Interaccion de Los Rayos x y Gamma Con La Materia

INTERACCION DE LOS RAYOS X Y GAMMA CON LA MATERIA Por: Wilson López Física de las radiaciones Escuela de Física y Matemáticas

Martes, 02 de julio del 2013

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Introducción. Efecto Compton. Efecto Fotoeléctrico. Producción de pares. Dispersión coherente o Rayleigh. Interacciones fotonucleares. Coeficientes de atenuación total y de energía transferida y de energía absorbida

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INTERACCION DE LOS RAYOS X Y GAMMA CON LA MATERIA

1. INTRODUCCION: Hay cinco tipos de interacciones con la materia por rayos X y fotones de 𝜸 los cuales deben ser considerados in la física radiológica. 1.1. Efecto Compton. 1.2. Efecto fotoeléctrico. 1.3. Producción de pares. 1.4. Dispersión Rayleigh. 1.5. Interacciones fotonucleares. Las primera de las tres son las más representativos, como resultado de la transferencia de energía a los electrones, además que se imparte energía a la materia en muchas interacciones de la fuerza de Coulomb. La dispersión de Rayleigh es elástica; el fotón es redirigido a través de un pequeño ángulo, sin pérdida de energía. Interacciones fotonucleares sólo son significativas para las energías de fotones sobre unos pocos MeV, donde se puede crear problemas de protección de la radiación a través de la producción (𝜸, n) de neutrones y la consiguiente rad activación. La importancia del efecto Compton, efecto fotoeléctrico, y la producción de pares depende tanto de la energía cuántica de fotones (E𝜸 = h𝝂) y el número atómico Z el medio absorbente.

Esta grafica indica las regiones de Z y E𝜸 en el que cada interacción predomina. Las curvas muestran que dos tipos de interacciones son igualmente probables. Se verá que el efecto fotoeléctrico es dominante en la parte inferior las energías de fotones,

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el efecto Compton se hace cargo a energías medianas y producción de pares en las energías más altas. De bajo ̅ (por ejemplo, el carbón, el aire, el agua, humano tejido) la región de efecto Compton de dominancia es muy amplia, se extiende desde 20 keV a 30MeV. Este se estrecha gradualmente con el aumento de Z. Cada uno de los cinco tipos de interacciones se discutirá, identificando sus respectivas contribuciones a los coeficientes de atenuación (μ / p), la transferencia de energía y la absorción de energía . 2. EFECTO COMPTON En el año de 1923 la naturaleza corpuscular de la radiación recibió una confirmación dramática proveniente de los experimentos de Compton. Compton permitía que un haz de rayos X de longitud de onda λ perfectamente definida incidiera sobre un blanco de grafito. Los rayos X dispersados tienen picos de intensidad para dos longitudes de onda; una de las cuales es la misma longitud de onda incidente y la otra, λ’, es mayor por una cantidad Δλ. Este corrimiento, llamado corrimiento Compton, Δλ = λ’ — λ varía con el ángulo al que se observan los rayos X dispersados.

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Estos son los resultados experimentales de Compton. La línea continua vertical de la izquierda corresponde a la longitud de onda λ, y la de la derecha a λ'. Se muestran los resultados para cuatro distintos ángulos de dispersión (θ). Obsérvese que el corrimiento Compton Δλ = λ’ — λ, para θ = 90°, concuerda con la predicción teórica. 0.0243 A. Compton y Debye interpretaron su resultado experimental postulando que el haz de rayos X incidente no era una onda de frecuencia 𝝂 sino una colección de fotones cada uno de los cuales con energía E = h𝝂 y que estos fotones chocaban con los electrones libres del blanco dispersor de manera similar a la colisión entre bolas de billar. Según este punto de vista, los fotones de "retroceso" que emergen del blanco constituyen la radiación dispersada. Puesto que el fotón incidente transfiere algo de su energía al electrón con el cual choca, el fotón dispersado deberá tener una energía menor E’ por lo tanto deberá tener una frecuencia menor 𝝂’ = E'/h, lo cual implica una longitud de onda mayor λ’= c/𝝂'. Para una radiación x de frecuencia v la energía de un fotón en el haz incidente es:

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Donde es la longitud de onda de la radiación electromagnética que constituye al fotón. Considérese, como, una colisión entre un fotón y un electrón libre estacionario. En el diagrama de la izquierda se muestra un fotón de energía relativista E0 e impulso p0 que incide sobre un electrón estacionario de energía en reposo moc2. En el diagrama de la derecha el fotón ha sido dispersado a un ángulo y se mueve con energía relativista total E1 e impulso p1 mientras que el electrón retrocede a un ángulo con energía cinética K e impulso p. Compton aplicó la conservación del impulso y de la energía relativista total a este problema de colisiones. Y utilizó ecuaciones relativistas ya que el fotón siempre se mueve con velocidades relativistas y el electrón que retrocede también se mueve, en la mayoría de los casos, bajo estas circunstancias. Como resultado obtuvo.

̇ Para un electrón. 2.1. Dispersión Thomson. Una carga libre emite radiación en respuesta a una onda electromagnética incidente. La carga radia al adquirir una aceleración

inducida por la onda.

La partícula comienza a oscilar y por esta razón se puede aplicar el concepto de momento de dipolo al cálculo de la sección de dispersión de Thomson. Para todos los efectos vamos a considerar que la partícula corresponde a un electrón a menos que se especifique lo contrario.

Dispersión de la radiación polarizada por una partícula cargada.

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La electrodinámica clásica predice la emisión de radiación por una carga acelerada. El flujo de radiación instantánea viene dado por el vector de Poynting. Supongamos que un electrón se acelera instantáneamente con una aceleración a, entonces el flujo de energía radiada en un punto a distancia r cuyo vector de posición forma un ángulo 9 con a, viene dada por la expresión (ecuación de Larmor no relativista).

Siendo θ el ángulo entre la aceleración instantánea y la dirección de emisión de la radiación. Si sobre el electrón incide una onda electromagnética plana, consideraremos que la fuerza electromagnética que sufre es F=eE. 2.2. Klein – Nishina cortes seccionales para el efecto Compton. La dispersión Thomson por electrones libres no describe correctamente el comportamiento de la interacción Compton a energías elevadas:  La sección eficaz Thomson no depende de la energía del fotón incidente (mientras que la evidencia experimental indica una disminución de la sección eficaz con la energía).  existe una gran asimetría adelante-atrás en la interacción cuando alcanzamos energías comparables a la masa del electrón.

En 1928 Klein y Nishina aplicaron la ecuación de Dirac a la resolución del efecto Compton obteniendo la sección eficaz (K-N) diferencial.

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La sección eficaz hacia delante K-N no es una función de la energía del fotón incidente. Este resultado es coincidente con la teoría de Thomson.

3. EFECTO FOTOELECTRICO 3.1. Experimentos de Hertz y Thomson. Uno de los fenómenos importantes que condujo a la hipótesis de los fotones fue el efecto fotoeléctrico, también conocido como efecto fotoeléctrico. En 1887, Henry Hertz descubrió que iluminando con luz ultravioleta un electrodo negativo sometido a una tensión, se produce un arco eléctrico entre los electrodos. Hertz no le dio importancia al fenómeno debido a lo ocupado que estaba en la investigación de las ondas electromagnéticas. La esencia del fenómeno consiste en que al iluminar con luz ultravioleta un cuerpo metálico cargado negativamente este pierde parte de su carga. Si se ilumina un cuerpo cargado de forma positiva no se observa esta pérdida de carga y más aún, si se ilumina un cuerpo neutro, éste se carga positivamente. Las propiedades fotoeléctricas aparecen no sólo en los metales, estas están presentes también en los dieléctricos y semiconductores. La única condición necesaria, aunque no suficiente, es que exista suficiente absorción de luz. Por otro lado, no sólo ocurre bajo luz ultravioleta, en metales alcalinos (sodio, litio, etc.) aparece en luz visible. En superficies muy trabajadas se puede obtener efecto fotoeléctrico hasta con rayos infrarrojos. En 1897, Thomson descubre el electrón en el estudio de los rayos catódicos, y conjuntamente con Lenard mide la relación carga-masa de las partículas que se emiten en el efecto fotoeléctrico, quedando demostrado que estas son electrones. Debemos diferenciar el efecto fotoeléctrico externo del interno. En el externo, los electrones son liberados por la luz de la capa superficial de la sustancia, pasando al vacío o a otro medio. En el interno, los electrones se quedan dentro del cuerpo, a pesar de ser excitados.

Esquema de una instalación donde se obtiene el efecto fotoeléctrico.

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Los electrones que se desprenden del cátodo, se ven sometidos al potencial del ánodo, cerrando el circuito. Por medio de la velocidad con que se carga el electrómetro se puede determinar la corriente del circuito y la cantidad de fotoelectrones que alcanzan el ánodo en la unidad de tiempo. El fotoefecto depende del estado de la superficie del cátodo y del gas, si existe este en el espacio comprendido entre el ánodo y el cátodo, pues complica el fenómeno debido a las ionizaciones que pudieran aparecer. Se trata de llevar a cabo el experimento en un buen vacío y en superficies muy limpias. Se estudia el fotoefecto para una intensidad y frecuencia de la luz de incidencia, variando la tensión V entre el cátodo y el ánodo. Se construye la dependencia de la corriente I en función de V, que recibe el nombre de característica del fotoelemento. En el experimento se observa que al aumentar V se llega a una corriente máxima que recibe el nombre de corriente de saturación. Esta corriente se alcanza cuando todos los electrones liberados del cátodo por la luz alcanzan el ánodo. Un aumento posterior de V no aumenta la corriente I, ya que la cantidad de electrones arrancados en la unidad de tiempo no varía. La corriente de saturación depende proporcionalmente de la intensidad de la luz incidente para una frecuencia dada.

3.2. Explicación cuántica del fotoefecto. Fórmula de Einstein. Supongamos la luz está compuesta por partículas denominadas fotones, que poseen determinada energía e impulso y que viajan a la velocidad c. Según la hipótesis de Einstein la energía de los fotones viene dada por la fórmula de Planck:

¿Cuál será la cantidad de movimiento lineal de estas partículas? De la teoría relativista sabemos que se cumple la siguiente relación entre la energía E y la cantidad de movimiento lineal p: ( )

̅

Estamos considerando que durante el movimiento el estado interno de la partícula, y por tanto su masa m0 no varía. Por otro lado, la energía de una partícula satisface la ecuación relativista: √

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( )

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De acuerdo con la ecuación anterior, si el fotón posee masa m0 ≠ 0, su energía se torna infinita al viajar este con la velocidad de la luz c. La masa del fotón debe ser por lo tanto nula. Relación modular entre p y E:

Debemos observar que el signo negativo de la raíz desaparece si se considera que el vector ⃗ está dirigido en la dirección de propagación de la luz, tomada como positiva. Introduzcamos el vector de ondas ⃗⃗, dirigido en la dirección de propagación y de magnitud: p | ⃗⃗ | Se cumple entonces ⃗

⃗⃗

El proceso de interacción de la luz con el cátodo se puede considerar ahora como choques entre partículas, es decir, el fotoefecto surge en los choques inelásticos de los fotones con los electrones. En estos choques, el fotón es absorbido y su energía se trasmite a los electrones. De esta forma, los electrones adquiriendo la energía cinética de forma instantánea, y esta depende de la frecuencia de radiación incidente. La energía del fotón incidente puede consumirse al liberar un electrón enlazado a un átomo. Además, un electrón liberado puede interactuar con los átomos dentro del metal, cediendo energía en forma de calor. La máxima energía de los fotoelectrones se obtiene cuando el electrón es libre (no enlazado a un átomo en específico), y cuando no cede energía en forma de calor al salir del metal. En tal caso, se produce sólo perdida de energía al vencer las fuerzas que lo mantienen en el metal y que actúan en la superficie, energía conocida como trabajo de extracción (A). Supongamos se ha producido el choque del electrón con un solo fotón, entonces la energía cinética máxima se determina por la fórmula de Einstein:

El término de electrón “ libre en el metal no es del todo correcto, pues el electrón se encuentra como en una caja dentro de la cual existe un campo que lo retiene.

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El fotón interactúa con el electrón y con el metal como un cátodo. Por supuesto, como el cátodo tiene una masa que podemos considerar infinita, la energía del fotón es prácticamente absorbida por el electrón. Para un electrón realmente libre sólo puede ocurrir la dispersión, y éste no puede absorber o emitir un fotón. En efecto, tomemos un sistema de referencia donde el electrón se encuentra inicialmente en reposo. De la fórmula de Einstein:

Se desprenden 2 conclusiones importantes: 1) La energía cinética máxima depende linealmente de la frecuencia y no depende de la intensidad de la luz. La intensidad sólo influye en la cantidad de electrones que se producen en el fotoefecto. Notemos que la tangente del ángulo del gráfico: energía cinética vs frecuencia, coincide con la constante de Plank h; y constituye su construcción un método para determinar a h. 2) Existe una frontera en las frecuencias bajas , denominada frecuencia de corte, por debajo de la cual no se observa el fotoefecto. Si tomamos el trabajo de extracción , la fórmula de Einstein adopta la forma:

Sólo ocurre el fotoefecto para 𝝂 > 𝝂0, de lo contrario el miembro derecho de la ecuación se torna negativo, lo cual es imposible para la energía cinética.

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Para comprobar experimentalmente la validez de la fórmula de Einstein, es necesario determinar la energía cinética máxima de los electrones. Como se puede apreciar, el estudio se realiza para tensiones negativas entre el cátodo y el ánodo, potencial retardador, y para tensiones positivas, potencial acelerador. El hecho de que el campo eléctrico acelera los electrones en el sentido del aumento de la tensión V, conduce al aumento de la corriente I. Para un potencial negativo Vi, denominado potencial de interrupción, la corriente desaparece. Cuando el voltímetro muestra tensiones ligeramente superiores a Vi; los electrones comienzan a llegar al ánodo, fenómeno que sólo pueden realizar aquellos electrones que poseen la velocidad máxima.

Donde e denota al valor modular de la carga del electrón. La posición de V0 no depende de 𝝂: Para esta tensión incluso los electrones con velocidad cero llegan al ánodo, es decir, Vs depende sólo de la estación experimental.

4. PRODUCCION DE PARES. Además de los efectos fotoeléctrico y Compton existe otro proceso mediante el cual los fotones pierden su energía e interacción con la materia, este proceso es el llamado producción de pares. La producción de pares también es un ejemplo excelente de la conversión de energía radiante en energía de masa en reposo y energía cinética. En este proceso que se ilustra esquemáticamente un fotón de alta energía pierde toda su energía una colisión con un núcleo creando un electrón y un positrón (el par) y proporcionándoles energía cinética. Un positrón es una partícula que es idéntica en todas sus propiedades a un electrón, excepto en el signo de su qué es opuesta a la del electrón un positrón es un electrón cargado positivamente. En la producción de pares la energía que toma el retroceso del núcleo es despreciable debido a que es muy masivo y por lo tanto el balance de la energía relativista total en el proceso es simplemente:

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En esta expresión E- y E+ son las energías relativistas totales y K- y K+ son las energías cinéticas del electrón y positrón, respectivamente. Ambas partículas tienen la misma energía de masa en reposo m0c2. El positrón se produce con una energía cinética ligeramente mayor a la del electrón debido a que la interacción de Coulomb del par con el núcleo cargado positivamente produce una aceleración en el positrón y una desaceleración en el electrón. Al analizar este proceso se ignoran los detalles de la interacción misma, considerando solamente la situación antes y después de la interacción. Los principios que guían son la conservación de la energía relativista total, la conservación del impulso y la conservación de la carga. De estas leyes de conservación no es difícil demostrar que un fotón no puede simplemente desaparecer en el espacio vacío creando un par al momento que desaparece. La presencia de un núcleo masivo es necesaria para permitir que tanto la energía como el impulso se conserven en el proceso. La carga se conserva automáticamente ya que el fotón no tiene carga y el par de partículas creadas no tienen carga neta. El fenómeno de producción de pares es un fenómeno de alta energía, los fotones pertenecen a las regiones de rayos X cortos o rayos y en el espectro electromagnético, región en la cual las energías son iguales o mayores que 2m0c2. Como se verá en la siguiente sección, los resultados experimentales demuestran que la absorción de fotones en la interacción con la materia ocurre principalmente mediante el proceso fotoeléctrico para energías bajas, por el efecto Compton para energías medias y mediante producción de pares para energías altas.

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5. Dispersión coherente o Rayleigh. En general, cuando una onda electromagnética (como es la luz del sol) incide sobre un átomo aislado o una molécula pequeña, interacciona con una nube de electrones enlazados, comunicando energía al átomo. Esto hace que el nivel más bajo de energía del átomo (su estado base o natural) se ponga en vibración. Estos electrones oscilantes no permanecen en este estado mucho tiempo, sino que regresan a su estado base re irradiando una cierta parte de la energía que absorbieron inicialmente. Lord Rayleigh estudió la dependencia de la cantidad de luz reemitida con la longitud de onda de la luz incidente, determinando que la cantidad de luz reemitida es inversamente proporcional a la cuarta potencia de la longitud de onda de la luz incidente. La radiación producida por cada electrón atómico se suma a la de los otros para dar lugar a la onda electromagnética emergente.

)|2 Donde r0 es el radio clásico del electrón 2.8179 x 10-13 cm, y F (q, Z) es el llamado factor de forma atómico. La variable q corresponde al momento transferido al átomo y viene dado por: ( ) El factor de forma atómico F(q, Z) puede considerarse como la transformada de Fourier de la densidad electrónica del átomo. Para átomos esféricos obtenemos que:

∫

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El comportamiento asintótico de los factores de forma así definidos:

Como consecuencia del carácter elástico del proceso los fotones no pierden energía sino que sólo cambian de dirección sin producir ionización o excitación en los átomos. Esto supone que la dispersión Rayleigh no contribuye al kerma o a la dosis. La dependencia angular la dispersión Rayleigh depende de la energía y del número atómico del material. A altas energías los fotones se dispersan a ángulos generalmente muy bajos. Portante la dispersión coherente interfiere en las medidas de haz estrecho. El valor de su sección eficaz es típicamente un orden de magnitud menor que la de fotoeléctrico es importante a bajas energías.

A alta energía el factor de forma es proporcional a Z e inversamente proporcional a h𝝂, de los que se obtiene la dependencia.

Podemos entonces calcular la contribución del scattering coherente al coeficiente de atenuación másico, de modo que obtenemos que:

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El coeficiente de dispersión de Rayleigh para un grupo de partículas es el número de partículas por unidad de volumen N veces la sección transversal. (

)

Como en todos los efectos de onda, en la dispersión incoherente las potencias son sumadas aritméticamente, mientras que en la dispersión coherente (como sucede cuando las partículas están muy cerca unas de otras) los campos son sumados aritméticamente y la suma debe ser elevada al cuadrado, para obtener la potencia final. 6. INTERACCIONES FOTONUCLEARES Los procesos fotonucleares son aquellos en los que los núcleos absorben o emiten radiación electromagnética, es decir, procesos nucleares inducidos por la acción de la radiación o que producen ésta. En conclusión se trata de reacciones con un umbral que depende del átomo. Normalmente se denotan como (y,n) o bien (y,p). Los procesos de emisión de un protón contribuyen al kerma y a la dosis local. Los neutrones son mucho más penetrantes y producen reacciones nucleares al absorberse dando lugar a iones o fragmentos nucleares de alto LET y a activación de los materiales que iluminan. Son normalmente por tanto una componente indeseada de la radiación. Su sección eficaz es inferior al 5% de la sección eficaz de producción de pares.

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6.1. Absorción fotonuclear Las reacciones fotonucleares producen la emisión de uno o varios nucleones como consecuencia de la absorción de un fotón de alta energía. El efecto se conoce como la Resonancia Gigante de Dipolo. Todas estas reacciones tienen un umbral de energía (del orden de la energía de ligadura del nucleón) para la energía del fotón, y por tanto, por debajo de este umbral no son posibles. El umbral, la energía del fotón a la que es máxima la sección eficaz y el valor de la sección eficaz dependen del núcleo considerado.

6.2. Absorción fotonuclear Como proceso resonante, la sección eficaz de absorción fotonuclear tiene un pico a una energía característica. A primer orden se puede escribir como:

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El caso del tungsteno. Se muestra la sección eficaz de GDR (max. alrededor de 0.5 barn)

6.3. Reacciones fotonucleares En los aceleradores lineales médicos se producen neutrones en los elementos metálicos directamente iluminados por el haz de mega voltaje como el colimador primario, las mordazas o el colimador multiláminas. Muchos de estos elementos están hechos de tungsteno por lo que su umbral está alrededor de 8 MeV.

7. COEFICIENTE DE ATENUACION TOTAL, DE ENERGIA TRANSFERIDA Y DE ENERGIA ABSORVIDA. Supongamos que tenemos el siguiente experimento: Física de las radiaciones

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Un haz delgado de fotones monoenergético incide sobre un absorbente. Se ubica un detector a una distancia fija de la fuente y suficientemente lejos del absorbente como para que sólo el haz primario sea detectado (todos los fotones que interactúan con el absorbente no son detectados). Bajo estas condiciones, se cumple:

dN: número de fotones que son detectados. N: número de fotones incidentes. dx: espesor del absorbente.

 es la constante de proporcionalidad y el signo “–” indica que el número de fotones decrece a medida que aumenta el espesor del absorbente. μ es llamado Coeficiente de Atenuación. A partir de las secciones eficaces antes evaluadas podemos escribir el coeficiente másico de atenuación total para fotones en un medio material como:

Respectivamente las contribuciones de Compton, fotoeléctrico, creación de pares y dispersión Rayleigh. Esta última debido a que no produce cambio de energía en los fotones incidentes y los dispersa a bajo ángulo sólo es discernible en un geometría de haz ultra-estrecho. El coeficiente másico de transferencia de energía es la suma de los coeficientes de transferencia que ya hemos visto para cada interacción.

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[

̅

]

[

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅

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]

[

]

El coeficiente másico de absorción de energía se puede obtener a partir del

coeficiente másico de transferencia de energía considerando las pérdidas radiativas en el material:

Estas pérdidas son las producidas por procesos como bremsstrahlung o aniquilación en vuelo. Recordemos que para materiales con Z bajo y energías no muy altas el coeficiente de absorción y transferencia de energía son prácticamente iguales.

Bibliografía: 

ATTIX Fank H 1986 “Introduction to Radiological Physics and Radiation Dosimetry” John Wiley and Sons.

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SMITH.F.A, A primer of Radiation physics, World Scientific, 2000, New Jersey- United States.

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EISBERG, RESNICK, Física Cuántica, Edición 15, Limusa Wiley, 2000, México – México.

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AYALA Edy, Introducción a la física nuclear, Editorial independiente, EPN, 2009, Quito- Ecuador.

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