Instituto Politécnico Nacional: I. Introducción

Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Campus Zacatenco

Análisis Gráfico I í         ó    í á  Á Á         Laboratorios de Física - Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica, IPN Septiembre de 2017 Una parte importante de la física es hacer ha cer relaciones entre cantidades observadas. Establecer estas relaciones permite que podamos anticipar lo que ocurrirá cuando una cantidad varía de una forma determinada y una forma básica para establecer esta relación es representándolas de forma gráfica.

I.

Introducción

Una herramienta útil para presentar resultados en la ingeniería, ciencia y tecnología son las gráficas, Una gráfica no solo sirve para representar fenómenos observados en diversas áreas de estudio; también pueden ser usadas para describir una ley, apreciar variaciones de un fenómeno o simplemente resolver un  problema sin necesidad de demasiados cálculos. i.

Un poco de historia

La representación gráfica de datos tiene sus orígenes en el Egipto antiguo, donde se usaron los inicios de lo que hoy conocemos como coordenadas. Posteriormente, griegos y romanos tomaron este concepto y lo usaron para elaborar mapas, como por ejemplo el “primer mapa mundial”, elaborado por Aniximander en el 550 a.C.

Los primeros ejemplos de representación gráfica estaban orientados a diagramas geométricos, tablas de posición de las estrellas o cuerpos celestes. Alrededor del 950 a.C, aparece lo que se considera la primera construcción gráfica de datos. Estaba estructurada en una cuadrícula y la acompañaba una descripción de los movimientos  planetarios a través del zodiaco en función del tiempo. Hasta mediados del siglo XIV, las representaciones gráficas de datos correspondían a conocimientos que el humano tenía del mundo, sin bases en explicaciones científicas o teóricas, sino más bien en normas sistemáticas o  patrones ya establecidos. Pero más adelante en el siglo, Nicole de Oresme usa un nuevo aspecto de la geometría al representar leyes físicas mediante un gráfico que tenía una variable dependiente  , contra una variable a la que llamó latitud  independiente, que llamó longitud. En este

siglo fueron creados técnicas e instrumentos para precisar la observación y medición de cantidades físicas.

como independientes. Las variables que están determinadas por otras, son las variables dependientes.

Con las bases cimentadas en los trabajos de Oresme, René Descartes, padre de la geometría analítica, llega a la conclusión de que todo tiene un punto de partida, fue así como nació el sistema de referencia cartesiano para poder representar geometría plana usando sólo dos rectas  perpendiculares entre sí que se cortan en un punto denominado como origen.

Decimos que la dependencia de y  con x  es lineal, si los datos observados se pueden describir adecuadamente con una relación:

Galileo conservó algunas de las ideas de Oresme y Descartes e hizo una valiosísima unión entre el álgebra, que comenzó a desarrollar sus aplicaciones hasta finales del siglo XVII, y los datos gráficos. Al estudiar el movimiento “naturalmente acelerado”, Galileo hace una representación abstracta y geométrica que ocupa velocidad y tiempo, uniendo así la física, las matemáticas y un útil método  para representar resultados. ii.

Teoría

La elaboración y uso de gráficas es  básico y necesario para la labor del ingeniero. Para ello, es necesario elaborar  primero una tabla en la que vamos a verter los datos obtenidos con su respectiva incertidumbre basándonos en la teoría de errores. En muchas situaciones se desea investigar la variación o dependencia de un dado atributo de un sistema (que designamos como la variable y ) como función de otra variable del mismo, que llamaremos  x . Nuestro objetivo es encontrar, si la hubiese, la relación que liga la variable  x  con y . Es usual denominar a las variables que controlamos o que determinan el estado del sistema

 =  + 

(3.1)

La Fig. 3.1 muestra un ejemplo de este tipo. El parámetro m es la pendiente de la recta y b  es la ordenada del origen u ordenada de la intersección de la recta con el eje vertical y . Una relación lineal entre dos variables es fácil de identificar a simple vista. Sin embargo, no es tan fácil diferenciar si las variables presentan una relación potencial, exponencial o de otro tipo. Las variables  y  y  x   presentan una dependencia potencial si:

 =    

(3.2)

donde m y b  son constantes distintas de cero. Esta forma potencial es muy común en las ciencias naturales, economía y muchas otras aplicaciones. Después de determinar qué tipo de relación existe entre nuestras variables y analizar nuestro problema, debemos elegir un papel acorde a nuestras necesidades, como pueden ser el papel milimétrico, el  papel semilogarítimico o el papel logarítmico. El siguiente paso será elegir una escala adecuada a nuestro problema y papel, debe escogerse de tal manera que todos los  puntos estén dentro del papel,  posteriormente se trazan los puntos experimentales de acuerdo a la escala establecida.

Ahora se tiene que trazar una curva continua a través de los puntos obtenidos. Es conveniente recordar que el rectángulo de incertidumbre, dibujado a escala, corresponde a una zona de confianza, en el sentido de que se ignora dónde está el  punto “verdadero”, pero se puede afirmar con seguridad que está contenido en el rectángulo y por lo tanto, la curva que mejor se ajuste deberá pasar por los rectángulos, aunque no necesariamente  por sus centros.

 Fig. 3.6 Cilindro de aluminio

 Fig. 3.7 Flexómetro

 Fig. 3.8 Disco de madera

 Fig. 3.3 Representación de tres posibles curvas adaptadas a los puntos de la gráfica.

La curva que mejor se adapte a los rectángulos, será la usada para graficar. ll.

Experimentación

Para realizar la práctica usamos 8 diferentes cilindros de aluminio, un calibrador vernier, una hoja de papel milimetrada, un juego de 9 discos de madera, un tramo de hilo cáñamo y un flexómetro.

 Fig. 3.4 Calibrador Vernier

 Fig. 3.5 Probeta de 100 cm cúbicos

 Fig. 3.9 Papel milimetrado

 Fig. 3.10 Hilo cáñamo

Experimento 1

Con ayuda de la probeta, se midieron los volúmenes de los cilindros y con el vernier su longitud. A continuación los datos: Cil. Volumen

experimental (± .5 ml) 4 

1 2 3 4 5 6 7 8

6  8  10  12  14  16  18 

Diámetro (±.05 cm)

Longitud (±.05 cm)

1.75 cm 1.75 cm 1.80 cm 1.70 cm 1.75 cm 1.75 cm 1.70 cm 1.80 cm

2 cm 3.25 cm 3.7 cm 5.05 cm 6.1 cm 7 cm 8 cm 9.05 cm

Graficando

Volumen contra longitud 20 18

9.05, 18

16

8, 16

14

=

 −   − 

Entonces se toman dos puntos de la gráfica. En este caso usaremos (2,4) y (9,18) para obtener la pendiente que en este caso es el radio de crecimiento del volumen. Haciendo los cálculos tenemos que k=2 Por lo tanto, la ecuación de la recta es v=2l Podemos usar esta ecuación para intrapolar el volumen de un cilindro de 6.5 cm de longitud, que tendría un volumen de 13 cm3 También podemos extrapolar para averiguar que un cilindro de 10 cm de longitud, tendría 20 cm3 de volumen. Experimento 2

Se midió el diámetro de cada disco y se calculó su perímetro mediante la ecuación (Modelo teórico)

7, 14

12

trazar la recta. Donde v es el volumen, l la longitud y k es la pendiente, para obtenerla, usamos el modelo

6.1, 12

10

=D

5.05, 10

8

Estos fueron los resultados obtenidos:

3.7, 8

6

3.25, 6

4

Disco 1

Diámetro Perímetro (flexómetro) teórico 3.1 cm 9.73 cm

2

4.1 cm

12.88 cm

3

5.1 cm

16.02 cm

4

6.2 cm

19.47 cm

5

7.2 cm

22.61 cm

6

8.1 cm

25.44 cm

7

9.1 cm

28.58 cm

8

10.1 cm

31.73 cm

9

11 cm

34.55 cm

2, 4

2 0 0

2

4

6

8

10

Para ajustar la recta, se deben de agregar sus incertidumbres a cada lado de los  puntos experimentales y después trazar una recta que pase por todos esos puntos. Entonces, aplicamos el modelo v=kl   para

Perímetro contra diámetro 34.559712 teórico

Perímetro contra diámetro experimental

11,

40

10.9,

10.1,

40

35.55

31.732099 2

9.1, 35

8.1,

28.590307

25.448515

2

30

35 10, 31.8

30

9, 28.9

2

8.3, 25.8

25 25

5.1,

7.2,

16.0231392

22.620902

20

7.1, 23 20

6.2, 19.8

4

5.3, 17 15

6.2,

15

4, 13.3

19.479110 10

4

3, 9.8

10 4.1, 5

12.881347

5

2

3.1, 9.7395552

0

0

0 0

2

4

6

8

10

Después se midió el perímetro de los discos usando el hilo cáñamo y  posteriormente midiendo el hilo cáñamo con un flexómetro. Se obtuvieron los siguientes resultados: Disco

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Diámetro (Hilo cáñamo) 3.0 cm 4.0 cm 5.3 cm 6.2 cm 7.1 cm 8.3 cm 9.0 cm 10.0 cm 10.9 cm

Perímetro experimental (± .05 cm) 9.8 cm 13.3 cm 17.0cm 19.8 cm 23.0 cm 25.8 cm 28.9 cm 31.8 cm 35.55 cm

2

4

6

8

10

12

Comparando ambas tablas y gráficas,  podemos notar una diferencia muy marcada; nótese que en la primera tabla, la línea se asemeja mucho más a una recta. Esto se debe a que solo estamos haciendo cálculos con una variable (el diámetro, que fue medido con el flexómetro), mientras que el perímetro es un cálculo que deriva de esta variable. Por eso tenemos resultados más “cerrados” y la gráfica es más recta. En el segundo caso, hay dos mediciones independientes por lo que la recta se deforma y en algunos casos, ni siquiera aplicando la incertidumbre se acerca al resultado teórico. Además, esta gráfica es más propensa a errores, ya que hubo dos mediciones y ambas con instrumentos  poco precisos.

12

III

Conclusiones

¹ Pudimos comprobar una vez más la teoría de error sin embargo ahora de forma gráfica lo cual también nos hace ver que gracias a ello se facilita el ver bastantes datos de una forma fácil de comprender que viendo el cálculo de cada punto que nos interesaría ver, de esta forma vemos un  panorama general y no solo de una, sino de varias medidas.

² En la práctica pudimos observar la relación entre las variables que forman la gráfica y la importancia y facilidad de  poder representar datos experimentales en gráficas, para facilitar el entendimiento de lo que queremos mostrar con los datos obtenidos de una forma visual (graficas)  para hacer la explicación del comportamiento de lo que andamos analizando. ³ En esta práctica se pudo ver la importancia de graficar nuestros valores ya que nos da una nueva forma de comparación de los datos que se obtuvieron tanto de forma práctica como de forma teórica y así tabularlos y graficarlos y poder observar qué tan cerca estamos de nuestro valor esperado y ver la forma de lograr un ajuste a nuestros puntos experimentales. Dada la practica Análisis Grafico I, se concluye que existe un método muy efectivo de interpretación para nuestra medición, todo esto mediante una gráfica que generaremos a partir de nuestros datos , las gráficas son una manera muy eficaz de mostrar los resultados de nuestros experimentos como es el caso de nuestras mediciones, agrupando en distintas variables semejantes a lo que estamos midiendo , nos da la factibilidad de comprender aquellos datos que no  podemos percibir en nuestra ⁴

experimentación a simple vista entre los cálculos, siendo así una manera completa  para demostrar nuestros resultados. A lo largo de la práctica realizada  pudimos comprobar cuán importantes son las gráficas y las tablas a la hora de realizar medidas y obtener tanto su incertidumbre como su error, ya que nos da un da un resultado gráfico y aún más aproximado  para saber qué tan lejos estamos de nuestro valor esperado. ⁵

Haciendo esta práctica nos percatamos aún más que los errores están en todas las mediciones, y que las mediciones indirectas no están faltas de error. También  pudimos observar que graficar trae muchas ventajas de análisis de datos, como facilidad u ahorro de cálculos y que graficar es algo intrínseco de la ciencia y la tecnología, una útil herramienta del ingeniero. ⁶

Bibliografía [1]Funkhouser, H. G. Historical Development of the Graphical Representation of Statistical Data . Osiris 3 , 272 - 464 (1937) . [2] Sepúlveda Soto, A., Los conceptos de la física  –   evolución histórica  –   (Editorial Universidad de Antioquía , Colombia, 2003). [3] Christopher Deacon, "The importance of graphs in undergraduate physics,"Phys. Teach. 37- 270 (1999). [4]S.Gil 2012 recuperado de https://www.fisicarecreativa.com/exp_fisi ca/cap2_Analisis_grafico_v1.pdf  [5]Villafañe Gallego, J Fundamentos metodológicos de la teoría de la imagen Tesis Doctoral. (Editorial de Universidad Complutense de Madrid, 1981)