x2 dx =? x 21 x 21−1 Solutie : ∫ 2 dx= x−arctg x C x 1 2.∫ x 3x 2 1 dx=? x4 x3 3 2 Solutie : ∫ x dx∫ x dx∫ dx= xC 4 3 1 3. ∫ dx=? 2x1 Solutie : ˙ 2x1 Observam ca ln 1 4. ∫ dx=? 4x5 Solutie : 1.∫
1 Se rezolvă în mod similar cu cea de mai sus numai ca , vom pune în faţa integralei deoarece 4 1 =ln 4x5' 4x5 1 1 1 dx= ∫ ln 4x5 ' dx= ln 4x5℘ ∫ 4x5 4 4 2x dx =? 2x 23 Solutie : ! De obicei când întâlnim radicalul la numitor derivam si observam ce forma obtinem: Pentru cazul nostru observam ca : 4x 2x 2x 23' = = 2 2 2x 3 2x 2 3 ceea ce reprezinta exact valoarea din integrală ∫ 2x 2 dx=∫ 2x 23' dx = 2x 23℘ 2x 3 5.∫
6.
∫
x
5x 22
dx=?
Solutie :
10x 5x x 5x 22 5x 2' = = rezulta = ' 2 5x 22 5x 22 5x 22 5 x 1 1 ∫ 2 dx=5 ∫ 5x 22' dx=5 5x 22℘ 5x 2 2
8.∫ cos3x dx=? Solutie : Daca derivam , cos 3x ' =−3sin3x Dar sin 3x '=3cos 3x rezulta cos3x = Deci ∫ cos3x dx= 9. I =∫ x 2 2x
sin 3x ' 3
1 1 sin 3x ' dx= sin3x ℘ ∫ 3 3
1 dx , x0 ; I =? x
Solutie : I =∫ x 2 dx ∫ 2x dx∫
1 dx x
x3 x 2 ln −x℘ 3 ! Observatie : Rezultatul contine ln−x pentru că din ipoteză ştim că x0. I=
10. I =∫ x
1 dx , x 0 ; I =? x
Solutie : dx x 2 = ln x ℘ x 2 ! Observatie : În acest caz rezultatul conţine ln x pentru ca x 0. I =∫ x dx∫
x−3 dx , x0 ; I =? x5 Solutie : x 3 dx dx I =∫ 5 5 dx =∫ 4 3∫ 5 x x x x −4 −5 x 1 x 1 −4 −5 I =∫ x dx3 ∫ x dx= 3 ℘ −41 −51 1 3 I =− 3 − 4 ℘ 3x 4x
11.I=∫
12. I =∫ asin xbcos xdx ; a , b∈ℜ ; I =? Solutie : I =a ∫ sin x dxb ∫ cos x dx =−acos x bsin x ℘ 13. I =∫
cos 2x dx , x∈0 , ; I =? 2 2 2 sin x cos x
Solutie : Scriem cos 2x =cos 2 x −sin2 x şi obţinem: cos 2 x −sin2 x 1 1 I =∫ 2 dx=∫ − 2 dx 2 2 sin x cos x sin x cos x dx dx I =∫ 2 −∫ =−ctg x −tg x℘ sin x cos 2 x
14. I =∫
dx 1 1 , x∈− , ; I =? 2 2 2 1−4x
Solutie : dx 1 I =∫ 2 = arcsin 2x℘ 2 1 −2x 2 1 1 1 1 Verificare : arcsin 2x ' = 2= 2 2 2 2 2 1 −2x 1 −2x 2 15. I =∫
2 1 2 dx , x∈0, ; I =? 2 2 sin x cos x
Solutie : dx dx I =2 ∫ 2 ∫ =−2ctg xtg x ℘ sin x cos 2 x 16. I =∫
dx 4 4 , x∈− , ; I =? 2 3 3 16−9x
Solutie : I se mai pote scrie şi astfel : dx 1 3x I =∫ 2 = arcsin ℘ 2 4 4 −3x 3 1 3x 1 1 1 Verificare : arcsin ' = 3= 3 4 3 42 −3x 2 16−9x2 17. I =∫
dx , x ∈−2,2 ; I =? 4− x 2
Solutie : dx x I =∫ 2 2 =arcsin ℘ 2 2 −x 18. I =∫
dx ; I =? 2 x 4
Solutie : dx 1 x I =∫ 2 2 = artcg ℘ 2 2 x 2
19. I =∫
dx : I =? 4x 21
Solutie : dx 1 I =∫ = arctg 2x℘ 2 2 2x 1 2
20. I =∫ x 3 x4 x dx , x0 ; I =? Solutie : 1 2
1 3
1 4
I =∫ x dx∫ x dx∫ x dx 1
1
1
1
1
1
x2 x3 x4 I= 1 1 1 1 1 1 2 3 4 3 2
4 3
5 4
x x x ℘ 3 4 5 2 3 4 2 3 3 4 4 I = x3 x 4 x 5 ℘ 3 4 5 2 3 3 4 4 I = x x x x x x ℘ 3 4 5 I=
21.I=∫ Solutie : I =2 ∫ x
2
3 − 3 dx , x0 ; I =? x x
−
1 2
dx−3 ∫ x
−
1 3
dx= 2
1 − 1 2
x
1 − 1 2
−3
x
1 − 1 3
1 − 1 3
2 3
2 x 3x 1 2 I= − ℘ 2 3 93 I =4 x− x 2 ℘ 2 22. I =∫ 2 x e x dx , x ∈ℜ ; I =? Solutie : x 2 I =∫ 2 x dx∫ e x dx= e x ℘ ln2 ! Am observat că 2 x '=2 x ln2 , deci 2 x =
2 x ' ln2
23. I =∫ 2 e x −3 x dx , x∈ ℜ ; I =? Solutie : 3x I =2 ∫ e x dx−∫ 3x dx=2 e x − ℘ ln3 3 x ln3 Verificare : 2 e x −3 x '=2 e x − =2 e x −3 x ln3 24. I =∫
dx , x ∈−1,1; I =? x 2−1
Solutie : 1 1 x−1 x−1 I =∫ 2 dx= ln ℘=ln ℘ 2 x1 x1 x −1
∣ ∣
℘
25. I =∫
dx , x ∈ℜ ; I =? ex
Solutie : I =∫ e−x dx=−e −x ℘ 26. I =∫
x 2−12 dx , x0 ; I =? x4
Solutie : x 2−12=x 4 −2x 21 x4 x2 1 1 1 I =∫ 4 dx−2∫ 4 dx∫ 4 dx=∫ 1 dx−2∫ 2 dx∫ 4 dx x x x x x 2 1 I =∫ dx 2∫ x−2 dx∫ x −4 dx= x − 3 ℘ x 3x 27. I =∫
1− 1− x 2 dx , x ∈−1,1; I =? 1− x 2
Solutie : 1 1− x 2 dx=−∫ dx −∫ dx I =∫ − 1− x 2 1−x 2 x 2 −1 1− x 2 1 x−1 I =− ln −arcsin x ℘ 2 x1 Dar , ţinând cont că x∈−1,1 , I va fi : 1 x−1 I =− ln −arcsin x ℘ 2 x1
∣ ∣
3 x 24 28. I =∫ 2 dx , x∈ ℜ ; I =? x 4 Solutie : 2 3 x 4 dx dx I =∫ 2 2 dx =3∫ 2 ∫ 2 x 4 x 4 x 4 x 4 3 x I = arctg ln x x 24℘ 2 2 cos 2 x 29. I =∫ 4 dx , x ∈0, ; I =? 2 cos x Solutie : dx I =∫ =tg x℘ cos 2 x 30. I =∫
dx , x ∈ℜ ; I =? x 225
Solutie : dx I =∫ 2 2 =ln ∣x x 25 2 ∣℘ x 5
1
Integrarea prin părţi !Nu din părţi :D
∫
Formula: f ⋅g ' dx= f ⋅g−∫ f '⋅g dx
Să se calculeze integralele: 1. ∫ lnx dx , x0 Solutie : Alegem f x=ln x , g ' x =1. De aici : f ' x =1, g x =x Folosind formula integrării prin părţi , obţinem: ∫ x ln x dx=∫ x ' ln x dx=xln x −∫ x⋅1x dx= =xln x−x ℘ 2. ∫ xln x dx , x 0 Soltuie : Alegem f x=ln x , g ' x =x. În concluzie : 1 x2 f ' x = , g x= x 2 Aplicăm formula integrării prin părţi : x2 x2 1 1 xln x dx= ln x⋅ ' dx=ln x ⋅ − ∫ x 2⋅ dx= ∫ ∫ 2 2 2 x 2 x 1 = ln x − x 2℘ 2 4 3. ∫ ln 2 x dx , x0 Solutie : Notăm f x =ln 2 x , g ' x=1.Deci : 2 f ' x= ln x , g x =x x Găsim :∫ ln 2 x dx=∫ x ' ln x dx= xln 2 x−2∫ =xln2 x−2∫ ln x dx Folosind ex 1. obţinem: ∫ ln 2 x dx= xln2 x −2 xln x− x℘= = x ln 2 x −2ln x 2℘
1
ln x ⋅x dx= x
4. ∫ x 2 ln x dx , x0 Solutie : f x =ln x , g ' x= x 2 si avem : 1 x3 f ' x = , g x= x 3 Aplicând formula obţinem : x3 1 x3 1 x3 2 3 1 ∫ x ln x dx= 3 ' ln x−3 ∫ x ⋅ x dx= 3 ln x−3 ⋅ 3 ℘= x3 1 = ln x− x 3℘ 3 9 ln x dx , x0 x Solutie :
5. ∫
f x=ln x , g ' x =
1 x
1 f ' x = , g x =ln x x Aplicăm formula : ln x ∫ x dx=∫ ln x '⋅ln x dx=ln 2 x −∫ 1x ln x dx ln x ln x Observăm că ∫ dx=ln 2 x −∫ dx , deci x x ln x 2∫ dx=ln 2 x ℘ , în final : x ln x ∫ x dx=12 ln2 x ℘ 6. ∫ x 2 e x dx , x∈ℜ Solutie : f x=e x , g ' x =x 2 , atunci : 3 x x f ' x =e , g x = deci : 3, x3 x3 x 1 2 x x 3 x x e dx= '⋅e dx= e − ∫ x ⋅e dx ∫ ∫3 3 3 Observăm că integrala astfel obţinută este mult mai complicată 2, x Atunci vom alege f x =x g ' x=e cu x f ' x =2x , g x=e 2 x 2 x Deci : ∫ x e dx=∫ x e ' dx= = x 2 e x −2 ∫ xe x dx Aplicăm încă odată formula de integrare prin părţi şi alegem : f x= x , g ' x =e x astfel încât : f ' x =1, g x =e x si obţinem : ∫ xe x dx=∫ x e x ' dx=xe x−∫ e x⋅x ' dx = xe x−e x ℘ În final : ∫ x 2 e x dx=x 2 e x −2 xe x−e x ℘= =e x x 2−2 x 2℘
2
x
7. ∫ x −2x−1 e dx , x ∈ ℜ Solutie : Considerăm f x =x 2−2x−1 si g ' x=e x cu f ' x=2x−2 si g x=e x Aplicînd formula obţinem: ∫ x 2−2x−1 e x dx=∫ x 2−2x−1e x' dx = newkine = x 2 −2x−1e x −2∫ x−1 e x dx Luând separat : ∫ x−1e x dx=∫ xe x dx−∫ e x dx= conform ex6 = =xe x −e x ℘ În final : ∫ x 2−2x−1 e x dx= x 2−2x−1 e x−2xe x4 e x ℘= =e x x 2−4x3℘ 8. ∫ x sin x dx , x ∈ℜ Solutie : Notăm f x =x , g ' x =sin x si avem: f ' x=1, g x=−cos x Deci :∫ xsin x dx=∫ x −cos x' dx= =−xcos x −∫ −cos x dx= =−xcos x sin x℘ 2 9. ∫ x sin x dx , x ∈ℜ Solutie : f x =x 2 , g ' x=sin x f ' x =2x , g x =−cos x , integrala devine : ∫ x 2 sin x dx=∫ x 2 −cos x ' dx= =−x 2 cos x−2∫ −xcos x dx , notam 2 ∫ −xcos x dx= I ' I ' =2∫ xcos x dx=2int x sin x ' dx= =2xsin x −2 ∫ x sin x' dx= =2x sin x 2cos x ℘ Finalizare : ∫ x 2 sin x dx=−x 2 cos x2xsin x2cos x ℘ 2
10.∫ sin x dx , x ∈ℜ Solutie : Luăm f x=sin 2 x si g ' x=1 f ' x =2sin x cos x =sin 2x si g x =x ∫ sin 2 x dx=∫ x ' sin2 x dx=xsin2 x−∫ x⋅sin 2x dx notam 1 1 1 I ' = ∫ x cos 2x ' dx = xcos 2x− ∫ cos 2x dx= 2 2 2 1 1 1 = xcos 2x − sin 2x⋅ ℘ 2 2 2 Finalizare : cos 2x 1 − sin 2x℘ ∫ sin 2 x dx= x sin2 x −2 4
∫ x⋅sin 2x dx= I '
11. ∫ e x sin x dx , x ∈ℜ Solutie : Notăm f x=e x , g ' x =sin x f ' x=e x , g x=−cos x În concluzie : I =∫ e x sin x dx=∫ e x −cos x dx= =−e x cos x∫ e x cos x dx notam ∫ e x cos x dx=I ' I ' =∫ e x⋅sin x ' dx =e x sin x −∫ e x sin x dx dar ∫ e x sin x dx=I Deci : I =−e x cos xe x sin x −I ℘ 1 I = e x sin x −cos x ℘ 2 Obs: I'->citim I “prim” şi nu I “derivat” ->l-am ales ca pe o notaţie `` 12. ∫ x 2−9 dx , x3 Solutie : x −9⋰ x 2−9 x 2−9 I =∫ dx= am raţionalizat =∫ 2 dx= 1 x −9 x2 dx =∫ 2 dx −9 ∫ 2 unde I =I 1−I 2 x −9 x −9 2
I1
I2
I 2= 9⋅ln ∣x x −9∣ 2
Pentru a calcula I 1, notăm f x =x , g ' x= x 2−9 ' adică g ' x =2 f ' x=1 si g x = x 2−9 x2 În concluzie: ∫ 2 dx=∫ x⋅ x 2 −9' dx= x −9 2 =x x −9−∫ x 2−9 dx=x x 2−9−I , Dar I = I 1−I 2
x x = 2 unde : 2 2 x −9 x −9
I = x x 2 −9− I −9ln ∣x x 2 −9∣ 1 I = x x 2−9−9ln ∣x x 2 −9∣℘ 2 Formulă generală: ∫ x 2−a 2 dx=12 x x 2−a2−a 2 ln∣x x 2−a 2∣℘ , x ∈[−a , a ] , a0
13. I =∫ x 29 dx ; I =? Solutie : x 2−9 I =∫ 2 dx= x 9 x2 dx =∫ 2 dx 9∫ 2 x 9 x 9 I1
I2
I 2=9ln x x 9℘ Temă : Calculaţi I 1 folosind ex 12 1 Finalizare : I = x x 299ln x 29℘ 2 2 14. ∫ 9−x dx , x ∈−3,3 Solutie : 9− x 2 2 I =∫ 9− x dx=∫ dx= 9−x 2 2 1 x =9 ∫ dx − dx ∫ 2 2 9− x 9− x 2
I1
I2
x I 1 =9arcsin ℘ 3 x I 2=∫ x⋅ dx 9−x 2 Observăm că : 9−x 2 ' =−
x
9−x 2
Deci I 2 se poate calcula prin părţi astfel : I 2=∫ −x 9−x 2 ' dx =−x 9− x 2∫ 9− x 2 dx Finalizare : x I =I 1− I 2=9arcsin x 9−x 2− I 2 1 x 2 I = x 9− x 9 arcsin ℘ 2 3 Formulă generală: ∫ a 2− x 2 dx=12 x a 2− x 2a 2 arsin ax ℘ x∈[−a , a ] , a0 15. ∫ xe 2x dx , x∈ℜ Solutie : Notăm f x =x si g ' x =e 2x f ' x =1 si g x= I =∫ xe 2x dx=
1 2
∫ x e 2x ' dx=
1 1 xe 2x− ∫ e 2x dx= 2 2 1 1 1 1 = xe 2x− e 2x ℘ I = e 2x x− ℘ 2 4 2 2 1 2x−1 I = e 2x⋅ ℘ 2 2 =
1 2x e 2
16. ∫ x x 2−9 dx , x3 Solutie : x x 2−9 I =∫ x x 2−9 dx=∫ 2 dx= x −9 x3 x =∫ 2 dx −9∫ 2 dx unde I 2=9 x 2−9 x −9 x −9 I1
I2
Pentru a calcula I 1 notăm f x =x 2 si g ' x =
x
x 2−9
f ' x =2x si g x= x 2 −9 Deci : I 1 =∫ x 2 x 2−9 ' dx=x 2 x 2−9−2∫ x x 2−9 dx= =x 2 x 2−9−2 I I =I 1− I 2= x 2 x 2−9−2I−9 x 2−9 1 I = x 2−9 x 2−9℘ 3 x
17. ∫ e cos x dx , x∈ℜ Solutie : Notăm f x =cos x si g ' x=e x f ' x =−sin x si g x =e x Integrala devine : I =∫ e x cos x dx =∫ e x ' cos x dx= =e x cos x −∫ e x −sin x dx= =e x cos x ∫ e x sin x dx ' I
Pentru a calcula integrala I ' folosim iarăşi formula de integrare prin părţi astfel : f x =sin x si g ' x =e x f ' x =cos x si g x=e x x x x I '=∫ e ' sin x dx=e sin x−∫ e cos x dx În colncluzie : I =e x cos x e x sin x −I ex I = cos x sin x ℘ 2 18.∫ arcsin x dx , x ∈−1,1 Solutie : Alegem f x=arcsin x si g ' x =1 f ' x=
1
1−x 2
si g x=x
Asadar : I =∫ arcsin x dx =∫ x ' arcsin x dx = x = x⋅arcsin x −∫ dx 1−x 2 x Observăm că : 1−x 2 ' =− , în concluzie : 1− x 2 2 2 I =xarcsin x∫ 1−x ' dx= x codt arcsin x 1−x ℘
2
19. ∫ sin x dx , x∈ ℜ Solutie : Met I : Notăm f x =sin x si g ' x =sin x f ' x =cos x si g x=−cos x I =∫ sin x ⋅sin x dx=∫ sin x⋅−cos x dx= =−sin x cos x∫ cos2 x dx=
∫ cos 2 x dx=∫ dx −∫ sin 2 x dx I =−sin x cos x x−I ,
Dar cos 2 x =1−sin 2 x deci : Finalizare :
dar sin x cos x=
sin 2x 2
Deci : x 1 I = − sin 2x ℘ 2 4 Met II : Notăm f x =sin 2 x si g ' x=1 f ' x =2sin x cos x si g x =x I =∫ x ' sin 2 x dx=x⋅sin 2 x −∫ 2x⋅sin x cos x dx I =xsin 2 x −∫ x⋅sin 2x dx Folosim iarăşi formula de integrare prin părţi: 1 Notăm f x = x si g ' x=sin 2x f ' x=1 si g x=− cos 2x 2 1 1 1 x − cos 2x ' dx=− xcos 2x ∫ cos 2x dx 2 2 2 1 1 2 I =∫ x sin 2x dx=∫ ¿ I = x⋅sin x xcos 2x− sin 2x℘= 2 4 x 1 = 2sin 2 x cos 2x− sin 2x ℘ 2 4 2 Dar cos 2x=cos x−sin 2 x , dec : 2sin 2 x cos 2x=2sin 2 xcos 2 x −sin 2 x=1 Finalizare : x 1 I = − sin 2x℘ 2 4 20. ∫ arctg x dx , x ∈ ℜ Solutie : Folosim notaţia : f x =arctg x si g ' x =1 f ' x=
1 si g x= x 1x 2
Obţinem : I =∫ arctg x dx=∫ x ' arctg x dx=xarctg x−∫
x dx 1 x 2
Printr-o oarecare intuiţie matematică observăm că: 1 x [ ln1x 2 ]'= , aşadar : 2 2 1x 1 I =x⋅arctg x − ln 1x 2 ℘ 2
Exerciţii propuse Calculaţi integralele: 1. ∫ xe x dx , x∈ ℜ 2. ∫ x 2 e 3x dx , x∈ℜ 3. ∫ x−12 e x dx , x ∈ℜ 3
x
3. ∫ x −3x 2 e dx , x∈ ℜ 2
2x
5. ∫ x−2 e dx , x ∈ℜ 6. ∫ xcos x dx , x ∈ℜ 7. ∫ x 2 cos x dx , x∈ ℜ 8. ∫ cos 2 x dx , x ∈ℜ 2x
9. ∫ e sin x dx , x ∈ℜ 10. ∫ x 2 −25 dx , x 5 11. ∫ x 2 196 dx , x ∈ℜ 12. ∫ 36− x dx , x ∈−6,6 2
13. ∫ x x 2 − 25 dx , x5 x
14. ∫ e −cos x dx , x ∈ℜ 15. ∫ arccos x dx , x ∈−1,1 16. ∫ arcctg x dx , x∈ℜ
Metoda substituţiei Prima metodă de schimbare de varibilă Probleme rezolvate: Să se calculeze, folosind prima metodă de schimbare de variabilă, primitivele următoarelor funcţii: 2 x1 1. f x = 2 , x ∈ℜ x x7 Solutie : Notăm x 2 x7=t si derivăm : x 2 x7' dx=t ' dt 2 x1 dx=dt Integrala devine : 2 x 1 dt I =∫ 2 dx =∫ =ln∣t∣℘ t x x7 Revenind la substituţia făcută avem : I =ln x 2x 7℘ 2. f x =
2 x3 , x ∈ℜ 2 x 3 x1
Soltie : Notam x 23 x1=t şi derivăm : x 23 x 1 ' dx=t ' dt 2 x 3' dx=dt Integrala devine : 2x3 dt I =∫ 2 dx=∫ =ln ∣t∣℘ t x 3 x1 În final revenim la substituţie : I =ln x 23 x1℘ 3. f x =
4 x2 x ∈ℜ x 2 x2
Solutie : Notam : x 2 x2=t astfel : x 2 x2' =t ' dt 2 x1' dx=dt ∣⋅2 4 x2 dx=2 dt Integrala devine : 2 I =∫ dt =2ln ∣t∣℘=ln t 2 ℘ t Finalizare : I =2ln x 2 x22℘
4. f x=
sin x x∈ℜ 1cos 2 x
Solutie : Notam cos x =t , derivam : −sin x dx=dt sin x dx=−dt sin x −dt Deci : I =∫ dx=∫ = 2 1cos x 1t 2 =−arctg t ℘ Finalizare : I =−arctg cos x ℘ 5. f x =tg x , x ∈0,
2
Solutie : Notam cos x =t , derivam : −sin x dx=dt sin x dx=−dt sin x Obs : Am folosit faptul că tg x= astfel : cos x sin x −dt I =∫ tg x dx=∫ dx=∫ =−lnt ℘ cos x t Finalizare : I =−lncos x ℘ 6. f x =
1tg 2 x , x ∈0, tg x 2
Solutie : Met I : tg 2 x 1 1 dx I =∫ dx=∫ tg x dx=∫ ∫ tg x dx tg x tg x tg x tg x I1
cos x dx sin x Notam sin x =t cos x dx =dt dt I 1 =∫ =ln ∣t∣℘=lnsin x℘ t sin x I 2=∫ tg x dx=∫ dx cos x Penru a rezolva integrala I 2 vom proceda în mod analog Temă : Rezolvaţi integrala I 2 Trebuie să găsiţi că : I 2 =ln−cos x℘ Finalizare : I =ln sin x −ln cos x℘ sau sin x I =ln ℘=lntg x ℘ cos x I 1 =∫ ctg x dx=∫
I2
Met II : 1tg 2 x 1 I =∫ dx=∫ ⋅tg x ' dx tg x tg x Obs : Am intuit foarte simplu faptul că : 2 2 2 2 cos x sin x sin x cos x 1 1tg 2 x = 2 2 = 2 = 2 =tg x ' cos x cos x cos x cos x Aşadar şi prin urmare... Notam tg x=t tg x' dx=dt I =ln ∣t∣℘ Finalizare : I =ln tg x ℘ 4
7. f x =x 3 e x , x∈ ℜ Solutie : Notam x 3 e x =t derivând constatăm: dt 4 ⋅x3 e x =dt x 3 e x dx= 4 În aceste circumstanţe... 1 dt 1 I =∫ x 3 e x dx= ∫ = ln∣t∣℘ 4 t 4 1 the end... I = lne x ℘ 4 4
4
4
4
4
8. f x =sin x ⋅cos 2 x , x∈ℜ Solutie : Folosim notaţia cos x =t −sin x dx=dt Utilizăm formula de schimbare de variabilă : t3 I =∫ sin x cos2 x dx=∫ −t 2 dt=− ℘ 3 Revenim la schimbarea de variabilă : cos3 x I =− ℘ 3 9. f x =sin3 x ⋅cos3 x , x∈ℜ Solutie : Notam cos x=t −sin x dx=dt I =∫ sin3 x ⋅cos3 x dx=∫ sin 2 x⋅sin x ⋅cos3 x dx= =∫ 1−cos2 x⋅sin x ⋅cos3 x dx=−∫ 1−t 2 ⋅t 3 dt= =∫ t 5−t 3 dt=∫ t 5 dt−∫ t 3 dt= t6 t 4 = − ℘ 6 4 Finalizare : cos 6 x cos 4 x I= − ℘ 6 4
10. f x =tg xtg 3 x , x ∈−
, 2 2
Solutie : Amintim din ex 6 : 1 sin 2 x cos 2 x cos 2 x sin 2 x tg x'= 2 = 2 = 2 2 =1tg 2 x cos x cos x cos x cos x 2 Notam tg x=t 1tg xdx=dt I =∫ tg x tg 3 x dx=∫ tg x 1tg 2 x dx= t2 =∫ t dt= ℘ 2 2 tg x 1 I= ℘= tg 2 x℘ 2 2 !Obs:Pentru a beneficia de un punctaj maxim în cazul rezolvării unui exerciţiu matematic, trebuie să aducem soluţia sub forma cea mai simplă. 11. f x=
x , x∈0 ; 1 1−x 3
Solutie : 2 Notăm x x=t ∣2 x x = x 3=t 2 Derivăm , x x ' dx=dt x 3⋅x Dar x x ' = x = , deci : 2 x 2x 3 2 x dx =dt x⋅dx= dt 2 3 x integrala I =∫ dx devine 1−x 3 2 dt I '=∫ = 3 1−t 2 2 = arcsin t℘ 3 Revenind la schimbare de variabilă făcută obţinem: 2 I = arcsin x x ℘ 3 12. f x=
x , x ∈ℜ 1x 4
Solutie : Notam : x 2=t 2⋅x dx =dt xdx =
dt 2
x 1 2x dx= ∫ dx devine prin schimbare de variabila : 4 2 1x 4 1 x 1 dt 1 I '= ∫ dt= arctg t ℘ 2 2 1t 2 Revenind la schimbarea factuta obtinem: 1 I = arctg x 2 ℘ 2 Integrala I =∫
13. f x= Solutie :
e x , x0, x ∈ℜ x
1 dx dx=dt =2 dt 2x x Integrala devine : ex I =∫ dx=∫ 2 e t dt=2 e t ℘ x Revenind la schimbarea factuta obtinem : I =2 e x ℘ Notam x=t
e 2x 14. f x= , x0, x ∈ℜ 1−e 4x Solutie : Notam e 2x=t 2 e 2x dx=dt e 2x=t ∣2 e 4x=t 2 e 2x dx=
dt 2
e 2x 1 1 1 dx= ∫ dt= arcsin t℘ 4x 2 2 1−t 2 1−e Revenind la schimbarea de variabilă obtinem: 1 I = arcsin e 2x℘ 2 În concluzie: I =∫
15. f x=
e tg x , x∈− , 2 2 2 cos x
Solutie : dx =dt cos 2 x Prin schimbare de variabilă : e tg x I =∫ dx=∫ e t dt=et ℘ cos 2 x Revenind la schimbarea făcută : I =e tg x℘ 16. f x= 1x 2 , x∈ℜ Solutie : Notam tg x=t
Incercam notatia 1 x 2=t 2x dx =dt x dx =
dt 2
Tragem de aici concluzia că în acest caz metoda schimbării de variabilă nu ne prea surâde.Încercăm să folosim metoda integrării prin părţi....poate,poate...
I =∫ 1x 2 dx =∫ x ' 1= x 2 dx=x 1x 2−∫ x 21 1 dx−∫ 2 dx 2 x 1 x 1 I = x 1 x 2−I ln x x 21℘ 2⋅I =x 1x 2=ln x x 21℘ Finalizare : 1 I = x 1x 2ln x x 21℘ 2 =x 1 x 2−∫
x2 dx= 1x 2
!!!!!Atentie la pag 30 ex 16'
17. f x=
sin 2x , x ∈ℜ sin 4 x3
Solutie : Alegem sin 2 x =t 2⋅sin x ⋅cos x dx=dt Dar cunoastem faptul ca 2 sin x cos x=sin 2x , deci : sin 2x dx=dt iar sin4 x=sin 2 x 2=t 2 După toate acestea... sin 2x dt I =∫ 4 dx=∫ 2 = sin x 3 t 3 dt 1 t =∫ 2 = ⋅arctg ℘ 2 3 t 3 3 Revenim asupra schimbarii facute : sin 2 x 1 I = arctg ℘ 3 3 18. f x= x tg x 2 , x ∈−
, 2 2
Solutie : Notam x 2=t 2x dx =dt x dx = I =∫ x tg x 2 dx=
dt 2
1 ∫ tg t dt= 2
1 sin t t dt 2 ∫ cos Folosim o nouă schimbare de variabilă: cos t=a −sint dt=da sin t dt=−da −1 da −1 I= ∫ = ln a ℘=−ln a℘=−ln cost ℘ 2 a 2 cos x 2 ℘ În final I =−ln cos x 2 ℘ sau I =ln cos x 2 1 19. f x = 2 , x∈ℜ x x1 Solutie : 2x⋅1 1 1 Obs ca : x 2x 1= x 2 − 1= 2 4 4 2 1 3 = x 2 4 dx dx I =∫ =∫ 2 x2 x1 1 2 3 x 2 2 1 Notam x =t dx=dt 2 =
I =∫
∣
∣
2
1 2 3 =ln t x ℘ 2 2 2 3 t 2 2 dt
În final:
2
1 2 1 2 3 I =ln [ x x ]℘ 2 2 2 2 1 I =ln [ x x 2 x1]℘ 2 20. f x =
sau
1 , x1 x ln 2x
Solutie : Notam : ln 2x=t
2 dx dx=dt =dt 2x x
dx ; x ln 2x I se transformă prin schimbare de variabilă în : dt I '=∫ =ln ∣t∣℘ Revenim la schimbarea făcută : t I =ln ln2x ℘ ! Obs : Modulul a disparut pentru ca x1 I =∫
Exerciţii propuse Calculaţi primitivele următoarelor funcţii, folosind prima metodă de schimbare de variabilă:
3x1 , x ∈ℜ 3 x x2 2x3 f x= 2 , x∈ℜ x 3x6 6x3 f x= 2 , x∈ℜ x x9 cos x f x= , x∈ℜ 1sin 2 x f x=ctg x , x∈0, 2 2 1−tg x f x= , x ∈0, tg x 2 x f x= 2 , xe 2, x∈ℜ x 5x12 1 f x= ⋅sin x , x0, x ∈ℜ x x3 f x= 8 , x∈ℜ x 1 e− x f x= , x0, x∈ℜ − x f x=x 4 e x , x∈ℜ
1. f x= 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
5
Integrarea funcţiilor raţionale simple Probleme rezolvate: Să se calculeze primitivele următoarelor funcţii: 1 1. f x = , x−1 x1 Solutie : 1 ∫ x 1 dx=ln∣x1∣℘=ln −x−1℘ 2. f x =
x , x−1, x ∈ℜ x12x1
Solutie : Calculul primitivei acestei funcţii presupune mai întâi descompunerea ei în funcţii raţionale simple, adică: x A B = x12x1 x1 2x1 Dupa ce aducem la acelasi numitor obtinem: x 2 Ax ABxB = , de fapt : x12x1 x 1 2x1 x 0= x 2⋅AB AB Trecem la identificarea coeficientilor: 2⋅AB=1 pentru că coeficientul lui x este 1 iar coeficientul liber este 0. A B=0 Rezolvând sistemul obţinem: A=1 si B=−1 x 1 1 Ajungemla concluzia : = − , prin urmare : x12x1 x1 2x1 ∫ f x =∫ 1x1 −12x1 dx = dx dx =∫ −∫ = x1 2x1 1 =ln x1− ln 2x1℘= 2 x1 =ln ℘ 2x1 3. f x=
1 , x ∈ℜ x 2x3 2
Solutie : Calculam radacinile polinomului f. −voi folosi în loc de litera grecesca delta pe D 2 D=b −4ac=4−12=−80 f are radacini complexe. Datorită acestui fapt încercăm scrierea lui sub formă de sumă de pătrate. 2 x 22x3=x 22x12= x12 2 dx 1 x1 Propunator: prof. Gheorghita Adrian Stefan = arctg ℘ ∫ f x =∫ 2 2 2 x1 2 2 e-mail:
[email protected]
