Integración de Potencias Trigonométricas

 

INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Las integrales trigonométricas implican operaciones algebraicas sobre funciones trigonométricas. Algunas identidades trigonométricas que se necesitan en esta sección son las siguientes Identidades pitagóricas 2

2

2

sen  x + cos   x = 1   Despejando cada función sen  x

= 1 − cos

2

2

2

 x   cos  x  = 1 − sen  x  

2 2 2 2 1 + tan  2  x = sec 2 x   Despejando cada función 1 = sec   x −1      x − tan  x   tan  x = sec

1 + cot  2  x

=

2 2 2 csc 2  x   Despejando cada    x − cot  x   cot  x = csc   2 x −1   cada función 1 = csc

Identidades del ángulo medio 2

sen  x

  =

1 −  cos 2 x 2

 

  1+  

cos 2  x =

cos 2 x 2

 

Paso de producto a suma senmx.sennx = senmx. cos nx =

1

(cos[(m − n ) x] − cos   [(m + n ) x])

2 1

cos mx. cos nx =

2 1 2

(sen[(m − n ) x] + sen   [(m + n ) x ])   (cos[(m − n ) x] + cos   [(m + n ) x])

Para ángulos opuestos sen (− x ) =  − sen( x)  

cos( − x)  =  cos( x )  

tan(− x ) =    − tan( x )  

csc(− x ) =   −   csc t ( x)  

sec( − x)  =  sec( x)  

cot(− x) =    − cot( x )  

Suma y diferencia de ángulos sen ( x ±  y ) = sen( x ) cos( y ) ± cos( x) sen( y )

cos( x ±  y ) = cos( x ) cos( y ) m sen( x) sen( y )   tan( x ±  y ) =

tan( x ) ± tan( y ) 1 m tan( x ) tan( y )

Una vez realizadas las transformaciones trigonométricas, el integrando queda listo para aplicar integración por sustitución. En algunos casos se debe recurrir a la integración por partes.

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

Página 1

 

Resolver los siguientes ejercicios Ejercicio 1.

∫ cos 

3

∫ sen 

2

5.

∫ cos 

4

∫ sen 

2

∫

2  x

7. 9.

11.

senx −

 x

xdx  

2 3 x

2 xdx  

8 4  x sen 4 x

2

2  x

dx  

2

∫ sen  x  cos xdx   4

−

+

−

+

8 senx

∫ sen  x  cos 5

2

xdx  

cos 3 x

17.

19.

∫

∫ sen ∫ sen

∫

4

2

5 x   cos 5 xdx   2

3 x  cos 3 xdx  

3

25.

 

−2

3θ  sen   3θ  d θ    

∫ sen4 y  cos 5 ydy  

27.

∫ sen  3tsentdt   29. ∫ cos 3 t cos tdt   31.

∫ cot 

2

xdx  

−

 

−

−

3 csc 3θ  

2

6.

∫ sen  θ  d θ   

2

3

− cos x +

 x

xdx  

8 3θ  

∫ sen   2θ  d θ    4

∫ sen  x  cos 3

4

∫ sen  x  cos 2

3

8 xdx  

xdx  

−

−

+

7

+c

 

−

∫

14. cos 3 4  xsen4 xdx  

18.

3

−

−

sen8 x

8

sen 7 2α 

7

  sen3θ  

−

18

+c 

∫ sen  x  cos 2

2

xdx  

+c 

cos 5  x 5 3

−

 x

∫ sen  x cos 3 

−4

 xdx  

∫ sen5 x  cos 4 xdx   ∫ cos y cos 4 ydy  

28.

∫ sen3 y  cos 5 ydy   30. ∫ tan   xdx  

sen 2t  − sen 4t  + c   4 8 sen 2t  sen 4t  + +c  4 8 − cot x − x   +c 

−

−

−

2

32.

∫ tan 

3

xdx  

35.

∫ cot  ∫ tan 

4

4

xdx   xdx  

−

cot 3 x 3

tan 3 x 3

+ cot x + x + c

− tan x + x + c

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

 

 

34. 36.

∫ cot  ∫ cot 

4

3

3xdx   2tdt  

32 sen8θ  

+

64

sen  x

32

5 +c

+

2 cos 3 x 3 cos 3 2t  3

+c 

+c 

+c 

2 sen3 y 6

+c 

 

c 

+

2 cos 7  x 7 cos 7 2t 

+

7

− sec x + c

cos x

−

+

cos 9 x 18 sen5 y 10

cos 2 y − cos 8 y 4 16   + c  tan x − x tan 2 x 2

33.

sen 4θ  

+

7

16 sen 4 x

sec3 x

−

+c 

+c 

 

+c 

+c  +c 

+ ln cos x + c  

cot 3 3 x

cot 3 x

+ x + c   3 cot 2 2t  ln sen 2t  − − +c  4 4

−

+c 

+c 

cos 7  x

+

cos 4 4 x

−

  −

5

3

26.

+c 

3

∫

24.

+c 

∫ sen  x  cos xdx  

20 sen 3 2t   cos 2t dt   22.

5

8

sen  x

8

+c 

3

4 sen 4 θ  

3 cos 7  x

cos  x

sen 2 x

+

5

2 cos  x

4 2 3θ   sen 2 θ  

4

12.

3 3 cos y cos 9 y −

∫ cos 

10.

+

sen 2 3 x

5

16.

96

Respuesta

∫ sen  xdx  

4.

8.

+c 

5

sen 3 2α 

  3

32

2 cos5 x

2

1

∫ cos

+c

c  25  x sen12 x

21 sen 2 2α  cos 3 2α d α  23.

+

sen 4 x

+c 

5 sen 5 x

8

cos3 3 x   dx   3 sen3 x

c 

+c 

2

sen 5 x

+

2.

+c 

4 sen 2 x

3

15.

 

3 sen 2 x

5

13.

sen  x

xdx  

cos 

Ejercicio

3

xdx  

3.

Respuesta

9

−

Página 2

 

37.

∫ tan 

6

5

3xdx  

3

tan 3 x

tan 3 x

−

15

9

tan 3 x

+

3

− x  

38.

∫ cot 

5

4

2 xdx  

−

2

cot 2 x

+

8

cot 2 x

+

4

ln sen 2 x 2

  39.

∫ sec 

4

tan 3 x

xdx  

+

3

41.

∫ sec 

3

tan x + c    ln  sec x +

sec x tan x

xdx  

+

2

43. 45.

∫ csc 

3

xdx  

−

∫ tan  x  sec 6

4

xdx  

csc x cot x

∫ tan  x  sec 5

4

xdx  

9

∫ tan  x  sec 3

9

xdx  

∫ sec

4

3 x  tan 3 3xdx  

8

53.

55. 57. 59.

 

−

∫

tan 3 x sec 12  xdx  

∫

sec x  2 dx   tan  x

∫ cot ∫ csc

3

+

11 sec  x

2

  cot 3 xdx   3 x

7 tan  x

−

6 9 sec  x

9

6

tan 3 x

−

5

+

+

tan 3 x 12 +

3 − csc x + c   csc

+c 

+c

α 

5

+

csc

3

α 

 

3

−

9

+c 

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

−

cot 5 x 5

xdx  

 

44.

5

5

7

+

tan 4 3θ   xdx  

c 

∫

50 tan 3 2 x  sec5 2 xdx  

11 9 sec  x

∫ tan  

∫

56.

∫ cot

60.

∫ csc

∫

2

9

4

3

7

−

cot  x   dx   csc x

+

+

5 sec 2 x

10

sec  x 7 5 sec  x 5

+c 

2

ln tan x

−

cot  x  

2

+c

 

tan 6 θ   tan 4 θ   + +c  6 4 5

−

6

α   cot  α d α   

3

−

cot 3 x 15 cot

9

α 

3

−

−

cot 3 x 9

cot

7

 

7

9 7 2 sec  x

−

7 sec 2 x

4

3 x  csc 3xdx  

−

6

2 sec  x

−

tan x + c  

tan 2 3θ   ln cos 3θ  

−

4

 x sec  xdx  

tan 3  θ   d θ    cos 4 θ  

54.

58.

−3

+

3

11

sec  x

14

52.

cot x + c  

2 tan  x

12

∫ tan  x  sec

+

3 3

tan  x

∫ tan   3θ  d θ   

2 cot 3 x

−

5 5

3

cot 3 x

6

xdx  

9

+c 

+

∫ sec 

6

∫

+c 

sec x

∫ csc 

48 tan 5  x  sec5 xdx  

c 

2

42.

46.

4

2 sec3 x

3

α  csc     α d α   

2

6

tan  x

18

  2  ln  csc x − cot x

tan  x

+

11

51.

tan x

7

tan  x

8

49.

+

2 9

47.

40.

α 

+c 

+c

9 7 − csc x − senx   + c 

 

Página 3

+c 

+

c 

 

Integrales de potencias de funciones trigonométricas trigonomét ricas  

n −1 2

∫

sen   n xdx =

∫

cos   xdx = (1 − ses  x)  2 cos xdx  

∫

 

∫

n

2

(1 − cos   x)

senxdx  

=

n

=

n = impar

∫ ∫ sen  x cos

 

 

 

 

2

n −1 2

2

m −1 2

∫  xdx = ∫ (1 − sen  x ) 

sen n x cos m  xdx = (1  − cos  x   ) n

m

  ∫ tan  xdx = ∫ tan   ∫ cot  xdx = ∫ cot

 

n

 

 

n −2

n

 

 

n−2

sen n x cos xdx  

2

 x(csc  x − 1)dx  

∫ ∫ ∫ csc  xdx = ∫ (cot  x + 1) 2

n−2 2 n−2 2

∫  

=

∫

 

n

  2 (sec  x − 1)

n −1   2 n   2

2

sec

∫ = (csc   x −   1) ∫

2 (csc  x − 1) 2

n −1   2 n   2

m−2 2

2

(sec  xdx)

m− 2 2

m −1

2

(csc  xdx )  

 x(csc x cot xdx )  

m csc xdx  

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

m = par

   x(sec x tan xdx)   m = impar 

2

csc

=

m −1

m sec xdx  

 

n

 

dv = sec 2  xdx  

    n− 2 u = csc  x   dv = csc 2  xdx   n = entero positivo impar

n   m cot  x  csc xdx   = cot  x (cot  x + 1)

=

    n−2 sec  x  

(csc 2 x )dx  

tan  x(tan  x + 1)

∫

m = impar

u

2

∫

 

2 (sec  x)dx  

∫ = (sec   x −   1) ∫

=

n =   par 2 n = impar

n = entero positivo

n = entero positivo par n   m tan  x  sec xdx  

∫

 1  + cos 2 x  2     dx   

n = entero positivo

2

 

 

cos m xsenxdx  

 x(sec  x − 1)dx  

n 2 sec  xdx = (tan  x + 1)

n

 1  − cos 2 x      dx   2  

∫  

n −1

2

n 2

n = par o impar

n = impar  

m = impar   

n =  par  

m = par

n = par o impar

m = impar   

n = impar  

m = impar   

n =  par  

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