Intervalos de confianza (7)

cccccccccccccccccccc
 c c

c c

Cuando se toman muestras el propósito es conocer más acerca de una población, ya que al examinar una población completa se pierde mucho tiempo y resulta costoso. La información que podemos obtener de las muestras pueden serestimadores puntuales, es decir, datos como la media muestral y la desviación estándar muestral. Los estimadores puntuales son un solo valor (punto) calculado a partir de información de la muestra para estimar el valor de una población o parámetro poblacional. Un enfoque que arroja más información es la V
 
V  cuyo p
p es aportar información de que tan cerca se encuentra la estimación puntual, obtenida de la muestra, del valor del parámetro poblacional.  Ñ
V  V es el conjunto de valores formado a partir de una muestra de c datos de forma que exista la posibilidad de que el parámetro poblacional se encuentre dentro de dicho conjunto con una probabilidad específica. Esa probabilidad específica recibe el nombre de  V V 
 c

La estimación por intervalo se calcula al sumar o restar al estimador puntual una cantidad llamada margen de error. La fórmula general de una estimación por intervalo es: a
 
0  

  Existen dos tipos de estimación de intervalo: 2c La estimación de intervalos de confianza para la media poblacional (½). Y su fórmula general es: 0 Gargen^de^error 2c La estimación de intervalos de confianza para la proporción poblacional (u). Y su fórmula general es: p 0 Gargen^de^error a
cac
a  c  ccac

 c Los factores que determinan la magnitud de un intervalo de confianza para una media poblacional son: 2c El número de observaciones en la muestra (). 2c La variabilidad en la población calculada por la desv. estándar de la muestra ( ) 2c Y el nivel de confianza. En la estimación de intervalo para la media poblacional (½) se deben considerar dos casos:
c Cuando se conoce la desviación estándar de la población (å).
c Cuando se desconoce la desviación estándar de la población (å). En este caso se sustituye la desviación estándar de la muestra ( ) por la desviación estándar de la población (å).

cccccccccccccccccccc
 c c

c
c ÑÑ


uÑ

Ñå

ë


^ 0 ^








- c * Es la estimación puntual (media muestral) y punto central del intervalo. Valor de z, que depende del nivel de confianza. A * Es el error estándar, la desviación estándar de la distribución muestral de las
carro medias muestrales. u
   c    pp p     uor ejemplo la media poblacional (µ). c  pp   pp   a)c    
 .  Si se conoce o no la desviación estándar poblacional (ɐ). Si se trata de una distribución normal. b)c Ñ
  
         
     
  Cuando se conoce la desviación estándar de la población se utiliza la A distribución  y la formula a utilizar será ^ 0
^



c)c a
  El que determine el problema. uor ejemplo 90%, 85%... >c
p  p  Decolectar la información muestral que se presente en el problema, como el tamaño de muestra (n), la media muestral! , etc. lc     pp   a)c -
     b)c a
   

  
     
   
           
  
  

 

 
 Fórmula de error estándarƒ

^



margen de error



^^ 





c)c a
  
       El límite de confianza superior se encuentra sumando el valor de la media  muestral () con el margen de error.^  ^ 

El límite de confianza inferior se encuentra restando del valor de la media  muestral () el valor del margen de error.  i ^ 

'c u  p p    pp   El intervalo de confianza del (nivel de confianza: 95%, 80%, etc.) para la media poblacional ½ es de (límite de confianza inferior) a (límite de confianza superior).

cccccccccccccccccccc
 c c

c  u  Se toma una muestra de 49 observaciones de una población normal con una desviación estándar de 10. La media de la muestra es de 55. Determine el intervalo de confianza de 99% para la media poblacional. c    pp p     El parámetro de interés es la media poblacional (µ). c  pp   pp   a)c    
 .  Se conoce la desviación estándar poblacional (ɐ). Y se trata de una distribución normal. b)c Ñ
  
         
     
  Como se conoce la desviación estándar de la población se manejará la A distribución  y la formula a utilizar será ^ 0
^



c)c a
  El nivel de confianza es de 99%. >c
p  p  n * 49, 
55, ɐ * 10, lc     pp   a)c -
     Se sabe que el 99% de las observaciones se encuentra ubicado en el centro de la distribución y entre dos valores de z. uor consiguiente el 1% restante se divide en partes iguales en las dos colas de la campana. 99% * .9900Å i

^ Å

Å

^ 



Este valor lo buscamos en la tabla de distribución normal estándar y nos dará como resultado z * -2.58, pero como la distribución es normal y por lo tanto simétrica el otro valor de z es: z * +2.58, entonces ^ ^ 0  b)c a
   

  
     
   
           
  
  

 

 
  Å

å ^ Å      ^  Å   ^
 Gargen de error ^^  

c)c a
  
        ^  ^

^          i ^

^ i    
  'c u  p p    pp  

El intervalo de confianza del ËË

para la media poblacional ½ es de


cccccccccccccccccccc
 c c

c a 


c ÑÑ


uÑ

Ñå

En la mayoría de los casos de muestreo no se conoce la desviación estándar de la población (ɐ), y por lo tanto no se puede utilizar la distribución  para calcular el intervalo de confianza para la media poblacional (µ).Sin embargo se puede utilizar la desviación estándar de la muestra y sustituir la distribución  con la distribución
. La distribución
 se calcula con la siguiente fórmula: Ö^

^

  

- * Gedia muestral. ½ * Gedia poblacional.  * Desviación estándar de la muestra, es un estimador puntual de la desviación estándar poblacional. número de observaciones de la muestra.  
 
 
 
 2c Es una distribución continua. 2c ºiene forma de campana y es simétrica. 2c Existe una familia de distribuciones t. ºodas las distribuciones t tienen una media de 0, y sus desviaciones estándar difieren de acuerdo con el tamaño de la muestra. 2c Es plana o más amplia que la distribución normal estándar.  uara crear un intervalo de confianza para la media poblacional con la distribución t se utiliza la  ^ 0 ^
siguiente fórmula:  c

ë
  - * Es la estimación puntual (media muestral) y punto central del intervalo.
Valor de t, que depende del nivel de confianza. I * Es el error estándar, la desviación estándar de la distribución muestral de las
carro medias muestrales. La distribución
cuenta con una tabla para localizar el valor de t en intervalos de confianza, dependiendo el nivel de confianza que se requiera. Existe una columna que

se identifica como DzGLdz o grados de libertad. El número de grados de libertad es igual al número de observaciones en la muestra cccccccccccccccccccc
 c c

cmenos el número de muestras. c

u
   c    pp p     uor ejemplo la media poblacional (µ). c  pp   pp   a)c    
 .  Si se conoce o no la desviación estándar poblacional (ɐ). Si se trata de una distribución normal. b)c Ñ
   
         
       
   Cuando no se conoce la desviación de la población estándar de la población se I utiliza la distribución
y la formula a utilizar será ^ 0 Ö^

c)c a
  El que determine el problema. uor ejemplo 90%, 85%... >c
p  p  Decolectar la información muestral que se presente en el problema, como el tamaño de muestra (n), la media muestral ! , etc. lc     pp   a)c -
   
  Hay que buscar en la tabla la columna DzIntervalos de confianzadz y localizar el nivel de confianza que se requiere. Y en la columna DzGLdz buscar los grados de libertad, haciendo lo siguiente: al número de observaciones en la muestra hay que restarle el número de muestras. n Ȃ 1. uor último ver el valor de t que resulte de acuerdo al nivel de confianza y los grados de libertad que calculamos. b)c r
  

   Gargen de error ^^  

c)c a
  
       El límite de confianza superior se encuentra sumando el valor de la media muestral () con el valor del margen de error. ^  ^ 

El límite de confianza inferior se encuentra restando valor del margen de error del valor de la media muestral (). i ^ 

'c u  p p    pp  

El intervalo de confianza del (nivel de confianza: 95%, 80%, etc.) para la media poblacional ½ es de (límite de confianza inferior) a (límite de confianza superior).  cccccccccccccccccccc
 c c

c c

 u  La Asociación Estadounidense de uroductores de Azúcar desea calcular el consumo medio de azúcar por amo. Una muestra de 16 personas revela que el consumo medio anual es de 60 libras, con una desviación estándar de 20 libras. Construya un intervalo de confianza de 90% para la media de la población. c    pp p     Es la media poblacional (µ). c  pp   pp   a)c    
 .  No conoce la desviación estándar poblacional (ɐ). Se supone que se trata de una distribución normal. b)c Ñ
   
         
       
   Como no se conoce la desviación de la población estándar de la población se I manejará la distribución
y la formula a utilizar será ^ 0 Ö^



c)c a
  El nivel de confianza es de 90% >c
p  p  n * 16  * 60 s * 20 lc     pp   a)c -
   
  Nivel de confianza * Ë
GL * n Ȃ 1 * 16 Ȃ 1 *  Valor de t *
  b)c r
  

  !



^  ^Å  ^  ^Å  ^  Å  ^     Å Å c)c a
  
        ^  ^  ^         i ^  ^ i    
  'c u  p p    pp  

El intervalo de confianza del 90% para la media poblacional µ es de 51.235 a 68.765

cccccccccccccccccccc
 c c

c a
cac
a  c  cc c

 c Una   es una fracción, razón o porcentaje que indica la parte de la muestra de la población que posee un rasgo de interés particular. " Una proporción muestral se determina de la siguiente manera: ‹^ ^  

- @Es el número de éxitos. Es el número de elementos de la muestra.

La proporción de la muestra () es un estimador puntual de la proporción de la población (u). uara crear un intervalo de confianza para una proporción, es necesario cumplir con los siguientes supuestos: 1.c ¹ue la condiciones binomiales queden satisfechas: 2c Los datos de la muestra son resultado de conteos. 2c Solo hay dos posibles resultados (lo normal es referirse a uno de los resultados como éxito y al otro como fracaso). 2c La probabilidad de un éxito permanece igual de una prueba a la siguiente. 2c Las pruebas son independientes. Esto significa que el resultado de la prueba no influye en el resultado de otra. $^%Å i $& 2.c Los valores de nu y n(1-u) deben ser mayores o Ð 0 #
iguales que 5. Esta condición permite recurrir  al teorema del límite central y emplear la c distribución normal estándar, es decir,  para completar un intervalo de confianza. uara crear un intervalo de confianza para una proporción de población se aplica la siguiente fórmula: ë
  -

* Es la estimación puntual (proporción muestral) y punto central del intervalo de mar confianza. Valor de z, que depende del nivel de confianza. * Es el número de elementos de la muestra. El desarrollo de un estimador puntual para la proporción poblacional y un intervalo de confianza para una proporción poblacional sonsimilares a hacerlo para una media.

cccccccccccccccccccc
 c c

c  u
   c    pp p     La proporción poblacional (u).  c  pp   pp   a)c    
 .  Ver que se cumplan las condiciones binomiales. 2c Los datos de la muestra son resultado de conteos. 2c Solo hay dos posibles resultados. 2c La probabilidad de un éxito permanece igual de una prueba a la siguiente. 2c Las pruebas son independientes. ¹ue los valores de nu y n(1-u) deben ser mayores o iguales que 5. b)c Ñ
 
    
  Se utiliza la distribución  y la formula a utilizar será: Ð 0 '

(^%)(& 



c)c a
  El que determine el problema. uor ejemplo 90%, 85%... >c
p  p  Decolectar la información muestral que se presente en el problema, como el tamaño de muestra (n), la proporción muestral !p , etc. lc     pp   " c       
  $^ ^  

b)c -
     c)c r
  

  Gargen de error

^  '

(^%)(& 

d)c -
  
   Ð 0 '

e)c a
  
      

(^%)(& 

El límite de confianza superior se encuentra sumando el valor de la proporción muestral (p) con el margen de error. Ð  '

(^%)(& 

El límite de confianza inferior se encuentra restando del valor de la proporción muestral (p) el valor del margen de error. Ð i '

(^%)(& 

'c u  p p    pp   El intervalo de confianza del (nivel de confianza: 95%, 80%, etc.) para la proporción poblacional u es de (límite de confianza inferior) a (límite de cccccccccccccccccccc
 c c

c confianza superior).  u  El propietario de West End Kwick Fill Gas Station desea determinar la proporción de clientes que utilizan tarjeta de débito para pagar la gasolina en el área de las bombas. Entrevistó a 100 clientes y descubre que 80 pagaron en el área de bombas. Construye un intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional. c    pp p     La proporción poblacional (u).  c  pp   pp   a)c    
 .  Se cumplen las condiciones binomiales. 2c Los datos de la muestra son resultado de conteos. 2c Solo hay dos posibles resultados. 2c La probabilidad de un éxito permanece igual de una prueba a la siguiente. 2c Las pruebas son independientes. ¹ue los valores de nu y n (1-u) deben ser mayores o iguales que 5. b)c Ñ
 
    
  Se utiliza la distribución  y la formula a utilizar será: Ð 0 '

c)c a
  El nivel de confianza es de 95% >c
p  p  p *80/100 n * 100 lc     pp   c       
$^

^

"





)



(^%)(& 



*+

b)c -
     Se sabe que el 95% de las observaciones se encuentra ubicado en el centro de la distribución y entre dos valores de z. uor consiguiente el 5% restante se divide en partes iguales en las dos colas de la campana. 95% * .9500 Å i

^



^ 

 0 ,

c)c r
  

  $^%Å i $&  ^# 

^Å   #

 ^%Å i  & Å

Å ^ 

* d)c a
  
       $^%Å i $& Ð  #   ^  

$^%Å i $& Ð i #  i ^  

Å^

Å ^  

^  ^^ ^

'c u  p p    pp   El intervalo de confianza del 95%para la proporción poblacional u es de  +^ +


cccccccccccccccccccc   c

Anderson, D. D., D. J. Sweeney y º. A. Williams. (2008). a

    
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