Integrales Multiples

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial.

Integración Múltiple de Ecuaciones Diferenciales MÓDULO DE CÁLCULO VECTORIAL. INTEGRANTES:

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Nivel y Paralelo: 4° “B” Electrónica

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Abigail Aldas Christian Guaman

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Docente: Ing. Freddy Robalino.

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2013  – FEBRERO/2014

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Título:

Integración Múltiple de Ecuaciones Diferenciales

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Carrera:

Electrónica y Comunicaciones.

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Área Académica:



Ciclo Académico y Paralelo: Cuarto “B” Electrónica

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Alumnos participantes:

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Módulo:

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Docente:

Análisis matemático.

Abigail Aldas Christian Guamán Cálculo Vectorial

Ing. Freddy Robalino.

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I.

INFORME DEL PROYECTO 1. PP 2. YY 2.1 Título Integración Múltiple Ecuaciones Diferenciales

2.2 Objetivos: Objetivo General: Conocer y entender entender las principales aplicaciones de las integrales múltiples.



Objetivos Específicos: 



Aprender el uso de las integrales dobles en aplicaciones aplicaciones geométricas geométricas de uso cotidiano Aprender el uso de las integrales triples en aplicaciones geométricas de uso cotidiano

2.3 Resumen Una integral múltiple  es un tipo de integral definida aplicada  aplicada a funciones funciones de de más de una variable real, por ejemplo,  ó .

        

Es importante destacar que no es posible calcular la función primitiva o antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.

2.4 Palabras clave: Integración parcial, Integración sucesiva

2.5 Introducción

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puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función   definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si  el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.

    

   

2.6 Marco teórico. Teniendo una expresión diferencial que contiene dos o mas variables independientes, la integramos considerando en primer lugar que una sola de ella varia, y que todas las otras son constantes. Entonces integramos el resultado dejando variar alguna otra de las variables y manteniendo las otras como constantes, y así sucesivamente. Tales Integrales se llaman dobles, triples,etc. Según el número de variables, y en general integrales múltiples. En la resolución de este problema no hay nada nuevo excepto que la constante de integración tiene una forma nueva. Ilustraremos esto por medio de ejemplos, supongamos que deseamos hallar u dado.

   Integrando con respecto a x, considerando y como constante, tenemos      En donde  representa la constante de integración. i ntegración. Pero, puesto que durante esta integración y se consideró como constante,  puede contener y. Indicaremos que  depende de y, reemplazando  por el símbolo . En consecuencia, la forma mas general de  es    . Ejemplo:

  ∬   Esto quiere decir que deseamos hallar , dado          Integrando en primer lugar con respecto a , considerando  como constante, obtenemos

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           ∫



Integrando ahora este resultado con respecto a , considerando  como constante, tenemos   unción En donde ) es una función arbitraria de , y

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Aplicaciones de las integrales dobles. Área de una figura plana. Volumen de un sólido en el espacio. Masa de una figura plana. Momentos estáticos de una figura plana. Centro de masa de una figura plana Momentos de Inercia de una figura plana      

Aplicaciones de las integrales triples.     

Volumen de un sólido en el espacio. Masa de un sólido en el espacio. Momentos estáticos de un sólido en el espacio. Centro de masa de un sólido en el espacio. Momentos de inercia de un sólido en el espacio. espacio.

2.7 Procedimiento 1. Chequear el número de variables independientes independientes en la ecuación. 2. Aplicar la definición definición de integral múltiple de ecuaciones ecuaciones diferenciales. diferenciales. 3. Integrar parcialmente con respecto a “x”. 4. Integrar parcialmente con respecto a “y”. 5. Se determina la solución de la ecuación diferencial.

a.

Resultados y Discusión.

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 √  ∫ ∫     √   ∫ ∫      √    ∫∫         √     ∫          ∫ ( √      )  

 

Interpretando geométricamente el resultado, hemos determinado el volumen Del solido de la forma cilíndrica (fig. 219) cuya base es OAB y limitado en su parte superior por el plano .



Ejemplo Integral doble Encuentre el centro de masa de un solido de densidad que esta acotado por el cilindro parabólico  y los planos .

  

        Entonces, si la densidad es   , la masa es     ∭  ∭    ∫ ∫ ∫           ∫ ∫   ∫       ∫  ∫ 

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b.

Conclusiones 

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

c.

Las integrales múltiples son ideales para resolver problemas con centros de masa en sólidos, ya que permite incluir sus tres variables que lo definen(x,y,z). Las integrales triples permiten calcular la resistencia que presenta un solido al querer adquirir una aceleración rotacional. Podemos integrar una ecuación diferencial cierto número de veces dependiendo del número de variables independientes que existan.

Referencias bibliográficas. Granville, William Anthony, Calculo Diferencial e Integral, México, Limusa, 2009