INTEGRALES IMPROPIAS

INTEGRALES IMPROPIAS INFORME ACADÉMICO

Autor(es): Altamirano Diaz Nelber  !uis Castillo "amuel Mantilla #ardales $ulio Morales Orillo Mi%uel  Diaz Diaz !orena Curso: Calculo II

Departamento de Ciencias

INTRODUCCIÓN A menudo resulta útil poder integrar funciones que no son acotadas, e incluso integrarlas sobre recintos no acotados. En el presente trabajo desarrollaremos diferentes técnicas para tratar tales tipos de integrales, que reciben el nombre de integrales impropias, y que conducen a problemas de convergencia similares a los de las series innitas. De hecho, la convergencia convergencia de integrales impropias impropias de funciones de una variable equivale a la convergencia de las series asociadas a estas integrales este es el criterio de la integral.

OBJETIVOS GENERALES: • • •

•

Incenti&ar en el estudiante la in&esti%aci'n  el %usto por ciencias eactas  A*anzar sus conocimientos impartidos en clase Aumentar su 'ptica +acia la matem,tica- al in&esti%ar sobre lo inmenso de las teor.as matem,ticas Comprender la importancia  la aplicaci'n de las teor.as matem,ticas

OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 

Evaluación de la integral impropia.  Determinar el área bajo la curva y hacer una examinación del límite.  Identificar si la integral impropia converge o diverge.  Interpretación de área.

METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN a metodología usada para hacer este informe monográfico se basa básicamente en la recopilación de información publicada en la !eb y la organi"ación seg#n una secuencia lógica y didáctica del tema desarrollado.  $l ser la teoría matemática amplia y tener varias ópticas bajo diversos especialistas% en el desarrollo de esta monografía la óptica más aplicativa% dejando de lado la parte axiomática y rigurosa &ue exige este tema como todo los demás informes científicos.

DESARROLLO DEL TEMA Integral i!r"!ia#

!as denominadas inte%rales impropias son una clase especial de inte%rales de*nidas (inte%rales de Riemann) en las /ue el inter&alo de inte%raci'n o la 0unci'n en el inte%rando o ambos presentan ciertas particularidades

ANTES $UE NADA%

1uede ser m,s con&eniente rede*nirla de la si%uiente 0orma:

!"i la funci#n f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la forma de una as$ntota vertical, o si c & ', entonces la integral

ASÍ $UE%# En al%unos casos- la inte%ral de a a c ni si/uiera est, de*nida- puesto /ue las inte%rales de la parte positi&a  ne%ati&a de 0() d entre a  c son ambas in*nitas- sin embar%o el l.mite puede eistir Estos casos corresponden a las llamadas 3inte%rales impropias3- es decir- a/uellas cuos &alores no interpretarse pueden de*nirse ecepto como l.mites 1uede como

Ésta es una 3&erdadera3 inte%ral impropia- cuo &alor est, dado por

"i los l$mites e(isten.

CUANDO LOS LÍMITES& EN LAS DEFINICIONES ANTERIORES& E'ISTEN& SE DICE $UE LA INTEGRAL ES CONVERGENTE& EN CASO CONTRARIO& SE DICE $UE LA INTEGRAL ES DIVERGENTE .

I'(E)*$E+ I,-*-I$+ DE -*I,E*$ E+-E/IE +on a&uellas cuyos limites de integración% inferior% superior o incluso ambos tienen un infinito. 0 son de tipo

EJEMPLOS

solución.

solución.

SEGUNDA ESPECIE +on del tipo1  ( )*e +,-. n" e/t0 1e+ini1a en el inter2al" 1e integra3i4n " en l"/ e-tre"/ 1e integra3i4n# Para !"1er 1eterinar /* 3ar03ter reali5a"/ la /ig*iente "!era3i4n ,/*!"ne"/ )*e el !*nt" 3"n+li3ti2" /e en3*entra en - 6 a.: Si el

 Ent"n3e/ /e 1i3e )*e la integral e/ 3"n2ergente " )*e la integral 3"n2erge# Se 1i3e )*e e/ 1i2ergente en 3*al)*ier "tr" 3a/"#

EJEMPLO •

solución.

TERCERA ESPECIE  S"n

e53la/ 1e l"/ 1"/ ti!"/ anteri"re/& e/ 1e3ir& )*e !re/entan *n in+init" en l"/ e-tre"/ 1e integra3i4n 7 la +*n3i4n /e 8a3e in+init" en *n" " 0/ !*nt"/ 1el inter2al" 1e integra3i4n#  P"r l" tant" 1e9ere"/ /eg*ir l"/ !a/"/ anteri"re/ !ara 1eterinar /* 3ar03ter& 7 tener en 3*enta )*e !ara )*e /ea 3"n2ergente tant" la integral 1e !riera e/!e3ie 3"" la 1e /eg*n1a e/!e3ie tienen )*e /er 3"n2ergente/& /i n"& en 3*al)*ier "tr" 3a/"& 1i2erge#

EJEMPLO

solución.

APLICACIONES DE INTEGRAL IMPROPIA A LA INGENIERÍA DE MINAS • Re/er2a

• !re/*!*e/t"

CONCLUSIONES En e/te !r"7e3t" a!ren1i"/ la e2al*a3i4n 1e la integral i!r"!ia& 1el i/" "1" 1eterinan1" el 0rea 9a" la 3*r2a 7 8a3er *na e-aina3i4n 1el l;ite&llegan1" a I1enti+i3ar /i la integral i!r"!ia 3"n2erge " 1i2erge#  En 3"n3l*/i"n Se tiene 3lar" la/ 1i2er/a/ e/3*ela/ ateati3a/& e/ 1e3ir la ateati3a a!li3a1a 7 la ate0ti3a !*ra& )*e 1e/arr"lla la te"r;a ateati3a 1e/1e el !*nt" 1e 2i/ta a-i"0ti3" 7 rig*r"/"# 