Interes Compuesto LPG

C¿píxur*4 INTERES COMPUESTO

CJETIVO El objetivo de estecapítuloesenseñarel manejo de los factoresque intervienen en los cálculosde interéscompuestojunto con los análisismatemáticosque conducenal desarrollo de lasfórmulaspara el cálculode montos,tasasy tiempos. Al terminar el capítulo, seráposiblereconocetdefinir y calcularlos factoresque intervienen en el interés compuesto,calcularmontos,tasasnominales,tasasefectivasy tasasequivalentes.

¡NTRODUCC¡óN En los problemasde interéssimple,el capitalque generalos interesespermanececonstantetodo el tiempo de duracióndel préstamo.Si en cadaintervalo de tiempo convenido en una obligaciónse agreganlos interesesal capital,formando un monto sobreel cualsecalcularánlos interesesen el siguienteintervalo o periodb de tiempo,y asísucesivamente,se dice que los interesesse capitalizany que la operaciónfinancieraes a interéscompuesto. En una operaciónfinancieraa interéscompuesto,el capitalaumentaen cadafinal de periodo,por adición a los interesesvencidosa la tasaconvenida. Función del üempo Elcrecimientonatural esunavariaciónproporcionala la cantidad presenteen todo instante;tal esel casodel crecimientode los vegetales,las coloniasde bacterias,los grupos de animales,etc. Estoscrecimientossont'unciones continuasdel

MATEMÁNCASFINANCIERAS

tiempo. En Ia capitalizacióna interés compuesto, también se produce el crecimiento continuo; más adelante,en la sección4.9 se estudiaráel monto a interés compuesto como función conünuadel tiempo. En la sección1.12 seincluyó la gráficade los valoresdel monto a interéssimple y la función Y : 1 + Xl, donde los valoresde Y correspondenal monto de un capitálgí, comofunción continuadel tiempoX. Sin embargo,paralasaplicacionescomeriiales,el tiempo en el ejeX semide en periodoso fraccionesde periodosque no son inferioresa un día; estoimplica que el monto a interéssimple comercialesinat'uncióndiscretadel tiempo.En estascondiciones,lagráficade los valoresdel monto a interéssimple,para un capitalinicial de $1,no esla gráficade la función continuaY :'J, * Xique formiuna recta,sino la escalonadaque semuestraen la gráfica(obsérvese que,para fraccionesde periodo,la tasade interéssimple estasaproparcional; aéaseelproblema1 del capítulo1).

periodos

En el crecimientode un capitala interéscompuesto,los interesesganadosseagregan al capital en intervalosde tiempo que se estipulancontractualmente;bajo estas condiciones,el monto esfunción discretadel tiempo. Gráficadel monto de un capital de $1.000al interés del1,0%con capitalización anual. (Véase ejemplo4.1). Periodode capitalización Es el intervalo convenido en la obligación,para capitalizar los intereses. Thsade interés compuesto Es el interésfijado por periodo de capitalización. Valor futuro de un capital a interés compuestoo monto compuesto Es el valor del capitalfinal, o capitalacumulado, despuésde sucesivasadicionesde los intereses.

I N T E R E SC O M P U E S T O

Se conviene una deuda de $1.000a 5 años de plazo al interés del 10% con ffiE[ capitalizaciónanual. Estosignificaque al final de cadaaño los interesesdeben capitalizarse.A continuaciónse muestraen el cuadro de desarrollode la deuda, el capital acumulado al final de cadaperiodo,que en estecasoes anual.

n X periodos J

Número de periodos

1 ) 3 + i

Capitala principiode Lreriodo

1.000,00 1.100,00 1.210,00 1.331,00 7.161,70

Intereses en el periodo 100,00 110,00 121,00 133,10 746,47

Capitalmás interesesa final de periodo 1.100,00 1.210,00 1.331,00 1.464,L0 1,.61,0,51,

Si el préstamofuesea interéssimple,su monto al final de los 5 añossería:

= 1.000(1 S = C(1* rri)= 1.000 + 0,50): 1.000(1,50) [1 + 5(0,10)] (montoa interéssimple) S : $1.500 : (valorfinala interéscompuesto). F 1.610,51

{J

MONTO O VALOR FUTUROA INTERESCOMPUESTO Seael capitalP puestoal interési por periodode capitalizacíón(iesel tanto por ciento en el periodo). Calcularel r,alorfuturo F al final de rr periodosde capitalizaciín.

!fl

MArEMÁncASFrNANcrERAs

Capital a principio Periodos de periodo 1,P 2 3

P(l + 0 P(l + i)'

:.

:.n

n

P(1,+ i)*1

Intereses en el periodo Pi P(1,+ i)i P(l+ i)zi P(1 + i)3t

+ i)u

a

o sea

P(1.+ i)*1i

Capitalmás intereses a final de periodo

P+Pi=P(l +i) P(l + t) + P(1 + i)i = P(l+ i)z P(1,+ i)2+ P(1 + i)2i : P(l + i)3 P(1 + t)3+ P(1 + i)3i= P(l+ i)a

: P(1 +0*1 + P(1+i)*1i: P(1 + l),

F : p ( l + i)' F: P: i : (1 + t), :

(lea)

monto compuesto capital tanto por uno en el periodo factor de valor futuro (VF),o factor de interéscompuestoy correspondeal VF de 1 a interéscompuestoen n periodos.

Los valoresdel'factorde acumulación(1 * i)'pueden hallarseutilizando calculadora, logaritmoso mediante el desarrollodel teoremadel binomio. En la prácticase utilizan calculadoraso tablasfinancierasen las que los valoresde (1 + i)" estáncalculados hastacon diez decimales,para las tasasmás utilizadasy para valoresde n desde1 hasta150periodos. Al final del libro se han incluido, parcialmente,lastablasfinancieras Por estudiara lo largo de éste;ellaspermitirán comprendery practicarsu manejo. La tabla I tiene los valoresde (1 + i)" para valoresde r, desde 1/4% al8/o; para valoresde n desdet hasta50 periodos.Aproximadoshasta8 decimales. Un bancoofrecela tasadel10%paralosdepósitos encuentadeahorros.Calcular EIIEEI el montode un depósitode$1.000 al cabode 10añosutilizando:(a)calculadora; (b)logaritmos; (c)tablas. (a) Paraestecálculoseempleauna calculadora científicade bolsillo: Sila calculadora no tienefunciónXY,podríacalcularse por productossucesivos, así: = 1,4641; l,'l'(l'1)= 1,21;'1,,21(1,21) = (7,464'l) 2'1435888; = 1,4647 2,1.435888(1,21) 2,593744:(1,1),0 El mundo actualno sepuededar el lujo de desperdiciarel tiempo, y paraque hayaeficiencia exigedisponerde instrumentosadecuados paracadaactividad.

rNrERÉscoMPUESro Ea rE-

(b)

P(1+ 4, 1.000;l:0,10;n:1,0 + 0,10)10: 1.000(1 1.000(1,1)10: t.000(2,5937424) 92593,74

Utilizando logaritmos:

ooo.''"" r.s;: l;?Tll'..',T'"r;,1 : log 1.000:

10 log1,1 : 0,041393(10) logF F = 92.593,76 (c)

3,000000 : 0,413930 = 3,413930

Utilizando tablas:

En la tabla I sebuscala intersecciónde la columna del1,0%con la fila n = 10,v se encuentrael valor 2,59374246 = 1..000(2,59374246) F = 1.000(1+ 0,10)10 F = $2.593,74 Notación estándar Las matemáticas financieras, como todas las ciencias, evolucionan con el tiempo. Los avances tecnológicos y los nuevos sistemas operacionales exigen una revisión de sus conceptos, definiciones, estructura matemática de teoremas y modos de operar En matemáticas financieras se ha diseñado un modelo para representar Ia relación funcional entre los factores que intervienen en un problema financiero, este modelo es la notación estándar. X:Y(X/Y,i%o,n)

X es el valor que se debe calcular es el valor conocido i es la tasa de interés n es el número de periodos (los economistas lo definen como horizonte)

Con estanotaciónestánda4X : Y(X/Y,i%,n), selogran dos importantesventajas: 1. En el desarrollode un problemafinanciero,evita escribircontinuamentelasestructuras algebraicas,y sólo en las conclusiones,si es necesario,se indica la expresión algebraica. 2. La forma (ñY, i% , n) esla notaciónestándarde los factoresutilizadosen matemáticasfinancieras.Estaforma de expresarlos factoresconducea definicionesy expresionesmás generalesy simplesque las tradicionales. Una propiedad destacablede la notaciónestándares que admite inversa:

MATEMÁTICASFINANCIERAS

X:Y(ñY,i%,n)

DespejandoY

Y=X (XlY,i/",n)

Por definición

Y : X(y/X, i%, n)

Los análisismatemáticosconcluyenen un teoremaque seenunciapor medio de una relaciónfuncionaf estasrelacionesseexpresaránde doi formas:notaciónalgebraica y notaciónestándar.En el estudiode matemáticasfinancieras,para teneruna comprensión clara de los factoresque entran en juego en un problema,Ls necesariofamiliirizarse con los desarrollosalgebraicosy adquirir destrezaen su manejo; lo cual permitirá comprendercon facilidadlos temastratadosen los siguientescapítulos.Es indudable que en las actividadesprofesionales,la notaciónestándary una calculadorafinanciera serán sus óptimos recursospero, por lo pronto, esta es la etapa de aprendizajey es imprescindibleadquirir conocimientosen forma gradualy completa. para faciiitar su estudio,estematerial presentacuidadosamentelos análiéis,deJarrollosteóricosv secuenciasde los temasexpuestos. En notaciónestánda¡,la fórmula L9atienela forma:

F= P ( F l P , i % , n )

(1sb)

El factor de acumulaci6n (Ffp,i%,n)es el valor futuro que correspondeal valor presentede una unidad a la tasai% por periodo en n periodoi. Arí, poi ejemplo,en: F = 1.000 (VP , 6%,'1,5) sepide el valor futuro-F,conocidoel valor presenteP : 1.000,la tasade interés6% por periodo y el número de periodosn : 'J.5. El factor (F/p,6%,15)es el valor futuro F que correspondeal valor presentede una unidad acumuladoal 6% de interéspor periodo en 15periodos.

4.3

CONAPARACIóN ENTREINTERÉSSI'I/IPLEE INTERÉsCOMPUE5TO Porsu objetividad,la mejor forma de compararlos valoresfuturos esmediantela elaboración de lasgráficascorrespondientesa una mismatasa,parael interéssimpley el compuesto.,sea,por ejemplo,latasadel20%y un capitalde gt.ooo.Losmontos-. F : r.oob¡t + n(0,20)lpara el interéssimpley F : 1.000(1+ 0,20),para el interéscompuesto. Funcióndiscretn

a: valor futuro de $1.000al interéssimple delZ0%

rNrERÉscoMPUEsroEE

b : Valorfuturo de $1.000al interéscompuestodel20% Funcióncontinua

A línearectaF : 1.000[1+ n(0,2)] B función exponencialF : 1.000(1,2)'

El valor futuro a interéscompuestocreceen razón geométrica,y su gráficacorresponde a la de una función exponencial.Por su parte,el monto a interéssimple creceen progresiónaritmética,y su gráficaes una línea recta.

.I.4

TASANOMINAL, TASAEFECTIVA Y TASASEQUIVATENTES inteLa tasaconvenidapara una operaciónfinancieraessu fasanominal.Tasa efectiaade résesla que realmenteactúasobreel capitalde la operaciónfinanciera.La tasanominal puede ser igual o distinta de la tasa efectivay esto sólo depende de las condiciones convenidaspara la operación.Por ejemplo,si seprestaun capitalal8% con capitalización trimestral,el8% es la tasanominal anual,la tasaefectivaqueda expresadapor los interesesque correspondena $100en un año, en las condicionesdel préstamo.Parael monto, setiene entonces:

MATEMATICASFINANCIERAS

F = P(1.+il" n = 4; P = tO}; *

= //6 detasaefectivaen el periodo; i = 0,02

=fi0(1.,0824321) F = 100(1+0,02;= 100(1,02f F = $108.?A321 en un año o seatasa efectiva : 8,24321.% $100ganan $8,24321, Thsasequivalentes Son aquellasque, en condicionesdiferentes/producen la misma tasaefectivaanual. En el texto seutilizarán los siguientessímbolospara las diferentestasas,expresadas en tanto por ciento: i : efectivaanual j : nominal anual n¿= número de capitalizaciones en el año En Ia tabla I, las columnasse refieren a las tasasen el periodo de capitalización. Así,para 12% concapitalización trimestralse tiene m:4; j:12; j/,,: t'/,:3%.El símboloI en las tablasserefiereal tanto por uno, en el periodo. Relaciónentre'la tasanominal y efecüva El monto de 1 al I efectivoanual es 1 + i. El monto de L a la tasaj por uno con m capitalizaciones en el año es (1 + i/,,,)"';laecuación de equivalenciaentre estosdos montos es:

t + ¡= ( t * 1 ] " I

ml

¡=(t*a)'-, m.) \

¡ =( eP ,*n, r)- r Notación estándar \.' m )

(20b)

La fórmula 20a permite calcular la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal j capitalizablemvecesen el año. Despejandoj en la fórmula 20asetiene:

¡+t=(1* 1)'' m) \

INTERÉS COMPUESTO

=lt* J-l (1'+i)* m)

\

J_=(r+i)*_r ,m

¡=^l{t+;)*-r] Notación estándar i =*l(rf , ,o, +)- tl

(21a) (21b)

Introduciendo los nuevos símbolos,la fórmula del valor futuro compuestoen n aiios para la tasai capitalizable,??vecesen el año, queda así: Número de periodosde capitalizaciónen el año : mi número de años : n; número total de periodos : nm; tasaen el periodo - , - i/,,.

r =n(t*+]" m) \

_(_/_ i. ) N o t a c i ó n e s t á n d a rF = P [ F / P , L % , m n )

eZa) (22b)

Para expresar la tasa nominal y el número de periodos de capitalización, se utiliza el símboloJ,,,,gu€ indica la tasa nominal j con m capitalizaciones en el año. E@Calcularelvalorfuturodeuncapitalde$6.000ainteréscompuestoen8 años, a la tasadel 70% capitalizablesemestralmente.

Estándar

Algebraica

j = 10%;nt = 2; n = 8 P : $6.000; F : 6.000(F/P,s%,"t6) / n rn\2r8' = 6 . 0 0 0( 1 , + 0 , 0 5 ¡ 1 6 F = 6 . 0 0 0 t1+ : l : | 2) \

En la tabla I, para el 5% en 16 periodos se encuentrael valor 2,18287459

F : 6.000(2,1,82874s9) F = $L3.097,25

MATEMÁTICASFINANCIERAS

Solución con calculadora con función ¡v F = 6.000(1,05)16 (1'05)'6: 2'1'838746 F : 6.000(2,1.828746) F = 913.097,25

4.5

CÁtCULoDEtvAtoR FUTURouTIt¡zANDoTABtAs PARAn MAYORQUE50 En los problemassuele ocurrir que el número de periodos resulta mayor que s0, el máximo de la tablautilizada en estetexto. Afortunadamenteen estoscasossepueden aprovecharlas propiedadesde los productosde potencias;de estaforma el exponente del factor de acumulaciónse descomponeen sumandos,utilizando tantos sumandos de 50 unidadescomo seanecesarioy, así,se calculael factor de acumulaciónpor producto de factorescuyosvaloresfiguran en la tabla. (1+ 0.+v: (L+ i){1 + ¡v Calcularel valorfuturoal cabode 20añosparaunadeudade94.000, al9%de @lE!p interés,concapitalización bimensual. j = 0,09;m = 6; n = 20 P = 4.000; F = 4.000( 1+ 0;09)n''"= 4.000(1 + 0,015.)',,, \

6./

120=50+50+20 F = a.000(1 * 0,015)et*et'zt F = 4.000(1+ 0,015fl (1 + 0,015)il(1+ 0,01,5)t) En la tabla I se encuentranlos valoresde la columna de 1,/z%parc: (1 +

;\50 -

(1 + iro : 1,34685501 2,10524242;

E_

(2,10524242) 4.000 (2,10s24242) (1,34685501)

E-

s23.877,29

Con una calculadora que tenga la función r.v,se halla:

= 5,9693229 (l + 0,015)1'?0 : 23.37r,r' 4.000(5,9693229)

INTERÉS COMPUESiO

4,6

VATOR FUTURO CO'I,IPUESTOCON PERIODOS DE CAPITALIZACIóN FRACCIONARIOS Las condicionesconvenidas,en una operación financiera a interés compuesto,fijan el periodo de caPitalizacióncon el supuestode que sean periodos enteros.cuando se presentanfraccionesde periodos,comercialme^t'"," u.orümbra calcularel monto compuestopara los periodosenterosde capitalización, y el interéssimpler".rtitiru furu tu, fraccionesde periodos. Teóricamente,el interés simple -enlas fraccionesde periodo esmayor que el compuesto a la misma tasa,ya que significa capitalizarlos in'teresesen un periodo menor que el convenidoy, como consecuencia, la iasa efectivaresultamayo[ La tablaIII contienelos valoresde (1+i.¡i=(, t o, in,j) P, wees el valor futuro de L a interéscompuestopara fraccionesde periodo.\ una deudade$100.000 IEEEEEEI convenidaal6% concapitalización anualsepagaa los 2 años4 meses. La costumbreo reglacomerc¡nl indicacobrarlos intereses - compuestos -----rparalos 2 periodoscompletosy simples,paralos4 meses. P = 100.000; i = 0,06;periodoscompletos = 2; fracciónde periodos__ #=+ valorfuturoen 2 periodos= Fr = 100.000(1 : 100.000(1,1236) + 0,06)2 F, = $112'300 El montoF, ganaintereses simplesen los4 mesesy su valorfuturo es:

r:r rrz.aoofr.ro*i]=n2.360 (1,,02) ] F =$11,4.607,20 Desdeel punto de vista teórico,el monto debe calcularse a interéscompuestopara el total de periodos, incluida la fracción. P = 100.000; i = 0,06; = Z% " F= 100.000(1 +0,0q2N = 100.000(1+ 0,0q2.1+0,0q% TablasI y III (1+ 0,06)2= l,t216; (t + O,OO¡% = 1,,0t9612282 F = 100.000(1,'1.236)(1,07961282) F = $114.563,69 solución con calculadoraque te¡ga tecla de fracciones v función ¡v:

(1+0,0q2% =1,,145637 F : 100.000(1,14563n : fi4.563,69

FINANCIERAS MATEMATICAS

Si no tiene tecla de fracciones,la fracción se convierte en una expresión decimal. En el monto calculado para la fraccirin de periodo, los interesessimples siempre son mayores que el monto a interés compuesto; en el efemplo anterior, la diferencia es de $43,51. Las calculadorasfinancieras tienen función para calcular,a voluntad del operador; la fraccitin a interés simple o a interés compuesto, así: L=P(FlP,i%,n) P

l ( l ( 1 . ( X )i {=) ;¡ ' l ; r

2 , 3 . 1 3 .¡1ñ t t s

= 11'1.563,69 Baio el mandt) compuesto F - 100.000(F/P ,6'/,.,2,3333)

compuestolos2,3333anos B a j oe l m a n d o s i m p l e

- 1116()7,20 6i,:1, 2,3333) ¡r= l0().0(X)(I/P, conlpuestocn 2 ¡ños y simpleen la fraccitin0,3333años

Err lo que respect¿lal c.rlcukr del intcrós compuesto, comerci¿rlmentee'xistendi\ ¡ e r s o sm c t n e i o sp a r a e l t r a t . r m i e r r t od e l o s i n t e r e s c se n l a s f r a c c i o n e sd e P e r i o d o . E l l ;rlgunasoperacionesfin.rncieras,se señalan expresamL'lltel.rs fech¿rsdc capitarlizaci(trr elt el ¿rño,y todo dincrlr colocacilrentrc fechas devengarinterés simple, hast¿rIa fech¿r t:ntre icchas g.tll¿1illterés sirn¡rls, siguiente; todo clirrero retir¿rcl() inici.tl clel 1-re¡io¿r.) ¿ u t t ' r i o r .A s í : f e c h a t e r m i n a l d t ' l p e r i o c l o d e s d e ' I a conlprendido gl.(xx)el 2()de enerr¡en un¡ cuentadc ahornrsque ofrece Alguiende¡r1r5i¡.¡ IEEE¡EEE! e l 6 ' l l d e i n t c r é sc . i p i t a l i z a btl rei n r e s t r ¡ l m e n tpe. i r . re l . l l d e D l c l r Z r ) , 3d[e) j u n i o , 3 ( )d e s e p t i e n l C.rlcularel nrontoclueLrodráretir¿rel l5 de dicienlbredel .rt1osiguiente. bre v 31 de dicienrbre. Dic 15

F-ne 2()

I I

v

Ilne i"

1I

Sinrpl. Ivfar. 3t

Conrpuestoen 6 periodos ll Ir-rn 30

Simple

I

l

S"P 3t)

El capital gana interesessimples, drrr¡nte los 70 días que transcurren en el periodo comprendic1odesde el 20 de enero hasta el 31 de marzo, conr,i¡tiéndoseen un valor futuro F, que deveng.l interesescompuestos, durante los 6 periodos completos transcurridos entre el 1Qde abril y el 30 de septiembre del año si¡¡uiente,convirtiéndose así en un valor futurtt F. que gana interese: s i m p l e sh a s t a e l 1 5 d e d i c i e m b r e .

(1,01166667) r,^ =1 1000[1* 3 6 t ) l iilro,oot.]=1.000 , ^(l,L'o ^,.É' (7,01166667)(7,09344326) 1.000 F, - '=\ F,f1+ 1 ) I = n r1,09314326)=

I N I E R E SC O M P U E S T O

|

/a

I

Valor final F :

f r i I r ; ; n l { } , 0 6I,= f z ( t , o l 2 5 ) t-""1

Valor final F:

(1,012s) 1.000(1,01166667)(1,09344326)

f-

$1.120,03

r-

s ltlc.rlcs¡laraestoscascts las c:ostumbre E l l e c t o r d e b e consult¿rr

4.7

C Á L C U L O D E L A T A S A D E I N T E R E SC O M P U E S T O e l v a l o r p r t : s t ' n t c1 ) 'e l v a l o r E n l a f ó r m u l a d e t lm o n t o ¿ ri n t e r é sc t l m p u c s t t l ,s i s c c c l n o c e i ' d e v ¿ r l o r f u t u r o I r y e l t i e m p o r t , q u e d a d c t e r r m i n a d oc l l ¿ rt ¿ r b l 'Il ' [ : ] lc á l c u l c r E n l a p r á c t i c a ,c l c á l c u l oa p r o x i m a d o d e i s c h a c e u t i l i z a l r d o i l u s t r ¿ r n¿ l n b o sP r o s c s i ¡ ¡ u c , q u c m a t e m á t i c os e c t e c t u ac , ' , nl o g n i i t m o s . [ i n c l c i e m p l . cedimientos. gado tte $1(x)(xx) Al nrori¡ alguirn cleiaa su hija -de 7 arlosrlc ecl¿cl un le nEmEEEl cunrplalos lli si ell'ral cumplir cu¿tlclo lt st'¡n paraquc coll s,s rnte*srscompuestos ".ir"g.,-1,,, i n t e r i ' sc . n c a p i t . l i z a c i t iann u ¡ l g a . í r l a h e r e n c i ¿ ? i o , , ¿ o ¿f i j a c l ar e c i b e$ - l . 1 0 . 0 7 1 ¡Z0c, ¡ u ú ¡ rl - ll' los ( r ¡ ) c á l c u l ou t i l i z ¡ n t . l lo¡ t a b l ¿l . s t b u s c ¿e l r e s t ¿t t. r b l ae, n l a f i l aq u c c o r r e s p o n d e ¡ l t ' , á sp r t i x i m o sa l q u e r e s u l t ed c d c s p e i ¿ r n l ' r f i r r m u l ¿ v a l 0 r e sp, o r e x c e s yo p o r d e f c c t om d e l v a l o rf u t u r o : 't-

t ' j ( l+ i ) "; F - P ( l ' l I ' , i " l ' ,t t ) (XX); rr= l 1 1'= 1(X) f -- D0 071,20; l e { ) . ( } 7 1 , 2l {(}}{. } . { ) (I tr( i)rrr l

I l , i r ' | r ' l ' . " l i t ' l ;=1tt,'s t t t t T t 2 -l,99915140 que corresponde al 6'4 v Este valor se encuentra entre l,li9u29tt56que corresponde s u v a l t lraproximadose 6 h i { ' a l 6 1 / 2 " / , , . E l i n t e r é s b u s c a d o e s m a -), entonces, el Tasa instantánea Si en j,,,,,se supolle que nl crece sin límite (nr periodo de capitalizacicinós un intervalo de tiempo más pequeño que cualquier canticlad arbitrariame.nteescogida. [n estc c¿rso,se dice que la capitalizaciónes c