Integrales impropias

Punto Punto 5 Cuando Cuando se mecionan mecionan las integrale integraless impropias, impropias, se hace referencia referencia a integrale integraless cuyos limites de integraci´on on pueden ser ∞ o −∞ −∞,, o tambi´en en las l as integrales i ntegrales en las l as cuales la funci´on on en alguno de sus l´ımites de integraci´ on tiende a infinito, bajo on estas condiciones para el primer caso se presenta el inconveniente de que los m´ etodos etodos vistos en clase manejan l´ımites de valor finito, se puede resolver este inconveniente pasando la integral impropia a una integral con limites finitos, este procedimientos se realiza mediante la siguiente identidad: b

 

f (x) dx =

a

 

1

1

b

1

a

t2

f 

1 t

si ab > 0

  dt dt

Puede presentarse que a y b sean de signo contrario, cuando esto ocurre la integral se define de manera que se calcule en dos partes de esta manera: b

 

−C 

f (x)  dx  d x =

−∞

 

b

f (x) dx +

 

f (x)  dx  d x

−C 

−∞

El valor adecuado para C debe ser negativo y lo suficientemente grande para que la funci´on on se aprox aproxime ime a cero. cero. Un problema problema que se puede puede present presentar ar con este m´etodo, etodo, es que en algunas ocasiones o casiones la funci´on on nueva se puede aproximar a infinito en el nuevo l´ l´ımite de integraci´ on que anteriormente era ∞ o −∞ on −∞,, para resolver este inconveniente se puede aplicar una f´ormula ormula de integraci´on on abierta que no requiere los puntos extremos en el intervalo de integraci´on on y de esta manera solucionamos tambi´ en en la otra forma de una integral impropia mencionada al principio del documento. Las f´ ormulas ormulas de integraci´on on abierta de Newton-Cotes est´an an de descritas en la siguiente tabla: N◦ de

N◦ de

puntos puntos

segmen segmentos tos

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

F´ormula ormula (b − a) f (x1 ) (b − a)

(b

f (x1 )+f (x2 )

2 2f (x1 )−f (x2 )+2f (x3 ) ( b − a) 3 11f (x1 )+f (x2 )+f (x3 )+11f (x4 ) ( b − a) 24 11f (x1 )−14f (x2 )+26f (x3 )−14f (x4 )+11f (x5 ) (b − a) 20 611f (x1 )−453f (x2 )+562 f (x3 )+562f (x4 )−453f (x5 )+611f (x6 ) − a) 1440

(b − a)

460f (x1 )−954f (x2 )+2196f (x3 )−2459f (x4 )+2196f (x5 )−954f (x6 )+460f (x7 ) 945

Table able 1: Formula ormulass de integ integrac raci´ i´ on on abiert abiertaa de Newton Newton-Co -Cotes tes..   Informaci´  on  tomada del sitio Wolfram MathWorld: http://mathworld.wolfram.com/NewtonCotesFormulas.html 

1

N◦ de puntos

N◦ de segmentos

Error de truncamiento

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

 

7

8

 

1 3  3 h f  (ξ ) 3 3  h f  (ξ ) 4 28 5 (4) (ξ ) 90 h f  95 5 (4) 144 h f  (ξ ) 41 7 (6) (ξ ) 140 h f  5257 7 (6) 8640 h f  (ξ ) 3956 9 (8) (ξ ) 14175 h f 

Table 2: Errores de truncamiento de las f´ ormulas de integraci´ on abierta de Newton-Cotes.   Informaci´  on tomada del sitio Wolfram MathWorld: http://mathworld.wolfram.com/Newton-CotesFormulas.html 

Para detallar el procedimiento descrito anteriormente se planteara como ejemplo la siguiente integral ∞

1 dx 1 +  x2

  2

Aplicando el procedimiento de pasar la integral impropia a una integral con l´ımites finitos, obtenemos lo siguiente:

  0

1 2

1

1 . dt = 2 t 1 + t12

 

1 2

0

t2

1 dt +1

Ahora se aplicara una f´ormula de integraci´on abierta de Newton-Cotes con 4 segmentos dada por: b

 

f (x) dx = (b − a)

a

2f (x1 ) − f (x2 ) + 2 f (x3 ) 3

Donde: n  = cantidad de segmentos

h =

b−a n + 2

x1  =  a  + h, x2  =  a  + 2h y x3  =  a  + 3h,

Reemplazando los valores de la integral planteada en las ecuaciones anteriores obtenemos: h  = x1  =

  0

1 2

1 2

−0 1 = 4+2 10

1 2 3 , x2  = y x3  = , 12 12 12

1 2f ( 12 ) − f ( 16 ) + 2 f ( 14 ) 1 1 dt = (  − 0) 2 3 t2 + 1

2

  0

1 2

1 dt = t(2t + 1)

 1  (1 9862) − (0 9720) + (1 8823) .

.

2

.

3

= 0.4826

El valor exacto de la solucion es 0.4636 entonces el error aproximado ser´ıa: E t  =

|0.4636 − 0.48261| 100% = 3.92% 0.48261

Para finalizar, el script que se implementar´a usa la misma integral que se plante´o en este documento y se evaluara para distintos n´umeros de segmentos, con el fin de observar como var´ıa el error.

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