Ingeniería Térmica

Martín Llorens* Angel L. Miranda*

Ingeniería Térmica

Profesores de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Barcelona (adscrita a la UPC)

Índice general

Prólogo Capítulo 1 - Sistema Termodinámico 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Introducción ..................................................................................................... Clasificación de los sistemas termodinámicos ............................................. Variables de estado y sistema elemental ...................................................... La temperatura ................................................................................................ Procesos termodinámicos ............................................................................... El gas ideal ....................................................................................................... Temas de ampliación ......................................................................................

1 2 3 3 7 8 10

Capítulo 2 - Trabajo, energía interna y calor 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10

Introducción ..................................................................................................... 11 Trabajo de expansión ...................................................................................... 11 Trabajo de rozamiento .................................................................................... 15 Energía interna ................................................................................................ 16 Calor ................................................................................................................... 17 Entalpia .............................................................................................................. 17 Calores específicos a volumen y a presión constantes ................................ 18 Transformación adiabática reversible de un gas ideal ................................ 19 Proceso politrópico .......................................................................................... 21 Temas de ampliación ....................................................................................... 22

Capítulo 3 - Primer principio de la Termodinámica 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Introducción ...................................................................................................... Primer principio aplicado a sistemas cerrados ............................................ Primer principio en procesos cíclicos. Sistemas cerrados ........................... Primer principio para sistemas abiertos ........................................................ Primer principio en procesos cíclicos. Sistemas abiertos ............................ Temas de ampliación .......................................................................................

23 23 27 31 34 35

Capítulo 4 - Entropía y segundo principio 4.1

Introducción ...................................................................................................... 37 V

Ingeniería térmica 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11

_

Enunciados de Clausius y Kelvin-Planck del segundo principio de la Termodinámica ....................................................... 40 Procesos reversibles e irreversibles .................................................................40 La desigualdad de Clausius ............................................................................ 41 Concepto de entropía ....................................................................................... 42 Entropía y desorden ......................................................................................... 43 Entropía de un gas ideal .................................................................................. 45 Generación de entropía y flujo de entropía .................................................. 48 Transformación de calor en trabajo mediante procesos cíclicos ................. 49 Energía utilizable. Exergía ............................................................................... 53 Temas de ampliación ....................................................................................... 60

Capítulo 5 - Transmisión de calor por conducción 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Introducción ...................................................................................................... 61 Ecuación diferencial general de la transmisión de calor por conducción .................................................................................. 62 Condiciones de contorno ................................................................................. 66 Conducción unidimensional y estacionaria en una paredplana ............... 67 Conducción unidimensional y estacionaria en una pared cilíndrica ........ 72 Conducción unidimensional radial y estacionaria en un cilindro macizo ...................................................................................... 74 Conducción unidimensional y estacionaria en una paredesférica 75 Resistencia térmica ........................................................................................... 76 Temas de ampliación ....................................................................................... 82

Capítulo 6 - Transmisión de calor por convección 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Introducción ...................................................................................................... 85 Clasificación de los procesos de convección ................................................. 86 Relaciones técnicas de la transferencia de calor por convección ............... 87 Convección forzada .......................................................................................... 90 Convección natural sobre diversas superficies ............................................ 99 Determinación de la temperatura final del fluido ..................................... 100 Temas de ampliación ..................................................................................... 103

Capítulo 7 - Transmisión de calor por radiación 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8

VI

Introducción .................................................................................................... 105 Física de la radiación ...................................................................................... 105 Factor de forma de la radiación .................................................................... 114 Temperatura efectiva de radiación .............................................................. 116 Intercambio de energía radiante entre dos superficies grisesdifusas 116 Fórmulas generalizadas ................................................................................. 120 Resistencia térmica asociada a la radiación ................................................ 120 Temas de ampliación ..................................................................................... 121

Índice general Capítulo 8 - Transmisión de calor en aletas 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

Introducción .................................................................................................. Clasificación ................................................................................................... Ecuación diferencial de las aletas longitudinales con transmisión de calor unidimensional ................................................. Eficiencia de una aleta .................................................................................. Eficiencia ponderada de un tubo aleteado ................................................. Temas de ampliación ....................................................................................

123 124 125 130 133 134

Capítulo 9 - Transferencia de calor con cambio de fase 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

Introducción .................................................................................................. Condensación ................................................................................................ Ebullición ....................................................................................................... Ebullición dinámica ...................................................................................... Evaporación ................................................................................................... Temas de ampliación ....................................................................................

135 135 145 150 151 154

Capítulo 10 - Intercambiadores de calor 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

Introducción .................................................................................................. Clasificación ................................................................................................... Análisis térmico ............................................................................................. Eficiencia de un intercambiador de calor .................................................. Temas de ampliación ....................................................................................

157 157 l60 165 171

Capítulo 11 - Compresores 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8

Introducción ................................................................................................... Compresores alternativos ............................................................................. Trabajos indicados ideales de compresión. Modelo de gas ideal perfecto ....................................................................... Trabajos, rendimientos y potencias ........................................................ Compresores adiabáticos y no adiabáticos ................................................. Compresión en etapas ................................................................................... Compresores de tomillo ................................................................................ Temas de ampliación .....................................................................................

173 174 179 181 183 186 188 189

Capítulo 12 - Ciclo Brayton 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6

Introducción ................................................................................................... 191 Diagramas T-s y h-s ....................................................................................... 192 Análisis termodinàmico del ciclo Brayton con gas ideal perfecto ............ 194 Análisis termodinàmico del ciclo Brayton con gas ideal .......................... 200 Ciclo de Brayton con recuperación de la entalpia de los gases de escape de la turbina .................................................................................. 205 Temas de ampliación ..................................................................................... 206 VII

Ingeniería térmica Capítulo 13 - Equilibrio líquido-vapor. Ciclo de Rankine 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6

Introducción .................................................................................................... 209 Equilibrio líquido-vapor ................................................................................ 210 Propiedades termodinámicas delvapor de agua ........................................ 216 El ciclo simple de Rankine ............................................................................. 219 El ciclo de Rankine modificado ................................................................. 222 Temas de ampliación ..................................................................................... 227

Capítulo 14 - Motores de combustión interna 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 14.10

Introducción .................................................................................................... 229 Los motores de cuatro tiempos ................................................................. 230 El ciclo real........................................................................................................ 232 Potencias y rendimientos ............................................................................... 233 Rendimiento volumétrico .............................................................................. 234 Combustibles ................................................................................................... 237 Motores sobrealimentados ............................................................................ 238 Dimensionado del motor ............................................................................... 238 Curvas de resultados ...................................................................................... 239 Temas de ampliación ..................................................................................... 239

Capítulo 15 - Ciclos de comparación para motores de combustión interna 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6

Introducción .................................................................................................... 241 Clasificación de los ciclos de comparación ................................................. 241 El ciclo dual ..................................................................................................... 243 El ciclo Otto ..................................................................................................... 247 El ciclo Diesel .................................................................................................. 248 Temas de ampliación ..................................................................................... 251

Capítulo 16 - El ciclo de refrigeración por compresión de vapor 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6

Introducción .................................................................................................... 253 Métodos de producción de frío ................................................................. 255 Los fluidos frigoríficos ................................................................................... 258 El ciclo simple de compresión devapor ....................................................... 259 Modificaciones del ciclo simplede compresión de vapor ......................... 263 Temas de ampliación ..................................................................................... 270

Capítulo 17 - Combustibles 17.1 17.2 17.3 17.4 VIII

Introducción .................................................................................................... 271 Clasificación de los combustibles ................................................................. 271 Propiedades de los combustibles ................................................................. 273 Temas de ampliación ..................................................................................... 279

Índice general Capítulo 18 - Balance de masas de la combustión 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6

Introducción ..................................................................................................... 281 Aire técnico de la combustión ........................................................................ 281 Parámetros fundamentales del balance de masas de una combustión ........................................................................................... 282 Balance de masas de la reacción de combustión completa de un combustible gaseoso ............................................................................. 283 Balance de masas de la reacción de combustión completa de un combustible sólido o líquido ................................................................. 285 Temas de ampliación ....................................................................................... 287

Capítulo 19 - Balance de energías de la combustión 19.1 19.2 19.3 19.4

Introducción ................................................................................................. ..... 289 Balance energético ....................................................................................... ..... 289 Temperatura adiabática de combustión ........................................................ 294 Temas de ampliación ....................................................................................... 297

Capítulo 20 - Generadores de vapor 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6 20.7

Introducción ...................................................................................................... Clasificación ...................................................................................................... Rendimientos de la caldera ............................................................................. Balance de masas y de energías ..................................................................... Recuperación entálpica de los humos ........................................................... Rendimiento estacional ................................................................................... Temas de ampliación .......................................................................................

299 299 300 302 304 307 308

Apéndices Apéndice A Propiedades termofísicas del agua ...................................................... 311 Apéndice B Propiedades termodinámicas del vapor de agua saturado ................ 312 Apéndice C Propiedades del vapor de agua recalentado....................................... 315 Apéndice D Propiedades del agua, líquido saturado ............................................. 323 Apéndice E Propiedades del aire, gas ideal semiperfecto ..................................... 325 Apéndice F Propiedades termodinámicas del R-134 en estado de saturación ............................................................................................... 329 Apéndice G Propiedades termodinámicas del R-134 en estado de vapor recalentado .................................................................................. 331

IX

Capítulo 1

Sistema termodinámico 1.1 Introducción En sentido amplio, la Termodinámica es la ciencia que estudia las transformaciones energéticas. Si queremos precisar el entorno de aplicación, debemos referirnos necesariamente al concepto de sistema termodinàmico. Un sistema termodinàmico es, sencillamente, la porción del universo objeto de nuestro estudio. Ejemplos de sistemas termodinámicos pueden ser tan diferentes como la Tierra, un avión, una tobera, un motor de combustión o un vaso de precipitados; la única condición que ha de tener un sistema termodinàmico es que sus límites estén bien definidos, bien sea por fronteras físicamente determinadas o bien por fronteras imaginarias. Una vez definido el sistema, todo lo demás es el entorno o medio exterior al sistema que, de forma simplificada, llamaremos entorno o medio. Ahora, podemos precisar un poco más la definición anterior añadiendo que las transformaciones energéticas se tendrán que producir en el interior del sistema, o bien por intercambio con el medio. En la definición, se ha dado por sentado el conocimiento del concepto de energía; sin embargo, es preciso hacer alguna matización puesto que la característica más importante de la energía es que se puede manifestar de formas muy diversas. En general, se define, en primer lugar, el concepto de trabajo mecánico como la acción de una fuerza sobre el límite de un sistema, cuando este límite está en movimiento. El trabajo es el producto de la fuerza por el desplazamiento de su punto de aplicación en la dirección de la fuerza [1]. La expresión cuantitativa del trabajo mecánico es: 2

W12 = ∫1 F · dr

(1)

donde W12 es el trabajo, F es la fuerza que actúa sobre el límite del sistema y r el vector desplazamiento de la fuerza. Se han representado ambos conceptos en negrita para destacar su naturaleza vectorial. El producto de ambos vectores es escalar y, por tanto la magnitud resultante no es de naturaleza vectorial.

Ingeniería térmica Obsérvese que, en el sistema internacional, el trabajo es una magnitud derivada que se obtiene a partir de las magnitudes fundamentales masa, longitud y tiempo. Una vez definido el concepto de trabajo, puede afrontarse la definición de energía como todo aquello que puede transformarse directa o indirectamente en trabajo mecánico. Por ejemplo el trabajo eléctrico, definido como el producto de la carga eléctrica por la diferencia de potencial en los puntos que definen los límites del sistema, puesto que este trabajo eléctrico es convertible directamente en trabajo mecánico. Precisamente, el dispositivo en el que se lleva a cabo la transformación de una forma de energía en otra recibe el nombre de convertidor. En este caso el convertidor es un motor eléctrico. La definición de energía exige que la transformación en trabajo mecánico esté bien definida. Así, se han de descartar como conceptos energéticos la información, el pensamiento, la intuición, el arte y muchos otros que de forma errónea se asimilan a la energía. En el caso de la información, parece que existe una relación más directa con la entropía; en realidad, con el negativo de la entropía, que se ha dado en llamar negentropía [2].

1.2 Clasificación de los sistemas termodinámicos Los sistemas termodinámicos se clasifican en cerrados y abiertos. Un sistema cerrado es aquel que no presenta flujo de materia a través de sus límites. Por tanto, contiene una cantidad de materia constante. Un sistema abierto se caracteriza porque entra o sale materia a través de sus límites. En un sistema abierto, la cantidad de materia contenida puede permanecer constante si el régimen es estacionario o puede variar en casos de régimen transitorio. Obsérvese que la constancia de masa en un sistema no es condicionante para establecer si un sistema es abierto o cerrado. Una caldera en funcionamiento, limitada por sus paredes y las válvulas de entrada y salida del agua, combustible, aire y vapor es un ejemplo de sistema abierto. Entran el agua de alimentación, el combustible y el aire necesario para la combustión. Sale el vapor de agua producido. Si se trata de una pequeña caldera de gas, después de unos minutos de funcionamiento, la cantidad de materia contenida en la caldera es constante. Si se trata de una gran caldera alimentada con carbón, la cantidad de materia contenida en el sistema no es constante, irá aumentando lentamente a medida que transcurre el tiempo a causa de las cenizas producidas y las sales no evaporadas del agua. Una botella de propano con la válvula de alimentación cerrada constituye un ejemplo de sistema cerrado. No hay intercambio de materia con el exterior. Un caso especial de sistema cerrado es el llamado sistema aislado, concepto termodinàmico muy importante. Un sistema aislado es un sistema cerrado que no presenta intercambio de energía con el medio. Dado que el medio no ejerce ninguna influencia sobre el sistema, recibe la denominación de "aislado". Más adelante se verá que las únicas formas que tiene la energía de atravesar los límites de un sistema son en forma de trabajo y de calor. Cuando un sistema no intercambia calor con el medio se denomina adiabático. Sin embargo, un sistema adiabático puede ser aislado o no serlo porque puede intercambiar trabajo; también puede ser abierto, porque el intercambio de 2

Sistema termodinàmico materia no tiene nada que ver con el calor. Existen otros tipos de sistemas termodinámicos que se verán en el apartado siguiente, puesto que su comprensión requiere previamente la introducción de otros conceptos.

1.3 Variables de estado y sistema elemental Para tener caracterizado el estado interno de un sistema termodinàmico es necesario conocer determinadas propiedades de la masa contenida en el sistema, tales como la cantidad de materia, el volumen, la presión, la temperatura, etc. Si se trata de un sistema en movimiento, tendremos que conocer también su velocidad y posición. Sin embargo, es muy importante establecer de buen principio un concepto que simplificará bastante el problema de la determinación de un estado, el concepto de estado de equilibrio. Un sistema está en equilibrio cuando sus propiedades son invariables con el tiempo. Es mucho más sencillo determinar un estado de equilibrio que otro que no lo sea. Podemos ahora definir el llamado sistema elemental. Un sistema elemental es el que está constituido por una sustancia pura en estado de equilibrio y definida sólo mediante tres propiedades, la masa, la presión y el volumen. Daremos por definidas y comprendidas estas tres propiedades, por otra parte ampliamente utilizadas en mecánica. Señalaremos, no obstante, que las propiedades pueden ser intensivas o extensivas. 



Una propiedad intensiva se caracteriza porque su valor no varía si dividimos el sistema en partes. Ejemplos de propiedades intensivas son la presión y la temperatura, propiedad, esta última, que aún no hemos definido. Una propiedad extensiva es la que varía si efectuamos una partición del sistema. Ejemplos claros de propiedades extensivas son la energía, la masa y el volumen. Si dividimos el volumen por la masa del sistema, obtenemos el volumen específico, que es una propiedad intensiva. Lo mismo ocurre con la energía. Al dividir una magnitud extensiva por la masa se obtiene una magnitud intensiva.

Un sistema cerrado puede contener una sola sustancia en estado puro pero en más de una fase. La fase hace referencia al estado sólido, líquido o gaseoso de la sustancia. Un sistema que contenga una sustancia en una sola fase se dice que es homogéneo. Si contiene más de una fase se dice que es heterogéneo. También es heterogéneo un sistema que contenga más de una sustancia.

1.4 La temperatura La temperatura es una propiedad especial por su importancia en Termodinámica. Por otra parte, es una magnitud fundamental en el sistema internacional y por tanto no se puede definir a partir de otras magnitudes. El concepto de estado térmico hace referencia a la energía de naturaleza microscópica que poseen individualmente las moléculas o átomos que constituyen la sustancia del sistema. Dos sistemas termodinámicos están en equilibrio térmico si ambos sistemas tienen la misma temperatura. 3

Ingeniería térmica Esto no es una definición de temperatura, sino del concepto de equilibrio térmico si aceptamos una comprensión intuitiva del concepto de temperatura. Si ponemos en contacto, pared por pared, dos sistemas termodinámicos con estados térmicos diferentes, pueden ocurrir dos cosas refrendadas por la experiencia: a) Que al cabo de un cierto tiempo ambos sistemas estén en el mismo estado térmico y diferente de los que tenía cada uno de ellos por separado. Diremos que se ha alcanzado un estado de equilibrio térmico entre ambos sistemas y que la pared de contacto es diatèrmica. b) Que no se alcance un estado intermedio de equilibrio, es decir, que cada sistema persista en el estado térmico que tenía. En este caso la pared de contacto es adiabática. Una tercera posibilidad que mencionamos aparte es que, en el segundo caso, si el tiempo de contacto es suficientemente grande, al final siempre se alcanza el estado de equilibrio. Por tanto, la pared adiabática es una idealización aunque, en algunos casos, no necesariamente grosera. La temperatura es más fácil de medir que de definir. El instrumento que se utiliza para medir temperaturas se llama termómetro. Se trata de medir una propiedad que varíe con la temperatura con un tipo de dependencia preferentemente lineal. Supongamos una propiedad x que varíe linealmente con la temperatura 0. Si tomamos dos puntos fijos, θ1 cuando x = x1 y θ2 cuando x = x2 , se cumplirá: θ = θ1 +

θ2 − θ1 (x − x1 ) x2 − x1

(2)

En realidad, la ecuación (2) permite establecer una escala de temperaturas basada en la propiedad x y los puntos fijos θ2 y θ1. Termómetros de este tipo se pueden utilizar perfectamente para medir temperaturas. Sin embargo, es evidente que estas medidas relativas de la temperatura pueden producir algunos inconvenientes. Por ejemplo, supongamos que x es la longitud de dilatación lineal de una columna de líquido. Si medimos la temperatura de dos sistemas en equilibrio térmico, con dos termómetros diferentes con líquidos diferentes y los mismos puntos fijos, dado que la dilatación dependerá también del tipo de líquido, los termómetros marcarán temperaturas diferentes, lo cual está en contradicción con el principio que establece la igualdad de temperatura de dos sistemas en equilibrio térmico. Este hecho nos sugiere la posible existencia de una escala absoluta de temperaturas. Efectivamente, a partir del segundo principio de la Termodinámica, Lord Kelvin demostró la existencia de una escala universal o absoluta de temperaturas, independiente del tipo de propiedad elegida para medirla. En su honor esta escala se denomina escala Kelvin. De momento, vamos a estudiar un tipo especial de termómetro, el termómetro de gas, con el que se podrán determinar temperaturas de la escala Kelvin. 4

Sistema termodinámico

Figura 1.1-Termómetro de gas

El termòmetro de gas utiliza corno propiedad termometrica la presión de un gas. Para que la presión sea la única propiedad que varíe con la temperatura, las transformaciones del gas se han de hacer a volumen constante. En la figura 1.1 se ha representado de forma esquemática un termómetro de gas. Para mantener constante el volumen de gas, que tiende a aumentar si aumenta la temperatura y a disminuir si ésta disminuye, se añade o elimina mercurio del ramal derecho del manómetro diferencial que mide la presión del gas. Si la temperatura 0 varía linealmente con la presión, p, se cumplirá: θ = θ0

P p0

(3)

Donde θ0 es la temperatura de un punto fijo en el que el termómetro de gas da una presión p0. El punto fijo para asignar arbitrariamente la temperatura θ0, por acuerdo internacional, es el punto triple del agua (un estado de equilibrio en el que coexisten las tres fases). La temperatura asignada al punto triple del agua es 273,16 K. La unidad de temperatura obtenida con el termómetro de gas se denominará grado Kelvin (K), dado que el termómetro de gas permite determinar temperaturas absolutas como se demostrará más adelante. Así pues, una temperatura determinada con el termómetro de gas vendría dada por la expresión: θ = 273,16

P

p0

(4)

Esta temperatura 0 no es una temperatura absoluta puesto que depende de la clase de gas que contenga el matraz del termómetro de gas (y de la cantidad). No todos los gases presentan el mismo tipo de dependencia de la presión con la temperatura.

5

Ingeniería térmica

Figura 1.2 - Temperatura frente a en un termómetro de gas

Sin embargo, el termómetro de gas se utiliza de otra forma. Con una cierta cantidad de gas en el matraz, se determina la presión p0, la presión p del sistema y la temperatura 0 a partir de la ecuación (4). Sea θ1 esta temperatura. Se vuelve a medir la presión P0 del punto triple del agua, con el mismo termómetro de gas, pero con una cantidad de gas ligeramente inferior. Y se vuelve a medir la temperatura del sistema. Sea θ2 esta temperatura. Esta operación se puede repetir varias veces. Si se representa gráficamente la temperatura 0 del sistema del cual se quiere medir la temperatura frente a la presión p0, se obtiene una gráfica como la de la figura 1.2. Obsérvese que hay una temperatura, T en la gráfica, que es la ordenada en el origen de la recta que representa la variación de 0 frente a p0. T es la temperatura medida con un termómetro de gas cuando p0 = 0, es decir, cuando no hay gas en el matraz. Si se repiten las medidas con un gas diferente se obtiene una recta distinta, aunque con la misma ordenada en el origen. Esta ordenada en el origen es la temperatura del sistema objeto de la medida obtenida a partir del termómetro de gas: P P0 →0 p0

θ = 237,16 lim

(5)

Es evidente que esta escala de temperaturas es independiente del tipo de gas. Más adelante, se verá que esta escala coincide con la escala universal, o absoluta, deducida a partir del segundo principio. Provisionalmente, aceptaremos que la temperatura del termómetro de gas coincide con la escala absoluta y que se mide en grados Kelvin. El termómetro de gas es algo difícil de usar. Para medir temperaturas de forma práctica se utilizan termómetros basados en la medida de la dilatación de una columna de líquido o de una resistencia eléctrica, es decir, de una propiedad fácil de medir, según una escala de temperaturas diferente de la absoluta pero fácilmente convertible a ésta. La escala de temperaturas más utilizada es la denominada centígrada o Celsius.

Sistema termodinamico Si t es la temperatura centigrada y T la temperatura absoluta, la relación entre una y otra es: t = T - 273,15 (6) La constante 273,15 se debe a razones históricas; el cero de la escala centigrada es el punto de fusión del hielo a la presión atmosférica estándar. Obsérvese que la temperatura absoluta del punto triple del agua es de 273,16 K, por tanto, la temperatura centígrada del punto triple del agua es 0,01 °C. Es importante hacer notar que las tres cantidades numéricas implicadas son exactas. Otra observación importante es que una diferencia de temperaturas vale lo mismo en la escala centígrada que en la escala Kelvin; en esta obra utilizaremos siempre la denominación K para el grado Kelvin aunque indique una diferencia de temperaturas; el lector podrá averiguar si estos grados provienen de una diferencia de temperaturas (y por lo tanto ser equivalentes a grados centígrados) simplemente observando la fórmula de la cual proceden.

1.5 Procesos termodinámicos Un sistema termodinàmico cuyas propiedades no cambien a lo largo del tiempo, como ya se ha indicado, está en equilibrio. Diremos que está en estado estacionario. Nuestra experiencia directa nos indica que un estado estacionario puede cambiar. Más adelante veremos que en ausencia de fenómenos electromagnéticos, la única forma de modificar el estado de un sistema es transfiriendo trabajo o calor desde el medio al sistema o viceversa. Si un sistema cambia de estado, desde un estado inicial 1 hasta alcanzar una nueva situación de equilibrio 2, diremos que ha tenido lugar el proceso 12. Un proceso es la sucesión indefinida de estados entre 1 y 2. Se puede representar gráficamente un proceso termodinàmico utilizando como ejes coordenados la presión y la temperatura, o la presión y el volumen, etc. En la figura 1.3

Figura 1.3 - Diversos procesos termodinámicos en un diagrama p-v

7

Ingeniería térmica Se han representado diversos procesos termodinámicos en un diagrama que utiliza como ejes la presión y el volumen específico. Un proceso representa necesariamente una interacción entre el sistema y el medio. Siempre supondremos que los estados inicial y final de un proceso son estados de equilibrio. Estos procesos se denominan naturales. Si un proceso puede evolucionar en sentido inverso, hasta alcanzar el estado inicial, sin que se perturbe el medio, el proceso recibe el nombre de reversible. En caso contrario, es irreversible. Todos los procesos naturales son irreversibles, por tanto, el proceso reversible es ideal. Sin embargo, la irreversibilidad no es la misma en todos los procesos. Por ejemplo, la expansión brusca de un gas es proceso muy irreversible. Para que un proceso natural se aproxime al concepto de proceso reversible es preciso que se realice con el mínimo rozamiento posible y con pequeños cambios que alteren lo menos posible el estado de equilibrio. El proceso reversible es ideal y se utiliza como referencia en el estudio de algunos procesos reales que, como se ha indicado anteriormente, son irreversibles.

1.6 El gas ideal Sea un sistema elemental que está constituido por un gas cuyo estado de equilibrio viene determinado por una masa m, un volumen V y una presión p. El gas estará a una temperatura uniforme T. Todas las variables deben ser constantes a lo largo del tiempo. Si sólo se necesitan tres variables para tener definido el sistema, es evidente que existirá una relación entre éstas de forma que puedan relacionarse entre ellas. Suele elegirse la presión p, el volumen específico v y la temperatura absoluta T. Esta ecuación que formaliza la relación recibe el nombre de ecuación de estado del gas. Esta ecuación de estado, distinta para cada gas, debe ser obtenida experimentalmente. El resultado tiene forma de largas y complejas expresiones que relacionan la presión con el volumen específico y la temperatura absoluta. Cuando los gases están a baja presión presentan un comportamiento similar que puede ponerse de manifiesto calculando el término pv/T a partir de valores experimentales y representándolos gráficamente frente a la presión (véase la figura 1.4). La curva resultante se puede extrapolar hasta cortar el eje vertical, obteniéndose el valor de pv/T a presión nula. Este valor se representa con el símbolo R'. Así pues:

lim

p→0

p·v = R′ T

(7)

Y R' es distinto para cada gas. La relación:

p V = R' T

(8)

Sólo se cumple estrictamente en el límite, cuando la presión es nula. Un gas que cumpliese esta ecuación de estado a cualquier presión recibe el nombre de gas ideal. 8

Sistema termodinàmico

Figura 1.4- pv/T frente a la presión p

Si se representa pv/T, siendo v el volumen molar del gas, frente a la presión para diversos gases, se observa que las diferentes curvas confluyen, a presión cero, en la misma ordenada en el origen. Este valor lo designaremos con el símbolo R. Así pues, se cumple:

lim

p→0

p · v� =R T

(9)

en la que R es la llamada constante universal de los gases, cuyo valor es: R = 8.314 J/(kmolK) Recordemos que el volumen molar es el cociente entre el volumen y el número de moles y que se obtiene dividiendo la masa de gas entre la masa molecular. La ecuación de los gases ideales se puede expresar también en la forma: pv = RT

(10)

Ejemplo n° 1 Determinar el volumen de un mol de gas ideal en condiciones normales. Las condiciones normales se definen a 1 atm (atmósfera física) y 0 °C; aunque la IUPAC recomendó, a partir de 1982, que la presión de referencia fuese de 100 kPa (1 bar), sigue utilizándose todavía la atm que equivale a 101.325 Pa. Aplicaremos la ecuación (10) para obtener el volumen molar:

v� =

R · T 8,314 · 273,15 = = 22,41 m3 /kmol p 101,305 9

Ingeniería térmica

Ejemplo n° 2 Un recipiente de 50 litros contiene N2 a 150 kPa y a 25 °C. ¿Cuál es la masa de gas contenida en el recipiente? La constante específica del gas es R2 = 296,9 J/(kg K). Se puede aplicar la ecuación (8) para determinar el volumen específico:

v� =

La masa de gas:

R′ · T 296,9 · (273,15 + 25) = = 0,5901 m3 /kg p1 150 · 103

m = V/v = 50·10-3·0,5901 = 0,0295 kg

1.7 Temas de ampliación La Termodinámica clásica es una ciencia no excesivamente compleja desde un punto de vista matemático, pero a veces, es difícil captar la sutiliza de algunas de las derivaciones de sus principios. Parece imposible presentar la Termodinámica de una forma práctica con ejemplos sacados de la vida cotidiana y que, por lo tanto, sean asequibles y de más fácil comprensión. Creemos que (Çengel y Boles, en [3], han conseguido plenamente este objetivo.

Bibliografía [1] Baehr H.D. Tratado Moderno de Termodinámica. José Montesó Editor, Barcelona, 1970. [2] Singh, J. Teoría de la información. Alianza Editorial, Madrid, 1976. [3] Çengel, Y. A., Boles, M. A. Termodinámica. McGraw-Hill, México, 1994.

10

Capítulo 2

Trabajo, energía Interna y calor 2.1 Introducción En el capítulo anterior, se ha definido el trabajo como una forma de energía que podemos utilizar de referencia. El trabajo sólo se puede hallar en los límites del sistema, atravesándolos. Carece de sentido hablar de trabajo almacenado o acumulado en un sistema. Existen básicamente dos formas de trabajo mecánico aplicadas a los sistemas cerrados en reposo, el llamado trabajo de expansión producido por fuerzas normales a los límites del sistema y el llamado trabajo de rozamiento disipado por fuerzas tangenciales a los límites. En el primer caso, para que exista trabajo es preciso que las fuerzas normales a los límites del sistema modifiquen su volumen. En el segundo caso, no es preciso que haya variación de volumen del sistema.

2.2 Trabajo de expansión 2.2.1

Introducción

Para evaluar el trabajo de expansión W, supondremos un gas encerrado en un cilindro provisto de émbolo (véase la figura 2.1). Sobre el émbolo actúa una fuerza F que es igual al producto de la presión absoluta del gas por la superficie Ap de la cara interna del émbolo que está en contacto con el gas. Si consideramos un desplazamiento elemental dx del émbolo, tendremos: dW = F dx = p Ap dx Siendo Apdx el volumen elemental dV barrido por el émbolo en su desplazamiento dx. Así pues: dW = p dV

(11)

Para un desplazamiento finito, el trabajo de expansión es: 11

Ingeniería térmica

Figura 2.1 - Gas en un cilindro provisto de émbolo

2

W = ∫1 p dV

(12)

Entre (1) y (2) existirá una sucesión infinita de estados intermedios que definen un determinado proceso. Este proceso lo denominaremos (a). Una forma muy explícita de referimos a este proceso, y no a otro que pudiera tener el mismo estado inicial y final, es:

W = ∫1a2 p dV

(13)

Si en un diagrama p-V representamos el proceso (a) desde el estado 1 hasta el estado 2 (véase la figura 2.2), el trabajo de expansión vendría dado por el área comprendida entre la curva y el eje horizontal. Si la transformación entre (1) y (2) se realizase de otra forma, proceso (b) por ejemplo, obsérvese que el área sería distinta. En consecuencia, está bien establecido que el trabajo de expansión no es una propiedad pues depende del proceso. Es decir:

∫1a2 p dV ≠ ∫1b2 p dV

(14)

Hasta ahora hemos hablado sólo de trabajo de expansión. Es evidente que las fuerzas normales a los límites también pueden actuar provocando una disminución del volumen del sistema. En este caso, el trabajo sería de compresión. En general, cuando se hace referencia al trabajo de expansión se sobreentiende que puede ser trabajo de expansión o de compresión. Termodinàmicamente son de signos diferentes. Por convenio, el trabajo de expansión es positivo y el de compresión es negativo. Dado que el trabajo depende del proceso, en los apartados siguientes, se hallarán las expresiones más usuales que corresponden al trabajo de expansión de diversos procesos típicos de un gas ideal.

12

Trabajo, energía interna y calor

Figura 2.2 - Trabajo de expansión de un gas entre los estados 1 y 2 por los caminos (a) y (b) distintos

2.2.2 Trabajo de expansión isotermo Si podemos suponer comportamiento de gas ideal, la expresión del trabajo específico de expansión es: 2 2 W R′T w = = � p dv = � dv m 1 1 v

Si el proceso es isotermo, el resultado de la integración es: v

w = R´T ln v2 1

(15)

Aunque nos refiramos de forma genérica al trabajo de expansión, es evidente que esta denominación comprende también al trabajo de compresión. La única diferencia estará en el signo.

2.2.3

Trabajo de expansión adiabático

Aunque se demostrará en el apartado 2.8, aceptaremos provisionalmente que la expansión o compresión adiabática y reversible de un gas ideal se rige por la ecuación: pvk = Cte

(16)

Siendo k el cociente entre el calor específico a presión constante cp y el calor específico a volumen constante cv. El trabajo específico de expansión en este caso es: 2

w = � p dv = � 1

2

1

2 Cte p1 𝑣𝑣1𝑘𝑘 dv = � dv 𝑘𝑘 𝑣𝑣 𝑘𝑘 1 𝑣𝑣

13

Ingeniería térmica Y resolviendo la integral obtenemos: 𝑤𝑤 = 𝑝𝑝1 𝑣𝑣1𝑘𝑘 𝑤𝑤 =

Ejemplo n° 3

1 (𝑣𝑣1−𝑘𝑘 − 𝑣𝑣11−𝑘𝑘 ) 1 − 𝑘𝑘 2 1 (𝑝𝑝 𝑣𝑣 − 𝑝𝑝1 𝑣𝑣1 ) 1 − 𝑘𝑘 2 2

(17)

Determinar el trabajo obtenido en el eje de un émbolo producido por la expansión adiabática y reversible del aire encerrado en un cilindro a 450 kPa y 105 °C hasta una presión de 250 kPa. La presión ambiente exterior, que actúa sobre la otra cara del émbolo (véase la figura 2.3), es de 100 kPa. Para el aire se tomará R' = 287 J/(kg K) y k = cp/cv = 1,40.

Figura 2.3 - Cilindro provisto de émbolo del ejemplo n° 3

En primer lugar, calculemos v1 y v2; v1 =

R′ T1 287 · (105 · 273,15) = = 0,2412 m3 /kg p1 450 · 103

p2 1/k 250 1/1,4 v2 = v1 � � = 0,2412 � � = 0,367m3 /kg p1 450 Así, el trabajo específico de expansión es: 2

w = � pdv = 1

14

1 1 (p p − p1 p1 ) = (250 · 0,367 − 450 · 0,2412)103 = 41,975 J/kg 1−k 2 2 1 − 1,4

Trabajo, energía interna y calor Por otra parte, para vencer la resistencia asociada a la presión exterior p0, se efectúa un trabajo específico: 2

w0 = � p0 dv = 𝑝𝑝0 (v2 − v1 ) = 100 · 103 (0,367 − 0,2412) = 12,58J/kg 1

En consecuencia, el trabajo específico obtenido en el eje es: 2

weje = � (p − p0 )dv = (w − w0 ) = (41,975 − 12,58) = 29,295J/kg 1

2.3 Trabajo de rozamiento El trabajo de rozamiento es el que efectúan fuerzas tangenciales sobre los límites del sistema; por ejemplo, las palas del agitador situado en el cilindro mostrado en la figura 2.4, al hacer girar el eje. El fluido ofrece una fuerza resistente al movimiento de las palas y para vencerla se ha de hacer un trabajo de rotación en el eje. El trabajo de rozamiento no implica cambios de volumen del sistema. Obsérvese que es siempre un trabajo negativo, es decir, un trabajo entregado al sistema. Para obtener trabajo de rozamiento positivo, el fluido confinado en el cilindro tendría que actuar de manera organizada sobre las palas del agitador de forma que lo hiciese girar. Nunca se ha observado que ocurra una acción semejante. Dado que el trabajo de rozamiento es negativo, desde el punto de vista del sistema termodinàmico, en los balances se acostumbra a expresarlo en valor absoluto y precedido del signo menos explícito.

Figura 2.4 - Cilindro con un agitador para ilustrar el concepto de trabajo de rozamiento

Figura 2.5 - Cilindro con aportación de trabajo de rozamiento en forma de energía eléctrica (efecto Joule) 15

Ingeniería térmica La aportación de energía mediante una resistencia eléctrica (véase la figura 2.5) se interpreta, también, como trabajo de rozamiento, aunque en este caso sea trabajo eléctrico, dado que produce los mismos efectos que el trabajo mecánico de rozamiento.

Ejemplo n° 4 Un cilindro de 0,30 m de diámetro interior contiene un gas. Mediante una resistencia eléctrica conectada a 60 voltios circula una corriente de 1,6 amperios durante un minuto. En el proceso, el gas expansiona desplazando el émbolo 250 mm. La expansión se produce a la presión constante de 180 kPa. Determinar el trabajo de expansión del gas, el trabajo de rozamiento que se efectúa sobre el sistema y el trabajo total. El trabajo de expansión del gas es fácil de calcular puesto que la presión del gas coincide durante todo el proceso con la presión que el embolo ejerce sobre el gas. π π W = p(V2 − V1 ) = pAp (x2 − x1 ) = p D2p (x2 − x1 ) = 180 · 103 0,32 · 0,25 = 3,181J 4 4 El trabajo de rozamiento entregado al sistema en forma de trabajo eléctrico es: Wroz = ΔΦ I t = - 60 voltios · 1,6 amperios · 60 s = - 5.760 J El signo menos indica que se trata de un trabajo efectuado sobre el sistema. Por consiguiente el trabajo total es: Wtotal = W + Wroz = 3.181 + (- 5.760) = - 2.579 J ≈ - 2,58 kJ

En definitiva, se cede al sistema (el gas) más trabajo de rozamiento que el que él entrega al émbolo. Por esta razón, el trabajo total resulta negativo.

2.4 Energía interna Si comprobamos los efectos que ocasiona la entrada de trabajo en un sistema gaseoso adiabático, se observa un aumento de las energías mecánicas microscópicas de las moléculas o átomos que constituyen el fluido. El efecto más inmediato es un aumento de la temperatura del gas. Esta constatación obliga a definir un tipo de energía, llamada interna termostàtica, representada con el símbolo U, a partir de la igualdad experimental: U2 - U1 = - W12,adiab

(18)

Un trabajo entregado al sistema produce un aumento de su energía interna; un trabajo cedido por el sistema es a costa de su energía interna. La energía interna sí que es una propiedad del sistema y, por tanto, independiente del proceso de transferencia de trabajo. 16

Trabajo, energía interna y calor También el trabajo entregado a un muelle durante su compresión, o el entregado a una batería eléctrica durante su proceso de carga, modifican la energía de estos sistemas. Estos cambios sólo se pueden atribuir a la variación de su energía interna.

2.5 Calor Si transferimos trabajo a un sistema cerrado no adiabático, mediante un proceso definido desde un estado 1 hasta un estado 2, la energía interna del sistema experimentará una variación que no coincidirá con el trabajo transferido. Es decir: U2 - U1 ≠ - W12

(19)

El principio de conservación de la energía exige que otra forma de energía, distinta del trabajo, haya atravesado los límites del sistema. Esa forma de energía se denomina calor y se representa con el símbolo Q. Así pues, para un sistema no adiabático: Q12 = U2 -U1 + W12

(20)

El calor aportado al sistema se considera positivo y el cedido negativo. Puesto que no se puede transferir calor a un sistema adiabático, diremos que la pared o frontera que permite una transferencia de calor se denomina diatèrmica o diabàtica. La experiencia nos indica que sólo es posible trasferir calor a través de una pared diatèrmica cuando los sistemas separados por la pared están a diferente temperatura. Igual que se ha indicado en el caso del trabajo, se han de rehuir expresiones relacionadas con una falsa interpretación del calor, tales como calor acumulado, cuerpo muy caliente, masa de calor, etc. Aunque vulgarmente se puedan emplear, se ha de reconocer el inaceptable concepto implícito en estas expresiones. El calor sólo es energía detectable en los límites del sistema, nunca en el propio sistema. Un hipotético observador situado en el interior de un sistema que contabilizara las unidades de energía que van entrando o saliendo del sistema, sería incapaz de distinguir si provienen de una transferencia de calor, de una transferencia de trabajo o

2.6 Entalpia La entalpia H es una magnitud energética definida a partir de la expresión: H=U+pV

(21)

La entalpia es una propiedad cuya utilidad será puesta de relieve, fundamentalmente, en el estudio de los sistemas abiertos. La entalpia específica, es decir, referida a la unidad de masa del sistema por definición es: h=u+pV

(22)

siendo u la energía interna termostàtica específica. 17

Ingeniería térmica

2.7 Calores específicos a volumen y a presión constantes El calor específico a volumen constante, cv, se define como: ∂u ∂T

cv = � � v

y el calor específico a presión constante, cp:

Si consideramos u = u(T,v):

(23)

∂h

cp = �∂T� p ∂u ∂T v

(24)

∂u ∂v T

du = � � dt +� � dv

(25)

La variación de energía interna experimentada por un gas ideal en un proceso de expansión libre adiabática ha de ser nula, puesto que: 2

𝑞𝑞12 = u2 − 𝑢𝑢1 = � p dv 1

y como que no hay trabajo (expansión libre y adiabática), ni transferencia de calor (proceso adiabático): u2 - u1 = 0 o sea: u2(T2, v2) = u1(T1,v1) ⇒ u = Cte

Es decir, la energía interna es la misma antes y después de la expansión libre adiabática. No obstante, es evidente que después de la expansión v2 ≠ v1, lo cual indica que u no depende de v. Por otra parte, existe constancia experimental (Gay-Lussac y Joule fueron los primeros en constatarlo) de que en las expansiones libres y adiabáticas de un gas ideal T2 = T1. En gases no ideales (gases reales), se comprueba que existe una variación de temperatura que es tanto menor cuanto menor es la presión. En consecuencia, en el límite, para p = 0, es decir, para los gases ideales, la energía interna sólo depende de la temperatura: u = u(T). Esto implica que en un gas ideal el calor específico a volumen constante sólo depende de la temperatura. Resumiendo: En los gases ideales ⇒ cv = cv (T)

En los gases reales ⇒ cv = cv (T,v)

Si se diferencia la expresión que define la entalpia: dh = du + d(pv)

18

(26) (27)

Trabajo, energía interna y calor y consideramos un proceso elemental asociado a un gas ideal, el producto pv puede sustituirse por RT: dh = du + d(R’ T) Obsérvese que si la variación de la energía interna sólo depende de T y (R'T) sólo es función de T, en consecuencia, la variación de entalpia de un gas ideal sólo será función de T. Dividiendo por dT y teniendo en cuenta que, para un gas ideal, cv y cp sólo dependen de T, se cumplirá: Cp(T) - Cv(T) = R' = Cte

(28)

Esta relación se conoce como ecuación de Mayen

2.8 Transformación adiabática reversible de un gas ideal La ecuación (20) con magnitudes específicas y referida a un proceso elemental es: δq = du + δw

(29)

si el proceso es adiabático (δq = 0): du + δw = 0 para una transformación reversible de un gas ideal: cv dT + p dv = 0

(30)

y dado que pv = R' T:

o bien:

cv dT + cv

R′T dv = 0 v

dT dv + R′ dv = 0 T v

Integrando ahora entre 1 y 2 para un proceso finito, se obtiene: cv ln y de ahí se deduce:

T2 v2 + R' ln = 0 T1 v1

T

cv

� T2 � 1

v

−R´

= �v2 � 1

19

Ingeniería térmica Teniendo en cuenta que R' = cp - cv y que cp/cv, = k, se obtiene: T2 v2 1−k =� � T1 v1

y puesto que p1v1/T1 = p2v2/T2:

P2V2k = P1V1k

(31)

(32)

que de forma general se puede expresar como: p vk = Cte

(33)

o bien, eliminando v entre (31) y (32); T2 p2 (k−1)/k =� � T1 p1

Ejemplo n° 5

(34)

Determinar la variación de la energía interna y de la entalpia, específicas, que experimenta el aire al expandirse adiabáticamente y de manera reversible desde 400 kPa y 30 °C hasta 100 kPa. Considérese el aire como gas ideal con R' = 287,1 J/(kg K) y Cp = 1.004 J/(kg K). El calor específico a volumen constante se obtiene de la ecuación de Mayer: cv = cp - R' = 1,004 - 0,2871 = 0,7169 kJ/(kg K) El coeficiente adiabático: k = cp/cv = 1,004/0,7169 = 1,40 De (34) se determina la temperatura final del proceso de expansión adiabática: T2 100 0,4/1,4 =� � 237,15 + 30 400

Así resulta T2 = 204,0 K, (t2 = -69,15 °C). La variación de energía interna es:

∆u = Cv(T2 - T1) = 0,7169-(204,0 - 303,15) = -71,08 kJ/kg y la de entalpia; ∆h = cp(T2 - T1) = 1,004-(204,0 - 303,15) = -99,55 kJ/kg Cuando se considera un gas ideal con calores específicos constantes, se le conoce con el nombre de gas perfecto o gas ideal perfecto. De hecho en esta obra, el modelo de gas ideal no perfecto o semiperfecto se introduce en el apartado 4 del capítulo 12.

20

Trabajo, energía interna y calor

2.9 Proceso politrópíco

Es de frecuente aplicación un tipo especial de proceso no isotérmico ni tampoco adiabático que suele comparase con uno ideal i reversible denominado politrópico. Un proceso politrópico es uno internamente reversible que cumple la relación: pvn = Cte

(35)

o (relacionando dos estados): p1v1n = p2v2n

(36)

Donde n es una constante llamada índice politrópico. Para un gas ideal es fácil deducir que se cumplirá: T2 T1

p

= � 2� p1

(n−1)/n

T2 v2 n−1 = T1 v1 n−1

(37)

El trabajo de expansión asociado a un proceso politrópico reversible, entre los estados 1 y 2 es: 2

w12 = ∫1 pdv =

1 (p2 v2 -p1 v1 ) 1-n

(37a)

trabajo que puede interpretarse como el área debajo de la curva que representa el proceso en un diagrama p-v. Cuando la relación pvn = Cte se ha obtenido de un ajuste experimental de datos p y v, el valor de la integral proporciona una estimación razonable del trabajo cuando la presión medida es sensiblemente igual a la que se ejerce en la cara interna. Si se trata de un proceso politrópico irreversible, esto no ocurrirá y, en consecuencia: 2

� pdv = 1

1 (p v -p v ) ≠ 𝑤𝑤12 1-n 2 2 1 1

(37b)

Es decir, la integral no coincide con el trabajo ya que existen efectos de disipación de energía (trabajo de rozamiento). En el proceso de compresión de los compresores alternativos aumenta la temperatura y (si el compresor no es adiabático) se rechaza calor al medio refrigerante. Este proceso de compresión suele asimilarse a uno politrópico en el que k > n > 1. Por tener aplicación inmediata en el estudio de los compresores alternativos (capítulo 11), este tema se desarrolla con mayor profundidad en el apartado 11.3.3. En la figura 2.6 se han representado [1] diferentes curvas a partir de un estado 1 común situado en el origen de coordenadas de la ecuación (35) para distintos valores de n. 21

Ingeniería térmica

Figura 2.6 - Efecto de la variación de n en la curva pvn = Cte

Obsérvese que para valores comprendidos entre 1 y k las curvas politrópicas aparecen en un estrecho margen entre las isentrópicas y las isotermas.

2.10 Temas de ampliación Cuando se analiza el comportamiento de un sistema termodinàmico puede hacerse desde un punto de vista microscópico o macroscópico. El primero debe tener en cuenta que el sistema está constituido por átomos o moléculas; las leyes de la física deben aplicarse a estos componentes esenciales. Dado que resultaría un número de ecuaciones extraordinariamente elevado se aplican consideraciones estadísticas y se aplica la teoría de las probabilidades. El resultado es la Termodinámica Estadística. El punto de vista macroscópico reduce drásticamente las leyes porque se consideran los efectos promediados del conjunto de todas las partículas que constituyen el sistema. El resultado es la Termodinámica Clásica. En esta obra, el punto de vista utilizado es el macroscópico. El lector interesado encontrará información en [2] y [3].

Bibliografía [1] Wylen G. J., Sonntag R. E., Borgnakke C. Fundamentos de Termodinámica. Limusa. México, 1999. [2] Reiss, H. Methodes of Thermodynamics. Blaisdell Publishing Co. Waltham, MA, 1989 [3] Sonntag, E. Van Wylen, G.J. Introduction to Thermodynamics, Classical and Statistical. John Wiley & Sons, New York, 1999.

22

Capítulo 3

Primer principio de la termodinámica 3.1 Introducción En capítulos anteriores, se han establecido las distintas clases de energías bien sea en forma de trabajo o de calor. Un aspecto fundamental de la energía es que no puede ser creada ni destruida. Cuando realizamos un balance de energía entorno de un sistema, siempre ocurre que la transferencia neta de energía coincide con la variación de energía experimentada por el sistema. Se denomina primer principio de la Termodinámica al principio de conservación de la energía. Éste adopta formas diversas según se aplique a sistemas cerrados, a volúmenes de control, a procesos estacionarios o transitorios, etc. Curiosamente, el primer principio de la Termodinamica fue enunciado más tarde que el segundo. La evidencia y simplicidad del principio de conservación de la energía se veía perturbada por la incorrecta comprensión del calor. Hasta mediados del siglo XIX no se empezó a comprender bien el concepto de calor. Sólo a partir de entonces se pudo establecer con claridad el principio de conservación de la energía.

3.2 Primer principio aplicado a sistemas cerrados Como se ha visto en el capítulo anterior, los sistemas cerrados poseen una propiedad termodinámica o variable de estado U, denominada energía interna termostatica, con las siguientes propiedades: a) En los procesos adiabáticos, el cambio de U se debe al trabajo efectuado por el sistema (véase (18)): u2 - u1 = w12, adiabático Expresión que constituye la definición de U. b) En procesos no adiabáticos (véase (20)): Q12 = u2 –u1 + W12

23

Ingeniería térmica Expresión que constituye la definición del calor siendo, además, una primera formulación del primer principio de la termodinámica para sistemas cerrados en reposo y facilita una relación cuantitativa entre diversas formas de energía, calor, trabajo y energía interna termostàtica. Podría enunciarse como sigue: "El calor entregado al sistema menos el trabajo que éste efectúa, es igual al cambio que experimenta su energía interna". En cuanto al trabajo W12, recordaremos que está compuesto de trabajo de expansión y de rozamiento: W12 = Wexp. + Wroz. = Wexp.neto

(38)

Consideremos ahora sistemas termodinámicos cerrados y en movimiento. Sea un cilindro provisto de émbolo que desliza por un plano inclinado en dos posiciones determinadas (1) y (2), entre las cuales ocurre un cierto proceso termodinàmico no adiabático (véase la figura 3.1). El gas contenido en el cilindro constituye un ejemplo de sistema cerrado en movimiento. El principio de conservación de la energía aplicado a este sistema continúa estableciendo que "el calor entregado al sistema menos el trabajo que éste efectúa es igual al cambio que experimenta su energía interna". No obstante, ahora el trabajo, además del trabajo de expansión y de rozamiento, incluye el trabajo efectuado por las fuerzas que elevan o aceleran el sistema, con lo cual varían sus energías potencial y cinética respectivamente. A este trabajo se le da el nombre de trabajo total: Q12 - Wtotal = ∆E

(39)

Donde Q12 es el calor transferido al sistema entre las posiciones (1) y (2) de la figura, Wtotat el trabajo total y E la energía total del sistema, es decir, la interna termostàtica U, cinética Ec, potencial Ep y otras formas de energía si las hubiere. En el caso considerado: E = U + Ec + Ep Así pues:

Figura 3.1-Cilindro provisto de émbolo deslizando por un plano inclinado

24

Primer principio de la termodinámica Q12 - Wtotal = ∆U + ∆Ec + ∆Ep y teniendo en cuenta (20), el trabajo total Wtotal se puede expresar en la forma: Wtotal = Wexp.neto - ∆Ec - ∆Ep

(40)

Si se sustituye Wtotal (39) resulta: Q12 - Wexp neto ∆Ec + ∆Ep = ∆U + ∆Ec + ∆Ep

con lo que finalmente: Q12 = ∆U + Wexp.neto

(41)

O bien: Q12 = ∆U + Wexp + Wroz

Tengamos presente que el trabajo de rozamiento, en un sistema cerrado, es el producido por las fuerzas tangenciales que surgen de los esfuerzos cortantes que actúan en los límites del sistema. Una característica fundamental de este trabajo es que tiene lugar sin cambios de volumen del sistema, ya que éstos requieren la acción de esfuerzos normales. El trabajo de rozamiento siempre es negativo, pues del sistema nunca puede obtenerse trabajo de rozamiento. En consecuencia, una forma frecuente de expresar Wexp. neto Wexp.neto = Wexp-|Wroz|

(42)

Combinando (41) y (42): Q12 = U2 - U1 + Wexp + Wroz

(43)

V teniendo presente la definición de trabajo de expansión: 2

y con magnitudes específicas:

Q12 = U2 - U1 + ∫1 pdV − |Wroz | 2

Q12 = u2 - u1 + ∫1 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 − |𝑊𝑊𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 |

(44)

(45)

Ésta sería una de las expresiones más útiles del primer principio de la Termodinámica aplicado a los sistemas cerrados. Si se trata de un proceso reversible, no puede haber trabajo de rozamiento y, en consecuencia: 2

q12, rev. = u1 − u2 + ∫1 p dv

(46)

25

_

Ingeniería térmica

Ejemplo n° 6 Un cilindro provisto de émbolo contiene nitrógeno en las condiciones siguientes, v1 = 0,15 m3, p1 = 100 kPa, t1 = 25 °C. El gas se comprime reversiblemente hasta una presión de 350 kPa según un proceso politrópico definido por la ecuación pvn= Cte. El índice de politropía n es 1,20. Considérese comportamiento de gas ideal perfecto con cp = 1,040 kJ/(kg K). La masa molecular del nitrógeno es 28 kg/kmol. Determinar la variación de energía interna y la transferencia de calor durante el proceso de compresión (véase la figura 3.2). Empezaremos calculando la constante R', cv y el coeficiente adiabático del gas: R´ =

R 8,314 = =0,297kJ/(kgK) M 28

cv = cp - R' = 1,040 - 0,297 = 0,743 kJ/(kg K) k = cp/cv = 1,040/0,743 = 1,40

El volumen específico del nitrógeno al inicio de la compresión es: v1 =

R′T1 0,297 · 298,15 = = 0,8855m3 /kg p1 100 · 103

y al final de la compresión:

p1 1/n 100 1/1,2 v2 = v1 � � = 0,8855 � � = 0,3117 m3 /kg p2 350

por lo que el trabajo específico de compresión es:

Figura 3.2 - Proceso de compresión del ejemplo n° 6 26

Primer principio de la termodinámica 2

w12 = � pdv = 1

En cuanto a T2:

1 1 (p2 v2 -p1 v1 )= (350·0,3117-100·0,8855= -102,7kJ/kg 1-n 0,2 T2 =

p2 v2 350·103 ·0,3117 = = 367,3K(94,2ºC) R' 297

Por lo que la variación de energía interna es:

∆u = u2 - u1 = CV(T2 - T1) = 0,743(367,3 - 298,15) = 51,38 kJ/kg Ahora, el primer principio de la termodinámica aplicado a un sistema cerrado permite calcular el calor que se transfiere en el proceso: q12,rev. = U2 - U1 + W12 = 51,38 + (-102,7) = - 51,32 kJ/kg La masa de nitrógeno: m=

V1 0,15 = = 0,1694 kg v1 0,8855

Por lo que, finalmente, ∆U y Q valen:

∆U = m · Au = 0,1694 · 51,38 = 8,70 kJ Q = m · q = 0,1694 · (-51,32) = - 8,69 kJ El signo menos que precede a los términos de calor indica que se trata de energía térmica disipada por el sistema a su entorno. En este ejemplo, se constata que, casualmente, el 50% del trabajo efectuado sobre el sistema se invierte en incrementar su energía interna, y que el 50% restante el sistema lo cede al medio exterior en forma de calor.

3.3 Primer principio en procesos cíclicos. Sistemas cerrados Consideremos un proceso cíclico constituido por las etapas 12, 23,..., (n-1)n, n1. Se puede aplicar (45) a cada etapa: 2

𝑞𝑞12 = 𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢1 + ∫1 pdV − �Wroz,12 � 3

𝑞𝑞23 = 𝑢𝑢3 − 𝑢𝑢2 + � pdV − �Wroz,23 � 2

27

Ingeniería térmica 1

𝑞𝑞𝑛𝑛1 = 𝑢𝑢1 − 𝑢𝑢𝑛𝑛 + � p dV − �Wroz,1n � n

Si sumamos todas estas ecuaciones, resulta:

(47)

qij = ∫ciclo p dV − ∑�Wroz,ij �

Nótese que en los ciclos de sistemas cerrados reversibles: qij = ∫ciclo p dv

Si representamos gráficamente en un diagrama p-v un ciclo determinado, por ejemplo el constituido por las etapas 12, 23, 31 (véase la figura 3.3), la integral de ciclo es el área encerrada por el mismo y coincide con el trabajo útil sólo en caso de procesos reversibles.

Figura 3.3 - Proceso cíclico

a)

b)

Figura 3.4 - a) Ciclo recorrido en sentido horario, b) Ciclo recorrido en sentido antihorario

28

Primer principio de la termodinámica El sentido en el que se recorre un ciclo no es irrelevante. En la figura 3.4 se han representado dos ciclos, el (a) recorrido en sentido horario y el (b) recorrido en sentido antihorario. En el primer caso, el valor de la integral de ciclo será: �

ciclo

p dv = � p dv + � p dv = � p dv − � p dv 1a2

2b1

1a2

1b2

Lo cual da un valor positivo, es decir, un ciclo recorrido en sentido horario permite obtener trabajo neto. Se llaman ciclos de potencia. En el segundo caso: �

ciclo

p dv = � p dv + � p dv = � p dv − � p dv 1b2

1b2

2a1

1a2

Que da un valor negativo. Se trata de ciclos que absorben trabajo y ceden más calor que el que absorben y se pueden utilizar como ciclos de refrigeración.

Ejemplo n° 7 El gas de trabajo de un ciclo cerrado es aire. El ciclo (véase la figura 3.5) consta de las siguientes etapas, 12 compresión adiabática, 23 expansión isotérmica, 31 proceso isóbaro. Las condiciones iniciales son 100 kPa y 20 °C. La temperatura al final de la compresión adiabática es 150 °C. Considérese que todos los procesos son reversibles y que el aire se comporta como un gas ideal perfecto. Calcular las variables de estado en los estados iniciales de cada etapa así como la variación de energía interna, el trabajo y el calor en cada una de ellas. Las calores específicos del aire son, cp = 1.004 J/(kg K), cv = 716,9 J/(kg K). Con los datos disponibles para el aire, calculamos, en primer lugar, R' y k: R' = cp - cv = 1,004 - 0,7169 = 0,2871 kJ/(kg K)

Figura 3.5 - Ciclo del ejemplo n° 7 29

_

Ingeniería térmica k = cp/cv = 1,004/0,7169 = 1,40 Para determinar el estado 2 del ciclo se calcula T2 mediante (34): T2 T1

p

(k−1)/k

= �p2 � 1

T k/(k−1) T2 =T T1 1

⇒ p2 = p1 � 2 �

423,15 3,5

= 100 �293,15�

= 361,6 kPa

Puesto que todos los estados son conocidos, ya que T3 = T2 y p3 = p1 procederemos a calcular los cambios de la energía interna u: ∆u12 = u2 - u1 = cv(T2 - T1) = 0,7169 (423,15 - 293,15) = 93,20 kJ/kg ∆u23 = u3 - u2 = cv(T3 - T2) = 0 ∆u31 = u1 - u3 = cv(T1 - T3) = 0,7169 (293,15 - 423,15) = - 93,20 kJ/kg Podemos constatar que ∆uciclo = 0. Seguidamente se calcula el trabajo en cada una de las etapas del ciclo: q12 = 0 ⇒ w12 = - ∆u12 = - 93,20 kJ/kg

∆u23 = 0 ⇒ w23 = q23 y este trabajo se determina de (15): w23 =R´ T2 ln 1

v3 p2 361,3 =w23 =R´T2 ln =0,2871·423,15 ln =156,06KJ/kg v2 p3 100

w31 = � 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑝𝑝3 (𝑣𝑣1 − 𝑣𝑣3 ) = 0,2871(293,15 − 423,15) = −37,32𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑘𝑘𝑘𝑘 3

Así, el trabajo total del ciclo es: Wciclo = Σ Wij = 25,54 kJ/kg En cuanto al calor transferido en cada etapa del ciclo, como ya se ha visto: q12 = 0 y q23 = W23 = 156,06 kJ/kg y en cuanto a q31: q31 = ∆u31 + w31 = - 93,20 - 37,32 = -130,52 kJ/kg Por lo que: qciclo = Σ qij = 25,54 kJ/kg el calor neto absorbido por el aire coincide con el trabajo efectuado por el sistema tal como prevé la ecuación (47) para los ciclos reversibles.

30

Primer princìpio de la termodinámica

3.4

Primer principio para sistemas abiertos

3.4.1 Introducción En este apartado aplicaremos el primer principio a un volumen de control de un sistema abierto y en condiciones estacionarias. Para una visión más completa del problema, véase el teorema del transporte de Reynolds [1] que generaliza la relación entre la derivada temporal de una propiedad referida a una masa de control (MC) con la derivada temporal de la misma propiedad referida a su volumen de control (VC) asociado. En un sistema abierto, conviene tener en cuenta una clase especial de trabajo denominada trabajo de flujo, wflujo. El trabajo de flujo es el trabajo de expansión que realiza la materia que entra y sale del VC al desplazar la existente en su interior. A la entrada, una masa de fluido Δm desplaza el volumen ∆V1 = v1 ∆m, siendo v1 el volumen específico del fluido en la sección de entrada del VC. Análogamente, a la salida, ∆v2 = v2 ∆m. El trabajo neto vendrá dado por la expresión: Wflujo neto = p2 v2 ∆m - p1 v1 ∆m

(48)

El signo menos, en el caso de la entrada, se debe a que se trata de un trabajo que se efectúa sobre el sistema. En cambio, a la salida, el trabajo es efectuado por el sistema.

3.4.2 Principio de conservación de la energía en un sistema abierto Consideremos el sistema mostrado en la figura 3.6. En el instante t, la MC del sistema ocupa la posición 12. Como consecuencia de su desplazamiento por el VC, en el instante t = t + ∆t ocupa la posición 1'2'. Si se aplica el primer principio a la MC, ecuación (39), al proceso constituido entre a (posición 12) y b (posición 1'2'): Qab = E b - Ea + Wtotal (49) siendo el trabajo interno aportado al fluido por alguna máquina situada en el VC más el trabajo de flujo neto de la masas contenidas en 11' y 22', es decir: Wtotal = Wmaq + (p v ∆m)22' - (p v ∆m)11´

(50)

Figura 3.6: Aplicación del primer principio a un sistema abierto 31

Ingeniería térmica Siendo Wmáq el trabajo desarrollado por la máquina, es la energía interna termostàtica, cinética y potencial de la MC en el instante t' (región de fluido 1'2') y es la energía interna termostàtica, cinética y potencial de la MC en el instante t (región 12). Eb = E(1'2)t + E(22')t' Ea = E(11')t + E(1'2)t Obsérvese que al restar ambas expresiones, E(1'2)t' = E(1'2)t por ser el régimen de flujo estacionario y, en consecuencia, resulta: Eb - Ea = E(22')t' - E(11')t Además, al considerar régimen estacionario, la masa contenida en 11' es igual que la contenida en 22'. Si ∆t es suficientemente pequeño, las fronteras 1 y 1' se confunden. Igual ocurre con las fronteras 2 y 2'. En consecuencia, se podrá escribir, dividiendo todos los términos por ∆m: q12 =(u2 +

c22 c12 + z 2 g) - (u1 + + 𝑧𝑧1 g) + p2 v2 - p1 v1 +wmaq 2 2

(51)

o bien, introduciendo la entalpia:

q12 = h2 - h1 +

c22 - c12 + g(z2 - z1 )+wmaq 2

(52)

Se obtiene la llamada ecuación de la energía. Ecuación que expresa la formulación del primer principio de la Termodinámica para un sistema abierto, en régimen estacionario, constituido por un volumen de control que posee una entrada (1) y una salida (2) y, también, con máquina intercalada. En la misma, es el trabajo específico interno de máquina, es decir, el que se intercambia internamente en la máquina entre el fluido y un émbolo o pistón, o bien entre el fluido y los álabes o paletas del rodete de la máquina. Conviene no confundir este trabajo con el trabajo calculado para el eje de la máquina. El trabajo interno wmaq según (50) puede expresarse como: wmáq = wtotal - (p2 v2 - p1v1)

(53)

y el trabajo total, según (40) y (42) también es: 2

wtotal = � p dv - |wroz |1

Combinando (52), (53) y (54) resulta:

c22 - c12 - g(z2 - z1 ) 2 2

o bien teniendo en cuenta:

32

𝑞𝑞12 + |Wroz | = 𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢1 + � p dV 1

(54)

(55)

Primer principio de la termodinámica 2

2

� p dV = p2 v2 - p1 v1 − � v dp 1

1

también se obtiene la ecuación:

2

𝑞𝑞12 + |Wroz | = h2 − h1 − � v dp

Si ahora se elimina q12 entre (52) y (56) resulta; 2

wmaq = - � v dp 1

1

c22 - c12 - g(z2 - z1 )- �wroz,12 � 2

(56)

(57)

es decir, la ecuación generalizada de Bernoulli, también conocida como ecuación de la energía de la mecánica de fluidos.

Ejemplo n° 8 Un gas circula sin rozamiento, con una presión de 140 kPa, por un conducto horizontal de 0,0064 m2 de sección. El caudal másico de gas es 0,245 kg/s. El gas entra a 145 °C y sale a 45 °C. La constante específica del gas es, R' = 300 J/(kg K) y el calor específico a presión constante, cp = 925,7 J/(kg K). Calcúlese la velocidad del gas a la salida y el calor cedido al medio. T1 = 145 + 273,15 = 418,15 K T2 = 45 + 273,15 = 318,15 K Empezaremos calculando la densidad del gas a la salida (ver figura 3.7); ρ2 =

ρ2 140·103 = =1,467 kg/m3 R'T2 300·318,15

y por aplicación de la ecuación de continuidad, 𝑚𝑚̇ = Acρ, determinaremos la velocidad: 𝑚𝑚̇ 0,245 = = 26,09 𝑚𝑚/𝑠𝑠 𝑐𝑐2 = 𝐴𝐴𝜌𝜌2 0,0064 · 1,467 También necesitamos la velocidad a la entrada; empezamos calculando la densidad: ρ2 140 · 103 ρ2 = = = 1,116 kg/m3 R′T1 300 · 418,15 33 33

Ingeniería térmica

Figura 3.7 - Ejemplo n° 8

c1 =

ṁ 0,245 = = 34,30 m/s Aρ1 0,0064 · 1,116

Ahora aplicaremos la ecuación (52): q=h2 - h1 +

c22 - c12 c22 - c12 26,092 -34,32 =cp (T2 - T1 )+ = 925,7(45-145) + =-92,818 J/kg 2 2 2

El signo menos indica que se trata de calor cedido al medio. La tasa de calor cedido: �Q̇ �=|q|ṁ = 92818 · 0,245 = 22270 W

3.5 Primer principio en procesos cíclicos. Sistemas abiertos Los ciclos de Brayton y de Rankine, que se aplican a turbinas de gas y a centrales de vapor, respectivamente, son ejemplos de procesos cíclicos de etapas abiertas. Consideremos un proceso cíclico constituido por las etapas 12, 23,..., (n-1)n, n1. Se puede aplicar la ecuación de la energía (52) a cada etapa: 𝑞𝑞12 = h2 - h1 +

q23 = h3 - h2 +

34

c22 - c12 + g(z2 - z1 ) + wmaq,12 2 c32 - c22 2

+ g(z3 - z2 ) + wmaq,23

..................

________________________________ Primer principio de la termodinámica

qn1 = h1 - hn +

c12 - cn2 + g(z1 - zn ) + wmaq,1n 2

Si sumamos estas ecuaciones miembro a miembro, se obtiene: Σqij = Σwmaq,ij

(58)

Si se aplica la ecuación (57) a cada etapa: 2

𝑤𝑤𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚,12 = − � 𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 1

3

𝑤𝑤𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚,23 = − � 𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 1

𝑛𝑛

𝑤𝑤𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚,1𝑛𝑛 = − � 𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 1

c22 - c12 + g(z2 - z1 ) + �𝑤𝑤𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟,12 � 2 c32 - c22 + g(z3 - z2 ) + �𝑤𝑤𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟,23 � 2

c12 - cn2 + g(z1 - zn ) + �𝑤𝑤𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟,1𝑛𝑛 � 2

…..…………..

sumando estas ecuaciones miembro a miembro se obtiene: �

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

v dp = − ∑𝑤𝑤𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 − ∑�wroz,ciclo �

(59)

Obsérvese que para procesos reversibles, es decir, ideales: �

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

v dp = − ∑𝑤𝑤𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

3.6 Temas de ampliación

Uno de los objetivos que los autores se han planteado con esta obra es que sea asequible a alumnos que cursen asignaturas relacionadas con la Termodinámica a partir ya de primer curso. Por tanto, era imprescindible dotarla de un cierto nivel de "baja intensidad matemática" sin que, por ello, los temas perdieran rigurosidad. Las ecuaciones básicas de la Termodinámica aplicadas a volúmenes de control en régimen no estacionario requieren el uso de integrales de superficie y de volumen. Su prematura introducción, podría inducir al desaliento en alumnos que carezcan de la debida preparación. En [1], aunque se trata de un texto de mecánica de fluidos, están muy bien explicadas estas ecuaciones. También en [2]. Otros temas que se han obviado en este capítulo, son los que analizan los efectos de los campos eléctricos y magnéticos en los sistemas que presentan interacciones de esta clase. En [3] se presentan, de manera sencilla y asequible, distintas formas de trabajo, además del mecánico. 35

Ingeniería térmica

Bibliografía [1] White, F. Mecánica de fluidos. McGraw-Hill, 2004. [2] White, F. Heat and Mass Transfer. Addisson Wesley, 1991 [3] Reynolds, W.C., Perkins, H.C. Ingeniería Termodinámica. McGraw-Hill, 1980.

36

Capítulo 4

Entropía y segundo principio 4.1 Introducción En capítulos anteriores, se ha estudiado el concepto de proceso termodinàmico como cualquier variación natural o inducida en el estado de un sistema termodinàmico. Un proceso se realiza en una dirección. La dirección de un proceso viene determinada por el camino o sucesión de estados desde el estado inicial hasta el estado final. La dirección, que también podría llamarse camino o trayectoria, puede representarse mediante la sucesión de estados en un diagrama termodinàmico (véase la figura 4.1). Con relación a la dirección de los procesos, los sistemas termodinámicos presentan dos peculiaridades, a) la imposibilidad de invertir un proceso espontáneo y b) la incertidumbre sobre la posibilidad de llevar a cabo un determinado proceso termodinàmico a partir únicamente de los principios de conservación. a) Si un sistema termodinàmico se abandona a sí mismo, evolucionará espontáneamente hasta alcanzar un estado de equilibrio, tanto internamente como con su entorno. No es posible invertir un proceso espontáneo de forma natural, es decir, sin invertir trabajo u otras formas de energía. Por ejemplo, la lenta oxidación de un metal de hierro abandonado a la intemperie. La masa de óxido resultante puede reconvertirse en hierro, pero es evidente que deberemos emplear una cierta cantidad de energía en el proceso. b) Para que un proceso sea posible es necesario que se cumpla el primer principio, es decir, el principio de conservación de la energía. Sin embargo, no basta con esta condición. Por ejemplo, consideremos la siguiente posibilidad, una máquina térmica trabaja entre 700 y 25 °C y transforma, mediante un proceso cíclico, calor en trabajo de manera que produce 18 kW por cada 22 kW de calor por unidad de tiempo que absorbe. Los 4 kW restantes se disipan al medio ambiente. Pues bien, este proceso no es posible (véase el apartado 4.7), aunque se cumple rigurosamente el principio de conservación de la energía. La condición que hay que tener presente para decidir si un proceso es o no viable viene impuesta por el segundo principio de la termodinámica, que puede tener diversos enunciados. 37

_

Ingeniería térmica

Figura 4.1 - Proceso en un diagrama termodinàmico

Ejemplo n° 9 Un cilindro provisto de émbolo contiene aire a 20 °C y 100 kPa. El gas ocupa un volumen de 2,5 litros (véase la figura 4.2). La pared del cilindro es adiabática. Manteniendo el émbolo en posición de bloqueo, suministramos calor al gas mediante una resistencia eléctrica hasta que éste alcanza una temperatura de 125 °C. En este momento se deja expandir el gas hasta la presión inicial. Calcular, considerando comportamiento de gas perfecto, a) la masa de gas, b) la energía suministrada al gas mediante el efecto Joule, c) el trabajo de expansión obtenido en el émbolo. Se ha representado de forma cualitativa el proceso en un diagrama p-v (véase la figura 4.3). Para calcular la masa de gas utilizaremos la ecuación de estado del gas ideal aplicada en el estado inicial: p1 V1 = m R' T1 y

𝒎𝒎 =

𝒑𝒑𝟏𝟏 𝑽𝑽𝟏𝟏 𝑹𝑹´𝑻𝑻𝟏𝟏

𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏·𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ·𝟐𝟐,𝟓𝟓·𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑

= 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟏𝟏 (𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟏𝟏𝟏𝟏+𝟐𝟐𝟐𝟐) = 0,00297 kg

Figura 4.2 - Cilindro con émbolo (ejemplo n° 9)

38

Entropía y segundo principio

Figura 4.3 - Proceso correspondiente al ejemplo n° 9

El proceso 12 transcurre a volumen constante, por tanto:

𝑚𝑚 = p1

273,15 + 125 T2 = 100 = 135,8 kPa T1 273,15 + 20

En este proceso 12, el primer principio, establece: 2

0 = 𝑞𝑞12 = u2 − u1 + � p dv − |Wroz | 1

|wroz| = cv(T2 - T1) = 0,717 (125 - 20) = 75,29 kj/kg Para calcular la temperatura T3 utilizaremos la ecuación de las transformaciones adiabáticas sin rozamiento: T3 =T2

ρ3 (k-1)/k 100 (1,4−1)/1,4 = 398,15 � � = 364,8 𝐾𝐾 p2 135,8

En el proceso 23 se cumple:

0 = q23 = U3 - U2 + W23 y el trabajo de expansión es: W23 = U2 - U3 = 0,717 (398,15 - 364,8) = 23,91 kJ/kg Obsérvese que en este proceso, aun siendo reversible y realizado por un sistema adiabático, el porcentaje de transformación de calor, aportado al sistema en forma de trabajo de eléctrico, en trabajo de expansión ha sido inferior a 32%.

39

Ingeniería térmica

4.2 Enunciados de Clausius y Kelvin-Planck del segundo principio de la termodinámica

El enunciado de Clausius establece que no es posible concebir un sistema que pueda funcionar de manera que su único efecto sea la transferencia de calor de un cuerpo frío a otro más caliente. Este enunciado niega toda posibilidad de desarrollar un ciclo de refrigeración o de bombeo de calor sin un consumo de trabajo. El enunciado de Kelvin y Planck afirma que no es posible desarrollar un sistema que opere según un ciclo termodinàmico de manera que ceda una cantidad neta de trabajo a su entorno si recibe calor de una única fuente térmica. Este enunciado no niega que sea posible producir trabajo a partir de un sistema que absorbe calor de una unica fuente termica, se limita a afirmar que ello no será posible si se pretende que el sistema funcione según un ciclo termodinàmico. Ambas formulaciones son, en el fondo, equivalentes. Se constata verificando que la violación de cada una de ellas implica la violación de la otra [1].

4.3 Procesos reversibles e irreversibles Un proceso es irreversible si una vez concluido no resulta posible restituir al sistema y al medio que lo circunda, el entorno, a sus respectivos estados iniciales sin consumo energético. En los procesos irreversibles, conviene hacer notar que si se restituye un sistema a su estado inicial será a costa de alterar, de alguna manera, el estado original del entorno. En un proceso irreversible los sucesivos estados por los que pasa el sistema no son estados de equilibrio y, por tanto, tampoco será posible conocerlos; el proceso entre los estados inicial y final del sistema, termodinamicamente, es irrepresentable. Un proceso es reversible si una vez concluido resulta posible restituir al sistema y al medio que lo circunda, el entorno, a sus respectivos estados iniciales. En esta clase de procesos todos los estados del sistema pueden ser considerados estados de equilibrio, son procesos de cuasiequilibrio. Por tanto, se trata de estados conocidos y el proceso es representable termodinàmicamente. Los procesos irreversibles son los que se dan en la naturaleza. Todos los procesos reales son irreversibles. Por contra, los procesos reversibles constituyen una idealización, nunca se dan. No obstante, se recurre muy frecuentemente a ellos porque son de gran utilidad al hacer posible la comparación de las "prestaciones" que ofrece un proceso real respecto a las de un proceso idealizado y, por consiguiente, óptimo. De hecho, los procesos irreversibles presentan distintos grados de irreversibilidad, de tal forma que ciertos procesos irreversibles pueden asimilarse, mejor que otros, a procesos reversibles. Los procesos irreversibles se caracterizan por la incorporación de uno o más de los efectos que a continuación se relacionan:

40

Entropía y segundo principio   

Transferencia de calor mediante un gradiente térmico finito. Expansión libre de un fluido hasta una presión inferior a la de origen. Rozamiento mecánico. Éste incluye los efectos puros de fricción mecánica y los asociados a la viscosidad de los fluidos.



Disipación de calor por efecto Joule.



Deformación inelástica.



Magnetización y polarización con efecto de histéresis.



Reacciones químicas espontáneas.



Mezclas espontáneas de sustancias de diferente composición o estado.

En consecuencia, un proceso será considerado reversible en el caso límite de que las irreversibilidades, tanto internas como externas, se hayan reducido hasta tal extremo que puedan ser ignoradas por menospreciables. Por ejemplo, la transferencia de calor con una diferencia de temperaturas que tienda a cero, lo cual seguramente exija que el proceso tenga lugar en un intervalo de tiempo infinito y/o a través de una superficie infinita de intercambio de calor. En los procesos reales, es decir, irreversibles, las irreversibilidades se presentan en el sistema, en su entorno o en ambos. Se dice que un sistema experimenta un proceso internamente reversible cuando en su seno nada hace que el proceso sea irreversible, es decir, cuando en el sistema no hay irreversibilidades internas. Nótese que esta posibilidad no contradice la posible irreversibilidad de un proceso, esto sucede cuando el sistema transfiere calor al entorno a causa del gradiente térmico existente entre la temperatura del contorno del sistema y la temperatura del medio que rodea al sistema.

4.4 La desigualdad de Clausius La desigualdad de Clausius es un corolario del segundo principio de la termodinámica que puede tener diversos enunciados; por ejemplo, que no es posible transformar íntegramente calor en trabajo mediante un proceso cíclico, aun empleando una máquina térmica reversible ideal. Existe una limitación en el grado de transformación, impuesta por el factor de Carnot. En el apartado 4.9 estudiaremos este tema. La desigualdad de Clausius, que se aplica a un proceso cíclico, establece que: 𝛿𝛿𝛿𝛿 ≤0 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐,∑ 𝑇𝑇𝑓𝑓

�

(60)

Donde δQ es el calor transferido a través de la frontera del sistema durante una porción de ciclo y Tf es la temperatura absoluta en dicha parte de la frontera. El símbolo Σ indica que la integral es de superficie y que está extendida a toda la superficie de la frontera, ∫ciclo es para expresar que la integral afecta a todo el ciclo del sistema (véase la figura 4.4a). El signo < se aplica a un proceso internamente irreversible y el signo igual a un proceso reversible. 41

_

Ingeniería térmica

Figura 4.4a - Sistema termodinamico

Si el proceso es internamente reversible, la temperatura T del sistema coincide con la temperatura Tf de su frontera en cada etapa del ciclo. Es decir, cuando el sistema recibe calor de una fuente térmica 1 que se halla a la temperatura T1, el sistema se halla a la temperatura Tf1 = T1, y cuando cede calor a una fuente térmica que se halla a la temperatura T2, el sistema se halla a la temperatura Tf2 = T2. La demostración de la desigualdad de Clausius se puede encontrar en [1].

4.5 Concepto de entropía El término δQrev/T es la expresión de la variación diferencial de una nueva variable termodinámica denominada entropía. La variación finita de entropía entre 1 y 2 es por definición: 2 δQ rev ≤0 ΔS = � (61) T 1 El subíndice rev indica que la transferencia de calor corresponde a un proceso internamente reversible entre los estados 1 y 2. Es fácil comprobar que la entropía es una propiedad, es decir, que la integral entre 1 y 2 no depende del camino sino sólo de los estados inicial y final del proceso.(1) La desigualdad de Clausius aplicada a un ciclo 1a2b1, internamente reversible (véase la figura 4.4b) es: 42

Entropía y segundo principio

Figura 4.4b - Proceso cíclico 1 a 2 b 1

o bien:

𝛿𝛿𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛿𝛿𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛿𝛿𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =� −� 𝑇𝑇 𝑇𝑇 𝑇𝑇 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 1𝑎𝑎2 2𝑏𝑏1

�

𝛿𝛿𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛿𝛿𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛿𝛿𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =� −� 𝑇𝑇 𝑇𝑇 𝑇𝑇 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 1𝑎𝑎2 1𝑏𝑏2

� en consecuencia:

∫1𝑎𝑎2

𝛿𝛿𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑇𝑇

= ∫1𝑏𝑏2

𝛿𝛿𝑄𝑄𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑇𝑇

con lo cual queda demostrado que la entropía es una propiedad termodinámica.

4.6 Entropía y desorden El movimiento de las moléculas de un gas contenido en un recipiente sugiere el concepto de estados relacionados con el orden o desorden. Sin pretender entrar a fondo en esta cuestión, es evidente que cuanto mayor sea el grado de excitación o agitación de

(1) La introducción del concepto de entropía no es fácil, sobre todo la demostración de que la entropía es una propiedad. Baehr [2] lo lleva a cabo a partir de la deducción del llamado factor integrante en la expresión dU + p dV. Otro autor consagrado, Zemansky [3], procede de la misma forma. Reynolds y Perkins [4] realizan el análisis a partir del concepto de desorden y empleando métodos estadísticos. Glasstone [5], un clásico de la Termodinámica, parte de la consideración de que un ciclo reversible puede asimilarse a un número infinito de ciclos de Carnot. Finalmente, Moran y Shapiro [1] y Paires [6] escogen como punto de partida la desigualdad de Clausius. Esta enumeración de métodos no pretende ser exhaustiva, sinó sólo orientativa. El punto de visto de vista de Moran y Shapiro es el adoptado por los autores.

43

Ingeniería térmica las moléculas mayor será el desorden. Si un sistema evoluciona libremente hacia un estado de equilibrio, éste debe ser el de mayor probabilidad. Por tanto, el estado más probable es el de máxima entropía. Un líquido está más ordenado que un gas y un sólido más ordenado que un líquido. En las mismas condiciones, la entropía de sólidos y líquidos es menor que la de un gas. Existe pues una relación entre la entropía y el orden molecular. La entropía refleja el grado de incertidumbre sobre el estado físicamente determinado de todos los componentes moleculares de un sistema. Consideremos un sistema constituido por un gas a presión y temperatura perfectamente determinadas. No podemos conocer el estado de cada molécula en cada instante. Si el estado es más ordenado, su entropía será menor y, aunque seguiremos sin conocer el estado microscópico de las moléculas, el grado de incertidumbre sobre la predecibilidad de un estado determinado será menor. Podremos afirmar que éste u otro estado tienen una probabilidad más alta. La entropía es una herramienta útil en el análisis de sistemas y procesos termodinámicos, no obstante, su concepto es sutil y de comprensión difícil. No es tan importante preguntarse qué es la entropía, sino para que sirve. En general, el esfuerzo humano va encaminado a aumentar el grado de organización de los sistemas termodinámicos. Un sistema bien organizado estará en mejor disposición que otro a la hora de producir beneficios. Es evidente la relación entre la entropía y el quehacer humano. El primer principio establece:

δQ = dU + p dV

sustituyendo en (61) resulta: ΔS = �

2

1

dU + qdV T

(62)

Es evidente que para un proceso adiabático e internamente reversible: ΔS adiab. y rev. = 0 Si el proceso es adiabático e internamente irreversible, recordando que: y por tanto:

dU + p dV - δ|Wr| = 0 dU + p dV = δ|Wr| > 0

en consecuencia: ΔS adiab. y rev. > 0 Desigualdad muy importante que también constituye un corolario del segundo principio de la termodinámica. Así pues, en general:

44

________________________________________ Entropía y segundo principio ΔS adiab. y rev. > 0

(63)

Un sistema no adiabático puede presentar una variación negativa de entropía. En ello no hay ninguna contradicción con el segundo principio. Sólo los sistemas adiabáticos han de cumplir la relación (63). Un sistema y su entorno (sistema ampliado (sa)) constituyen un sistema aislado y en consecuencia su contorno es adiabático; Es decir, cualquier variación de la entropía del sistema viene acompañada de la correspondiente variación de entropía del entorno, y ésta regulada por la ecuación anterior. Si dirigimos nuestro esfuerzo a aumentar el orden o grado de organización de un sistema, su entropía disminuirá con lo que obtendremos un beneficio. No obstante, inevitablemente, la entropía del medio aumentará más que la disminución de la entropía del sistema. Dicho de otra forma, el desorden en el medio aumenta más que el orden en el sistema. También en clave económica, podemos afirmar que la pérdida es mayor que la ganancia. La diferencia radica en que la ganancia es a corto plazo y la pérdida a largo plazo porque la sufre el medio. Esta noción no es, en absoluto, contraria al progreso. El hombre debe utilizar los recursos (aumento de entropía) de forma controlada con el fin de que el ritmo de crecimiento de la entropía del medio sea lo menor posible. Sin embargo, éste es inevitable.

4.7 Entropía de un gas ideal Para calcular la variación de entropía de un gas ideal resulta conveniente utilizar (62) o bien la que resulta de introducir la propiedad entalpia; ΔS = �

2

1

dH + Vdp T

(64)

En los cálculos, frecuentemente se utilizan magnitudes específicas; ΔS = �

2

1

Δs = �

2

1

dU + q dV T dh + v dp T

(65) (66)

Si se trata de un gas ideal, cumple pv = R' T y además dh = Cp(T)dT y du = Cv(T)dT. En consecuencia:

45

Ingeniería térmica

Δs = �

2

1

Δs = �

2

1

cp (T)dV v2 - R' ln T v1

cp (T)dV p2 - R' ln p1 T

(67) (68)

Si el gas ideal es perfecto, los calores específicos son constantes y por tanto.

∆s = cv ln

∆s = cv ln

T2 T1

T2 T1

+ R' ln

+ R' ln

v2 v1

p2 p1

(69) (70)

Es muy útil, en ocasiones, considerar un proceso isentrópico como el proceso termodinámico ideal de referencia para un proceso real que, evidentemente, no es isentrópico. Por ejemplo, en turbinas, compresores, toberas y difusores tienen lugar expansiones o compresiones que pueden ser adiabáticas, pero nunca isentrópicas. Si un proceso de compresión (véase la figura 4.5) viene dado por la trayectoria o camino 12, el proceso isentrópico correspondiente, entre las mismas presiones de referencia, sería el representado por el camino 12s. Se define el rendimiento isentrópico de la compresión a partir del cociente de entalpias: ℎ2𝑠𝑠 − ℎ1 𝜂𝜂𝑐𝑐𝑐𝑐 = (71) ℎ2 − ℎ1 Se ha representado con el subíndice s el correspondiente estado isentrópico.

Si se trata de un proceso de expansión, como el que puede tener lugar en una tobera o en una turbina, representado por el camino 12 (véase la figura 4.6):

Figura 4.5 - Proceso de compresión

46

Entropía y segundo principio

Figura 4.6 - Proceso de expansión

ℎ −ℎ

𝜂𝜂𝑡𝑡𝑡𝑡 = ℎ 1−ℎ 2 1

2𝑠𝑠

(72)

donde es el rendimiento isentrópico de la expansión.

Ejemplo n° 10 Determinar la variación de entropía que experimenta una corriente de aire a 300 kPa y 125 °C que expansiona hasta la presión de 100 kPa (véase la figura 4.7) en las dos situaciones siguientes, a) Flujo en una tobera convergente-divergente de rendimiento isentrópico nts = 0,85. b) Flujo en una estrangulación brusca en condio-

b)

Figura 4.7 - Figura correspondiente al ejemplo n° 10

47

Ingeniería térmica nes isentálpicas. Considérese para el aire el modelo de gas perfecto con cp = 1.004,5 J/(kg K) y k = 1,40. a) El flujo en la tobera tiene lugar en condiciones adiabáticas. Si se idealiza suponiendo que es internamente reversible, entonces no habrá cambio de entropía. En estas condiciones: 1,4−0,4 0,4

p2 (k-1)/k 100 T2s =T1 = (125 + 273,15) � � p1 300

admitiendo el modelo de gas perfecto:

ηts =

= 290,9K (t 2s = 17,9ºC)

h1 − h2s cp (T1 − T2s ) T1 − T2s = = h1 − h2 cp (T1 − T2 ) T1 − T2

por lo que la temperatura del aire al final del proceso internamente irreversible es: T2 = T1 - hts(T1 - T2s) = 398,15 - 0,85(398,15 - 290,9) = 307,0 K (t2 = 33,8 °C) La variación de entropía es: p T2 307 100 ∆s = cv ln + R' ln 2 = 100,4,5 ln + 287 ln = 54,1J(kgK) T1 p1 398,15 300 b) El flujo en la estrangulación es a h = Cte, según se deduce de la ecuación de la energía (52), si se cumplen las siguientes hipótesis: cambios despreciables de las energías cinética y potencial a lo largo de la estrangulación, flujo adiabático e internamente irreversible con fuerte caída de presión. Por suponer gas perfecto, h = Cte lo que implica T = Cte'. Por tanto: ∆s = - R' ln p2/p1 = 315,3 J/(kg K) Es interesante observar que la variación de entropía es mucho más acusada en la estrangulación brusca que en la expansión adiabática.

4.8 Generación de entropía y flujo de entropía Consideremos que el ciclo de la figura 4.4b esté ejecutado por un sistema cerrado. El camino 1a2 supondremos que es internamente irreversible y el de regreso 2b1 admitamos que sea reversible. Para este ciclo, la desigualdad de Clausius (60) se expresa como sigue: δQrev δQ δQ � =� -� = -PS < 0 (73) ciclo,Σ Tf 1a2 Tf 2b1 T

donde Ps es un término que representa la producción de entropía o la entropía generada en el sistema a causa de las irreversibilidades internas inherentes al proceso que tiene lugar.

48

Entropía y segundo principio Ps es positivo siempre que se presenten irreversibilidades internas, es nulo si éstas no se presentan y en ningún supuesto el término puede ser negativo. Obsérvese que la integral extendida al proceso 1a2 (irreversible) incluye el subíndice f en la temperatura a fin de recordar que el integrando se ha de calcular en la frontera del sistema. En la segunda integral no se precisa el subíndice puesto que al ser el proceso 2al internamente reversible, la temperatura del sistema es uniforme en cada uno de sus estados intermedios y, en particular, coincide con la temperatura de su frontera. Por otra parte, esta integral no contribuye en modo alguno a la generación de entropía, de modo que Ps se ha de referir necesariamente a las irreversibilidades internas del proceso asociado a la etapa irreversible. En resumen, la situación es la siguiente: δQ rev � = ΔS2a1 = S1 − S2 T 2a1

Sustituyendo en (73) y reordenando términos se obtiene el balance de entropía de los sistemas cerrados: 2 δQ � + PS = S2 − S1 (74) 1 Tf Que se interpreta como sigue, la transferencia de entropía asociada al flujo térmico más la generación interna de entropía es igual al cambio de entropía que experimenta el sistema.

La transferencia o flujo de entropía tiene dirección y marca una variación positiva o negativa de la entropía. La entropía generada siempre es positiva. Si un sistema se enfría el flujo de entropía abandona el sistema y por tanto pueden tener lugar variaciones negativas del flujo de entropía, que serán parcialmente compensadas con variaciones positivas debidas a la generación interna de entropía. El resultado puede ser una variación total negativa, y esto no contradice el segundo principio, que establece claramente que sólo en procesos adiabáticos la variación de entropía debe ser siempre positiva.

4.9 Transformación de calor en trabajo mediante procesos cíclicos 4.9.1 Introducción Mediante un proceso de expansión en un cilindro adiabático provisto de émbolo, en el ejemplo 9 hemos visto como el calor generado dentro del cilindro mediante una resistencia eléctrica se transformaba, en parte, en trabajo. En general, la técnica precisa un suministro continuo de trabajo. Para ello es necesario recurrir a procesos cíclicos que, periódicamente, devuelven el sistema al estado inicial y, en consecuencia, se produce trabajo de forma continua con un ritmo determinado por la frecuencia de los ciclos.

49

Ingeniería térmica El dispositivo que permite la transformación de calor en trabajo mediante un proceso cíclico recibe el nombre de máquina térmica. Para que el sistema realice trabajo se tendrá que aportar calor, y esto se deberá hacer desde un nivel térmico más elevado que el del sistema. Este nivel térmico lo denominaremos reservorio caliente o foco térmico caliente (FC). Intuitivamente, podemos llegar a la conclusión que se necesita un segundo nivel térmico, denominado reservorio frío o foco frío (FF), para absorber la energía disipada por las irreversibilidades del sistema. Recuérdese que no es posible transformar calor en trabajo mediante un proceso cíclico que opere con un solo reservorio térmico (enunciado de Kelvin y Planck del segundo principio. Ahora, una vez introducida la entropía, estaríamos en condiciones de demostrarlo fácilmente.

Figura 4.8 - Máquina térmica operando con un solo foco térmico

Consideremos el proceso indicado en la figura 4.8. Supongamos que el proceso cíclico es internamente reversible. Sólo existe un reservorio térmico caliente (FC) y un sistema que produce trabajo. La variación total de entropía para un ciclo será la debida al reservorio térmico más la debida al sistema. Esta suma ha de ser nula, ya que el conjunto constituye un sistema aislado, es decir, adiabático; ∆S = ∆Ssistema+ ∆SFC = 0

(75)

La variación de entropía de un sistema que realiza un proceso cíclico reversible es nula, puesto que la entropía es una propiedad termodinámica. En consecuencia, la variación de entropía del reservorio térmico también tendría que ser nula, y esto no es posible porque el flujo de entropía abandona el depósito caliente, en cuyo caso la entropía de éste tiene que disminuir.

4.9.2 Máquina térmica reversible La máquina térmica reversible (MTrev) ha de operar entre dos reservorios (FC y FF) (véase la figura 4.9) según un proceso cíclico. Por supuesto, el concepto de reservorio implica que su temperatura permanece constante pese al flujo de calor. Llamaremos T a la temperatura del FC y T0 la temperatura del FF. 50

Entropía y segundo principio El conjunto formado por los dos reservorios y el sistema constituye un sistema ampliado aislado, y por tanto adiabático, en consecuencia: ∆Ssa = ∆SFC + ∆SFF + ∆Ssistema = 0

(76)

La variación de entropía del sistema ∆Ssistema es nula por tratarse de un proceso cíclico. Las variaciones de entropía de los focos FC y FF serán: ∆SFC + ∆SFF = −

|Q| �Q0 � + =0 |T| T0

(77)

donde |Q| es el calor cedido al sistema por el FC y |Q0| el cedido por el sistema al FF. Se han colocado los términos de calor entre barras, es decir, en valor absoluto, para prescindir del signo termodinàmico del calor. El primer término lleva el signo menos porque la variación de entropía del FC corresponde a una disminución. Es interesante considerar la relación entre los flujos de calor y las temperaturas:

|Q| T = |Q 0 | T0

(78)

Como se verá más adelante, esta expresión es básica para definir una escala termodinámica de temperaturas. El balance energético del sistema es: |Q|=|Q0|+|W|

(79)

Despejando |Q0| de (77) y sustituyendo en (79),

Figura 4.9 - Máquina térmica operando con dos focos térmicos

51

Ingeniería térmica

|W| |Q|

=1−

T0 T

(80)

El cociente |W|/|Q| es el rendimiento ηc del proceso. Así pues: 𝑇𝑇

𝜂𝜂𝑐𝑐 = 1 − 𝑇𝑇

0

(81)

Este rendimiento, denominado rendimiento de Carnot, aunque fácil de obtener, es sorprendente por sus consecuencias. El rendimiento de una máquina térmica reversible operando entre dos focos térmicos a las temperaturas T y T0 sólo depende de estas temperaturas. Por otra parte, este rendimiento es el máximo posible como se demostrará en el siguiente apartado para una máquina térmica, operando entre estas temperaturas. Si es el máximo posible, obsérvese que es inferior a la unidad. No se puede transformar íntegramente calor en trabajo en una máquina térmica reversible operando entre las temperaturas T y T0. Además, (81) permite definir una escala de temperaturas independiente de las propiedades de las sustancias termométricas, ya que sólo depende de los flujos de calor asociados a los procesos reversibles que se consideran. Por ejemplo, consideremos un reservorio a la temperatura T que transfiere reversiblemente calor Q al sistema. A su vez, el sistema transfiere calor Q0, también de manera reversible, a un reservorio frío que contiene hielo, agua líquida y vapor en equilibrio (punto triple). Al FE le asignamos, arbitrariamente, una temperatura de 273,16 K. De (78), la temperatura T del FC vendrá dada por: T = 273,16

|𝑄𝑄| 𝑄𝑄0

(82)

La ecuación (82) sirve para definir la escala termodinámica de temperaturas, pero no para determinar valores numéricos de esta escala. El concepto de proceso reversible sólo está en nuestra imaginación, puesto que no resulta posible realizarlo. Para medir temperaturas de forma práctica hemos de recurrir al termómetro de gas cuya escala de temperaturas coincide con la escala termodinámica [2].

4.9.3 Máquina térmica irreversible Tratándose de una máquina térmica irreversible (MTirrev) que opera según un proceso cíclico: δQ � + P S = ΔS = 0 ciclo,Σ Tf y puesto que Ps > 0:

52

Entropía y segundo principio �

ciclo,Σ

δQ >0 Tf

(83)

es decir: 𝑃𝑃𝑠𝑠 = −

|Q| �Q0 � + >0 |T| T0

(84)

Ps es, precisamente, la entropía generada o la entropía producida a causa de las irreversibilidades internas del sistema. Teniendo en cuenta el balance energético entre las transferencias de calor y el trabajo obtenido es fácil deducir:

𝜂𝜂 =

𝑇𝑇 − 𝑇𝑇0 𝑇𝑇0 𝑃𝑃𝑆𝑆 − |𝑄𝑄| T

(85)

El sustraendo de (85) es intrinsecamente positivo, por lo que el rendimiento de la máquina térmica irreversible es menor que el minuendo que es, precisamente, el factor de Carnot. El término T0 Ps representa la energía degradada a causa de las irreversibilidades internas o, dicho de otra forma, la energía no utilizable, concepto éste muy importante que desarrollaremos en los apartados siguientes. Otra observación interesante es que esta energía no utilizable es tanto mayor cuanta más alta es la temperatura del foco frío. Es evidente que el calor, por ejemplo, no se puede evaluar sólo por la cantidad, sino también por su calidad. La calidad del calor está relacionada con la temperatura a la que se transmite al sistema para realizar trabajo. Gran cantidad de calor transferido a baja temperatura es de escasa o nula utilidad.

4.10 Energía utilizable. Exergía 4.10.1 Concepto de energía utilizable El instrumento más útil para analizar el comportamiento de los sistemas a la luz del segundo principio es la entropía. Sin embargo, esta magnitud termodinámica no tiene dimensiones de energía. Una magnitud equivalente a la entropía, pero con dimensión energética, es la energía utilizable Eu, también denominada capacidad de trabajo técnico o energía disponible. El concepto termodinàmico de energía utilizable es más reciente que el de entropía, que se utiliza para medir la degradación de la energía en un proceso determinado. Estrictamente, representa el trabajo máximo que puede desarrollar un sistema abierto o cerrado (mediante transformaciones energéticas) hasta una situación de equilibrio con un medio. Las condiciones de este medio son las de un estado muerto o de estancamiento (P0, T0), puesto que a partir de éste no es posible obtener más trabajo.

53

Ingeniería térmica A continuación, obtendremos la energía utilizable de un sistema abierto estacionario, denominada también energía utilizable de flujo o, simplemente, exergía de flujo. Nos referiremos sólo a los sistemas abiertos en régimen estacionario dado que técnicamente son los procesos de mayor interés práctico. Aunque el problema se plantee como la obtención de la energía utilizable de un sistema abierto, en realidad equivale a la obtención de la energía utilizable de un fluido que realizará cierto trabajo en un sistema abierto. De ahí el nombre de energía utilizable de flujo o energía de flujo. El concepto de energía utilizable aplicado a sistemas cerrados puede estudiarse en [1]. Consideremos un fluido que entra en un sistema abierto a la temperatura T y presión p. Hagamos evolucionar el fluido hasta el estado muerto, primero, mediante un proceso de expansión adiabática y, a continuación, mediante un proceso de expansión o compresión isotérmica, según sea p mayor o menor que p0. Para evitar irreversibilidades que disminuirían el trabajo obtenido, supondremos que ambos procesos son reversibles (véase la figura 4.10). Sea 1 el estado inicial, 2 el estado intermedio y 0 el estado de estancamiento. Para el proceso isentrópico 12 (s1 = s2), el primer principio aplicado a sistemas abiertos establece que:

0 = h2 - h1 +

2

2

c2 - c1 2

+ g(z2 - z1 ) + wm12

(86)

donde es el trabajo específico interno de máquina obtenido en el proceso 12. De la misma forma para el proceso 20:

𝑞𝑞20 = 𝑇𝑇0 (𝑠𝑠0 − 𝑠𝑠2 ) = ℎ0 − ℎ2 +

𝑐𝑐02 − 𝑐𝑐22 + 𝑔𝑔(𝑧𝑧0 − 𝑧𝑧2 ) + 𝑤𝑤𝑚𝑚20 2

donde Wm12 es el trabajo específico interno de máquina del proceso 20:

Figura 4.10- Obtención del trabajo máximo

54

(87)

Entropía y segundo principio Despejando el trabajo de máquina en ambas expresiones y sumándolas, se obtiene:

wm10 = h1 - h0 +

2

2

c1 -c0 2

+ g(z1 -z0 ) - T0 (s1 - s0 )

Además, se considera, por razones obvias, que z0 = 0 y c0 = 0. En consecuencia, el trabajo específico máximo obtenido o bien la energía específica utilizable eu sería, para un estado cualquiera: 𝑐𝑐 2 e𝑢𝑢 = h − h0 + + gz − T0 (s0 − s) (88) 2 Como puede observarse, la energía utilizable no es una propiedad. Sin embargo, la función: e = h- h 0 - T 0 ( s- s 0 )

(89)

denominada, exergía de flujo, sí que lo es si fijamos T0. Por tanto, la exergía se podrá representar en los diagramas termodinámicos igual que cualquier otra propiedad termodinámica (véase la figura 4.11). La energía utilizable coincide con la exergía cuando se puede prescindir de la energías cinética y potencial.

Figura 4.11 - Diagrama térmico e - s para el vapor de agua

55

Ingeniería térmica 4.10.2 Exergía del trabajo y del calor El concepto de energía utilizable se amplía al trabajo que entra o sale de un sistema abierto y al calor. Las transferencias de calor y trabajo tienen lugar independientemente de las energías cinética y potencial. Por tanto, podemos hablar de exergía del trabajo y exergía del calor. En el trabajo, dado que es una forma de energía directamente utilizable, se considera que la exergía del trabajo mecánico es íntegramente el trabajo mecánico: (90) e(w) = w en el calor, la exergía es la que obtendríamos mediante una transformación reversible en una máquina térmica. La transferencia de exergía por calor es: 2

𝑇𝑇

e(q)=∫1 �1 − 0� δq Tf

(91)

El paréntesis representa la fracción del calor que se transforma en trabajo en una MTrev cuando las temperaturas de los focos térmicos no son constantes a lo largo de la frontera del sistema.

4.10.3 Balance de exergías No existe un principio de conservación de la energía utilizable al igual que tampoco existe para la entropía. En la entropía, hay generación, y en la energía utilizable, destrucción. Aun así, se pueden llevar a cabo balances de energía utilizable aceptando un flujo exergético de salida como equivalente a una pérdida o destrucción. Realicemos un balance de exergías específicas en el sistema mostrado en la figura 4.12, cuya temperatura de contorno Tf es constante. El balance se lleva a cabo en términos de "exergías entrantes igual a exergías que salen más exergía destruida". Obsérvese que nos referimos a un "balance de exergías" porque no se tendrán en cuenta las energías cinéticas ni las potenciales: e1 = - (1 - T0/Tf) q + e2 + w + i

(92)

En el balance, i es la exergía específica destruida en el proceso y recibe el nombre de irreversibilidad. En los procesos internamente irreversibles es siempre positiva, es nula en los reversibles y en ningún supuesto es negativa. Por otra parte, la transferencia de exergía asociada al calor va precedida por un signo menos puesto que q < 0. Expresado de otra forma, todos los sumandos del segundo miembro son positivos. Dado que: q = h2 - h1 + w

y

e1 - e2 = h1 - h2 - T0(s1 - s2)

es fácil obtener: i = T0(S2 - S1) - (T0/Tf) q 56

(93)

Entropía y segundo principio

Figura 4.12 - Balance de exergías en un sistema abierto

Ahora bien, para un proceso elemental y para la unidad de masa de fluido, el segundo principio establece que: δq + 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 Tf

siendo dps la generación elemental de entropía de la unidad de masa de fluido a causa de las irreversibilidades internas del proceso. Multiplicando la expresión por Tf, integrando desde 1 hasta 2 y reordenando términos resulta: 2

2

𝑞𝑞 = � 𝑇𝑇𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑 − � 𝑇𝑇𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑠𝑠 = 𝑇𝑇𝑓𝑓 (𝑠𝑠2 − 𝑠𝑠1 ) − 𝑇𝑇𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑠𝑠 1

1

(94)

y sustituyendo en (93): i = T0 ps

(95)

Obsérvese que siempre que se consideren procesos irreversibles, tendremos trabajo de rozamiento y, en consecuencia, siempre habrá destrucción de exergía.

4.10.4 Rendimiento exergético No existe una definición estandarizada para el rendimiento exergético. En general, se define a partir de un cociente en el que en el numerador tendríamos la exergía útil y en el denominador la exergía empleada. Así, por ejemplo, para una turbina, el rendimiento exergético es:

𝜂𝜂𝑒𝑒 =

𝑤𝑤𝑡𝑡 𝑒𝑒1 − 𝑒𝑒2

(96)

57

Ingeniería térmica y para un compresor:

𝜂𝜂𝑒𝑒 =

siendo wc = - wcompresor

𝑒𝑒1 − 𝑒𝑒2 𝑤𝑤𝑐𝑐 ´

(97)

Ejemplo n° 11 Determinar la destrucción de exergía en una turbina alimentada con vapor recalentado a 3.000 kPa y 362 °C, de la cual el vapor sale vapor saturado a 131,5 °C. El trabajo específico interno de la turbina es 407 kj/kg. La temperatura media de la pared exterior de la turbina es 470 K. Considérese el medio exterior a 25 °C y 100 kPa como estado muerto. Véase la figura 4.13. Empezaremos aplicando la ecuación de la energía a fin de calcular el calor intercambiado entre la turbina y sus alrededores. Los valores de las entalpias y de las entropías se obtienen de las tablas de vapor, h1 = 3138,7 kJ/kg, h2 = 2720,5 kJ/kg, s1 = 6,7801 kj/(kg K), s2 = 7,0269 kj/(kg K) (ver apéndices B y C). q12 = h2 - h1 + Wt = 2720,5 -3138,7 + 407 = -11,2 kJ/kg De la ecuación (94) se obtiene la generación o producción de entropía por unidad de masa de fluido: ps = -

q 12 Tf

+ s2 - s1 = -

-11,2 470

+ 7,0269 - 6,7801 = 0,02383 + 0,2468 = 0,2706 kJ/(kg K)

y de (89), el cambio específico de exergía o variación de la exergía de flujo:

e1 - e2 = h1 - h2 - T0(s1 - s2) = 3138,7 - 2720,5 -298,15(6,7801 - 7,0269) = 418,2 + 73,58 = 491,8 kJ/kg

Figura 4.13 - a) Balance de exergías en una turbina, b) Balance de energías en la misma turbina

58

Entropía y segundo principio De (92), despejando la irreversibilidad i, calcularemos la exergía destruida: i = e1 − e2 + �1-

= 80,7 KJ/kg

T0 298,15 � q - wt = 491,8+ �1� (−11,2) − 407 = 491,8 − 4,1 − 407 Tf 470

A modo de resumen, se concluye: exergía del trabajo ................................. 407,00 kj/kg transferencia de exergía por calor .......

4,10 kJ/kg

exergía destruida ................................... 80,70 kJ/kg flujo exergético neto (e1 - e2) ................. 491,80 kJ/kg Por otra parte, se constata que según (95) la exergía destruida también se obtiene de la generación de entropía ps haciendo: i = T0 ps = 298,15 K · 0,2706 kj/(kg K) = 80,68 kJ/kg

Ejemplo n° 12 Deducir la eficiencia exergética de un intercambiador de calor de flujo a contracorriente que no intercambia calor con el exterior y en el que no se consideran pérdidas de presión debidas al rozamiento (véase la figura 4.14). Llevaremos a cabo un balance de potencias con las exergías de flujo. Tal como ilustra la figura, las exergías entrantes tienen subíndice 1 y las salientes 2. El subíndice c indica fluido caliente, es decir, el que cede calor, y el subíndice f significa fluido frío, es decir el que se calienta: ṁ c ec1 +ṁ f ef1 = ṁ c ec2 +mḟ ef2 + İ

i es la potencia exergética destruida o la irreversibilidad interna del intercambiador de calor. La expresión anterior se reescribe en la forma: ṁ c (ec1 − ec2 ) = ṁ f (ef2 − ef1 ) + İ

que se interpreta indicando que la potencia exergética que pierde el fluido caliente en el intercambiador es igual a la que gana el fluido frío más la que se destruye

Figura 4.14 - Balance de exergías en un intercambiador de calor

59

_

Ingeniería térmica

por la irreversibilidad del proceso. En consecuencia, la eficiencia exergética del intercambiador es: ṁ f (ef2 − ef1 )

ηe =

ṁ c (ec1 − ec2 )

4.11 Temas de ampliación No hemos estudiado el balance de exergía en un sistema cerrado. La diferencia básicamente está en la exergía que acompaña a una transferencia de trabajo entre dos estados 1 y 2, que en este caso es W12 - P0(V2 - V1). Este tema está magníficamente desarrollado en [1], Tampoco se han estudiado aplicaciones particulares de análisis exergéticos.

Bibliografía [1] Moran, M. J. y Shapiro, H.N. Fundamentos de Termodinámica Técnica. Editorial Reyerté, Barcelona, 2004. [2] Baehr H.D. Tratado Moderno de Termodinámica. José Montesó Editor, Barcelona, 1970. [3] Zemansky, M. W. Calor y Termodinámica. Editorial Aguilar, Madrid, 1973. [4] Reynolds, W. C. y Perkins, H.C. Ingeniería Termodinámica. McGraw-Hill, México, 1980. [5] Glasstone, S. Tratado de Química Física. Aguilar, Madrid, 1966. [6] Paires, V. M. Termodinámica. UTEHA, México, 1965.

60

Capítulo 5

TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN 5.1 Introducción El calor es una forma de energía que se transfiere a causa de los gradientes de temperatura. La Termodinámica establece dos únicos mecanismos básicos de transferencia de calor, la conducción y la radiación. El mecanismo de la conducción se produce a escala atómica o molecular con desplazamientos muy cortos de las unidades transportadoras de energía. En la radiación, las unidades que transportan energía son los fotones, éstos viajan a la velocidad de la luz y pueden realizar trayectos infinitamente más largos. Cuando la transferencia de energía se realiza entre una superficie de un sólido y un fluido que está en contacto con ella, aunque en las proximidades de la citada superficie el mecanismo de transporte sea el de conducción térmica, el fluido puede transportar energía debido a su movimiento natural o forzado. Es útil considerar el fenómeno en su conjunto, es decir, conducción en las proximidades de la superficie y transporte de energía asociado a la masa y la velocidad del fluido. En ingeniería, se dice que este mecanismo es de convección. Es importante tener claro que en la convección, por conveniencia, se consideran en realidad dos fenómenos distintos en uno, la conducción propiamente dicha y el transporte de energía por parte de un fluido. A efectos prácticos, pues, distinguiremos tres mecanismos de transmisión de calor, la conducción, la convección y la radiación. La ley básica de la conducción fue propuesta por el físico francés J.B. Fourier: qx = -k

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕

(98)

Es experimental y establece que el flujo de calor qx, en la dirección x, es proporcional al gradiente de temperatura en esta misma dirección. La constante de proporcionalidad k es una propiedad termomètrica muy importante denominada conductividad térmica. En el SI, k se mide en W/(m K). En realidad, el flujo de calor qx es una densidad de flujo 61

_

Ingeniería térmica

térmico pues evalúa la energía térmica transmitida, en la unidad de tiempo, a través de la unidad de superficie del material dispuesta en la dirección normal al flujo térmico. Es sabido que el calor se transmite en el sólido desde la zona de mayor temperatura a la menor temperatura, y nunca en sentido contrario. El signo menos es necesario para compensar el signo distinto que forzosamente han de tener el diferencial de temperatura y el diferencial de espacio recorrido, es decir, el flujo de calor se produce en sentido contrario al del gradiente de temperatura. En la tabla 5.1 se facilitan conductividades de ciertas sustancias características. Tabla 5.1 - Conductividades térmicas de algunas sustancias a 23 °C

Material

Conductividad W/(m K)

Cobre puro Acero al carbón

401 50

Vidrio

0.75

Plástico

0,25

Agua

0,6

Arcilla refractaria

0,9

Corcho

0,043

Poliestireno rígido

0,023

Aire

0,026

5.2 Ecuación diferencial general de la transmisión de calor por conducción a) Coordenadas cartesianas. Flujo unidimensional Consideremos que el calor sólo se transmite en la dirección x. En la figura 5.1 se ha representado la porción infinitesimal de un sólido en el cual el flujo de calor incide a través de la superficie Σ, de abscisa x, y sale a través de la superficie Σ', de abscisa x' = x + dx. Supongamos que en el sólido se genera internamente calor con una tasa G constante, dada en W/m3. Planteemos un balance de energía en la porción elemental del sólido comprendida entre las superficies Σ y Σ'. 



62

Tasa de calor que llega por la izquierda: Q̇ x

Tasa de calor que sale por la derecha: Q̇ x' = Q̇ x +

δQ̇ dx δx

Transmisión de calor por conducción

Figura 5.1 - Balance de energía en un elemento dx de geometría cúbica







̇

∂Q Tasa neta que entra: Q̇ x - Q̇ x' = − x dx

Potencia térmica generada:

∂x

GAdx

Energía acumulada por unidad de tiempo: ρ A dx c

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕

En esta última expresión, ρ es la densidad, T la temperatura, c el calor específico del sólido, A al área de transferencia normal a x y t el tiempo. El balance de energía térmica, por unidad de tiempo, se puede plantear ahora en la forma: Tasa neta de la energía que entra + Energía generada por unidad de tiempo = Energía acumulada por unidad de tiempo Es decir:

∂Q̇ x 𝜕𝜕𝜕𝜕 dx + GAdx = ρ A dx c ∂x 𝜕𝜕𝜕𝜕

Si sustituimos Q̇ x por qxA, siendo qx el flujo de calor en la dirección x, en W/m2, y aplicamos la ley de Fourier se tiene:

−

∂ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 �A �−𝑘𝑘 �� dx + GAdx = ρ A dx c ∂x 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕

La conductividad térmica k es una propiedad que depende de la temperatura. En un planteamiento muy riguroso del problema se tendría que considerar k(T), con 63

Ingeniería térmica lo cual la expresión final sería más complicada. En lo que sigue consideraremos k constante. Simplificando y ordenando términos se obtiene: 𝜕𝜕 2 𝑇𝑇 𝐺𝐺 𝜌𝜌 𝑐𝑐 𝜕𝜕𝜕𝜕 + = 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 𝑘𝑘 𝑘𝑘 𝜕𝜕𝜕𝜕

El inverso del cociente ρc/k, recibe el nombre de difusibilidad térmica, α = k/(ρ c)

(99)

introduciendo esta propiedad en la ecuación de balance, resulta: 𝜕𝜕 2 𝑇𝑇 𝐺𝐺 1 𝜕𝜕𝜕𝜕 + = 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 𝑘𝑘 𝛼𝛼 𝜕𝜕𝜕𝜕

(100)

Es fácil obtener una ecuación análoga a la anterior cuando el calor se transmite en las tres direcciones x, y, z. En este supuesto T = T(x, y, z, t): 𝜕𝜕 2 𝑇𝑇 𝜕𝜕 2 𝑇𝑇 𝜕𝜕 2 𝑇𝑇 𝐺𝐺 1 𝜕𝜕𝜕𝜕 + + + = 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 𝜕𝜕𝑦𝑦 2 𝜕𝜕𝑧𝑧 2 𝑘𝑘 𝛼𝛼 𝜕𝜕𝜕𝜕

(101)

A partir de esta ecuación diferencial general pueden obtenerse los casos particulares que correspondan. Por ejemplo, si consideramos una única dirección de transmisión de calor, sin generación de calor y en régimen estacionario, tendremos: 𝑑𝑑 2 𝑇𝑇 =0 𝑑𝑑𝑥𝑥 2

(102)

Al depender la temperatura sólo de x, se ha utilizado el simbolismo de la derivada ordinaria en lugar del de la derivada parcial. b) Coordenadas cilíndricas. Flujo térmico en la dirección radial Si efectuamos un balance de energía a una pared cilíndrica de espesor elemental dr (véase la figura 5.2), de forma análoga al que hemos realizado en el elemento dx, obtendremos: ̇

❖

∂Q Tasa neta que entra: Q̇ r - Q̇ r' = − r dr

❖

Energía acumulada: ρ 2π r H dr c

❖

Energía generada: G 2π H dr

∂r

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕

donde H es la altura o longitud de la pared cilíndrica considerada. 64

Transmisión de calor por conducción

Figura 5.2 - Balance de energía en un elemento

dr de geometría cilíndrica

Entonces, el balance de energía es:

−

∂Q̇ r dr + ∂r

G 2π rH dr= ρ 2π r H dr c

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕

y sustituyendo Q̇ r por la ley de Fourier, y operando de forma análoga al supuesto anterior, se obtiene:

1∂ ∂T 𝐺𝐺 1 ∂T �𝑟𝑟 � + = 𝑟𝑟 ∂r ∂t 𝑘𝑘 𝑎𝑎 ∂t

(103)

c) Coordenadas esféricas. Flujo térmico en la dirección radial Consideremos el calor que entra y sale por conducción en la pared esférica de la figura 5.3, así como la energía generada y acumulada. ❖

❖

❖

̇

∂Q Tasa neta que entra: Q̇ r - Q̇ r' = − r dr

Energía generada: G 4π r2 dr

∂r

Energía acumulada: ρ 4π r2 H dr c

El balance de energía es: -

∂Q̇ r dr + ∂r

∂T ∂t

G 4π r2 dr = ρ 4π r2 dr c

∂T ∂t

65

Ingeniería térmica

Figura 5.3 - Balance de energía en un elemento dr de geometría esférica

y sustituyendo por la ley de Fourier, y operando de forma análoga al supuesto anterior, se obtiene; 1 ∂ ∂T 𝐺𝐺 �𝑟𝑟 2 ∂t � + 𝑘𝑘 𝑟𝑟 2 ∂r

1 ∂T

= 𝑎𝑎 ∂t

(104)

Para obtener las ecuaciones generales tridimensionales en coordenadas cilíndricas y esféricas véase [1].

5.3 Condiciones de contorno La solución de la ecuación diferencial es la llamada función de distribución de temperatura y es una función escalar de las coordenadas y el tiempo. En una geometría cúbica, T = T(x, y, z, t) El mecanismo para resolver las ecuaciones diferenciales es relativamente sencillo en régimen estacionario y flujo unidireccional. En otros casos debemos remitir al lector a obras más especializadas [1,2], Para resolver las ecuaciones diferenciales generales de la transmisión de calor por conducción, es necesario imponer ciertas condiciones denominadas de frontera o de contorno. Suelen clasificarse en condiciones de 1ª clase, 2ª clase, 3ª clase y estado inicial. a)

Condición de contorno de 1ª clase Se conoce la temperatura en cierta parte del sólido. Por ejemplo, en un flujo térmico unidimensional estacionario a través de una pared, si se conoce la temperatura en la pared de la izquierda, cuya posición es x = x1. T(x1) = T1

66

Transmisión de calor por conducción b) Condición de contorno de 2ª clase Se conoce el flujo de calor en cierta parte del sólido. Por ejemplo, en un flujo unidimensional estacionario a través de una pared, si se conoce el flujo de calor q(x1) que llega por la pared de la izquierda:

−𝑘𝑘 �

∂T � = 𝑞𝑞𝑥𝑥1 ∂t 𝑥𝑥=𝑥𝑥1

d) Condición de contorno de 3ª clase Una de las fronteras del sólido está en contacto con un fluido, y el calor que llega a la frontera se disipa por convección, con un coeficiente conocido:

∂T −𝑘𝑘 � � = ℎ𝑐𝑐 (𝑇𝑇(𝑥𝑥1 ) − 𝑇𝑇𝛼𝛼 ) ∂t 𝑥𝑥=𝑥𝑥1

donde es la temperatura del medio convectivo. c)

Condición de estado inicial En régimen no estacionario, se suele utilizar la condición de contorno denominada de estado inicial. La temperatura es conocida en un lugar determinado y en el instante inicial: en x = x1 y t = 0

⇒

T(x, t) = T(x1, 0) = T0

5.4 Conducción unidimensional y estacionaria en una pared plana 5.4.1

Sin generación de calor

Consideremos la pared plana de la figura 5.4 y que son conocidas y constantes las temperaturas en las paredes de la izquierda y la derecha, X= X=

Integrando una vez (102):

integrando por segunda vez:

0 ⇒ T = T1

L ⇒ T = T2

dT = 𝐶𝐶1 dx T = C1x + C2

donde C1 y C2 son las constantes de integración.

67

Ingeniería térmica

Figura 5.4 - Pared plana con el origen del eje en la superficie de la izquierda.

Al aplicar las condiciones de contorno resulta, C2 = T1; C1 = (T2 - T1)/L. Así pues:

𝑇𝑇 =

T2 − 𝑇𝑇1 𝑥𝑥 + 𝑇𝑇1 L

(105)

que es la función de distribución de temperaturas en la pared. El flujo de calor o densidad de flujo térmico es:

𝑞𝑞 = −𝑘𝑘 o bien:

dT T2 − 𝑇𝑇1 = −𝑘𝑘 dx L

𝑞𝑞 = 𝑘𝑘

T1 − 𝑇𝑇2 L

(106)

Obsérvese que el flujo no depende de x, es decir, es independiente de la posición dentro de la pared.

Ejemplo n° 13 Se desea estudiar el calor transmitido a través de la pared de un edificio de geometría plana de 30 cm de espesor, cuya conductividad térmica es 0,465 W/(m K), a partir de los siguientes datos: temperatura ambiente interior, 23 °C; temperatura ambiente exterior, 5 °C; temperatura de la pared interior, 19 °C; y temperatura de la pared exterior, 9 °C. Considérese una superficie de pared de 180 m2 y flujo unidimensional estacionario. 68

Transmisión de calor por conducción Determinar, a) la tasa de calor transmitida; b) los coeficientes de transmisión de calor por convección. La densidad de flujo térmico es (véase la figura 5.4):

𝑞𝑞 = 𝑘𝑘

T1 − 𝑇𝑇2 19 − 9 = 0,465 15,5𝑊𝑊/𝑚𝑚3 L 0,3

y la tasa de transferencia de calor:

Q = q A = 15,5 · 180 = 2.790 W = 2,79 kW El flujo de calor es uniforme a través del espesor de la pared. Aplicando las condiciones de contorno resulta: q = hint (Tint - T1) = hext (T2 - Text) y puesto que los saltos térmicos interior y exterior son iguales (4 °C):

hint = hext

q 15,5 = = 3,875W/(m2 K) Tint − T1 4

5.4.2 Con generación de calor

Consideremos la pared plana de la figura 5.4 en la que, ahora, se produce una generación interna de calor G, que en SI se expresa en W/m3. En este caso:

d2 T 𝐺𝐺 =0 dx 2 𝑘𝑘

si se consideran las siguientes condiciones de contorno: X=

X=

0 ⇒ T = T0

∂T � ∂x x=L

L ⇒ −k �

= hc (T(x) − Tα )x=L

la integración de la ecuación diferencial conduce a la expresión:

T(x) = −

1G 2 x + C1 x + C2 2k

El flujo de calor qx = q(x) en cualquier parte del medio es:

qx = q(x) = −k

dT = Gx + C1 x dx

es decir, la generación interna de calor es la responsable de que el flujo térmico no sea uniforme a través de la placa. En los problemas de aplicación técnica conviene determinar el flujo de calor en las superficies límites, o sea, en x = 0 y x = L. 69

Ingeniería térmica Aplicando las condiciones de contorno se pueden obtener las constantes C1 y C2:

C1 = −

Tα − T0 GL 1 + 2/Bi + (1 + 1/𝐵𝐵𝐵𝐵)L 2k 1 + 1/Bi

C2 = T0

que sustituidas en T(x) dan lugar al siguiente resultado:

T(x) = T0 +

(Tα − T0 )x GL2 1 + 2/Bi x x 2 + − � �� � (1 + 1/Bi)L 2k 1 + 1/Bi L L

(107)

donde Bi es el número adimensional de Biot:

𝐵𝐵𝐵𝐵 =

ℎ𝐿𝐿 𝑘𝑘

(108)

El número de Biot representa la relación entre la resistencia conductiva y la resistencia convectiva en la frontera en la que se producen ambos fenómenos. Este concepto adquirirá su pleno significado en el apartado 5.8. Si Bi → ∞, h → ∞, lo cual significa que en X = L, T = Tα con lo que la anterior ecuación queda en la forma:

T(x) = T0 +

(Tα − T0 )x GL2 x x 2 + � − � �� L 2k L L

(109)

Si Bi ⇒ 0, h ⇒ 0, lo cual significa que no hay flujo de calor en x = L. La ecuación (107) se convierte entonces en:

T(x) = T0 +

G L2 x x 2 �2 − � �� 2k L L

(110)

Ejemplo n° 14 Una placa plana de 10 cm de espesor y de conductividad térmica 300 W/(m K) genera 1.000 W/m3 de calor. La cara izquierda del material se mantiene a 100 °C y la cara de la derecha disipa calor por convección térmica con un coeficiente de 25 W/(m2 K). La temperatura del medio convectivo es 25 °C. Determinar: a) la temperatura en el plano medio de la placa plana; b) el flujo de calor en las superficies de contorno normales a la dirección del flujo;

y c) el balance térmico la placa. Empezaremos calculando el número de Biot:

70

Transmisión de calor por conducción

Bi =

hL 25 · 0,1 1 = = 8,33 · 10−3 ⇒ = 120 k 300 Bi

y, seguidamente, las constantes de integración:

C1 =

(Tα -T0 ) GL2 1+2/Bi 25-100 1000·0,1 241 + = + =-5,866ºC/m (1+1/Bi)L 2k 1+1/Bi 121·0,1 2·300 121 C2 = T0 = 100 ºC

de modo que T(x) es:

G 1000 2 T(x)=- x 2 +C1 x+C2 =x -5,866x+100=-1,666x2 -5,866x+100 k 2·300

y en el plano medio de la placa plana:

Tx = 0,05 = -1/666 x2 - 5,866 x + 100 = - 1,666 · 0,052 - 5,866 · 0,05 + 100 = - 0,004 - 0,293 + 100 = 99,7 °C Calculemos, ahora, el flujo de calor en las superficies de contorno de la placa normales a la dirección del flujo:

qx = q(x) = -k

dT = Gx + C1 x = 1000x + 5,866·300 = 1000x + 1760 dx

En la cara de la izquierda, x = 0:

qx = 0 = 1760W/m2

y en la cara de la derecha, x = L = 0,10 m. qx = 0,1 = 1.000 · 0,10 + 1.760 = 1.860 W/m2 En cuanto al balance energético en la placa: Flujo neto de calor que atraviesa la placa = Flujo entrante - Flujo saliente = 1.760 - 1.860 = - 100 W/m2 Si se considera una superficie de transmisión de calor de 1 m2, teniendo en cuenta el espesor de la placa, 0,10 m, el volumen correspondiente es 0,01 m3. En él, el calor generado es 100 W. Así pues, en régimen estacionario: Calor acumulado = Calor generado Tasa neta de calor que fluye a través de la placa = 100 - 100 = 0 W

71

Ingeniería térmica

5.5 Conducción unidimensional y estacionaria en una pared cilíndrica 5.5.1 Sin generación de calor La ecuación diferencial que debe aplicarse al cilindro hueco (pared cilíndrica) para la conducción térmica unidimensional, estacionaria y sin generación interna calor de la figura 5.5 es:

1∂ ∂T �𝑟𝑟 � = 0 𝑟𝑟 ∂r ∂r

(111)

Consideremos las condiciones de contorno siguientes: r = r 1 ⇒ T = T1 r = r2 ⇒ T = T2

La solución, que se obtiene por integración sucesiva, es; T(r) = C1 ln r + C2 Aplicando las condiciones de contorno establecidas se obtiene: (112)

Figura 5.5 - Cilindro hueco 72

Transmisión de calor por conducción El flujo de calor a través de una superficie de radio r sería:

q(r)=-k

dT 1/𝑟𝑟 = −𝑘𝑘(𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1 ) dr ln(𝑟𝑟2 ⁄𝑟𝑟1 )

(113)

A diferencia de lo que ocurría en el caso homólogo de la placa plana, en el supuesto considerado, la densidad del flujo de calor depende de la posición, es decir, es función de la coordenada radial r.

5.5.2 Con generación de calor La ecuación diferencial a integrar es:

y las condiciones de contorno:

1 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 G �𝑟𝑟 � + = 0 𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 k

r = r1 ⇒ T = T1; r = r2 ⇒ T =T2

La solución que se halla por integración sucesiva es: T(r) = −

𝐺𝐺 2 𝑟𝑟 4𝑘𝑘

+C1 ln r + C2

Aplicando las condiciones de contorno determinamos las constantes de integración y, finalmente, la función de distribución de temperatura:

(r⁄r1 )2 − 1 T − T1 ln(r⁄r1 ) G(r22 − r12 ) ln(r⁄r1 ) = + � − � T2 − T1 ln(r2 /r1 ) 4k(T2 − T1 ) ln(r2 /r1 ) (r2 /r1 )2 − 1

(114)

Ejemplo n° 15

Un cilindro hueco tiene 2,5 cm de radio interior y 5 cm de radio exterior. Ambas superficies laterales se mantienen a la temperatura de 20 °C. El cilindro genera calor con una tasa de 107 W/m3 y la conductividad térmica del material es 120 W/(m K). Calcular, a) la temperatura del cilindro en r = 3,75 cm; b) la densidad de flujo de calor que pasa a través de sus caras laterales. Puesto que T2 - T1 = 0, ecuación (114), tendremos:

𝑇𝑇 = 𝑇𝑇1 +

𝐺𝐺(𝑟𝑟22 − 𝑟𝑟12 ) 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑟𝑟⁄𝑟𝑟1 ) (𝑟𝑟⁄𝑟𝑟1 )2 − 1 � − � 4𝑘𝑘 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑟𝑟2 /𝑟𝑟1 ) (𝑟𝑟2 /𝑟𝑟1 )2 − 1

Sustituyendo valores, para r = 0,0375 m, será: T= 20 +

107 (0,052 -0,0252 ) ln(3,75⁄2,5) (3,75⁄2,5)2 -1 � � = 20 + 6,58 = 26,58ºC (5/2,5)2 -1 4·120 ln(5/2,5)

73

Ingeniería térmica

El flujo de calor:

𝑞𝑞 = −𝑘𝑘

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐺𝐺 𝐺𝐺 𝑟𝑟22 − 𝑟𝑟12 1 𝑟𝑟 − � � 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 4𝑘𝑘 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑟𝑟2 /𝑟𝑟1 ) 𝑟𝑟

Sustituyendo valores en r = 0,025 m para hallar qr =0,025: qr =0,025 =

107 107 (0,052 -0,0252 ) 1 0,025 − = 1,25 · 105 − 2,705 · 105 2 4 ln(5/2,5) 0,025

= - 1,455-105 w/m2

Procediendo análogamente para r = 0,05 m resulta: qr = 0,05 = 1,147·105 W/m2 El signo menos que antecede al valor del flujo térmico en r = 0,025 explica que el flujo sale del cilindro por su cara interior, es decir, en el sentido de las r decrecientes.

5.6 Conducción unidimensional radial y estacionaria en un cilindro macizo Si se trata de un cilindro macizo con conducción radial y estacionaria, se ha de considerar el problema de la transmisión de calor con generación interna, puesto que de otra forma el régimen estacionario es imposible. La ecuación diferencial que se aplica a este caso es la misma que la expuesta en el apartado 5.5.2. La condición de contorno que consideraremos es:

r = r 0 ⇒ T = T0

siendo r0 el radio exterior del cilindro. La solución es de la forma;

T(r)=-

G +C ln r + C2 4k 1

En r = 0 la temperatura no puede ser infinita, por tanto c1 = 0. La constante c2 se determina a partir de la condición de contorno:

T(r)=T0 +

Ejemplo n° 16

G 2 2 (r - r ) 4k 0

(115)

Un cilindro macizo de radio 2,54 cm y de conductividad térmica 17,3 W/(m K) presenta una tasa de generación interna de calor igual a 1,49 · 106 W/m3. Determinar el salto térmico entre su eje y el contorno.

74

Transmisión de calor por conducción De (115) se deduce:

Teje - T0 +

Gr20 1,49 · 106 · 0,02542 = = 13,9ºC 4k 4 · 17,3

5.7 Conducción unidimensional y estacionaria en una pared esférica Considérese la pared esférica mostrada en la figura 5.6. Supondremos que no hay generación de calor y que el régimen es estacionario. La ecuación diferencial a integrar es: 1 𝜕𝜕 2 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝑟𝑟 2 𝜕𝜕𝜕𝜕

�𝑟𝑟

𝜕𝜕𝜕𝜕

�=0

Supongamos ahora que las condiciones de contorno son: r = T1 ⇒ T = T1 r = r2 ⇒ T = T2 La función de distribución de temperaturas resulta:

T(r) − T1 r2 r1 = �1 − � T2 − T1 r2 − r1 r

(116)

El flujo de calor lo obtendríamos de la ecuación de Fourier y es:

q(r) = kr2 r1 =

T1 − T2 1 � � r2 − r1 r 2

(117)

Figura 5.6 - Esfera hueca 75

Ingeniería térmica

5.8 Resistencia térmica 5.8.1 Introducción El concepto de resistencia térmica se establece por analogía con el concepto de resistencia eléctrica que dimana de la ley de Ohm I = AV/R, en la que I es la intensidad de corriente, ∆V la diferencia de potencial y R la resistencia eléctrica. De forma análoga se establece: Δ𝑇𝑇 𝑄𝑄̇ = 𝑅𝑅

(118)

Conviene tener presente que si el calor se transmite del punto 1 al punto 2, la diferencia de temperaturas que aparece en (118) es AT = T1 - T2 con lo que el concepto de incremento no se establece como valor final menos valor inicial, sino al revés. Sin embargo, en la ley de Fourier dT sí tiene el sentido estricto matemático puesto que va precedido del signo menos. A partir de aquí R será la resistencia térmica y en el SI se mide en K/W. La analogía entre la transferencia de calor y la conducción de electricidad es en realidad más estrecha que la simple utilización de un concepto análogo. De hecho, muchos problemas de transmisión de calor se resuelven planteando el circuito eléctrico análogo, operación que puede hacerse de forma experimental o bien teórica sobre papel. La razón última de este modus operandi es que quizás resulte más cómodo medir voltios y vats eléctricos que grados centígrados y vats de energía térmica. De todas formas, la limitación del método es evidente. El concepto de resistencia térmica sólo se podrá usar en régimen estacionario y conducción unidimensional sin generación de calor, puesto que, de otra forma, complicaríamos el problema.

5.8.2 Resistencia térmica de una pared plana El flujo de calor a través de una pared plana sin generación interna de calor y en régimen estacionario viene dado por la ecuación (106):

𝑞𝑞 = 𝑘𝑘

𝑇𝑇1 − 𝑇𝑇2 𝐿𝐿

Si consideramos una superficie A de transferencia de calor, la tasa de calor través de ella es:

o bien:

𝑄𝑄̇ = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑄𝑄̇ =

76

𝑇𝑇1 − 𝑇𝑇2 𝐿𝐿

𝑇𝑇1 − 𝑇𝑇2 𝐿𝐿/𝐴𝐴𝐴𝐴

Transmisión de calor por conducción comparando esta expresión con (118) resulta: R = L/Ak

(119)

5.8.3 Resistencia térmica de una pared cilíndrica El flujo de calor a través de una pared cilíndrica sin generación y en régimen estacionario viene dado por la ecuación (113):

𝑞𝑞(𝑟𝑟) = −𝑘𝑘(𝑇𝑇1 − 𝑇𝑇2 ) �

1/𝑟𝑟 � 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑟𝑟2 /𝑟𝑟1 )

Si consideramos un área de transferencia A = 2π r H, la tasa de calor que a través de A es:

o bien:

𝑄𝑄̇ = 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑄𝑄̇ =

𝑇𝑇1 − 𝑇𝑇2 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑟𝑟2 /𝑟𝑟1 )

𝑇𝑇1 − 𝑇𝑇2

1 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑟𝑟2 /𝑟𝑟1 ) 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋

Comparando esta expresión con (118) se deduce:

𝑅𝑅 =

1 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑟𝑟2 /𝑟𝑟1 ) 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋

(120)

Expresión que se transforma, multiplicando el numerador y el denominador de la primera fracción por r2 - r1, y multiplicando por 2πH el numerador y el denominador de la segunda fracción en:

𝑅𝑅 =

𝑟𝑟2 −𝑟𝑟1 𝐴𝐴𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑘𝑘

(121)

Siendo Am1 el área en valor medio logarítmico entre A1 y A2, que valen respectivamente, A1 = 2πr1H y A2 = 2πr2H. El área media logarítmica:

𝐴𝐴𝑚𝑚𝑚𝑚 =

𝐴𝐴2 − 𝐴𝐴1 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝐴𝐴2 /𝐴𝐴1 )

5.8.4 Resistencia térmica en fenómenos de transporte de calor por convección

La tasa de calor que se transfiere por convección entre una superficie que se halla a la temperatura y un fluido que posee una temperatura Tα es:

77

Ingeniería térmica Q̇ = Ahc(Tw - Tα)

o bien:

Si comparamos con (118) resulta:

Q̇ =

Tw − Tα 1/Ahc

𝑅𝑅 =

1

(122)

Ahc

En la tabla 5.2 se recopilan las expresiones de las resistencias térmicas obtenidas y alguna otra que se justifica de forma análoga. Tabla 5.2 - Resistencias térmicas Concepto

Expresión

Pared plana

R = L/A·k ε = r2 - r1

Pared cilíndrica

R = ε/Ami k

Pared esférica

R = ε /Am k

ε = r2 - r1

Am = (A1 A2)1/2 Convección

R = 1/Ahc

En el apartado 5.4.2 se introdujo el número adimensional de Biot definido como la relación entre la resistencia conductiva y la convectiva. Efectivamente, si transformamos el número de Biot en:

Bi =

hL L/kA = k 1/hA

se puede apreciar que aparece la relación de resistencias a las que nos hemos referido.

5.8.5

Resistencias en serie

Por analogía con las resistencias eléctricas, la resistencia térmica total de un conjunto de resistencias térmicas en serie es la suma de todas ellas, es decir: RT = ∑ Ri

5.8.6

Coeficiente global de transferencia de calor

Todo coeficiente h, susceptible de ser expresado en la forma:

78

(123)

Transmisión de calor por conducción

Figura 5.7 - Resistencias en serie

h=

Q AΔT

(124)

recibe el nombre de coeficiente de transmisión de calor. Sus unidades en el SI son W/(m2 K). Obsérvese que hc, es un coeficiente de transmisión de calor y, sin embargo, k no lo es. Supongamos que una tasa de calor Q se transmite a través de n resistencias en serie (véase la figura 5.7). A la primera resistencia le corresponde una diferencia de temperaturas T1 - T2, a la segunda T2 - T3, y así sucesivamente. A la última le corresponde la diferencia Tn - Tn+1. La diferencia de temperaturas correspondiente a la resistencia total es T1 - Tn+1. Si dividimos la tasa de calor por esta diferencia total de temperaturas, tendremos un coeficiente global U de transferencia de calor: U = Q̇ /A(T1 − Tn+1 )

(125)

Puesto que la resistencia térmica total es:

combinándola con (125) resulta:

𝑅𝑅𝑇𝑇 =

𝑇𝑇1 − 𝑇𝑇𝑛𝑛+1 Q̇ RT =

(126)

1 UA

En el caso, muy frecuente, de que tengamos una primera resistencia de convección, seguida de un conjunto de resistencias conductivas y, finalmente, una última resistencia convectiva (véase la figura 5.8), la resistencia total adopta la forma: 1 1 = UA Aa ha

+A

ε1

ml1 k1

+⋯+ A

1 b hb

(127)

en la cual Aa es el área de transferencia de calor de la primera resistencia de convección, ha el coeficiente de convección de la primera resistencia, ε1 el espesor de la primera resistencia de conducción, Am11 el área, en valor medio logarítmico, del primer elemento de conducción, k1 la conductividad térmica del primer elemento de conducción, Ab, el área de transferencia de la última resistencia de convección, el coeficiente de convección de la última resistencia y A el área de referencia que se utiliza para definir el coeficiente global U de transmisión de calor. 79

Ingeniería térmica

Figura 5.8 - Conjunto típico de resistencias

Si todas las resistencias térmicas tienen la misma superficie de transferencia de calor: Aa = Ab = Am11 = A No obstante, puede ocurrir que éstas no sean iguales, por ejemplo las resistencias térmicas a través de paredes cilíndricas. Entonces, el área de referencia para el coeficiente global U de transmisión de calor puede ser cualquiera de ellas, aunque se acostumbra a utilizar la más exterior. La expresión (127) es general y se aplica tanto para las resistencias térmicas planas como para las cilíndricas. Ocasionalmente, pueden tenerse en cuenta resistencias térmicas adicionales debidas a la suciedad de las paredes que están en contacto con los medios fluidos. En este supuesto tendríamos: 1 = UA

𝑅𝑅𝑎𝑎 +

1 A a ha

siendo Ra y Rb las citadas resistencias.

+A

ε1

ml1 k1

+ ⋯+ A

1

b hb

+ 𝑅𝑅𝑏𝑏

(128)

Ejemplo n° 17 Un tubo de acero de diámetros interior y exterior 6 y 8 cm, respectivamente, y de conductividad térmica 45 W/(m K), está recubierto de una capa de material aislante de 2 cm de espesor y de conductividad 0,205 W/(m K). Por el interior del tubo circula aire caliente a 400 °C, y el coeficiente de convección aire-superficie interior es 250 W/(m2 K). El calor se disipa por convección al medio exterior que se halla a 35 °C, siendo el coeficiente de transmisión térmica entre el aislante y el aire exterior 15,7 W/(m2 K). Calcular, a) las diferentes resistencias térmicas que atraviesa el flujo de calor; b) las temperaturas de pared del tubo de acero; 80

Transmisión de calor por conducción c) la temperatura de la capa exterior del material aislante y d) el coeficiente global de transmisión de calor. Consideraremos una longitud H de referencia de 1 m para la estructura tubular cilíndrica. Las resistencias térmicas son, Ri1, fluido interior-pared interior del tubo; R12, tubo de acero; R23, cilindro coaxial de aislante y R3e, contorno exterior de aislante-medio exterior. De acuerdo con lo explicado anteriormente: R i1 =

1 1 = = 0,02122 K/W 2pr1 Hhi 2p · 0,03 · 1 · 250

R 23 =

1 r3 1 6 ln = ln = 0,3148 K/W 2pHk 23 r2 2p · 1 · 0,205 4

R12 =

R 3e =

1 r2 1 4 ln = ln = 0,001017 K/W 2pHk12 r1 2p · 1 · 45 3 1 1 = = 0,169K/W 2pr3 Hhe 2p · 0,06 · 1 · 15,7

La resistencia térmica total es: Rt = Ri1 + R12 + R23 + R3e = 0,02122 + 0,001017 + 0,3148 + 0,1690 = 0,5060 K/W La tasa de transferencia de calor:

Q̇ =

En consecuencia;

ΔT 400 − 35 = = 721,3W Rt 0,506

Ti - T1 = Q̇ Ri1 = 721,3·0,02122 = 15,31 ⇒ T1 = 400 - 15,31 = 384,7 ºC

T1 - T2 = Q̇ R12 = 721,3·0,001017 = 0,73 ⇒ T2 = 384,7 - 0,73 = 384,0 ºC

T2 - T3 = Q̇ R23 = 721,3·0,3148 = 227,1 ⇒ T3 = 384,0 - 227,1 = 156,9 ºC T3 - Te = Q̇ R3e = 721,3·0,1690 = 121,9 ⇒ T3 = 156,9 - 121,9 = 35,0 ºC

Dado que A2 = 2πr2H = 2π · 0,04 · 1 = 0,2513 m2, finalmente, el coeficiente global de transmisión de calor U, referido a la superficie exterior del tubo de acero, es: U=

1 1 = = 786 W/(m2 K) R t A2 0,506 · 0,2513

81

Ingeniería térmica

5.9 Temas de ampliación Los métodos de solución numéricos de los problemas de transmisión de calor por conducción, son muy apropiados cuando la geometría del cuerpo conductor complica la solución analítica, o bien cuando en los contornos hay radiación, o bien se trata de cuerpos con generación de calor. Los métodos numéricos que se aplican de forma general a los problemas de transmisión de calor por conducción estacionaria o transitoria son el método de las diferencias finitas, el método de los elementos finitos, el método de elementos de contorno y el método de los volúmenes finitos [5],[6]. El método de las diferencias finitas se basa en la discretización del conductor mediante una red de nodos de tal forma que alrededor de cada nodo se constituya un elemento de volumen si se trata de un conductor tridimensional, un elemento de superficie si se trata de un conductor bidimensional o un segmento de línea si se trata de un conductor monodimensional. A continuación se aplica la ecuación de conservación de la energía a cada uno de los elementos resultantes, con lo cual tendremos, en caso de régimen estacionario un sistema de ecuaciones algebraicas que resolveremos mediante alguno de los métodos habituales. Si el régimen es transitorio se establece una estrategia basada en discretizar también el problema temporalmente aplicando el mismo procedimiento tiempo a tiempo. En este caso deberán utilizarse necesariamente diferencias de temperaturas en tiempos diferentes planteándose la posibilidad de establecer las diferencias hacia adelante (método explícito) o hacia atrás (método implícito). El método de los elementos finitos se basa también en discretizar la región espacial que se desea estudiar generalmente en triángulos si es bidimensional o tetraedros si es tridimensional y a continuación aplicar la ecuación de conducción de forma integral a cada uno de ellos, con el resultado de que los elementos finitos pueden ser más grandes que los pequeños volúmenes de control utilizados en el caso de las diferencias. El método de los elementos de contorno es más reciente; se basa en discretizar el contorno sin necesidad de considerar el interior del objeto. El método de los volúmenes finitos tiene ciertas analogías con el de los elementos finitos. Se ha utilizado en problemas de mecánica de fluidos, transferencia de calor, difusión y en la ingeniería del petróleo. Dejando aparte el método de los elementos de contorno y el de los volúmenes finitos, la cuestión que nos podemos plantear es la competencia entre diferencias y elementos. Vale la pena ponderar ventajas e inconvenientes de ambos métodos numéricos. El método de las diferencias:

82

❖

es sencillo de plantear

❖

debe hacerse una malla fina para obtener resultados fiables

❖

los programas no profesionales no son tan versátiles

Transmisión de calor por conducción El método de los elementos: 

es más engorroso de plantear



admite un mallado más grueso



los programas son más versátiles

La realidad es que la aparición de potente software, tanto con diferencias como con elementos, aplicado a la conducción ha revolucionado este campo dejando en segundo término la respuesta a la pregunta inicial. Sin embargo, sí que es cierto que desde un punto de vista didáctico el método de las diferencias es el que el estudiante percibe como más directamente relacionado con la transmisión de calor y este hecho, unido a su sencillez y fácil metodología, es lo que hace aconsejable su estudio en primer lugar dejando para estudios avanzados o de ampliación el método de los elementos. Otros métodos tales como los basados en la analogía entre la transmisión de calor y la conducción eléctrica, llamados analógicos, o los llamados gráficos, no dan tan buenos resultados.

Bibliografía [1] Pitts, D.R., Sissom L.E. Heat Transfer. McGraw-Hill Inc., New York, 1977. [2] Necati, Ó. Transferencia de calor. McGraw Hill, Bogotá, 1979. [3] Mills, A. F. Transferencia de calor. IRWIN, Barcelona, 1995. [4] Miranda, A. L., Sainero, S. Métodos numéricos aplicados a la transmisión de calor por conducción. Editorial CEAC, Barcelona, 2000. [5] Kincaid, D., Cheney, W. Análisis numérico, Las matemáticas del cálculo científico. Addison-Wesley Iberoamericana, 1994. [6] Shampine, L.F. Numerical Solution of Ordinary Differential Equations. Chapman and Hall, 1994.

83

Capítulo 6

TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN 6.1 Introducción Si la transmisión de calor se realiza entre una superficie sólida y un fluido por estar ambos a diferente temperatura, el mecanismo de transmisión de calor se denomina convección. La descripción analítica del fenómeno es compleja, en tanto que se han de utilizar las ecuaciones básicas de conservación de la masa y de la energía del fluido. Sólo en casos muy simples, que suelen ser de geometría muy elemental, se afronta con éxito el estudio analítico de la convección. Otra cosa es la utilización de software específico para la solución numérica de los complicados sistemas de ecuaciones diferenciales que rigen los procesos de convección. Su estudio excede los límites de esta obra. El estudio técnico de la convección se realiza a partir de la definición de un coeficiente de transmisión de calor, denominado coeficiente de convección, a partir de la expresión: Q̇ = hA(Tw - Tα) (129)

en la que Q̇ es la tasa de transferencia de calor, h el coeficiente medio de transmisión de calor por convección, A el área de transferencia de calor, la temperatura media de la superficie y T∞ la temperatura del fluido en una zona no perturbada por la presencia de la superficie. A menos que se indique lo contrario, siempre nos referiremos al coeficiente h promedio para toda la superficie. En el SI, el coeficiente de convección se mide en W/(m2 K). La determinación de h se ha de hacer por vía analítica o experimental. En la tabla 6.1 se indica el orden de magnitud de h en algunos procesos de convección usuales.

85

Ingeniería térmica Tabla 6.1 - Orden de magnitud del coeficiente h para algunos procesos típicos de convección Clase de convección

h en W/(m2 K)

Convección natural, aire

de 5 a 50

Convección natural, agua

De 10 a 100

Convección forzada, aire

De 10 a 200

Convección forzada, agua

De 50 a 10 000

6.2 Clasificación de los procesos de convección Según el fluido esté en reposo o en movimiento forzado distinguiremos entre convección natural o convección forzada. En convección natural, el fluido, que inicialmente está en reposo, pronto adquiere un movimiento denominado convectivo a causa de las diferencias de densidad ocasionadas por la transmisión de calor. Sin embargo, no hay posibilidad de confusión entre una y otra porque en convección forzada el fluido está en movimiento por medios mecánicos. La posición relativa del fluido respecto a la superficie establece otra clasificación de la convección en términos de convección de flujo interior o de convección de flujo exterior. En la primera, el fluido circula o está confinado en el interior de un recinto, tubería, conducto o cavidad. En la segunda, el fluido circula sobre un plano, o transversalmente a un cilindro, etc. Finalmente, en cada caso, el régimen de circulación del fluido podrá ser laminar, de transición o turbulento. Estos criterios no son mutuamente excluyentes. Así, por ejemplo, podemos considerar una convección forzada de flujo interior en régimen laminar. En la tabla 6.2 se indica esta clasificación. Tabla 6.2 - Clasificación de las clases de convección Criterios Según el movimiento del fluido

Forzada natural

Según la posición relativa del fluido y la superficie

de flujo interior de flujo exterior

Según el régimen de circulación del fluido

86

Clase de convección

en régimen laminar en régimen de transición en régimen turbulento

Transmisión de calor por convección

6.3 Relaciones técnicas de la transferencia de calor por convección 6.3.1 Introducción Excedería los límites de esta obra presentar una lista exhaustiva de las muchas relaciones técnicas que se utilizan en la convección. Más allá de su utilidad, sólo presentaremos las más comunes y aquéllas que por su significado histórico deben ser conocidas. Un problema importante que plantean estas relaciones técnicas es su grado de fiabilidad. En una cuestión difícil de dilucidar. Para ellas, los autores sugieren límites de aplicabilidad, que resulta conveniente respetar escrupulosamente, y formulan unas recomendaciones relativas al tipo de fluido, rugosidad de las superficies, etc. Por otra parte, se debe tener presente que en la mayoría de los casos la relación técnica proporciona el valor del coeficiente promedio para toda la superficie. Por ejemplo, en el supuesto de un flujo interior forzado por una tubería, el comportamiento térmico del fluido no es el mismo en las proximidades de la entrada de la tubería, en la cual el flujo no está plenamente desarrollado, que en zonas más alejadas de la entrada en las cuales el flujo sí está completamente desarrollado. Estos aspectos se han de tener en cuenta al tratar de considerar la fiabilidad de las mencionadas relaciones técnicas. Cuando aludimos al margen de error de una determinada relación técnica, nos referimos a la diferencia entre los valores experimentales que dieron lugar a la ecuación empírica y los proporcionados por la propia ecuación. Estos últimos, en realidad, son el resultado de un ajuste matemático llevado a cabo sobre los resultados experimentales. La mayoría de ecuaciones técnicas o también llamadas empíricas, darían unos márgenes de error comprendido entre el 5%, las mejores, y el 30%, las más simples. Lo cual no significa que, para unas condiciones determinadas, una ecuación simple no pueda facilitar excelentes resultados.

6.3.2 Parámetros adimensionales de la convección El análisis adimensional, particularmente a partir del teorema pi, también llamado de Buckingham [1], obtiene la relación entre las variables, agrupadas adimensionalmente, es decir en forma de monomios adimensionales, que influyen prioritariamente en un fenómeno determinado. Aunque el análisis adimensional usualmente no da lugar directamente a la relación funcional, sí indica cómo se han de agrupar las variables. Ello conlleva la consiguiente simplificación y reducción de esfuerzos en los ensayos que necesariamente se tendrán que efectuar.

87

Ingeniería térmica a) Convección forzada En convección forzada, los números adimensionales que se utilizan son, Nusselt, Nu: 𝑁𝑁𝑢𝑢𝐿𝐿 =

ℎ𝐿𝐿 𝑘𝑘

(130)

donde h es el coeficiente de convección promedio, L una longitud característica que habrá que definir en cada caso y k la conductividad térmica del fluido. El subíndice L de NUL indica la longitud característica. Así por ejemplo, NUD indica que la longitud característica es un diámetro. Reynolds, Re: ReL =

cL v

(131)

en el que c es una velocidad que hay que definir en cada caso y v es la viscosidad cinemática del fluido. Representa la relación entre las fuerzas viscosas y las de inercia. Su valor indica si el flujo es laminar, turbulento o de transición. El Reynolds crítico es un valor determinado experimentalmente, para una geometría y unos fluidos determinados, en el que se produce la transición de una clase de flujo a otro. En cada caso, la velocidad y la distancia característica han de ser las que corresponden al fenómeno estudiado (véase la tabla 6.3). Prandtl, Pr: Pr =

cp µ k

(132)

donde cp es el calor específico a presión constante del fluido y μ su viscosidad dinámica. Obsérvese que el número de Prandtl es una propiedad del fluido que depende de la presión y la temperatura. El significado físico del número de Prandtl es muy importante, pues establece la analogía entre la transferencia de impulso o cantidad de movimiento y la transferencia de calor. Si el número de Prandtl es igual a uno, la analogía es perfecta. El campo de velocidades y el campo de temperaturas son formalmente iguales. El número de Prandtl varía entre unas pocas milésimas en metales líquidos y varios miles en líquidos muy viscosos. Stanton, St: 𝑺𝑺𝑺𝑺 = 88

𝑵𝑵𝑵𝑵 𝑹𝑹𝑹𝑹 𝑷𝑷𝑷𝑷

(133)

Transmisión de calor por convección Las ecuaciones empíricas más simples de la convección forzada de flujo interior adoptan la forma general: NUL = c Ren Prm que incluye unos coeficientes c, n y m, que, en la práctica, hay que determinar experimentalmente. b) Convección natural En convección natural, intervienen los números adimensionales de Nusselt y Prandtl, los mismos que hemos visto en la convección forzada y, además, el número de Grashof Gr y el número de Rayleigh Ra. Grashof, Gr: GrL =

βgρ2 (Tw − Tα )L3 µ2

(134)

en el que β es el coeficiente de expansión o dilatación volumétrica, g aceleración de la gravedad, ρ la densidad y μ la viscosidad dinámica. Representa la relación entre la fuerza ascensional del fluido y la de corte o de cizalladura. Rayleigh, Ra;

RaL = GrL Pr

(135)

Frecuentemente, las ecuaciones empíricas de la convección natural toman la forma general, llamada de McAdams: NUL = c Ran en la que c y n son coeficientes experimentales. Tabla 6.3 - Variables características de algunos números adimensionales Clase de convección Números adimensionales Forzada- flujo por el interior de un conducto (Nu, Re) Forzada- flujo exterior en torno a un cilindro (Nu, Re)

Longitud característica

Velocidad

Diámetro interior

Media del fluido

Diámetro exterior

antes de verse perturbada porla superficie de intercambio de calor

Forzada- flujo exterior sobre un plano Longitud del plano en la dirección (Nu, Re)

De flujo libre. Es la del fluido

del flujo

De flujo libre

(continúa)

89

Ingeniería térmica Clase de convección Números adimensionales

Longitud característica

Velocidad

Forzada-flujo exterior en torno a un haz de tubos (Nu, Re)

Diámetro exterior de un tubo

Máxima del fluido entre los tubos. Es la que corresponde a la superficie mínima de paso

Natural-flujo en una superficie vertical o en torno a un cilindro vertical (Nu, Gr)

Altura de la superficie vertical o del cilindro

Natural-flujo en torno a un cilindro horizontal (Nu, Gr)

Diámetro del cilindro

Natural-flujo en torno a una esfera (Nu, Gr)

Diámetro de la esfera 1/L = l/Lh + 1/Lv Lh dimensión horizontal y Lv vertical

Natural-en torno de un bloque (Nu, Gr) Natural-sobre superficies horizontales (Nu, Gr)

Lado en el cuadrado, lado más corto en el rectángulo. Para otras formas, consultar [2]

6.4 Convección forzada 6.4.1 Flujo interior laminar en un conducto de sección circular Se utiliza la ecuación de Stephan basada en trabajos de Hausen [3]: NuD = 3,66 +

0,0677(PrReD (D/L))1,33 µ 0,14 � � 1 + 0,1 Pr(ReD (D/L))0,83 µw

(136)

donde L es la longitud del tubo, μ la viscosidad del líquido a la temperatura media y la μw viscosidad dinámica del líquido a la temperatura media de la pared. La ecuación de Stephan sólo se aplica en tubos lisos, es decir, de muy pequeña rugosidad. Para líquidos, las propiedades se han de medir a la temperatura media del fluido y, para gases, a la temperatura media de película Tf. En este caso, no se ha de utilizar el factor de viscosidades. Estas temperaturas son: Tm = (T1 + T2)/2

Tf = (Tw + Tm)/2

y su campo de aplicación es, 13 < ReD < 2300 0,48 < Pr < 16700 0,0048 < (μ /μw) < 9,75 90

Transmisión de calor por convección La ecuación de Stephan incluye el efecto de la entrada con el término que contiene la longitud. Obsérvese que cuando L ⇒ α, Nu = 3,66.

Ejemplo n° 18

Por una tubería lisa de 5 mm de diámetro interior y 3,25 m de longitud circula agua a la temperatura media de 27 °C. La velocidad media del agua es 0,3 m/s y la temperatura media de la pared interior de la tubería es 87 °C. Determinar: a) el coeficiente de convección y b) la tasa media de transferencia de calor. Propiedades del agua a 27 °C, ρ = 996 kg/m3, k = 0,611 W/(m K), μ = 8,67 · 10-4, Pr = 5,9. Viscosidad dinámica del agua a la temperatura media de pared = 3,29 · 10-4. Para establecer la clase de flujo, calcularemos en primer lugar el número de Reynolds: cDρ 0,3 · 0,005 · 996 ReL = = = 1723 µ 8,67 · 10−4

Puesto que el régimen es laminar, se aplicará la ecuación (6.8):

3,66 +

NuD = 3,66 +

0,0677(PrReD (D/L))1,33 µ 0,14 � � 1 + 0,1 Pr(ReD (D/L))0,83 µw

0,0677(5,9 · 1723(0,005/3,25))1,33 8,67 0,14 � � = 3,66 + 1,292 = 4,952 1 + 0,1 · 5,9(1723(0,005/3,25))0,83 3,29

y el coeficiente de convección es: ℎ=

𝑁𝑁𝑢𝑢𝐷𝐷 𝑘𝑘 4,952 · 0,611 = = 605,1𝑊𝑊/(𝑚𝑚2 𝐾𝐾) 𝐷𝐷 0,005

La tasa de transferencia de calor se calcula como sigue:

Q = Aih(tw - tm) = πDiLh(tw - tm) = 3,1416 · 0,005 · 3,25-605,1(87 - 27) = 1853 W donde tw y tm son las temperaturas medias de pared y del líquido respectivamente. Nótese también que el dominio de aplicación de la fórmula de Stephan es el adecuado pues tanto el número de Prandtl como la relación de viscosidades dinámicas cumplen las especificaciones exigidas en este caso.

6.4.2 Flujo interior de transición en un conducto de sección circular Se utiliza la ecuación de Hausen [3]: NuD = 0,0235(1 + (D/L)2/3)(Re0,8 -230)(1,8 Pr0,3 - 0,8) (v/vw)0,14

(137)

91

Ingeniería térmica en la que v es la viscosidad cinemática del líquido a la temperatura media, la viscosidad cinemática del líquido a la temperatura media de pared. Se aplica sólo a tubos lisos. Las propiedades se han de determinar a la temperatura media en líquidos y a la temperatura media de película en gases. Su campo de aplicación es: 2.300 < Re < 10.000

6.4.3 Flujo Interior turbulento en un conducto de sección circular Se utiliza la ecuación de Petukhov [4]: NuD =

(cf /2) ReD Prϕn 1 + 13,6cf + (11,7 + 1,8⁄Pr 1⁄3 )(cf ⁄2)0,5 (Pr 2/3 − 1)

(138)

en la que cf es el factor de fricción de la tubería definido a partir de la ecuación de Darcy [5]: Δp = 2cf (L⁄D)(G2 /ρ) (139) y en la que, a su vez, G es el flujo másico y p la densidad del huido. Para la determinación de cf se propone la ecuación: cf =

ϕP (1,58 lnReD − 3,28)2

(140)

En las ecuaciones (138) y (140), ϕ es una función cuyo valor depende de la clase de fluido (véase la tabla 6.4). Tabla 6.4 - Función ϕ y valores de p y n ϕ

El fluido se,

P

n

Gases

T/Tw

calienta enfría

0,52 0,38

0,47 0,36

Líquidos

μ/μw

calienta

-0,33

0,11

enfría

-0,24

0,25

Su campo de aplicación es, 104 < ReD < 5·106 y 0,5 < Pr < 1.000. Las propiedades se determinan siempre a la temperatura media de fluido. Para cálculos preliminares, se recomienda la ecuación de Kraussold [6]: NuD = 0,031ReD 0,8 Pr n (D/L)0,054 92

(141)

Transmisión de calor por convección en la que n = 0,4 si el fluido se calienta y n = 0,3 si se enfría. Esta ecuación tiene la ventaja de considerar el efecto térmico de la entrada.

Ejemplo n° 19 Repítase el ejercicio anterior con las siguientes modificaciones, la velocidad media del agua es 1,38 m/s y el diámetro interior de la tubería 2,54 cm. Calcúlese también la caída de presión del fluido. Nuevamente, para establecer la clase de flujo, calcularemos en primer lugar el número de Reynolds: ReL =

cDρ 1,38 · 0,0254 · 996 = = 40.267 µ 8,67 · 10−4

Puesto que el régimen es turbulento, se usará la ecuación de Petukhov. En primer lugar, se calcula el parámetro ϕ. Según la tabla 6.4, por tratarse de un líquido: ϕ = (μ/μw) = 8,67 · 10-4/3,29 · 10-4 = 2,635 y puesto que el agua se calienta, la misma tabla indica que: p = - 0,33 y n = 0,11, con lo cual el factor de fricción Cf de (140) es, ϕP 2,635−0,33 0,7263 cf = = = = 4 · 10−3 2 2 (1,58 ln ReD − 3,28) (1,58 ln 40.267 − 3,28) 181,5 de esta manera el número de Nusselt es: NuD =

(cf /2) ReD Prϕn = 1 + 13,6cf + (11,7 + 1,8⁄Pr 1⁄3 )(cf ⁄2)0,5 (Pr 2/3 − 1)

(cf /2) ReD Prϕn 528,6 = =225, 8 1+13,6·10-3 +(11,7+ 1,8⁄5,91⁄3 )(2·10-3 )0,5 (5,92/3 ) 2,341

que cumple con su dominio de validez al ser Pr inferior a 1000. En consecuencia, h es: NuD k 225,8 · 0,611 h= = = 5432W/(m2 K) D 0,0254

La tasa de transferencia de calor es: Q̇ = Ai h(t w − t m ) = πDi h(t w − t m )=π·0,0254·3,25·5.432�87-27�=84.523W≈ 84,5kW

y la caída de presión se determina de (139), previa estimación de la velocidad másica G: V̇ = cAi = cπD2i ⁄4 = 1,38 · π · 0,02542 ⁄4 ≈ 0,7 · 10−3 m3 /s

93

Ingeniería térmica

ṁ = ρV̇ = 0,697 kg/s

G = ṁ /Ai = 0,697/5,067·10-4 = 1.375 kg/(m2 s)

∆p = 2 cf (L/D)(G2/p) = 2 · 4 · 10-3 · 3,25 · 1.375/(0,0254 · 996) = 1.943 Pa

Si se hubiese recurrido a la ecuación (141) de Kraussold, con n = 0,4 puesto que el fluido se calienta, el número de Nusselt valdría: NuD = 0,031 ReD0,8 Prn (D/L)0,054 = 0,031 · 402670,8 · 5,90,4 (0,0254/3,25)0,054 = 234,4 El coeficiente de convección sería igual a 5.637 W/(m2 K) en lugar de 5.432 W/(m2 K), es decir, el coeficiente resultante sería un 3,8% mayor.

6.4.4 Aplicación a conductos no lisos y a conductos de sección no circular Las fórmulas anteriores sólo se aplican en conductos lisos que, por fortuna, son los más utilizados en transmisión de calor. Sin embargo, si el tubo no es liso se calcula el coeficiente de convección con la ecuación empírica que corresponda y se aplica, seguidamente, la corrección de Norris [6]: El exponente Ψ vale:

NuD,rugoso =NuD,liso (cfrugoso / cfliso)Ψ Ψ = 0,68 Pr 0,215

(143)

cuando cf,rugoso /cf, liso < 4. Si cf rugoso /cf liso > 4 entonces se tomará Ψ = 1. Si los conductos no son de sección circular, se utilizan las mismas ecuaciones empíricas que para los de sección circular, aunque se cambia el diámetro de la tubería, que aparece en ellas, por el diámetro equivalente Dh. Éste es: 𝐷𝐷ℎ =

4𝐴𝐴𝑝𝑝 𝑃𝑃𝑚𝑚

(144)

donde Ap es el área de la sección transversal interior del conducto y Pm su perímetro mojado.

6.4.5 Flujo exterior sobre una superficie plana Si el régimen es laminar sobre la mayor parte de la superficie, se aplica la ecuación [7]: NUL = 0,664 ReL1/2 Pr1/3

(145)

Si el régimen es turbulento, se aplica la ecuación [2]: NUL = 0,036 ReL0,8Pr1/3 94

(146)

Transmisión de calor por convección

Figura 6.1 - Flujo exterior sobre una placa

La transición del régimen laminar a turbulento se realiza a números de Reynolds comprendidos entre 400.000 y 600.000. En el primer tramo de la placa, el fluido discurre en régimen laminar (véase la figura 6.1). A partir del número de Reynolds para el cual se produce la transición, llamado crítico, Rec, la distancia a la que se produce la transición de régimen laminar a turbulento se estima a partir de la expresión: R𝑒𝑒𝑐𝑐 =

𝑐𝑐0 𝑥𝑥 𝑣𝑣

(147)

en la que Rec, es el número de Reynolds crítico, x la distancia a la que se estima que tiene lugar la transición, C0 la velocidad del fluido en una zona aún no perturbada por la superficie, es decir, es la velocidad de flujo libre. Si esta distancia corresponde a una proporción no despreciable de zona laminar, respecto a la longitud total de la superficie, se utiliza una ecuación promedio que tiene en cuenta los dos regímenes: NUL = 0,0664 Rec0,5 Pr1/3 + 0,036 ReL0,8 Pr0,43 [ 1 - (Rec/ReL)0,8 ]

(148)

Las propiedades se determinan a la temperatura media de película.

6.4.6 Flujo exterior en tomo a un haz de tubos Los tubos pueden disponerse de forma alineada o al tresbolillo (véase la figura 6.2). Las distancias características son las que se indican en la citada figura. Desde un punto de vista térmico, es más eficaz la disposición al tresbolillo por lo que ésta es más utilizada. Sin embargo, la disposición alineada mejora las operaciones de recambio y mantenimiento de los tubos. En un haz de tubos, es muy importante el concepto de número de filas nL en la dirección del flujo; es el número de filas que son atravesadas perpendicularmente por el flujo. El número de filas transversales a las anteriores se indicarán con el símbolo nT. Así pues, el número total de tubos es: n = nLnT

(149) 95

Ingeniería térmica Para tubos lisos, se recomienda utilizar la ecuación de Zukauskas [8]: NuD = α ReDβ Pr0,36 (Pr/ Prw)0,25

(150)

donde α y β son coeficientes cuyo valor se indica en la tabla 6.5. Las propiedades se determinan a la temperatura media para líquidos y a la temperatura de película para gases. En este último caso, el término Pr/Prw = 1. Tabla 6.5 - Coeficientes α y β (ecuación de Zukauskas)

Reynolds

Alineados

Tresbolillo

10 < Re < 100

α = 0,90 β = 0,40

α = 0,90 β = 0,40

100 < Re < 1.000

α = 0,52 β = 0,50

α = 0,60 β = 0,50

1.000 < Re < 200.000

Re > 200.000

α = 0,27 β = 0,63 SL/ST >0,7 α = 0,021

β = 0,84

α =0,35(SL/ST)0,2 β = 0,60 si SL/ST < 2

α =0,40

β = 0,60

si SL/ST > 2

α = 0,022

β = 0, 84

El número de Reynolds de la ecuación de Zukauskas se ha de calcular con la velocidad máxima que es la correspondiente a la superficie mínima de paso. En esta ecuación se utiliza la fórmula: Cmáx = C0 ST/(ST - D)

(151)

donde C0 es la velocidad del fluido antes de entrar en el haz de tubos, D es el diámetro exterior de los tubos y ST y SL son las distancias que se muestran en la figura 6.2.

Figura 6.2 - Disposiciones de los tubos en un haz con indicación de las distancias características.

96

Transmisión de calor por convección Sea cual sea la disposición de los tubos, la ecuación de Zukauskas, tal como se presenta en (150), sólo es aplicable a haces de tubos con más de 20 filas en la dirección del flujo. Si hay menos se ha de aplicar el siguiente factor de corrección, f = 0,9291 + 0,005625 nL - 0,000104 nL2

(152)

y el coeficiente de convección será: hn20 f

(153)

Para hacer estimaciones preliminares se puede utilizar una ecuación más sencilla, la ecuación de Kreith [7]: NUD = 0,33 ReD0,6 Pr0,3

(154)

también con el Reynolds máximo y sea cual sea la disposición de los tubos. Esta ecuación sólo se aplica para Re > 6.000. Si los tubos tienen aleteas, el cálculo más o menos exacto del coeficiente de convección es mucho más laborioso. De forma aproximada se utiliza la ecuación [9]: NUD = K Re0,625 R-0,375 Prl/3

(155)

en la que K es un coeficiente que depende de la distribución de los tubos, K = 0,45 para una distribución al tresbolillo y K = 0,33 para una distribución el línea. R es la relación entre el superficie exterior total del conjunto de tubos, aletas incluidas, y la superficie exterior de los tubos sin incluir las aletas. El número de Reynolds también se calcula con la velocidad máxima y ha de estar comprendido entre 3.000 y 25.000.

Ejemplo n° 20 Circulan 5,56 kg/s de aire a la presión atmosférica perpendicularmente a un haz de tubos dispuestos al tresbolillo, con nL = 13 y nT = 20. El diámetro exterior de los tubos es 15 mm y su longitud 883 mm. El espaciado de tubos entre las filas paralelas a la dirección del flujo es ST = 30 mm y entre las filas perpendiculares es SL = 45 mm. El aire llega al haz de tubos a 29 °C y con una velocidad de 10 m/s. La superficie exterior de los tubos se encuentra a la temperatura de 225 °C. Determinar el coeficiente medio de transmisión de calor por convección y la tasa de transferencia de calor. Estímese también la temperatura del aire a la salida del haz de tubos. Las propiedades del aire [2] se determinan, en primer lugar, a la temperatura media de película. Puesto que se desconoce la temperatura del aire a la salida del haz de tubos, inicialmente, confundiremos la temperatura de entrada con su propia temperatura media.

97

Ingeniería térmica tm = 29 ºC

tf = (tm + tw)/2 = (29 + 225)/2 = 127 °C

Las propiedades del aire a la presión atmosférica y a 127 °C son, ρ = 0,8826 kg/m3, k = 0,03362 W/(m K), μ = 2,286 · 10-5, Pr = 0,689, Cp = 1.005 J/(kg K). Prw (número de Prandtl a la temperatura media de pared, es decir a 225 °C) = 0,792. La velocidad máxima del aire es según (151): cmáx = c0 ST/(sT - D) = 10 · 30/(30 - 15) = 20 m/s y

el REmax: Remax =

cmax Dρ 20 · 0,015 · 0,8826 = = 11.583 µ 2,286 · 10−5

la tabla 6.5, para una configuración de tubos al tresbolillo con un número de Reynolds comprendido entre 1.000 y 2·105 y SL/ST < 2, indica que: α = 0,35(SL/ST)0,2 = 0,35(45/30)0,2 = 0,3796 y β = 0,60 y por la ecuación (150) de Zukauskas:

0,689 0,25

NuD = α ReDβ Pr0,36 (Pr/ Prw)0,25 = 0,3796 · 115830,6·0,6890,36 �0,792�

así, h es:

h=

= 87,95

NuD k 87,95 · 0,03362 = = 197,1W/(m2 K) D 0,015

y puesto que en la dirección del flujo sólo se han dispuesto 13 hileras de tubos, hay que aplicar a h el factor corrector: f = 0,9291+ 0,005625nL - 0,000104nL2 = 0,9291+ 0,005625 · 13 - 0,000104 · 132 = 0,9846 y, en consecuencia, de (153): hn20 f = 197,1 · 0,9846 = 194,07 W/(m2 K) y la tasa de transferencia de calor, Q̇ = πDLnTnLh(tw - tf) = π· 0,015 · 0,883 · 20 · 13 · 194,07(225 - 29) = 4,115 · 105 W

Un simple balance térmico hace posible estimar la temperatura alcanzada por el aire a la salida del haz de tubos: Q̇ 4,115 · 105 t 2 = t1 + = 29 + = 29ºC + 73,6ºC = 102,8ºC ṁ cp 5,56 · 1005 98

Transmisión de calor por convección Hay que tener en cuenta que los resultados obtenidos son sólo provisionales. En efecto, éstos se han estimado en base a una temperatura media de película supuesta. Los resultados definitivos se obtendrían después de llevar a cabo un proceso iterativo. La metodología a seguir podría ser la siguiente: en primer lugar, se obtendría la temperatura media del aire en el haz tubular: tm = (t1 + t2)/2 = (29 + 102,6)/2 = 65,8 °C seguidamente, la temperatura media de película: tf = (tm + tw)/2 = (65,8 + 225)/2 = 145,4 °C y, precisamente, a esta nueva temperatura se tendrían que tomar las propiedades del aire a fin de recalcular primero h y, después, la tasa de calor. El proceso iterativo se daría por concluido en el momento que los sucesivos resultados obtenidos fuesen suficientemente aproximados.

6.5 Convección natural sobre diversas superficies Se recomienda la ecuación de McAdams [10]: NUL = c (Ra)n

(156)

en la que c y n son coeficientes indicados en la tabla 6.6. Tabla 6.6 - Coeficientes c y n de la ecuación de McAdams (Gr Pr)

c

n

Geometría

109

0,59

1/4

Placas y cilindros verticales

109 a 1013

0,10

1/3

104

a

109

0,53

1/4

a

1012

0,13

1/3

105 a 2·107

0,54

1/4

2·107 a 3·1010

0,14

1/3

3·105 a 3·1010

0,27

1/4

104

109

a

Cilindros horizontales

Placa horizontal superior caliente

Placa horizontal inferior caliente

Para placas verticales inclinadas, el ángulo de inclinación a ha de ser menor de 30°. En caso contrario, se puede producir el desprendimiento de la capa límite y el problema se complica. Si el ángulo es menor de 30°, se obtiene el coeficiente de convección aplicando la fórmula anterior pero multiplicado el número de Grashof por cos α.

99

Ingeniería térmica

Ejemplo n° 21 Una pared vertical de 3 m de altura se halla a la temperatura de 24 °C y está en contacto con aire atmosférico a 1 °C. Determinar el coeficiente medio de transmisión de calor. Utilícense las siguientes las propiedades del aire a la temperatura media de fluido y de pared, es decir, a 12,5 °C, ρ = 1,246 kg/m3, μ = 1,775·10-5kg/(ms), Cp = 1.005 J/(kg K), k = 0,02508 W/(m K), Pr = 0,712. Se usará la ecuación (156) de McAdams. Primero, se determinará el número de Rayleigh (135), RaL = GrL Pr, donde el número de Grashof es; GrL =

βgp2 (Tw − Tα )L3 0,0035 · 9,81 · 1,2462 (24 − 1)33 = = 1,051 · 1011 (1,775 · 10−5 )2 µ2

en el cual se ha tomado β = 1/T = 1/(12,5 + 273,15) = 0,00350 K-1, Así: RaL = GrL Pr = 1,051 · 1011 · 0,712 = 7,483 · 1010

Puesto que RaL está comprendido entre 109 y 1013, y se trata de una geometría tipo pared vertical, la tabla 6.6 proporciona los coeficientes c = 0,10 y n = 1/3 para la fórmula de McAdams: NUL = c (Ra)n = 0,10·(7,483 · 1010)1/3 = 421,4 de donde: h=

NuL k 421,4 · 0,02508 = = 3,523W/(m2 K) L 3

Recuérdese que el coeficiente β de expansión volumétrica o de dilatación térmica es: 1 ∂v β= � � v ∂T p

donde v es el volumen específico. Para los gases ideales esta expresión coincide con el inverso de la temperatura absoluta.

6.6 Determinación de la temperatura final del fluido Los problemas de transmisión de calor por convección se plantean a partir de las temperaturas medias del fluido y de la pared. La aplicación de las oportunas ecuaciones empíricas permite obtener el coeficiente de convección, y de éste se calcula la tasa de transferencia. Es el método de cálculo directo: Tw Tm ⇒ Propiedades ⇒ Ecuaciones empíricas ⇒ hc ⇒ Q̇ 100

Transmisión de calor por convección En otras ocasiones, el desconocimiento a priori de la temperatura de salida del fluido T2 no permite trabajar con temperaturas medias y se ha de utilizar un método indirecto: se supone la temperatura T2, se obtienen las propiedades y el coeficiente hc y se aplica la ecuación: Ahc(Tw - (T1 + T2)/2) = mcp(T2 - T1)

(157)

donde A es la superficie de transferencia de calor, m el caudal másico de fluido circulante y Cp el calor específico a presión constante del mismo. Se despeja T2 de (157) y reinicia el cálculo con esta temperatura. El proceso se repite hasta obtener los resultados con la suficiente aproximación.

Ejemplo n° 22 Por un tubo de 2,5 m de longitud y 19 mm de diámetro interior circula agua a la velocidad de 1 m/s. El agua entra a 25 °C. La pared interior del tubo se mantiene a la temperatura constante de 98 °C. Determinar la temperatura de salida del agua. Para calcular el coeficiente de convección interior utilícese la ecuación de Colburn con las propiedades medias a la temperatura de película, NuD = 0,023 ReD0,8pr0,4. El caudal másico de agua es; m = cAρ = 1 · (π/4)0,0192. 1000 = 0,2835 kg/s Dada la escasa variación de la densidad con la temperatura, para calcular el caudal se ha considerado un valor constante igual a 1000 kg/m3. Inicialmente, se calculan las propiedades del fluido a la temperatura de película tf = (t1 + tw)/2 siendo t1 la temperatura del agua a la entrada y tw la temperatura media de la pared. Así pues, tf = (25 + 98)/2 = 61,5 °C. Las propiedades del agua a esta temperatura son: k = 0,657 W/(m K), ρ = 983 kg/ms, Cp = 4181 J/(kg K), μ = 4,615 · 10-4 kg/(ms), Pr = 2,95. Se aplica la ecuación de Colbum calculando previamente el número de Reynolds: ReD =

𝑐𝑐Dρ 1 · 0,019 · 983 = = 40.470 µ 4,615 · 10−4

NuD = 0,023ReD0,8Pr0,4 = 0,023 · 40.4700,8 ·2,950,4 = 171,9 con lo que h es: 101

Ingeniería térmica

h=

NuD k 171,9 · 0,657 = = 5.944W/(m2 K) D 0,019

El área de transferencia de calor es el área interior del tubo: Ai = πDil = 3,1416 · 0,019 · 2,5 = 0,1492 m2 Para determinar la temperatura t2, se aplica (157): 0,1492 · 5.944 �98 −

25 + 𝑡𝑡2 � = 0,2835 · 4.181(𝑡𝑡2 − 25) 2

Obsérvese que se ha utilizado (157) con temperaturas centígradas dado que en ambos miembros aparecen diferencias de temperaturas. Despejando la incógnita, se obtiene t2 = 64,8 °C. Con esta temperatura de salida provisional, se recalcula con más precisión la temperatura de película: t f = (t m + t w )/2 =

25 + 64,8⁄2 + 98 = 71,4ºC 2

Las propiedades del agua a esta temperatura son:

k = 0,665 W/(m K), ρ = 977 kg/m3, cp = 4.187 J/(kg K), μ = 4,05 · 10-4 kg/(ms), Pr = 2,55. El nuevo número de Reynolds es;

y el de Nusselt:

ReD =

𝑐𝑐Dρ 1 · 0,019 · 977 = = 45.835 µ 4,05 · 10−4

NUD = 0,023ReD0'8Pr0,4 = 0,023 · 45.8350,8 · 2,550,4 = 179,18 con lo que h vale: h=

NuD k 179,18 · 0,657 = = 6.271 W/(m2 K) D 0,019

Aplicando de nuevo (157):

0,1492 · 6271 �98 −

25 + 𝑡𝑡2 � = 0,2835 · 4.187(𝑡𝑡2 − 25) 2

se obtiene t2 = 66,3 °C. Cabe la posibilidad de hacer más iteraciones. Sin embargo, esta temperatura se puede considerar suficientemente correcta. 102

Transmisión de calor por convección

6.7 Temas de ampliación En algunos casos sencillos de convección y flujo interior laminar, el problema se estudia analíticamente [2] y [10]. También es muy enriquecedor el estudio de la capa de Prandtl que proporciona aproximaciones muy estimables. Hay que tener presente que la transmisión de calor tiene lugar a través de esta capa límite. La aplicación de las ecuaciones integrales de la cantidad de movimiento y de la energía a la capa límite laminar genera soluciones aproximadas. En ocasiones, obtenerlas por otras vías de mayor exactitud implica una notable inversión de tiempo de cálculo. El transporte de calor, de cantidad de movimiento y de materia constituye una unidad formal que, en determinadas circunstancias, se estudia de forma conjunta. Las analogías de Reynolds y la más completa de Colburn y Chilton utilizan las ecuaciones empíricas de transferencia de cantidad de movimiento en transferencia de calor o de materia, y viceversa, con sólo cambiar unos parámetros por otros. El lector encontrará desarrollado este tema en [2], [7], [10] y [11].

Bibliografía [1] Van Driest, E.R. "On dimensional Analysis and the Presentation of Data in Fluid Flow Problems". Journal of Applied Mechanics, 13, 1940. [2] Mills, A.F. Transferencia de calor. Editorial IRWIN, México, 1995. [3] Hausen H. Heat Transfer in Counter flow & Cross Flow. McGraw-Hill, Nueva York, 1983. [4] Petukhov, B.S. "Heat Transfer and Friction in Turbulent Pipe Flow with Variable Properties", Advances in Heat Transfer, 6, Academic Press, Nueva York, 1970. [5] White, F.M. Mecánica de Fluidos. McGraw-Hill, México, 1983. [6] Kraussold, H. "Der konvective Wärmeubergang", Technik, 3, 1948. [7] Kreith, F., Black, W.Z. La transmisión de calor. Alhambra, Madrid, 1983. [8] Zukauskas, A. "Heat Transfer from Tubes in Crossflow", Advances in Heat Transfer, 8, Academic Press, Nueva York, 1972. [9] Valiente, A. Problemas de transferencia de calor. Editorial Limusa, México, 1988. [10] Necati Ö. Transferencia de calor. McGraw Hill, Bogotá, 1979. [11] Sigalés, B. Convecció sense canvi de fase. Edicions de la UPC. Barcelona, 1990.

103

Capítulo 7

TRANSMISIÓN DE CALOR POR RADIACIÓN 7.1 Introducción Las ondas electromagnéticas se propagan a la velocidad de la luz y transportan energía, que de forma genérica, recibe el nombre de energía radiante o radiación. La luz es un ejemplo de energía radiante. Existe una clase de radiación electromagnética que emiten todos los cuerpos, por estar a una temperatura T determinada, denominada radiación térmica. El medio en el que se propaga puede influir o no en la propagación. En este sentido, se dice que el medio es participante o no participante. Un ejemplo de medio no participante es el espacio exterior o la atmósfera en tramos cortos. En estos casos, el intercambio de radiación entre dos cuerpos sólo depende de las propiedades y las temperaturas de los dos cuerpos. Cuando la radiación se propaga a través de un medio que contiene aerosoles, agua, dióxido de carbono, hollín, polvo, etc., el medio es participante, es decir, absorbe y emite radiación, y el intercambio de ésta también depende de las propiedades del medio. En esta obra sólo se estudia la radiación a través de un medio no participante (véase el apartado 7.8). Dado que la emisión de radiación es un fenómeno ligado a la superficie de los cuerpos, así como el problema de la reflexión, la interceptación de ondas, etc., en lo sucesivo nos referiremos a superficies radiantes y no a cuerpos.

7.2 Física de la radiación 7.2.1 Conceptos fundamentales

La teoría ondulatoria de la radiación establece que ésta se comporta como una onda que vibra con una frecuencia f, siendo λ su longitud de onda y c su velocidad de propagación, que es la velocidad de la luz. Se cumple que: c=λf

(158) 105

Ingeniería térmica La teoría corpuscular establece que la radiación está constituida por corpúsculos, denominados fotones, que viajan a la velocidad de la luz y que transportan una energía e, proporcional a su frecuencia de vibración: e=hf

(159)

donde h es la constante de Planck (h = 6,626·10-34 Js). La emisión de radiación se produce a causa de la excitación de los electrones ante un estímulo determinado. En la radiación térmica, el estímulo es el aumento de temperatura producido por un calentamiento del cuerpo. La excitación de los electrones también se produce por otras causas, externas o internas, lo cual ocasiona emisión de radiación diferente de la térmica. Además de la energía, la única diferencia entre un tipo u otro de radiación es la distinta longitud de onda. La representación de los intervalos de longitud de onda de los principales tipos de radiación se denomina espectro electromagnético. En la figura 7.1 se representa una parte el espectro electromagnético. En ella se aprecia que el intervalo en el que se produce la radiación térmica es el comprendido entre 10-7 y 10-4 m.

7.2.2 Superficie negra

La superficie negra es la que absorbe toda la radiación incidente. Por tanto, no refleja fracción alguna de la energía que recibe. El calificativo negra está asociado al hecho de que el ojo humano ve la radiación reflejada o emitida por los cuerpos. Si no percibe radiación reflejada o emitida, la sensación se corresponde a una "superficie negra". Sin embargo, esta sensación es engañosa puesto que el ojo humano sólo puede apreciar longitudes de onda comprendidas entre 0,3840-6 y 0,7640-6 m, es decir, entre 0,38 y 0,76 micrómetros, que constituye la franja de la radiación visible. Obsérvese que esta franja es muy estrecha comparada con la de la radiación térmica. Es decir, una superficie percibida como negra por el ojo humano puede no ser una superficie negra en el sentido físico. La superficie negra es ideal y constituye un elemento de comparación de las diferentes superficies emisoras que siempre absorben menos que la superficie negra. Salvando las diferencias, la superficie negra sería el equivalente al concepto de gas ideal que se ha utilizado como elemento de comparación con los gases en general.

Figura 7.1 - Espectro electromagnético, con A, en m

106

Transmisión de calor por radiación

Eb,λ =

C1 λ-5 exp(C2 /λT) -1

en la que Eb,λ es la potencia radiante o potencia emisiva total por unidad de superficie y por unidad de longitud de onda. En el SI se mide en W/m3. C1 y C2 son dos constantes que valen respectivamente, 3,742·10-16 W m2 y 1,4389·10-2 m K. Es muy instructiva la representación de la potencia radiante frente a la longitud de onda para distintas temperaturas (véase la figura 7.2). Cada curva presenta un máximo que va aumentando al disminuir la longitud de onda y aumentar la temperatura. Para una temperatura dada, el máximo, en m/K, corresponde a: 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =

2,898 · 10−3 𝑇𝑇

y este desplazamiento del máximo se conoce con el nombre de ley de Wien. Esta ley explica el cambio de color del rojo al blanco al calentar una superficie. Para obtener la potencia emisiva total Eb de toda la gama de longitudes de onda, se ha de integrar la función Eb, λ: α

Eb = � Eb,λ (λ, T)dλ 0

(161)

el resultado de esta integración es la ley de Stefan-Boltzmann: Eb = σT4

(162)

Figura 7.2 - Gráfica de la ley de Planck

107

Ingeniería térmica en la que σ es la constante de Stefan-Boltzmann (σ = 5,6697 · 10-8 W/(m2K4)) y que Stefan propuso en 1879 a partir de resultados experimentales. A veces es muy útil calcular la potencia emitida entre dos longitudes de onda determinadas. Para ello se ha de resolver la integral: λ2

Eb (𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆2 ) = � Eb,λ dλ λ1

que por comodidad de cálculo puede descomponerse de la siguiente forma: λ2

λ1

0

0

Eb (𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆2 ) = � Eb,λ dλ − � Eb,λ dλ

La fracción de potencia emitida entre 0 y λ, respecto de la total, denominada función de radiación, es: 𝜆𝜆

1 � Eb,λ dλ 𝜎𝜎𝑇𝑇 4 0

y, por comodidad de cálculo, está calculada y tabulada en función del producto λT [3]. En la tabla 7.1 se presenta un resumen de la tabla, más extensa, indicada en la bibliografía. Tabla 7.1 - Función de radiación

(continúa)

108

Transmisión de calor por radiación

8,0

0,856344

9,0

0,890090

10

0,914263

12

0,945167

14

0,962970

16

0,973890

18

0,980939

20

0,985683

30

0,995427

40

0,998057

50

0,999045

100

1,000000

7.2.3 Propiedades de la radiación Las propiedades de la radiación denominadas radiativas hacen referencia a la forma y cantidad en que una superficie emite, absorbe, refleja y transmite energía radiante. Las propiedades radiactivas dependen de la naturaleza de la superficie radiante y de la longitud de onda de la radiación. En el estudio del intercambio energético por radiación entre dos o más cuerpos, influirán todas las longitudes de onda de las radiaciones implicadas así como las direcciones de la emisión, puesto que una superficie interceptará más o menos radiación según la geometría del sistema emisor. Es evidente que el análisis del problema no es trivial. Para simplificar el problema se recurre a unas propiedades promediadas para todas las longitudes de onda. Estas propiedades se denominan totales y son: la absortividad (α), la reflectividad (ρ) y la transmisividad (τ). La absortividad es la fracción de energía incidente absorbida por el cuerpo. La reflectividad es la fracción de energía incidente reflejada. La transmisividad es la fracción de energía incidente transmitida a través del cuerpo. La energía total incidente, independientemente de su procedencia y referida a la unidad de superficie y de tiempo, se denomina irradiación y se expresa con el símbolo I. El balance energético en torno a un cuerpo que recibe radiación se expresará mediante la relación: αI + ρI + τI = I o bien: α+ρ+τ=1

(163)

Para un cuerpo negro α = 1, ρ = t = 0 por definición. La nieve y el hielo poseen una absortividad comprendida entre 0,95 y 0,98, lo cual indica que se aproximan mucho al 109

Ingeniería térmica

Figura 7.3 - Recinto isotermo para deducir la ley de Kirchhoff

cuerpo negro. En realidad, absorben toda la radiación menos la visible. Para un cuerpo reflector perfecto, la antítesis del cuerpo negro, ρ = 1, α = τ = 0.

7.2.4 Ley de Kirchhoff Consideremos un recinto isotermo a la temperatura T (véase la figura 7.3). En su interior se sitúa un cuerpo 1 que se halla a la misma temperatura que el recinto, es decir, en equilibrio térmico. Si están en equilibrio térmico, la energía E1 emitida por el cuerpo ha de ser igual a la irradiación I que llega al cuerpo procedente del recinto. Se cumple: E1 = α1I

(164)

Si sustituimos, ahora, el cuerpo 1 por un cuerpo 2 que sea un cuerpo negro, se tendrá: E2 = α2I = I (165) puesα2 = 1. Si dividimos ambas expresiones miembro a miembro se obtiene: E1/E2 = α1 Por otra parte, el cociente E1/E2 recibe el nombre de emisividad s y es la relación entre la energía emitida por un cuerpo 1 y la energía emitida por un cuerpo negro a igual temperatura. Así pues: α1 = ε1

(166)

La ley de kirchhoff afirma que la absortividad de un cuerpo cualquiera, en equilibrio térmico, coincide con su emisividad. Es decir, un cuerpo opaco que sea un buen absorbente también es un buen emisor. El cuerpo negro es el absorbente perfecto puesto que α1 = 1 y también ε1 = 1. si construimos un recinto isotérmico provisto de un pequeño orificio y enviamos radiación al recinto a través del orificio, ésta se reflejará en su seno innumerables veces absorbiéndose cada vez una fracción de energía, de manera que, finalmente, se absorberá la práctica totalidad de la energía incidente.

110

Transmisión de calor por radiación

Figura 7.4 - Recinto isotermo, provisto de un pequeño orificio para transformarlo en un cuerpo negro

El recinto isotérmico se aproxima pues al comportamiento de una superficie negra. El fenomeno mediante el cual un recinto isotérmico se transforma en un cuerpo negro recibe el nombre de efecto cavidad. En consecuencia, un recinto isotérmico se puede considerar como un emisor de comportamiento análogo al del cuerpo negro. Si calentamos el recinto a una temperatura T y mantenemos esta temperatura constante, la radiación que escapa por el orificio tendrá las características de la radiación del cuerpo negro (véase la figura 7.4). En la tabla 7.2 se dan valores de la emisividad total de distintas sustancias con indicación de la temperatura a la que se ha medido la propiedad. Se trata únicamente de una tabla indicativa. Para más información el lector conviene consultar bibliografía más especializada [1,2]. Tabla 7.2 - Emisividades de distintas sustancias Sustancia de la superficie emisora

Emisividad ε

Aluminio pulido

0,040 (296 K)

Cobre negro oxidado

0,780 (293 K)

Cobre pulido

0,030 (293 K)

Amianto en láminas

0,96 (297 K)

Ladrillo

0,93 (293 K)

Vidrio

0,93 (293 K)

Yeso de estucado

0,93 (293 K)

111

Ingeniería térmica

7.2.5 Superficie gris La mayoría de superficies comunes de interés en la técnica son opacas, es decir, no son transparentes a la radiación térmica. Por consiguiente, su transmisividad τ = 0. Así, cuando la radiación incide sobre una superficie real, opaca, parte de la energía incidente es absorbida y el resto se refleja: τ=0⇒α+ρ=l

Por otra parte, las propiedades radiativas, tal como se ha indicado anteriormente, dependen de la longitud de onda de la radiación. La absortividad a una longitud de onda λ1, es distinta de la absortividad a una longitud de onda λ2: El cuerpo gris es una simplificación del modelo de cuerpo negro. Su fundamento se sustenta en la hipótesis que considera que las propiedades radiactivas son constantes y, por tanto, independientes de la longitud de onda: αλ = Cte

(167)

Una conclusión muy importante relativa al cuerpo gris es la siguiente: si en el recinto isotérmico, en el cual se ha propuesto la experiencia para justificar la ley de Kirchhoff, se hubiese considerado una emisión monocromática, se demostraría que: αλ = ελ

(168)

La relación entre la absortividad total y la absortividad monocromática viene dada por: 𝛼𝛼 = y para la emisividad: ε=

α

α

∫0 αλ 𝐼𝐼𝜆𝜆 dλ α

∫0 𝐼𝐼𝜆𝜆 dλ

∫0 Eb,λ (T)dλ α

∫0 Eb,λ dλ

=

α

∫0 ελ Eb,λ dλ σT 4

(169)

(170)

Así pues, la potencia térmica radiada E por una superficie gris que posee una emisividad ε y que se halla a la temperatura absoluta T es: E = ε Eb = εσT4

(171)

En síntesis, una superficie negra, a la temperatura absoluta T, emite radiación según la ecuación de Stefan Boltzmann.

112

Transmisión de calor por radiación Si se trata de una superficie gris, para calcular la radiación emitida basta multiplicar ésta por su emisividad s: E = εEb

Siendo E la energia radiante emitida por la superficie gris y Eb la energia radiante que emitiría dicha superficie si fuera una superficie negra. Obsérvese que la emisividad de una superfìcie 1 no depende de las demás superficies 2, 3, etc. que puedan emitir radiación sobre 1, ni de sus temperaturas. Sólo depende de la temperatura y de las condiciones del material de la superficie emisora. Así pues, (168) que expresa la ley de Kirchhoff sobre una base monocromática, no exige que las superficies que irradian sobre 1 estén a la misma temperatura. Dado que las propiedades radiactivas del cuerpo o superficie gris son independientes de la longitud de onda, se cumplirá en cualquier caso la relación (168) y, en consecuencia, genéricamente: α=ε Aunque no exista equilibrio térmico entre el cuerpo y sus alrededores. El cuerpo o superficie gris constituye una modelización de la realidad, pues las propiedades radiactivas varían con la longitud de onda. Una buena solución consiste en dividir en porciones la zona del espectro en la que se desea calcular la propiedad total, y así, en cada una de ellas, se considerará constante la propiedad. Por lo que se refiere a la energía radiante reflejada, hay que distinguir entre dos categorías extremas de superficies reflectoras, las especulares y las difusas. Un reflector especular refleja la radiación térmica como un espejo refleja la radiación visible, es decir, con un ángulo definido de reflexión igual al ángulo de incidencia. Sólo las superficies que se comportan de esta manera se pueden considerar especulares. Un reflector difuso refleja la radiación incidente con la misma intensidad en todas las direcciones.

Ejemplo n° 23 Un filamento incandescente está a 2.500 K. Determinar el poder emisivo total y la cantidad de energía emitida en la banda del espectro visible (0,38 a 0,76 mm). Considérese que el filamento es un cuerpo negro. El poder emisivo total del cuerpo negro viene dado por la ecuación (162); Eb = σT4 = 5,67 · 10-8 · 2.5004 = 2,21 · 107 · W/m2 En la banda del espectro visible: λ1T = 3,8 · 10-7 · 2.500 = 0,00095 mK λ2T = 7,6 · 10-7 · 2.500 = 0,00190 mK Interpolando la función de radiación en la tabla 7.1 resulta:

113

Ingeniería térmica λ1

1 � Eb,λ dλ = 0,000281 σT 4 0

Por consiguiente:

λ2

1 � Eb,λ dλ = 0,05304 σT 4 0

Eb (𝜆𝜆2 ,𝜆𝜆1 ) = σT4

0,053040 - 0,00028 = 0,0528

el porcentaje de energía visible y, en consecuencia captada por el ojo humano, emitido por el filamento incandescente es sólo el 5,28% de la energía emitida. La energía restante, o buena parte de ella, se emite en la zona del infrarrojo, que no puede ser percibida por el ojo humano pero sí por la piel.

7.3 Factor de forma de la radiación Si dos superficies intercambian energía por radiación, es importante determinar la energía interceptada por cada superficie respecto a la energía total emitida por la otra. Esta relación se conoce con el nombre de factor de forma o factor de visión. Conviene señalar que el problema de la determinación de los factores de forma es puramente geométrico y relativamente sencillo para superficies difusas. Si las superficies son especulares, o bien se trata de un sistema mixto, el problema es más complejo y se recomienda recurrir a la literatura especializada [4]. En lo que sigue, supondremos que las superficies que intercambian radiación son superficies grises difusas. Si consideramos dos superficies A1 y A2 finitas, se define [1] y [2] el factor de forma F12 que expresa la energía interceptada por A2 respecto a la emitida por A1: 𝐹𝐹12 =

1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃2 � � 𝑑𝑑𝐴𝐴2 𝐴𝐴1 𝐴𝐴1 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝜋𝜋𝑟𝑟 2

(172)

Los ángulos θ1 y θ2 son los que se muestran en la figura 7.5. Análogamente, el factor de forma F21 es: 1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃1 𝐹𝐹21 = � � 𝑑𝑑𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 (173) 𝐴𝐴1 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝜋𝜋𝑟𝑟 2

Puede ocurrir que una superficie no sea plana. Si es convexa, como por ejemplo la parte exterior de una esfera, la energía emitida no es interceptada por la propia superficie. En cambio, si es cóncava, como la parte interior de una esfera hueca, la propia superficie intercepta parte de la energía emitida por ella misma. Así pues, para dos superficies, en general, habrá que considerar los siguientes factores de forma. F11, F12, F22 y F21. De las expresiones anteriores es fácil deducir que. 114

Transmisión de calor por radiación

Figura 7.5 - intercambio de radiación entre dos superficies

para determinar el factor de forma; n1, y n2 son vectores unitarios perpendiculares a las superficies dA, y dA2.

F12A1 = F21A2

(174)

Si las superficies A1 y A2 no intercambian energía con ninguna otra superficie, es decir, sólo lo hacen entre sí, la energía emitida por A1 sólo puede llegar a la propia A1 y a A2, por tanto: F11 + F22 = 1

(174a)

y, análogamente, la energía emitida por A2 sólo puede llegar a la propia A2 y a A1: F22 + F21 = 1

(174b)

Ejemplo n° 24 Determinar los factores de forma de dos cilindros coaxiales, de gran longitud, de superficies A1 la interior y A2 la exterior. El medio entre ambas es no participante. A1 es una superficie convexa y, por consiguiente, F11 = 0 puesto que la energía que emite no puede ser interceptada por ella misma. Además, toda la energía emitida por A1 llega a A2, por tanto F12 = 1. Por otra parte, de (174): F21 = A1/A2 Finalmente, de (174b), F22 vale: F22 = 1 - F21 = 1 - A1/A2 115

Ingeniería térmica

7.4 Temperatura efectiva de radiación Desde el punto de vista de la energía incidente sobre una superficie, en general, el problema se plantea en términos diferentes al considerado en el ejemplo 24 pues la energía puede llegar desde ámbitos muy diversos y de diferentes procedencias. Consideremos un cuerpo 1 que recibe radiación de otro cuerpo más o menos envolvente 2. Si el cuerpo 2 está bien definido y su forma y sus propiedades son conocidas, la energía emitida por 2 estará perfectamente definida a partir de su temperatura. Si el cuerpo 2 no está bien definido, pero se conoce la energía emitida, se puede definir una temperatura efectiva de radiación Te considerando que es un cuerpo negro que se halla a la temperatura Te necesaria para que la radiación emitida coincida con la de este cuerpo. Este concepto es útil, por ejemplo, cuando conviene cuantificar la energía intercambiada entre una superficie cualquiera expuesta y el cielo nocturno. El cielo nocturno emite radiación, dependiendo del estado de la atmósfera, como si se tratara de un cuerpo negro a una temperatura determinada.

7.5 Intercambio de energía radiante entre dos superficies grises difusas 7.5.1 Superficies planas

Consideremos dos superficies planas, paralelas y de gran tamaño, en el límite infinitas. Las superficies son opacas y difusas, de áreas A1 y A2 y temperaturas T1 y T2, respectivamente, e intercambian energía radiante. Recuérdese que se ha definido la irradiación I como la energía total emitida, referida a la unidad de superficie y de tiempo, independientemente de su procedencia. En el siguiente cuadro resumen se muestra cuál es la procedencia de la energía irradiada por A1. Tasa total radiante emitida por A1,...................................................................... A1I1 Fracción de la tasa irradiada debida a la emisión de energía térmica asociada a la temperatura T1 ........................................................................................... A1ε1σT14 Fracción de la energía que llega de A2 y que refleja A1 .......... ρ2A2F21I1 =ρ1A1F12I2 Por tanto:

A1I1 = A1ε1σT14 + ρ1A1F12I2

(175)

Para A2 procederemos análogamente: A2I2 = A2ε2σT24 + ρ2A2F21I1

116

(176)

Transmisión de calor por radiación Resolviendo el sistema de dos ecuaciones algebraicas con dos incógnitas y I2 resulta: 𝐼𝐼1 =

𝐼𝐼2 =

ε1 σT14 + ρ1 ε2 𝐹𝐹12 σT24 1 − ρ1 𝜌𝜌2 𝐹𝐹12 𝐹𝐹21

(177)

ε2 σT24 + ρ2 ε1 𝐹𝐹12 σT14 1 − ρ1 ρ2 𝐹𝐹12 𝐹𝐹21

(178)

El flujo térmico neto sobre la superficie A1 cumple: (178a)

A1q1 =A1I1 = A1F12I2 y q1 es:

(178b)

q1= I1= F12I2 Sustituyendo I1 e I2 en (178b), se obtiene: 𝑞𝑞1 =

(179)

ε1 σT14 + ρ1 ε2 𝐹𝐹12 σT24 − ε2 𝐹𝐹12 σT24 − ρ2 ε1 𝐹𝐹12 𝐹𝐹21 σT14 1 − ρ1 𝜌𝜌2 𝐹𝐹12 𝐹𝐹21

De (179) se deducen los casos particulares que correspondan. Por ejemplo, para dos planos infinitos y paralelos F12 = F21 = 1, con lo que q1 = I1 - I2, resultando: 𝑞𝑞1 =

σ(T14 − T24 ) 1 1 + −1 ε1 ε2

q2 = -q1

(180)

Puesto que la pérdida neta de energía térmica radiante de una superficie ha de ser igual, en el caso analizado, a la ganancia neta de la otra superficie, y donde se ha tenido en cuenta que al tratarse de superficies opacas τ1 = τ2 = 0 y, consiguientemente, ρ1 = 1 - ε1 y ρ2 = 1 - ε2.

Ejemplo n° 25 Colocamos una superficie de 3,5 m2 horizontalmente sobre el suelo durante la noche. La superficie está situada sobre un aislante de forma que no intercambie calor con el suelo. El aire tiene una temperatura de 18 °C y el firmamento tiene una temperatura efectiva de radiación de 150 K. Se desea calcular la temperatura de equilibrio de la superficie y la tasa de calor neta irradiada por la citada superficie. Para ello, se acepta un coeficiente de convección superficie-aire de 17 W/(m2 K) ya que tanto el firmamento como la superficie tienen comportamiento radiactivo de cuerpos negros. Véase la figura 7.6. Sea T1 la temperatura de equilibrio de la superficie y T2 = 150 K la temperatura efectiva de radiación del firmamento. Por ser ambas supuestamente superficies negras, sus emisividades y absortividades son iguales a la unidad y sus reflectivida117

Ingeniería térmica

Figura 7.6 - Esquema correspondiente al ejemplo 25.

des nulas. Además, el problema puede asimilarse a dos superficies planas infinitas, el firmamento y el suelo, que intercambian energía radiante. Por tanto, el flujo radiante neto entre ambas superficies se deduce de (180) haciendo ε1 = ε2 = 1, q = σ(T14 - T24) y puesto que éste se transmite a través del medio ambiente de manera convectiva: σ(T14 - T24) = h(Tα - T1) siendo la temperatura del aire ambiente. Sustituyendo: 5.67 · 10-8(T14 - 1504) = 17(291 - T1) Operando resulta: 5.67 · 10-8T14 + 17 T1 - 4.918,3 = 0 y la temperatura de superficie es T1 = 271,3 K, es decir, -1,7 °C aproximadamente. En algunas noches estrelladas de invierno se observa la presencia de escarcha en zonas no protegidas que ven el firmamento, mientras que en zonas abrigadas, por ejemplo debajo de un árbol o cerca de una pared, no hay escarcha. Los resultados obtenidos en este ejemplo sugieren una explicación del fenómeno. La tasa de calor neta irradiada por la superficie es: Q̇ = σA1(T14 - T24) = 5,67·10-8 · 3,5(271,34 - 1504) = 974,5 W

y ésta, a su vez, coincide con la que la superficie recibe por convección del entorno ambiente inmediato. Conviene recordar que se considera el aire como un medio no participante, es decir, que no absorbe ni emite radiación alguna. A todos los efectos, el aire ambiente se comporta frente a la radiación como un medio ideal absolutamente transparente a la misma.

118

Transmisión de calor por radiación

7.5.2 Superficies curvas Si las superficies A1 y A2 son curvas, cabe la posibilidad de que una superficie emita sobre sí misma, con lo cual hay que considerar un término más en las ecuaciones (175) y (176): A1I1 = A1ε1σT14 + ρ1A1(F11I1 + F12I2) (181) A2I2 = A2ε2σT24 + ρ2A2(F21I1 + F22I2)

(182)

Así, en el caso analizado en el ejemplo nº 24, dos cilindros coaxiales de gran longitud o (lo que sería equivalente) dos esferas concéntricas, sabemos que: F11 = 0

F12 = 1

F21 = A1/A2

F22 = 1 - A1/A2

es decir, la superficie interior no emite sobre sí misma (F11 = 0) y toda la radiación que emite llega a la superficie que la envuelve (F12 = 1). Análogamente, F21 y F22 son las fracciones complementarias de las energías emitidas por la superficie envolvente que, respectivamente, una llega a la superficie interior (F21) y la otra, se emite sobre sí misma p22. Puesto que se trata de superficies opacas se comportan como emisores y reflectores difusos siendo s su emisividad y p su reflectividad. La relación entre ambas es: P1 = 1 - ε1

P2 = 1 - ε2

sustituyendo los factores de forma y las reflectividades en (181) y (182) se determinan las irradiaciones I1 e I2 (energías radiantes totales referidas a la unidad de superficie y de tiempo): I1 = ε1 σT14 + (1 − ε1 )I2 (183) I2 = ε2 σT24 + (1 − ε2 ) �I1

𝐴𝐴1 𝐴𝐴1 I �1 − �� 𝐴𝐴2 2 𝐴𝐴2

(184)

Los flujos radiantes netos sobre A1 y A2 cumplen, respectivamente: q1 = I1 - F11I1 - F12I2

(185)

q2 = I2 - F21I1 - F22I2

(186)

y la sustitución de los valores de los factores de forma en (185) y (186) dan lugar a: q1 = I1 -I2

(186a) 𝐴𝐴

𝑞𝑞2 = (I2 − I1 ) � 1 � 𝐴𝐴2

(186b)

Resolviendo las ecuaciones (183) y (184) se obtienen las irradiaciones I1 e I2 que sustituidas en (186a) y (186b) permiten calcular los flujos netos sobre las superficies. Así, la tasa intercambiada entre las dos superficies es: 119

Ingeniería térmica ̇ = −Q̇ 2 = Q1̇ = Q12

A1 𝜎𝜎 �T1 4 − T2 4 � 1� + �1� − 1�(A ⁄A ) 1 2 𝜀𝜀1 𝜀𝜀2

(187)

Recordemos que Q1 = Q12 = -Q2, indicando con Q12 el intercambio neto entre ambas superficies. Como ejercicio, se sugiere al lector que compruebe que cuando la distancia que separa ambas superficie es pequeña comparada con el radio de la superficie interior, el resultado obtenido se simplifica y de él se reproduce el obtenido para dos superficies planas paralelas e infinitas.

7.6 Fórmulas generalizadas Procediendo de forma similar a la indicada en el apartado 7.5, para el intercambio neto entre dos superficies grises de áreas A1 y A2 con la salvedad de que F12 sea distinto de cero, obtendríamos: 𝐴𝐴1 𝜎𝜎(𝑇𝑇1 4 − 𝑇𝑇2 4 ) ̇ = −𝑄𝑄̇ 2 = 𝑄𝑄1̇ = 𝑄𝑄12 (188) 1 − 𝜀𝜀1 1 𝐴𝐴 1 − 𝜀𝜀2 + + 1+ 𝜀𝜀1 𝐹𝐹12 𝐴𝐴2 𝜀𝜀2 De esta ecuación pueden derivarse distintos casos particulares, por ejemplo si F12 = 1, tendríamos la ecuación (187); si ε1A1/ε2A2 es pequeño queda: ̇ = 𝜀𝜀1 𝐴𝐴1 𝜎𝜎(𝑇𝑇1 4 − 𝑇𝑇2 4 ) 𝑄𝑄12

(189)

Esto nos sugiere la posibilidad de utilizar una expresión general del tipo: ̇ = 𝐹𝐹𝐴𝐴1 𝜎𝜎(𝑇𝑇1 4 − 𝑇𝑇2 4 ) 𝑄𝑄12

(190)

donde F es el llamado factor de transferencia de radiación. En [2] hay abundante información sobre este factor y los diversos casos en que (190) puede aplicarse.

7.7 Resistencia térmica asociada a la radiación Otro tema de mucho interés es la posibilidad de resolver problemas de transmisión de energía por radiación mediante el uso de analogías con los circuitos eléctricos. En efecto, la energía radiante neta intercambiada entre dos superficies negras viene dada por la expresión: Q̇ 12 = A1F12Eb1 - A1F12Eb2 o bien:

120

Transmisión de calor por radiación Q̇ 12 = A1F12Eb1 - A1F12Eb2 = A1F12(Eb1 - Eb2)

esta última puede reescribirse en la forma: 𝑄𝑄̇12 =

𝐸𝐸𝑏𝑏1 − 𝐸𝐸𝑏𝑏2 1 𝐴𝐴1 𝐹𝐹12

Obsérvese que este resultado es formalmente equivalente a la ley de Ohm para un conductor eléctrico. No obstante, existe una diferencia fundamental con el caso equivalente aplicado a la transmisión de calor por conducción o convección. Ahora la "diferencia de potencial" no equivale a la diferencia de temperaturas, sino al flujo térmico de radiación de la ley de Stefan-Boltzmann. Sin embargo, para incluir la radiación en circuitos térmicos en los que exista conducción y convección se puede hacer mediante un coeficiente ficticio, hr, definido en la forma: 𝑄𝑄̇1 ℎ𝑟𝑟 = (191) 𝐴𝐴 Δ𝑇𝑇 1

siendo ∆T = T1 - Tr, siendo Tr una temperatura de referencia que puede ser T2 o cualquier otra conveniente en el sistema. El lector encontrará abundante información sobre este tema en [7].

7.8 Temas de ampliación

En el estudio de la energía radiante de naturaleza térmica son muchos los temas que han sido solamente esbozados y otros ni siquiera mencionados como, por ejemplo, el estudio de la radiación a través de un medio participante. Sobre esta cuestión se puede consultar [5], [6] y [7]. Si hay más de dos superficies intercambiando radiación, el número de ecuaciones se multiplica y es aconsejable la utilización de métodos matriciales. Otro tema importante relacionado con la radiación es el estudio de la radiación solar. En el diseño de colectores solares es imprescindible relacionar la captación radiante con la latitud, azimut e inclinación de la superficie captadora. En [1] y [2] el lector encontrará información sobre este tema, expresada de forma sencilla y amena.

Bibliografía

[1] Kreith, F. y Black, W.Z. La transmisión del calor. Editorial Alhambra, Madrid, 1983. [2] Mills, A. F. Transferencia de Calor. Editorial Irwin, México, 1995.

121

Ingeniería térmica [3] Dunkle, R. V. "Thermal Radiation Tables and Aplications". Transactions of the ASME, vol. 68, 1954. [4] Eckert, E. R. G. y Sparrow, E. M. "Radiative Heat Exchange Surfaces with Specular Reflection". International. Journal of Heat and Mass Transfer, 3, 1961. [5] Hottel, H. C. "Transmisión calorífica por radiación", capítulo 4 de Transmisión de calor de McAdams. W.H. Ediciones del Castillo, Madrid, 1964. [6] Eduards, D. K. y Matavosian, R. "Scaling rules for total absorptivity and emissivity of gases". Journal of Heat Transfer, 106, 1984. [7] Kreith, R, Bohn, M. S. Principios de Transferencia de calor. Thomson. Madrid, 2002.

122

Capítulo 8 TRANSMISIÓN DE CALOR EN ALETAS 8.1 Introducción Uno de los objetivos que tiene el ingeniero en los procesos de transferencia de calor es, en general, aumentar la velocidad de transferencia, dado que ésta tiene un coste de operación y cuanto menor sea el tiempo de transferencia de calor menor será el coste. Para aumentar la tasa de transferencia de calor se puede actuar sobre los siguientes factores: ❖ Hacer más eficiente el proceso. Esto repercutirá en un coeficiente global de transferencia de calor más alto. Podemos suponer que este requisito ya se cumple y que el coeficiente global está optimizado. ❖ Incrementar la diferencia de temperaturas entre los sistemas que intercambian calor. Esta posibilidad no siempre es posible practicarla puesto que la temperatura del sistema que se ha de calentar o enfriar precisa una temperatura determinada, y la temperatura del otro sistema suele estar prefijada por una u otra razón. Por ejemplo, si queremos enfriar un aceite que está a 80 °C con agua fría, lo lógico es pensar en las disponibilidades de agua fría que sean más económicas. Si utilizamos agua de la red la diferencia de temperaturas será un factor muy poco modificable. ❖ Aumentar la superficie de transferencia de calor. Si el aumento de superficie comporta un aumento excesivo de volumen, el dispositivo de intercambio de calor se encarecerá y no será rentable el aumento de superficie. Una forma de aumentar la superficie, sin que ello conlleve un aumento espectacular del volumen, consiste en añadir a la superficie de intercambio de calor unas superficies suplementarias denominadas superficies extendidas, en general, y aletas en el caso de aplicarse a tubos. ❖ El análisis térmico de la conducción de calor en aletas es complejo. Sólo en caso de aceptar algunas simplificaciones, y con aletas de geometría sencilla, el análisis se puede abordar con cierta facilidad. En este capítulo estudiaremos las aletas 123

Ingeniería térmica longitudinales de perfil recto. En [1] se encontrará amplia información sobre distintos tipos de aletas.

8.2 Clasificación Centraremos el estudio a las aletas aplicadas a tubos que es el caso más frecuente de superficies extendidas. Las aletas se clasifican en transversales, longitudinales y en forma de aguja (véase la figura 8.1). Las aletas transversales están constituidas por placas de forma diversa, colocadas de forma perpendicular al eje del tubo. Las formas más habituales son la circular y la cuadrada o rectangular. Estas últimas acostumbran a ser delgadas y, si se trata de un banco de tubos, se adaptan a todo el banco a la vez (véase la figura 8.2). También es frecuente que sean arrugadas en lugar de lisas con lo cual se aumenta la superficie, para una misma proyección de aleta, y así el conjunto resulta más compacto. Las aletas circulares pueden ser de sección transversal constante, triangular o trapezoidal (véase la figura 8.3). Las aletas longitudinales están constituidas por placas adaptadas al eje longitudinal del tubo y se clasifican en base a su perfil, rectangular, triangular, etc., (véase la figura 8.4). Las aletas en forma de aguja, como su nombre indica, tienen forma de aguja, no necesariamente cilíndrica, y están

124

Transmisión de calor en aletas

Figura 8.3 - Aletas circulares: a) triangulares, b) rectangulares Figura 8.2 - Aletas transversales

y c) trapezoidales

para un banco de tubos

Figura 8.4 - Aletas circulares: a) triangulares, b) rectangulares y c) trapezoidales

colocadas perpendicularmente en la parte exterior del tubo con una distribución generalmente regular. Habitualmente, las aletas se disponen en la parte exterior del tubo, aunque no es una rareza el tubo con aletas situadas en la superficie interior cuando el intercambio de calor que se desea potenciar es el que tiene lugar por el interior del tubo. Respecto al material con el que se construyen las aletas, suelen ser de un metal buen conductor del calor como, por ejemplo, hierro, aluminio o cobre. A menudo, la aleta y el tubo son del mismo material. Si no es así, se tendrán que considerar resistencias adicionales de contacto.

8.3 Ecuación diferencial de las aletas longitudinales con transmisión de calor unidimensional 8.3.1 Fundamentos En la figura 8.5 se ha representado un tramo de aleta longitudinal de longitud elemental dx. Llamaremos A a la superficie de su sección transversal y da a la superficie lateral de

125

Ingeniería térmica la porción elemental considerada. Si admitimos una única dirección de transmisión de calor (la dirección x en la figura), la temperatura será constante a una x determinada. En condiciones de régimen estacionario y sin generación de calor en el elemento infinitesimal de aleta, se cumplirá que la tasa de calor ganado por conducción en la dirección de x ha de ser igual a la tasa neta disipada por convección a través de su superficie lateral. En el elemento de aleta, la tasa de calor que entra por la izquierda es Q y la que sale por la derecha: ∂Q̇ Q̇ + dx ∂x

y, en consecuencia, la tasa neta resultante es: −

∂Q̇ dx ∂x

Por otra parte, si la tasa de calor perdida por convección a través de la superficie lateral da es: Q̇ = da h(T - Tα)

siendo h el coeficiente de convección del medio convectivo exterior, da el área diferencial de transmisión de calor y Tα la temperatura de este último, igualando resulta: −

∂Q̇ ∂x

dx = da h(T - Tα)

Figura 8.5 - Detalle de una porción elemental de una aleta longitudinal

Representando por 0 la diferencia de temperaturas T - Tα y teniendo en cuenta la ley de Fourier es fácil obtener:

126

Transmisión de calor en aletas d dθ h da A− θ=0 dx dx k dx

siendo k la conductividad del material de la aleta y A el área de la sección transversal de la misma, es decir, la sección de la aleta normal al flujo de calor de conducción. Si se trata de una aleta de sección transversal constante, A será constante y da = Pdx, siendo P el perímetro también constante de la sección considerada. Con lo cual:

y si se hace m = (hP/kA)1/2:

d2 θ hP − θ=0 dx 2 kA d2 θ − 𝑚𝑚2 θ = 0 dx 2

(192)

La resolución de esta ecuación diferencial depende de las condiciones de contorno exigidas. Consideraremos dos posibilidades, una aleta de altura infinita, con lo que la temperatura del extremo superior coincidirá con la del medio convectivo, y una aleta con flujo de calor despreciable en el extremo. Ambos casos corresponden a unas situaciones ideales, en las que las aletas reales pueden encajar con mayor o menor fortuna.

8.3.2 Aleta de sección transversal constante y de altura Infinita Se admiten las siguientes condiciones de contorno, x = 0 ⇒ θ = θb ; x = α ⇒ θ = 0 siendo θb = Tb - Tα y Tb la temperatura de la base de la aleta que supondremos conocida. La solución propuesta de la ecuación diferencial es:

θ = C1 emx + C2 emx

donde C1 y C2 son las constantes de integración.

Las funciones exponenciales de exponentes negativo y positivo son soluciones parciales de la ecuación diferencial general. Se toma como solución general una combinación lineal de ambas. Aplicando las condiciones de contorno se obtiene, C1 = θb y C2 = 0. Sustituyendo en la ecuación general resulta: (193) θ = θb emx Es interesante calcular la tasa de calor que atraviesa la base de la aleta puesto que será la misma que se disipará por convección a través de la superficie exterior. Ésta es: Q ḃ = −Ak �

dθ � = Akθb m dx x=0

127

Ingeniería térmica es decir:

Q̇ b = Akθbm

(194)

8.3.3 Aleta con flujo de calor despreciable en el extremo Sean las condiciones de contorno: dθ

x = 0 ⇒ θ = θb y x = L ⇒ q𝐿𝐿 = −k � �

dx x=L

donde L es la altura de la aleta.

=0

En este caso la solución de la ecuación diferencial es; θ = C1 cosh (m(L - x)) + C2senh (m(L - x)) en la que cosh y senh indican las funciones trigonométricas coseno hiperbólico y seno hiperbólico respectivamente. Para más información sobre estas funciones se puede consultar [2]. Dado que ambas son soluciones parciales, se considera como solución general una combinación lineal de ambas. Tanto la fundón exponencial, utilizada en el apartado anterior, como las funciones seno y coseno hiperbólicos constituyen soluciones de la ecuación diferencial general. La utilización de un tipo u otro de solución suele venir condicionada a la comodidad de implementación de las condiciones de contorno. En el caso considerado, aplicando las condiciones de contorno se obtiene: 𝐶𝐶1 =

θb 𝑦𝑦 𝐶𝐶2 = 0 cosh(𝑚𝑚𝑚𝑚)

y sustituyendo en la solución propuesta resulta: θ cosh(m(L − x)) = θb cosh(mL)

(195)

La tasa de calor por la base de la aleta es:

dθ 1 Q ḃ = −kA � � = θb PhkA− �2 tanh(mL) dx x=0

(196)

Se puede definir un número adimensional, llamado de Biot y característico de la aleta, en la forma: 𝐵𝐵𝐵𝐵 =

ℎ𝐿𝐿𝑐𝑐 𝑘𝑘

(197)

siendo Lc una longitud característica de la aleta que se ha de definir en cada caso. Para una aleta longitudinal de sección transversal constante, la longitud característica es: 128

Transmisión de calor en aletas

𝐿𝐿𝑐𝑐 =

y su número de Biot:

𝐵𝐵𝐵𝐵 =

𝑃𝑃𝐿𝐿2 𝐴𝐴

(198)

ℎ𝑃𝑃𝐿𝐿2 𝑘𝑘𝑘𝑘

(199)

La tasa de calor a través de la base de la aleta en función de Biot es:

Ejemplo n° 26

Q̇ b = θbBi1/2(kA/L) tanh (Bi1/2)

(200)

Una aleta longitudinal de aluminio de conductividad térmica k = 170 W/(m K) tiene una longitud de 1 m, una altura de 4,5 cm y un grosor de 0,5 cm. La temperatura en la base de la aleta es 85 °C. El coeficiente de convección entre la superficie de la aleta y el medio exterior es 65 W/(m2 K) y la temperatura de este último es 25 °C. Determinar la tasa de calor a través de la base de la aleta a partir de las siguientes hipótesis: a) la temperatura en el extremo de la aleta coincide con la del medio, b) el flujo de calor es nulo en el extremo de la aleta. a) En primer lugar, calculamos el área y el perímetro de la sección transversal de la aleta normal a la dirección del flujo de calor por conducción: A = longitud x grosor = 1 · 0,005 = 0,005 m2 P = 2 (longitud + grosor) = 2 (1 + 0,005) = 2,01 m El parámetro m es: 𝑚𝑚 =

ℎ𝑃𝑃1/2 65 · 2,01 1/2 = = 12,4 𝑘𝑘𝑘𝑘 170 · 0,005

y la tasa de transferencia de calor:

Q̇ b = Akθbm = Ak(tb - tα)m = 0,005 · 170( 85 - 25) 12,40 = 632,4 W

b) Si el flujo de calor es nulo en el extremo de la aleta, se tendrá que aplicar la ecuación (200) por lo que conviene calcular el número de Biot en primer lugar. 𝐵𝐵𝐵𝐵 =

ℎ𝑃𝑃𝐿𝐿2 65 · 2,01 · 0,0452 = = 0,3113 𝑘𝑘𝑘𝑘 170 · 0,005

la tasa de calor a través de la base de la aleta es:

170·0,005 Q̇ b = θbBi1/2(kA/L) tanh (Bi1/2) = 60·0,31131/2 tanh (0,31131/2) = 320,2 W 0,045

es decir, algo más de la mitad del supuesto anterior.

129

Ingeniería térmica

8.4 Eficiencia de una aleta Si las aletas tienen una geometría más compleja, el análisis térmico puede dar lugar a ecuaciones analíticas mucho más complicadas o bien a ecuaciones diferenciales que se tendrán que resolver mediante métodos numéricos. Conviene que el ingeniero se sienta a gusto con los métodos numéricos. Hoy en día, los programas informáticos, bien sea por aplicación de los métodos de diferencias finitas o de incrementos finitos, hacen menos ingratas las soluciones numéricas. Sin embargo, la solución numérica exige un tiempo. Si el rigor o la exactitud no son esenciales, se puede utilizar una solución gráfica basada en métodos analíticos, cuando estos son factibles, o empíricos si se trata de aletas de geometría más sofisticada. En el método de la eficiencia, que se presenta a continuación, la eficiencia, η, de una aleta es: Q̇ (201) 𝜂𝜂 = 𝐴𝐴𝑎𝑎 ℎ(𝑇𝑇𝑏𝑏 − 𝑇𝑇𝛼𝛼 )

siendo el área total de transferencia de calor por convección de la aleta. El numerador es la tasa real de calor que desprende la aleta por convección al medio exterior. El denominador es la tasa de calor que desprendería la aleta si toda su superficie se hallase a la temperatura constante de su propia base. Evidentemente, η es menor que la unidad dado que la temperatura de la superficie de la aleta, además de no ser constante, disminuye a medida que nos alejamos de su base. La bibliografía ofrece numerosas gráficas que permiten obtener la eficiencia a partir de las características geométricas de la aleta. Una vez obtenida la eficiencia, se determina la tasa real de transferencia de calor. La temperatura de la base de la aleta se obtiene aplicando las ecuaciones de convección y de conducción térmicas al elemento al cual están añadidas las aletas. La figura 8.6 presenta la eficiencia de una aleta anular. Obsérvese que ésta se presenta frente a un parámetro característico [3]: Lc3/2(h/kAp)1/2 siendo Aa la altura de la aleta corregida con una cierta distancia adicional, a fin de tener en cuenta el efecto del calor evacuado por el extremo de la aleta, puesto que la figura corresponde a una aleta sin flujo de calor en su extremo. El calor transferido desde el extremo de la aleta se compensa mediante la adición de una longitud imaginaria a la aleta. Esta longitud añadida debería transferir una cantidad de calor equivalente a la procedente del extremo de la aleta real. De esta manera, la superficie de esta aleta ficticia alargada podrá considerarse que está aislada. En una aleta longitudinal de sección transversal constante, se recomienda que esta distancia adicional sea el cociente entre el área y el perímetro de dicha sección transversal, es decir: Lc = L + A/P

(202)

En cuanto a Ap, también es un área característica de la aleta que viene referenciada en las curvas de eficiencia de las diferentes clases de aletas. 130

Transmisión de calor en aletas

Figura 8.6 - Eficiencia de aletas anulares de diferentes dimensiones

Para otro tipo de aletas, la distancia corregida suele indicarse en la misma gráfica o bien en el texto que ilustra la figura. En aletas longitudinales de sección transversal constante con su extremo aislado, es decir, sin transferencia de calor, la eficiencia es: 𝜂𝜂 =

Q̇ θ𝑏𝑏 Bi1/2 (kA/L) tanh (Bi1/2 ) tanh(𝐵𝐵𝐵𝐵 1/2 ) = = 𝐴𝐴𝑎𝑎 ℎ(𝑇𝑇𝑏𝑏 − 𝑇𝑇𝛼𝛼 ) 𝑃𝑃𝑃𝑃ℎ𝜃𝜃𝑏𝑏 𝐵𝐵𝐵𝐵 1/2

(203)

Esta expresión muestra la influencia del número de Biot en la eficiencia de la aleta. Si el material de la aleta es de mala conductividad, puede ocurrir que la existencia de aletas sea perjudicial en el sentido de que el tubo podría disipar más calor sin aletas que con aletas.

Ejemplo n° 27

Obtener la tasa de transferencia de calor por convección en una aleta circular de sección transversal constante de 12 cm de altura y 0,5 cm de grosor, colocada sobre un tubo de 3 cm de radio exterior. El material es cobre de conductividad térmica k = 210 W/(m K). El coeficiente de convección entre la superficie exterior y el medio convectivo es 75 W/(m2 K) y la temperatura de este último es 25 °C. La temperatura de la base de la aleta es 110 °C. Para una aleta circular, la altura corregida es Lc = L + t/2, siendo t el grosor de la aleta y L su altura, Ap = Lct siendo t el grosor de la ale131

Ingeniería térmica ta, y el radio r2 corregido r2 = r1 + Lc siendo r1 el radio exterior de la aleta. Para determinar la eficiencia de la aleta úsese la figura 8.6. La altura corregida es: Lc = L + t/2 = 12 + 0,5/2 = 12,25 cm = 0,1225 m el área de referencia: Ap = Lct = 0,1225 · 0,005 = 6,125 · 10-4 m2 el radio r2 corregido, r2' = r1 + Lc = 0,03 + 0,1225 = 0,1525 m y r2'/r1 = 0,1525/0,03 = 5,083 y, finalmente, la abscisa de la figura 8.6 es: Lc3/2(h/kAp)1/2 = 0,12253/2�

751/2

210·6,125·10−4

� = 1,035

Con r2'/r1 y la abscisa calculada, la eficiencia aproximada de la aleta que se deduce de la figura 8.6 es q = 0,423, por lo que la tasa de calor de la aleta es: Q̇ = ηAah(Tb - Tα) = 0,423 · 0,1405 · 75(110 - 25) = 379 W

donde Aa se ha calculado como sigue:

Aa = 2π( r2'2 - r12) = 2π(0,15242 - 0,032) = 0,1405 m2

8.5 Eficiencia ponderada de un tubo aleteado La tasa de calor desprendida por las aletas en un tubo aleteado es: Q̇ a = ηAah(Tb - Tα) (204) ̇ siendo Qa la tasa de calor despedida por convección por la superficie exterior de todas las aletas, η la eficiencia de la aleta y Aa el área de la superficie exterior de todas las aletas. La tasa de calor Q̇ t desprendida por la porción de tubo desprovista de aletas es: Q̇ t = Ath(Tb - Tα)

(205)

siendo At el área exterior de la parte del tubo que no tiene aletas. En (205) están implícitas dos suposiciones importantes: a) el coeficiente de convección es el mismo para las aletas que para el tubo; b) la superficie exterior del tubo que no tiene aletas se halla a la misma temperatura que la base de ésta. Ambas hipótesis no son rigurosamente ciertas, sin embargo, su aceptación no introduce un error significativo en los cálculos y se puede obtener una expresión sencilla y muy útil.

132

Transmisión de calor en aletas La tasa total de transferencia de calor disipada por el tubo aleteado es: Q̇ = Q̇ a + Q̇ t = ηAah(Tb -Tα) + Ath(Tb -Tα)

así, se deduce fácilmente:

𝐴𝐴 𝐴𝐴 Q̇ = Ae(η 𝑎𝑎 + 1 𝑎𝑎 )h(Tb-Tα] 𝐴𝐴𝑒𝑒

𝐴𝐴𝑒𝑒

siendo Ae = At + Aa, es decir, el área total exterior de transferencia de calor del tubo y las aletas. Llamando b la relación Aa/Ae queda: Q̇ = Ae(ηβ + 1 - β)h(Tb-Tα]

( 206)

La expresión encerrada en el primer paréntesis la designaremos q' y recibe el nombre de eficiencia ponderada del tubo aleteado.

Ejemplo n° 28

Q̇ = Aeη'h(Tb - Tα)

(207)

Un tubo de un metro de longitud cuyos diámetros interior y exterior son 40 y 46 mm, respectivamente, posee ocho aletas longitudinales de sección transversal constante de 11 mm de altura y 3 mm de grosor (véase la figura 8.7). La temperatura de la base de estas aletas es 25 °C y la temperatura del medio convectivo 50 °C. El coeficiente de transmisión de calor exterior es 35 W/(m2 K) y la eficiencia de las aletas es 0,75. Calcular la tasa de transferencia de calor de este tubo aleteado. En primer lugar, calculamos el área de transferencia de calor de una de las aletas: A1a =2 · 0,011 · 1 + 0,003 · 1 = 0,025 m2 El área total es:

Aa = nA1a = 8 · 0,025 = 0,200 m2

El área de la parte de tubo exterior desnudo de aletas, Atd, es: Atd = π · 0,046 · 1 - 8 · 0,003·1 = 0,1205 m2 por lo que la superficie total de transferencia de calor es: Ae = Atd + Aa = 0,1205 + 0,200 = 0,3205 m2 y el parámetro p = Aa/A = 0,200/0,3205 = 0,6240. En consecuencia, la tasa de transferencia de calor del tubo aleteado es: Q̇ = Ae(ηβ + 1 - β)h(tb - tα) = 0,3205(0,75 · 0,6240 + 1 - 0,6240)35(50 - 25) ≈ 237 W

133

Ingeniería térmica

Figura 8.7 - Figura correspondiente al ejemplo28.

5.9 Temas de ampliación La aplicación de condiciones de contorno más realistas al estudio de la conducción de calor estacionaria en aletas conduce a ecuaciones diferenciales cuya solución está relacionada con ciertas funciones ortogonales, como las funciones de Bessel y los polinomios de Legendre; el lector interesado encontrará información sobre estos temas en [4].

Bibliografía [1] Mills, A.F. Transferencia de calor. Irwin, Madrid, 1995. [2] Rey Pastor, Calleja, Trejo. Análisis Matemático. Vol. 1. Editorial Kapelusz, Buenos Aires, 1969. [3] Kreith F., Black W.Z. La transmisión del calor. Editorial Alhambra. Madrid, 1983. [4] Rohsenow, W. M., Hartnett, J.P. y Ganic, E.N. Handbook of Heat Transfer Fundamentals. McGraw-Hill, Nueva York, 1985.

134

Capítulo 9

TRANSFERENCIA DE CALOR CON CAMBIO DE FASE 9.1 Introducción Son muy frecuentes en ingeniería los procesos de transferencia de calor asociados a un fluido que cambia de estado. En una planta frigorífica de compresión de vapor o de absorción, dos elementos clave de la misma son el evaporador y el condensador en los que el fluido frigorífico entra en ebullición en el primero y condensa en el segundo. Habitualmente, en una central térmica de producción de energía eléctrica, la turbina trabaja con vapor de agua recalentado que es preciso obtener a partir de agua líquida mediante un generador de vapor. Muchos combustibles utilizados en automoción se obtienen por ebullición del petróleo en columnas de destilación. Estos ejemplos dan una noción de la importancia que tienen estos procesos industriales asociados a un fluido que cambia de estado. La transferencia de calor con cambio de fase está íntimamente vinculada a fenómenos de transporte. Incluye la condensación, la ebullición y la evaporación. Excluye la solidificación porque implica el estudio del estado sólido.

9.2 Condensación 9.2.1 Introducción Se produce la condensación cuando un gas que está a la temperatura de saturación entra en contacto con una superficie que se halla a una temperatura inferior. Si llamamos ts la temperatura de saturación y tw la temperatura de la pared, es condición indispensable para la condensación que tw < ts. El líquido se forma directamente sobre la superficie, pudiendo hacerlo de dos maneras diferentes, en forma de una película que va resbalando sobre la superficie o en forma de gotas. La primera se llama condensación pelicular y la segunda condensación en gotas. La condensación pelicular es menos eficiente que la otra pero es la que ocurre de forma natural. La condensación en gotas ha de ser inducida y mantenida expresamente. 135

Ingeniería térmica

9.2.2 Condensación pelicular en régimen laminar La teoría de Nusselt [1] establece el coeficiente de transferencia de calor en un proceso de condensación pelicular y la aplicaremos a la condensación de un vapor sobre una superficie vertical (véase la figura 9.1). Supongamos que el vapor se halla a la temperatura de saturación ts y la superficie a la temperatura tw. El vapor condensará sobre la superficie vertical y caerá resbalando sobre ella en un flujo que supondremos laminar. Supondremos también que no hay resistencia térmica en la interfase líquidovapor, lo cual significa que la temperatura de la superficie de líquido condensado que está en contacto con el vapor es la misma que temperatura del vapor. Consideremos una porción infinitesimal de líquido condensado sobre la placa vertical. Se cumple que la diferencia entre el peso y el empuje es igual a la fuerza de rozamiento: (𝛿𝛿𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑏𝑏 𝜌𝜌1 𝑔𝑔 − (𝛿𝛿𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝜌𝜌𝑣𝑣 𝑔𝑔 = 𝜇𝜇1

𝑑𝑑𝑐𝑐𝑥𝑥,𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑑𝑑

(208)

siendo δx el espesor de la capa de condensado a la distancia x de referencia, x e y las coordenadas de la porción elemental, b la anchura de la placa, ρ1 la densidad del líquido, g la gravedad, ρv la densidad del vapor, μ1 la viscosidad dinámica del líquido, x e y. la velocidad de descenso de la porción elemental referida a las coordenadas x, y. Integrando la ecuación diferencial con la condición de contorno cx,y = 0 para y = 0 se obtiene la distribución de velocidad en la película de condensado: cx,y =

gΔρ 1 (δ y − y 2 ) µ1 x 2

Figura 9.1 - Condensación sobre una placa vertical

136

(209)

Transferencia de calor con cambio de fase en la cual se ha designado por ∆ρ a la diferencia ρ1 - ρv. El caudal másico que fluye por la placa vertical por unidad de anchura de la misma (b = 1) en la cota x es: 𝛿𝛿𝑥𝑥

Γ𝑥𝑥 = � 𝑐𝑐𝑥𝑥,𝑦𝑦 𝜌𝜌1 𝑑𝑑𝑑𝑑 0

Sustituyendo cx,y e integrando se obtiene el siguiente caudal másico del condensado referido a una anchura unitaria de la placa:

Γ𝑥𝑥 =

𝜌𝜌1 Δρδx 3 𝑔𝑔 3µ1

(210)

que es función del espesor δx de la capa líquida en la posición x. La temperatura t en la porción elemental dy es una temperatura intermedia entre ts, y tw. Si consideramos una variación lineal entre ambas temperaturas (véase la figura 9.2) se cumple: 𝐭𝐭 𝐬𝐬 −𝐭𝐭 𝐰𝐰

𝐭𝐭 𝐬𝐬 − 𝐭𝐭 =

𝛅𝛅 𝐱𝐱

(𝛅𝛅𝐱𝐱 − 𝐲𝐲)

(211)

El vapor al condensar cede calor a la placa. La condensación se realiza a la temperatura ts. Sin embargo, el líquido se enfría hasta una temperatura intermedia entre ts y tw. En la cota x, el calor cedido por unidad de tiempo es: 𝛿𝛿𝑥𝑥

Q 𝑥𝑥̇ = 𝑚𝑚̇ 𝑥𝑥 ℎ𝑓𝑓𝑓𝑓 � 𝑐𝑐𝑥𝑥,𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜌𝜌1 𝑐𝑐1 (𝑡𝑡𝑠𝑠 − 𝑡𝑡) 0

(212)

Figura 9.2 - Variación lineal de la temperatura en una sección de la capa de condensado

137

Ingeniería térmica

siendo hfg el calor latente de condensación a la temperatura ts y C1 el calor específico del líquido. Si en esta expresión sustituimos Cx, y por (209) e integramos, resulta: Q ẋ = ṁ x hfg +

gΔρ 1 ρ1 c1 δ3x (t s − t) µ1 8

(213)

Combinando (210) y (213) para eliminar δx3 se obtiene:

siendo ∆t = ts - tw. Si hacemos:

tendremos:

3 Q ẋ = ṁ x hfg + mx c1 Δt 8 3 h´fg = hfg + c1 Δt 8 Qx = mxh’fg

(214)

(215)

Sea ahora una capa de condensado de espesor dx perpendicular a la placa (véase la figura 9.1). Esta capa está en contacto con la placa a través de una superficie elemental dx b (recordemos que se ha considerado b = 1). El flujo de calor, o lo que es lo mismo, la densidad del flujo térmico que atraviesa por conducción la superficie bdx, por aplicación de la ley de Fourier es: 𝑞𝑞𝑥𝑥 = 𝑘𝑘1

Δ𝑡𝑡

𝛿𝛿𝑥𝑥

(216)

siendo k1 la conductividad térmica del líquido.

También se obtiene la densidad del flujo de calor de (215): 𝑞𝑞𝑥𝑥 =

h´fg 𝑑𝑑Γ𝑥𝑥 𝛿𝛿𝑥𝑥

(217)

donde dΓx es el diferencial de (210), que una vez sustituido en (217) y eliminando qx con (216) resulta: k1 µ1 Δt δ3x d𝛿𝛿𝑥𝑥 = dx gρ1 Δρ h′fg (218) Integrando entre δx = 0, x = 0 y δx, x no resulta difícil obtener la expresión:

138

Transferencia de calor con cambio de fase 1/4

4k1 µ1 xΔt � gρ1 Δρ h′fg

(219)

qx = hx∆t

(220)

𝛿𝛿𝑥𝑥 = �

Por otra parte, también se puede expresar la densidad del flujo de calor en función de un coeficiente local de transmisión de calor hx. Dado que está implícito un proceso de condensación, este coeficiente se llama coeficiente de condensación. Así: y de (216): hx = Por consiguiente, (219) se transforma en: hx = �

k1 𝛿𝛿𝑥𝑥

(221) 1/4

gρ1 Δρ h′fg k13 � 4xµ1 xΔt

(222)

Para obtener un coeficiente hc, promedio se calcula la media integral de hx a lo largo de la altura L de la placa. Integrando (222) entre x = 0 y x = L, se obtiene: 1/4

gρ1 Δρ h′fg k13 hc = 0,943 � � 𝐿𝐿µ1 xΔt

(223)

McAdams [2] recomienda aumentar un 20 %, para que los valores experimentales se ajusten a los teóricos. Así pues, finalmente, el coeficiente de condensación es: hc = 1,13 �

1/4

gρ1 Δρ h′fg k13 � 𝐿𝐿µ1 xΔt

(224)

El término (k3ρ1g∆ρ/μ1)1/4 está constituido por propiedades del fluido y, por tanto, se puede tabular en función de la temperatura. En el diseño del condensador de una máquina frigorífica se precisa el coeficiente de condensación. En [3], el lector hallará esta propiedad tabulada para distintos fluidos frigoríficos. Aunque esta teoría está deducida para una placa vertical, el resultado se puede aplicar a un cilindro vertical a condición de que el diámetro no sea muy pequeño. Determinemos, ahora, el flujo másico de condensado en la base. Para ello, se sustituye (219) en (210) y se despeja x: Γ𝑥𝑥 µ1 1/3 h′fg (225) 𝑥𝑥 = 1,0817 � � ρ1 gΔρ 𝑘𝑘1 Δt

con lo cual, para x = L:

139

Ingeniería térmica Γ𝐿𝐿 µ1 1/3 h′fg 𝐿𝐿 = 1,0817 � � ρ1 gΔρ 𝑘𝑘1 Δt

(226)

siendo ΓL es el flujo másico modificado total de condensado en la base inferior de la placa. Si se elimina L entre (226) y (224) resulta: 1/3

µ1 2 ℎ𝑐𝑐 � 3 � 𝑘𝑘1 ρ1 gΔρ

4Γ𝐿𝐿 −1/3 = 1,76 � � 𝜇𝜇1

(227)

y en esta expresión, nuevamente, se observa que el primer paréntesis está constituido por propiedades del fluido y, por tanto, se puede tabular en función de la temperatura. En el diseño del condensador de una máquina frigorífica, se precisa el coeficiente de condensación. En [3] se encuentra tabulada la propiedad μ12/(k13 ρ1g∆ρ) para distintos fluidos frigoríficos. Análogamente, la teoría de Nusselt aplicada a un tubo horizontal establece que: 1/4

gρ1 Δρh′fg k13 hc = 0,725 � � Dµ1 Δt

(228)

donde D es el diámetro exterior del tubo horizontal.

Para hileras verticales de tubos, se recomienda utilizar la expresión [3]: 1/4

gρ1 Δρh′fg k13 hc = 0,79 � � DNµ1 Δt

(229)

donde N es el número de tubos en una hilera vertical. Si se trata de un banco de tubos, N es el número medio de tubos por hilera vertical.

9.2.3 Condensación pelicular en régimen turbulento Si la superficie vertical es muy alta se suelen producir turbulencias en la capa de condensado. Para determinar el paso de régimen laminar a turbulento, se utiliza un número de Reynolds definido como sigue: 𝑅𝑅𝑅𝑅 =

𝐷𝐷𝑒𝑒 𝑐𝑐𝜌𝜌1 𝜇𝜇1

(230)

en el cual es el diámetro equivalente de la sección de condensado considerada. El diámetro equivalente es: 4𝐴𝐴 𝐷𝐷𝑒𝑒 = 𝑃𝑃𝑚𝑚 (231) 140

Transferencia de calor con cambio de fase siendo A el área de dicha sección transversal y el perímetro de esta sección mojado por el fluido. Para la placa vertical: 𝐷𝐷𝑒𝑒 =

4𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑏𝑏

= 4𝛿𝛿

𝑅𝑅𝑅𝑅 =

4𝛿𝛿𝛿𝛿𝜌𝜌1 𝜇𝜇1

(232)

donde d es el espesor de la capa de condensado. Así el número de Reynolds es: (233)

o bien en función del caudal másico Γ por unidad de anchura de la placa: 𝑅𝑅𝑅𝑅 =

4Γ 𝜇𝜇1

(234)

La transición de régimen laminar a turbulento en placas o cilindros verticales tiene lugar para Reynolds comprendidos entre 1800 y 2000. En cilindros horizontales, la transición se realiza a Re = 3600. En régimen turbulento, Kirkbride [4] propone el siguiente coeficiente de condensación: hc �

1/3

µ12 � k13 gρ1 Δρ

4Γ𝐿𝐿 −1/3 = 0,0076 � � 𝜇𝜇1

(235)

Si en una placa o cilindro vertical hay un tramo de condensado con flujo laminar y otro con flujo turbulento, el coeficiente de condensación se calcula promediando el del tramo laminar con el del tramo turbulento.

Ejemplo n° 29 Se desea condensar vapor de agua a 0,5 bar sobre un tubo de 2 m de longitud y 18 mm de diámetro exterior que posee una temperatura media de pared de 50 °C (véase la figura 9.3). Determinar el coeficiente de condensación en los siguientes supuestos: a) tubo en posición horizontal, b) tubo en posición vertical. En este último caso, se desea calcular, además, el caudal másico de condensado en la base del tubo. ¿Cuál habría de ser la longitud de un tubo vertical análogo al anterior para que en su base se obtuviesen 28,8 kg/h de condensado? Las tablas del agua saturada indican que la temperatura de saturación a 5 · 104 Pa es ts = 81,83 °C y que = 0,309 kg/m3. Por tanto, la temperatura media de película es (tw + ts)/2 = (50 + 81,83)/2 = 65,9 °C, es decir, aproximadamente 339 K. A esta temperatura, las propiedades del líquido son: k1 = 0,660 W/(m K), ρ1 = 980,5 kg/m3, μ1 = 4,37 · 10-4 kg/(ms), c1 = 4.183 J/(kg K). 141

Ingeniería térmica

Figura 9.3 - Condensación de agua sobre la pared exterior de un tubo vertical

A la temperatura de saturación (81,83 °C) hfg = 2,305 · 106 J/kg. Calculemos, en primer lugar, h'fg. De (214): 3 3 h′fg = hfg + c1 (t s − t w ) = 2,305 · 106 + 4.183(81,83 − 50) = 2,353 · 106 J/kg 8 8 siendo ∆t = 31,83 °C.

La ecuación (228) facilita el coeficiente de condensación para tubos horizontales: 1/4

1/4

gρ1 Δρh′fg k13 9,81 · 980,5 · 2,353 · 106 · 0,663 hc = 0,725 � � = 0,725 � � Dµ1 Δt 0,018 · 4,37 · 10−4 · 31,83 2 = 9.160 W/(m K)

donde ∆ρ = ρ1 - ρv. Para tubos verticales, admitiremos flujo laminar y, en consecuencia, se aplica (224), ecuación que se obtuvo para la placa plana vertical y que se puede aplicar también para tubos verticales a condición que su diámetro sea netamente mayor que el espesor de la capa de condensado: hc = 1,13 �

1/4

1/4

gρ1 Δρh′fg k13 9,81 · 980,5 · 980,2 · 2,353 · 106 · 0,663 � = 1,13 � � Dµ1 Δt 0,018 · 4,37 · 10−4 · 31,83 = 4.397 W/(m2 K)

Pasemos, ahora, a calcular el caudal másico en la base del tubo vertical. En ésta, el espesor de la capa de condensado según (219) es:

142

Transferencia de calor con cambio de fase 1/4

4k1 µ1 LΔt δL = � � gρ1 Δρ h′fg

4 · 0,66 · 4,37 · 10-4 · 2 · 31,83 =� � 9,81 · 980,5 · 980,2 · 2,353 · 106

1/4

= 2,4·10-4 m=0,24 mm

y ΓL, es decir, el caudal másico de condensado por unidad de anchura del perímetro de la sección transversal del tubo, se determina de (210):

ΓL =

ρ1 ΔρδL 3 g · 980,5 · 980,2 · (2,4 · 10−4 )3 · 9,81 = = 0,0993 kg/(sm) 3µ1 3 · 4,37 · 10−4

y puesto que el perímetro del tubo es P = πD = 0,018π = 0,05655 m, el caudal en la base del tubo es: 𝑚𝑚̇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 5,61 · 10−3 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑠𝑠 Determinemos el número de Reynolds en la base del tubo, Re = ΓL / (πDμ1) 𝑅𝑅𝑅𝑅𝐿𝐿 =

4Γ𝐿𝐿 4 · 0,0982 = = 908 𝜇𝜇1 4,37 · 10−4

Se constata, obviamente, que el flujo de condensado alcanza la base del tubo en régimen laminar y, por consiguiente, la ecuación (224) aplicada en la determinación del coeficiente de condensación es la adecuada. Por tanto, el resultado también es válido. Finalmente, hay que estimar la longitud de un tubo vertical análogo al anterior que suministre en su base 28,8 kg/h de condensado. En este supuesto: Γ𝐿𝐿 = 𝑚𝑚̇/𝜋𝜋𝜋𝜋 = (28,8/3600)/(0,018π) = 0,1415 kg/(sm)

y el número de Reynolds es:

4 · 0,1415 = 1295 4,37 · 10−4 Por tanto, sigue siendo válida la teoría de Nusselt del régimen laminar. Aplicando la ecuación (227) para determinar el coeficiente de condensación resulta: 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 4Γ𝐿𝐿 ⁄𝜇𝜇1 =

hc =1,76 �

k 31 ρ1 Δρg � µ1 2

1/3

= 3.909,6 W/(m2 K)

Re-1/3 =1,76 �

0,663 · 980,5 · 980,2 · 9,81 � (4,37 · 10−4 )2

1/3

1295−1/3

La longitud L del tubo se obtiene de: 𝑄𝑄̇ = 𝑚𝑚̇ h′fg = 𝜋𝜋𝜋𝜋𝐿𝐿ℎ𝑐𝑐 Δt

Así:

𝐿𝐿 =

𝑚𝑚̇ hfg 0,008 · 2,353 · 106 = = 2,67 𝑚𝑚 𝜋𝜋𝜋𝜋ℎ𝑐𝑐 Δt 𝜋𝜋 · 0,018 · 3.909 · 31,83 143

Ingeniería térmica

9.2.4

Condensación en gotas

Es una forma peculiar de condensación que tiene lugar sobre superficies pulimentadas o cuando el vapor contiene trazas de sustancias aceitosas. El efecto de la condensación en gotas es importante. La superficie queda más libre y la condensación es más eficaz. Los coeficientes de condensación que se alcanzan son de 3 a 6 veces mayores que en la condensación pelicular. Para asegurar la condensación en gotas es preciso inyectar al vapor, en cantidades regulares, una sustancia oleaginosa denominada promotor. Como promotores se han utilizado los ácidos oleico, esteárico y linoleico, y también el bencil mercaptano. En la condensación en gotas, si la superficie se oxida o ensucia, se produce espontáneamente el tránsito a la condensación pelicular. Si en un condensador diseñado para condensación en gotas se pasa a condensación pelicular, ésta colapsa puesto que no se puede evacuar la cantidad de calor necesaria. En efecto, la condensación pelicular exige una superficie de intercambio de 3 a 6 veces superior. Por otra parte, la superficie pulimentada no ofrece buenas prestaciones para la condensación pelicular. Para éstas son más adecuadas las superficies moderadamente rugosas, en las cuales la concentración de líquido en los valles deja libres las crestas y se favorece la condensación.

9.2.5

Condensación en presencia de gases no condensables

Se ha aplicado la teoría de Nusselt para determinar el coeficiente de condensación de un vapor puro. La presencia de gases no condensables hace disminuir el valor de este coeficiente. En el vapor de agua, podría ser la presencia de aire. Se ha podido comprobar que pequeñas cantidades de aire reducen hasta un 50% el coeficiente de condensación del vapor de agua sobre un cilindro horizontal. La razón de esta disminución hay que buscarla en la acumulación del gas no condensable cerca de la superficie de condensación. El vapor se ha de difundir a través de esta capa de gas no condensable y, con ello, aparece una resistencia térmica adicional. Un caso que requiere ser estudiado con cierto detenimiento es el de la condensación del vapor de agua atmosférico, es decir, ahora es el vapor el que está presente en pequeña cantidad. Predominará el fenómeno de la difusión.

9.2.6

Condensación con velocidad apreciable del vapor

La teoría de Nusselt no se puede aplicar si el vapor circula por una conducción y condensa. Carpenter y Colburn [5] proponen la siguiente ecuación empírica para tubos verticales: ℎ𝑐𝑐 1/2 1/2 𝑃𝑃𝑟𝑟 = 0,046(𝜌𝜌1 /𝜌𝜌𝑣𝑣 )1/2 𝑐𝑐𝑓𝑓 (236) 𝑐𝑐1 𝐺𝐺 1 en la que Pr1 es el número de Prandtl del líquido, p¡ la densidad del líquido y la del vapor, Cf es el factor de fricción de Fanning a la velocidad media del vapor, es decir f/4 144

Transferencia de calor con cambio de fase siendo f el coeficiente de rozamiento o factor de Darcy, C1 el calor específico del líquido y G la velocidad másica media del vapor definida como sigue; G = (G12 + G1 G2 + G22 )1/2

(237)

donde G1 es la velocidad másica del vapor en una sección transversal situada en la parte superior del tubo y G2 la correspondiente a su base. Las propiedades se han de medir a la siguiente temperatura media ponderada, 0,25ts + 0,75tw.

9.3 Ebullición 9.3.1

Introducción

La ebullición es un fenómeno de transporte de gran complejidad. En la misma existe transmisión de calor desde un foco, generalmente una superficie, hasta la masa de líquido. Se produce un calentamiento convectivo del líquido hasta la temperatura de saturación. A continuación, se pone en marcha el mecanismo de formación de burbujas. Las burbujas o núcleos de vapor nacen, se desarrollan y acaban desprendiéndose. Por tanto, tendremos como fenómeno añadido el del movimiento de los núcleos de vapor. Se distinguen dos tipos de ebullición, la estática, que es la que se tiene lugar con el líquido en reposo, y la dinámica, que comporta el desplazamiento del líquido por una tubería o en un flujo exterior. En esta última, se añade un nuevo problema, la convección forzada de la mezcla líquido vapor por la conducción o en el flujo exterior. El fenómeno de la formación y desprendimiento de las burbujas se conoce con bastante precisión [6]. No obstante, en esta obra no se analiza esta cuestión porque está al margen de los objetivos planteados. Bastará indicar que los núcleos de vapor se forman preferentemente en las cavidades o grietas de las superficies y que, por consiguiente, el estado de rugosidad de las superficies transmisoras de calor en contacto con el líquido reviste gran importancia. Por otra parte, para que se inicie la ebullición hace falta que la temperatura de la superficie emisora sea mayor que la temperatura ts de saturación. La diferencia tw - ts se denomina exceso de temperatura.

9.3.2 Ebullición estática El fenómeno de la ebullición estática se ilustra a partir de la figura 9.4. En ella, se presenta el flujo de calor suministrado a un líquido contenido en un recipiente, mediante una superficie a la temperatura tw, frente al exceso de temperaturas. La curva de la figura 9.4 corresponde a la ebullición estática del agua a la presión atmosférica estándar. Se observa la existencia de cinco zonas que corresponden a episodios diferentes del proceso general de ebullición. 

Zona 1. Existe suministro de calor por convección que tiene lugar cuando el

exceso de temperatura es inferior al crítico para producir la ebullición. En esta zona no hay ebullición.

145

Ingeniería térmica

Figura 9.4 - Flujo de calor frente al exceso de temperatura en la ebullición estática



Zona II. Cuando se alcanza el exceso crítico de temperatura empieza la

formación de burbujas sobre la superficie emisora. Estas se desarrollan y desprenden de la superficie. Sin embargo, al encontrarse con una masa de líquido que se halla a una temperatura inferior a la del vapor de la burbuja son absorbidas sin alcanzar la superficie libre de la masa líquida. 

Zona III. Se forman las burbujas, se desprenden y alcanzan la superficie libre. La

ebullición está perfectamente establecida y tiene lugar de forma eficaz. Las zonas II y III corresponden al régimen denominado de ebullición nucleada. Obsérvese que en esta zona el flujo de calor va aumentando a medida que aumenta el exceso de temperatura. Un máximo determina el cambio de zona. Este máximo recibe el nombre de flujo pico de calor. 

Zona IV. Durante la última fase de la ebullición nucleada, la formación de

burbujas aumenta hasta el extremo de que muchas de ellas se juntan para formar burbujas de mayor tamaño. La superficie emisora queda gradualmente tapada por el vapor de las mismas. El calor emitido por la superficie debe atravesar la resistencia adicional del vapor que justifica el máximo del flujo de calor suministrado al fluido y su posterior decrecimiento. La ebullición en grandes burbujas recibe el nombre de ebullición pelicular. En esta zona, la ebullición pelicular no está perfectamente establecida aunque se puede apreciar su progresiva imposición. 

Zona V. Cuando el exceso de temperatura alcanza un cierto valor, empieza a

tener importancia el calor transmitido por radiación y deja de tener efecto la resistencia del vapor, lo cual explica el mínimo que separa las zonas IV y V. En la zona V la ebullición pelicular está perfectamente establecida. 146

Transferencia de calor con cambio de fase En el estudio y experimentación de la ebullición, se utilizan los números adimensionales que seguidamente se describen. Número de Reynolds, Reb:

Reb =

Db G b µ1

donde Gb es la velocidad música de las burbujas de vapor: 𝑞𝑞 Gb = hfg

(238)

(239)

siendo q la densidad del flujo de calor y Db el diámetro de la burbuja calculado en la forma: 1/2 σ1 Db = � � (240) (ρ1 − ρv )g en la que σ1 es la tensión superficial del líquido. Número de Nusselt, Nub: 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑏𝑏 =

ℎ𝑒𝑒 𝐷𝐷𝑏𝑏 𝑘𝑘𝑙𝑙

(241)

donde es el coeficiente de ebullición. Éste se obtiene de: q = he(tw - ts)

(242)

Número de Prandtl, Pr1: El número de Prandtl es una propiedad que, en este caso, se aplica al líquido: 𝜇𝜇𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑙𝑙 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑙𝑙 = 𝑘𝑘𝑙𝑙 Número de Jakob, Jal: 𝐽𝐽𝐽𝐽𝑙𝑙 =

𝑐𝑐𝑙𝑙 (𝑡𝑡𝑤𝑤 − 𝑡𝑡𝑠𝑠 ) ℎ𝑓𝑓𝑓𝑓

(243)

(244)

La relación entre el coeficiente de ebullición he y el exceso de temperatura At depende de numerosos factores y propiedades, la viscosidad del líquido, las densidades del líquido y del vapor, la gravedad, el calor latente de ebullición, la tensión superficial, el calor específico, la conductividad del líquido y las características de la superficie emisora. Todas estas propiedades, excepto las de la superficie emisora, están agrupa-

147

Ingeniería térmica das en los números adimensionales indicados anteriormente. Así pues, parece posible establecer una relación del tipo: Nub = f(Reb, Pr1)

(245)

Del análisis de numerosos resultados experimentales Rohsenow [7] propuso la ecuación empírica: Ja l 3 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑏𝑏 = 3 𝑚𝑚 (246) 𝐶𝐶𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑏𝑏 siendo Csf una constante que depende de las propiedades del par líquido-superficie, m vale 2 para el agua y 4,1 para cualquier otro fluido. La tabla 9.1 ofrece valores experimentales de Csf. Tabla 9.1 - Valores de la constante Csf Líquido-superficie

Csf

Agua-cobre pulido

0,0130

Agua-platino pulido

0,0130

Agua-latón pulido

0,0060

Agua-cobre grabado

0,0068

Agua-acero inoxidable pulido

0,0080

La utilización sistemática de la ecuación de Rohsenow implica algunas dificultades tales como, la imprecisión de los valores de Csf cuando se trata de superficies distintas de las ensayadas o el posible desconocimiento de la tensión superficial cuando se trata de líquidos no comunes. De la relación de Rohsenow se deriva la relación genérica: q = ΨΔt3

(247)

en la que Ψ depende de las propiedades y de Csf. Así, por ejemplo, para el agua a 100 °C y una superficie emisora de cobre pulido, (247) es: q = 139,37Δt3

(248)

con q en W/m y At en °C. 2

Una propuesta interesante consiste en adoptar para el coeficiente de ebullición una expresión del tipo: he = Aqn

(249)

con A y n constantes, para cada situación determinada, impuestas por la clase de líquido en ebullición y la temperatura de ebullición. En [8], se encuentran valores de A y n para distintos fluidos frigoríficos. 148

Transferencia de calor con cambio de fase El flujo pico de calor es independiente de la naturaleza de la superficie emisora de calor. La fórmula de Zuber [9] permite obtenerlo: qmax

𝜋𝜋 σ1 g(ρ1 − ρv ) 1/4 = ρ h � � 24 v fg 𝜌𝜌𝑣𝑣2

(250)

Experimentos más recientes aconsejan la sustitución del coeficiente π/24 por 0,149. Las propiedades del líquido se han de medir a la temperatura de película, es decir, (ts + tw)/2, las del vapor y hfg a la temperatura de saturación.

9.3.3 Ebullición pelicular Para la ebullición pelicular sobre tubos horizontales de diámetro exterior D, Bromley [10] propone: 1/4 k 3v ρv (ρ1 − ρv )g(hfg + 0,4cpv Δt) he = 0,62 � � (251) Dµv Δt

Las propiedades del líquido se han de medir a la temperatura de película y las propiedades del vapor, hfg incluido, a la temperatura de saturación. En la ebullición pelicular, el calor que se transmite por radiación puede ser importante. El coeficiente de radiación hr se determina de: he = 𝜎𝜎𝑆𝑆𝑆𝑆

𝑇𝑇𝑤𝑤4 − 𝑇𝑇𝑠𝑠4 1 1 𝑇𝑇𝑤𝑤 − 𝑇𝑇𝑠𝑠 + 1 − 1 𝜀𝜀 𝛼𝛼

(252)

siendo σSB la constante de Stefan-Boltzmann (σSB = 5,6697 · 10-8 W/(m2K4)), ε la emisividad del tubo caliente y α la absortividad del líquido. Para determinar la transferencia térmica se utiliza un coeficiente medio h: he 1/3 ℎ = he � � + hr ℎ

(253)

Para tubos verticales Hsu [11] propone la ecuación empírica:

donde Re es:

he = 0,002(𝑅𝑅𝑅𝑅)0,6 � 𝑅𝑅𝑅𝑅 =

1/3

k 3v ρv (ρ1 − ρv )g � µ2v 4𝑚𝑚̇ 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜇𝜇𝑣𝑣

(254)

(255)

siendo D el diámetro exterior del tubo vertical y m es el caudal másico de vapor en el extremo superior del tubo. 149

Ingeniería térmica Al tratar de determinar el coeficiente de ebullición para un exceso de temperatura dado, a priori no se sabe si este exceso corresponde a la zona nucleada o a la zona pelicular. En esta circunstancia se aconseja aplicar la ecuación de Rohsenow, obtener el flujo de calor y, además, calcular el flujo pico. Si el flujo de calor es menor que el flujo pico, se está en zona nucleada, si es mayor en zona pelicular.

Ejemplo n° 30

Determinar el flujo pico de calor y el exceso de temperatura para la ebullición del agua a 100 °C. Utilizamos la ecuación de Zuber modificada (250) con el coeficiente 0,149 para determinar el flujo pico de calor. Las propiedades del agua, determinadas a la temperatura de saturación, es decir, a 100 °C son: σ1 = 5,88 · 10-2 N/m, ρv = 958 kg/m3, = 0,598 kg/m3, hfg = 2.256,7 kJ/kg qmax

σl 𝑔𝑔(ρ1 − ρv ) 1/4 = 0,149ρv ℎ𝑓𝑓𝑓𝑓 � � = ρ2v

= 0,149 · 0,598 · 2,2567 · 106 �

5,88 · 10−2 · 9,81 ·(958 −0,598) 0,5982

1/4

�

= 1,26 · 106 𝑊𝑊/𝑚𝑚2

El exceso de temperatura se calcula con la ecuación de Rohsenhow (248): 1

1,2601 · 106 3 Δ𝑡𝑡 = 𝑡𝑡𝑤𝑤 − 𝑡𝑡𝑠𝑠 = � � = 20,83 º𝐶𝐶 139,37 Este resultado lleva implícito un pequeño error puesto que corresponde al máximo de la curva de la figura 9.4. Por tanto, el exceso de temperatura hallado se ha de considerar sólo como orientativo.

9.4 Ebullición dinámica En la ebullición dinámica, se produce la ebullición del líquido simultáneamente con el flujo, primero, del líquido y, después, de la mezcla líquido-vapor. Cuando empieza la ebullición, se generan burbujas de pequeño tamaño (zona a de la figura 9.5) y el flujo es en régimen de burbujas. A medida que aumenta la producción de vapor, las burbujas se aglomeran produciendo tapones, zona b de la misma figura. El flujo es ahora en régimen de tapones. Más tarde, el vapor invade completamente el centro de la tubería y forma una capa anular de líquido sobre la pared interior ésta (véase la zona c de la figura) y el flujo es en régimen anular. Cuando el vapor invade completamente la tubería, zona d, el régimen es de niebla.

150

Transferencia de calor con cambio de fase

Figura 9,5 - Los distintos regímenes de la ebullición dinámica

En la ebullición dinámica, la determinación del flujo de calor es compleja si se desean resultados muy precisos. Klimenko [12] propone un método que identifica, primero, la clase de flujo y, después, aplica ecuaciones empíricas para determinar el coeficiente de ebullición. Este coeficiente se promedia con el de convección forzada de la fase líquida obtenido de una de las ecuaciones empíricas utilizadas para esta clase de flujo.

9.5 Evaporación En este capítulo no estudiaremos de forma sistemática un fenómeno tan complejo como la evaporación. Nos limitaremos a facilitar las pautas esenciales de su estudio y a incluir una aplicación de interés en ingeniería. La evaporación de un líquido es un fenómeno diferente de la ebullición. La evaporación tiene lugar a cualquier temperatura y presión, y depende, fundamentalmente, de la difusión del vapor desde la capa pelicular de aire en contacto con el líquido hacia la zona de aire circundante. La difusión es un fenómeno de transporte de materia análogo al de transporte de calor o al de transporte de cantidad de movimiento [13], [14]. En el transporte de materia, la fuerza motriz que genera el movimiento de la misma es el gradiente de concentración. De la misma forma que se admiten mecanismos de transferencia de calor por conducción y por convección, en difusión se considera la difusión molecular o conductiva/ regida por la ley de Fick (análoga a la ley de Fourier), y la difusión convectiva. Esta última tiene lugar cuando el transporte de materia se realiza hacia un fluido que está en movimiento. La analogía entre el transporte de calor y el de materia ayuda a la resolución de problemas de transporte de materia con ecuaciones análogas a las de transporte de calor. 151

Ingeniería térmica A título de ejemplo, consideremos la evaporación del agua de un lago, estanque o piscina cuya superficie está en reposo. En la interfase, el aire en contacto con el líquido (zona pelicular) aumenta su concentración en vapor de agua a causa del contacto directo con el agua líquida. El vapor de agua pasa al aire circundante debido a las diferentes concentraciones entre la zona pelicular y la del aire circundante (véase la figura 9.6). La delgadez de la capa pelicular y su proximidad al agua provoca que el aire de la misma esté saturado de vapor de agua [15]. La velocidad másica de vapor Gw difundido en el aire circundante es: 𝐺𝐺𝑤𝑤 = 𝐺𝐺𝑤𝑤 (𝜌𝜌𝑤𝑤𝑤𝑤 − 𝜌𝜌𝑎𝑎 ) (256)

siendo hm un coeficiente de transporte del vapor de agua cuyas dimensiones son las mismas que las de una velocidad, la densidad parcial del vapor de agua en la película de aire y ρa la densidad parcial del vapor de agua en el aire circundante.

Para calcular el flujo de calor por convección desde una superficie a una corriente de aire que pasa por encima, utilizamos las ecuaciones que siguen según se trate de un régimen laminar o turbulento (la transición de laminar a turbulento se produce a un Reynolds aproximado de 5 · 105): 1/2

a) Régimen laminar: NuL = 0,664ReL Pr1/3

1/3 b) Régimen turbulento: NuL = 0,036Re0,8 L Pr

(257) (258)

El número de Reynols es:

𝑅𝑅𝑅𝑅𝐿𝐿 =

𝑐𝑐0 𝐿𝐿 𝑣𝑣

(259)

donde c0 es la velocidad del flujo de aire no perturbado por la superficie, v la viscosidad cinemática del aire y L una longitud característica (para un cuadrado es el lado, para una superficie rectangular es el lado en la dirección del flujo).

Figura 9.6 - Flujo de aire no saturado sobre una superficie de agua

152

Transferencia de calor con cambio de fase Para resolver la cuestión planteada, la analogía entre ambos fenómenos de transporte permite utilizar las anteriores ecuaciones cambiando los números de Nusselt y Prandtl por los números de Sherwood y Schmidt respectivamente [16]: Número de Sherwood, Sh:

𝑆𝑆ℎ =

ℎ𝑚𝑚 𝐿𝐿 𝐷𝐷

𝑣𝑣

𝑆𝑆𝑆𝑆 = 𝐷𝐷

Número de Schmidt, Sc:

(260) (261)

siendo D el coeficiente de difusión del vapor de agua en el aire. Así pues, las ecuaciones que utilizaremos son: a) Régimen laminar:

ShL = 0,664ReL1/2Sc1/3

(262)

b) Régimen turbulento: ShL = 0,036ReL0,8 Sc1/3

(263)

Ejemplo n° 31 Calcular el agua que se evapora por unidad de tiempo en un estanque rectangular de 105 m2 con agua superficial y aire a 30 °C. La velocidad del aire es 15 m/s y la humedad relativa es del 40%. El coeficiente de difusión del vapor de agua en el aire a 30 °C es 2,668 · 10-5 m2/s y la viscosidad cinemática del aire a la misma temperatura es 1,607 · 10-5 m2/s. Otros datos: las densidades parciales del vapor de agua en la película de aire y en aire circundante son 0,03064 y 0,01226 kg/m3, respectivamente. La longitud característica es L = (105)1/2 = 316,2 m y el número de Reynolds: 𝑅𝑅𝑅𝑅𝐿𝐿 =

𝑐𝑐𝑐𝑐 15 · 316,2 = = 2,951 · 108 𝑣𝑣 1,607 · 10−5

que corresponde a un flujo totalmente turbulento. El número de Schmidt (261), vale:

Sc =

v 1,607 · 10−5 = = 0,6023 D 2,668 · 10−5

y el de Sherwood (263):

ShL = 0,036ReL Sc1/3 = 0,036(2,951 · 108)0,8· 0,60231/3 = 1,815 · 105 Con lo cual el coeficiente de transporte hm es:

153

Ingeniería térmica ℎ𝑚𝑚 =

𝑆𝑆ℎ𝐿𝐿 𝐷𝐷 1,815 · 10−5 · 2,668 · 10−5 = = 0,01531 𝑚𝑚/𝑠𝑠 𝐿𝐿 316,2

De (256) se calcula la velocidad másica de vapor de agua evaporada:

Gw = hm(ρws - ρa) = 0,01531(0,03064 - 0,01226) = 2,815 · 10-4 kg/(m2s) Así, el caudal másico es: m = GwA = 2,815 · 10-4 ·105 = 28,15 kg/s una cantidad nada despreciable al cabo de un cierto tiempo.

9.6 Temas de ampliación No se ha estudiado la solidificación ni la fusión. Importantes procesos industriales como la fabricación de hielo, la formación de escarcha sobre los evaporadores o la solidificación de alimentos están relacionados con el primero de los citados procesos de cambio de fase. En metalurgia también son importantes los procesos de fusión y posterior solidificación de la masa fundida. Es particularmente interesante la formación de hielo a partir de una masa de agua que se enfría desde una superficie de contacto. Se trata de un proceso no estacionario que puede estudiarse con diferentes niveles de exactitud. El lector interesado podrá estudiarlo en [18] y [19]. La evaporación del agua, como caso particular, en [17].

Bibliografía

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[2] McAdams, W.H. Transmisión de calor. McGraw-Hill, México, 1978. [3] ASHRAE. Thermophysical properties of refrigerants. ASHRAE-ACEI, Nueva York, 1976. [4] Kirkbride, G.G. "Heat Transfer by Condensing Vapors on Vertical Tubes", Trans. AICh. 30,170, 1933. [5] Carpenter E.F., Colburn A.R "The Effect of Vapor Velocity on Condensation Inside Tubes", Inst. Mech. Eng. ASME, Proc. General Discussion on Heat Transfer, 20, 1951. [6] Rohsenow, W.M. Handbook of Heat Transfer. McGraw-Hill, Nueva-York, 1985. [7] Rohsenow, W.M. "A Method of Correlating Heat Transfer Data for Surface Boiling Liquids", Trans ASME, 74, 695, 1952. [8] Slipcevic, B. "Método simplificado para el cálculo de los evaporadores inundados", traducción publicada en. Frío, calor, aire acondicionado, 215, 1986. 154

Transferencia de calor con cambio de fase [9]

Zuber, N. "On the stability of boiling heat transfer", Trans. ASME, 80, 711, 1958.

[10] Bromley, L.A. "Heat Transfer in Stable Film Boiling", Chem. Engng. Prog., 46, 221, 1950. [11] Hsu, Y.Y., Westwater, J.W. "Approximate Theory for Film Boiling on Vertical Surfaces", Chem. Eng. Prog. Symp. Ser., AIChE Heat Transfer Conf, Storrs. Conn., 56, 15, 1959. [12] Klimenko, V.V. "A generalized correlation for two-phase forced flow heat transfer", Int. J. Heat Mass Trasfer, 31, 541, 1988. [13] White, F.M. Heat and Mass Transfer. Addison-Wesley, 1991. [14] Necati Ö. Transferencia de calor. McGraw Hill, Bogotá, 1979. [15] Miranda, A.L. La psicrometria. Editorial Ceac, Barcelona, 1997. [16] Kreith, F, Black, W.Z. La Transmisión de calor. Editorial Alhambra, Madrid, 1983. [17] Miranda A. L. Procesos de vaporización. CEAC-Planeta de Agostini. Barcelona, 1997. [18] Mills, A. F. Transferencia de calor. IRWIN. Barcelona, 1995. [19] Kreith, F., Bohn, M. S. Principios de transferencia de calor. THOMSON. Madrid, 2002.

155

Capítulo 10

INTERCAMBIADORES DE CALOR 10.1 Introducción En capítulos anteriores, se han estudiado los mecanismos de transmisión del calor y la forma de calcular coeficientes de transmisión, temperaturas y tasas de transferencia de calor. Ahora bien, la transferencia de calor, desde un punto de vista práctico, se lleva a cabo de un sistema a otro mediante una sustancia determinada, excepto en el caso de la transmisión de calor por radiación. El dispositivo en el que se lleva a cabo la transferencia de calor de un sistema a otro recibe el nombre de intercambiador de calor. En general, el calor se transporta mediante un fluido que cede calor a otro fluido, de ahí que la mayoría de intercambiadores se dice que son bifluidos. Uno de los fluidos puede cambiar de estado (raramente los dos). El intercambiador recibe el nombre de condensador cuando un fluido gaseoso pasa a líquido, o bien evaporador cuando un fluido liquido pasa a gas. Condensadores y evaporadores requieren un estudio independiente a causa, precisamente, del cambio de estado de uno de los fluidos. En lo que sigue, se estudian únicamente los intercambiadores de calor en los que no se produce ningún cambio de estado. Una propiedad importante de los intercambia- dores de calor es la compacticidad que podríamos definir como la relación entre la superfìcie de transferencia de calor y el volumen. Es evidente la importancia que tiene la compacticidad en un intercambiador. Interesa que la superficie de transferencia de calor sea grande frente al volumen, puesto que ello, en líneas generales, tendrá relación con su peso y precio.

10.2 Clasificación La clasificación de los intercambiadores se establece en base a tres criterios distintos: a) La forma Intercambiadores de tubos concéntricos (véase la figura 10.1). Están formados por dos tubos concéntricos. Uno de los fluidos pasa por el tubo interior y el otro por el 157

Ingeniería térmica

Figura 1.1- Intercambiador de calor de dos tubos concéntricos

espacio anular que queda libre entre ambos. El sentido de desplazamiento de los fluidos puede ser de flujo paralelo o a contracorriente. Intercambiadores de carcasa y tubos (véase la figura 10.2). Están constituidos por una carcasa, generalmente de forma cilíndrica, que tiene en su interior un sistema de tubos conectados de forma tal que el fluido que pasa por los tubos haga un solo recorrido a lo largo de la carcasa (de un paso) o dos recorridos (de dos pasos), etc. El otro fluido circula por el espacio comprendido entre los tubos y la carcasa. Este también puede hacerlo en un paso o en más de uno (véase la figura 10.3). Intercambiadores de placas (véase la figura 10.4). Están formados por placas paralelas dispuestas de tal modo que uno de los fluidos pasa por los canales impares y el otro por los canales pares. Actualmente, este tipo de intercambiador es de los más compactos que se fabrican. b) La utilidad Recupedadores entálpicos. Se utilizan para recuperar la energía de los gases de escape de una turbina de gas o de los humos de una caldera. Precalentadores de agua y de aire. Como su nombre indica, se utilizan para precalentar el agua o el aire de una caldera o generador de vapor.

Figura 10.2 - Intercambiador de calor de carcasa y tubos

158

Intercambiadores de calor

Figura 10.3 - distinto nùmero de pasos del fluido de carcasa y del fluido de los tubos

Figura 10.4 - Cuatro elementos de un intercambiador de calor de placas mostrando el recorrido de los dos fluidos

c) La dirección del flujo de los fluidos Intercambiadores de flujo paralelo (véase la figura 10.5). Intercambiadores de flujo a contracorriente (véase la figura 10.6). Intercambiadores de flujo cruzado.

159

Ingeniería térmica

Figura 10.5 - Temperatura de los fluidos caliente y frío en un intercambiador de flujo paralelo

Figura 10.6 - Temperatura de los fluidos caliente y frío en un intercambiador de flujo a contracorriente

10.3 Análisis térmico Obviamente, en un intercambiador de calor, uno de los fluidos ha de estar más caliente que el otro. Así, distinguiremos el fluido caliente y el fluido frío con la siguiente nomenclatura: Fluido caliente (FC) Caudal másico, Calor específico, Capacidad calorífica,

Fluido frío (FF) ṁ C

Cρc

Caudal másico, Calor específico,

ṁ F

CpF

Capacidad calorífica,

Temperatura a la entrada,

Cc = 𝑚𝑚̇CCρC tC1

Temperatura a la entrada,

CF = ṁ FCpF

Temperatura a la salida,

tC2

Temperatura a la salida,

tF2

Diferencia de temperaturas a la entrada, ∆t1

160

tF1

Diferencia de temperaturas a la entrada, ∆t2

Intercambiadores de calor Los intercambiadores de calor utilizan diversos coeficientes de transmisión que pasamos a describir. Si se trata de un intercambiador de tubos concéntricos, el coeficiente global de transferencia de calor Ue, referido al área exterior, es: 1 1 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝜀𝜀 𝐴𝐴𝑒𝑒 1 = + 𝑅𝑅𝑒𝑒 + + �𝑅𝑅𝑖𝑖 + � 𝑈𝑈𝑒𝑒 ℎ𝑒𝑒 𝑘𝑘̇ CCρC 𝐴𝐴𝑖𝑖dtc ℎ𝑖𝑖 δQ̇ 𝐴𝐴 = 𝑚𝑚-m

(264) (265)

y el absorbido por el fluido frío: siendo el área de la superficie de la pared exterior del tubo interior, el área de la superficie de la pared interior del tubo interior, Am la superficie media logarítmica entre Ae y Ai, ε el espesor de la pared del tubo interior, he el coeficiente de convección del fluido que circula por el espacio anular y referido a la superficie exterior del tubo interior, hi el coeficiente de convección del fluido que circula por el tubo interior y referido a la superficie interior del tubo interior, k la conductividad de la pared del tubo interior, Re la resistencia unitaria por suciedad o depósitos en la pared exterior del tubo interior y, finalmente, Ri la resistencia unitaria por suciedad o depósitos de la pared interior del tubo interior. En [1] se encuentra mucha información sobre intercambiadores y, en particular, relativa a datos sobre las resistencias térmicas mencionadas, coeficientes de transferencia y métodos de cálculo precisos para su obtención. A continuación, procederemos al análisis térmico de un intercambiador de flujo paralelo de tubos concéntricos (véase la figura 10.7). Sea una porción elemental de intercambiador de área de intercambio dA y longitud dx. El calor por unidad de tiempo cedido por el fluido caliente es:

Figura 10.7 - Temperaturas en un intercambiador de flujo paralelo

161

Ingeniería térmica El coeficiente global U se suele referir al área exterior, aunque también se puede referir al área interior del tubo interior. En consecuencia, el área dA será la exterior la interior según esté referido el coeficiente global. En el elemento considerado At es;

(268)

∆t = tC - tF

Diferenciando esta expresión y sustituyendo los diferenciales de tC y tF despejados de (265) y (266) resulta;

1 1 + � 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐹𝐹

(269)

e integrando entre la sección de entrada y la de salida: ∆t 2 - ∆t 1 = - Q̇ M

(271)

𝑑𝑑(∆𝑡𝑡) = −𝛿𝛿𝑄𝑄̇ �

Haciendo M = 1/CC + 1/CF tendremos: d(∆t) = - δQ̇ M

Si ahora entre (267) y (270) se elimina δQ̇ :

d(∆t) − = UdA∆t ∆t

Integrando:

es decir:

𝑙𝑙𝑙𝑙

2 ∆t1 = −M � 𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈 ∆t 2 1

∆t1 ln = −MUm A ∆t 2

(270)

(272)

(273)

donde Um es el coeficiente global medio de transferencia de calor definido como sigue: Um =

1 2 � UdA A 1

Si de (271) se despeja M, se sustituye en (273), la tasa de calor Q es. ∆t −∆t Q̇ = Um A 2 ∆t2 1 ln

(274)

∆t1

donde la expresión que contiene los incrementos de temperatura es la diferencia media logarítmica de temperaturas (DTML), ∆tm1. En consecuencia, (274) es:

162

Q̇ = UmA∆tm1

(275)

Intercambiadores de calor El análisis térmico de un intercambiador de tubos concéntricos de flujo a contracorriente sería, esencialmente, el mismo que hemos efectuado para el de flujo paralelo y obtendríamos la misma expresión con la salvedad de que las diferencias de temperatura de definen de forma diferente. En general, se puede utilizar (275) tanto para el flujo paralelo como para el flujo a contracorriente, teniendo en cuenta que: para flujo paralelo: para flujo a contracorriente:

∆t2 = tC2 - tF2 y ∆t1 = tC1 - tF1 ∆t2 = tC2 - tF1 y ∆t1 = tC1 - tF2

El análisis térmico para otras disposiciones como flujos cruzados simple o múltiple es más complejo. En la práctica, se utiliza (275) para cualquier tipo de intercambiador con un factor adicional F, llamado factor corrector de la DTML. Así pues, para cualquier intercambiador: Q̇ = UmAF∆tm1

(276)

Figura 10.8 - Factor corrector de la DTML en un intercambiador de coraza y tubos con un número par de pasos por ios tubos y un paso por la coraza

Figura 10.9 - Factor corrector de la DTML en un intercambiador de coraza y tubos con un número par de pasos por los tubos y dos pasos por la coraza

163

Ingeniería térmica Las figuras 10.8 y 10.9, incluyen curvas que permiten obtener el factor corrector F de la DTML. Ésta se calcula, sea cual sea el tipo de intercambiador, como si se tratase de un intercambiador de flujo a contracorriente, exceptuado el caso del intercambiador de flujo paralelo. Usar (276) implica trabajar con un coeficiente global medio de transferencia de calor a lo largo del intercambiador.

Ejemplo n° 32 Se desea enfriar un aceite SAE-30 desde 68 °C a 56 °C en un intercambiador de calor cuya potencia térmica se ha estimado en 206 kW. Para ello se utiliza agua a 21 °C que se calienta hasta 30 °C. El coeficiente global de transmisión de calor es 0,750 kW/(m2 K). Calcular el área de transferencia de calor en los siguientes cuatro supuestos: a) flujo a contracorriente; b) flujo paralelo; c) flujo cruzado con dos pasos de carcasa y seis pasos de tubos, circulando el aceite por la carcasa y el agua por los tubos; d) flujo con circulación cruzada con un paso de tubo y otro de carcasa. En el caso a) si los tubos tienen un diámetro exterior de 5 pulgadas ¿cuál es la longitud del intercambiador? a) Flujo a contracorriente

Las temperaturas son, tC1 = 68 °C, tC2 = 56 °C, tF1 = 21 °C y tF2 = 30 °C. Las diferencias de temperatura, por su parte, son, ∆t1 = tC1 - tF2 = 68 - 30 = 38 °C La DTML es:

∆t ml =

∆t2 = tC2 - tF1 = 56 - 21 = 35 °C.

∆t 2 − ∆t1 35 − 38 = = 36,48ºC ∆t 2 35 ln ∆t ln 38 1

Y, por consiguiente, el área de transferencia resulta:

A=

Q̇ 206 = = 7,529 𝑚𝑚2 Um ∆t ml 0,75 · 36,48

Si se utilizase un tubo de 5 pulgadas de diámetro exterior (12,7 cm), la longitud necesaria del mismo sería L = A/(πD) = 7,529/(0,127 · π) = 18,9 m. b) Flujo paralelo

Las diferencias de temperatura ahora son: ∆t1 = tC1 - tF1 = 68 - 21 = 47 °C ∆t2 = tC2 - tF2 = 56 - 30 = 26 °C

164

Intercambiadores de calor La DTML es:

∆t ml =

∆t1 − ∆t 2 47 − 26 = = 35,47ºC 47 ∆t ln 26 ln ∆t 2 1

El área de transferencia de calor resultante es:

A=

Q̇ 206 = = 7,744 𝑚𝑚2 Um ∆t ml 0,75 · 35,44

es decir, casi un 3% mayor que la calculada en el supuesto anterior. c) Flujo a contracorriente con dos pasos por la carcasa y seis pasos de tubos

En este caso se utilizará el factor F de corrección de la DTML en contracorriente (véase la figura 10.9). Los parámetros R y P son:

R=

tC1 −tC2 tF2 −tF1

68−56

= 30−21 = 1,333

t

−t

30−21

P = tF2 −tF1 = 68−21 =0,1915 C1

F1

La figura muestra para estos valores de R y P que el factor F ≈ 1, en cuyo caso A es la misma que la hallada en el apartado a. En cambio, sí varía la longitud del intercambiador. Puesto que éste es de seis pasos de tubos, la longitud del intercambiador es la sexta parte de la estimada en el primer apartado. Así pues, Linterc. = L/6 = 18,9/6 = 3,15 m. d) Flujo cruzado con un paso de tubo y otro de carcasa

En [3] se halla la gráfica que se precisa y, puesto que los parámetros R y P son los mismos que los calculados en el apartado anterior, en este caso F es, aproximadamente, 0,985. Por consiguiente:

A=

Q̇ 206 = = 7,644 m2 FUm ∆t ml 0,985 · 0,75 · 35,47

es decir, el área de transferencia es un 1,5 % mayor.

10.4 Eficiencia de un intercambiador de calor Utilizar la ecuación (276), además de considerar un valor medio del coeficiente global de transferencia de calor, implica conocer las cuatro temperaturas de entrada y salida del intercambiador de calor. En general, sólo se dispone de las temperaturas de entrada. En problemas de diseño, se fija una de las temperaturas de salida y se calcula la otra mediante un sencillo balance de calor:

165

Ingeniería térmica 𝑚𝑚̇CCpC(tC1 - tC2) = 𝑚𝑚̇FCpF(tF2 - tF1)

(277)

Sin embargo, en algunas ocasiones, cuando las velocidades de flujo sean variables, las temperaturas de salida serán desconocidas y, en consecuencia, la DTML no se podrá calcular directamente. Aunque es posible un cálculo por tanteo, en este caso, se recomienda utilizar el método de la eficiencia que se expone a continuación. La eficiencia s de un intercambiador es:

ε=

Q̇

Cmin (t C1 − t F1 )

(278)

donde Cmin es la capacidad calorífica menor entre CC y CF. Si (274) se reescribe en la forma:

Q̇ ln

∆t 2 U A(∆t 2 − ∆t1 ) ∆t1 m

(279)

y se combina (279), con (271) y (278) para eliminar las temperaturas resulta:

ε=

1−e

Recordando ahora que: M=

la eficiencia es:

ε=

1−e

C U A �−�1+ C � m � CF

CC

Cmin M

1 1 + CC CF

(280)

(281)

C U A �−�1+ C � m � CF

CC

1 1 + � CC CF

Cmin �

(282)

Tanto si es Cmin es CC como si es CF, la expresión resultante es la misma:

ε=

1−e

siendo r:

𝑟𝑟 = 166

U A −�(1+r) m �

1+r

Cmin Cmax

Cmin

(283)

(284)

Intercambiadores de calor

Figura 10.10 - Eficiencia del intercambiador de calor en función del número de unidades de transferencia (NUT) en un intercambiador de flujo paralelo

Figura 10.11 - Eficiencia frente al NUT en un intercambiador a contracorriente

167

Ingeniería térmica

Figura 10.12a - Eficiencia frente al NUT en intercambiadores de coraza y tubos con un número par de pasos por los tubos y uno o dos pasos por la coraza

4, 8, 12, etc., pasos en los tubos

Figura 10.12b - Eficiencia frente al NUT en intercambiadores de coraza y tubos

para dos pasos de coraza y un número par de pasos por los tubos

168

Intercambiadores de calor Si se representa s frente a UmA/Cmin (número de unidades de transferencia de calor, NUT) para una r determinada, se observa la existencia de valores asintóticos cuando NUT tiende a infinito. Estos son las eficiencias límite cuando r tiende a infinito. Así pues, cuanto más alto sea el NUT de un intercambiador mayor será su eficiencia y, por tanto, la tasa de transferencia de calor. Expresiones análogas a (283) se obtienen para otras clases de intercambiador [2], [3], [4]. Las ecuaciones correspondientes se han representado gráficamente frente a NUT [5] para distintos valores de r, para intercambiadores de flujo paralelo, de flujo a contracorriente, y de carcasa y tubos con un número par de pasos del fluido por los tubos (véanse las figuras 10.10, 10.11 y 10.12). La utilidad de estas gráficas es evidente; facilitan la eficiencia según la ecuación (278) en la cual las temperaturas son las de entrada al intercambiador. Después, y a partir de la ecuación que corresponda y de la r adecuada, se obtiene el NUT del intercambiador y de éste el área de transferencia de calor. Por consiguiente, se trata de un método alternativo al del factor corrector de la DTML. Las figuras 10.13 y 10.14 esquematizan el proceso de cálculo a seguir en cada caso. Tanto si se sigue un método como el alternativo, los resultados han de ser coincidentes.

Ejemplo n° 33 Para enfriar 1,872 kg/s de un aceite, de calor específico 2,123 kJ/(kg K), desde 80 °C hasta 45 °C, se emplean 1,382 kg/s de agua de calor específico 4,187 kJ/(kg K). La temperatura del agua a la entrada del intercambiador es 22 °C. El intercambiador es de dos pasos por la carcasa, por la cual se hace circular el aceite, y de cuatro pasos de tubos, por los cuales circula el agua. Un estudio previo ha permitido establecer que el coeficiente global de transferencia de calor es 0,590 kW/(m2 K). Determinar, por el método de la eficiencia, el área de la superficie de intercambio de calor. Compárese el resultado con el que se obtiene de aplicar el método del factor corrector de la diferencia de temperatura media logarítmica. El balance térmico es: del cual se infiere:

t F2 = t F1 +

y, además:

Q̇ = 𝑚𝑚̇𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 (t C1 − t C2 ) = 𝑚𝑚̇𝐹𝐹 𝐶𝐶𝐹𝐹 (t F2 − t F1 )

ṁ C CC 1,872·2,123 (t C1 -t C2 )= 22+ (80 - 45)= 22 + 24,04 = 46,04ºC ṁ F CF 1,382·4,187 Q̇ = ṁ CcC(tC1 - tC2) = 1,872 · 2,123(80 - 45) = 139,1 kW Por

otra parte, las capacidades caloríficas por unidad de tiempo son: CF = ṁ FcF = 1,382 · 4,187 = 5,786 kW/K

169

Ingeniería térmica

Figura 10.13 - Cálculo del área de transferencia a partir del factor corrector de la DTML

Figura 10.14 - Cálculo del área de transferencia a partir de la eficiencia

CC = ṁ CcC = 1,872 · 2,123 = 3,974 kW/K

por lo que CC = Cmin y CF = Cmax y, en consecuencia, de (284):

𝑟𝑟 = 170

Cmin 3,974 = = 0,6868 Cmax 5,786

Intercambiadores de calor y de (278):

ε=

Q̇

Cmin (t C1 − t F1 )

=

139,1 = 0,6034 3,974(80 − 22)

Nótese que s también es igual a (tC1 - tC2)/(tC1 - tF1). Usando la curva apropiada de la figura 10.12 se obtiene el NUT (número de unidades de transferencia de calor):

NUT =

Um A ≈ 1,3 Cmin

y de éste se infiere, finalmente, el área de transferencia de calor:

A=

(NUT)Cmin 1,3 · 3,974 = = 8,756 𝑚𝑚2 Um 0,59

Recalculemos, ahora, el ejercicio con el método del factor corrector de la diferencia de temperaturas media logarítmica. Empezaremos determinando Dtm1: ∆t1 = tC1 - tF1 = 80 - 46 = 34 °C ∆t2 = tC1 - tF1 = 45 - 22 = 23 °C

∆t ml =

∆t1 − ∆t 2 34 − 23 = = 28,14ºC ∆t1 34 ln ∆t ln 23 2

Nótese que el cálculo se ha efectuado como si se tratase de un intercambiador a contracorriente, y el factor corrector F de la DTML se obtiene de la figura 10.9 previa estimación de los parámetros R y P:

R=

tC1 −tC2 tF2 −tF1

80−45

= 46−22 = 1,458

con lo que F ≈ 0,96, y de (276) A es:

A=

t

−t

46−22

P = tF2 −tF1 = 80−22 = 0,4138 C1

F1

Q̇ 139,1 = = 8,727 m2 FUm ∆t ml 0,96 · 0,59 · 28,14

Obsérvese que este resultado es prácticamente coincidente con el que se ha encontrado con el otro método de cálculo.

10.5 Temas de ampliación Los evaporadores, los condensadores y los generadores de vapor forman una categoría especial de intercambiadores en los que uno de los fluidos cambia de estado. Los evaporadores y condensadores son piezas clave en los ciclos de refrigeración por com171

Ingeniería térmica presión de vapor y absorción. No hace falta señalar la importancia industrial de los generadores de vapor. En este capítulo no se han estudiado. El lector interesado encontrará una buena introducción a estos temas en el libro de Kakaç [6].

Bibliografía [1] Standars of Tubular Exchanger Manufacturers Association. [2] Mills, A.F. Transferencia de calor. IRWIN, México, 1995. [3] Kreith, F., Black, W.Z. La transmisión de calor. Alhambra, Madrid, 1983. [4] Necati Ö. Transferencia de calor. McGraw Hill, Bogotá, 1979. [5] London, A.L., Kays, W.M. Compac Heat Exchangers. National Press, Palo Alto, 1955. [6] Kakaç S. "Boilers, evaporators & condensers". John Wiley & Sons, Inc. New York, 1991.

172

Capítulo 11

COMPRESORES 1 1 . 1 Introducción El término compresor se emplea para designar una máquina generadora que se utiliza para comprimir un gas. La importancia de estas máquinas está fuera de toda duda, se utilizan compresores en los ciclos de refrigeración por compresión de vapor y en la turbina de gas. Por otra parte, el aire comprimido se utiliza en numerosas instalaciones y herramientas neumáticas. La justificación para incluir este tema en una obra de introducción al estudio de la Ingeniería Térmica se ha de buscar en el hecho de que el estudio del compresor alternativo allana el camino al estudio de otras máquinas parecidas pero mucho más complejas, los motores de combustión interna. En ambos casos, se trata de máquinas alternativas, sin que los compresores presenten las dificultades debidas a la combustión del combustible. Independientemente del tipo de compresor, su función consiste en aumentar la presión de un gas. La presión de entrada recibe el nombre de presión de aspiración y la de salida, presión de expulsión. La relación entre la presión de expulsión y la de aspiración se llama relación de compresión, r; 𝑝𝑝𝑒𝑒 𝑟𝑟 = (285) 𝑝𝑝𝑎𝑎 siendo pe la presión de expulsión y la presión de aspiración. Tradicionalmente [1], se considera la siguiente clasificación de los compresores en función de la relación de compresión: Ventiladores: r < 1,1 Soplantes: 1,1 < r < 2,5 Compresores propiamente dichos: r > 2,5 Esta clasificación tiene más importancia de la que aparenta puesto que el ventilador se considera una máquina hidráulica y, por tanto, se afronta su diseño en base a considerar

173

Ingeniería térmica que el fluido es incompresible. Una relación de compresión de 1,1 corresponde a un ∆p de 1.000 mm.c.a. Modernamente [2], se diseñan como ventiladores sólo cuando la variación de presión llega a 300 mm.c.a. Otra clasificación tiene en cuenta la forma en que realmente se produce la compresión: a) Compresores de desplazamiento positivo, son aquellos en los que queda retenida en el compresor una cantidad de gas que experimenta una variación negativa de volumen. A su vez, se dividen en alternativos y rotativos. Un ejemplo de los primeros es el compresor alternativo y de los segundos el compresor de tornillo. b) Turbocompresores, son aquellos que tienen un dispositivo denominado rodete en el que se produce un cambio del momento cinético del gas. Se dividen en radiales, semiaxiales y axiales según sea la dirección del gas respecto al eje de rotación del rodete. En general, se considera que para obtener grandes presiones, con caudales relativamente pequeños, es mejor un compresor alternativo. Para grandes caudales y presiones moderadas se prefiere un turbocompresor. Actualmente, los turbocompresores pueden alcanzar presiones de hasta 50.000 kPa. En esta obra sólo estudiaremos los compresores alternativos, dedicando una breve atención a los compresores de tornillo. El estudio de los turbocompresores excedería los límites de la misma. El lector interesado puede acudir a [2] para el estudio de las turbomáquinas en general.

11.2 Compresores alternativos 11.2.1 Principio de funcionamiento El elemento fundamental de un compresor alternativo es un cilindro provisto de émbolo, que es accionado mediante un sistema de biela manivela (véase la figura 11.1). El cilindro tiene dos válvulas denominadas de aspiración (VA) y de expulsión o descar-

Figura 11.1- Accionamiento del émbolo mediante un mecanismo de biela manivela

174

Compresores ga (VE) que facilitan la entrada y salida del gas de forma conveniente. Se trata de válvulas cuya apertura se realiza por diferencias de presión. El proceso completo de compresión comprende cuatro carreras de émbolo con un giro del eje de rotación. Completado el proceso vuelve a empezar desde las mismas condiciones iniciales, tratándose por tanto de un proceso cíclico, aunque abierto. La representación gráfica del proceso completo del ciclo real de máquina en un diagrama p-V se denomina diagrama de indicador. En la figura 11.2 se presenta un diagrama de este tipo. El ciclo comienza de forma natural con la aspiración del gas. Sin embargo, se entenderá mejor el funcionamiento del proceso si describimos el ciclo, empezando por la etapa de compresión. Las cuatro etapas o carreras son; a) Carrera de compresión, las válvulas están cerradas y el gas está dentro del cilindro. El émbolo inicia su movimiento desde la posición de máximo volumen, llamada punto muerto superior (PMS) hasta que se alcanza una presión determinada que abre la VE. Es la etapa 12 en la figura 11.2. b) Carrera de expulsión, la VE está abierta; el émbolo prosigue su movimiento hasta la posición de mínimo volumen denominada punto muerto inferior (PMI). El volumen correspondiente a esta posición recibe el nombre de espacio muerto o volumen residual o nocivo Vr. Al final de la etapa se cierra la VE. Es la etapa 23 en la figura 11.2. Se aprecia una pequeña ondulación debida a la vibración de la válvula de expulsión al abrirse. c) Carrera de reexpansión, con las válvulas cerradas, el émbolo inicia su movimiento desde el PMI hasta el momento que la baja presión abre la VA. Es la etapa 34 en la figura 11.2.

Figura 11.2 - Diagrama del indicador con las diferentes etapas del ciclo monofásico de compresión

175

Ingeniería térmica d) Carrera de aspiración, la VA está abierta; entra gas en el cilindro, desplazándose el émbolo hacia el PMS. A partir de aquí se inicia un nuevo ciclo. Es la etapa 41 en la figura 11.2. También se observa una pequeña ondulación debida a la vibración de la válvula de aspiración producida por la apertura brusca. La diferencia de volúmenes entre el PMS y el PMI recibe el nombre de volumen de embolada Ve. Así pues: Ve = V1 - V2

(286)

El cociente entre el volumen de embolada y el nocivo, es el volumen nocivo específico o relativo ε. Es decir:

ε=

Vr Ve

(287)

11.2.2 Diagrama convencional del indicador Una simplificación del ciclo real consiste en suponer que las etapas 23 y 41 sean procesos a presión constante. La figura 11.3 presenta un ciclo de estas características que recibe el nombre de diagrama convencional del indicador o diagrama indicado. Obsérvese que el ciclo de compresión se recorre en sentido antihorario. No es un ciclo de potencia. Para comprimir un gas hace falta trabajo. El trabajo de compresión referido al diagrama de indicador recibe el nombre de trabajo indicado Wi. El trabajo indicado referido al diagrama convencional del indicador se calcula a partir del área del ciclo:

Figura II .3 - Diagrama convencional del indicador o diagrama indicado

176

Compresores 2

3

4

1

Wi = � pdV + � pdV + � pdV + � pdV 1

o bien:

2

3

Wi = �

ciclo

Es fácil demostrar la relación:

Wi = �

ciclo

y llamando Wi' a (-Wi):

4

pdV

(288)

pdV = − �

ciclo

W′i = �

ciclo

Vdp

(289)

(290)

Vdp

Si admitimos que las etapas 23 y 41 son a presión constante, se cumplirá: 2

4

3

3

2

3

W′i = � Vdp + � Vdp = � Vdp − � Vdp = � Vml dp − � Vmr dp 1

3

4

4

1

4

donde v es el volumen específico del gas, m1 la masa de gas que se comprime y mr la masa de gas residual. Dado que m1 = m + mr siendo m la masa que se expulsa, la ecuación anterior se puede expresar en la forma: 2

o bien:

2

4

W'i = m � vdp + mr �� vdp + � vdp� 1

1

2

3

W′i = � vdp + (mr /𝑚𝑚) � 1

donde w'i es el trabajo específico de compresión.

ciclo

vdp

(291)

Si admitimos que mr = 0, el trabajo resultante w't lo llamaremos teórico y es: 2

W′t = � vdp 1

(292)

Este trabajo corresponde al área rayada que se muestra en la figura 11.4. Obsérvese que, ahora, el trabajo de compresión viene determinado únicamente por la compresión. Si se desea idealizar el proceso, bastará suponer que la etapa 12 transcurre de una forma ideal determinada, por ejemplo una compresión isoterma, politrópica o isentrópica, con lo cual tendremos diferentes modelos de trabajo teórico al resolver 177

Ingeniería térmica

(292). Utilizaremos las siguientes denominaciones para indicar los correspondientes trabajos indicados teóricos: w's trabajo indicado ideal correspondiente a un proceso isentrópico; w'isot trabajo indicado ideal correspondiente a un proceso isotérmico; w'pol trabajo indicado ideal correspondiente a un proceso politrópico.

11.3

Trabajos indicados ideales de compresión. Modelo de gas ideal perfecto

11.3.1 Trabajo isentrópico Si el proceso de compresión es isentrópico, el gas cumple la relación:

que aplicada en (292): W′s =

pvk = Cte

(293)

𝑘𝑘 (𝑝𝑝 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝1 𝑝𝑝1 ) 𝑘𝑘 − 1 2 2

(294)

o bien, teniendo en cuenta que pv = R'T:

W′s = 178

kR′ (T − T1 ) k−1 2

(295)

Compresores y puesto que T2/T1 = (P2/P1)(k-1)k resulta: W′s =

k 𝑝𝑝2 (𝑘𝑘−1)/𝑘𝑘 𝑅𝑅′T1 �� � − 1� k−1 𝑝𝑝1

(296)

es decir, se ha obtenido el trabajo específico isentrópico en función de la temperatura del gas al inicio de la compresión y de la relación de compresión.

11.3.2 Trabajo Isotérmico Si se trata de una compresión isotérmica se cumple: pv = R' T = Cte

(297)

Si se aplica (297) en (292) se obtiene: W′isot = 𝑅𝑅′T1 𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑝𝑝2 𝑝𝑝1

(298)

resultado expresado en términos análogos al del modelo anterior.

11.3.3 Trabajo politrópico

La consideración de proceso politrópico tiene una especial relevancia en el estudio de los compresores puesto que se suele considerar que la compresión real se adapta bastante bien a un proceso politrópico. No obstante, no se han de confundir los términos. La compresión real no es politrópica. La compresión politrópica no deja de ser una aproximación. En un proceso politrópico hay intercambio de calor con el medio. Consideremos un proceso abierto de compresión politrópico sin variación apreciable de las energías potencial y cinética. Se cumple: q12 + w' = h2 - h1 = u2 - u1 + p2v2 - p1v1 o bien:

2

q12 + � vdp = cv (T2 − T1 ) + p2 v2 − p1 v1 1

siendo cv el calor específico a volumen constante del gas. Esta expresión se puede escribir en la forma: 2

q12 = 𝑐𝑐𝑣𝑣 (T2 − T1 ) + � p dv 1

(299)

179

Ingeniería térmica Teniendo en cuenta que:

2

2

p2 v2 − p1 v1 = � v dp + � p dv Además, el proceso politrópico cumple:

1

1

pvn = Cte

(300)

siendo n el índice de politropía de la compresión. Aplicando (300) a la integral de (299) se obtiene: 1 (p v − p1 v1 ) q12 = cv (T2 − T1 ) + (301) 1 − 𝑛𝑛 2 2

Esta expresión en forma diferencial adopta la forma: δq = cv dT + de la que es fácil obtener: δq = cv +

1 d(pv) 1−n

k−n dT 1−n

(302)

Obsérvese que cv(k - n)/(1 - n) adquiere la forma de un calor específico que llamaremos cn. Así pues, para un proceso politrópico: q12 = cn(T2 - T1)

(303)

siendo: k−n

c𝑛𝑛 = cv + 1−n

(304)

Por otra parte, el trabajo politrópico de compresión adopta una expresión análoga a (296) dado que las ecuaciones de los procesos isentrópico y politrópico son formalmente iguales. Así pues: W′pol =

180

n p2 (n−1)/n R′ T1 �� � − 1� n−1 p1

(305)

Compresores

11.4 Trabajos, rendimientos y potencias El trabajo específico de compresión del gas, en valor absoluto, es el que comúnmente se llama trabajo indicado y representamos con el símbolo w'i. Sin embargo, suele haber una cierta confusión en tomo a este tema, puesto que este trabajo puede estar referido al diagrama real del indicador, en cuyo caso sería el trabajo real, o referido al diagrama indicado o convencional del indicador que, a su vez, puede tener alguna variante. No se acostumbra a diferenciar el símbolo utilizado para designar el trabajo indicado según esté referido al diagrama real o al convencional. Su significado quedará establecido en el contexto del problema abordado. En lo que sigue se utilizan los siguientes conceptos, w'i es el trabajo específico indicado que ya se ha introducido; w's trabajo indicado en el supuesto que el ciclo de compresión se lleve a cabo de forma isenfrópica y recibe el nombre de trabajo isentrópico. De acuerdo con esto, la potencia indicada N'i es:

donde m es el caudal másico de gas.

N'i = ṁ w'i

(306)

Recibe el nombre de potencia de accionamiento N'a la potencia que se ha de suministrar al rotor del mecanismo biela manivela para accionar el compresor. Se trata, por tanto, de la potencia en el eje de la máquina. Obviamente, es mayor que la potencia indicada puesto que N'a = N'i + Nr llamando Nr el término que expresa las pérdidas mecánicas. Es decir, N'a = N’i/ηm siendo el rendimiento mecánico. Las potencias isentrópica e isotérmica [3], N's y N't, respectivamente, son: N's = m w's

(307)

N't = m w't

(308)

donde w's y w't indican los trabajos específicos isentrópico e isotérmico respectivamente. Los rendimientos isentrópico indicado, ηs,a e isotérmico indicado, ηt,a: 𝜂𝜂𝑠𝑠,𝑖𝑖 = 𝜂𝜂𝑡𝑡,𝑖𝑖 =

𝑁𝑁′𝑠𝑠 𝑁𝑁′𝑖𝑖 𝑁𝑁′𝑡𝑡 𝑁𝑁′𝑖𝑖

(309) (310)

Los rendimientos isentrópico de accionamiento ηs,a e isotérmico de accionamiento ηt,a: 𝜂𝜂𝑠𝑠,𝑎𝑎 =

𝑁𝑁′𝑠𝑠 𝑁𝑁′𝑎𝑎

(311)

181

Ingeniería térmica

𝜂𝜂𝑡𝑡,𝑎𝑎 =

𝑁𝑁′𝑡𝑡 𝑁𝑁′𝑎𝑎

(312)

Estos rendimientos se han definido como cocientes entre potencias. Es evidente que su valor será el mismo si se dividen los correspondientes trabajos específicos. Además, es fácil comprobar que: ηs,a = ηs,i ηm

(313)

ηt,a = ηt,i ηm

(314)

Introduzcamos ahora el rendimiento volumétrico [4], como el cociente entre la masa real m de gas que entra en el cilindro durante la etapa de aspiración y la masa teórica de gas que se aspiraría en un ciclo suponiendo que las condiciones de entrada fuesen pa, y Ta, es decir, las correspondientes al gas en el inicio del proceso de aspiración: ηv = m/ma La masa m es igual a m1 - m4 (véase la figura 11.3) y ma = Veρa, siendo la densidad del gas en las condiciones de aspiración. Por otra parte, si n representa la frecuencia de giro del cigüeñal del compresor, es decir, las vueltas por unidad de tiempo, el caudal másico suministrado por la máquina es: m = n ma = nηvVeρa Además, el rendimiento cabe expresarlo, con poco error, como sigue: 𝜂𝜂𝑣𝑣 =

𝑚𝑚1 − 𝑚𝑚4 𝑉𝑉1 𝜌𝜌1 − 𝑉𝑉4 𝜌𝜌4 (𝑉𝑉1 − 𝑉𝑉4 )𝜌𝜌𝑎𝑎 𝑉𝑉𝑒𝑒 + 𝑉𝑉3 − 𝑉𝑉4 = = = 𝑉𝑉𝑒𝑒 𝜌𝜌𝑎𝑎 𝑉𝑉𝑒𝑒 𝜌𝜌𝑎𝑎 𝑉𝑉𝑒𝑒 𝜌𝜌𝑎𝑎 𝑉𝑉𝑒𝑒

e introduciendo el volumen nocivo específico (297):

o sea:

𝜂𝜂𝑣𝑣 =

𝑉𝑉𝑒𝑒 + ε𝑉𝑉𝑒𝑒 − 𝑉𝑉4 (1 + ε)Ve − (V4 /V3 )εVe = = 1 + 𝜀𝜀 − (V4 /V3 )ε 𝑉𝑉𝑒𝑒 Ve ηv = 1 + ε -(V4/V3)ε

A veces se utiliza un rendimiento volumétrico isentrópico ηv,s [4] definido a partir de la relación anterior haciendo V4/V3 = (p3/p4)1/k = (pe/pa)1/k siendo pe y pa las presiones de expulsión y aspiración del gas respectivamente. Así pues, ηv,s = 1 + ε - (pe/pa)1/k ε

(315)

Los rendimientos ηv y ηv,s se relacionan mediante un coeficiente experimental Ψ: Ψ

182

=

𝜂𝜂𝑣𝑣 𝜂𝜂𝑣𝑣,𝑠𝑠

(316)

Compresores que permite pasar del rendimiento volumétrico ideal o isentrópico al real o efectivo. Se ha de buscar en la bibliografía o es facilitado por el fabricante del compresor.

11.5 Compresores adiabáticos y no adiabáticos Un compresor adiabático es un compresor con el cilindro aislado térmicamente. En la práctica, un compresor mal refrigerado se considera adiabático. Para éste se cumple: w'i = h2 - h1

(317)

en cambio, si la compresión es isentrópica: w's = h2s - h1 y el cociente entre ambos trabajos es: 𝑤𝑤′𝑠𝑠 ℎ2𝑠𝑠 − ℎ1 = 𝜂𝜂𝑣𝑣 = 𝑤𝑤′𝑖𝑖 ℎ2 − ℎ1

(318)

(319)

evidentemente, este rendimiento es menor que la unidad. Para un compresor no adiabático (compresor refrigerado), el balance energético es (véase la figura 11.5): w'i = h2 - h1 + |qr|

(320)

siendo |qr| el calor de refrigeración por kilogramo de gas. El rendimiento isentrópico del compresor refrigerado [5] puede ser superior a la unidad. Sin embargo, el rendimiento isotérmico (310): 𝑤𝑤′𝑡𝑡 𝜂𝜂𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖 = (321) 𝑤𝑤′𝑖𝑖

Figura 11.5 - Balance de energías en un compresor refrigerado

183

Ingeniería térmica es siempre menor que uno o igual a uno, pero nunca mayor que uno, aun en el caso de compresores refrigerados. La temperatura al final de la compresión T2 [6] se determina en los compresores adiabáticos y suponiendo gas perfecto de:

previa determinación de T2s;

𝜂𝜂𝑠𝑠,𝑖𝑖 =

𝑇𝑇2𝑠𝑠 − 𝑇𝑇1 𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1

(322)

T2s p2 (k−1)/k = T1 p1

(323)

Si se trata de un compresor refrigerado se determina directamente a partir de la relación politrópica: T2 p2 (n−1)/n = T1 p1 (324)

siempre que se conozca el coeficiente de politropía equivalente del proceso de compresión.

Ejemplo n° 34 Obtener los diferentes trabajos ideales, isentrópico, isotermo y politrópico, para la compresión de aire desde 100 kPa y 20 °C hasta 500 kPa. En el proceso politrópico se supondrá un exponente n = 1,3. Propiedades del aire: R' = 287,1 J/(kg K), cv, = 716,9 J/(kg K). Teniendo en cuenta que cp = cv + R' = 1004 J/(kg K) y que k = cp/cv = 1,40, el trabajo isentrópico es: (1,4-1)/1,4 k ' p2 (k-1)/k 1,4 500 w's = R T1 �� � -1� = 0,2871·293,2 �� � -1� =172 KJ/kg k-1 p1 1,4-1 100

El trabajo isotermo:

w'isot =R' T

p2 500 = 0,2871·293,2 ln =135,5 KJ/kg p1 100

El politrópico: w'pol =

184

(1,3 - 1)/1,3

n ' p2 (n - 1)/n 1,3 500 R T1 �� � -1� = 0,2871·293,2 �� � n-1 p1 1,3 - 1 100

-1� =164,1 KJ/kg

Compresores Tratándose de una compresión politrópica, podemos calcular el calor de refrigeración determinando en primer lugar el calor específico equivalente: cn = cv

k−n 1,4 - 1,3 = 0,7169 = −0,239 KJ/(kg K) 1−n 1 - 1,3

y a continuación la temperatura T2:

p2 (n - 1)/n 500 (1,3−1)/1,3) T2 = T1 � � = 293,2 � � =425,1 KJ/kg p1 100

por lo que, el calor de refrigeración es:

q12 = Cn(T2 - T1) = - 0,2390(425,1 - 293,2) = - 31,52 kj/kg Ahora comprobamos que el trabajo politrópico se ha calculado correctamente: w'pol = Cp(T2 - T1) - q12 = 1,004(425,1 - 293,2) + 31,52 = 163,9 kJ/kg que coincide prácticamente con el valor obtenido anteriormente.

Ejemplo n° 35 Un compresor refrigerado comprime aire desde 100 kPa y 20 °C hasta 400 kPa. La compresión en el ciclo convencional se puede asimilar a una politrópica de exponente 1,32. Determinar el calor de refrigeración, el trabajo indicado referido al ciclo convencional y el rendimiento isentrópico indicado del compresor. Las propiedades del aire son: R' = 287,1 J/(kg K), cv = 716,9 J/(kg K). En primer lugar, calculemos T2s de (323), p2 (k - 1)/k 400 (1,4−1)/1,4) T2s = T1 � � = 293,2 � � =435,7 KJ/kg p1 100

y la temperatura T2s a partir de (324), p2 (n - 1)/n 400 (1,32−1)/1,32) T2 = T1 � � = 293,2 � � = 410,3 K p1 100

el calor específico equivalente al proceso politrópico de compresión, de (304) es: cn = cv

k−n 1,4 - 1,32 = 0,7169 = −0,1792 KJ/(kg K) 1−n 1 - 1,32

y de (303) el calor de refrigeración: q12 = Cn(T2 - T1) = - 0,1792(410,3 - 293,2) = - 20,98 kJ/kg

185

Ingeniería térmica por lo que el trabajo indicado es: w'pol = Cp(T2 - T1) - q12 = 1,004(410,3 - 293,2) + 20,98 = 138,5 kj/kg y el trabajo isentrópico: w's = cp(T2s - T1) = 1,004(435,7 - 293,2) = 143,1 kJ/kg con lo cual el rendimiento isentrópico indicado es: 𝜂𝜂𝑠𝑠,𝑖𝑖 =

𝑤𝑤′𝑠𝑠 143,1 = = 1,033 𝑤𝑤′𝑖𝑖 138,5

11.6 Compresión en etapas

El trabajo indicado de compresión isotérmico es menor siempre que el trabajo isentrópico. Una posibilidad de acercarse al ideal isotérmico consiste en refrigerar el compresor o efectuar la compresión en etapas [7] con una refrigeración intermedia. En la figura 11.6 ha representado un esquema de compresión en tres etapas con refrigeraciones intermedias cada vez hasta la temperatura inicial. Obsérvese que si se hiciera un número infinito de etapas con refrigeración intermedia, el proceso coincidiría con la compresión isoterma. El área del ciclo es menor en el caso de la compresión en etapas que en el caso de efectuar una sola etapa (véase la línea de trazos resultante de prolongar la línea 12). Si la compresión no es por etapas y se refrigera el compresor, equivale a efectuar una compresión politrópica que representada gráficamente daría lugar a una línea intermedia entre la 12 prolongada y la isoterma. Si un compresor opera por etapas, es preciso determinar la relación parcial de compresión. Se puede demostrar [5] que para tener una compresión óptima, es decir,

Figura 11.6 - Refrigeración ideal en un proceso de compresión de tres etapas

186

Compresores con el mínimo trabajo de compresión, las relaciones de compresión de cada una de las etapas han de ser iguales entre sí y su valor viene dado, para m etapas, por la expresión: 𝑝𝑝𝑓𝑓 1/𝑚𝑚 𝑟𝑟𝑝𝑝 = � � 𝑝𝑝𝑖𝑖

(325)

siendo rp la relación de compresión parcial, pf la presión final y pi la presión inicial. Esta conclusión no es aplicable a las etapas de compresión de un ciclo frigorífico de multicompresión. En este caso, se han de aplicar criterios de optimización que afectan a todo el ciclo y no sólo al proceso de compresión.

Ejemplo n° 36 Determinar el trabajo específico indicado para comprimir aire desde 100 kPa y 20 °C hasta 900 kPa. Calcúlese este trabajo según las dos hipótesis siguientes: a) una sola etapa de compresión; b) dos etapas de compresión con una relación de compresión parcial igual a tres y refrigeración intermedia hasta 20 °C. En ambos casos se considera un rendimiento isentrópico del 85%. En el primer supuesto, el volumen de embolada del compresor monofásico es 20 litros y gira a 360 rpm. Determinar la potencia de accionamiento sabiendo que su rendimiento volumétrico es 0,74 y el mecánico 0,85. El trabajo específico isentrópico para la compresión monofásica es; w's =

k ' p2 (k-1)/k 1,4 900 (1,4-1)/1,4 R T1 �� � -1� = 0,2871·293,2 �� � -1� =257,3 KJ/kg k-1 p1 1,4-1 100

y el indicado:

w′i =

w ′ s 257,3 = = 302,7 KJ/kg ηs,i 0,85

Si la compresión es en dos fases de idénticas características: w's, 2etapas =2w's, 1etapa =2

= 217,3 kj/kg

k ' pe (k-1)/k 300 0,2857 R T1 �� � -1� =2·3,5·0,2871·293,2 �� � -1� k-1 pa 100

El trabajo específico indicado ahora es: w′i =

w ′ s 217,3 = = 255,6 KJ/kg ηs,i 0,85

con lo cual se consigue un ahorro del 15,5%.

187

Ingeniería térmica Calculemos ahora la potencia de accionamiento del compresor monofásico. De (313) sabemos que la masa de aire que suministra el compresor por ciclo es ṁ = ηvma, siendo ηv el rendimiento volumétrico efectivo y ma la masa teórica de aire aspirado por ciclo, en condiciones de aspiración, es decir, a pa = 100 kPa y ta = 20 °C. Puesto que ṁ = n m, siendo n la frecuencia de los ciclos y, además, ma = Veρa, el caudal másico de aire suministrado por el compresor es: ṁ = ηv nVeρa = 0,74 · 6 · 0,02 · 1,188 = 0,1055 kg/s

donde ρa se ha calculado aplicando la ecuación de estado. La potencia indicada es pues:

N'i = ṁ w'i = 0,1055 · 302,7 = 31,9 kW

y la de accionamiento:

N’a = N'i/ηm = 31,9/0,85 = 37,6 kW

11.7 Compresores de tornillo El compresor de tornillo es de desplazamiento positivo y su elemento fundamental es una carcasa que contiene dos tomillos. Aunque se fabrican en diferentes modelos, la figura 11.7 muestra uno de los más corrientes. Uno de los tornillos, llamado macho o conductor, es accionado por el motor y engrana y conduce al otro, llamado hembra, que gira en sentido contrario al tornillo conductor. Ambos tornillos están contenidos en una carcasa (véase la figura 11.8). El espacio comprendido entre la carcasa y los tornillos es muy pequeño, de forma que el gas al entrar en la carcasa sólo se puede situar en las bolsas o espacios que quedan entre los tornillos. El movimiento de los tornillos provoca la compresión del gas. Este es empujado hacia una galería de descarga, quedando reducido a cero el volumen de gas remanente. Es interesante observar que tanto a la entrada como a la salida no existen válvulas.

Figura 11.7 - Rotores complementarios de un compresor de tornillo

188

Compresores

Figura 11.8 - El par de tornillos se halla montado en el interior de una carcasa con tolerancias muy ajustadas

11.8 Temas de ampliación En [8] el lector interesado encontrará una obra sencilla, didáctica y monográfica sobre el tema de ventiladores, motores y bombas hidráulicas. Tampoco podemos olvidar la importancia extraordinaria que tienen los turbocompresores y en general la turbomaquinaria [9]. En un turbocompresor se produce la compresión como consecuencia de la variación del momento cinético que experimenta el fluido a su paso por el rodete. En compresores de desplazamiento positivo, sean o no rotativos, la compresión se produce como consecuencia de la disminución de volumen.

Bibliografía [1] Paires, V.M. Termodinámica. UTEHA, México, 1965. [2] Mataix, C. Turbomáquinas térmicas. Editorial Dossat, Madrid, 1988. [3] Marqués, R., "Potencia isentrópica de compresores". Ingeniería Química, agosto, 1970 y "Métodos gráficos en termodinámica de compresores". Ingeniería Química, enero, 1971. [4] Marqués, R. y Jutglar, L., "Rendimiento volumétrico de compresores alternativos". Ingeniería Química, julio, 1971. [5] Baehr, H.D. Tratado moderno de termodinámica. José Montesó Editor, Barcelona, 1979. [6] Marqués, R. y Jutglar, L., "Elevación de temperatura en compresores alternativos", Electrónica y Física Aplicada, 15, 154, 1972.

189

Ingeniería térmica [7] Marqués, R., Olóndriz, M. y Llorens, M., "Termodinámica de los compresores alternativos de dos etapas". Anales de Mecánica y Electricidad, febrero, 1976. [8] Jutglar, L. Bombas, ventiladores y compresores. CEAC-Planeta de Agostini, Barcelona, 2005. [9] Mataix, C. Turhomáquinas Térmicas. Editorial Dossat. Madrid, 1988.

190

Capítulo 12

CICLO BRAYTON

12.1 Introducción El ciclo Brayton es el ciclo de comparación para el proceso de la turbina de gas (véase la figura 12.1). La turbina de gas es una máquina térmica que consta, en su forma más elemental, de un sistema coaxial compresor-turbina y una cámara de combustion. La turbina produce el trabajo útil además de accionar el compresor. El gas debe llegar a la turbina comprimido y caliente; estas operaciones las realizan el compresor y la cámara de combustión, respectivamente. La turbina de gas presenta una buena relación potencia-peso, lo cual la hace apta para aplicaciones relacionadas con el transporte o la propulsión. Las instalaciones fijas se utilizan para producir energía eléctrica de pequeña y mediana potencia y, en esta zona, compiten con los motores de combustión. Dónde no puede competir la turbina de gas es en la zona de las grandes potencias, en la que aparece como solución indiscutible la instalación de vapor. La instalación de turbina de gas puede funcionar en circuito abierto o cerrado. En circuito abierto, el compresor aspira aire de la atmósfera y lo inyecta en la cámara de combustión. Los gases que salen de la cámara son los que trabajan en la turbina. Los gases de escape de la turbina se vierten a la atmósfera o bien se les hace pasar por un

Figura 12.1 - Esquema básico de una turbina de gas. C: compresor; CC: cámara de combustión; T: turbina

191

Ingeniería térmica recuperador de calor para aprovechar la elevada entalpia que aún tienen. En la turbina de gas de circuito cerrado, el gas que sale del compresor es calentado externamente, y no se mezcla con los productos de la combustión. El gas que sale de la turbina se debe de enfriar antes de reutilizarlo en el compresor. Si el circuito es cerrado se puede utilizar como gas de trabajo uno que sea menos corrosivo que el aire, por ejemplo N2 o He. Son más comunes las turbinas de gas de circuito abierto. El análisis termodinàmico es fundamentalmente el mismo, por lo que, en lo que sigue, consideraremos que la turbina de gas es de circuito abierto.

12.2 Diagramas T-s y h-s La representación de los procesos termodinámicos, en los que aparecen compresiones y expansiones, es útil llevarla a cabo en diagramas termodinámicos que utilicen como ejes la temperatura T y la entropía especifica s, o bien la temperatura T y la entalpia especifica h. Para el estudio y representación de los ciclos de gas, son muy convenientes los diagramas T-s y h-s, llamado este último diagrama de Mollier. En las figuras 12.2 y 12.3 se muestran de forma cualitativa los diagramas citados con las isolineas más características para un gas de los llamados difíciles de condensar, como podría ser el N2. Los diagramas T-s y h-s para un gas fácilmente condensable, por ejemplo el NH3, no son esencialmente distintos de los anteriores; sin embargo, las características curvas de equilibrio gas-líquido aparecen a temperaturas y presiones más suaves, con lo cual la apariencia del diagrama es distinta. La figura 12.4 presenta dos procesos (a y b), uno de compresión desde la presión p1 hasta la presión p2 y el otro de expansión. La compresión isentrópica viene definida por el proceso 12s y la compresión real por el proceso 12. Obsérvese que el estado 2 está a la derecha del estado 2s puesto que a la compresión real le corresponde una

Figura 12.2 - Diagrama T-s para un gas difícilmente condensable

192

Ciclo Brayton

Figura 12.3 - Diagrama h-s para un gas difícilmente condensable

variación positiva de entropía. El rendimiento isentrópico de la compresión se define en la forma: ℎ2𝑠𝑠 − ℎ1 𝜂𝜂𝑐𝑐 = ℎ2 − ℎ1 (326) La expansión isentrópica viene definida por el proceso 12s y la real por 12. Igual que antes, el estado 2 debe estar situado a la derecha del estado 2s. El rendimiento isentrópico de la expansión es: ℎ1 − ℎ2 𝜂𝜂𝑡𝑡 = (327) ℎ1 − ℎ2𝑠𝑠

Figura 12.4 - Procesos de compresión (a) y de expansión (b)

193

Ingeniería térmica Si el gas tiene un comportamiento de gas ideal perfecto (GIP), las diferencias de entalpia se pueden sustituir en función de las diferencias de temperaturas y, al simplificar los calores específicos a presión constante, los rendimientos son: 𝜂𝜂𝑐𝑐 =

y:

𝜂𝜂𝑡𝑡 =

12.3

𝑇𝑇2𝑠𝑠 − 𝑇𝑇1 𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1

𝑇𝑇1 − 𝑇𝑇2 𝑇𝑇1 − 𝑇𝑇2𝑠𝑠

(328)

(329)

Análisis termodinàmico dei ciclo Brayton con gas ideal perfecto

12.3.1 Ciclo simple ideal La figura 12.5 presenta el ciclo simple ideal correspondiente al proceso de la turbina de gas, en el que se han considerado la compresión y la expansión isentrópicas, sin pérdida de presión por rozamiento en las conducciones de gas. El trabajo en el compresor es: w'c = h2 - h1 (330) donde w'c es el trabajo específico interno de compresión con signo positivo, h1 la entalpia específica del aire a la entrada del compresor y h2 la entalpia específica del aire a la salida del compresor. Dado que consideramos comportamiento de GIF: w'c = cp(T2 - T1)

(331)

donde cp es el calor específico a presión constante del gas en el compresor. De forma análoga, el trabajo de expansión en la turbina es: wt = h3 - h4

(332)

y como GIF: wt = cp(T3 - T4)

(333)

El calor aportado en la cámara de combustión: q23 = h3 - h2

(334)

q23 = cp(T3 - T2)

(335)

y como GIF: En consecuencia, el trabajo neto de la turbina es: wn = wt - w'c

194

(336)

Ciclo Brayton

Figura 12.5 - Ciclo Brayton simple ideal

y como GIF: wn = cp(T3 - T4) - cp(T2 - T1) (337) En el análisis efectuado, no se han tenido en cuenta los cambios de energía cinética y potencial que experimenta el gas en los diversos elementos que se han considerado, es decir, el compresor, la cámara de expansión y la turbina. Realmente, estos cambios son muy pequeños y se ha preferido prescindir de ellos en aras a la sencillez y simplificación del cálculo. El rendimiento termodinamico del ciclo es: 𝜂𝜂 =

𝑤𝑤𝑛𝑛 𝑞𝑞23

(338)

o bien, teniendo en cuenta (335), (336) y (337): 𝜂𝜂 =

Teniendo en cuenta que:

que:

y llamando r' a:

(𝑇𝑇3 − 𝑇𝑇4 ) − (𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1 ) 𝑇𝑇3 − 𝑇𝑇2 𝑇𝑇2 𝑝𝑝2 (𝑘𝑘−1)/𝑘𝑘 =� � 𝑇𝑇1 𝑝𝑝1 𝑇𝑇3 𝑝𝑝2 (𝑘𝑘−1)/𝑘𝑘 =� � 𝑇𝑇4 𝑝𝑝1

(339)

(340)

(341)

195

Ingeniería térmica 𝑝𝑝2 (𝑘𝑘−1)/𝑘𝑘 𝑟𝑟 ′ = � � 𝑝𝑝1

(342)

Las temperaturas T4 y T1 se pueden expresar en la forma: T4 = T3/r'

T1 = T2/r'

(343)

y sustituyéndolas en (339) se obtiene:

O sea:

𝜂𝜂 =

𝑇𝑇3 (1 − 1/𝑟𝑟 ′ ) − 𝑇𝑇2 (1 − 1/𝑟𝑟′) 𝑇𝑇3 − 𝑇𝑇2 𝜂𝜂 = 1 − (1/𝑟𝑟′)

(344)

(345)

La figura 12.6 presenta el rendimiento termodinàmico frente a la relación de compresión p2/p1 para k = cp/cv = 1,40. El rendimiento aumenta con la relación de presiones del compresor. Ninguna otra variable influye. No obstante, existe un límite en la temperatura de entrada de la turbina T3 impuesto por las propiedades térmicas de los materiales empleados en la construcción de la máquina. Por otra parte, operando a la mayor temperatura posible de entrada a la turbina, se constata que un mayor rendimiento y, por tanto, una mayor relación de compresión, no equivale a un mayor trabajo específico neto de la turbina. Ello significa que para obtener la misma potencia efectiva de una turbina, la de mayor rendimiento requiere un caudal de gas mayor, lo cual incrementa su tamaño y coste. En instalaciones ligeras, por ejemplo en turbinas de gas para vehículos, probablemente se prefiera maximizar el trabajo específico neto a costa del rendimiento. Dicho trabajo es:

Figura 12.6 - Rendimiento de un ciclo Brayton ideal

190

Ciclo Brayton wn = cpT3(1- 1/r') - cpT1(r' - 1) y para una temperatura T3 de entrada de la turbina dada, y también fijada la temperatura T1 del gas a la entrada del compresor, se optimiza anulando la derivada primera de la expresión anterior respecto de r': r'ópt =(T3/T1)1/2

(346)

siendo r'opt la r' que da lugar al trabajo neto máximo. Por tanto, la relación de compresión que proporciona el trabajo máximo es: p2

p1 opt

T

= � 3� T1

k/{2(k−1)}

(347)

12.3.2 Ciclo simple no isentrópico Si consideramos rendimientos isentrópicos del compresor y de la turbina distintos de la unidad, el ciclo Brayton es el indicado en la figura 12.7. Estas no son las únicas aproximaciones a la realidad. Podríamos tomar en cuenta las caídas de presión en los conductos y en la cámara de combustión, así como el rendimiento de la combustión e, incluso, el hecho de que a partir de la cámara de combustión no circula la misma cantidad de gas. Para mantener el esquema de sencillez que nos permita obtener relaciones sencillas sólo se ha tenido en cuenta el rendimiento isentrópico del compresor y de la turbina. Aplicando las relaciones (340) y (341) referidas a los estados isentrópicos: 𝑇𝑇2𝑠𝑠 𝑝𝑝2 (𝑘𝑘−1)/𝑘𝑘 =� � 𝑇𝑇1 𝑝𝑝1

(348)

Figura 12.7 - Ciclo Brayton

197

Ingeniería térmica y:

p2 (k−1)/k T3 =� � T4s p1

(349)

donde el estado 2s representa el final de la compresión supuesta isentrópica y el estado 4s el final de la expansión supuesta isentrópica. Asimismo: T4s = T3/r' T1 = T2s/r' Los rendimientos isentrópicos del compresor y de la turbina son:

y:

𝜂𝜂𝑐𝑐 =

ℎ2𝑠𝑠 − ℎ1 ℎ2 − ℎ1

(350)

𝜂𝜂𝑡𝑡 =

ℎ3 − ℎ4 ℎ3 − ℎ4𝑠𝑠

(351)

Considerando una vez más comportamiento de GIP: 𝜂𝜂𝑐𝑐 =

𝑇𝑇2𝑠𝑠 − 𝑇𝑇1 𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1

𝜂𝜂𝑡𝑡 =

𝑇𝑇3 − 𝑇𝑇4 𝑇𝑇3 − 𝑇𝑇4𝑠𝑠

y:

El trabajo neto de la turbina es:

(352)

(353)

wn = cp(T3 - T4) - cp(T2 - T1) y teniendo en cuenta (352) y (353): 𝑤𝑤𝑛𝑛 = ℎ𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑝𝑝 (𝑇𝑇3 − 𝑇𝑇4𝑠𝑠 ) − En cuanto al calor aportado es:

1 𝑐𝑐 (𝑇𝑇 − 𝑇𝑇1 ) ℎ𝑐𝑐 𝑝𝑝 2𝑠𝑠

q23 = cp(T3 - T2)

(354)

(355)

O bien, de (352):

q23 = cp �T3 − �T1 +

T2s − T1 �� ηc

por lo que el rendimiento térmico del ciclo es: 198

(356)

Ciclo Brayton (T2s − T1 ) ηc η= (T2s − T1 ) cp �T3 − �T1 + �� ηc ηt cp (T3 − T4s ) − cp

(357)

Teniendo en cuenta (352) y (353) resulta fácil obtener: η=

𝑟𝑟 ′ − 1 ηc ηt 𝜃𝜃 − 𝑟𝑟′ 𝑟𝑟′ ηc (𝜃𝜃 − 1) − (𝑟𝑟 ′ − 1)

(358)

siendo θ =T3/T1. Haber tenido en cuenta las irreversibilidades internas de la turbina y del compresor equivale a afirmar que, ahora, el compresor requiere mayor trabajo de compresión del gas a la vez que la turbina aporta menos trabajo, todo lo cual reduce de manera muy significativa el trabajo neto resultante. El rendimiento, como hemos visto, viene dado por la ecuación (358). Si se representa η frente a r' para una relación 0 de temperaturas fijada, y admitiendo rendimientos internos de compresor y de turbina conocidos, la curva presenta un máximo. Esto significa que existe una r' y, por ende, una relación de compresión, que optimiza el proceso. Para unas condiciones fijas de θ, ηc y ηt, se obtiene la r’ que genera un rendimiento máximo derivando (358) respecto a r'. Llamando A = ηcηtθ y B = ηc(θ -1) + 1 resulta: r'2 (A - B + 1) - 2Ar' + AB = 0 (359) ecuación de 2º grado de la que se deduce r'opt.

Ejemplo n° 37 Una turbina de gas de ciclo abierto simple (véase esquema básico de la figura 12.1) aspira aire en condiciones estándar de especificación (la norma ISO 2314 establece estas condiciones en 15 °C, 101,3 kPa, 60% de humedad relativa y nivel del mar) con una temperatura de 750 °C a la salida de la cámara de combustión. La relación de compresión es 4,5. El rendimiento isentrópico del compresor 85% y el de la turbina 90%. Determinar el trabajo neto, el calor aportado, el rendimiento del ciclo, la relación óptima de compresión y el rendimiento máximo. La relación r' valdrá: r' = r (k-1)/k = 4,5 0,2857 = 1,5368 y la relación θ de temperaturas: 𝜃𝜃 =

𝑇𝑇3 750 + 273,15 1023,15 = = = 3,551 𝑇𝑇1 15 + 273,15 288,15

La temperatura isentrópica a la salida del compresor:

199

Ingeniería térmica T2S = r'T1 = 1,5368 · 288,15 = 442,83 K (169,68 °C) Para obtener la temperatura real a la salida, aplicaremos la ecuación (352): 0,85 =

de donde T1= 470,13 K (196,98 °C).

442,83 − 288,15 𝑇𝑇2 − 288,15

La temperatura isentrópica a la salida de la turbina: T4s = T3/r' = 1023,15/1,5368 = 665,77 K (392,62 °C) Para obtener la temperatura real a la salida utilizaremos la ecuación (353): 1023,15 − 𝑇𝑇4 0,90 = 1023,15 − 665,77 de donde T4 = 701,51 K (428,36 °C). El trabajo neto de la turbina es: wn = cp(T3 - T4) - cp(T2 - T1) = 1,004(1023,15 - 701,51) - 1,004(470,13 - 288,15) = 140,22 kJ/kg y el calor aportado: qap = cp(T3 - T2) = 1,004(1023,15 - 288,15) = 555,23 kJ/kg y el rendimiento: η=

𝑤𝑤𝑛𝑛 140,22 = = 0,2525 𝑞𝑞𝑎𝑎𝑎𝑎 555,23

Para determinar la relación de compresión óptima utilizaremos la ecuación (359): r'2(A - B + 1) - 2Ar' + AB = 0 donde: A = ηcηtθ = 0,85 · 0,90 · 3,551 = 2,7165 B = ηc(θ - 1) + 1 = 0,85(3,551 - 1) + 1 = 3,1684 Resolviendo la ecuación de segundo grado, se obtiene r' = 1,9795 a la que corresponde una relación de compresión r = 10,91. Para calcular el rendimiento máximo bastará aplicar la ecuación la ecuación (358), con esta relación de compresión: η= 200

r ' -1 ηc ηt θ-r' 1,9795-1 0,85·0,90·3,551-1,9795 = =0,3068 ' r' ηc (θ-1)-(r -1) 1,9795 0,85(3,551-1)-(1,9795-1)

Ciclo Brayton Es interesante observar que en la práctica no se valora tanto este aumento de rendimiento frente al inconveniente de trabajar con una relación de compresión mucho más alta.

12.4 Análisis termodinàmico del ciclo Brayton con gas ideal 12.4.1 Teoría del gas semiperfecto El gas ideal semiperfecto (GIS) presenta las siguientes características, por ser gas ideal cumple la ecuación de estado: pv = R'T

(360)

y los calores específicos, a presión constante y a volumen constante, sólo dependen de la temperatura: cp = cp(T)

(361)

cv(T) = cp(T) - R'

(362)

La entalpia específica de un estado determinado se calcula de: T

h(T) − h0 = � cp (T)dT T0

en la cual h0 es la entalpia específica a la temperatura de referencia T0. Si hacemos T0 = 0 K y h0 = 0 kj/kg queda:

T

h(T) = � cp (T)dT 0

(363)

Análogamente, la energía interna u(T): T

(364)

u(T) = � cp (T)dT 0

La entropía específica de un estado definido por la presión p y la temperatura T es: T

s(T, p) − s0 = � cp (T) 0

dT p − R′ln T p0

(365)

donde S0 es la entropía del estado de referencia. Para este estado de referencia, hagamos S0 = 0 para T0 = 0 y p = 1 atm (1 atm = 101,325 kPa), con lo que: T

con T en K y p en kPa.

s(T, p) = � cp (T) 0

dT p − R′ln T 101,325

(366)

201

Ingeniería térmica Si llamamos a la función de temperatura: T

(366) se reescribe en la forma:

s 0 (T) = � cp (T) 0

𝑠𝑠(𝑇𝑇) = s 0 (T) − R′ln

dT T

p 101,325

con lo que el cambio de entropía entre dos estados 1 y 2 es: p 𝑠𝑠2 − 𝑠𝑠1 = s 0 (T2 ) − s 0 (T1 ) − R′ ln� 2�𝑝𝑝1 � Si el proceso es isentrópico:

y P2/P1 es:

(367)

(368)

(369)

p s 0 (T2 ) − s 0 (T1 ) = R′ ln� 2�𝑝𝑝1 � p2 exp(s 0 (T2 )/R′) = p1 exp(s 0 (T1 )/R′)

(370)

Se llama presión reducida, pr, a la función de T: con lo que se cumple:

pr = exp(s0(T)/R')

(371)

p2 pr2 = p1 pr1

(372)

Obsérvese que la presión relativa no tiene unidades de presión; es una función de conveniencia, aunque muy útil, que sólo depende de la temperatura. En una expansión o compresión isentrópica utilizando la aproximación del GIS, no se puede emplear ecuaciones como (348) o (349) para relacionar temperaturas y presiones, puesto que k = cp(T)/cv(T) no es constante sino que depende de la temperatura. Por ejemplo, si se conocen p1, p2 y T1 para calcular T2 se tendrán que seguir los siguientes pasos: p2 T1 ⇒ pr1 ⇒ pr2 = pr1 ⇒ pr2 = exp(s 0 (T2 )/R′) ⇒ T2 p1

Para relacionar la temperatura y el volumen específico, se define un volumen reducido, vr: v2 R′T2 p1 R′T2 pr1 vr2 = = = v1 R′T1 p2 R′T1 pr2 vr1

202

Ciclo Brayton es decir, el volumen relativo es otra función de la temperatura que carece de significado físico como volumen: R′T vr = (373) pr Si se conocen v1, v2 y T1 y se desea calcular T2, se procede de la siguiente forma: v2 T1 ⇒ pr1 ⇒ vr2 ⇒ vr1 = vr1 ⇒ vr2 = R′ T2 /exp(s 0 (T2 )/R′) ⇒ T2 v1

12.4.2 Utilización de las tablas de gas ideal semiperfecto Los procesos indicados en el subapartado anterior requieren la utilización de procedimientos de cálculo no muy complicados, pero sí son algo laboriosos, en tanto que tendremos que resolver ecuaciones trascendentes, por tanteo o por cualesquiera de los procedimientos habituales para este clase de ecuaciones. En la práctica, se utilizan las llamadas tablas de gas ideal. Estas tablas tienen tabuladas las propiedades h, pr, u, vr y s0 en función de la temperatura. El uso de tablas de esta clase simplifica extraordinariamente los cálculos con GIS (ver tablas del apéndice E).

12.4.3 Aplicación al ciclo de Brayton La teoría expuesta del gas semiperfecto aplicada al ciclo Brayton no introduce ninguna novedad sustancial. Se trata de realizar unos cálculos, algo más complicados, con el objetivo de obtener unos resultados más próximos a la realidad. El método quedará suficientemente expuesto con un ejemplo de cálculo. Téngase presente que el trabajo neto y el calor aportado, se han de calcular como diferencias de entalpias, bien sea empleando la ecuación (363) o las tablas de GIS.

Ejemplo n° 38 Efectuar el análisis termodinàmico del mismo ciclo correspondiente a turbina de gas del ejemplo 37, pero con el tratamiento de gas semiperfecto. Utilizando la tabla del aire, correspondiente a las propiedades del aire como gas ideal (ver apéndice E), a la temperatura T1 = 288,15 K (15 °C) le corresponde una entalpia h1 = 288,30 kj/kg y una presión reducida pr1 = 1,2042. Para calcular la presión reducida a la salida del compresor, supuesto el proceso isentrópico, utilizaremos la ecuación (372): p2 pr2 = pr1 = 1,2042 · 4,5 = 5,4189 p1 203

Ingeniería térmica Utilizando la presión reducida como variable de entrada en la tabla, obtenemos T2s = 441,96 K (168,81 °C) y una entalpia h2s = 443,61 kj/kg. Utilizando la temperatura T3 = 1023,15 K (750 °C) como variable de entrada en la tabla, obtenemos h3 = 1072,51 kJ/kg y pr3 = 124,96. La presión reducida a la salida de la turbina, supuesto el proceso isentrópico, valdrá: p4 1 pr4 = pr3 = 124,96 = 27,77 = 5,4189 p3 4,5 y utilizando esta variable de entrada, obtenemos, T4s = 693,18 K (420,03 °C) y h4s= 705,94 kJ/kg. El trabajo de compresión: w'c = (h2s - h1)/ηt = (443,61 - 288,30)/0,85 = 182,72 kJ/kg y el de expansión: wt = (h3 - h4s)ηt = (1072,51 - 705,94)0,90 = 329,91 kJ/kg El trabajo neto: wn = wt - w'c = 329,91 - 182,72 = 147,19 kJ/kg La entalpia del aire a la salida del compresor, se obtendrá a partir de (350): 443,61 − 288,3 0,85 = ℎ2 − 288,3 de donde obtenemos h2 = 471,02 kJ/kg. El calor aportado: qap = h3 - h2 = 1072,51 - 471,02 = 601,49 kJ/kg y el rendimiento: 𝜂𝜂 =

𝑤𝑤𝑛𝑛 147,19 = = 0,2447 𝑞𝑞𝑎𝑎𝑎𝑎 601,49

En la tabla 12.1 podremos comparar los resultados obtenidos en los ejemplos 37 y 38.

204

Ciclo Brayton Tabla 12.1 - Comparación de resultados de los ejemplos 37 y 38 Gas perfecto

Gas semiperfecto

Trabajo neto, kJ/kq

140,22

147,19

Calor aportado, kJ/kq

555,23

601,49

Rendimiento, %

25,25

24,47

Observando estos resultados puede concluirse que la utilización del modelo de gas perfecto sólo está justificada en cálculos preliminares.

12.5 Ciclo de Brayton con recuperación de la entalpia de los gases de escape de la turbina Los gases de escape de la turbina salen a una temperatura elevada y, por tanto, con un considerable contenido de energía térmica. Es evidente que desperdiciamos mucha energía enviando estos gases a la atmósfera. Una posible mejora de estos rendimientos térmicos se consigue con la recuperación de la entalpia de los gases de escape de la turbina [2] para precalentar el gas comprimido antes de la cámara de combustión. La figura 12.8 muestra el esquema de una instalación de turbina de gas con precalentamiento del gas comprimido. La eficiencia s del recuperador es: 𝜀𝜀 =

𝑇𝑇2𝑠𝑠 − 𝑇𝑇2 𝑇𝑇4 − 𝑇𝑇2

(374)

donde T2a es la temperatura del gas comprimido a la salida del recuperador. El calor aportado del exterior ahora es: q2a,3 = h3 – h2a

(375)

Figura 12.8 - Ciclo Brayton con precalentamiento de gas comprimido

205

Ingeniería térmica En lo demás, el proceso de cálculo es análogo al expuesto en los apartados precedentes.

Ejemplo n° 39 Efectuar el análisis termodinàmico con gas ideal perfecto, de la misma instalación de turbina de gas que la indicada en el ejemplo 37 añadiendo un recuperador entálpico de los gases de escape, con una eficiencia del 75% (véase figura 12.8). La temperatura real a la salida del compresor y la temperatura real a la salida de la turbina son las mismas que las obtenidas en el ejemplo 37. También el trabajo neto. Para obtener la temperatura del gas comprimido a la salida del recuperador, T2a, utilizaremos la ecuación (374): 0,75 =

𝑇𝑇2𝑠𝑠 − 470,13 701,51 − 470,13

de donde se obtiene = 643,67 K (370,52 °C) El calor aportado:

q2a,3 = h3 - h2a = cp(T3 - T2a) = 1,004(1023,15 - 643,67) = 381,00 kj/kg y el rendimiento termodinàmico: 𝜂𝜂 =

𝑤𝑤𝑛𝑛 140,22 = = 0,368 𝑞𝑞𝑎𝑎𝑎𝑎 381,00

Obsérvese el espectacular aumento del rendimiento respecto al obtenido en el ejemplo 37.

12.6 Temas de ampliación El rendimiento del ciclo Brayton además de poderse mejorar con la recuperación de la entalpia de los gases de escape, tal como hemos visto en el apartado anterior, también se puede mejorar si se efectúa la compresión y la expansión de una forma más eficiente, es decir, con etapas, el número de las cuales depende de la relación de compresión total. Otro tema interesante relacionado con la turbina de gas es la cogeneración [3], proceso que consiste en la producción simultánea de energía eléctrica y calor. Uno de los equipos más utilizados en la cogeneración es la turbina de gas. La idea básica consiste en cubrir, por ejemplo, las necesidades de calor. La instalación se dimensiona entonces para cubrir estas necesidades a través de los gases de escape. Además, la instalación produce energía eléctrica mediante un alternador. Si la energía eléctrica supera las necesidades propias, se puede exportar la energía sobrante a través de la red. 206

Ciclo Brayton

Bibliografía [1] Moran M. J. y Shapiro H. N. Fundamentos de Termodinámica. Editorial Reverté, Barcelona, 2004. [2] Miranda A. L. Turbinas de gas. Editorial CEAC, Barcelona, 1998. [3] Jutglar L. La cogeneración. Editorial CEAC, Barcelona, 1996.

207

Capítulo 13 EQUILIBRIO LÍQUIDO-VAPOR CICLO DE RANKINE 13.1 Introducción

La turbina de vapor es una de las máquinas térmicas más utilizadas cuando es preciso producir cantidades medias o elevadas de potencia motriz. Actualmente, muchas turbinas de vapor desarrollan más de 1.000 MW. En la zona baja de potencias, el motor térmico indiscutible es el de combustión interna. En la zona media y alta compiten la turbina de gas y la de vapor, excepto en el caso de muy altas potencias en la cual la máquina indicada es la turbina de vapor. Sin embargo, una diferencia importante es el tiempo de respuesta a la demanda de potencia máxima. La central de vapor es lenta, pues necesita varias horas para llegar a desarrollar su máxima potencia, mientras que la turbina de gas es de respuesta casi inmediata. Para reutilizar el vapor que sale de la turbina, se ha de condensar, en un condensador y, posteriormente, hay que presurizar el condensado hasta la presión de trabajo del vapor. A tal fin, convendrá tener en cuenta la pérdida de presión por rozamiento en las líneas de transporte del fluido. El conjunto de elementos que se han citado recibe el nombre genérico de central de vapor o instalación de vapor. La turbina de vapor opera con el vapor de agua producido en un generador de vapor. El fluido que sale de la turbina puede ser vapor a baja presión o una mezcla líquido- vapor con un título alto de vapor. La presión de salida del vapor determina la clase de turbina: ❖

❖ ❖

Turbinas de condensación. La condensación del vapor se lleva a cabo en un

condensador a una presión inferior a la atmosférica. Este está ubicado a la salida de la turbina. La baja presión se consigue con una bomba de vacío o una bomba de chorro. En general, se prefieren las turbinas de condensación en las instalaciones de vapor. Turbinas de escape libre. El vapor sale a la presión atmosférica. Turbinas de contrapresión. El escape del vapor tiene lugar a presión superior a la atmosférica. 209

Ingeniería térmica En una central de vapor, el agua líquida se transforma en vapor y, más tarde, el vapor se condensa. Es pues el momento oportuno para estudiar el equilibrio líquido vapor.

13.2 Equilibrio líquido-vapor 13.2.1 Diagrama de fases Una sustancia pura puede existir en tres fases diferentes, dependiendo de la presión y de la temperatura, la fase sólida, líquida y gaseosa. Es posible producir un cambio de fase proporcionando o extrayendo calor a la sustancia. El calor por unidad de masa de sustancia necesario para producir un cambio de estado se llama calor latente. El calor latente depende de la temperatura (o presión) a la que se realiza el cambio de fase. Así, por ejemplo, el agua a 100 °C tiene un calor latente de vaporización de 2256,7 kj/kg. Las fases de una determinada sustancia se pueden representar en función de la temperatura y la presión en un diagrama de naturaleza experimental llamado diagrama de fases (véase la figura 13.1). En esta figura, la línea r representa un proceso de calentamiento a presión constante de la sustancia desde el estado sólido, punto A, hasta la fase gas, punto B. La línea a representa los estado de equilibrio de las fases sólido-líquido, la línea b los estados de equilibrio de las fases sólido-gas y la línea c los estados de equilibrio líquido-gas. Las tres curvas configuran en el plano p-t tres regiones que corresponden a las fases sólida, líquida y gaseosa. La fase líquida se llama de líquido subenfriado o de líquido comprimido y la fase gas se llama de gas recalentado. Estas denominaciones se utilizan para distinguir los estados que corresponden a la líneas a de mezclas sólido-líquido, b de mezclas sólido-gas o c de mezclas líquido-gas. Los estados de mezcla líquido-vapor, línea c, se llaman de vapor saturado o de líquido

Figura 13.1- Diagrama de fases de una sustancia que se contrae al congelarse

210

Equilibrio líquido-vapor. Ciclo de Rankine saturado. Las tres curvas coinciden en un punto característico, el llamado punto triple, en

el cual coexisten las tres fases. El punto triple del agua es 0,01 °C, valor exacto por definición, y 0,611 kPa. La curva de equilibrio líquido-vapor presenta otra particularidad, a medida que aumenta la temperatura disminuye el calor latente de vaporización hasta alcanzar un punto en el cual el calor latente es nulo. Este punto recibe el nombre de punto crítico. El punto crítico del agua es 374,15 °C y 22,129 kPa. En cualquier estado a mayor temperatura que la crítica, la fase siempre es gaseosa por alta que sea la presión. Las curvas a, b y c representan los estados de equilibrio llamados de saturación. En estos estados de equilibrio coexisten siempre las dos fases implicadas a la presión y a la temperatura que corresponden al punto de la curva. En la figura 13.1 se ha representado de forma cualitativa el diagrama de fases de una sustancia que se contrae al congelarse. Este caso no es el del agua, que se dilata al congelarse; para el agua, la curva a estaría ligeramente inclinada hacia la izquierda, es decir, presentaría una pendiente negativa. El diagrama de fases se puede representar con otras coordenadas, por ejemplo, en forma de diagrama T-s (figura 13.2), diagrama h-s o diagrama de Mollier (figura 13.3), o en forma de diagrama p-h (figura 13.4). En todos ellos, las abcisas representan una propiedad termodinámica que toma valores diferentes en las fases sólida, líquida y gaseosa. En consecuencia, las curvas de equilibrio se desdoblan tal como se muestra en las figuras indicadas. Es típica la forma de curva acampanada o, de domo, que adopta la línea de equilibrio líquido-vapor que se desdobla en las curvas del líquido saturado, a la izquierda, y de vapor saturado a la derecha. La zona interior de la campana (véase la figura 13.2) corresponde a la mezcla de fases líquido-vapor o de vapor húmedo. El estado de un punto interior, tal como el del punto A, viene determinado por la ley de Hebel, que aplicada a la entropía específica sA sería:

Figura 13.2 - Diagrama T-s en el que se distinguen las tres fases y las zonas de equilibrio

211

Ingeniería térmica

Figura 13.3 - Diagrama h-s (de Mollier) en el que parece únicamente la zona líquido-gas y se muestra el aspecto de las isotermas e isóbaras

Figura 13.4 - Diagrama p-h en el que aparece únicamente la zona líquido-gas y se muestra la forma que tienen las isotermas y las isentrópicas

SA = (1 - x) s'A + x s"A

(376)

siendo S'A la entropía específica del líquido saturado, S"A la entropía específica del vapor saturado, x el título o calidad del vapor que se define como la relación entre la masa de vapor y la masa total de la mezcla líquido-vapor. 212

Equilibrio líquido-vapor. Ciclo de Rankine

Figura 13.5 - Diagrama de fases para el agua, donde se muestra la diferencia entre el punto de congelación y el punto triple

El diagrama de fases del agua en el plano p-T es el de la figura 13.5. Obsérvese que la curva de equilibrio sólido-líquido tiene pendiente negativa debido a que el agua se dilata al congelar. La figura muestra la diferencia entre el punto de congelación, F y el punto triple, T. El punto de congelación se obtiene de la presión estándar 1 atm (101.325 Pa). El punto triple es un estado de equilibrio entre las tres fases. El punto de congelación del agua es 0 °C y al punto triple le corresponde una temperatura de 0,01 °C.

13.2.2 Regla de las fases Un sistema que contenga un gas puede variar su presión y temperatura sin que se modifique el estado gaseoso. Diremos que el sistema tiene 2 grados de libertad. Si se tiene una mezcla gas-líquido en equilibrio a una presión y temperatura determinadas, el sistema sólo dispone de un grado de libertad, dado que ambas propiedades intensivas están relacionadas definiendo el estado de equilibrio. En ambos casos existe un solo componente. Willard Gibs dedujo una relación entre el número de fases f, el número de componentes C y los grados de libertad g: f+g=C+2

(377)

Por ejemplo, el agua en el punto triple tiene tres fases (f = 3) y un solo componente (C = 1), por lo que: g= C+ 2 - f = 1 + 2 - 3 = 0 es decir, en el punto triple el agua no posee ningún grado de libertad.

Ingeniería térmica

13.2.3

Función de Gíbbs

En el estudio del equilibrio, sea cual sea su naturaleza, es útil la función termodinámica entalpia libre o función de Gibbs, G. La función de Gibbs es: G = H - TS

(378)

donde H es la entalpia, T la temperatura absoluta y S la entropía. Diferenciando y recordando la definición de la entalpia: dG = dU + pdV + Vdp - TdS - SdT teniendo presente que: dU + pdV = TdS en consecuencia: dG = Vdp - SdT

13.2.4

(379)

Ecuación de Clausius-Clapeyron

En un estado de equilibrio, la temperatura T y la presión p permanecen invariables. Así, en esta situación, (379) es, dGT,p = 0

(380)

Apliquemos (379) a una mezcla de dos fases a y p en equilibrio: Vα dp - Sα dT = Vβ dp - Sβ dT

(381)

(Sβ - S α ) dT = (Vβ - V α ] d p

(382)

Agrupando términos: o bien: dp ΔS Δs = = dT ΔV Δv

(383)

Puesto que el cociente permite sustituir las magnitudes absolutas por las específicas. Consideremos ahora que el equilibrio corresponde a una mezcla líquido-vapor. La variación de entropía asociada a un proceso en el cual se transforma un kilogramo de líquido saturado en vapor saturado es: Δ𝑠𝑠 =

ℎ𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑇𝑇

Siendo hfg el calor latente de vaporización correspondiente a este estado de equilibrio.

214

Equilibrio líquido-vapor. Ciclo de Rankine Sustituyendo en (383) se obtiene:

ℎ𝑓𝑓𝑓𝑓 dp = dT Δv T

(384)

que es la ecuación denominada de Clausius-Clapeyron, que facilita la pendiente de la curva de equilibrio líquido-vapor, también llamada curva de tensión de vapor. Se puede hallar una ecuación aproximada de la curva de tensión de vapor aceptando ciertas aproximaciones. Si, en primer lugar, se supone que la diferencia ∆v = v" - v' es aproximadamente igual a v": dp ℎ𝑓𝑓𝑓𝑓 ≅ (385) dT v" T y, además, se acepta para la fase vapor la aproximación de gas ideal: 𝑣𝑣" =

𝑅𝑅′𝑇𝑇 𝑝𝑝

sustituyendo v" en (385), separando variables e integrando entre un punto fijo de la curva de tensión de vapor (p0, T0) y el estado de equilibrio considerado (p,T) de la mezcla líquido-vapor, se obtiene: −

1 1 𝑅𝑅′ 𝑝𝑝 + = 𝑙𝑙𝑙𝑙 � 𝑇𝑇 𝑇𝑇0 ℎ𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑝𝑝0

(386)

siendo hfg el valor medio del calor latente vaporización en el intervalo escogido.

Ejemplo n° 40 Deducir una ecuación aproximada para la curva de tensión de vapor del agua entre 0 y 40 °C. Como punto fijo se tomará t0 = 20 °C y p0 = 2,337 kPa (valores extraídos de la tabla de propiedades del vapor de agua. Anexo B). El calor latente medio del vapor de agua entre 0 y 40 ºC es 2.454,6 kJ/kg y R' = 0,4615 kJ/(kg K). Sustituyendo valores en (386): −

1 1 0,4615 𝑝𝑝 + = 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑇𝑇 293,15 2.454,6 2,337

de donde: ln p = 18,9923 −

5.318,74 T

con p en kPa y T en K. 215

Ingeniería térmica

13.3 Propiedades termodinámicas del vapor de agua Las propiedades termodinámicas del vapor de agua (y, en general, de cualquier otro gas) se pueden obtener de: ❖

Diagramas termodinámicas. Las medidas son algo imprecisas. Es un procedimiento

rápido que suele utilizarse en cálculos previos. ❖

Ecuaciones empíricas. En general se trata de ecuaciones largas y de uso manual

engorroso. ❖

Programas informáticos. Determinan las propiedades a partir de las ecuaciones

empíricas antes citadas. Es el procedimiento que se viene imponiendo en los últimos años. ❖

Tablas. Es el procedimiento aconsejado cuando no se dispone de los programas

informáticos. A continuación, se facilitan algunas observaciones para el uso de tablas. El vapor de agua se puede encontrar en estado de vapor saturado o de vapor recalentado, y el agua líquida en estado de líquido saturado o de líquido subenfriado. Las tablas de vapor y líquido saturado son de entrada simple (como la tabla 13.1). Tabla 13.1 t ºC

P bar

m3/kg

0,01 ..

0,00612 .. 220,9

374,14

v" m3/kg

kJ/kg

0,0010 ..

206,14

0,01

0,0031

0,0031

2084,0

V'

h'

h" kJ/kg

kJ/kg K

s'

s" kJ/kg K

2500,2

0,0000

9,1535

2084,0

4,4062

4,4062

El símbolo ' indica que la propiedad es para el estado de líquido saturado y " para el estado de vapor saturado, t es la temperatura, p la presión, v el volumen específico, h la entalpia específica y s la entropía específica. También incluyen las energías internas específicas u' y u" que no se muestran en el esquema anterior. La primera línea de la tabla es para el punto triple y la última para el punto crítico. Entre ambas, las propiedades se ordenan en base a la temperatura o a la presión. Para estimar una propiedad cualquiera bastará efectuar una simple interpolación lineal. Por ejemplo, para determinar la entalpia del vapor de agua saturado a 35,3 °C se procede de la siguiente forma: a) Se anotan los valores de t y h" anteriores y siguientes de la temperatura problema como se indica en la tabla 13.2. 216

Equilibrio líquido-vapor. Ciclo de Rankine Tabla 13.2 t ºC

h" kJ/kg

35

2564,6

35,3

h

36

2566,5

y seguidamente se plantea la ecuación de interpolación: 36 − 35 2566,5 − 2564,6 = 36 − 35,3 2566,5 − ℎ

de la que se hallará h.

Las tablas de vapor recalentado son de doble entrada como la tabla 13.3: Tabla 13.3 p = 0,05 bar

t °c ..

v

u

m3

h

kJ

kg

kg

..

..

kJ

kg ..

p = 0,10 bar

p = 0,15 bar

s

v

u

h

s

v

u

h

s

kJ

m3

kJ

kJ

kJ

m3

kJ

kJ

J

Kg k ..

kg

..

kg

kg ..

Kg k ..

..

kg

kg ..

kg ..

Kg k ..

..

El intervalo de los valores de la presión dependerá en cada caso del nivel de detalle de la tabla consultada. La interpolación en una tabla de doble entrada es algo más laboriosa. Si la presión problema coincide con la de la tabla, se procederá como antes se ha explicado. Si no coincide se tendrán que efectuar las siguientes operaciones: a) Interpolar linealmente la propiedad que se desea obtener, por ejemplo la entalpia específica h o la entropía específica s, a la presión problema y a dos temperaturas. Éstas serán, de entre las tabuladas, las inmediatamente anterior y posterior a la temperatura problema. b) Interpolar linealmente la propiedad que se busca, h o s en el ejemplo, a la temperatura problema. En la figura 13.6 se muestra un esquema de los cálculos que se han de realizar. Si deseamos conocer una propiedad termodinámica del agua en estado de líquido subenfriado, se pueden utilizar tablas específicas para el líquido subenfriado.

217

Ingeniería térmica

Figura 13.6 - Esquema para obtener la entalpia del vapor de agua recalentado a 1,8 bar y 180 °C

No obstante, estas tablas son incómodas de manejar por los grandes intervalos de presión que suelen presentar. Es más rápido utilizar las tablas de vapor y líquido saturado. El volumen específico v y la energía interna específica u del agua líquida, son funciones de la temperatura y la presión, pero varían poco con la presión a una temperatura determinada, es decir: v(T,p) ≅ v'(T) y la entalpia;

u(T,p) ≅ u'(T) h(T,p) = u(T,p) + pv(T,p) ≅ u'(T) + pv'(T) u'

Por otro lado: u‘ = h'- psatv´ y por tanto: h(T,p) = h'(T) + v'(T)[p - psat(T)] Si la diferencia encerrada entre corchetes es pequeña entonces h(T,p) s h'(T). Esto es así debido a que las isóbaras, en la zona del líquido subenfriado, están casi pegadas a la curva del líquido saturado, es decir, prácticamente coinciden con la curva de saturación de la fase líquida. En particular, para obtener la entalpia del líquido subenfriado también cabe el recurso de usar la siguiente fórmula aproximada: h = c1 t

218

(387)

Equilibrio líquido-vapor. Ciclo de Rankine en la cual c1 es el calor específico del agua líquida (4,19 kj/(kg K)) y t es la temperatura centígrada.

13.4 El ciclo simple de Rankine Una instalación simple de vapor consta de una caldera, que produce vapor recalentado, una turbina en la que se expande el vapor y se produce trabajo mecánico, un condensador, que condensa el vapor de escape de la turbina, y una bomba para hacer circular y presurizar el agua hasta la presión de salida de la caldera (véase la figura 13.7). La gráfica del proceso recibe el nombre de ciclo de Rankine y puede ofrecer diferentes modalidades. Si no se consideran pérdidas de ninguna clase, tendríamos el ciclo de Rankine ideal. Es habitual, en una primera fase de cálculo, no contemplar pérdidas de presión por rozamiento. En la figura 13.8 se muestra el proceso termodinàmico de la instalación simple de vapor de la figura 13.7. A continuación, se comenta el significado de cada etapa del ciclo. 12s: expansión isentrópica en la turbina. 12: expansión real en la turbina. 23: condensación del vapor en el condensador. El estado del condensado a la salida puede ser el de líquido saturado, tal como se indica en la figura, o el de líquido subenfriado. 34s: presurización ideal del condensado en la bomba. 41: calentamiento del líquido de alimentación de la caldera, vaporización y posterior recalentamiento del vapor.

Figura 13.7 - Esquema de una instalación simple de vapor

219

Ingeniería térmica

wt = h1 - h2

(388)

el calor aportado a la caldera:

Figura 13.8 - Representación gráfica del ciclo de Rankine simple con vapor recalentado

El trabajo específico interno de expansión del vapor en la turbina es: |qcond| = h2 - h3

(391)

Los símbolos entre corchetes indican que se han considerado valores positivos, independientemente del signo termodinàmico. El estado 2 se determina a partir del rendimiento isentrópico de la turbina: ℎ −ℎ

𝜂𝜂𝑡𝑡 = ℎ 1− ℎ 2 1

2𝑠𝑠

(392)

Aunque, previamente, se habrá determinado el estado 2s a partir de la entropía del estado 1 puesto que: s1 = s2s

(393)

Y si 2s se halla en el interior de la zona acampanada (s2" > s2s), antes se habrá calculado el título del vapor x2s en este estado haciendo: s2s = s2" x2s + s2' (1 - x2s)

220

(394)

Equilibrio líquido-vapor. Ciclo de Rankine Finalmente, la entalpia h2s es: h2s = h2" x2s + h2' (1 - x2 s)

(395)

y con (392) se calcula h2: Si 2s se halla fuera de la zona acampanada (s2" < s2s), h2s se interpola directamente en la tabla del vapor recalentado entrando con la presión y la entropia.

Ejemplo n° 41 Efectuar el análisis termodinàmico de una instalación simple de vapor que trabaja con vapor recalentado a 3.000 kPa y 440 °C y que se expansiona en la turbina hasta una presión de 5 kPa. A la salida del condensador la temperatura del agua es 33,0 °C. El rendimiento isentrópico de la turbina es 82%. No se tendrá en cuenta el trabajo de bombeo del agua. En la figura 13.9 se indica un esquema de la instalación. El estado 1, correspondiente a la entrada de la turbina, está perfectamente determinado puesto que conocemos la temperatura y la presión. Interpolando en las tablas del anexo C, se obtiene: h1 = 3316,5 kj/kg y s1 = 7,0433 kJ/(kgK) Al estado 2s (el estado a la salida de la turbina, supuesto el proceso isentrópico) le corresponde una entropía: s2s = s1 = 7,0433 kJ/(kgK) A la presión de 5 kPa (salida de la turbina) le corresponden los siguientes valores de entalpia y entropía para el vapor y el líquido saturado (véase tablas del anexo):

Figura 13.9 - Instalación simple de vapor correspondiente al ejemplo n° 41

221

Ingeniería térmica s' 2 = 0,4781 kJ/kgK, s"2 = 8,3916 kJ/kgK, h' 2 = 138,33 kj/kg y h"2 = 2561,0 kj/kg Obsérvese que el estado 2s estará dentro de la campana dado que su entropía es menor que la que corresponde al estado del vapor saturado. Para determinar la fracción de vapor correspondiente al estado 2s utilizaremos la ecuación (394): 7,0433 = 8,3916x2s + 0,4781(1 - x2s) de donde se obtiene x2s = 0,8296. Con esta misma ecuación, aplicada a la entalpia, podremos obtener la entalpia del estado 2s: h2s = 2.561,0 · 0,8296 + 138,33(1 - 0,8296) = 2.148,2 kJ/kg Para la entalpia correspondiente al estado real a la salida de la turbina utilizaremos la ecuación (392): 3316,5 − ℎ2 = 0,82 3316,5 − 2148,2

de donde obtenemos h2 = 2358,5 kJ/kg.

Si no consideramos el trabajo de bombeo se cumplirá: h1 = h4 = 138,33 kJ/kg El trabajo específico interno de la turbina; wt = h1- h2 = 3.316,5 - 2.358,5 = 958,0 kJ/kg el calor aportado: qap = h1 - h4 = 3.316,5 - 138,3 = 3.178,2 kJ/kg y el rendimiento del ciclo: 𝜂𝜂 =

𝑤𝑤𝑡𝑡 958,0 = = 0,301 𝑞𝑞𝑎𝑎𝑎𝑎 3.178,2

13.5 El ciclo de Rankine modificado El rendimiento de la instalación simple de vapor es bajo. Una forma de aumentar el rendimiento consiste en utilizar una o las dos técnicas siguientes: 1. Precalentar el agua de alimentación de la caldera con vapor extraído de la turbina. La extracción de vapor se denomina sangrado. Pueden efectuarse de 1 a 3 sangrados en las turbinas de media potencia y hasta 12 en las de gran potencia.

222

Equilibrio líquido-vapor. Ciclo de Rankine

Figura 13.10 - Instalación de vapor con un sangrado para precalentar el agua de la caldera

2. Recalentar, en la misma caldera, el vapor que se expande en la turbina, extrayéndolo de la turbina y volviéndolo a inyectar en el mismo escalonamiento. Se pueden efectuar de 1 a 6, o pocos más recalentamientos en general, combinándolos con los sangrados. Sólo estudiaremos el primer procedimiento. La figura 13.10 muestra un esquema de una instalación de vapor con un sangrado de vapor para precalentar el agua de alimentación de la caldera. En la figura 13.11 se muestra el ciclo correspondiente. El precalentador puede ser del tipo abierto o cerrado. La figura 13.12 esquematiza diversas posibilidades. El análisis termodinàmico es análogo al expuesto para el ciclo simple, aunque con alguna diferencia que comentamos a continuación. Las entalpias h2 y h1 se determinan usando la misma técnica que se ha descrito, aunque, ahora, se precisan los rendimientos isentrópicos de los tramos 12 y 23.

𝜂𝜂𝑡𝑡,12 =

𝜂𝜂𝑡𝑡,23 =

ℎ1 − ℎ2 ℎ1 − ℎ2𝑠𝑠

ℎ2 − ℎ3 ℎ2 − ℎ3𝑠𝑠

(396) (397)

En cuanto al balance entálpico en torno al precalentador, éste es: h2 ε + h5 (1 - ε) = h6 · 1

(398)

siendo ε la fracción de vapor sangrado. Obsérvese, así se indica en la figura 13.11, que se ha considerado como base del cálculo 1 kg de vapor en la admisión de la turbina. 223

Ingeniería térmica

Figura 13.11 - Ciclo modificado de Rankine correspondiente a una instalación de vapor con un sangrado para precalentar el agua de la caldera

En general, se fija la entalpia h6, lo cual equivale a definir el nivel de precalentamiento del agua y, de (398), se obtiene la fracción de vapor necesaria. El trabajo específico interno obtenido en la turbina es: wt = (h1 - h2) + (h2 - h3)(1 - ε)

(399)

Figura 13.12 - a) Precalentador de tipo abierto, b) Precalentador de tipo cerrado con vuelta hada adelante, c) Precalentador de tipo cerrado con vuelta hacia atrás

224

Equilibrio líquido-vapor. Ciclo de Rankine

Ejemplo n° 42 Efectuar el análisis termodinàmico de una instalación de vapor que trabaja con vapor recalentado a 3.000 kPa y 440 °C que se expansiona en la turbina hasta una presión de 5 kPa (los mismos valores que los correspondientes al ejemplo 41). En la turbina se hace una extracción de vapor a 100 kPa que se utiliza para precalentar el agua de alimentación, tal como se indica en la figuras 13.10 y 13.13. A la salida del condensador la temperatura del agua es 33,0 °C. El rendimiento isentrópico de la turbina en el tramo de alta presión es el mismo que el del tramo de baja presión e igual al 82%. No se tendrá en cuenta el trabajo de bombeo del agua. En la figura 13.13 se indica un esquema de la instalación. Algunos datos los daremos por conocidos dado que se han obtenido en el ejemplo 41. La entropía del estado 2s será: s2s = s1 = 7,0433 kJ/(kgK) Puede comprobarse que este estado está situado dentro de la campana, dado que su entropía es menor que la correspondiente al estado de saturación. A la presión de 100 kPa corresponden los siguientes valores de entropía y entalpia del vapor y líquido saturado, s'2 = 1,3026 kJ/(kgK), s”2 = 7,3560 kJ/(kgK), h'2= 417,46 kj/kg y h”2 = 2674,2 kj/kg Para determinar la fracción de vapor correspondiente al estado 2s utilizaremos la ecuación (394) aplicada al punto 2s:

Figura 13.13 - Instalación de vapor correspondiente al ejemplo n° 42

225

Ingeniería térmica 7,0433 = 7,3560X2S + 1,3026(1 - x2s) de donde se obtiene x2s = 0,9483. Con esta misma ecuación aplicada a la entalpia, podremos obtener la entalpia del estado 2s: h2s = 2.674,2 X 0,9483 + 417,46(1 - 0,9483) = 2.557,5 kj/kg Para obtener la entalpia correspondiente al estado real a la salida de la zona de alta presión de la turbina, que es donde se efectúa el sangrado, utilizaremos la ecuación (392); 3316,5 − ℎ2 = 0,82 3316,5 − 2557,5

de donde obtenemos h2= 2.694,1 kJ/kg.

Con esta entalpia y la presión de 100 kPa interpolamos en la tabla del vapor recalentado para obtener la entropía correspondiente a este estado: s2 = 7,4078 kJ/(kgK) La entropía del estado 3s valdrá: s3s = s2 = 7,4078 kJ/(kgK) Obsérvese que el estado 3s está dentro de la campana puesto que su entropía es menor que la correspondiente al estado de saturación. Para obtener la fracción de vapor del estado 3s seguiremos un procedimiento análogo al seguido anteriormente (ecuación (394) aplicada al estado 3s: 7,4078 = 8,3916x3s + 0,4781(1 - x3s) de donde se obtiene x3s = 0,8757. Con esta misma ecuación aplicada a la entalpia, podremos obtener la entalpia del estado 3s: h3s = 2561,0 · 0,8757 + 138,33(1 - 0,8757) = 2260,0 kJ/kg Para obtener la entalpia correspondiente al estado real a la salida de la turbina utilizaremos la ecuación (392): 2.694,1 − ℎ3 = 0,82 2.694,1 − 2260,0

de donde obtenemos h3 = 2.338,1 kJ/kg.

226

Equilibrio líquido-vapor. Ciclo de Rankine Si no consideramos el trabajo de bombeo se cumplirá: h4 = h5 = 138,33 kj/kg Para obtener la entalpia del agua de alimentación a la salida del recuperador, efectuaremos el siguiente balance entálpico: h6 = h2 ε + h5 (1 - ε) Sustituyendo valores: h6 = 2694,1 · 0,15 + 138,33 · 0,85 = 521,70 kJ/kg También ahora: h7 = h6 = 521,70 kJ/kg El trabajo específico de la turbina: wt = (h1 - h2)1 + (h2 - h3)(1 - ε) = 3.316,5 - 2.694,1 + (2.694,1 -2.338,1)(1 - 0,15) = = 925,0 kJ/kg el calor aportado: qap = h1 - h7 = 3.316,5 - 521,7 = 2.794,8 kJ/kg y el rendimiento del ciclo: η=

wt 925,0 = = 0,331 qap 2.794,8

Obsérvese el aumento del rendimiento respecto a la opción presentada en el ejemplo anterior.

13.6 Temas de ampliación El estudio de la central de vapor es sencillamente apasionante. Para mejorar el rendimiento pueden hacerse más cosas, por ejemplo hacer una extracción de vapor de la turbina, recalentarlo y volverlo a inyectar; esta operación ya la habíamos comentado en el apartado anterior. Otra cuestión básica es el análisis de funcionamiento en condiciones de carga parcial, los problemas de parada y arranque y, en general, los derivados del control de la instalación. Tampoco pueden ignorarse las centrales supercríticas, que son las que trabajan calentando el vapor a una presión superior a la crítica (las centrales supercríticas no son ningún invento de laboratorio. La Pacific Gas and Electric Co. tiene varias centrales supercríticas operando en USA). Las centrales nucleares, en realidad centrales de vapor, también tienen problemas propios derivados del uso de la energía nuclear. 227

Ingeniería térmica Parece que la tendencia actual es la central de ciclo combinado en la que se integra un ciclo Brayton con uno de Rankine obteniéndose rendimientos operativos del 43% o más. En [1] y [2] el lector encontrará la información al uso. No debe olvidarse [3], un clásico de la Termodinámica.

Bibliografía [1] Moran M.J. y Shapiro H.N. Fundamentos de Termodinámica. Editorial Reverte, Barcelona, 2004. [2] Van Wylen G. J., Sonntag R. E., Borgnakke C. Fundamentos de Termodinámica. Limusa Wiley, México, 1999. [3] Paires V. M. Termodinámica. UTEHA, México, 1965.

228

Capítulo 14

MOTORES DE COMBUSTIÓN INTERNA 14.1 Introducción Nicholas A. Otto en 1876 construyó un motor de combustión de cuatro tiempos que tuvo éxito por primera vez (hubo algunos intentos anteriores, el primero en 1857). El motor de combustión interna (MCI) es una máquina motora a la que se suministra energía en forma de combustible. La cámara de combustión y el propio proceso de combustión están integrados en el funcionamiento general del motor. Existen MCI del tipo rotativo (turbina de gas de ciclo abierto, motor Wankel, etc.) y del tipo alternativo, como los motores de encendido provocado (MEP) y los motores de encendido por compresión (MEC). En este capítulo estudiaremos los MCI de movimiento alternativo. Los motores de combustión interna alternativos realizan el ciclo de trabajo en un cilindro provisto de émbolo. Mediante un sistema pistón-biela-codo de cigüeñal, se convierte el movimiento alternativo del pistón (véase la figura 14.1) en un movimiento rotativo que producirá trabajo útil. Estos motores son apropiados para obtener pequeñas potencias. Con un MEC lento y sobrealimentado se pueden obtener potencias del orden de los 30.000 kW. Los MCI alternativos se clasifican en base a los siguientes criterios; a) Por la forma de provocar la ignición del combustible. Motores de encendido provocado (MEP). El encendido se produce mediante una chispa

eléctrica. Estos motores se llaman también motores de explosión o motores Otto (*) y utilizan como combustible, de forma general, la gasolina. Motores de encendido por compresión (MEC). El encendido se produce por la

inflamación espontánea del combustible que se inyecta directamente al cilindro en el que hay aire a elevada presión y temperatura. Se llaman también motores de (*) En honor de Nicholas A. Otto (1832-1891) y a su patente de 1876. Ingeniero alemán nacido en Holzhausen.

229

Ingeniería térmica

Figura 14.1- Pistón-biela-cigueñal

compresión o motores Diesel (**). En los MEP se comprime la mezcla de aire y combustible. En los MEC sólo se comprime el aire. Utilizan como combustible, de forma general, el gasóleo. b) Número de tiempos o carreras del pistón para completar un ciclo. Motores de cuatro tiempos. Requieren cuatro carreras de émbolo (o pistón) para

completar un ciclo. Las cuatro carreras equivalen a dos revoluciones del eje cigüeñal. La mayoría de motores trabajan con un ciclo de cuatro tiempos. Motores de dos tiempos. Requieren dos carreras de émbolo para completar un ciclo.

Las dos carreras equivalen a una revolución del eje cigüeñal. Los motores Otto pequeños y algunos Diesel grandes utilizan el motor de dos tiempos. El motor de dos tiempos fue patentado por Dugald Clerk en 1881 para esquivar las patentes de Otto. En lo que sigue, haremos una somera descripción del funcionamiento de los motores de cuatro tiempos. Sin necesidad de recurrir a obras especializadas, el lector encontrará información básica sobre motores de dos tiempos en [1] y [2].

14.2 Los motores de cuatro tiempos

Como se ha indicado, requieren cuatro carreras de émbolo con dos revoluciones del cigüeñal para completar el ciclo. Cada carrera de émbolo tiene un recorrido definido

(**) En honor a Rudolf Diesel (1858-1913), nacido en París de padres alemanes. La primera patente es de 1893.

230

Motores de combustión interna por los llamados punto muerto superior PMS y punto muerto inferior PMI, que representan la posición final e inicial, respectivamente, del émbolo. En la carrera de admisión, se introduce la mezcla aire-combustible en los MEP y sólo aire en los MEC. En ambos, la válvula de admisión está abierta y cerrada la de escape. En la carrera de compresión ambas válvulas están cerradas; hacia el final de la carrera se produce la ignición del combustible, en los MEP por chispa eléctrica provocada por una bujía, y por compresión en los MEC. El trabajo útil se produce durante la carrera de expansión. Mientras, ambas válvulas siguen cerradas. Finalmente, los gases procedentes de la combustión son expulsados durante la carrera de escape. En esta carrera, la válvula de escape está abierta y la de admisión cerrada. La posición del émbolo se puede determinar a partir del ángulo recorrido por un punto imaginario que siga el movimiento de rotación del mecanismo biela-codo de cigüeñal. La apertura y el cierre de las válvulas no es instantánea. En la carrera de admisión, la válvula de admisión se abre unos 10 a 15 antes del PMS (adelanto de la apertura de la válvula de admisión, AAA) y se cierra unos 45 a 65° después del PMI (retraso del cierre de la válvula de admisión, RCA). Esto implica que, en la carrera de compresión, la compresión propiamente dicha se inicie con retraso puesto que la válvula de admisión se cierra después del PMI. En los motores Otto, el encendido tiene lugar antes del PMS puesto que se necesita un tiempo apreciable para que se queme todo el combustible. La apertura de la válvula de escape empieza unos 50° antes del PMI {adelanto de la apertura de la válvula de escape, AAE) y el cierre de la misma tiene lugar unos 10 a 15° después del PMI {retraso del cierre de la válvula de escape, RCE). Si la válvula de admisión abre con adelanto y la de escape cierra con retraso, existe un tiempo en el que ambas válvulas están abiertas, una abriendo y la otra cerrando. El ángulo correspondiente a este intervalo se llama solape. En la figura 14.2, se ha representado un esquema idealizado de las carreras y de la apertura y cierre de válvulas en un diagrama circular. Para facilitar la comprensión

Figura 14.2 - Posición de abertura y cierre de válvulas

231

Ingeniería térmica del proceso, las dos vueltas correspondientes al ciclo se muestran en forma de una espiral de dos espiras.

14.3 El ciclo real El ciclo real de un motor de combustión aún recibe el nombre de diagrama del indicador, recordando el antiguo sistema mecánico que permitía su obtención. En la figura14.3 se muestra de forma cualitativa un diagrama del indicador de un motor Otto de cuatro tiempos. La línea a-b corresponde a la aspiración que transcurre a una presión inferior a la atmosférica. La línea b-c es la compresión no adiabática, debido a la absorción de calor del medio refrigerante. La línea c-d es la combustión; esta línea presenta una pequeña inclinación hacia la derecha. La línea d-e es la expansión que tampoco es adiabática, en este caso debido a la fuerte extracción de calor que realiza el refrigerante del motor para proteger los materiales de construcción del cilindro. La línea e-a es la expulsión que cierra el ciclo. El cierre tardío de la válvula de escape ocasiona la salida de gases a presión superior a la atmosférica. Obsérvese que el ciclo real consta de un ciclo de potencia, recorrido según el movimiento de las agujas de un reloj y un ciclo invertido que absorbe potencia. El trabajo neto es, en un diagrama p-v, la diferencia entre las áreas de ambos ciclos. El volumen comprendido entre las posiciones a (PMS) y b (PMI) es el volumen de embolada Ve; el volumen de la posición a (PMS) es el volumen nocivo o residual Vr. La relación entre el volumen nocivo y el de embolada es el volumen nocivo relativo, ε: 𝑉𝑉𝑟𝑟 𝜀𝜀 = 𝑉𝑉𝑒𝑒 (400)

La relación entre los volúmenes de las posiciones extremas del émbolo es la relación de compresión rk:

Figura 15.3 - Ciclo real del motor de combustión

232

Motores de combustión interna

de dónde es fácil deducir:

rk =

Vb Ve + Vr = Vc Vr

𝜀𝜀 + 1 𝜀𝜀

𝑟𝑟𝑘𝑘 =

(401)

(402)

El estudio del ciclo real se puede efectuar obteniéndolo directamente en una pantalla de osciloscopio con transductores de presión y de carrera, o bien transformando las señales analógicas en digitales y obteniendo la imagen en una pantalla de ordenador. El ciclo real se puede aproximar a uno de los ciclos teóricos estudiados en el capítulo 15. El ciclo Otto como ciclo de comparación de los MEP y el ciclo dual como ciclo de comparación de los MEC.

14.4 Potencias y rendimientos Denominaremos potencia interna Ni a la potencia desarrollada por el fluido en el cilindro. La potencia efectiva Ne es la obtenida en el eje cigüeñal. La potencia perdida a causa de las pérdidas mecánicas Nr es: Nr = Ni - Ne

(403)

En el estudio de los motores de combustión cabe considerar cuatro rendimientos básicos: Rendimiento efectivo, ηe:

𝜂𝜂𝑒𝑒 =

𝑁𝑁𝑒𝑒

𝑚𝑚̇ 𝑐𝑐 𝑃𝑃

(404)

siendo mc el caudal másico de combustible y P su poder calorífico inferior. Rendimiento interno, ηi:

𝜂𝜂𝑖𝑖 = Rendimiento mecánico, ηm:

𝑁𝑁𝑖𝑖

𝑚𝑚̇ 𝑐𝑐 𝑃𝑃

𝜂𝜂𝑚𝑚 =

𝑁𝑁𝑒𝑒 𝑁𝑁𝑖𝑖

(405)

(406)

El rendimiento volumétrico ηv, por sus características especiales será estudiado en el apartado siguiente. 233

Ingeniería térmica En un motor de cuatro tiempos, el caudal volumétrico del fluido de trabajo es Ve(n/2), siendo n la velocidad de giro en revoluciones por segundo. Puesto que el cociente entre una potencia y un caudal volumétrico posee dimensiones de presión, la presión que resulta de dividir la potencia efectiva por el caudal volumétrico es la presión media efectiva pe, es decir: 𝑁𝑁𝑒𝑒 (407) 𝑝𝑝𝑒𝑒 = 𝑝𝑝𝑒𝑒 (𝑛𝑛⁄2) Análogamente, definimos la presión media indicada pi: Ni Ve (n⁄2)

pi =

(408)

14.5 Rendimiento volumétrico El rendimiento volumétrico ηv se define como el cociente entre la masa real admitida durante la carrera de admisión y la que se admitiría si las condiciones en el interior del cilindro fuesen las del ambiente exterior. Sean pm y Tm la presión y la temperatura, respectivamente, en el interior del cilindro durante la admisión, y p0 y T0 las del medio ambiente. El rendimiento volumétrico es:

𝜂𝜂𝑣𝑣 =

𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚0

siendo mm la masa real admitida a pm, Tm y m0 la masa teórica admitida a p0, T0. O bien: 𝑚𝑚𝑚𝑚 ̇

𝜂𝜂𝑣𝑣 =

𝑚𝑚̇ 0

(409)

siendo el caudal másico real admitido y m0 el teórico. La densidad del fluido de admisión a p0 y T0 es: ρm,0 =

p0

R′m T0

(410)

siendo R'm la constante específica de la mezcla de aire y combustible. La densidad del fluido de admisión a pm y Tm es: ρm,m =

234

pm

R′m Tm

(411)

Motores de combustión interna Sea ma el caudal másico de aire presente en el fluido aspirado. La densidad parcial del aire ρa,m será: pa ρa,m = R′a Tm (412) siendo pa la presión parcial del aire en el fluido de aspiración y R'a la constante específica del aire. Dado que: y que: se puede deducir:

y también se cumplirá:

𝑚𝑚̇ 𝑎𝑎 = Ve ρa,m (n/2)

(413)

𝑚𝑚𝑚𝑚 ̇ = Ve ρm,m (n/2)

(414)

𝑚𝑚𝑚𝑚 ̇ = 𝑚𝑚̇ 𝑎𝑎

ρm,m

(415)

ρa,m

𝑚𝑚̇ 0 = Ve ρm,0 (n/2)

(416)

sustituyendo ahora mm y m0 en (445) se obtiene: ρm,m 𝑚𝑚̇ 𝑎𝑎

𝜂𝜂𝑣𝑣 =

(417)

Ve ρm,0 ρa,m (n/2)

Si en (417) se sustituyen las densidades Pmm, Pm,0 y Pa,m resulta, después de simplificar y ordenar convenientemente:

𝜂𝜂𝑣𝑣 =

𝑚𝑚̇ 𝑎𝑎 1

1 𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑎𝑎 0 Ve n/2 𝑅𝑅′𝑎𝑎 𝑇𝑇0 𝑝𝑝𝑚𝑚

(418)

El término p0/(R'aT0) es la densidad del aire en las condiciones atmosféricas ρa,0 es decir: ρa,0 =

𝑝𝑝0 𝑅𝑅′𝑎𝑎 𝑇𝑇0

(419)

Hagamos Pa/Pm = F' y sustituyamos en (418):

𝜂𝜂𝑣𝑣 =

𝑚𝑚̇ 𝑎𝑎 1

1

Ve n/2 ρa,m 𝐹𝐹′

(420)

235

Ingeniería térmica

Así, el caudal másico de aire es:

n 𝑚𝑚̇ 𝑎𝑎 = ηv Ve � � ρa,0F ′ 2

(421)

y designando por F el dosado, es decir, a la relación mc/ma, fácilmente se deducen de (421) y de (404), (405), (407) y (408) las siguientes relaciones, muy útiles en el cálculo de los motores de combustión: n

(422)

N𝑖𝑖 = ηv ηi Ve �2� ρa,0 P F F′

n

(423)

p𝑖𝑖 = ηv ηi ρa,0 P F F′

(425)

N𝑒𝑒 = ηv ηe Ve �2� ρa,0 P F F′ p𝑒𝑒 = ηv ηe ρa,0 P F F′

(424)

Recordemos que P es el poder calorífico inferior del combustible.

Ejemplo n° 43 Un motor monocilindrico de 4 tiempos de consumo específico, (mc/Ne), 0,25 (kg/h)/kW tiene una potencia efectiva de 185 CV. La velocidad nominal de giro es 2.500 rpm, pe es 840 kPa y su rendimiento mecánico 0,80. El poder calorífico del combustible es 43.964 kJ/kg. El alesaje del cilindro, relación diámetro-carrera, es 1,09. Determinar el diámetro del émbolo, la carrera, los rendimientos efectivo e interno y la presión media indicada. A partir de la definición de consumo específico, podemos obtener el caudal másico de combustible: mc = (mc/Ne) Ne = 0,25 · 185 = 46,25 kg/h (0,01285 kg/s) El rendimiento efectivo valdrá (404): ηe =

185 · 75 · 9,81 = 0,241 0,1285 · 43964 · 103

Para calcular la potencia interna sustituiremos valores en la ecuación (406): 𝑁𝑁𝑖𝑖 =

185 = 225𝑘𝑘𝑘𝑘 0,8

La presión media indicada (combinando las ecuaciones (407) y (408)): 𝑝𝑝𝑖𝑖 =

pe 840 = = 225𝑘𝑘 ηm 0,8

A partir de la ecuación (407) podemos obtener el volumen de embolada:

236

Motores de combustión interna

Ve =

185 · 75 · 9,81 = 0,00622m3 1050 · 103 (2500/(60 · 2)

Teniendo en cuenta el alesaje y la fórmula geométrica del volumen de un cilindro, es fácil obtener las dimensiones del mismo. El diámetro, D = 0,205 m y la carrera, c = 0,188 m.

14.6 Combustibles

Cuando la mezcla aire-combustible alcanza las condiciones apropiadas de temperatura y presión, se produce la ignición. Sin embargo, la reacción no tiene una velocidad infinita. Transcurre un cierto tiempo desde que se reúnen las condiciones idóneas para que se produzca el encendido y el encendido real. Este intervalo de tiempo, muy importante en los motores de combustión, es muy pequeño y recibe el nombre de retardo al encendido. Los tiempos de retardo son menores en los gasóleos que en las gasolinas y disminuyen con la temperatura. El combustible más apropiado para los motores Otto es la gasolina. En los motores Otto, el encendido es provocado por una chispa eléctrica. Por tanto, conviene evitar el autoencendido por compresión. La mezcla de aire y gasolina puede iniciar la combustión si la presión y temperatura son más altas de lo conveniente. Existe pues una limitación en la relación de compresión (actualmente entre 8 y 10). Un fenómeno asociado a una combustión defectuosa es la detonación. La inflamación del combustible en la cámara de combustión no es instantánea. Se inicia con la chispa eléctrica y se propaga a través de la cámara en forma de un frente de llama. La parte inflamada comprime la parte que aún no se ha quemado y en ésta se puede producir un autoencendido, llamado combustión detonante, a causa del aumento de presión y temperatura. La combustión detonante produce un golpe de presión sobre el pistón que se distingue por un ruido característico (picado del motor). Las gasolinas han de tener un retardo al encendido adecuado para dar tiempo a que el frente de llama recorra toda la cámara evitando de esta manera la combustión detonante. Así pues, este brevísimo intervalo de tiempo juega un papel importante en la adecuación de una gasolina para un determinado motor. El encendido superficial consiste en la ignición de la mezcla producida por la existencia de puntos calientes anómalos y son provocados por deposiciones carbonosas en la culata o el pistón. El encendido superficial puede producir combustión detonante con el consiguiente peligro para el motor. Para determinar la calidad de una gasolina frente al problema de la detonación, se la compara con una mezcla de iso-octano y de n-heptano. Al primero, que tiene grandes cualidades antidetonantes, se le asigna un índice de octano 100 y al segundo un índice de octano de 0. Así, referirse a una gasolina de 90 octanos significa que su poder antidetonante es el mismo que tendría una mezcla de hidrocarburos con el 90% de isooctano y el 10% de n-heptano. 237

Ingeniería térmica Hay sustancias que añadidas a la gasolina aumentan su poder antidetonante, tales como el plomo tetraetilo y el plomo tetrametilo. Además de ser tóxicas y contaminantes, estas sustancias producen óxidos de plomo que se depositan sobre diversos puntos del motor propiciando la aparición de puntos calientes. Quizás es peor el remedio que la enfermedad. Para evitar la formación de depósitos, las gasolinas incorporan dibromuro de etilo aunque con ello no se evita la contaminación con plomo del medio ambiente. En los motores diesel, se comprime sólo aire. No hay peligro de autoencendido y se pueden admitir relaciones de compresión más elevadas (de 10 a 23) que las de los motores Otto. Hacia el final de la compresión se inyecta el combustible. Para dar tiempo al retardo del encendido del gasóleo, se ha de adelantar la inyección (adelanto del encendido) respecto a la ideal que sería en el PMS. De ahí que los gasóleos deban tener tiempos cortos de retardo al encendido porque así se puede disminuir el adelanto de la inyección. Para medir la calidad de un gasóleo respecto al encendido, se le compara con una mezcla de dos hidrocarburos puros, el cetano y el a-metil-naftaleno. Al primero, que tiene muy poco retardo, se le asigna un índice 100 de cetano y al segundo, que tiene mayor retardo, 0.

14.7 Motores sobrealimentados

Se puede aumentar la potencia de un motor renovando la carga en el cilindro a mayor presión con la ayuda de un compresor. La sobrealimentación se efectúa con un turbocompresor accionado por una turbina de gas que utiliza como fuente energética los gases de escape del motor. La sobrealimentación es factible tanto en los MEP como en los MEC, aunque en los primeros presenta algunos problemas puesto que la sobrealimentación aumenta la presión máxima con el consiguiente peligro de detonación. En los MEP, se ha de reducir la relación de compresión y cuidar la refrigeración más de cerca para evitar que se produzcan temperaturas anormalmente altas. En los MEC la sobrealimentación también provoca aumento de presiones y temperaturas que, en este caso, conducen a una disminución del retardo al encendido beneficiosa en los Diesel, puesto que hay que adelantar menos la inyección.

14.8 Dimensionado del motor Dado que sólo la carrera de expansión produce trabajo mecánico, en los MCI se ha de colocar un volante de inercia para que almacene y, posteriormente, reparta la energía necesaria para llevar a cabo las otras etapas del ciclo de potencia. Los elementos limitadores del tamaño del cilindro de un motor de combustión son la velocidad del pistón y la superficie de transferencia de calor.

238

Motores de combustión interna La primera limitación es de carácter mecánico y la segunda de carácter térmico. Cuanta mayor sea la superficie de transferencia, mayor será el calor que se ha de disipar para mantener las temperaturas dentro de los márgenes permitidos. Para obtener mayor potencia, se ha de utilizar la sobrealimentación o bien la simple adición de varios cilindros. Un motor de varios cilindros necesita un volante de inercia menor, y en el supuesto que éstos sean por lo menos cuatro, siempre habrá uno de ellos operando en la etapa de trabajo y, por tanto, el equilibrado mejora al aumentar el número de cilindros. Actualmente, el alesaje, relación diámetro-carrera, varía entre 1,05 y 1,25 en la mayoría de motores para vehículos de pasajeros. En cuanto a la velocidad del pistón, los datos disponibles indican velocidades no superiores a los 900 m/min en el punto de máxima producción de potencia.

14.9 Curvas de resultados Desde un punto de vista práctico el motor de combustión debe evaluarse por sus resultados: la potencia que puede alcanzar, el consumo de combustible, etc. Se trata, evidentemente, de resultados experimentales que el fabricante obtiene en su laboratorio de ensayos. La presentación de estos suele hacerse mediante un juego de curvas que se llaman curvas de performancia o de resultados. En las figuras 14.4, 14.5 y 14.6 presentamos de forma cualitativa como serían algunas de estas curvas para un motor típico. La denominación "al freno" hace referencia al hecho de que en los bancos de ensayo de los motores la potencia producida se disipa mediante el rozamiento de un freno. Con las siglas rpm indicamos revoluciones por minuto.

Figura 14.4 Rendimiento al freno

Figuras 14.5 Consumo de combustible

239

Ingeniería térmica

Figura 14.6 - Momento del par al freno

14.10 Temas de ampliación Los motores de combustión reúnen aquellos ingredientes que hacen de este tema uno de los preferidos de nuestros alumnos de ingeniería. Precisamente lo que más les interesa son los aspectos mecánicos y en esta obra, debido a su alcance limitado, sólo se ha prestado atención a la vertiente termodinámica. En [2], [3] y [4] aparece abundante información sobre la mecánica del motor de combustión. En ningún caso le quitamos el mérito que tiene el estudio de estos temas. Por ejemplo, el estudio de lo que ocurre realmente en la cámara de combustión es esencial para comprender el verdadero funcionamiento del motor de combustión.

Bibliografía [1] Paires, V.M. Termodinámica. UTEHA, México, 1965. [2] Agüera, J. Termodinámica Lógica y Motores Térmicos. Editorial Ciencia 3, Madrid, 1993. [3] Muñoz, M., Payri, F. Motores de combustión interna alternativos. Sección de Publicaciones de la ETSIIM, UPM, Madrid, 1989. [4] Carreras, R., Comas, A. y Calvo, A. Motores de combustión interna. Fundamentos. Ediciones UPC, Barcelona, 1993.

240

Capítulo 15

CICLOS DE COMPARACIÓN PARA MOTORES DE COMBUSTIÓN INTERNA 15.1 Introducción La denominación de motor de combustión interna (MCI) incluye las turbinas de gas de circuito abierto, los motores de encendido provocado (MEP) o por compresión (MEC), vulgarmente llamados motores de explosión o de compresión, respectivamente, los motores Wankel (rotativos) e incluso también cierta clase de motores de reacción. Sin embargo, en el lenguaje corriente, por motor de combustión se suele sobreentender motores MEC o MEP de movimiento alternativo. En este capítulo, se estudian los ciclos de comparación de estos motores.

15.2 Clasificación de los ciclos de comparación El ciclo de comparación que mejor se adapta al ciclo real de un MEP es el de Otto. En cuanto a los MEC, el ciclo Diesel es el más adecuado para motores lentos y de velocidad modesta, y el ciclo dual o mixto es idóneo para cualquier clase de motor, muy especialmente para los MEC rápidos. En un mismo ciclo, se obtendrán resultados diferentes según sean las características elegidas para el fluido de trabajo. Las posibilidades son las siguientes: Ciclos de aire, también llamados de aire estándar:

a) Ciclos de aire con el modelo de gas perfecto (de aire estándar frío). b) Ciclos de aire con el modelo de gas semiperfecto (de aire estándar caliente). Ciclos de aire más gases de combustión (ciclos de mezcla estándar)

Las figuras 15.1, 15.2 y 15.3 muestran los ciclos de Otto, Diesel y dual, respectivamente.

241

Ingeniería térmica

A continuación, se facilita una breve descripción de cada uno de ellos. a) Ciclo Otto Está constituido por cinco etapas: 01 admisión;

12 compresión adiabática; 23 aporte de calor a volumen constante; 34 expansión adiabática; 41 cesión de calor a volumen constante.

Figura 15.1 - Ciclo Otto

b) Ciclo Diesel Está constituido por cinco etapas: 01 admisión; 12 compresión adiabática; 23 aporte de calor a presión constante; 34 expansión adiabática; 41 cesión de calor a volumen constante. c)

242

Ciclo dual Está constituido por seis etapas: 01 admisión;

Ciclos de comparación para motores de combustión interna

12 compresión adiabática; 23 aporte de calor a volumen constante; 34 aporte de calor a presión constante; 45 expansión adiabática; 51 cesión de calor a volumen constante.

Figura 15.3 - Ciclo dual

243

Ingeniería térmica El ciclo dual es el que mejor refleja el comportamiento de cualquier motor de combustión. Dado que los ciclos Otto y Diesel constituyen modelos particulares del ciclo dual, únicamente se estudiará con detalle este ciclo.

15.3 El ciclo dual 15.3.1 Relaciones fundamentales Los diagramas reales de los motores de combustión presentan en la parte superior una zona redondeada con una forma que sugiere que parte de la combustión se realiza a volumen constante y que parte a presión constante. La idealización de estos procesos conduce al ciclo dual. Relación de compresión rk: rk =

V1 V2

rc =

V4 V3

rp =

p3 p2

Relación de combustión rc:

Relación de explosión rp:

(426)

(427)

(428)

15.3.2 Análisis del ciclo dual Para proceder al análisis termodinàmico del ciclo, aplicaremos a cada etapa del ciclo el primer principio de la Termodinámica para sistemas cerrados (véase la figura 15.3), extrayendo a continuación las conclusiones pertinentes. Etapa 12 (compresión adiabática, q12 = 0): q12 = u2 – u1 + w12 ⇒ w12 = u1 – u2

(429)

Etapa 23 (aportación de calor a volumen constante, w23 = 0); q23 = u3 – u2 + w23 ⇒ q23 = u3 – u2

(430)

q34 = u4 – u3 + w34 ⇒ q34 = u4 – u3 + p(v4 – v3) = h4 – h3

(431)

Etapa 34 (aporte de calor a presión constante, W34 = p(v4 - v3)): Etapa 45 (expansión adiabática, q45 = 0):

244

Ciclos de comparación para motores de combustión interna q45 = u5 - u4 + w4

⇒

w4 = u4 - u5

(432)

Etapa 51 (cesión de calor a volumen constante, w51 = 0): q51 = u1 - u5 + w51

⇒

q51 = u1 - u5

(433)

El trabajo neto wn es la suma de todos los trabajos: wn = w42 + w34 + w45 o bien:

wn = u3 - u2 + h4 - h3 + u1 - u5

(434)

qap = q23 + q34 = (u3 - u2) + (h4 - h3)

(435)

El calor aportado, qap, es:

y, en consecuencia, el rendimiento termodinàmico del ciclo η será: 𝑤𝑤𝑛𝑛 𝑢𝑢3 − 𝑢𝑢2 + ℎ4 − ℎ3 + 𝑢𝑢1 − 𝑢𝑢5 𝜂𝜂 = = 𝑞𝑞𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑢𝑢3 − 𝑢𝑢2 + ℎ4 − ℎ3 O bien:

𝜂𝜂 = 1 −

𝑢𝑢5 − 𝑢𝑢1 𝑢𝑢3 − 𝑢𝑢2 + ℎ4 − ℎ3

(436)

Si el ciclo se calcula vía gas semiperfecto, esta expresión es la que se ha de utilizar sin más transformaciones. Las entalpias y energías internas se calcularán con las tablas de gas ideal semiperfecto de la forma indicada en 12.4.1. Si el cálculo se realiza vía gas perfecto, esta expresión se puede transformar de forma que sólo aparezcan las relaciones fundamentales. En lo que sigue supondremos: a)

Comportamiento de gas perfecto.

b) Compresión adiabática y reversible (isentrópica). c)

Expansión adiabática y reversible (isentrópica).

Así en la compresión:

es decir:

p2 (k−1)/k T2 v1 k−1 � � = = � � = rk k−1 p1 T1 v2 p2 = rk k p1

(437)

245

Ingeniería térmica Análogamente: p4 (k−1)/k T4 v5 k−1 v1 k−1 v1 v2 v3 k−1 1 � � = =� � =� � = � � = rk k−1 k−1 p5 T5 v4 v4 v2 v3 v4 rc de donde:

p4 rc k =� � p5 rk

y también:

(438)

T3 p3 = = rp T2 p2

(439)

T4 v4 = = rc T3 v3

con lo que:

(440)

T5 p5 p2 p3 p4 p5 rc k = = = 𝑟𝑟𝑘𝑘𝑘𝑘 rp � � = rp 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑘𝑘 T1 p1 p1 p2 p3 p4 rk

o lo que es lo mismo:

T5 = rp rck T1

(441)

En consecuencia, el rendimiento del ciclo dual (ecuación (436)) para un gas perfecto adopta pues la forma:

η=1−c

cv (T5 −T1 )

(442)

v (T3 −T2 ) + cp (T4 −T3 )

(T5 ⁄T1 ) − 1 η=1− T T T T T � 3 − 1� 2 + k � 4 − 1� 3 2 T2

T1

T3

(443)

T2 T1

Sustituyendo los cocientes de temperaturas por las funciones de las relaciones fundamentales, antes obtenidas, resulta:

η=1−

246

rp rkc − 1

+ 𝑘𝑘(rc − 1)rp 𝑟𝑟𝑘𝑘−1 �rp − 1�𝑟𝑟𝑘𝑘−1 𝑘𝑘 𝑘𝑘

(444)

Ciclos de comparación para motores de combustión interna que finalmente podemos escribir para el modelo de gas perfecto en la forma: η=1−

15.4 El ciclo Otto

rp rck − 1

1

(445)

𝑟𝑟𝑘𝑘𝑘𝑘−1 �rp − 1� + 𝑘𝑘(rc − 1)rp

El ciclo Otto es el prototipo ideal de muchos motores de combustión interna pequeños en los que se supone que la combustión tiene lugar instantáneamente en el punto muerto superior para producir una combustión a volumen constante. El ciclo Otto se ha representado en la figura 15.1. Consta de las siguientes etapas: Etapa 12 (compresión adiabática, q12 = 0): q12 = u2 - u1 + w12 ⇒ w12 = u1 - u2

(446)

Etapa 23 (aporte de calor a volumen constante, w23 = 0): q23 = u3 - u2 + w23 ⇒

q23 = u3 - u2

(447)

w34 = u3 - u4

(448)

Etapa 34 (expansión adiabática, q34 = 0): q34 = u4 - u3 + w34

Etapa 41 (cesión de calor a volumen constante, w41 = 0):

El trabajo neto wn es:

q41 = u1 - u4 + w41 ⇒ q41 = u1 - u4 wn = w42 + w34 = u1 - u2 + u3 - u4

(449)

(450)

El calor aportado, qap, es: qap = q23 = u3 - u2

(451)

y el rendimiento termodinámico del ciclo η.

o bien:

η=

wn (u3 − u2 ) − (h4 − u1 ) = qap u3 − u2 𝜂𝜂 = 1 −

ℎ4 − 𝑢𝑢1 𝑢𝑢3 − 𝑢𝑢2

(452)

En el ciclo Otto, la relación de combustión, rc = 1. Si imponemos esta condición en (445), se obtiene, para el modelo de gas perfecto:

247

Ingeniería térmica 1

15.5 El ciclo Diesel

η = 1 − 𝑟𝑟𝑘𝑘−1 𝑘𝑘

(453)

El ciclo Diesel es el típico de los motores en los que la inyección de combustible líquido se produce al final de la carrera de compresión, con una combustión a presión constante. El ciclo Diesel (véase la figura 15.2) consta de las siguientes etapas: Etapa 12 (compresión adiabática, q12 = 0): q12 = u2 - u1 + w12 ⇒ w12 = u1 - u2

(454)

Etapa 23 (aporte de calor a presión constante, w23 = p(v3 - v2)): q23 = u3 - u2 + w23 ⇒ q23 = u3 - u2 + p(v3 - v1) = h3 - h2

(455)

Etapa 34 (expansión adiabática, q34 = 0):

q34 = u4 - u3 + w34 ⇒ w34 = u3 - u4

(456)

Etapa 41 (cesión de calor a volumen constante, w41 = 0): El trabajo neto es:

q41 = u1 - u4 + w41 ⇒ q41 = u1 - u4

(457)

wn = w12 + w23 + w34 = (u1 - u2) + (h3 - h2) - (u3 - u2) + u3 - u4 wn = u1 - u4 + h3 - h2

(458)

y el calor aportado es: qap = q23 = h3 - h2

(459)

con lo cual, el rendimiento termodinàmico h de este ciclo es:

o bien:

η=

wn u1 − u4 + h3 − h2 = qap h3 − h2 η= 1−

u4 − u1 h3 − h2

(460)

En el ciclo Diesel, la relación de explosión rp =1. Si imponemos esta condición en (445) se obtiene: 1 rkc − 1

η =1−

𝑘𝑘(𝑟𝑟𝑐𝑐 − 1) 𝑟𝑟𝑘𝑘−1 𝑘𝑘

(461) 248

Ciclos de comparación para motores de combustión interna

Ejemplo n° 44 Efectuar el análisis de un ciclo Diesel cuya relación de compresión es 16 y la relación de combustión 1,5. Las condiciones de la admisión son 25 °C y 100 kPa. Considerar las siguientes posibilidades, a) ciclo de aire estándar caliente, b) ciclo de aire estándar frío con cv = 716,9 J/(kg K) y k = 1,40. a) Ciclo de aire estándar caliente (gas semiperfecto) En el estado 1 el volumen específico del aire es:

en el estado 2:

v1 =

R′T1 287,1 · (273,2 + 25) = = 0,856 m3 /kg p1 105

v2 = v1/rk = 0,856/16 = 0,054 m3/kg en el estado 3: v3 = v2 rc = 0,054 · 1,5 = 0,080 m3/kg y en el estado 4, v4 = v1 = 0,856 m3/kg. A continuación, hay que utilizar la tabla del aire [1] (gas ideal semiperfecto). En el estado 1, con = 298,2 K se interpolan directamente la energía interna y el volumen específico relativo: u1 = 212,78 kJ/kg => vr1 = 630,81 de este último se calcula el volumen específico relativo en el estado 2: vr2 = vr1

v2 1 = 630,81 = 93,43 v1 16

de vr2, por interpolación en la tabla, se obtienen la temperatura y la energía interna del estado 2, T2 = 857,73 K y u2 = 639,53 kJ/kg. Dado que el proceso 23 tiene lugar a presión constante, T3 es: v3 T3 = T2 = 857,73 · 1,5 = 1286,6 𝐾𝐾 v2

Interpolando T3 en la tabla, se determinan la energía Interna y el volumen específico relativo, u3 = 1010,72 kJ/kg, vr3 = 11,650, y de este último: vr4 = vr3

v4 0,856 = 11,650 = 124,66 v3 0,08

Con vr4, interpolando nuevamente, T4 = 564,0 K y u4 = 407,44 kJ/kg. 249

Ingeniería térmica La presión en el estado 2 es: R′T2 287,1 · 857,73 p2 = = = 4,560 · 106 = 4.560 kPa v2 0,054 El calor aportado qap = q23:

q23 = u3 - u2 + p(v3 - v2) = 1010,72 - 639,53 + 4,56.106(0,08 - 0,054).10-3 = 489,75 kJ/kg El calor rechazado q41: q41 = u4 - u1 = 407,44 - 212,78 = 194,66 kJ/kg El trabajo neto se puede calcular directamente mediante un balance energético: wn = |q23| - |q41| = 489,75 - 194,66 = 295,09 kJ/kg así el rendimiento termodinàmico del ciclo es: η=

wn 295,09 = = 0,603 qap 489,75

b) Ciclo de aire estándar frío (gas perfecto)

cp = k cv = 1,4 · 716,9 = 1004 J/(kg K); R' = cp - cv = 1004 - 716,9 = 287,1 J/(kg K) El rendimiento se puede obtener directamente de (461): 1 rkc − 1 1 1,51,4 − 1

η=1−

La presión p2 es:

𝑘𝑘(𝑟𝑟𝑐𝑐 − 1) 𝑟𝑟𝑘𝑘−1 𝑘𝑘 p2 = p1

En cuanto a T2: T2 = T1 � La presión p3 = p2 y p4:

=1−

161,4−1 1,4(1,5 − 1)

= 0,64

v1 = 100 · 161,4 = 4.850 kPa v2

p2 (k−1)/k 4.850 0,2857 � = � � = 903,9 𝐾𝐾 p1 100

v3 𝑘𝑘 p4 = p3 � � = 4.850 · (1,5/16)1,4 = 176 kPa v4

La temperatura T3 es:

T3 = T2 250

v3 = 903,8 · 1,5 = 1.355,7 𝐾𝐾 v4

Ciclos de comparación para motores de combustión interna y T4: T4 = T1 El calor aportado q23 valdrá:

p4 176 = 298,2 = 524,8 𝐾𝐾 p1 100

q23 = u3 - u2 + p(v3 - v2) = 0,7169(1355,7 - 903,8) + 48,5·105(0,080 - 0,054)10-3 = = 449,39 kJ/kg y el disipado q41 = u1 - u4 = 0,7169(298,2 - 524,8) = -162,45 kJ/kg El trabajo neto es: wn = |q23| - |q41| = 449,39 -162,45 = 286,94 kJ/kg Y, finalmente, el rendimiento termodinàmico del ciclo es: η=

wn 286,94 = = 0,639 q23 449,36

En la tabla 15.1 se pueden comparar los resultados obtenidos en ambos casos. Tabla 15.1 Aire estándar frío

Aire estándar caliente

Estados

P (kPa)

V (m3/kg)

T(K)

p (kPa)

V (m3/kg)

T(K)

1

100

0,856

298,2

100

0,856

298,2

2

4850

0,054

903,9

4560

0,054

857,7

3

4850

0,080

1355,7

4560

0,080

1286,6

4

176

0,856

524,8

189

0,856

564,0

Calor aportado

449,39 kJ/kq

489,75 kJ/kq

Trabajo neto

280,96 kJ/kq

295,09 kJ/kq

Rendimiento

0,639

0,603

Hay que observar que los rendimientos obtenidos no son significativos porque los modelos que se han utilizado son aproximados

251

Ingeniería térmica

15.6 Temas de ampliación No hemos abordado el estudio de los ciclos de mezcla estándar que representan un paso más en la dirección del ciclo real. En esencia se trataría de utilizar las propiedades del aire en la etapa de compresión y las de los humos (de gasolina o gasóleo) en las otras. En [2] y [3] está muy bien explicado este tema.

Bibliografía [1] Moran M.J. y Shapiro H.N. Fundamentos de Termodinámica Técnica. Editorial Reverte, Barcelona, 1993. [2] Agüera J. Termodinámica lógica y Motores Térmicos. Editorial Ciencia 3, Madrid, 1993. [3]

252

Paires V. M. Termodinámica. UTEHA, México, 1965.

Capítulo 16

EL CICLO DE REFRIGERACIÓN POR COMPRESIÓN DE VAPOR 16.1 Introducción No se ha de confundir la refrigeración con el simple enfriamiento de un medio. Desde un punto de vista estrictamente termodinàmico, la refrigeración es la utilización de un ciclo invertido para bombear calor desde un reservorio frío a otro caliente mediante el consumo de trabajo mecánico. Una máquina frigorífica ideal trabaja cíclicamente de la forma indicada en la figura 16.1. El reservorio frío, o fuente térmica fría, se halla a la temperatura Tf y el caliente, o fuente térmica caliente, generalmente el medio ambiente, se halla a la temperatura TC. Sea Q0 el calor extraído de la fuente térmica fría, Q el calor bombeado a la fuente térmica caliente y W el trabajo mecánico interno necesario para el funcionamiento de la máquina térmica. El conjunto constituye un sistema aislado formado por los dos reservorios y el fluido de trabajo de la máquina térmica. La variación total de entropía de este sistema aislado es nula: ∆ST = ∆SFF + ∆SFC + ∆SS = 0

(462)

donde ∆ST es la variación total de entropía del sistema, ∆SFF la variación de entropía de la fuente fría, ∆SFC la variación de entropía de la fuente caliente y ∆SS la del fluido de trabajo, que es nula por tratarse de un proceso cíclico.

Figura 16.1 - Esquema de una máquina de refrigeración funcionando según ciclo invertido

253

Ingeniería térmica La variación de entropía de la fuente fría es: ∆SFF = −

|Q 0 | Tf

(463)

siendo negativa puesto que el calor abandona el reservorio y, en consecuencia, disminuye su entropía. La variación de entropía de la fuente caliente es: ∆SFC =

|𝑄𝑄| Tc

(464)

ahora es positiva puesto que el calor fluye hacia la fuente. Sustituyendo en (462): |Q| |Q 0 | − =0 Tc Tf

(465)

También se cumplirá: |W| + |Q0| = |Q|

(466)

y eliminando |Q| entre (465) y (466) resulta:

de donde se obtiene:

|W| + |Q 0 | |Q 0 | − =0 Tc Tf |Q 0 | Te = |W| Tc − Tf

(467)

Precisamente, la relación entre | Q0| y |W| es un coeficiente de eficiencia, que se designa con las siglas COP (coeficient of performance) de la denominación inglesa. Así pues, para una máquina de refrigeración reversible es: 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =

Tf Tc − Tf

(468)

El subíndice reversible refuerza la idea de que este coeficiente se aplica exclusivamente a una máquina de refrigeración ideal. El COP puede ser mayor o menor que la unidad. La máquina de refrigeración real tendrá un COP menor. La relación entre ambos, s, es una medida de la irreversibilidad de la máquina real:

254

El ciclo de refrigeración por compresión de vapor

𝜀𝜀 =

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟

(469)

Ejemplo n° 45 En una máquina de refrigeración por compresión de vapor, la temperatura del evaporador es 12 °C y la del condensador 52 °C. El coeficiente s vale 0,262. Si la carga térmica de refrigeración es 10,3 kW, determinar la potencia interna de la máquina térmica. El COP de la máquina reversible (468) valdrá:

El COPreal (469),

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =

Tf 273,15 + 12 = = 7,13 Tc − Tf 52 − 12

COPreal = COPrev ε = 7,13 x 0,262 = 1,87 y la potencia interna de la máquina térmica, N' (valor positivo): N = |Q0| /COPreal= 10,3/1,87 = 5,51 kW donde |Q̇ 0| es la carga térmica de refrigeración.

16.2 Métodos de producción de frío Al planteamos la cuestión de los distintos métodos para la producción de frío, en realidad nos referimos a los distintos tipos de ciclos termodinámicos con los cuales se puede llevar a cabo una refrigeración. Los métodos de utilidad práctica citados en orden a su mayor implantación son: Ciclo de compresión de vapor. Es el más comúnmente utilizado. Emplea como fuente de

energía trabajo mecánico, obtenido casi siempre a partir de un motor eléctrico. Por tanto, en estos casos, la fuente primaria de energía es la electricidad. El ciclo se fundamenta en la compresión de un vapor que al hallarse a mayor temperatura que el medio caliente le cede calor. Con ello el vapor se enfría y, si la presión es adecuada, incluso condensa. El fluido condensado, se expande en una válvula de expansión o en un tubo capilar con lo que, de una parte, pierde la presión proporcionada por el compresor y, por otra parte, experimenta un enfriamiento súbito que hace posible la absorción de calor del medio frío. Si ésta es la adecuada, la absorción de calor produce la vaporización del líquido. El gas será de nuevo comprimido por el compresor y de esta forma prosigue el ciclo. La condensación del vapor se efectúa en un condensador y la vaporización en un evaporador. 255

Ingeniería térmica Hay que señalar el hecho fundamental siguiente, el ciclo de compresión de vapor se puede utilizar tanto para aprovechar el efecto frigorífico en el evaporador (máquina frigorífica) como para aprovechar el efecto calorífico en el condensador (bomba de calor). Es difícil encontrar aplicaciones en las que se puedan utilizar simultáneamente ambos efectos, aunque no es imposible. En la práctica, se recurre a las siguientes denominaciones: a) cuando sólo se utiliza el frío, se habla de máquina o sistema frigorífico convencional, b) cuando sólo se utiliza el calor, se habla de bomba de calor, c) si se utiliza el frío en una temporada y el calor en otra (nunca simultáneamente), entonces se habla de bomba de calor reversible. En este caso, la inversión de funcionamiento se realiza mediante una válvula de cuatro vías (véase la figura 16.2). El ciclo de compresión de vapor presenta tres características fundamentales: a) Ha de comprimir un vapor, con el gasto energético que esta operación presupone. b) Ha de utilizar un fluido frigorífico que reúna las características adecuadas que, por cierto, son muchas y, por tanto, son pocos los fluidos frigoríficos satisfactorios. c) El COP tanto de la máquina frigorífica como de la bomba de calor es alto, siempre que las relaciones de compresión sean modestas. Los COP reales en máquinas comerciales suelen oscilar, en la práctica, entre 1,5 y algo más de 2. Esta eficacia es muy alta, lo cual hace muy atractivas estas máquinas haciendo olvidar fácilmente que la energía de funcionamiento es de alta calidad y, por consiguiente, cara.

Figura 16.2 - Acción de la válvula de cuatro vías

256

El ciclo de refrigeración por compresión de vapor Ciclos de absorción de amoníaco (NH3) y de bromuro de litio (LiBr). El ciclo de absorción

es identico al de compresión de vapor excepto en la compresión del vapor. La máquina de absorción utiliza un ingenioso procedimiento para sustituir la compresión del vapor por la compresión de una disolución generalmente acuosa. Básicamente, se trata de absorber el vapor resultante del evaporador, diluirlo en un disolvente y comprimirlo. Posteriormente, se calienta la disolución comprimida para liberar el vapor y enviarlo al condensador. La absorción se realiza en un tanque o depósito denominado absorbedor, y el calentamiento y producción de vapor en otro denominado generador (véase la figura 16.3). La presencia inconfundible de estos depósitos, generalmente cilíndricos y situados uno encima del otro, confiere a la máquina de absorción su aspecto típico. Existen dos ciclos básicos de absorción, el de amoniaco, que utiliza NH3 como fluido frigorífico y agua como disolvente, y el de bromuro de litio, que utiliza agua como fluido frigorífico y una disolución de LiBr en agua como disolvente. Las características fundamentales de los ciclos de absorción son: a) Compresión de un líquido en lugar de un vapor. El consumo energético de esta operación es un gasto menor en la instalación, hasta el extremo que en muchas ocasiones ni siquiera se tiene en cuenta en los cálculos preliminares. b) La energía básica que consume la máquina de absorción es el calor que se proporciona al generador. El calor, aportado por un combustible, es una energia cara. No obstante, el calor recuperado (en realidad deberíamos referirnos a la entalpia), procedente de los humos de escape de un turbina de gas o de los humos de una caldera, es casi gratuito. Esta es la gran posibilidad que hace atractiva la máquina de absorción. c) También presenta algunos inconvenientes. La máquina de absorción tiene un COP inferior, bastante inferior, en igualdad de condiciones que el ciclo de compresión

Figura 16.3 - Esquema básico de una máquina de absorción

257

Ingeniería térmica de vapor equivalente. Además, el ciclo real de absorción ha de incluir un dispositivo a la salida del generador para eliminar el disolvente, pues de lo contrario éste pasaría primero al condensador y después al evaporador alterando las temperaturas de condensación y de evaporación (en el curso de las de NH3). d) Son muy pocos los fluidos frigoríficos que se pueden utilizar en la máquina de absorción. Ello es debido a que a los condicionantes básicos necesarios hay que sumarle el de poder ser absorbidos por el disolvente. e) La máquina de absorción puede ser el complemento valioso de una instalación de cogeneración, en la que se produce simultáneamente calor y electricidad. El calor puede utilizarse como fuente energética de la máquina de absorción. El objetivo prioritario de la instalación de cogeneración es la producción de electricidad; el calor se obtiene de la entalpia de los gases de escape de la turbina de gas o del motor de combustión, por lo que en cierto sentido, podemos hablar de una fuente energética gratuita, en este caso, para la máquina de absorción. Ciclos de gas. Con esta denominación genérica se incluyen todos los ciclos basados,

fundamentalmente, en el ciclo termodinàmico de Brayton invertido. El fluido frigorífico es aire. El COP del ciclo es muy bajo y la utilización de esta clase de ciclos ha de obedecer a causas muy precisas. Además de los citados, existen otros procedimientos con aplicaciones aún más específicas y puntuales, tales como el método Philips basado en el ciclo de Stirling invertido, el método termoeléctrico que usa el efecto del termopar a la inversa y la refrigeración mediante sales paramagnética para alcanzar temperaturas próximas al cero absoluto.

16.3 Los fluidos frigoríficos Aquí nos referiremos exclusivamente a los fluidos frigoríficos que se emplean en los ciclos de compresión de vapor. Básicamente, las propiedades a valorar en un fluido frigorífico son: a) Que la presión de condensación no sea demasiado elevada ni la presión de evaporación demasiado pequeña. El compresor ha de trabajar con una relación de compresión razonable. Así pues, la curva de tensión de vapor del fluido será una ayuda inestimable a la hora de decidir la conveniencia de un determinado fluido frigorífico. b) El calor latente de evaporación ha de ser elevado y el volumen específico del vapor pequeño. La primera condición impone un efecto frigorífico tanto mayor cuanto mayor sea el calor latente, la segunda asegura un tamaño de compresor pequeño. c) El fluido frigorífico no ha de ser tóxico ni inflamable.

258

El ciclo de refrigeración por compresión de vapor d) El fluido frigorífico ha de poseer una buenas propiedades de miscibilidad con los aceites lubricantes que, inevitablemente, se emplean para el adecuado mantenimiento del compresor. e) La potencia de compresión por unidad de masa de refrigerante ha de ser pequeña para minimizar los costes. Algunos fluidos reúnen muchas de estas características, aunque no todas. Así sucede con el amoníaco que, sin embargo, es inflamable, tóxico y corrosivo; por tanto, su empleo en equipos de refrigeración exige medidas especiales de seguridad. Históricamente, los fluidos frigoríficos de mayor implantación fueron los desarrollados por la firma Dupont en los años treinta y conocidos como freones (nombre registrado por la casa Dupont). Se trata de derivados halogenados del carbono y que son susceptibles de clasificarse de la siguiente forma, CFCs, derivados clorofluorocarbonados (contienen cloro y flúor). HFCs, derivados hidrofluorocarbonados (contienen hidrógeno y flúor). HCFCs, derivados hidroclorofluorocarbonados (tienen hidrógeno, cloro y flúor). La denominación ASHRAE (American Society of Heating, Refrigerating and Air Conditioning Engineers) de los derivados halogenados se lleva a cabo en base a un número de tres dígitos abe tal que a es el número de átomos de carbono menos 1, b el número de átomos de hidrógeno más 1 y c el número de átomos de flúor. Así por ejemplo, CCI2F2 es el refrigerante 012 (de forma abreviada R-12 o freón 12). Durante muchos años, se han utilizado el R-12 y el R-22 con excelentes resultados desde el punto de vista termodinàmico y, en cualquier caso, con grandes ventajas sobre el amoníaco. Actualmente, es de todos sobradamente conocido el efecto nocivo para el medio ambiente de los derivados clorohalogenados. Los derivados halogenados que contienen cloro en su molécula reaccionan con el ozono de las capas altas de la atmosfera ocasionando unos efectos destructivos de primer orden. Así ocurre, muy particularmente, con el R-12 que contiene 2 átomos de cloro. El derivado llega a las capas altas de la atmósfera algunos años después de su salida de los circuitos de refrigeración. Precisamente su estabilidad, en este caso, es un factor tremendamente negativo. Para sustituir estos derivados halogenados, se están estudiando otros que carezcan de cloro. Así, por ejemplo, como sustituto provisional del R-12 se propone el R-134a (C2H2F4) que no contiene cloro en su molécula. Diversos acuerdos internacionales determinan las fechas en las que deben dejar de usarse, incluso de fabricarse, algunos fluidos frigoríficos.

16.4 El ciclo simple de compresión de vapor En la figura 16.4 se ha representado el esquema básico de un circuito de refrigeración por compresión de vapor. Los elementos básicos son el compresor, que aspira y comprime 259

Ingeniería térmica

el vapor que sale del evaporador; el condensador, en el que se realiza el enfriamiento y condensación del vapor comprimido; la válvula de expansión, en la cual se expande el vapor que sale del condensador y que genera una mezcla líquido-vapor a baja presión; y el evaporador en el que se vaporiza el vapor. En el condensador, se cede calor a un medio refrigerante, generalmente aire (condensadores refrigerados por aire) o agua (condensadores refrigerados por agua). En el evaporador se absorbe calor al medio frigorífico que se ha de mantener a baja temperatura. La figura 16.5 muestra el ciclo de compresión de vapor en un diagrama p-h y con alguna idealización. Por ejemplo, no se ha tenido en cuenta la caída de presión por rozamiento del fluido frigorífico. El intervalo 4"1 corresponde al recalentamiento del vapor que se puede producir tanto a la salida del evaporador como en el mismo evaporador. Este recalentamiento es necesario para evitar que el refrigerante del sistema llegue parcialmente en estado líquido al compresor. La compresión corresponde al tramo 12. Conviene observar que 2 está a la derecha de 2s, estado que representa el final de la compresión supuesta isentrópica. La relación entre el salto entálpico isentrópico y el salto entálpico real es el rendimiento isentrópico del compresor ηc, es decir. 𝜂𝜂𝑐𝑐 =

ℎ2𝑠𝑠 − ℎ1 ℎ2 − ℎ1

(470)

El tramo 23 es el de enfriamiento y condensación del vapor comprimido. El tramo 3'3 representa el subenfriamiento del líquido, que se puede producir tanto en el propio condensador como a la salida del mismo. El subenfriamiento del condensado es menos esencial que el efecto de recalentamiento del vapor. Sin embargo, un pequeño subenfriamiento del líquido genera un mayor efecto frigorífico en el evaporador al desplazarse hacia la izquierda el punto 4. El tramo 34 representa la expansión, aproximadamente isentálpica, en el dispositivo de expansión.

Figura 16.4 - Ciclo de compresión del vapor

260

El ciclo de refrigeración por compresión de vapor El trabajo específico interno de compresión w'c (en valor absoluto) es:

w'c = h2 - h1

(471)

el calor cedido por el condensador:

En ambos casos, se ha supuesto que el subenfriamiento y el recalentamiento transcurren dentro del condensador y dentro del evaporador, respectivamente. El proceso de expansión en el dispositivo de expansión, cumple el primer principio aplicado a los sistemas abiertos: 𝑐𝑐42 − 𝑐𝑐32 𝑞𝑞 = ℎ4 − ℎ3 + + 𝑔𝑔(𝑧𝑧4 − 𝑧𝑧3 ) 2

si se admite que el proceso es prácticamente adiabático y que carecen de relevancia los términos de energías cinética y potencial: h4 = h3 En refrigeración, el COP es: COP = y en bombeo de calor:

(474)

qe w′c

COP =

(475)

qc w′c

Figura 16.5 - Representación gráfica de un diagrama

(476)

p-h del

ciclo simple de refrigeración por compresión de vapor

261

Ingeniería térmica

Ejemplo nº46 Efectuar el análisis termodinàmico de un ciclo simple de compresión de vapor que utiliza R-134a como fluido frigorífico, con 60 kPa en el evaporador y 1.200 kPa en el condensador. Hay un recalentamiento de 8 °C del vapor saturado en el evaporador y un subenfriamiento de 4 °C a la salida del condensador. El rendimiento isentrópico del compresor es del 82%. Para resolver este problema utilizaremos las tablas del vapor y líquido saturado y del vapor recalentado del R-134a dadas en el anexo. En la figura 16.4 se ha representado un esquema de la instalación. A 1.200 kPa la temperatura de saturación es 46,27 °C. La temperatura t3 es: t3 = 46,27 - 4 = 42,27 °C y la entalpia h3 = h4 = 259,69 kJ/kg. A 60 kPa la temperatura de saturación es -36,92 °C. La temperatura t1 es: t1 = -36,92 + 8 = -28,92 °C y la entalpia h1 = 384,80 kJ/kg y la entropía s1 = s2s = 1,7862 kJ/(kgK). Con la entropía del estado 2s podemos interpolar en la tabla de propiedades del 134a, para obtener la entalpia: h2s = 447,56 kJ/kg y a partir de (470) obtener la entalpia del estado real a la salida del compresor:

de donde h2 = 461,34 kJ/kg.

447,56 − 384,8 = 0,82 ℎ2 − 384,8

El trabajo de compresión, ecuación (471): w'c = h2 - h1 = 461,30 -384,80 = 76,5 kJ/kg el frío producido: |qe| = h 1 - h4 = 384,80 - 259,69 = 125,11 kJ/kg y el COP, ecuación (475): COP =

262

|qe | 125,11 = = 1,64 w′c 76,5

El ciclo de refrigeración por compresión de vapor

16.5 Modificaciones del ciclo simple de compresión de vapor 16.5.1 Introducción Cuando se precisa obtener una temperatura muy baja en el evaporador, se requiere una relación de compresión elevada a causa de la mayor diferencia de presión entre el evaporador y el condensador. Ello obliga a efectuar una multicompresión. Los métodos habituales para llevarla cabo son: 

Multicompresión por etapas y con refrigeración intermedia (véase la figura 16.6). Se trata

simplemente de comprimir el refrigerante por etapas o fases y proceder a la refrigeración intermedia de las mismas. El análisis de este ciclo no difiere conceptualmente del correspondiente al ciclo simple.

Figura 16.6 - Compresión con dos etapas y refrigeración intermedia





Multicompresión por etapas y con cámara de flash (véase la figura 16.7). La mezcla

líquido-gas que sale de la válvula de expansión se lleva a una cámara (llamada cámara de flash) en la cual se separan las dos fases por gravedad. La refrigeración intermedia se efectúa mezclando vapor comprimido con vapor saturado y frío procedente de la cámara de flash. Multicompresión en cascada (véase la figura 16.8). Emplea circuitos simples independientes escalonados de manera tal que la refrigeración del condensador del primer ciclo se lleva a cabo mediante el evaporador del segundo, y así sucesivamente. A efectos del proceso de refrigeración de un medio, por ejemplo de una cámara frigorífica, sólo se aprovecha el frío obtenido en el evaporador del primer ciclo. La multicompresión en cascada permite utilizar fluidos frigoríficos diferentes y apropiados a cada ciclo.

263

Ingeniería térmica

Figura 16.7 - Compresión con dos etapas y cámara de flash

Figura 16.8 - Compresión con cuatro ciclos en cascada

16.5.2 Multicompresión por etapas y con cámara de flash El ciclo dispone de las etapas y correspondientes cámaras de flash que se precisen para asegurar unas relaciones de compresión adecuadas. Consideremos el esquema de la figura 16.7. La figura 16.9 muestra el ciclo termodinàmico en un diagrama p-h. Las presiones en el evaporador y en el condensador están absolutamente predeterminadas 264

El ciclo de refrigeración por compresión de vapor por las temperaturas de evaporación y de condensación. De forma aproximada, la presión intermedia pm, correspondiente a la línea intermedia del ciclo (en el caso de dos etapas), se estima de: phm2+≅ h (p7 eε p )1/2 =ch 3 (1 + ε)

(477) (479)

Los cálculos para evaporador, condensador y compresor se llevan cabo de forma Su valor óptimo se el obtiene probando con diferentes valores entorno al estimado con (426) y calculando para cuál de ellos el COP teórico es máximo. Como base de cálculo conviene tomar 1 kg de fluido frigorífico en el evaporador. La fracción de vapor que sale de la cámara de flash es ε. Para determinar ε efectuemos un balance entálpico en la cámara de flash: h6 (1 + ε) = h7 s + h9

(478)

siendo los estados 7 y 8 los correspondientes a los estados de vapor y líquido saturado a la presión intermedia pm, respectivamente. La entalpia del estado 3 se determina efectuando un balance entálpico en el nudo situado a la salida de la primera etapa:

y el COP:

Figura 16.9 - Representación gráfica de un ciclo con dos etapas y cámara de flash

265

Ingeniería térmica

COP =

Ejemplo n° 47

qe w′c

(482)

Efectuar el análisis termodinàmico de un ciclo de refrigeración de multicompresión con dos etapas y cámara de flash. La presión intermedia es de 400 kPa. El fluido frigorífico es el R-134a. Los demás datos de la instalación son los mismos que los del ciclo simple correspondiente al ejemplo nº 46. En la figura 16.7 se ha representado un esquema de la instalación. Se ha tomado como base de cálculo 1 kg de fluido frigorífico en el evaporador. Algunos datos relativos a entalpias y entropías se han determinado en el ejemplo anterior. Son los siguientes: h1 = 384,80 kj/kg, s1 = s2* = 1,7862 kJ/(kgK), h5 = h6 = 259,69 kj/kg. La entropía s2 nos permite interpolar en la tabla de propiedades del R-134a, la entalpia h2s que vale: y a partir de (470) obtener la entalpia del estado real a la salida del primer compresor: 421,33 − 384,8 0,82 = h2 − 384,8 de donde h2= 429,35 kJ/kg.

A la presión de 400 kPa, la entalpia del líquido y del vapor saturados es: h8 = h9 = 211,61 kJ/kg, h7 = 403,40 kJ/kg La fracción de vapor que circula por la línea intermedia de presión, s, se calculará a partir de la ecuación (478). Sustituyendo valores: 259,69 (1 + ε) = 403,40 ε + 211,61 de donde ε = 0,3346. La entalpia del estado 3 a partir de la ecuación (479). Sustituyendo valores: 429,35 + 403,40 x 0,3346 = 1,3346 h3 de donde h3 = 422,84 kJ/kg. Interpolando en la tabla mencionada se obtiene s3 = s4s = 1,7891 kJ/(kgK), valor que nos permite obtener, h4s = 448,55 kJ/kg, y a partir de la ecuación (470) obtener la entalpia del estado real a la salida del segundo compresor: 266

El ciclo de refrigeración por compresión de vapor

0,82 =

448,55 − 422,84 h4 − 422,84

El trabajo de compresión, ecuación (480);

w´c = h2 - h1+ (h4 - h3) (1 + ε) = 429,35 - 384,80 + (454,19 - 422,84)1,3346 = 86,39 kJ/kg El calor extraído, ecuación (481): |qe|= h 1 - h 9 = 384,80 - 211,61 = 173,19 kJ/kg y el COP, ecuación (482): COP =

qe 173,19 = =2 w′c 86,39

16.5.3 Multicompresión en cascada El análisis de cada ciclo se efectúa como se ha explicado para el ciclo simple. Es habitual trabajar con una base de cálculo de 1 kg de fluido frigorífico en el evaporador del primer circuito (el de baja presión), con lo que en cada uno de los otros circuitos tendremos ε1, ε2, etc, que se obtendrán efectuando sendos balances en los conjuntos evaporador-condensador de cada par de circuitos. La figura 16.8 muestra una multicompresión en cascada con cuatro ciclos de compresión. Supongamos que se trabaja con dos fluidos frigoríficos diferentes, el refrigerante F1 se emplea en los ciclos C1 y C2, y el refrigerante F2 se emplea en los ciclos C3 y C 4 . La nomenclatura es como sigue, pei presión en el evaporador del circuito, pci presión en el condensador del circuito i. De todas ellas, las únicas presiones conocidas son pe1 y pc4. Las restantes se estiman de la siguiente forma, a partir de la presión intermedia pm = (pe1 pc4)1/2 y con las curvas de tensión de vapor de los refrigerantes F1 y F2, tal como se indi-

267

Ingeniería térmica ca en la figura 16.10, se obtienen las temperaturas tc2 y te3 forma que entre ambas existan unos 8 °C de diferencia (aunque para conseguirlo se tenga que ir ajustando pm). Las presiones así obtenidas, correspondientes a las temperaturas tc2 y te3, las designamos por ρc2 y ρe3. De estas presiones, procediendo de forma análoga, se obtienen pc1 y pe2, así como ρc3 y ρe4. Obviamente, para ello se habrán definido, previamente, nuevas presiones intermedias, (pc2 pe1)1/2 para pc1 y pe2, y (pc4 pe3)1/2 para pc3 y pe4.

Ejemplo n° 48 Efectuar el análisis termodinàmico de un ciclo de refrigeración de multicompresión con dos circuitos en cascada. La presión en el condensador del primer circuito (el de baja presión) es de 440 kPa y la presión en el evaporador del segundo circuito (el de alta presión) es de 360 kPa. Hay un recalentamiento del vapor saturado de 8 °C en ambos circuitos y un subenfriamiento de 4 °C solamente en el segundo circuito. El fluido frigorífico es R-134a. Los demás datos son los mismos que los utilizados en los ejemplos precedentes. En la figura 16.11 se ha representado un esquema de la instalación. Se ha tomado como base de cálculo 1 kg de fluido frigorífico en el evaporador del primer circuito. Algunos datos relativos a entalpias se han determinado en los ejemplos 46 y 47. Son los siguientes: h1= 384,80 kj/kg, s1 = s2s = 1,7862 kJ/(kgK), h7 = h8 = 259,69 kj/kg A partir de la entropía del estado 2s y de la presión, obtenemos la entalpia: h2s = 424,15 kJ/kg A partir del rendimiento del compresor:

Figura ! 6.11 - Esquma correspondiente al ejemplo n° 48

268

El ciclo de refrigeración por compresión de vapor

Obtendremos, h2 = 432,79 kj/kg.

0,82 =

424,15 − 384,80 h4 − 384,80

La temperatura de saturación a 360 kPa es 5,81 °C, por tanto la temperatura del estado 5, será: t5 = 5,81 + 8 = 13,81 °C Esta temperatura y la presión de 360 kPa nos permiten interpolar en la tabla del vapor recalentado del R-134a, la entalpia y la entropia del estado 5, obteniéndose: h5 = 408,92 kJ/kg,

s5 = s6s = 1,7500 kJ/(kg K)

Con la entropia s6s y la presión de 1200 kPa interpolamos la entalpia del estado 6s: h6s = 435,31 kJ/kg Aplicamos la definición del rendimiento isentrópico del compresor, ecuación (470), para obtener la entalpia del estado 6: 0,82 = de donde h6 = 441,10 kJ/kg.

435,31 − 408,92 h6 − 408,92

Para obtener la fracción de fluido e que circula por el segundo circuito, efectuamos un balance en el conjunto evaporador-condensador. Sustituyendo valores: ε(408,92 - 259,69) = 432,79 - 215,55 se obtiene ε = 1,4557 El trabajo de compresión: w'c = h2 - h1 + ε(h6 - h5) = 432,79 - 384,80 + 1,4557(441,10 - 408,92) = 94,83 kJ/kg el calor extraído: |q|= h1 - h4 = 384,80 - 215,55 = 169,25 kJ/kg y el COP: 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 =

169,25 = 1,78 94,83

En la tabla 16.1 se indica un resumen de los resultados obtenidos en los tres ejemplos precedentes. 269

Ingeniería térmica Tabla 16.1 Ciclo simple

Cámara de flash

Cascada

w'C kJ/kg

76,5

86,39

94,83

|qe| kJ/kg

125,11

173,19

169,25

2,00

1,78

COP

1,64

En el ejemplo propuesto es significativo el mayor rendimiento obtenido con una solución del tipo "cámara de flash" resultado que podría extrapolarse a otros casos siempre que las presiones de alta y de baja fuesen similares.

16.6 Temas de ampliación

No se ha efectuado un estudio detallado de la máquina de absorción ni de los ciclos de gas. En [2], [3], [4] y [5] el lector puede encontrar información sobre estos sistemas de refrigeración. Por otra parte, la información facilitada en el apartado correspondiente a los fluidos frigoríficos puede sufrir variaciones en lo que hace referencia a la sustitución de los antiguos fluidos frigoríficos por tratarse de un asunto aún no consolidado. El temático entorno a las cámaras frigoríficas se puede estudiar en [5] y [6], El lector encontrará en [8] una obra monográfica dedicada al estudio de los fluidos frigoríficos y en [9] un estudio más detallado de los ciclos de compresión de vapor y especialmente los de absorción.

Bibliografía [1] Moran M.J. y Shapiro H.N. Fundamentos de Termodinámica Técnica. Editorial Reverté, Barcelona, 2004. [2] Paires, V.M. Termodinámica. UTEHA, México, 1965. [3] Stoecker, W.F. Refrigeración y acondicionamiento de aire. McGraw-Hill, México, 1965. [4] ASHRAE Handbook. Refrigeration. Systems and Applications, ASHRAE, Atlanta, 1990. [5] Ramírez, J.A. Refrigeración. CEAC, Barcelona, 1994. [6] Rapin, RJ. Instalaciones frigoríficas. Marcombo, Barcelona, 1993. [7] Cooper, W.B. Commercial, industrial and institutional refrigeration. Prentice Hall, New Jersey, 1987. [8] Miranda, A.L., Rufes, P. Fluidos frigoríficos. CEAC, Barcelona, 2005. [9] Jutglar, L. Miranda, A.L. Técnicas de refrigeración. Marcombo, Barcelona, 2009.

270

Capítulo 17

COMBUSTIBLES 17.1 Introducción La forma más habitual de producción de calor es mediante una reacción exotérmica de un combustible con oxígeno (reacción de oxidación, llamada vulgarmente combustión). La reacción se produce de forma rápida y con de llama en la mayoría de casos. La llama se debe a las altas temperaturas que ocasiona el desprendimiento de calor, el cual produce la incandescencia de los productos de la reacción. El aporte del oxígeno necesario para la combustión se puede llevar a cabo directamente con oxígeno puro, con aire atmosférico que tiene un 21% en volumen de oxígeno, o bien con aire enriquecido con oxígeno. Un combustible puede arder mediante reacciones de oxidación empleando otros oxidantes, como el cloro, el flúor u otros. No obstante, si no se especifica otra cosa, cuando nos referimos a la combustión se sobrentiende que ésta es con oxígeno.

17.2 Clasificación de los combustibles Hay muchos tipos de combustibles aunque gran parte de ellos no tengan aplicabilidad industrial. Los combustibles utilizados en la industria son los llamados fósiles, en tanto que su origen procede de antiguas formas vegetales o animales. El llamado combustible nuclear (uranio, plutonio, etc.) que se utiliza en los reactores nucleares, no es un combustible en el sentido que lo hemos definido, puesto que las reacciones que producen calor en el reactor son nucleares. Los combustibles nucleares no se estudian en esta obra. Los combustibles se clasifican en sólidos, líquidos y gaseosos; es una clasificación muy antigua que sigue siendo útil. La tabla 17.1 facilita su subclasificación general y sus principales características.

271

Ingeniería térmica Tabla 17.1 - Clasificación y características de los combustibles Sólidos

Antracita, 80% de C como

Es el carbón con más alto contenido en carbono y menor

Semiantracita, 75% de C

Es una antracita más pobre en carbono.

mínimo.

como mínimo.

Carbones bituminosos,

entre el 65 y el 40% de C.

contenido en volátiles.

Tienen un contenido en sustancias volátiles superior a las antracitas, pero menos contenido en carbono.

Carbones subbituminosos, Pueden tener el mismo contenido en sustancias volátiles que los entre el 35 y el 40% de C. bituminosos, pero tienen menos contenido en carbono. Lignito, 30% de C

Es una clase de carbón con menos contenido en carbono que los anteriores; en general tiene menor contenido también en sustancias volátiles que los subbituminosos.

Líquidos

Gasolina

Es el combustible utilizado en automoción en motores de explosión (MEP). Comprende la gama de hidrocarburos entre C4 y C10. Hay diferentes tipos según el índice de octano.

Turbocombustibles

Es la denominación genérica de un conjunto de gasolinas de

elevado índice de octano que se utilizan en los motores de aviación. Comprende la gama de hidrocarburos entre el C10 y el C14.

Gasóleo

Comprende la gama de hidrocarburos entre el C14 y el C20.

Existen las variedades A, B y C. El A se utiliza en los motores

Diesel (MEC), el B para usos agrícolas y el C en instalaciones térmicas domésticas e industriales. Fuel-oil

Es el combustible típico de los grandes motores Diesel lentos y de las centrales térmicas. Existen las clases 1 y 2. La clase 1 tiene una viscosidad menor y un menor contenido en azufre.

Gaseosos

1ª familia

Comprende

los

gases

manufacturados,

siendo

el

más

representativo el gas ciudad. Su uso es cada vez más restringido.

2ª familia

Comprende el gas natural y cualquier mezcla de gases

(principalmente aire propanado 0 butanado) con propiedades análogas al gas natural. El gas natural es de origen fósil y se encuentra en la naturaleza en grandes bolsas de las que ha de

ser extraído. Se distinguen diferentes clases según su

procedencia, gas de Argelia, gas del Mar del Norte, gas de Siberia, etc.

3ª familia

Comprende los gases licuados del petróleo, los GLPs,

propano, propano metalúrgico y butano. Su principal característica es que se pueden almacenar en fase líquida con relativa facilidad.

272

Combustibles

17.3 Propiedades de los combustibles 17.3.1

Propiedades generales

Es evidente que las propiedades de los combustibles dependen de la clase de combustible. Los gaseosos, líquidos o sólidos tendrán propiedades específicas que habrá que considerar de forma separada. Sin embargo, todos ellos poseen una propiedad general común, el poder calorífico. En el capítulo 19 estudiaremos con más detalle este concepto. Aquí, baste indicar que, genéricamente, el poder calorífico es la energía desprendida por una unidad de combustible en su combustión. Esta energía pasa a los gases de la combustión, también llamados humos, que contienen los productos de la combustión, entre ellos vapor de agua. Al utilizar los productos de la combustión, es decir, los humos, como agentes para el aprovechamiento del calor, en realidad lo que se está haciendo es hacer uso de su entalpia. Durante estos procesos, los humos se enfrían y, por tanto, su entalpia disminuye. En algunas aplicaciones, este enfriamiento puede llegar a provocar la condensación del vapor de agua presente en los productos de la combustión, lo cual implica una cesión de calor adicional que se suma a la energía inicialmente cedida por el combustible. Así se distinguen dos clases de poder calorífico, el poder calorífico inferior que es el propio del combustible y se designa por las siglas PCI, y el poder calorífico superior que es el del combustible aumentado con el calor latente de condensación del agua de los humos y que se designa por PCS. Genéricamente, el poder calorífico se mide en kJ/kg o en kJ/Nm3 en los gases combustibles. Conviene saber que, en los combustibles sólidos y líquidos, el poder calorífico puede venir referido a la unidad de masa de combustible bruto, seco, neto seco y neto húmedo, con el siguiente significado:  Bruto, es el combustible tal cual llega al almacén.  Seco, es el combustible sin el agua que hubiera podido absorber.  Neto seco, es el combustible sin cenizas y seco.  Neto húmedo, es el combustible sin cenizas y húmedo. El poder calorífico de un combustible se puede determinar mediante fórmulas empíricas que el lector puede encontrar en [1] y [2].

Ejemplo n° 49 Un carbón tiene 0,097 kg de ceniza por kg de carbón y 0,035 kg de agua por kg de carbón. Si el poder calorífico es 27.500 kJ/kg de carbón bruto, determinar el poder calorífico referido al carbón neto seco y neto húmedo. Relación que convierte el kg de carbón bruto a neto seco:

273

Ingeniería térmica 1 kg carbón bruto = 1 − 0,097 − 0,035 kg de carbón neto seco

relación que convierte el kg de carbón bruto a neto húmedo: 1 kg carbón bruto = 1 − 0,097 kg de carbón neto húmedo

en consecuencia, el poder calorífico referido al carbón neto y seco es: 27.500

1 = 31682 KJ/(kg de carbón neto seco) 1 − 0,097 − 0,035

y el poder calorífico referido al carbón neto y húmedo será: 27.500

1 = 30.454 KJ/(kg de carbón neto húmedo) 1 − 0,097

El poder calorífico del carbón oscila entre 30.000 a 35.000 kj/kg en una antracita, y entre 15.000 a 18.000 kJ/kg en un lignito. Los combustibles líquidos tienen un poder calorífico próximo a 40.000 kJ/kg. Los combustibles gaseosos de la 2ª y 3ª familia también tienen un poder calorífico que varía entre 45.000 a 50.000 kJ/kg.

17.3.2 Propiedades específicas de los combustibles sólidos Sin entrar a fondo en la compleja y rica temática del estudio del carbón, indicaremos someramente que la composición del carbón es fundamental para establecer sus propiedades, así como su densidad, contenido en azufre y su contenido en materias volátiles. La composición se puede dar según la forma de efectuar el análisis del carbón. Así, se distinguen el análisis inmediato, que consiste en dar la composición en carbono fijo, sustancias volátiles, humedad y cenizas, y el análisis elemental, que consiste en dar la composición en tanto por uno en masa de carbono, hidrógeno, azufre, oxígeno y nitrógeno, con el agua molecular y las cenizas aparte. La tabla 17.2 facilita la composición de una semiantracita típica en ambas modalidades. Tabla 17.2 - Composición de una semiantracita Análisis inmediato Humedad

274

2,7

Análisis elemental 2,7

Sustancias volátiles

11,9

_

Carbono fijo

76,2

_

Cenizas

9,2

Carbono

-

9,2 76,3

Combustibles

Análisis Inmediato

Análisis elemental

Hidrógeno

-

4,3

Nitrógeno

-

1,8

Oxígeno

-

3,6

Azufre

-

2,1

17.3.3 Propiedades específicas de los combustibles líquidos Las propiedades más características de los combustibles líquidos son: 

Densidad Se facilita, generalmente, a 15 °C. Por ejemplo, la densidad típica de una gasolina es 749 kg/m3. De forma aproximada se puede utilizar la ecuación:

ρ = 250 + 9,13 mC/mH

(483)

con ρ en kg/m3 y siendo mC y mH las fracciones másicas en C y H respectivamente.

La densidad de un combustible líquido se mide frecuentemente en grados API (°API). La relación entre la densidad API y la densidad SI es:



Viscosidad cinemática

𝜌𝜌𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =

141.500 − 131,5 𝜌𝜌𝑆𝑆𝑆𝑆

(484)

Generalmente se determina a 37,8 °C. Por ejemplo, la de un gasóleo varía entre 4,5 y 5,5 cSt. 

Transparencia, brillo y color

Estas propiedades se establecen mediante ensayos regulados por normas específicas. 

Corrosión

El ensayo se lleva a cabo midiendo el tiempo que tarda el combustible en atacar una tira de cobre o plata o bien también mediante ensayos regulados por normas específicas. Punto de inflamación

Se mide en °C. Representa la temperatura mínima que requiere el combustible para arder en presencia de aire atmosférico. 

Índice de cetano (gasóleo) e índice de octano (gasolinas) En el capítulo 14, al introducir los motores de combustión interna, se han mencionado estos índices que hacen referencia a la calidad de la combustión de un 275

Ingeniería térmica gasóleo (correcto adelanto del encendido) y de una gasolina (resistencia a la detonación). 

Contenido en azufre, plomo y residuos

Como su nombre indica, esta propiedad simplemente determina el contenido del combustible en estos elementos, tan importantes en temas de contaminación ambiental.

17.3.4 

Propiedades específicas de los combustibles gaseosos

Densidad relativa Además de la densidad absoluta, en los combustibles gaseosos se utiliza la densidad relativa ρr: 𝜌𝜌 𝜌𝜌𝑟𝑟 = 𝜌𝜌𝑎𝑎 (485)

siendo ρ la densidad absoluta del gas y ρa la del aire.

Si la composición de un gas de n componentes se da mediante fracciones molares xi, la densidad relativa del gas es: 𝑖𝑖=𝑛𝑛

(486)

𝜌𝜌𝑟𝑟 = � 𝜌𝜌𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑖𝑖=1

donde ρri es la densidad relativa del componente i. 

Límites de inflamabilidad

Esta propiedad establece las proporciones de gas y aire necesarias para que se produzca la combustión mediante un límite inferior y un límite superior. La tabla 17.3 proporciona los límites de inflamabilidad de algunos gases. Para más información el lector puede acudir a [1], [2]. Tabla 17.3 Gas

276

Límites de inflamabilidad % en volumen de gas

Hidrógeno

4,0

75,0

Metano

5,0

15,0

Etano

3,2

12,5

Propano

2,4

9,5

Isobutano

1,8

8,4

n-butano

1,9

8,4

Combustibles Cuando se trata de una mezcla de gases, se utiliza la ecuación de Le ChatelierCoward: 1 L = i=n (487) ∑i=1 Li xi

siendo Li el límite de inflamabilidad de cada componente de la mezcla. La ecuación (487) se aplica tanto para determinar el límite inferior como el superior. 

Punto de inflamación

Para que se produzca la reacción de combustión, se ha de alcanzar una temperatura mínima denominada punto de inflamación. La tabla 17.4 proporciona puntos de inflamación en aire y oxígeno de algunos gases.

Tabla 17.4 Gas



Punto de inflamación °C En aire

En O2

Hidrógeno

570

560

Metano

580

535

Propano

480

470

n-butano

420

280

n-pentano

310

260

Monóxido de carbono

610

590

Índice de Bacharach El índice de Bacharach hace referencia a la opacidad de los humos que, a su vez, depende de la cantidad de partículas sólidas que éstos llevan en suspensión. En general, estas partículas son de hollín. Una combustión con humo prácticamente transparente tiene un índice de Bacharach 1, una combustión muy pobre con humos de gran opacidad tiene un índice 6. El índice de Bacharach se cuantifica de 1 a 6. La tabla 17.5 establece con qué criterios [3]. Tabla 17.5 - Índice de Bacharach Índice de Bacharach 1 2

Características de la combustión Prácticamente no hay hollín Presencia de hollín en cantidades muy pequeñas

277

Ingeniería térmica Índice de Bacharach 3 4 5 6 

Características de la combustión Hay hollín pero no tanto que requiera más de una limpieza anual El humo es visible Combustión muy pobre. Exige más de una limpieza al año

Combustión pobrísima

Intercambiabilidad de los gases

Los gases combustibles, en general, no se pueden intercambiar en los quemadores. El quemador de un homo, de una mufla o de cualquier cámara de combustión regula la relación aire combustible, así como la velocidad de salida del gas, para que la combustión se lleve a cabo satisfactoriamente. Sin embargo, hay algunas excepciones; el tema de la intercambiabilidad es complejo y los expertos la ponen de manifiesto mediante unos índices que comentaremos en lo que sigue. Una combustión insatisfactoria, puede presentar los siguientes problemas: 

Retorno de llama. La velocidad de salida del gas es inferior a la velocidad de



propagación de la llama. Así, ésta puede retroceder con el consiguiente peligro de calentamiento de zonas que no están preparadas para la combustión. Desprendimiento de llama. La velocidad de salida del gas es superior a la velocidad de propagación de la llama. Ésta se aleja del quemador y por tanto se puede producir en un lugar no deseado.

Figura 17.1- Representación de los estados correspondientes a un funcionamiento satisfactorio

278

Combustibles 

Combustión no completa. Es consecuencia de que se aporta menos aire del

necesario para una combustión completa. Al margen de que la combustión tiene propiedades diferentes, pues es una combustión reductora, se produce monóxido de carbono, un gas letal aun respirado en pequeñas proporciones. Tal como establece la normativa vigente, se considera una combustión no completa cuando los gases contienen más de 0,1% de monóxido de carbono. Las condiciones satisfactorias de una combustión se plasman en un diagrama (véase la figura 17.1) que utiliza como ejes el índice de Wobbe y el potencial de combustión. La zona geométrica del mismo en la cual no se produce desprendimiento de llama, ni retomo de llama, ni combustión incompleta es la de funcionamiento correcto. Cuando un gas puede ser sustituido por otro en un quemador, sin ninguna clase de ajuste, se dice que ambos gases son intercambiables. Para medir esta propiedad, se establecen dos parámetros, el índice de Wobbe y el potencial de combustión. El índice de Wobbe W es: W=

PCS

1/2

ρr

(488)

siendo PCS el poder calorífico superior del gas y su densidad relativa. El potencial de combustión es un índice de naturaleza empírica relacionado con la velocidad de combustión del gas. Se expresa de forma diferente [1] para las distintas familias de gases. Dos gases son intercambiables cuando tienen el mismo potencial de combustión y el mismo índice de Wobbe.

17.4 Temas de ampliación El estudio en profundidad de los combustibles fósiles sobrepasaría los límites de esta obra. El lector puede encontrar abundante información en la bibliografía indicada al final de este capítulo. También podríamos considerar ciertos combustibles orgánicos de origen no fósil y un combustible muy especial, el metano, que se produce en la descomposición de determinados residuos orgánicos y que constituye una fuente energética denominada biomasa. Hoy día es muy importante el tema de los biocombustibles; se trata de combustibles obtenidos directamente de una fuente vegetal, aunque emitan CO2 al quemarse se supone que los vegetales de los que proceden lo han absorbido de la atmósfera en la función de la fotosíntesis, por lo que se les considera neutros desde este punto de vista. Otro combustible de moda es el hidrógeno, que no se encuentra libre en la naturaleza, por lo que hay que obtenerlo a partir de las sustancias que lo contienen. Esto hace del hidrógeno un vector energético, nunca un recurso energético [5]. 279

Ingeniería térmica

Bibliografía [1] Miranda, A.L., Oliver, R. La combustión. Ediciones CEAC, Barcelona, 1996. [2] Lorenzo Becco, J.L. Los GLP. Los gases licuados del petróleo. Repsol-Butano, Madrid, 1990. [3] Molina, L.A., Molina, G. Manual de eficiencia energética técnica en la industria. CADEM, Bilbao, 1984. [4] Camps, M., Hernández, F. Los biocombustibles. Mundi-Prensa. Madrid, 2006. [5] Aguer, M., Miranda, A. L. El hidrógeno. Fundamento de un futuro equilibrado. Diaz de Santos. Madrid, 2007.

280

Capítulo 18

BALANCE DE MASAS DE LA COMBUSTIÓN 18.1 Introducción La combustión de cualquier combustible es una reacción química compleja. En mayor o menor proporción se producen óxidos de nitrógeno y productos de combustión parcialmente oxidados, incluso con exceso de aire, como el CO (monóxido de carbono). Si se desea estudiar, por ejemplo, la producción de óxidos de nitrógeno, se ha de plantear la reacción de combustión con toda su complejidad. Sin embargo, en ocasiones, basta un análisis simple de la combustión. Definamos, previamente, algunos conceptos fundamentales. 

Reacción de combustión completa. Es aquélla en la que todos los productos de la

combustión están presentes en el mayor grado posible de oxidación en una reacción de combustión. Esta matización es importante porque en los óxidos de azufre, por ejemplo, "el de mayor grado" de oxidación es el SO3 y, sin embargo, "el mayor grado que se puede obtener de una combustión" es el SO2. 

Reacción de combustión estequiométrica. Es la reacción completa con el aire mínimo



Reacción de combustión completa con exceso de aire. Como su nombre indica, se trata de

necesario. una combustión completa en la que hay más aire que el mínimo necesario. 

Reacción de combustión con defecto de aire. Es una combustión en la que se utiliza una

cantidad de aire menor que el mínimo para la reacción completa. Necesariamente es una reacción incompleta, puesto que de ella se obtienen productos con un grado de oxidación menor que el máximo o, incluso, suele presentar una fracción de combustible sin quemar. En este caso, se dice que en los humos hay inquemados.

18.2 Aire técnico de la combustión

Consideremos que la reacción de combustión se lleva a cabo con aire atmosférico y que éste, para simplificar los cálculos, tiene 21% de O2 y 79% de N2 en volumen. 281

Ingeniería térmica Se ignoran el vapor de agua y el dióxido de carbono que hay en el aire. Este aire de composición constante y simplificada se denomina aire técnico de la combustión (ATC). La masa molecular aparente del ATC es; Ma = 0,21 MO2 + 0,79 MN2 == 0,21 · 32,000 + 0,79 · 28,016 = 28,85 kg/kmol Las principales equivalencias aire-oxígeno y aire-nitrógeno se obtienen de las siguientes proporciones, 1 kmol de aire contiene 0,21 kmol de oxígeno y 0,79 kmol de nitrógeno. 4,762 kmol de aire contiene 1 kmol de oxígeno y 3,762 kmol de nitrógeno.

18.3 Parámetros fundamentales del balance de masas de una combustión En general, un combustible está constituido por una mezcla de diferentes componentes, no todos ellos combustibles. Es preciso expresar la composición del combustible indicando la concentración de cada componente. Si el combustible es gaseoso, se suele emplear la fracción molar x; xi indica la fracción molar del componente i. Se cumple: 𝑛𝑛

siendo n el número de componentes.

� 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖=1

(489)

Si el combustible es líquido o sólido, se suele emplear la fracción másica m; mi indica la fracción másica del componente i. Se cumple: 𝑛𝑛

Parámetros fundamentales (*): λo λo λa λa λh

� 𝑚𝑚𝑖𝑖 = 1

(489)

𝑖𝑖=1

relación oxígeno-combustible en kmol O2/(kmol combustible); relación oxígeno-combustible en kg O2/(kg combustible); relación aire-combustible en kmol aire/(kmol combustible); relación aire-combustible en kg aire/(kg combustible); relación humos húmedos-combustible en kmol humos húmedos/(kmol combustible);

λae relación aire-combustible estequiométrica o bien la cantidad mínima necesaria para que se produzca la reacción completa; λar relación aire-combustible real; σa

coeficiente de exceso de aire, σa = λar/ λae;

(*) Se han indicado los valores expresados en moles con una raya encima.

282

Balance de masas de la combustión λhh relación humos húmedos-combustible en kg humos húmedos/(kg combustible); λ1,5 relación humos secos-combustible en kmol humos secos/(kmol combustible); λhs relación humos secos-combustible en kg humos secos/(kg combustible); Mi masa molecular del componente i en kg/kmol; Mc masa molecular del combustible en kg/kmol. 𝑛𝑛

(491)

𝑀𝑀𝑐𝑐 = � 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑖𝑖 𝑖𝑖=1

La tabla 18.1 indica las masas moleculares de las sustancias más usuales en las relaciones de combustión junto con la reacción de combustión. La relación entre la fracción molar y la fracción másica de un componente i es: 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑚𝑚𝑖𝑖

𝑀𝑀𝑐𝑐 𝑀𝑀𝑖𝑖

(492)

La masa molecular media aparente de los humos húmedos Mhh en kg hh/(kmol hh) se obtiene de la composición de los humos húmedos, expresada la de cada componente en fracción molar xj: 𝑚𝑚 (493) 𝑀𝑀ℎℎ = � 𝑥𝑥𝑗𝑗 𝑀𝑀𝑗𝑗 𝑗𝑗=1

siendo m el número de componentes de los humos húmedos. Tabla 18.1 Fórmula

Masa molecular (kg/kmol)

Hidrógeno

H2

2,016

Oxígeno

O2

32,000

-

Nitrógeno

N2

28,016

-

Carbono

C

12,011

C + O2 = CO2

Sustancia

Azufre

Reacción química de combustión H2 +

1/2

O2 = H2O

S

32,07

S + O2 = SO2

Monóxido de carbono

CO

28,011

CO +1/2 O2 = CO2

Bióxido de carbono

CO2

44,011

-

Bióxido de azufre

SO2

64,07

Sulfuro de hidrógeno

H2S

34,09

Agua

H2O

18,016

-

CnHm

12,011 n +

CnHm +(2n+m/2) O2 =

1,008 m

n CO +(m/2) H2O

Hidrocarburo

H2S +

3/2

O2 = SO2 +H2O

283

Ingeniería térmica La masa molecular media aparente de los humos secos Mhs en kg hs/(kmol hs) se obtiene de la composición de los humos secos, expresada la de cada componente en fracción molar xk: 𝑚𝑚−1

𝑀𝑀ℎ𝑠𝑠 = � 𝑥𝑥𝑘𝑘 𝑀𝑀𝑘𝑘

(494)

𝑘𝑘=1

obsérvese que los humos secos tienen un componente menos.

18.4 Balance de masas de la reacción de combustión completa de un combustible gaseoso El balance de masas de un combustible gaseoso se lleva a cabo mediante cálculos que giran en tomo a la reacción química de combustión. Si ésta se plantea de forma general para todo el combustible, puede resultar una operación muy tediosa debido a que el gas tendrá, probablemente, varios componentes. Es preferible efectuar los cálculos a partir de una tabla normalizada en la cual se disponen los componentes en columna y las reacciones y operaciones en filas. Se expone un ejemplo de cálculo a continuación.

Ejemplo n° 50 Efectuar el balance de masas de un gas manufacturado cuya composición molar es, CH4, 0,38; C2H4, 0,08; H2, 0,48; CO2, 0,02; N2, 0,02; O2, 0,02. Considérese la reacción estequiométrica. La masa molecular del gas se obtiene de (491): Mg = ∑𝒎𝒎 𝒊𝒊=𝟏𝟏 𝒙𝒙𝒊𝒊 Mi = 0,38 · 16 + 0,08 · 28 + 0,48 · 2 + 0,02 · 44 + 0,02 · 28 + 0,02 · 32 = = 11,36 kg/kmol

Tabla 18.2

284

Balance de masas de la combustión Obsérvese que se han redondeado las masas moleculares de cada elemento. En el análisis de una reacción de combustión completa no hace falta más exactitud. Los cálculos se desarrollan en las tablas 18.2 y 18.3. La relación molar oxígeno-combustible es, λo = 1,22 kmolO2/kmolcomb La relación aire-combustible: λa = 4,762 λo = 4,762 · 1,22 = 5,810 kmolaire/kmolcomb La misma relación en kg: 𝜆𝜆𝑎𝑎 = 𝜆𝜆̅𝑎𝑎

𝑀𝑀𝑎𝑎 28,85 = 5,81 = 14,750 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 /𝑘𝑘𝑘𝑘𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑀𝑀𝑔𝑔 11,36 Tabla 18.3

Componentes de los humos

Procedente de la Procedente combustión del gas

CO2

0,54

H2O

1,40

N2

Procedente del aire

0,02

0,02

1,22·3,762= 4,59

La masa molecular de los humos húmedos (hh) es:

∑

xj

0,56

0,09

1,40

0,21

4,61

0,70

𝜆𝜆̅hh =6.57

∑=1,00

Mhh = ∑𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 𝑥𝑥𝑗𝑗 Mj =0,09 · 44 + 0,21 · 18 + 0,70 · 28 = 27,34 kghh/kmolhh

La relación molar humos-combustible es 6,57 kmolhh /kmolcomb La misma relación en kg: 𝑀𝑀ℎℎ 27,34 𝜆𝜆ℎℎ = 𝜆𝜆̅ℎℎ = 6,57 = 15,81 𝑘𝑘𝑘𝑘ℎℎ /𝑘𝑘𝑘𝑘𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑀𝑀𝑔𝑔 11,36

18.5 Balance de masas de la reacción de combustión completa de un combustible sólido o líquido Fundamentalmente, se han de hacer los mismos cálculos que los expuestos en el apartado anterior. Sin embargo, en combustibles sólidos o líquidos, la composición se da en fracción másica elemental y, además, puede haber sustancias no combustibles 285

Ingeniería térmica (cenizas) que hacen la mecánica operativa de cálculo algo distinta. Por tanto, es aconsejable plantear el balance de forma independiente. Los cálculos se exponen en las tablas 18.4 y 18.5 del ejemplo siguiente.

Ejemplo n° 51 Efectuar el balance de masas de un lignito cuya composición elemental, en fracción másica, es, C, 0,607; H, 0,049; S, 0,009; O, 0,155; N, 0,012; H2O, 0,101; cenizas, 0,067. Considérese la reacción estequiométrica. La fracción molar equivalente de los componentes del lignito se ha obtenido de la siguiente forma: Mlig mi xi = 1 − mcenizas Mi Tabla 18.4

Para el C: 𝑥𝑥𝐶𝐶 =

0,607 𝑀𝑀𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 5,984 · 10−3 𝑀𝑀𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 1 − 0,607 12

donde Mlig sc es la masa molecular del lignito sin cenizas (sc), expresada en: kggnito sc/(kmollignito sc) Análogamente para los demás. La masa molecular del lignito se puede obtener de: xc + xH + xQ + xN + xg + xH2O = 1 Es decir de:

286

Balance de masas de la combustión 6

6

𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

� 𝑥𝑥𝑖𝑖 = �

𝑀𝑀𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑖𝑖 =1 1 − 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑀𝑀𝑖𝑖

de donde resulta Mlig = 10,81 kglignitosc/(kmollignito sc) Tabla 18.5 Componentes de los humos

Procedente de la combustión

CO2

0,5861

H2O

0,2839

SO2

0,0033

N2

Procedente del gas

Procedente del aire

0,0650 0,0050

0,675•3,762=2,539

∑

Xj

0,5861

0,168

0,3489

0,100

0,0033

0,001

2,5440

0,731

λhh=3,4823 ∑=1,00

La cantidad de nitrógeno procedente del aire se obtiene de la relación molar oxígeno combustible λo, que se obtiene de la siguiente forma: 𝜆𝜆̅𝑜𝑜 = 𝜆𝜆𝑜𝑜

𝑀𝑀𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 1 1 10,81 = 1,865 = 0,675 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑂𝑂2 / 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑠𝑠 1 − 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑀𝑀𝑂𝑂2 0,933 32

La masa molecular de los humos húmedos (hh) es: 𝑚𝑚

𝑀𝑀ℎℎ = � 𝑥𝑥𝑗𝑗 𝑀𝑀𝑗𝑗 = 0,168 · 44 + 0,1 · 18 + 0,001 · 64 + 0,731 · 28 𝑗𝑗=1

= 29,72 𝑘𝑘𝑘𝑘ℎℎ /𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘ℎℎ

La relación molar humos-combustible 𝜆𝜆̅ hh, es 3,4823 kmolhh/kmollignito La misma relación en kg: 𝑀𝑀ℎℎ 29,72 𝜆𝜆ℎℎ = 𝜆𝜆̅ℎℎ = 3,4823 = 9,565 𝑘𝑘𝑘𝑘ℎℎ /𝑘𝑘𝑘𝑘𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑀𝑀𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 10,82

18.6 Temas de ampliación

En este capítulo, se ha estudiado únicamente la combustión completa que, por otra parte, es la más habitual en Ingeniería. Un estudio más profundo de la combustión comprendería el análisis de las combustiones incompletas, fundamentalemente las llamadas combustiones de Ostwald y de Kissel, así como el estudio de los diagramas triangulares de la combustión [1],[2],[3], La combustión de Ostwald es la que sólo produce CO en los humos. La de Kissel CO e H2. El diagrama triangular de una combus287

Ingeniería térmica tión es la representación gráfica de diversas características de la combustión; por ejemplo, la concentración de CO en los humos y la concentración de oxígeno. Este diagrama suele presentar la concentración de CO2 en ordenadas y la de O2 en abscisas.

Bibliografía [1] Miranda A.L., Oliver R. La combustión. Ediciones CEAC, Barcelona, 1996. [2] Manuales Técnicos y de Instrucción para la conservación de la Energía. Vol. I. Combustibles y su combustión. Centro de Estudios de la Energía, Madrid, 1983. [3] Keating E.L. Applied Combustion. Marcel Dekker, Inc. New York, 1993.

Capítulo 19

BALANCE DE ENERGÍAS DE LA COMBUSTIÓN 19.1 Introducción El balance de energías de la reacción de combustión tiene por objeto la determinación del calor de reacción. La reacción de combustión es exotérmica, es decir, desprende calor. Este calor desprendido es el calor de reacción que depende no sólo de las sustancias reaccionantes, combustible y aire u oxígeno, sino también del estado de las mismas y del de los productos. Este calor de reacción se expresa de diversas formas: Q, cantidad total de calor, en J, kj o MJ; Q, cantidad de calor por unidad de tiempo, en W o kW; q, cantidad de calor desprendido por kg de combustible, en kj/kg o MJ/kg. La reacción de combustión se puede indicar de forma simplificada como sigue: 1 kmol combustible + 𝜆𝜆̅ae aire = 𝜆𝜆̅hh productos

(495)

siendo 𝜆𝜆̅ae el aire mínimo necesario para la reacción completa y 𝜆𝜆̅hh la relación humos húmedos-combustible, ambos en kmols.

19.2 Balance energetico Supongamos que la reacción de combustión se lleva a cabo en un reactor (sistema abierto) sin producción de trabajo (véase la figura 19.1). Consideremos despreciables las variaciones de las energías cinética y potencial. El balance energético es: |Q|= HSR - HPR

(496)

donde HSR es la entalpia de todas las sustancias reaccionantes y HPR la de todos los productos de la reacción. El calor de reacción tiene signo termodinàmico negativo, no obstante, en (496) se ha tomado su valor absoluto. Así pues: 289

Ingeniería térmica

Figura 19.1 - Cámara de combustión abierta

Q = HPR- HSR

(497)

La determinación de la diferencia de entalpias HSR - HPR ofrece dificultades puesto que no se pueden emparejar diferencias referidas al mismo compuesto o elemento con el fin de que se anulen sus entalpias de referencia. En efecto, casi todas las sustancias reaccionantes desaparecen y se transforman en productos de la reacción. Para resolver este problema se establecen los siguientes criterios: a) La entalpia de referencia de los elementos estables O2, H2, N2, C y S es cero a 25 °C y 1 atm (1,012 bar). b) La entalpia de referencia de un compuesto en el mismo estado de referencia es su entalpia de formación, que se indicará por hF si está referida a un kilogramo de combustible o por hF si está referida al kmol de combustible. El superindice indica el estado estándar de referencia. La entalpia deformación se determina calculando el calor transferido en la reacción de formación del compuesto a partir de sus elementos en estado estable y a la temperatura de referencia. Por ejemplo, para el vapor de agua, la reacción de formación es, H2 + 1/2 O2 = H2Ovapor Recordemos que el H2 y el O2 han de entrar a 25 °C y 1 atm y el H2Ovapor ha de salir también del reactor a 25 °C y 1 atm. Dado que la reacción es exotérmica, se tendrá que extraer calor del reactor para que el vapor de agua resultante esté a 25 °C. En consecuencia, el signo termodinàmico de la entalpia de formación del vapor de agua es negativo, es -241,82 MJ/kmol. En la tabla 19.1 aparecen las entalpias de formación de algunas sustancias muy frecuentes en las reacciones de combustión. Tabla 19.1 Sustancia

290

Fórmula

h°F(MJ/kmol)

Vapor de agua

H2Ov

-241,8

Agua líquida

H2O1

-285,8

Monóxido de carbono

CO

-110,5

Dióxido de carbono

CO2

-393,5

Dióxido de azufre

SO2

-296,9

Balance de energías de la combustión Sustancia

Fórmula

h°F(MJ/kmol)

Sulfuro de hidrógeno

H2S

-20,70

Metano

CH4

-74,85

Etano

C2H6

-84,68

Propano

C3H8

-103,9

Butano

C4H,O

-126,2

Etileno

C2H4

52,28

Acetileno

C2H2

226,7

Si el compuesto que interviene en la reacción de combustión es gaseoso, su entalpia a la temperatura t y presión p es: ℎ�(𝑇𝑇, 𝑝𝑝) = ℎ�𝐹𝐹𝑜𝑜 + �

𝑇𝑇,𝑝𝑝

𝑇𝑇=298 𝐾𝐾,𝑝𝑝=1𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

V

(498)

𝑐𝑐𝑝𝑝 (𝑇𝑇, 𝑝𝑝)𝑑𝑑𝑑𝑑

si se adopta la aproximación gas ideal semiperfecto: ℎ�(𝑇𝑇) = ℎ�𝐹𝐹𝑜𝑜 + �

𝑇𝑇,𝑝𝑝

𝑇𝑇=298 𝐾𝐾,𝑝𝑝=1𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

(499)

𝑐𝑐̅𝑝𝑝 (𝑇𝑇)𝑑𝑑𝑑𝑑

aplicando ahora (497) de forma molar, se obtiene: 𝑚𝑚

𝑛𝑛

𝑇𝑇

𝑇𝑇

𝑞𝑞� = � 𝑛𝑛𝑗𝑗 (ℎ�𝐹𝐹𝑜𝑜 + � 𝑐𝑐̅𝑝𝑝 (𝑇𝑇)𝑑𝑑𝑑𝑑)𝑗𝑗 − � 𝑛𝑛𝑖𝑖 (ℎ�𝐹𝐹𝑜𝑜 + � 𝑐𝑐̅𝑝𝑝 (𝑇𝑇)𝑑𝑑𝑑𝑑)𝑖𝑖 𝑗𝑗=1

𝑇𝑇𝑇𝑇

(500)

𝑇𝑇𝑇𝑇

𝑗𝑗=1

El símbolo q, es el calor de reacción por kmol de combustible. En esta ecuación, los subíndices j e i representan un componente genérico de los productos y de las sustancias reaccionantes, respectivamente; m es el número de productos y n el de las sustancias reaccionantes; nj son los kmol de componente j en la reacción de combustión (productos), y ni son los kmol de componente i en la reacción de combustión (sustancias). Si los términos integrales se indican de forma más condensada con la notación ∆hj y ∆hj, respectivamente, se tiene: 𝑞𝑞� =

𝑚𝑚

� 𝑛𝑛𝑗𝑗 (ℎ�𝐹𝐹𝑜𝑜 𝑗𝑗=1

𝑛𝑛

(501)

+ Δℎ)𝑗𝑗 + � 𝑛𝑛𝑖𝑖 (ℎ�𝐹𝐹𝑜𝑜 + Δℎ)𝑖𝑖 𝑖𝑖=1

Para la reacción de combustión del C2H4:

C2H4 + 3O2 = 2CO2 + 2H2 O el calor de reacción por kmol de combustible se calcularía así: 𝑞𝑞� = 2�ℎ�𝐹𝐹𝑜𝑜 + Δℎ�𝑗𝑗 �𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2�ℎ�𝐹𝐹𝑜𝑜 + Δℎ�𝑗𝑗 �𝐻𝐻 2

2 𝑂𝑂

− �1�ℎ�𝐹𝐹𝑜𝑜 + Δℎ�𝑖𝑖 �𝐶𝐶𝐶𝐶4 + 3�ℎ�𝐹𝐹𝑜𝑜 + Δℎ�𝑖𝑖 �𝑂𝑂 �

Por otra parte, (501) se puede reescribir de la manera siguiente:

2

291

Ingeniería térmica 𝑚𝑚

𝑛𝑛

𝑚𝑚

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝑖𝑖=1

𝑗𝑗=1

𝑖𝑖=1

𝑚𝑚

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝑖𝑖=1

𝑜𝑜 𝑜𝑜 𝑞𝑞� = � 𝑛𝑛𝑗𝑗 ℎ�𝐹𝐹,𝑗𝑗 − � 𝑛𝑛𝑖𝑖 ℎ�𝐹𝐹,𝑖𝑖 + � 𝑛𝑛𝑗𝑗 Δ ℎ�𝑗𝑗 − � 𝑛𝑛𝑖𝑖 ���� Δℎ𝑖𝑖

(502)

Hay que señalar que ∆hj y ∆hi suelen ser poco importantes. Si consideramos que los productos se enfrían hasta la temperatura de referencia y las sustancias entran a la temperatura de referencia, estos términos son nulos. Entonces, el calor de reacción se representa por q0 y se denomina entalpia de combustión y sigue siendo negativa. Así pues: 𝑜𝑜 𝑜𝑜 𝑞𝑞� 0 = � 𝑛𝑛𝑗𝑗 ℎ�𝐹𝐹,𝑗𝑗 + � 𝑛𝑛𝑖𝑖 ℎ�𝐹𝐹,𝑖𝑖

(503)

El valor absoluto de la entalpia de combustión recibe el nombre de poder calorífico del combustible. Se distingue entre poder calorífico superior PCS y poder calorífico inferior PCI, según que se produzca o no la condensación del vapor de agua de los humos. La condensación del vapor de agua depende de la temperatura y de la concentración del mismo en los humos. Para que se produzca tal condensación, se ha de alcanzar la llamada temperatura de rodo del vapor de agua en los humos. Es difícil establecer las condiciones de esta condensación puesto que en cada caso tendremos un gas soporte diferente. Nos referimos como gas soporte a los humos secos. Esta temperatura de condensación del vapor de agua adquiere una importancia capital en el tema de la recuperación entálpica de los humos. Si se alcanza esta temperatura, el vapor de agua condensará y disolverá, en mayor o menor proporción, algunos componentes de los humos con lo cual el agua condensada puede ser àcida y de notable poder corrosivo. La tabla 19.2 facilita el poder calorífico de algunos combustibles. Los valores marcados con un asterisco son sólo orientativos porque el valor exacto, en cada caso, depende de la composición del combustible. Tabla 19.2 PCI MJ/kmol

PCS MJ/kmol

Hidróqeno

242,0

286,0

Metano

802,0

890,0

Etano

1426,5

1558,5

Propano

2045,1

2221,1

Butano

2659,8

2879,8

Etileno

1313,0

1401,0

Acetileno

1254,8

1298,8

Combustibles gaseosos

292

Balance de energías de la combustion ������ PCI MJ/kmol

������� PCS MJ/kmol

Gasóleo (*)

42,7

45,5

Fuel-oil (*)

40,8

43,3

Antracita

35,1

35,9

Liqnito

25,6

26,8

Madera seca

18,8

20,2

Combustibles líquidos y sólidos Gasolina (*)

*

43,3

46,5

estos valores son sólo orientativos porque el valor exacto, en cada caso, depende de la composición del combustible.

Ejemplo n° 52

Determinar el poder calorífico del combustible gaseoso utilizado en el ejemplo 50, cuya composición molar era, CH4, 0,38; C2H4, 0,08; H2, 0,48; CO2, 0,02; N2, 0,02 y O2, 0,02. Considérese la reacción estequiométrica y que el agua presente en los humos está en estado de vapor. Para calcular el poder calorífico utilizaremos la ecuación (503) y dispondremos los cálculos tal como se indica en las tablas 19.3 y 19.4. Tabla 19.3 0,38

� °FMJ/kmol h -74,85

� °FMJ/kmol ni h

C2H4

0,08

52,28

4,18

Sustancias reaccionantes

ni

CH4

-28,44

H2

0,48

0

0

CO2

0,02

-393,5

-7,87

N2

0,02

0

0

O2

0,02

0

0

aíre

5,81

0

0 ∑ = -32,13

La relación aire-combustible correspondiente al aire es = 5,810 kmolaire/kmolcomb. Tabla 19.4 Productos de la combustión

nI

� °F nl h

CO2

0,56

� °F MJ/kmol h -393,5

- 220,4

H2O

1,40

-241,8

- 338,5

N2

4,61

0

0 ∑ = - 558,9

293

Ingeniería térmica La entalpia de combustión del gas combustible es. 𝑚𝑚

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝑖𝑖=1

𝑜𝑜 𝑜𝑜 𝑞𝑞� = � 𝑛𝑛𝑗𝑗 ℎ�𝐹𝐹,𝑗𝑗 + � 𝑛𝑛𝑖𝑖 ℎ�𝐹𝐹,𝑖𝑖 = −558,9 − (−32,13) = −526,8 𝑀𝑀𝑀𝑀/𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 0

La masa molecular del gas era Mg = 11,36 kg/kmol, con lo que el poder calorífico inferior, expresado por unidad de masa, será. PCI = 526,8

1 = 46,37 MJ/kg 11,36

19.3 Temperatura adiabática de combustión La temperatura que alcanza la llama en una reacción de combustión es muy difícil de determinar por via teórica. Puede obtenerse con relativa facilidad la temperatura adiabática de combustión. Es la temperatura que alcanzarían los productos de la combustión si la reacción de combustión fuese adiabática. Esta temperatura siempre es superior a la real, por lo tanto, es una forma sencilla de obtener un valor límite para la temperatura real. En la figura 19.2, se muestra de forma cualitativa la variación de la entalpia de las sustancias y de los productos frente a la temperatura. Cuando Q = 0 obtenemos la temperatura adiabática. Si hacemos q = 0 en (502):

o bien:

𝑚𝑚

𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑚𝑚

𝑗𝑗=1

𝑖𝑖=1

𝑗𝑗=1

𝑖𝑖=1

𝑜𝑜 𝑜𝑜 𝑞𝑞� 0 = � 𝑛𝑛𝑖𝑖 ℎ�𝐹𝐹,𝑗𝑗 + � 𝑛𝑛𝑖𝑖 ℎ�𝐹𝐹,𝑖𝑖 = � 𝑛𝑛𝑖𝑖 Δℎ�𝑖𝑖 + � 𝑛𝑛𝑗𝑗 Δℎ�𝑗𝑗 𝑛𝑛

𝑚𝑚

𝑞𝑞� = � 𝑛𝑛𝑖𝑖 Δℎ�𝑖𝑖 + � 𝑛𝑛𝑗𝑗 Δℎ�𝑗𝑗

y referida al kg de combustible.

0

𝑖𝑖=1

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝑚𝑚

𝑞𝑞 0 = � 𝑛𝑛𝑖𝑖 Δℎ𝑖𝑖 + � 𝑛𝑛𝑗𝑗 Δℎ𝑗𝑗 𝑖𝑖=1

𝑗𝑗=1

(504)

(505)

Esta ecuación la aplicaremos a la siguiente reacción generalizada de combustión con los componentes referidos a 1 kg de combustible: 1kgcomb + λae maire = λhh mhh las variaciones de entalpia de (505) aplicadas a (506) valen: 𝑡𝑡𝑒𝑒

𝑡𝑡𝑒𝑒

Δℎ𝑖𝑖 = � 𝑐𝑐𝑝𝑝,𝑐𝑐 (𝑇𝑇)𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 𝜆𝜆𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑝𝑝,𝑎𝑎 (𝑇𝑇)𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡 𝑜𝑜

294

𝑡𝑡 𝑜𝑜

(506)

Balance de energías de la combustión

Figura 19.2 - Obtención gráfica de la temperatura de combustibles adiabática

Δℎ𝑗𝑗 = �

𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎

𝑡𝑡 0

λh,h cp,h (𝑇𝑇)𝑑𝑑𝑑𝑑

donde cp,c es el valor específico del combustible, cp,h el de los humos, y cp,a el del aire. Aceptando valores medios integrales para los calores específicos, podrá escribirse: Δℎ𝑖𝑖 = cp,c (𝑡𝑡𝑒𝑒 − 𝑡𝑡 𝑜𝑜 ) + λa,e cp,a (𝑡𝑡𝑒𝑒 − 𝑡𝑡 𝑜𝑜 ) Sustituyendo en (505) queda: 𝑞𝑞 𝑜𝑜 = cp,c (𝑡𝑡𝑒𝑒 − 𝑡𝑡 𝑜𝑜 ) + λa,e cp,a (𝑡𝑡𝑒𝑒 − 𝑡𝑡 𝑜𝑜 ) − 𝜆𝜆ℎℎ cp,h (𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑡𝑡 𝑜𝑜 )

(507)

Los dos primeros términos se pueden despreciar en un cálculo que no requiera gran exactitud. En consecuencia, queda: t ad = t o +

|qo | λhh cp,h

(508)

Ecuación que se ha de resolver por tanteo o de forma iterativa para despejar la temperatura de combustión adiabática. Esta misma ecuación se podría plantear de forma análoga con el calor de combustión, el calor específico y la relación humos húmedos combustible referidos al kmol de combustible.

295

Ingeniería térmica Para facilitar el cálculo de la temperatura adiabática, se suele recurrir al uso de unas tablas muy útiles [1], Éstas proporcionan, a diferentes temperaturas, los valores medios integrales de los calores específicos de los componentes más habituales de los humos. En el ejemplo que sigue, se ilustra la utilización de estas tablas. En la tabla 19.5 se incluye una pequeña muestra de las mismas. Los calores específicos se expresan en kJ/(kmol K) y son valores medios integrales entre 0 °C y t °C.

Ejemplo n° 53 Determinar la temperatura adiabática de combustión completa del CH4 con aire. La reacción de combustión es, CH4 + 2(O2 + 3,762 N2) = CO2 + 2H2O + 7,524 N2 Tabla 19.5 t(ºC)

cp,N2(del aire) kJ/(kmol K)

1.000

31,22

Cp,co2 (Kmol K) 49,57

cp,H2O kJ/(kmol K) 38,58

1.500

32,39

52,55

41,48

1.800

32,91

53,88

43,00

1.900

33,11

54,27

43,46

2.000

33,27

54,62

43,92

2.100

33,40

54,98

44,33

2.200

33,53

55,26

44,76

Sospechamos que la temperatura adiabática estará alrededor de los 2000 °C. Por tanto, tomaremos valores de los calores específicos a 1900, 2000 y 2100 °C. El calor específico medio ponderado de los humos se obtendrá a partir de. c�p,h =

1 · c�p (CO2 ) + 2 · c�p (H2 O) + 7,524 · c�p (N2 ) 10,524

que aplicado a las tres temperaturas da, a)

1.900 °C, cp,h = (1 · 54,27 + 2 · 43,46 + 7,524 · 33,11)/10,524 =37,09 kJ/(kmol K)

b)

2.000 °C, cp,h = (1 · 54,62 + 2 · 43,92 + 7,524 · 33,27)/10,524 =37,32 kJ/(kmol K)

c)

2.100 °C, cp,h = (1 · 54,98 + 2 · 44,33 + 7,524 · 33,40)/10,524 =37,53 kJ/(kmol K)

296

Balance de energías de la combustión En la tabla 19.2, se obtiene el poder calorífico inferior del metano, 802,0 MJ/kmol. Despejando el poder calorífico para cada supuesta temperatura adiabática, resulta. Δℎ𝑗𝑗 = 𝜆𝜆ℎℎ 𝑐𝑐𝑝𝑝,ℎ (𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑡𝑡 𝑜𝑜 )

|𝑞𝑞� 𝑜𝑜 | = (𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑡𝑡 𝑜𝑜 )𝜆𝜆ℎℎ c�p,h �

𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 𝑜𝑜

a)

1.900°C,

|qo| = 1.875 · 10,524 · 37,09 = 731.878 kJ/kmol

b)

2.000°C,

|qo| = 1.975 · 10,524 ·37,32 = 775.692 kJ/kmol

c)

2.100°C,

|qo| = 2.075 · 10,524 ·37,53 = 819.554 kJ/kmol

Estos resultados indican que la temperatura adiabática está comprendida entre 2.000 y 2.100 °C. Un cálculo muy exacto requeriría un procedimiento iterativo. En este caso, bastaría interpolar linealmente entre 2000 y 2100 °C con el valor correcto del poder calorífico: 2.000 − 2.100 2.000 − 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎 = 775,7 − 819,6 775,7 − 802,0 de donde se obtiene = 2.060 °C.

19.4 Temas de ampliación Para combustibles líquidos y sólidos es muy frecuente utilizar ecuaciones empíricas o bien ecuaciones que obtienen el poder calorífico inferior o superior en función de las fracciones másicas de los componentes elementales. Información de esta clase se puede encontrar en [2] y [3].

Bibliografía [1] Baehr H.D. Tratado Moderno de Termodinámica. José Montesó Editor, Barcelona, 1979. [2] Ministerio de Industria y Energía, Técnicas de Conservación Energética en la Industria, Madrid, 1982. [3] Molina, L.A. Molina, G. Manual de eficiencia energética técnica en la industria, CADEM, Bilbao, 1984.

297

Capítulo 20

GENERADORES DE VAPOR 20.1 Introducción Un generador de vapor es un equipo que consta de diferentes elementos destinados a la producción de vapor de agua o de cualquier otra clase de vapor a partir de su fase líquida. Estos elementos son el hogar o cámara de combustión, la caldera, los recalentadores de vapor, el economizador y el calentador de aire. En el hogar se produce la combustión de un combustible. La caldera es un intercambiador de calor en el que los gases de la combustión calientan la fase líquida hasta su transformación en vapor. La denominación "caldera" se ha vulgarizado y se utiliza frecuentemente para designar a todo el equipo e incluso a aquéllos que sólo producen agua caliente. El recalentador del vapor calienta el vapor saturado hasta el estado de vapor recalentado y, opcionalmente, el economizador precalienta el agua de alimentación de la caldera. En ciertas instalaciones de vapor, los recalentadores se encargan de recalentar el vapor de extracción de las turbinas. Finalmente, el calentador de aire calienta el aire necesario para la combustión.

20.2 Clasificación Las calderas se clasifican en pirotubulares y acuotubulares. Las pirotubulares (véase la figura 20.1) son aquéllas en las que los humos de la combustión circulan por el interior de los tubos y el agua por el exterior. En general, se trata de calderas pequeñas con presiones inferiores a 20 bar. Las acuotubulares (véase la figura 20.2) son aquéllas en las que el agua circula por el interior de los tubos. Son las más comunes. Aparte de estos criterios de clasificación, existen otros que hacen innumerables las clases de calderas actualmente existentes. Por ejemplo, según el combustible utilizado, las calderas son de gas, de gasóleo o de carbón; según su posición, se habla de calderas de pie o murales; según la recuperación entálpica de los humos, se habla de calderas con o sin recuperación entálpica, etc. 299

Ingeniería térmica

20.3 Rendimientos de la caldera 20.3.1 Rendimiento instantáneo y rendimiento nominal En un generador de vapor, la potencia calorífica útil 𝑄𝑄𝑢𝑢̇ es la energía por unidad de tiempo empleada en transformar el agua líquida de alimentación en vapor. Se expresa como sigue: Q u̇ = ṁ v (hv − hw ) (509) Siendo ṁ v el caudal másico de vapor, la entalpia del vapor a la salida y la entalpia del agua líquida de alimentación.

En general, el caudal de vapor o vapor producido no es constante. Depende de las necesidades de la planta o central de vapor, aunque no es probable que esté sometido a fluctuaciones notables. La mayoría de los generadores de vapor tienen un punto de funcionamiento óptimo en el cual el rendimiento es máximo. La potencia calorifica útil, referida a estas condiciones óptimas de funcionamiento, es la potencia nominal Qn.

Figura 20.2 - Caldera compacta para fuel

300

Generadores de vapor La potencia aportada por el combustible Q̇ c es: Q ̇c = ṁ c PCI

(510)

siendo ṁ c el caudal másico de combustible y PCI el poder calorífico inferior.

El rendimiento instantáneo ηi establece la relación entre la potencia calorífica útil instantánea y la potencia calorífica aportada por el combustible. Así pues: 𝜂𝜂𝑖𝑖 = �

Q u̇ � Q ̇c

(511) 𝑖𝑖

donde el subíndice i hace referencia a valores instantáneos. El rendimiento nominal tiene una definición análoga pero utilizando la potencia calorífica nominal de la caldera: Q ṅ 𝜂𝜂𝑛𝑛 = Q ̇c (512)

Aplicando las definiciones de la potencia útil y de la potencia aportada, el rendimiento de la caldera puede expresarse: ṁ v (hv − hw ) (513) η= ṁ c PCI En (513) ya no hemos indicado con un subíndice si se trata de valores instantáneos o nominales. Deberá entenderse en el contexto.

20.3.2 Rendimiento estacional Cuando se desea calcular el consumo de combustible durante un período de tiempo determinado, no puede utilizarse el rendimiento instantáneo ni el nominal porque ninguno de los dos expresa el rendimiento medio de la caldera durante un período de tiempo. Para ello, se define el rendimiento estacional ηe: Q u̇ 𝜂𝜂𝑒𝑒 = (514) Q ̇c 𝑛𝑛𝑎𝑎

Donde Q̇ u es la energía útil de la caldera, generalmente en kWh, durante el período de tiempo considerado y na el número de horas de funcionamiento de la caldera durante el mismo período de tiempo. En el apartado 20.6 se amplía este concepto de rendimiento estacional.

301

Ingeniería térmica

20.4 Balance de masas y de energías

La figura 20.3 representa un esquema de un generador de vapor con indicación de las entradas y salidas de materia y energía. El balance de masas es: ṁ a + ṁ c = ṁ g

ṁ w = ṁ v

(515)

(516)

donde ṁ a es el caudal másico del aire de la combustión, mc, el de combustible, ṁ g el de los gases de combustión, ṁ w, el de agua líquida de alimentación y ṁ v el de vapor.

Si se producen pérdidas de agua y purgas para rebajar el contenido de sales en la caldera, la anterior relación no es exacta. En lo que sigue, se supone que (516) se cumple rigurosamente. Por su parte, el balance energético es: ṁ c PCI + ṁ c ha + ṁ w hw = ṁ g hg + ṁ v hv + Ṗ2 + Ṗ3

(517)

donde ha es la entalpia del aire a la entrada, la del agua de alimentación a la entrada, hg la de los gases de combustión a la salida, la del vapor a la salida, Ṗ 2 es la potencia calorífica perdida por convección y radiación y Ṗ 3 es una pérdida que tiene en cuenta combustiones incompletas y la producción de cenizas resultante de la combustión de líquidos y sólidos. La suma Ṗ 2 + Ṗ 3 recibe el nombre de pérdidas restantes. Se representan por Ṗ f. Ordenando términos en (517):

Figura 20.3 - Balance energético en torno al generador de vapor

302

Generadores de vapor mc PCI - Ṗ 2 - Ṗ 3 - (ṁ ghg - ṁ aha) = ṁ vhv - ṁ vhv

y dividiendo ambos miembros por mc PCI se obtiene: 1−

ṁ g hg − ṁ a ha ṁ v hv − ṁ w hw Ṗ2 Ṗ3 − − = ṁ c PCI ṁ c PCI ṁ c PCI ṁ c PCI

(518)

Cada uno de los sustraendos del primer miembro, es una pérdida unitaria (kW de pérdidas por kW de potencia aportada por el combustible) que se conviene en representar como sigue: Ṗ2 (519) 𝑝𝑝2 = ṁ c PCI 𝑝𝑝3 =

𝑝𝑝1 =

Ṗ3 ṁ c PCI

ṁ g hg − ṁ a ha ṁ c PCI

(520)

(521)

Esta última pérdida es la debida a los gases de la combustión. El segundo miembro de (518) es el rendimiento instantáneo. Así pues: (522) η i = 1 - p1 - p2 - p3 O bien:

η i = 1 - p1 - pf

(523)

Las pérdidas restantes son valores generalmente comprendidos entre 2,5 y 7,5%. Las pérdidas debidas a los gases de la combustión admiten una cierta simplificación si aceptamos que: ṁ g ≅ ṁ a con lo cual:

𝑝𝑝1 =

ṁ g 𝑐𝑐𝑝𝑝,𝑔𝑔 (t g − t a ) ṁ c PCI

y llamando G la relación gases de combustión-combustible: p1 =

G cp,g (t g − t a ) PCI

(524)

donde cp,g es el calor específico medio de los gases de combustión. Para estimar esta pérdida, se puede utilizar la fórmula de Sieggert [1]:

303

Ingeniería térmica p1 =

tg − ta K 100 [CO2 ] + [SO2 ]

(525)

siendo K una constante que depende de la clase de combustible (0,68 para la antracita, 0,56 para el fuel, 0,42 para gas natural con quemador atmosférico y 0,46 con quemador de tiro forzado) y [CO2] + [SO2] es la suma de las concentraciones en % en volumen del CO2 y del SO2 en los humos secos.

20.5 Recuperación entálpica de los humos Si se recupera parte de la entalpia de los humos y ésta se invierte en precalentar el agua de alimentación o el aire de la combustión, o ambos a la vez, el rendimiento de la caldera aumentará. Esto se puede apreciar en el ejemplo siguiente: supongamos que el rendimiento de una caldera sin recuperador es ηi1 y sea tg1 la temperatura de salida de humos: G cp,g (t g1 − t a ) ηi1 = 1 − 𝑝𝑝𝑓𝑓 − PCI (526)

con recuperador, el rendimiento es ηi2 y la temperatura final de salida de humos es tg2: ηi2 = 1 − 𝑝𝑝𝑓𝑓 −

G cp,g (t g2 − t a ) PCI

(527)

Admitamos que G y cpg sean iguales en ambas situaciones. Restando ambas ecuaciones se obtiene: G cp,g (t g1 − t g2 ) ηi2 − ηi1 = PCI (528)

Ahora, podemos hacer un cálculo estimativo del incremento de rendimiento, para una disminución prefijada de la temperatura de los humos. Sea ésta 20 °C, con unos valores estimados de G = 20 kg/kg, cpg = 1,23 kJ/(kgK) y PCI = 45.000 kJ/kg; Δ𝜂𝜂 =

20 · 1,23 · 20 ≈ 0,01 45.000

Es decir, por cada 20 °C que pueda bajar la temperatura de los humos tendremos, aproximadamente, un aumento de 1 punto en el rendimiento. La disminución de la temperatura de los humos, como consecuencia de la recuperación entálpica, tiene una limitación, la temperatura mínima de corrosión. Esta temperatura representa el límite inferior al que podemos llegar enfriando los humos en la recuperación. A esta temperatura, la condensación del vapor de agua puede producir corrosión del material, debido a la disolución de algunos gases en el agua líquida. Estas temperaturas están 304

Generadores de vapor bien establecidas en la bibliografía [1]. Por ejemplo, si el combustible es fuel, la temperatura mínima de corrosión para tubos de acero oscila entre 160 y 170 °C.

Ejemplo n° 54 Una caldera produce 430 kg/h de vapor recalentado a 3.000 kPa y 450 °C (hv = 3.344,6 kj/kg). El agua de alimentación entra a 25 °C (hw = 104,9 kj/kg) y el aire para la combustión a 23 °C. El rendimiento nominal de la caldera es 0,756. El PCI del combustible es 46.750 kJ/kg. Las pérdidas restantes son del 7,6%. La relación másica humos-combustible es 17,5. El calor específico a presión constante de los humos es 1,23 kj/(kg K) y el del agua 4,19 kj/(kg K). Determinar, a) el caudal de combustible y la temperatura de salida de los humos; b) si planeamos una recuperación entálpica para tener un aumento de 5 puntos del rendimiento, ¿cuál será la nueva temperatura de salida de los humos? Si la recuperación entálpica se emplea para precalentar el agua de alimentación, ¿cuál será la temperatura de salida del agua del precalentador? Para determinar el consumo de combustible utilizaremos la ecuación (513): 0,756 =

430(3344,6 − 104,9) ṁ c 46750

de donde se obtiene mc = 39,42 kg/h.

Para calcular la temperatura de los humos utilizaremos la ecuación (523) y (524): ηi = 1 − 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝𝑓𝑓 = 1 −

G cp,g (t g − t a ) − 𝑝𝑝𝑓𝑓 PCI

Figura 20.4 - Recuperación entálpica de los humos, aplicada al precalentamiento del agua

305

Ingeniería térmica Así pues, 0,756 = 1 −

de donde tg = 387,9 °C.

17,5 · 1,23�t g − 23� − 0,076 46.750

Si queremos aumentar el rendimiento 5 puntos plantearemos la ecuación anterior de la forma: 17,5 · 1,23�t′g − 23� 0,756 + 0,05 = 1 − − 0,076 46.750

siendo t'g la temperatura de los humos a la salida del recuperador (ver Fig. 20.4). Se obtiene t'g = 279,3 °C. En la figura 20.4 se ha representado un esquema de la instalación con recuperación aplicada a un precalentamiento del agua de alimentación. Un balance entálpico aplicado al recuperador nos permite establecer: ṁ w cw1 (tw2 - twl) = ṁ ´g cpg (tg - t'g)

donde es el caudal másico de agua que se considera igual al de vapor, cw1 el calor específico del agua líquida, tw2 la temperatura del agua a la salida del recuperador, tw1 la temperatura del agua a la entrada del recuperador, m'g el caudal másico de los humos, que será diferente al caso de no haber recuperador, puesto que el consumo de combustible será inferior, cpg el calor específico medio de los humos, tg la temperatura de entrada de los humos en el recuperador y t'g la temperatura de salida de los humos en el recuperador. El caudal másico de humos de combustible, m'c con el recuperador será: ṁ ′c =

𝜂𝜂 ṁ 𝜂𝜂′ c

siendo q el rendimiento sin recuperador y h' el rendimiento con recuperador. Aplicando los valores del ejemplo se obtiene: m′̇c =

0,756 39,42 = 36,97 0,756 + 0,05

y el caudal másico de humos: ṁ 'g = 17,5 - 36,97 = 646,98 kg/h

Sustituyendo valores en la ecuación del balance, se obtiene:

306

Generadores de vapor 430 · 4,19(tw2 - 25) = 646,98 · 1,23(387,9 - 279,3) de donde tw2 = 73,0 °C

20.6

Rendimiento estacional

La potencia útil de una caldera Q̇ u, se puede expresar en función de sus pérdidas. Consideremos un período de un año y que la caldera suministra energía a una instalación de calefacción: Q̇ u = Q̇ c na - Ṗ f n - Ṗ 1 na

(529)

siendo n las horas anuales de funcionamiento de la instalación y na las de funcionamiento de la caldera. Obsérvese que las pérdidas restantes se han multiplicado por las horas de funcionamiento de la instalación puesto que prosiguen, al menos en parte, con la caldera parada. Si sustituimos Q̇ u de (529) en (514) se obtiene: ηe = 1 − �

𝑃𝑃𝑓𝑓̇ 𝑛𝑛 𝑃𝑃1̇ � − 𝑄𝑄̇𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑄𝑄̇𝑐𝑐

(530)

donde el subíndice a del paréntesis hace referencia al periodo anual. Designando por Pfm la pérdida restante correspondiente al periodo considerado: pfm = (pfm )𝑎𝑎 y por p1 la pérdida correspondiente a los humos, podemos escribir: 𝑛𝑛 ηe = 1 − pfm − 𝑝𝑝1 𝑛𝑛𝑎𝑎

(531)

(532)

Designando por pf la pérdida unitaria restante en condiciones de funcionamiento nominal: 𝑃𝑃𝑓𝑓̇ pf = (533) 𝑄𝑄̇𝑐𝑐 La relación entre pf y pfm depende del número de paradas que efectúa la caldera durante el período de funcionamiento de la instalación. De forma orientativa suele tomarse pfm ≈ 0,75 pf, con lo cual (532) quedaría:

307

Ingeniería térmica ηe = 1 − 0,75pf

𝑛𝑛 − 𝑝𝑝1 𝑛𝑛𝑎𝑎

(534)

Una forma alternativa de calcular el consumo de combustible, también de forma aproximada, consiste en utilizar directamente la definición del rendimiento estacional y calcular el calor útil a partir del concepto de grados-día [2].

Ejemplo n° 55 Una caldera utiliza un combustible cuyo poder calorífico es 43.200 kj/kg. Las pérdidas nominales restantes son 0,045. Las horas anuales de funcionamiento de la instalación se estiman en 7.500 y las de funcionamiento de la caldera en 4.350. La temperatura de los humos es 450 °C y la del aire es 23 °C. La relación humos combustible, en kg, es 17,5 y el calor específico medio de los humos es 1,23 kj/(kg K). El consumo anual de combustible se ha estimado en 3.480 kg. Determinar el rendimiento estacional y la potencia útil media anual de la caldera. Las pérdidas debidas a los humos se calcularán a partir de la ecuación (524),

El rendimiento estacional a partir de (532): ηe = 1 − 0,75 · 0,045

7.500 − 0,2128 = 0,729 4.350

La energía útil aportada por la caldera es;

Q̇ u = ηe mc PCI = 0,7290 · 3.480 · 43.200 = 1,096 · 108 kJ

La potencia útil media anual de la caldera es; Q̇ u =

Qu 1.096 · 108 KJ = = 7,00 kW 3.600na 3.600 · 4350

20.7 Temas de ampliación Los generadores de vapor constituyen un elemento imprescindible en las centrales de vapor, el medio más expeditivo para obtener potencia. Muchos de los avances en este campo se encontrarán en la bibliografía propia de las centrales. Recordemos que caldera es una denominación genérica que tanto puede aplicarse a los generadores de vapor como a las calderas de agua caliente o de aceite. Al consultar la bibliografía habrá que tener cuidado con el uso de estos términos. En las calderas es muy importante el fenómeno de la transmisión de calor; el diseño de una caldera, tema que no se ha abor308

Generadores de vapor dado en esta obra, implica el conocimiento de los coeficientes de transmisión, tanto del lado de los humos como del flujo de agua hirviendo, siendo éste especialmente difícil de determinar. Por lo tanto, el estudio más detallado de las calderas implicará la consulta de textos relacionados con la transmisión de calor, especialmente el último citado en la bibliografía.

Bibliografía [1] Molina, L.A., Molina, G. Manual de la eficiencia energética técnica en la industria. CADEM, Bilbao, 1984. [2] Llorens, M. Calefacción. Grupo Editorial CEAC, Barcelona, 1994. [3] Kem, D. Procesos de transferencia de calor. México, CECSA, 1981. [4] Kakaç, S. Boilers, Evaporators & Condensers. John Wiley & Sons, Inc, New York

Apéndice A Propiedades termofísicas del agua

T

P

ρ1

K

ρv

m1·104

mv·104

kPa

3

kg/m

kg/m

280

0,99

1000,0

0,008

14,50

0,0829

285

1,39

1.000,0

0,011

12,50

290

1,92

999,0

0,014

295

2,62

998,0

300

3,54

305 310

k1

kg/(ms) kg/(ms) W/(m K)

hfg

σ

cpl

kJ/kg

N/m

0,5680

2.486,0

0,074800

4203

0,0849

0,5800

2.473,0

0,074250

4192

11,00

0,0869

0,5910

2.461,0

0,073700

4186

0,020

9,680

0,0889

0,6020

2,449,0

0,072700

4181

996,0

0,025

8,670

0,0909

0,6110

2.437,0

0,071700

4178

4,72

994,5

0,035

7,810

0,0929

0,6195

2.425,5

0,070850

4176

6,23

993,0

0,044

6,950

0,0949

0,6280

2.414,0

0,070000

4174

315

8,14

991,0

0,058

6,395

0,0969

0,6345

2.401,5

0,069150

4174

320

10,54

989,0

0,072

5,840

0,0989

0,6410

2.389,0

0,068300

4174

325

13,53

987,0

0,093

5,380

0,1010

0,6465

2.377,0

0,067450

4176

330

17,21

985,0

0,113

4,920

0,1030

0,6520

2.365,0

0,066600

4178

335

21,71

982,5

0,144

4,615

0,1050

0,6565

2.353,0

0,065750

4181

340

27,18

980,0

0,174

4,310

0,1070

0,6610

2,341,0

0,064900

4184

345

33,78

976,5

0,217

4,050

0,1090

0,6650

2.328,5

0,064050

4187

350

41,68

973,0

0,260

3,790

0,1110

0,6690

2,316,0

0,063200

4190

355

51,08

969,5

0,303

3,530

0,1130

0,6730

2,303,5

0,062350

4195

360

62,19

966,0

0,346

3,270

0,1150

0,6770

2.291,0

0,061500

4200

365

75,26

962,5

0,389

3,010

0,1170

0,6810

2.278,5

0,060650

4204

3

J/(kg K)

31

Ingeniería térmica

Apéndice B Propiedades termodinámicas del vapor de agua saturado T

P

V

u

h

s

ºC

kPa

m3/kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

0,01

0,612

206,12

2.374,2

2.500,2

9,1535

5

0,872

147,12

2.381,1

2.509,5

9,0232

10

1,228

106,40

2.388,1

2.518,8

8,8986

15

1,705

77,95

2.395,1

2.528,0

8,7795

20

2,339

57.82

2.402,0

2.537,2

8,6656

25

3,169

43,38

2.408,9

2.546,4

8,5566

30

4,246

32,92

2.415,8

2.555,6

8,4522

35

5,628

25,23

2.422,6

2.564,6

8,3521

40

7,383

19,54

2.429,4

2.573,7

8,2562

45

9,593

15,27

2.436,2

2,582,7

8,1641

50

12,350

12,04

2.442,9

2.591,6

8,0756

55

15,760

9,571

2.449,5

2.600,4

7,9906

60

19,944

7,691

2,456,0

2.609,1

7,9087

65

25,039

6,203

2.462,5

2.617,7

7,8300

70

31,198

5,045

2.468,9

2.626,2

7,7541

75

38,592

4,132

2.475,2

2.634,6

7,6810

80

47,412

3,411

2.481,4

2.642,9

7,6104

85

57,864

2,832

2.487,5

2.651,1

7,5423

90

70,180

2,358

2.659,1

7,4765

2.493.5

95

84,608

1,980

2.499,4

2.667,0

7,4129

100

101,4

1,671

2.505,2

2.674,8

7,3515

105

120,9

1,422

2.510,9

2.682,4

7,2920

110

143,4

1,209

2,516,5

2.689,9

7,2344

115

169,2

1,036

2.522,0

2.697,3

7,1787

120

198,7

0,8912

2.527,4

2.704,5

7,1247

125

232,3

0.7701

2.532,7

2.711,5

7,0723

(continúa)

312

Apéndices T

P

V

u

h

s

ºC

kPa

m /kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

130

270,3

0,6683

2.537,9

2.718,4

7,0215

135

313,3

0,5823

2.543,0

2,725,2

6,9722

140

361,6

0,5090

2.548,0

2.731,8

6,9242

145

415,7

0,4462

2.552,8

2.738,1

6,8776

150

476,2

0,3921

2.557,5

2.744,3

6,8322

155

543,5

0,3464

2.562,1

2.750,3

6,7880

160

618,3

0,3068

2.566,5

2.756,1

6,7449

165

701,0

0,2725

2.570,7

2.761,7

6,7027

170

792,2

0,2426

2.574,8

2.767,0

6,6615

175

892,7

0,2167

2.578,6

2.772,0

6,6211

180

1.003

0,1939

2.582,3

2,776,8

6,5815

185

1,124

0,1740

2.585,7

2.781,3

6,5425

190

1.255

0,1565

2.588,9

2.785,4

6,5042

195

1.399

0,1410

2.591,9

2,789,1

6,4664

200

1.555

0,1273

2.594,5

2,792,6

6,4291

205

1,724

0,1152

2.596,9

2.795,6

6,3922

210

1.908

0,1044

2.599,0

2.798,1

6,3557

215

2.106

0,0948

2.600,7

2.800,3

6,3194

220

2.320

0,0862

2.602,0

2.802,0

6,2833

225

2.550

0,0785

2.603,0

2.803,1

6,2474

230

2,798

0,0716

2.603,6

2,803,8

6,2115

235

3.064

0,0653

2.603,8

2.803,9

6,1757

240

3.348

0,0597

2.603,5

2.803,5

6,1399

245

3.653

0,0547

2.602,8

2.802,5

6,1041

250

3.978

0,0501

2.601,6

2.800,8

6,0681

255

4.325

0,0459

2.600,0

2.798,6

6,0320

260

4.695

0,0421

2.597,8

2.795,6

5,9957

265

5.089

0,0387

2.595,1

2.792,1

5,9592

270

5.507

0,0356

2.591,9

2.787,8

5,9224

275

5.951

0,0327

2.588,1

2.782,8

5,8853

280

6.422

0,0301

2.583,8

2.777,1

5,8480

285

6,920

0,0277

2.578,9

2.770,6

5,8102

290

7.448

0,0255

2.573,4

2.763,4

5,7722

295

8,005

0,0235

2.567,3

2,755,4

5,7337

3

(continúa)

313

Ingeniería térmica

314

T

P

V

u

h

s

ºC

kPa

m3/kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

300

8.594

0,0216

2.560,6

2.746,6

5,6949

305

9.215

0,0199

2.553,2

2.737,0

5,6556

310

9.869

0,0184

2.545,3

2.12b,b

5,6159

315

10.558

0,0169

2.536,6

2.715,4

5,5758

320

11.283

0,0156

2.527,4

2,703,4

5,5353

325

12.045

0,0144

2.517,4

2.690,5

5,4942

330

12.864

0,0130

2.498,7

2.665,5

5,4412

335

13.714

0,0118

2,482,8

2.645,2

5,3903

340

14.608

0,0108

2.464,6

2.622,1

5,3359

345

15.548

0,0098

2.443,5

2.595,4

5,2769

Apéndices

Apéndice C Propiedades del vapor de agua recalentado p =5 kPa t

V

u

h

s

ºC

m3/kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

32,88

28,2119

2.419,7

2.560,8

8,3941

90,00

31,6552

2.472,6

2.630,9

8,6103

130,00

35,3561

2.529,6

2.706,4

8,8185

170,00

39,0545

2,587,1

2.782,3

9,0071

210,00

42,7513

2.645,1

2.858,9

9,1799

250,00

46,4471

2.703,9

2.936,1

9,3399

290,00

50,1422

2.763,4

3.014,2

9,4892

330,00

53,8369

2.824,0

3.093,2

9,6295

370,00

57,5313

2.885,6

3.173,2

9,7623

410,00

61,2254

2,948,3

3.254,5

9,8887

450,00

64,9193

3.012,4

3.337,0

10,0096

490,00

68,6131

3.077,9

3.420,9

10,1257

P = 10 kPa t

V

u

h

s

ºC

m /kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

45,81

14,6847

2.437,3

2.584,1

8,1495

90,00

16,2771

2,486,4

2.649,2

8,3434

130,00

18,1308

2.543,7

2.725,0

8,5467

170,00

19,9820

2.601,3

2.801,1

8,7313

210,00

21,8319

2.659,6

2.877,9

8,9008

250,00

23,6809

2.718,6

2.955,4

9,0580

290,00

25,5293

2.778,4

3.033,7

9,2050

330,00

27,3772

2,839,2

3.113,0

9,3434

370,00

29,2249

2.901,1

3.193,3

9,4745

410,00

31,0723

2.964,2

3.274,9

9,5995

450,00

32,9196

3.028,6

3.357,8

9,7191

490,00

34,7667

3,094,4

3.442,1

9,8341

3

315

Ingeniería térmica p = 15 kPa t

V

u

h

s

ºC

m /kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

53,97

10,0299

2.448,1

2.598,6

8,0078

90,00

11,1524

2.500,3

2.667,6

8,2082

130,00

12,3898

2.557,8

2.743,6

8,4067

170,00

13,6252

2.615,6

2,820,0

8,5874

210,00

14,8592

2.674,1

2.897,0

8,7537

250,00

¡6,0925

2.733,3

2.974,7

8,9083

290,00

17,3252

2.793,4

3.053,3

9,0530

330,00

18,5575

2.854,5

3.132,8

9,1896

370,00

19,7896

2.916,7

3.213,5

9,3191

410,00

21,0214

2.980,1

3.295,4

9,4426

3.044,9

3.378,7

9,5611

3.111,1

3.463,4

9,6751

3

450,00 490,00

22,2531 23,4847

p = 50 kPa t ºC

V m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/(kgK)

81,32

3,2420

2.483,0

2.645,1

7,5922

170,00

3,7043

2.555,9

2,741,2

7,8465

220,00

4,1711

2.628,9

2.837,5

8,0718

270,00

4,6360

2.702,6

2.934,4

8,2748

320,00

5,1000

2.777,6

3.032,6

8,4608

370,00

5,5632

2.853,9

3.132,1

8,6330

420,00

6,0260

2.931,9

3.233,2

8,7942

470,00

6,4886

3.011,9

3.336,4

8,9463

520,00

6,9509

3.094,1

3.441,6

9,0910

570,00

7,4130

3.178,7

3.549,3

9,2294

620,00

7,8751

3.265,9

3.659,6

9,3627

670,00

8,3371

3.356,0

3.772,8

9,4916

p = 100 kPa

316

t

V

u

h

s

ºC

m3/kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

99,61

1,6943

2.504,8

2.674,2

7,3562

170,00

1,8904

2.568,0

2.757,0

7,5676

220,00

2,1260

2.641,9

2.854,5

7,7903

(continúa)

Apéndices

t

V

u

h

s

ºC

m3/kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

270,00

2,3599

2,716,2

2.952,2

7,9909

320,00

2,5928

2.791,7

3.051,0

8,1746

370,00

2,8251

2,868,6

3.151,1

8,3449

420,00

3,0571

2.947,2

3.252,9

8,5045

470,00

3,2887

3.027,7

3.356,5

8,6552

520,00

3,5202

3.110,4

3.462,4

8,7987

570,00

3,7515

3.195,5

3.570,7

8,9362

620,00

3,9827

3,283,4

3.681,6

9,0686

670,00

4,2138

3,374,1

3.795,5

9,1968

p = 150 kPa t

V

u

h

s

ºC

m3/kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

111,35

1,1593

2.518,0

2.691,9

7,2192

170,00

1,3183

2.595,4

2,793,1

7,4677

220,00

1,4762

2.670,0

2.891,4

7,6825

270,00

1,6327

2.745,1

2.990,0

7,8768

320,00

1,7884

2.821,4

3.089,6

8.0555

370,00

1,9436

2.899,1

3.190,6

8,2217

420,00

2,0985

2.978,5

3.293,3

8,3778

470,00

2,2531

3.060,0

3.398,0

8,5257

520,00

2,4076

3.143,8

3.504,9

8,6667

570,00

2,5619

3.230,0

3.614,3

8,8022

620,00

2,7161

3.319,0

3.726,4

8,9329

670,00

2,8703

3.411,0

3.841,6

9,0597

p = 200 kPa t

V

u

h

s kJ/(kgK)

ºC

m /kg

kJ/kg

kJ/kg

120,21

0,8855

2,527,7

2.704,8

7,1225

170,00

1,0090

2.608,3

2.810,1

7,3752

220,00

1,1281

2.683,5

2.909,1

7,5871

270,00

1,2460

2.759,2

3.008,4

7,7789

320,00

1,3631

2.835,9

3.108,6

7,9554

370,00

1,4798

2.914,1

3.210,1

8,1198

420,00

1,5961

2.994,1

3.313,3

8,2744

3

(continúa)

317

Ingeniería térmica t ºC

V m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/(kgK)

470,00

1,7122

3.076,1

3.418,6

8,4210

520,00 570,00

1,8282 1,9440

3.160,4 3.247,3

3.526,0 3.636,1

8,5610 8,6955

620,00 670,00

2,0597 2,1754

3.336,9 3.429,6

3,748,9 3.864,7

8,8255 8,9517

p = 500 kPa t

V

u

h

s

ºC

m3/kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

151,83

0,3748

2.559,2

2.746,6

6,8159

280,00

0,4252

2.643,2

2.855,9

7,0604

330,00

0,4744

2.721,4

2.958,6

7,2671

380,00

0,5225

2.799,4

3.060,7

7,4535

430,00

0,5701

2.878,2

3.163,3

7,6252

480,00

0,6173

2.958,3

3.267,0

7,7853

530,00

0,6642

3.040,1

3.372,2

7,9363

580,00

0,7110

3.124,0

3.479,5

8,0797

630,00

0,7576

3.210,2

3.589,0

8,2170

680,00

0,8042

3.299,0

3.701,1

8,3492

730,00

0,8506

3.390,7

3.816,0

8,4772

780,00

0,8970

3.485,5

3.934,0

8,6017

h

s

p = 1.000 kPa

318

t

V

u

ºC

m /kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

179,88

0,1945

2.582,2

2.776,7

6,5824

280,00

0,2171

2,658,9

2.876,0

6,7933

330,00

0,2429

2,741,4

2,984,3

7,0028

380,00

0,2678

2.822,2

3,090,0

7,1891

430,00

0,2921

2.903,3

3.195,3

7,3598

480,00

0,3161

2.985,3

3.301,4

7,5187

530,00

0,3399

3,068,9

3.408,8

7,6684

580,00

0,3635

3.154,4

3.517,9

7,8106

630,00

0,3870

3.242,2

3,629,2

7,9467

680,00

0,4104

3.332,6

3.743,0

8,0779

730,00

0,4338

3.425,9

3.859,7

8,2050

780,00

0,4571

3.522,3

3.979,4

8,3287

3

Apéndices p = 500 kPa t

v

u

h

s

ºC

m3/kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

280,00

0,1484

2.677,7

2.900,3

6,6641

330,00

0,1662

2.763,5

3.012,8

6,8737

380,00

0,1832

2.846,7

3.121,4

7,0588

430,00

0,1997

2.929,7

3.229,2

7,2279

480,00

0,2159

3.013,4

3,337,3

7,3852

530,00

0,2319

3.098,6

3.446,5

7,5333

580,00

0,2478

3.185,7

3.557,4

7,6742

630,00

0,2636

3.275,1

3.670,4

7,8091

680,00

0,2792

3.367,0

3.785,9

7,9392

730,00

0,2949

3.461,9

3.904,2

8,0654

780,00

0,3105

3.559,9

4.025,7

8,1884

p = 2.000 kPa t

v

u

h

s

ºC

m /kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

212,37

0,0997

2,599,8

2.799,2

6,3385

280,00

0,1145

2.699,2

2.928,2

6,5930

330,00

0,1282

2.787,4

3.043,7

6,8006

380,00

0,1411

2.872,6

3.154,7

6,9836

430,00

0,1536

2.957,2

3.264,5

7,1507

480,00

0,1659

3.042,6

3.374,4

7,3061

530,00

0,1780

3.129,3

3.485,3

7,4526

580,00

0,1900

3.217,9

3.597,9

7,5920

630,00

0,2019

3.308,7

3.712,5

7,7257

680,00

0,2137

3.402,2

3,829,7

7,8548

730,00

0,2255

3.498,7

3.949,6

7,9801

780,00

0,2372

3.598,3

4.072,8

8,1023

3

p = 2.500 kPa t

v

u

h

s

ºC

m /kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

223,94

0,0800

2.602,8

2.802,9

6,2550

280,00

0,0921

2.704,1

2.934,3

6,5089

330.00

0,1033

2.795,4

3,053,8

6,7199

3

319

Apéndices

t ºC

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/(kgK)

380,00

0,1139

2.882,5

3.167,3

6,9040

430,00

0,1241

2.968,7

3.278,9

7,0714

480,00

0,1340

3.055,3

3,390,3

7,2268

530,00

0,1438

3.143,1

3.502,6

7,3732

580,00

0,1535

3.232,7

3.616,3

7,5124

630,00

0,1630

3.324,5

3.732,1

7,6458

680,00

0,1725

3.419,0

3.850,3

7,7746

730,00

0,1820

3.516,3

3.971,3

7,8997

780,00

0,1914

3.616,9

4.095,4

8,0217

p = 3.000 kPa t

v

u

h

s

ºC

m3/kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

233,84

0,0667

2,603,8

2.803,9

6,1841

280,00

0,0772

2.710,0

2.941,7

6,4455

330,00

0,0869

2.804,1

3.064,8

6,6591

380,00

0,0958

2.893,0

3.180,5

6,8439

430,00

0,1044

2,980,6

3.293,9

7,0114

480,00

0,1128

3.068,3

3.406,8

7,1667

530,00

0,1210

3.157,2

3.520,3

7,3128

580,00

0,1291

3.247,8

3.635,2

7,4517

630,00

0,1371

3.340,6

3.752,0

7,5848

680,00

0,1451

3.436,0

3.871,2

7,7134

730,00

0,1530

3.534,2

3.993,2

7,8382

780,00

0,1609

3.635,8

4.118,4

7,9600

p = 4.000 kPa t

v

u

h

s kJ/(kgK)

ºC

m /kg

kJ/kg

kJ/kg

250,32

0,0498

2.601,5

2.800,7

6,0658

340,00

0,0589

2.724,9

2,960,7

6,3594

390,00

0,0665

2.823,6

3.089,6

6,5757

440,00

0,0734

2.915,6

3.209,2

6,7609

490,00

0,0800

3.005,6

3.325,6

6,9280

540,00

0,0864

3.095,6

3.441,0

7,0826

590,00

0,0926

3.186,4

3.556,8

7,2279

3

(continúa)

320

Apéndices t ºC

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/(kgK)

640,00

0,0987

3.278,9

3.673,8

7,3661

690,00

0,1048

3.373,5

3.792,7

7,4986

740,00

0,1108

3,470,7

3.913,9

7,6265

790,00

0,1168

3.570,8

4.037,9

7,7508

840,00

0,1227

3.674,2

4.165,1

7,8722

p = 5.000 kPa t

v

u

h

s

ºC

m3/kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

263,90

2.595,8

2.792,9

5,9672

340,00

0,0394 0,0468

2.721,3

2.955,4

6,2592

390,00

0,0532

2.826,1

3.092,2

6,4851

440,00

0,0589

2.921,6

3.216,3

6,6743

490,00

0,0643

3.013,9

3.335,6

6,8433

540,00

0,0695

3,105,7

3.453,4

6,9990

590,00

0,0746

3.198,2

3.571,2

7,1450

640,00

0,0796

3.292,0

3.689,9

7,2835

690,00

0,0845

3.387,9

3,810,3

7,4163

740,00

0,0893

3.486,3

3.932,9

7,5444

790,00

0,0941

3.587,6

4.058,3

7,6688

840,00

0,0989

3.692,1

4.186,6

7,7903

p = 6.000 kPa t

v

u

h

s

ºC

m3/kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

275,53

0,0324

2,587,7

2.782,2

5,8814

340,00

0,0388

2.719,0

2.952,1

6,1807

390,00

0,0444

2.829,7

3.096,2

6,4151

440,00

0,0493

2,928,3

3.224,4

6,6077

490,00

0,0539

3,023,0

3.346,6

6,7783

540,00

0,0583

3.116,5

3.466,6

6,9349

590,00

0,0626

3.210,4

3.586,2

7,0813

640,00

0,0668

3.305,6

3.706,5

7,2202

690,00

0,0709

3.402,8

3.828,4

7,3531

740,00

0,0750

3.502,4

3,952,4

7,4813

790,00

0,0790

3.604,8

4.079,0

7,6058

840,00

0,0830

3.710,4

4.208,6

7,7272

321

Apéndices p = 7.000 kPa t

v

u

h

s

ºC

m3/kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

285,77

0,0274

2.578,1

2.769,5

5,8044

340,00

0,0332

2.718,3

2.950,7

6,1182

390,00

0,0382

2.834,3

3.101,7

6,3598

440,00

0,0425

2,935,9

3.233,7

6,5552

490,00

0,0465

3.032,6

3.358,5

6,7271

540,00

0,0504

3.127,8

3.480,5

6,8843

590,00

0,054]

3.223,2

3.601,8

7,0311

640,00

0,0577

3.319,7

3.723,6

7,1701

690,00

0,0613

3.418,0

3.846,9

7,3031

740,00

0,0648

3.518,7

3.972,2

7,4314

790,00

0,0683

3.622,3

4,100,1

7,5559

840,00

0,0717

3.729,0

4.230,9

7,6773

p = 8.000 kPa

322

t

v

u

h

s

ºC

m /kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

294,95

0,0235

2.567,3

2.755,5

5,7341

340,00

0,0290

2.719,3

2.951,6

6,0684

390,00

0,0336

2.839,9

3.108,5

6,3156

440,00

0,0375

2.944,3

3.243,9

6,5132

490,00

0,0410

3.042,9

3,371,1

6,6861

540,00

0,0444

3.139,6

3,495,0

6,8437

590,00

0,0477

3.236,3

3.618,0

6,9907

640,00

0,0509

3.334,1

3.741,3

7,1298

690,00

0,0540

3.433,6

3.865,9

7,2629

740,00

0,0571

3.535,4

3.992,4

7,3911

790,00

0,0602

3.640,0

4,121,5

7,5156

840,00

0,0632

3.747,9

4,253,6

7,6371

3

Apéndices

Apéndice D Propiedades del agua, líquido saturado t

v·103

u

h

s

ºC

m3/kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

0,01

1,0002

0,01

0,0000

0,612

5

1,0001

20,87

0,0759

0,872

10

1,0004

42,02

0,1504

1,23

15

1,0009

63,08

0,2240

1,71

20

1,0018

83,87

0,2966

2,34

25

1,0029

104,92

0,3664

3,17

30

1,0042

125,82

0,4372

4,25

35

1,0059

146,60

0,5048

5,63

40

1,0078

167,61

0,5725

7,38

45

1,0098

188,51

0,6381

9,59

50

1,0122

209,30

0,7032

12,35

55

1,0145

230,31

0,7681

15,76

60

1,0171

251,23

0,8314

19,94

65

1,0198

272,21

0,8938

25,04

70

1,0228

292,91

0,9550

31,20

75

1,0257

313,84

1,0143

38,59

80

1,0293

334,87

1,0750

47,41

85

1,0321

355,94

1,1339

57,86

90

1,0358

376,84

1,1929

70,18

100

1,0431

419,12

1,3072

101,4

! 10

1,0521

461,25

1,4180

143,4

120

1,0600

503,64

1,5271

198,7

130

1,0701

546,34

1,6339

270,3

140

1,0799

589,18

1,7387

361,6

150

1,0903

632,51

1,8421

476,2

(continúa)

323

Ingeniería térmica

324

t

v·103

u

h

s

ºC

m3/kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

170

1,1 138

719,29

2,0407

792,2

180

1,1269

763,17

2,1387

1.003

190

1,1409

807,72

2,2350

1.255

200

1,1565

852,53

2,3313

1.555

210

1,1722

897,53

2,4240

1.908

220

1,1900

943,57

2,5159

2.320

230

1,2082

989,94

2,6104

2.798

240

1,2289

1.037,2

2,7021

3.348

250

1,2507

1.084,7

2,7932

3.978

260

1,2749

1.135,1

2,8843

4.695

270

1,3021

1.184,3

2,9748

5.507

280

1,3321

1.236,2

3,0671

6.422

290

1,3651

1.289,7

3,1589

7.448

300

1,4031

1.344,5

3,2530

8.594

320

1,4994

1.461,8

3,4487

11.283

340

1,6401

1.594,9

3,6599

14.608

360

1,8901

1.761,0

3,9112

18.674

374,15

3,154

2.084,0

4,4062

22.129

Apéndices

Apéndice E Propiedades del aire, gas ideal semiperfecto T K

h kJ/kg

Pr

u kJ/kg

Vr

s0 kJ/(kgK)

200

199,97

0,3363

142,56

1.707

1,29559

210

209,97

0,3987

149,69

1.512

1,34444

220

219,97

0,4690

156,82

1.346

1,39105

230

230,02

0,5477

164,00

1.205

1,43557

240

240,02

0,6355

171,13

1.084

1,47824

250

250,05

0,7329

178,28

979

1,51917

260

260,09

0,8405

185,45

887,8

1,55848

270

270,11

0,9590

192,60

808,0

1,59634

280

280,13

1,0889

199,75

738,0

1,63279

285

285,14

1,1584

203,33

706,1

1,65055

290

290,16

1,2311

206,91

676,1

1,66802

295

295,17

1,3068

210,49

647,9

1,68515

300

300,19

1,3860

214,07

621,2

1,70203

305

305,12

1,4686

217,67

596,0

1,71865

310

310,24

1,5546

221,25

572,3

1,73498

315

315,27

1,6442

224,85

549,8

1,75106

320

320,29

1,7375

228,42

528,6

1,76690

325

325,31

1,8345

232,02

508,4

1,78249

330

330,34

1,9352

235,61

489,4

1,79783

340

340,42

2,149

242,82

454,1

1,82790

350

350,49

2,179

250,02

422,2

1,85708

360

360,58

2,626

257,24

393,4

1,88543

370

370,67

2,892

264,46

367,2

1,9,131J

380

380,77

3,176

271,69

343,4

1,94001

390

390,88

3,481

278,93

321,5

1,96633

400

400,98

3,806

286,16

301,6

1,99194

325

Ingeniería térmica

T

h

Pr

u

Vr

kJ/kg

s0

K

kJ/kg

410

411,12

4,153

293,43

283,3

kJ/(kgK) 2,01691

420

421,26

4,522

300,69

266,6

2,04142

430

431,43

4,915

307,99

251,1

2,06533

440

441,61

5,332

315,30

236,8

2,08870

450

451,80

5,775

322,62

223,6

2,11161

460

462,02

6,245

329,97

211,4

2,13407

470

472,24

6,742

337,32

200,1

2,15604

480

482,49

7,268

344,70

189,5

2,17760

490

492,74

7,824

352,08

179,7

2,19876

500

503,02

8,412

359,49

170,6

2,21953

510

513,32

9,031

366,92

162,1

2,23993

520

523,63

9,684

374,36

154,1

2,25997

530

533,98

10,37

381,84

146,7

2,27968

540

544,35

11,10

389,34

139,8

2,29906

550

554,74

11,86

396,86

133,1

2,31809

560

565,17

12,66

404,42

127,2

2,33685

570

575,59

13,50

411,97

121,2

2,35532

580

586,04

14,38

419,55

115,7

2,37348

590

596,52

15,31

427,15

110,6

2,39141

600

607,02

16,28

434,78

105,8

2,40902

610

617,53

17,30

442,42

101,2

2,42643

620

628,07

18,36

450,09

96,92

2,44356

630

638,63

19,84

457,78

92,84

2,46047

640

649,22

20,64

465,50

89,00

2,47716

650

659,84

21,86

473,25

85,34

2,49364

660

670,47

23,13

481,01

81,89

2,50985

670

681,14

24,46

488,81

78,62

2,52588

680

691,82

25,85

496,62

75,50

2,54175

690

702,52

27,29

504,45

72,56

2,55732

700

713,27

28,80

512,33

69,76

2,57277

710

724,04

30,38

520,24

67,08

2,58811

720

734,82

32,02

528,15

64,53

2,60320

730

745,62

33,72

536,07

62,14

2,61803

740

756,44

35,52

544,03

59,82

2,63281

(continúa)

326

Apéndices T

h

Pr

u

Vr

K

kJ/kg

750

767,29

37,35

551,99

57,63

2,64737

760

778,18

39,27

560,01

55,54

2,66177

770

789,11

41,32

568,07

53,39

2,67596

780

800,03

43,35

576,12

51,64

2,69013

790

810,99

45,55

584,22

49,86

2,70403

800

821,95

47,75

592,30

48,08

2,71787

820

843,98

52,59

608,59

44,84

2,74504

840

866,08

57,60

624,95

41,85

2,77170

860

888,27

63,10

641,41

39,12

2,79783

880

910,56

68,98

657,95

36,61

2,82345

900

932,93

75,29

674,58

34,31

2,84856

920

955,38

82,05

691,28

32,18

2,87324

940

977,92

89,28

708,08

30,22

2,89748

960

1.000,55

97,02

725,03

28,40

2,92119

980

1.023,25

105,2

741,98

26,73

2,94468

1000

1.046,04

114,0

758,94

25,17

2,96771

1020

1.068,89

123,4

776,10

23,72

2,99034

1040

1.091,85

133,3

793,36

22,31

3,01260

1060

1.114,86

143,9

810,62

21,14

3,03450

1080

1.137,89

155,3

827,88

19,98

3,05608

1100

1.161,07

167,0

845,33

18,896

3,07732

1120

1.184,28

179,7

862,79

17,886

3,09825

1140

1.207,57

193,1

880,15

16,946

3,11884

1160

1.230,92

207,1

897,91

16,064

3,13916

1180

1.254,34

222,2

915,57

15,241

3,15917

1200

1.277,79

238,0

933,33

14,470

3,17888

1220

1.301,31

254,7

951,09

13,747

3,19835

1240

1.324,93

272,3

968,95

13,069

3,21751

1260

1.348,55

290,8

986,90

12,435

3,23639

1280

1.372,24

310,4

1.004,76

11,835

3,25512

1300

1.395,97

330,9

1.022,82

11,275

3,27346

1320

1.419,76

352,5

1.040,88

10,747

3,29161

1340

1.443,60

375,3

1.058,94

10,247

3,30960

1360

1.467,49

399,1

1.077,10

9,780

3,32724

kJ/kg

s0 kJ/(kgK)

327

Ingeniería térmica

328

T

h

Pr

u

Vr

K

kJ/kg

1380

1.491,44

424,2

1,095,26

9,337

3,14475

1400

1.515,42

450,5

1.113,52

8,919

3,36202

1420

1.539,44

478,0

1.131,77

8,526

3,37902

1440

1.563,51

506,9

1.150,13

8,153

3,39586

1460

1.587,64

537,1

1.168,49

7,801

3,41248

1480

1.611,79

568,8

1,186,95

7,468

3,42892

1500

1.635,97

601,9

1,205,42

7,153

3,44517

1520

1,660,23

636,5

1.223,87

6,854

3,46122

1540

1.684,52

672,8

1,242,43

6,569

3,47713

1560

1.708,82

710,5

1.280,99

6,302

3,49277

1580

1.733,17

750,1

1,279,65

6,046

3,50830

1600

1.757,57

791,2

1.298,30

5,804

3,52363

1620

1.782,01

834,1

1.316,96

5,574

3,53880

1640

1.806,47

878,9

1.335,72

5,355

3,55382

1660

1.830,96

925,6

1,354,48

5,147

3,56868

1680

1,855,51

974,2

1.373,24

4,949

3,58335

1700

1.880,1

1.025

1,392,7

4,762

3,5979

1750

1.941,6

1.162

1,439,8

4,328

3,6137

1800

2.003,3

1.311

1.487,2

3,944

3,6685

1850

2.065,3

1.475

1.534,9

3,602

3,7024

1900

2,127,4

1.655

1.582,6

3,295

3,7354

1950

2.189,7

1.852

1.630,6

3,023

3,7678

2000

2.252,1

2,068

1.678,7

2,776

3,7995

2050

2.314,6

2.303

1.726,8

2,555

3,8304

2100

2.377,4

2.559

1.775,3

2,356

3,8606

2150

2.440,3

2,837

1.823,8

2,175

3,8902

2200

2.503,2

3.138

1.872,4

2,013

3,9193

2250

2.566,4

3.464

1.921,2

1,864

3,9475

kJ/kg

s0 kJ/(kgK)

Apéndices

Apéndice F Propiedades termodinámicas del R-134a en estado de saturación (*)

p

T

ρl

ρv

hl

hv

hfg

bar

ºC

kg/m3

kg/m3

kJ/kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

Sl

Sv kJ/(kgK)

0,50

-40,44

1.415,56

2,71

147,2

373,3

226,1

0,7949

1,7664

1,00

-26,35

1,375,04

5,20

165,0

382,2

217,2

0,8683

1,7484

1,50

-17,13

1.347,44

7,62

176,9

387,9

211,0

0,9152

1,7395

2,00

-10,09

1.325,67

10,02

186,1

392,2

206,1

0,9504

1,7339

2,50

-4,30

1.307,33

12,40

193,8

395,7

201,9

0,9790

1,7301

3,00

0,65

1.291,25

14,78

200,4

398,6

198,2

1,0032

1,7272

3,50

5,00

1,276,80

17,15

206,3

401,2

194,9

1,0243

1,7249

4,00

8,90

1.263,59

19,53

211,6

403,4

191,8

1,0431

1,7230

4,50

12,44

1.251,34

21,91

216,5

405,4

188,9

1,0601

1,7215

5,00

15,70

1.239,87

24,31

221,0

407,2

186,2

1,0757

1,7202

5,50

18,71

1.229,04

26,71

225,3

408,9

183,6

1,0900

1,7190

6,00

21,53

1,218,75

29,13

229,3

410,4

181,1

1,1034

1,7180

6,50

24,17

1.208,93

31,57

233,0

411,8

178,7

1,1160

1,7171

7,00

26,67

1.199,49

34,02

236,6

413,1

176,4

1,1278

1,7163

7,50

29,03

1.190,41

36,49

240,1

414,3

174,2

1,1390

1,7155

8,00

31,28

1.181,62

38,98

243,3

415,4

172,0

1,1497

1,7148

8,50

33,43

1.173,10

41,49

246,5

416,4

169,9

1,1598

1,714!

9,00

35,48

1.164,81

44,02

249,5

417,4

167,9

1,1695

1,7134

9,50

37,45

1.156,73

46,57

252,5

418,3

165,8

1,1788

1,7127

10,00

39,34

1.148,84

49,15

255,3

419,2

163,9

1,1878

1,7121

10,50

41,16

1.141,12

51,76

258,1

420,0

161,9

1,1964

1,7115

11,00

42,92

1,133,55

54,39

260,8

420,7

160,0

1,2047

1,7109

11,50

44,62

1.126,12

57,05

263,4

421,4

158,1

1,2128

1,7103

12,00

46,27

1.118,81

59,74

265,9

422,1

156,2

1,2206

1,7096

12,50

47,87

1.111,61

62,46

268,4

422,7

154,4

1,2282

1,7090

329

Ingeniería térmica p

T

ρl

ρv

hl

hv

hfg

Sl

Sv

bar

ºC

kg/m3

kg/m3

kJ/(kgK)

kJ/kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

13,50

50,92

1.097,51

67,99

273,2

423,9

150,7

1,2427

1,7077

14,00

52,38

1.090,58

70,80

275,5

424,4

148,9

1,2496

1,7071

14,50

53,81

1.083,73

73,65

277,7

424,9

147,1

1,2564

1,7064

15,00

55,19

1.076,94

76,53

280,0

425,3

145,4

1,2630

1,7058

15,50

56,55

1.070,21

79,46

282,1

425,8

143,6

1,2695

1,7051

16,00

57,87

1.063,54

82,41

284,3

426,2

141,9

1,2758

1,7044

16,50

59,16

1.056,91

85,41

286,4

426,5

140,1

1,2819

1,7036

17,00

60,42

1,050,31

88,45

288,5

426,9

138,4

1,2880

1,7029

17,50

61,66

1.043,76

91,53

290,5

427,2

136,7

1,2939

1,7022

18,00

62,86

1.037,23

94,66

292,5

427,5

135,0

1,2997

1,7014

18,50

64,05

1.030,73

97,82

294,5

427,7

133,3

1,3054

1,7006

19,00

65,20

1,024,24

101,04

296,4

428,0

131,6

1,31 10

1,6998

19,50

66,34

1.017,77

104,30

298,3

428,2

129,9

1,3165

1,6990

20,00

67,45

1.011,30

107,62

300,2

428,4

128,2

1,3219

1,6982

20,50

68,55

1.004,84

110,98

302,1

428,6

126,5

1,3272

1,6973

21,00

69,62

998,38

114,40

303,9

428,7

124,8

1,3324

1,6964

21,50

70,67

991,91

117,88

305,8

428,8

123,1

1,3376

1,6955

22,00

71,71

985,43

121,41

307,6

428,9

121,4

1,3427

1,6946

22,50

72,73

978,94

125,01

309,4

429,0

119,7

1,3477

1,6937

23,00

73,73

972,43

128,67

311,1

429,1

118,0

1,3527

1,6927

23,50

74,71

965,89

132,40

312,9

429,1

116,2

1,3576

1,6917

24,00

75,68

959,32

136,20

314,7

429,2

114,5

1,3625

1,6907

24,50

76,63

952,72

140,07

316,4

429,2

112,8

1,3673

1,6897

25,00

77,57

946,08

144,03

318,1

429,2

111,0

1,3721

1,6886

25,50

78,49

939,38

148,07

319,9

429,1

109,3

1,3768

1,6875

26,00

79,40

932,64

152,20

321,6

429,1

107,5

1,3815

1,6864

26,50

80,29

925,84

156,43

323,3

429,0

105,7

1,3862

1,6853

27,00

81,17

918,97

160,77

325,0

428,9

103,9

1,3909

1,6841

27,50

82,04

912,02

165,21

326,7

428,8

102,1

1,3956

1,6829

28,00

82,90

905,00

169,78

328,4

428,6

100,2

1,4002

1,6816

28,50

83,74

897,88

174,47

330,2

428,5

98,3

1,4049

1,6803

29,00

84,58

890,67

179,31

331,9

428,2

96,4

1,4095

1,6789

29,50

85,40

883,35

184,30

333,6

428,0

94,4

1,4142

1,6775

30,00

86,21

875,90

189,46

335,4

427,8

92,4

1,4188

1,6760

(*) Las propiedades del R-134a se han extraído de la obra "Fluidos frigoríficos". Planeta de Agostini, con autorización de los autores.

330

Apéndices

Apéndice G Propiedades termodinámicas del R-134a en estado de vapor recalentado p = 0,5 bar T

V

h

s

T

v

h

s

ºC

m /kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

ºC

m /kg

kJ/kg

-40,44

0,36911

373,3

1,7664

40

0,50612

438,2

2,31

-40

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373,6

1,7677

45

0,51446

442,5

2,0169

-35

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377,3

1,7834

50

0,52278

447,0

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-30

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381,1

1,7989

55

0,53109

451,4

2,0441

-25

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384,9

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-20

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388,7

1,8295

65

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460,4

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-15

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392,6

1,8446

70

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465,0

2,0843

-10

0,42183

396,6

1,8596

75

0,56425

469,6

2,0975

-5

0,43036

400,6

1,8745

80

0,57252

474,2

2,1107

0

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404,6

1,8892

85

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478,9

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5

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408,6

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90

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483,6

2,1367

10

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412,7

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95

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488,4

2,1496

15

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416,9

1,9328

100

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493,1

2,1625

20

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421,1

1,9470

105

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498,0

2,1752

25

0,48103

425,3

1,9612

¡10

0,62199

502,8

2,1879

30

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429,5

1,9753

115

0,63022

507,7

2,2004

35

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433,8

1,9892

120

0,63844

512,6

2,2129

3

3

kJ/(kgK)

331

Ingeniería térmica p = 1 bar

p = 1,5 bar

T

v

h

s

T

v

h

ºC

m /kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

ºC

m /kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

-26,35

0,19242

382,2

1,7484

-17,13

0,13118

387,9

1,7395

-25

0,19366

383,2

1,7526

-15

0,13253

389,7

1,7462

-20

0,19824

387,2

1,7683

-10

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393,8

1,7619

-15

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391,2

1,7838

-5

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397,9

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-10

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395,2

1,7991

0

0,14189

402,1

1,7927

-5

0,21174

399,3

1,8143

5

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406,3

1,8079

0

0,21617

403,4

1,8293

10

0,14799

410,5

1,8229

5

0,22058

407,5

1,8442

15

0,15100

414,8

1,8377

10

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411,7

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20

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1,8523

15

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415,9

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25

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423,4

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20

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30

0,15991

427,8

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25

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424,4

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35

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432,2

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30

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428,7

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40

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1,9097

35

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433,0

1,9307

45

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441,0

1,9237

40

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437,4

1,9447

50

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445,5

1,9376

45

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441,8

1,9586

55

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450,1

1,9514

50

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446,3

1,9724

60

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454,6

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55

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450,8

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65

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459,2

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60

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70

0,18305

463,8

1,9921

65

0,27207

459,8

2,0131

75

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468,5

2,55

70

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464,4

2,0265

80

0,18873

473,2

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75

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469,1

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85

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477,9

2,0320

80

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473,7

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90

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482,7

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85

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478,4

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95

0,19721

487,4

2,0581

90

0,29305

483,2

2,0792

100

0,20002

492,3

2,0711

3

3

s

95

0,29723

487,9

2,0922

105

0,20283

497,1

2,0839

100

0,30140

492,7

2,1050

110

0,20563

502,0

2,0967

105

0,30556

497,6

2,11 78

115

0,20843

506,9

2,1093

110

0,30972

502,4

2,1305

120

0,21123

511,9

2,1219

115

0,31389

507,3

2,1432

120

0,31804

512,3

2,1557

332

Apéndices p = 2 bar T ºC -10,09

p = 2,5 bar

V

h

s

T

v

h

3

m /kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

ºC

m /kg

kJ/kg

0,09980

-4,30

3

s kJ/(kgK)

392,2

1,7339

0,08064

395,7

1,730!

-10

0,09984

392,3

1,7342

0

0,08238

399,4

1,7438

-5

0,10230

396,5

1,7501

5

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403,8

1,7595

0

0,10472

400,8

1,7657

10

0,08633

408,2

1,7750

5

0,107! 1

405,1

1,781 !

15

0,08827

412,6

1,7903

10

0,10947

409,4

1,7963

20

0,09018

417,0

1,8054

15

0,11181

413,7

1,8114

25

0,09208

421,4

1,8203

20

0,11412

418,1

1,8262

30

0,09395

425,9

1,8350

25

0,11642

422,4

1,8410

35

0,09581

430,4

1,8496

30

0,11870

426,8

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40

0,09765

434,9

1,8640

35

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431,3

1,8700

45

0,09948

439,4

1,8783

40

0,12320

435,8

1,8842

50

0,10129

444,0

1,8925

45

0,12543

440,2

1,8984

55

0,10310

448,6

1,9065

50

0,12765

444,8

1,9124

60

0,10489

453,2

1,9204

55

0,12986

449,3

1,9263

65

0,10667

457,9

1,9341

60

0,13206

453,9

1,9401

70

0,10844

462,6

1,9478

65

0,13424

458,5

1,9538

75

0,11020

467,3

1,9613

70

0,13642

463,2

1,9673

80

0,11196

472,0

1,9748

75

0,13859

467,9

1,9808

85

0,11370

476,8

1,9881

80

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472,6

1,9942

90

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481,6

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85

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477,4

2,74

95

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486,4

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90

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482,1

2,0206

100

0,11891

491,3

2,0275

95

0,14719

486,9

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105

0,12063

496,2

2,0405

100

0,14933

491,8

2,0467

110

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501,1

2,0533

105

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496,7

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110

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120

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511,0

2,0787

115

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506,5

2.0851

120

0,15782

511,5

2,0977

333

Ingeniería térmica p = 3 bar

p = 3,5 bar

T

v

h

s

T

v

h

s

ºC

m3/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

ºC

m3/kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

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398,6

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5

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402,5

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10

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405,7

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10

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407,0

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15

0,06131

410,3

1,7568

15

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20

0,06278

414,8

1,7723

20

0,07421

415,9

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25

0,06422

419,4

1,7877

25

0,07584

420,4

1,8028

30

0,06564

423,9

1,8028

30

0,07744

424,9

1,8178

35

0,06704

428,5

1,8177

35

0,07903

429,5

1,8325

40

0,06842

433,2

1,8324

40

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434,0

1,8471

45

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437,8

1,8470

45

0,08217

438,6

1,8615

50

0,07114

442,4

1,8614

50

0,08371

443,2

1,8758

55

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447,1

1,8757

55

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447,9

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60

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1,8898

60

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452,5

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65

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456,5

1,9038

65

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457,2

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70

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1,9176

70

0,08978

461,9

1,9316

75

0,07774

466,0

1,9313

75

0,09127

466,7

1,9452

80

0,07904

470,8

1,9449

80

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85

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475,7

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85

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90

0,08160

480,5

1,9718

90

0,09570

481,1

1,9854

95

0,08287

485,4

1,9850

95

0,09717

485,9

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100

0,08413

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1,9982

100

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490,8

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105

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495,2

2,0112

105

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495,7

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110

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500,2

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110

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115

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505,2

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115

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505,6

2,0504

120

0,08914

510,2

2,0498

120

0,10441

510,6

2,0631

334

Apéndices P = 4 bar

P = 5 bar

T

V

h

s

T

v

h

s

ºC

ºC

m /kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

m /kg

kJ/kg

kJ/(kgK)

8,90

0,05121

403,4

1,7230

15,70

0,04114

407,2

1,7202

10

0,05151

404,4

1,7266

20

0,04212

41 1,3

1,7343

15

0,05286

409,0

1,7427

25

0,04324

416,1

1,7503

20

0,05419

413,7

1,7585

30

0,04433

420,9

1,7661

25

0,05549

418,3

1,7741

35

0,04540

425,7

1,7816

30

0,05677

422,9

1,7894

40

0,04644

430,4

1,7968

35

0,05803

427,6

1,8045

45

0,04748

435,2

1,8! 19

40

0,05927

432,3

1,8194

50

0,04849

440,0

1,8267

45

0,06050

436,9

1,8341

55

0,04949

444,8

1,8414

50

0,06171

441,6

1,8487

60

0,05048

449,6

1,8558

55

0,06291

446,3

1,8631

65

0,05146

454,4

1,8701

60

0,06410

451,1

1,8773

70

0,05242

459,3

1,8842

65

0,06527

455,8

1,8914

75

0,05338

464,1

1,8982

70

0,06644

460,6

1,9053

80

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469,0

1,9121

75

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465,4

1,9191

85

0,05527

473,9

1,9258

80

0,06874

470,2

1,9328

90

0,05620

478,9

1,9393

85

0,06988

475,1

1,9463

95

0,05712

483,8

1,9528

90

0,07102

480,0

1,9598

100

0,05804

488,8

1,9661

95

0,07214

484,9

1,9731

105

0,05896

493,8

1,9793

100

0,07327

489,8

1,9863

110

0,05986

498,8

1,9924

105

0,07438

494,8

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115

0,06077

503,8

2,54

110

0,07549

499,7

2,0124

120

0,06166

508,9

2,0183

115

0,07659

504,7

2,0253

120

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509,8

2,0381

3

3

335