Interpretación geométrica de la derivada parcial

Interpretación Interpretación geométrica de la derivada parcial

Recordemos que la gráfica de

representa una superficie

entonces el punto

está sobre la superficie

interseca a la superficie

en la curva

superficie

sobre el plano

es la traza de la

. De manera semejante, el plano vertical

en la curva

Observe que la curva

es la gráfica de la función

. Ambas curvas pasan por el punto

en el punt punto o

la gráfica de la función punto

,

. El plano vertical

(es decir,

interseca a la superficie

pend pendie ient ntee de su rect rectaa tange tangente nte

. Si

.

de manera que la

es

La curv curvaa

así que la pendiente de su tangente

es en el

es

LG3D], puede arrastrar el punto P sobre la curva C En las ligas [Ver en 3D - LG3D],

Figura 1: derivada parcial en P respecto a x [Ver en 3D - LG3D] LG3D][Ver en 3D - Jview] Jview]

Figura 1: derivada parcial en P respecto a y [Ver en 3D - LG3D] LG3D][Ver en 3D - Jview] Jview]

Por consiguiente, consiguiente, las derivadas parciales

y

pueden interpretarse

geométricamente geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas el punto , respectivamente.

y

en

Las derivadas parciales pueden también ser vistas como razones de cambio. Si

, entonces

cuando de

representa la razón de cambio de

permanece fija. De manera semejante,

con respecto a

, cuando

con respecto a

,

representa la razón de cambio

permanece fija.

Ejemplo Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene de la intersección del paraboloide paraboloi de

y el plano

, cuando

.

Solución En este caso la pendiente de la recta tangente esta dada por

con

lo

cual,

la

punto

En

la

recta

es

:

,

pero

pasa

por

el

y así 

figura

1

se

muestra

la

recta

tangente

parábola Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente son:

y

la

La gráfica del paraboloide, la parábola y la recta tangente se muestran en la figura 2.

Figura 3: Tangente en P [Ver en 3D - Jview]

Figura 4: Tangente en P

Ejemplo 8

El plano interseca al elipsoide formando una elipse. Determine las ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la elipse el el punto

.

Solución

La ecuación e

, entonces :

define a

implícitamente como una función de

Con lo cual la pendiente de la recta tangente esta dada por

Pero como la recta tangente pasa por el punto

De donde su ecuación es :

, entonces

;

y sus ecuaciones paramétricas son

Figura 3: Tangente en P [Ver en 3D - Jview]

Observación : si parciales

y

es una función de dos variables

e

, entonces sus derivadas

también son funciones de dos variables, de modo que podemos

considerar sus derivadas parciales llaman segundas derivadas parciales de

y Si

, las cuales cuales se , utilizamos la siguiente

notación :

La notación

o

significa que primero derivamos con respecto a

con respecto a

, mientras que para calcular

Ejemplo 9

Calcule las segundas derivadas parciales de

Solución Las primeras derivadas parciales están dadas por :

Entonces tenemos que :

el orden se invierte.

y luego

Observación : note que las derivadas parciales mixtas y en el ejemplo anterior, son iguales. Esto no es una casualidad y en la mayoría de los casos prácticos se da. El siguiente teorema, descubierto por el matemático francés Alexis Clairaut (1713 1765), da las condiciones bajo las cuales podemos afirmar que esta igualdad se da.

Teorema (igualdad de las derivadas mixtas)

Sea

una función escalar donde

centro en

y radio

continuas en

entonces

es un disco abierto con

, entonces si las funciones

y

son

Las derivadas parciales de orden 3 o superior también se pueden definir como

y al usar el teorema de Clairaut, se puede demostrar que funciones son continuas.

si estas

Ejemplo 10 Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se usan para expresar leyes físicas.

Por ejemplo, la ecuación diferencial parcial

se conoce como ecuación de Laplace, en honor a Pierre Laplace (1749 - 1827). Las soluciones de esta ecuación se llaman funciones armónicas y desempeñan un papel fundamental en las aplicaiones relacionadas con conducción de calor, flujo de fluidos y potencial eléctrico.Compruebe que la función de Laplace.

satisface la ecuación

Solución. Las primeras derivadas parciales están dadas por

con lo cual

de donde

Ejemplo 11 La ecuación de onda

donde es una constante, describe el movimiento de una onda, que puede ser una onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja a lo largo de una cuerda vibrante. Si y función

son funciones de una sola variable dos veces derivables, compruebe que la

satisface la ecuación de onda.

Solución

Las derivadas de

con respecto a

están dadas por :

Las derivadas de

con respecto atestan dadas por :

Sustituyendo obtenemos que

Ejemplo 12 Si y función

son funciones doblemente derivables de una sola variable, compruebe que la

satisface la ecuación diferencial parcial

Solución

Las derivadas de

con respecto a

están dadas por :

Sustituyendo

Ejemplo 13

Si

se

dijera

son

que y

existe

una

función

cuyas

derivadas

parciales

¿usted lo creería?

Solución

Por el teorema de Clairaut, puesto que y en todo debieran ser iguales. Por lo tanto no existe tal función.

son continuas

Ejemplo 14 Una barra de metal de un metro de largo se calienta de manera irregular y de forma tal que a metros de su extremo izquierdo y en el instante minutos, su temperatura en

grados centígrados esta dada por

con

1. Trace la gráfica de

para

y

2. Calcule y ¿Cuál es la interpretación práctica (en términos de temperatura) de estas derivadas parciales?. Explique por qué cada una tiene el signo que tiene.

3. Calcule temperatura?

¿Cuál es su signo?. ¿Cuál es su interpretación en términos de

Solución

1. La gráfica de las funciones

y

se muestran en la figura 2.

Figura 6

Observe que la figura nos indica la temperatura inicial en cada punto de la barra y la temperatura después de un minuto. Note que el punto más caliente de la barra en cualquier instante está a 0.5 metros del extremo izquierdo (! !).

2. La derivada parcial respecto a al evaluar obtenemos que

esta dada por

y

como esta derivada parcial es decreciente conforme cualquier valor de

crece y positiva para

concluimos que la temperatura va disminuyendo, pues las

pendientes de las rectas tangentes a son positivas y van siendo más pequeñas conforme aumenta, esto cuando estamos a 0.2 metros del extremo izquierdo. El signo positivo de la derivada nos indica que cuando vamos en la dirección del eje positivo (hacia el extremo derecho de la barra) la temperatura aumenta.

Por otro lado,

observe que en este caso tenemos como la derivada parcial es creciente conforme crece y negativa para cualquier valor de , concluimos que la temperatura va disminuyendo, pues las pendientes de las rectas tangentes a son negativas y van siendo más grandes conforme aumenta, esto cuando estamos a 0.8 metros del extremo izquierdo. El signo negativo de la derivada nos indica que cuando vamos en la dirección del eje positivo (hacia el extremo derecho de la barra) la temperatura disminuye. Las siguientes tablas de valores y la gráfica 1 nos permiten observar con claridad lo explicado antes.

0

254.16

58.7785

10

93.5003

21.6234

20

34.3968

7.95641

30

12.6539

2.92641

40

4.65511

1.07657

50

1.71252

0.39605

3. La derivada parcial respecto a

está dada por

0 10 20 30 40 50

-254.16 -93.5003 -34.3968 -12.6539 -4.65511 -1.71252

58.77 21.62 7.956 2.926 1.076 0.396

Observe

que

para

y

cualquier

valor

de

y para y cualquier valor de lo cual nos permite concluir que la temperatura va aumentando desde cero hasta llegar a la mitad de la barra y luego va disminuyendo hasta cero, es decir, que la parte más caliente de la barra es la mitad.

Ejemplo 15 Las ecuaciones

definen a y en términos de

como funciones de las variables independiente y .

Solución Para calcular

derivemos las ecuaciones (4) respecto a

Ahora usemos la regla de Cramer para hallar

e

. Exprese

De

donde

Ejemplo 16

Compruebe que la función de Laplace en derivadas parciales

Solución Calculemos las derivadas parciales

satisface la ecuación diferencial

y al sumar (5), (6) y (7) obtenemos el resultado deseado.

Definición (vector gradiente)

Sea gradiente de

Observación: si

una función escalar de dos variables, entonces el es la función vectorial

definida por

es una función escalar de tres variables su gradiente esta dado por

Ejemplo 17

Si

Solución El gradiente está dado por :

calcule

y evaluando

CAPITULO IIIg

Derivadas parciales En las aplicaciones de las funciones de varias variables surge una pregunta: ¿Cómo será afectada la función por una variación de una de las variables independientes?. Podemos responder esta interrogante considerando cada vez una variable independiente. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento, un químico llevaría a cabo el experimento varias veces usando cantidades

Leonhard Euler

distintas de catalizador, pero manteniendo constantes otras variables, tales como la temperatura y la presión. Seguimos un procedimiento parecido para determinar la razón de cambio de una función f con respecto a una de sus variables independientes. Esto es, hacemos la derivada de f cada vez con respecto a una variable independiente, manteniendo constantes las demás. Este proceso se conoce como derivada parcial, y su resultado se refiere como la derivada parcial de f con respecto a la variable independiente elegida. La introducción de las derivadas parciales tardó varios años en seguir a los trabajos de Newton y Leibniz. Entre 1730 y 1760, Leonhard Euler y Jean Le Rond d´Alembert (1717-1783) publicaron separadamente varios artículos de dinámica, en los cuales establecieron gran parte de la teoría de las derivadas parciales. Estos artículos usaban funciones de dos o más Jean Le Rond d´Alembert

variables para estudiar problemas que trataban

del equilibrio, el movimiento de fluídos y las cuerdas vibrantes.

Derivadas parciales Definición 3.1 Si z=f(x,y), entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a x y a y son las funciones f xy f y respectivamente, definidas mediante

siempre y cuando existan los límites. Esta definición indica que si z=f(x,y), entonces para calcular f x consideramos que y es constante y derivamos con respecto a x. De forma análoga, para obtener f y consideramos que x es constante y derivamos con respecto a y. Ejemplo 3.1 Calcular f x y f y para la función Solución Considerando y constante y derivando con respecto a x, resulta

Considerando x constante y derivando con respecto a y, resulta

Existen notaciones diferentes para las derivadas parciales primeras. A continuación damos una lista de las más comunes: Si z=f(x,y), las derivadas parciales primeras f x y f y se denotan

Ejemplo 3.2 Para la función

encontrar f x y f y y evaluar cada una de ellas en el

punto (1, ln2) Solución

Como

la derivada parcial de f con respecto a x en (1,

ln2) es

Como

la derivada parcial de f con respecto a y en (1,

ln2) es

Las derivadas parciales de una función de dos variables, z=f(x,y), tienen una interpretación geométrica útil. Si y=c, entonces z=f(x,c) representa la curva formada por la intersección de la superficie z=f(x,y) con el plano y=c, como muestra la figura 3.1. Por lo tanto,

figura 3.1 representa la pendiente de esta curva en el plano y=c (observar que tanto la curva como la tangente pertenecen al plano y=c). De forma similar,

representa la pendiente de la curva obtenida por la intersección de z=f(x,y) y el plano x=c como se observa en la figura 3.2.

figura 3.2 Se dice que los valores de f x y f y en el punto (x0,y0,z0) denotan la pendiente de la superficie en las direcciones x e y respectivamente. Ejemplo 3.3

Encontrar la pendiente de la superficie dada por

en el

punto (1/2,1,2) en las direcciones x e y. Solución En la dirección x, la pendiente viene dada por (ver figura 3.3)

En la dirección y, la pendiente viene dada por

(ver figura 3.4)

Independientemente de cuántas variables estén involucradas, las derivadas parciales pueden interpretarse como razones de cambio.

figura 3.3

figura 3.4

Derivadas parciales de orden superior

Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible encontrar derivadas parciales de una función de varias variables de órdenes segundo, tercero y superiores, supuesto que tales derivadas existen. Denotamos las derivadas de orden superior por su orden de derivación. Por ejemplo, hay cuatro formas distintas de encontrar una derivada parcial segunda de z=f(x,y). 1. Derivar dos veces respecto de x:

2. Derivar dos veces respecto de y:

3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:

4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:

Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas. Se debe observar que hay tipos de notación para las derivadas parciales cruzadas, según convenio se utilice para indicar el orden de derivación. Así, la parcial

Orden de derecha a izquierda indica que la primera derivación es con respecto a x, pero la parcial (f y)x=f yx Orden de izquierda a derecha indica que la primera derivación es con respecto a y. Observar que con ambas notaciones se driva primero respecto de la variable que está más cercana a f . Ejemplo 3.4 Encontrar las derivadas parciales segundas de

y

calcular el valor de f xy(-1,2) Solución Primero calculemos las derivadas parciales primeras con respecto a x y a y:

Y derivando cada una de estas con respecto a x y a y, resulta

Finalmente, f xy(-1,2)=12-40=-28 Se observa que las derivadas parciales cruzadas son ig uales. Esto sucede frecuentemente, como se indica en teorema siguiente.

Teorema 3.1 Si f es una función de x e y tal que f, f x, f y, f xy y f yx son continuas en la región abierta R, entonces para cada (x,y) en R,

Ejemplo 3.5 Probar que las derivadas parciales cruzadas son iguales para l a función Solución Las parciales primeras son,

Y las parciales cruzadas son,

Ejercicios Ejercicio 3.1 Encontrar las derivadas parciales primeras con respecto a x e y 1. 2. 3.

4.

5. 6.

7.

Ejercicio 3.2 Evaluar f x y f y en el punto que se indica

1.

, (2,-2)

2.

, (1,0)

3.

4.

, (2,-2)

, (1,0)

Ejercicio 3.3 Encontrar las segundas derivadas parciales f xx, f yy, f xy y fyx 1. 2.

3.

4.

Ejercicio 3.4

Demostrar que f xy=f yx 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Ejercicio 3.5 Verificar que la función satisface la ecuación de Laplace

Ejercicio 3.6 Utilizar la definición mediante límites de las derivadas parciales para encontrar f x(x,y) y f y(x,y)

Ejercicio 3.7 Dibujar la curva de intersección de la superficie y del plano dados. Encontrar la pendiente de la curva en el punto que se especifica superficie

plano x=2 y=1

punto (2,3,6) (2,1,8)

y=3 x=1

(1,3,) (1,3,0)

Evaluación 1) Se N el número de candidatos a una universidad, p es el costo de alimentación y alojamiento y t el precio de la matrícula. Supongamos que N es una función de p y de t talque Np