Integrale nedefinite Rezolvate

Integrale nedefinite rezolvate cu drag prof. Gheorghiţă Adrian Ştefan

x2 dx =?  x 21  x 21−1 Solutie : ∫  2  dx= x−arctg  x C  x 1 2.∫  x 3x 2 1 dx=? x4 x3 3 2 Solutie : ∫  x  dx∫  x dx∫ dx=   xC 4 3 1 3. ∫   dx=?  2x1 Solutie : ˙ 2x1 Observam ca ln 1 4. ∫  dx=? 4x5 Solutie : 1.∫ 

1 Se rezolvă în mod similar cu cea de mai sus numai ca , vom pune în faţa integralei deoarece 4 1 =ln  4x5' 4x5 1 1 1  dx= ∫ ln 4x5 ' dx= ln 4x5℘ ∫  4x5 4 4 2x dx =?  2x 23 Solutie : ! De obicei când întâlnim radicalul la numitor derivam si observam ce forma obtinem: Pentru cazul nostru observam ca : 4x 2x   2x 23' = = 2 2  2x 3  2x 2 3 ceea ce reprezinta exact valoarea din integrală ∫ 2x 2 dx=∫   2x 23' dx = 2x 23℘  2x 3 5.∫ 

6.

∫

x

 5x 22

dx=?

Solutie :

10x 5x x 5x 22 ' = rezulta = 2  5x 22  5x 22  5x 22 5 x 1 1 ∫ 2 dx=5 ∫  5x 22' dx=5  5x 22℘  5x 2   5x2 2' =

8.∫ cos3x dx=? Solutie : Daca derivam , cos 3x  ' =−3sin3x  Dar sin 3x '=3cos 3x rezulta cos3x = Deci ∫ cos3x  dx= 9. I =∫  x 2 2x

sin 3x ' 3

1 1 sin 3x  ' dx= sin3x ℘ ∫ 3 3

1  dx , x0 ; I =? x

Solutie : I =∫ x 2 dx ∫ 2x dx∫

1 dx x

x3 x 2 ln −x℘ 3 ! Observatie : Rezultatul contine ln−x  pentru că din ipoteză ştim că x0. I=

10. I =∫  x

1  dx , x 0 ; I =? x

Solutie : dx x 2 = ln  x ℘ x 2 ! Observatie : În acest caz rezultatul conţine ln  x  pentru ca x 0. I =∫ x dx∫

x−3 dx , x0 ; I =? x5 Solutie : x 3 dx dx I =∫  5  5 dx =∫ 4 3∫ 5 x x x x −4 −5 x 1 x 1 −4 −5 I =∫ x dx3 ∫ x dx= 3 ℘ −41 −51 1 3 I =− 3 − 4 ℘ 3x 4x

11.I=∫

12. I =∫ asin xbcos  xdx ; a , b∈ℜ ; I =? Solutie : I =a ∫ sin  x  dxb ∫ cos  x dx =−acos  x bsin x ℘ 13. I =∫

cos 2x  dx , x∈0 ,  ; I =? 2 2 2 sin  x cos  x

Solutie : Scriem cos 2x =cos 2  x −sin2  x şi obţinem: cos 2  x −sin2  x 1 1 I =∫ 2 dx=∫  − 2 dx 2 2 sin  x cos  x  sin  x  cos  x  dx dx I =∫ 2 −∫ =−ctg  x −tg  x℘ sin  x cos 2  x 

14. I =∫

dx 1 1 , x∈− ,  ; I =? 2 2 2 1−4x

Solutie : dx 1 I =∫ 2 = arcsin 2x℘ 2  1 −2x  2 1 1 1 1 Verificare : arcsin 2x  ' = 2= 2 2 2 2 2 1 −2x  1 −2x 2 15. I =∫ 

2 1   2 dx , x∈0,  ; I =? 2 2 sin  x  cos  x 

Solutie : dx dx I =2 ∫ 2 ∫ =−2ctg xtg  x ℘ sin  x  cos 2  x  16. I =∫

dx 4 4 , x∈− ,  ; I =? 2 3 3 16−9x

Solutie : I se mai pote scrie şi astfel : dx 1 3x I =∫ 2 = arcsin  ℘ 2 4  4 −3x 3 1 3x 1 1 1 Verificare : arcsin  ' = 3= 3 4 3  42 −3x 2  16−9x2 17. I =∫

dx , x ∈−2,2 ; I =?  4− x 2

Solutie : dx x I =∫ 2 2 =arcsin  ℘ 2  2 −x 18. I =∫

dx ; I =? 2 x 4

Solutie : dx 1 x I =∫ 2 2 = artcg  ℘ 2 2 x 2

19. I =∫

dx : I =? 4x 21

Solutie : dx 1 I =∫ = arctg 2x℘ 2 2  2x 1 2

20. I =∫   x 3 x4 x  dx , x0 ; I =? Solutie : 1 2

1 3

1 4

I =∫ x dx∫ x dx∫ x dx 1

1

1

1

1

1

x2 x3 x4 I=   1 1 1 1 1 1 2 3 4 3 2

4 3

5 4

x x x   ℘ 3 4 5 2 3 4 2 3 3 4 4 I =  x3   x 4   x 5 ℘ 3 4 5 2 3 3 4 4 I = x  x  x  x  x  x ℘ 3 4 5 I=

21.I=∫  Solutie : I =2 ∫ x

2

3 − 3 dx , x0 ; I =? x x

−

1 2

dx−3 ∫ x

−

1 3

dx= 2

1 − 1 2

x

1 − 1 2

−3

x

1 − 1 3

1 − 1 3

2 3

2  x 3x 1 2 I= − ℘ 2 3 93 I =4  x−  x 2 ℘ 2 22. I =∫  2 x e x  dx , x ∈ℜ ; I =? Solutie : x 2 I =∫ 2 x dx∫ e x dx= e x ℘ ln2 ! Am observat că 2 x '=2 x ln2 , deci 2 x =

2 x ' ln2

23. I =∫ 2 e x −3 x dx , x∈ ℜ ; I =? Solutie : 3x I =2 ∫ e x dx−∫ 3x dx=2 e x − ℘ ln3 3 x ln3 Verificare : 2 e x −3 x  '=2 e x − =2 e x −3 x ln3 24. I =∫

dx , x ∈−1,1; I =? x 2−1

Solutie : 1 1 x−1 x−1 I =∫ 2 dx= ln ℘=ln ℘ 2 x1 x1 x −1

∣ ∣



℘

25. I =∫

dx , x ∈ℜ ; I =? ex

Solutie : I =∫ e−x dx=−e −x ℘ 26. I =∫

 x 2−12 dx , x0 ; I =? x4

Solutie :  x 2−12=x 4 −2x 21 x4 x2 1 1 1 I =∫ 4 dx−2∫ 4 dx∫ 4 dx=∫ 1 dx−2∫ 2 dx∫ 4 dx x x x x x 2 1 I =∫ dx 2∫ x−2 dx∫ x −4 dx= x − 3 ℘ x 3x 27. I =∫

1− 1− x 2 dx , x ∈−1,1; I =? 1− x 2

Solutie : 1 1− x 2 dx=−∫ dx −∫ dx I =∫  − 1− x 2 1−x 2 x 2 −1  1− x 2 1 x−1 I =− ln −arcsin  x ℘ 2 x1 Dar , ţinând cont că x∈−1,1 , I va fi : 1 x−1 I =− ln  −arcsin  x ℘ 2 x1

∣ ∣

3  x 24 28. I =∫ 2 dx , x∈ ℜ ; I =? x 4 Solutie : 2 3 x 4 dx dx I =∫  2  2 dx =3∫ 2 ∫ 2 x 4 x 4 x 4  x 4 3 x I = arctg  ln  x x 24℘ 2 2 cos 2  x   29. I =∫ 4 dx , x ∈0,  ; I =? 2 cos  x  Solutie : dx I =∫ =tg  x℘ cos 2  x  30. I =∫

dx , x ∈ℜ ; I =?  x 225

Solutie : dx I =∫ 2 2 =ln ∣x x 25 2 ∣℘  x 5

Integrarea prin părţi !Nu din părţi :D

∫

Formula: f ⋅g ' dx= f ⋅g−∫ f '⋅g dx

Să se calculeze integralele: 1. ∫ lnx dx , x0 Solutie : Alegem f  x=ln  x  , g '  x =1. De aici : f '  x =1, g  x =x Folosind formula integrării prin părţi , obţinem: ∫ x ln  x dx=∫ x ' ln x  dx=xln x −∫ x⋅1x dx= =xln x−x ℘ 2. ∫ xln x dx , x 0 Soltuie : Alegem f  x=ln x  , g '  x =x. În concluzie : 1 x2 f '  x = , g  x= x 2 Aplicăm formula integrării prin părţi : x2 x2 1 1 xln x dx= ln  x⋅ ' dx=ln x ⋅ − ∫ x 2⋅ dx= ∫ ∫ 2 2 2 x 2 x 1 = ln  x − x 2℘ 2 4 3. ∫ ln 2  x dx , x0 Solutie : Notăm f  x =ln 2  x  , g '  x=1.Deci : 2 f '  x= ln x  , g  x =x x Găsim :∫ ln 2  x  dx=∫ x ' ln  x dx= xln 2  x−2∫ =xln2  x−2∫ ln x  dx Folosind ex 1. obţinem: ∫ ln 2  x dx= xln2  x −2 xln x− x℘= = x ln 2  x −2ln  x 2℘

ln x  ⋅x dx= x

4. ∫ x 2 ln  x  dx , x0 Solutie : f  x =ln  x , g '  x= x 2 si avem : 1 x3 f '  x = , g  x= x 3 Aplicând formula obţinem : x3 1 x3 1 x3 2 3 1 ∫ x ln  x dx= 3 ' ln x−3 ∫ x ⋅ x dx= 3 ln x−3 ⋅ 3 ℘= x3 1 = ln  x− x 3℘ 3 9 ln  x  dx , x0 x Solutie :

5. ∫

f  x=ln  x  , g '  x =

1 x

1 f '  x = , g  x =ln x x Aplicăm formula : ln  x  ∫ x dx=∫  ln x  '⋅ln x dx=ln 2  x −∫ 1x ln  x dx ln x ln  x  Observăm că ∫ dx=ln 2  x −∫ dx , deci x x ln x  2∫ dx=ln 2  x ℘ , în final : x ln  x  ∫ x dx=12 ln2  x ℘ 6. ∫ x 2 e x dx , x∈ℜ Solutie : f  x=e x , g '  x =x 2 , atunci : 3 x x f '  x =e , g  x = deci : 3, x3 x3 x 1 2 x x 3 x x e dx=   '⋅e dx= e − ∫ x ⋅e dx ∫ ∫3 3 3 Observăm că integrala astfel obţinută este mult mai complicată 2, x Atunci vom alege f  x =x g '  x=e cu x f '  x =2x , g  x=e 2 x 2 x Deci : ∫ x e dx=∫ x  e ' dx= = x 2 e x −2 ∫ xe x dx Aplicăm încă odată formula de integrare prin părţi şi alegem : f  x= x , g '  x =e x astfel încât : f '  x =1, g  x =e x si obţinem : ∫ xe x dx=∫ x  e x ' dx=xe x−∫ e x⋅x ' dx = xe x−e x ℘ În final : ∫ x 2 e x dx=x 2 e x −2 xe x−e x ℘= =e x  x 2−2 x 2℘

2

x

7. ∫  x −2x−1 e dx , x ∈ ℜ Solutie : Considerăm f  x =x 2−2x−1 si g '  x=e x cu f '  x=2x−2 si g  x=e x Aplicînd formula obţinem: ∫  x 2−2x−1 e x dx=∫  x 2−2x−1e x' dx = newkine = x 2 −2x−1e x −2∫  x−1 e x dx Luând separat : ∫  x−1e x dx=∫ xe x dx−∫ e x dx= conform ex6 = =xe x −e x ℘ În final : ∫  x 2−2x−1 e x dx= x 2−2x−1 e x−2xe x4 e x ℘= =e x  x 2−4x3℘ 8. ∫ x sin x  dx , x ∈ℜ Solutie : Notăm f  x =x , g '  x =sin x si avem: f '  x=1, g  x=−cos  x  Deci :∫ xsin x  dx=∫ x −cos  x' dx= =−xcos  x −∫ −cos x  dx= =−xcos  x sin x℘ 2 9. ∫ x sin x dx , x ∈ℜ Solutie : f  x =x 2 , g '  x=sin  x   f '  x =2x , g  x =−cos  x  , integrala devine : ∫ x 2 sin  x dx=∫ x 2 −cos  x '  dx= =−x 2 cos  x−2∫ −xcos  x dx , notam 2 ∫ −xcos  x dx= I ' I ' =2∫ xcos  x  dx=2int x sin x  ' dx= =2xsin  x −2 ∫ x sin  x' dx= =2x sin x 2cos  x ℘ Finalizare : ∫ x 2 sin  x dx=−x 2 cos  x2xsin x2cos x ℘ 2

10.∫ sin  x dx , x ∈ℜ Solutie : Luăm f  x=sin 2  x  si g '  x=1   f '  x =2sin  x cos  x =sin 2x si g  x =x ∫ sin 2  x dx=∫  x ' sin2  x  dx=xsin2  x−∫ x⋅sin 2x dx notam 1 1 1 I ' = ∫ x cos 2x ' dx = xcos 2x− ∫ cos 2x dx= 2 2 2 1 1 1 = xcos 2x − sin 2x⋅ ℘ 2 2 2 Finalizare : cos 2x  1 − sin 2x℘ ∫ sin 2  x dx= x sin2  x −2 4

∫ x⋅sin 2x dx= I '

11. ∫ e x sin x  dx , x ∈ℜ Solutie : Notăm f  x=e x , g '  x =sin  x   f '  x=e x , g  x=−cos  x  În concluzie : I =∫ e x sin x dx=∫ e x −cos  x  dx= =−e x cos x∫ e x cos  x  dx notam ∫ e x cos x dx=I ' I ' =∫ e x⋅sin  x ' dx =e x sin x −∫ e x sin x dx dar ∫ e x sin x  dx=I Deci : I =−e x cos  xe x sin x −I ℘ 1 I = e x sin x −cos  x ℘ 2 Obs: I'->citim I “prim” şi nu I “derivat” ->l-am ales ca pe o notaţie `` 12. ∫  x 2−9 dx , x3 Solutie :  x −9⋰ x 2−9 x 2−9 I =∫ dx= am raţionalizat =∫ 2 dx= 1  x −9 x2 dx =∫ 2 dx −9 ∫ 2 unde I =I 1−I 2  x −9  x −9   2

I1

I2

I 2= 9⋅ln ∣x  x −9∣ 2

Pentru a calcula I 1, notăm f  x =x , g '  x=  x 2−9 ' adică g '  x =2 f '  x=1 si g  x =  x 2−9 x2 În concluzie: ∫ 2 dx=∫ x⋅  x 2 −9' dx=  x −9 2 =x  x −9−∫  x 2−9 dx=x  x 2−9−I , Dar I = I 1−I 2 

x x = 2 unde : 2 2  x −9 x −9

 I = x  x 2 −9− I −9ln ∣x x 2 −9∣ 1  I =  x  x 2−9−9ln ∣x x 2 −9∣℘ 2 Formulă generală: ∫  x 2−a 2 dx=12  x  x 2−a2−a 2 ln∣x  x 2−a 2∣℘ , x ∈[−a , a ] , a0

13. I =∫  x 29 dx ; I =? Solutie : x 2−9 I =∫ 2 dx=  x 9 x2 dx =∫ 2 dx 9∫ 2  x 9  x 9   I1

I2

I 2=9ln x x 9℘ Temă : Calculaţi I 1 folosind ex 12 1 Finalizare : I =  x  x 299ln  x 29℘ 2 2 14. ∫  9−x dx , x ∈−3,3 Solutie : 9− x 2 2 I =∫  9− x dx=∫ dx=  9−x 2 2 1 x =9 ∫ dx − dx ∫ 2 2 9− x 9− x     2

I1

I2

x I 1 =9arcsin  ℘ 3 x I 2=∫ x⋅ dx  9−x 2 Observăm că :   9−x 2 ' =−

x

 9−x 2

Deci I 2 se poate calcula prin părţi astfel : I 2=∫ −x   9−x 2 ' dx =−x  9− x 2∫  9− x 2 dx Finalizare : x I =I 1− I 2=9arcsin   x 9−x 2− I  2 1 x 2  I =  x  9− x 9 arcsin ℘ 2 3 Formulă generală: ∫  a 2− x 2 dx=12  x  a 2− x 2a 2 arsin ax ℘ x∈[−a , a ] , a0 15. ∫ xe 2x dx , x∈ℜ Solutie : Notăm f  x =x si g '  x =e 2x  f '  x =1 si g  x= I =∫ xe 2x dx=

1 2

∫ x e 2x ' dx=

1 1 xe 2x− ∫ e 2x dx= 2 2 1 1 1 1 = xe 2x− e 2x ℘  I = e 2x  x− ℘ 2 4 2 2 1 2x−1 I = e 2x⋅ ℘ 2 2 =

1 2x e 2

16. ∫ x  x 2−9 dx , x3 Solutie : x  x 2−9 I =∫ x  x 2−9 dx=∫ 2 dx=  x −9 x3 x =∫ 2 dx −9∫ 2 dx unde I 2=9  x 2−9  x −9   x −9  I1

I2

Pentru a calcula I 1 notăm f  x =x 2 si g '  x =

x

 x 2−9



 f '  x =2x si g  x= x 2 −9 Deci : I 1 =∫ x 2   x 2−9 ' dx=x 2  x 2−9−2∫ x  x 2−9 dx= =x 2  x 2−9−2 I I =I 1− I 2= x 2  x 2−9−2I−9  x 2−9 1 I =  x 2−9  x 2−9℘ 3 x

17. ∫ e cos  x dx , x∈ℜ Solutie : Notăm f  x =cos  x  si g '  x=e x  f '  x =−sin  x  si g  x =e x Integrala devine : I =∫ e x cos  x dx =∫ e x  ' cos  x  dx= =e x cos  x −∫ e x −sin  x dx= =e x cos  x ∫ e x sin  x dx '  I

Pentru a calcula integrala I ' folosim iarăşi formula de integrare prin părţi astfel : f  x =sin x si g '  x =e x  f '  x =cos  x si g  x=e x x x x I '=∫ e ' sin x dx=e sin  x−∫ e cos x  dx În colncluzie : I =e x cos  x e x sin x −I  ex  I = cos  x sin x ℘ 2 18.∫ arcsin  x dx , x ∈−1,1 Solutie : Alegem f  x=arcsin  x si g '  x =1  f '  x=

1

1−x 2

si g  x=x

Asadar : I =∫ arcsin  x dx =∫  x ' arcsin  x dx = x = x⋅arcsin  x −∫ dx 1−x 2 x Observăm că :   1−x 2 ' =− , în concluzie :  1− x 2 2 2 I =xarcsin  x∫   1−x ' dx= x codt arcsin  x  1−x ℘

2

19. ∫ sin  x dx , x∈ ℜ Solutie : Met I : Notăm f  x =sin  x  si g '  x =sin x   f '  x =cos  x  si g  x=−cos  x  I =∫ sin  x ⋅sin  x  dx=∫ sin x⋅−cos  x  dx= =−sin x cos  x∫ cos2  x dx=

∫ cos 2  x  dx=∫ dx −∫ sin 2  x  dx I =−sin x cos  x x−I ,

Dar cos 2  x =1−sin 2  x  deci : Finalizare :

dar sin  x cos  x=

sin 2x  2

Deci : x 1 I = − sin 2x ℘ 2 4 Met II : Notăm f  x =sin 2  x  si g '  x=1   f '  x =2sin  x cos  x  si g  x =x I =∫  x ' sin 2  x  dx=x⋅sin 2  x −∫ 2x⋅sin  x cos  x dx I =xsin 2  x −∫ x⋅sin 2x dx Folosim iarăşi formula de integrare prin părţi: 1 Notăm f  x = x si g '  x=sin 2x   f '  x=1 si g  x=− cos 2x  2 1 1 1 x − cos 2x ' dx=− xcos 2x ∫ cos 2x dx 2 2 2 1 1 2 I =∫ x sin 2x dx=∫ ¿ I = x⋅sin  x  xcos 2x− sin 2x℘= 2 4 x 1 =  2sin 2  x cos 2x− sin 2x ℘ 2 4 2 Dar cos 2x=cos  x−sin 2  x  , dec : 2sin 2  x cos 2x=2sin 2  xcos 2  x −sin 2  x=1 Finalizare : x 1 I = − sin 2x℘ 2 4 20. ∫ arctg  x dx , x ∈ ℜ Solutie : Folosim notaţia : f  x =arctg  x si g '  x =1  f '  x=

1 si g  x= x 1x 2

Obţinem : I =∫ arctg  x  dx=∫  x ' arctg  x dx=xarctg  x−∫

x dx 1 x 2

Printr-o oarecare intuiţie matematică observăm că: 1 x [ ln1x 2 ]'= , aşadar : 2 2 1x 1 I =x⋅arctg  x − ln 1x 2 ℘ 2

Exerciţii propuse Calculaţi integralele: 1. ∫ xe x dx , x∈ ℜ 2. ∫ x 2 e 3x dx , x∈ℜ 3. ∫  x−12 e x dx , x ∈ℜ 3

x

3. ∫  x −3x 2 e dx , x∈ ℜ 2

2x

5. ∫  x−2 e dx , x ∈ℜ 6. ∫ xcos  x dx , x ∈ℜ 7. ∫ x 2 cos  x dx , x∈ ℜ 8. ∫ cos 2  x dx , x ∈ℜ 2x

9. ∫ e sin  x dx , x ∈ℜ 10. ∫  x 2 −25 dx , x 5 11. ∫  x 2 196 dx , x ∈ℜ 12. ∫  36− x dx , x ∈−6,6 2

13. ∫ x  x 2 − 25 dx , x5 x

14. ∫ e −cos  x dx , x ∈ℜ 15. ∫ arccos  x dx , x ∈−1,1 16. ∫ arcctg  x dx , x∈ℜ

Metoda substituţiei Prima metodă de schimbare de varibilă Probleme rezolvate: Să se calculeze, folosind prima metodă de schimbare de variabilă, primitivele următoarelor funcţii: 2 x1 1. f  x = 2 , x ∈ℜ x  x7 Solutie : Notăm x 2 x7=t si derivăm :  x 2 x7' dx=t ' dt   2 x1 dx=dt Integrala devine : 2 x 1 dt I =∫ 2 dx =∫ =ln∣t∣℘ t x  x7 Revenind la substituţia făcută avem : I =ln  x 2x 7℘ 2. f  x =

2 x3 , x ∈ℜ 2 x 3 x1

Soltie : Notam x 23 x1=t şi derivăm :  x 23 x 1 ' dx=t ' dt  2 x 3' dx=dt Integrala devine : 2x3 dt I =∫ 2 dx=∫ =ln ∣t∣℘ t x 3 x1 În final revenim la substituţie : I =ln  x 23 x1℘ 3. f  x =

4 x2 x ∈ℜ x 2 x2

Solutie : Notam : x 2 x2=t astfel :  x 2 x2' =t ' dt   2 x1' dx=dt ∣⋅2   4 x2 dx=2 dt Integrala devine : 2 I =∫ dt =2ln ∣t∣℘=ln t 2 ℘ t Finalizare : I =2ln  x 2 x22℘

4. f  x=

sin  x  x∈ℜ 1cos 2  x 

Solutie : Notam cos  x =t , derivam : −sin  x dx=dt  sin  x dx=−dt sin  x  −dt Deci : I =∫ dx=∫ = 2 1cos  x  1t 2 =−arctg t ℘ Finalizare : I =−arctg cos  x ℘ 5. f  x =tg  x  , x ∈0,

  2

Solutie : Notam cos  x =t , derivam : −sin  x dx=dt  sin  x dx=−dt sin  x  Obs : Am folosit faptul că tg  x= astfel : cos  x sin x −dt I =∫ tg  x  dx=∫ dx=∫ =−lnt ℘ cos  x  t Finalizare : I =−lncos  x ℘ 6. f  x =

1tg 2  x   , x ∈0,  tg  x 2

Solutie : Met I : tg 2  x  1 1 dx I =∫   dx=∫  tg  x  dx=∫ ∫ tg  x dx tg  x  tg  x  tg  x  tg  x    I1

cos x  dx sin  x  Notam sin x =t  cos  x dx =dt  dt I 1 =∫ =ln ∣t∣℘=lnsin  x℘ t sin  x  I 2=∫ tg  x dx=∫ dx cos x  Penru a rezolva integrala I 2 vom proceda în mod analog Temă : Rezolvaţi integrala I 2 Trebuie să găsiţi că : I 2 =ln−cos  x℘ Finalizare : I =ln sin  x −ln cos  x℘ sau sin  x  I =ln  ℘=lntg  x ℘ cos x  I 1 =∫ ctg  x dx=∫

I2

Met II : 1tg 2  x  1 I =∫ dx=∫ ⋅tg  x ' dx tg  x tg  x  Obs : Am intuit foarte simplu faptul că : 2 2 2 2 cos  x  sin  x sin  x cos  x 1 1tg 2  x = 2  2 = 2 = 2 =tg  x ' cos  x  cos  x  cos  x  cos  x Aşadar şi prin urmare... Notam tg  x=t  tg  x' dx=dt I =ln ∣t∣℘ Finalizare : I =ln tg  x ℘ 4

7. f  x =x 3 e x , x∈ ℜ Solutie : Notam x 3 e x =t derivând constatăm: dt 4 ⋅x3 e x =dt  x 3 e x dx= 4 În aceste circumstanţe... 1 dt 1 I =∫ x 3 e x dx= ∫ = ln∣t∣℘ 4 t 4 1 the end... I = lne x ℘ 4 4

4

4

4

4

8. f  x =sin  x ⋅cos 2  x , x∈ℜ Solutie : Folosim notaţia cos  x =t  −sin x dx=dt Utilizăm formula de schimbare de variabilă : t3 I =∫ sin x  cos2  x dx=∫ −t 2 dt=− ℘ 3 Revenim la schimbarea de variabilă : cos3  x  I =− ℘ 3 9. f  x =sin3  x ⋅cos3  x , x∈ℜ Solutie : Notam cos  x=t  −sin  x dx=dt I =∫ sin3  x ⋅cos3  x dx=∫ sin 2  x⋅sin  x ⋅cos3  x  dx= =∫ 1−cos2  x⋅sin  x ⋅cos3  x dx=−∫ 1−t 2 ⋅t 3 dt= =∫ t 5−t 3 dt=∫ t 5 dt−∫ t 3 dt= t6 t 4 = − ℘ 6 4 Finalizare : cos 6  x cos 4  x  I= − ℘ 6 4

10. f  x =tg  xtg 3  x  , x ∈−

  ,  2 2

Solutie : Amintim din ex 6 : 1 sin 2  x cos 2  x  cos 2  x  sin 2  x tg  x'= 2 = 2 = 2  2 =1tg 2  x  cos  x cos  x cos  x  cos  x  2 Notam tg  x=t  1tg  xdx=dt I =∫ tg  x tg 3  x dx=∫ tg  x 1tg 2  x  dx= t2 =∫ t dt= ℘ 2 2 tg  x  1 I= ℘= tg 2  x℘ 2 2 !Obs:Pentru a beneficia de un punctaj maxim în cazul rezolvării unui exerciţiu matematic, trebuie să aducem soluţia sub forma cea mai simplă. 11. f  x= 

x , x∈0 ; 1 1−x 3

Solutie : 2 Notăm x  x=t ∣2   x  x = x 3=t 2 Derivăm ,  x  x ' dx=dt x 3⋅x Dar  x  x ' =  x = , deci : 2 x 2x 3 2  x dx =dt   x⋅dx= dt 2 3 x integrala I =∫  dx devine 1−x 3 2 dt I '=∫ = 3  1−t 2 2 = arcsin t℘ 3 Revenind la schimbare de variabilă făcută obţinem: 2 I = arcsin  x  x ℘ 3 12. f  x=

x , x ∈ℜ 1x 4

Solutie : Notam : x 2=t  2⋅x dx =dt  xdx =

dt 2

x 1 2x dx= ∫ dx devine prin schimbare de variabila : 4 2 1x 4 1 x 1 dt 1 I '= ∫ dt= arctg t ℘ 2 2 1t 2 Revenind la schimbarea factuta obtinem: 1 I = arctg  x 2 ℘ 2 Integrala I =∫

13. f  x= Solutie :

e x , x0, x ∈ℜ x

1 dx dx=dt  =2 dt 2x x Integrala devine : ex I =∫ dx=∫ 2 e t dt=2 e t ℘ x Revenind la schimbarea factuta obtinem : I =2 e  x ℘ Notam  x=t 

e 2x 14. f  x= , x0, x ∈ℜ 1−e 4x Solutie : Notam e 2x=t  2 e 2x dx=dt  e 2x=t ∣2  e 4x=t 2  e 2x dx=

dt 2

e 2x 1 1 1 dx= ∫ dt= arcsin t℘ 4x 2 2  1−t 2  1−e Revenind la schimbarea de variabilă obtinem: 1 I = arcsin e 2x℘ 2 În concluzie: I =∫

15. f  x=

e tg x   , x∈− ,  2 2 2 cos  x

Solutie : dx =dt cos 2  x  Prin schimbare de variabilă : e tg  x I =∫ dx=∫ e t dt=et ℘ cos 2  x  Revenind la schimbarea făcută : I =e tg  x℘ 16. f  x=  1x 2 , x∈ℜ Solutie : Notam tg  x=t 

Incercam notatia 1 x 2=t  2x dx =dt  x dx =

dt 2

Tragem de aici concluzia că în acest caz metoda schimbării de variabilă nu ne prea surâde.Încercăm să folosim metoda integrării prin părţi....poate,poate...

I =∫  1x 2 dx =∫  x '  1= x 2 dx=x  1x 2−∫ x 21 1 dx−∫ 2 dx   2  x 1  x 1  I = x  1 x 2−I ln  x x 21℘ 2⋅I =x  1x 2=ln x  x 21℘ Finalizare : 1 I =  x 1x 2ln x  x 21℘ 2 =x  1 x 2−∫

x2 dx= 1x 2

!!!!!Atentie la pag 30 ex 16'

17. f  x=

sin 2x  , x ∈ℜ sin 4  x3

Solutie : Alegem sin 2  x =t  2⋅sin  x ⋅cos  x dx=dt Dar cunoastem faptul ca 2 sin x cos  x=sin 2x  , deci : sin 2x dx=dt iar sin4  x=sin 2  x 2=t 2 După toate acestea... sin 2x dt I =∫ 4 dx=∫ 2 = sin  x 3 t 3 dt 1 t =∫ 2 = ⋅arctg ℘ 2 3 t  3  3 Revenim asupra schimbarii facute : sin 2  x  1 I = arctg  ℘ 3 3 18. f  x= x tg  x 2  , x ∈−

  ,  2 2

Solutie : Notam x 2=t  2x dx =dt  x dx = I =∫ x tg  x 2 dx=

dt 2

1 ∫ tg t dt= 2

1 sin t t dt 2 ∫ cos Folosim o nouă schimbare de variabilă: cos t=a  −sint dt=da  sin t dt=−da −1 da −1 I= ∫ = ln a ℘=−ln    a℘=−ln   cost ℘ 2 a 2 cos  x 2 ℘ În final I =−ln   cos  x 2 ℘ sau I =ln  cos x 2 1 19. f  x = 2 , x∈ℜ x  x1 Solutie : 2x⋅1 1 1 Obs ca : x 2x 1= x 2  − 1= 2 4 4 2 1 3 = x   2 4 dx dx I =∫ =∫ 2  x2 x1 1 2 3  x     2 2 1 Notam x =t  dx=dt 2 =

I =∫



t 2

∣     ∣ 2

dt 2

  3

2

=ln t 

1 3 x   2 2

2

℘

În final:

         2

1 I =ln [ x  2

2

1 3 x   2 2

2

]℘

sau

2

I =ln [ x

1  x 2 x1]℘ 2

20. f  x =

1 , x1 x ln 2x

Solutie : Notam : ln 2x=t 

2 dx dx=dt  =dt 2x x

dx ; x ln 2x I se transformă prin schimbare de variabilă în : dt I '=∫ =ln ∣t∣℘ Revenim la schimbarea făcută : t I =ln ln2x  ℘ ! Obs : Modulul a disparut pentru ca x1 I =∫

Exerciţii propuse Calculaţi primitivele următoarelor funcţii, folosind prima metodă de schimbare de variabilă:

3x1 , x ∈ℜ 3 x  x2 2x3 2. f  x= 2 , x∈ℜ x 3x6 6x3 3. f  x= 2 , x∈ℜ x  x9 cos  x 4. f  x= , x∈ℜ 1sin 2  x  5. f  x=ctg  x , x∈0,  2 2 1−tg  x  6. f  x= , x ∈0,  tg  x 2 x 7. f  x= 2 , xe 2, x∈ℜ x 5x12 1 8. f  x= ⋅sin   x , x0, x ∈ℜ x x3 9. f  x= 8 , x∈ℜ x 1 e− x 10. f  x= , x0, x∈ℜ − x 11. f  x=x 4 e x , x∈ℜ 1. f  x=

5

Integrarea funcţiilor raţionale simple Probleme rezolvate: Să se calculeze primitivele următoarelor funcţii: 1 1. f  x = , x−1 x1 Solutie : 1 ∫ x 1 dx=ln∣x1∣℘=ln −x−1℘ 2. f  x =

x , x−1, x ∈ℜ  x12x1

Solutie : Calculul primitivei acestei funcţii presupune mai întâi descompunerea ei în funcţii raţionale simple, adică: x A B =   x12x1 x1 2x1 Dupa ce aducem la acelasi numitor obtinem: x 2 Ax ABxB = , de fapt :  x12x1  x 1 2x1 x 0= x 2⋅AB AB Trecem la identificarea coeficientilor: 2⋅AB=1 pentru că coeficientul lui x este 1 iar coeficientul liber este 0. A B=0 Rezolvând sistemul obţinem: A=1 si B=−1 x 1 1 Ajungem la concluzia : = − , prin urmare :  x12x1 x1 2x1 ∫ f  x =∫  1x1 −12x1  dx= dx dx =∫ −∫ = x1 2x1 1 =ln  x1− ln2x1℘= 2 x1 =ln ℘  2x1



3. f  x=



1 , x∈ℜ x 2x3 2

Solutie : Calculam radacinile polinomului f. −voi folosi în loc de litera grecesca delta pe D D=b2−4ac=4−12=−80  f are radacini complexe. Datorită acestui fapt încercăm scrierea lui sub formă de sumă de pătrate.

2

x 22x3=x 22x12= x12  2 dx 1 x 1 = arctg ℘ ∫ f  x =∫ 2 2 2  x1   2  2 4x1 4. f  x = , x ∈ℜ x  x1 x3 Solutie : 4x1 A B C =   x  x1 x3 x x1 x3

 

După ce aducem la acelaşi numitor obţinem : 4x1=A x 24x3Bx  x3Cx x1 4x1=Ax 24Ax3ABx 23BxCx 2Cx 4x1=x 2  ABC x 4A3BC 3A Trecem la identificarea coeficienţilor 1 A BC =0 BC=− 3 4A3BC=4 1 8 3A=1  A= 3BC= 3 3 1 3 11 prin urmare : A= , B= , C=− 3 2 6 4x1 1 3 11 iar =  − x  x1 x 3 3x 2  x1 6  x3 4x1 1 3 11 dx=∫ dx∫ dx−∫ dx= ∫ x  x1 x3 3x 2 x1 6  x3 1 dx 3 dx 11 dx = ∫  ∫ − ∫ = 3 x 2 x1 6 x3 1 3 11 = ln  x ln x1− ln  x3℘ 3 2 6 5. f  x=

2x , x3, x∈ ℜ x −5x6 2

Solutie : Calculăm soluţiile ecuaţiei : x 2−5x6=0 D=b2−4⋅ac=25−24  D=1 51 x 1=  x 1=3 2 5−1 x 2=  x 2=2 2 În concluzie : 2x 2x A B = =  2 x −5x6  x−3 x−2 x−3 x−2 2x= Ax−2A Bx−3B 2x= x  AB−2A−3B A B=2 ∣⋅2 −2A−3B=0

 A=6, B=4

2x dx dx dx=6 ∫ −4∫ = ∫ x −5x6 x −3 x−2 =6 ln  x−3−4 ln x−2℘=  x−36 =ln ℘  x−24 6x21 6. f  x= 2 , x 1 x x−2 Solutie : Calculăm soluţiile ecuaţiei x 2 x−2=0 cu scopul de a descompune funcţia f(x) în funcţii raţionale simple. 2 x  x2=0 D=18=9  D=1  x 1=1 si x 2=−2 Observam ca : 6x21 6x21 A B = =  2  x−1 x2 x−1 x 2 x  x−2 6x21=Ax2ABx−B 6x21=x  AB2A−B Indentificam coeficientii : A B=6 2A−B=21 3A=27  A=9 si B=−3 Astfel am aflat ca : 6x21 dx dx I =∫ 2 dx=9 ∫ −3∫ = =9ln x−1−3ln x 2℘ x−1 x2 x  x−2  x−19 I =ln ℘  x23 7. f  x=

1 , x−1  x2 x 25x6

Solutie : Pentru a descompune funcţia aflăm mai întâi soluţiile ecuaţiei: x 2−5x6=0 D=25−24=1 x 1=3, si x 2=2 Aşadar : 1 1 A B C = =   2  x2 x−3 x−2 x2 x−3 x−2  x2 x 5x6 Indentificam coeficientii : 1= A x−3 x −2B  x2 x−2C  x2 x −3 2 2 2 1= A x −5x6B x −4C  x − x−6 1= x 2  A BC  x −5A−C 6A−4B−6C A BC =0 −5A −C=0  C=−5A 6A−4B−6C=1 −4A B=0 ∣⋅4 36A−4B=1

−16A4B=0 36A−4B=1

1 1 1 , B= , C=− 20 5 4 După ce înlocuim coeficienţii aflaţi, obţinem: 1  dx= ∫ f  x  dx=∫  201x2 5 x1−3 −4  x−2 1 1 1 = ln x2 ln  x3− ln  x−2℘ 20 5 4 A=

8. f  x =

2 , x∈ ℜ 2x55x2

Solutie : 21 A B =  2x55x2 2x5 5x2 21=5Ax2A2Bx5B 21=x 5A2B2A5B −10A−4B=0 10A25B=105

5A2B=0 ∣−2 2A 5B=21 ∣ 5 în conluzie : A=−2 si B=5

dx dx 5∫ ∫ f  x  dx=−2 ∫ 2x5 5x2   I1

I2

Pentru a intui rezultatul integralei I1 observăm că: ln 2x5' 2 1 ln 2x5' =  = 2x5 2x5 2 ln2x5' 1 În mod analog pt I 2  = 5x2 2 Datorită acestor indicii : ln 2x5' ln 5x2' dx5∫ dx= ∫ f  x  dx=−2∫ 2 2 =−ln 2x5ln 5x2℘= 5x2 =ln  ℘ 2x5 9. f  x=

x 3x2 , x∈C 3 2 x x  x1

Solutie : Amintim: În cazul ecuaţiei de gradul III, de obicei, cercetăm dacă soluţia se află printre divizorii termenului liber. În cazul nostru D1={-1,1} şi observăm că x1=-1 este soluţie. Folosind Schema lui Horner: x3 x2 x 1 1

1

1

1

-1 1

0

1

0

x 3 x 2x1= x 1 x 2 1 , unde x 2 1=0 admite soluţii complexe x 2 x2 x 2 x2 A BxC = =  Obţinem: x 3 x 2x1  x1 x 21 x1 x 21 x 2 x2=Ax 2 ABx 2BxCxC x 2 x2=x 2  ABx  BC AC A B=1  A=1, B=0, C=1 BC=1 AC=2 x 2x2 1 1 =  2 2  x1 x 1 x1 x 1 dx ∫ 2 = ∫ f  x  dx=∫ dx x1 x 1 =ln  x1arctg  x ℘

10. f  x=

x5 x 4−8 , x2 x3 −4x

Solutie : Deoarece gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului efectuăm împărţirea:  x 5x 4 −8 : x 3−4x= x 2x4, r =4x 216x−8, astfel : x 5 x 4−8= x 3−4x x 2 x44x 216x−8 2 4x 16x−8 vom scrie : f  x=x 2 x4 3 x −4x 4x 216x−8 A B C =   x  x−2 x2 x x−2 x2 4x 216x−8=Ax 2−4 A Bx2 2 BxCx 2−2 Cx A BC =14 2B−2C=16 −4A=−8

A=2, B=5, C =−3

În concluzie : dx dx 7∫ −∫ = ∫ f  x  dx=∫  x 2x4 dx−2∫ dx x x−2 x2 =

11. f  x=

x3 x2  4x2 ln  x5 ln  x−2−3 ln  x2℘ 3 2 x 4−6x 211x−6 , x2 x 2−3x2

Solutie : Deoarece gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului efectuăm împărţirea: 4 2 2 2  x −6x 11x−6: x −3x2=x 3x1 r =8x−8  x 4−6x2 11x−6  x 23x1 x 2−3x2 8  x−1 Astfel : =  2 2 2  x −3x2  x −3x2 x −3x2 x−1 Încercăm să descompunem funcţia în funcţii raţionale x 2−3x2 simple.Pentru a face acest lucru căutăm mai întâi rădăcinile

ecuaţiei x 2−3x2=0. D=9−8=1, x 1=2 ; x 2=1 x−1 x−1 A B = =  2 x −3x2  x−2 x −1 x−2 x−1 x−1=Ax− ABx−2B x−1 1 A B=1 De fapt : 2 = −A−2B=−1 x −3x2 x−2 B=0, A=1 Finalizare : = ∫ f  x  dx=∫  x 23x1 dx=8∫ dx x−2 x 3 3x 2 =  x8 ln  x−2℘ 3 2 Integrarea funcţiilor raţionale pentru care numitorul are rădăcini reale multiple Să se calculeze primitivele următorelor funcţii: 1 1. f  x= , x0 x  x12 Solutie : În acest caz funcţia admite descompunerea : 1 A B C =   2 x  x1 x x1  x12 1= A x12Bx  x1Cx 1= x 2  AB x 2ABC A A B=0 A=1, B=C=−1 2 ABC =0 A=1 1 1 1 Deci : f  x= − − iar , x x1  x12 ∫ f  x  dx=ln  x −ln x1−∫  x1−2 dx dx Pt a calcula ∫ not x1=t  dx=dt si  x12=t 2 2  x1 dx dt 1 =∫ 2 =∫ t −2 dt=− ℘ ∫  x1 2 t t Finalizare : x 1 −− ℘= ∫ f  x  dx=ln x1 x1 1 x = ln ℘ x1 x1

    

2. f  x =

x , x1  x−1 x22

Solutie : Funcţia se va descompune cu ajutorul nostru astfel : x A B C =   2  x−1 x2 x−1 x 2  x22 x =A x 22B  x−1 x2C  x−1 x =x 2  ABx  4 ABC 4 A−2 B−C A B=0 1 1 6 A= B=− , C= 4 ABC=1 9 9 9 4 A−2 B−C=0 x 1 6 =  2  x1 x2 9 x2 9 x22 Pentru că am ajutat funcţia f(x) să se descompună... 1 dx dx dx ∫ f  x  dx=9 ∫ x−1 −∫ x2 6 ∫  x22     I1

I2

I3

I1 şi I2 se rezolvă uşor. Pentru a se rezolva I3 apelăm la metoda schimbării de variabilă: Notăm x2=t ∣2  x22 =t 2 si dx =dt dx dt t −1 6 I 3=6 ∫ devine I ' =6 =6 ℘=− ℘ ∫ 3 2 2 −1 t  x2 t Revenind la schimbarea facuta , − 6 I 3= ℘ x2 Finalizare : 6 ℘= ∫ f  x  dx=19 ln x−1−ln x2− x2 1 6 x−1 = − ln ℘ 9 x2 x2

 





x 3. f  x = , x−1  x1 x32 Solutie : Descompunem funcţia f  x  în funcţii raţionale simple : x A B C =   2  x1 x3 x1 x3  x32 x =A x 2 6x9B x 24x3C  x1 x =x 2  ABx 6 A4 BC 9 A3 BC A B=0 1 1 6 A=− , B= C=− 6 A4 BC=1 4 4, 4 9 A3 BC=0

1

−6

∫ f  x  dx= 4 −ln  x1ln  x3∫  x32 dx 6 6 dx= ℘ 2  x3  x3 6  ℘ ∫ f  x  dx=14 ln x3 x1 x3 x2 4. f  x= , x −1  x1 x22 Solutie : Descompunem funcţia f  x  x2 A B C =   2  x1 x2 x1 x 2  x22 x 2 =A x22B  x1 x2C  x1 A B=1 A=1, B=0, C=−4 4 A3 BC =0 4 A2BC =0 dx −4 ∫ = ∫ f  x  dx=∫ dx 2 x1  x2 4 =ln x1 ℘ x 2 Dar , −∫





Integrarea unor funcţii raţionale care au numitorul cu rădăcini complexe simple Calculaţi primitivele următoarelor funcţii: 1 1. f  x= 3 , x0 x 1 Solutie : Descompunem functia: 1 1 A BxC = =  2 3 2 x 1 x  x 1 x x 1 Observăm că numitorul x 21 admite rădăcini complexe. Datorită acestui fapt în descompunerea făcută întâlnim mai nou termenul „Bx+C” în loc de obişnuitul “B+C” 1= A x 21 x  BxC  AB=0 C=0 A=1  B=−1 ∫ f  x  dx=∫  1x − x121  dx= dx dx =∫ −∫ 2 = x x 1 =−arctg xln x ℘ 2. f  x =

1 , x0 x 2x2 2

Solutie : Observăm că numitorul acestei fracţii are rădăcini complexe (D=-4