Integral Garis, Integral Permukaan, dan Integral Volume

BAB 27 Integral Garis, Integral Permukaan, dan Integral Volume

Pada Bab 27 ini akan dibahas:    

Integral Kurva (Integral Garis) Kebebasan Tapak/Lintasan Integral Permukaan Integral Rangkap 3 (Integral Volume)

27.1 Integral Kurva (Integral Garis) Misalkan suatu kurva C dari titik a sampai titik b di ditentukan oleh persamaan parameter: ⃗r ( t ) =[ x ( t ) , y ( t ) , z(t) ]=x (t ) ⃗i + y ( t ) ⃗j+ z ( t ) k⃗ ; ( a ≤ t ≤ b ) (27−1)

Integral garis dari suatu fungsi vektor b ⃗ ⃗ ⃗ dt ∫ F ( r ) . dr=∫ ⃗F ( r ( t ) ) . dr dt c a

⃗ F ( r) atas kurva C didefinisikan dengan:

(27−2)

dan ⃗ dr=dx i⃗ +dy ⃗j+dz ⃗k

(27−3)

Sehingga

781

F 1 i⃗ ¿ (+ F2 ⃗j ¿ + F 3 k⃗ )∙(dx ⃗i + dy ⃗j+ dz k⃗ ) ⃗ ∫¿ ⃗ F ( r ) ∙ dr= C

∫¿ C

F 1 dx ¿ (+ F2 dy ¿ + F3 dz ) ⃗ F ( r)∙⃗ dr=∫ ¿ C

∫¿ C

F1 x' ¿ ' (+ F2 y ¿+ F 3 z ' ) b

(27−4)

⃗ F (r )∙ ⃗ dr=∫ ¿ a

∫¿ C

b

dx dy dz dr=∫ F1 + F 2 + F 3 dt ∫ ⃗F ( r ) ∙ ⃗ dt dt dt C a

(

)

Integral garis disebut juga sebagai integral kerja, karena dapat diasumsikan sebagai kerja yang dilakukan oleh suatu gaya F untuk menggerakan partikel dari titik A ke titik B sepanjang C. Jika dS menyatakan panjang busur S suatu kurva, maka hubungan dS dengan dt adalah: ⃗ dr S ( t )=∫ √r⃗ ∙ ⃗r ; d ~t r⃗ = ~ dt

(

)

(27−5)

Sehingga:

782

2 2 2 ⃗ dS dr ⃗ dr dx dy dz = ∙ = + + dt dt dt dt dt dt

2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) dS = dt

√(

dx 2 dy 2 dz + + dt dt dt

2

) ( )( )

( √( ) ( ) ( ) )

dS=

dx 2 dy 2 dz + + dt dt dt

2

dt

(27−6)

Contoh 27.1: Hitung Integral garis

∫ ( x 3 + y ) dS ; C C

adalah kurva

3

x=3 t , y=t , 0≤ t ≤ 1

Jawab: dS menyatakan panjang busur S suatu kurva, sehingga

( ) √( dS = dt

2

3

2

) ( )

d (3 t) d (t ) + =√ 9+ 9t 4 =3 √ 1+t 4 dt dt

dS=3 √ 1+ t 4 dt b=1

b=1

a=0

a=0

∫ ( x 3 + y ) dS= ∫ ( ( 3t )3 +t3 ) 3 √ 1+t 4 dt= ∫ ( 84 t3 ) √ 1+ t4 dt C

4

3

misalkan: u=1+t → du=4 t dt , , maka: b=1

1 2

3

3

∫ ( 84 t ) √ 1+ t dt=∫ ( 21 ) u du=21. 32 u 2 =14 u 2 a=0 3

4

783

3 t =1 4 2 t =0

¿ 14 ( 1+t ) |

3 2

=14(2 −1)

27.2 Soal dan Penyelesaian 1. Hitunglah

sampai

dr ∫ ⃗F ( r ) ∙ ⃗ C

, dimana

⃗ F =3 y i⃗ −x ⃗j ,

C: potongan garis lurus dari

( 0,0 )

(2, 12 )

Jawab: 3 y i⃗ ¿ ⃗ ⃗ ⃗ (−x j ¿) ∙ ( dx i + dy j+ dz ⃗k )=∫ 3 y dx−x dy C

⃗ F (r )∙ ⃗ dr=∫ ¿ C

∫¿ C

Persamaan parameter garis lurus dari titik ( 0,0 ) menuju

(2, 12 )

adalah:

⃗r ( x , y )=( 0,0 )+ ( ( 2,1/2 )− ( 0,0 ) ) t ; 0 ≤t ≤1 x=2 t → dx=2 dt y=1/2 t → dy=1/2 dt b=1

1 1 ⃗ F (r ) ∙⃗ dr=¿ ∫ 3 y dx−x dy = ∫ 3 t ( 2 dt )−2 t dt 2 2 C a=0

( )

( )

∫¿ C

784

b=1

b=1

a=0

a=0

t =1

∫ 3 t dt−t dt = ∫ 2 t d t=t2|t =0=1

2. Hitunglah

dr , ∫ ⃗F ( r ) ∙ ⃗

⃗ F = y 4 ⃗i−x 4 ⃗j , dan C: ⃗r =t ⃗i−t −1 ⃗j , 1≤ t ≤ 3

dengan

C

Jawab: ∫ ⃗F ( r ) ∙ d r⃗ =∫ ( y 4 i⃗ −x 4 ⃗j ) ∙ ( dx i⃗ +dy ⃗j +dz ⃗k ) C

C

¿∫ y 4 dx−x 4 dy C

⃗ −1 ⃗ Persamaan parameter adalah: : ⃗r =t i−t j , 1≤ t ≤ 3 x=t → dx=dt y=t −1 → dy=−t −2 dt b=3

∫ ⃗F ( r ) ∙ d r⃗ =∫ y 4 dx−x 4 dy = ∫ t−4 dt−t 4 ( −t−2 dt ) C

C

a=1

b=3

[

1 1 2+1 ¿ ∫ ( t +t ) dt= t −4 +1+ t −4+1 2+1 a=1 −4

2

[

−1 −3 1 3 ¿ t + t 3 3

¿

[(

]

t=3

[

1 −1 3 = +t 3 t3 t=1

t =3

]

t =1

t =3

]

t =1

]

1 −1 26,96 +27 −(−1+1 ) = 3 27 3

)

3. Hitunglah Integral garis: titik ( 0,1 ) ke titik ( 1,2 )

∫ [ ( x 2− y ) dx +( y 2 −x ) dy ] C

dengan lintasan C menghubungkan

berbentuk:

a. Garis lurus dari titik ( 0,1 ) ke titik ( 1,2 ) b. Garis lurus dari titik ( 0,1 ) ke ( 1,1 ) kemudian dari titik ( 1,1 ) ke ( 1,2 ) c. Parabola

x=t

dan

y=t 2 +1 785

Jawab : a. Persamaan parameter dari garis lurus dari titik ( 0,1 ) ke titik ( 1,2 ) adalah: r ( x , y )=( 0,1 ) + [ ( 1,2 )− ( 0,1 ) ] t ; 0 ≤ t ≤ 1 x=t → dx=dt y=1+t → dy=dt t=1

∫ [ ( x − y ) dx +( y −x ) d y ]= ∫ [ ( t2− (1+t ) ) dt+ ( ( 1+t )2−t ) dt ] 2

2

C

t=0

t=1

¿ ∫ [ ( t 2−t−1 ) dt+ ( 1+2 t+t 2−t ) dt ] t=0 t=1

¿ ∫ [ ( t 2−t−1 ) dt+ ( 1+t +t 2 ) dt ] t=0

t=1

¿ ∫ ( 2 t 2 ) dt t=0

¿

t=1

[ ] 2 3 t 3

=

t=0

2 3

b. Garis lurus dari titik ( 0,1 ) ke ( 1,1 ) kemudian dari titik ( 1,1 ) ke ( 1,2 )

∫ [ ( x 2− y ) dx +( y 2 −x ) dy ] C

x=1

y=2

x=0

y=1

¿ ∫ ( x 2− y )|y=1 dx + ∫ ( y 2−x )|x=1 dy x=1

y=2

¿ ∫ ( x 2−1 ) dx + ∫ ( y 2−1 ) dy x=0

¿

¿

¿

(

1 3 x −x 3

y=1

x=1

) ( +

x=0

1 3 y −y 3

)

y=2 y=1

1 8 1 −1 −0 + −2 − −1 3 3 3

(( ) ) (( ) ( )) ( ) (( ) ( )) −2 2 −2 2 + − = 3 3 3 3

786

c. Parabola

x=t

dan

2

y=t +1

x=t → dx=dt ; 0 ≤ x ≤1 sehingga 0 ≤t ≤1

y=t 2 +1→ dy=2 t dt

∫ [ ( x 2− y ) dx +( y 2 −x ) dy ] C

t=1

2

¿ ∫ ( t 2− ( t 2 +1 ) ) dt+ ( ( t 2 +1 ) −t ) ( 2 t ) dt t=0

t=1

¿ ∫ −1 dt+ ( 2t 5+ 4 t 3−2 t 2+2 t ) dt t=0 t=1

¿ ∫ ( 2 t 5+ 4 t 3−2 t 2+2 t−1 ) dt t=0

2 6 4 2 3 2 t +t − t +t −t 6 3

t =1

( ) 1 2 2 ¿ ( +1− +1−1)= 3 3 3 ¿

4. Tentukan

besarnya

t =0

usaha

yang

dilakukan

medan

vektor

(gaya),

⃗ F ( x , y )= ( X +2 y ) i⃗ + ( x− y ) ⃗j , untuk memindahkan partikel sepanjang kurva/lintasan C

yang diberikan dengan persamaan

x=2 cos t , y=4 sin t

dengan

0 ≤t ≤

π . 4

Jawab: Besarnya usaha yang dilakukan medan vektor (gaya),

⃗ F ( x , y )= ( X +2 y ) i⃗ + ( x− y ) ⃗j

untuk memindahkan partikel sepanjang kurva/lintasan C yang diberikan dengan persamaan. x=2 cos t → dx=−2 sint dt y=4 Sint t → dy=4 cos t dt 787

0 ≤t ≤

Dengan batas:

Jadi:

π . 4

∫ ⃗F ( r ) ∙ d r⃗ =∫ ( ( x +2 y ) i⃗ +( x− y ) ⃗j ) ∙ ( dx ⃗i+ dy ⃗j+ dz ⃗k ) C

C

¿∫ ( x+2 y ) dx+ ( x− y ) dy C

t=π /4

¿

∫

( ( 2 cos t+ 8 sint ) (−2 sin t dt ) ) + ( ( 2 cos t −4 sin t ) ( 4 cos t dt ) )

t=0

t=π /4

¿

∫

(−4 cos t sin t−16 sin2 t ) dt + ( 8 cos 2−16 sin t cos t ) dt

t=0

2

2

t −16 sin t+8 cos t −20 cos t sin ¿ dt ¿ ¿ t =π / 4

¿

∫

¿

t =0

−20 cos t sin t−16 sin 2 t +8( 1−sin2 t)dt ¿ t =π / 4

¿

∫

¿

t=0

t−16 sin2 t−8 sin 2 t +8 −20 cos t sin ¿ dt ¿ ¿ t= π / 4

¿

∫

¿

t =0

788

2

t −24 sin t +8 −20 cos t sin ¿ dt ¿ ¿ t =π / 4

¿

∫

¿

t=0

t t =π / 4

−cos ¿−

∫

t=0

t =π / 4 2

24 sin t dt+

∫

8 dt

t=0

¿ td¿ −20 cos ¿ t =π / 4

¿

∫

¿

t=0

t=π /4

¿

|

20 cos2 t − 2 t=0

t= π /4

∫

t=0

24

( 12 − 12 cos 2 t ) dt + 2 π

π 1 11 ¿ 10 cos 2 −cos2 0 −24 t− sin 2t 4 2 22

(

¿ 10

) (

t =π / 4

)

+2 π

t =0

( 12 −1)−24( 12 π4 − 12 12 )+2 π

¿−5−3 π +6+2 π

¿ 1−π 5. Hitung integral garis berikut: ∮ [ ( x 2− y 2 ) dx + xdy ] C ≡ x 2+ y 2=9 C

Jawab:

789

Persamaan parameter dari kurva

2

2

x y C ≡ x + y =9 ⇒ + =1, diperoleh dari persamaan 9 9 2

2

cos 2 t+ sin 2 t=1, ( 0 ≤ t ≤2 π ) , sehingga 2

x =cos 2 t ⇒ x 2=9 cos2 t ⇒ x=3 cos t ⇒ dx=−3 sin t dt 9 y2 =sin 2 t ⇒ y 2=9 sin2 t ⇒ y=3 sin t ⇒ dy=3 cos t dt 9

Jadi:

∮ [ ( x 2− y 2 ) dx + x dy ] C

t 3 cos ¿ dt ¿ t¿ ( 9 cos 2 t−9 sin 2 t ) (−3 sin t ) dt +3 cos ¿ t =2 π

¿

∫

¿

t=0

t=2 π

¿9

∫

( cos 2 t−sin 2 t ) (−3 sin t ) dt +9 cos 2 t dt

t =0

t=2 π

¿−27

∫ ( cos 2 t−(1−cos 2 t)) ( sin t ) dt+9 cos 2 t dt

t=0

t=2 π

¿−27

∫

t=0

t=2 π

(−1+ 2cos t ) ( sin t ) dt + ∫ 9 cos 2 t dt 2

t =0

t=2 π

¿−27

∫

t=0

t =2 π

(−1+ 2cos 2 t ) d (−cos t ) dt+

∫

t=0

9

( 12 + 12 cos 2t )dt 790

t=2 π

∫

¿ 27

t =0

[

(−1+2 cos t ) d (−cos t ) dt+ 9 1 t+ 1 . 1 sin 2t 2 2 2 2

[

2 ¿ 27 −cos t+ cos3 t 3

t=2 π

] [ 9

t=0

1 1 1 t + . sin 2 t 2 2 2

t =2 π

]

t =0

t=2 π

]

t=0

[( ) ( ) ]

¿ 27 −1+

2 2 − −1+ +9 [ ( π +0 )− ( 0+0 ) ] 3 3

¿ 27 ( 0 ) +9 π ¿9π

27.3 Kebebasan Tapak/Lintasan Nilai dari suatu integral garis umumnya akan tergantung pada F, titik-titik ujung A dan B dari lintasannya, dan sepanjang lintasan mana integrasi itu dilakukan dari A ke B. Syarat apa yang harus dipenuhi agar integral garis dari suatu medan vektor F atas kurva C bernilai sama, walaupun bentuk kurvanya berbeda asal ujung-ujungnya tetap? (nilai integral

C1

garisnya sama untuk semua lintasan C dari A ke B)

D A B C2

C3

791

Gambar 27.1 Kebebasan Lintasan Untuk medan vektor di ⃗ F ( x , y )=f ( x , y ) ⃗i + g ( x , y ) ⃗j

R

2

, misal D merupakan daerah pada bidang XOY dan

dengan medan skalar f (x , y ) dan

g( x , y )

kontinu pada D.

maka integral garis:

∫ ( f ( x , y ) dx+ g ( x , y ) dy ) C

B

∫ f ( x , y ) dx + g ( x , y ) dy

(27−7)

A

Bebas lintasan di D, bila terdapat fungsi

∅(x , y )

yang disebut fungsi potensial (fungsi skalar)

sehingga berlaku: ∂∅ ( x , y ) ∂ ∅( x , y ) =f ( x , y ) dan =g ( x , y ) (27−8) ∂x ∂y Syarat di atas dapat juga dituliskan bahwa integral garis bebas lintasan bila berlaku: ∂f (x, y) ∂g(x , y) = (27−9) ∂y ∂x

Medan vektor F sehingga integral garis dari F atas lintasan C bebas lintasan dinamakan konservatif. Untuk medan vektor di

3

R:

⃗ F ( x , y , z ) =f ( x , y , z ) i⃗ + g ( x , y , z ) ⃗j+h ( x , y , z ) ⃗k ⃗ disebut konservatif jika dan hanya jika: ∇ × F =0

792

|

|

⃗j i⃗ k⃗ ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z ( ) ( ) ( f x , y, z g x, y ,z h x , y ,z)

(27−10) ⃗i ∂h (x , y , z ) − ∂ g( x , y , z ) − ⃗j ∂h ( x , y , z ) − ∂ f ( x , y , z ) + ( k⃗ ) ∂ g ( x , y , z ) − ∂ f ( x , y , z ) =0 ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y

) (

(

) (

)

∂h ( x , y , z ) ∂ g( x , y , z ) ∂ h (x , y , z ) ∂ f (x , y , z) ∂ g (x , y , z ) ∂ f (x , y , z) = , = , = ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y

Bila C merupakan kurva tertutup dan medan vektor

⃗ F

di

R2 dan

R3 konservatif maka:

∫ ( f ( x , y ) dx+g ( x , y ) dy ) =0

(27−11)

C

Atau

∫ (f ( x , y , z ) dx + g ( x , y , z ) dy +h ( x , y , z ) dz )=0 C

(27−12)

TEOREMA ⃗ Jika F =∇ ∅

berlaku

a1 ≤ x ≤ a2 , b 1 ≤ y ≤ b2 , c 1 ≤ z ≤ c 2

di

daerah

R

di

dalam

ruang,

ditentukan

oleh

dengan ∅ ( x , y , z ) bernilai tunggal dan mempunyai turunan

kontinu di R, maka: P2

1.

∫ ⃗F ∙ d ⃗r P1

Tidak tergantu pada lintasan C di R yang menghubungkan

793

2.

∫ ⃗F ∙ d ⃗r =0 C

Dalam kasus ini,

⃗ F

Sekeliling sembarang lintasan tertutup C di R

disebut medan vektor konservatif dan

Sebuah medan vektor disebut konservatif jika dan hanya jika

∅

adalah skalar potensial.

∇×⃗ F =0

atau ekuivalen

⃗ F =∇ ∅ .

Contoh 27.2: Selidiki apakah medan vektor

⃗ F ( x , y )= y i⃗ +x ⃗j

konservatif. Bila ya, tentukan P (fungsi

potensial). Jawab: ⃗ F ( x , y )= y i⃗ + x ⃗j⇒ f ( x , y )= y dan g ( x , y )=x

Karena

Misal

∂f ∂ g ⃗ = =1 maka F ∂y ∂x

konservatif

P( x , y ) fungsi potensial. Maka

P ( x , y )=∫ f ( x , y )dx =∫ y dx = yx+ C( y ) ∂ =g ( x , y ) ∂ x+ C ( y )=g(x , y)

x+ C ' ( y )=x

794

C ' ( y )=0 C ( y )=C

Jadi:

P ( x , y )=xy +C

795