Integrales de Línea

 

3.3 INTEGRALES DE LINEA Y DE SUPERFICIE (33_CV_T_v13; 2005.w21.5; 5/8 C25)

1.  Integrales de línea

F(ri)

Sea F un campo vectorial Consideremos

r

∫ 

2

F d r   g

r

r1 2

=

∫ 

F   d r g

1

1

≡

n

lim

r2

∑ F (r ) d r n→ ∞ i

g

i

i 1 =

r

∫  F d r 2

Si F es una fuerza

g  

w  es

=

r

el trabajo (escalar) que hace la fuerza al moverse de r1 a

1

r2.

Para resolver la integral es necesario parametrizar el camino Ej. r2=

(1, 1)

c:

= x

r1=

 x  y

 

t  

  =

≤1  0 ≤ t   ≤ 

2

t 

  =

(0, 0)

Sea F  =  xy iˆ  + 3 x jˆ

1

r

∫  F d r ∫   (t  iˆ 2

 

g

r

=

3

0

1

3t  jˆ

 +

) ( iˆ

∫  (

)

t  jˆ dt =   t 

  + 2

 

g

1

0

3

2

t 4

)

t  dt =

+3  

4

1

1

3

t 

+ 2

=

4

+ 2  =

9 4

0

 

r =

 

 xiˆ  +  y jˆ   = t iˆ  + t   jˆ 2

(

)

d r   = dxiˆ  + dy jˆ   = dt iˆ  + 2tdt  jˆ   = iˆ  + 2t  jˆ dt 

 

w  

r

=

∫ 

2

r 1

F

g

d r   ⇒  

t 2

∫  t 

 f   f ((t ) dt 

1

Si t es el tiempo,

F

9

al parametrizar la integral se convierte en una integral

  =

4 d r g

dt 

con respecto al parámetro.

 es la potencia y

t 2

∫  t 

1

F

d r

dt  es dt 

el trabajo.

(

d r   = i   +  j dx

g

Si consideramos otro camino r2=

= x

(1, 1)

r = r

∫   

r

2

1

( ) 3 x jˆ ) ( iˆ  jˆ ) dx ∫  ( x

 xi   +  y j   =  x i   +  j ˆ

ˆ

ˆ

 

1

F   d r g

=

∫  ( x iˆ 2

0

 +

ˆ

)

ˆ

ˆ

1

g

 +

 =

0

 x

=

  r1=

(0, 0) 1

2

+

3

3

3 x

3 x +

2

) dx 1

2 0

3

11

3

1 =

+

2

=

6

 

Diferente camino ⇒  diferente resultado Si escogemos otra parametrización: x   =  y   = e

t 

 

F =   r

∫   

2

r

e2t iˆ  + 3et  jˆ

r =

ln1

F   d r g

∫  ( e

=

) d r e ( iˆ  jˆ) dt  3e  jˆ ) e ( iˆ  jˆ ) dx ∫  ( e (

et  iˆ  +  jˆ

iˆ  +

2 t 

−∞

1

( ln1 ≡ 0) ( e

−∞   < t   ≤ ln 1

t 

 =

 +

=

)

1

 +

ln1

t 

g

t 

 =

0

3t 

3e

+

−∞

2 t 

) dt 

1

e3t  =

+

3

 

3e2

t 

=

2

1 3

+

3

=

2

11 6

0

De hecho, se puede probar que la parametrización no cambia el resultado. (Escogemos la más fácil y no algo como

 x

  =

 y

 =

( )

 s sen en t

2

−1

)

0   ≤  t   ≤   sen 1 r

∫  F d r  no depende del 2

Sin embargo, nos podemos preguntar para que tipo de fuerzas

g

r

1

camino. ⇒ Para F conservativa

(esto es si

F

 =

∇φ   para

[Nos adelantamos y decimos que ∇φ   =

∂φ 

i +

alguna φ ))..

∂φ 

∂ x

 j

ˆ

ˆ

∂ y

 ∂φ  ∂φ    ∂φ  ∂φ  ∇φ  d    =  i   +  j   ( dxi   + dy j ) = dx  + dy   = d φφ   ∂ y ∂ x   ∂ x ∂ y   g

r

ˆ

ˆ

g

ˆ

ˆ

 

r

∫   

r

2

F d r g  

r

∫   ∇φ  d r

r

2

=

1

  g

=

r

∫  r

1

2

d φ  φ   

=

φ 

r

2 =

r

1

1

φ ( r2 ) − φ ( r1 )  es independiente del camino.] r

∫  F d r  no depende del 2

Definimos una fuerza conservativa conservativa como  como aquella para la cual

g

r

1

camino sino sólo de

r

1

&

r

2

.

 Nótese que si el camino es cerrado

∫ 

— Fg d r

  =

0

Puesto que

r

∫ 

F d r g  

C 

r

=

∫ 

2

r

F d r g

=

g

C 

1

1

∫ 

F d r

r

  = 

∫  r

C 1

g

r

 − ∫ 

1

=

r

F d r g

2

C 

1

2

C 

2

∫  F d r —∫ F d r 0 algunos caminos  caminos aunque F no sea (Nótese que — ∫ F d r 0  para algunos ⇒ ∫ 

C 2

F d r

1

2

C   

2

 

C 

Fg  d r +

1

 g

− C 2

g

=

  =

conservativa) r

2

g

 =

 

2.  Integrales de superficie Consideremos partículas con velocidad

v  x

&  densidad

de ρ  partículas/volumen.  partículas/volumen. v x

La densidad de corriente  j   ρ v   ρ v x i =

  =

ˆ

Flujo

 ≡

Φ

n  A

  =

 j x i

=

ˆ

  ρ v x A

=

 j A g

 =

 

masa tiempo

 que cruzó el área A  masa

 A  An n

área A área  A Si consideramos un área oblicua n

θ 

A

 A   =

cosθ 

n

 A

cos θ  θ  obtenemos el mismo resultado

Si B es el campo magnético B A  es el flujo magnético.  Notas sobre el vector área (A): 1)  Si la superficie es abierta se utiliza la regla de la mano derecha para definir un circuito en el borde del área y la normal.

 j A  ρ v x g

  =

cos

 

g

n

área A área  A;; A= An

2)  Si la superficie es cerrada la normal es hacia afuera.

Podemos pensar en una integral de un campo vectorial sobre una superficie S 

∫ 

wg  d  s

S 

 

lim

=

d si=dsini

n

∑ ( ) d  n→∞ w r

i

g

s

i

i

i 1 =

3

 

 z  Ejemplo: Si

w  =

ˆ  x 3 yiˆ  +  y 2 x jˆ  +  z k 

∫ 

w  g d  s

=

??

Cubo Unitario

 

Puesto que el cubo tiene seis caras, tendremos seis integrales  z  wg d  s =

 6 integrales

∫ 

 

s 1

: x

1  =

2

 

; d s1

∫ 

dydz iˆ

  =

wg 

s

12

12

d s1

∫  ∫ 

=

w x (1 2 ,  y ,  z ) dydz 

−1 2 −1 2

1

0 12

12

  s

2

1

: x

  =

 − ; d s2 2

 

s

1

: y 3

  =

 

; d s3

2

  =

( ) ∫ 

dydz   − iˆ

s

  =

∫ 

dxdz  jˆ

s

wg 

∫  ∫  ( )

=

−1 2

wg 

d s 2

 

12

3

 ydydz 

1 2 

−1 2

  =

( ) ∫ −

12

1 8

12

∫ 

 ydy

−1 2

 

dz 

 0

=

0

=

2

d s3

12

12

∫  ∫ 

=

−1 2 − 1 2

3

w y ( x , 1 2 ,  z ) dxdz  0

12

12 =

  s

4

1

: y

  =

 − ; d s4 2

 

s

: z  5

  =

 

s

6

: z 

  =

1 2

; d s5

  =

  =

s

∫ 

ˆ dxdy k 

wg 

s

∫  ∫  ( )

1 2

  =

wg 

d s 4

=

d s5

( ) ∫ 

− 1 2  dz = 0 \

 xdx

∫ 

12

0 12

12

∫  ∫ 

=

wg 

s

−1 2 − 1 2

d s6

w z  ( x ,  y , 1 2 ) dxdy  

12

=

6

w  g d  s = 0 +

(1 4) ∫ −

12

4

ˆ dxdy   − k 

∫ 

  =

−1 2   −1 2 1 2   xdxdz 

5

 − ; d s6

 

( ) ∫ 

dydz   − jˆ

12

2

∫  ∫ 

0+0+0+

Cubo Unitario

1

12

−1 2 −1 2

1

 

2

1 +

2

2

=

dxdy

1

1 =

1 2  A5

=

2

1 =

2

1

 

Ejemplo 2: campo eléctrico de una carga en el origen (en coordinadas esféricas) E

q  =

 

flujo que sale de la esfera Φ d s

 =

Φ

dser  ˆ

 =

∫ 

 =

E d s g

esfera

∫∫ 4

q

 

 ds

 

r 

 =

2

r  d Ω

q  =

4πε 0

 

Ω

∫∫ r  d Ω  

dseˆr  eˆr   

g

q =

4πε 0

: ángulo sólido

r 2 2

2

r  r 

πε 

 

Φ

ˆ e

2

4πε 0 r 

q

∫∫ d Ω  

=

4πε 0

q =

ε 

0

4

1

∫∫ r  ds 2