Integral Lipat 2 Dan 3

INTEGRAL TENTU

Perhatikan Gambar 1 berikut: y=f(x)

D

D

a

b

a=x1 c1 x2 c2 x3.…

Gambar 1 P :

xn=b

Gambar 2

panjang selang bagian terpanjang dari partisi P.

Definisi: Misal f fungsi yang terdefinisi pada selang tertutup [a,b]. Jika n

lim

P →0

∑ f (x i =1

k

)∆xk

ada, maka f dapat diintegralkan pada [a,b]. Selanjutnya integral tentu atau integral Riemann b

n

∫ f ( x)dx = lim ∑ f ( x a

P →0

i =1

k

) ∆xk

f

dari a ke b adalah:

.

Dengan cara yang sama dapat didefinisikan integral untuk fungsi dua peubah.

INTEGRAL LIPAT DUA 1. INTEGRAL LIPAT DUA ATAS PERSEGI PANJANG

>

Definisi: Misal f fungsi dua peubah yg terdefinisi pada suatu persegipanjang tertutup R. Jika n

lim ∑ f ( x k , y k )∆Ak P →0

ada maka R adalah:

f

k =1

dapat diintegralkan pada R. Selanjutnya integral lipat dua

∫∫ f ( x, y )dA = R

Jika

f ≥0

, maka

pada

n

lim ∑ f ( x k , y k )∆Ak P →0

∫∫ f ( x, y )dA R

f

k =1

menyatakan volume benja pejal

dibawah permukaan z = f ( x, y ) dan diatas persegi panjang R, yang dapat ditentukan dengan metode irisan sejajar yaitu:

Volume benda pejal dibawa z = f ( x, y ) atas R adalah : d

∫∫ f ( x, y )dA = ∫ A( y )dy R

c

Padahal : b

A( y ) = ∫ f ( x, y ) dx a

Jadi diperoleh: d b

∫∫ f ( x, y )dA = ∫∫ f ( x, y )dxdy R

c a

Secara analog diperoleh b

∫∫ f ( x, y )dA = ∫ A( x)dx R

a

b d

= ∫∫ f ( x, y )dydx a c

f ( x, y ) dA Jika f ( x, y ) negatif pada bagian R, maka ∫∫ menghasilkan volume R bertanda dari benda pejal antara permukaan z = f ( x, y ) dan persegi panjang R dari bidang xy.

SIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT DUA kf ( x, y )dA = k ∫∫ f ( x, y )dA 1. ∫∫ R R

( f ( x, y ) + g ( x, y ))dA = ∫∫ f ( x, y )dA + ∫∫ g ( x, y )dA 2. ∫∫ R R R

f ( x, y )dA ≤ ∫∫ g ( x, y )dA 3. ∫∫ R R

jika f(x,y) ≤ g(x,y)

4. Jika R terdiri dari dua daerah bagian R 1 dan R2 yang tidak persekutuan kecuali titik-titik pada sebagian batasnya, maka:

∫∫ f ( x, y )dA = ∫∫ f ( x, y )dA + ∫∫ f ( x, y )dA R

R1

R2

Contoh: f ( x, y ) dA Hitung ∫∫ jika: R f ( x, y ) =1 − 6 x y dan 2

R ={( x, y ) : 0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤1}

Penyelesaian: 1 2

1

−1 0

−1

1

2 3 2 ∫∫ (1 − 6 x y)dxdy = ∫ x − 2 x y ]0 dy = ∫ (2 −16 y )dy −1

= 2 y − 8 y ] = ( 2 − 8) − ( −2 − 8) = −6 + 10 = 4 2 1 −1

Latihan: Tentukan integral rangkap dua berikut: 2 3

1. ∫∫ x 2 y dydx 0 1

1 π

2. ∫∫ x sin( y )

dydx

0 1

2 4

3. ∫ ∫ x + y 2 1 −1

dxdy

mempunyai titik

3 2

4. ∫∫ xy + y 2

dydx

0 1

1 1

5. ∫∫ xy 3

dydx

−1 0

2. INTEGRAL LIPAT DUA ATAS DAERAH BUKAN PERSEGI PANJANG.

Misal S adalah daerah sebagai berikut:

M Missal

Untuk menghitung integral lipat dua dari z = f(x,y) atas S dilakukan dengan cara membentuk daerah persegi panjang R yang melingkupi S dan didefinisikan suatu fungsi baru, g(x,y) yaitu:   f ( x, y ) ; ( x, y ) ∈S g ( x, y ) =  0 ; ( x, y ) ∈R − S  

Nilai integral lipat dua dari g(x,y) atas R sama dengan integral lipat dua dari f(x,y) atas S ditulis: ∫∫ f ( x, y )dA = ∫∫g ( x, y )dA S

R

Analog dengan pendefinisian pd daerah persegi panjang

1. Integral lipat dua dari z = f(x,y) atas S dengan S={ (x,y) : φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x) , a≤x≤b }

b φ2 ( x )

∫∫ f ( x, y )dA = ∫ φ ∫ f ( x, y )dydx S

a

1 ( x)

Contoh: Hitung integral lipat ∫∫

4 x +10 ydA

S

S ={ (x,y) : 1 ≤ x ≤ 2, -x ≤ y ≤ x2 } Penyelesaian: 2 x2

∫∫ 4 x +10 ydA = ∫ ∫ (4 x +10 y )dydx S

1 −x

jika

2

= ∫ 4 xy + 5 y 2

]

x2 −x

dx

1

2

= ∫ (4 x 3 + 5 x 4 ) − (−4 x 2 + 5 x 2 )dx 1

2

= ∫ (5 x 4 + 4 x 3 − x 2 )dx 1

2

 x3  = x 5 + x 4 −  3 1  8 1 = 32 +16 − − (1 +1 − ) 3 3 2 = 43 3

2. Sedangkan integral lipat dua dari z = f(x,y) atas S dengan S={ (x,y) : ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y) , c ≤ y ≤ d }

d ψ2 ( y )

∫∫ f ( x, y )dA = ∫ S

c

f ( x, y )dxdy ∫ ψ 1( y)

Contoh: Hitung integral lipat

∫∫ ydA S

jika

S ={ (x,y) | 0 ≤ y ≤ 1, -y ≤ x ≤ y } Prosedur menentukan batas integrasi

1. Gambar / sketsa grafiknya 2. Batas integrasi y Buatlah garis vertikal memotong S. Batas bawah ketika garis mulai memasuki S. Batas atas ketika garis meninggalkan S. 3. Batas integrasi x Buat semua garis x (vertikal) pada S Atau 1. Gambar / sketsa grafiknya 2. Batas integrasi x Buatlah garis horisontal memotong S. Batas bawah ketika garis mulai memasuki S. Batas atas ketika garis meninggalkan S. 3. Batas integrasi y Buat semua garis y (horisontal) pada S Contoh:

1

∫∫ f ( x, y )dA =∫ S

0

1

∫∫ f ( x, y )dA =∫ S

0

y = 1−x 2

∫ f ( x, y )dydx

y =1−x

x = 1−y 2

∫ f ( x, y )dxdy

x =1−y

Latihan: Hitung integral berikut: y2

1

1.

∫ ∫ 2 y.e 0

dxdy

0

2

x −1

1

0

∫ ∫ y dydx

2. 3

3.

x

3y

∫ ∫(x

−1

2

+ y 2 )dxdy

0

4. Hitung

5.Hitung

∫∫xy

dA

dengan S={ (x,y) : y = x2 , y = 1}

S

∫∫( x + y ) dA S

dg S segitiga yg titik sudutnya (0,0) , (0,4) , (1,4)

Tugas 1

x

∫ ∫(x

1.

−3

0

2

2x

0

x2

2

− y 2 )dydx

∫ ∫ (4 x + 2)dydx

2.

∫∫( x

3.

4.

5.

2

+ 2 y ) dA

S

∫∫( x

2

− xy ) dA

S

∫∫( xy ) S

dengan S={ (x,y) : y = x2 , y =

x

}

dengan S={ (x,y) : y = x , y = 3x - x2}

dA

dengan S={ (x,y) : y = 2x , x+y = 2, sb x}

Integral Lipat Dua dalam Koordinat Kutub. Kurva-kurva tertentu pada suatu bidang, spt lingkaran, kardioid dan mawar lebih mudah diuraikan dalam bentuk koordinat kutub daripada koordinat cartesius, sehingga lebih mudah dihitung dengan menggunakan koordinat kutub.

Dalam koordinat kutub, suatu persegipanjang kutub R mempunyai bentuk: R = { (r,θ) | a ≤ r ≤ b , α ≤ θ ≤ β } dengan a ≥ 0 dan β - α ≤ 2π

Persamaan permukaan dapat ditulis sebagai z = f(x,y) = f ( r cos θ, r sin θ ) = F(r,θ) dengan x = r cos θ

y = r sin θ

x2 + y2 = r2

tan θ = y/x

Menghitung volume V dg menggunakan koordinat kutub: R = { (r,θ) | a ≤ r ≤ b , α ≤ θ ≤ β }

A(Rk) = ̄r ∆rk ∆θk dengan ̄r : radius rata-rata Rk n

V ≈ ∑F ( rk , θk ) rk ∆rk ∆θk

Jadi

k =1

V = ∫∫ f ( r cos θ, r sin θ ) r dr dθ R

∫∫ f ( x, y )dA = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ ) R

r dr dθ

R

Contoh: Hitung integral lipat dua 2

4 −x 2

∫ ∫x 0

2

2

+ y 2 dydx

0

4 −x 2

∫ ∫ x + y dydx Menggunakan Koordinat Cartesius 1 = ∫x y + y dx 3 2

0

2

0

2

4 −x 2

2

0

0

2

1 = ∫ x 2 4 − x 2 + (4 − x 2 )3 dx 3 0 2

1 = ∫ ( x 2 4 − x 2 + (4 − x 2 )( 4 − x 2 ))dx 3 0

2

= ∫ (x2 4 − x2 + 0

4 1 4 − x2 − 4 − x 2 )dx 3 3

2

2 4 = ∫ ( x2 4 − x2 + 4 − x 2 ) dx 3 3 0 2

2

=

2 4 ( x 2 4 − x 2 dx + ∫ 4 − x 2 dx ∫ 30 30

=

2 4 ( x 2 2 2 − x 2 dx + ∫ 2 2 − x 2 dx ∫ 30 30

2

2

2

2  x 24 x  =  ( 2 x 2 − 2 2 ) 2 2 − x 2 + sin −1 ( )  + 3  8 8 2 0 2

4  x 22 x  2 2 2 − x + sin −1 ( )   3  2 2 2 0

=

 2  2 16 (2.4 − 4) 4 − 4 + sin −1 (1)      3  8 8 

 2  0 16 −  (2.0 − 2 2 ) 4 − 0 + sin −1 (0)     3  8 8  +

 4  2 4 4 − 4 + sin −1 (1)    3  2 2 

−

 4  0 4 2 2 − 0 + sin −1 (0)   3  2 2 

2 π π  4   ( 0 + 2. ) − ( 0 + 0  +  ( 0 + 2. ) − ( 0 + 0)  3 2 2  3  2π 4π = + = 2π 3 3 =

Menggunakan Koordinat Kutub/Polar π 2

2

0

0

π 2 2

∫ ∫ r .r.dr.dθ = ∫ ∫ r dr.dθ 2

3

0 0

π 2

=∫ 0

π 2

1 4 r 4

] 02 dθ = ∫ 4.dθ

π 2 0

π  = 4  = 2π  2

= 4θ

]

0

Tentukan volume dari benda padat diatas persegipanjang kutub R = { (r,θ) | 1 ≤ r ≤ 3 , 0 ≤ θ ≤ π/4 } dan dibawah permukaan

z = ex

2

+y2

Selanjutnya jika daerah S adalah 1. S = { (r,θ) | φ1(θ) ≤ r ≤ φ2(θ), α ≤ θ ≤ β }

β φ2 (θ )

∫∫ f ( x, y)dA = α∫ φ ∫θ f (r cosθ , r sin θ ) r dr dθ R

1(

)

2. S = { (r,θ) | a ≤ r ≤ b, ψ1(r) ≤ θ ≤ψ2(r) }

b ψ 2 (θ )

∫∫ f ( x, y)dA = ∫ ψ ∫θ f (r R

a

1(

cos θ, r sin θ ) r dθ dr

)

Contoh: Hitung ∫∫ S

ydA

dengan S daerah kuadran pertama yang berada diluar

lingkaran r=2 dan didalam kardioid r = 2(1+cosθ).

Jawab:

π

2 2 (1+cos(θ ))

∫∫ ydA = θ∫

=0

S

∫ r sin(θ )rdrdθ

r =2

π 2

=∫ 0

r3 sin(θ )]22 (1+cos(θ ) dθ 3 π

82 = ∫[(1 + cos(θ )3 sin(θ ) − sin(θ )]dθ 30 8 1 22 = [ − (1 + cos(θ )) 4 + cos(θ )]π0 / 2 = 3 4 3

Latihan 1. Hitung integral lipat berikut: π 2

cos(θ )

0

0

∫ ∫r

2

sin(θ) drdθ

π 2

sin(θ)

0

0

∫ ∫rdrdθ

a.

c. π

sin(θ)

0

0

∫ ∫r

2

drdθ

b.

π

1−cos(θ)

0

0

∫

d.

∫r sin(θ)drdθ

r dr dθ 2. Tentukan luas daerah S dengan menghitung ∫∫ S

bila: a. S adalah daerah didalam lingkaran r = 4cos(θ) dan diluar lingkaran r = 2. b. S adalah daerah yg kecil yg dibatasi oleh θ = π/6 dan r = 4sin(θ) c. S adalah satu daun dari mawar daun empat r = 4sin(2θ) d. S adalah daerah didalam kardioid r = 6 - 6sin(θ)

>

;

Penerapan Integral Lipat Dua • Volume Benda Pejal

Contoh: Tentukan volume dari tetrahedron yang dibatasi bidang-bidang koordinat dan bidang z = 6-2x-3y. • Massa dan Pusat Massa Massa Menghitung massa total dari lamina (pelat tipis) yang terbuat dari bahan tak homogen ( kerapatannya berubah) Misal suatu lamina mencakup suatu daerah S di bidang xy dan misal kerapatan (massa persatuan luas) di xy dinyatakan oleh δ(x,y) maka : m = ∫∫δ ( x, y ) dA S

Contoh 1. Tentukan massa total sebuah lamina dengan δ ( x, y ) = xy kerapatan dibatasi oleh sumbu y =x x, garis x=8 dan kurva 2/3

Jawab: Massa total

m = ∫∫δ ( x, y ).dA 8 x2 / 3

=∫ 0

∫ xy.dy.dx = 0

768 5

Pusat massa ( Titik Kesetimbangan) x.δ ( x, y ).dA My ∫∫ S x= = m ∫∫δ ( x, y ).dA S

dengan

My

: momen total terhadap sumbu y m : massa total

y.δ ( x, y ).dA Mx ∫∫ S y= = m ∫∫δ ( x, y ).dA S

dengan

: momen total terhadap sumbu x m : massa total

Mx

Titik kesetimbangan =

Contoh 2.

( x, y )

Tentukan pusat massa/titik kesetimbangan dari lamina pada Contoh 1. Jawab: Momen total terhadap sumbu y My = ∫∫ x.δ ( x, y ).dA S

8 x2 / 3

=∫ 0

=

∫ 0

8 x2 / 3

x.xy.dy.dx = ∫ 0

∫x

2

y.dy.dx

0

12288 13

Momen total terhadap sumbu x My = ∫∫ y.δ ( x, y ).dA S

8 x2 / 3

=∫ 0

=

∫ 0

8 x2 / 3

y.xy.dy.dx = ∫ 0

∫ xy

2

.dy.dx

0

1024 3

Pusat massa =

( x, y )

My 12288 5 = . ≈ 6.15 m 13 768 Mx 1024 5 y= = . ≈ 2.22 m 3 768

x=

Latihan: Tentukan massa dan pusat massa dari lamina yang mempunyai daerah S dan dg kerapatan yg ditunjukkan. a. S={(x,y)|0≤x≤4, 0≤y≤3} dan δ(x,y)= y+1 b. S={(x,y)|-1≤x≤1, 0≤y≤1} dan δ(x,y)= x2 c. S daerah segitiga dengan titik sudut (0,0), (1,1), (4,0) dan δ(x,y)= x+y d. S daerah di kuadran pertama yg dibatasi oleh y=x2 dan garis y=1serta δ(x,y)= xy e. S daerah yg dibatasi oleh x=y2 dan garis y=x-2 serta δ(x,y)=3

Integral Lipat Tiga I. Jika B daerah didalam R3 yang berbebtuk balok yang dibatasi enam bidang x=a1, x=a2, y=b1, y=b2, z=c1 dan z=c2 dengan a1