Integracion Por Sustitucion Trigonometrica

Métodos de integración Integración de funciones con trinomio cuadrado perfecto. Integración por sustitución trigonométrica Ing. Ms. David Uscamayta Verástegui

Propósitos:  Aplica las reglas de integración para resolver ejercicios de funciones con trinomio cuadrado perfecto.  Aplica la sustitución trigonométrica para calcular integrales.

Integrales que contienen polinomios cuadráticos Muchas integrales que contienen una raíz cuadrada o una potencia negativa de un polinomio cuadrático ax2 + b x + c se pueden simplificar mediante el proceso de completar el cuadrado. (Trinomio cuadrado perfecto). Por ejemplo 2 2

x

2 x 2 ( x 1)

1

y por tanto, con la sustitución u = x + 1, du = dx, se obtiene

x

2

dx 2x 2

du u

2

1

a tan(u ) c

a tan(x 1) c

En general, el objetivo es convertir ax2+bx+c en una suma o en una diferencia de cuadrados u 2 a 2 o a 2 -u 2 para que se pueda usar tablas

PROBLEMAS Resolver los siguientes ejercicios

1. I = 2. I = 3. I =

INTEGRACIÓN MEDIANTE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA • Cuando un integrando contiene potencias enteras de “x” y potencias enteras de alguna de las expresiones:

a

2

x

2

a

2

x

2

x

2

a

2

• es posible que se puedan evaluar por medio de una sustitución trigonométrica.

CASO 1: Integrandos que contienen

a

2

x

2

En este caso utilizaremos la siguiente representación: A partir de ella, definimos

a

a2

x

x

aSen( )

x2 Identidad pitagórica

1 sen

2

2

cos

CASO 2: Integrandos que contienen

a



2

x

2

En este caso utilizaremos la siguiente representación: a

2

x

A partir de ella, definimos

2

x

x

aTan( )

a Identidad pitagórica

1 tan

2

2

sec

CASO 3: Integrandos que contienen

x 

2

a

2

En este caso utilizaremos la siguiente representación: A partir de ella, definimos

x x

2

a

2

x

aSec( )

a Identidad pitagórica 2

sec

1 tan

2

PROCEDIMIENTO DE INTEGRACIÓN MEDIANTE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 1. Proponer la sustitución adecuada. 2. Reemplazar los términos en la integral a partir de la sustitución propuesta.

3. Resolver la integral equivalente obtenida al reemplazar los términos a partir de la sustitución propuesta. 4. Expresar la solución de la integral equivalente en términos de la sustitución original.

EJEMPLO: 1. Resolver:

dx x 16

x2

Seguiremos paso a paso con el proceso indicado. 2 2 a x Como el radical tiene la forma con a = 4, tenemos una integral del CASO 2. Procedimiento de solución: 1. El cambio indicado es: x 4Tan( ) Con ello, tenemos la siguiente representación gráfica:

x

4Tan( )

16 x 2

16 x 2

x

dx 4Sec2 d 16 16Tan2 16(1 Tan2 )

16Sec 2 4 2. Reemplazando los términos en la integral propuesta tenemos:

dx x 16 x 2

4Sec2 d 4Tan 4Sec

4Sec

Simplificando: 4Sec 2 d 4Tan 4Sec

dx x 16 x 2 dx

1 4

x2

x 16 dx

x 16 x 2

1 1 / Cos d 4 Sen / Cos

dx x 16

Sec d Tan

x2

1 1 d 4 Sen

1 Csc d 4

Esta última representa la integral equivalente.

3. Enseguida procedemos a resolver la integral equivalente. Como: Entonces:

dx x 16

x2

Cscudu

ln Cscu Cotu

c

1 Csc d 4

1 ln Csc 4

Cot

4. Expresando lo anterior en función de los términos originales, tenemos finalmente que: dx 1 16 x 4 ln c 2 4 x x x 16 x

c

EJEMPLO: 2. Resolver:

3. Resolver:

4. Resolver:

dx 2 3/ 2 x(x 4) 4x2 9 dx 2 x

dx x4 2 x2

PROBLEMAS: • Resolver: 1.

x

2.

2

25 x 2 3.

5.

dx

2

x 9 dx 4 x 2

1 x dx

4.

dx (1 x 2 )3 / 2

x2

9 x

6.

dx x2 4

dx

SINTESIS DE LA CLASE Sustituciones trigonométricas

Expresión 2

a

x2

2

x dx

Sustitución

x

a2 dx x

x 2 a2 dx x

a sen , a tan , a sec , 0

Identidad

2

2

2

2 2

o

3 2

1 sen 2 x

cos 2 x

1 tan 2 x

sec 2 x

sec 2 x 1

tan 2 x