Interpolacion No Equidistantes

 

Zeko :

Hnterpmiobhòn  :.? .?..

Hntr Hntrmj mjub ubbh bhòn òn

Ei prmfieko kotekïthbm je io hnterpmiobhòn es ei shcuhente7 Jojo un bmnguntm je  n  pores je ;  ? , n. Exhsten jhversms voimres   ( xl , yl ), enbmntror uno aunbhòn   a ( x)   que bukpio   a ( xl ) ;  y l , l   ; kètmjms poro enbmntror jhbdo aunbhòn. Ims kïs bmnmbhjms smn ims kètmjms que hnterpmion   a ( x) kejhonte un pmihnmkhm m uno aunbhmn robhmnoi (bmbhente je jms pmihnmkhms). En ims ÷ithkms oÿms. ims kètmjms que uthihzon aunbhmnes je﬏nhjos o trokms (spihnes) don bmfrojm cron pmpuiorhjoj,  gusth﬏bojo pmr su bopobhjoj bopobhjoj je reprmjubhr amrkos bmkpihbojos bmkpihbojos y oitokente vorhofies. Je debdm exhste uno obthvo obthvo hhnv nvesthcobhòn esthcobhòn es spihnes. Qokms o estujhor en prhker iucor io hnterpmiobhòn pmihnòkhbo. En este bosm, jojms  n  puntms, ei crojm kïs fogm jei pmihnmkhm que poso pmr ims  n  puntms es  n ∖ ? (soivm que jms m kïs puntms pertenezbon o un pmihnmkhm je crojm kïs fogm). Ei Zemreko Aunjokentoi jei Oicefro coronthzo que este pmihnmkhm je crojm n ∖ ? es ÷nhbm. Exhsten jhversms kètmjms je jeterkhnor ei pmihnmkhm hnterpmiojmr, que jon pmr supuestm ei khskm resuitojm. Unms kètmjms smn kïs bmnvenhente que mtrms, jepenjhenjm jei n÷kerm je puntms en ims que se jesee bmnmber ei pmihnmkhm hnterpmiojmr.

:.6.

Kètmj Kètmjm m je je hnte hnterp rpmio miobhò bhòn n je je Ioc Iocron ronce ce

Este kètmjm bmnshste en bmnstruhr ei pmihnmkhm hnterpmiojmr je crojm   n  que poso pmr   n + ? puntms  ( xh , yh )  je io amrko n

Pn ( x) ;

! Ih ( x) yh

h; 0

;  l   y   Ih ( xh ) ;  ?. Esto prmphejoj coronthzo jmnje ios aunbhmnes   Ih ( x)  bukpien   Ih ( xl ) ;  0 sh   h  Pn ( xl ) ;  yl . Ios aunbhmnes  I h ( x)  se bmnstruyen bmkm7  Ih ( x) ;

  ( x ∖ x? )( x ∖ x6 ) ³ ³ ³ ( x ∖ xh∖? )( x ∖ xh+? ) ³ ³ ³ ( x ∖ xn ) ( xh ∖ x? )( xh ∖ x6 ) ³ ³ ³ ( xh ∖ xh∖? )( xh ∖ xh+? ) ³ ³ ³ ( xh ∖ xn )

54

 

BOPËZUIM 5. HNZEVPMIOBHÒN  HNZEVPMIOBHÒN 

 

58

;  l . Pmjekms esbrhfhr ei Je su amrko expiëbhto, vekms que   Ih ( xh ) ;  ? y que   Ih ( xl ) ;  0 poro   h  pmihnmkhm hnterpmiojmr je uno aunbhòn   a ( x) en ims puntms  x 0 , x? , . . . , xn je amrko bmkpobto bmkm7 n

Pn ( x) ;

n

!  a ( xh )

h; 0

"  g   ; ;  0  g   ; h

( x ∖ x g ) ( xh ∖ x g )

Ei kètmjm je Iocronce perkhte bmnstruhr aïbhikente je amrko expiëbhto, ei pmihnmkhm hnterpmiojmr. Jms je ios hnterpmiobhmnes kïs uthihzojms smn ios hnterpmiobhmnes ihneoi y porofòihbo. Ims bmrrespmnjhentes pmihnmkhms hnterpmiojmres smn7 Ihneoi   x ∖ x0   x ∖ x? P( x) ;  a ? +  a 0  x? ∖ x0  x0 ∖ x?

Porofòihbo P6 ( x) ;

  ( x ∖ x? )( x ∖ x6 )   ( x ∖ x0 )( x ∖ x6 )   ( x ∖ x0 )( x ∖ x? )  a 0 +  a ? +  a 6 ( x0 ∖ x? )( x0 ∖ x6 ) ( x? ∖ x0 )( x? ∖ x6 ) ( x6 ∖ x0 )( x6 ∖ x? )

Rhn ekforcm, buonjm jeseokms evoiuor ei pmihnmkhm hnterpmiojmr en unm m vorhms puntms, ei kètmjm je Iocronce nm es bmnvenhente yo que nm jo ims bme﬏bhente je bojo crojm, im buoi es nebesorhm poro opihbor ei oicmrhtkm je Dmrner. Rhn ekforcm ei kètmjm je Iocronce es aïbhi je entenjer, im que gusth﬏bo su voimr pejocòchbm, y es je uthihjoj o io dmro je eiofmror un bhertm n÷kerm je jekmstrobhmnes, bmkm pmr egekpim io aòrkuio jei errmr bmkethjm pmr ei pmihnmkhm hnterpmiojmr, que posokms o jekmstror o bmnthnuobhòn. Un ospebtm hkpmrtonte es io jeterkhnobhòn jei errmr jei pmihnmkhm hnterpmiojmr   Pn ( x)   bmn respebtm o io aunbhòn hnterpmiojo   a ( x), en ei hntervoim  \ x0 , xn [. Reo  x s  un puntm orfhtrorhm je este hntervoim, en ei que jeseokms esthkor ei errmr. Bmnstruhkms io aunbhòn n

c( x) ;   a ( x) ∖ Pn ( x) ∖

"  g  ;  ;  0

( x ∖ x g ) ( a ( xs ) ∖ Pn ( xs )) ( xs ∖ x g )

que, pmr bmnstrubbhòn, se onuio en  x 0 , x? , . . . xn  y  x s . Bmkm c ( x) thene n + 6 berms y pmr ei temreko (?) ( x) thene n + ? berms, io jerhvojo jerhvojo c(6) ( x) thene n  berms y osë subeshvokente je Vmiie io jerhvojo jerhvojo( c n+?) dosto io jerhvojo   c que thene oi kenms un berm. Reo   #  este berm. Jerhvonjm   n + ? vebes io onterhmr hcuoijoj y susthtuyenjm   x  ;  #  mftenekms (io jerhvojo   n + ? je   Pn ( x)  es nuio y io jei pmihnmkhm je mrjen  n + ? jei nukerojmr jei ÷ithkm tèrkhnm es  (n + ?)!)

c(n+?) (#) ;  0 ;   a (n+?) (#) ∖

  (n + ?)! ( a ( xs ) ∖ Pn ( xs )   ( xs ∖ x g ) "n  g  ;  ;  0

bmn im buoi, bmnbiuhkms que7 n

 a ( xs ) ;  Pn ( xs ) +

"  g  ;  ;  0

( xs ∖ x g )

 a (n+?) (#)

(n + ?)!

 

BOPËZUIM 5. HNZEVPMIOBHÒN  HNZEVPMIOBHÒN 

 

10

 x0 , xn [ pmr Ei puntm # es jesbmnmbhjm, perm sh pmjekms obmtor io aunbhòn a unbhòn   a (n+?) ( x) en ei hntervoim \ x ( n+?) ( n+?) ( x) oibonzo ei voimr kïxhkm, enbmntrokms ei voimr   a  ( xk ), jmnje x k  es ei puntm jmnje   a  io bmto je errmr en ei hntervoim  \ x0 , xn [7

 

| a ( x) ∖ Pn ( x)| ≪

"n

 g  ;  ;  0

  ( x ∖ x g ) a (n+?) ( xk (n + ?)!

 ) 

que es vïihjo, hnjepenjhentekente jei kètmjm ekpieojm poro mftener ei pmihnmkhm hnterpmiojmr.

:.2.

Oicm Oicmrht rhtkm km je Nevh Nevhiie iie

O vebes nm es nebesorhm mftener io amrko exmiëbhto jei pmihnmkhm hnterpmiojmr y fosto bmn mftener su voimr nukèrhbm en un puntm jojm. Ojekïs en este bosm nms custorëo ei pmjer oukentor ei mrjen jei pmihnmkhm hnterpmiojmr o vmiuntoj y poror buonjm ei errmr seo su﬏bhentekente pequeÿm. Poro estms prmpòshtms ei oicmrhtkm je Nevhiie estï espebhoikente hnjhbojm. Ei oicmrhtkm je Nevhiie estï hnsphrojm en io aòrkuio je hnterpmiobhòn ihneoi. Io expreshòn P( x) ;

  x ∖ x0

 a l  l  ∖

  x ∖ xl 

 a 0

 xl  ∖ x0  xl  ∖ x0 poso pmr ims puntms   ( x0 ,  a 0 )   y   ( xl ,  a l  l ). Rh, en iucor je   a l  l , pmnekms en io onterhmr expreshòn un (l ∖?)

pmihnmkhm hnterpmiojmr  P?6³³³l  ( x)  que poso pmr uno serhe je puntms  x r , r  ;  ?, 6, . . . , l , y en iucor je   a 0 , un pmihnmkhm hnterpmiojmr  P0?³³³l ∖? ( x)  que poso pmr  ( xr ,  a r ),  r  ;  0, ?, . . . , l ∖ ?, mftenekms P( x) ;

  x ∖ x0  xl  ∖ x0

(l ∖?)

P?6³³³l  ( x) ∖

  x ∖ xl  (l ∖?) P ( x)  xl  ∖ x0 0?³³³l ∖?

Es mfvhm je je io expreshòn expreshòn onterhmr que, poro ims puntms puntms bmkunes je hnterpmiobhòn xr , r ; ?, 6, . . . , l (l ∖?)

(l ∖?)

? je  P0   ( x)  y  Pl    ( x), se bukpie P( xr ) ;

  xr ∖ x0  x? ∖ x0

 a r ∖

 xr ∖ x?  x? ∖ x0

(l ∖?)

 a r  ;   a r

(l ∖?)

y que ojekïs,  P ( x0 ) ;  P0?³³³l ∖? ( x0 ) ;   a 0  y  P ( xl ) ;  P?6³³³l  ( xl ) ;   a ? . Pmr im tontm pmjekms bmnstruhr un pmihnmkhm je mrjen  l  o porthr je jms pmihnmkhms je mrjen  l  ∖ ?, kejhonte io aòrkuio je hnterpmiobhòn ihneoi. Ei oicmrhtkm je Nevhiie uthihzo este debdm, bmnguntokente bmn uno ojebuojo rejhspmshbhòn je ims puntms je hnterpmiobhòn en uno tofio, poro boibuior ei voimr jei pmihnmkhm hnterpmiojmr en un puntm  x .  Io tofio que se bmnstruye, en ei bosm je buotrm puntms, es  x ∖ x0   a 0 (?)

P0?  x ∖ x?   a ?

  (?)

 x ∖ x6   a 6

P?6

 

 

P?62

(?)

P62  x ∖ x2   a 2

(6)

P0?6 (6)

(2)

P0?62

 

BOPËZUIM 5. HNZEVPMIOBHÒN  HNZEVPMIOBHÒN 

 

1?

jmnje bojo bmiukno se mfthene je io onterhmr kejhonte io aòrkuio je hnterpmiobhòn ihneoi, que eq equh uhv voi oiee o un prmj prmjub ubtm tm bruz bruzoj ojm m entr entree io pr prhk hker eroo bmiu bmiukn knoo y io bmiu bmiukn knoo pre prevho vho o io qu quee boib boibui uiok okms ms.. Bmnbretokente7   ? \( x ∖ x0 ) a ? ∖ ( x ∖ x? ) a 0 [  x? ∖ x0   ? (?) (?) (6) P0?6 ( x) ; \( x ∖ x0 )P?6   ( x) ∖ ( x ∖ x? )P0?   ( x)[  x6 ∖ x0   ? (2) (6) (6) P0?62 ( x) ; \( x ∖ x0 )P?62 ( x) ∖ ( x ∖ x2 )P0?6 ( x)[  x2 ∖ x0 (?)

P0?   ( x) ;

Qekms que bojo tèrkhnm je io tofio se mfthene bmkm io jhaerenbho je ims prmjubtms bruzojms je vebhnms hnaerhmr y superhmr en io bmiukno hnkejhotokente onterhmr bmn io jhaerenbho entre io ofbhso je evoiuobhòn y io ofbhso je hnterpmiobhòn en io prhkero bmiukno bmrrespmnjhente bmn ei mtrm vebhnm, shcuhenjm io jhocmnoi, jhvhjhjo (io jhaerenbho je prmjubtms bruzojms) pmr io jhaerenbho entre ios jhaerenbhos je ofbhsos bmrrespmnjhentes superhmr e hnaerhmr je io prhkero bmiukno. Pmjekms esbrhfhr ei tèrkhnm ceneroi.bmkm shcue. Rh jenmkhnokms  y g  ;  x ∖ x g , tenekms7 (h+?)

Ps³³³(s+h+?)  ;

 

? ( h) ( h)  ys Ps+?³³³s+h+? ∖ ys+h+? Ps³³³s+h  ys ∖ ys+h+?





Ei oicmrhtkm je Nevhiiei es porthbuiorkente hnjhbojm en ei bosm je que se jesee evoiuor ei pmihnmkhm hnterpmiojmr en un ÷nhbm puntm, m en un n÷kerm kuy rejubhjm je puntms.

:.:.

Kètmjm Kètmjm je Newtmn Newtmn m je jhaerenbho jhaerenbhoss jhvhjhj jhvhjhjos os

Ei kètmjm je Newtmn je jhaerenbhos jhvhjhjos es mtro amrko je mftener ei pmihnmkhm hnterpmiojmr. En este kètmjm ei pmihnmkhm hnterpmiojmr se esbrhfe je io amrko Pn ( x) ;  o0 + ( x ∖ x0 )o? + ( x ∖ x0 )( x ∖ x? )o6 + ³ ³ ³ + ( x ∖ x0 )( x ∖ x? ) ³ ³ ³ ( x ∖ xn∖? )on

y ei oicmrhtkm prmpmrbhmno uno recio poro mftener ims bme﬏bhentes  o 0 , o? , . . . , on . Hkpmnhenjm que ei pmihnmkhm hnterpmiojmr pose pmr ims puntms je hnterpmiobhòn mftenekms Pn ( x0 ) ;   o0  ;   a ( x0 ) Pn ( x? ) ;   o0 + ( x? ∖ x0 )o?  ;   a ( x? ) Pn ( x6 ) ;   o0 + ( x6 ∖ x0 )o? + ( x6 ∖ x0 )( x6 ∖ x? )o6  ;   a ( x6 ) ..   ..   .. . . . Pn ( xn ) ;   o0 + ( xn ∖ x0 )o? + ³ ³ ³ + ( xn ∖ x0 ) ³ ³ ³ ( xn ∖ xn∖? )on  ;   a ( xn )

Je estos ebuobhmnes, es mfvhm que   o0  jepenje sòim je   x0 ,   o?   je   x0   y   x?   y osë subeshvokente.  x0 , x? [, y osë subeshvokentre, bmn   a \ x  x0 [ ; Hntrmjubhkms io nuevo nmtobhòn   o0   ≯   a \  xx0 [,   o?   ≯   a \ x  a ( x0 ), bmkm se ve je io prhkero ebuobhòn. Vestonjm ios jms prhkeros ebuobhmnes mftenekms o? ≯   a \ x  x0 , x? [ ;

  a ( x? ) ∖  a ( x0 )  x? ∖ x0

 

BOPËZUIM 5. HNZEVPMIOBHÒN  HNZEVPMIOBHÒN 

 

16

Vestonjm io secunjo y io terbero ebuobhòn mftenekms7 o6 ≯   a \  xx0 , x?, x6 [ ;

  a ( x6 ) ∖  a ( x? ) ∖  a \  xx0 , x? [( x6 ∖ x? )

( x6 ∖ x0 )( x6 ∖ x? )

 

;

 x0 , x? [   a \ x  x? , x6 [ ∖  a \ x  x6 ∖ x0

Pmjekms prmbejer je hcuoi kmjm poro jekmstror que on ≯   a \ x  x0 , x? , . . . , xn [ ;

  a \ x  x? , . . . , xn [ ∖  a \ x  x0 , . . . , xn∖? [  xn ∖ x0

ounque io amrko kïs bòkmjo es pmr hnjubbhòn. Rupmnekms que io expreshòn voie poro   on∖?   y bmnstruhkms ei pmihnmkhm je crojm  n ,  _ n ( x), je﬏nhjm pmr _n ( x) ;  Pn ∖? ( x) +

  x ∖ xn  xn ∖ x0

\Pn ∖? ( x) ∖ Pn∖? ( x)[

jmnje   Pn ∖? ( x)  es ei pmihnmkhm hnterpmiojmr en   x? , . . . , xn . Estï biorm je io je﬏nhbhòn je   _n ( x)? que poro  x ? , x6 , . . . , xn∖? ,  _ n ( xh ) ;  Pn ∖? ( xh ) ;   a ( xh ), yo que  Pn ∖? ( x) ∖ Pn∖? ( x)  se onuio en estms puntms. Zokfhèn en   xn   se bukpie que   _( xn ) ;  Pn ∖? ( xn ) ;   a ( xn ). En   x0  se bukpie   _n ( x0 ) ; Pn ∖? ( x0 ) ∖ \Pn ∖? ( x0 ) ∖ Pn∖? ( x0 ) ; Pn∖? ( x0 ) ;   a ( x0 ). Iuecm _ n ( x) bmhnbhje bmn  Pn ( x), yo que ei pmihnmkhm hnterpmiojmr es ÷nhbm, y su bme﬏bhente en x n es pmr im tontm  o n . Bmkm dekms supuestm que io aòrkuio je jhaerenbhos jhvhjhjos es vïihjo poro   P ( x)   y   P ( x), entmnbes tenekms, n∖? n n∖? hjenth﬏bonjm pmtenbhos en  x n en okfms iojms, que que ei bme﬏bhente en  x je  _ n ( x)  vhene jojm pmr7 on ≯   a \ x0 , x? , . . . , xn [ ;

  ?   a \ x? , x6 , . . . , xn [ ∖  a \ x  x0 , x? , . . . , xn∖? [ on∖? ∖ on∖? ;  xn ∖ x0  xn ∖ x0





reiobhòn que es ei mrhcen jei nmkfre je jhaerenbhos jhvhjhjos poro ims bme﬏bhentes  o n . Pmjekms pmr im tontm esbrhfhr ei pmihnmkhm hnterpmiojmr bmkm,  x0 , x? , . . . , xn [( x ∖ x0 ) ³ ³ ³ ( x ∖ xn∖? )  x0 , x? [( x ∖ x0 ) + ³ ³ ³  a \ x Pn ( x) ;   a \  xx0 [ +  a \ x

y io aòrkuio je oprmxhkobhòn o   a ( x)  bmn su tèrkhnm je errmr quejo en io shcuhente amrko7 n

 a ( x) ;   a \  xx0 [ + a \ x  x0 , x? [( x ∖ x0 ) + ³ ³ ³ + a \ x  x0 , x? , . . . , xn [( x ∖ x0 ) ³ ³ ³ ( x ∖ xn∖? ) +

"

( x ∖ x g )

 a (n+?) ( xk )

(n + ?)!

 g   ; ;  0 Ei kètmjm je Newtmn perkhte mftener ims bme﬏bhentes jei pmihnmkhm hnterpmiojmr aïbhikente en amrko je tofio, que jokms ofogm poro ei bosm je : puntms.  x0   a 0  x?   a ?  x6   a 6

 a \  xx0 , x? [    a \  xx? , x6 [    a \  xx6 , x2 [

a \  xx0 , x? , x6 [   a \  xx? , x6 , x2 [

a \ x  x0 , x? , x6 , x2 [

 x2   a 2 ?

_n ( x)  es ei resuitojm je opihbor ei oicmrhtkm je Nevhiie o  Pn∖? ( x)  y  Pn ∖? ( x).

 

BOPËZUIM 5. HNZEVPMIOBHÒN  HNZEVPMIOBHÒN 

 

12

Ei kètmjm je Newtmn es espebhoikente hnjhbojm en ei bosm je que jeseekms reoihzor kubdos ev evoiuobhmnes oiuobhmnes jei pmihnmkhm hnterpmiojmr, hnterpmiojmr, yo que jo ei pmihnmkhm preporojm poro ser evoiuojm pmr ei oicmrhtkm je Dmrner. Mtrm ospebtm porthbuiorkente bmnvenhente es que, sh jeseokms oukentor ei mrjen jei pmihnmkhm hnterpmiojmr, ims bme﬏bhentes o l  yo boibuiojms perkoneben perkoneben hnoiterojms, es jebhr, nm jestruëkms ei trofogm yo reoihzojm buonjm jeseokms oukentor ei mrjen jei pmihnmkhm hnterpmiojmr. Re jhbe en este bosm que ims bme﬏bhentes  o l thenen io prmphejoj je perkonenbho. En ei bosm je puntms hcuoikente espobhojms, ei pmihnmkhm je Newtmn tmko uno amrko espebhoikente bmnvenhente. Rupmncokms que tenekms uno rej je puntms espobhojms un posm   d, je amrko que x n ;  x0 + nd. Zenekms que  a \  xx0 , x? [ ;  a \ x0 , x? , x6 [ ;

  a ? ∖  a 0 d

  a \ x  x? , x6 [ ∖  a \  xx0 , x? [

6d

;

  a 6 ∖ 6 a ? +  a 0

6d6

Rh hntrmjubhkms io nmtobhòn je jhaerenbhos ﬏nhtos  a 0  ;   a ? ∖  a 0 , 6 a 0  ; ( a 0 ) ;   a 6 ∖  a ? ∖ ( a ? ∖  a 0 ) ;   a 6 ∖ 6 a ? + a 0  iiecokms aïbhikente pmr hnjubbhòn oi resuitojm

  n a 0  a \ x0 , x? , . . . , xn [ ; n!dn

yo que

 a \ x  x0 , x? , . . . , xn [ ;

  a \  xx? , . . . , xn [ ∖  a \  xx0 , . . . , xn∖? [  xn ∖ x0

;

n∖?  a ? (n∖?)!dn∖?

n∖?

 a 0 ∖ (  n ∖?)!dn∖?

nd

;

(n∖? a 0 ) n a 0   ; n!dn n!dn

Ei pmihnmkhm hnterpmiojmr ojquhere uno amrko porthbuiorkente shkpie en ei bosm je puntms hcuoikente espobhojms. Rh jenmtokms un puntm orfhtrorhm   x, bmkprenjhjm entre   x0   y   xn , bmkm  x0 + sd, tenekms que ei tèrkhnm   g  jei  jei pmihnmkhm hnterpmiojmr se pueje expresor bmkm7

 g  a 0   s!d g   g  a 0 ( x ∖ x0 ) ³ ³ ³ ( x ∖ x g ∖? ) a \ x  x0 , ³ ³ ³ , x g [ ;  sd ³ ³ ³ (s ∖  g + ?)d  ;   ;  g !d g   g !(s ∖  g )! d g 

   s  g 

 g  a 0

Bmn esto extenshòn je ims n÷kerms bmkfhnotmrhms o n÷kerms reoies, pmjekms expresor ei pmihnmkhm hnterpmiojmr bmn su tèrkhnm je errmr en io shcuhente amrko extromrjhnorhokente bmkpobto7 n

Pn ( x) ;  Pn ( x0 + sd) ;

!

 g ;0

5.:.?.. 5.:.?

   s  g 

 g  a 0 +



  s n+?



dn+? a (n+?) ($)

Veiob Veiobhòn hòn je iios os j jerhv erhvojos ojos bmn ios jhaer jhaerenbho enbhoss

Ios jerhvojos je   a ( x)  y ios jhaerenbhos ﬏nhtos estïn ënthkokente reiobhmnojos. Poro jekmstrorim, vokms prhkerm o expresor io aunbhòn   a ( x)  en tèrkhnm je jhaerenbhos jhvhjhjos. Io expreshòn   a ( x0 ) ∖  a ( x)  a \ x  x, x0 [ ;  x0 ∖ x

 

BOPËZUIM 5. HNZEVPMIOBHÒN  HNZEVPMIOBHÒN 

 

1:

pmjekms reesbrhfhrio bmkm  x, x0 [  a ( x) ;   a \ x  x0 [ + ( x ∖ x0 ) a \ x

O su vez, pmjekms esbrhfhr  a \  xx, x0, x? [ ;

  a \  xx0 , x? [ ∖  a \ x  x, x0 [  x? ∖ x

que pmjekms reesbrhfhr bmkm  a \ x  x, x0 [ ;   a \  xx0 , x? [ + ( x ∖ x? ) a \ x  x, x0 , x? [

y nms perkhte expresor   a ( x)  bmkm  a ( x) ;   a \  xx0 [ + ( x ∖ x0 ) a \ x  x0 , x? [ + ( x ∖ x0 )( x ∖ x? ) a \ x  x, x0 , x? [

Vephthenjm este prmbesm  n vebes, iiecokms o io expreshòn  x0 , x? , . . . , xn , x[  a ( x) ;   a \  xx0 [ + ( x ∖ x0 ) a \  xx0 , x? [ + ( x ∖ x0 ) ³ ³ ³ ( x ∖ xn∖? ) a \ x0 , x? , . . . , xn [ + ( x ∖ x0 ) ³ ³ ³ ( x ∖ xn ) a \ x

Ims n  prhkerms tèrkhnms bmnsthtuyen ei pmihnmkhm hnterpmiojmr, jojm pmr io aòrkuio je Newtmn, y pmr im tontm, ei ÷ithkm tèrkhnm es ei tèrkhnm je errmr. Zenekms pmr bmnshcuhente io reiobhòn7

( x ∖ x0 ) ³ ³ ³ ( x ∖ xn ) a \ x  x0 , x? , . . . , xn , x[ ; ( x ∖ x0 ) ³ ³ ³ ( x ∖ xn )

 a (n+?) ( xk )

(n + ?)!

je jmnje jejubhkms io shcuhente reiobhòn entre ios jhaerenbhos jhvhjhjos y ios jerhvojos7  a \ x  x0 , x? , . . . , xn , x[ ;

  a (n+?) ( xk )

(n + ?)!

En ei bosm je puntms hcuoikente espobhojms io onterhmr hcuoijoj tmko io amrko7

n+? a 0   a (n+?) ( xk )  ; (n + ?)!dn+? (n + ?)! Iuecm pmjekms esbrhfhr io shcuhente reiobhòn entre ios jerhvojos y ios jhaerenbhos ﬏nhtos7

n a 0  ;  dn a (n) ( xk )  x0 , xn [  se dobe hn﬏nhtokente jmnje   xk   es un puntm jei hntervoim   \  xx0 , xn [. Buonjm ei hntervoim   \ x pequeÿm, tenekms ei shcuhente iëkhte buonjm x n ∖↖  x0 7

iºĿĿk k n a 0 ∖↖ dn a (n) ( x0 )

 xn ∖↖ x0

que nms jhbe que ios jhaerenbhos y ios jerhvojos je mrjen  n  smn prmpmrbhmnoies en este iëkhte.

 

BOPËZUIM 5. HNZEVPMIOBHÒN  HNZEVPMIOBHÒN 

5.5.

 

15

Eiebbhòn Eiebbhòn je ims puntms puntms je hnterpmi hnterpmiobhò obhòn n

Ei pmihnmkhm hnterpmiojmr pueje presentor bmkpmrtokhentms potmiòchbms, en ei senthjm je que, buonjm oukentokms ei n÷kerm je puntms je hnterpmiobhòn en un hntervoim, io jesvhobhòn kïxhko entre ei pmihnmkhm y io aunbhòn en jhbdm hntervoim oukente bmn ei crojm jei pmihnmkhm. Estm poso bmn ios aunbhmnes je Fernstehn,  F ( x) ;  | x|, y Vunce  V( x) ;

  ? ? + 65 x6

en ei hntervoim \∖?, ?[. Buonjm oukentokms ei crojm jei pmihnmkhm hnterpmiojmr je estos aunbhmnes bmn puntms hcuoikente espobhojms, subeje que kox oº xn↖% | a ( x) ∖ Pn ( x)|   ∖↖   % ∖? ≪  x ≪ ? Pmjekms precuntornms buoi es io kegmr eiebbhòn je ims puntms je hnterpmiobhòn, en bosm je que tencokms ihfertoj poro eiechrims. Io respuesto es que ei errmr se khnhkhzo sh se eihcen ims puntms je hnterpmiobhòn bmkm ims berms je ims pmihnmkhms je Bdefybdev, je﬏nhjms pmr Z n ( x) ;  bms(n orbbms( x))

Je su je﬏nhbhòn, es mfvhm que imx   Z n ( x)  sòim tmkon voimres en ei hntervoim  \ ∖?, ?[, pues auero je este hntervoim io aunbhòn orbbms ( x)   nm estï je﬏nhjo. Bmkm sus berms estïn en ei hntervoim \∖?, ?[, poro uno aunbhòn   a ( x)  je﬏nhjo en un hntervoim   \o, f[  tenekms que reoihzor un bokfhm  f ∖ o  f + o   t   + +   , je amrko que   a (t )  tmko voimres en je vorhofies o io vorhofie  t  je﬏nhjo pmr   x ; 6 6 \-?,?[. Ims voimres je ims berms je ims pmihnmkhms je Bdefybdev vhenen jojms pmr ims voimre je  x  que sothsaoben bms(n&) ;  0 jmnje & ; orbbms x. Zenekms pmr im tontm

 ( 6l + ?)' n& ;

&;

6

  (6l + ?)' 6n

pmr im que ims berms  x n  je  Z n ( x)  vhenen jojms pmr io expreshòn7  xn ;  bms

(

6l + ?)' 6n



Ims pmihnmkhms je Bdefybdev sothsaoben io reiobhòn je reburrenbho Z n+? ( x) ;  6 xZ n ( x) ∖ Z n∖? ( x)

 

BOPËZUIM 5. HNZEVPMIOBHÒN  HNZEVPMIOBHÒN 

 

11

bmn Z 0 ( x) ;  ? y  Z ? ( x) ;  x . Esto reiobhòn se pueje jekmstror aïbhikente o porthr je ios reiobhmnes trhcmnmkètrhbos bms(n + ?)&   ;   bms n& bms & ∖ shn n& shn & bms(n ∖ ?)&   ;   bms n& bms & + shn n& shn & Rukonjm okfos hcuoijojes, y pmnhenjm & ; orbbms x, tenekms bms((n + ?) orbbms x) ;  6 x bms(n orbbms x) ∖ bms((n ∖ ?) orbbms x) qu quee jo io onte onterh rhmr mr reio reiobh bhòn òn je rebu reburre rrenb nbho ho,, tenh tenhen enjm jm en buen buento to io je﬏n je﬏nhb hbhm hmn n je Z n ( x). Je io reio reiobh bhòn òn n∖? je reburrenbho se mfthene que ei bme﬏bhente jei tèrkhnm prhnbhpoi je Z n ( x)  es 6 . Io rozòn je io hjmnehjoj je ims berms je ims pmihnmkhms je Bdefybdev bmkm puntms je hnterpmiobhòn rojhbo en que ims pmihnmkhms je Bdefybdev smn ims pmihnmkhms bmn bme﬏bhente prhnbhpoi 6n∖? bmn un kenmr voimr kïxhkm en \-?,?[. Esto o﬏rkobhòn es aïbhi je jekmstror. Ims pmihnmkhms je Bdefybdev oibonzon su voimr kïxhkm (+? m -?), en  x  ; ?, x  ; ∖?, y en ims puntms que onuion sus jerhvojos (Z  ( x) ;  0). Estms puntms vhenen jojms pmr  xl  ;  bms

 l '

n bmn l ; ?, 6,..., n ∖ ?, pm pmrr im qu quee tene tenekm kmss qu quee oibo oibonz nzon on su kï kïxh xhkm km voimr oimr ofsm ofsmiu iutm tm en n + ? pun puntms tms,, en ims que oiternon ei shcnm. Rh supmnekms que un pmihnmkhm  _n ( x), bmn ei khskm bme﬏bhente jei tèrkhnm prhnbhpoi, es shekpre kenmr en kòjuim que  Z n ( x), entmnbes io jhaerenbho  Z n ( x) ∖ _n ( x), que es un pmihnmkhm je crojm  n ∖ ? (ims tèrkhnms je crojm  n  je okfms pmihnmkhms smn hcuoies), jefe je tmkor voimres bmn shcnms mpuestms en tmjms ims kïxhkms (en voimr ofsmiutm) je  Z n ( x), m seo en n + ? puntms. Bmkm esto jhaerenbho es uno aunbhòn bmnthnuo, jefe je onuiorse en  n  puntms. Perm un pmihnmkhm je crojm  n ∖ ? que se onuio en  n  puntms jefe ser hjènthbokente nuim. Pmr im tontm, nm exhste un pmihnmkhm je bme﬏bhente prhnbhpoi 6 n∖? que seo kenmr que   Z n ( x)  en \-?,?[. Bmnshjerekms odmro ei tèrkhnm jei errmr jei pmihnmkhm hnterpmiojmr n

 a ( x) ;  Pn ( x) +

"  g  ;  ;  0

Ei tèrkhnm  " n

( x ∖ x g )

 a (n+?) (#)

(n + ?)!

  ( x ∖ x g )  es  Z n+? ( x)/6n buonjm ims  x  g  se tmkon bmkm ims berms je  Z n ( x), yo

 g  ;  ;  0 que thene ims khskms berms que  Z n+? ( x)  y jefe bmhnbhjhr bmn èi, soivm uno bmnstonte kuithpihbothvo, y esto bmnstonte jefe ser 6 ∖n poro que ei bme﬏bhente jei tèrkhnm prhnbhpoi seo ?. Pmr im tontm, sh se tmkon ims puntms je hnterpmiobhòn en ims berms je ims pmihnmkhms je Bdefybdev, ei errmr je Pn ( x)  vhene jojm pmr  Z n+? ( x)  a (n+?) (#)  a ( x) ;  Pn ( x) + (n + ?)! 6n

Pmr im tontm, ei tèrkhnm je errmr thene io prmphejoje je  Z n+? ( x)  je tmkor ei kenmr voimr ofsmiutm pmshfie, en \-?,?[, sh jesprebhokms ios vorhobhmnes jefhjos o   a (n+?) (#)  ( #jepenje jei puntm x  en ei que se boibuio ei errmr).

 

BOPËZUIM 5. HNZEVPMIOBHÒN  HNZEVPMIOBHÒN 

 

13

Buonjm se hnterpmion ios aunbhmnes je Fernstehn y Vunce en ims berms je ims pmihnmkhms je Bdefybdev se mfthene que kºox ox | a ( x) ∖ Pn ( x)|   ∖↖   0 ∖? ≪  x ≪ ?   n ↖ % ounque io bmnvercenbho es iento, en bmkporobhòn bmn io que se mfthene poro aunbhmnes je bmkpmrtokhentm ’nmrkoi‛.

:.1.

Hnter Hnterpmi pmiobh obhòn òn pmr spihn spihnes es

Io hnterpmiobhòn pmihnmkhoi thene ei hnbmnvenhente je que ei pmihnmkhm hnterpmiojmr pueje msbhior auertekente entre ims puntms hnterpmiojms, bmkm dekms vhstm en ei oportojm onterhmr. Poro kubdos opihbobhmnes prïbthbos hntereso un oicmrhtkm que prmpmrbhmne uno aunbhòn hnterpmiojmro que se bmkpmrte suovekente. Ei kmjeim kïs senbhiim es uno hnterpmiobhòn ihneoi o trokms, bmnsthtuhjo pmr rebtos que unen ims puntms hnterpmiojms. Rhn ekforcm, este thpm je oprmxhkobhòn thene uno jerhvojo jhsbmnthnuo en im puntms je hnterpmiobhòn. Poro kubdos opihbobhmnes prïbthbos, en ios que se hnbiuyen io resmiubhòn je ebuobhmnes jhaerenbhoies en ios que hntervhenen aunbhmnes kejhjos experhkentoikente, hntereso uno aunbhòn oprmxhkojmro que tenco jerhvojos bmnthnuos dosto un mrjen jojm, oporte je ser bmnthnuo. Ei kètmjm je spihnes se foso en enbmntror aunbhmnes que bukpion estos borobterësthbos. Re je﬏ne un  spihne je mrjen k  en uno serhe je   n + ? puntms je hnterpmiobhòn  { ( x0 , y0 ), . . . ( xn , yn )}  bmkm un bmnguntm je   n  aunbhmnes   R l  (arebuentekente l ( x)   (arebuentekente pmihnmkhms je mrjen  k ) je﬏nhjos en ei hntervoim  \ xl , xl +? [  , que sothsaoben R l  l ( xl ) ;   R l  l +? ( xl )  ( xl ) ;   R l  +? ( xl ) R l   R l ( xl ) ;   R l  +? ( xl ) ..   ..   .. . . .

(k∖?)

(k∖?)

R l    ( xl ) ;   R l +?   ( xl )

Bmkm verekms kïs ofogm, doy que hntrmjubhr en ceneroi bmnjhbhmnes je bmntmrnm ojhbhmnoies en l ( x)  estèn unëvmbokente je﬏nhjos. Ims spihnes kïs ims extrekms  x 0  y  x n  poro que ios aunbhmnes  R l  uthihzojms smn ims b÷fhbms, jefhjm o que smn ims kïs senbhiims bmn jerhvojo secunjo bmnthnuo, y pmr im tontm smn ojebuojms poro oprmxhkor aunbhmnes que hntervhenen en ebuobhmnes jhaerenbhoies je secunjm mrjen. Rh esbrhfhkms

6 2 R l  l ( x) ;  ol  + fl ( x ∖ xl ) + bl ( x ∖ xl ) + j l  l ( x ∖ xl )

ios jms prhkeros jerhvojos vhenen jojos pmr  ( x) ;  fl  + 6bl ( x ∖ xl ) + 2j l l ( x ∖ xl )6 R l   ( x) ;  6bl  + 1j l l ( x ∖ xl ) R l 

 

BOPËZUIM 5. HNZEVPMIOBHÒN  HNZEVPMIOBHÒN 

 

14

Io bmnj bmnjhb hbhò hòn n je qu quee ims ims spihn spihnes es po pose sen n pm pmrr ims ims pu punt ntms ms je hnte hnterp rpmi miob obhò hòn n jo R l  que nms l ( xl ) ; ol  ; yl , que jhbe que ims bme﬏bhentes o l  smn ims voimres je io aunbhòn hnterpmiojo en ims nmjms. Ei shcnh﬏bojm  ( xl ) ;  fl ,  R  ( xl ) ;  6bl   y  R  ( xl ) ;  1j l l . Zenekms que je ims mtrms bme﬏bhentes es mfvhokente  R l  ios ebuobhmnes je bmnthnuhjoj je ios aunbhmnes   R l  l ( x)  y sus jerhvojos prhkero y secunjo en ims  ;  0, . . . , n ∖ 6 (ios bmnjhbhmnes je bmnthnuhjoj n ∖ ? puntms je hnterpmiobhòn hnterkejhms  x l +? ,  l  ; nm se opihbon o ims extrekms) jon 2 ol +?   ;   ol  + fl ( xl +? ∖ xl ) + bl ( xl +? ∖ xl )6 + j l  l ( xl +? ∖ xl ) 6 fl +?   ;   fl  + 6bl ( xl +? ∖ xl ) + 2j l  l ( xl +? ∖ xl )

6bl +?   ;   6bl  + 1j l  l ( xl +? ∖ xl ) que bmnsthtuyen un shsteko je 2 (n ∖ ?)  ebuobhmnes poro jeterkhnor ims 2n bme﬏bhentes f l ,bl  y  j l  l . Uno bmnjhbhòn ojhbhmnoi es que ei ÷ithkm spihne pose pmr ei ÷ithkm puntm7  R n∖? ( xn ) ;  y n . Nebeshtorekms pmr im tontm jms bmnjhbhmnes ojhbhmnoies poro pmjer jeterkhnor tmjms ims bme﬏bhentes. Jorekms kïs ojeionte estos bmnjhbhmnes. Poro shkpih﬏bor io nmtobhòn, hntrmjubhkms io je﬏nhbhòn dl  ;  xl +? ∖ xl . Pmjekms esbrhfhr ios ebuobhmnes je bmnthnuhjoj onterhmres bmkm ol +? ∖ ol 

;   fl  + bl dl  + j l l dl 6

dl  6 fl +? ∖ fl    ;   6bl dl  + 2j l  l dl  bl +? ∖ bl    ;   2j l  l dl 

 

(5.?)

Je ios pmshfies amrkos je resmiver ei shsteko je ebuobhmnes onterhmr, io kïs bmkmjo es jespegor ims bme﬏bhentes bme﬏bhentes  j ll   y  f l  je amrko que mftencokms un shsteko je ebuobhmnes poro ims bme﬏bhentes bl . Rh jespegokms   bl +? ∖ bl  j l  l  ; 2dl  en io ÷ithko ebuobhòn y im hntrmjubhkms en io secunjo ebuobhòn, mftenekms fl +? ∖ fl  ;  6bl dl  + 2

bl +? ∖ bl 

2dl 

6 dl   ; (bl  + bl +? )dl 

 

(5.6)

Nebeshtokms mtro expreshòn hnjepenjhente je   fl +? ∖ fl  poro mftener uno ebuobhòn poro ims   bl . En io prhkero je ios ebuobhmnes 5.? pmjekms jespegor  f l 7 fl    ;

  ol +? ∖ ol    ol +? ∖ ol  bl +? ∖ bl  6   ol +? ∖ ol  6 ? ∖ bl dl  ∖ j l l dl 6 ; ∖ bl dl  ∖ dl  ; ∖ bl dl  ∖ bl +? dl  dl  dl  dl  2dl  2 2

y bokfhonjm  l  pmr  pmr  l + ? mftenekms   ol +6 ∖ ol +? 6 ? fl +?  ; ∖ bl +? dl +? ∖ bl +6 dl +? dl +? 2 2 Vestonjm estos jms ebuobhmnes quejo fl +? ∖ fl  ;

  ol +6 ∖ ol +? dl +?

∖

ol +? ∖ ol  dl 

 6 6  ? ? ∖ bl +6 dl +? + bl +? dl  ∖ bl +? dl +? + bl dl    (5.2) 2 2 2 2

 

BOPËZUIM 5. HNZEVPMIOBHÒN  HNZEVPMIOBHÒN 

 

18

Hcuoionjjm esto expreshòn bmn io ebuobhòn 5.6, mftenekms ﬏noikente uno reiobhòn entre ims  b l 7   ol +6 ∖ ol +? ol +? ∖ ol   ?  6 ? bl +6 dl +? + bl +? (dl  + dl +? ) + bl dl  ; ∖ dl +? dl  2 2 2

Estos ebuobhmnes amrkon un shsteko trhjhocmnoi. Rh je﬏nhkms vl +?   ;   2



ol +6 ∖ ol +? ol +? ∖ ol  ∖ dl +? dl 



tenekms que ei shsteko trhjhocmnoi quejo bmkm bl +6 dl +? + 6bl +? (dl  + dl +? ) + bl dl  ;  v l +?

buyo amrko kotrhbhoi es7

    

d0   6(d0 + d? )   d?   0³³³   0 0 0 0   d?   6(d? + d6 )   d6   0   ³³³   0   ³³³   0 0 0   d6   6(d6 + d2 )   d2 0 0 0   d2   6(d2 + d: )   0   ³³³ .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . 0 0 0   ³³³   dn∖2   6(dn∖2 + dn∖6 )   dn∖6

      

b0 b? b6 .. . bn∖6 bn∖?

     ;     

v? v6 v2 .. . vn∖2 vn∖6

    

(5.:)

que es un shsteko je n ∖ 6 ebuobhmnes poro n  hnbòcnhtos. Nebeshtokms jms ebuobhmnes ebuobhmnes ojhbhmnoies poro jeterkhnor ims b l . Estos jms ebuobhmnes se prmpmrbhmnon kejhonte jms bmnjhbhmnes en bherto amrko orfhtrorhos, perm je ios que jepenje io boihjoj jei oguste. Ios jms amrkos kïs usuoies je prmpmrbhmnor estos bmnjhbhmnes ojhbhmnoies smn7 ?. Io bmnjhbhòn bmnjhbhòn jenmkhnoj jenmkhnojoo  spihnes noturoies,  que hkpmne jerhvojo nuio en ims extrekms7   R 0 ( x0 ) ;  R n∖? ( xn ) ;  0. 6. Io bmnjhb bmnjhbhòn hòn je spihnes sugetms  (biokpej), que ﬏go io jerhvojo en ims extrekms   R 0 ( x0 ) ;  a  ( x0 )  y  R n ∖? ( xn ) ;   a  ( xn ).

Io bmnjhbhòn je spihnes noturoies hkpihbo  b 0  ;  bn  ;  0. Ei bme﬏bhente  b n  nm pertenebe o nhncunm je ims spihnes en   \  xx0 , xn [, shnm o un spihne orfhtrorhm que bmkhenzo en ei extrekm   xn , perm io hntrmjubbhòn je  R n ( x)  perkhte extenjer ios ebuobhmnes poro ims bme﬏bhentes  b l  bmn uno ebuobhòn ojhbhmnoi dn∖6 bn∖6 + 6(dn∖6 + dn∖? )bn∖?  ;  v n∖? Io bmnjhbhòn  b 0  ;  0 nms perkhte eihkhnor io prhkero bmiukno je io kotrhz jei shsteko 5.:. Bmn estos jms kmjh﬏bobhmnes, ei shsteko je ebuobhmnes quejo je io amrko7

    

  0³³³   0 0 6(d0 + d? )   d? d?   6(d? + d6 )   d6   0   ³³³   ³³³ 0   d6   6(d6 + d2 )   d2 0 0   ³³³   d2   6(d2 + d: ) .. .. .. .. .. . . . . . 0 0   ³³³   dn∖2   6(dn∖2 + dn∖6 ) 0 0 0     ³³³   dn∖6

0 0 0 0 .. .

       

dn∖6 6(dn∖6 + dn∖? )

       

b? b6 b2 .. . bn∖6 bn∖?

     ;   

v? v6 v2 .. . vn∖6 vn∖?

   

 

BOPËZUIM 5. HNZEVPMIOBHÒN  HNZEVPMIOBHÒN 

 

30

que es un shsteko je   n ∖ ? ebuobhmnes bmn   n ∖ ? hnbòcnhtos. Este shsteko se pueje resmiver aïbhikente pmr eihkhnobhòn je Couss. Bojo posm je eihkhnobhòn se opihbo sòiokente o io ﬏io hnkejhotokente hnaerhmr, yo que ims eiekentms hnaerhmres je io bmiukno smn nuims. Ei aobtmr je eihkhnobhòn je io secunjo ﬏io es   d?  a 6  ; ∖ 6(d0 + d? ) Jespuès je io eihkhnobhòn, io sufjhocmnoi hnaerhmr se onuio. Ei tèrkhnm en io jhocmnoi tmko un nuevm voimr  u 6  jojm pmr   d6? u6  ;  6(d? + d6 ) ∖ 6(d0 + d? ) Ims eiekentms  u l  je io jhocmnoi o porthr je io secunjo ﬏io, jespuès je io rejubbhòn, vhenen jojms pmr 6 dl  ul +? ;  6(dl  + dl +? ) + dl  a l  l +? ;  6(dl  + dl +? ) ∖ ul   a l  l +?  ; ∖

dl  ul 

y ims tèrkhnms hnjepenjhentes quejon bmkm,  vl  +?  ;  v l +? ∖

dl vl  ul 

Ei shsteko je ebuobhmnes, jespuès je io rejubbhòn je Couss, tmko io amrko7

    

6(d0 + d? )   d?   0 ³ ³ ³   0 0 0 0   u6   d6   0   ³ ³ ³   0 0 0   u2   d2   ³ ³ ³   0 0 0 0   u:   ³ ³ ³   0   .. ...   ...   ...   ...   ... . 0 0   ³ ³ ³   0   un∖6   dn∖6 0 0 0   ³ ³ ³   0   un∖?

       

b? b6 b2 .. . .. . bn∖6 bn∖?

Este shsteko se resueive aïbhikente pmr susthtubhòn dobho otrïs, bn∖?   ; bl    ;

     ;     

v? v6 v2 .. . vn∖6 vn∖?

   

vn∖? un∖?  ∖d b   vl  l  l +? ul 

bmn im que jeterkhnokms tmjms ims bme﬏bhentes   bl . O porthr je ims   bl , jeterkhnokms ims bme﬏bhentes j ll   kejhonte io reiobhòn   bl +? ∖ bl  j l  l  ; 2dl 

 

BOPËZUIM 5. HNZEVPMIOBHÒN  HNZEVPMIOBHÒN 

 

3?

Ims bme﬏bhentes bme﬏bhentes f l  se mfthenen je io reiobhòn je reburrenbho fl +? ;  fl  + (bl  + bl +? )dl 

bmn ei voimr hnhbhoi je  f 0  jeterkhnojm pmr io ebuobhòn je bmnthnuhjoj je R 0  y  R ? en ei prhker nmjm  x? 7

f0  ;

  o? ∖ o0 d0

∖ j 0 d60  ;

  o? ∖ o0 d0

∖

b?  d 0 2

jmnje dekms tenhjm en buento que  b 0  ;  0. En ei bosm je spihnes sugetms, jokms bmkm jotms ojhbhmnoies ims voimres je   a 0 y   a n  ( m esthkobhmnes je ims khskms). Zenekms pmr im tontm  R 0 ( x0 ) ; f0 ;   a 0  y  R n∖? ( xn ) ; fn∖? + 6bn∖? dn∖? + 2j n∖? d6n∖?  ;   a n . Io ebuobhòn je bmnthnuhjoj en  x ? jo b0 d0 + j 0 d60  ;

  o? ∖ o0

∖  a 0

d0

Io onterhmr expreshòn, hntrmjubhenjm  j 0  en aunbhòn je  b 0  y  b ? , quejo bmkm b0 d0 +

 b ? ∖ b0

d60  ;

  o? ∖ o0

2d0

∖  a 0

d0

(6b0 + b? )d0  ;  2



o? ∖ o0 d0

∖  a 0



Onïimcokente, en ei puntm   xn   hkpmnekms io bmnjhbhòn je que io jerhvojo je   R n∖? ( x)   voico  a  ( xn )7 fn∖? + 6bn∖? dn∖? + 2j n∖? d6n∖?  ;   a n Je io bmnjhbhòn je que ei spihne  R n∖?  pose pmr ei extrekm  x n  mftenekms fn∖? + bn∖? dn∖? + j n∖? d6n∖?  ;

  on ∖ on∖? dn∖?

Vestonjm okfos ebuobhmnes eihkhnokms  f n∖?  bmn im que mftenekms io reiobhòn, bn∖? dn∖? + 6j n∖? d6n∖?  ;   a n ∖

on ∖ on∖? dn∖?

Pmnhenjm  j n∖?  en aunbhòn je ims  b l , j n∖?  ;

  bn ∖ bn∖?

2dn∖?

mftenekms ﬏noikente io ebuobhòn ojhbhmnoi poro  b n  fusbojo7



(bn∖? + 6bn )dn∖?  ;  2  a n ∖

on ∖ on∖? dn∖?



 

BOPËZUIM 5. HNZEVPMIOBHÒN  HNZEVPMIOBHÒN 

 

36

Oÿojhenjm oi shsteko je ebuobhmnes que jeterkhno ims  b l  ios jms ebuobhmnes ojhbhmnoies en ims extrekms hnhbhoi y ﬏noi, tenekms que ims  b l  vhenen jojms pmr io smiubhòn je un shsteko je  n + ? ebuobhmness bmn n + ? hnbòcnhtos7 ebuobhmne 6d0

  

 

d0

0³³³

 

 

0

0

d0   6(d0 + d? )   d?   0   0   ³³³   ³³³ 0   d?   6(d? + d6 )   d6   0 ..           ... ... ... ... ... . 0 0   ³ ³ ³   dn∖6   6(dn∖6 + dn∖? )   dn∖?   dn∖?   6dn∖? 0 0   ³³³   0

bmn v0

  ;   2

o? ∖ o0 d0

vn  ;  2  a n ∖

b0

0

∖  a 0

     

b? b6 .. . bn∖? bn

v0

   ;   

v? v6 .. . vn∖? vn

  

 

on ∖ on∖? dn∖?

Poro ims mtrms voimres je   l ,   vl   vhene jojm pmr io khsko expreshòn que en ei bosm je spihnes noturoies7 vl  ;  2



ol +6 ∖ ol +?

∖

dl +?

ol +? ∖ ol  dl 



Pmr im tontm, en ei bosm je spihnes sugetms mftenekms un shsteko je  n + ? ebuobhmnes bmn  n + ? hn hnbò bòcn cnht htos os,, qu quee se resu resuei eive ve bmkm bmkm en ei bosm bosm je spihn spihnes es inot inotur uroi oies es.. Io prhk prhker eroo et etop opoo je ei eihk hkhn hnob obhò hòn n je Couss jo ei shsteko rejubhjm

bmn

   

6d0   0   0 0 ..   . 0

d0 u? 0 0 ...

  0³³³     d?     u6   0     ..   .

0 0 0   ³³³ d6   ³ ³ ³ u2   ³ ³ ³ ...   ...

0   ³³³   0

       

0 0 0 0 ...

0   un

     

b0 b? b6 .. . bn∖? bn

    ;  

v0 v? v6 .. . v n ? v∖ n

2 u?  ;  6d? ∖ d0 6 ul  ;  6(dl ∖? + dl ) ∖

6 dl  ∖?

un  ;  6dn∖? ∖   ;  vl  ∖ vl 

l   ; ;  ?, . . . , n ∖ ?

ul ∖?

d6n∖? un∖?

dl ∖? vl ∖? ul ∖?

,   l   > >  0

   

 

BOPËZUIM 5. HNZEVPMIOBHÒN  HNZEVPMIOBHÒN 

 

32

Este shsteko se resueive pmr susthtubhòn dobho otrïs7 

bn  ;

  vn un

 l  bl   ; ;   v ∖ dl bl +? ul 

bmn   v0   ;  v 0   y   u0   ;  6 d0 . Ims bme﬏bhentes   fl   y   j l  l  se jeterkhnon bmkm en ei bosm je spihnes noturoies.