Integracion Multiple

 

 Matemáticas

1º Grado en CC. Químicas Químicas

Integración múltiple múltiple 

NTE E GRACI ÓN MÚLTI MÚLTI PLE I NT

Introducción La integral definida unidimensional aporta las herramientas necesarias para calcular áreas y volúmenes. Ahora bien, por lo que se refiere al cálculo de volúmenes, no da respuesta al problema de encontrar el volumen de una figura tridimensional arbitraria, pues sólo se determina deter mina el volumen de figuras con determinadas características. Vamos a ver, entre otras muchas aplicaciones, cómo la integral múltiple da respuesta general a este problema. En primer lugar, vamos a ocuparnos de la integral doble. El desarrollo es, en líneas generales, similar al realizado con la integral de una variable. Por ello, en buena medida, las definiciones y resultados resultarán familiares y se podrá avanzar con cierta rapidez. Posteriormente, se desarrollará brevemente la integral triple, finalizando el tema con el estudio de algunas aplicaciones de la integración múltiple.

El volumen bajo una superficie Considérese una función no negativa  f : [a, b]×[c, d ] → R , se desea desea calcular el volumen del siguiente subconjunto de R:  A = { ( x, y, z ) : ( x, y) y) ∈   D, 0 ≤ z ≤ f ( x, y) y) }, donde D donde  D denota el dominio de  f , es decir, el rectángulo [a, b]×[c, d ]. ]. Se trata de un conjunto que tiene por ”techo”   la superficie de ecuación  z =  f ( x, y) y cuyo ”techo” ”suelo” es el dominio de  f . La figura siguiente ayuda a visualizar el conjunto  A cuyo volumen se quiere calcular.

Se traza en el rectángulo [a, [ a, b] ×[c, d ] una malla formada por celdas suficientemente pequeñas de forma que en cada una de estas celdas, C i, la función  f (  x, x, y) varía de unos puntos a otros muy poco. Obviamente, el volumen buscado es la suma de los volúmenes de los prismas (curvilíneos) que tienen por ”suelo” cada celda y por ”techo” el correspondiente  correspondiente   trozo de la superficie  z = f ( x,  x, y) y)

V

V  C     i

i

donde V (C i) denota el volumen del prisma cuya base es la celda C i. El volumen de cada prisma curvilíneo  puede aproximarse (tanto mejor en cuanto las celdas sean más pequeñas) por  f ( xi,  xi, yi) yi) · Ar( Ar(Ci Ci)) ,  ,

 Alberto Vara

1

 

 Matemáticas

Integración múltiple múltiple 

1º Grado en CC. Químicas Químicas

Por tanto, una aproximación razonable del volumen bajo nuestra superficie viene dada por la expresión

V

 f  x , y .A r C     i

i

i

i

El valor de esta suma cambia al tomar una malla diferente, pero a medida que las celdas son más  pequeñas, el valor que se obtiene da una mejor aproximación al volumen buscado. Esta ideas llevan a definir el volumen bajo la superficie  z = f ( x,  x, y) y) como el límite ha hacia cia el que se aproximan estas sumas. Precisamente, como se verá en las secciones siguientes, esta es la forma de definir la integral doble

 

 f  x, y dxdy

a ,b  c , d  

 

La integral doble sobre un conjunto acotado Sea  A un subconjunto acotado de R    y  f :  A → R una función acotada. Para definir la integral doble de  f en  A,  A, se necesita el concepto de  su  sum mas de de Ri emann. Como A Como  A es acotado, puede escogerse un rectángulo [a, [ a, b] × [c, d ] conteniendo el conjunto  A.  A. Para producir una malla en el rectángulo, se divide los intervalos [a, [ a, b] y [c, d ] en partes iguales de longitudes Δ x y Δ y,  y, respectivamente. Al trazar por los puntos de división rectas paralelas a los ejes coordenados, se produce una malla cuyas celdas tienen las dimensiones Δ x × Δ y.  y. 2

Se denota por C 1 , ..,C n  la celdas producidas (numeradas abajo hacia arriba y A de a derecha) quede interceptan al conjunto y seizquierda escoge en cada una de ellas un punto intermedio ( xi, yi) yi) ∈   A.  A.

 Alberto Vara

2

 

 Matemáticas

Integración múltiple múltiple 

1º Grado en CC. Químicas Químicas

La suma n

  f  x , y  xy i

i

i 1

 

se denomina suma de Riemann para la integral doble de  f en  A.  A. Puede denotarse por  f,Δ x,Δ  x,Δ y  y). ). S  f , x, y ,xi , yi   o, de forma más breve, por S ( f,Δ Se dirá que f que f es integrable (en el sentido de Riemann) en el conjunto A conjunto  A si existe (y es finito) el límite n

  f  x , y  xy

lim

i

  x , y  0 ,0  i 1

i

 

en cuyo caso, el valor de este límite se denota por

  f  x, y dxdy  A

 

y recibe el nombre de integral doble de f de  f en el conjunto A conjunto A.. Propiedades básicas de la integral doble

1.  Condición suficiente de integrabilidad . 2 Sea  A ⊂   R    un conjunto acotado medible (en el sentido de Riemann) y  f :  A

→ R una función

acotada. Si f Si f es continua en A en A salvo, a lo sumo, en un conjunto de puntos cuya área es cero, entonces entonces f  f es integrable en A en A.. 2.   Linealidad . Si Si f  f y g son integrables en A en  A y c es una constante real, entonces f entonces  f +  g y cf son integrables en A en  A y se verifica a)

   f  g dxdy   f dxdy   gdxdy  A

 b)

A

A

 

d xdy  c  f dx d xdy    cf dx  A

A

3.   Aditividad . 2 Sean A Sean  A y  B dos subconjuntos de R  . Si  f es integrable en ambos conjuntos y  A nula, entonces f entonces f es integrable en A en A ∪  B  B y se verifica

∩  B tiene área

  f dxdy   f dxdy   f dxdy  A B

A

B

 

4.   Monotonía.  Monotonía. Si Si f  f y g son integrables en A en A y verifican f  verifican f ( x,  x, y) y) ≤ g ( x,  x, y), y), para cada ( x, y) y) ∈  A,  A, entonces

  f dxdy   gdxdy    A

A

5.   La media integral . Si Si f  f es integrable en A en  A y m ≤ f ( x,  x, y) y) ≤ M (∀   ( x, y) y) ∈  A),   A), entonces existe c ∈  [m, M ] de modo que

  f dxdy  c.Ar( A)    A

 Alberto Vara

3

 

 Matemáticas

Integración múltiple múltiple 

1º Grado en CC. Químicas Químicas

Area de un recinto plano Se ha visto cómo la integral doble puede usarse para calcular volúmenes. Pero esta no es la única aplicación geométrica. En ese apartado se verá que la integral doble también puede usarse para calcular áreas de recintos planos. Concretamente, se va a mostrar que

1dxdy    A

representa el área del recinto (acotado) bidimensional A bidimensional A.. Si  I = [a, b] × [c, d ] es un rectángulo conteniendo  A,  A, considérese una malla con celdas C i  de dimensiones Δ x y Δ y.  y. Nótese que

S 1, x, y  

n

 xy i 1

 

con la suma extendida a todas los celdas que cortan al conjunto  A.  A. Como éstas recubren A recubren  A,, se sigue que S ((1 1 ,Δ  ,Δ x,Δ  x,Δ y)  y) es una aproximación por exceso al á rea de d e A

Por último, basta tener en cuenta que, si la integral

1dxdy

 

 A

existe, se puede escoger una malla suficientemente fina (Δ x (Δ x y Δ y  y pequeños)  pequeños) como para que las sumas de Riemann sean tan próximas como se quiera al valor de la integral anterior, cualquiera que sea la elección de los puntos intermedios. Esto, junto con las ideas anteriores, justifican que se tome la integral como el área del recinto A recinto  A.. Cuando la función constantemente igual a 1 es integrable sobre un conjunto  A,  A, se dice que el conjunto  A es medible (en el sentido de Riemann). Sólo sobre estos conjuntos tiene sentido considerar la integral doble.

La integral doble sobre conjuntos proyectables Se va a considerar dos tipos de conjuntos medibles para los que la integral doble puede calcularse por integración reiterada. 2 2 Definición A de R  seson dice que es x-proyectable ≤  ysubconjunto ≤  f 2( x) de la forma A =(Conjuntos { ( x,  x, y) y ) ∈    R x-proyectables).  : a < x