Integral de Línea de Un Campo Vectorial

INDICE

1. INTRODUCCION………………………………………………...………………1 2. OBJETIVOS ………………………………………………………………..……..2 3.MARCO TEORICO: 3.1 Definiciones…………………………………………………………………….3 3.2 Teoremas y ejemplos………................………………………………………...6 3.3 Bibliografía………………..………………………………………………..... .10

1. INTRODUCCION:

En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno. Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:  

El cálculo de la longitud de una curva en el espacio, O también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes. En el caso de una curva cerrada también se la denomina integral de contorno. La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral curvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea, ponderados por alguna función escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva). Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas sobre intervalos. La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar. En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización siempre y cuando las distintas parametrizaciones mantengan el sentido del recorrido de la curva. En caso de elegirse dos parametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios, las integrales de línea del mismo campo vectorial resultarán con iguales módulos y signos contrarios.

Integral de línea de un campo vectorial

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2. OBJETIVOS:  Estudiar e investigar la integral de línea de un campo vectorial.  El estudiante es capaz de realizar, analizar, comprender los integrales de línea sobre un campo vectorial.

Figura 1: Integral de línea de un campo vectorial. Fuente: Google

Integral de línea de un campo vectorial

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3. MARCO TEORICO 3.1 Definiciones: .-Curva: En matemáticas, el concepto de curva o línea curva, es una línea continua de una dimensión que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas simples son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola, la hipérbola o la catenaria. La recta sería el caso límite de un circunferencia de radio de curvatura infinito. La curva es uno de los objetos primordiales de la geometría diferencial.

Figura 2: Curva algebraica´´Folium de Descartes

´ ´ x3 + y 3 −3 axy=0, a=1

.-Curva regular: Definición: (Curvas en

R

n

). Un conjunto C de

simple si existe una función α: [a, b] →

R

Integral de línea de un campo vectorial

n

R

n

es una curva regular y

inyectiva y regular tal que C = α ([a, b])

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Fuente: Ampliación de análisis de varias variables (Universidad de Cantabria)

.-Curva cerrada: Una curva diferenciable es cerrada cuando

x

Si además, la función

x :[a ,b ]→ R

es inyectiva en el intervalo

n

cuando x ( a )=x (b) .

(a . b)

entonces se dice

que la curva es una curva cerrada simple. Una curva cerrada simple es homeomorfa al círculo curva

x :[0,1]→ Rn

s 1 , es decir, tiene la misma topología de un anillo. La

dada por:

x ( t )=[a .cos ( 2 πt ) , b sin(2 πt)] Es una curva diferenciable cerrada, de hecho dicha curva resulta ser una elipse de semiejes a y b.

.-Longitud de arco: O rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Un caso un poco general, es el caso de coordenadas curvilíneas generales (e incluso el de espacios no euclídeos) caracterizadas por un tensor métrico donde la longitud de una curva b

s=∫ a

√

∑ gik i ,k

i

C : [a ,b ]→ M

gik

viene dada por:

k

dx dx dt dt dt

.-Integral curvilínea de un campo vectorial Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización siempre y cuando las distintas parametrizaciones mantengan el sentido del recorrido de la curva. En caso de elegirse dos parametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios, las integrales de línea del mismo campo vectorial resultarán con iguales módulos y signos contrarios.

Para F: Rn → Rn un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r (t) con t [a, b], está definida como:

Donde es el producto escalar y r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C. Integral de línea de un campo vectorial

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Otra forma de visualizar esta construcción es considerar que

Donde se aprecia que la integral de línea es un operador que asigna un número real al par

donde

Es una 1-forma.

.-Independencia de la curva de integración Si el campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G (o sea, si el campo vectorial F es conservativo), esto es:

Entonces la derivada de la función composición de G y r (t) es:

Con lo cual, evaluamos la integral de línea de esta manera:

La integral de F sobre C depende solamente de los valores en los puntos r(b) y r(a) y es independiente del camino entre a y b.

Integral de línea de un campo vectorial

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2.2 TEOREMAS: Si aplicamos el Teorema Fundamental del Calculo estudiado en Análisis Matemático I, a una función de una variable g: [a, b] → R, con derivada continua en el intervalo [a, b], obtenemos: b

∫ g' ( x ) dx=g ( b )−g(a) a

Este resultado afirma que el valor de la integral de g 0 (x) depende solo del valor de g en los puntos extremos del intervalo [a, b]. Pensemos ahora en una función f, de dos o de tres variables, con derivadas parciales continuas, y en su vector gradiente ∇~ f. Este es un campo vectorial, que de alguna manera generaliza el ´ concepto de derivada para el caso de funciones de más de una variable. A partir de esto, uno se podría preguntar si el Teorema Fundamental del Calculo también se puede generalizar, esto es: ¿el valor de la integral de línea del campo ∇~ f a lo largo de una curva C, en el plano o en el espacio, está determinado sólo por el valor de f en los puntos extremos de la curva C? Expresemos más formalmente la situación, para el caso de funciones de tres variables: sea una curva C determinada por la función vectorial ~r (t): [a, b] → R 3 y sea f una función con gradiente continuo en C, entonces la integral de línea R C d ⃗r ; ∇~ f. Está determinada completamente por f ( r⃗ ( a ) ) y f ( r⃗ ( b ) ) ? TEOREMA 1:

Sea una Curva C una curva suave dada por la función vectorial r (t) a < t < b. Sea "f" una función derivable de dos ó tres variables, cuyo vector gradiente es continuo sobre C.

Entonces:

⃗ ∇ f . d r⃗ =f ( r ( b ) ) −¿ f ( r (a)) ∫¿ C

Demostración: Lo demostraremos para funciones de tres variables, siendo similar la prueba para funciones de dos variables. Aplicando la definición de integral de línea para campos vectoriales, tenemos que:

Integral de línea de un campo vectorial

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b

∫ ⃗∇ f . d r⃗ =∫ ⃗∇ f . ⃗r ' ( t ) dt C

a

b

¿∫ a

( ∂∂ fx ∂∂ xt + ∂∂ty ∂∂ yt + ∂∂ fz ∂∂tz ) dt

Teniendo en cuenta la regla de la cadena, notamos que la ´ultima integral puede escribirse R b a d dt [f (~ r (t))] dt. Por lo tanto, b

∫ ⃗∇ f . d r⃗ =∫ dtd [ f (⃗r (t)) ] dt=f ( ⃗r ( b ) )−f (⃗r ( a ) ) C a Donde se aplicó el teorema fundamental del cálculo para funciones de una variable, en el ´último paso. Este teorema da un método práctico para calcular integrales de línea de campos vectoriales conservativos en D, es decir aquellos campos F~ que son el gradiente de alguna función potencial f en D. Efectivamente, si F~ es conservativo: ⃗ F . d ⃗r =¿ ∫ ⃗ ∇ f . d r⃗ C

∫¿ C

Y aplicando el teorema dado, la ´ultima integral se calcula conociendo solo el valor de la función potencial f en los puntos extremos de la curva C. Supongamos por ejemplo, que C es una curva suave en D ⊂ R2, con extremo inicial ~r(a) = A (xA, yA), y extremo final ~r (b) = B (xB, yB), y f: D ⊂ R 2 → R es una función con campo gradiente continuo en C. Entonces, aplicando el teorema la integral línea se calcula fácilmente:

⃗ ∇ f . d r⃗ =¿ f ( x B . y B ) −f ( x A . y A )

∫¿

C AB

Si f: E ⊂ R 3 → R y C es una curva suave en E, que comienza en ~r(a) = A(xA, yA, zA) y finaliza en ~r(b) = B(xB, yB, zB), entonces aplicando el teorema se tiene:

⃗ ∇ f . d r⃗ =¿ f ( x B , y B , z B ) −f (x A , y A , z B )

∫¿

C AB

Integral de línea de un campo vectorial

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EJEMPLO: Determinar el trabajo realizado por el siguiente campo conservativo:

⃗ F = yz i⃗ + xz ⃗j+ xy ⃗k

A lo largo de una curva suave CAB que une los puntos A (−1, 3, 9) y B (1, 6, −4), desde A hacia B. El trabajo realizado por el campo de fuerzas integral de línea

∫ ⃗F . d r⃗ C AB

⃗ F

está definido por la

. Como ya sabemos que el campo

⃗ F

es

conservativo, podemos aplicar el Teorema Fundamental para Integrales de Línea y evaluar el trabajo mediante los valores de la función potencial del

⃗ F en los extremos de la curva

C AB . Tenemos que calcular f tal que ⃗ ∇f = ⃗ F . Es primero la función potencial, esto a la función campo

este caso es fácil darse cuenta (casi sin hacer cálculos) que

f ( x , y , z )=xyz ,

ya que:

∂f = yz ∂x

∂f =xz ∂y

Que son justamente las funciones componentes del campo cual tenemos que

⃗ ∇f =

∂f =xy ∂z ⃗ F

, con lo

⃗ F . Ya estamos en condiciones entonces de

evaluar la integral de línea:

∫ ⃗F . d r⃗ =∫ ⃗∇ f .d r⃗ C AB

C AB

¿ f ( B )−f ( A ) ¿ ( 1 )( 6 )(−4 )−(−1 ) (3)(9) ¿3 Integral de línea de un campo vectorial

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TEOREMA 2: ⃗ F

Sea

(x, y) = P(x, y)

⃗i ⃗ + Q(x, y) j

un campo vectorial definido en una

región D abierta y simplemente conexa del plano. Sus funciones componentes P(x, y) y Q(x, y) tienen derivadas parciales de primer orden continuas en D que satisfacen:

∂P ∂Q ( x , y )= ( x , y) ∂y ∂x Para todo (x, y)

∈ D. entonces

⃗ F

es un campo conservativo en D.

Ejemplo: Determinar si el campo vectorial F~ (x, y) = e

xy

⃗i

+ ex+y

⃗j

es un campo conservativo en su dominio D.

⃗ F

Es un campo definido y continuo en todo el plano, por lo que su

dominio es D = R2. Las funciones componentes de Q(x, y) = e

x+y

⃗ F

son: P(x, y) = e

xy

y

, con derivadas parciales continuas en D. en primer lugar

calcularemos

∂P ∂Q y ∂ y ∂x

, porque en el caso de que ambas derivadas

parciales no coinciden en D, el campo no será conservativo (justificar!). En este caso, tenemos:

∂ P xy ∂ Q e , ∂y ∂x Si

⃗ F

tanto,

e

x+y

fuera conservativo, se debería cumplir:

⃗ F

∂P ∂Q = ∂ y ∂ x en todo D. por lo

no es conservativo en D.

3.3 EJERCICIOS  EJEMPLO 01: Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas −1 ^ 1 ^ 1 ^ ⃗ F ( x , y , z) = x i − y j+ k sobre una partícula que se mueve que 2 2 4 se mueve por la hélice de ecuación el punto

P1=( 1,0,0 )

hasta el punto

^ ⃗r ( t ) =cos t i+sin t ^j+t k^

, desde

P2=(−1,0,3 π )

Solución Para la solución de este problema lo primero que debemos ver es t , y lo que sabemos es que “t” de donde a donde varía Integral de línea de un campo vectorial

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aparece en la componente “z” del vector posición; también sabemos de los puntos que nos dan de que en la componente “z” varia de 0 a 3π; entonces: 0 ≤t ≤3 π Queremos el trabajo, pero el trabajo lo podemos expresar también de esta forma: 3π

∫ ⃗F . d r⃗ 0

Ahora necesitamos calcular

d ⃗r

:



d ⃗r =r´⃗ . dt



´ ^ r⃗ (t)=−sint i+cos t ^j+ ^k



−1 1 1 ⃗ F ( r⃗ ( t ) )= cos t i^ − sin t ^j+ k^ 2 2 4



´ )= 1 sin t . cos t− 1 cos t . sin t+ 1 ⃗ F ( r⃗ ( t ) ) . r⃗ (t 2 2 4

¿

1 4 3π



∫ 14 .dt= 34 π 0

 EJEMPLO 02:

Integral de línea de un campo vectorial

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 EJEMPLO 03:

Integral de línea de un campo vectorial

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 EJEMPLO 04:

Integral de línea de un campo vectorial

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Integral de línea de un campo vectorial

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 EJEMPLO 05:

3.4 EJERCICIOS DE APLICACIÓN A LA FISICA  Ejercicio 1: Integral de línea de un campo vectorial

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Integral de línea de un campo vectorial

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Integral de línea de un campo vectorial

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 Ejercicio 2:

Integral de línea de un campo vectorial

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 Ejercicio 3:

 Ejercicio 4: Integral de línea de un campo vectorial

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 Ejercicio 5:

Integral de línea de un campo vectorial

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3.5 CONCLUSIONES  Una integral se puede extender a dominios de integración más generales, tales como las líneas curvas y las superficies. Estas Integral de línea de un campo vectorial

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integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie respectivamente. Tienen importantes aplicaciones en la física cuando se trata con campos vectoriales.  La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importante.  En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.

3.6 BIBLIOGRAFIA

 LAZARO, M. S. (2010). ANALISIS MATEMATICO III (1a Edición). Lima: Editorial Moshera. 

EDUARDO, E. R.(2000). ANALISIS MATEMÁTICO III (3ra Edición). Lima-Perú: Editorial: EdukPerú

 Ampliación de varias variables reales/ Curvas – Universidad de Cantabria

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