Integral Rangkap 3

A. INTEGRAL RANGKAP 3 1. Integral Rangkap Tiga Pada Koordinat Kartesius z

y

(x k , y k , z k )

B ∆z ∆x

x Gb. 3.1

Bk

∆y

Perhatikan suatu fungsi f tiga peubah yang didefinisikan atas suatu daerah berbentuk balok B dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu koordinat. Bentuk suatu partisi P dari B dengan meletakkn bidang-bidang melalui B sejajar bidang koordinat,

jadi

B1 , B2, ...., Bk ,...., Bn

memotong

B

ke

dalam

balok-balok

bagian,

yaitu:

( x k , y k , z k ) dan dengan . Pada Bk , ambil satu titik contoh

penjumlahan Riemann diperoleh: n

 f (x k 1

k

, yk , zk )

Vk

Dengan Vk = x k , y k , z k adalah volum Bk . Jika P adalah panjang diagonal terpanjang dari setiap balok bagian, maka kita definisikan integral lipat tiga sebagai berikut:

 B

n

f ( x, y, z )dV  lim  f ( x k , y k , z k )Vk P 0

k 1

Jika limitnya ada, seperti halnya pada integral lipat dua. Pengertian integral lipat tiga mempunyai urutan pengintegralan serupa seperti pada integral lipat dua. Sehingga integral lipat di fungsi f(x,y,z) atas daerah B ditulis sebagai berikut:

   f ( x, y, z)dV B

, misalnya kita tuliskan

   f ( x, y, z )dxdydz B

, yang mempunyai

arti: a. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap x dengan menganggap y dan z sebagai konstanta b. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap y dengan menganggap z sebagai konstanta c. Terakhir, hasil dari b, diintegrasikan terhadap z. Begitu juga jika pengintegralannya ditulis dalam bentuk yang lain ururtan pengintegralannya menyesuaikan. Sebagaimana pada integral lipat dua, jika f adalah fungsi pada daerah tertutup maka untuk menghitung integral tentu digunakan integral berulang dua kali, demikian pula untuk menghitung integral lipat tiga, digunakan tiga kali, asalkan f kontinu.

Sehingga

bila

B

balok

persegi

B  {( x, y , z ) : a  x  b, c  y  d , e  z  f }

panjang

yang

dibatasi.

z

f

e

c

d

y

a b x

Gb. 3.2 Bila

B  {( x, y , z ) : a  x  b, c  y  d , e  z  f }, maka untuk menghitung

integral lipat tiga atas benda B adalah: b

d

f

a

c

e

 f ( x, y, z)dV   { ( f ( x, y, z )dz)dy}dx B

Merupakan bentuk perhitungan integral lipat tiga.

}

2. Perhitungan dan Penerapan Integral Rangkap 3 Andai f(x,y,z) terdefinisi pada S dan f(x,y,z) bernilai nol, bila diluar S. Andai S himpunan z sederhana dan

S xy

adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang

xy, untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut: z

y Sxy

Gb. 3.3

x y

Sxy

x

Gb. 3.4

Bila f kontinu dan terintegral pada benda pejal S, maka diperoleh:

 f ( x, y, z )dV  [ S

Dimana Sxy

z2 ( x , y )

 f ( x, y, z )dz ]dA

S xy z1 ( x , y )

adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang xy. Selanjutnya

jika Sxy daerah pada bidang xy yang berbentuk y sederhana, seperti pada gambar S xy  {( x, y ) : y1 ( x)  y  y 2 ( x), a  x  b}

3.4 . yang dibatai oleh:

dengan integral berulang diperoleh:

 f ( x, y, z )dV  [ S

S xy

, sehingga

z2 ( x , y )

 f ( x, y, z )dz ]dA

z1 ( x , y )

b y2 ( x ) z2 ( x , y )

=

[  a

(

 f ( x, y, z )dz )dy]dx

y1 ( x ) z1 ( x , y )

Dari rumus di atas perlu diperhatikan bahwa batasan integrasi harus sesuai dengan urutan-urutan pengintegralannya.

LATIHAN 4 2 x x y

   yzdzdydx

1. Hitung

0 0

y

Jawab : 2 x

z

x

z

z

7 4 7 7 x dx= x 5 z = z 5 ∫∫ 12 y z 2 x +y y dy dx=∫∫ 12 x 2 y + x y 2 dy dx=∫ 14 x 2 y 2 + 13 x y 3 0x dx=∫ 12 60 60 0 0 0 0 0 0 0

|

|

|

1 x xy

 x

2. Hitung

3

y 2 zdzdydx

0 0 0

Jawab : 1 x xy

 x

3

y 2 zdzdydx

0 0 0

1 x

1 x

1

1

5 1 10 1 1 x dx= x 11 1 = ∫∫ x y 12 z2 xy0 dy dx =∫∫ 12 x 5 y 4 dy dx=∫ 12 x5 15 y x0 dx=∫ 10 11 0 11 0 0 0 0 0 0 3

2

|

|

|