INTERSECCIÓN-ENTRE-DOS-PLANOS (1)

INTERSECCIÓN ENTRE DOS PLANOS Sean dos planos: 𝜋1 = 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 + 𝑑1 𝜋2 = 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 + 𝑑2

Los planos pueden cortarse en una recta, o bien ser paralelos: la intersección será la solución de este sistema lineal, por tanto observamos el rango de las matrices: 𝑎 𝑏 𝑐 ⋮ 𝑑1 ( 1 1 1 ) 𝑎2 𝑏2 𝑐2 ⋮ 𝑑 2

 

Si rg(A) = rg(A’) = 2 el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones). Los planos se cortan en una recta r. Si rg(A) =1; rg(A’) = 2 el sistema es incompatible (serían paralelos).

EJERCICIOS 1. Hallar la intersección de estos dos planos : 𝜋1 = 𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 − 4 = 0 𝜋2 = 3𝑥 + 7𝑦 − 2𝑧 − 15 = 0 SOLUCIÓN Primera forma: 1 ( 3

2 7

−5 −2

⋮ 4 ) ⋮ 15

Aplicamos el método de la eliminación gausiana. 1 ( 0

2 1

1 (

0 0

−5 ⋮ 13 ⋮

− 31 1 13

4 ) 3 ⋮ 4 ) ⋮ 3

Por lo tanto es un sistema que tiene infinitas soluciones. Se escribe la solución de esta manera paramétricamente. 𝑡 ∈ 𝑅 𝑥 = −2 + 31𝑡 𝑦 = 3 − 13𝑡 𝑧= 𝑡

Segunda forma:

𝑁1 = (1,2, −5) 𝑁2 = (3,7, −2) Calculamos el vector director V haciendo un producto cruz. 𝑖 𝑉 = |1 3

𝑗 𝑘 2 −5| 7 −2

𝑉 = (31, −13,1)

Ecuación vectorial 𝑃 = 𝑃0 + 𝑡𝑉 Calculamos : 𝑃0 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) Nos queda que: 𝑃0 = (−2,3,0) La ecuación vectorial queda: 𝑃 = (−2,3,0) + 𝑡(31, −13,1)

INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y PLANO Para hallar la intersección entre un plano y una recta, se reemplazan las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano. Es posible despejar el valor del parámetro, entonces reemplazando este valor en las ecuaciones de la recta se obtiene el punto de intersección. En este caso: 𝑟1 ∩ 𝜋 = {𝑃}  

0=0 →𝑟 ∁𝜋 →𝑟 ∩ 𝜋 =𝑟 0 = 𝑘 (𝑐𝑜𝑛 𝑘 ≠ 0) → 𝐴𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜 → 𝑟 // 𝜋 → 𝑟 ∩ 𝜋 = ∅

Existen 3 casos: 

Una recta puede ser concurrente con un plano:



Una recta puede ser paralela a un plano:



Una recta puede estar incluida en un plano:

EJEMPLOS 1. Dados: 𝜋: 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 + 1 = 0 𝑟1 : (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,1,3)+∝ (1,0,1) ¿Cómo se busca la intersección entre la recta y el plano? SOLUCIÓN Escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta y las reemplazamos en la ecuación del plano: 𝑥=𝑎 𝑦=1 𝑧 = 3+∝ 2 ∝ −3.1 + (3+∝) + 1 = 0

→

∝=

−1 3

Reemplazando el valor del parámetro αα en las ecuaciones de la recta, obtenemos el punto de intersección: −1 8 𝑟1 ∩ 𝜋 = {( , 1, )} 3 3

Busquemos ahora la intersección del mismo plano π con la recta 𝑟2 : (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,0, −1) + 𝜑(3,2,0) Escribimos las ecuaciones paramétricas: 𝑥 = 3𝜑 𝑦 = 2𝜑 𝑧 = −1

Reemplazamos en la ecuación del plano: 2(3𝜑) − 3(2𝜑) − 1 + 1 = 0

→

0=0 ∀𝜑

Queda una expresión que es verdadera para todo 𝜑. Esto significa que todo punto de la recta verifica la ecuación del plano. En este caso podemos afirmar que la recta está incluida en el plano, por lo tanto: 𝑟1 ∩ 𝜋 = 𝑟2 . Considerando el mismo plano π, hallemos la intersección con la recta 𝑟3 : (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (5,0,0) + 𝑡(0,1,3)

Reiterando el procedimiento, resulta: 𝑥=5 𝑦=𝑡 𝑧 = 3𝑡 10 − 3𝑡 + 3𝑡 + 1 = 0

→

11 = 0 𝑎𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜

Este absurdo nos indica que la recta y el plano no tienen ningún punto en común, o sea que la recta es paralela al plano y por lo tanto: r∩π=∅