Interpolación

Interpolación. En todo este tema has visto distintas maneras de expresar una función. Has visto, por  ejemplo, que en numerosas ocasiones las funciones se expresan mediante tablas de valores obtenidos de la observación o de la experimentación. También has visto que cuando la función puede ser expresada mediante una relación matemática (en especial una relación matemática sencilla) es muy fácil obtener información de la misma. Por lo tanto, un problema con el que nos tendremos que enfrentar con frecuencia es cómo obtener una expresión matemática que represente la función que estamos estudiando cuando los datos los hemos obtenido experimentalmente o mediante observación de algún fenómeno. En la mayoría de los casos este problema es demasiado complejo para resolverlo, por lo que nos conformaremos con una aproximación. El proceso por el que a una tabla de valores se le asocia una expresión matemática que la represente se denomina Interpolación . La función obtenida debe representar de forma exacta los valores de la tabla, pero no proporciona más que una estimación de los valores que no aparezcan en la tabla. Una vez que hemos aceptado que no vamos a dar con una expresión exacta sino aproximada, surge otro problema. ¿De qué tipo es la función con la que vamos a realizar  la aproximación? o dicho de una manera más rigurosa ¿qué tipo de interpolación  vamos a hacer? . La representación gráfica de los puntos de la tabla nos puede dar una idea, pues los puntos que se representen pueden mostrar una tendencia. Por ejemplo, si resulta que los puntos parecen estar alineados debemos buscar una función lineal para representarlos. Diremos en ese caso que realizamos una interpolación lineal . Si la apariencia de los puntos se asemeja a una parábola realizaríamos una interpolación cuadrática . Y así con cualquier tipo de función cuyo aspecto conociéramos conociéramos previamente. En la práctica puede suceder que no dispongamos de puntos suficientes para adivinar la tendencia, o que aún teniendo puntos suficientes, la gráfica no se parezca a nada conocido. Existen procedimientos bastante complejos para interpolar ese tipo de funciones, pero que no están a nuestro alcance. En una situación de este tipo nosotros nos conformaremos con una interpolación lineal entre cada pareja de puntos, obteniendo una función definida a trozos y cada trozo definido por una función lineal. Para comprender todo esto mejor haremos uso del siguiente ejemplo. A lo largo l argo del día se han recogido los siguientes datos de temperaturas: 

Hora Temperatura ºC

10 7

13 18

17 11

Haz una estimación de la temperatura que ha hecho a las 11h, a las 12h, a las 14h, a  las 15h y a las 16h.

Para resolver este problema representaremos gráficamente los puntos de la tabla A(10,7), B(13,18) y C(17,11). Después calcularemos la ecuación de la recta que pasa por A y por  B y la que pasa por B y por C. Recuerda que para ello debes hacer uso de la fórmula que nos da la ecuación de la recta conocidos dos de sus puntos:

Introduce ambas ecuaciones en la gráfica adjunta y dibújalas. Pinchando con el ratón en los puntos adecuados, las coordenadas de esos puntos te darán la información que necesitas.

Naturalmente los valores obtenidos son simples estimaciones en las que se supone que la temperatura ha ido cambiando de forma lineal y esto puede no ser cierto. Cuanto mayor  sea el número de puntos de los que se parte y más próximos estén entre sí mejor será la estimación. Definición. Dados n  1 puntos que corresponden a los datos:

y los cuales se representan gráficamente como puntos en el plano cartesiano,

Si existe una función

 f  ( x)

definida en el intervalo  x0 , xn  (donde suponemos que

 x 0   x1     x n ), tal que  f  ( xi )  yi para i  0,1,2,, n , entonces a  f  ( x) se le llama

una función de interpolación de los datos, cuando es usada para aproximar valores dentro del intervalo  x0 , xn  , y se le llama función de extrapolación de los datos, cuando está definida y es usada para aproximar valores fuera del intervalo.

Evidentemente pueden existir varios tipos de funciones que interpolen los mismos datos; por ejemplo, funciones trigonométricas, funciones exponenciales, funciones polinomiales, combinaciones de éstas, etc. El tipo de interpolación que uno elige, depende generalmente de la naturaleza de los datos que se están manejando, así como de los valores intermedios que se están esperando. Un tipo muy importante es la interpolación por funciones polinomiales. Puesto que evidentemente pueden existir una infinidad de funciones polinomiales de interpolación para una misma tabla de datos, se hace una petición extra para que el polinomio de interpolación , sea único. Definición. Un polinomio de interpolación es una función polinomial que además de interpolar los datos, es el de menor grado posible. Caso n=0 Tenemos los datos:

En este caso, tenemos que  f  ( x)  y0 (polinomio constante) es el polinomio de menor  grado tal que  f  ( x0 )  y0 , por lo tanto, es el polinomio de interpolación.

Caso n=1. Tenemos los datos:

En este caso, el polinomio de interpolación es la función lineal que une a los dos puntos dados. Por lo tanto, tenemos que  f  ( x)   y0 

es el polinomio de interpolación. La siguiente gráfica representa este caso:

 y1   y0  x1   x0

( x  x0 )

Observación. Vemos que en el polinomio de interpolación del caso n=1 se encuentra como primer término,  y , que es el polinomio de interpolación del caso n=0. Ejemplo. Se quiere aproximar f(x) = sen x en el intervalo [0, ∏ ], con: X 0 0.7 1.5 2.3 0

Y

0

0.64 0.99 0.74

Calcule sen 1 con cada una de las curvas encontradas y compare con el valor verdadero. Interpretación geométrica

Figura 1: Interpretación grafica del resultado de la función a evaluar.

Figura 2: Interpretación grafica de la i nterpolación lineal de Newton

. Figura 3: Interpretación grafica de la función a evaluar ( f(x)=sen x ).

Caso n=2. Tenemos los datos:

Para este caso, el polinomio de interpolación va a ser un polinomio de grado 2. Tomando en cuenta la observación anterior, intuimos que el polinomio de interpolación será como sigue: término cuadrático Por lo tanto, planteamos el polinomio de interpolación como sigue:  f  ( x)  b0  b1 ( x   x0 )  b2 ( x   x0 )( x  x1 )

Si asignamos  x   x0 , se anulan los valores de b y b , quedándonos el resultado 1

 f  ( x0 )  b0

2

.

Como se debe cumplir que  f  ( x0 )  y0 , entonces  y0  b0 . Si asignamos  x  x , el valor de b queda anulado, resultando lo siguiente: 

1

2

 f  ( x1 )  b0  b1 ( x1  x0 )

Como se debe cumplir que  f  ( x1 )  y1 y

ya sabemos que  y1   y0

 y1  b0  b1 ( x1  x0 ) , de lo cual obtenemos el valor para b1 ,  x1   x0  Asignando  x   x2 , vamos a obtener :

 b1

 y0  b0 ,

entonces

.

 f  ( x2 )  b0  b1 ( x2   x0 )  b2 ( x2   x0 )( x2  x1 )  y1   y0

 f  ( x2 )  y2 , y ya sabemos que  y0  b0 y  x1   x0

Como se debe cumplir que sustituimos estos datos para después despejar el valor de b :

 b1

,

2

 y2   y0 

 y1   y0  x1   x0

( x2   x0 )  b2 ( x2   x0 )( x2  x1 )

De lo cual podemos hacer un despeje parcial para lograr la siguiente igualdad :  y2   y0 

 y1   y0  x1   x0  x2   x1

( x2   x0 )

 b2 ( x2   x0 )

 Ahora en el numerador del miembro izquierdo de la igualdad, le sumamos un cero   y1  y1  , de tal manera que no se altere la igualdad:

 A continuación, aplicamos un poco de álgebra para así obtener los siguientes resultados:

 y2   y1

Y finalmente despejando a b vamos a obtener  2

b2 

 x2   x1



 y1   y0  x1   x0

 x2   x0

.

Por lo tanto, el polinomio de interpolación para este caso es:

Interpretación geométrica. Como resolvimos el ejemplo anterior por interpolación cuadrática de Newton entonces las figuras 1 y 3 se mantienen constantes.

Figura 4: Interpretación grafica de la interpolación cuadrática de Newton

Observación. Vemos que efectivamente el polinomio de interpolación contiene al del caso anterior, más un término extra que es de un grado mayor, pero además vemos que cada uno de los coeficientes del polinomio de interpolación, se forman a base de cocientes de diferencias de cocientes de diferencias, etc. Esto da lugar a la definición de diferencias divididas finitas de Newton, como sigue: DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS DE NEWTON Las diferencias divididas finitas de Newton, se define de la siguiente manera:  f [ xi , x j ] 

 f  ( xi )   f  ( x j )

 f [ xi , x j , xk  ] 

 xi   x j  f [ xi , x j ]   f [ x j , xk  ]  xi   xk  





 f [ xn , xn 1 ,, x1 , x0 ] 

 f [ xn ,, x1 ]   f [ xn 1 ,, x0 ]  xn   x0

 A manera de ejemplo citemos el siguiente caso específico:  f [ x3 , x2 , x1 , x0 ] 

 f [ x3 , x2 , x1 ]   f [ x2 , x1 , x0 ]  x3   x0

donde a su vez:  f [ x3 , x2 , x1 ] 

 f [ x3 , x2 ]   f [ x2 , x1 ]  x3   x1

y

 f [ x2 , x1 , x0 ] 

 f [ x2 , x1 ]   f [ x1 , x0 ]  x2   x01

Y donde a su vez:  f [ x3 , x2 ] 

 f  ( x3 )   f  ( x2 )  x3   x2

etc. Podemos ahora definir nuestro primer tipo de polinomio de interpolación.

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS Dados n  1 datos:

El polinomio de interpolación de Newton se define de la siguiente manera:  f   x   b0  b1  x   x0   b2  x   x0  x   x1     bn  x   x0  x   x1  x  xn 1 

donde : b0   f   x0  b1   f [ x1 , x0 ] b2   f   x2 , x1 , x0  

bn   f  xn ,, x0 

Para calcular los coeficientes b0 , b1,, bn , es conveniente construir una tabla de diferencias divididas como la siguiente :

Obsérvese que los coeficientes del polinomio de interpolación de Newton, se encuentran en la parte superior de la tabla de diferencias divididas. Ejemplo 1. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos :

Y utilizar la información de dicha tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton.

Solución. Procedemos como sigue:

Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton es :  f  ( x)  4  2( x  2)  0.25( x  2)( x  1)  0.3( x  2)( x  1)( x  2)

Ejemplo 2. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos :

Y usar la información en la tabla, para construir el poli nomio de interpolación de Newton. Solución. Procedemos como sigue:

Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton nos queda :  f  ( x)  5  3( x  3)  1.66667( x  3)( x  2)  0.20238( x  3)( x  2)( x)

 Antes de ver el siguiente tipo de polinomio de interpolación, veamos como el imponer l a restricción del grado mínimo, implica la unicidad del polinomio de interpolación.

TEOREMA. Si  y0 , y1 ,, yn

 x0 , x1 ,, xn

son números reales distintos, entonces para valores arbitrarios

existe un polinomio único  f n  x  , de a lo más grado n , y tal que  f n  xi   yi

para toda i  0,1,2,, n

DEMOSTRACIÓN. En realidad, no probaremos formalmente la existencia de un polinomio de interpolación, aunque informalmente aceptamos que dada cualquier tabla de datos, el polinomio de Newton siempre existe. Probemos la unicidad del polinomio de interpolación. Supongamos que g n  x  es otro polinomio de interpolación de a lo más grado n, Sea hn  x    f n  x   g n  x   hn  xi    f n  xi   g n  xi    yi  yi  0 para todo i  0,1,2, n Por lo tanto, hn  x  tiene n  1 raíces distintas, y es un polinomio de grado a lo más n, esto solamente es posible si hn  x   0 . Por tanto,   f n  x   g n  x  , Que es lo que queríamos probar. Sin embargo, aunque el polinomio de interpolación es único, pueden existir diversas formas de encontrarlo. Una, es mediante el polinomio de Newton, otra mediante el polinomio de Lagrange.

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE Nuevamente tenemos los datos :

El polinomio de interpolación de Lagrange se plantea como sigue: P( x)   y0l0 ( x)   y1l1 ( x)     ynln ( x)

Donde los polinomios li ( x) se llaman los polinomios de Lagrange, correspondientes a la tabla de datos. Como se debe satisfacer que P( x0 )  y0 , esto se cumple si l0 ( x0 )  1 y li ( x0 )  0 para toda i  0 . Como se debe satisfacer que P( x1 )  y1 , esto se cumple si l1 ( x1 )  1 y li ( x1 )  0 para toda i  1. Y así sucesivamente, veremos finalmente que la condición Pn  xn   yn

se cumple si

ln xn   1

y li  xn   0 para toda i  n . Esto nos sugiere como plantear los polinomios de Lagrange. Para ser más claros, analicemos detenidamente el polinomio l0 ( x) . De acuerdo al análisis anterior vemos que deben cumplirse las siguientes condiciones para l0 ( x) :

l0 ( x0 )  1

y l0 ( x j )  0 , para toda  j  0

Por lo tanto, planteamos l0 ( x) como sigue: lo  x   c  x   x1  x   x2  x  xn 

Con esto se cumple la segunda condición sobre l0 ( x) . La constante c  se determinará para hacer que se cumpla la primera condición: l0  x0   1  1  c x0   x1  x0   x2  x0   xn 

c

1

 x0   x1  x0   x2  x0   xn 

Por lo tanto el polinomio l0 ( x) queda definido como  Análogamente se puede deducir que:

l0  x  

 x   x1  x   x2  x   xn   x0   x1  x0   x2  x0   xn  .

 ( x   xi ) l  j  x  

i   j

 ( x j   xi ) i   j

, para  j  1,, n

Ejemplo 1. Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:

Solución. Tenemos que:  f  ( x)   y0l0 ( x)   y1l1 ( x)   y2l ( x)   y3l3 ( x)  f  ( x)  2l0 ( x)  l1 ( x)  2l2 ( x)  3l3 ( x)

donde: ( x  3)( x  5)( x  7)

l0 ( x) 

l1 ( x) 

(2)(4)(6) ( x  1)( x  5)( x  7)

l2 ( x) 

l3 ( x) 

(2)(2)(4)



( x  1)( x  3)( x  7) (4)(2)(2) ( x  1)( x  3)( x  5) (6)(4)(2)

( x  3)( x  5)( x  7)



 48 ( x  1)( x  5)( x  7)





16 ( x  1)( x  3)( x  7)

 16 ( x  1)( x  3)( x  5) 48

Sustituyendo arriba, el polinomio de Lagrange queda definido como sigue:

 ( x  3)( x  5)( x  7)   ( x  1)( x  5)( x  7)   ( x  1)( x  3)( x  7)   ( x  1)( x  3)( x  5)      24 16 8 16        

 f  ( x)  

Ejemplo 2. Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:

Solución. Tenemos que:  f  ( x)   y0l0 ( x)   y1l1 ( x)   y2l ( x)   y3l3 ( x)  f  ( x)  l0 ( x)  l1 ( x)  3l2 ( x)  2l3 ( x) l0 ( x) 

donde

l1 ( x) 

l2 ( x) 

l3 ( x) 

( x  0)( x  2)( x  4) (2)(4)(6) ( x  2)( x  2)( x  4) (2)(2)(4) ( x  2)( x  0)( x  4) (4)(2)(2) ( x  2)( x  0)( x  2) (6)(4)(2)



 x( x  2)( x  4)

 48 ( x  2)( x  2)( x  4)





16

 x( x  2)( x  4)



 16  x( x  2)( x  2) 48

Sustituyendo arriba, el polinomio de Lagrange queda como sigue:  x( x  2)( x  4)   ( x  2)( x  2)( x  4)   x( x  2)( x  4)   x( x  2)( x  2)   f  ( x)      3   16 24  48  16 

 





 



Otras Aplicaciones. La interpolación es el método por el que se calculan más puntos de muestra, de acuerdo con un algoritmo del software de imágenes -programa de escaneado, para compensar las limitaciones de la resolución óptica. Por lo tanto, si la resolución óptica es de 1000 dpi, la interpolación sólo se utilizará si resoluciones mayores de 1000 dpi se requieren. Esto es especialmente útil al escalar imágenes para erradicar trazos que no se quieren y que parecen como efectos de eslabones en los contornos de la i magen. Por ejemplo, para escanear a 600 dpi una fotografía y doblar el tamaño de salida de la imagen sin perder detalles, la imagen tiene que contener el mismo nivel de detalles que la fotografía original. Si la imagen se aumenta sin interpolación, el espacio entre los puntos o las líneas será doblado. Esto significa que el mismo números de puntos se tendrán que situar en un área dos veces mayor dando a la imagen una calidad granulada inconsistente. Con la interpolación, la densidad de la imagen se perservará introduciendo el número de puntos que se requieran en el espacio abierto, dando así a la imagen resultante una mejor  calidad.

De todas maneras, volviendo al ejemplo, la fotografía ampliada se escaneará a toda la resolución óptica, 1000 dpi, y el programa de imágenes interpolará la imagen capturada a 1200 dpi.

Otras referencias http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Interpolacion/interpolacion_1.htm#INTERPO LACIÓN%20LINEAL http://www.uv.es/~diaz/mn/node38.html http://www.unalmed.edu.co/~ifasmar/ejerc4.pdf 

Problemas Interpolación Problema 1. Al viajar por un camino secundario un motociclista anota la velocidad de su vehículo cada 4 minutos, obteniendo los siguientes valores: hora Velocidad(Km./hr) 9:00 60 9:04 65 9:08 70 9:12 60 9:16 40 9:20 45 9:24 40 9:28 40 9:32 35 9:36 37 9:40 45 9:44 50 9:48 55 9:52 60 9:56 70 10:00 65 Si el odómetro del coche no funciona, estimar la distancia recorrida dada por la integral d= para: a) lecturas cada 4 minutos. b) lecturas cada 12 minutos.

Problema 2. En unas tablas estadísticas se encontraron los siguientes valores tabulares para distribución normal estandarizada: Zc P(Z< Zc) 0.40 0.6554 0.41 0.6591 0.42 0.6628 0.43 0.6664  A partir de estos datos determinar a que valor de Zc, la probabilidad P(Z