Interpolación Polinómica de Newton

 

Escuela Superior Politécnica de Chimborazo  Sede Orellana Facultad de Ciencias Ingeniería Ambiental  

Interpolación Polinómica de Newton Nombre Nayeli Lissette Cedeño  Nivel Tercer Semestre Docente Rolando Torres  Fecha 18 de enero del 2021

Código:: 389  Código

 

DEFINICIÓN Es el proceso de hallar un polinomio de grado n, siendo n el numero de puntos que conocemos. Este método es útil para situaciones que requieran un número bajo de puntos para interpolar, polinomio. ya que a medida que crece el número de puntos, también lo hace el grado del 



Interpolación Lineal

Interpolación Cuadrática

El polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas es una de las formas más populares y útiles para encontrar el polinomio que pasa por n puntos.

 

Forma general de los polinomios de interpolación de Newton

•

Se puede ajustar un polinomio de n-ésimo n-ésimo grado a n + 1 datos. El polinomio de n-ésimo grado es:

Para un polinomio de n-ésimo grado se requie requieren ren n + 1 puntos:  Y se usan las siguientes siguientes ecuaci ecuaciones ones para evaluar los coeficien coeficientes: tes:

 

La primera diferencia dividida finita en forma general se representa como:

Estas diferencias sirven para evaluar los coeficientes, los cuales se sustituirán en la ecuación general para obtener el polinomio de interpolación

 

El polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas.

 

Ejercicio 1 Sabemos que si tenemos los n+1 puntos (xi , yi), i=0... n, y queremos calcular el polinomio que interpola en dichos puntos utilizando la fórmula de interpolaci interpolación ón de Newton en diferenci diferencias as dividida Datos:    = 4

 ( ) = 15

   = −6

 ( ) = −35

n 0

x 4

f(x) 15

----

1

-6

- 35

5

 ( ) = −35 − 15  =      ,    =      − (   −  −6 − 4 •

      =   +     −       = 15 + 5  − 4      = 15 + 5 − 20

La gráfica del polinomio de interpolación      = 5 − 5

 

Demostración Gráfica.

n

x

f(x)

0

4

15

1

-6

- 35

 

Ejercicio 2 •

Utilizando la interpolación de Newton para obtener un polinomio que aproxime los puntos siguientes.

(1,2) , (0,4) , (-3,-2) Datos: n= 3

Dif. dividida

    = 1

 ( ) = 2

   = ?

 = 0

 ( ) = 4

   = ?

    = −3

 ( )= -2

 

 = ?

 

(1,2) , (0,4) , (-3,-2)

 

f(  )

0

1

2

1 2

0 -3

4 -2

n

 

     − ( )    ,    =

   ,    =

   −





     − ( )   − 

-2 2

-1

4−2 = 0 − 1  =  −     ,  ,    = =

−2 − 4 −3 − 0

 =  

   ,    − ( ,  )   −  

=

2 − (−2)   =  −  −3 − 1

 

 j

 

f(  )

 

0

1

2

1

0

4

2

-3

-2



  iferencia

 = 2   = −2   = −1

-2



2

ividida

-1 

 

  iferencia

•

      =    +     −     +     −     −    +. +. . . . . . . . . . . .

x

f(x)

-4

-8

-3

-2

x=-4

x=-1

x=2

f(x)=-(−4)-(-4)+4

f(x)=-(−1)-(-1)+4

f(x)=-(2) -(2)+4

f(x)= -8

f(x)= 4

f(x)= -2

x=-3

x=0

x=3



0

2 4 4

1

2

2

-2

3

-8

-2 -1

 = 2   = −2   = −1

Reemplazando en la ecuación

     = 2 + −2  − 1 + −1  − 1 ( − 0) 0)       = 2 − 2 + 2 + −1 ( − )      = 2 − 2 + 2 −   + 

f(x)=-(−3)

f(x)= -2



-(-3)+4

ividida

f(x)=-(0) f(x)= 4



-(0)+4

f(x)=-(3)

f(x)= -8

-(3)+4

x=-2

x=1

x=-0.5

f(x)=-(−2)-(-2)+4 f(x)= 2

f(x)=-(1)-(1)+4 f(x)= 2

f(x)=-(−0.5)-(-0.5)+4 f(x)= 4.25

4.25

-0.5  

Demostración Gráfica. (1,2) , (0,4) , (-3,-2) x

f(x)

-4

-8

-3 -2

-2 2

-1

4

0

4

1

2

2

-2

3

-8

-0.5

4.25

 

Conclusión En los casos donde se desconoce el grado de polinomio el método de Newton tiene ventajas debido a la comprensión que proporciona respecto al comportamiento de las fórmulas de diferentes grados.