Intervalo de Confianza para La Media Poblacional

 

Intervalo de confianza para la media poblacional Ejemplo: 

Extraemos una m.a.s. de 61 estudiantes universitarios. Responden a una prueba de inteligencia espacial, en la que alcanzan una media de 80 y una varianza de 100. ¿Entre qué límites se hallará la verdadera inteligencia espacial media de los estudiantes, a un nivel de confianza del 99%? 

1

  

0 ' 99   

 

0 ' 01    1





0 ' 995

2

La varianza poblacional es desconocida y la población no es normal, pero el tamaño muestral es mayor que 30, por tanto, el intervalo correspondiente será:

  X  t 

s

, X

 

t



s  

n



1

n

  1

Buscamos en las tablas la distribución t de Student

Sabemos que  X



80

 y

s



10

t



2' 66 .

. Sustituyendo en el intervalo de confianza

tenemos:

  80   

10

10 2' 66

Por tanto,



60

, 80    2 ' 66

60

 

  76 ' 57 , 83 ' 43  con un nivel de confianza del 99%

 

  Intervalo de confianza para la proporción poblacional Ejemplo: Uno de los líderes de un colectivo laboral desea plantear una cuestión a todos los miembros del grupo. Si más de la mitad respondieran NO entonces preferiría no plantearla para no minar su prestigio. Para salir de dudas, elige aleatoriamente a 100 trabajadores a los que hace la pregunta y sólo 30 responden NO. ¿Entre qué límites se hallará la verdadera proporción al nivel del 95%?

Como el tamaño muestral es grande, podemos aplicar el teorema central del límite. 

Tenemos 1 





0 ' 95    1





0 ' 975

 z

2





1' 96  



Sustituyendo los valores en el intervalo correspondiente:

 0 ' 3  1' 96

0' 3  0' 7

0 ' 3  0' 7 100

,0'3

 1' 96

100

   0 ' 2102

, 0' 38 389 98

Por tanto, la verdadera proporción está en el intervalo  0' 2102 , 0' 3898 de confianza del 95%.



 con un nivel

Intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacional Ejemplo: Dos universidades públicas tienen dos métodos distintos para inscribir a sus alumnos. Los dos desean comprobar el tiempo promedio que toma la inscripción de los alumnos. En cada universidad se tomaron los tiempos de inscripción de 31 alumnos tomados al azar. Las medias y desviaciones típicas muestrales fueron:  x 20 ' 3, s 23 , 2' 5, y 



s



3.



Si se supone que el muestreo se llevó a cabo en dos poblaciones normales e

independientes, obtener los intervalos de confianza al nivel de riesgo 0'05 para la diferencia entre las medias del tiempo de inscripción para las dos universidades,

a) suponiendo que las varianzas poblacionales son





9

,





10

.

b) suponiendo que las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales.

 

Para el apartado a



 0  05   1 



 0 ' 975 

 0 ' 95  1 



2

z 



 1' 96  

Sustituyendo los valores en el intervalo obtenemos:

 



    20 ' 3  23   1' 96 96 

9



31

10

9

, 20' 3  23   1' 96

31

31



10

 31 

   2' 7  1' 53,  2 ' 7  1' 53     4 ' 23 ,  1' 17 

Para el apartado b, buscamos en la tabla de la t de Student

t







2.

Sustituyendo los valores en el intervalo obtenemos:

 



 

     







  





     





     

      



Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones Ejemplo: En dos grandes empresas se lleva a cabo un estudio sobre la proporción de mujeres entre sus empleados diplomados y licenciados. De cada empresa e mpresa se toma una m.a.s. de 40 empleados entre los diplomados y licenciados, obteniéndose que en la empresa A había 16 mujeres y en la empresa B, 22 mujeres. Obtener el intervalo de confianza para la diferencia de proporciones poblacionales al nivel de confianza 0'96 ¿Podemos pensar que la proporción es la misma?

1

 0 ' 96    1 



2

16 P



0' 98   

22 

40



0' 4

P





40

z

0' 55  







2' 05  

 

Sustituyendo en el intervalo:





= 



 







   











=





El intervalo contiene al cero, pero pe ro el extremo inferior se aleja bastante de cero.  

Prueba de hipótesis para la media poblacional Ejemplo: nuevo  producto  producto al  al mercado mercado.. Tras realizar 1)  1) Una empresa  empresa está interesada en lanzar un nuevo  una campaña publicitaria, se toma la  la muestra  muestra de 1 000 habitantes, de los cuales, 25 no conocían el producto. A un nivel de significación del 1% ¿apoya el estudio las siguientes hipótesis hipó tesis? a. Más del? 3% de la  la población  población no conoce el nuevo producto. b. Menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto Datos:  n = 1000 x = 25

Donde: x = ocurrencias n = observaciones = proporción de la muestra = proporción propuesta Solución:  a) 

a = 0,01

 

 

H0 es aceptada, ya que zprueba (-0,93) es menor que ztabla (2,326), por lo que no es cierto que más del 3% de la población no conoce el nuevo producto.

Prueba de hipótesis para la proporción poblacional Ejemplo: Se planea en un restaurante eliminar del menú el pollo frito. Se afirma que las ventas habían descendido por debajo de la media histórica de $4500. ¿Parece una decisión adecuada si en una muestra de n=144 observaciones se observa Xmedia= 4,477, s=1,128 con α= 2%? 

Solución

1) Planteamiento de hipótesis Ho: μ≥4500  Ha: μ