INGENIERIA SISMICA-REVISAR

Análise de Estruturas ACÇÃO DOS SISMOS f 2 = 160KN

0,0399 0,0266/2 = 0,0133

f 1 = 160KN

0,0266

m2

m1

APONTAMENTOS DAS AULAS série ESTRUTURAS

joão guerra martins

7.ª edição / 2009

Acção dos Sismos – Apontamentos das Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

ACÇÃO DOS SISMOS

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A Intensidade de um sismo é uma medida da destruição observável numa determinada região afectada

A escala de intensidades mais vulgarizada foi proposta inicialmente por Mercalli e modificada subsequentemente por Richter, designando-se Escala de Intensidades Modificadas de Mercalli, ou simplesmente Escala de Mercalli modificada. 3/122

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Esta escala é baseada num reconhecimento subjectivo dos efeitos da vibração no comportamento das pessoas e no grau de destruição provocado. Uma versão desta escala é apresentada, ilustrando-se, para cada grau, o tipo de efeitos observáveis: ¾ I - A vibração não é perceptível por pessoas. ¾ II - Vibração perceptível por pessoas situadas em pisos elevados de edifícios. ¾ III - Vibração perceptível dentro dos edifícios (semelhante à produzida pela passagem de camiões leves) podendo não ser identificada como um sismo; Alguns objectos pendurados balançam. ¾ IV - Vibração semelhante à provocada pela passagem de camiões pesados; Sensação de sacudidela como a provocada pela pancada de uma bola contra uma parede; Automóveis estacionados balançam; Portas e janelas rangem. Os vidros vibram; ¾ V - Vibração perceptível fora dos edifícios; Acorda pessoas, agita líquidos dentro dos recipientes podendo provocar extravasamento; Objectos menos estáveis podem ser derrubados ou arrastados; As portas oscilam; Os quadros nas paredes movem-se; Os pêndulos dos relógios param; ¾ VI - Vibração sentida por todas as pessoas podendo mesmo provocar algumas reacções de pânico; Pessoas a andar cambaleiam; Partem-se vidros de janelas; Objectos caem das prateleiras e quadros das paredes. Mobiliário é arrastado ou virado; Árvores e arbustos agitam-se visivelmente; O reboco das paredes e tectos estala; ¾ VII - Dificuldade das pessoas se manterem em pé; Vibração sentida por condutores de automóveis; Mobiliário partido e danos em cantaria fraca; Ruína de chaminés pequenas; Ruína de ornamentos de arquitectura; Queda de cornijas, floreiras, tijolos e telhas; Ondulação em lagos e deslocamento de areias em dunas. ¾ VIII - A condução de automóveis é perturbada pelas vibrações; Danos em alvenaria, com colapso parcial de alvenaria ordinária e danos leves em alvenaria armada; Ruína de chaminés, monumentos, torres e depósitos elevados; Deslocamentos nas fundações dos edifícios e eventualmente assentamentos por compactação do solo. Quebram-se ramos de árvores; ¾ IX - Pânico geral; Alvenaria fraca é destruída e a alvenaria de boa qualidade é seriamente danificada; As fundações são seriamente danificadas; Fendilhação generalizada do solo. ¾ X - A maior parte das construções em alvenaria são destruídas juntamente com as suas fundações; Estruturas de madeira e algumas pontes são destruídas; Danos sérios em barragens, diques e taludes; Grandes movimentos do solo; Linhas de caminho de ferro levemente encurvadas; Água de rios e lagos projectada para fora das margens. ¾ XI - Linhas de caminho de ferro completamente encurvadas e pipelines destruídos. ¾ XII - Destruição praticamente total; Grandes massas rochosas deslocadas e linha do horizonte distorcida; Objectos projectados pelo ar.

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+ Medidas de concepção + Pormenorização (detalhe construtivo) 10/122

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Princípios de concepção de estruturas de edifícios (EC8)

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Mau

Bom

Mau

Bom

Mau

Bom

Mau

Bom

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Para um edifício ser classificado como regular no plano, satisfará todas as condições listadas nos parágrafos seguintes: •

Com respeito à rigidez lateral e à distribuição de massa, a estrutura do edifício será aproximadamente simétrica em plano com respeito aos dois eixos ortogonais;

•

A configuração no plano será compacta, i.e., cada pavimento será delimitado por uma linha poligonal convexa. Se este pavimento tiver reentrâncias/saliência (nos cantos ou no seu contorno), a regularidade no plano ainda pode ser considerada se essas singularidades não afectarem a rigidez desse plano, para cada reentrância/saliência isso significa que a área entre o contorno do piso e uma linha convexa poligonal envolvendo o mesmo não excede 5 % da área de pavimento.

•

A rigidez no plano dos pavimentos deverá ser suficientemente grande, em comparação com a rigidez lateral dos elementos estruturais verticais, de modo que a deformação do piso tenha um efeito pequeno na distribuição das forças entre os elementos estruturais verticais;

•

Neste respeito, formas de pavimento em L, C, H, I e X devem ser cuidadosamente examinadas, devendo ser notável a preocupação com a rigidez dos ramos laterais, que deve ser comparável à parte central, para satisfazer a condição rígida de diafragma;

•

A esbelteza = Lmax/Lmin (dimensões em planta) não será mais alta que 4, onde respectivamente temos a maior e a menor dimensão do edifício em planta;

•

Em cada nível, e para cada direcção X e Y, a excentricidade estrutural, e0, e o raio torsional, r, estarão em condições de acordo com: eox ≤ 0.30 rx rx ≥ Ls (considerando, no caso, a direcção de Y de análise) Onde: ¾ eox é a distância entre o centro de rigidez e o centro de massa, medida ao longo da direcção de X, a qual é normal à direcção de análise considerada (Y); ¾ rx é a raiz quadrada da razão entre a rigidez de torsional e a rigidez lateral na direcção de Y ("raio torsional"); ¾ Ls é o raio de giração da massa do piso no seu plano (raiz quadrada da relação de do momento polar de inércia da massa do piso chão em plano, com respeito ao centro de massa desse piso.

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O critério para regularidade em elevação para um edifício ser classificado como é regular em elevação, deverá satisfazer todas as condições alistadas nos seguintes parágrafos. •

Todos os sistemas resistentes laterais (contraventamentos), tal como núcleos, paredes estruturais, ou pórticos, correrão sem interrupção desde as fundações ao topo do edifício ou, se singularidades em alturas estão presentes, ao topo da zona relevante do edifício para cada uma destas partes;

•

Tanto ã rigidez lateral como a massa individual dos pisos permanecerão constante ou a sua redução será realizada gradualmente, sem mudanças bruscas, da base ao topo do edifício;

•

Em edifícios porticados a relação da resistência real de cada piso, em relação à requerida pela análise, não deve variar desproporcionalmente entre pisos adjacentes;

•

Quando singularidades estão presentes, as seguintes condições adicionais aplicam-se: ¾ Para singularidades graduais conservando simetria de axial, a singularidade em qualquer piso não será superior a 20 % da dimensão do piso na direcção da singularidade, conforme figura (a) e (b) abaixo;

¾ Para uma única singularidade abaixo dos 15 % da altura total do sistema principal, a singularidade não será maior que 50 % da dimensão do piso, conforme figura (c) abaixo. Neste caso a estrutura da zona de base, dentro do perímetro vertical projectado dos pisos superiores, deve ser concebido para o resistir, pelo menos, a 75% das forças de corte horizontais que desenvolveriam nessa zona num edifício semelhante mas sem alargamento da base; ¾ Se as singularidades não conservam simetria, em cada face a soma das singularidades de todos os pisos não será maior que 30 % da dimensão no plano do piso térreo acima da fundação, ou acima do topo de uma base rígida, e as singularidades individuais poderão ser superiores a 10 % da dimensão em planta, conforme a figura (d). 14/122

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Consequências da regularidade estrutural na análise e dimensionamento sísmico Regularidade

Simplificação permitida

Planta

Altura

Modelo

Análise elástica e linear

Coeficiente de Comportamento (para análise linear)

Sim

Sim

Plano

Estática (a)

Valor de referência

Sim

Não

Plano

Sobreposição Modal

Valor reduzido

Não

Sim

Espacial (b)

Estática (a)

Valor de referência

Não

Não

Espacial

Sobreposição Modal

Valor reduzido

(a) Se o período fundamental de vibração T1 ≤ 4Tc e T1 ≤ 2.0, com Tc definido na tabela 3.2 e 3.3 do EC8. (b) Dentro das condições estabelecidas no ponto 4.3.3.1(8) do EC8, um modelo plano pode ser usado segundo as duas direcções principais horizontais (incluído à frente).

Assim: ¾ Em geral a estrutura pode ser considerada como um número de sistemas resistentes verticais e laterais, ligados por diafragmas horizontais. ¾ Quando os pisos do edifício podem ser tomados como diafragmas rígidos em seus planos, as massas e os momentos de inércia de cada um destes podem ser referidos ao seu centro de gravidade. ¾ Para edifícios que se adaptam ao critério de regularidade em planta, ou com as condições apresentadas em 4.3.3.1(8) do EC8, a análise pode ser executada partindo de dois modelos de planos, um para cada direcção principal (ver seguidamente).

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Notas de concepção de estruturas de betão e mistas de edifícios (EC8) ¾ Em edifícios de betão e em edifícios aço-betão compostos e em edifícios de alvenaria resistente a rigidez dos elementos que suportam a acção sísmica devia, em geral, levar em conta a avaliação da fissuração. Sobretudo tendo em consideração o efeito não linear dos sismos. Tal rigidez deve corresponder ao início da cedência dos varões de aço. ¾ A menos que uma análise mais exacta dos elementos fissurados, a rigidez de flexão elástica e a rigidez ao corte de elementos de betão e alvenaria pode ser tomada semelhante a metade da rigidez correspondente aos elementos não fissurados. ¾ As paredes de alvenaria de enchimento que contribuem significativamente à rigidez lateral e resistência do edifício, devem ser levada em conta. ¾ A deformabilidade da fundação será levada em conta no modelo, sempre que pode ter uma influência total adversa na resposta estrutural ¾ As massas serão calculadas com base nas cargas de gravidade aparecendo na combinação de acções. ¾ Para explicar incertezas na situação de massas e na variação espacial do movimento sísmico, o centro calculado de massa em cada piso a ser considerado terá que se deslocar da sua situação nominal, em cada direcção, de uma excentricidade acidental: eai = ±0,05Li, sendo esta excentricidade acidental de massa, do piso i, obtida da sua

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localização nominal, aplicando na mesma direcção em todos os pisos, em que Li é a dimensão do piso na direcção perpendicular à acção sísmica. ¾ Os efeitos sísmicos e os efeitos das outras acções podem ser determinados pelo comportamento linear-elástico da estrutura. Assim, o método de referência para determinar os efeitos sísmicos serão a análise modal por espectro de resposta, usando um modelo elástico (em termos materiais) e linear (em termos geométricos) da estrutura e o espectro de projecto. ¾ Dependendo das características estruturais do edifício, um dos seguiintes dois tipos de análise elástico e linear podem ser usados: 1) O "método de análise lateral estático/força" para edifícios encontrando as condições dadas em 4.3.3.2 do EC8 (este tipo de análise pode ser aplicado a edifícios cuja resposta não é afectada significativamente por contribuições de modos de vibração mais altos que o modo fundamental, em cada direcção principal, podendo a frequência ser determinada pelo Método de Rayleigh, por exemplo); 2) A "análise modal por espectro de resposta", que é aplicável a todos tipos de edifícios. ¾ Como uma alternativa a um método linear, um método não-linear também pode ser usado, tal como: 1) Análise estática não-linear (pushover); 2) Análise não-linear com integração no tempo (dinâmica).

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Reparar que a admissibilidade dos pisos se comportarem como diafragmam rígidos no seu plano é condição base para todos os modelos descritos, daí a importância das lajes maciças (de betão armado ou mistas) no projecto em zonas sísmicas.

Notas de concepção de estruturas metálicas de edifícios (EC8) As recomendações realizadas para edifícios de betão e mistos mantém-se em tudo que for aplicável, sendo os edifícios resistentes a sismos fabricados em aço projectados de acordo com um dos seguintes conceitos: ¾ Conceito A) - Comportamento estrutural de baixa dissipação (de energia sísmica); ¾ Conceito B) - Comportamento estrutural de dissipativo (de energia sísmica).

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Importância do solo (EC8)

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Tipos de solo (EC8)

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ZONAMENTO DO TERRITÓRIO [RSA – art. 28º] Considera-se o país dividido em quatro zonas, em que na ordem decrescente, de índice de sismicidade, são classificadas e designados por: A, B, C, D. A sua quantificação, em termos de incidência sísmica, é feita a partir do coeficiente de sismicidade α, conforme Quando I, do Capítulo VII – Acção dos Sismos, do RSA.

Tabela I – Valores do Coeficiente de Sismicidade, α Zona Sísmica

α

A

1,0

B

0,7

C

0,5

D

0,3

A delimitação pormenorizada destas zonas está no ANEXO III do RSA, que se reproduz, bem como mapa que tem por base todos os sismos sentidos em Portugal continental.

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Zonas Sísmicas (EC8)

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Características principais (não são independentes): • Duração • Valores de pico da aceleração • Conteúdo espectral Duração no RSA dos sismos tipo: • Tipo I – 10 segundos • Tipo II – 30 segundos

Espectros de resposta:

•

Cálculo a partir de espectros de potência;

•

Cálculo a partir de sismogramas. 24/122

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Simulação numérica de sismogramas: • Compatíveis com espectros de potência; • Compatíveis com espectros de resposta. Princípio: • Um processo estocástico, estacionário, ergódico e gaussiano de média nula é completamente caracterizado pela função de auto-correlação ou, o que é o mesmo, pela sua função densidade espectral de potência: A caracterização da estrutura probabilística pode ser feita através de Distribuições de probabilidade conjunta, Funções características, Momentos estatísticos, ... ¾ ¾ ¾

Um processo diz-se estacionário se a sua estrutura probabilística não depender da origem de t. Um processo diz-se ergódico se a sua estrutura probabilística puder ser obtida de uma única realização. Um processo diz-se gaussiano se puder ser completamente caracterizado pela função densidade de probabilidade de Gauss (em forma de sino). Neste caso só existem momentos estatísticos até ordem 2 (média e desvio padrão).

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Espectros de Resposta do RSA e do EC8: Zona A, Terreno tipo I

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QUANTIFICAÇÃO DA ACÇÃO DOS SISMOS [RSA – art. 29º] Definições importantes: •

Para além do coeficiente de sismicidade, α (Quadro I), relacionado com o local geográfico dentro do território nacional, também, para a definição dos Valores Característicos da acção dos sismos, a natureza do terreno importa. Deste modo, são preconizados três tipos de terrenos. classificados por: Tipo I, II, III. Sendo: ¾ Tipo I: Solo rochoso ou coerente rijo; ¾ Tipo II: Coerente muito duros, duros e de consistência média; incoerentes compactos; ¾ Tipo III: Coerentes moles e muito moles; incoerentes soltos.

•

Valores reduzidos da acção dos sismos são nulos (incluindo o valor raro Ö ψ0 = ψ1 = ψ2 = 0);

•

Em geral, apenas é necessário considerar direcções de actuação da acção dos sismos no plano horizontal, na medida em que na direcção vertical só quando as estruturas sejam especialmente sensíveis a vibrações nesta direcção. No que se refere ao disposto em 29.4 (R.S.A), como exemplo de casos em que deverá considerar-se a acção sísmica na direcção vertical, podem referir-se as estruturas com modos de vibração caracterizados por frequências próprias inferiores a cerca de 10 Hz, a que correspondam configurações com deslocamentos significativos na direcção vertical (o que, na verdade, não alberga uma quantidade de construções significativa).

Exemplo prático: Uma ponte.

A pior situação é o esborrachar da ponte, pois irá destruir as cabeças dos pilares ou punçoar o tabuleiro (se a laje for fungiforme – situação rara).

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Ö Na quantificação da acção dos sismos apenas são tidas em conta as acções vibratórias transmitidas pelo terreno à estrutura. DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS DA ACÇÃO DOS SISMOS [RSA – art. 30º] A determinação dos efeitos da acção dos sismos deve ser efectuada por métodos de análise dinâmica, de acordo com o indicado em 30.2 e 30.3 (RSA), podendo, no entanto, utilizar-se também os processos simplificados de análise estática apresentados em 30.4 e 30.5 (RSA).

Conceito importante: MOBILIDADE – Sensibilidade das estruturas aos deslocamentos laterais.

Estas duas figuras dão continuidade ao que temos visto, relacionado a rigidez aos deslocamentos horizontais com a sua classificação quanto à mobilidade lateral, designando-se estruturas de nós MÓVEIS, ou de nós FIXOS, conforme os deslocamentos transversais serão consideráveis ou não para o cálculo dos esforços (se são ou não geradas excentricidades significativas entre as bases e topos dos elementos verticais, gerando efeitos de 2.ª ordem – momentos adicionais: M = Mconvencionais + N.e).

N

N

Δ NM

F

Δ NF

F

Δ NM

ΔNF

Nós FIXOS

Nós MÓVEIS

N . Δ NF = não considerável = M desprezável

N . Δ NM = considerável = M adicional

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Métodos de análise dinâmica (RSA – art. 30.2º e 30.3º): Primeiramente devemos relembrar que, simplificadamente, a Dinâmica Estrutural estuda acção que o sismo provoca nas construções, ao induzir-lhe acelerações que tem como resposta o aparecimento de forças inérciais nas massas da estrutura, pois que estas são mobilizadas pelo efeito vibratório sísmico. De forma ilustrativa, diríamos que o sismo movimenta, por agitação, a base das estruturas, tendo as massas destas (designadamente concentradas ao nível dos pisos) tendência para resistirem ao deslocamento que lhe é imposto, dado as suas grandes inércias. Devem-se ter em conta a quantificação das vibrações sísmicas (artigo 29° do RSA) e considerar as massas correspondentes ao valor médio das cargas permanentes e ao valor quase permanente das cargas variáveis que actuam na estrutura. Por outro lado, as características de rigidez e amortecimento a adoptar devem corresponder a valores médios das propriedades dos materiais.

Conceito importante: Eq. Equilíbrio Dinâmico: K.d + A.v + M.a = F

Ö

Ö

K, Rigidez (K.d = F)

Ö

A, Amortecimento (A.v = F)

Ö

M, Massas (M.a = F)

Ö

Conceito ESTÁTICO

Ö

Conceito CINEMÁTICO

Conceito DINÂMICO

d – deslocamento; v – velocidade; a - aceleração O quociente δ entre o menor dos valores máximos das componentes horizontais da reacção global da estrutura sobre a fundação, nas diversas direcções, e o valor das cargas correspondentes às massas consideradas, não deve ser menor que 0,04α . Se o valor do quociente for inferior ao limite indicado, os resultados obtidos pela analise dinâmica deverão ser multiplicados por 0,04 α δ .

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No caso de esse quociente δ ser superior a 0,16α e a estrutura apresentar uma certa ductilidade, os resultados daquela análise poderão ser divididos por δ 0,16α .

Quantificação das massas •

Estruturas porticadas e de uma só massa (reservatórios, silos,

m R = G R + %(0 - 100)Q R

etc): m3 = G 3 + ψ 2 * Q3

m2 = G 2 + ψ 2 * Q2 m 1 = G 1 + ψ 2 * Q1

Edifício em Altura

•

Um reservatório de água

Reservatório Elevado Esta também é a situação mais desfavorável para fins de cálculo de acções gravíticas da estrutura

m

Esta é a situação mais desfavorável para fins de cálculo das paredes (± 1 2 ou 2 3 )

m/2

Ambas são desfavoráveis para os SISMOS

Para o VENTO, a situação mais desfavorável é o depósito vazio. 32/122

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Efeitos das singularidades nas estruturas

A figura seguinte mostra-nos uma situação em que a existência de meia parede não é favorável para a acção dos sismos, pois terá momentos máximos no meio do pilar. Ora, muito provavelmente, os cálculos de projecto foram realizados com a estrutura sem este impedimento

à

deformação

desses

elementos

verticais,

surgindo

situações

de

imprevisibilidade em caso de sismo.

A situação comum, de cálculo corresponde à figura acima, admitindo os pilares soltos. Todavia, a situação acima descrita poderá ficar coberta pelo facto de, em princípio, as armaduras (de flexo-compressão e esforço transverso) obtidas deste modo, não serem inferiores, pelo que sanará o problema.

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Tipos de estruturas (e sua forma de deformação a acções horizontais)

f=

12 EI *Δ l3

f =

PÓRTICOS

3EI *Δ h3

PAREDES

MISTAS

Nas estruturas em que os elementos não estejam dispostos em malha ortogonal, poderá considerar-se que a acção sísmica actua separadamente segundo as direcções em que a estrutura se desenvolve, devendo-se então proceder a uma análise complementar para ter em conta os efeitos da torção. Estrutura Regular de 9 Pilares

Estrutura Irregular de 8 Pilares

- Centro de Rigidez X

- Centro de Massa

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A excentricidade entre CM e CR provoca a torção da estrutura

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NOTA: Numa estrutura perfeitamente regular, a acção sísmica conjunta nas duas direcções pode provocar um efeito idêntico ao da torção em estruturas irregulares, atendendo a desfasamento nos modos de vibração. Contudo, esta situação é difícil de poder coexistir: idêntica magnitude em direcções ortogonais.

Conceito importante: DUCTILIDADE – Capacidade do material se deformar sem perder a resistência.

Em geral, pode admitir-se o comportamento linear para efeitos de cálculo da acção sísmica e corrigir os resultados, dividindo-os por coeficientes de comportamento (η) que dependem do tipo de estrutura (pórtico, mista pórtico-parede, parede) e das suas características de ductilidade (ductlidade normal ou ductilidade melhorada). Normalmente para o cálculo das acções sísmicas, considera-se sempre, ou quase sempre, que os materiais ultrapassam o seu Limite Elástico.

ηE = Coef. Comportamento para Esforços = Esforços Reais / Esforços Elásticos ≤ 1 ηd = Coef. Comportamento para Deslocamentos = Deslocamentos Reais / Deslocamentos Elásticos ≥ 1 35/122

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σ Deformação Elástica de Cálculo Deformação Real Inelástica

σReal

σLimite Elástico

ε

Limite Elástico

ε

ε

Real

Sistema de 1 grau de liberdade em deslocamento crescente (Fonte: SMEE - DECivil – IST)

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(Fonte: SMEE - DECivil – IST) Segundo o art.º 30 do RSA: «Poderá admitir-se que a estrutura apresenta um comportamento elástico linear e corrigir os resultados assim obtidos dividindo-os pelo correspondente coeficiente de comportamento. O coeficiente de comportamento define-se para uma determinada grandeza (esforço, deslocamento, etc.), para uma determinada estrutura e para uma determinada acção sísmica,

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tendo a pretensão de correlacionar o valor máximo da grandeza determinada por modelos lineares (idealizados) e não lineares (reais).»

f

2

f

1

f

2

f

1

Nota: É nos nós que a acção sísmica tem o seu efeito mais assinalável, dado o valor dos esforços concentrados nessa zona. Risco sísmico, grau de importância das estruturas e ductilidade

O risco sísmico, de que depende a definição das acções sísmicas de projecto, está ainda relacionado com o tipo de estrutura e com a sua importância para a comunidade. O tipo de estrutura é fundamentalmente definido de acordo com as características de ductilidade dos materiais utilizados e com a própria geometria da estrutura. No RSA é considerado um coeficiente de comportamento (η) no cálculo da acção sísmica, o qual depende não só da ductilidade e geometria da estrutura mas também do grau admitido na exploração dessa ductilidade. Este coeficiente destina-se a corrigir os efeitos da acção dos sismos obtidos através de uma análise linear e elástica das estruturas, com vista a transformálos em valores que se obteriam por uma análise não-linear (material e geométrica).

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Estruturas de betão armado

No caso particular das estruturas de betão armado ou pré-esforçado o regulamento nacional aplicável é o REBAP (até 2010, data em que se prevê a entrada em vigor dos Eurocódigos), o qual distingue dois tipos de estruturas de acordo com a sua ductilidade: ⇒ Estruturas de ductilidade normal, as quais se limitam a obedecer às disposições de

projecto e disposições construtivas mínimas definidas nos capítulos X e XI daquele regulamento. ⇒ Estruturas de ductilidade melhorada, as quais obedecem a disposições de projecto e

construtivas adicionais definidas no capítulo XII do mesmo regulamento. Para além das disposições construtivas que constam no capítulo X e XI do REBAP, também o capítulo XII (complementar ao Cap. X e XI) encerra conceitos e disposições construtivas importantes no contexto sismo-resistente (estruturas de ductilidade melhorada - art. 142º ao 176º do REBAP). O REBAP apresenta valores do coeficiente η de acordo com o tipo de estrutura resistente e com a ductilidade nos seus art./os 33.2 e 33.3. Estes valores encontram-se aqui resumidos no quadro abaixo. Neste domínio o EC8 apresenta uma abordagem bastante mais completa, para além de fornecer valores para outros tipos de materiais. No que respeita à importância das estruturas para a comunidade, estas devem ser classificadas de acordo com os danos permitidos em caso de catástrofe sísmica. Um exemplo de classificação poderia ser a seguinte: ⇒ Estruturas críticas: Hospitais, esquadras de polícia e quartéis de bombeiros, unidades

militares, sistemas de comunicações e rádio, fornecimento de água, electricidade e gás, centros de protecção civil, grandes barragens ou centrais térmicas, pontes em itinerários fundamentais. ⇒ Estruturas importantes: Hotéis e edifícios de escritórios, edifícios públicos, igrejas,

escolas e grandes complexos industriais e comerciais. ⇒ Estruturas comuns: Armazéns, edifícios agrícolas, moradias unifamiliares.

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Valores do coeficiente de comportamento em estruturas de betão armado e pré-esforçado

Tipo de Estrutura resistente

Coeficiente η relativo a esforços Ductilidade normal / Ductilidade melhorada Estruturas críticas Outras estruturas

Edifícios correntes com estrutura de: • Pórticos resistentes • Pórticos e paredes resistentes • Paredes resistentes Pontes correntes em que a energia é, fundamentalmente, dissipada por: • Deformação de flexão dos pilares • Idem por esforço transverso • Encontros Coeficientes η relativos a: • Esforços gerados pela vibração vertical • Deformações

1.75 / 2.45 1.4 / 1.75 1.05 / 1.4

2.5 / 3.5 2.0 / 2.5 1.5 / 2.0

1.4 / 2.1 1.0 / 1.2 1.0

2.0 / 3.0 1.4 / 1.7 1.2

Devem ser tomados iguais a 1.0

Este tipo de classificação deve ser tido em conta quando da verificação da segurança estrutural, permitindo, por exemplo, que as estruturas consideradas críticas ou importantes tenham mais reservas de resistência e tenham comportamento dúctil na rotura, de forma a poderem dissipar grandes quantidades de energia durante o sismo. Estruturas metálicas

Segundo o REAE: Art.º 6.3 - Os coeficientes de comportamento, a utilizar segundo os critérios definidos no RSA para a determinação dos efeitos da acção dos sismos, devem ser convenientemente justificados, tendo em conta o tipo de estrutura e as características de ductilidade da construção. No caso de edifícios correntes, tal como são definidos no RSA, podem adoptar-se os seguintes coeficientes de comportamento para esforços: 1) Para vibrações nas direcções horizontais: ¾ Pórticos sem elementos de rigidez... 2,5 ¾ Pórticos com elementos de rigidez (paredes ou treliças)... 1,5 ¾ Pórticos de tipo misto... 2,0 2) Para vibrações na direcção vertical... 0,8

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

3) Para o mesmo tipo de edifícios o coeficiente de comportamento relativo a

deformações poderá tomar-se igual a 0,7. Como se sabe, os coeficientes de comportamento destinam-se a corrigir os efeitos da acção dos sismos obtidos por uma análise linear, de modo a transformá-los nos valores que se obteriam por uma análise não linear. Compreende-se, assim, que estes coeficientes, além de serem função do tipo de estrutura e das suas características de ductilidade, dependam também do efeito em causa e da quantificação dos parâmetros utilizados na análise linear. No presente Regulamento apenas são quantificados os coeficientes de comportamento para edifícios correntes, tendo-se considerado suficiente definir coeficientes relativos aos esforços e às deformações, sem distinguir o tipo de esforços ou de deformações. O valor do coeficiente sísmico de referência, (β) (índice 0), definido no artigo 31º do RSA, diz respeito a um amortecimento com o valor de 5% do amortecimento crítico, enquanto usualmente se admite para as estruturas metálicas um valor da ordem de 2%. Os valores dos coeficientes de comportamento apresentados têm, naturalmente, este facto em conta.

Segundo o EC8 (valores máximos em complemento à tabela anterior):

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

Lembra-se que por edifícios correntes se entendem aqueles que obedecem às condições para tal especificadas no RSA e que implicam que as estruturas tenham uma distribuição de rigidez aproximadamente uniforme em altura, o que não é compatível com grandes descontinuidades na distribuição das alvenarias de andar para andar ou com o emprego de processos de construção que possam facilitar que essa descontinuidade se crie durante a ocorrência de um sismo. No caso de edifícios não correntes, os coeficientes de comportamento a adoptar devem ser convenientemente justificados, devendo, porém, considerar-se os valores apresentados no artigo como limites superiores.

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

Condições ductilidade melhorada segundo o REBAP REBAP / Artigo 142º (Generalidades)

Visa aumentar a ductilidade das estruturas face às acções sísmicas, sendo necessário assegurar que as roturas sejam condicionadas pelas armaduras e não pelo betão, evitando rupturas frágeis. Por outro lado, o betão confinado suporta tensões mais elevadas do que aquele que não se encontra sob um estado bi ou triaxial de compressão. A sua confinação pode-se obter utilizando boas cintagens, o que também conduz a uma segurança adicional relativamente ao esforço transverso. Utilização de boas cintagens. Diminuindo o espaço entre os estribos, teremos um melhoramento da ductilidade da estrutura, tendo melhores armaduras e menores tensões no betão ( f cdI < f cdII < f cdIII ).

f

f

cd III,II,I

f f

cd I,II,III

cd I,II,III

f

cd II,I,III

f

Temos que Δ1 = Δ 2 e k =

cd II,I,III

cd III,II,I

EI 12 * EI , sabendo que: K Δx = , teremos: l l3

12 E 2 I 2 b( 2a ) 3 l 32 8a 3 ΔK = = 123 ↔ ΔK = 3 = 8 , logo o pilar P2 irá absorver 8 vezes mais que o P1, 12 E1I1 ba a 3 l1 12 devido a sua secção e dimensão, ou seja; quanto mais rígido for a estrutura, mais força irá absorver da acção sísmica. 43/122

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

A RIGIDEZ atrai a força do SISMO!!! Δ1

Δ2

m

f

f

a

2a

P1

P2

b

REBAP / Artigo 143º (Vigas de pórticos)

Refere-se a vigas em estruturas de ductilidade melhorada, em que:

h

l > 4 ⇒ Esta condição é imposta no sentido de limitar o MÁXIMO h

b≥

h 4

e

EI da relação l , pois sabemos que k = , ou seja, como a h l rigidez de uma viga está directamente relacionada com o

b ≥20cm

comprimento ( l ) e altura (através da inércia [ I ]), podemos concluir que as vigas curtas ( l pequeno) e altas (h grande)

Vigas ALTAS e CURTAS

são absorventes da acção dos sismos: A RIGIDEZ atrai a força do SISMO!!! Por outro lado, sendo as vigas ser mais resistentes que os

pilares, pode conduzir a que as rótulas plásticas provocadas pela acção sísmica se formem nestes últimos elementos resistentes, o que pode conduzir ao colapso da estruturas. Exemplos práticos (algumas situações):

Esta figura mostra-nos, mais uma vez, que é nos NÓS que acção sísmica é mais significativa para uma estrutura. Assim sendo, devemos evitar uma possível rotura nos pilares e nas vigas, 44/122

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

mas se tiver que acontecer, que seja nas vigas, pois iremos estar visando os efeitos de segurança (dado que mesmo que estas formem rótulas nos seus extremos, ainda permanecem isostácticas, mas mesmo que desse o seu colapso, o seu efeito seria restritamente local).

f

f

2

f

1

Viga ALTA

f

Rótula da VIGA

Rótula no PILAR

Então, caso tenhamos uma estrutura porticada com viga alta, a resistência desta será maior que nos pilares e caso ocorra uma acção sísmica, esta poderá causar roturas na cabeça/base dos pilares e, consequentemente, o colapso total do edifício. Outro caso, será uma estrutura com pilares mais robustos que as vigas (e/ou lajes), que poderá conduzir a um possível mecanismo das últimas ou, mesmo, a uma rotura parcial do edifício, devido à plastificação das vigas (mas sem colapso global).

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

REBAP / secção 143.2º: indica-nos a percentagem e a localização da ARMADURA LONGITUDINAL, limitando a compressão máxima no betão para que a estrutura não sofra uma rotura frágil e também limita a quantidade de armadura ( As ) de flexão. f c ≤ f cd

2d As

x ≤0,3d

As+ d As As+

Para limitar a compressão.

Deve-se ter a atenção que As não deve ser inferior a 50% de As + na extensão 2d e vice-versa (não existindo desequilíbrios acentuados entre estas armaduras).

f?

f?

Por outro lado, no caso de se dar um sismo, nunca se sabe de que lado virá, devendo-se reforçar-se os nós de ambos os lados devido a acção mais grave do peso das sobrecargas, como mostra figura abaixo. Verificando estas condições, a viga poderá se deformar sem que o betão fique previamente comprimido.

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REBAP / Secção 143.3º:

≥ 1 As + 2

As

As f As

≥ 1 As − 2

≥ 1 As − 2

f

As

As = 2Ø6 >= 2Ø12

Muitas vezes, as vigas são pormenorizadas com o mínimo de 2 varões de 6mm em cada face. Contudo, para estruturas de ductilidade melhorada deverão ser construídas no mínimo com 2 varões de 12mm.

f

A figura anterior mostra-nos uma situação em que se deve ter muita atenção. No centro da viga, os esforços poderão variar muito consoante a direcção e a intensidade do sismo, por isso a necessidade de se ter armaduras ao longo de todo o comprimento da viga (positivas e

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

negativas). Nas extremidades, a situação será semelhante, daí a necessidade da armadura ter a extensão mínima 2d e não possuir emendas ou interrupções (Secção 143.4º). REBAP / Secção 143.4º:

2d

2d

A importância de não ter emendas ou interrupções no intervalo de 2d são variadas para a estrutura de ductilidade melhorada, a principal é que se diminui o risco de colocar armaduras em excesso e consequentemente aumenta a segurança de toda a estrutura. REBAP / Secção 143.5º:

f

f

Vrd < Vsdfinal

Vsd ,SK

(

dir 1,5 * M esq rd + M rd = l

) 48/122

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

2d

REBAP / Secção 143.6º:

2d

≤

≤

10cm

15cm

≤ 5cm

Exemplo prático:

Qual a maior altura (h) que uma viga com 6m comprimento (l) pode ter para uma estrutura de ductilidade melhorada? l = 6m l 6 6 > 4 ⇒ > 4 ⇔h < ⇔h < 1,5m h h 4 REBAP / Artigo 144º (Pilares)

No REBAP / Secção 144.1º, diz-nos que os pilares deve satisfazer a seguinte condição: N sd ≤0,6 * f cd * Ac

Em casos normais teríamos 0,85 a multiplicar pelo valor de cálculo da tensão de rotura à compressão do betão e pela área de secção transversal do pilar, mas como estamos a falar de estruturas de ductilidade melhorada, temos 0,6, para que o betão não esteja demasiado comprimido, propiciando roturas frágeis. Também houve uma redução de metade do valor máximo da esbelteza ( λ ), em de 140 (artigo 64º) passou a ser 70. Além disso, aumentou a menor dimensão da secção transversal do pilar, que passou a ser de 30cm (contra 20 cm das estruturas correntes - artigo 120º).

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

Já no REBAP / Secção 144.2º mostra-nos que em caso algum a secção total da armadura longitudinal deve ser inferior a 0,8% para o betão A235 e 0,6% para o A400 e A500. O artigo 121º (REBAP) nos dizia a mesma coisa, porém com algumas excepções. Mais uma vez, esta condição justifica-se para que o betão não esteja excessivamente à compressão. REBAP / Secção 144.3º, para não fugir as ideias das secções anteriores, mostra-nos que a secção total da armadura longitudinal não deve exceder 6%, sendo que no artigo 121º (REBAP) é 8%, mesmo em zonas de emenda de varões por sobreposição. REBAP / Secção 144.4º: Acint erior

Esta medida também visa salvaguardar que as rótulas (caso haja) se situem nas vigas e não nos pilares.

REBAP / Secção 144.5º:

M sd (Considerados)

V sd

M rd (Existentes)

l Asw ⇒V =

50/122

M rde M rdd h( pilar )

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Esta situação é possível, porque caso ocorra um sismo, poderá existir tracções nos pilares. Se tivermos compressões, podemos até considerar favorável, pois irá aumentar a resistência e quando não muito o betão aguenta bem; enquanto as tracções só irão prejudicar. REBAP / Secção 144.6º e 144.7º:

Pilar b a

h

→ 16 h C≥ →a →b

ø8//10cm

≤

≥

Para conferir uma maior rigidez

e,

sobretudo,

confinamento do betão nas zonas extremas do pilar. Não devem ser realizadas emendas ou interrupções nas zonas extremas do pilar e sim a

meia altura, pois os momentos são menores. REBAP / Artigo 145º (Nós de Pórticos)

REBAP / Secção 145.1º: Igual às vigas.

lv

REBAP / Secção 145.2º:

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lp

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Se l v ≥ l p e nenhuma viga com altura inferior a 3

⇒

Asw

2

4

de altura da viga mais alta, então pode-se

.

REBAP / Artigo 146º (Paredes e Diafragmas):

cm 15

λ < 60

ht ≥2 l

1 hp 10 Para evitar 1 l parede 10 ou 2*e 52/122

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

Processos simplificados de análise estática (RSA – art. 30.4º e 30.5º):

•

Centro de massa

Cm

x

∑ (m * d ) = ∑m x i

i

i

2

1 1- q 2- q

Cm

3- q

m2 m2 m2

= 15 KN = 10 KN = 20 KN

m2 m2 m2

3 f = m*a → m =

X

f N [Kgf ] = g m 2 s

Cálculo do Centro de massa: d 1( x ) =10 + 7 , 5 m1 m2 m3 ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ ⎢⎜15 KN 2 g * 15m *15m * 17,5m ⎟ + ⎜10 * 35 *10 * 5 ⎟ + ⎜ 20 * 25 * 15 * 12,5 ⎟⎥ m ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎢⎜ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎝ x x ⎣ Cm = Cg = = 11,85m KN [(15 m 2 g *15m *15m) + (10 * 35 *10) + (20 *15 * 25)]

d 1( y ) = 35 + 7 , 5 m1 m2 m3 ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ ⎜ ⎢ 15 KN 2 g * 15m * 15m * 42,5m ⎟ + ⎜10 * 35 * 10 * 32,5 ⎟ + ⎜ 20 * 25 * 15 * 7,5 ⎟⎥ m ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎢⎜ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎣ y y Cm = Cg = = 21,80m KN [(15 m2 g * 15m * 15m) + (10 * 35 * 10) + (20 * 15 * 25)]

•

Centro de rigidez

Rigidez ⇒ K =

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E*I L

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Y a

2a

a

2a

h f

6a

a

1

Cr

2a

a X

a

2a 5a

Cálculo do Centro de rigidez: Normalmente temos que Ei e Li são constantes. Assim sendo: ¾ Cr y =

6a 2

⎛ Ei * I ix x⎞ ⎟⎟ ⎜ * d ( ) * K d ∑ i ∑ ⎜ L 1 ⎠≈ Cr x = 1 n = ⎝n i x * E I ∑1 Kix ∑1 i L i i n

n

x i

x i

I p2 a*2 a

∑ (I n

x i

* d ix )

1

n

∑I

x i

1

I pa*a

⎛ ⎞ ⎛ d ⎜ d ⎟ ⎜ 3 3 ( ) a a a a 2 * 2 * ⎜2* *a⎟ + ⎜2* * 5a − a 2 ⎜ ⎟ ⎜ 12 12 ⎜ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ¾ Cr x = ⎝ 3 2a * (2a ) a * a3 + 2* 2* 12 12

(

I p2 a*2 a

Considerando a = 1m, teremos: 54/122

I pa*a

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

)

⇔

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16

⇔ Cr x =

2 * 8 * 1 + (1 * 4,5) = 1,2m (2 * 8) + 1

¾ Cr y =

6 = 3m 2

Exercício:

Um edifício de 14 pisos tem f = 1,2 Hz. Classifique-o quanto à sua deformabilidade face ao Artigo 30.6º do R.S.A.. ⎧ ⎪0,5 Hz ⎪⎪ Temos que f = 1,2 Hz, em que ⇒ f ≥ ⎨e ⎪ 8 8 ⎪ = = 0,57 ⎪⎩ n pisos 14

Então, de acordo com o R.S.A., podemos dizer que o edifício não é demasiado deformável. COEFICIENTES SÍSMICOS [RSA – art. 31º]: Exercícios:

a) Considere um edifício com estrutura porticada de 12 pisos e diga qual a sua frequência fundamental de acordo com os critérios simplificados do RSA. Em consonância com a Secção 31.2º, podemos calcular:

f =

12 12 ⇔ f = = 1Hz n pisos 12

Podemos ainda concluir: Quanto mais alto for o edifício, menor é a sua frequência, maior a sua deformabilidade. b) Considere um edifício com estrutura pórtico – parede de 12 pisos e diga qual a sua frequência fundamental:

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Em conformidade com a Secção 31.2º, podemos calcular:

f =

16 16 ⇔ f = = 1,33Hz n pisos 12

c) Considere um edifício com estrutura parede de 12 pisos e o esquema da planta abaixo e diga qual a sua frequência fundamental: De acordo com a Secção 31.2º, podemos calcular:

b = 15m

f

f =

6*b 6 *15 ⇔ f = = 2,5Hz 12 * 3 h

OBS.: ¾ n pisos ⇒ É o nº de pisos acima do nível do terreno; ¾ h ⇒ Altura do edifício acima do nível do terreno; ¾ b ⇒ Dimensão em planta do edifício segundo a direcção do

sismo; ¾

f ⇒ Expresso em “Hz”.

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MÉTODO SIMPLIFICADO DO RSA (VALOR E DISTRIBUIÇÃO DAS FORÇAS ESTÁTICAS) [RSA – art. 32º] versus ANÂLISE DINÂMICA

⇒ Exemplo Nº1 (ANÁLISE PELO MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE)

Considere o seguinte edifício cuja estrutura não é de ductilidade melhorada, ou seja, é de ductilidade normal.

0,30

2,0 m

2,0 m

2 4,0 m

m1

6,0 m

4,0 m 0,30 0,30

6,0 m

DADOS: 6,0 m

•

Y

Carga Permanente (incluindo o Peso Próprio) = 6 KN m 2 ;

6,0 m

•

Sobrecarga

(Edifício

Habitação)

2 KN m 2 ; •

ψ 2 = 0,2 ;

•

Tipo de terreno: II;

•

Zona de sísmica: Porto;

•

Estrutura em Betão Armado.

RESOLUÇÃO: ¾ Cálculo da carga total: C t = CP + ψ 2 * SC = 6 + 0,2 * 2 ⇔ C t = 6,4 KN m 2

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=

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¾ Cálculo do coeficiente sísmico nas duas direcções ( β ):

β = β0 *

α η

- Zona de sísmica: Porto ⇒ α = 0,3 (R.S.A.- art.29.2º, Quadro I);

- Direcções: •

Direcção X:

Temos uma estrutura mista pórtico – parede de ductilidade normal, logo ⇒ η = 2,0 (REBAP – art.33.2º). Então:

16 16 ⎫ = = 8 Hz; ⎪ 2 n ⎬ (R.S.A. – art.31.2º - Quadro II) → T .terrenoII , f ≥ 4,0 : β 0 = 0,4;⎪⎭

→ f =

→ β x = 0,4 * •

0,3 ⇔ β x = 0,06 2,0

Direcção Y:

Temos

uma

estrutura

em

pórtico

de

ductilidade

normal,

⇒ η = 2,5 (REBAP – art.33.2º). Então: ⎫ 12 12 = = 6 Hz; ⎪ n 2 ⎪⎪ → T .terrenoII , f ≥ 4,0 : β 0 = 0,4;⎬ (R.S.A. – art.31.2º - Quadro II) ⎪ 0,3 y y → β = 0,4 * ⇔ β = 0,048 ⎪ ⎪⎭ 2,5 → f =

¾ Verificação dos valores:

Obtivemos:

β

x

= 0 , 06

β

y

= 0 , 048

Temos ainda conferir a seguinte condição: 0,04 * α ≤ β ≤ 0,16 * α

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logo

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⇒ β x → 0,04 * 0,3 ≤ 0,06 ≤ 0,16 * 0,3 ⇒ KO ⇒ β x = 0,048 0 , 012

0 , 048

⇒ β → 0,04 * 0,3 ≤ 0,048 ≤ 0,16 * 0,3 ⇒ OK y

0 , 012

0 , 048

OBS.: Se a estrutura apresentar uma certa ductilidade não necessita ser considerado um valor maior que 0,16 * α e neste caso, apesar de ser uma estrutura de ductilidade normal, ela em princípio apresentará essa característica (bastando adoptar as disposições construtivas elementares obrigatórias para uma estrutura de ductilidade melhorada). Então o coeficiente sísmico será igual a 0,048. (R.S.A. – art.31.2º). Contudo, o valor mínimo de 0,04 * α terá sempre de ser respeitado. ¾ Cálculo da acção do sismo:

∑G ∑ h *G

f Ki = β * hi * Gi *

i

i

i

- 1ºPiso:

β = 0,048; h1 = 4,0m;

[

[ ]

G1 = A piso * C t = (18 * 6) m 2 * 6,4 KN

m2

] = 691,2KN

G1 = G2

f K 1 ⇒ f Kx1 = 0,048 * 4,0 * 691,2 *

2 * 691,2 = 22,12 KN ; 4,0 * 691,2 + 8,0 * 691,2

G1 = G2

f Ky1 = 0,048 * 4,0 * 691,2 *

2 * 691,2 = 22,12 KN . 4,0 * 691,2 + 8,0 * 691,2

Y

Y

Só por coincidência que f Ky1 é igual a f Kx1 !!!

CG

CG X

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

- 2ºPiso:

β = 0,048; h2 = 8,0m;

[

[ ]

G2 = A piso * C t = (18 * 6) m 2 * 6,4 KN

m2

] = 691,2KN

G1 =G2

f K 2 ⇒ f Kx2 = 0,048 * 8,0 * 691,2 *

2 * 691,2 = 44,24 KN ; 4,0 * 691,2 + 8,0 * 691,2 G1 =G2

f Ky2 = 0,048 * 8,0 * 691,2 *

2 * 691,2 = 44,24 KN . 4,0 * 691,2 + 8,0 * 691,2

Só por coincidência que f Ky2 é igual a f Kx2 !!!

G2

m2

CG

m1

44,24 KN

22,12 KN

1

Podemos concluir se os pisos tiverem a mesma massa e todas as alturas iguais, teremos: f

5

l

f

m

4

l

f

m

3

l

f

m

2

l

f

m

1

l

f

m

0

l

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

OBS.: É importante observar que o diagrama das forças sísmicas aumenta conforme também cresce a altura do edifício em relação ao solo, sendo perfeitamente triangular se as massas de todos pisos forem idênticas, bem como a altura dos mesmos. Exemplificando para o 1.º piso: 1

¾ Distribuição das forças (atendendo

ao art.º32.2 do RSA: estruturas simétricas na direcção considerada e

elementos

resistentes

6,0 m

f f

2

3

uniformemente distribuídos):

ξ =1+

3,0 m 3,0 m 6,0 m

f

9,0 m 18,0 m 9,0 m

4

0,6 x a

f Pórtico…i = f SísmicaTotal ×

⎡ Ki ⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ∑ Kj ⎥⎦

× ξ ( factor regulamentar )

rigidez relativa do pórtico i dentro da rigidez total da estrutura

0,6 * 9m = 1,3 ⇒ 18m ⎡ ⎤ 2 × 0,3 × 2,0 3 / 12 f1 = f 4 = 22,12 × ⎢ ⎥ * 1,3 [ KN ] = 11,02 × 1,3 = 14,33KN 3 3 ⎣ 2 × ( 2 × 0,3 × 2,0 / 12) + 2 × ( 2 × 0,3 × 0,3 / 12) ⎦

ξ P1 x = 1 +

rigidez relativa do pórtico 1 dentro da rigidez total da estrutura

0,6 * 3m = 1,1 ⇒ 18m ⎡ ⎤ 2 × 0,3 × 0,33 / 12 f 2 = f 3 = 22,12 × ⎢ ⎥ * 1,1 [ KN ] = 0,031 × 1,1 = 0,034 KN 3 3 ⎣ 2 × ( 2 × 0,3 × 2,0 / 12) + 2 × ( 2 × 0,3 × 0,3 / 12) ⎦

ξ P2x = 1 +

rigidez relativa do pórtico 1 dentro da rigidez total da estrutura

De reparar que no caso dos pórticos XX’s toda a força sísmica é absorvida pelos que possuem paredes resistentes, dada a sua desproporcional rigidez face aos que apenas tem pilares. No caso dos pórticos em YY’s, dado terem a mesma rigidez, basta dividir a força sísmica total pelo seu número.

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

ξ P1 y = 1 +

0,6 * 3m 22,12 = 1,3 ⇒ f1 = f 2 = *1,3KN = 14,38KN 6m 2 n º Pórti cos

Estes são os valores da distribuição referente aos dois tipos de pórticos!!! TERMINAMOS DE VER UMA FORMA DE ANÁLISE: - Processo Simplificado (método estático equivalente do RSA à Acção Sísmica) PARA DETERMINAR A ACÇÃO DO SISMO. Porém, vejamos agora alguns exemplos práticos de UM MÉTODO DE CÁLCULO RIGOROSO DA FREQUÊNCIA POR VALORES E VECTORES PRÓPRIOS:

Métodos de Análise Dinâmica

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

⇒ Exemplo Nº 2 - CÁLCULO DA FREQUÊNCIA POR ANÁLISE VIBRATÓRIA Aproveitando o edifício do exemplo anterior: 2 0,30

2,0 m

2,0 m

4,0 m

6,0 m

m1

4,0 m

0,30 0,30

6,0 m

Dados:

→ C t = 6,4 KN m 2

[ ]

[

→ G piso1 = A piso1 * C t = (18 * 6) m 2 * 6,4 KN 6,0 m

→ Massa do Piso1:

Y

⇒ M piso1 = 6,0 m

G piso1 g

=

→ Betão B25.

+ A.v + K.d = F

Visão simplista do fenómeno SÍSMICO: f = m*a

massa

aceleração

da

do

estrutura

sismo

63/122

] = 691,2KN

691,2 = 70,53ton 9,8ms − 2

→ Massa do Piso 2 = Massa do Piso 1

Equação de Equilíbrio Dinâmico: M.a

m2

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

•

1º Passo - Matriz de Massa da estrutura: [1] [2]

m2

4,0 m

0 ⎤ ⎡70,53 M =⎢ 70,53⎥⎦ ⎣ 0

m1

4,0 m

•

2º Passo - Matriz de Rigidez (SIMÉTRICA):

2

K12

=1

K22

4m

1

=1

K11

K21

4m

Nota: Supondo que os elementos horizontais (Lajes) são indeformáveis! Paredes , 3*2 ⎛ Pilares 0,3*0,3 ⎞ ⎜ 3 3 ⎟ 0 , 3 * 0 , 3 0 , 3 * 2 ⎟ + 4* 12 * 29 E 9 * ⎜ 4 * 12 12 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 12 EI ⎝ ⎠ = 8,7 E 6 KN K11 = 3 * 2 pisos = 2 * m l 43 ⎛ 0,3 * 0,33 0,3 * 23 ⎞ ⎟ + 4* 12 * 29 E 9 * ⎜⎜ 4 * 12 12 ⎟⎠ 12 EI ⎝ K12 = − 3 = − = −4,4 E 6 KN m l 43 B 25

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

⎛ 0,34 0,3 * 2 3 ⎞ ⎟ 12 * 29 E * ⎜⎜ 4 * + 4* 12 12 ⎟⎠ 12 EI ⎝ K 21 = − 3 = − = −4,4 E 6 KN m l 43 ⎛ 0,34 0,3 * 23 ⎞ 12 * 29 E 9 * ⎜⎜ 4 * + 4* ⎟ 12 12 ⎟⎠ 12 EI ⎝ K 22 = 3 * 1 piso = = 4,4 E 6 KN m 3 4 l 9

A questão não é contabilizar pilares ou pórticos, por si, mas sim o número de pisos deformado para efectuar o deslocamento pretendido. O que arrasta um número de pilares a contabilizar ao nível do pórtico (ou da estrutura se a análise for do seu conjunto). ⎡ 8,7 − 4,4⎤ K=⎢ * (106 ) ⎥ ⎣ − 4,4 4,4 ⎦ Por serem simétricas, são iguais!!! Em geral, se a estrutura tiver elementos estruturais idênticos (secção e altura) e sendo n o seu número: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 12EI K = 3 ⎢. l ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢

2n −n 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 0

−n 2n −n 0 0 ... 0 0 0 0 0 0

~

−n 2n −n 0 ... 0 0 0 0 0 0

−n 2n −n ... 0 0 0 0 0 0

−n ... ... 0 0 0 0 0 0

... ... ... ... ... ... −n 0 0 0 0 0

simétrico

−n 2n −n 0 0 0 0

−n 2n −n 0 0 0

−n 2n −n 0 0

−n 2n −n 0

−n 2n −n

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ −n ⎥ ⎥ n ⎦⎥

De notar que temos elementos estruturais do tipo parede, pelo que a sua rigidez seria mais correcta com o uso, também aproximado e simplificado, da expressão: K = 3EI/H3 com H a altura total do edifício. Isto sucede porque a parede resistente funciona como uma grande consola encastrada na fundação e livre no topo, uma vez que, na verdade, os pisos não conseguem absorver a rotação que este elemento, muito mais rígido que os pavimentos, lhe provocam.

•

3º Passo - Cálculo de frequências da vibração da estrutura: ⎫⎪ ⎛ ⎞ ⎧ ⎜ [K ] − W 2 [M ]⎟ * ⎪⎨ φ ⎬ = {0} ⎜ ⎟ Pr Valor óprio ⎪ ⎝ ⎠ ⎩Vector Pr óprio ⎪⎭ 65/122

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(

)

Det. [K ] − W 2 [M ] = 0 Det. A = 0 0 ⎤ ⎡ 8,7 − 4,4⎤ ⎡70,53 A=⎢ *10 6 − W 2 ⎢ ⎥ 70,53⎥⎦ ⎣− 4,4 4,4 ⎦ ⎣ 0 ⎛ ⎡ 8,7 − 4,4⎤ W 2 ⎡70,53 0 ⎤⎞ ⎟ * 10 6 A = ⎜⎜ ⎢ − 6⎢ ⎥ ⎥ ⎟ − 4 , 4 4 , 4 0 70 , 53 ⎦ 10 ⎣ ⎦⎠ ⎝⎣ − 4,4 ⎡8,7 − 70,53 * B ⎤ W2 A=⎢ B = em que : − 4,4 4,4 − 70,53 * B ⎥⎦ 106 ⎣ Det. A = (8,7 − 70,53 * B ) * (4,4 − 70,53 * B ) − (− 4,4) = 2

= 38,28 − 613,61 * B − 310,33 * B + 4974,48 * B 2 − 19,36 = 0 ⎧ B = 0,023; ⇔ 4974,48 * B 2 − 923,94 * B + 18,92 = 0 ⇒ ⎨ 1 ⎩ B2 = 0,162.

Como: B =

W2 , então teremos: 106

⎧⎪→ W = 0,023 *10 6 = 151,66 rad s ; 1 W = B *10 ⇒ ⎨ ⎪⎩→ W2 = 0,162 *10 6 = 402,49 rad s . 6

E ainda, em acordo com a física, temos que: W = 2 * π * f : W1 151,66 = = 24,14 Hz; 2 *π 2 *π W 402,49 f2 = 2 = = 64,06 Hz. 2 *π 2 *π

f1 =

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⇒ Exemplo Nº 3 (ANÁLISE PELO MÉTODO ESTÁTICO SIMPLIFICADO [R.S.A] E PELO MÉTODO DINÂMINO SIMPLIFICADO DE RAYLEIGH) 1) ANÁLISE PELO MÉTODO ESTÁTICO SIMPLIFICADO [R.S.A]:

f f

K2 3,0 m K1 3,0 m

DADOS: o P1 = 30*30cm;

PT1

o Tipo de terreno: II;

P1

P1

o Zona de sísmica: Porto; 5,0 m

PT2 P1

o Estrutura em Betão Armado. o Ductilidade normal.

P1

o Combinação Quase

Permanente: 5,0 m

PT3 P1

CP+ψ 2 *SC ⇒ Gt = 640,25KN .

P1 5,0 m

PT4 P1

P1

RESOLUÇÃO: Temos que Gt = 640,25KN , então por pórtico1 teremos:

1

É indiferente resolver o exercício por pórtico ou pela estrutura no seu conjunto, porque a relação massa/rigidez se mantêm. Contudo, teremos que estar atentos para não existirem erros de contabilização na distribuição de forças pelos pórticos. Se fizermos o exercício pelo conjunto da estrutura, dado os pisos serem indeformáveis no seu plano, seria apenas uma questão de distribuir as forças encontradas por esses pórticos, tidos em conta os agravamentos regulamentares face à torção global da estrutura. 67/122

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640,25 ≈ 160 KN ⇒ 4 ⇒ G1 = G2 = G3 = G4 = 160 KN

Gt =

Assim sendo: f Ki = β * hi * Gi *

∑G ∑ h *G i

i

β = β0 *

i

α η

Temos uma estrutura em pórtico de ductilidade normal, logo ⇒ η = 2,5 (REBAP – art.33.2º). Então: ⎫ 12 12 = = 6Hz; ⎪ n 2 ⎪⎪ → T.terrenoII, f ≥ 4,0 : β 0 = 0,4;⎬ (R.S.A. – art.31.2º - Quadro II) ⎪ 0,3 → β = 0,4 * ⇔ β = 0,048 ⎪ ⎪⎭ 2,5

→f =

Como: 0,04 * α ≤ β ≤ 0,16 * α ⇒ β → 0,04 * 0,3 ≤ 0,048 ≤ 0,16 * 0,3 ⇒ OK 0 , 012

0 , 048

Com β = 0,048 , iremos calcular a acção da sísmica ao nível dos pórticos (PT1 a PT4) individualmente (dado que todos têm a mesma estrutura: Pilares de 30 * 30cm): •

1º Piso: h1 = 3,0m(acima.do.solo); f K 1 ⇒ f K 1 = 0,048 * 3,0 * 160 *

160 + 160 = 5,12 KN . 3,0 * 160 + 6,0 * 160 h2

•

2º Piso:

h2 = 6,0m(acima.do.solo); f K 2 = 0,048 * 6,0 *160 *

Corte basal =

∑f

Ki

160 + 160 = 10,24 KN . 3,0 *160 + 6,0 *160

= f K 1 + f K 2 = 5,12 + 10,24 = 15,36 KN

68/122

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10,24 KN

PT1,2,3e4 5,12 KN

2) ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA PELO MÉTODO DE RAYLEIGH

Dá-nos a frequência elementar da estrutura (1º Modo de vibração), sendo esta a frequência mais baixa (fundamental) e que representa em princípio situação dominante em termos de comportamento dinâmico/vibratório da estrutura. Continuando ainda com o exemplo nº2, teremos:

i

i

160KN

m2

160KN

2

f 1 = 160KN

m1

2

3,0 m

f i = Gi =160KN

m1 3,0 m

30

d2 São características físicas da estrutura REAL.

30

30

30

m2 ∆

d1

m1

f EI

f = 69/122

12 EI *Δ l3

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Admitindo os pisos como indeformáveis, temos que os deslocamentos são (no caso dos pilares do piso terem todos as mesma altura e inércia, ou seja, a mesma rigidez): d i = (n − i + 1) * Δ i + d i −1 Δi =

Fi * l i3 12 EI

(ao nível dos pisos)

(de forma independente como se um piso isolado se tratasse)

Em que: •

di - Deslocamento do piso i em relação ao solo, ou seja, o deslocamento total;

•

i

•

n - Nº total de pisos;

•

Δ i - Deslocamento de uma haste com as características do piso i.

- Piso em estudo;

Efectuando os cálculos teremos:

a) Δ1 = Δ 2 =

160 * 3,0 3 = 0,0133m 4 6 ⎛ ⎞ 0 , 3 12 * 20 × 10 * ⎜ * 2 12 ⎟⎠ Pilares considerando . um ⎝ betão . qualquer

I ⇒30*30

Se o pórtico tivesse 4 pilares, seria 4 e não 2. d i = (n − i + 1) * Δ i + d i −1 ⎧→ d1 = (2 − 1 + 1) * 0,0133 + 0 = 0,0266m; b) ⎨ ⎩→ d 2 = (2 − 2 + 1) * 0,0133 + 0,0266 = 0,0399m.

NOTA: Reparar que neste caso todos os pisos têm a mesma carga e pilares iguais, se assim não fosse teríamos que efectuar as alterações necessárias (ver solução geral mais à frente).

70/122

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

0,0399

f 2 = 160KN

0,0266/2 = 0,0133

f 1 = 160KN

m2

m1

0,0266

⎧ Piso2 ⎫ ⎧0,0399 ⎫ ⎬=⎨ ⎬ (Modo de Vibração Fundamental) ⎩ Piso1 ⎭ ⎩0,0266 ⎭

ϕ=⎨

A posição dos pisos no vector é indiferente. Apenas temos que ter presente como os distribuímos nesse vector, para não efectuar trocas de níveis nos cálculos posteriores. Admitindo, igualmente, os pisos como indeformáveis, mas de forma mais genérica e incluindo a eventual presença de paredes resistentes: n .º de pisos acima do presente

∑F di =

j

+ d i-1

i n.º de pilares

∑ 1

12 EI k + L3k

n.º de paredes

∑ 1

3EI m H m3

Ou seja, deslocamento de um piso é igual ao produto do total das forças aplicadas nesse piso e de todos os que lhe são superiores pela rigidez do mesmo, a somar ao deslocamento transportado do piso que lhe é inferior. Reparar que esta fórmula provém da generalização de: K.d = F. Também, no caso de existirem cabos, a sua contribuição poderia ser contabilizada pelo acréscimo da nova parcela à fórmula anterior, simplificadamente:

71/122

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

n.º de pisos acima do presente

∑F di =

j

+ d i-1

i n.º de pilares

∑ k =1

12 EI k + L3k

n.º de paredes

∑ m=1

3EI m + H m3

n.º de cabos

∑ n =1

EAn × cos α ( ângulo com a horizontal ) Cn

L= 30°

Parede

L=

3

H=

9

Pilar

L=

3

Cabo

3

Como ilustração do que se pretende evidenciar, temos a figura abaixo.

Se neste exemplo: ⇒ F = 1000 kN ⇒ Paredes: 1.5 × 0.2, E = 29E+6 ⇒ Pilares: 0.3 × 0.3, E = 29E+6 ⇒ Cabos: ø = 16mm, E = 210E+9 Surge:

1 1 ⎡ ⎤ 3 3 ⎢ 3 × 29 E 9∑ 0.2 × 1.5 / 12 12 × 29 E 9∑ 0.3 × 0.3 / 12 ⎥ 2 1 1 Δ = 1000 E 3 × ⎢ + + (0.016 / 4 × 210 E 9) × 1 × cos(30) /(3 / sin( 30)) ⎥ 3 3 9 3 ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

Δ = 1000 E 3 × [6713E 3 + 8700 E 3 + 1940 E 3] = 0,0576m −1

Se negligenciamos a presença dos cabos: 1 1 ⎤ ⎡ 3 3 29 E 9 0 . 2 1 . 5 / 12 12 29 E 9 × × × ∑1 ∑1 0.3 × 0.33 / 12 ⎥ ⎢ ⎥ Δ = 1000 E 3 × ⎢ + 93 33 ⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎢⎣

72/122

−1

= 0,0649m

−1

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

Como no nosso caso todos os pilares tem a mesma altura, podemos utilizar a forma simplificada, assim:

•

d1 =

(160 + 160) × 33 4 ⎞* 2 12 * 20 × 10 * ⎛⎜ 0,3 12 ⎟⎠ Pilares ⎝ considerando . um

betão . qualquer

•

d2 =

+ 0,0 = 0,0266[m ]

6

I ⇒30*30

(160) × 33 4 12 * 20 × 10 * ⎛⎜ 0,3 ⎞⎟ * 2 12 ⎠ Pilares considerando . um ⎝

+ 0,0266 = 0,0399[m ]

6

betão . qualquer

I ⇒30*30

c) FÓRMULA DE RAYLEIGH (R.S.A.- Art.31.2º):

1 f = 2π

g ∑ Fi d i i

∑Fd i

2 i

i

Continuando os cálculos por esta fórmula, teremos: 1 9,8 * (160 * 0,0266 + 160 * 0,0399 ) g ∑ Fi d i ⎧ = 2,68Hz ⎪→ f = i 2π 160 * 0,0266 2 + 160 * 0,0399 2 2 ⎨ ∑i Fidi ⎪ ⎩

1 ⇒f = 2π

Ö Diminuindo o valor da MASSA, e mantendo a RIGIDEZ da estrutura, aumenta ou

diminui a FREQUÊNCIA da mesma? Simulemos com a mesma estrutura mas metade da massa. Como o deslocamento é proporcional à massa, dado que é o valor desta que surge como acção horizontal: 1 ⇒ f = 2π

g ∑ Fi d i

⎧ 1 ⎨OBS . :⇒ f = 2π ∑ Fi d ⎩ i

2 i

9,8 * (160 / 2 * 0,0266 2 + 160 / 2 * 0,0399 2 ) = 3,79 Hz 160 / 2 * (0,0266 2) 2 + 160 / 2 * (0,0399 2) 2

i

. 1 ⇒f = 2π

g ∑ Fi d i

⎧ 1 9,8 * (0,0266 2 + 0,0399 2) = 3,79Hz ⎨OBS. :⇒ f = 2π (0,0266 2) 2 + (0,0399 2) 2 ∑ Fd ⎩ i

2 i i

i

A frequência aumentou!

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

Na verdade, quanto menor for a MASSA mais se tende para o valor da FREQUÊNCIA FUNDAMENTAL DO MÉTODO ESTÁTICO, que é de 6Hz. Ou seja, com o M. De RAYLEIGH tem-se um valor mais eficaz da frequência fundamental (2,68Hz < 6Hz). O regulamento tendo uma postura conservadora, do lado da segurança, conduz a frequências mais elevadas se adoptarmos o Método Estático, pois que tal atitude faz aumentar as forças sísmicas (veja-se o que sucede com o Coeficiente Sísmico de Referência β0, quando a frequência aumenta, ou as relações entre frequências e acelerações dos Espectros de Resposta do anexo III do RSA); Ö E diminuindo a RIGIDEZ da estrutura e mantendo o valor da MASSA, aumenta ou

diminui a FREQUÊNCIA da mesma? Simulemos com a mesma massa mas metade da rigidez da anterior estrutura. Como o deslocamento é proporcional à rigidez e dado que o valor desta é metade:

1 ⇒f = 2π

g ∑ Fi d i

⎧ 1 9,8 * (160 * 0,0266 * 2 + 160 * 0,0399 * 2 ) = 1,89Hz OBS. :⇒ f = 2 ⎨ 2π 160 * (0,0266 * 2) 2 + 160 * (0,0399 * 2) 2 ∑ Fidi ⎩ i

i

1 ⇒f = 2π

g ∑ Fi d i

⎧ 1 9,8 * (0,0266 * 2 + 0,0399 * 2) = 1,89Hz ⎨OBS. :⇒ f = 2π (0,0266 * 2) 2 + (0,0399 * 2) 2 ∑ Fd ⎩ i

2 i i

i

A frequência diminui, pois a estrutura tornou-se mais flexível! e) Aplicando de novo o Método Estático Simplificado: ⎫ ⎪ ⎪⎪ → T.terrenoII, f < 4,0 : β 0 = 0,2 f = 0,33;⎬ (R.S.A. – art.31.2º - Quadro II) ⎪ 0,3 ⎪ → β = 0,33 * ⇔ β = 0,04 2,5 ⎭⎪ → f = 2,68Hz;

Como: 0,04 * α ≤ β ≤ 0,16 * α ⇒ β → 0,04 * 0,3 ≤ 0,04 ≤ 0,16 * 0,3 ⇒ OK 0 , 012

0 , 04

Com β = 0,04 , iremos calcular a acção da sísmica ao nível dos pórticos (PT1 a PT4) individualmente (dado que todos têm a mesma estrutura: Pilares de 30 * 30cm): 74/122

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f Ki = β * hi * Gi *

∑G ∑h *G i

i

•

i

1º Piso: h1 = 3,0m(acima.do.solo); f K1 ⇒ f K1 = 0,04 * 3,0 * 160 *

160 + 160 = 4,3KN. 3,0 * 160 + 6,0 *160 h2

•

2º Piso:

h 2 = 6,0m(acima.do.solo); f K 2 = 0,04 * 6,0 *160 *

160 + 160 = 8,6KN. 3,0 *160 + 6,0 *160

Ou seja obtemos uma redução de cerca de 17,5% da acção sísmica por ter corrigido o valor da frequência de vibração fundamental da estrutura. d) Aproveitando a frequência obtida pelo Método de Rayleigh e efectuando agora uma análise Dinâmica Simplificada, começamos por calcular a COORDENADA MODAL, em que temos a seguinte fórmula: Yi =

Li * Sa ( f ,ξ ) M i * Wi 2

Quando só existe um modo de vibração a expressão perde a sua entidade matricial, passando a ser uma mera expressão numérica simples: L i ϕ iT m i {1} ∑ d i * m i * 1 ∑ m i * d i ∑ Q i / g * d i = = = = =r M i ϕ iT mϕ i ∑ d i * m i * d i ∑ m i * d i2 ∑ Q i / g * d i2

No caso, ainda mais elementar, de todos os pisos terem igual massa e rigidez:

∑d ∑d

Li ϕ T m {1} = iT i = Mi ϕ i mϕ i

i 2 i

=r,

Mét . RAYLEIGH

No referente ao exemplo em questão temos: Li 0,0266 + 0,0399 = = 28,918 = r. M i 0,0266 2 + 0,0399 2

Temos ainda: Wi = 2πf = 2 * π * 2,68 = 16,84 rad s . Sabemos que: •

α = 0,3 (Zona do Porto); 75/122

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•

ξ = 5% (Coef. de amortecimento Est. de Betão);

•

Tipo de terreno: II;

•

f = 2,68 Hz.

Analisando os Espectros de Resposta no R.S.A. (Anexo III), obtivemos: e) Acelerações espectrais (RSA): 2 ⎧⎪→ STipoI = 310 cm s ; a f = 2,68Hz ⎨ 2 ⎪⎩→ STipoII = 235 cm s . a

α

→ STipoI = 310 * a

0,3 2 = 0,93m s ; 100 α

→S

TipoII a

0,3 2 = 235 * = 0,705m s . 100

Yi =

Li * Sa (f , ξ) M i * Wi2

YTipoI =

28,918 * 0,93 = 0,0981 16,84 2

YTipoII =

29,918 * 0,705 = 0,074 16,84 2

f) Deslocamentos máximos: ⎧0,0399 ⎫ ⎧0,00391⎫ ⎡ Piso2⎤ → Z1I = ϕ * Y1I = ⎨ ⎬ * 0,0981m = ⎨ ⎬( m) ⎢ ⎥ ⎩0,0266 ⎭ ⎩0,00261⎭ ⎣ Piso1⎦ ⎧0,0399 ⎫ ⎧0,00295⎫ ⎡ Piso2⎤ → Z1II = ϕ * Y1II = ⎨ ⎬ * 0,074m = ⎨ ⎬( m) ⎢ ⎥ ⎩0,0266 ⎭ ⎩0,00197 ⎭ ⎣ Piso1⎦

g) Forças máximas: f si = m * ϕ i *

Li S a ( f , ξ ) * = m * Z1I * W 2 / η = m * ϕ * Y1I * W 2 / η η Mi

160 0 ⎫⎪ ⎧0,0399⎫ ⎧ f I ⎫ ⎧⎪ ⎧ 7 ⎫ 0,93 ⎧17,52⎫ ⇒ ⎨ 2I ⎬ = ⎨ 9,8 =⎨ *⎨ * 28,918 * 2,5 = ⎨ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬( KN ) 160 0 , 0266 11 , 68 4 , 67 2 , 5 f 0 ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ 1 ⎭ ⎪⎩ 9,8⎪⎭ 160 0 ⎫⎪ ⎧0,0399⎫ ⎧ f 2II ⎫ ⎧⎪ 9,8 ⎧5,31⎫ 0,705 ⎧13,28⎫ ⇒ ⎨ II ⎬ = ⎨ =⎨ *⎨ * 28,918 * 2,5 = ⎨ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬( KN ) 160 0 , 0266 8 , 85 3 , 54 2 , 5 ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ f1 ⎭ ⎪⎩ 0 9,8⎪⎭ Recorrendo ao método simplificado do EC8:

a) Se quiséssemos obter o corte basal, Vb:

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

Nota: o coeficiente sísmico, α, deve ser incluído quando não unitário, multiplicado pela aceleração da zona A.

Vb = 0.4 × 160 × (0,0399 + 0,0266) × 2,682 × 310/100 × 0,3 = 28,9 kN Note-se que o coeficiente de comportamento (relativo à aquisição das forças sísmicas) só se aplica para efeitos da posterior determinação dos esforços dos elementos resistentes e não no cálculo das reacções de apoio (forças totais), pelo que se não entra aqui com o referido coeficiente. De relembrar que o coeficiente de comportamento relaciona a resposta do comportamento material em regime linear com o não linear, sendo que no caso do corte basal se trata da contabilização das forças absolutas totais geradas pelo sismo em toda a estrutura (geralmente representado por forças equivalentes concentradas ao nível dos pisos). É ainda de notar que: 0,4 ≈ 2π/g, em semelhança com a fórmula do método de Rayleigh.

b) E nos pisos:

Fmáx1 = 0.4 × 160 × (0,0266) × 2,682 × 310/100 × 0,3 / η = 17,4 / η kN = 17,4 / 2,5 = 7,0 kN Fmáx2 = 0.4 × 160 × (0,0399) × 2,682 × 310/100 × 0,3 / η = 11,7 / η kN = 11,7 / 2,5 = 4,7 kN Aqui, como se trata de forças sísmicas para efeitos do cálculo dos esforços internos das peças da estrutura, o coeficiente de comportamento terá que estar incluído, admitindo que a determinação desses esforços de faz admitindo regime material elástico. 3) CONCLUSÃO:

Podemos concluir que pelo MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE (R.S.A.), chegamos aos seguintes resultados: → f = 6 Hz; → f 2 = 10,24 KN ; → f 1 = 5,12 KN .

Pelo MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE (R.S.A.), mas com frequência corrigida pelo Método de Rayleigh: 77/122

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

→ f = 2,68Hz; → f 2 = 8,6KN; → f1 = 4,3KN.

Já pelo MÉTODO DINÂMICO SIMPLIFICADO (RAYLEIGH), obtivemos: → f = 2,68Hz; →S

TipoI a

⎧⎪− f 2I = 7 KN ; ⎨ ⎪⎩− f1I = 4,67 KN .

⎧⎪− f II = 5,31KN ; → S aTipoII ⎨ 2II ⎪⎩− f1 = 3,54 KN . Segundo o EC8:

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Será este o condicionante!

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

Exercícios propostos para resolução (saíram em teste): 1) Acção dos Sismos [2+4 val]

a)

Para a estrutura da pequena ponte abaixo, localizada em Esposende e sobre terreno muito mole, calcule a sua frequência fundamental no sentido longitudinal, admitindo um grau de liberdade horizontal ao nível do tabuleiro, sendo este admitido como indeformável e permitindo os apoios extremos do tabuleiro deslocamentos horizontais livres. Os pilares são todos iguais e com secção 1,0m×0,5m, com maior dimensão transversal ao tabuleiro. Esta estrutura é fabricada em betão B35 e poderá considerarse de ductilidade normal.

b) Na direcção considerada, determine a força sísmica regulamentar, o deslocamento máximo absoluto do tabuleiro e as reacções no apoio do pilar de 6 metros.

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

30

C P = 5 0 k N /m

S C = 3 0 k N /m

11

8

6

D ire c ç ã o d o e s tu d o

7

7

2) Acção dos Sismos [2+4 val]

Na Figura representa-se uma estrutura em que a dimensão em planta é de D metros, destinada a um edifício de serviços (escritórios), sendo a altura entre o 1.º e 3.º piso (medida B) o dobro da entre o 1º e 2.º piso. Irá ser construído na zona urbana de Gaia, a 3km da beira-mar e sobre terreno de dureza dura/média. No seu desenvolvimento possui 4 pórticos idênticos ao apresentando e igualmente afastados. Será fabricada em aço estrtural (S355), com η (coeficiente comportamento) = 3,0 e pilares tubulares ocos, de área=0,01m2 e inércia = 2 0,001m4, estimando-se a carga permanente = 10 KN m .

Calcule a acção do sismo na direcção indicada, considerando os pisos como diafragmas rígidos no seu plano e admitindo apenas o modo fundamental de vibração.

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

EXEMPLO Nº 3.A - CALCULAR OS DESLOCAMENTOS TOTAIS DE CADA PISO ADMITINDO OS MESMOS COMO DIAFRAGMAS INFINITAMENTE RÍGIDOS NO SEU PLANO.

Dados: • Secções de aço = 0,001 m4 • Eaço = 210 GPa • EB25 = 29 GPa • Secção o pilar: 0,5 x 0,5 m2 • Secção da parede 1: 1,0 x 0,1 m2 • Secção da parede 2: 1,2 x 0,2 m2 • φ Cabos = 25mm

Resolução:

Fórmula genérica de deslocamento com pisos infinitamente rígidos: n.º de pisos acima do presente

∑F di =

j

+ d i-1

i n.º de pilares

∑ k =1

12 EI k + L3k

n.º de paredes

∑ m=1

3EI m + H m3

n.º de cabos

∑ n =1

EAn × cos α ( ângulo com a horizontal ) Cn

Cálculo dos deslocamentos relativos a cada piso (o deslocamento surge da relação entre a massa e a rigidez estrutural do piso): 1º Piso:

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

2º Piso:

3ºPiso:

4ºPiso:

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

Exemplo Nº 4 (ANÁLISE PELO MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE ATENDENDO AO CÁLCULO SIMPLIFICADO DO EFEITO DA TORÇÃO EM EDIFÍCIO REGULAR)

f

PT1

f

P1

P1

f 5,0 m

PT2 P1

K3 3,0 m

m3

K2 3,0 m K1 3,0 m

m2 m1

P1 DADOS: •

P1 = 40*40cm;

•

Tipo de terreno: II;

•

Zona de sísmica: Coimbra (α = 0,5) ;

•

Estrutura em Betão Armado de Ductilidade Melhorada B25;

•

Combinação Quase Permanente: (CP+ψ 2 *SC) ⇒ qt = 10 KN m 2 .

Temos que: Qt = qt * A = 10 * (5 * 5) = 250 KN . 1) ANÁLISE SÍSMICA PELO MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE [R.S.A]:

f Ki = β * hi * Gi *

∑G ∑h *G i

i

β = β0 *

i

α η

Temos uma estrutura em pórtico de ductilidade melhorada, logo ⇒ η = 3,5 (REBAP – art.33.2º). Então: ⎫ 12 12 = = 4 Hz; ⎪ 3 n ⎪⎪ → T .terrenoII , f ≥ 4,0 : β 0 = 0,4;⎬ (R.S.A. – art.31.2º - Quadro II) ⎪ 0,5 → β = 0,4 * ⇔ β = 0,057 ⎪ ⎪⎭ 3,5 → f =

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

Como: 0,04 * α ≤ β ≤ 0,16 * α ⇒ β → 0,04 * 0,5 ≤ 0,057 ≤ 0,16 * 0,5 ⇒ OK 0 , 02

0 , 08

Com β = 0,057 , iremos calcular a acção da sísmica ao nível dos pórticos (PT1 e PT2) individualmente (dado que todos têm a mesma estrutura: Pilares de 40 * 40cm): ƒ

1º Piso:

h1 = 3,0m(acima.do.solo); f K 1 ⇒ f K 1 = 0,057 * 3,0 * 250 *

250 + 250 + 250 = 7,12 KN . 3,0 * 250 + 6,0 * 250 + 9,0 * 250 h2

ƒ

h3

2º Piso:

h2 = 6,0m(acima.do.solo);

250 + 250 + 250 = 14,25 KN . 3,0 * 250 + 6,0 * 250 + 9,0 * 250

f K 2 ⇒ f K 2 = 0,057 * 6,0 * 250 *

h2

ƒ

h3

3º Piso:

h3 = 9,0m(acima.do.solo); f K 3 ⇒ f K 3 = 0,057 * 9,0 * 250 *

250 + 250 + 250 = 21,37 KN . 3,0 * 250 + 6,0 * 250 + 9,0 * 250 h2

Corte basal =

∑f

PT1 f

Ki

h3

= f K 1 + f K 2 + f K 3 = 7,12 + 14,25 + 21,37 = 42,74 KN .

P1

P1

1 = 7,12KN

PT2 P1

Cm

5,0 m

P1

(1ºPISO)

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

2) CÁLCULO SIMPLIFICADO DO EFEITO DA TORÇÃO DO EDIFÍCIO:

No caso de estrutura simétrica em relação a um plano que contém a direcção considerada para a acção sísmica, e os seus elementos resistentes estarem uniformemente distribuídos, pode-se considerar que as resultantes das forças estáticas que actuam segundo aquele plano de simetria e multiplicar os efeitos assim obtidos por um factor ξ definido por:

Coordenada . do. Pórtico

ξ = 1+

0,6

x

(Art.32.2º do R.S.A.)

a L arg ura .da . Estrutura

Então: → f K1 =

7,12 = 3,56 KN ; 2 2 Pórti cos

14,25 = 7,12 KN ; 2 21,37 = = 10,68 KN . 2

→ fK2 = → fK3

Utilizando a fórmula: ⎛ 0,6 * 2,5 ⎞ ⇒ f 1 = 3,56 * ⎜1 + ⎟ = 4,63KN ; 5 ⎝ ⎠ ⎛ 0,6 * 2,5 ⎞ ⇒ f 2 = 7,12 * ⎜1 + ⎟ = 9,26 KN ; 5 ⎝ ⎠ ⎛ 0,6 * 2,5 ⎞ ⇒ f 3 = 10,68 * ⎜1 + ⎟ = 13,89 KN . 5 ⎝ ⎠ 3 = 13,89KN

f

f

2 =9,26 KN

1 = 4,63 KN

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

Exemplo Nº 5 (ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA PELO MÉTODO DE RAYLEIGH)

Dá-nos a frequência elementar da estrutura (1º Modo de vibração), sendo esta a frequência mais baixa (fundamental) e que representa, em princípio, a situação condicionante. Continuando ainda com o exemplo nº 4, teremos:

d3

f

m3

d2

3,0 m

f

m2

d1

K3

f

m1

m3

K2 3,0 m K1 3,0 m

m2 m1

Temos que: d i = (n − i + 1) * Δ i + d i −1

Δi =

Fi * l i3 12 EI

(ao nível dos pisos)

(forma independente)

em que: o di -Deslocamento do piso i em relação ao solo; o

i

- Piso em estudo;

o n - Nº total de pisos; o

Δ i - Deslocamento de uma haste com as características do piso i. Efectuando os cálculos teremos:

a) Δ 1 = Δ 2 =

250 * 3,0 3 = 0,00455m 4 ⎛ ⎞ 6 0 , 4 12 * 29 E * ⎜ * 2 12 ⎟⎠ Pilares ⎝ B 25 I ⇒ 40*40

Se o pórtico tivesse 4 pilares, seria 4 e não 2. 86/122

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

⎧→ d1 = (3 − 1 + 1) * 0,00455 + 0 = 0,0137 m; ⎪ b) ⎨→ d 2 = (3 − 2 + 1) * 0,0455 + 0,0137 = 0,0228m; ⎪→ d = (3 − 3 + 1) * 0,0455 + 0,0228 = 0,0274m; 3 ⎩

⎧0,0137 ⎫ ⎪ ⎪ ϕ = ⎨0,0228⎬ (Modo de Vibração Fundamental) ⎪0,0274⎪ ⎩ ⎭

c) FÓRMULA DE RAYLEIGH (R.S.A.- Art.31.2º):

1 f = 2π

g ∑ Fi d i i

∑F d i

2 i

i

Continuando os cálculos por esta fórmula, teremos:

⇒ f =

1 2π

9,8 * (4,63 * 0,0137 + 9,26 * 0,0228 + 13,89 * 0,0274) = 3,19 Hz . 4,63 * 0,0137 2 + 9,26 * 0,0228 2 + 13,89 * 0,0274 2

d) Devemos agora calcular a COORDENADA MODAL, em que temos a seguinte fórmula:

Yi =

ϕ iT mi {1} Li = = M i ϕ iT mϕ i

∑d ∑d

Li * Sa ( f ,ξ ) M i * Wi 2

i

2 i

= r , referente ao exemplo em questão temos:

Mét . RAYLEIGH

r=

Li 0,0137 + 0,0228 + 0,0274 = = 43,82 . M i 0,0137 2 + 0,0228 2 + 0,0274 2

Temos ainda: Wi = 2π * f = 2 * π * 3,19 = 20,04 rad s .

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

Sabemos que: •

α = 0,5 (Zona do Coimbra);

•

ξ = 5% (Coef. De amortecimento Est. de Betão);

•

f = 3,19 Hz

Analisando os Espectros de Resposta no R.S.A. (AnexoIII), obtivemos: (atendendo a que 200 cm/s2 correspondem a 1,3cm no ábaco regulamentar e o ponto da curva das acelerações se encontra, para 3,19 Hz a 0,9 da linha dos 200cm/s2, numa proporção linear temos:) ⎧→ S TipoI = 200 + 200 * ⎛⎜ 0,9 ⎞⎟ = 338 cm s 2 ; a ⎪ ⎝ 1,3 ⎠ f = 3,19 Hz ⎨ ⎪→ S aTipoII = 200 + 200 * ⎛⎜ 0,2 ⎞⎟ = 231 cm s 2 . ⎝ 1,3 ⎠ ⎩

Como S aTipoI é o maior, iremos considerar somente este valor: α

S aTipoI = 338 *

0,5 2 = 1,69m s . 100

43,82

Yi =

Li 1 * Mi W

2

* Sa ( f ,ξ ) =

43,82 * 1,69 ≈ 0,18m 20,04 2

2*π * f

e) Deslocamentos máximos (em função da Coordenada Modal): ⎧0,0049⎫ ⎡ Piso 3⎤ ⎧0,0274⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ → Z = ϕ * Y1 = ⎨0,0228⎬ * 0,18m = ⎨0,0041⎬(m) ⎢⎢ Piso 2 ⎥⎥ ⎪0,0137 ⎪ ⎪0,0025⎪ ⎢ Piso1 ⎥ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ I 1

I

f) Forças máximos: f si = m * ϕi *

L i Sa ( f , ξ ) * = m * Z1I * W 2 / η = m * ϕ * Y1I * W 2 / η Mi η

⎧250 0 0⎫ 9,8 ⎪ ⎧0,0274⎫ ⎧f 3I ⎫ ⎪ ⎧14,79⎫ L i S a (f , ξ) ⎪ I ⎪ ⎪ 250 ⎪ ⎪ 1,69 ⎪ ⎪ ⎪ * 0⎬ * ⎨0,0228⎬ * 43,82 * ⇒ f si = m * ϕ i * = ⎨f 2 ⎬ = ⎨0 = ⎨12,31⎬(KN) 9,8 Mi η 3,5 ⎪ ⎪f I ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 7,39 ⎭ ⎩ 1 ⎭ ⎪0 0 250 ⎪ ⎩0,0137⎭ 9,8⎭ ⎩ Ou:

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

⎧250 0 0⎫ 9,8 ⎪ ⎧0,0049⎫ ⎧f 3I ⎫ ⎪ ⎧14,79⎫ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 20,04 ⎪ I I 2 250 0 * 0,0041⎬ * = ⎨12,31⎬(KN) ⇒ f si = m * Z1 * W / η = ⎨f 2 ⎬ = ⎨0 9,8 ⎬ ⎨ 3,5 ⎪ ⎪ 7,39 ⎪ ⎪f I ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎩ 1 ⎭ ⎪0 0 250 ⎪ ⎩0,0025⎭ 9,8⎭ ⎩

3) CONCLUSÃO:

Podemos concluir que pelo MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE (R.S.A.), chegamos aos seguintes resultados: → f = 4 Hz; → f 3 = 21,37 KN → f 2 = 14,23KN ; → f 1 = 7,12 KN . Já pelo MÉTODO DINÂMICO SIMPLIFICADO (RAYLEIGH), obtivemos: → f = 3,19 Hz; ⎧− f 3I = 14,79 ⎪ → S aTipoI ⎨− f 2I = 12,31KN ; ⎪ I ⎩− f1 = 7,39 KN .

Ou seja, podemos verificar que o MÉTODO DINÂMICO SIMPLIFICADO (RAYLEIGH) não obriga a uma distribuição triangular, o que faz dele um método MAIS RIGOROSO e MAIS ECONÓMICO que o anterior.

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Exemplo Nº 6 (ANÁLISE DINÂMICA PELO MÉTODO DE SOBREPOSIÇÃO MODAL)

PT1

P1

f f

P1

K2 3,0 m K1 3,0 m

5,0 m

PT2 P1

P1 5,0 m

PT3

P1

P1 5,0 m

PT4 P1

P1

DADOS: •

P1 = 30*30cm; E = 20 GPa;

•

Tipo de terreno: II;

•

Zona de sísmica: Porto;

•

Estrutura corrente em Betão Armado

•

Combinação

Quase

Permanente:

(CP+ψ 2 *SC) ⇒ Gt = 640,25KN , ou seja, por pórtico: G1 = G2 = G3 = G4 = 160 KN . Equação de Equilíbrio Dinâmico: K.d

+ A.v + M.a = F

Como só pretendemos os deslocamentos máximos, a componente de amortecimento pode ser eliminada:

K.d + M.a = F 1º Passo - Matriz de Rigidez (tem 1 grau de liberdade por piso): 12EI ⎤ ⎡ 12EI ⎡ K11 K12 ⎤ ⎢ L3 * 4 − L3 * 2⎥ ⎡ 24000 − 12000⎤ [K ] = ⎢ ⎥=⎢ ⎥=⎢ ⎥ (KN m ) ⎣K 21 K 22 ⎦ ⎢− 12EI * 2 12EI * 2 ⎥ ⎣− 12000 12000 ⎦ L3 ⎣ L3 ⎦

K21

K22

K11

K12

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

Pilares 0 , 3*0 , 3

Betão . qualquer

K11 =

12 EI * 4 pilares / pórtico = 4 * l3

12 * 20 E 6

*

33

0,3 * 0,33 12 = 4 * 6000 = 24000 KN m ;

0,3 * 0,33 12 EI 12 = −2 * 6000 = −12000 KN m ; K12 = − 3 * 2 pilares / pórtico = −2 * 3 l 3 0,3 * 0,33 12 * 20 E 6 * 12 EI 12 = −2 * 6000 = −12000 KN m ; K 21 = − 3 * 2 pilares / pórtico = −2 * 3 3 l 0,3 * 0,33 12 * 20 E 6 * 12 EI 12 = 2 * 6000 = 12000 KN m . K 22 = 3 * 2 pilares / pórtico = 2 * 3 l 3 12 * 20 E 6 *

2º Passo - Matriz de Massa:

[M ] = ⎡⎢

M 11

⎣ M 21

160 0 ⎤ ⎡16,33 M 12 ⎤ ⎡⎢ 0 ⎤ 9,8 ⎥= (ton ) = ⎥ ⎢ 160 ⎥ ⎣ 0 M 22 ⎦ ⎢ 0 16,33⎥⎦ 9,8⎦ ⎣

3º Passo – Resolução dinâmica da estrutura (problema algébrico de valores e vectores próprios): ⎫⎪ ⎛ ⎞ ⎧ ⎜ [K ] − W 2 [M ]⎟ * ⎪⎨ φ ⎬ = {0} ⎜ ⎟ Valor Pr óprio ⎝ ⎠ ⎪⎩Vector Pr óprio ⎪⎭

Trata-se da obtenção de valores e vectores próprios deste sistema. Vamos calcular o seguinte determinante: Det.([K ] − W 2 [M ]) = 0 A = ([K ] − W 2 [M ]) Det.A = 0

0 ⎤ ⎡ 2 − 1⎤ 2 ⎡16,33 − A = 12000⎢ W ⎢ 0 ⎥ 16,33⎥⎦ ⎣ ⎣− 1 1 ⎦ ⎛ ⎡ 2 − 1⎤ 0 ⎤⎞ W 2 ⎡16,33 − A = 12000⎜⎜ ⎢ ⎢ ⎥ ⎟⎟ ⎥ − 1 1 0 16 , 33 12000 ⎣ ⎦⎠ ⎣ ⎦ ⎝ −1 ⎡2 − 16,33 * B ⎤ W2 , em que : B = A' = A / 12000 = ⎢ −1 1 − 16,33 * B⎥⎦ 12000 ⎣

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

Det.A' = (2 − 16,33 * B) * (1 − 16,33 * B) − (− 1) = 2

= 2 − 32,66 * B − 16,33 * B + 266,67 * B2 − 1 = 0 ⎧B1 = 0,02339; ⇔ 266,67 * B2 − 48,99 * B + 1 = 0 ⇒ ⎨ ⎩B2 = 0,16032.

Temos uma equação do 2.º grau, porque existem 2 graus de liberdade, ou seja, seriam tantas as raízes do problema quantos os graus de liberdade da estrutura. Também, do desenvolvimento destas raízes chegaríamos aos valores próprios correspondentes a estes graus de liberdade, que seriam as frequências angulares de cada modo de vibração (que são os vectores próprios do problema): valores próprios = frequências angulares vectores próprios= modos de vibração (vectores) 4º Passo - Cálculo das frequências angulares próprias de vibração da estrutura:

Como: B =

W2 , então teremos: 12000

⎧⎪→ W1 = 0,02339 *12000 = 16,753 rad s ; W = B * 12000 ⇒ ⎨ ⎪⎩→ W2 = 0,16932 * 12000 = 43,86 rad s . E ainda, em acordo com a física, temos que: W = 2 * π * f : W2 16,753 = = 2,67 Hz; 2 *π 2 *π W 43,86 f2 = 1 = = 6,98Hz. 2 *π 2 *π

f1 =

OBS: Tínhamos que pelo Método de Rayleigh a frequência f era igual a 2.68Hz, pelo que se verifica que este método dá um valor bastante correcto para a 1.ª frequência (também designada por fundamental). 5º Passo - Determinação dos modos de vibração: ⎫⎪ ⎛ ⎞ ⎧ ⎜ [K ] − W 2 [M ]⎟ * ⎪⎨ φ ⎬ = {0} ⎜ ⎟ Valor óprio Pr ⎪ ⎝ ⎠ ⎩Vector Pr óprio ⎪⎭

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1º Modo (f=2,67 Hz): ⎧ϕ11 − Valor do deslocamento relativo do1º piso para o1º mod o de vibração ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ϕ 21 − Valor do deslocamento relativo do 2º piso para o1º mod o de vibração ⎭ 1, 618 ⎤ ⎡ 0 , 0234 ⎥ ⎢ ⎥ * ⎧ϕ11 ⎫ = ⎧0⎫ ⇔ ⎧1,618 * ϕ11 − ϕ 21 = 0 ⎢ B 2 − 16 , 33 * − 1 12000 * 1 ⎥ ⎨⎩ϕ 21 ⎬⎭ ⎨⎩0⎬⎭ ⎨⎩− ϕ11 + 0,618ϕ 21 = 0 ⎢ B − 1 1 − 16 , 33 * ⎢ 1⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ 0 , 618

1,618 * ϕ11 − ϕ 21 = 0 ; considerando ϕ11 = 1 , teremos: 1,618 * 1 − ϕ 21 = 0 ⇔ ϕ 21 = 1,618. ⎧ 1,0 ⎫ ⎬ ⎩1,618⎭

ϕ1 = ⎨

f1 = 2,67 Hz

2º Modo (f=6,98 Hz): 0 , 618 ⎡ ⎤ 0 ,1603 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ * ⎧ϕ12 ⎫ = ⎧0⎫ ⇔ ⎧0,618 * ϕ12 − ϕ 22 = 0 B 2 16 , 33 * 1 − − 12000 * 2 ⎨ ⎢ ⎥ ⎨⎩ϕ 22 ⎬⎭ ⎨⎩0⎬⎭ ⎩ − ϕ12 − 1,618ϕ 22 = 0 B 1 1 16 , 33 * − − 2⎥ ⎢ ⎢⎣ ⎥⎦ −1, 618

Considerando ϕ22 = 1 , teremos: − ϕ12 − 1,618ϕ 22 = 0 ⇔ ϕ12 = −1,618. ⎧− 1,618⎫ ⎬ ⎩ 1,0 ⎭

ϕ2 = ⎨

f 2 = 6,98Hz

1.º Modo de Vibração (f = 2,67Hz) 1,618

1

2º Modo de Vibração (f = 6,98Hz) 1

2

-1,618

1

93/122

2

1

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

6º Passo – Determinação do Li :

Li =

φ iT Vector do MODO de Vibração

*

m Matriz de Massas

{1 }

*

Vector unitário

1º Modo:

0 ⎫ ⎧1⎫ ⎧16,33 L1 = {1,618 1}* ⎨ ⎬*⎨ ⎬ = 16,33⎭ ⎩1⎭ ⎩ 0 1,618 * 16,33 + 1 *16,33 = 42,75

2º Modo:

0 ⎫ ⎧1⎫ ⎧16,33 L2 = {1 − 0,618}* ⎨ ⎬*⎨ ⎬ = 16,33⎭ ⎩1⎭ ⎩ 0 16,33 − 0,618 *16,33 = 6,21

7º Passo – Determinação do M i :

Mi = φiT * m * φi Matriz Vector de do Massas modo de Vibração

Vector do modo de Vibração

1º Modo:

0 ⎫ ⎧1,618⎫ ⎧16,33 M 1 = {1,618 1}* ⎨ ⎬= ⎬*⎨ 16,33⎭ ⎩ 1 ⎭ ⎩ 0 1,618 *16,33 * 1,618 + 1 *16,33 *1 = 59,08 2º Modo:

0 ⎫ ⎧ 1 ⎫ ⎧16,33 M 2 = {1 − 0,618}* ⎨ ⎬= ⎬*⎨ 16,33⎭ ⎩− 0,618⎭ ⎩ 0 1 *16,33 * (−0,618) + (−0,618) *16,33 *1 = 22,57

94/122

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

8º Passo - Cálculo das coordenadas modais e deslocamentos máximos: 1º Modo: Yi =

⎧→ ξ = 5%; Li * S a ( f i , ξ ) em que ⎨ 2 M i * Wi ⎩→ f1 = 2,667 Hz. AnexoIII ( R . S . A )

Temos: α ⎧ ⎪→ SI (2,667 Hz;5% ) = 309,54 * 0,3 = 0,93 m 2 ; a 100 ⎪ s ⎨ α ⎪ ⎪→ SaII (2,667 Hz;5% ) = 235 * 0,3 = 0,7 m 2 . 100 s ⎩

⎧ S aI ⎫ ⎧0,00268m 42,75 Y1 = *⎨ ⎬ = ⎨ 59,08 *16,7532 ⎩S aII ⎭ ⎩0,00202m 280 , 66

⎧1,618⎫ ⎧0,00434m; Z 1I = φ1 * Y1 = ⎨ ⎬ * 0,00268 = ⎨ ⎩ 1 ⎭ ⎩0,00268m. ⎧0,00327 m; ⎧1,618⎫ Z 1II = φ1 * Y2 = ⎨ ⎬ * 0,00202 = ⎨ ⎩0,00202m. ⎩ 1 ⎭

OBS.: Logo será o Z 1I que condicionará, pois tem os deslocamentos maiores. 2º Modo: Yi =

⎧→ ξ = 5%; Li * S a ( f i , ξ ) em que ⎨ 2 M i * Wi ⎩→ f 2 = 6,98Hz. AnexoIII ( R . S . A )

Temos: α ⎧ ⎪→ SI (6,98Hz;5% ) = 400 * 0,3 = 1,2 m 2 ; a 100 ⎪ s ⎨ α ⎪ ⎪→ SaII (6,98Hz;5% ) = 230 * 0,3 = 0,68 m 2 . 100 s ⎩

⎧ S aI ⎫ ⎧0,000172m 6,21 Y2 = *⎨ ⎬ = ⎨ 22,57 * 43,86 2 ⎩S aII ⎭ ⎩ 0,0001m 1923, 7

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

⎧0,000172m ⎧ 1 ⎫ Z 2I = φ2 * Y1 = ⎨ ⎬ * 0,000172 = ⎨ ⎩− 0,000106m ⎩− 0,618⎭ ⎧0,0001m ⎧ 1 ⎫ Z 2II = φ2 * Y2 = ⎨ ⎬ * 0,0001 = ⎨ ⎩− 0,000062m ⎩− 0,618⎭

9º Passo – Cálculo das forças ao nível de andar (pisos) por modo de vibração:

f si = m * φi *

Li S a ( f , ξ ) * η Estrutura corrente em Betão Armado:η = 2,5 Mi

1º Modo:

0 ⎫ ⎧1,618⎫ 42,75 0,93 ⎧7,11⎫ ⎧16,33 f s1 = ⎨ * =⎨ ⎬( KN ) ⎬* ⎬*⎨ 16,33⎭ ⎩ 1 ⎭ 59,08 2,5 ⎩4,4 ⎭ ⎩ 0 2º Modo:

0 ⎫ ⎧ 1 ⎫ 6,21 1,2 ⎧2,16 ⎫ ⎧16,33 f s2 = ⎨ * =⎨ ⎬( KN ) ⎬* ⎬*⎨ 16,33⎭ ⎩− 0,618⎭ 22,57 2,5 ⎩− 1,33⎭ ⎩ 0 Podemos ainda calcularmos de outra forma (ALTERNATIVA):

Sabemos que a força é igual a matriz de rigidez a multiplicar pelo deslocamento, ou seja, f = K *d : f

•

Z n

1º Modo: K

⎡ 2 − 1⎤ ⎧0,00434⎫ 12000 * ⎢ *⎨ ⎬ Z − 1 1 ⎥⎦ ⎩0,00268⎭ ⎣ f s1 = K * = 2,5 η I 1

•

⎧7,11⎫ =⎨ ⎬(KN) ⎩4,4 ⎭

2º Modo: K

f s2

⎡ 2 − 1⎤ ⎧0,000172 ⎫ 12000 * ⎢ *⎨ ⎬ Z − 1 1 ⎥⎦ ⎩− 0,000106 ⎭ ⎣ =K* = I 2

η

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2,5

⎧2,16 ⎫ =⎨ ⎬( KN ) ⎩− 1,34 ⎭

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

10º Passo - Cálculo das forças máximas finais ao nível de andar (pisos) CQS (Combinação Quadrática Simples) Que fazer com as forças obtidas para os dois modos de vibração?

f2 = ? f1= ?

fs =

∑f

2 si

2

m2

d1

m1

⎧2º Piso: f = 7,112 + (2,16) 2 = 7,43KN ; s1 ⎪ 1º Modo 2 º Modo ⎪ =⎨ 2 ⎪1º Piso : f s1 = 4,4 + (−1,34) 2 = 4,60 KN . ⎪⎩ 1º Modo 2 º Modo

f 2 = 7,43 KN

m2

f 1 = 4,60 KN

m1

11º Passo – Distribuição das forças máximas finais ao nível de andar (pisos) pelos pórticos

2º Piso

5,0 m

e

f

g

h

15,0 m

1º Piso Cm

5,0 m

M

a

b/c

c

b 97/122

M

a/d

d

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

ζ = 1+

ζ = 1+

0,6 * x ⎫ ⎬ R.S . A(art.32.2º ) a ⎭

0,6 * x = Ver Tabela abaixo 15m( frente)

PT

x

a/d

b/c

e/h

f/g

7,5m 2,5m 7,5m 2,5m

ζ

1,3

1,1

1,3

1,1

f s (KN )

4,60

4,60

7,43

7,43

Fs = ζ * f s ( KN )

5,98

5,06

9,66

8,17

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

⇒ Exemplo Nº 7 (CÁLCULO SIMPLIFICADO DO EFEITO DA TORÇÃO EM EDIFÍCIO IRREGULAR)

Distribuição das forças sísmicas atendendo à excentricidade do centro de rigidez (Cr) face ao centro de massa (Cm), com excentricidades regulamentares (RSA) e1i e e2i.

Y PT2

PT1

PT3

PT6

PT5

PT4

5,0 m

10,0 m

Cr

e

e2i

Cm

5,0 m

e1i 5,0 m

X K1

K1 4,0 m

K2 4,0 m

K2

K2 4,0 m

4,0 m

K2 4,0 m

- NÚCLEO RESISTENTE (Caixa de escada / Elevador) - Pilares

DADOS:

•

K1 = 5,2 * K ;

•

K 2 = 0,25 * K .

Nota: K é a rigidez de referência, e os valores relativos a K1 e K2 já incluem as diferenças de rigidez entre

núcleos (caixas de escadas e/ou elevadores) e pilares.

CÁLCULOS: Cr = ? =

∑K *d ∑K i

i

i

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

K1 * (0 + 4) + K 2 * (8 + 12 + 16 + 20) 5,2K * 4 + 0,25K * (8 + 12 + 16 + 20) = ⇔ 2 * K1 + 4 * K 2 K (2 * 5,2 + 4 * 0,25) ⇔ Cr = 3,05m.

⇒ Cr =

⇒ e = ? = Cm − Cr = 10 − 3,05 = 6,95m. di – coordenadas do Centro de Corte de cada elemento vertical face a um referencial. Ki – rigidez do pórtico i na direcção considerada (x ou y). De uma forma mais rigorosa:

[∑ Iy. yi − ∑ Ixy . xi ] − Iy [∑ Ixy . yi − ∑ Ix. xi ])/[Ix. Iy − Ixy ] = (− Ixy [∑ − Ix. xi + ∑ Ixy. yi ] + Ix [∑ − Ixy. xi + ∑ Iy. yi ]) / [Ix. Iy − Ixy ].

x0 = (Ixy

y0

2

2

Sendo: •

x0 e y0 o centro de rigidez do piso;

•

Ixy a inércia de torção;

•

Ix e Iy a inércia da secção do elemento em eixos locais;

•

xi e yi a distância do referencial ao centro de rigidez local do elemento.

Iremos utilizar o R.S.A.- art.32.2º:

⎧a = 20m; ⎪b = e = 6,95m; ⎪⎪ i 3, 425 1 ⇒ e1i , e2i ⎨ ⎪e1i = 0,5 * bi + 0,05 * a = 0,5 * 6,95 + 0,05 * 20 = 4,425m; ⎪ ⎪⎩e2i = 0,05 * a = 0,05 * 20 = 1,0m.

Fsi =

Ki ⎞ fs * Ki Ms f * Ki fs * e fs * Ki ⎛⎜ ∑ ⎟ + + = + * (K i * d i ) = s * K * d * 1 e * d * i i i 2 2 ⎟ ⎜ K ( K * d ) * d K K * d K K * d ∑ i ∑ i i i ∑ i ∑ i i ∑ i ⎝ ∑ i i⎠

Deve-se ter muita atenção ao sinal: - A esquerda do Cr é NEGATIVO; - A direita do Cr é POSITIVO.

100/122

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

di – distância do Centro de Rigidez a cada pórtico i.

∑K ∑K

i

= 2 * 5,2K + 4 * 0,25K = 11,4K;

i

* d i2 = 5,2K * (0 2 + 4 2 ) + 0,25K * (82 + 12 2 + 162 + 202 ) = 192,7 K;

⎛

K i ⎞ 11,4K ⎟= = 0,059. 2 ⎟ * d 192 , 7 K ⎝ i i ⎠

∑ ⎜⎜ K

•

⎧ ⎪⇒ e1i → ⎪ ⎪ PT1: ⎨ ⎪ ⎪⇒ e2i → ⎪⎩

esquerda. do.CR ⎤ f s * 5,2 ⎡ (6,95 + 4,425) * 3,05 * 0,059⎥; − * ⎢1 11,4 ⎢⎣ ⎥⎦ e + e1i esquerda.do.CR ⎤ f s * 5,2 ⎡ (6,95 + 1,0) * 3,05 * 0,059⎥. − * ⎢1 11,4 ⎢⎣ ⎥⎦ e+e 2i

. .

Este é o mais GRAVOSO!

.

•

⎧ ⎪⇒ e1i → ⎪⎪ PT6: ⎨ ⎪ ⎪⇒ e2i → ⎩⎪

direita .do.CR ⎤ f s * 0,25 ⎡ * ⎢1 + (6,95 + 4,425) * 16,95 * 0,059⎥; 11,4 I ⎢⎣ ⎥⎦ e + e1i direita .do.CR ⎤ f s * 0,25 ⎡ * ⎢1 + (6,95 + 1,0) * 16,95 * 0,059⎥. 11,4 I ⎢⎣ ⎥⎦ e+e 2i

Temos dois edifícios de malhas ortogonais, um com o centro de gravidade a coincidir com o centro de rigidez, sofrendo basicamente deslocamentos ( Δy ) na mesma direcção da acção sísmica, enquanto o outro edifício não coincide os dois centros, sofrendo para além dos deslocamentos ( Δy ) uma rotação com um ângulo θ .

Alternativamente:

FxT =

f Sx * K ix ( Força sísmica no pórtico i devido à translação segundo x ) ∑ K ix

F yT =

f Sy * K iy ( Força sísmica no pórtico i devido à translação segundo y ) ∑ K iy

101/122

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

F

R x

=

F yR =

M Sx × K yi .d yi2

∑ (K

i x

.d xi2 + K iy .d yi2 )

( Força sísmica no pórtico i devido à torção / rotação segundo x )

M Sy × K xi .d xi2 ( Força sísmica no pórtico i devido à torção / rotação segundo x ) ∑ (K xi .d xi2 + K iy .d yi2 )

Com: M Sx = FSx × e x'

( Momento devido à torção / rotação segundo x )

M Sy = FSy × e 'y

( Momento devido à torção / rotação segundo y )

Sendo: FxTotal = FxT + FxR ( Força sísmica total / final no pórtico i devido à translação segundo x ) F yTotal = F yT + F yR ( Força sísmica total / final no pórtico i devido à translação segundo y )

Segundo o EC8:

102/122

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

Exemplo Nº 8 (ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA PELO MÉTODO DE RAYLEIGH) Piso 2 e 3 (planta)

0,25

20

4,75

10

Pilares 0,5mx0,5m

Cabos 4Ø12 (A500)

0,25

4,75

5

Y

Piso 1 (base)

4,75

Pilares 0,5mx0,8m

X Piso 3

3

Piso 2

3

3

Piso 1

Calcule, adoptando as recomendações constantes no R.S.A., as forças sísmicas que se desenvolveriam na estrutura em esquema, na direcção X, admitindo como suficiente a consideração do 1.º modo de vibração ou fundamental. Podem-se tomar as lajes de piso como infinitamente rígidas, bem como considerar estes pavimentos indeformáveis à flexão, por simplicidade. •

Distância entre pórticos e pisos é sempre igual;

•

Pilares 1.º Piso = 50×80cm; Pilares 2 e 3.º Piso = 50×50cm; 103/122

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

•

Cabos = 4Ф12 (A500);

•

Tipo de terreno: I;

•

Zona de sísmica: Coimbra;

•

Estrutura em Betão Armado de Ductilidade Melhorada em betão B25;

•

Combinação Quase Permanente: (CP+ψ 2 ×SC) ⇒ q t = 10 KN m 2 .

Resolução:

O Método de Rayleigh dá-nos a frequência elementar da estrutura (1º Modo de vibração), sendo esta a frequência mais baixa (fundamental) e que representa, em princípio, a situação condicionante para estruturas regulares. No caso presente, temos que a totalidade da carga nos pisos é: Q1/2/3 = 10 × (20 × 10) = 2000 KN O deslocamento devido à aplicação dessas cargas por piso, dadas as características de rigidez infinita dos mesmos, vem: Fi × li3

/ Pisos d i = ΔForças + d i −1 = i

n.º pilares

12 E

∑I

+ d i −1

i

1

Em que Fi é a força que se encontra aplicada no próprio piso somada a de todos os que se encontram acima de si. o di - Deslocamento do piso i em relação ao solo; o di-1 - Deslocamento do piso i-1 em relação ao solo; o

/ Pisos ΔForças - Deslocamento de uma haste com as características do piso i, resultado i

da acção de todas as forças aplicadas neste piso (i) e em todos os que lhe são superiores (dado que essas forças também o empurram). No caso de todos os pavimentos terem igual massa, podemos usar a fórmula directa: d i = (n − i + 1) × Δ i + d i −1 ,

Em que: o di -Deslocamento do piso i em relação ao solo; o di-1 - Deslocamento do piso i-1 em relação ao solo; o

i

- Piso em estudo; 104/122

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

o n - Nº total de pisos; o

Δ i - Deslocamento de uma haste com as características do piso i.

Com: Δ1 =

2000 × 10 3 × 3,0 3 = 0,0008m 3 ⎛ ⎞ × 0 , 5 0 , 8 12 × 29 E 9 × ⎜ × 9 12 ⎟⎠ Pilares ⎝ B 25 I ⇒50*80

Δ2 = Δ3 =

Fi × l 3i n .º pilares

12E

∑I 1

i

=

2000 × 10 3 × 3,0 3 = 0,0033m 4 ⎛ ⎞ 6 0 , 5 12 × 29E × ⎜ × 9 12 ⎟⎠ Pilares ⎝ B 25 I⇒50*50

o Fi - Força aplicada no piso i; o li - Altura do piso i; o E - Módulo de Elasticidade; o Ii - Inércia do pilar i.

Assim: ⎧→ d1 = (3 − 1 + 1)× 0,0008 + 0,0 = 0,0024m; ⎪ ⎨→ d 2 = (3 − 2 + 1)× 0,0033 + 0,0024 = 0,009m; ⎪→ d = (3 − 3 + 1)× 0,0033 + 0,009 = 0,0123m. 3 ⎩

Do que o vector Modo de Vibração Fundamental vem: ⎧0,0123⎫ ⎪ ⎪ ϕ = ⎨0,0090⎬ ⎪0,0024⎪ ⎩ ⎭

De notar que os cabos apenas tem função sustentação vertical, possuindo nula rigidez horizontal. Mesmo na situação traduzida na figura abaixo, em que os cabos já efectuam algum travamento ao nível do piso 2 e superiores, além deste feito não se estender ao nível 1 (pelo que a estrutura não seria travada no primeiro pavimento acima do solo, piso 1), esse resultado poderia ser desprezado do lado da segurança. Contudo, em caso de se querer incluir a sua contribuição, ela poderia ser contabilizada pelo acréscimo da nova parcela à fórmula anterior, simplificadamente:

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

n .º paredes n .º pilares ⎡ ⎤ parede 12 Ebetão ∑ I ipilar ⎢ 3Ebetão ∑ I i ⎥ 1 1 Δ = Fi × ⎢ + + × × ( A E ) n .º cos( ÂnguloCabo s ) / L φcabos aço Cabos comHorizontal cabos ⎥ H i3 li3 ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

Piso 2 e 3 (planta)

0,25

20

4,75

10

Pilares 0,5mx0,5m

Cabos 4Ø12 (A500)

0,25

4,75

5

Y

Piso 1 (base)

4,75

Pilares 0,5mx0,8m

X Cabos Piso 3

Cabos

3

4Ø12 (A500)

4Ø12 (A500)

3

Piso 2

3

3

Piso 1

FÓRMULA DE RAYLEIGH (R.S.A.- Art.31.2º):

1 f = 2π

g ∑ Fi d i i

∑Fd i

i

106/122

2 i

−1

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

Continuando os cálculos por esta fórmula, teremos: ⇒f =

1 9,8 * {2000 × (0,0024 + 0,009 + 0,0123)} 1 9,8 * (0,0024 + 0,009 + 0,0122 ) = 4,97 Hz = 2π {2000 × 0,0024 2 + 0,009 2 + 0,0123 2 } 2π 0,0024 2 + 0,009 2 + 0,0123 2

(

)

(

)

Devemos agora calcular a COORDENADA MODAL, em que temos a seguinte fórmula (1,5 val.):

Yi =

Li * S a ( f , ξ) M i × Wi2

Existindo apenas um modo de vibração (o fundamental):

L i ϕ iT m i {1} ∑ d i × m i × 1 ∑ m i × d i ∑ Q i / g × d i = = = r, = = M i ϕ iT mϕ i ∑ d i × m i × d i ∑ m i × d i2 ∑ Q i / g × d i2

Referente ao exemplo em questão, temos: r=

Li = Mi

∑Q ∑Q

i

/ g × di

i

/g×d

2 i

=

2000 / 9,8 × (0,0024 + 0,009 + 0,0123) 0,0024 + 0,009 + 0,0123 = = 99,56 2 2 2 2000 / 9,8 × (0,0024 + 0,009 + 0,0123 ) 0,0024 2 + 0,009 2 + 0,0123 2

Temos ainda: W = 2π × f = 2 × π × 4,97 = 31,23 rad s . Sabemos que: • α = 0,5 (Zona do Coimbra); • ξ = 5% (Coeficiente. de amortecimento para estruturas de Betão Armado); • f = 4,97 Hz; •

η=3,5 (Coeficiente de comportamento para estruturas reticuladas de idade melhorada em betão armado).

Analisando os Espectros de Resposta no R.S.A. (Anexo III), obtemos (1,5 val.): 2 ⎧⎪→ S TipoI = 465 cm s ; a f (TerrenoI; ξ = 5%) = 4,97 Hz ⎨ 2 ⎪⎩→ S TipoII = 255 cm s . a Como S aTipoI é o maior, iremos considerar somente este valor: α

S TipoI a

0,5 2 = 465 * = 2,325m s . 100

102 ,8

Yi =

Li 99,56 1 * S a ( f , ξ) = * 2,325 ≈ 0,237m * 2 Mi W 31,23 2 2*π*f

Deslocamentos máximos (em função da Coordenada Modal) (1,5 val.):

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

⎧0,0123⎫ ⎧0,0029⎫ ⎡ Piso1⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ → Z1I = ϕ * Y1I = ⎨0,0090⎬ * 0,237m = ⎨0,0021⎬(m) ⎢⎢Piso2⎥⎥ ⎪0,0024⎪ ⎪0,0006⎪ ⎢⎣ Piso3⎥⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Forças máximas (1,5 val.): L S ( f ,ξ ) f si = m * ϕ i * i * a Mi η Pelo que: ⎧2000 0 0⎫ 9,8 ⎪ ⎧0,0123 ⎫ ⎧ f 3I ⎫ ⎪ ⎧166 ,0 ⎫ Li S a ( f , ξ ) ⎪ I ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2,325 ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ f si = m * ϕ i * = ⎨ f 2 ⎬ = ⎨0 2000 0 ⎬ * ⎨0,0090 ⎬ * 99,56 * = ⎨121,5 ⎬( KN ) * 9,8 Mi η 3 , 5 ⎪f I⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 32,4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎩ 1 ⎭ ⎪0 0 2000 ⎪ ⎩0,0024 ⎭ 9,8⎭ ⎩

Ou, como:

f si = m *ϕ i *

Li S a ( f , ξ ) * = m * Z1I *W 2 /η Mi η

Ainda: ⎧2000 0 0⎫ 9,8 ⎪ ⎧0,0029⎫ ⎧ f 3I ⎫ ⎪ ⎧164,9 ⎫ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 31,23 ⎪ ⎪ I I 2 2000 0 * 0,0021⎬ * = ⎨119,4⎬( KN ) ⇒ f si = m * Z 1 * W / η = ⎨ f 2 ⎬ = ⎨0 9,8 ⎬ ⎨ 3,5 ⎪ ⎪ 34,1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪f I⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ 1 ⎭ ⎪0 0 2000 ⎪ ⎩0,0006⎭ 9,8⎭ ⎩

Ainda poderíamos optar por:

f si = m *ϕi *

Li S a ( f , ξ ) * = m * Z1I *W 2 /η = m *ϕ * Y1I *W 2 /η Mi η

⎧2000 0 0⎫ 9,8 ⎪ ⎧0,0123⎫ ⎧ f 3I ⎫ ⎪ ⎧165,8⎫ ⎪ ⎪ ⎪ I ⎪ ⎪ 2000 ⎪ ⎪ ⎪ 2 I 2 0 * 0,0090⎬ * 0,237* 31,23 / 3,5 = ⎨121,3⎬( KN ) ⇒ f si = m *ϕ *Y1 *W / η = ⎨ f 2 ⎬ = ⎨0 9,8 ⎬ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 32,3 ⎪ ⎪f I ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ 1 ⎭ ⎪0 0 2000 ⎪ ⎩0,0024⎭ 9 , 8 ⎭ ⎩ A diferença entre os resultados apenas se fundamenta nos arredondamentos que foram sendo numericamente efectuados.

Estas serão as forças totais por piso na estrutura, havendo agora que as distribuir pelos pórticos (2,0 val.). Sendo a estrutura simétrica (CR-CG)/(Largura do Edifício na direcção do sismo)≤0.15, basta analisar o pórtico central e um dos laterais: ξ PórticoCentral = (1+0,6x/a)=(1+0,6×0/10)=1 ξ PórticoLateral = (1+0,6x/a)=(1+0,6×4,75/10)=1,285 Como todos os pórticos tem a mesma rigidez, basta:

108/122

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

⇒ f sPórticoCentral

⎧ f 3I ⎫ ⎧55,3⎫ ⎧166,0⎫ ⎪ I⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ f 2 ⎬ / 3 × ξ PórticoCentral = ⎨121,5 ⎬ / 3 = ⎨40,5⎬( KN ⎪10,8 ⎪ ⎪f I⎪ ⎪ 32,4 ⎪ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎩ 1 ⎭

⇒ f sPórticoLateral

⎧ f 3I ⎫ ⎧ 71,1 ⎫ ⎧166,0⎫ ⎪ I⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ f 2 ⎬ / 3 × ξ PórticoLateral = ⎨121,5 ⎬ / 3 × 1,285 = ⎨52,0⎬( KN ) ⎪f I⎪ ⎪ 32,4 ⎪ ⎪13,9 ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ 1 ⎭

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

Exemplo Nº 9 (ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA PELO MÉTODO DE RAYLEIGH)

Análise sísmica de uma estrutura (pórtico 2X) segundo o método de Rayleigh (simplificado dinâmico)

Dados do problema:

− CP + Ψ2 × Sc = 10KN/m2 (em todos os pisos) − h = a = b = 5m − Zona C − Terreno tipo II − Betão com ductilidade normal − Pavimentos rígidos − I = 10-2 = 0,01m4 − B25 ⇒ E = 30GPa = 30 × 106 KN − g ⇒ aceleração da gravidade = 9,8 m/s2

1. CÁLCULO DA FORÇA SÍSMICA SEGUNDO O EIXO DO XX 1

Piso 1 → CT = CP × Áreapiso1 = 10 × (10 × 10) = 1000 KN 2

Piso 2 → CT = CP × Áreapiso2 = 10 × (10 × 5) = 500 KN Distribuição relativa da inércia das peças estruturais de suporte (pilares) no pórtico 3, nos restantes a inércia é I.

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2. CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS DOS PISOS DEVIDO À ACÇÃO DAS FORÇAS SÍSMICAS

⎧d ⎫ φ =⎨ 2⎬ ⎩ d1 ⎭

Fi × hi3 di = + di − 1 12 E × ∑ I i

Assim:

−

d1 =

(1000 + 500) × 53 12 × 30 × 106 × (3 × 4 + 3 + 3) × 0,01

+ 0 = 0,0029

500 × 53 +,0029 = 0,0019 + 0,0029 = 0,0048 − d2 = 12 × 30 × 106 × (3 × 2 + 3) × 0,01 ⎧ 0,0048 ⎫ ⎬ ⎩ 0,0029 ⎭

φ=⎨

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3. CÁLCULO DA FREQUÊNCIA FUNDAMENTAL

fx =

1 2π

g × ∑ Fi d i

∑F d i

2 i

; artigo 31.2º do RSA

Com: − g = valor da aceleração da gravidade; − Fi = força cuja intensidade é igual ao peso da massa i;

fx =

1 2π

9,8 × (1000 × 0,0029 + 500 × 0,0048) = 8,12hz 1000 × 0,0029 2 + 500 × 0,00482

4. CÁLCULO DA COORDENADA MODAL

Yi =

Li × Sa M i wi2

(f,ξ)

Li Fd = ∑Fid 2i Mi ∑ i i

1000 × 0,0029 + 500 × 0,0048 Li = = 265,9 M i 1000 × 0,0029 2 + 500 × 0,00482

Sa (f=6,63 ; 5%) ⇒ {

Acção sísmica – terreno tipo II → 400 cm/s2 (anexo III do RSA) Acção sísmica – terreno tipo II → 220 cm/s2 (anexo III do RSA)

Seleccionamos o maior valor, ou seja, 400 cm/s2. Dado que a construção se situa Zona C de sismicidade, de acordo com o Quadro I, do artigo 29.2º do RSA, α=0,5.

Y=

265,9 400 × 0 , 5 × = 0,204 100 (2π × 8,12)2

5. CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS TOTAIS MÁXIMOS (Z)

⎧ 0,00098 ⎫ ⎧ 0,0048 ⎫ Z = φ ×Y = ⎨ ⎬ ⎬ × 0,204 = ⎨ ⎩ 0,00059 ⎭ ⎩ 0,0029 ⎭ 112/122

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6. CÁLCULO DAS FORÇAS SÍSMICAS NA ESTRUTURA

fs = m ×φ ×

⎧ f1 ⎫ ⎨ ⎬ =[ ⎩ f2 ⎭

1000 9,8

0

0

500 9,8

] ×

Li Sa × Mi η

⎡ 0,00098 ⎤ ⎢ 0,00059 ⎥ × 265,9 × ⎣ ⎦

400 100 = ⎡ 21,27 ⎤(KN ) ⎢ 06,40 ⎥ 2,5 ⎣ ⎦

0,5 ×

7. DISTRIBUIÇÃO DAS FORÇAS PELOS PÓRTICOS No caso de edifícios, a condição relativa à distribuição de massas e rigidezes, considera-se satisfeita quando podendo definir-se centros de massa (Cm) e de rigidez (Cr) para cada piso, a distância entre estes centros não exceda 15% da dimensão do edifício segundo a direcção perpendicular à das forças consideradas. O centro de massa relativo a um piso é o baricentro das massas correspondentes às cargas permanentes e ao valor quase permanente das cargas variáveis associadas a esse piso. O centro de rigidez de um piso pode ser identificado como a intersecção das resultantes de dois sistemas de forças fictícias paralelas a cada uma das direcções em que a estrutura se desenvolve. No caso de a estrutura ser simétrica em relação ao plano que contém a direcção considerada para a acção sísmica, ou no caso de se verificar a condição acima referida, pode-se considerar que a resultante das forças estáticas actuam segundo o plano de simetria e multiplicar os efeitos assim obtidos por um factor ξ, definido por:

ξ = 1+

0,6 x a

com x = coordenada do pórtico – distância ao centro de massa. 113/122

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

7.1. Centro de rigidez:

Cry =

∑K d ∑K i

i

i

Com Ki = força pórtico a pórtico.

Cr1 =

K1 ×d1 + K2 ×d2 + K3 ×d3 (3×4×0,01) ×10+ (3×1×0,01) ×5 + (3×1×0,01) ×0 = 7,5 = (3×4×0,01) + (3×1×0,01) + (3×1×0,01) K1 + K2 + K3 (Cm – Cr) < 0,15a (5 – 7,5) = 2,5m > 0,15×10 = 1,5m

Não verifica, logo a distância entre o Cm e o Cr é superior a 15% do valor da dimensão da estrutura, na direcção perpendicular ao sismo. Nestas circunstâncias, teremos que usar a fórmula atrás apresentada:

Fsi =

fs * Ki Ms f * Ki fs * e fs * Ki ⎛⎜ ∑ Ki ⎞⎟ + + = + * (K i * d i ) = s * K * d * 1 e * d * i i i ∑ Ki ∑(Ki * di ) * di ∑ Ki ∑ Ki * di2 ∑ Ki ⎜⎝ ∑ Ki * di2 ⎟⎠

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Exemplo Nº 10 (ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA PELO MÉTODO DE RAYLEIGH)

A Figura 1 representa-se dois edifícios solidarizados por cabos deformáveis, com estruturas idênticas, embora o edifício B possua uma cave desafogada (numa das faces) em terreno desnivelado. Estão localizados no Porto, em zona urbana, sobre terreno muito rijo, com lajes que se podem considerar indeformáveis no seu plano, sendo construídos em betão armado (E = 30 GPa) e numa concepção de ductilidade normal (η = 2,5). A carga quase permanente desta estrutura será, aproximadamente, 10 KN/m2, no piso 1 e 2 e o dobro no piso 0, tendo todos os pilares igual inércia com o valor de 0,01 m4. Figura 1. Edifícios A e B.

Edifício A

Edifício B Piso 2

4

Cabos

4

0,50

Piso 1

4,5

Piso 0

3

3

6

Planta de todos os pisos

3

3

1,5

3

1,5

3

6

Piso -1

Direcção do estudo

3) Estruturas de Ductilidade Melhorada

Analise o edifício, positiva e negativamente, tendo em consideração as recomendações a observar na concepção estrutural, no que concerne ao seu bom desempenho à acção dos sismos. Justifique, resumidamente, a sua perspectiva. 115/122

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

4) Acção dos Sismos

Calcule para a mesma estrutura, adoptando as recomendações constantes no R.S.A., a força sísmica que se desenvolveria, na direcção indicada, para o 1º piso do Edifico A. Admita como suficiente a consideração do 1.º modo de vibração ou fundamental e desenvolva um processo de análise que tenha em conta os deslocamentos máximos que a estrutura sofre. Nota: Despreze a possibilidade de qualquer eventual impulso de terras em resultado acção sísmica ou outra.

5) Acção dos Sismos

a) Calcule para a estrutura da figura 2 a força sísmica que se desenvolveria, na direcção indicada, para o 2º piso do Edifico B, adoptando as recomendações constantes no R.S.A. e supondo que esta acção só teria efeito nesse sentido. Admita como suficiente a consideração do 1.º modo de vibração ou fundamental e desenvolva um processo de análise que tenha em conta os deslocamentos máximos que a estrutura sofre. b) E se, ainda virtualmente, o sentido do sismo fosse da esquerda para a direita, alterava a sua solução? Porquê? Figura 2. Edifícios A e B. Cabos

Edifício A

Edifício B

3

4 6 3

Planta de todos os pisos

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1,5

3

1,5

3

6

5

0,50

4

4

Indeformáveis

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Exemplo Nº 11 (ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA PELO MÉTODO DE RAYLEIGH)

Para o pórtico na figura abaixo esquematizado, em estrutura metálica (tipo Fe360) e ductilidade melhorada, faça a sua análise sísmica, de acordo com o regulamento português em vigor, recorrendo ao método de Rayleigh, admitindo um grau de liberdade horizontal por piso, sendo estes indeformáveis. Admita terreno tipo II, cidade de Aveiro.

Em caso de não possuir tabela de perfis atribua aos pilares uma inércia I=0,001m4 e E=200GPa.

Resolução: •

• • • •

Pilares com I=0,001m4 e E=200GPa.

Tipo de terreno: II; Zona de sísmica: Aveiro, α=0,5; Estrutura Metálica de Ductilidade Melhorada; Combinação Quase Permanente: Q=300KN.

O Método de Rayleigh dá-nos a frequência elementar da estrutura (1º Modo de vibração), sendo esta a frequência mais baixa (fundamental) e que representa, em princípio, a situação condicionante para estruturas regulares. No caso presente, temos que a totalidade da carga nos pisos é: Q1/2 = 300 KN O deslocamento devido à aplicação dessas cargas por piso, dadas as características de rigidez infinita dos mesmos, vem:

117/122

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

1.º Piso: / Pisos / Pisos + d i −1 = d1 = ΔForças + d0 = d i = ΔForças 1 i

Fi × l i3 n.º pilares

12 E

∑I

=

(2 × 300) × 10 3 × 3,0 3 + 0,0 = 0,0034m 12 × 200 E 9 × 0,001 × 2

i

Pilares

1

¾ di - Deslocamento do piso i em relação ao solo; ¾ di-1 - Deslocamento do piso i-1 em relação ao solo; ¾ i - Piso em estudo; / Pisos ¾ ΔForças - Deslocamento de uma haste com as características do piso i, resultado i

da acção de todas as forças aplicadas neste piso (i) e em todos os que lhe são superiores (dado que essas forças também o empurram). 2.º Piso: d2 = Δ

Forças / Pisos 2

+ d 2−1 =

Fi × l i3 n.º pilares

12 E

∑I

(1 × 300) × 10 3 × 3,0 3 = + 0,0034 = 0,0045m 12 × 200 E 9 × 0,001 × 3

i

Pilares

1

Do que o vector Modo de Vibração Fundamental vem: ⎧0,0045 ⎫ ⎧1 ⎫ ϕ=⎨ ⎬, normalizando := ⎨ ⎬ ⎩0,0034 ⎭ ⎩0,76⎭ FÓRMULA DE RAYLEIGH (R.S.A.- Art.31.2º): 1 f = 2π

g ∑ Fi d i i

∑Fd i

2 i

i

Continuando os cálculos por esta fórmula, teremos: ⇒ f =

9,8 * {300 × (0,0045 + 0,0034 )} 1 = 2 2 2π {300 × 0,0045 + 0,0034 }

1 2π

(

)

9,8 * (0,0045 + 0,0034 ) = 7,85 Hz . 0,0045 2 + 0,0034 2

(

)

Devemos agora calcular a COORDENADA MODAL, em que temos a seguinte fórmula: Li Yi = * S a ( f , ξ) M i × Wi2 Existindo apenas um modo de vibração (o fundamental):

L i ϕ iT m i {1} ∑ d i × m i × 1 ∑ m i × d i ∑ Q i / g × d i = = = = = r, M i ϕ iT mϕ i ∑ d i × m i × d i ∑ m i × d i2 ∑ Q i / g × d i2

Referente ao exemplo em questão, temos: r=

Li = Mi

∑Q / g × d ∑Q / g × d i

i

i

2 i

=

300 / 9,8 × (0,0034 + 0,0045) 0,0034 + 0,0045 = = 248 2 2 300 / 9,8 × (0,0034 + 0,0045 ) 0,0034 2 + 0,0045 2

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

Temos ainda: W = 2π × f = 2 × π × 7,85 = 49.3 rad s . Sabemos que: • α = 0,5 (Zona de Aveiro); • ξ = 10,0% (Coeficiente. de amortecimento para estruturas Metálicas); • f = 7,85 Hz; • η=3,5 (Coeficiente de comportamento para estruturas reticuladas de ductilidade melhorada metálicas). Analisando os Espectros de Resposta no R.S.A. (Anexo III), obtemos): ⎧⎪→ S aTipoI = 290 cm s 2 ; f (TerrenoII ; ξ = 10%) = 7,85Hz ⎨ ⎪⎩→ S aTipoII = 180 cm s 2 . Como S aTipoI é o maior, iremos considerar somente este valor (em metros): α

0,5 2 S aTipoI = 290 * = 1,45m s . 100 Li 1 248 Yi = * * S a ( f ,ξ ) = *1,45 ≈ 0,148m 2 Mi W 49,32 2*π * f

Deslocamentos máximos (em função da Coordenada Modal): ⎧0,0045⎫ ⎧0,00067⎫ ⎡ Piso 2⎤ → Z 1I = ϕ * Y1I = ⎨ ⎬ * 0,148m = ⎨ ⎬(m) ⎢ ⎥ ⎩0,0034⎭ ⎩0,00050⎭ ⎣ Piso1 ⎦ Forças máximas: L S ( f ,ξ ) f si = m * ϕ i * i * a Mi η Pelo que: ⇒ f si = m × ϕ i ×

⎡300 I 0 ⎤ ⎧0,0045 ⎫ Li S a ( f , ξ ) ⎧ f 2 ⎫ ⎢ 1,45 ⎧14 ,2 ⎫ 9,8 ⎥×⎨ × =⎨ I⎬= =⎨ ⎬ × 248 × ⎬( KN ) 300 ⎥ 0,0034 ⎭ η Mi 3,5 ⎩10,7 ⎭ ⎩ f 1 ⎭ ⎢⎣ 0 9,8⎦ ⎩

Ou, como:

f si = m *ϕ i *

Li S a ( f , ξ ) * = m * Z1I *W 2 /η Mi η

300 0 ⎤ ⎧0,00067 ⎫ 49,32 ⎧14,2 ⎫ ⎧ f 2I ⎫ ⎡ 9 , 8 ⎥×⎨ ⎢ =⎨ ⇒ f si = m * Z *W / η = ⎨ I ⎬ = ⎬( KN ) ⎬× 300 10,7 ⎭ ⎥ ⎩0,00050 ⎭ 3,5 ⎢ f 0 ⎩ ⎩ 1 ⎭ ⎣ 9,8⎦ I 1

2

Ainda poderíamos optar por:

f si = m *ϕi *

Li S a ( f , ξ ) * = m * Z1I *W 2 /η = m *ϕ * Y1I *W 2 /η Mi η

300 0 ⎤ ⎧0,0045⎫ ⎧ f 2I ⎫ ⎡ ⎧14,2⎫ 9 , 8 2 ⎥×⎨ ⎢ ⇒ f si = m *ϕ *Y *W /η = ⎨ I ⎬ = ⎬ × 0,148 × 49,3 / 3,5 = ⎨ ⎬( KN ) 300 10,7 ⎭ ⎥ ⎩0,0034⎭ ⎩ ⎩ f1 ⎭ ⎢⎣ 0 9,8⎦ I 1

2

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Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

Exemplo Nº 12 (ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA PELO MÉTODO DE RAYLEIGH) Para a estrutura da pequena ponte abaixo, localizada em Esposende e sobre terreno muito mole, calcule a sua frequência fundamental no sentido longitudinal, admitindo um grau de liberdade horizontal ao nível do tabuleiro, sendo este admitido como indeformável e permitindo os apoios extremos do tabuleiro deslocamentos horizontais livres. Os pilares são todos iguais e com secção 1,0m×0,5m, com maior dimensão transversal ao tabuleiro. Esta estrutura é fabricada em betão B35 e poderá considerarse de ductilidade normal.

c)

d) Na direcção considerada, determine a força sísmica regulamentar, o deslocamento máximo absoluto do tabuleiro e as reacções no apoio do pilar de 6 metros.

30

C P = 5 0 k N /m

S C = 3 0 k N /m

11

8

6

D ire c ç ã o d o e s tu d o

7

7

Resolução: Alínea a)

Carga total por metro de tabuleiro = CP + ψ2 × SC = 50 + 0,0 × 30 (art.º 41.1 do RSA, sobrecargas rodoviárias) Carga total no tabuleiro = L × [ CP + ψ2 × SC ] = [ 50 + 0,0 × 30 ] = 1500 kN Neste caso, como os pilares, embora tendo secção igual, tem altura diferente, a sua rigidez é diversa e, como tal, a fórmula

Δ Tabuleiro

F i × l i3

=

n .º pilares

12 E

∑

Ii

1

Não se pode aplicar. Na realidade tem que se regredir até à génese da mesma: K × d = F, do que: d = F / K = Δ. Assim: K= K=

n .º pilares

n .º pilares

n .º pilares

1

1

1

∑ Ki = 12 E

n .º pilares

∑K

i

∑ I i / li = 12 E × I ×

∑1 / l

i

= 12 × 32 × 10 6 × 1 × 0,53 / 12 × [1 / 83 + 1 / 113 + 1 / 6 3 ] = 7812,5 + 3005,3 + 18518 = 29336

1

Logo:

Δ = F / K = 1500 / 29336 = 0,0511 [m] 120/122

[kN / m]

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

FÓRMULA DE RAYLEIGH (R.S.A.- Art.31.2º): 1 f = 2π

g ∑ Fi d i i

∑Fd i

2 i

i

Continuando os cálculos por esta fórmula, teremos: ⇒ f =

1 2π

9,8 * {1500 × (0,0511)} = 2,2 Hz . {1500 × (0,05112 )}

-×Alínea b)

Devemos agora calcular a COORDENADA MODAL, em que temos a seguinte fórmula:

Yi =

Li * S a ( f , ξ) M i × Wi2

Existindo apenas um modo de vibração (o fundamental):

L i ϕ iT m i {1} ∑ d i × m i × 1 ∑ m i × d i ∑ Q i / g × d i = = = = = r, M i ϕ iT mϕ i ∑ d i × m i × d i ∑ m i × d i2 ∑ Q i / g × d i2

Referente ao exemplo em questão, temos: r=

Li = Mi

∑Q / g × d ∑Q / g × d i

i

i 2 i

=

1500 / 9,8 × (0,0511) 0,0511 = = 19,6 2 1500 / 9,8 × (0,0511 ) 0,05112

Temos ainda: W = 2π × f = 2 × π × 2,2 = 13,8 rad s . Sabemos que: • α = 0,3 (Zona D - Esposende); • ξ = 5,0% (Coeficiente. de amortecimento para estruturas Metálicas); • f = 2,2 Hz; • η=2,5 (Coeficiente de comportamento para estruturas reticuladas de ductilidade normal em betão armado). Analisando os Espectros de Resposta no R.S.A. (Anexo III), obtemos): ⎧⎪→ S aTipoI = 250 cm s 2 ; f (TerrenoIII ; ξ = 5%) = 2,2 Hz ⎨ ⎪⎩→ S aTipoII = 240 cm s 2 . Como S aTipoI é o maior, iremos considerar somente este valor (em metros): α

S aTipoI = 250 *

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0,3 2 = 0,75m s . 100

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

Yi =

Li 1 * Mi W

2

* Sa ( f , ξ ) =

19,6 * 0,75 ≈ 0,0772m 13,82

2*π * f

Deslocamento máximo (em função da Coordenada Modal):

→ Z1I = ϕ * Y1I = 0,0511 * 0,0772m = 0,0039( m) Força máxima: (o Coeficiente de Comportamento, para ponte de betão em que os pilares tem deformação principal por flexão, é de 2,p para ductilidade corrente, conforme art.º 33.3 do REBAP).

f si = m *ϕ i *

Li S a ( f , ξ ) * = m * Z1I *W 2 /η Mi η

13,82 ⇒ f si = m * Z * W / η = 1500 / 9,8 × 0,0039 × = 57,5 2,0 I 1

2

[kN ]

Reacção no pilar de 6m: Fsi =

f s × *Ki 57,5 ×18518 ×η = × 2,0 = 72,6 29336 ∑ Ki

[kN ]

De notar que a reacção no pilar, ou, em geral, as forças transmitidas às fundações, são independentes do Coeficiente de Comportamento, já que este apenas caracteriza a relação entre a linearidade e não linearidade do material de fabrico da estrutura, não a real e global acção do sismo em termos das forças de massa que este induz. Assim, poderemos afirmar que o valor desta reacção seria sempre 72.6 kN mesmo que a estrutura fosse de ductilidade melhorada ou, ainda, a deformação dos pilares fosse, preponderantemente, por corte.

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