Integral Impropia

INTEGRALES IMPROPIAS Se debe a Cauchy la primera extensión de la integral para funciones definidas en un intervalo no acotado y para funciones no acotadas en los extremos del intervalo, es lo que conocemos en la actualidad como valor principal de Cauchy. La definición de integral impropia se debe a Riemann. INTEGRACIÓN EN INTERVALOS NO COMPACTOS. DEFINICIÓN Sea f : [a; +∞) → R con f Є R [a; b] para todo b > a Se llama integral impropia de primera especie de f en [a; +∞) al

Si existe el límite y es finito, se dice que la integral impropia es convergente; en caso contrario se dice que la integral impropia diverge. Si es convergente se escribe:

Notas 1) Si f tiene primitiva F en [a; +∞), entonces

2) Si f : ( -∞; b] → R con f Є R [a; b] para todo a < b, se define análogamente:

DEFINICIÓN. Sea f : [a; b) → R con f Є R [a; c] para todo c Є (a; b). Se llama integral impropia de segunda especie de f en [a; b) al límite

Si existe el límite y es finito, se dice que la integral impropia es convergente, y su valor se denota por

En caso contrario se dice que la integral impropia diverge. Análogamente se procede si f está definida en (a; b]. TEOREMA Sea I algún intervalo de la forma [a; +∞); (-∞; b]; [a; b); (a; b] y f , g : I → R tales que

convergen, entonces también convergen

DEFINICIÓN. Sea f : R → R con f Є R [a; b]; para todo a; b Є R; (a < b). Decimos que

converge si existe un a Є R tal que

convergen; en ese caso:

DEFINICIÓN Sea f : R → R con f Є R [ -a; a]; para todo a Є R: Se llama valor principal de Cauchy de

DEFINICIÓN Sea f : (a; +∞) → R con lim𝑥→𝑎 + 𝑓 𝑥 = ∞ y f Є R [b,c] para todo b (a,c] С (a, +∞) Se dice que

Es convergente si existe un c > a tal que

es convergente en cuyo caso

A estas integrales se les llama integrales mixtas de primera y de segunda especie. CRITERIOS DE CONVERGENCIA Los resultados que vamos a exponer son válidos tanto para integrales impropias de primera especie como de segunda especie, por lo que los enunciaremos sólo para las de primera especie. TEOREMA

Sea la función f : [a; +∞) → R con f(x) ≥ 0; para todo x Є [a; +∞) y f Є R [a; b]; para todo b Є R; (b > a). Entonces

converge si y sólo si existe M > 0 tal que

TEOREMA (Criterio de comparación). Sean las funciones f; g : [a; +∞) → R; tales que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x Є [a; +∞) con f; g Є R [a; b]; para todo b > a: Se verifica:

TEOREMA (Criterio de comparación por paso al límite). Sean las funciones f; g : [a; +∞) → R; tales que f(x) ≥ 0; g(x) > 0 para todo x Є [a; +∞) con f; g Є R [a; b]; para todo b > a y 𝑓 𝑥 =𝜏 𝑥→∞ 𝑔 𝑥 lim

Se verifica

Estos criterios de comparación necesitan del conocimiento del carácter de alguna integral impropia que sirva de test. Habitualmente utilizaremos las integrales:

TEOREMA 1) Sea f : [a; +∞) → R integrable Riemann en [a; b]; para todo b ≥ a. Se verifica:

2) Sea f : (0; b] → R integrable Riemann en [a; b]; para todo a Є (0; b). Se verifica:

TEOREMA (Criterio integral para series). Sea f : [1; +∞) → R una función decreciente con f(x) > 0, y {a n} una sucesión de términos positivos tal que an = f(n); para todo Є N. Bajo estas condiciones, la serie +∞

𝑎𝑛 𝑛=1

y la integral impropia

+∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 1

tienen el mismo carácter. CONVERGENCIA ABSOLUTA.

Cuando el signo del integrando no es constante, es más complicado estudiar la convergencia de la integral impropia. Por analogía con series numéricas, se estudia la convergencia absoluta y condicional de estas integrales. Definición Sea f : [a; +∞) → R. Se dice que la integral +∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎

Es absolutamente convergente si

+∞

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

es convergente. DEFINICIÓN. Si

+∞ 𝑓 𝑎

𝑥 𝑑𝑥 es convergente pero +∞

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

es divergente, se dice que la integral impropia es condicionalmente convergente. Análogamente se definen los conceptos anteriores para las integrales impropias de segunda especie. TEOREMA Si +∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 converge absolutamente, entonces

𝑎

+∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎

es convergente. Nota.

El reciproco del teorema anterior no es cierto, pues se puede probar que +∞

𝑥 −𝑝 sin 𝑥 𝑑𝑥

1

converge si p > 0. Pero es absolutamente convergente si p > 1 y la convergencia es condicional para 0 < p ≤ 1, ya que en este caso, la integral +∞ 1

Diverge.

𝑥 −𝑝 sin 𝑥 𝑑𝑥