Integral por sustitución de euler

C´ alculo Diferencial e Integral II

2 de octubre de 2013

1 M´ eto dos de Integ etodos Integrac raci´ i´ on on

M´etodo eto do de Eul Euler er Para resolver integrales de la forma

      

ax2

+  bx  +  cdx

El matem´atico atico su´ su´ızo Leonard Euler, ide´o unas sustituciones que permiten transformar estas integrales a integrales de funciones racionales. Primera sustituci´on on del m´etodo etodo de Euler Para calcular la integral

      

ax2

donde

a >  0

+  bx  +  cdx

hacemos la siguiente sustituci´on: on:

 

ax2

+  bx  +  c  =

±√ ax + t

Hay que considerar s´olo olo un signo, cualquiera de los dos, ya que se obtiene el mismo resultado. Vamos a usar ´algebra algebra de la igualdad para despejar x

 

2

ax

√  +  bx  +  c  = ax + t ⇒

 

2

2

ax

+  bx

 = √   +   +  c

ax

 t

2

⇒

2

ax

√ axt + t

+ bx + c  =  ax 2 + 2

2

− 2√ axt =  t − c ⇒ x = b −t 2−√ cat √  √  √  √  2t(b − 2 at) − (−2 a)(t − c) 2tb − 2 at − 2 ac √  √  dx  = dt  = (b − 2 at) (b − 2 at) 2

⇒

de donde

2

bx

2

2

2

por lo tanto

 

ax2

√  +  bx  +  c  = ax+t ⇒

 

ax2

 √  +  bx  +  c  = a

2

t2

−√ c +t ⇒ b − 2 at

 

ax2

√ at − √ ac + tb  − √  +  bx  +  c  = b − 2 at 2

por lo tanto

      

2

ax

+  bx  +  cdx  =

     −√ 

  2tb − 2√ at − 2√ ac    (−√ at − √ ac + tb) ac +  tb − √  √  √  √  dt  = 2 b − 2 at (b − 2 at) (b − 2 at)

at2

2

2

2

2

3

dt

Las expresiones que se obtienen son racionales y p odemos utilizar el m´etodo etodo de fracciones parciales para calcular las integrales Prof. Esteban Rub´en Hurtado Cruz

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C´ alculo Diferencial e Integral II

Ejemplo.-Calcular

 

2 de octubre de 2013

√ xdx+ 3 2

Para esto hacemos la sustituci´on

 

2

x2

+ 3 =  x  +  t

⇒

  + 3 = (  + ) x2

x

 t

⇒ de donde

2

x

3

−t

x  =

+ 3 =  x 2 + 2xt +  t 2

2t

 

x2

(2t)2

+ 3 =  x  +  t

⇒

De donde la integral es: dx

√ x

2

+3

=

 

1 3+t2 2t

 

2

2

 −2t(2t) − 2(3 − t ) = −2t − 6 = − t 4t 2

As´ı



−

t2

Prof. Esteban Rub´en Hurtado Cruz

 

+3 2t2

x2



+3 =

dt  =

−

3

2

⇒ − 2xt =  t − 3

2

2

dx  =

 

2

⇒

2

−t 2t

  1 t

+ t

dt  =

⇒

+3 2t2

 

x2

+3 =

3 +  t 2 2t

 

− ln |t| + C  = − ln |

x2

+3

− x| + C 

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