Integrales Triple y Dobles

1. La temperatura T en un lugar del hemisferio norte depende de la longitud  x , la latitud  y , y el tiempo t  , de modo que podemos escribir

 ( x , y ,t ) . Midamos el tiempo en horas desde el T =f  (

principio de enero. (a) ¿Cul es el signi!cado de las deri"adas parciales

 /∂ y ∂ T  /

 /∂ t  # ∂ T  /

y

(b) $onolulu tiene longitud que, alas

 /∂ x  , ∂ T  /

158 ªO  y la latitud

21 ªN  . %uponga

9:00 a . m .  del 1 de enero, el "iento esta soplando aire

caliente hacia el noroeste, de modo que el aire al oeste y al sur es caliente y el aire al norte y al este es mas fresco. ¿&s de esperar que

f  x ( 158,21,9 ) , f  y ( 158,21,9 )  y

f  t (158,21,9 ) sea positi"o o negati"o#

&'plique. Solución:  /∂ x : representa la tasa de variación de (a) ∂ T  /  y  y

t   y consideramos

T   cuando fjamos

T   como una unción de la única

variable  x , que describe cómo rápidamente la temperatura cambia cuando cambia de longitud, pero la latitud y el tiempo son constantes

 /∂ y : representa la tasa de variación de ∂ T  /  x  y

t   y

T   cuando fjamos

T   consideramos como una unción de

 y , que

describe la rapide! con la los cambios de temperatura temperatura cuando los cambios de latitud, pero la longitud y el tiempo son constantes ∂ T  /  /∂ t  : representa la tasa de variación de

 x  e  y   y consideramos

T   cuando nos fjamos

T   como una unción de

t  , que

describe cómo rápidamente los cambios de temperatura en el tiempo para una longitud y latitud constante 158,21, 9 ) : representa la tasa de cambio de la temperatura a (b) f  x ( 158,21,

longitud de "#$%&, latitud '"%, a las :** am, cuando sólo longitud var+a uesto que el aire es más cálido, al oeste, de los resultados, el aumento de longitud del este en un mayor aire temperatura, por lo 158,21,9 ) que esperar+amos que f  x ( 158,21,9 ) sea positiva

f  y ( 158,21,9) : representa la velocidad de cambio de la temperatura al mismo tiempo y ubicación cuando sólo latitud var+a uesto que el aire es más cálido en el sur y más resco -acia el norte, incrementar los resultados de latitud en una disminución de la temperatura del aire, por lo que esperar+amos que f  y ( 158,21,9 ) a ser negativo

f  t ( 158, 21,9 ) : representa la tasa de cambio de la temperatura al mismo tiempo y ubicación sólo cuando el tiempo var+a .ado que por lo general aumenta la temperatura del aire de la ma/ana a la tarde cuando el sol calienta, esperar+amos f  y ( 158,21,9 ) para ser positivo

. &l ndice enfriador del "iento como la temperatura real es

 I  es la temperatura percibida as

T   y la "elocidad del "iento es

de modo que podemos escribir

v ,

 I =f  ( T , v ) . La tabla de "alores

presentes en es un e'tracto de una tabla de "alores de

 I 

compilada por National Atmospheric and Oceanic Administration. (a)&stime los "alores los "alores f T  (12,20 )  y f v ( 12,20 ) .¿Cual es la interpretaci*n practica de estos "alores# T v 1+ + + -+ + /+ 0+ + 1/ 1 

1 12 

1/ 11  +

12  3

1 0 1 3

1 0 + 3/

1 / + 30

1 / 31 30

(b)&n general,¿ que se puede decir acerca de

+

1+ + 1 1 1    31 31 31 3 3 3 los signos ∂ I / ∂ T   y

∂ I / ∂ v # (c)¿Cual parece que es el "alor del siguiente limite# ∂ I  lim v →∞ ∂ v Solución:

2+

f  ( 12 + h , 20 ) −f  ( 12,20 )  , 0ue h

(a) or defnición tenemos , f T  (12,20 )=lim h→0

podemos apro1imar considerando

h =4 y

h =−4

y utili!ando los valores

dados en la tabla: 2uando h =4  tenemos:

f T  (12,20 ) ≈ 2uando

 f  ( 16,20 )− f  ( 12,20 ) 4

=

11−5 6 = =1.5 4 4

h =−4  tenemos:

f T  (12,20 ) ≈

 f  ( 8,20 ) −f  ( 12,20 )

−4

=

0− 5

−4

3n promedio de estos valores, se estima que

=

−5 =1.25 −4

f T  (12,20 ) viene -acer

apro1imadamente "45# or lo tanto, cuando la temperatura real es "'62 y la velocidad del viento es de '* 7m 8 -, la temperatura aparente se incrementa en alrededor de "45#62 por cada grado que la temperatura real se eleva

.el mismo modo, f  v ( 12,20 ) =lim h→ 0 apro1imar considerando

f  ( 12,20 + h )−f  ( 12,20)  que podemos h

h =10  y

h =−10  y utili!ando los valores dados

en la tabla: 2uando h =10  tenemos:

f  v ( 12,20 ) ≈ 2uando

 f  ( 12,30 ) − f  ( 12,20 ) 10

=

3 − 5 −2 =  =−0.2 10 10

h =−10  tenemos:

f  v ( 12,20 ) ≈

 f  ( 12,10 )− f  ( 12,20 )

−10

=

9 −5 4 = =−0.4 −10 −10

 3n promedio de estos valores, se estima f v ( 12,20 )  sea de apro1imadamente 9*4 or lo tanto, cuando la temperatura real es "'62 y la velocidad del viento es de '* 7m 8 -, la temperatura aparente disminuye apro1imadamente *,462 por cada 7m8- que aumenta la velocidad del viento

(b) ara una velocidad de viento

v  fjo, los valores del +ndice de

enriamiento del viento  I   aumento a medida que aumenta la temperatura

T   (mirar a una columna de

la tabla), por lo que

∂ I / ∂ T  es positivo

T  , los valores de  I   disminución (o se

ara una temperatura fja

mantienen constantes) como v aumenta (mirada en una fla de la tabla), por lo que ∂ I / ∂ v es negativo (o qui!á *)

T  , la unción de valores de

(c) ara valores fjos de

v  aumenta, por lo que la tasa de

constante (o casi constante) como

v  aumenta sto sugiere

cambio correspondiente es * o cerca de * que que

lim v →∞

f  ( T , v )  parecen ser

∂ I   =0  ∂v

-. La altura "elocidad

h  de las olas en el mar abierto depende de la

v  del "iento y del tiempo

t  que el "iento haya estado

soplando a esa "elocidad. &n la siguiente tabla se dan "alores de la funci*n

h =f  ( v ,t  )  en pies4 v t    5

10

15

20

30   40

50

10

2

2

2

2

2

2

2

15

4

4

5

5

5

5

5

20

5

7

8

8

9

9

9

30

9

13

16

17

18

19

19

40   14

21

25

28   31

33

33

50

19

29

36

40

45

48

50

60

24   37

47

54

62

67

69

 

(a)¿Cul es el signi!cado de las deri"adas parciales (b)&stime los "alores de

f  v ( 40,15 )  y

∂ h  ∂ h y ∂ v ∂t  #

f  t ( 40,15 ) .¿Cual es la

interpretaci*n practica de estos "alores # (c) ¿Cul parece ser el "alor del siguiente limite# ∂h lim t → ∞ ∂t  Solución: (a) ∂ h / ∂ v : representa la tasa de variación de y consideramos

h  cuando fjamos a

h  como una unción de la única variable

t 

v , que

describe cómo rápidamente la altura de la ola en mar abierto cambia cuando cambia la velocidad , pero el tiempo es constantes

∂ h / ∂ t  : representa la tasa de variación de consideramos

h  cuando fjamos a

h  como una unción de la única variable

v  y

t  , que describe

cómo rápidamente la altura de la ola en mar abierto cambia cuando cambia el tiempo, pero la velocidad es constantes f  ( 40 + h , 15 )− f  ( 40,15) ( ) = f  40,15 lim (b) or defnición tenemos ,  v  , 0ue h h→ 0 podemos apro1imar considerando

h =−10

h =10 y

y utili!ando los

valores dados en la tabla: 2uando h =10  tenemos:

f  v ( 40,15 ) ≈ 2uando

 f  ( 50,15 ) − f  ( 40,15 ) 10

=

36 −25 11 = =1.1 10 10

h =−10  tenemos:

f  v ( 40,15 ) ≈

 f  ( 30,15 ) − f  ( 40,15 )

−10

=

16 −25 −9 = =2.25 −10 −4

3n promedio de estos valores, se estima que

f v ( 40,15 ) viene -acer

apro1imadamente ";5# or lo tanto, cuando el tiempo que el viento soplo es "# - y la velocidad del viento es de