Integración Numérica
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Integral numero, ejercico de una piscina...
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CÁLCULO II INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Jack necesita saber el área de su piscina para comprarle una cubierta, pero esto es difícil debido a la forma irregular de la piscina. Suponga que Jack hace las mediciones que se ilustran en la figura mostrada a intervalos de 4 pies a lo largo de la base de la piscina (todas las medidas son en pies). ¿Cómo puede Jack estimar el área de su piscina?
¿Qué necesitamos recordar? •
Integral definida.
•
Métodos de Integración.
LOGROS DE LA SESIÓN Al término de la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a gestión e ingeniería calculando integrales definidas en forma numérica por los métodos del trapecio y de Simpson.
Temario 1. Integración Numérica 1.2 Aproximación por Trapecios: Regla de los Trapecios 1.3 Aproximación por Parábolas: Regla de Simpson
INTEGRACIÓN NUMÉRICA Las técnicas que veremos se pueden usar para aproximar integrales definidas. Métodos numéricos como estos se necesitan cuando la función que se integra no tiene una
antiderivada conocida. Por ejemplo, las funciones:
x
3
1
e
x
y x
No tienen antiderivadas conocidas.
APROXIMACIÓN POR TRAPECIOS Consideremos la función y
f ( x) , definida en el intervalo
a; b
b
La integral definida
f ( x)dx
se puede aproximar (empleando
a
trapecios) de la siguiente manera:
b
f ( x)dx a
x 2
f ( x1 ) 2 f ( x2 ) 2 f ( xn ) f ( xn 1 )
A esta fórmula se la conoce como la REGLA DE LOS TRAPECIOS.
Ejemplo 1: 2
Usa la regla de los trapecios con
n
10 para aproximar
1
x dx . 1
b
f ( x)dx
Solución:
a
x 2
Como: x
El intervalo 1 x
1
x
f ( x1 ) 2 f ( x2 ) 2 f ( xn ) f ( xn1 )
2 1 10
0.1
2
está dividido en 10 sub intervalos por los puntos:
1,
2
x
1.1,
x
3
1.2, ,
x
10
1.9,
x
11
2
Entonces, por la regla de los trapecios: 2
1
x 1
dx
0.1 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 2
0.693771
Estimación del Error de la Regla de los Trapecios Si M es el valor máximo de f ' ' ( x) en el intervalo, a x b entonces: E n
M b a 12n
2
3
Ejemplo 2:
2
Estime la aproximación de
Solución:
1
x dx por la regla de los trapecios con
n
10 .
1
Comenzando con f ( x)
1
f ' ( x)
x
, calculemos las derivadas:
1
f ' ' ( x)
y
x 2
Y observe que el máximo valor de f ' ' ( x) en 1
x
2
x 3
2
es f ' ' (1)
2.
Aplicando la fórmula del error con: M
2, a
Obtenemos: E 10
1, b
1210
2 2 1
2
y
n
10
3
2
0.00167
Esto muestra que el error de la aproximación del ejemplo 1 no es mayor a 0.00167.
APROXIMACIÓN USANDO PARÁBOLAS Consideremos la función y
f ( x) , definida en el intervalo
a; b
b
La integral definida
f ( x)dx
se puede aproximar (empleando
a
parábolas) de la siguiente manera:
b
f ( x)dx a
x 3
f ( x1 ) 4 f ( x2 ) 2 f ( x3 ) 4 f ( x4 ) 2 f ( xn1 ) 4 f ( xn ) f ( xn 1 )
A esta fórmula se la conoce como la REGLA DE SIMPSON.
Ejemplo 3:
2
Usa la regla de Simpson con
n
10 para aproximar
x dx
.
1
Solución: b
1
f ( x)dx
a
x 3
f ( x1 ) 4 f ( x2 ) 2 f ( x3 ) 4 f ( x4 ) 2 f ( xn1 ) 4 f ( xn ) f ( xn1 )
Como: x
El intervalo 1 x
1
x
2 1 10
0.1
2
está dividido en 10 sub intervalos por los puntos:
1,
2
x
1.1,
x
3
1.2, ,
x
10
1.9,
x
11
2
Entonces, por la regla de Simpson: 2
1
x 1
dx
0.1 1 3
4 2 4 2 4 2 4 2 4 1 1 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 2
0.693147
Estimación del Error para la Regla de Simpson ( 4)
Si M es el valor máximo de f ( x) en el intervalo, a x b entonces: E n
M b a 180n
4
5
Ejemplo 4:
2
Estime la aproximación de
Solución:
x dx por la regla de Simpson con
n
10 .
1
Comenzando con f ( x)
f ' ( x)
1
1
x 2
1
x
, f ' ' ( x)
, calculemos las derivadas:
2
x
( 3) , f ( x) 3
6
y
x 4
4
Y observe que el máximo valor de f ( x) en 1
x
2
f ( 4) ( x) 4
24
es f (1)
x 5
24 .
Aplicando la fórmula del error con: M
24, a
Obtenemos: E 10
1, b
18010
24 2 1
2
y
n
10
5
4
0.000013
Esto muestra que el error de la aproximación del ejemplo 1 no es mayor a 0.000013.
Jack necesita saber el área de su piscina para comprarle una cubierta, pero esto es difícil debido a la forma irregular de la piscina. Suponga que Jack hace las mediciones que se ilustran en la figura mostrada a intervalos de 4 pies a lo largo de la base de la piscina (todas las medidas son en pies). ¿Cómo puede Jack estimar el área de su piscina?
Solución: Si Jack pudiera hallar funciones f ( x) para el borde superior de la piscina y para el borde inferior g ( x ) , entonces el área estaría dada por la integral definida: 36
A
f ( x) g ( x)dx 0
La forma irregular hace imposible, o al menos impráctico, hallar fórmulas para f y g pero las mediciones de Jack le dicen que:
f (0) g (0)
0, f (4) g (4)
9, f (8) g (8) 10, , f (36) g (36)
0
Sustituyendo esta información en la aproximación de la regla de los trapecios y usando x
36 0
Jack obtiene:
9
4
36
A
f ( x) g ( x)dx 0
4
0 2(9) 2(10) 2(8) 2(7) 2(10) 2(13) 2(11) 0 2 2(160) A 320 Por tanto, Jack estima que el área de la piscina es de aproximadamente 2 320 pies .
Material elaborado para uso exclusivo de las sesiones de aprendizaje del curso de Cálculo 2 , semestre 2017 – 1. Universidad Privada del Norte.
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