Integral Lipat Dan Transformasi Koordinat
March 11, 2019 | Author: Arifudin | Category: N/A
Short Description
integral...
Description
6. INTEGRAL INTEGRA L LIPAT LIPAT DAN TRANSFORMASI KOORDINAT KOORDINAT
6.1. defenisi integral lipat Dala !al!"l"s dan #si!a dasar$ !ita %an&a! engg"na!an integrasi "nt"! "nt "! en enent ent"!a "!an n l"a l"as$ s$ '(l '(l"e "e$$ a assa ssa$$ ( (en en ine inersi rsia a dan sebagainya. sebagainya. Integral dari sebuah fungsi dapat diperluas dengan lebih dari satu sa tu variabel, misalnya z = f(x,y). Integral lipat dua dari fungsi f(x,y) dituliskan dengan: ❑
∬ f ( ( x x , y ) dA
. diana R daera) &ang diintegrasi dala %idang *&.
R b
Jika integral
∫ f ( ( x x ) dx
dari satu buah variabel f(x) ≥ 0 adalah luasan di baah kuva
a
f(x) dari x = a sampai x = b, maka integral lipat dua sama dengan v!lume dibaah permukaan z=f(x,y) dan di atas bidang xy pada daerah integrasi " (gambar #.$). %tau seperti seperti integral integral satu variabel, variabel, integral lipat d"a di defenisi!an se%agai
liit dari +"la) Rieann (gambar #.&). Jika daerah " adalah persegi 'a,b x ',d maka kita dapat membagi*bagi 'a,b men+adi interval*interval interval*interval keil dengan se+umlah x0,x$,-xm sehingga a = x0 / x$ / x& / - / xi / - / xm*$ / xm = b
Ga%ar 6.1
Ga%ar 6.,
engan ara yang sama, kita set se+umlah y !, y$,-,yn untuk mempartisi ',d sepan+ang sumbu y dengan syarat = y0 / y$ / y& / - / y + / - / yn*$ / yn = d Jumlah "ieman dari sebuah fungsi f(x,y) f(x,y) seluruh patisi 'a,b x'bx x'bx adalah $
m
n
∑ ∑ f (u , v ) ∆ x ∆ y = = i
i
1
j
j
i
j
1
imana (ui,v+) adalah titik*titik pada persegi (x i*$, x i) x (y +*$, y +) dan ∆xi = xi 1 xi*$, dan ∆y + = y + 1 y +*$
2ehingga dapat kita defenisikan integral lipat dua dari fungsi f(x,y) dalam daerah persegi 'a,b x'b, adalah liit dari +"la) rieann dengan nilai maksimum dari ∆xi
dan ❑
∬
∆y + m
f ( x , y ) dA =
lim
n!l.
n
∑ ∑ f (u , v ) ∆ x ∆ y i
max ∆ xi →0 i =1 j=1 max ∆ y i→ 0
[ a , b] x [b , c ]
mendekati
j
i
j
Sifat integral lipat d"a-
$.
&.
3.
, dimana k adalah k!nstanta
1
2
∫∫ xy dydx
(nt() 1 hitunglah integral dari
0
2!lusi
(kita
integralkan
1
terlebih
dahulu
selan+utnya yang terluar) 1
2
1
[ ] [ |] 2
∫∫ xy dydx =∫ ∫ xy dy 0
1
0
1
1
∫ x
dx =
0
y
2
2
2
1
3
∫ 2 x dx = 2
dx =
1
0
1
(nt() , hitunglah integral dari
3
y
x
2
2
2
∫∫( x +2 y )dxdy 0
y
&
|
1
0
=
3 4
bagian
dalam
integral
[
]
2
y
[
1
|] 2
2
∫ ( x + 2 y ) dx dy =¿∫ x2 + 2 yx
2!lusi:
y
1
y
0
2
y
dy
y
1
∫∫ ( x +2 y ) dxdy=∫ ¿ 0
y
0
[(
y
4 3
2
)(
+ 2 y −
y
2
2
+ 2 y
2
)]
1
∫
dy =¿
0
[
y
4
2
3
+ 2 y −
5 y 2
2
] [ dy =
y
5
10
+
y
4
2
−
5 y 6
3
]
1
0
1
¿∫ ¿ 0
¿
1 10
1
5
−7
2
6
30
+ − =
y
2
∫∫ x √ ( y + x ) dxdy 2
(nt() / hitunglah integral dari
1
y
2
2
[
2
0
]
y
∫∫ x √ ( y + x ) dxdy =∫ ∫ x √ ( y + x ) dx dy 2
2!lusi:
1
2
0
1
2
2
0
4ntuk memudahkan integral bagian dalam, mari kita misalkan: z = y + x 2
→ dz = &xdx atau xdx = dz5&
2
+ika x = 0 maka z = y& dan saat x = y maka z = &y &, sehingga: 2
[
y
] [ 2
2 y
2
dz
∫ ∫ x √ ( y + x ) dx dy =∫ ∫ √ z 2 1
[(
2
2
0
2 y
1
/
) −( y )
2 3 2
/
2 3 2
2
] dy =¿ ∫ [ ( 1 3
y
2
2
√ 2 y
3
¿
3
dy =
1
z
/
3 2
3
2 y
y
2
dy
2
2
2−1 − y ) ] dy = √ ∫ y
1
1
] ∫[ | ] 2
3
2
3
3
dy
1
2
∫¿ 1
5 ( 2 √ 2−1 ) − ¿ 2 √ 2 1 [ y ] = 4
12
2 1
4
❑
(nt() 0 hitunglah integral lipat dua dari
∬ xydxdy
daerah persegi yang diberi
R
batas "=(x,y)|&≤x≤6, 0≤y≤$ 2!lusi: Integrasi dari f(x,y) dapat +uga dituliskan dalam bentuk perkalian f(x)g(x),sbb: 3
❑
4
R
2
[ ][ ]
1
∬ xydxdy =∫ xdx ∫ ydy = 0
x
2
2
4
y
2
2
2
1
= ( 8 −2 ) 0
( − )= 1 2
(nt() 7itunglah integral dari
0
x + y dxdy
❑
∬ R
2
2
1
0
∬ ( x + y ) =∫∫ ( xdxdy + y ) 2
R
−1 ∫ (axdx+b ) = a ( ax +b ) 2
∫ axdx+b = 1a ln ( ax + b )
2!lusi: dxdy
( ¿)
daerah persegi yang diberi
2
"umus:
batas "=(x,y)|0≤x≤&, $≤y≤&
❑
3
2
Integral lipat d"a di se"a daera) Jika daerah "$ dibatasi dengan x = a, x = b, y = p(x) dan y = 8(x) dengan a / b dan p(x) / 8(x) untuk semua x∈'a,b dapat ditulisskan sebagai berikut: b
f ( x , y ) dxdy =¿
y =q ( x )
∫ ∫
f ( x , y ) dydx
x =a y = p ( x )
❑
∬¿ R
6
an daerah "& dibatasi dengan gra9k fungsi x = u(y), x = v(y), y = , y = d dibaah k!ndisi baha / d dan u(y) / v(y) untuk semua y∈',d dapat dituliskan sebagai berikut d
f ( x , y ) dxdy =¿
x =v ( y )
∫ ∫
f ( x , y ) dxdy
y =c x =u( y )
❑
∬¿ R
❑
(nt() 6 7itunglah integral dari
∬ ( x − y ) dxdy
. aerah integrasi " dibatasi !leh
R
x = 0, x = $, y = x dan y = & * x& 2!lusi
Ga%ar 1 er"pa!an %ent"! dari R 2 34*$&5 dit"lis!an s%%2 − x
2
1
[
y =2− x
∫ ( x − y ) dxdy=¿ ∫ ∫ x
0
]
2
( x − y ) dy dx
y= x
❑
1
R
0
∬ ( x − y ) dxdy=∫ ¿ 1
¿∫ xy − 0
y
2
|
2
2
− x
2 y = x
1
∫
dx =
0
[{
2 2
} { }]
( 2− x ) x x ( 2− x )− − x − 2
2
2
2
2
dx
*
1$ *
&
, 7 *,. Dapat
1
¿∫ 0
[
− x 2
4 3
− x +
3 x 2
2
] [
+ 2 x −2 dx =
− x
5
10
x
−
4
4
x
+
1
]|
3 2
2
+ x + 2 x =
−17 20
0
❑
∬ ( x + y ) dxdy
(nt() 8 7itunglah integral dari
. aerah integrasi " dibatasi !leh x
R
= 0, y = 0, dan x ; y = & 2!lusi: kita dapat merepresentasikan daerah " dengan " = (x,y) |0 ≤ x ≤ &, 0 ≤ y ≤ & 1 x (perhatikan gambar berikut) 2 − x
2
[
2
− x
∫ ( x + y ) dxdy =¿ ∫ ∫ ( x + y ) dy 0
0
0
❑
]
dx
2
∬ ( x + y ) dxdy =∫ ¿ R
0
| ∫[{ ( ∫[ ] [ ] | ∬ 2
¿∫ xy +
y
2
0
2
¿
(nt() 9. 7itunglah integral dari
2
x
2−
2 − x
2
x 2− x ) +
dx =
y = 0
0
2
2
( 2− x )
x
dx = 2 x −
3
6
2
2
}]
dx
2
0
=8 3
0 xdxdy . aerah integral " dibatasi !leh y =
R
x3, x ; y = & dan x = 0 2!lusi: perhatikan gambar #.3: aerah kurva yang dibatasi !leh y = x3 dan garis x ; y = & berp!t!ngan di ($,$). 2ehingga dapat kita tuliskan integrasinya men+adi: 2 − x
[ ] 2− x
∫ xdxdy=¿∫ ∫ xdy dx
❑
∬ xdxdy
1
=
R
x
3
0
x
3
1
∫¿ 0
2− x
. !rmula ?!!rdinat pusat massa lamina yang menempati daerah " dalam bidang xy dengan fungsi rapat massa ρ(x,y): ❑
M y 1 ❑ x´ = xρ ( x , y ) dA = = M M R
∬
∬ xρ ( x , y ) dA R
❑
∬ ρ ( x , y ) dA R
❑
M x 1 ❑ y´ = yρ ( x , y ) dA = = M M R
∬
∬ yρ ( x , y ) dA R
❑
∬ ρ ( x , y ) dA R
?etika rapat massa lamina adalah ρ(x,y)=$ untuk semua (x,y) dalam daerah ", pusat massa hanya didefenisika pada daerah ruang yang di sebut entr!id dari "
M(en inersia laina !men inersia lamina terhadap sumbu x didefenisikan dengan:
∬ y ρ ( x , y ) dA 2
I x =
R
!men inersia lamina terhadap sumbu y didefenisikan dengan:
∬ x ρ ( x , y ) dA 2
I y =
R
!men inersia p!lar didefenisikan dengan:
@
∬ ( x + y ) ρ ( x , y ) dA 2
I 0 =
2
R
uatan pada pelat ( plate) isalkan muatan listrik terdistribusi pada seluruh daerah yang mempunyai luas " dalam bidang xy dan rapat massa σ(x,y), maka t!tal muatan A pada plate didefenisikan dengan:
∬ σ ( x , y ) dA
Q=
R
Rata7rata f"ngsi adalah nilai rata*rata fungsi, misalkan funsinya adalah f(x,y) diseluruh daerah " dalam bidang xy, maka nilai rata*rata µ dari fungsi f(x,y) dalam " didefenisikan dengan: μ=
1
S
❑
∬ f ( x , y ) dA R
dimana
∬ dA
S=
adalah luas daerah integral 2
R
!nt!h $. Bentukan entr!id dari lamina +ika dip!t!ng dengan parab!la y & = x dan y = x&. Damina mempunyai bentuk seperti gambar 6 disamping kiri ini. Jika lamina adalah h!m!geny dan kita anggap baha ρ(x,y) = $. assa dari lamina: m
∬ ρ ( x , y ) dA
=
R 1
y =√ x
C
=
∬ dA R
=
!men inersia terhadap sumbu x dan y ❑
∬
x =
ydA =
R
❑
∬ xdA
y =
[ ] ∫ [∫ ] 1
√ x
∫ ∫ ydy x
1
√ x
1
R
0
x
√ x
2
2
0
[
1
2
2
0
2
)= ( − )= =( − )= − =
1
4
0
x
√ x
1
∫ ( x − x ) dx = 2 2
dx =
]
1
¿∫ ( y )| x xdx =
dy xdx
=
y
¿∫
dx
2
0
[ |]
1
1
∫ ( √ x − x ) xdx 2 2
0
(
x
2
2
x
−
2 x
5
5
5/ 2
1
0
x
5
4
4
1 1
1
2 2
5
1
0
1
0
3 20
2
1
3
5
4
20
Jadi, k!!rdinat pusat massa adalah: 3
3
M 20 9 x´ = y = = , M 1 20
y´ =
M x 20 9 = = M 1 20
3
3
(nt() :. 7itunglah m!men inersia dari segitiga yang dibatasi !leh garis x;y = $, x=0, y = 0 seperti gambar & dan mempunyai rapat massa ρ(x,y) = xy !men inersia terhadap smbu x adalah ❑
[
1
]
1− x
∬ y ρ ( x , y ) dA =∫ ∫ y xydy dx 2
I x =
R
0 1
¿∫ 0
[
0
I x =
¿
4
(
4
4
|
1
− x
3
dy xdx
0
1
xdx =
0
1
∫ ( 1− x ) xdx 4 4
0
1
∫ ( 1− 4 x +6 x −4 x + x ) xdx= 4 ∫ ( x − 4 x + 6 x − x + x ) dx 4 2
3
4
0
1
0
y
]
1 − x
∫ y xydy dx =∫ ∫ y
0
1
1
2
¿∫
1
0
] [
1 − x
1
1
2
x
3
4
5
0
2
2
2
3
−
4 x 3
+
6 x 4
4
−
4 x 5
5
6
+
x
6
) ( 1
0
=1
1
4 2
)
− 4 + 6 − 4 + 1 = 49 3
4
5
6
120
!men inersia pada bidang y: ❑
1
1− x
∬ x ρ ( x , y ) dA =∫ ∫ x xydy 2
I y =
R
2
0
0
1
dx
¿∫ 0
[ ] 1
− x
∫ ydy x 0
E
1 3
∫
dx =
0
[|] y
2
2
1
− x
3
x dx
0
¿
1 2
¿1
1
∫ (1− x ) x 2
3
dx =
0
(
1
)
−2+1 =
2 4
5
6
1 2
1
1
1
1
∫ (1−2 x + x ) x dx= 4 ∫ ( x −2 x + x ) dx + 2 2
3
0
3
4
5
0
[
x
4
4
−
5
2 x 5
x
+
6
6
]
1
0
1 120
F!nt!h $$. uatan listrik terdistribusi diseluruh disk x & ; y& = $ supaya rapat muatannya men+adi σ(x,y) = $ ; x& ;y& (?l5m&) hitunglah muatan t!tal dari disket. 2!lusi alam k!!rdinat p!lar, daerah yang termasuk dalam disket didefenisikan dengan (r,θ)| 0 ≤ x ≤ $, 0 ≤ θ ≤ &π. uatan t!talnya adalah 2
2
θ +¿ r sin θ 2 2 1+ r cos ¿
¿
1
∫ ( rdr ¿ ] 0
¿ ¿
2
∫¿
σ ( x , y ) dxdy =
0
❑
∬¿
Q=
R 2
1
[ ] ( )
1
∫ dθ∫ ( 1 +r ) rdr=2 ∫ ( r +r ) dr =2 2
0
0
3
0
r
2
2
+
r
4
4
1
=2 1 + 1 = 3 ( !" ) 2
0
4
2
INTERGRAL LIPAT / Integral lipat 3 dapat didefenisi dengan integrasil daerah k!tak persegi 'a,b x ',d x 'p,8 seperti gambar ❑
b
d
q
#
a
c
p
∭ f ( x , y , z ) dxdydz=∫ dx ∫ dy ∫ f ( x , y , z) dz
2
(nt() 1. 7itunglah integral dari:
z y
∫∫∫ xyz dxdydz 0
0
0
2!lusi: $0
x y
2
z
y
2
0
0
0
z
∫∫ xyz dxdydz=¿∫ dz ∫ dy ∫ xyz dx=∫ dz ∫ 0
0
0
0
[ ] x
x = y
2
yz
2
dy
x =0
2
∫
I = ¿ 0
z
2
¿
1 2
2
∫ ∫
3
dz y zdy =
0
0
1 2
∫ 0
[ ] 4
y z 4
y = z
2
dz = y =0
1 8
∫
5
z dz =
0
1
[ z ]| = 64 = 4 48 48 3 2
6
0
❑
(nt() 11
∭(1 − x ) dxdydz
hitunglah integral dari
dimana daerah integral 4
#
seperti gambar -. yang dibatasi !leh bidang 3x ; &y ; z = #
2!lusi : kita tuliskan kembali persamaan bidang 3x ; &y ; z = # x y z
Jika kita bagi # men+adi
2
+ + =1 3
1
Gatas*batas integrasi dari z = 0 hingga z = # 1 3x 1 &y, Hariabel y dari y = 0 hingga y =
3−
3
x (gambar 6), dan variabel x dari 0 hingga &.
2
2ehingga ekspresi dari integralnya men+adi: ❑
2
3−
3
x
∭(1 − x ) dxdydz=∫ dx ∫ #
0
3 2
=
0
dy
∫
3−
2
(1 − x ) dz =∫ dx
0
0
3
x
2
∫
[ z − zx ] z z== − x− y dy 6
3
2
0
0
− 3 x 2
∫ dx ∫ [ ( 6 −3 x −2 y ) −(6 −3 x −2 y ) x ] dy 0
2
¿∫ dx 0
6 − 3 x − 2 y
2
0
3−
3 2
x
2
3−
3
x
2
∫ [6 −3 x −2 y−6 x +3 x +2 xy ] dy =∫ dx ∫ [ 6 −9 x −2 y +3 x +2 xy ] dy 2
0
2
0
0
$$
2
3
¿∫ [ 6 y −9 xy − y + 3 x y + x y 2
2
2
y =3− x
]= y
2
0
dx
0 2
¿∫ 0
[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] 6 3−
[ ¿∫ [ −
3
x −9 x
2
2
¿∫
18− 9 x −27 x +
0 2
9
18 x
+
0
45 4
2
3−
27 2
3 2
3
2
x − 3− x + 3 x
2
3−
2
9
2
2
3
x + x
9
2
3−
2
2
9
3
x
2
3
2
dx 2
9
3
]
x − 9 + 9 x − x + 9 x − x − x + 9 x −9 x + x dx
9
4
3
]
x − x dx = 4
[
2
2
9 x − 9 x
+
45 12
2
9
3
x −
16
4
]
2
x
4
= $C 1 3# ; 30 1 E = 3
0
6., PER;ARIA!rmula perubahan variabel diberikan dengan rumus:
∬ f ( x , y ) dxdy
=
R
|
|
∬ f [ x (u , v ) , y (u , v )] $$(( xu ,, vy)) dudv R
| |
$x $ ( x , y ) % =d&' $ u $ (u , v ) $y $u
|
|
❑
$x $v ( 0 disebut dengan +a!bian dari transf!rmasi (x,y) → (u,v). $y $v
alam kasus ini, kita memilih transf!rmasi k!!rdinat yang memiliki invers, yaitu +ika kita ingin mentransf!rmasi dari (u,v) → (x,y)
| |
$u $ (u , v ) % =d&' $ x $ ( x , y ) $v $x
|
Baat azas +ika
(
)(
|
$ ( x , y ) $ ( u , v ) = $ (u , v ) $ ( x , y )
$u $y (0 $v $y
−1
)
alam integral lipat dua, untuk menggunakan perubahan variabel dapat dilakukan dengan tiga langkah: $. enentukan sistem k!!rdinat baru (u,v) pada daerah integrasi " &. 7itung Ja!bian dari transf!rmasi (x,y) → (u,v) sehingga diper!leh k!!rdinat dengan variabel baru
$&
|
|
$ ( x , y ) dudv $ (u , v ) 3.
View more...
Comments
