Integrador y Derivador

Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Laboratorio de Circuitos Eléctricos I

Informe Final # 8 Características de un circuito Integrador y Derivador

Eder Berrocal Cotaquispe 20100233 A

AÑO 2012

1. Realizar el fundamento teórico de la experiencia realizada. Funciones Singulares: Las funciones singulares son aproximaciones a las formas de onda de interruptores e inversores y las idealizamos de la misma forma, y por iguales motivos, que idealizamos los elementos de las redes. Es mucho más fácil resolver un problema donde un interruptor tiene solo dos posiciones, abierto y cerrado, que tener en cuenta la complicada transición entre los dos estados. El problema matemático llega a considerarse que la transición ocurre en un tiempo igual a cero. Nuestra consideración evitara el problema no llegando nunca exactamente al instante cero. De hecho si la conmutación ocurre en el tiempo cero partiremos el instante cero en tres partes: 0, el instante exactamente antes de que se cierre la llave; 0, el momento justo en que se cierra; y 0+, el instante exactamente posterior al cierre. Estos instantes están separados por un intervalo despreciablemente corto, pero de toda manera finita. a. Definición de las funciones: Función Escalón: Una fuente de corriente, o de tensión, constante que se conecta de una red puede ser representada por la función escalón.

Analíticamente la indicamos como:

La función es cero para todo valor de tiempo negativo, y uno para todo tiempo positivo. La operación de cambio (cierre en el ejemplo de tensión, apertura en el de corriente) ocurre en el corto intervalo entre 0-, donde la función es cero, y 0+, cuando la función es igual a uno. En el instante t = 0 esta indeterminada. Para el ejemplo del generador de tensión la fuente quedara aplicada cuando se cierre la llave, la tensión de salida pasara de cero al valor de E voltios. Analíticamente podemos expresarla como: La función u-1(t) multiplica a E por cero para todo t0. El resultado es simplemente cortar la tensión para valores negativos de t.

En forma análoga podemos representar la apertura de la llave en el circuito del generador de corriente:

Esta función escalón es la más fácilmente entendible ya que representa la acción de operar una llave para conectar, o desconectar un circuito. Sin embargo debemos tener en cuenta que los circuitos procesan las señales de excitación pudiendo dar como respuesta una señal proporcional a esa excitación pero también a su integral o a su derivada. Consecuentemente debemos pensar en los resultados que esa señal escalón puede producir en un circuito. Función rampa unitaria: La integral de la función escalón es la llamada función rampa unitaria que se define como:

Y la obtenemos de:

Si el escalón no es unitario, digamos igual a E, la pendiente de la rampa será también E. Otras funciones singulares se pueden obtener por integración sucesiva de las ya vistas, pero ocurren raramente en los circuitos. Como resulta evidente podemos lograr la función escalón derivando la función rampa, o esta última derivando la parábola unitaria. b. Representación de ondas utilizando funciones singulares: Función De Onda Cuadrada: Se muestra cuatro funciones paso y su combinación para formar una nueva función:

Utilizando este resultado podremos representar una función de onda cuadrada:

c. Desarrollo del circuito Circuito integrador:

Aplicando ley de Kirchhoff: Sabemos que: Pero R es grande, entonces: i.R >> Vc → i.R =V (t) Como V(t) es una onda cuadrada:

Por lo tanto:

Circuito diferenciador:

Del mismo modo que el anterior, aplicando las leyes de Kirchhoff: Pero R es grande, entonces: i.R >> VR → i.R =V (t)

Como V(t) es una onda cuadrada:

Por lo tanto: Para el integrador: Voltaje de Entrada

Voltaje de Salida

Para el derivador: Voltaje de Entrada

Voltaje de Salida

Gráficamente tenemos: Función de entrada:

Función de Salida:

2. Determinar la constante del tiempo teórica y experimental. En la experiencia obtuvimos los siguientes datos calibrando cada instrumento de medición: En el circuito Integrador: R=10.5kΩ C=22nF

Para el cálculo del

tenemos de lo medido en el laboratorio:

Igualamos la pendiente de la grafica con la pendiente del Vsalida: (ver la hoja de datos para relacionar pendientes)

En el circuito Derivador:

Para el cálculo del Reemplazando en t=50us

tenemos de lo medido en el laboratorio:

3. Graficar en papel milimetrado la forma de onda de la señal de entrada y salida. Voltaje de Entrada:

Voltaje de Salida para el circuito integrador:

Voltaje de Salida para el circuito Derivador:

4. Explique Ud. porque el circuito utilizado se le denomina integrador o derivador ¿Funciona para cualquier tipo de onda (triangular por ejemplo)? Demuestre. Circuito integrador: Cuando estudiamos el tema de Funciones Singulares, vemos con detalle como es el caso cuando se integra o deriva estas funciones, de las cuales podemos notar que si tomamos una señal cuadrada, podemos calcular su integral obteniendo lo siguiente:

La cual podemos ver en la parte teórica, esto además lo podemos comprobar directamente en el osciloscopio al ver la grafica de la función salida de nuestra onda cuadrada. Entonces guiándonos del grafica de salida notamos que tiende a ser funciones rampas periódicas. Al aplicar un generador de onda cuadrada, al llegar los pulsos, estos tienen un valor constante, entonces el condensador se debería cargar y descargar exponencialmente, pero debido a que la frecuencia es grande en comparación a la inversa de RC o mejor dicho el periodo de la onda generadora es pequeña a comparación de la constante de tiempo, la curva de carga y descarga se parecerá más a un tramo recto, lo cual genera una onda triangular. Cuando llega un pulso de entrada se eleva rápidamente al máximo cargando el condensador C exponencialmente debido a la resistencia R, lo cual deforma el pulso de entrada como se muestra en la forma de onda inferior. Cuando el pulso de entrada se cae de repente a cero, se descarga exponencialmente el condensador C a cero a través de la resistencia R. El proceso se repite para cada pulso de entrada que, dará la forma de onda de salida mostrada.

Circuito derivador: Para el caso de la derivación, podemos notar que al derivar la función de entrada (función cuadrada), vemos que se obtienen funciones impulsos. Esto también podemos notarlo en el osciloscopio en la grafica de salida. Cuando se aplica un generador de onda cuadra a un circuito RC, el voltaje de de la resistencia decrece exponencialmente, pero debido a el periodo de la onda generadora es menor en comparación al la constante de tiempo. Cuando un pulso de tensión, se eleva de repente de cero al máximo, la corriente que carga el condensador C, de repente se eleva a un valor máximo también. En la medida que se carga C, la carga de corriente se cae exponencialmente a cero. Ya que esta corriente de carga pasa por la resistencia R, el voltaje a través de la R (que es el voltaje de salida) hace lo mismo. Por consiguiente nosotros conseguimos la forma mostrada, con el voltaje de salida que sube de repente al máximo y a continuación caerse exponencialmente entonces a cero. Cuando el pulso se cae a cero, se produce la descarga del condensador C. La corriente de descarga es alta en la salida y entonces se cae exponencialmente a cero como la descarga del condensador C. Sin embargo, dado que la corriente de descarga, está en oposición a la dirección de la carga

actual, el voltaje por R se invertirá, con lo que la forma de onda se muestra ahora por debajo de la línea cero. Para cada pulso, la forma de onda de salida se repite, mostrando la forma siguiente. El derivador también para una onda triangular, debido a que se considera como la unión de varias ¨ondas rampa¨.

Ejemplo grafico para poder ver la función de salida cuando se pone otra función de entrada: Señal de entrada: Función cuadrada Señal de salida : Función Rampa

Señal de entrada: Función Triangular (rampas) Señal de salida : Función parábola.

Señal de entrada: Función Sinusoidal Señal de salida : Función Cosenoidal

.

5. Explique la influencia que tiene la frecuencia de la señal en el circuito integrador. La frecuencia de la señal tiene mucho que ver, puesto que mientras mayor sea la frecuencia, menor será el periodo, también se debe tener en cuenta que el periodo tiene que ser pequeño en comparación de la constante de tiempo del circuito RC. Tanto para el circuito integrador como para el derivador, calibramos nuestro generador de onda cuadrada para que la amplitud de esta tenga un valor de 10V.p.p y una frecuencia de 10KHz. En el integrador: frecuencia menores que 1KHz. Amplitud

f=0.811KHz 0.86V.p.p

Frecuencia mayores que 20KHz. Amplitud

f=22KHz 0.48V.p.p

A medida que aumentamos la frecuencia, la señal se vuelve triangular. En el derivador: frecuencia menores que 200Hz. Amplitud

f=160Hz 16V.p.p

Frecuencia mayores que 5KHz. Amplitud

f=6.01KHz 11V.p.p

A medida que la frecuencia disminuye, en la señal de salida aparecen impulsos.

6. Que sucede con la amplitud de la señales Vc y Vr, cuando varia la frecuencia de la señal de entrada.  En el caso del Circuito Integrador, la señal de salida disminuye su amplitud al aumentar la frecuencia de la señal de entrada, volviéndose notoria la señal rampa. Y si se le mantiene a la misma escala podemos notar que también el período es mucho más pequeño con lo cual al condensador no le da tiempo de cargarse. Vemos que cuando está empezando a cargar se descarga inmediatamente después. Notamos también que incluso el condensador comienza a cargarse con un potencial negativo y que luego hace un transitorio para estabilizarse.

Aumentando la frecuencia obtenemos:

 En el Circuito Derivador notamos que al aumentar la frecuencia, el periodo también disminuye y la amplitud de salida aumenta también acercándose a una función impulso.

Al aumentar la frecuencia obtenemos:

7. Muestre analíticamente el desarrollo de la serie de Fourier de la señal de entrada y la señal de salida en cada caso.

Señal de Entrada: Tenemos como: Por Fourier sabemos que f(t) se puede expresar en función de sumas de senos y cosenos:

Como nuestra función de entrada es una función asimétrica (función impar), entonces f(t) queda expresada así:

Donde:

Reemplazando los valores dados obtenemos:

Señal de salida en forma de rampa: Debido a que la salida de esta función es simétrica (par), entonces:

Además:

Finalmente reemplazando los valores dados:

Por lo tanto:

8. Observaciones, conclusiones y recomendaciones de la experiencia realizada. Observaciones:    

El trabajar con las medidas correctas y bien calibradas, nos permite tener una respuesta en el osciloscopio. Trabajar a una escala adecuada llevara a que el experimento y simulación de la grafica en el osciloscopio sea la correcta tanto para la entrada como para la salida. Podemos aprender adicionalmente el concepto de filtro pasa-abajo y filtro pasa-arriba. Logrando ver gráficamente el comportamiento de la frecuencia. El concepto de carga y descarga de un condensador hará sencilla la comprensión de este experimento y nos hará sencilla la obtención de y en algunos casos la frecuencia de corte.

Conclusiones:   

 



Pudimos comprobar experimentalmente las funciones de salida eran las correctas cuando la señal de entrada era una función cuadrada, siempre y cuando se trabaje a una escala adecuada de frecuencia y amplitud. La variación de la frecuencia modifica las graficas. A medida que aumentamos la frecuencia, la señal se vuelve triangular. A medida que la frecuencia disminuye, en la señal de salida aparecen impulsos, esto lo podemos ver en la pregunta número 5. También podemos obtener el derivador e integrador de una función sinusoidal, triangular, etc. Los errores de medida que una vez más obtenemos en cálculo de los resultados son debido a la calibración de los materiales, las condiciones del ambiente, que como bien se sabe modifica las propiedades eléctricas de los materiales. El hecho de poder aplicar un circuito integrador o derivador, como un filtro pasa-alta o pasa-baja, concluye a que podemos obtener solo frecuencias que necesitaremos para una aplicación útil que requiera exclusivamente de estas características.

9. Mencionar 3 aplicaciones prácticas de la experiencia realizada completamente sustentadas. 1) Filtros: La utilización en estos tipos de componentes es vital para el filtraje en el dominio de la frecuencia y es un propósito de la conformación señal – ruido por la limitación de la respuesta de la instrumentación a aquellos rangos de frecuencia en los cuales la señal tiene componentes útiles.

2) Transducción y adaptación de señal Para evaluar las características generales, ventajas y desventajas de una aplicación de captura de señales biomédicas utilizando teléfonos móviles, como primera aproximación se diseñó una interfaz electrónica que permite transformar en una señal audible la respuesta de un sensor genérico para fotopletismografía. Esta señal puede estimular o reemplazar al micrófono común conectado al teléfono celular, transmitiéndole así una sucesión de tonos que corresponden al ritmo cardiaco. Para disminuir el tamaño y consumo de energía se desarrolló un circuito electrónico basado en componentes discretos, sin utilizar dispositivos programables. Este circuito además de la etapa de amplificación y filtraje, incorpora un circuito derivador que activa la emisión de una señal de frecuencia audible por cada pulso detectado (Fig. 1C).

En la Fig.1A se muestra el transductor de fotopletismografía empleado, fabricado por la compañía Nellcor. La Fig.1B muestra el modo de uso y la Fig.1D presenta la disposición y conexión del sistema completo. La entrada de sonido, disponible en todos los equipos móviles, permite capturar los voltajes entregados por el micrófono del dispositivo 'manos libres', lo que corresponde a una interfaz de conversión análogo-digital. Esta interfaz, diseñada para aplicaciones de audio, posee filtros que eliminan las señales continuas y de baja frecuencia, y la tasa normal de captura es de 8K muestras/seg. y cuantización de 8 bits/muestra. El rango normal de frecuencias audibles está en el rango de 20Hz a 20KHz, no obstante, dada la tasa de muestreo, la frecuencia máxima detectada por este tipo de dispositivos no supera los 4KHz. Para la aplicación propuesta, el circuito diseñado entrega una señal de 400Hz y 0.1seg. de duración por cada pulso arterial detectado. 3) Aplicación a un electrocardiograma. 3.1 Electrocardiografía. Es el campo de la medicina encargada del estudio del registro de la actividad eléctrica cardiaca. Se muestra como una línea delgada que presenta distintas inflexiones, que corresponden a parámetros de información del estímulo eléctrico del corazón. Dicho estímulo, es originado por el nodo sinusal llegando hasta los ventrículos a través del SEC(Sistema específico de conducción). Éste, está compuesto por el nodo sinusal, las vías de conducción internodal e interauricular, el nodo auricoventricular(AV), el haz de His, las dos ramas del haz de His junto a sus divisiones y sus respectivas células de Purkinje. En el momento en el que el estímulo llega a dichas células es cuando se produce el acoplamiento de excitación-contracción. 3.2 Adquisición señales bioeléctricas. El principal objetivo, es conseguir un sistema con muy poco ruido, para la adquisición de la señal electrocardiográfica. La presencia de ruido en el registro de este tipo de señales, es prácticamente inevitable. Ya sea por causas ajenas, o propias del sistema. El conocimiento acerca del ruido, y las causas que lo propician, ayudarán al procesado y eliminación de éste. En primer lugar, citamos el concepto de ruido, que se define como una señal ajena a la señal de estudio, provocando errores en el sistema de medida. El termino interferencia, también es utilizado en este documento, para referirse a las señales externas a nuestro sistema, que pueden seguir una evolución temporal en el tiempo y espacio. Podemos destacar: la red eléctrica; y apartáramos como luces, fluorescentes, motores. Destacamos, el problema que conlleva la amplitud tan pequeña de las señales bioeléctricas. Los potenciales bioeléctricos del ser humano son magnitudes que varían con el tiempo. Los valores de dicha medida pueden variar entre distintos individuos por diversos factores. Por ejemplo, en un ECG la magnitud de un paciente, puede variar entre 0'5mV-4mV, nivel estimado para el ECG.

3.3 Señal del corazón Esta señal nos servirá para ver si la señal que estamos obteniendo si se parece a la de la grafica

3.4 Amplificador diferencial 1. Problemas. En primer lugar, representamos la fórmula que calcula el valor del voltaje de interferencia:

2. Cálculo del (Common Mode Rejection Ratio)

Como se observa, de ésta última fórmula, el amplificador para nuestro sistema debe tener una ganancia en modo común muy elevada. Por tanto, el amplificador elegido debe cumplir con un elevado rechazo al modo común descrito en las anteriores ecuaciones. Elegiremos un Amplificador de instrumentación. El término amplificador de instrumentación es usado para denotar la elevada ganancia, acoplo-DC, un amplificador diferencial con una única señal de salida, alta impedancia, y un elevado CMRR. El amplificador de instrumentación se utiliza para amplificar señales de entradas muy diferentes y pequeñas, que provienen de transductores, en los cuales podría haber una señal o nivel alta de modo común. 4. Diseño electrocardiógrafo Los requerimientos de diseño son los siguientes:  La señal de ECG tiene componentes relevantes solo entre 0.05 hz y 150 hz  Los valores de la señal en la piel oscilan en pocos milivoltios (entre unos 0.5 y 10mV como máximo).  ganancia de aproximadamente 1000. Con estos datos se deberá saber que ancho de banda debe tener el circuito, y la ganancia que este deberá presentar. Otras consideraciones importantes:  CMRR lo más alto posible.



Resistencia de entrada de aproximadamente 2MW o superior para obtener un acople de impedancias y no atenuar la señal. Lo primero que tenemos que hacer es un diagrama de bloques y después ir desglosando cada bloque. Un electrocardiógrafo es un acondicionador de señales y tiene la siguiente estructura general:

4.1 transductor Para la adquisición analógica, se ha procedido del siguiente modo: tomamos la señal electrocardiográfica del usuario a través de los electrodos, y estos a su vez se encuentran conectados al circuito a partir de cable apantallado que permite la eliminación de ruidos, los electrodos que se utilizaran serán de los de tipo superficial por su facilidad de manejo y economía. La derivación que se utilizara será la siguiente: un electrodo ira a la altura del corazón (encima) , el otro electrodo ira en la parte derecha a la altura intercostal y un ultimo electrodo que servirá como referencia y va a la altura de la cintura en la parte izquierda.

4.2 Acople de impedancias y amplificador con ganancia Esta parte la haremos con un amplificador de instrumentación ya que nos brinda una impedancia de entrada infinita produciéndose el efecto del acople de impedancias y por otro lado tiene un amplificador diferencial el cual amplifica la diferencia de la señal proveniente de los electrodos 1 y 2. El amplificador de instrumentación se compone de tres amplificadores operacionales y tiene la siguiente estructura:

Amplificador de instrumentación Como las amplitudes de la señal eléctrica del corazón van desde 1milivoltio a 5milivoltios la ganancia de nuestro amplificador debe ser alta de 1000 como se habia especificado en los requerimientos.

Ecuaciones del amplificador de instrumentación. Vo= salida del amplificador. Va y Vb son las entradas al diferenciador. Gd= es la ganancia del amplificador. Necesitamos que Gd se ha de 1000 para conseguir esto asumiremos; Rg=1k ohmio. R3=100k ohmio. R2=10k ohmio. Nos falta determinar el valor de R1 entonces: R1= [(Gd*R2/R3 -1)*Rg]/2 R1=49,5 ohmios. Ahora proseguiremos a la respectiva simulación para verificar si no hubo errores en al calculo de la ganancia. Esquema amplificador de instrumentación

Forma de onda a la salida del amplificador de instrumentación Como se esperaba el amplificador mostró en la simulación que tiene una ganancia de 1000, se aplico un milivoltio a la entrada y obtuvimos a la salida 1 voltio. Algo que falto hablar es la alimentación del circuito que fue de 12 y -12 voltios de esto hablaremos mas adelante cuando hablemos del filtro rechaza-banda de 60Hz. 4.3 filtro pasa-bajos y pasa-altos Una de las partes más importantes de un acondicionador de señales es el filtrado el cual nos determinara el ancho de banda del circuito. Como habíamos mencionado anteriormente la señal de ECG tiene componentes relevantes solo entre 0.05 hz y 150 hz por lo tanto nuestro circuito solo debe dejar pasar las señales que se encuentren en este rango.  Utilizaremos un filtro pasa-bajos sencillo :

Para determinar la frecuencia de corte se tiene la siguiente fórmula:

La frecuencia de corte es 150 Hz, asumimos un condensador de 1uf y de la formula despejamos R=1/(150*2*pi*1uf) = 1061,03 ohmios



Grafica filtro pasa-bajos Utilizaremos un filtro pasa-altos sencillo:

Para determinar la frecuencia de corte se tiene la siguiente fórmula:

La frecuencia de corte es 0.05 hz, asumimos un condensador de 1uf y de la formula despejamos R=1/(0.05*2*pi*1uf) = 3,18 megohmios

Ahora procederemos a la simulación para verificar que los cálculos estén bien hechos:

Filtro pasa-bajos y pasa-altos

Grafica de salida de los filtros en función de la frecuencia

Grafica de salida en función del tiempo para una señal de 500hz y amplitud de 1 voltio Vemos que los filtros están funcionando bien y ya tenemos filtrada nuestra señal. 4.4 filtro rechazabanda Cuando utilizamos fuentes de poder que están alimentadas por la red de 120 voltios a 60hz con las cuales alimentaremos los operacionales esa frecuencia de 60 hz se introduce dentro de nuestro sistema siendo una señal indeseable. Tenemos que eliminarla por medio de un filtro rechaza-banda de 60 Hz. 4.5 señal de salida Una última consideración es que la señal hasta este punto esta invertida por lo cual tenemos que colocar un amplificador inversor de ganancia 1.Nuestro esquema final queda de la siguiente manera:

HOJA DE DATOS