Interés Simple y Compuesto

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TEMA: INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

INTERÉS SIMPLE Se llama interés simple a la operación financiera en la que interviene un capital, un tiempo predeterminado de pago y una tasa o razón, para obtener un cierto beneficio económico llamado interés. La fórmula más conocida de interés simple es:

I

CRT 100

Donde: I, es el interés o dinero a cobrar o pagar. C, es el capital o dinero a considerar. R, es la tasa o razón (%) anual y T, es el tiempo pactado de la operación. Para la aplicación de esta fórmula, la tasa de interés debe ser anual y el tiempo siempre debe expresarse en años. TEN PRESENTE QUE: La fórmula para calcular el interés cuando la tasa está expresada en años y el tiempo se da en meses o en días es: En meses

I

C  R T 1 200

En días

I

C  R T 36 000

Monto es el capital más el interés.

M CI 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08.

PROBLEMAS PROPUESTOS ¿Qué interés produce un capital de S/. 1 600 al 1% mensual durante 8 meses? ¿Qué interés produce un capital de S/. 1 520 al 2% diario durante 20 días? Calcula el interés producido por un capital de S/. 1 500 al 3% anual en 4 meses. Calcula el interés producido por un capital de S/. 1 600, prestado al 6% anual, en 135 días. ¿Cuál es el interés producido por un capital de S/. 1 200 al 5% anual en 4 años? ¿Qué interés produce un capital de S/. 1 800 al 4% mensual en 25 días? (Tomar 1 mes = 30 días) Calcula el interés que produce un capital de S/. 560 al 3% mensual en un año. Calcula el interés que produce un préstamo usurario de un capital de S/. 500 al 2% diario en 7 meses.

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09. ¿Durante cuánto tiempo estuvo depositado un capital al 12% anual, si los intereses producidos alcanzaron el 60% del capital? 10. Un señor divide su capital en tres partes iguales y las impone al 1% mensual, al 5% trimestral y 4% semestral, respectivamente, logrando una renta anual de S/. 10 000. ¿Cuál era su capital? 11. Indica el valor del capital que, al ser colocado al 0,5% bimestral durante 3 años, produjo un monto de S/. 7 200. 12. María presta un capital al 2% trimestral de interés simple y al cabo de 2 años se convierte en S/. 5 208. ¿A cuánto asciende el capital prestado? 13. Los capitales de dos personas suman S/. 27 000. Si la primera impone su capital al 4% y la segunda al 5% anual, obteniendo el mismo interés en el mismo tiempo, ¿cuánto es el valor del capital menor? 14. Dos préstamos de capital están impuestos a 30% anual y al 50%, respectivamente. La suma de dichos capitales es de S/. 28 000. Si el interés anual que produce el primero es al interés cuatrianual que produce el segundo como 5 es a 4, halla el capital menor. 15. Se presta un capital al 21% trianual. Si se hubiese impuesto a 2 años más, a la misma tasa, el interés hubiera sido 125% del anterior. ¿cuál fue el tiempo de imposición? 16. Indica el porcentaje de aumento final que sufre un producto si valía S/. 400 y le fueron agregados tres aumentos consecutivos del 10% a cada uno. 17. Se depositan S/. 4 000 el 1 de marzo y se retiran el 31 de julio. Si la razón era del 0,4 bimestral, calcula el interés y el monto. 18. Se tienen dos capitales. El primero colocado al 6% anual, ha producido S/. 9 000 de interés. El otro es mayor que el primero en S/. 20 000 y, colocado al 4% anual, produce S/. 10 000. Suponiendo que los dos se han impuesto durante el mismo tiempo, ¿cuál ha sido el tiempo común de imposición? 19. ¿Durante cuántos días estuvo colocado un capital de S/. 1 800? que produjo un interés de S/. 288 al 8% anual? 20. ¿A qué tasa mensual fue prestado un capital de S/. 1 800 que produjo interés de S/.60 en 90 días? Un mate… de risa  La curva le pregunta a la asíntota: “¿te toco?” y la asíntota le contesta a la curva:

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TEMA: INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

“No, pero puedes mirarme todo lo cerca que desees”. INTERÉS COMPUESTO Un capital está impuesto a interés compuesto cuando en cada unidad e tiempo, que generalmente es un año, los intereses producidos se acumulan al capital, de modo que en la siguiente unidad de tiempo, convertidos en capital (o sea capitalizados) ellos también producen intereses. Notación Monto : M = C + I (Capital + Intereses) Capital :C (Capital Impuesto) Tanto por ciento : R (Interés producido por 100 soles en un año) Tanto por uno : r = R/100 (Interés producido por 1 sol en un año) Tiempo :t (tiempo en que se impone el capital generalmente en años) Definición de la fórmula. Dado un capital C que se impone a interés compuesto al r por uno anual, durante un tiempo de t años, calcular el monto que se obtiene al final de ese tiempo. Deducción Si 1 sol en un año produce un interés de r soles, el monto que se obtiene al cabo de ese año será: (1 + r), luego C soles en un año produce de interés Cr soles y el monto que se obtiene será: C + Cr = C(1 + r). Este capital es el que deberá producir intereses durante el segundo año. Siguiendo el análisis anterior obtenemos el siguiente cuadro:Equation Section (Next) AÑO CAPITAL INTERÉS

MONTO (Final del año)

1er.

C

Cr

C + Cr = C(1 + r)

2do.

C(1+r)

C(1+r)r

C(1 + r) + C(1 + r)r = C(1 + r)(1 + r) = C(1 + r)2

3ro.

C(1+r)2

C(1+r)2r

C(1 + r)2 + C(1 + r)2r = C(1 + r)2(1 + r) = C(1 + r)3

4to.

C(1+r)3

C(1+r)3r

C(1 + r)3 + C(1 + r)3r = C(1 + r)3(1 + r) = C(1 + r)4

∙∙∙∙

∙∙∙∙

∙∙∙∙

t

C(1+r)tt - 1

C(1+r)t 1r

∙∙∙∙ C(1 +

r)t - 1

Se observa que el monto obtenido por un capital C al r por uno de interés compuesto durante t años es:

M  C (1  r )t

(1.1)

De donde:

C

M (1  r )

r

t

t

 M (1  r )t

(1.2)

M -1 C

(1.3)

M log C n log(1  r )

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(1.4)

+ C(1 +

r)t - 1r

= C(1 + r)t - 1(1 + r) = C(1 + r)t

Observaciones: 1. En la fórmula se tiene 4 valores distintos, par calcular uno de ellos se debe conocer los tres restantes 2. Cuando el tiempo (no es exacto) no se puede hallar por ecuación exponencial, anteriormente se utilizaban logaritmos, pero en la actualidad con la calculadora científica es posible y más precisa la realización de estos cálculos. 3. En la fórmula M = C(1 + r)t el exponente t y el tanto por uno r siempre van expresados en la misma unidad, según sea el periodo al fin del cual se capitalizan los intereses. Capitalización Exponente (t) Tanto por uno Anual t (en años) r (anual) Semestral 2t r/2 Trimestral 4t r/4 Mensual 12t r/12 Diaria 360t r/360 2

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13.

TEMA: INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

PROBLEMAS PROPUESTOS Un capital de S/. 10 000 se impuso al 6% de interés compuesto durante 3 años. Calcular los intereses producidos. Hallar el monto que se obtiene al imponer un capital de S/. 4 500 al 4% de interés compuesto, durante 11 años ¡Cuántos años estuvo impuesto al 5% un capital de S/. 3 200 000 que se convirtió en S/. 4 084 101? Hállese la solución sin recurrir a logaritmos. ¿En cuanto se convertirá S/. 25 000, impuestos al 4% anual durante 2 años, capitalizándose los intereses cada trimestre? Calcular el monto que produce un capital de S/. 8 000, impuestos al 6% de interés compuesto durante un tiempo de 3 años y 4 meses. ¿Qué tiempo ha de estar impuesto un capital, a interés compuesto al 8% para que aumente en su mitad?. Los intereses se capitalizan al fin de cada año. Datos : Log 2 = 0,30103 Log 3 = 0,47712 Log 1,08 = 0,03342 Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con capitalización trimestral, para dispones de S/. 20 000 al cabo de 10 años. ¿Cuántos meses deberá dejarse una póliza de acumulación de $ 2 000 que paga el 3% anual, para que se convierta en S/. 7 500? Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años: a. al 5% efectivo anual b. b. al 5% capitalizable mensualmente c. c. al 5% capitalizable trimestralmente d. al 5% capitalizable semestralmente Hallar el valor futuro de $ 20 000 depositados al 8%, capitalizable anualmente durante 10 años 4 meses ¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%, capitalizable trimestralmente? Hallar la tasa nominal convertible semestralmente, a la cual $ 10 000 se convierten en $ 12 500, en 5 años. ¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de $ 6 000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral, para que se conviertan en $ 10 000?

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14. ¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente? 15. Una inversionista ofreció comprar un pagará de $ 120 000 sin interés que vence dentro de 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual; calcular el precio ofrecido. 16. Hallar el VF a interés compuesto de $ 20 000 en 10 años, a la tasa del 5% de interés. Comparar el resultado con el monto compuesto al 5%, convertible mensualmente. ANUALIDADES Se llama anualidad a la cantidad fija que se entrega o impone todos los años para formar un capital (anualidad de capitalización) o para amortizar una deuda (anualidad de amortización). Anualidad de capitalización (Ac) Es la cantidad que se fija o impone al principio de cada año al r por uno de interés compuesto para formar un capital C, en un tiempo t. Notación Ac = cantidad que se impone al principio de cada año C = Capital para formar T = tiempo en el cual se desea formar el capital R = tanto por uno anual. Diagrama de Flujo C 0

Interés Efectivo 1 2 3

4

Ac Deducción Cuando t es el tiempo en el cual se desea formar el capital C colocando anualidades al principio de cada año, se tiene que: Anualidad

Impuesta durante Al fin del tiempo vale

La 1ra.

t años

Ac(1 + r)t

La 2da.

(t - 1) años

Ac(1 + r)t - 1

La 3ra.

(t - 2) años

Ac(1 + r)t - 2

∙∙∙∙∙ La penúltima 2 años

∙∙∙∙∙

∙∙∙∙∙ Ac(1 + r)2

La última 1 año Ac(1 + r)1 La suma de los montos producidos por las anualidades, debe ser igual al capital por formar C, entonces: 3

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TEMA: INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

C  Ac (1  r )t  Ac (1  r )t  1      Ac (1  r )2  Ac (1  r ) (1  r )t  1 C  Ac (1  r )[(1  r )t  1  (1  r )t  2      (1  r )1  1]  Ac (1  r )[ ] (1  r )  1 Desarrollo de un Cociente Notable De donde: Equation Section (Next)

Ac 

Cr (1  r )[(1  r )t  1]

Anualidad de Amortización (Aa) Es la cantidad que se fija o impone al final de cada año al r por uno de interés compuesto para amortizar una deuda C y los intereses que produce, a interés compuesto, en un tiempo t.

Deducción Cuando t es el tiempo en el cual se desea formar el capital C colocando anualidades al principio de cada año, se tiene que: Anualidad

Notación Ac = cantidad fija que se impone al final de cada año C = Capital prestado T = tiempo en el cual se desea cancelar el capital y sus intereses. R = tanto por uno anual. Diagrama de Flujo C 0

(2.1)

Impuesta durante

La 1ra.

(t - 1) años Aa(1 + r)t - 1

La 2da.

(t - 2) años Aa(1 + r)t - 2

La 3ra.

(t - 3) años Aa(1 + r)t - 3

∙∙∙∙∙

∙∙∙∙∙

La penúltima 1 años Interés Efectivo 1 2 3

Al fin del tiempo vale

∙∙∙∙∙ Aa(1 + r)1

La última 0 años Aa La suma de los montos producidos por las anualidades, debe ser igual al capital prestado más sus intereses, es decir: C(1 + r)t ,entonces:

4

Aa

C (1  r )t  Aa (1  r )t 1  Aa (1  r )t 2      Aa (1  r )  Aa (1  r )t  1 C (1  r )t  Aa [(1  r )t 1  (1  r )t 2      (1  r )  1]  Aa [ ] (1  r )  1 Desarrollo de un Cociente Notable De donde:Equation Section (Next)

Aa 

C  r (1  r )t (1  r )t  1

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Una persona el 1° de enero del 2 012.decide que para finales del año 2 014 debe tener un capital de S/. 7 282. ¿Qué anualidad a partir de ese día debe imponer al principio de cada año al 10% de interés compuesto? Rp: S/. 2 000 02. La asamblea de pobladores de un pueblo joven, acordó la construcción del local de una escuela presupuestada en S/.2 000 000, cuya cantidad la tomo a préstamo al 5%, amortizable en 20 años. Calcular la cantidad fija que debe imponer al final Prof: [email protected]

(3.1)

de cada año para cancelar el préstamo más sus intereses. Rp: S/. 160 478,87 03. Calcule el valor presente de 5 flujos anuales de 400 Unidades Monetarias. La tasa de descuento es una TEA del 10% Rp: 1 516,31 um 04. Un préstamo de 5 000 um debe amortizarse en el plazo de un año con cuotas uniformes mensuales, con una TNA de 36% capitalizable mensualmente. Calcule el importe de esa cuota constante. Rp: 502,31 um

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