Integral Tak Tentu

TUGAS TUG AS INTE INTEGRAL GRAL Maret 20, 2009 oleh ipitsopiyati

INTEGRAL 1. Anti Turunan (Integral Tak tentu)

Kita telah mengkaji pendiferensialan (penurunan) maka kebalikan dari turunan disebut anti pendiferensialan (anti penurunan). Definisi: Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I – yakni, jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (Jika x suatu titik ujung dari I, F’(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi.  NOTASI UNTUK ANTI TURUNAN. Karena kita telah memakai lambang Dx untuk operasi  penentuan suatu turunan, adalah wajar untuk memakai Ax untuk operasi pencarian anti turunan. Jadi Ax (x2) = 1/3 x3 + C. Kemudian Leibniz memakai lambang ∫ … dx disebut dengan notasi Leibniz, ditulis: ∫ x2dx = 1/3 x3 + C. Teorema A (Aturan pangkat). Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka ∫ xr dx = (xr+1) / (r + 1) + C. Teorema B ∫ sin x dx = -cos x + C ∫ cos x dx = sin x + C Banyak lagi yang dapat dikatakan mengenai cari penulisan (notasi). Dengan mengikuti Leibniz, kita sering memakai istilah integral tak tentu sebagai ganti anti turunan. Anti penurunan adalah juga mengintegralkan. Dalam lambang ∫ f(x) dx, ∫ disebut tanda integral dan f(x) disebut integran. Teorema C (Kelinieran dari ∫ … dx). Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka: (i) ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx (ii) ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx; dan tak tentu? (iii) ∫ [f(x) – g(x)] dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx Teorema D (Aturan (Atur an Pangkat yang diperumum). diperumum). Andai Andaikan kan g suatu fungsi yang dapat didiferensial didiferensialkan kan dari r  suatu bilangan rasional yang bukan –1, maka : ∫ [g(x)]r  g’(x) dx = {[g(x)]r+1/r+1} + C Contoh soal: 1) Cari anti turunan yang umum dari f(x) = 2x3/4 Penyelesaian : ∫ 2x3/4 dx = (2x3/4+1)/(3/4 + 1) = (2x7/4) / (7/4) = 8/7 x 7/4 + C 2) Cari ∫ (2x2 + 6x) dx Penyelesaian : ∫ (2x2 + 6x) dx = ∫  2x2 dx + ∫  6x dx = 2 ∫  x2 dx + 6 ∫  x dx = 2 (1/3 x3 + C1) + 6 (1/2 x 2 + C2) = 2/3 x3 + 3x2 + (2C1 + 6C2) = 2/3 x3 + 3x2 + C 3) Cari ∫ (x3 + 2x)15 (3x2 + 2) dx Penyelesaian :

Andaian g(x) = x3 + 2x maka g’(x) = 3x2 + 2. Jadi menurut teorema D ∫ (x3 + 2x)15 (3x2 + 2) dx = ∫ [g(x)] 15 g’(x) dx = [g(x)]16/16 + C = (x3 + 2x)16 / 6 + C 2. Pengantar untuk Persamaan Diferensial

Dalam pasal sebelumnya, ditulis ∫ f(x) dx = F (x) + C dan ini benar asalkan F’(x F’(x)) = f(x) f(x).. Dalam bahasa difer diferensial ensial F’(x) = f(x) setara dengan dF(x) = f(x) dx Apakah suatu persamaan diferensial itu? Metode 1 Bilamana Bilamana persamaan berbentuk berbentuk dy/dx = g(x), kita amati bahwa y harus berupa suatu anti turunan dari g(x), yakni y = ∫  g(x) dx. Contoh: y = ∫  2x dx = x2 + C. Metode 2 Pikirkan dy/dx sebagai suatu hasil bagi dua diferensial. Bilamana kedua ruas dari dy/dx = 2x dikalikan dengan dx, diperoleh dy = 2x dx selanjutnya kedua ruas diintegralkan dan disederhanakan. ∫ dy = ∫ 2x dx y + C1 = x2 + C2 y = x2 + C2 – C1 y = x2 + C Masalah Gerak Ingat bahwa jika s(t), v(t) dan a(t) masing-masing menyatakan posisi, kecepatan, dan percepatan,  pada saat t dari suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat, maka v(t) = s’(t) = ds/dt a(t) = v’(t) = dv/dt = d 2s/dt2 Contoh soal: 1. Selesaikan persamaan diferensial dy/dx = (2x + 4x2) / y2 Kemudian cari penyelesaian bilamana x = 0 dan y = 2. Penyelesaian: y2 dy = (2x + 4x2) dx  jadi, ∫ y2 dy = ∫ (2x + 4x2) dx 1/3 y3 + C1 = x2 + 4/3 x3 + C2 y3 = 3x2 + 4 x3 + (3C2 – 3C1) y3 = 3x2 + 4 x3 + C y = 3√3x2 + 4 x3 + C syarat x = 0, y = 2 2 = 3√C 8=C Jadi y = 3√3x2 + 4 x3 + 8 kemudian untuk pengecekan : dy/dx = 1/3 (3x2 + 4x3 + 8 )-2/3 (6x + 12x2) = (2x + 4x2) / (3x2 + 4x3 + 8 )2/3  pada ruas kanan diperoleh (2x + 4x2) / (y2) = (2x + 4x2) / (3x2 + 4x3 + 8 )2/3 Ditulis dalam Uncategorized | Tinggalkan sebuah komentar »

  APLI KAS I TUR UNA N Maret 14, 2009 oleh ipitsopiyati

APLIKASI TURUNAN 1. Ma Maks ksim imum um dan dan Min Minim imum um

Misalkan kita mengetahui fungsi f dan domain (daerah asal) S seperti pada Gambar A. maka kita akan menent menentukan ukan f memiliki nilai maksimum atau minimum pada S. Anggap saja bahwa nilai-nilai nilai -nilai tersebut tersebut ada dan ingin mengetahui mengetahui lebih lanjut dimana dalam S nilai nilai-nila -nilaii itu berada. Pada akhirnya kita dapat menentukan nilai-nilai maksimum dan minimum.

Definisi :

Andaikan S, daerah asal f , memuat titik C, kita katakana bahwa: 1. f (c) (c) adalah nilai maksimum f  f pada pada S jika f (c)≥f  (c)≥f (x) (x) untuk semua x di S 2. f (c) (c) adalah nilai minimum f  f pada pada S jika f (c)≤f  (c)≤f (x) (x) untuk semua x di S 3. f (c) (c) adalah nilai ekstrim f  f pada pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum Teorema A (Teorema (Teorem a Eksisten Eksistensi si Maks-Mi Maks-Min). n). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b],

nilai maksimum dan nilai minimum.

maka f mencapai

Terjadinya Nilai-Nilai Ekstrim :

Biasanya fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai suatu selang I sebagai daerah asalnya. Tetapi selang ini boleh berupa sebarang dan sembilan tipe yang dibahas 1.3. beberapa dari selang ini memuat titk-titik ujung; beberapa tidak. Misalnya I = [a,b] memuat titik-titik ujung dua-duanya; (a,b) hanya memuat titik ujung kiri; (a,b) tidak memuat titk ujung satupun. Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yan didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung. (Lihat Gambar B)

Jika c sebuah titik pada mana f ’(c) ’(c) = 0 dis disebut ebut c tit titik ik sta stasio sioner ner.. Pad Padaa tititik tik stasioner stasioner,, grafik f mendatar karena garis singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim terjadi pada titik-titik stasioner. (Gambar C )

Jika c ad Jika adal alah ah ti tittik da dallam da darri I dimana f ’ tida dakk ad ada, a, di dise sebu butt c ti tittik si sing ngul ular ar.. Grafik f mempu mempunyai nyai sudut taja tajam, m, garis singgung vertikal. vertikal. Nilai Nilai-nila -nilaii ekstr ekstrim im dapat terjadi pada titik-titik singular. (Gambar D) walaupun dalam masalah-masalah praktis sangat langka.

Teorema B (Teorema (Teorem a titik kritis) .

Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f (c) (c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu : i. titik ujung I ii. titik stasioner dari f (f’(c) = 0) iii. titik singular dari f (f’ (c) tidak ada) Mengingat teorema A dan B, untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I . Langkah 1 : Carilah titik-titik kritis dari f pada I Langkah 2 : hitunglah f pada setiap titik kritis, yang terbesar adalah nilai maksimum dan yang terkecil adalah nilai minimum.

soal : Carilah nilai- nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x 2 + 4x pada [-3, 1] Penyelesaian: Menurunkan fungsinya f’(x) = 2x + 4 Kemudian mencari titik kritis f’(x) = 0 2x + 4 = 0 X = -2 Berarti titik-titik kritis yang di dapat -3, -2, 1 maka : f(-3) = -3 f(-2) = -4 f(1) = 5 Jadi nilai maksimum adalah 5 (dicapai pada 1) dan nilai minimum adalah -4 (dicapai pada -2) 2.Kemonotonan dan Kecekungan

Definisi :

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup atau tak satupun). Kita katakan bahwa : f adalah adalah naik pada I  I jika jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2dalam I , x1 < x2 → f(x1) < 1. f  f(x2) f adalah adalah turun pada I  I jika jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I , x1 > x2 → f(x1) > 2. f  f(x2)

3. f  f monoton monoton murni pada I  I jika jika ia naik pada I  I atau atau turun pada I  Teorema A (Teorema Kemonotonan) . Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat dideferensialkan pada setiap titik dalam dari I  1. Jika f’ (x) (x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f  f naik naik pada I  2. Jika f’ (x) (x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f  f turun turun pada I  Turunan Pertama dan Kemonotonan Inga In gatt ke kemb mbal alii ba bahw hwaa tu turu runa nann per perta tama ma f’ (x) (x) me memb mber erii ki kita ta ke kemi miri ringa ngann da dari ri ga gari riss singgung f dititik x, kemudian jika f’ (x) (x) > 0, garis singgung naik ke kanan, serupa, jika f’ (x) (x) < 0,

garis singgung jatuh ke kanan. (Gambar A)

Turunan Kedua dan Kecekungan

Sebuah fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang sangat bergoyang (Gambar B), maka kita perlu mempelajari bagaimana garis singgung berliku saat kita bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Jika secara tetap berlawanan arah putaran jarum jam, kita katakan bahwa grafik cekung ke atas, jika garis singgung berliku searah jarum jam, grafik cekung ke bawah Definisi:

Andaikan f ter erde deffer eren ensi sial al pa pada da se sellan angg te terrbu buka ka I = (a,b). jika f’ naik grafiknya) cekung ke atas disana; jika f’ turun pada I , f cekung ke bawah pada I. Teorema B

pada I , f (dan (dan

(Teorema kecekungan). Andaikan f terdeferensial dua kali pada selang terbuka (a,b). 1. Jika f’’ (x) (x) > 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f  f cekung cekung ke atas pada (a,b) 2. Jika f’’ (x) (x) < 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f  f cekung cekung ke bawah pada (a,b) Titik Balik  Andaikan f kontinu di c, kita sebut (c, f  (c)) suatu titik balik dari grafik  f jika f cekung  f (c))

ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. grafik dalam Gambar C menunjukkan sejumlah kemungkinan. Gambar 

soal :

Jika f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 3 cari dimana f naik dan dimana turun? Penyelesaian: Mencari turunan f  f’(x) = 3x2 + 12x + 9 = 3 (x2 + 4x + 3) = 3 (x+3)(X+1)

Kita perlu menentukan ( x  x +3) ( x  x +1) > 0 dan ( x  x +3) ( x  x + 1) < 0 terdapat titik pemisah -3 dan -1, membagi sumbu xatas tiga selang ( -∞, -3), (-3, -1) dan (-1, ∞). Dengan memakai titik uji -4, -2, 0 didapat f `( x  x) > 0 pada pertama dan akhir selang dan f `( x  x) < 0 pada selang tengah. Jadi, f naik pada (-∞, -3] dan [-1, ∞) dan turun pada [-3, -1] Grafik (-3) = 3  f (-3) (-1) = -1  f (-1) (0) = 3  f (0) 3.Maksimum dan Minimum Lokal

Definisi :

Andaikan S, daerah asal f , memuat titik c. kita katakan bahwa : 1. f( c) c) nilai maksimum lokal f  f jika jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f (c) (c) adalah nilai maksimum f  f pada pada (a,b)

∩

S

2. f (c) (c) nilai minimum lokal f  f jika jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f (c) (c) adalah nilai minimum f  f pada pada (a,b)

∩

S

3. f (c) (c) nilai ekstrim lokal f  jika  jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal

Teorema titik kritis pada dasarnya berlaku sebagaimana dinyatakan dengan nilai ekstrim diganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. Jika turunan adalah positif pada salah satu pihak dari titik kritis dan negative pada pihak lainnya, maka kita mempunyai ekstrim lokal. GAMBAR MAKS.LOKAL DAN MINIM LOKAL

Teorema A (Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal) .

yang memuat titik kritis c.

Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b)

1. Jika f’ (x) (x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’ (x) (x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f (c) (c) adalah nilai maksimum lokal f  (x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’ (x) (x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), 2. Jika f’ (x) maka f (c) (c) adalah nilai minimum lokal f  (x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f (c) (c) bukan nilai ekstrim lokal f . 3. Jika f’ (x) Teorema B (Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f ’ dan f’’ ada pada setiap selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’ (c) (c) = 0 (c) < 0, f (c) (c) adalah nilai maksimum lokal f  i. Jika f’’ (c) ii. Jika f’’ (c) (c) > 0, f (c) (c) adalah nilai minimum lokal f 

titik dalam

soal :

Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x 2 – 8x + 7 pada (-∞,∞)  penyelesaian: fungsi polinom kontinu dimana-mana dan turunannya, f’(x) = 2x – 8, ada untuk semua x. jadi satu-satunya titik kritis untuk f adalah penyelesaian tunggal dari f’(x) = 0 yakni x = 4 karena f’(x) = 2(x-4) < 0 untuk x0 untuuk x>0, f naik pada [4,∞) karena itu, f(4) = -9 adalah nilai minimum lokal f, karena 4 adalah ad alah satu-satunya bilangan kritis, tidak terdapat nilai ekstrim lain. Ditunjukkan oleh grafik di bawah ini.

4.Lebih Banyak Masalah Maks-Min

Masalah yang dipelajari dalam pasal 4.1, biasanya menganggap bahwa himpunan pada mana kita ingin memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi berupa selang tertutup. Tetapi, selang-selang yang uncul dalam praktek tidak selalu tertutup; kadang-kadang terbuka atau bahkan setengah terbuka., setengah tetutup. Kita masih tetap menangani masalah ini jika ita menerapkan mener apkan secara benar teori yang dikembangkan dikembangkan dalam pasal 4.3. Ingat dalam hati bahwa maksimum (minimum) tanpa kata sifat tambahan berarti maksimum (minimum) global. Langkah-langkahnya: 1) Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variabel-variabel yang sesui untuk  besaran-besaran kunci 2) Tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan (diminimumkan) dalam  bentuk variabel-variabel tersebut 3) Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari variabelvariabel ini dan karenanya enyataka Q sebagai fungsi dari satu variabel, misalnya x 4) Tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang 5) Tentukan titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling sering, titik-titik kritis kunci berupa titik-titik stasioner dimana dQ/dx = 0 6) Gunakan teori bab ini untuk memutuskan titik kritis mana yang memberika maksimum atau minimum soal : Cari (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari f ( x  x) = x3 – 3 x2+4 pada ( -∞, ∞).

Penyelesaian :

`( x  f `(  x) = 3 x2 – 6x = x(3 x – 6) x=0 dan x= 2 (2) = 0  f (2)  f (0) = 4

fungsi memiliki nilai maksimum 4 (pada 0) dan nilai minimum 0 (pada 2) 5.Penerapan Ekonomik

Dalam mempelajari banyak masalah ekonomi sebenarnya kita menggunakan konsep kalkulus. Misalkan dalam suatu perusahaan, PT ABC. Jika ABC menjual x satuan barang tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk setiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p tergantung  pada x. pendapatan total yang diharapkan ABC diberikan oleh R(x) = x p(x), banyak satuan kali harga tiap satuan. Untuk memproduksika memproduksikann dan memasarkan x satuan satuan,, ABC akan mempu mempunyai nyai biaya total C(x). Ini   bia biasan sanya ya ju juml mlah ah da dari ri bi biay ayaa te teta tapp di dita tamb mbah ah bi biay ayaa va vari riab able le.. Ko Konse nsepp da dasar sar un untu tukk seb sebua uahh  perusahaan adalah total laba P(x), yakni slisih antara pendapatan dan biaya. P(x) = R(x) – C(x) = x p(x) – C(x)

Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya. Pada dasarnya suatu produksi akan berupa satuan-satuan satuan-satuan diskrit. diskrit. Jadi R(x), C(x) dan P(x) pada umumnya didefinisikan hanya untuk x= 0,1,2,3,…..dan sebagai akibatnya, grafiknya akan terdiri darii tit dar titik-t ik-tititik ik dis diskri krit.t. Aga Agarr kit kitaa dap dapat at mem memper perguna gunakan kan kal kalkul kulus, us, tititik tik-ti -titik tik ter tersebu sebutt kit kitaa hubungk hub ungkan an sat satuu sam samaa lai lainseh nsehing ingga ga mem membent bentuk uk kur kurva. va. Den Dengan gan dem demiki ikian, an, R,C R,C,, dan P dapa dapatt dianggap ebagai fungsi yang dapat dideferensialkan. Penggunaaan Kata Marjinal

Andaik Anda ikan an AB ABC C me meng nget etah ahui ui fu fung ngsi si bi biay ayan anya ya C( C(x) x) da dann nt ntuk uk se seme ment ntar araa di dire renc ncan anak akan an memproduksi 2000 satuan tahun in. ABC ingin menetapan biaya tambahan tiap satuan. Jika fungsi biaya adalah seperti pada gambar A, Direktur Utama ABC menanyakan nilai ∆C/∆X pada saat ∆x = 1. tetapi kita mengharapkan bahwa ini akan sangat dekat terhadap nilai Lim

Pada saa Pada saatt x = 200 2000. 0. ini disebut disebut bia biaya ya mar marjijinal nal.. Kit Kitaa men mengena genalny lnyaa seb sebagai agai dc/dx, dc/dx, tur turunn unn C terhadap x. dengan demikian, kita definisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal dR/dx, dan keuntungan marjinal sebagai dP/dx. soal :

andaikan C(x) = 6700 + 4,15x + 30x1/2rupiah. Cari biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marjinal dan hitung mereka bilamana x = 4000  penyelesaian : Biaya rata-rata : C(x)/x = (6700 + 4,15x + 30x 1/2) /x Biaya marjinal : dC/dx = 4,15 + 30x -1/2 Pada X = 400 diperoleh Biaya rata-rata = 22,4 x 400 = 8960 Biaya marjinal = 4,9 x 400 = 1960 Ini berarti bahwa rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp. 8960 untuk memproduksi 400satuan yang  pertama, untuk memproduksi satu satuan tambahan diatas 400 hanya memerlukan biaya Rp. 1960. 6.Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga

Definisi-definisi Cermat Limit bila x→ ± ∞ Dalam analogi dengan definisi, kita untuk limit-limit biasa, kita membuet definii berikut. Definisi:

(Limit bila x → ∞). Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat bilangan M yang x→∞  berpadanan sedemikian sehingga

X > M → │f(x) - L│ < ε Definisi:

(Limit bila x → -∞). Andaikan f terdefinisi pada ( -∞, c] untuk suatu bilangan c. kita katakan  bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat bilangan M yang x→ -∞  berpadanan sedemikian sehingga X < M → │f(x) – L│ < ε Definisi:

(Limit-limit tak- terhingga). Kita katakan bahwa Lim f(x) = ∞ jika untuk tiap bilangan x→c+  positif M, berpadanan suatu δ>0 demikian sehingga 0 < x – c < δ→ f(x) > M Hubungan Terhadap Asimtot

Garis x = c adalah asimtot vertical dari grafik y = f(x). misalkan garis x = 1 adalah asimtot tegak. Sama halnya garis-garis x = 2 dan x = 3 adalah asimtot vertical. Dalam nafas yang serupa, garis y = b adalah asimtot horizontal dari grafik y = f(x) jika Lim f(x) = b atau Lim f(x) = b x→∞ x→ -∞ Garis y = 0 adalah asimtot as imtot horizontal. soal :

. lim 3x2 - 2x + 6 / 6x2 – 5x -9 x→ ~ lim 3x2/x2 – 2x/x2 + 6/x2 / 6x2/x3 – 5x/x2 + 9/x2 = 3/6 = 1/2 x→ ~ 7.Penggambaran 7.Penggamb aran Grafik Canggih

Kalkulus menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik secara baik, khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri grafik. Kita dapat menempatka titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum lokal, dan titik-titik balik. Kita dapat menentukan secara persis dimana grafik naik atau dimana cekung ke atas. POLINOM. Polinom derajat 1 atau 2 jelas untuk di gambar grafiknya, yang berderajat 50 hampir mustahil. Jika derajatnya cukup ukurannya, misalka 3 sampai 6. kita dapat memakai alatalat dari kalkulus dengan manfaat besar. FUNGSI RASIONAL . Fungsi rasional, merupakan hasil bagi dua fungsi polinom, lebih rumit untuk digrafikkan disbanding polinom. Khususnya kita dapat mengharapkan perilaku yang dramatis dimanapun penyebut nol. RINGKASAN METODE . Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapat pengganti untuk akal sehat. Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut akan sangat membantu. Langkah 1 :

Buat analisis pendahuluan sebagai berikut : a. Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang yang dikecualikan.  b. Uji kesemetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (apakah fungsi genap atau ganjil?) c. Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat. d. Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titk kritis dan untuk mengetahui tempattempat grafik naik dan turun. e. Uji titik-titik kritis untuk maksimum atau minimum lokal. f. Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah dan untuk melokasikan titik-titik balik. g. Cari asimtot-asimtot. Langkah 2 : Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan titik balik) Langkah 3 : Sketsakan grafik. soal :

Sketsakan grafik f(x) = (2x5 – 30x3)/108  penyelesaian : karena f(-x) = -f(x), f adalah fungsi ganjil, oleh karena itu grafiknya simetri terhadap titik asal. Dengan menetapkan f(x) = 0 berarti {2x5 – 30x3}/108 = 0 dan x3(2x2 – 30)/108 = 0 kita temukan perpotongan sumbu x adalah 0 dan ± √15 ≈ 3,85 Kemudian kita deferensialkan f’(x) = (10x4 – 90x2)/108 = {10x2 (x2-9)}/108 kita peroleh titik kritis -3, 0, 3 f(-3) = 3 f(0) = 0 f(3) = 12

kemudian kita deferensialkan kembali f”(x) = (40x3 -180x)/108 = {x(40x2-180)}/108 kita peroleh x = -2.1 x = 2.1 x = 0 f(-2.1) = 1.8 f(2.1) = -1.8 f(0) = 0 8.Teorema Nilai Rata-Rata

Teoremaa nil Teorem nilai ai rat rata-r a-rata ata adal adalah ah bid bidang ang kal kalkul kulus us – titidak dak beg begitu itu pen pentin ting, g, tet tetapi api seri sering ng kal kalii memban mem bantu tu mel melahi ahirka rkann teo teorem rema-t a-teor eorema ema lai lainn yan yangg cuk cukup up ber berart arti.i. Dal Dalam am baha bahasa sa geo geomet metri, ri, teorema nilai rata-rata mudah dinyatakan dan dipahami. Teorema mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak vertikal pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung di titik C sejajat talibusur AB. Dalam Gambar 1, hanya terdapat satu titik C yang demikian, dan dalam Gambar 2 terdapat beberapa. GAMBAR 1 dan 2

Teorema A (Teorem (Te orema a Nila Nilaii rata rata-rat -rata a unt untuk uk Turu Turunan nan)) .

Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdeferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana

(b) –  f  (a) / b – a = f’ (c) (c)  f (b)  f (a) atau secara setara, dimana (b) –  f  (a) = f’ (c) (c) (b-a)  f (b)  f (a) Teorema B

Jika F’ Jika F’(x (x)) = G’ G’(x (x)) unt untuk uk se semu muaa –x dal dalam am (a, (a,b) b),, ma maka ka te terd rdap apat at ko konst nstan anta ta C sed sedem emik ikia iann sehingga F(x) = G(x) + C Untuk semua x dalam (a,b) soal: Cari bilangan c yang dijamin oleh teorema Nilai rata-rata untuk f(x) = x2 – 3 pada [1,3]

 penyelesaian : f’(x) = 2x dan {f(3) – f(1)}/ 3 – 1 = {6 – (-2)}/2 = 8/2 = 4  jadi kita harus menyelesaikan 2C = 4 maka C = 2  jawaban tunggal adalah C = 2

Ditulis dalam Uncategorized | Bertanda dj dj,, wui | Tinggalkan sebuah komentar »

 Jawaban: c