Inteligencia Artificial Fuzzy

INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL

Conjuntos, Lógica e Controle Fuzzy

Conjuntos, Lógica e Controle Fuzzy

Abordagem Difusa (Fuzzy)

O reconhecimento de padrões pela abordagem difusa pode ser  entendido como um processo pelo qual se buscam estruturas

nos dados e classificam-se essas estruturas de acordo com categorias tais que o grau de associação é maior entre as estruturas da mesma categoria e menor entre as categorias de estruturas diferentes [KLIR95].

Lógica Fuzzy – Uma Definição

Lógica fuzzy fornece um método para formalizar f ormalizar o raciocínio quando se lida com termos vagos. Computação tradicional exige precisão finita que nem sempre é possível em cenários do mundo real. Nem toda decisão é verdadeira ou falsa, ou como acontece com a lógica booleana 0 ou 1. Lógica fuzzy permite o uso de funções de pertinência, ou graus de veracidade e falsidades. Ou como com a lógica booleana, booleana, mas todos todos os números números no intervalo [0, 1] são respostas possiveis.

Breve História Lógica clássica de Aristóteles: Lei de bivalência "Toda proposição é Verdade ou Falsa (sem opções médias)" 

Jan Lukasiewicz propõem uma lógica de três valores: Verdade, Falso e Possíveis 

Lofti Zadeh, finalmente, publicou seu trabalho em lógica difusa, uma parte da teoria dos conjuntos que operava na faixa [0.0-1.0] 

Alguns campos relacionados

Evidence Theory

Knowledge Engineering

Fuzzy Logic & Fuzzy Set Theory

Control Theory

Pattern Recognition & Image Processing

Teoria dos Conjuntos Definir clássica: um elemento ou pertence ou não pertence a um conjuntos que foram definidos. Conjunto fuzzy: um elemento pertence parcialmente ou gradualmente para os conjuntos que foram definidos.

Teoria dos Conjuntos Conjuntos Fuzzy Vs. Conjuntos Clássicos A

 A‟

c a

•

a

•

b

•

Conjunto Clássico A a: é membro do conjunto A b: nao é membro de A

•

b

•

Conjunto Fuzzy A‟ a: membro certo de A‟ b: não é membro de A‟ c: parcialmente membro de A‟

Teoria dos Conjuntos Fuzzy Lógica Booleana

Lógica Fuzzy

Lógica Fuzzy vs Probabilidade  Ambos

operam sobre o mesmo intervalo numérico e, à primeira vista ambos têm valores semelhantes: 0,0 representando falso (ou não pertençe) e 1,0 representando verdadeiro. Em termos de probabilidade, a declaração de linguagem natural seria "há uma chance de 80% que Jane seja velha." 

Já na terminologia fuzzy seria: “ O grau de pertinência de Jane dentro do conjunto de pessoas de idosas é de 0,80”. 

Lógica fuzzy utiliza graus verdade como um modelo matemático da imprecisão do fenômeno enquanto a probabilidade é um modelo matemático da ignorância. 

Lógica Fuzzy vs Probabilidade - Diferenças •

Probabilidade representa qual o grau de certeza que de algo ter uma determinada propriedade.

•

Lógica fuzzy não lida com a probabilidade de algo ter uma determinada propriedade, mas com o grau em que ele tem tal propriedade

•

Teoria dos conjuntos fuzzy e a lógica fuzzy fornecem uma ferramenta matemática para lidar com este segundo tipo de incerteza

•

Apesar do debate associados, a sua utilidade como uma ferramenta poderosa para resolver problemas é bem estabelecida.

Conjuntos Fuzzy e Conjuntos Clássicos Teoria dos conjuntos clássica enumera todos os elementos usando A={a1,a2,a3,a4…,an} Um conjunto clássico é representado por função característica μ a(x)={ 1 se elemento x pertence ao conjunto A

0 se elemento x não pertence ao conjunto A

} Exemplo: Considere X espaço constituído por número natural 20anos

Alpha Cuts Alpha Cut A 

  x

X

 A

 x   

 

0

Alpha Cut Restrito A 

  x

 

 0.2



X  A  x   

 

 0.5

 

 0.8

 

1

Hedges

O hedge é um qualificador como "muito", "bastante", "pouco" ou "extremamente". • Quando o hedge é aplicado a um conjunto fuzzy isso cria um novo conjunto fuzzy. • Funções matemáticas são normalmente utilizados para aplicar o efeito de um hedge a uma MF • Por exemplo, "Muito" pode ser definido como: •

MVA (x) = (MA (x))2

Qualificadores & Hedges •

Exemplos de valores linguísticos com qualificadores e.g. muito alto, extremamente curto, etc.

• Hedges são termos qualificadores que modificam a forma

dos conjuntos fuzzy  –  e.g. muito, um tanto, quase, ligeiramente, extremamente,

etc.

Representando Hedges

Hedge 

Expressão Mathem atical  Expressi  on  Matemática

AUm little pouco

[ A( x )] 1.3

Slightly Levemente

[  A(x )] 1.7

Graphical RepresGráfica entation  Representação

Representando Hedges

Hedge 

Mathem atical  Expressão Expressi  on  Matemática

Very

Muito

[ A (x )] 2

Extremely Extremamente

[ A(x ) ] 3

Graphical Representa tion  Representação Gráfica

Representando Hedges  Hedge Hedge

Expressão Mathematical  Expression Matemática

Very Muitovery muito

[ A ( x )]4

Mais ouorMenos More less

 A ( x )

Graphical Representation Representação Gráfica

Representando Hedges  Hedge Hedge

Very Um very tanto  Hedge

Devery fatoless Very More or

More or less Exatamente

Expressão Mathematical  Expression Matemática 3 ( x )]4 [  A Mathematical

 Expression 4 ( x( x )]) [ A A

[ μ A(x A)](4 x≤α→∞ )

Graphical Representation Representação Gráfica

Graphical Representation

Hedges Linguísticos

Operar na função de pertinência (Variável Linguística) 1. Expansiva ("Menos", "Muito Pouco") 2. Restritivas ("Muito", "extremamente") 3. Reforçar / Enfraquecimento ("Really", "relativamente") Very Little  Less 

 

4

 

 x

 x

Very     x  

2

    Extremely

4

 x

 A

 x   A  x c

Variáveis Linguísticas e Hedges escreva uma função ou método chamado muito() que modifica o grau de pertinência e.g. duplo x = muito( alto( 185 ) ); Degreeof  Membership  1.0

Short

0.8

Short Tall Average

0.6 0.4 0.2

Very Shor t

0.0 150

160

Very VeryTall Tall Tall

170

180

190

200

210 Height cm 

Características das Funções de Pertinência A função de pertinência é uma função matemática que define o grau de pertinência de um elemento em um conjunto fuzzy. μ (x)  Núcleo: região caracterizada pela adesão plena no conjunto A ou seja μ(x) = 1. núcleo 1

Suporte: região caracterizada pela associação diferente de zero no conjunto A ou seja μ(x)> 0. 

0

x fronteira suporte

Fronteira: região caracterizada pela adesão parcial no conjunto A ou seja 0 ≤ μ(x) ≤ 1 

Regras Fuzzy •

Artigo de 1965 “Fuzzy Sets” (Lotfi Zadeh)  –  Aplicar termos de linguagem natural para um sistema formal de lógica matemática http://www.cs.berkeley.edu/~zadeh

•

Artigo de 1973 delineou uma nova abordagem para capturar o conhecimento humano e projetar sistemas especialistas utilizando regras fuzzy

Lógica Fuzzy

Oque é Lógica Fuzzy?

 Lógica

fuzzy é um superconjunto da lógica booleana (convencional) que lida com o conceito de verdade parcial, que são valores entre "completamente verdadeiro" e "completamente falsas".

 Lógica

fuzzy é multivalorada. Trata-se de graus de adesão e graus de verdade.

 Lógica

fuzzy utiliza o continuum de valores lógicos entre 0 (completamente falso) e 1 (totalmente verdadeiro).

Alguns Antecedentes da Lógica Fuzzy

Lofti Zadeh cunhou o termo "conjunto fuzzy" em 1965 e abriu um novo campo de pesquisa e aplicações Um conjunto fuzzy é uma classe com diferentes graus de adesão. Quase todas as classes mundo real são nebulosos! Exemplos de conjuntos fuzzy incluem: {'pessoas altas'}, {'bom dia'}, {"objeto redondo '} ... Se a altura de uma pessoa é de 1,88 metros é ele considerado "alto"? E se nós também sabemos que ele é um jogador da NBA?

Teoria da Lógica Fuzzy Lotfi Zadeh introduziu a teoria da Lógica Fuzzy em seu artigo, Fuzzy Sets (1965). Lógica Fuzzy fornece um método de redução, bem como explicando a complexidade do sistema

A Ideia de Conjuntos Fuzzy Conjuntos fuzzy são funções que mapeiam um valor, que pode ser um membro de um conjunto, para um número entre zero e um, indicando seu grau real de pertinência Um grau “0” significa que o valor não está no conjunto, e um grau “1” significa que o valor é totalmente pertinente ao conjunto.

Porque usar Lógica Fuzzy?



Lógica fuzzy é flexível.

Lógica

fuzzy é conceitualmente fácil de entender.



Lógica fuzzy é tolerante com dados imprecisos.



Lógica fuzzy é baseada em linguagem natural.

Porque usar Lógica Fuzzy?

FL pode modelar funções não-lineares de complexidade arbitrária FL pode ser construído em cima da experiência dos peritos FL pode ser misturado com técnicas de controle convencional

Lógica Fuzzy e Sistemas Fuzzy O termo lógica fuzzy é usado em dois sentidos:

Sentido estrito: A lógica fuzzy é um ramo da teoria dos conjuntos fuzzy, que trata (como sistemas lógicos fazer) com a representação e inferência de conhecimento. Lógica fuzzy, ao contrário de outros sistemas lógicos, lida com conhecimento impreciso ou incerto. Neste sentido estrito, e, talvez correta, lógica fuzzy é apenas um dos ramos da teoria dos conjuntos fuzzy. Sentido amplo: A lógica fuzzy como sinônimo de teoria dos conjuntos fuzzy.

Lógica Fuzzy

Alto ( μA = 1.0) Lógica Booleana Nao Alto ( μA = 0.0)

Lógica Fuzzy

Definitamente ALTO ( μA = 0.95) Realmente Nao ALTO ( μA = 0.30)

Operações em Lógica Fuzzy Operações Lógicas

Lógica Booleana

Lógica Nebulosa

Lógica Fuzzy Operadores Lógicos Fuzzy são usados para escrever as combinações entre as noções de lógica fuzzy (ou seja, para realizar cálculos em grau de pertinência) Zadeh operadores 1)Interseção: O operador lógico correspondente à interseção de conjuntos é o operador fuzzy “AND”.

μ(A AND B) = MIN(μA , μB) 2)União: O operador lógico correspondente à união de conjuntos é o operador fuzzy “OR”.

μ(A OR B) = MAX(μA , μB) 3)Negação: O operador lógico correspondente ao complemento de um conjunto é a negação.

μ(NOT A) = 1 - μA

Operações em Lógica Fuzzy Operadores Lógicos Fuzzy são usados para escrever as combinações entre as noções de lógica fuzzy (ou seja, para realizar cálculos em grau de pertinência) Zadeh operadores 1)Interseção: O operador lógico correspondente à interseção de conjuntos é o operador fuzzy “AND”.

μ(A AND B) = MIN(μA , μB) 2)União: O operador lógico correspondente à união de conjuntos é o operador fuzzy “OR”.

μ(A OR B) = MAX(μA , μB) 3)Negação: O operador lógico correspondente ao complemento de um conjunto é a negação.

μ(NOT A) = 1 - μA

Operações em Lógica Fuzzy

Variáveis lingüísticas Fuzzy

Variáveis linguísticas Fuzzy são usadas para representar qualidades abrangendo um espectro especial  Forno Industrial-Temp: {Congelante, Frio, Morno, Quente} 

Congelante

1

Frio

Morno

Quente

50

70

90

0 10

30

Temp. (C°)

110

Operações em Lógica Fuzzy Considere: A= {1/2 + .5/3 + .3/4 + .2/5} μA

B= {.5/2 + .7/3 + .2/4 + .4/5} μB

B

A Fuzzy set (A) Fuzzy set (B) Resulting operation of fuzzy sets

Operações em Lógica Fuzzy

INTERSEÇÃO (A ^ B) μ A ∩ B

μA∩ B = min (μA(x), μB(x))

Operações em Lógica Fuzzy

UNIÃO (A v B) μA U

μAUB = max (μA(x), μB(x))

Operações em Lógica Fuzzy

COMPLEMENTO (¬A) μA „

μ A‟ = 1-μA(x)

Inferências em Sistemas Nebulosos

Inferência Fuzzy em Sistemas Especialistas Fuzzify: Aplicar MF na entrada

Service Time Food Quality Ambiance

Modus Ponens

generalizado com operações de agregação especificas

Regras Fuzzy IF-THEN

Defuzzify: Método do Centroid, Maximum, ...

Tip Level

Inferência Fuzzy em Sistemas Especialistas

Inferência Fuzzy é o processo de formulação do mapeamento de uma dada entrada para uma saída utilizando a lógica fuzzy.

Processo de inferência fuzzy envolve funções de pertinência (MF), operações lógicas e Regras “If-Then”.

Processo de Inferência Fuzzy Para descrever o processo de inferência fuzzy, considere duas entradas, uma saída e um problema com duas regras de controle de válvula.

Processo de Inferência Fuzzy Funções de Pertinência

Processo de Inferência Fuzzy Passo 1: Fuzzificação de entrada Tomar as entradas e determinar o grau de pertinência a cada um dos conjuntos fuzzy apropriados através de funções de pertinência . Entrada é sempre um valor numérico definido limitado ao universo de discurso da variável de entrada. A saída é um grau de pertinência fuzzy no conjunto linguístico qualificado. Cada entrada é fuzzificada sobre todas as funções de qualificação de pertinência exigido pelas regras.

Processo de Inferência Fuzzy Passo 1: Fuzzificação de entrada

Processo de Inferência Fuzzy Passo 2: Aplicar operador fuzzy Se o antecedente de uma dada regra tem mais de uma parte, o operador fuzzy é aplicado para obter um número que representa o resultado do antecedente para aquela regra. A entrada para o operador fuzzy são dois ou mais valores de pertinencia das variáveis de entrada fuzzificadas. A saída é um valor de verdade única.

Processo de Inferência Fuzzy Passo 2: Aplicar operador fuzzy

Processo de Inferência Fuzzy Passo 3: Aplicar o Método de Implicação Primeiro deve-se determinar o peso da regra. Operação na qual o resultado do operador fuzzy é usado para determinar a conclusão da regra, é chamado de implicação. A entrada para o processo de implicação é um único número dado pelo antecedente. A saída do processo de implicação é um conjunto fuzzy.

Implicação é implementada para cada regra.

Processo de Inferência Fuzzy Passo 3: Aplicar o Método de Implicação

Processo de Inferência Fuzzy Passo 4: Agregar todas as saídas

Agregação é o processo pelo qual os conjuntos fuzzy que representam as saídas de cada regra são unidos ( operador  “OR”) em um único conjunto fuzzy. Agregação ocorre apenas uma vez para cada variável de saída. A entrada do processo de agregação é a lista das funções de saída truncada retornada pelo processo de implicação de cada regra. A saída do processo de agregação é um conjunto fuzzy para cada variável de saída.

Processo de Inferência Fuzzy Step 4 : Aggregate All Outputs

  r   o    t   a   r   e   p   o    R    O

IF “average pressure” AND “high temp.”

THEN

“valve average open”

Processo de Inferência Fuzzy Passo 5: Defuzzificação Passar dos valores “fuzzy" para os valores numéricos é conhecido como defuzzificação. A entrada para o processo de defuzzificação é um conjunto fuzzy. A saída é um único número. O método de defuzzificação mais popular é o cálculo do centroide, que retorna o centro da área sob a curva resultante do processo de implicação e agregação. Outros métodos são: meio, bissetriz de máxima (a média do valor máximo do conjunto de saída), a maior de, no máximo, e o menor de máxima.

Processo de Inferência Fuzzy Passo 5: Defuzzificação O cálculo do centroide (ou centro de gravidade  – CoG) de um conjunto fuzzy resultante composto por vários pares ( ,  μ( ) ) é feito somando se os produtos ( μ( )* ) para todo pertencente a e dividindo pela soma dos  μ( ) do conjunto. Ou seja:

Σ CoG = Σ

 μ(  μ(

)* )

Processo de Inferência Fuzzy

  r   o    t   a   r   e   p   o    R    O

Algumas Áreas de Aplicação



Subsistemas de Automóveis e outros veículos: usado para controlar  a velocidade dos veículos, em Anti Braking System.

Controladores de temperatura: ar

condicionado, refrigeradores



Cameras : auto-focagem



Eletrodomésticos: panelas de arroz, máquinas de lavar louça, máquinas lavar roupa e outros

Outros

sistemas de controle automatizado em outros setores da economia

Exemplo de Sistemas Nebulosos

Exemplo 1

Exemplo de Cálculo de Velocidade

O quão rápido eu posso dirigir se  18 C  25 % Nebulosidade ? °

Entradas: Nebulosidade: {Ensolarado, Nebulosidade Parcial, Nebuloso, Encoberto}

Temp: {Gelado, Frio, Morno, Quente} Gelado

1

Frio

Morno

Quente

Partly Cloudy

Sunny

1

Overcast

0 -12

-1

10

21

32

43

Temp. (C°)

0 0

20

40

60

Cloud Cover (%)

Saída:

Velocidade: {lento, rápido} 1

Rápido

Lento

0 0

40

80

120

160

80

100

Regras 

Se está ensolarado e (quente ou morno) Então dirija rápido Nebulosidade = Ensolarado  Temp = Quente ∨ Morno  Velocidade = Rápido



Se está nebuloso e frio Então dirija lento Nebulosidade = Nebuloso  Temp =Frio  Velocidade =Lento



Velocidade de condução é a combinação das saídas dessas regras ...

Fuzzificação Calcule Níveis de Associação de Entrada 

18 C

°

Frio = 0.4, Morno= 0.6, Quente = 0.0



1

Gelado

Frio

Morno

Quente

-1

10

21

32

0 -12

43

Temp. (C°)



25% Nebulosidade Ensolarado = 0.8, Nebuloso = 0.2 Partly Cloudy

Sunny

1

Overcast

0 0

20

40

60

Cloud Cover (%)

80

100

Calculando: •

Se está ensolarado e quente ou morno, dirija rápido Nebulosidade = Ensolarado  Temp = Quente ∨ Morno  Velocidade = Rápido 0.8  ( 0.6 ∨ 0.0 ) = 0.6  Rápido= 0.6

•

Se está nebuloso e frio, dirija lento Nebulosidade = Nebuloso  Temp = Frio  Velocidade =Lento 0.2  0.4 = 0.2  Lento= 0.2

Defuzzification Construção da Saída 

Velocidade é de 20% lenta 1

Lento

0 0

40

80

120

Velocidade (Km/h)

160

Defuzzification Construção da Saída 

O grau de pertinência da Velocidade é de 60% rápida Rápido

1

0 0

40

80

120

Velocidade (Km/h)

160

Defuzzification Construção da Saída 

1

Uniao (OR) dos dois conjuntos Rápido

Lento

1

Rápido

Lento

⇒

0 0

40

80

120

Velocidade (Km/h)

160

0 0

40

80

120

Velocidade (Km/h)

1

Defuzzification Construção da Saída 

Uniao (OR) dos dois conjuntos 1

Rápido

Lento

0 0



Encontrar centroide

40

80

120

Velocidade (Km/h)

Velocidade média ponderada = (0.2*40+0,2*60+0,3*80+0.6*120)/(1,3) = 89,2 km/h

Questão:

Como fazer o sistema escolher entre a velocidade calculada e a velocidade máxima permitida no trecho da rodovia onde se está dirigindo?

Exemplo 2

Exemplo de Aplicação II

“O problema da gorjeta”  VERSÃO BÁSICA: Se qualificássemos de 0 a 10 o serviço de um restaurante (10=excelente), de quanto deveria ser a gorjeta?

VERSÃO EXTENDIDA: Se qualificássemos de 0 a 10 o serviço e a comida (10=excelente), de quanto deveria ser a gorjeta?

Exemplo de Aplicação II “O problema da gorjeta” 

CASO GERAL Entrada

Um Exemplo Específico Saída

REGRAS Termos de Entrada (interpretados)

Termos de Atribuídos (atribuídos)

Serviço

Gorjeta

SE o serviço é ruím

ENTÃO a gorjeta é baixa

SE o serviço é bom

ENTÃO a gorjeta é média

SE o serviço é excelente

ENTÃO a gorjeta é alta

Serviço

Gorjeta

é interpretado como ruim, bom, excelente.

é atribuído como baixa, média, alta.

Exemplo de Aplicação II Passo 1: Fuzificação das entradas

Exemplo de Aplicação II Passo 2: Aplicar operadores nebulosos

Exemplo de Aplicação II Passo 3: Aplicar método de inferencia Antecedente 1. Entradas Nebulosas

IF o serviço é excelênte OR

2. Aplicar operador Or  (max)

Conseqüênte 3. Aplicar o Operador de inferência (min)

a comida é deliciosa THEN gorjeta = generosa

serviço = 3

comida = 8

Entrada 1

Entrada 2

Resultado da implicação

Passo 4: Agregar todas as saídas

1 IF o serviço está ruim OR a comida está rançosa THEN

gorjeta = baixa

2 IF o serviço está bom

THEN

gorjeta = média

3 IF serviço é excelente OR comisa é deliciosa serviço = 3

comida = 8

Entrada 1

Entrada 2

THEN

gorjeta = alta

Exemplo de Aplicação II Passo 5: Desfuzificação

5.  defuzificar a saída agregada (método da centróide)

Resultado da defuzificação

Exemplo 3

Exemplo de Aplicação III

“Sistema de Controle de temperatura de  Aquecedor de Ambientes” 

Desenvolver tópicos...

Exemplo de Aplicação III

Desenvolver  tópicos...

Exemplo de Aplicação III

Desenvolver...

Conclusões

Limitações 

Lógica fuzzy nem sempre é precisa. Os resultados são percebidos como uma suposição, por isso não podem ser  amplamente corretos.



Requer ajuste de funções de pertinência o que é difícil de estimar.



Controle por Lógica Fuzzy pode não ser bem dimensionado para problemas grandes ou complexos



Lógica fuzzy pode ser facilmente confundida com a teoria da probabilidade, e os termos usados como sinônimos. Enquanto eles são conceitos semelhantes, eles não dizem as mesmas coisas.

Conclusões 

Logica Fuzzy fornece a maneira de calcular com imprecisão e imprecisão.



Lógica Fuzzy pode ser usada para representar alguns tipos de perícia humanas.

O controle de estabilidade, confiabilidade, eficiência e durabilidade de lógica fuzzy a torna popular. 

A

velocidade e a complexidade de uma produção aplicação não seria possível sem sistemas como a lógica fuzzy.

Bibliografia Inteligência Artificial por Elaine Rich, Kelvin Knight e Shivashankar B Nair  First course in fuzzy logic, A / 1997 - ( Livro ) - Acervo 104188 NGUYEN, Hung T.; WALKER, E. (Elbert). A first course in fuzzy logic. Boca Raton: CRC, c1997 266p. Número de Chamada: 517.11 N576f