, subsucesiones que converjan hacia números distintos (véase el problema 21). Existe otra suposición razonable que, al añadirla, ofrece una condición necesaria y suficiente para la convergencia de cualquier sucesión; una condición que, además de simplificar muchas demostraciones (sólo por esta razón ya vale la pena que la establezcamos) desempeña un papel fundamental en el análisis. Si una sucesión converge, de modo que sus términos eventualmente se aproximan todos a un mismo número, entonces la diferencia entre dos cualesquiera de tales términos debe ser muy pequeña. Para ser precisos, si lím n ..... oo = l para algún valor l, entonces, por definición, para cualquier f > O, existe no tal que la n -11 < f/2 para n > no; ahora bien, si es a la vez n > no y m > no, entonces

Esta desigualdad final,

la n

-

ami <

f,

que elimina la mención al límite

1, puede utilizarse para formular una condición (la condición de Cauchy)

que es claramente necesaria para la convergencia de una sucesión. Definición 0.4.6 Una sucesión (a n ) es una sucesión de Cauchy si para todo f > O existe un número natural no tal que la n

-

am I <

f,

siempre que n, m > no

La elegancia de la condición de Cauchy está en que es también suficiente para asegurar la convergencia de una sucesión. Después de todo nuestro trabajo preliminar, queda poco por hacer para terminar la demostración. Hemos visto ya que (a n ) es una sucesión de Cauchy si converge. La idea fundamental para ver el recíproco consiste en probar que toda sucesión de Cauchy está acotada y que, por tanto, posee una subsucesión convergente para, finalmente, demostrar que si una sucesión de Cauchy (a n ) tiene una subsucesión convergente entonces (a n ) también converge (problema 23). Teorema 0.4.7 Una sucesión (a n ) converge si y sólo si es una sucesión de Cauchy.

13

0.5

Conjuntos numerables La noción de conjunto numerable es, es realidad, muy natural. Se trata de extender a infinito la posibilidad de contar. La definición matemática adecuada es la siguiente. Definición 0.5.1 Un conjunto A es numerable si existe una aplicación sobreyectiva

Inmediatamente se aprecia que la definición anterior lleva implícita una interpretación ligeramente diferente pero extremadamente importante: el conjunto A es numerable si es posible disponer sus elementos en una sucesión El primer ejemplo inmediato de conjunto numerable es lógicamente N; evidentemente también es numerable cualquier conjunto finito o el conjunto de los números pares. Algo más sorprendente es comprobar que Z es también numerable, pero ver es creer O, -1, 1, -2,2, ... Los resultados siguientes muestran que hay muchos más conjuntos numerables de lo que se pueda suponer. Teorema 0.5.2 1. Cualquier subconjunto de un conjunto numerable es numerable. 2. La unión de dos conjuntos numerables es numerable.

La demostración de estas propiedades es sencilla y se deja al lector. (La primera es inmediata, para la segunda aplíquese el mismo artificio que dio resultado para Z). El conjunto de los números racionales positivos es también numerable; para demostrarlo, basta utilizar la siguiente descripción 1

--t

¿ 2

.¡. /' 3

1

2 2

'2 3

2

1

/'

¿

3 ~

--t

¿

1

¡

2

3

¡

ª-3

¡

3

1

5 2

5 3

5

Naturalmente, de forma similar, el conjunto de los números racionales negativos también es numerable y, por tanto, deducir que Q es numerable (esto es sí que es verdaderamente sorprendente) es ahora una trivialidad. Puesto que existen tantos conjuntos numerables, es importante observar que, por ejemplo, el conjunto de los números reales comprendidos entre O y 1 no es numerable (problema 25). En otras palabras, no es posible disponer todos estos números reales según una sucesión

14

0.6

Problemas 1. Dése una expresión equivalente de cada una de las siguientes utilizando como mínimo una vez menos el signo de valor absoluto.

1-12 + -13 - v'5 + v'71· (b) 1(la + bl- lal -lbDI· (c) 1(la + bl + lel -la + b + eDI· (d) Ix 2 - 2xy + y2 1. (e) 1(1-12 + -131 - 1v'5 - v'7DI· (a)

2. Dése una expresión equivalente de cada una de las siguientes prescindiendo de los signos de valor absoluto, tratando por separado distintos casos cuando sea necesario. (a) (b)

(c) (d)

la + bl - Ibl· 1(Ixl - 1)\. Ixl - Ix 2 1· a - I(a - laDI·

3. Encontrar todos los números x para los que se cumple (a) (b) (c) (d)

(e)

(f) (g) (h)

4.

Ix - 31 = 8. Ix - 31 < 8. Ix +41 < 2. Ix - 11 + Ix - 21 > 1. Ix - 11 + Ix + 11 < 2. Ix - 11 + Ix + 11 < 1. Ix - 111x + 11 = O. Ix - 111x + 21 = 3.

(a) Dar una nueva demostración la + bl :::; lal + Ibl mediante un análisis exhaustivo de todos los casos posibles. ¿Cuándo se verifica la + bl = lal + Ibl y cuándo la + bl < lal + Ibl?· (b) Dése otra demostración más corta partiendo del hecho de que

..¡;;2 = lal (¡ojo! no a). 5. Demostrar lo siguiente:

(a) Ixyl = Ixllyl· (b)

I~ I

(c)

: 1 = I~I,

(d) (e)

=

I~I' si x # o. si y

# O.

Ix - yl :::; Ixl + Iyl. (Dése un demostración muy corta). Ix + y + zl :::; Ixl + Iyl + Izl· (Indíquese cuándo se cumple

la

igualdad). 15

6. Demostrar que m áx {x,y }

= x + y +2 Iy - xl

mín{x,y} =

x +y -Iy - xl 2

7. Demostrar que si

IX -

E

xol < 2"

y

Iy -

E

Yol < -2

entonces I(x

+ y)

I(x -

+ Yo)1 < E, y) - (xo - Yo)1 < E. - (xo

El enunciado de este problema encierra algunos números extraños, pero su mensaje básico es muy sencillo: si x está suficientemente cerca de Xo e y está suficientemente cerca de Yo, entonces x+y está cerca de Xo + Yo, Y x - y está cerca de Xo - Yo.

8. Hallar la cota superior mínima y la cota inferior máxima (si existen) de los siguientes conjuntos. Decidir también qué conjuntos tienen elemento máximo o elemento mínimo.

(a)

{~: n EN}

(b)

{~: n E Z, n ¡é O}

(c) {x: x

=O

o

x

= l/n,n E N}

(d) {x E Q : O ~ x ~ vÍ2}

+ x + 1 ~ O} + x - 1 < O} < O y x2 + x -

(e) {x: x 2

(f) {x: x (g) {x: x

(h)

2

1 < O}

{~+(-l)n:nEN}

9. Sea A e IR un conjunto no vacío. Probar que A es acotado si y s6lo si existe un número real positivo K tal que Ixl ~ K para todo xE A. 10. Supongamos que A y B son dos conjuntos no vacíos de números reales tales que x ~ y para todos x E A, Y E B. (a) Demostrar que supA

~

y para todo y E B.

(b) Demostrar que sup A

~

inf B.

11. Sean A e B conjuntos no vacíos y acotados superior e inferiormente de números reales. Probar que inf(B)

~

inf(A)

~

sup(A)

~

sup(B)

12. Probar que en el conjunto Q de los números racionales, el conjunto A={aEQ:a>O,a2 O existe un número natural n con l/n < e. 14. Sea A e IR no vacío y acotado superiormente, y sea e un número real. Demostrar que e :S sup(A), si y sólo si para cada e > O real, existe x E A tal que e - e < x. 15. Probar que si A es acotado y para todo x, y E A, el intervalo [x, y] está contenido en A, entonces (a,b)

e

A

e

[a,b]

= inf A y b = sup A.

con a

Este problema puede ayudar a comprender la demostración del teorema 0.3.1. 16. Probar que un conjunto A es acotado si y sólo si existe un intervalo (a, b) que lo contiene. 17.

(a) Demostrar que si 1 y J son intervalos en IR tales que JnJ:f. 0, entonces J U J es un intervalo. (b) Si 1 Y J son intervalos tales que J U J es un intervalo, entonces J n J:f. 0. ¿Verdadero o falso? (explíquese). ¿ y si son intervalos abiertos? ¿Y si son intervalos cerrados?

18. Hallar

n[n,+oo) 00

(a)

n=l 00

(b) n O tal que [o - 10,0] CA.

°

Por ser

° = sup S, existe x E S tal que ° - 10 ~ X < o. [a, o]

Pongamos

= [a, x] U [x, o]

Puesto que x E S, el intervalo [a, x] está cubierto por un número finito de conjuntos de R y, por otra parte, el intervalo [x,o] e [o - E:,o] está cubierto por A; luego el intervalo [a, o] está cubierto por un número finito de conjuntos de R y, por tanto, E S.

°

°

°

°

(2) Para concluir, basta probar que = b. Si fuese < b, como E A y A es abierto existirá z con < z < b tal que [o, z] e A y el intervalo [a, z] estaría cubierto por un número finito de conjunto de R, luego sería z E S Yz > sup S, lo cual es imposible. Por tanto, b.

°

°=

°=

•

En la demostración anterior, para determinar un cierto subrecubrimiento finito de R se han utilizado dos hechos acerca del intervalo [a, b]: que es cerrado y que es acotado. La cuestión, entonces, surge inmediatamente:

31

¿son sólo convenientes para la demostración o, por el contrario, son condiciones imprescindibles? El ejemplo siguiente muestra que ninguna de las dos puede ser excluida. EJEMPLO 1.5.2

1. La recta lR, que es un conjunto cerrado pero no acotado, posee un recubrimiento abierto Ji = UnEN( -n, +n), que no admite ningún subrecubrimiento finito. En efecto, la unión de un número finito de intervalos (-n, n) es igual al mayor de ellos y, por tanto, no puede ser IR.

2. El intervalo (O, 1], que es un conjunto acotado pero no cerrado posee un recubrimiento abierto (O,lJ e UnEN (~, 2) del que no puede extraerse un subrecubrimiento finito porque la unión de un número finito de intervalos de la forma (1/n,2) es el mayor de ellos y, por consiguiente, no puede contener a (O, 1J.

• Veamos ahora otro caso muy importante. Teorema 1.5.3 Si X consiste de los términos de una sucesión convergente y su límite, todo recubrimiento abierto de X posee un subrecubrimiento finito. DEMOSTRACIÓN

Pongamos, para fijar ideas, X

= {x} U {x n : n E N} con límx = x. n

Si 'R es un recubrimiento abierto de X, el límite x debe estar en un conjunto de n, digamos U. Toda vez que U es abierto y (x n ) converge a x existe no tal que x n E U si n > no. Ahora, cada uno de los términos xi(i = 1, ... , no) está en algún Ui E 'R. Así, X está cubierto por los conjuntos U,U1"",Uno '

•

Los resultados precedentes muestran que de todo recubrimiento abierto de [a, bJ o del conjunto X formado por los términos de una sucesión convergente y su límite se puede extraer un subrecubrimiento finito. Ahora bien, la cuestión es: ¿hay otros conjuntos con tal propiedad? La respuesta es sí. En realidad en el caso del conjunto X se puede dar una demostración alternativa observando que es un conjunto cerrado y acotado (la sucesión es convergente) y, por tanto, existe un intervalo cerrado y acotado [a, b] tal que X e [a, b]. A partir de aquí no es difícil determinar un subrecubrimiento finito (¿cómo?). Esta misma idea nos permitirá responder rigurosamente a la cuestión planteada. Antes, sin embargo, conviene dar nombre a tales conjuntos. Definición 1.5.4 Un conjunto K e Ji es compacto cuando todo recubrimiento abierto de K admite un subrecubrimiento finito. Así, los intervalos cerrados y acotados [a, bJ y los conjuntos X formados por los términos de una sucesión convergente y su límite son conjuntos compactos y no lo son JR y (a, b]. El resultado siguiente permite identificar a los conjuntos compactos

32

Teorema 1.5.5 (de Borel-Lebesgue).

Un conjunto K

e

lR es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.

DEMOSTRACIÓN

Supongamos en primer lugar que K es compacto (así, pues, K i- lR) Y sea x E lR \ K. Para cada y E K tomemos dos entornos, E(x) y E(y) disjuntos. La familia {E(y): y E K} es un recubrimiento abierto de K y de él se podrá extraer un subrecubrimiento finito E(Yl), E(Y2)"'" E(Yn). Sean El (x), E2(X), ... ,En(x) los entornos de x correspondientes. La intersección

es un entorno de x contenido en lR \ K, luego IR \ K es abierto y K es cerrado. Para ver que K es acotado consideremos el recubrimiento abierto de K formado por todos los intervalos (-n, n) con n E N. De él podrá extraerse un subrecubrimiento finito cuya unión es el mayor de ellos, digamos (-no,no). Así, K e (-no,no) y es, pues, acotado. Recíprocamente, si K es cerrado y acotado entonces K estará contenido en algún intervalo cerrado [a, b] y si es un recubrimiento abierto de K, adjuntándole el abierto lR \ K obtendremos un recubrimiento abierto del compacto [a, b] del que se podrá extraer un subrecubrimiento finito. Tal subrecubrimiento estará formado por un número finito de conjuntos de n, A 1 ,A2 , ••• ,AA: y, tal vez, lR\K. Entonces los conjuntos A ll A 2 ,.·· ,AA: cubren a K. Por tanto K es compacto.

n

• Tendremos numerosas ocasiones de apreciar la extraordinaria utilidad del concepto de compacidad. Con su ayuda, podemos, por ejemplo, dar una nueva demostración del teorema de Bolzano-Weierstrass que tiene un carácter existencial. Teorema 1.5.6 (de Bolzano- Weierstrass).

Todo conjunto infinito y acotado A acumulación.

e

lR tiene al menos un punto de

DEMOSTRACIÓN

Si A es acotado estará contenido en un intervalo cerrado [a, bJ. Si A no tiene puntos de acumulación, ningún punto de [a, b] será de acumulación de A, lo cual implica que para cada y E [a, b] existe un entorno E(y) tal que el entorno reducido E*(y) no contiene puntos de A. La colección {E(y) : y E [a, b]} es un recubrimiento abierto del compacto [a, b] del que se podrá extraer un subrecubrimiento finito, E(y¡) , E(Y2)"'" E(YA:) que también cubren a A. Además, ninguno de los entorno reducidos E*(y¡), E*(Y2)"'" E*(YA:) tiene puntos de A, luego A consta a lo sumo de los k puntos Yl, Y2," . ,YA:·

• 33

1.6

Problemas 1. Probar que Q no es abierto ni cerrado y que Z es cerrado en IR,

2. Si A, F e lR son dos conjuntos abierto y cerrado respectivamente, demostrar que (a) F \ A es cerrado. (b) A \ F es abierto Indicación: ¿qué es A \ B P. 3. ¿Verdadero o falso? (Explíquese) (a) Si A Y B son abiertos disjuntos tales que AUB es un intervalo abierto (acotado o no), entonces A o B es vacío. (b) Si F, G son cerrados disjuntos tales que F U G es un intervalo cerrado (acotado o no), entonces F o G es vacío. 4. Sea I un intervalo con puntos extremos a < b. Si U es un conjunto abierto en IR tal que un I '" 0, entonces U n (a, b) '" 0. 5. Dados dos números reales x e y definimos la distancia de x a y como d(x, y)

= Ix -

yl

Probar que para cualesquiera x, y, z E lR se verifica (a) d(x,y) ~ O.

(b) d(x, y)

=O

(c) d(x, y)

= d(y,x).

x

{:=:}

(d) d(x,y) +d(y,z)

~

= y. d(x,z).

6. Probar que para cualesquiera x, y, z E lR se verifica Id(x,y) - d(z,y)1

:5 d(x,z)

7. Este ejercicio muestra las estrechas relaciones entre los conceptos de abierto y cerrado y las sucesiones. (a) Un conjunto A e lR es abierto, si y sólo si se cumple la siguiente condición: si una sucesión (x n ) converge hacia un punto a E A, entonces x n E A para todo n suficientemente grande. (b) Sea F un conjunto cerrado y (x n ) una sucesión cuyos términos están en F. Demostrar que si (x n ) converge a un punto a entonces a pertenece a F. 8. Determinar el interior, el exterior, la frontera, la adherencia y los puntos de acumulación de los conjuntos siguientes (a) Z (b) Q

(e) lR-Q (d) A

= {(-1)n/n: n E N}.

9. ¿Verdadero o falso? 00

00

n=l

n=l

UAn=UAn 34

10. Dar explícitamente el significado de cada una de las afirmaciones siguientes En las explicaciones no se pueden utilizar las palabras entrecomilladas. (a) a E X "no" es un punto ''interior'' de X. (b) a E IR ''no'' es "adherente" a X.

e

(e) X

IR ''no'' es un conjunto "abierto"

(d) El conjunto Y

e

IR ''no'' es "cerrado".

(e) a E IR ''no'' es "punto de acumulación" de X (f) X'

= 0.

(g) X

eY

(h) int(X)

IR.

pero X ''no'' es "denso" en Y.

=0

nx' = 0.

(i) X

e IR un conjunto acotado. Probar

11. Sea X (a) a

e

= inf X

= supX son puntos de adherencia de X. conjunto acotado y sup X = sup X. ¿Cuál y b

(b) X es un resultado análogo para el ínfimo?

es el

12. Probar que si A es un conjunto no vacío cerrado de IR tal que A :f; IR, entonces IR \ A no es cerrado. Así, los únicos subconjuntos de IR que son abiertos y cerrados a la vez son 0 y IR.

(Utilícese 11) 13. Sea A e IR y, para cada n E N sea

Un = {x E IR : Ix

- al < 11n para algún

a E A}

Probar (a) Un es un conjunto abierto.

n Un. 00

(b)

A=

n=l

14. A = {X¡,X2,""X n , ... }, el conjunto formado por los términos de la sucesión (x n ). Hallar A' cuando (a)

Xn

-+ x y

(b)

Xn

=x

(e) (x n )

Xn

:f; x para todo n.

para todo n.

= (x,x+ l,x,x+ 1/2,x,x+ 1/3, ...)

15. Contestar razonadamente (a) Dado un entero positivo k, dése un ejemplo de un conjunto A e IR tal que A' tenga exactamente k elementos. (b) Dése un ejemplo con A' = {O} U {lln : n E N} 16. Probar

(a) x es un punto de acumulación de A si y sólo si x E A \ {x}. (h) x es un punto de acumulación de A si y s610 si es límite de una sucesión de elementos de A distintos dos a dos.

35

17. Constrúyase un conjunto A en la recta real tal que

A fe A' fe (A')'

= {O}.

18. Demostrar (a) A es denso en IR si y sólo si IR \ A tiene interior vacío. (b) A es denso en IR si y sólo si todo punto de IR es límite de una sucesión de puntos de A. 19.

(a) Hallar un conjunto A IR \ A no lo es.

e

IR con A

fe IR, tal que A es denso pero

(b) Dar un ejemplo no trivial de un subconjunto abierto y denso en IR. 20. Probar que el conjunto IR \ {x n : n E N} es denso en IR. 21. Por extensión, diremos que un conjunto D e A es denso en A, si A e D. Probar que todo intervalo 1 e IR posee un subconjunto denso en 1 y numerable. 22. Probar las siguientes variantes del teorema de Bolzano-Weierstrass. (a) Un conjunto C e IR es compacto si y sólo si todo subconjunto infinito de C tiene al menos un punto de acumulación en C. (b) Un conjunto C es compacto si y sólo si cada sucesión en C tiene una subsucesión que converge a un punto de C. 23. Si (A n ) es una sucesión de conjuntos compactos no vacíos de IR tal que A n + 1 e A n para todo n, demostrar que el conjunto intersección

es no vacío y compacto. 24. Probar que dado un conjunto A e IR, todo recubrimiento abierto de A admite un subrecubrimiento numerable. 25. (Propiedades de separación). Demostrar: (a) Si C es compacto y x f/: C, existen dos abiertos disjuntos que contienen a C y a x. ¿Es cierto esto si C es cerrado? (b) Si C I y C2 son compactos disjuntos, existen abiertos Al y A 2 disjuntos que los contienen. ¿Existe un análogo para conjuntos cerrados? 26. Probar (a) La unión finita de compactos es un compacto. (b) La intersección arbitraria de compactos es un compacto. (c) Si K es una familia de conjuntos cerrados, al menos uno de los cuales es compacto, entonces nK es compacto. (d) Si

36

e es compacto y F cerrado, C n F

es compacto.

\

27. ¿Verdadero o falso? (explíquese). Si A es un subconjunto acotado de lR entonces A' es compacto. 28. Si X n ~ x y A = {x} U {x n : n E N}, entonces A es compacto y, por tanto, cerrado y acotado. Probar que A es cerrado y acotado sin hacer uso del teorema de Borel-Lebesgue. 29. Construir recubrimientos abiertos de Q y de [0, 00) que no admitan subrecubrimientos finitos.

37

2

Espacios métricos Desde un punto de vista intuitivo, un espacio métrico es, simplemente, un conjunto en donde podemos hablar de la distancia entre sus elementos, lo que nos permitirá precisar la noción de proximidad, una idea que está presente implícitamente en todos los conceptos fundamentales de la Topología y el Análisis. La recta real o el plano geométrico constituyen ejemplos simples de espacios métricos, concepto que es en realidad una abstracción de las propiedades de lo que habitualmente se conoce como distancia. Los espacios métricos son muy numerosos y diversos. Por razones evidentes, no podemos abordar en este texto el estudio de ciertos espacios para los que se necesita un conocimiento matemático amplio; por ello nos centraremos únicamente en aquellos conjuntos con los que el lector tiene cierta familiaridad y que surgen de forma natural en el análisis. No obstante, en la mayoría de los casos, los conceptos y propiedades que se estudiarán son fácilmente generalizables.

2.1

Distancias Comencemos con un caso sencillo: el conjunto IR de los números reales. Si, como es habitual, identificamos IR con una recta, podemos intuir, sin mucha dificultad, lo que normalmente entendemos como medir la distancia entre dos puntos -después de todo para hallar la distancia entre los puntos -3 y 5 sólo se necesita algo de aritmética-o Sin embargo, es necesario dar una definición precisa que, por una parte, recoja nuestras nociones intuitivas y, por otro, sea matemáticamente rigurosa; ello se consigue con el auxilio del valor absoluto. Definición 2.1.1 Dados dos números reales x e y definimos la distancia euclídea de x a y como d(x,y)::::

Ix-yl

Tenemos, por ejemplo, d(3,2) :::: 13 - 21 :::: 1 y d(3, -7) = 13 + 71 = 10. Puede sorprender que hallamos puesto un apellido, euclídea, en nuestra definición. Ello se debe a que sobre un mismo conjunto se pueden definir distancias distintas; pero esto será precisado más tarde. Veamos, de momento, algunas propiedades más o menos evidentes -y deseables- que se deducen de forma inmediata de las propiedades del valor absoluto. Teorema 2.1.2 Para cualesquiera x, y, z E IR se verifica 1. d(x,y) = O si y sólo si

x = y.

2. d(x, y) 2: O. 3. d(x,y) = d(y,x).

4.

d(x,y)::; d(x,z) +d(z,y).

39

Una precisión, antes de seguir. En lo que sigue consideraremos el conjunto ]R.n como el conjunto de las n-plas (XI, X2, .. . , x n ), donde Xi E lR (i == 1,2, ... , n) a las que llamaremos puntos siguiendo la terminología geométrica que fue su origen; es decir lRn no es más que el producto cartesiano (n) lR x lRx .,. xlR sin ninguna otra estructura definida. Pasemos ahora a]R2 que identificamos con el plano geométrico. Podemos medir la distancia, que entendemos como habitual, entre dos puntos X e y con la ayuda del teorema de Pitágoras (fig. 2.1). Definición 2.1.3 Dados x,y E lR2 definimos la distancia euclídea de a y como

X

Al igual que en IR, también en este caso se demuestra con relativa facilidad que se verifican las propiedades siguientes. Teorema 2.1.4 Para cualesquiera x, y, z E ]R2 se verifica

1. d 2 (x,y) == O si y sólo si

X

== y.

2. d2 (x,y);:::O. 3. d2 (x, y) == d2 (y, x).

4·

d2(X,

y) =::; d2 (x, z)

+ d 2 (z, y).

Como se ve, las definiciones de distancia en ]R y en lR2 verifican las mismas propiedades. Podemos interpretar con facilidad lo que significan tales propiedades. La primera nos dice que la distancia entre dos puntos es cero si y sólo si los puntos coinciden; la segunda establece que la distancia es siempre un número real positivo o cero; la tercera es una propiedad de simetría: indica que la distancia de x a y es igual a la de y a Xj finalmente, la cuarta propiedad nos dice que un lado de un triángulo nunca tiene longitud mayor que la suma de las longitudes de los otros dos lados. No es difícil reconocer en las definiciones que hemos dado la noción de distancia que conocemos intuitivamente y que habitualmente usamos. No ocurre lo mismo, sin embargo, con la definición siguiente. Definición 2.1.5 Dados x, y E ]R2 definimos la distancia de Manhattan de x a y como

Aunque menos habitual, es fácil interpretar lo que significa dI' Para medir la distancia entre (Xl, X2) e (YI, Y2) hallamos primero la distancia horizontal entre XI e YI y le añadimos la distancia vertical entre X2 e Y2 (fig. 2.1). No es muy difícil imaginar situaciones donde tal medida sea la adecuada: supongámonos, por ejemplo, midiendo distancias en una gran ciudad con todas su calles dispuestas en sentido horizontal y vertical; se comprenderá ahora por qué la denominación de distancia de Manhattan. 40

La definición anterior pone de manifiesto una cuestión importante que ya anticipamos: sobre un mismo conjunto se pueden definir distancias distintas; la elección de una u otra dependerá de nuestros intereses y de su conveniencia para resolver nuestros problemas. Se comprende ahora por qué ponemos apellidos a lo que denominamos distancias. Ahora bien, ¿qué nos permite denominar a d¡ con el nombre de distancia? Esto es: ¿qué propiedades tiene d¡ que refleje lo que intuitivamente entendemos como distancia? y, también, ¿qué hay de común entre d¡ y d 2 ? La respuesta viene de la mano del resultado siguiente. Teorema 2.1.6 Para cualesquiera x, y, z E IR? se verifica 1. d¡(x,y)

=O

2. d¡(x,y)

~

9. d¡(x,y)

= d¡(y,x).

4. d¡(x,y)

~

si y sólo si

x

= y.

O.

d¡(x, z)

+ d¡(z,y).

Figura 2.1: Distancias en IR2

J

/

Hasta aquí, hemos tratado de intuir qué propiedades son esenciales cuando hablamos de distancia. Algunas de ellas han quedado convenientemente expuestas, pero hay que destacar un aspecto que quizás no ha quedado suficientemente explícito: es evidente que toda distancia debería estar definida para cualquier par de elementos del conjunto; es, por tanto, conveniente entenderla como una aplicación que asocia a cada par de elementos del conjunto, un número real positivo. Estamos ahora en condiciones de definir lo que se entiende, en general, por distancia. Definición 2.1.7 Sea E un conjunto no vacío. Se denomina distancia d definida sobre E a toda aplicación d:ExE--+IR que asocia al par (x,y) E ExE el número real d(x,y) y que verifica las siguientes propiedades para todo x, y, z, E E:

1. d(x, y) = O si, y sólo si x = y 2. d(x,y)

~

9. d(x, y)

= d(y,x)

4. d(x, y)

~

(axioma de separación)

O

d(x, z)

(axioma de simetría)

+ d(z, y)

(desigualdad triangular)

41

No entraremos a discutir las complejas razones por las cuales se eligen precisamente estas propiedades -y no otras- para definir la noción de distancia, ni por qué resultan ser suficientes para nuestros propósitos. Baste decir que se trata de propiedades que reflejan nuestras percepciones y que son consistentes; esto es: no da lugar a contradicciones. Algunos ejemplos más nos ayudarán a familiarizarnos con el concepto. EJEMPLO 2.1.1 1. La aplicación definida en ]R2 x ]R2 por

doo(x,y) = máx {!XI - YI!, !X2 - Y2J} es una distancia en ]R2 (fig. 2.1). 2. Las aplicaciones siguientes son distancias definidas sobre ]R3 :

dl(x,y)

=

d2 (x,y) doo(x,y)

=

yd + IX2 - Y21 + IX3 - Y31 V(X¡ - YI)2 + (X2 - Y2)2 + (X3 - Y3)2 máx {lxI - vd, IX 2 - Y21, IX 3 - Y3!} IXI -

Conviene hacer notar que los subíndices utilizados hasta aquí para distinguir unas distancias de otras son los habituales en la literatura; para comprender, sin embargo, su justificación habrá de esperarse a los problemas.

•

Los conjuntos]R, ]R2-y, en general,]Rn son muy adecuados para obtener un reflejo de lo que intentamos definir como distancia. Sin embargo, no hay nada en estos conjuntos que no pueda ser generalizado a otros conjuntos menos familiares. El lector interesado puede ver algunos ejemplos muy significativos en el apéndice del final del capítulo.

2.2

Espacios y subespacios métricos La definición de una distancia sobre un conjunto dota a éste de una estructura rica y fructífera sobre la que se asienta gran parte del Análisis. Tales estructuras reciben el sugerente nombre de espacios métricos y constituyen la primera aproximación formal a los conceptos topológicos. Definición 2.2.1 Sea E un conjunto no vacío y d una distancia definida en él. Al par (E, d) se le denomina espacio métrico. Así, (lR, d), donde d es la distancia euclídea, es un espacio métrico (estructura que se suele conocer con el nombre de recta real). A menos que se exprese lo contrario, en lo que sigue, cuando se considere a ]R como espacio métrico se entenderá que la distancia es la euclídea, también llamada usual. Pero, sobre lR, pueden definirse otras distancias que dan lugar a espacios métricos diferentes. Lo mismo ocurre con ]R2, con ]Rn y, en general, con cualquier conjunto. En particular (]R2, d 2 ), que identificamos con el plano geométrico, es un modelo intuitivo natural de espacio métrico. El ejemplo siguiente es especialmente significativo y recurriremos a él frecuentemente en este texto.

42

EJEMPLO

2.2.1

Sea E un conjunto cualquiera no vacío y dt la aplicación definida por

° sisi

d x = {1 t( ,y)

x;:j:. y

x

=y

Se deja al lector la sencilla comprobación de que tal aplicación es una métrica para E. A la distancia así definida se le suele llamar la distancia trivial y al espacio métrico resultante (E, d¡) se le llama discreto. Aunque tales espacios carecen de interés dada su evidente trivialidad, nos indica que todo conjunto no vacío puede proveerse de una métrica; por otra parte, tales espacios discretos se emplean con frecuencia como contra-ejemplos.

• Consideremos el espacio métrico (E, d) Ysea F un subconjunto cualquiera no vacío de E. De inmediato se comprueba que la aplicación dF: F x F (x,y)

-+ IR. -+ dF(X,y)

= d(x,y)

es una métrica para el conjunto F. A dF se le suele llamar métrica inducida en F por d y, por sencillez, se acostumbra a designar también por d cuando no hay peligro de confusión. Nótese que dF no es más que la restricción de d a F x F. Definición 2.2.2 Sea (E, d) un espacio métrico y F un subconjunto no vacío de E. El par (F, dF), donde dF es la restricción de d a F, se le denomina subespacio métrico de (E,d).

Desde luego, cualquier subespacio métrico es un espacio métrico en sí mismo y cualquier espacio métrico puede considerarse como subespacio de sí mismo. Pero veamos algunos ejemplos menos triviales aunque sencillos. EJEMPLO

2.2.2

1. Si restringimos la distancia euclídea en IR. a los números enteros 2:., obtenemos el subespacio métrico (2:., d).

2. Consideremos la recta real y el subconjunto [0,1]. Entonces ([O,IJ,d)

es un subespacio métrico. Una cuestión evidente pero que conviene hacer notar es el hecho siguiente: consideremos el conjunto X como el conjunto de los puntos cuya distancia a 1/2 es menor que 1; en (IR, d), X es el intervalo (-1/2,3/2), mientras que en ([0, 1],d), X es el intervalo [0,1]. Este hecho puede parecer ahora trivial, pero la apreciación es engañosa; no obstante tendremos que esperar a capítulos posteriores para mostrar toda su importancia.

43

3. Sea (IR2 , d 2 ). Podemos identificar a IR con el subconjunto de IR2 ,

IR·

= IR x {O};

es decir el conjunto de todos los puntos de la forma (x, O), con x E III La restricción de d 2 a IR· viene dada por

De esta forma, en sentido amplio, es posible considerar a la recta real como un subespacio métrico de (IR2, d2 ). De forma similar, es posible considerar, en general, a (IRn - k , d) como subespacio de (IRn, d).

• La noción de subespacio métrico es importante porque nos permite construir nuevos espacios métricos a partir de algunos dados, pero no debe olvidarse su interés intrínseco: más adelante estudiaremos con cierta profundidad algunas propiedades que se apoyan directamente en el comportamiento de algunos conjuntos como subespacios métricos. Hemos visto ya algunos ejemplos particulares de espacios métricos. Algunos de ellos tienen importancia considerable por sí mismos y todos, vistos en conjunto, ponen de manifiesto la gran generalidad del concepto. Así, cuando demostremos una propiedad para un espacio métrico abstracto, ésta queda establecida automáticamente para una extraordinaria diversidad de espacios. Es el caso del resultado siguiente que generaliza la ya conocida propiedad de los triángulos: la longitud de uno cualquiera de sus lados es mayor que el valor absoluto de la diferencia de las longitudes de los otros dos. Teorema 2.2.3 En un espacio métrico (E, d) se verifica

Id(x,z) - d(z,y)j

~

d(x,y)

(2.1)

paro todo x, y, z E E. DEMOSTRACIÓN

Por la desigualdad triangular y el axioma de simetría se tiene

d(x,z)

~

d(x, y) +d(y,z) = d(x,y) +d(z,y)

y, por tanto,

d(x,z)-d(z,y)

~d(x,y)

De igual forma

d(z, y)

~

d(z, x)

+ d(x, y)

= d(x, z) + d(x, y)

y

-d(x, y)

~

d(x, z) - d(z, y)

Luego

-d(x, y)

~

d(x, z) - d(z, y)

y

Id(x,z) - d(z,y)1

44

~

Id(x,y)1

~

d(x, y)

= d(x,y)

•

2.3

Distancias entre conjuntos Sea (E, d) un espacio métrico. Fijemos arbitrariamente un punto Xo E E Y un conjunto no vacío A e E. Designemos por

{d(xo,x) : x E A} al conjunto de números reales constituido por las distancia de Xo a todos los puntos de A. Este conjunto está acotado inferiormente por O, lo que implica que admite ínfimo no menor que O. Definición 2.3.1 Definimos la distancia de un punto Xo E E a un conjunto A e E al número real

d(xo, A)

= xEA inf d(xo,x)

Es evidente que si Xo E A entonces d(xo, A) = O; pero el recíproco no es, en general, cierto. Puede suceder que d(xo, A) = O Y Xo iI A. Esta cuestión quedará definitivamente dilucidada más adelante. EJEMPLO

2.3.1

1. Consideremos JR con la métrica usual y A = (1, 2J. Es trivial com-

probar que d(3/2,A) d(1, A)

d(O,A)

Obsérvese que d(1, A)

13/2 - xl = O inf 11- xl = O xEA = xEA inf Ixl = 1 inf

xEA

= O y, sin embargo 1 rt A.

¿Existe x E A tal que d(1, x)

= d(1, A)?

2. Consideremos el espacio métrico (JR2, d¡), y sea el subconjunto A

de JR2 formado por los puntos

entonces d¡((2,O),A)

inf

(x,y)EA

d¡((2,O), (x,y»

inf d¡((2,O), (x,x 2 »

xER

inf {12 -

xER

Si ponemos f(x)

= 12 - xl + x 2 f(x)

={

y, por tanto,

inf f(x)

xER

Luego d¡((2,O),A)

= 7/4

(figura 2.2), se tiene

x +2 +x - 2

X2 x2

xl + x 2 }

si si

x 0, si existe algún extremo relativo de 9 en el intervalo [0,211'"] será un mínimo; por tanto, el máximo -que debe existir- estará en uno de los extremos. Hallando g(O) y g(211'") , es fácil verificar que el máximo ocurre en 211'", así que inf { máx x 2 + 2 - sen x - k}

0:5k:9 ",e[o.2"]

= 0:5k:51 inf {411'"2 + 2 -

k}

= 411"2 +

1

2. Si B = {cosx

+ k: 2 ~

k ~ 3}

¿cuánto vale d(A, B)?

• PROBLEMAS

1. Sea A un conjunto cualquiera no vacío. Diremos que una función f de A en IR es acotada si existe algún número real M > O tal que

I/(x)! ~ M para todo x E A. Designemos por B(A) al conjunto de todas estas funciones. Probar que

d: B(A) x B(A)

-t

(/,g)

-t

IR sup I/(x) - g(x)1 "'eA

es una distancia en B(A). 2. Sea E el conjunto de todas las sucesiones reales (x n ) acotadas (existe algún k > O tal que Ixnl ~ k para todo n E N). Demostrar que

doo((x n ), (Yn» = sup IX n - Ynl n

define una métrica sobre E. Al espacio (E,d) así definido se le denota por loo 3. Sea E el conjunto de todas las sucesiones reales (x n ) tales que lím X n = O. Demostrar que

doo((x n ), (Yn»

= sup jX n n

Ynl

define una métrica sobre E. Al espacio (E, d) así definido se le denota por

ca 51

4. Demostrar que dI (f, g)

=

lb

If( x) - g(x )l dx

define un a mé tric a en C( [a, b)). Ha ga un a repres entación gráfica de

la idea.

l 52

3

Topología de los espacios métricos

En los espacios métricos, hay ciertos subconjuntos con propiedades muy notables y que se revelan como el instrumento indispensable para un estudio serio y riguroso del Análisis Matemático. Éstos son los conjuntos abiertos. Intuitivamente, A es un conjunto abierto si todos los puntos próximos a x E A pertenecen también al conjunto. Por ejemplo, en la recta real, el intervalo (a, b) es un conjunto abierto, pero no lo es (a, b] porque hay puntos próximos a b que no pertenecen al conjunto. Desde luego, esto no es más que una aproximación informal y el determinar si un conjunto es abierto o no depende fundamentalmente, en los espacios métricos, de qué distancia se ha de considerar. Las definiciones precisas y las propiedades que de ellas se derivan es el objetivo de este capítulo.

3.1

Conjuntos abiertos Sea (E,d) un espacio métrico, un punto a E E y r

> O un

número real.

Definici6n 3.1.1 Se denomina bola abierta de centro a y rndio r conjunto B(a,r) = {x E E: d(x, a) < r}

> O al

Se llama bola cerrada de centro a y rndio r > O al conjunto B(a,r)

= {x E E: d(x, a)

~ r}

Obsérvese que puesto que exigimos, y esto es importante, que r > O, tanto cualquier bola, tanto abierta como cerrada, es un conjunto no vacío, ya que al menos el centro pertenece a ella. En (lR3 , d 2 ) el nombre de bola tiene un sentido geométrico clásico. Por ejemplo, B(O,l)

= =

{(x,y,Z)EJR3:y!X 2 +y2+ z2 O. De acuerdo con la definición, una bola abierta de centro a y radio r en (F, d) es el conjunto {x E F: d(a, x)

< r};

pero esto no es otra cosa que FnB(a, r), donde B(a, r) es la bola abierta de centro a y radio r en (E,d). Resulta, pues, que las bolas abiertas en (F,d) no son más que las intersecciones de las bolas abiertas en (E,d) con F. Teorema 3.3.1 Un conjunto C e F es abierto en el subespacio (F, d) de (E, d) si y sólo si existe un conjunto A abierto en (E, d) tal que

C=AnF

61

DEMOSTRACIÓN

Supongamos que A es abierto en (E,d) y C = AnF. Si C = 0, es abierto en (F, d). Consideremos que C ¡. 0 y tomemos x E C. Pero entonces x E A y A es abierto en (E, d), luego existe r > O tal que B(x, r) e Aj pero esto implica que FnB(x,r)

e

AnF

=C

Es decir, existe una bola abierta de centro x en (F,d) contenida en C; luego C es abierto en (F, d). Recíprocamente, supongamos que C es abierto en (F, d). Entonces, para cada x E C, existe un número real r., > Otal que FnB(x,r.,)

eC

Pero esto implica que

C=

U(FnB(x,r.,)) .,ec

y, empleando la propiedad distributiva, tenemos: C=Fn

(U

B(X,r.,)) .

.,eC

El conjunto A = U.,ecB(x,r.,) es abierto en (E,d) por ser unión de conjuntos abiertos.

• Al igual que los abiertos, los cerrados en (F, d) son las trazas de los cerrados en (E, d) con F. Pero, antes de demostrar este hecho conviene destacar que F es siempre abierto y cerrado en (F, d) aunque no sea ninguno de los dos en (E, d). Teorema 3.3.2 Un conjunto C e F es cerrado en el subespacio (F, d) de (E, d) si y sólo si existe un conjunto A cerrado en (E, d) tal que C=AnF

DEMOSTRACIÓN

Si A es cerrado en (E,d), es D = E \ A abierto y, por tanto, D n Fes abierto en (F, d)j pero

así que A n F es cerrado en (F, d). Recíprocamente, si C es cerrado en (F, d), es F \ C abierto en (F, d) y, por tanto, existe D abierto en (E, d) tal que F\C=DnF

= E \ D es cerrado en (E, d) y se tiene A n F = (E n F) \ (D n F) = F \ (F \ C) = C

El conjunto A

• 62

Como se ha visto, cerrados y abiertos en (F, d) pueden tener carácter distinto como conjuntos del espacio métrico (E, d). Esto es porque los resultados anteriores son independientes del carácter de F como subconjunto del espacio (E, d). Sin embargo, cuando F es abierto o cerrado, la relación entre los abiertos y cerrados de (E,d) y (F,d) es muy simple. Teorema 3.3.3 Todo conjunto abierto en (F, d) es abierto en (E, d) si y sólo si F es un conjunto abierto en (E,d). DEMOSTRACIÓN

Si todo conjunto abierto en (F, d) es abierto en (E, d), entonces F que es abierto en (F,d) será abierto en (E,d). Recíprocamente, supongamos que F es abierto en (E, d); todo conjunto B abierto en (F, d) es tal que B A n F, siendo A abierto en (E, d); pero esto implica que B es abierto en (E, d) por ser intersección de abiertos.

=

• Ahora será fácil para el lector probar el resultado análogo para los cerrados. Teorema 3.3.4 Todo conjunto cerrado en (F, d) es cerrado en (E, d) si y sólo si F es un conjunto cerrado en (E, d) .

La lectura precipitada de los resultados anteriores dan lugar a errores muy comunes. Cuando F es abierto en (E, d), todo conjunto abierto en (F, d) es abierto en (E, d), pero, ¡ojo!, no se afirma nada sobre los conjuntos cerrados; de hecho, no todo cerrado en (F,d) tiene que ser cerrado en (E,d). ¿Puede el lector buscar un ejemplo? EJEMPLO

3.3.1

1. En el espacio (IR, d) consideremos el subconjunto de Q de los números racionales. Cualquier abierto en (IQ, d) es de la forma A n Q, donde A es un abierto de (IR, d). Así, por ejemplo, el conjunto

B

= {x E IQ: °< x

< 1}

es un conjunto abierto en (IQ, d). (Obsérvese, sin embargo que B no es un conjunto abierto en (IR, d». 2. Sea el subconjunto de R2

F={(X,Y)EIR2 :xy>1} Fácilmente se ve que F es abierto en (1R2 , d2) y, por tanto, todo abierto en (F, d2) es un conjunto abierto de (1R2 , d2 ). En particular

A=B«O,O),2)nF es un conjunto abierto en (F,d2 ) yen (1R2,d2). Por otra parte,

F\A es un conjunto cerrado en (F, d2 ), pero no lo es en (1R2 , d2 ). ¿Podría el lector decir por qué?

•

63

3.4

Distancias equivalentes Hemos visto que es posible definir distancias diferentes sobre un mismo conjunto E, y que esto da lugar a espacios métricos que, al menos en principio, han de considerarse distintos. Sin embargo no siempre las topologías inducidas por tales distancias son diferentes; esto es: los conjuntos abiertos en una son conjuntos abiertos en la otra y viceversa. En este sentido, cabe considerar, desde un punto de vista topológico, ambos espacios como idénticos. El estudio de bajo qué condiciones ocurre tal cosa es el objeto de esta sección. Definición 3.4.1 Dos distancias dI y d 2 definidas sobre un mismo conjunto E son topol6gicamente equivalentes si las topologías de los espacios (E, d¡) Y (E, d2 ) coinciden.

La definición anterior significa que si el conjunto A es un conjunto abierto en el espacio métrico (E,d¡) también lo es en el espacio (E,d 2) y viceversa. Obviamente, los cerrados también coinciden. En realidad, supone que todas las propiedades topológicas coinciden. Cuestiones como la convergencia o la continuidad, por ejemplo, mantienen, pues, su condición bajo distancias topológicamente equivalentes. Ahora bien, no es fácil determinar mediante la definición si dos distancias son topológicamente equivalentes. Por ello se hace necesario dar algunos criterios más operativos y es lo que hacemos a continuación. Teorema 3.4.2 Dos distancias dI y d2 definidas sobre un mismo conjunto E son topológicamente equivalentes si y sólo si 1. para cada bola abierta Bd, (a, r) en el espacio (E, d¡) existe una bola abierta B d2 (a, s) en el espacio (E, d2 ) tal que B d2 (a, 8) e Bd, (a, r); y

2. para cada bola abierta Bd2(a, s) en el espacio (E,d2) existe una bola abierta Bd, (a, r) en el espacio (E, dI) tal que B d, (a, r) e B d2 (a, 8). DEMOSTRACIÓN

Supongamos primero que dI y d 2 son equivalentes y sea Bd, (a, r) una bola abierta en (E,d¡). Puesto que todo conjunto abierto en (E,d¡) es también un conjunto abierto en (E, d2), se tiene que Bd, (a, r) es un conjunto abierto en (E,d2) y, por tanto, debe existir una bola Bd2(a,8) incluida en Bd, (a, r). Un razonamiento análogo prueba la inclusión contraria. Recíprocamente, sea A un conjunto abierto en (E, dI)' Para cualquier x E A existe entonces una bola abierta Bd, (x, r) contenida en A; pero esto significa que hay una bola abierta en (E, d2 ), B d2 (x, 8),0 tal que

Luego, A es un conjunto abierto en (E, d2 ). De forma análoga se prueba que A es abierto en (E,d¡) si A es abierto en (E,d2).

•

El que dos distancias dI y d2 sean topológicamente equivalentes significa, pues, que las topologías inducidas en (E,d I ) y (E,d 2 ) coinciden y con 64

ella, todas las propiedades topológicas. Sin embargo, no tiene por qué ocurrir así con las propiedades estrictamente métricas. Por ejemplo, la distancia usual d y la distancia d' (x, y) = inf{1, d( x, y)} son topológicamente equivalentes (véase el problema 17); sin embargo no existe ningún número real k > O tal que d(x,y) ~ k para todo x,y E IR mientras que d'(x,y) ~ 1 para todo x,y E IR. Así, pues, para que tales propiedades métricas coincidan en un espacio y en otro, necesitamos imponer condiciones más fuertes sobre las distancias. La definición siguiente muestra qué condiciones deben cumplir dI y d 2 para poder considerarlas como métricamente equivalentes. Definición 3.4.3 Dos distancias dI y d2 definidas sobre un mismo conjunto E son equivalentes si existen dos constantes reales positivas h y k tales que para todo x, y E E se verifica 1. dI(x,y) ~ hd2(x, y)

2. d2(X, y)

~ kd I (x, y)

Teorema 3.4.4 Si dos distancias dI y d2 definidas sobre un mismo conjunto E son equivalentes, entonces son topológicamente equivalentes. DEMOSTRACiÓN

Supongamos que dI y d 2 verifican 1; probaremos que para cada bola abierta Bd, (a, r) existe una bola Bd. (a, s) contenida en ella. En efecto, todos los x E E que verifican

verifican también dI (a, x)

< hd2 (a, x) < r

luego Bd.(a,r/h)

e

Bd,(a,r)

De forma análoga, si dI y d2 verifican 2 entonces todo x E E que verifica kd¡(a,x)



O un número real.

Probar que

{xEE:d(x,y»r} es un conjunto abierto y que {XEE:d(x,y)~r}

es un conjunto cerrado. 11. Sea el subconjunto de lit?

F

= {(x, y) E lRz : xy > 1}

y A

= B(O, 2) nF

Probar que F \ A es un conjunto cerrado en (F, dz), pero no lo es en (lRz , dz). 12. En (lR, d) consideramos el subconjunto Z de los números enteros. (a) ¿Cómo Son las bolas abiertas en (Z,d)? (b) Describir los abiertos y los cerrados de (Z, d) 13. En (lRz , dz) se considera el conjunto F

= {(x, y) E lRz : Ixl < 2, Iyl < 1}

Decidir si el conjunto

A={(x,Y)ElRZ :(x-2)2+ y 2::;I,x O es una constante. Probar que d· es una distancia y es topológicamente equivalente a d2. ¿Son equivalentes? 18. Para cualquier número real x se define la parte entera de x, [x] como el mayor entero menor que x. Sea dq(x, y)

= I[x] -

[y]1 + ¡(x - [x]) - (y - [y])1

(a) Probar que d q es una distancia en IR. (b) ¿Cómo son las bolas abiertas? (c) ¿Existen constantes positivas h y k tales que hdq(x,y)::; d(x,y)::; kdq(x,y)?

(d) ¿Son equivalentes d q y la distancia usual? (e) Probar que dq y d inducen la misma métrica sobre Z.

3.6

Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones EJEMPLO

3.6.1

1. En C([a, b]) con la métrica uniforme la bola abierta de centro f y radio r es el conjunto de todas las funciones reales, g, continuas en

[a, b] y tales que f(x) - r

< g(x) < f(x) + r

para todo x E [a, b] (fig. 3.4). 2. Sea C([O, 27r]) con la métrica del supremo y

A

= {sen x + k: O < k < 1}

Tomemos f(x)

= sen x + leo E A

La bola abierta de centro f y radio r g, continuas en [O,27r] que verifican sen x

+ ko -

r

> Oes el conjunto de funciones

< g(x) < sen x + leo + r

para todo

x E [O,27r]

Si ponemos (fig. 3.5) g(x)

r

= sen x + 2 sen(8x) + ko,

puesto que -r <

r

2 sen(8x) < r

se tiene sen x

+ leo - r < g(x) < sen x + leo + r

Por lo tanto, g(x) E abierto.

BU, r) y 9

~ A.

Así que A no es un conjunto

• 68

Figura 3.4: Bola abierta en C([a, b]) ~--..;:

f(x)

+r

I I

--;-----,: f (x) I I I I

~_-..,I

g(x) I

f(x) - r

I I

I

I I I I I

a

b

Figura 3.5:

PROBLEMAS

1. Decir si los conjuntos siguientes son abiertos o cerrados en C([O, 1])

con la métrica uniforme. (a) A={senx+k:O~k~l} (b) B

= {j E C([O, 1]) : f(O) = O}

2. En el conjunto E de todas las sucesiones reales (x n ) acotadas (es decir Ixnl ~ k, para algún k > O), la aplicación

d«x n ), (Yn)) = sup IX n - Ynl n

define una métrica sobre E. Decir si el conjunto

A

= {(x n )

E

E: límx n

= O}

es abierto o cerrado. 69

3. En C([O, 1]) consideramos las distancias d(J,g)

= máx

0$"'9

Sea r

If(x) - g(x)¡

lf(J,g)

y

l

Jor If(x) -

g(x)1 dx

> O; se define 9 E C([O, 1]) mediante 4x _ --+4 9 () x - { r 2

Probar que 9 E Bd' (J, r) y que 9 y d' no son equivalentes.

70

=

si si

O$ x < tr tr $ x $ 1

f/. Bd(J, 1).

Deducir de ello que d

4

4.1

Subconjuntos notables

Interior, exterior y frontera de un conjunto En (1R2 , d 2 ) consideremos el subconjunto (fig 4.1) A = {(x,y) E 1R2

:

4x 2 +y2 < 1}

Si tomamos el punto a

= (O, -1/4) E A

podemos encontrar una bola abierta B(a,r) incluida en A; basta tomar, por ejemplo, r = 1/4. Sea ahora el punto b

= (1, -1);

la bola abierta B(b, 1/2) está incluida en el complementario de A. Es decir, no sólo a E A Y b E E \ A, sino que además podríamos decir informalmente, que a está completamente dentro de A y que b está completamente fuera de A. Con otras palabras: los puntos suficientemente cercanos a a son también de A y los puntos suficientemente cercanos a b son también del complementario de A. Ahora bien, no todos los puntos de 1R2 se comportan de esta forma; para el punto c = (1/4, ..12/3) no existe ninguna bola abierta B(c,r) contenida en A o en su complementario; esto es: toda bola abierta B(c, r) contiene a la vez puntos de A y puntos de su complementario (¿cuáles, por ejemplo?), lo que supone que existen puntos cercanos que pertenecen a A y puntos cercanos que no pertenecen a A. Fi ura 4.1: Interior, exterior y frontera

71

Sea (E,d) un espacio métrico. Definición 4.1.1 Un punto x E E es un punto interior a un conjunto A e E si existe una bola abierta B(x, r) contenida en A. El conjunto de los puntos interiores a A se llama interior de A y se designa por int(A).

Un punto x E E es un punto exterior a un conjunto A e E si existe una bola abierta B(x, r) contenida en el complementario de A. El conjunto de los puntos exteriores a A se llama exterior de A y se designa por ext(A). Un punto x E E es un punto frontera de un conjunto A e E si toda bola abierta B(x, r) contiene puntos de A y de su complementario. El conjunto de los puntos frontera de A se llama frontera de A y se designa porfr(A). Consecuencia directa de ladefinición es que int(A) e A y ext(A) e E\A. Nótese, sin embargo, que la condición de interior, exterior o frontera de un punto depende de la existencia o no de ciertas bolas abiertas y, por tanto, de la distancia y como se haya definido. Esto significa que para un conjunto dado un punto puede ser interior a un conjunto si se considera una distancia y no serlo si se considera otra distancia. Por otra parte es evidente que si las distancias son equivalentes, los puntos no pierden su condición. Basta tener en cuenta el teorema 3.4.2. Frecuentemente, para determinar el interior, exterior y frontera de un conjunto en IRR, las ayudas geométricas son de gran ayuda, pero no siempre tenemos situaciones cercanas a nuestra intuición, y fiarse en exceso de ella puede ser a veces muy peligroso. Veamos algún ejemplo. EJEMPLO 4.1.1

1. En la recta real, consideremos el conjunto Q de los números racionales. Ningún intervalo abierto está contenido enteramente en el conjunto Q, luego int(Q) 0.

=

Tampoco existe un intervalo abierto enteramente incluido en IR \ Q, por tanto ext(Q) 0.

=

Finalmente, entonces, fr(A) = IR. Como se ve, int(A) puede muy bien ser vacío sin que lo sea A. Tal situación es de mucho interés y volveremos sobre ella más adelante. 2. Sea el espacio (lR,dd y A = [0,1). Si x E A, entonces B(x,1)

= {x} e

A,

así que x es un punto interior a A. Por otra parte, si x ~ A, la bola abierta B(x, 1) estará contenida en IR \ A y x es un punto exterior a A. Es evidente, finalmente, que entonces fr(A) 0.

=

•

El resultado siguiente pone de manifiesto, como es fácil de intuir, que para cada conjunto A, los conjuntos int(A), ext(A) y fr(A) suponen una clasificación del conjunto E.

72

Teorema 4.1.2 Para cada A e E, los conjuntos int(A), ext(A) y fr(A) son disjuntos dos a dos y

int(A) U ext(A) U fr(A)

= E.

n fr(A) = 0 y

n fr(A) = 0.

DEMOSTRACIÓN

Es evidente que int(A)

ext(A)

También se verifica que int(A) n ext(A) = 0 pues si x E int(A) entonces x E A Y si x E ext(A) entonces x E E-A. Además E = int(A) U ext(A) U fr(A), pues si x E E Y x r¡. int(A) U ext(A) entonces toda bola B(x, r) contiene puntos de A y de su complementario, luego x E fr(A).

• La clasificación de los puntos de E que, de esta forma, genera cualquier conjunto A da lugar a numerosas cuestiones interesantes. De entre todas ellas, sin embargo, la de mayor importancia es la de que el concepto de interior de un conjunto permite caracterizar a los abiertos. Teorema 4.1.3 Para todo A e E, se tiene que int(A) y ext(A) son conjuntos abiertos y fr(A) es cerrado. DEMOSTRACIÓN

Desde luego, int(A) es abierto si es vacío. En otro caso, por definición de interior, para cada x E int(A) existe una bola abierta B(x, r) contenida en A. Veamos que todo punto de B(x, r) es interior a A. Como B(x, r) es abierto, para cada y E B(x, r) existe una bola abierta B(y,s) contenida en B(x,r); luego B(y, s) e A. Esto prueba que todos los puntos de B(x, r) son interiores a A, es decir que B(x, r) e int(A) y, por tanto, int(A) es abierto. Por otra parte, es inmediato que ext(A) ext(A) es un conjunto abierto.

= int(E \

A), así que también

Finalmente, como fr(A)

= E \ (int(A) U ext(A))

y el conjunto int(A) U ext(A) es abierto por ser unión de abiertos, fr(A) es un conjunto cerrado.

• El hecho de que int(A) sea un conjunto abierto tiene una consecuencia muy interesante: los puntos interiores nos permiten dar una caracterización de los conjuntos abiertos.

73

Teorema 4.1.4 int(A) es el mayor abierto contenido en A. Esto es: si B es otro conjunto abierto contenido en A, entonces B e int(A). DEMOSTRACiÓN

En efecto, si B es un abierto contenido en A y x E B, existe una bola abierta B(x, r) contenida en B y por tanto en A, luego todo punto x E B es interior a A y B e int(A).

• El resultado anterior tiene una consecuencia inmediata: Teorema 4.1.5 Un conjunto A es abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores. Esto es: si y sólo si A = int(A).

Resulta ahora conveniente para lo que sigue ampliar la noción de entorno de un punto x -que ya se vio en IR, aunque con una definición más restringida- al de un conjunto que, en cierta medida, enooelve a x. Definición 4.1.6 Un conjunto A es entorno de un punto x si x es un punto interior a A. En particular, una bola abierta de centro x y radio r > O cualquiera es un entorno de x y un conjunto abierto es entorno de cualquiera de sus puntos. También es fácil ver que la unión arbitraria y la intersección finita de entornos de x son también entornos de x. Teorema 4.1.7 Para cualquier subconjunto A y x E E, las condiciones siguientes con equivalentes

1. A es un entorno de x. 2. Existe un conjunto abierto U tal que x E U

e A.

DEMOSTRACiÓN

Que (1) implica (2) es evidente, pues si x es interior a A, existe una bola abierta B(x, r) tal que x E B(x, r) cA. Veamos el recíproco. Puesto que x E U y U es abierto, existe una bola abierta B(x,r) e U e A y, por tanto, x E int(A).

• 4.2

Adherencia y acumulación de un conjunto Como se ha visto, los puntos interiores pueden servir para caracterizar a los conjuntos abiertos. De forma análoga, existen puntos que permiten caracterizar a los conjuntos cerrados: son los puntos adherentes. Intuitivamente, un punto x es adherente a un conjunto A si no puede separarse de A mediante una bola abierta. La definición precisa y apropiada es la siguiente.

74

Fi ura 4.2: Puntos adherentes

Definición 4.2.1 Un punto x E E es un punto adherente a un conjunto A e E cuando todo bola abierta B(x,r) contiene puntos de A. El conjunto de puntos adherentes a A se llama adherencia o clausura de A y se designa por A. Desde luego, todo punto x E A es adherente a A: basta tener en cuenta que toda bola abierta B(x, r) contiene a x. Sin embargo puede muy bien ocurrir que x sea adherente a A sin que x pertenezca a A; en la práctica, este es el caso más interesante. EJEMPLO

4.2.1

1. Consideremos en (IR2 , d 2 ) el grafo de la función

f (x)

= sen(l/x)

sobre (0,1/11-]; es decir: A = {(x,sen(l/x) : O < x ~ 1/1l} Todo punto (O,y) tal que -1 ~ Y ~ 1 es un punto adherente a A. Por supuesto, también todo punto (x,sen(l/x)) con O < x < 1/1l es también un punto adherente puesto que pertenece a A. 2. En un espacio discreto (E, dd un punto x es adherente a un subconjunto A de E si y sólo si x E A. Para ver esto basta recordar que B(x, 1) = {x}

•

r-

!i~ura~-:~-.:.jJx)

= sen(l/x)

I

I

i

L ___

. 75

Como puede suponerse, los puntos adherentes guardan una estrecha relación con los puntos interiores y los puntos frontera. Teorema 4.2.2

A = int(A) U fr(A)

DEMOSTRACIÓN

Si x E A toda bola abierta B(x, r) contiene puntos de A, así que x no pertenece a ext(A)¡ es decir:

x E int(A) U fr(A) y, por tanto,

A e int(A) U fr(A). La inclusión contraria es evidente a partir de las definiciones.

• El resultado anterior nos permite mostrar cómo los puntos adherentes pueden determinar si un conjunto es cerrado o no. Teorema 4.2.3 Para cada conjunto A e E el conjunto A es cerrado y es el mínimo cerrado que contiene a A; esto es: si B es un conjunto cerrado tal que A e B entonces A e B. DEMOSTRACIÓN

Desde luego,

A es un conjunto cerrado puesto que A = int(A) U fr(A)

= E \ ext(A).

Sea B un cerrado que contenga a A. Tenemos que probar que A lo que es equivalente, E\B e E\A.

eB

o

Sea x E E \ B; como B es cerrado, E \ B es abierto y existirá una bola abierta B(x, r) contenida en E \ B; además, como E \ B e E \ A, será

B(x,r) nA luego x

f/. A, es decir, x

EE\

= 0,

A como queríamos probar.

•

Y, como consecuencia inmediata: Corolario 4.2.4 Un conjunto A e E es cerrado si y sólo si A

= A.

Consideremos ahora el conjunto M = (0,1) U {2}. No es muy dificil comprobar que M = [0, lJ U{2}. Ahora bien, entre los puntos adherentes 1 y 2 hay ciertas diferencias que conviene precisar; en efecto, toda bola abierta B(I, r) contiene puntos de M distintos del 1. Sin embargo, el único punto de M que contiene la bola abierta B(2, 1/2) es, precisamente, 2; ningún otro punto de la bola pertenece a M. Precisemos estas ideas. 76

Definición 4.2.5 Un punto x E E es un punto de acumulación de un conjunto A e E cuando toda bola abierta B(x, r) contiene puntos de A distintos de x.

El conjunto de puntos de acumulación de A se llama el conjunto derivado de A y se designa por A' . Puede muy bien suceder que un conjunto no admita ningún punto de acumulación, así como admitir muchos. Nótese que no se exige en la definición que x E A, pero puede suceder. Es evidente, además, que todo punto de acumulación es punto de adherencia, pero el contrario no es cierto. Existen puntos de adherencia que no son puntos de acumulación. Un ejemplo trivial es el conjunto A

= {a}.

Esto motiva la siguiente definición. Definición 4.2.6 Un punto x E E es un punto aislado de un conjunto A si es un punto de A que no es de acumulación. Veamos algún ejemplo. EJEMPLO

4.2.2

1. En la recta real, todo punto x E N es un punto adherente de N,

pero no es de acumulación puesto que

(B(x, 1/2) \ {x}) n N

=0

En otras palabras, todo punto x E N es aislado.

2. Si

A = {1, 1/2, 1/3, ... , l/n, ... } entonces A'

= {O} Y todos los elementos del conjunto son aislados.

2

3. En (lR , d 2 ) consideremos el conjunto

A = {(x,sen(l/x) : O < x Todo punto (O, y) tal que -1 ~ Y también lo son los puntos x E A.

~

~

llrr}

1 es punto de acumulación y

• Para que un conjunto tenga la posibilidad de admitir puntos de acumulación debe ser infinito (problema 12); dicho de otra forma: un conjunto finito no admite puntos de acumulación. Recíprocamente, como se ha visto en los ejemplos, si un conjunto es infinito no puede asegurarse que admita puntos de acumulación. No obstante, en ciertos espacios (los normados de dimensión finita), conjuntos infinitos que satisfagan una débil hipótesis adicional (acotados) sí tienen puntos de acumulación. Este es el famoso teorema de Bolzano-Weierstrass ya visto en (Ji, d) Y sobre el que volveremos más adelante; desgraciadamente, no es válido en un espacio métrico cualquiera. 77

En general, A' puede contener desde ninguno hasta infinitos puntos y su relación con A puede ser cualquiera: coincidir con él, contenerlo, estar contenido en él, ser disjunto o ninguna de estas cosas. Algunos de estos casos dan origen a diversos tipos de conjuntos de gran importancia, como veremos más adelante. Teorema 4.2~ 7 Para cada A

e

E se verifica

A ::: A U A'.

DEMOSTRACIÓN

A e A y todo punto de acumulación es adherente, luego A' ambos resulta que AUA' cA.

e A.

De

Veamos que también se verifica el recíproco. Sea x E A¡ entonces para toda bola abierta B(x, r) se cumple B(x, r) nA -1- 0. Puede suceder que exista una bola abierta B(x, r) tal que

B(x,r)nA= {x}, en cuyo caso x E A, o bien que para toda bola abierta B(x, r) sea

(B(x,r) \ {x}) n A -1- 0, en cuyo caso x E A'. En todo caso x E A U A'.

• La consecuencia inmediata del resultado anterior es que es posible caracterizar a los cerrados por medio de sus puntos de acumulación. Basta tener en cuenta que A es cerrado si y sólo si A ::: A = A U A'. Por tanto Corolario 4.2.8 Un conjunto A todos sus puntos de acumulación.

e

E es cerrado si y sólo si contiene a

A pesar de todos los casos patológicos, nos atrevemos a dar algunas interpretaciones intuitivas, con la poca confiabilidad que ellas merecen, pero contando con la benevolencia del lector. Podemos pensar que cualquier conjunto de un espacio métrico está limitado (de su complementario) por una concha o cáscara que es su frontera. Lo que se encuentra dentro de la cáscara es el interior del conjunto y el conjunto con toda la cáscara es la clausura. Si el conjunto no incluye nada de la frontera es abierto y si la incluye toda es cerrado; en caso de incluir sólo una parte, el conjunto no es abierto ni cerrado (problema 4). Debemos insistir en que tales interpretaciones son excesivamente simplistas. El concepto de espacio métrico es de una extraordinaria generalidad e incluye una abrumadora variedad de espacios, algunos de los cuales son muy extraños, sucediendo en ellos cosas que desconciertan nuestra modesta intuición que no pasa de ]R3. Aun en ]R2 y hasta en la recta, pueden considerarse conjuntos tan complejos que desafian nuestro sentido común. Debe, pues, el lector tomar las interpretaciones intuitivas en esta teoría abstracta con toda la desconfianza que merecen y a guisa de mera orientación. 78

4.3

Subconjuntos densos Definición 4.3.1 En un espado métrico, (E, d), un conjunto D es denso si D=E.

El conjunto E es denso trivialmente; es, por cierto, el único conjunto cerrado y denso, ya que si A fuese denso y cerrado, entonces A = A = E. Pero existen también subconjuntos propios que son densos. Por ejemplo, ya se ha visto que ij = IR - Q = IR así que Q y IR - Q con subconjuntos densos en (IR, d). La idea de que un subconjunto denso rellena a E se pone de manifiesto en el resultado siguiente. Teorema 4.3.2 Un conjunto D es denso en E si y sólo si para todo abierto no vacío A e E se verifica que A n D # 0. DEMOSTRACIÓN

Sea D denso en E y A un subconjunto abierto. Para cualquier x E A existe una bola abierta B(x, r) e A. Puesto que x E 15 se ~iene que B(x, r) n D # 0 y, por tanto, DnA

# 0.

Recíprocamente, supongamos que A es abierto y A n D # 0. Sea x E E; puesto que B(x, r) es abierto, B(x, r) n D # 0 y D es denso.

• Por extensión, si D e A e E, diremos que D es denso en A si D es denso en el subespacio métrico (A, d). Esto significa que D es denso en A si y sólo si DnA=A o, equivalentemente, si y sólo si AeD.

(Véase el problema 8). EJEMPLO 4.3.1

Sea IR con la distancia usual y A = (0,1). El conjunto de los números racionales del intervalo (0,1), es decir, el conjunto D=QnA,

es denso en A, puesto que QnA

= [0,1]

y, por tanto,

• 79

Los conjuntos densos son, desde luego, de muy variada especie. Algunos de ellos, los que son a la vez conjuntos numerables, tienen una gran -importancia. Definición 4.3.3 Un espacio métrico (E,d) es separable si contiene un subconjunto denso y numerable. La recta real es un ejemplo típico de espacio separable puesto que Q = IR Y Q es numerable. También lo es, en general, (IR", d 2 ) y, por supuesto, con cualquier otra distancia equivalente. En el apéndice de este capítulo puede el lector interesado ver un ejemplo muy sugerente de espacio no separable. Teorema 4.3.4 Si (E, d) es separable, toda familia de abiertos no vacíos y disjuntos entre sí es numerable. DEMOSTRACIÓN

Si (E, d) es separable, contendrá un conjunto A denso y numerable. Sea :F una familia de abiertos B a disjuntos entre sí. Puesto que A es denso y B a abierto, se tiene que

AnBa f 0 Además, (A

n Ra ) n (A n B/3) = 0.

Así, pues, la familia

g = {A n R a : B a } que es numerable, por serlo A, puede ponerse en biyección con:F. Por tanto :F es numerable.

•

Aunque la denominación de separable se suele reservar a los espacios, por extensión, diremos que un conjunto A es separable si posee un subconjunto denso en A y numerable, lo que no supone nada nuevo: lo que realmente estamos diciendo es que (A, d) es separable.

4.4

Problemas 1. En (lR, dt) y (lR; d q ), hallar el interior, exterior y frontera de los siguientes conjuntos: (a) (0,1)

(b) [0,1] (e) {(-l)nln:nEN} (d) Q

2. En (lit? , d2 ) hallar el interior, exterior y frontera de los conjuntos (a) {(x, y) E]R.2 : x

= lln (n E N),O $

V $l}

(b) {(x,V) E]R.2 : xV > l} (e) {(x,y) E lR2

BO

:

x

= n,

V = lln (n EN)}

3. Sean A y B dos subconjuntos en (E,d). Demostrar que (a) int(A

n B)

= iot(A)

n int(B)

(b) int(A) U int(B) e int(A U B). Dése un ejemplo en el que el contenido sea estricto. (e) int(A U B) = int(A) U int(B) si fr(A) n fr(B) = 0

(d) int(int(A» = int(A) 4. Probar que (a) fr(A)

= freE \

A)

(b) A es abierto si

y sólo si A n fr(A) = 0.

(e) A es cerrado si y sólo si fr(A) e A (d) A es abierto y cerrado si y sólo si fr(A)

= 0.

5. Sean A y B dos subconjuntos en (E, d). Demostrar que (a) AUB=AuB

(b) A n B e estricto.

A n B. Dése un ejemplo en el que el contenido sea

(e) A es abierto si y sólo si A n Be A n B para todo B e E. 6. Sea A e E y

:F = {B e E: A e By B es cerrado} Probar que A=

nB

BEF

7. Sea A un conjunto abierto y B un conjunto cualquiera en un espacio (E,d). Demuéstrese que (a) AnBCAnB

(b) AnB=AnB

(e) A

n B = 0 si y sólo si

A

nB =0

8. Sea (F, d) un subespacio de (E, d) Y A e F; designemos por int(A)F F y A al interior y la clausura de A en (F, d), respectivamente. (a) Probar que int(A)F = (E \ F \ A) n F (b) Dar un ejemplo en el que int(A)F -F

(e) Probar que A

f.

int(A)

n F.

=-A n F

9. (F, d) subespacio de (E, d) Y B cerrado en (F, d). Demostrar que B es cerrado en (E,d) si y sólo si B e F. 10. Sean A y B dos subconjuntos en (E, d). Demostrar que (a) A' es un conjunto cerrado. (b) Si A

e

B, entonces A'

e

B'.

(e) (AUB)'=A'UB'.

(d) (A n Bl' e A' n B'. Dése un ejemplo de contenido estricto. 81

11. Contestar razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afir-

maciones. (a) Si a E A Y A es abierto, a es de acumulación de A. (b) Sea F cerrado y x E F, entonces x es un punto aislado de F si y solo si F \ {x} es cerrado. (c) Si A no es cerrado y a E A \ A, entonces a es un punto de acumulación de A. Probar que B(x, r) n A

12. Sea x un punto de acumulación de A.

contiene infinitos puntos para todo r

> O.

13. Probar las siguientes relaciones (a) (A)'

= A'.

(b) E\A=E\int(A).

(c) E \ A == int(E \ A). 14. Probar que todo punto aislado de de A. ¿Se cumple el recíproco?

A

es también un punto aislado

15. En (lR, d t ) Y (IR; dq ), hallar la adherencia y los puntos de acumulación de los siguientes conjuntos: (a) (0,1)

(b) [0,1) (c) {(_l)njn:nEN} (d)

iQ

16. En (lR2 ,d2 ) hallar la adherencia y los puntos de acumulación de los

conjuntos (a) {(x,y) E lR2 : x

= l/n (n E N),O :s Y:S 1}

> 1} : x == n,y

(b) {(x,y) E

]R2 :

(c) {(x,y) E

]R2

xy

= l/n (n E N)}

17. Probar los siguientes hechos relativos a las distancias. (Se supone A~E)

(a) x E A si y sólo si d(x, A) = O.

>O A) > O

(b) x E int(E \ A) si y sólo si d(x, A) (c) x E int(A) si y s610 si d(x, E \ (d) d(A,B)

= d(A,B)

(e) A es denso en E si y sólo si d(x, A)

=

°

para todo x E E.

18. Dado un conjunto A del espacio métrico (E,d), comprobar si los conjuntos siguientes son densos o no en E.

(a) E \ fr(A) (b) (E \ A) U A (c) (E\A)Uint(A) 19. Si A es un abierto y B es denso en (E, d), demostrar que A n B 20. Probar que A es denso si y sólo si int(E \ A)

82

= 0.

= A.

21. Demostrar que si A y B son abiertos y densos en (E, d), entonces A U B es denso. 22. Proporcionar un ejemplo de una familia numerable de conjuntos densos cuya intersección no sea densa. 23. Probar que (a) Un espacio discreto es separable si y sólo si E es numerable. (b)

]Rn

con la métrica usual es separable.

(c) En un espacio métrico separable todo subconjunto es separable. 24. Sean dI y d2 dos distancias equivalentes sobre E y A un subconjunto de E. Probar que (a) el interior, exterior y frontera de A coinciden en (E, d¡) Y (E,d2 ). (b) la adherencia y los puntos de acumulación de A coinciden en (E, d¡) Y (E, d2 ). (c) si A es denso en (E, dI), entonces es denso en (E,d2 ).

25. Un conjunto A es fronterizo en (E, d) si su complementario, E \ A es de1l8o. (Precaución con las intuiciones). (a) Mostrar que, en general, la frontera de un conjunto no es siempre un conjunto fronterizo. (b) Probar que si A es abierto y fronterizo, entonces A

= 0.

(c) Probar que A es cerrado y fronterizo si y sólo si fr(A) == A

26. Un conjunto A es diseminado en (E, d) si el complementario de su clausura, E \ A es denso. (a) Probar que si A es un conjunto abierto o cerrado en un espacio (E, d), entonces fr(A) es diseminado. (b) Probar que si A y B son diseminados en un espacio métrico (E, d), entonces A U B es diseminado. (c) Consideremos (Q, d) donde d es la métrica inducida por la de la recta real. Probar que todo conjunto unitario es diseminado.

N6tese que Q es la unión de todos los conjuntos unitarios, así que esto prueba que la unión arbitraria de conjuntos diseminados no es, necesariamente, un conjunto diseminado. 27. Probar (a) A es fronterizo si y sólo si int(A)

= 0.

(b) A es diseminado si y sólo si int(A) == 0 28. Probar (a) Si A es cerrado y fronterizo, entonces A es diseminado. (b) si A es diseminado entonces A es fronterizo. 29.

(a) Proporcionar un ejemplo de conjunto fronterizo que no sea diseminado. (b) Dar un ejemplo de conjunto fronterizo y denso. 83

4.5

Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones EJEMPLO

4.5.1

Sea C([O, 1]) con la distancia del máximo y el subconjunto A = {f E C([O, 1)) : f(x)

< 1 para todo x E [0, In

Se está tentado de decir que la frontera es la función f(x) = 1. En cierto sentido esto es cierto, pero no totalmente. Sea una función cualquiera,

f

E C([O,

= p < 1,

máx f(x) "'E[O,l] entonces se tiene

BU, 1 -

p)

e

1]. Si

A. En efecto, si 9 E

g(x) < f(x)

+ 1-

P

BU, 1 -

p) entonces

1 2

así que en toda bola abierta BU, r) hay puntos de A y de su complementario y, por tanto, f es un punto frontera. En resumen int(A)

ext(A) fr(A)

84

=

{f E C([O, 1]) : máx f(x) < 1} "'E[O,l] {f E C([O, 1]) : máx f(x) > 1} "'EIO,l] {f E C([O, 1]) : máx f(x) 1} "'EIO,l]

=

\

EJEMPLO

4.5.2

Llamemos COO al conjunto de todas las sucesiones reales tales que x n salvo para un número finito de términos.

=O

Claramente COO es un subconjunto de CO, Tomemos un punto cualquiera (x n ) de Co y sea r > O un número real positivo cualquiera. Puesto que X n --+ O, existirá no tal que X n E (-r, r) para n > no. Pongamos, entonces X si n:S no Yn = { On si n > no Es claro que la sucesión (Yn) E COO, Además, se tiene

IXn - Ynl IXn - Ynl (recuérdese que

Xn

=O

si si

n>no

> no)

así que