Integrali II Deo Zadaci

INTEGRALI ZADACI ( II DEO) – INTEGRACIJA POMOĆU SMENE Ako uvedemo smenu x  g (t ) onda je dx  g `(t )dt i početni integral

 f ( x)dx

postaje:

 f ( x)dx   f ( g (t ))  g `(t )dt Za početak evo jednog saveta: za smenu birati izraz čiji je izvod uz dx. Smena ustvari, prosto rečeno, znači da u datom integralu nešto (recimo  )izaberemo da je t. Od toga nadjemo izvod i t . to zamenimo u početni integral, koji je sada sve '' po t ''. `dx  dt Primeri:

1 2 xdx ? 2  12

x

Vidimo da uz dx imamo izraz 2x. Razmišljamo od čega je izvod 2x ? Znamo da je ( x 2 )` 2 x i to ćemo izabrati kao smenu. Još je pametnije da uzmemo ceo izraz x 2  12 da nam bude smena jer je izvod od konstante 0. [ ( x 2  12)` 2 x ] x 2  12  t 2 xdx dt  x 2  12  2 xdx  dt   t  ln t  C  kad rešimo integral 'po t' , onda vratimo smenu i dobijamo rešenje 'po x' = ln x 2  12  C

2 x 2 dx  x3  1  ?

I ovde slično razmišljamo, izvod od x3  1 je 3x 2 i to je pogodno za smenu, al šta ćemo sa onom trojkom? Ne brinite, znamo da konstanta uvek može da ide ispred integrala po pravilu

 A  f ( x)dx  A  f ( x)dx

koje smo objasnili u prethodnom delu ( integrali zadaci I deo). dt x3  1  t x 2 dx 1 3 3 1 dt 1  x3  1  3x 2 dx  dt  x 2 dx  dt   t  3  t  3 ln t  C  3 ln x  1  C 3 www.matematiranje.com

1

3

1

 x  5dx  ? Ovaj integral liči na tablični

1

 xdx  ln x  C

ali umesto x u imeniocu imamo x + 5. Zato je pametno baš taj izraz

uzeti za smenu : 1

 x  5dx 

x5 t 1   dt  ln t  C  ln x  5  C dx  dt t

Vezano za ovakve integrale možemo izvesti jedan zaključak:

1

 x  a dx  ln x  a  C

4 1

 ( x  5) dx  ? 3

Ovaj integral je sličan prethodnom, ali pazite jer u imeniocu je stepen izraza pa on ‘ne ide’ u ln. x5  t 1 1 t 31 1 1 3 dx   dt  t dt  C   C   C 3 2  ( x  5)3   dx  dt t 3  1 2t 2  ( x  5) 2

5

 sin

2

x  cos xdx  ?

Uz dx imamo cosx, a kako znamo da je izvod od (sinx)`=cosx , jasno je da će to i biti smena. sin x  t

t3 sin 3 x  sin x  cos xdx  cos xdx  dt   t dt  3  C  3  C 2

2

6

e

 x3

e

3

x

x 2 dx  ?

 x3  t

x 2 dx 

1 1 1 3 t dt    et dt   et  C   e x  C dt   e 3 3 3 3 3 x dx  dt  x dx  3 2

2

www.matematiranje.com

2

7

 ctgxdx  ? Ovde najpre moramo upotrebiti identitet ctgx  cos x

sin x  t

 ctgxdx  sin x dx  cos xdx  dt  

cos x , pa tek onda uzeti smenu: sin x

dt  ln t  C  ln sin x  C t

8 arctgy

 1 y

2

dy  ?

Vidite i sami da se bez znanja izvoda teško može razumeti metoda smene, zato vam savetujemo da prvo njih dobro obnovite pa tek onda da se probate sa integralima…( fajlovi izvodi – zadaci I,II III deo) arctgy  1  y 2 dy 

arctgy  t t2 (arctgy ) 2  tdt   C  C 1  dy dt  2 2 1 y2

9 x 2 dx  x6  4  ? Ovde uz dx imamo x 2 I znamo da je izvod od ( x3 )` 3x 2 a u imeniocu nemamo x3 . Zato ćemo mi malo prepraviti imenilac da bi dobili x3 … dt x dx x dx 1 dt 3  x6  4   ( x3 )2  4  3x 2 dx  dt  x 2 dx  dt   t 2  4  3  t 2  4 3 2

2

x3  t

Ovde ćemo upotrebiti tablični integral

a

2

1 1 t dx  arctg  C ali moramo najpre odrediti a. 2 a a t

1 dt 1 dt 1 1 t 1 x3 =  2    arctg  C  arctg  C 3 t  4 3  t 2  22 3 2 2 6 2 www.matematiranje.com

3

Kad smo već upotrebili ovaj tablični integral , ako se sećate, mi smo pomenuli da ne dozvoljavaju svi profesori da se on koristi. Pa da vidimo kako smo mi njega rešili metodom smene: 10

a

2

1 1 x dx  arctg  C TABLIČNI 2 x a a

Dokaz: x t 1 1 1 1 1 1 1 1 a dx  dx  dx   2 adt  2 a  dt  2  2  a2  x2  2 x2 x dx a [1  ( ) 2 ] a [1  t ] [1  t 2 ] a a [1  ( ) ]  dt  dx  adt a a a 1 1 1 1 x dt  arctgt  C  arctg  C 2  a [1  t ] a a a

11 1

 25  x

dx  ?

2

Ovde je dakle samo problem odrediti vrednost za a. 1

 25  x

dx  

2

1 dx  [ovde je dakle a =5]  5  x2 2

1 x arctg  C 5 5

Slična situacija je i sa : 12



1 a2  x2

dx  arcsin

x C a

TABLIČNI

Dokaz:





1 a x 2

2

dx  

1 x a [1  ( ) 2 ] a 2

x t a dx  dt  dx  adt a



dx  

1 x a  [1  ( ) 2 ] a 2

dx  

1 x a  [1  ( ) 2 ] a

dx 

1 a

1 x 1  ( )2 a

dx

1 1 1 1 1 x dt   dt  arcsin t  C  arcsin  C adt   a    2 2 2 a a 1 t a 1 t 1 t

www.matematiranje.com

4

13 1



15  x 2

dx  ?

Opet se traži vrednost za a. Ovde je malo teže jer 15 nije kvadrat nekog broja, ali mi upotrebimo trikče: 1



15  x 2

dx  

1 ( 15) 2  x 2

dx  [dakle a  15 pa je] = arcsin

x C 15

14

 sin axdx  ?

gde je a konstanta, to jest bilo koji broj.

ax  t

dt

 sin axdx  adx  dt  dx  dt   sin t  a a



1 1 1 sin tdt  (  cos t )  C   cos ax  C  a a a

Vezano za ovakve integrale , gde umesto x-sa imamo ax , možemo reći da se rade uvek sa smenom ax=t, odnosno 1 radimo ga kao tablični, a ispred integrala dodamo konstantu . a Na primer: 1

 cos axdx  a sin ax  C e

ax

dx 

1 ax e C a

itd.

15

 sin

2

xdx  ?

Ovde nam treba trigonometrijska formulica za sin 2 x ( pogledaj prethodni fajl : integrali zadaci I deo)

 sin

2

xdx  

1  cos 2 x 1 1 1 1 1 dx  [  1  dx   cos 2 xdx]  [ x  sin 2 x]  C  x  sin 2 x  C 2 2 2 2 2 4

Ovde smo u radu iskoristili zaključak iz prethodnog zadatka

1

 cos 2 xdx  2 sin 2 x . www.matematiranje.com

5

16

 cos

2

xdx  ? cos 2 x =

Opet mora trigonometrija…

1  cos 2 x 2

1  cos 2 x 1 dx   [1  cos 2 x]dx  2 2 1 1 1 1 1  [  1  dx   cos 2 xdx]  [ x  sin 2 x]  C  x  sin 2 x  C 2 2 2 2 4

 cos

2

xdx  

17

dx

 sin x  ? Ovaj zadatak možemo rešiti na više načina. Upotrebićemo trikče : dx

dx

sin x

sin x sin x dx   dx 2 1  cos 2 x x

 sin x   sin x  sin x   sin

Sada već imamo očiglednu smenu... cos x  t dt dt sin x  1  cos2 xdx   sin xdx  dt   1  t 2   t 2  1 sin xdx   dt

Ovo je tablični integral

x

2

dx 1 xa  ln  C pa je 2 a 2a x  a

dt 1 t 1 1 cos x  1  ln  C  ln C 2 cos x  1 1 2 t  1 Rešenje može ostati i ovakvo, ali ćemo ga mi namerno malo prepraviti jer se ovaj integral može elegantnije rešiti

t

2

preko trigonometrijskih smena, a tamo će rešenje izgledati baš kao... 1

1 cos x  1 cos x  1 2 ln  C  ln  C  ln 2 cos x  1 cos x  1

cos x  1 x  C  ln tg  C cos x  1 2 www.matematiranje.com

6

18



1 x dx  ? 1 x

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x dx   dx  ovde je trik izvršiti racionalizaciju   dx    1 x 1 x 1 x 1 x 1  x2 Sad ćemo ovaj integral rastaviti na dva...







1 x 1  x2



1 1  x2

dx  

x 1  x2

dx  prvi je tablični a drugi ćemo rešiti smenom( na stranu)

1  x2  t x 1 dx   ( 2 x)dx  dt   ( dt )  t  C   1  x 2  C 2 2 1 x 2 1 x x   dt 1  x2

Vratimo se u dosadašnje rešenje i imamo:



1 x 1 x

2



1 1 x

2

dx  

x 1 x

2

dx  arcsin x  ( 1  x 2 )  C  arcsin x  1  x 2  C

www.matematiranje.com

7