integrale-improprii-seminar3

Creating Beamer presentations in Scienti…c WorkPlace and Scienti…c Word Impressive slide presentations

MacKichan Software Technical Support Delete or rename Institute …eld

March 2006

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

1 / 29

Proiectul "Didatec", Cod: POSDRU/87/1.3/S/60891

CONVERGENTA SI

CALCULUL

INTEGRALELOR

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

IMPROPRII

03/06

2 / 29

Proiectul "Didatec", Cod: POSDRU/87/1.3/S/60891

CONVERGENTA SI

CALCULUL

INTEGRALELOR

IMPROPRII

Seminarul 3 SEMINAR AFERENT CURSULUI : ANALIZA MATEMATICA. CALCUL INTEGRAL

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

2 / 29

Proiectul "Didatec", Cod: POSDRU/87/1.3/S/60891

CONVERGENTA SI

CALCULUL

INTEGRALELOR

IMPROPRII

Seminarul 3 SEMINAR AFERENT CURSULUI : ANALIZA MATEMATICA. CALCUL INTEGRAL

Realizat de Prof. univ. dr. Alexandru Mihai Bica Universitatea din Oradea

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

2 / 29

Continut

De…nitia integralelor improprii

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

3 / 29

Continut

De…nitia integralelor improprii Criterii de convergenta

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

3 / 29

Continut

De…nitia integralelor improprii Criterii de convergenta Metoda de integrare prin parti in integrala improprie

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

3 / 29

Continut

De…nitia integralelor improprii Criterii de convergenta Metoda de integrare prin parti in integrala improprie Metoda de schimbare a variabilei la calculul integralelor improprii

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

3 / 29

Continut

De…nitia integralelor improprii Criterii de convergenta Metoda de integrare prin parti in integrala improprie Metoda de schimbare a variabilei la calculul integralelor improprii Probleme rezolvate

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

3 / 29

Continut

De…nitia integralelor improprii Criterii de convergenta Metoda de integrare prin parti in integrala improprie Metoda de schimbare a variabilei la calculul integralelor improprii Probleme rezolvate Probleme propuse

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

3 / 29

Obiective Dupa parcurgerea si intelegerea acestui material studentul va trebui sa poata: sa aplice corect studiul convergentei si calculul integralelor improprii folosind de…nitia

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

4 / 29

Obiective Dupa parcurgerea si intelegerea acestui material studentul va trebui sa poata: sa aplice corect studiul convergentei si calculul integralelor improprii folosind de…nitia sa depisteze si sa aplice corect criteriul de convergenta adecvat …ecarei integrale improprii

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

4 / 29

Obiective Dupa parcurgerea si intelegerea acestui material studentul va trebui sa poata: sa aplice corect studiul convergentei si calculul integralelor improprii folosind de…nitia sa depisteze si sa aplice corect criteriul de convergenta adecvat …ecarei integrale improprii sa foloseasca in mod corect metoda de integrare prin parti in contextul integralelor improprii

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

4 / 29

Obiective Dupa parcurgerea si intelegerea acestui material studentul va trebui sa poata: sa aplice corect studiul convergentei si calculul integralelor improprii folosind de…nitia sa depisteze si sa aplice corect criteriul de convergenta adecvat …ecarei integrale improprii sa foloseasca in mod corect metoda de integrare prin parti in contextul integralelor improprii sa determine schimbarea de variabila adecvata si sa utilizeze corect metoda de integrare prin schimbarea variabilei in contextul integralelor improprii

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

4 / 29

Convergenta si calculul integralelor improprii cu ajutorul de…nitiei De…nitia 1: Fie f : [a, b ) ! R integrabila Riemann pe [a, u ] pentru orice u 2 (a, b ) . Daca exista si este …nita limita lim

u !b,u a

Zb

f (x ) dx

u

este convergenta. Este inclus aici si cazul in care a =

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

∞.

03/06

6 / 29

De…nitia 2: Fie f : (a, b ] ! R integrabila Riemann pe [u, b ] pentru orice u 2 (a, b ) . Daca exista si este …nita limita

lim

u !a,u >a

Zb

f (x ) dx atunci

u

spunem ca functia f este integrabila impropriu pe (a, b ] si integrala Zb

f (x ) dx =

a +0

lim

u !a,u >a

Zb

f (x ) dx

u

este convergenta. Este inclus aici si cazul in care a = ∞. De…nitia 3: Fie f : (a, b ) ! R integrabila Riemann pe [u, u 0 ] pentru orice a < u < u 0 < b. Daca exista si este …nita limita

lim

u !a,u 0 !b

Zu

0

f (x ) dx

u

atunci spunem ca functia f este integrabila impropriu pe (a, b ) si integrala bZ 0

f (x ) dx =

a +0

lim

u !a,u 0 !b

Zu

0

f (x ) dx

u

este convergenta. MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

6 / 29

Criterii de convergenta

Teorema 1 (primul criteriu de comparatie) Fie f , g : [a, b ) ! R integrabile Riemann pe [a, u ] pentru orice u 2 (a, b ) astfel incat 0

f (x )

bZ 0

g (x ) , 8x 2 (a, b ]. Daca integrala

este convergenta atunci si integrala

g (x ) dx

a

bZ 0

f (x ) dx este convergenta. Daca

a

integrala

bZ 0

f (x ) dx este divergenta atunci si integrala

a

bZ 0

g (x ) dx este

a

divergenta.

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

7 / 29

Teorema 2 (al doilea criteriu de comparatie) Fie f , g : [a, b ) ! R pozitive si integrabile Riemann pe [a, u ] pentru orice u 2 (a, b ) . Daca exista si este …nita limita lim

u !b,u 1 atunci integrala improprie

Z∞

f (x ) dx este convergenta, iar

a

daca α

1 si L 6= 0 atunci integrala improprie

MSI Tech Support (Institute)

x !∞

Z∞

f (x ) dx este divergenta.

a

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

10 / 29

Teorema 4 Fie f : [a, ∞) ! R pozitiva si integrabila Riemann pe [a, u ] pentru orice u > a si α 2 R pentru care exista si este …nita limita lim x α f (x ) = L. Daca α > 1 atunci integrala improprie

Z∞

f (x ) dx este convergenta, iar

a

daca α

x !∞

1 si L 6= 0 atunci integrala improprie

Z∞

f (x ) dx este divergenta.

a

Consecinta 5: Integralele improprii de forma Z∞ a

P (x ) dx, Q (x )

cu P si Q functii polinomiale cu coe…cienti reali, sunt convergente daca si numai daca polinomul Q nu se anuleaza pe intervalul [a, ∞) si grad Q grad P 2. MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

10 / 29

Formula de integrare prin parti in integrala improprie

Teorema 6 Daca f , g : [a, b ) ! R sunt integrabile Riemann pe [a, u ] pentru orice u 2 (a, b ) si derivabile cu derivata continua pe [a, b ) si daca exista si este …nita limita lim f (x ) g (x ), atunci convergenta uneia dintre integralele x !b

de mai jos implica convergenta celeilalte si are loc egalitatea: bZ 0

f (x ) g 0 (x ) dx = lim f (x ) g (x )

a

MSI Tech Support (Institute)

x !b

f (a ) g (a )

bZ 0

f 0 (x ) g (x ) dx.

a

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

11 / 29

Formula de integrare prin schimbarea variabilei la integrala improprie

Teorema 7 Fie f : [a, b ) ! R integrabila Riemann pe [a, u ] pentru orice u 2 (a, b ) si continua pe [a, b ). Daca ϕ : [α, β) ! [a, b ) este integrabila Riemann pe [α, u ] pentru orice u 2 (α, β) si derivabila cu derivata continua pe [α, β) astfel incat ϕ (α) = a si lim ϕ (t ) = b, atunci convergenta uneia dintre t ! β,t < β

integralele de mai jos implica convergenta celeilalte si are loc egalitatea: bZ 0

f (x ) dx =

a

MSI Tech Support (Institute)

βZ 0

f ( ϕ (t )) ϕ0 (t ) dt.

α

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

12 / 29

Probleme rezolvate Problema 1: Folosind de…nitia, sa se calculeze integrala improprie Z∞ 0

MSI Tech Support (Institute)

arctan x dx. 1 + x2

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

13 / 29

Probleme rezolvate Problema 1: Folosind de…nitia, sa se calculeze integrala improprie Z∞ 0

Rezolvare: Se observa ca expresia urmator

MSI Tech Support (Institute)

arctan x 1 +x 2

arctan x dx. 1 + x2

de sub integrala se poate scrie in modul

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

13 / 29

Probleme rezolvate Problema 1: Folosind de…nitia, sa se calculeze integrala improprie Z∞ 0

arctan x dx. 1 + x2

Rezolvare: x Se observa ca expresia arctan de sub integrala se poate scrie in modul 1 +x 2 urmator i0 1 1 1 1 h 0 2 2 arctan x = 2 arctan x arctan x = arctan x ( ) ( ) 2 1 + x2 2 2

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

13 / 29

Probleme rezolvate Problema 1: Folosind de…nitia, sa se calculeze integrala improprie Z∞ 0

arctan x dx. 1 + x2

Rezolvare: x Se observa ca expresia arctan de sub integrala se poate scrie in modul 1 +x 2 urmator i0 1 1 1 1 h 0 2 2 arctan x = 2 arctan x arctan x = arctan x ( ) ( ) 2 1 + x2 2 2 si atunci Z∞ Zu Zu i0 arctan x arctan x 1 h 2 dx = lim dx = lim arctan x dx = ( ) u !∞ u !∞ 1 + x2 1 + x2 2 0

MSI Tech Support (Institute)

0

0

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

13 / 29

Probleme rezolvate Problema 1: Folosind de…nitia, sa se calculeze integrala improprie Z∞ 0

arctan x dx. 1 + x2

Rezolvare: x Se observa ca expresia arctan de sub integrala se poate scrie in modul 1 +x 2 urmator i0 1 1 1 1 h 0 2 2 arctan x = 2 arctan x arctan x = arctan x ( ) ( ) 2 1 + x2 2 2 si atunci Z∞ Zu Zu i0 arctan x arctan x 1 h 2 dx = lim dx = lim arctan x dx = ( ) u !∞ u !∞ 1 + x2 1 + x2 2 0

0

1 = [ lim (arctan u )2 2 u !∞ MSI Tech Support (Institute)

0

(arctan 0)2 ] =

1 2

lim arctan u

u !∞

Beamer presentations in SWP and SW

2

=

π2 . 8

03/06

13 / 29

Problema 2 : Sa se studieze convergenta integralei improprii 1Z 0 0

MSI Tech Support (Institute)

sin x p dx. 1 x2

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

14 / 29

Problema 2 : Sa se studieze convergenta integralei improprii 1Z 0 0

sin x p dx. 1 x2

Rezolvare: Caracterul impropriu este dat de capatul superior x = 1 in vecinatatea caruia functia de sub integrala devine nemarginita. Intrucat [0, 1] [0, π ], functia de sub integrala este pozitiva si aplicand primul criteriu de comparatie obtinem:

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

14 / 29

Problema 2 : Sa se studieze convergenta integralei improprii 1Z 0 0

sin x p dx. 1 x2

Rezolvare: Caracterul impropriu este dat de capatul superior x = 1 in vecinatatea caruia functia de sub integrala devine nemarginita. Intrucat [0, 1] [0, π ], functia de sub integrala este pozitiva si aplicand primul criteriu de comparatie obtinem: 0

MSI Tech Support (Institute)

sin x p 1 x2

p

1 1

x2

,

8x 2 [0, 1].

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

14 / 29

Problema 2 : Sa se studieze convergenta integralei improprii 1Z 0

sin x p dx. 1 x2

0

Rezolvare: Caracterul impropriu este dat de capatul superior x = 1 in vecinatatea caruia functia de sub integrala devine nemarginita. Intrucat [0, 1] [0, π ], functia de sub integrala este pozitiva si aplicand primul criteriu de comparatie obtinem: 0

sin x p 1 x2

Deoarece integrala improprie

p

1 1

1Z 0

x2

p 1 dx 1 x2

,

8x 2 [0, 1].

este convergenta, deducem ca si

0

integrala din enunt este convergenta. MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

14 / 29

Problema 3 : Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integrala improprie Z∞

arctan x dx, ε x2

0.

ε

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

15 / 29

Problema 3 : Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integrala improprie Z∞

arctan x dx, ε x2

0.

ε

Rezolvare: Caracterul impropriu al integralei este cauzat de ambele capete de integrare cand ε = 0, iar pentru ε 6= 0 doar de capatul superior. Din acest motiv vom studia problema prin discutie dupa ε.

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

15 / 29

Problema 3 : Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integrala improprie Z∞

arctan x dx, ε x2

0.

ε

Rezolvare: Caracterul impropriu al integralei este cauzat de ambele capete de integrare cand ε = 0, iar pentru ε 6= 0 doar de capatul superior. Din acest motiv vom studia problema prin discutie dupa ε. In cazul ε = 0 vom scrie Z1 Z∞ Z∞ arctan x arctan x arctan x dx = dx + dx 2 2 x x x2 0

MSI Tech Support (Institute)

0

1

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

15 / 29

iar pentru a doua integrala aplicam al doilea criteriu de comparatie.

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

16 / 29

iar pentru a doua integrala aplicam al doilea criteriu de comparatie. Astfel, stiind ca integrala

Z∞

1 dx x 2 +1

1 arctan x x2 lim 1 x !∞ x 2 +1

MSI Tech Support (Institute)

este convergenta, din x2 + 1 x !∞ x2

= lim

lim arctan x =

x !∞

Beamer presentations in SWP and SW

π 2

03/06

16 / 29

iar pentru a doua integrala aplicam al doilea criteriu de comparatie. Astfel, stiind ca integrala

Z∞

1 dx x 2 +1

1 arctan x x2 lim 1 x !∞ x 2 +1

este convergenta, din x2 + 1 x !∞ x2

= lim

deducem in baza acestui criteriu ca si

Z∞

lim arctan x =

x !∞

arctan x dx x2

π 2

este convergenta.

1

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

16 / 29

iar pentru a doua integrala aplicam al doilea criteriu de comparatie. Astfel, stiind ca integrala

Z∞

1 dx x 2 +1

1 arctan x x2 lim 1 x !∞ x 2 +1

este convergenta, din x2 + 1 x !∞ x2

= lim

deducem in baza acestui criteriu ca si

Z∞

lim arctan x =

x !∞

arctan x dx x2

π 2

este convergenta.

1

Pentru prima integrala aplicam Teorema 3 b) si deoarece limita lim

x !0,x >0

xα

MSI Tech Support (Institute)

arctan x = x2

lim

x !0,x >0

arctan x

Beamer presentations in SWP and SW

lim

x !0,x >0

xα

2

03/06

16 / 29

iar pentru a doua integrala aplicam al doilea criteriu de comparatie. Astfel, stiind ca integrala

Z∞

1 dx x 2 +1

1 arctan x x2 lim 1 x !∞ x 2 +1

este convergenta, din x2 + 1 x !∞ x2

= lim

deducem in baza acestui criteriu ca si

Z∞

lim arctan x =

x !∞

arctan x dx x2

π 2

este convergenta.

1

Pentru prima integrala aplicam Teorema 3 b) si deoarece limita lim

x !0,x >0

xα

arctan x = x2

este …nita doar pentru α

lim

x !0,x >0

arctan x

2 deducem ca integrala

lim

x !0,x >0

Z1

xα

arctan x dx x2

2

este

0

divergenta. MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

16 / 29

iar pentru a doua integrala aplicam al doilea criteriu de comparatie. Astfel, stiind ca integrala

Z∞

1 dx x 2 +1

1 arctan x x2 lim 1 x !∞ x 2 +1

este convergenta, din x2 + 1 x !∞ x2

= lim

deducem in baza acestui criteriu ca si

Z∞

lim arctan x =

x !∞

arctan x dx x2

π 2

este convergenta.

1

Pentru prima integrala aplicam Teorema 3 b) si deoarece limita lim

x !0,x >0

xα

arctan x = x2

este …nita doar pentru α

lim

x !0,x >0

arctan x

2 deducem ca integrala

divergenta. Deci, in cazul ε = 0 integrala

Z∞

lim

x !0,x >0

Z1

xα

arctan x dx x2

2

este

0

arctan x dx x2

este divergenta.

ε

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

16 / 29

In cazul ε > 0, deoarece arctan x x2 1 x !∞ x 2 +1

lim

=

π 2

folosind al doilea criteriu de comparatie deducem ca

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

17 / 29

In cazul ε > 0, deoarece arctan x x2 1 x !∞ x 2 +1

lim

=

π 2

folosind al doilea criteriu de comparatie deducem ca integrala improprie Z∞

arctan x dx x2

este convergenta pentru ε > 0. Vom calcula integrala in acest

ε

caz utilizand metoda de integrare prin parti (a se vedea Teorema 6). Astfel,

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

17 / 29

In cazul ε > 0, deoarece arctan x x2 1 x !∞ x 2 +1

=

lim

π 2

folosind al doilea criteriu de comparatie deducem ca integrala improprie Z∞

arctan x dx x2

este convergenta pentru ε > 0. Vom calcula integrala in acest

ε

caz utilizand metoda de integrare prin parti (a se vedea Teorema 6). Astfel, Z∞

arctan x dx = x2

ε

MSI Tech Support (Institute)

Z∞ ε

arctan x

1 x

0

dx = lim arctan x x !∞

Beamer presentations in SWP and SW

1 x

03/06

17 / 29

In cazul ε > 0, deoarece arctan x x2 1 x !∞ x 2 +1

=

lim

π 2

folosind al doilea criteriu de comparatie deducem ca integrala improprie Z∞

arctan x dx x2

este convergenta pentru ε > 0. Vom calcula integrala in acest

ε

caz utilizand metoda de integrare prin parti (a se vedea Teorema 6). Astfel, Z∞

arctan x dx = x2

arctan x

ε

ε

arctan ε

Z∞

1 ε

Z∞

1 x

1 x

0

x !∞

1 1 dx = arctan ε + 2 x +1 ε

ε

MSI Tech Support (Institute)

1 x

dx = lim arctan x Z∞

dx . x (x 2 + 1)

ε

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

17 / 29

La calculul integralei

dx x (x 2 +1 )

vom descompune functia de sub integrala

ε

in fractii simple

x

Z∞

a bx + c 1 (a + b ) x 2 + cx + a = + 2 = . + 1) x x +1 x (x 2 + 1)

(x 2

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

18 / 29

La calculul integralei

Z∞

vom descompune functia de sub integrala

ε

in fractii simple

x

dx x (x 2 +1 )

a bx + c 1 (a + b ) x 2 + cx + a = + 2 = . + 1) x x +1 x (x 2 + 1)

(x 2

Prin identi…care se obtine a = 1, b = Z∞

dx = x (x 2 + 1)

ε

MSI Tech Support (Institute)

Z∞ ε

1 dx x

1 2

Z∞

1, c = 0 si atunci

2x dx = ln x2 + 1

ε

Beamer presentations in SWP and SW

p

x x2

+1

j∞ ε =

03/06

18 / 29

La calculul integralei

Z∞

vom descompune functia de sub integrala

ε

in fractii simple

x

dx x (x 2 +1 )

a bx + c 1 (a + b ) x 2 + cx + a = + 2 = . + 1) x x +1 x (x 2 + 1)

(x 2

Prin identi…care se obtine a = 1, b = Z∞

dx = x (x 2 + 1)

ε

lim ln

x !∞

Z∞

1 dx x

ln

p

1 2

x x2

+1

MSI Tech Support (Institute)

2x dx = ln x2 + 1

p

ε

ε

p

Z∞

1, c = 0 si atunci

ε ε2

+1

= ln

lim p

x !∞

Beamer presentations in SWP and SW

x x2

+1

x x2

+1

j∞ ε = ln

p

03/06

ε ε2

+1

18 / 29

Astfel, deoarece ln

MSI Tech Support (Institute)

lim

x !∞

p x x 2 +1

= ln 1 = 0, obtinem:

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

19 / 29

Astfel, deoarece ln Z∞

lim

x !∞

p x x 2 +1

= ln 1 = 0, obtinem:

arctan x 1 arctan ε dx = 2 x ε

ε

MSI Tech Support (Institute)

ln

p

ε ε2 + 1

Beamer presentations in SWP and SW

, pentru ε 6= 0.

03/06

19 / 29

Astfel, deoarece ln Z∞

lim

x !∞

p x x 2 +1

= ln 1 = 0, obtinem:

arctan x 1 arctan ε dx = 2 x ε

ln

ε

p

ε ε2 + 1

, pentru ε 6= 0.

Problema 4 : Sa se studieze convergenta integralei eliptice 1Z 0

1 +0

MSI Tech Support (Institute)

p

dx 1

x4

.

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

19 / 29

Astfel, deoarece ln Z∞

lim

x !∞

p x x 2 +1

= ln 1 = 0, obtinem:

arctan x 1 arctan ε dx = 2 x ε

ln

ε

p

ε ε2 + 1

, pentru ε 6= 0.

Problema 4 : Sa se studieze convergenta integralei eliptice 1Z 0

1 +0

p

dx 1

x4

.

Rezolvare: Vom descompune integrala in modul urmator

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

19 / 29

Astfel, deoarece ln Z∞

lim

x !∞

p x x 2 +1

= ln 1 = 0, obtinem:

arctan x 1 arctan ε dx = 2 x ε

ln

p

ε

ε ε2 + 1

, pentru ε 6= 0.

Problema 4 : Sa se studieze convergenta integralei eliptice 1Z 0

1 +0

p

dx 1

x4

.

Rezolvare: Vom descompune integrala in modul urmator Z1 1

MSI Tech Support (Institute)

p

dx 1

x4

=

Z0 1

p

dx 1

x4

+

Z1 0

Beamer presentations in SWP and SW

p

dx 1

x4

03/06

19 / 29

Astfel, deoarece ln Z∞

lim

x !∞

p x x 2 +1

= ln 1 = 0, obtinem:

arctan x 1 arctan ε dx = 2 x ε

ln

p

ε

ε ε2 + 1

, pentru ε 6= 0.

Problema 4 : Sa se studieze convergenta integralei eliptice 1Z 0

1 +0

p

dx 1

x4

.

Rezolvare: Vom descompune integrala in modul urmator Z1 1

p

dx 1

x4

=

Z0 1

p

dx 1

x4

+

Z1 0

p

dx 1

x4

iar la prima integrala aplicam Teorema 3 b) si la cea de a doua, Teorema 3 a). MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

19 / 29

Astfel, lim

x ! 1,x > 1

(1 + x ) α p

MSI Tech Support (Institute)

1 1

x4

=

lim

x ! 1,x > 1

p

(1 + x ) α = (1 + x ) (1 x ) (1 + x 2 )

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

20 / 29

Astfel, lim

x ! 1,x > 1

=

(1 + x ) α p

lim

x ! 1,x > 1

p

1 1

x4

=

x ! 1,x > 1

1

(1

MSI Tech Support (Institute)

lim

x ) (1 + x 2 )

lim

p

x ! 1,x > 1

(1 + x ) α = (1 + x ) (1 x ) (1 + x 2 ) (1 + x ) α (1 + x )

Beamer presentations in SWP and SW

1 2

03/06

=

1 2

20 / 29

Astfel, lim

x ! 1,x > 1

=

(1 + x ) α p

lim

x ! 1,x > 1

pentru α =

1 2

p

1 1

x4

=

x ! 1,x > 1

1

(1

lim

x ) (1 + x 2 )

lim

p

x ! 1,x > 1

(1 + x ) α = (1 + x ) (1 x ) (1 + x 2 ) (1 + x ) α (1 + x )

< 1 si deducem ca integrala improprie

Z0

p dx 1 x4

1 2

=

1 2

este

1

convergenta.

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

20 / 29

Astfel, lim

x ! 1,x > 1

=

(1 + x ) α p

lim

x ! 1,x > 1

pentru α =

1 2

p

1 x4

1

=

x ! 1,x > 1

1

(1

lim

x ) (1 + x 2 )

lim

p

x ! 1,x > 1

(1 + x ) α = (1 + x ) (1 x ) (1 + x 2 ) (1 + x ) α (1 + x )

< 1 si deducem ca integrala improprie

Z0

p dx 1 x4

1 2

=

1 2

este

1

convergenta. Pentru cealalta integrala procedand analog, lim

x !1,x 1

pentru α =

1 2

p

1 x4

1

=

x ! 1,x > 1

1 x ) (1 + x 2 )

(1

lim

lim

p

x ! 1,x > 1

(1 + x ) α = (1 + x ) (1 x ) (1 + x 2 ) (1 + x ) α (1 + x )

< 1 si deducem ca integrala improprie

Z0

p dx 1 x4

1 2

=

1 2

este

1

convergenta. Pentru cealalta integrala procedand analog, lim

x !1,x 1

pentru α =

1 2

p

1 x4

1

=

x ! 1,x > 1

1 x ) (1 + x 2 )

(1

lim

lim

p

x ! 1,x > 1

(1 + x ) α = (1 + x ) (1 x ) (1 + x 2 ) (1 + x ) α (1 + x )

< 1 si deducem ca integrala improprie

Z0

p dx 1 x4

1 2

=

1 2

este

1

convergenta. Pentru cealalta integrala procedand analog, lim

x !1,x 1 si deducem ca si a doua integrala este convergenta. Deci, integrala improprie

Z∞

x

p1 dx x2 1

este convergenta.

1

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

22 / 29

Apoi, lim x α

x !∞

p

1

x x2

x

α =2

1

= lim p x !∞

x2

1

=1

pentru α = 2 > 1 si deducem ca si a doua integrala este convergenta. Deci, integrala improprie

Z∞

x

p1 dx x2 1

este convergenta. Pentru calculul

1

acestei integrale vom utiliza formula de schimbare a variabilei (a se vedea Teorema 7).

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

22 / 29

Apoi, lim x α

x !∞

p

1

x x2

x

α =2

1

= lim p x !∞

x2

1

=1

pentru α = 2 > 1 si deducem ca si a doua integrala este convergenta. Deci, integrala improprie

Z∞

x

p1 dx x2 1

este convergenta. Pentru calculul

1

acestei integrale vom utiliza formula de schimbare a variabilei (a se vedea Teorema 7). Alegem schimbarea de variabila x = ϕ (t ) = 1t .

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

22 / 29

Apoi, lim x α

x !∞

p

1

x x2

x

α =2

1

= lim p x !∞

x2

1

=1

pentru α = 2 > 1 si deducem ca si a doua integrala este convergenta. Deci, integrala improprie

Z∞

x

p1 dx x2 1

este convergenta. Pentru calculul

1

acestei integrale vom utiliza formula de schimbare a variabilei (a se vedea Teorema 7). Alegem schimbarea de variabila x = ϕ (t ) = 1t . Atunci corespondenta dintre capetele de integrare este x = 1 ! t = 1 si x = ∞ ! t = 0

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

22 / 29

Apoi, lim x α

p

x !∞

1

x x2

x

α =2

1

= lim p x !∞

x2

1

=1

pentru α = 2 > 1 si deducem ca si a doua integrala este convergenta. Deci, integrala improprie

Z∞

x

p1 dx x2 1

este convergenta. Pentru calculul

1

acestei integrale vom utiliza formula de schimbare a variabilei (a se vedea Teorema 7). Alegem schimbarea de variabila x = ϕ (t ) = 1t . Atunci corespondenta dintre capetele de integrare este x = 1 ! t = 1 si x = ∞ ! t = 0 si dx = ϕ0 (t ) dt =

MSI Tech Support (Institute)

1 t2

dt, obtinand

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

22 / 29

Apoi, lim x α

p

x !∞

1

x

α =2

x x2

1

= lim p x !∞

x2

1

=1

pentru α = 2 > 1 si deducem ca si a doua integrala este convergenta. Deci, integrala improprie

Z∞

x

p1 dx x2 1

este convergenta. Pentru calculul

1

acestei integrale vom utiliza formula de schimbare a variabilei (a se vedea Teorema 7). Alegem schimbarea de variabila x = ϕ (t ) = 1t . Atunci corespondenta dintre capetele de integrare este x = 1 ! t = 1 si x = ∞ ! t = 0 1 t2

si dx = ϕ0 (t ) dt = Z∞ 1

x

p

1 x2

MSI Tech Support (Institute)

1

dt, obtinand

dx =

Z0 1

1 t

q

1 t2 1 2 t

dt

= 1

Beamer presentations in SWP and SW

Z1 0

p

dt 1

t2

.

03/06

22 / 29

Desi integrala la care s-a ajuns este de asemenea improprie, aceasta se va calcula folosind de…nitia:

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

23 / 29

Desi integrala la care s-a ajuns este de asemenea improprie, aceasta se va calcula folosind de…nitia: Z1 0

p

dt 1

t2

=

MSI Tech Support (Institute)

lim

u !1,u 1. 2

I =

Z2

dx ln x ,

I =

Z∞

sin x dx, x2

Raspuns: divergenta.

1

3

Raspuns:

π 2

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

27 / 29

Sa se studieze convergenta integralelor improprii: 1

I =

Z∞

ln x x α dx,

Raspuns: divergenta pentru α

1 si convergenta

1

pentru α > 1. 2

I =

Z2

dx ln x ,

I =

Z∞

sin x dx, x2

Raspuns: divergenta.

1

3

Raspuns: convergenta.

π 2

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

27 / 29

Sa se studieze convergenta integralelor improprii: 1

I =

Z∞

ln x x α dx,

Raspuns: divergenta pentru α

1 si convergenta

1

pentru α > 1. 2

I =

Z2

dx ln x ,

I =

Z∞

sin x dx, x2

Raspuns: divergenta.

1

3

Raspuns: convergenta.

π 2

4

I1 =

Z∞

pdx , 2x + 3 x 2 +1 +5

1

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

27 / 29

Sa se studieze convergenta integralelor improprii: 1

I =

Z∞

ln x x α dx,

Raspuns: divergenta pentru α

1 si convergenta

1

pentru α > 1. 2

I =

Z2

dx ln x ,

I =

Z∞

sin x dx, x2

Raspuns: divergenta.

1

3

Raspuns: convergenta.

π 2

4

I1 =

Z∞

pdx , 2x + 3 x 2 +1 +5

1

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

27 / 29

Sa se studieze convergenta integralelor improprii: 1

I =

Z∞

ln x x α dx,

Raspuns: divergenta pentru α

1 si convergenta

1

pentru α > 1. 2

I =

Z2

dx ln x ,

I =

Z∞

sin x dx, x2

Raspuns: divergenta.

1

3

Raspuns: convergenta.

π 2

4

I1 =

Z∞

pdx , 2x + 3 x 2 +1 +5

Raspuns:

1

divergenta;

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

27 / 29

Sa se studieze convergenta integralelor improprii: 1

I =

Z∞

ln x x α dx,

Raspuns: divergenta pentru α

1 si convergenta

1

pentru α > 1. 2

I =

Z2

dx ln x ,

I =

Z∞

sin x dx, x2

Raspuns: divergenta.

1

3

Raspuns: convergenta.

π 2

4

I1 =

Z∞

pdx , 2x + 3 x 2 +1 +5

1

divergenta;I2 =

Z∞

Raspuns:

dx p , x 2 + 3 x 4 +1

1

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

27 / 29

Sa se studieze convergenta integralelor improprii: 1

I =

Z∞

ln x x α dx,

Raspuns: divergenta pentru α

1 si convergenta

1

pentru α > 1. 2

I =

Z2

dx ln x ,

I =

Z∞

sin x dx, x2

Raspuns: divergenta.

1

3

Raspuns: convergenta.

π 2

4

I1 =

Z∞

pdx , 2x + 3 x 2 +1 +5

1

divergenta;I2 =

Z∞

Raspuns:

dx p , x 2 + 3 x 4 +1

Raspuns: convergenta.

1

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

27 / 29

Sa se calculeze integralele improprii: 1

I =

bZ 0

a +0

p

dx , (x a )(b x )

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

28 / 29

Sa se calculeze integralele improprii: 1

I =

bZ 0

a +0

p

dx , (x a )(b x )

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

28 / 29

Sa se calculeze integralele improprii: 1

I =

bZ 0

a +0

p

dx , (x a )(b x )

Se va utiliza schimbarea de variabila

x = ϕ (t ) = a cos2 t + b sin2 t; R.:

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

28 / 29

Sa se calculeze integralele improprii: 1

I =

bZ 0

a +0

p

dx , (x a )(b x )

Se va utiliza schimbarea de variabila

x = ϕ (t ) = a cos2 t + b sin2 t; R.: I = π

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

28 / 29

Sa se calculeze integralele improprii: 1

I =

bZ 0

a +0

p

dx , (x a )(b x )

Se va utiliza schimbarea de variabila

x = ϕ (t ) = a cos2 t + b sin2 t; R.: I = π 2

I =

bZ 0

a +0

p

x dx, (x a )(b x )

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

28 / 29

Sa se calculeze integralele improprii: 1

I =

bZ 0

a +0

p

dx , (x a )(b x )

Se va utiliza schimbarea de variabila

x = ϕ (t ) = a cos2 t + b sin2 t; R.: I = π 2

I =

bZ 0

a +0

p

x dx, (x a )(b x )

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

28 / 29

Sa se calculeze integralele improprii: 1

I =

bZ 0

a +0

p

dx , (x a )(b x )

Se va utiliza schimbarea de variabila

x = ϕ (t ) = a cos2 t + b sin2 t; R.: I = π 2

I =

bZ 0

a +0

p

x dx, (x a )(b x )

MSI Tech Support (Institute)

Raspuns:

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

28 / 29

Sa se calculeze integralele improprii: 1

I =

bZ 0

a +0

p

dx , (x a )(b x )

Se va utiliza schimbarea de variabila

x = ϕ (t ) = a cos2 t + b sin2 t; R.: I = π 2

I =

bZ 0

a +0

p

x dx, (x a )(b x )

MSI Tech Support (Institute)

Raspuns: I =

π 2

Beamer presentations in SWP and SW

(a + b )

03/06

28 / 29

Sa se calculeze integralele improprii: 1

bZ 0

I =

a +0

p

dx , (x a )(b x )

Se va utiliza schimbarea de variabila

x = ϕ (t ) = a cos2 t + b sin2 t; R.: I = π 2

3

I =

bZ 0

a +0 Z∞

I1 =

p

x dx, (x a )(b x )

Raspuns: I =

π 2

(a + b )

dx , x 4 +1

0

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

28 / 29

Sa se calculeze integralele improprii: 1

bZ 0

I =

a +0

p

dx , (x a )(b x )

Se va utiliza schimbarea de variabila

x = ϕ (t ) = a cos2 t + b sin2 t; R.: I = π 2

3

I =

bZ 0

a +0 Z∞

I1 =

p

x dx, (x a )(b x )

Raspuns: I =

π 2

(a + b )

dx , x 4 +1

0

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

28 / 29

Sa se calculeze integralele improprii: 1

bZ 0

I =

a +0

p

dx , (x a )(b x )

Se va utiliza schimbarea de variabila

x = ϕ (t ) = a cos2 t + b sin2 t; R.: I = π 2

3

I =

bZ 0

a +0 Z∞

I1 =

p

x dx, (x a )(b x )

dx , x 4 +1

Raspuns: I =

π 2

(a + b )

Raspuns:

0

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

28 / 29

Sa se calculeze integralele improprii: 1

bZ 0

I =

a +0

p

dx , (x a )(b x )

Se va utiliza schimbarea de variabila

x = ϕ (t ) = a cos2 t + b sin2 t; R.: I = π 2

3

I =

bZ 0

a +0 Z∞

I1 =

p

x dx, (x a )(b x )

dx , x 4 +1

Raspuns: I =

Raspuns: I1 =

π 2

(a + b )

π p ; 8 2

0

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

28 / 29

Sa se calculeze integralele improprii: 1

bZ 0

I =

a +0

p

dx , (x a )(b x )

Se va utiliza schimbarea de variabila

x = ϕ (t ) = a cos2 t + b sin2 t; R.: I = π 2

3

I =

bZ 0

a +0 Z∞

I1 =

p

x dx, (x a )(b x )

dx , x 4 +1

0

MSI Tech Support (Institute)

Raspuns: I =

Raspuns: I1 =

π p

;I 8 2 2

=

π 2

Ze

(a + b )

x

pdx , ln x

1

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

28 / 29

Sa se calculeze integralele improprii: 1

bZ 0

I =

a +0

p

dx , (x a )(b x )

Se va utiliza schimbarea de variabila

x = ϕ (t ) = a cos2 t + b sin2 t; R.: I = π 2

3

I =

bZ 0

a +0 Z∞

I1 =

p

x dx, (x a )(b x )

dx , x 4 +1

0

I2 = 2

MSI Tech Support (Institute)

Raspuns: I =

Raspuns: I1 =

π p

;I 8 2 2

=

π 2

Ze

(a + b )

x

pdx , ln x

Raspuns:

1

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

28 / 29

Sa se calculeze integralele improprii: 1

bZ 0

I =

a +0

p

dx , (x a )(b x )

Se va utiliza schimbarea de variabila

x = ϕ (t ) = a cos2 t + b sin2 t; R.: I = π 2

3

I =

bZ 0

a +0 Z∞

I1 =

p

x dx, (x a )(b x )

dx , x 4 +1

0

I2 = 2 4

I =

Raspuns: I =

Raspuns: I1 =

π p

;I 8 2 2

=

π 2

Ze

(a + b )

x

pdx , ln x

Raspuns:

1

Z∞ p

x dx, (1 +x 2 )2

1

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

28 / 29

Sa se calculeze integralele improprii: 1

bZ 0

I =

a +0

p

dx , (x a )(b x )

Se va utiliza schimbarea de variabila

x = ϕ (t ) = a cos2 t + b sin2 t; R.: I = π 2

3

I =

bZ 0

a +0 Z∞

I1 =

p

x dx, (x a )(b x )

dx , x 4 +1

0

I2 = 2 4

I =

Raspuns: I =

Raspuns: I1 =

π p

;I 8 2 2

=

π 2

Ze

(a + b )

x

pdx , ln x

Raspuns:

1

Z∞ p

x dx, (1 +x 2 )2

1

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

28 / 29

Sa se calculeze integralele improprii: 1

bZ 0

I =

a +0

p

dx , (x a )(b x )

Se va utiliza schimbarea de variabila

x = ϕ (t ) = a cos2 t + b sin2 t; R.: I = π 2

3

I =

bZ 0

a +0 Z∞

I1 =

p

x dx, (x a )(b x )

dx , x 4 +1

Raspuns: I =

Raspuns: I1 =

π p

;I 8 2 2

=

0

4

I =

x dx, (1 +x 2 )2

Ze

(a + b )

x

pdx , ln x

Raspuns:

1

I2 = 2

Z∞ p

π 2

Raspuns: I =

π +2 4 .

1

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

28 / 29

Sa se calculeze integralele improprii: 1

bZ 0

I =

a +0

p

dx , (x a )(b x )

Se va utiliza schimbarea de variabila

x = ϕ (t ) = a cos2 t + b sin2 t; R.: I = π 2

3

I =

bZ 0

a +0 Z∞

I1 =

p

x dx, (x a )(b x )

dx , x 4 +1

Raspuns: I =

Raspuns: I1 =

π p

4

I =

x dx, (1 +x 2 )2

Raspuns:

π +2 4 .(Indicatie:

se utilizeaza

=

x

1

I2 = 2

Z∞ p

Ze

(a + b )

pdx , ln x

;I 8 2 2

0

π 2

Raspuns: I =

1

succesiv schimbarile de variabila x = t 2 si t = tg (u )).

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

28 / 29

Bibliogra…e [1] B. Demidovitch, Recueil d’exercices et de problemes d’analyse mathematique, Editions Mir, Moscou, 1972. [2] S. G¼ ain¼ a, E. Câmpu, Gh. Bucur, Culegere de probleme de calcul diferential si integral, Editura Tehnica, Bucure¸sti, 1966. [3] S. Chirita, Probleme de matematici superioare, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1989.

MSI Tech Support (Institute)

Beamer presentations in SWP and SW

03/06

29 / 29