Interpolacion Segmentaria

Alumno: Jonathan Cronque Jimenez Materia: Análisis Numérico Tema: Interpolación Segmentaria. scuela: Instituto Tecnológico Tecnológico !e stu"ios Superiores !e #amora

Maestro: Ja$ier %ara&as Ace$es Ace$es 'rupo: (% Carrera: Ing. lectrónica

INDICE Introducción…………………………………………………....3 Desarrollo…………………………………………………….. 4-11 Conclusiones………………………………………………….. 12 Bibliografías……………………………………………………. 12

INT)*!+CCI,N Interpolación. En el sub ca!o ate"tico del an"lisis nu#rico$ se denoina inter!olación a la obtención de nue%os !untos !artiendo del conociiento de un con&unto discreto de !untos.

En ingeniería ' algunas ciencias es frecuente dis!oner de un cierto n(ero de !untos obtenidos !or uestreo o a !artir de un e)!eriento ' !retender construir  una función *ue los a&uste.

+tro !roblea estrec,aente ligado con el de la inter!olación es la a!ro)iación de una función co!licada !or una "s si!le. i teneos una función cu'o c"lculo resulta costoso$ !odeos !artir de un cierto n(ero de sus %alores e inter!olar dic,os datos constru'endo una función "s si!le. En general$ !or  su!uesto$ no obtendreos los isos %alores e%aluando la función obtenida *ue si e%aluaos la función original$ si bien de!endiendo de las características del !roblea ' del #todo de inter!olación usado la ganancia en eficiencia !uede co!ensar el error coetido.

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!SA))*--*

Interpolación segmentaria o splines. En el sub ca!o ate"tico del an"lisis nu#rico$ un s!line es una cur%a diferenciable definida en !orciones ediante !olinoios. En los !robleas de inter!olación$ se utilia a enudo la inter!olación ediante s!lines !or*ue da lugar a resultados siilares re*uiriendo solaente el uso de !olinoios de ba&o grado$ e%itando así las oscilaciones$ indeseables en la a'oría de las a!licaciones$ encontradas al inter!olar ediante !olinoios de grado ele%ado. /ara el a&uste de cur%as$ los s!lines se utilian !ara a!ro)iar foras co!licadas. 0a si!licidad de la re!resentación ' la facilidad de có!uto de los s!lines los ,acen !o!ulares !ara la re!resentación de cur%as en infor"tica$ !articularente en el terreno de los gr"ficos !or ordenador .

Tipos Interpolación con splines "e gra"o . 0os s!lines de grado 1 son funciones !olinoiales de grado 1 ectas de la fora f)a)5b *ue se encargan de unir cada !ar de coordenadas ediante una recta. Dados los n51 !untos6

7na función s!line de grado 1 *ue inter!ole los datos es si!leente unir cada uno de los !untos /ar coordenados ediante segentos de recta$ coo se ilustra en las siguientes figuras6

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Interpolación con splines "e gra"o  2. 0os !olinoios /) a tra%#s de los *ue construios el !line tienen grado 2. Esto *uiere decir$ *ue %a a tener la fora /)  a)8 5 b) 5 c Coo en la inter!olación segentaria lineal$ %aos a tener N-1 ecuaciones donde N son los !untos sobre los *ue se define la función. 0a inter!olación cuadr"tica nos %a a asegurar *ue la función *ue nosotros genereos a troos con los distintos /) %a a ser continua$ 'a *ue !ara sacar las condiciones *ue a&usten el !olinoio$ %aos a deterinar cóo condiciones6 •

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9ue las !artes de la función a troos /) !asen !or ese !unto. Es decir$ *ue las dos /n) *ue rodean al f) *ue *uereos a!ro)iar$ sean igual a f) en cada uno de estos !untos. 9ue la deri%ada en un !unto sie!re coincida !ara abos :lados: de la función definida a troos *ue !asa !or tal !unto co(n. Esto sin ebargo no es suficiente$ ' necesitaos una condición "s. ;/or  *u#< =eneos 3 incógnitas !or cada /). En un caso sencillo con f) definida en tres !untos ' dos ecuaciones /) !ara a!ro)iarla$ %aos a tener seis incógnitas en total. /ara resol%er esto necesitaríaos seis ecuaciones$ !ero %aos a tener tan sólo cinco6 cuatro *ue igualan el /) con el %alor de f) en ese !unto dos !or cada inter%alo$ ' la *uinta al igualar la deri%ada en el !unto co(n a las dos /).

e necesita una se)ta ecuación$ ;de dónde se e)trae< Esto suele ,acerse con el %alor de la deri%ada en alg(n !unto$ al *ue se fuera uno de los /).

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Interpolación con splines "e gra"o / Cada !olinoio /) a tra%#s del *ue construios los !lines en ?$ n@ tiene grado 3. Esto *uiere decir$ *ue %a a tener la fora /)  a)A 5 b)8 5 c) 5 d En este caso %aos a tener cuatro %ariables !or cada inter%alo a$ b$ c$ d$ ' una nue%a condición !ara cada !unto co(n a dos inter%alos$ res!ecto a la deri%ada segunda6 •

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9ue las !artes de la función a troos /) !asen !or ese !unto. Es decir$ *ue las dos /n) *ue rodean al f) *ue *uereos a!ro)iar$ sean igual a f) en cada uno de estos !untos. 9ue la deri%ada en un !unto sie!re coincida !ara abos :lados: de la función definida a troos *ue !asa !or tal !unto co(n. 9ue la deri%ada segunda en un !unto sie!re coincida !ara abos :lados: de la función definida a troos *ue !asa !or tal !unto co(n. Coo !uede deducirse al co!ararlo con el caso de s!lines cuadr"ticos$ a,ora no nos %a a faltar una sino dos ecuaciones condiciones !ara el n(ero de incógnitas *ue teneos.

0a fora de solucionar esto$ deterina el car"cter de los s!lines c(bicos. sí$ !odeos usar6

Splines c01icos naturales: 0a fora "s tí!ica. 0a deri%ada segunda de / se ,ace  !ara el !rier ' (ltio !unto sobre el *ue est" definido el con&unto de !lines$ esto son$ los !untos  ' n en el inter%alo ?$n@. Dar los %alores de la deri%ada segunda de  ' n de fora :anual:$ en el con&unto de s!lines definidos en el inter%alo ?$ n@. acer iguales los %alores de la deri%ada segunda de  ' n en el con&unto de s!lines definidos en el inter%alo ?$ n@.

Splines c01icos su&etos: 0a deri%ada !riera de / debe tener el iso %alor  *ue las deri%ada !riera de la función !ara el !rier ' (ltio !unto sobre el *ue est" definido el con&unto de !lines$ esto son$ los !untos  ' n en el inter%alo ?$ n@.



&emplos &emplo  Interpolación lineal.  Interpolar con splines f(x) = 1 / x, en los puntos en los que x vale 1, 2 y 4

f (1) = 1 f (2) = 0.5 f (4) = 0.25 El primer segmento P1(x) = ax + b deberá unir los primeros dos puntos de oordenadas (1!1) " (2!0.5). #urge un sistema lineal de dos euaiones en dos in$gnitas% (1) 1=a+b (2) 0.5=2a+b &e (1) se obtiene% a=1'b () eempla*ando () en (2) se obtiene% 0.5=2(1'b)+b uego b=1.5 eempla*ando el ,alor de (b) en (1)! se obtiene% a = ' 0.5 Por lo tanto! se onlu"e -ue% P1(x) = ' 0.5x + 1.5 El segundo segmento P2(x) = ax + b deberá unir el segundo punto (2!0.5) on el terer punto (4!0.25). nálogamente a lo /e/o para P1(x)! en el aso de P2(x) se obtiene% (1) 0.5 = 2a + b (2) 0.25 = 4a + b a = ' 0.125! b = 0.5

F

uego P2(x) = ' 0.125x + 0.5

&emplo 2 Interpolación Cua"rática. Calcular la interpolación por splines de grado 2:

Primero -ue nada! ,emos -ue se forman tres inter,alos% ! 4!5! 4! 5!! !3 En ada uno de estos inter,alos! debemos definir una funi$n polinomial de grado 2! omo sigue% aemos -ue la spline pase por los puntos de la tabla de datos! es deir! se debe umplir -ue% # ()=2!5 s (4!5)=1 s ()=2!5 s (3)=0!5 s! se forman las siguientes euaiones%

asta a-u! tenemos un total de 6 euaiones on 3 in$gnitas. El siguiente paso es mane7ar la existenia de las deri,adas ontinuas. En el aso de las splines de grado 2! neesitamos -ue la spline tenga deri,ada ontinua de orden 8'1=1! es deir! primera deri,ada ontinua. 9alulamos primero la primera deri,ada%

G

:emos -ue esta deri,ada está formada por segmentos de retas! -ue pudieran presentar disontinuidad en los ambios de inter,alo. Es deir! las posibles disontinuidades son x = 5.4 " x = . Por lo tanto para -ue s;(x) sea ontinua! se debe umplir -ue%

euaiones ,s. 3 in$gnitas? esto nos da un grado de libertad para elegir alguna de las in$gnitas. Elegimos por simple on,enienia a1 = 0. &e esta forma! tenemos un total de > euaiones on > in$gnitas. Estas son las siguientes%

Este sistema de euaiones tiene la siguiente forma matriial%

H

1

&emplo / Interpolación Cu1ica. Construir el spline cubico natural que interpola a partir de los datos:

El sistema es%

Por lo tanto%

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C*NC-+SI*N En an"lisis nu#rico$ la inter!olación !olinóica es una t#cnica de inter!olación de un con&unto de datos o de una función !or un !olinoio. Es decir$ dado cierto n(ero de !untos obtenidos !or uestreo o a !artir de un e)!eriento se !retende encontrar un !olinoio *ue !ase !or todos los !untos.

%I%-I*')A3IAS C,a!ra .  Canales . J K#todos nu#ricos !ara ingenieros. J Edit. Kc LraM ill. N.. 1HH4$ 41! •

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