Ingenieria Mecanica Dinamica R C Hibbele 361

Machine Translated by Google 362

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

A  medida  que  la  tabla  se  desliza  hacia  abajo  a  la   izquierda,  está  sujeta  a  un  movimiento  plano   general.  Como  se  conocen  las  direcciones  de  las  

CI

B

velocidades  de  sus  extremos  A  y  B ,  el  IC  está   ubicado  como  se  muestra.  En  este  instante  el   tablero  girará  momentáneamente  sobre  este   punto.  Dibuje  el  tablero  en  varias  otras  posiciones   y  establezca  el  IC  para  cada  caso.  (©  RC  Hibbeler)

vB

Virginia

A

CI

dieciséis

rA/CI   rB/CI RC/IC

B vB  v  rB/CI V

A

C

vA  v  rA/CI

Tenga  en  cuenta  que  el  punto  elegido  como  centro  instantáneo  de  velocidad  cero   para  el  cuerpo  solo  se  puede  usar  en  el  instante  considerado,  ya  que  el  cuerpo   cambia  su  posición  de  un  instante  al  siguiente.  El  lugar  geométrico  de  los  puntos   que  definen  la  ubicación  del  IC  durante  el  movimiento  del  cuerpo  se  denomina   centroda,  figura  16­18a,  por  lo  que  cada  punto  de  la  centroda  actúa  como  el  IC  del   cuerpo  sólo  durante  un  instante. Aunque  el  IC  puede  usarse  convenientemente  para  determinar  la  velocidad  de   cualquier  punto  en  un  cuerpo,  generalmente  no  tiene  aceleración  cero  y,  por  lo   tanto,  no  debe  usarse  para  encontrar  las  aceleraciones  de  los  puntos  en  un  cuerpo.

vC  v  rC/IC

Procedimiento  de  Análisis La  velocidad  de  un  punto  en  un  cuerpo  que  está  sujeto  a  un  movimiento  plano   general  se  puede  determinar  con  referencia  a  su  centro  instantáneo  de  

Figura  16­19

velocidad  cero  siempre  que  la  ubicación  del  IC  se  establezca  primero  usando   uno  de  los  tres  métodos  descritos  anteriormente. Como  se  muestra  en  el  diagrama  cinemático  de  la  figura  16­19,  el  cuerpo   se  imagina  como  “extendido  y  fijo”  en  el  IC  de  modo  que,  en  el  instante   considerado,  gira  alrededor  de  este  pasador  con  su  velocidad  angular  V. La  magnitud  de  la  velocidad  para  cada  uno  de  los  puntos  arbitrarios  A,  B  y   C  del  cuerpo  se  puede  determinar  utilizando  la  ecuación  vr,  donde  r  es  la   v  = distancia  radial  desde  el  IC  hasta  cada  punto. La  línea  de  acción  de  cada  vector  de  velocidad  v  es  perpendicular  a  su   línea  radial  asociada  r,  y  la  velocidad  tiene  un  sentido  de  dirección  que   tiende  a  mover  el  punto  de  manera  consistente  con  la  rotación  angular  V   de  la  línea  radial,  Fig.  16–  19

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 363

16.6  CENTRO  INSTANTÁNEO  DE  VELOCIDAD  CERO

EJEMPLO  16.9 Muestre  cómo  determinar  la  ubicación  del  centro  instantáneo  de  velocidad  cero  para   (a)  el  elemento  BC  que  se  muestra  en  la  figura  16­20a;  y  (b)  el  enlace  CB  que  se   muestra  en  la  figura  16­20c. CI rB/IC  VBC

B

RC/IC

tu

B

A

v

tu

C

vC

C

vB

(a)

(b)

SOLUCIÓN Parte  (a).  Como  se  muestra  en  la  figura  16­20a,  el  punto  B  se  mueve  en  una  

dieciséis

trayectoria  circular  tal  que  vB  es  perpendicular  a  AB.  Por  lo  tanto,  actúa  en  un  ángulo   u  con  respecto  a  la  horizontal,  como  se  muestra  en  la  figura  16­20b.  El  movimiento   del  punto  B  hace  que  el  pistón  avance  horizontalmente  con  una  velocidad  vC. Cuando  las  líneas  se  dibujan  perpendiculares  a  vB  y  vC,  figura  16­20b,  se  intersecan   en  el  IC. b

Parte  B).  Los  puntos  B  y  C  siguen  trayectorias  circulares  de  movimiento  ya  que  los  

D

vínculos  AB  y  DC  están  sujetos  a  rotación  alrededor  de  un  eje  fijo,  figura  16­20c.  

C

Como  la  velocidad  siempre  es  tangente  a  la  trayectoria,  en  el  instante  considerado,   vC  en  la  barra  DC  y  vB  en  la  barra  AB  están  dirigidas  verticalmente  hacia  abajo,  a  lo  

VCC

largo  del  eje  del  eslabón  CB,  figura  16­20d.  Las  líneas  radiales  dibujadas   perpendicularmente  a  estas  dos  velocidades  forman  líneas  paralelas  que  se  cruzan  

A

B

S

en  el  "infinito";  es  decir,  rC>IC  S  y  rB>IC .  Por  lo  tanto,  =  (vC>rC>IC)  S  0.  Como   resultado,  el  enlace  CB  se  traduce  momentáneamente .  Sin  embargo,  un   instante  después  de  vCB ,  CB  se  moverá  a  una  posición  inclinada,  lo  que  hará  que  el   IC  se  mueva  a  una  ubicación  finita. vC RC/IC

C

BCV

CI rB/CI

B vB

(d) Figura  16­20

(C)

Machine Translated by Google 364

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

EJEMPLO  16.10 El  bloque  D  que  se  muestra  en  la  figura  16­21a  se  mueve  con  una  rapidez  de  3  m>s.  Determine  las   velocidades  angulares  de  los  eslabones  BD  y  AB,  en  el  instante  que  se  muestra.

B 0,4  metros

0,4  metros

90 45

A

45

3  m/s D

(a)

CI dieciséis

SOLUCIÓN  

rB/CI vB

Cuando  D  se  mueve  hacia  la  derecha,  AB  gira  en  el  sentido  de  las  manecillas  del  reloj  alrededor  del  punto  A.

B V

rD/IC BD

Por  tanto,  vB  está  dirigida  perpendicularmente  a  AB.  El  centro  instantáneo  de  velocidad  cero  para   BD  está  ubicado  en  la  intersección  de  los  segmentos  de  línea  trazados  perpendicularmente  a  vB  y   vD,  figura  16­21b.  De  la  geometría,

45 0,4  metros

=  0,4  tan  45  m  =  0,4  m  rB>IC D

vD  3  m/s rD>IC

0,4  metros

=

(b)

=  0,5657m

porque  45

Como  se  conoce  la  magnitud  de  vD ,  la  velocidad  angular  del  eslabón  BD  es

vBD

=

enfermedad  venérea

3  m>s

=

0,5657  m

rD>IC

=  5,30  rad>sd  

Respuesta

Por  lo  tanto,  la  velocidad  de  B  es B

45

vB  =  vBD(rB>IC)  =  5,30  rad>s  (0,4  m)  =  2,12  m>s  c45

vB  2,12  m/s

0,4  metros

De  la  figura  16­21c,  la  velocidad  angular  de  AB  es VAB

A

vAB

=

vB rB>A

=

2,12  m>s   =  5,30  rad>sb 0,4  metros

(C) Figura  16­21

NOTA:  Intente  resolver  este  problema  aplicando  vD  =  vB  +  vD>B  a miembro  BD.

www.ebook777.com

Respuesta

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 365

16.6  CENTRO  INSTANTÁNEO  DE  VELOCIDAD  CERO

EJEMPLO  16.11 El  cilindro  que  se  muestra  en  la  figura  16­22a  rueda  sin  deslizarse  entre  las  dos  placas   móviles  E  y  D.  Determine  la  velocidad  angular  del  cilindro  y  la  velocidad  de  su  centro  C.

A

mi

vE  =  0,25  m/s

C

0,125  metros

B

vD  =  0,4  m/s

D

(a) dieciséis

SOLUCIÓN  

A  vA  0,25  m/s

Como  no  ocurre  deslizamiento,  los  puntos  de  contacto  A  y  B  en  el  cilindro  tienen  las  

V

mismas  velocidades  que  las  placas  E  y  D,  respectivamente.

CI

Además,  las  velocidades  vA  y  vB  son  paralelas,  de  modo  que  por  la  proporcionalidad  

RC/IC rC C  

de  los  triángulos  rectángulos,  el  IC  está  ubicado  en  un  punto  sobre  la  línea  AB,  figura   0,125  metros

16­22b.  Suponiendo  que  este  punto  está  a  una  distancia  x  de  B,  tenemos vB  =  vx;

0,4  m>s  =  vx  

vA  =  v(0,25  m  ­  x);

0,25  m>s  =  v(0,25  m  ­  x)

vB  0,4  m/s

(b) Figura  16­22

Al  dividir  una  ecuación  en  la  otra  se  elimina  v  y  se  obtiene 0,4(0,25  ­  x)  =  0,25x x  =

0.1 0,65

=  0,1538m

Por  lo  tanto,  la  velocidad  angular  del  cilindro  es

v  =

vB =

0,4  m>s 0,1538  m

X

=  2,60  rad>sb  

Respuesta

Por  lo  tanto,  la  velocidad  del  punto  C  es vrC>IC  =  

=  2,60  rad>s  (0,1538  m  ­  0,125  m)  vC  =  

0,0750  m>s  d

B

Respuesta

0,25  metros

X

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

Machine Translated by Google 366

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

EJEMPLO  16.12 El  cigüeñal  AB  gira  con  una  velocidad  angular  en  el  sentido  de  las  manecillas  del  reloj  de  10   rad>s,  figura  16­23a.  Determine  la  velocidad  del  pistón  en  el  instante  mostrado.

C

0,75  pies

13.6

v

antes  de  Cristo

2,43  rad/s

B 45

v AB

10  rad/s

A

0,25  pies

dieciséis

(a)

SOLUCIÓN El  cigüeñal  gira  alrededor  de  un  eje  fijo,  por  lo  que  la  velocidad  del  punto  B  es

vB  =  10  rad>s  (0,25  pies)  =  2,50  pies>s  a45 Como  se  conocen  las  direcciones  de  las  velocidades  de  B  y  C ,  entonces  la  ubicación  del  IC   vC

para  la  biela  BC  es  en  la  intersección  de  las  líneas  que  se  extienden  desde  estos  puntos,   perpendiculares  a  vB  y  vC,  figura  16­23b.  Las  magnitudes  de  rB>IC  y  rC>IC  se  pueden  

CI

C

45,0

obtener  de  la  geometría  del  triángulo  y  la  ley  de  los  senos,  es  decir,

76.4 0,75  pies pecado  45

=

rB>CI pecado  76.4

0,75  pies

rB>IC =  1,031  pies  

58.6

0,75  pies 2,50  pies/s

pecado  45

B (b) Figura  16­23

=

RC>IC pecado  58.6

rC>IC =  0,9056  pies   El  sentido  de  rotación  de  VBC  debe  ser  el  mismo  que  la  rotación  causada  por  vB  sobre  el   IC,  que  es  en  sentido  antihorario.  Por  lo  tanto, vBC

=

vB rB>CI

=

2,5   pies>s  =  2,425  rad>s   1,031  pies

Usando  este  resultado,  la  velocidad  del  pistón  es =  vBCrC>IC

=  (2,425  rad>s)(0,9056  pies)  =  2,20  pies>s  Respuesta.  vC  

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 367

16.6  CENTRO  INSTANTÁNEO  DE  VELOCIDAD  CERO

PROBLEMA  PRELIMINAR P16–2.  Establezca  la  ubicación  del  centro  instantáneo  de  velocidad  cero  para  encontrar  la  

4  m/s

velocidad  del  punto  B.

C 1  metro

8  rad/s

B

B

45

1  metro

A

2  metros

3  m/s

Sin  deslizamiento

(d)

(a)

dieciséis

A

2  metros

3  rad/s

0,5  m   3

4  rad/s

5B

4

2  metros

A

B

0,5  metros

(b)

0,5  metros

Sin  deslizamiento

Sin  deslizamiento

(mi)

A

0,5  metros

1,5  metros

4  rad/s

0,5  metros

B 0,3  metros

30

30 45

B

(C)

A

2  metros

(F)

problema  P16–2

6  rad/s

Machine Translated by Google

368

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

PROBLEMAS  FUNDAMENTALES F16–13.  Determine  la  velocidad  angular  de  la  barra  y  la  velocidad  del  punto  C  en  

F16–16.  Si  el  cable  AB  se  desenrolla  con  una  rapidez  de  3  m>s  y  la  cremallera  C  

el  instante  que  se  muestra.

tiene  una  rapidez  de  1,5  m>s,  determine  la  velocidad  angular  del  engranaje  y  la   velocidad  de  su  centro  O.

vA  6  m/s 3  m/s

A

A

0,3  metros

B 0,2  metros

2,5  metros

O 4  metros

C

C

1,5  m/s

2,5  metros

problema  F16–16

B

dieciséis

F16–17.  Determine  la  velocidad  angular  del  eslabón  BC  y  la  velocidad  del  pistón  

problema  F16–13

C  en  el  instante  que  se  muestra.

F16–14.  Determine  la  velocidad  angular  del  eslabón  BC  y  la  velocidad  del  pistón   0,8  metros

C  en  el  instante  que  se  muestra.

0,2  metros

A

30

B

vAB  12  rad/s

C

A

C

B

v  6  rad/s 1,2  metros

0,6  metros

problema  F16–17

problema  F16–14 F16–18.  Determine  la  velocidad  angular  de  los  eslabones  BC  y  CD  en  el  instante   que  se  muestra. F16–15.  Si  el  centro  O  de  la  rueda  se  mueve  con  una  rapidez  de  vO  =  6  m/s,   determine  la  velocidad  del  punto  A  de  la  rueda.  La  cremallera  B  está  fija.

D 0,2  metros

0,4  metros

0,6  metros

A

0,2  metros

0,3  metros

O

B

6  m/s B

A

30 vAB  10  rad/s

problema  F16–18

problema  F16–15

www.ebook777.com

C

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 16.6  CENTRO  INSTANTÁNEO  DE  VELOCIDAD  CERO

369

PROBLEMAS 16–81.  En  cada  caso  muestre  gráficamente  cómo  ubicar  el  centro  instantáneo  de  

16–83.  El  mecanismo  moldeador  está  diseñado  para  dar  un  golpe  de  corte  lento  y  un  

velocidad  cero  del  eslabón  AB.  Suponga  que  se  conoce  la  geometría.

retorno  rápido  a  una  cuchilla  unida  a  la  corredera  en  C.  Determine  la  velocidad   angular  del  eslabón  CB  en  el  instante  que  se  muestra,  si  el  eslabón  AB  gira  a  4  rad>s.

125mm C B

45

v

B

A

A

(a) v

v

v AB

4  rad/s dieciséis

A

(b)

B

300mm

C 60

B

(C)

A problema  16–81

problema  16–83

*16–84.  La  cinta  transportadora  se  mueve  hacia  la  derecha  a  v  =  8  ft>s  y,  en  el  mismo   instante,  el  cilindro  gira  en  sentido  antihorario  a  v  =  2  rad>s  sin  deslizarse.  Determine   las  velocidades  del  centro  C  y  del  punto  B  del  cilindro  en  este  instante.

16–82.  Determine  la  velocidad  angular  del  eslabón  AB  en  el  instante  que  se  muestra   si  el  bloque  C  se  mueve  hacia  arriba  a  12  in>s.

16–85.  La  cinta  transportadora  se  mueve  hacia  la  derecha  a  v  =  12  ft>s  y,  en  el   mismo  instante,  el  cilindro  gira  en  sentido  antihorario  a  v  =  6  rad>s,  mientras  que  su   centro  tiene  una  velocidad  de  4  ft>s  hacia  la  izquierda.  Determine  las  velocidades  de   los  puntos  A  y  B  en  el  disco  en  este  instante.  ¿El  cilindro  resbala  en  el  transportador?

B A

v

AB

C 5  pulgadas

45

4  pulgadas

C 1  pie

30 B problema  16–82

A problemas  16–84/85

v

Machine Translated by Google

370

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

16–86.  A  medida  que  la  cuerda  se  desenreda  del  cubo  interior  de  la  rueda,  la  rueda  

*16–88.  Si  la  barra  AB  tiene  una  velocidad  angular  vAB  =  6  rad>s,  determine  la  

gira  a  v  =  2  rad>s  en  el  instante  que  se  muestra.

velocidad  del  bloque  deslizante  C  en  el  instante  que  se  muestra.

Determine  las  velocidades  de  los  puntos  A  y  B.

B

vAB  6  rad/s v

2  rad/s

200mm

A

5  pulgadas

B

tu

45

500mm 30 C

O 2  pulgadas

problema  16–88

dieciséis

A problema  16–86

16–89.  Demuestre  que  si  el  aro  de  la  rueda  y  su  cubo  mantienen  contacto  con  las   tres  pistas  cuando  la  rueda  rueda,  es  necesario  que  ocurra  un  deslizamiento  en  el   16–87.  Si  la  barra  CD  gira  con  una  velocidad  angular  =  4  rad>s,  determine  las   vCD   velocidades  angulares  de  las  barras  AB y  CB  en  el  instante  mostrado.

A

cubo  A  si  no  ocurre  un  deslizamiento  en  B.  Bajo  estas  condiciones,  ¿cuál  es  la   velocidad  en  A  si  la  rueda  tiene  velocidad  angular  V?

30

v

r2 0,4  metros 1  metro

C

r1 A

B 0,5  metros

VCD

4  rad/s

D

problema  16–87

B

problema  16–89

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 16.6  CENTRO  INSTANTÁNEO  DE  VELOCIDAD  CERO

371

16–94.  El  cilindro  B  rueda  sobre  el  cilindro  fijo  A  sin  resbalar.  Si  la  barra  

16–90.  Debido  al  deslizamiento,  los  puntos  A  y  B  del  borde  del  disco   tienen  las  velocidades  que  se  muestran.  Determinar  las  velocidades  de

conectada  CD  gira  con  una  velocidad  angular  vCD  =  5  rad>s,  determine  

el  punto  central  C  y  el  punto  D  en  este  instante.

la  velocidad  angular  del  cilindro  B.  El  punto  C  es  un  punto  fijo.

16–91.  Debido  al  deslizamiento,  los  puntos  A  y  B  del  borde  del  disco   tienen  las  velocidades  que  se  muestran.  Determine  las  velocidades  del   punto  central  C  y  el  punto  E  en  este  instante.

0,3  metros 0,1  metros

D

C B

vB  10  pies/s

A

vCD  5  rad/s

D 0,8  pies

45 mi

B 30

C

problema  16–94

F vA  5  pies/s

A

dieciséis

16–95.  A  medida  que  el  automóvil  avanza  a  80  ft>s  en  una  carretera  

problemas  16–90/91

mojada,  debido  al  deslizamiento,  las  ruedas  traseras  tienen  una  velocidad   angular  v  =  100  rad>s.  Determine  las  velocidades  de  los  puntos  A,  B  y  C   causadas  por  el  movimiento.

80  pies/segundo

C

*16–92.  El  miembro  AB  gira  a  vAB  Determine  la  velocidad   =  6  rad>s. del  punto  D  y  la  velocidad  angular  de  los  miembros  BPD  y  CD.

16–93.  El  miembro  AB  gira  a  vAB  Determine  la  velocidad  

B 1,4  pies  A

=  6  rad>s.

del  punto  P  y  la  velocidad  angular  del  miembro  BPD.

100  rad/s

problema  16–95

*16–96.  El  piñón  A  rueda  sobre  la  cremallera  fija  B  con  una  velocidad   angular  v  =  8  rad>s.  Determine  la  velocidad  de  la  cremallera  C.

200mm

B

200mm

C

D 200mm

200mm 60

A

60

250mm

C

A

v

150mm

vAB  6  rad/s PAG

problemas  16–92/93

B problema  16–96

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

Machine Translated by Google

372

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

16–97.  Si  el  engranaje  central  H  y  la  corona  R  tienen  velocidades  angulares  vH  =  5  

*16–100.  El  cilindro  A  rueda  sobre  el  cilindro  fijo  B  sin  resbalar.  Si  la  barra  CD  gira  

rad>s  y  vR  =  20  rad>s,  respectivamente,  determine  la  velocidad  angular  vS  del  

con  una  velocidad  angular  de  =  3  rad>s,  determine  la  velocidad  angular  de  A.

engranaje  recto  S  y  la  velocidad  angular  de  su  brazo  adjunto  OA.

VCD

16–98.  Si  el  engranaje  central  H  tiene  una  velocidad  angular  =  5  rad>s,  determine  la  

vH velocidad  angular  del  engranaje  anular  R  de  modo  que  el  brazo  OA  unido  al   engranaje  recto  S  permanezca  estacionario  (vOA  =  0).  ¿Cuál  es  la  velocidad  angular   del  engranaje  recto?

C 200mm A

vR

50mm

250mm

A

H

VCD

S 200mm vS

O

150mm

D B

O

dieciséis

vH

problema  16–100

R

16­101.  El  engranaje  planetario  A  está  conectado  por  pasador  al  extremo  del  eslabón  

problemas  16–97/98

BC.  Si  el  eslabón  gira  alrededor  del  punto  fijo  B  a  4  rad>s,  determine  la  velocidad   angular  de  la  corona  dentada  R.

99.  El  cigüeñal  AB  gira  a  vAB  alrededor  del  eje  fijo  que  pasa  por  

=  50  rad>s  16–

El  engranaje  solar  D  está  fijo  para  que  no  gire.

el  punto  A,  y  el  disco  en  C  se  mantiene  fijo  en  su  soporte  en  E.  Determine  la  velocidad   16–102.  Resuelva  el  problema  16­101  si  el  engranaje  solar  D  gira  en  sentido  horario  

angular  de  la  varilla  CD  en  el  instante  que  se  muestra.

a  vD  =  5  rad>s  mientras  que  el  eslabón  BC  gira  en  sentido  antihorario  a  vBC  =  4   rad>s.

mi

C

75mm 75mm

40mm

R

F D

D vBC  4  rad/s

300mm

150mm

60

A

B

C 75mm

vAB  50  rad/s

A

B 100mm

problemas  16–101/102

problema  16–99

www.ebook777.com

realidad  virtual

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 373

16.7  ANÁLISIS  DE  MOVIMIENTO  RELATIVO :  ACELERACIÓN

Camino  

16.7  Análisis  de  movimiento   relativo:  aceleración

del  punto  A

A

Una  ecuación  que  relaciona  las  aceleraciones  de  dos  puntos  sobre  una  barra  (cuerpo   rígido)  sujeta  a  un  movimiento  plano  general  puede  determinarse  derivando  vB  =  vA  

ab Virginia

+  vB>A  con  respecto  al  tiempo.  Esto  produce dvB dt

=

dvA dt

+

Automóvil  club  británico

dvB>A

dt

B Camino  

Los  términos  dvB>dt  =  aB  y  dvA>dt  =  aA  se  miden  con  respecto  a  un  conjunto  de   ejes  x,  y  fijos  y  representan  las  aceleraciones  absolutas  de  los  puntos  B  y  A.  El  último   término  representa  la  aceleración  de  B  con  respecto  a  A  como  medido  por  un   observador  fijado  a  los  ejes  de  traslación  x,  y  que  tienen  su  origen  en  el  punto  base  A.   En  la  Sec.  16.5  se  mostró  que  para  este  observador  el  punto  B  parece  moverse  a  lo   largo  de  un  arco  circular  que  tiene  un  radio  de  curvatura  rB>A.  En  consecuencia,  aB>A  

del  punto  B

Movimiento  plano  general   (a)

Automóvil  club  británico

A

puede  expresarse  en  términos  de  sus  componentes  tangencial  y  normal;  es  decir,   aB>A  =  (aB>A)t  +  (aB>A)n ,  donde  arB>A  y  (aB>A)n  =  v2  rB>A.  Por  lo  tanto,  la   ecuación  de  aceleración  relativa  (aB>A)t  =  se  puede  escribir  en  la  forma

dieciséis

Automóvil  club  británico

aB  =  aA  +  (aB>A)t  +  (aB>A)n

(16­17)

B Traducción

dónde

(b)

aB  =  aceleración  del  punto  B A

aA  =  aceleración  del  punto  A

V

(aB>A)t  =  componente  de  aceleración  tangencial  de  B  con  respecto  a  A.   La  magnitud  es  (aB>A)t  =  arB>A,  y  la  dirección  es   perpendicular  a  rB>A. (aB>A)n  =  componente  de  aceleración  normal  de  B  con  respecto  a  A.   La  magnitud  es  (aB>A)n  =  v2  rB>A,  y  la  dirección   siempre  es  de  B  hacia  A. Los  términos  en  la  Ec.  16­17  se  representan  gráficamente  en  la  figura  16­24.  Aquí   se  ve  que  en  un  instante  dado  la  aceleración  de  B,  figura  16­24a,  se  determina   considerando  que  la  barra  se  traslada  con  una  aceleración  aA,  figura  16­24b,  y   simultáneamente  gira  alrededor  del  punto  base  A  con  una  velocidad  instantánea.   velocidad  angular  V  y  aceleración  angular  A,  figura  16­24c. La  suma  vectorial  de  estos  dos  efectos,  aplicada  a  B,  produce  aB,  como  se  muestra   en  la  figura  16­24d.  Cabe  señalar  en  la  figura  16­24a  que,  dado  que  los  puntos  A  y  B   se  mueven  a  lo  largo  de  trayectorias  curvas,  las  aceleraciones  de  estos  puntos  tendrán   componentes  tanto  tangenciales  como  normales.  (Recuerde  que  la  aceleración  de  un   punto  es  tangente  a  la  trayectoria  solo  cuando  la  trayectoria  es  rectilínea  o  cuando  es   un  punto  de  inflexión  en  una  curva).

A aB/A

rB/A

(aB/A)n (un  murcielago

B Rotación  sobre  el   punto  base  A   (c)

(aB/A)n

(un  murcielago

ab Automóvil  club  británico

(d) Figura  16­24

Machine Translated by Google 374

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

Camino  de  B

Dado  que  los  componentes  de  aceleración  relativa  representan  el  efecto  del   movimiento  circular  observado  a  partir  de  ejes  de  traslación  que  tienen  su  origen  en  el  

B

A

v

punto  base  A,  estos  términos  se  pueden  expresar  como  (aB>A)t  =  A  *  rB>A  y  (aB>A)n   =  ­v2  rB>A,  Ec.  16–14.  Por  lo  tanto,  la  ecuación.  16–17  se  convierte  en

C

a

aB  =  aA  +  A  *  rB>A  ­  v2  rB>A

(16­18)

dónde

(a)

aB  =  aceleración  del  punto  B  aA   B

=  aceleración  del  punto  base  A

(aB)t

(aB)n

A  =  aceleración  angular  del  cuerpo V  =  velocidad  angular  del  cuerpo  rB>A  

ab

=  vector  de  posición  dirigido  de  A  a  B

A

dieciséis

B

ab

C.A

C (b) Figura  16­25

Si  la  ecuación.  16­17  o  16­18  se  aplica  de  manera  práctica  para  estudiar  el   movimiento  acelerado  de  un  cuerpo  rígido  que  está  conectado  por  un  pasador  a  otros   dos  cuerpos,  debe  tenerse  en  cuenta  que  los  puntos  que  coinciden  en  el  pasador  se   mueven  con  la  misma  aceleración,  ya  que  la  trayectoria  de  movimiento  sobre  la  que   viajan  es  la  misma.  Por  ejemplo,  el  punto  B  que  se  encuentra  sobre  la  varilla  BA  o  BC   del  mecanismo  de  manivela  que  se  muestra  en  la  figura  16­25a  tiene  la  misma   aceleración,  ya  que  las  varillas  están  conectadas  por  pasadores  en  B.  Aquí  el   movimiento  de  B  es  a  lo  largo  de  una  trayectoria  circular,  de  modo  que  aB  se  puede   expresar  en  términos  de  sus  componentes  tangencial  y  normal.  En  el  otro  extremo  de   la  varilla  BC,  el  punto  C  se  mueve  a  lo  largo  de  una  trayectoria  rectilínea,  que  está   definida  por  el  pistón.  Por  lo  tanto,  aC  es  horizontal,  figura  16­25b. Finalmente,  considere  un  disco  que  rueda  sin  deslizarse  como  se  muestra  en  la  figura  16­26a.

V

Como  resultado,  vA  =  0  y,  por  lo  tanto,  del  diagrama  cinemático  de  la  figura  16­26b,  la   velocidad  del  centro  de  masa  G  es

A

vG  =  vA  +  V  *  rG>A  =  0  +  (­vk)  *  (rj) GRAMO

De  modo  que

r A

vG  =  vr

(a)

Este  mismo  resultado  también  se  puede  determinar  usando  el  método  IC  donde  el   punto  A  es  el  IC. V

(16­19)

Dado  que  G  se  mueve  a  lo  largo  de  una  línea  recta,  su  aceleración  en  este  caso  se  puede   determinar  a  partir  de  la  derivada  de  su  velocidad  con  respecto  al  tiempo.

GRAMO

DvG = dv   r dt dt

vG

RG/A

aG  =  ar

(16–20)

A (b) Figura  16­26

Estos  dos  importantes  resultados  también  se  obtuvieron  en  el  ejemplo  16­4.  Se   aplican  también  a  cualquier  objeto  circular,  como  una  bola,  un  engranaje,  una  rueda,   etc.,  que  ruede  sin  deslizarse.

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 16.7  ANÁLISIS  DE  MOVIMIENTO  RELATIVO :  ACELERACIÓN

375

Procedimiento  de  Análisis B

La  ecuación  de  aceleración  relativa  se  puede  aplicar  entre  dos  puntos  A  y  B  de   un  cuerpo  mediante  un  análisis  vectorial  cartesiano  o  escribiendo  directamente   las  ecuaciones  de  componentes  escalares  x  e  y . Análisis  de  velocidad. Determine  la  velocidad  angular  V  del  cuerpo  usando  un  análisis  de  velocidad   como  se  discutió  en  la  sección.  16.5  o  16.6.  Además,  determine  las   velocidades  vA  y  vB  de  los  puntos  A  y  B  si  estos  puntos  se  mueven  a  lo  largo   de  trayectorias  curvas.

V,  A

ab

(aA)t

A

Diagrama   cinemático  de  análisis  vectorial. Establezca  las  direcciones  de  las  coordenadas  x,  y  fijas  y  dibuje  el  diagrama  

(aA)n

cinemático  del  cuerpo.  Indique  en  él  aA,  aB,  V,  A  y  rB>A. Si  los  puntos  A  y  B  se  mueven  a  lo  largo  de  trayectorias  curvas,  entonces  sus   aceleraciones  deben  indicarse  en  términos  de  sus  componentes  tangencial  y   normal,  es  decir,  aA  =  (aA)t  +  (aA)n  y  aB  =  (aB)t  +  (aB)n . Ecuación  de  aceleración. Para  aplicar  aB  =  aA  +  A  *  rB>A  ­  v2  rB>A,  exprese  los  vectores  en  forma  de   vector  cartesiano  y  sustitúyalos  en  la  ecuación. Evalúe  el  producto  cruzado  y  luego  iguale  los  respectivos  componentes  i  y  j   para  obtener  dos  ecuaciones  escalares. Si  la  solución  arroja  una  respuesta  negativa  para  una  magnitud  desconocida ,   indica  que  el  sentido  de  la  dirección  del  vector  es  opuesto  al  que  se  muestra   en  el  diagrama  cinemático. Diagrama   cinemático  de  análisis  escalar. Si  la  ecuación  de  aceleración  se  aplica  en  forma  escalar,  entonces  se  deben   establecer  las  magnitudes  y  direcciones  de  los  componentes  de  aceleración   relativa  (aB>A)t  y  (aB>A)n .  Para  hacer  esto,  dibuje  un  diagrama  cinemático   como  el  que  se  muestra  en  la  figura  16­24c.  Dado  que  se  considera  que  el   cuerpo  está  momentáneamente  "clavado"  en  el  punto  base  A,  las  magnitudes   estos  componentes  son  (aB>A)t  =  Su   arB>A  y  (aB>A)n  =  v2  rB>A.  de   sentido  de  dirección  se  establece  a  partir  del  diagrama  tal  que  (aB>A)t  actúa   perpendicular  a  rB>A,  de  acuerdo  con  el  movimiento  de  rotación  A  del  cuerpo,   y  (aB>  A)n  se  dirige  desde  B  hacia  A.*  Ecuación  de  aceleración.

Representa  los  vectores  en  aB  =  aA  +  (aB>A)t  +  (aB>A)n  gráficamente   mostrando  sus  magnitudes  y  direcciones  debajo  de  cada  término.  Las   ecuaciones  escalares  se  determinan  a  partir  de  las  componentes  x  e  y  de   estos  vectores. *La  notación  aB  =  aA  +  (aB>A(pin))t  +  (aB>A(pin))n  puede  ser  útil  para  recordar  que   se  supone  que  A  está  fijado.

C

dieciséis

Se  muestra  el  mecanismo  de  una  ventana.  Aquí  CA   gira  alrededor  de  un  eje  fijo  a  través  de  C  y  AB   experimenta  un  movimiento  plano  general.  Dado  que   el  punto  A  se  mueve  a  lo  largo  de  una  trayectoria   curva,  tiene  dos  componentes  de  aceleración,  mientras   que  el  punto  B  se  mueve  a  lo  largo  de  una  trayectoria  

recta  y  se  especifica  la  dirección  de  su  aceleración.  (©  RC  Hibbeler

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

Machine Translated by Google 376

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

EJEMPLO  16.13 La  barra  AB  que  se  muestra  en  la  figura  16­27a  está  confinada  a  moverse  a  lo  

10  metros

A

largo  de  los  planos  inclinados  en  A  y  B.  Si  el  punto  A  tiene  una  aceleración  de   2

B

3  m>s  y  una  velocidad  de  2  m>s,  ambas  dirigidas  hacia  abajo  en  el  plano  en   el  instante  en  que  la  barra  es  horizontal,  determine  la  aceleración  angular  de   la  barra  en  ese  instante.

vA  2  m/s aA  3  m/s

2

45

SOLUCIÓN  I  (ANÁLISIS  VECTORIAL)

45

Aplicaremos  la  ecuación  de  la  aceleración  a  los  puntos  A  y  B  de  la  barra.  Para  

(a)

hacerlo,  primero  es  necesario  determinar  la  velocidad  angular  de  la  barra.   Demuestre  que  es  v  =  0.283  rad>sd  usando  la  ecuación  de  velocidad  o  el  

y

método  de  centros  instantáneos. ab

X

A

A

B

rB/A

45

Diagrama  cinemático.  Dado  que  los  puntos  A  y  B  se  mueven  a  lo  largo  de  

45

trayectorias  rectilíneas,  no  tienen  componentes  de  aceleración  normales  a  las   trayectorias.  Hay  dos  incógnitas  en  la  figura  16­27b,  a  saber,  aB  y  a.

v  0,283  rad/s

dieciséis

aA  3  m/s

2

Ecuación  de  aceleración.  aB   (b)

=  aA  +  A  *  rB>A  ­  v2  rB>A aB  cos  45i  +  aB  sen  45j  =  3  cos  45i  ­  3  sen  45j  +  (ak)  *  (10i)  ­  (0.283)2  (10i) Realizando  el  producto  vectorial  e  igualando  las  componentes  i  y  j  se  obtiene

aB  cos  45  =  3  cos  45  ­  (0.283)2  (10)

(aB/A)t  a  rB/A

aB  sen  45  =  ­3  sen  45  +  a(10)

(1)   (2)

10  metros

A

A

(aB/A)n  v2 v  0,283  rad/s

rB/A

B

Resolviendo  tenemos

ab =  1,87  m>s

rB/A

a  =  0,344  rad>s

2  a45 2

d

Respuesta

(C) Figura  16­27

SOLUCIÓN  II  (ANÁLISIS  ESCALAR) Del  diagrama  cinemático,  que  muestra  los  componentes  de  aceleración  relativa  (aB>A)t  y   (aB>A)n ,  figura  16­27c,  tenemos

aB  =  aA  +  (aB>A)t  +  (aB>A)n 2

c  a45   aB  d  =  c  3  m>s   d   c+45     ca(10  m)  d  +  c  (0,283   rad>s)2  (10  m)  dd C Igualando  los  componentes  x  e  y  se  obtienen  las  Ecs.  1  y  2,  y  la  solución  procede  como   antes.

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 16.7  ANÁLISIS  DE  MOVIMIENTO  RELATIVO :  ACELERACIÓN

377

EJEMPLO  16.14 El  disco  rueda  sin  deslizarse  y  tiene  el  movimiento  angular  que  se  muestra  en  la  figura   16­28a.  Determine  la  aceleración  del  punto  A  en  este  instante.

v  6  rad/sa  4   2 rad/s GRAMO

0,5  pies

SOLUCIÓN  I  (ANÁLISIS  VECTORIAL)

A

Diagrama  cinemático.  Dado  que  no  se  produce  deslizamiento,  aplicando  la  Ec.  16­20, AG =  ar  =  (4  rad>s

2

)(0,5  pies)  =  2  pies>s

2

(a)

v  6  rad/sa  4   2 rad/s

Ecuación  de  aceleración.

2

Aplicaremos  la  ecuación  de  aceleración  a  los  puntos  G  y  A,  figura  16­28b,

2  pies/segundo

GRAMO

trapo

aA  =  aG  +  A :  rA>G  ­  v2  rA>G  aA  =  ­2i   (aA)y

+  (4k) :  (­0.5j)  ­  (6)2  (­0.5j) =  {18j}  pies>s

2

dieciséis

(aA)x

A (b)

SOLUCIÓN  II  (ANÁLISIS  ESCALAR)

v  6  rad/sa  4   2 rad/s

Usando  el  resultado  para  aG  =  2  ft>s2  determinado  anteriormente,  y  del  diagrama   cinemático,  que  muestra  el  movimiento  relativo  aA>G,  figura  16­28c,  tenemos

GRAMO

2

2

c  (aA)x   S  d  +  c  (aA)y  dC  =  c  2  pies>s dd  +  c  (4  rad>s S+

(aA)x  =  ­2  +  2  =  0

+  c

(aA)y  =  18  pies>s

A

)(0,5  pies)

S  d  +  c  (6  rad>s)2  (0,5  pies)  dC

(C) Figura  16­28

2

Por  lo  tanto,

Automóvil  club  británico

=  2(0)2  +  (18  pies>s

2 2

) =  18  pies>s

2

Respuesta

NOTA:  El  hecho  de  que  aA  =  18  ft>s2  indica  que  el  centro  instantáneo  de  velocidad  cero,   el  punto  A,  no  es  un  punto  de  aceleración  cero.

trapo

(aA/G)y

aA  =  aG  +  (aA>G)x  +  (aA>G)y

(aA/G)x

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

Machine Translated by Google 378

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

EJEMPLO  16.15 El  carrete  que  se  muestra  en  la  figura  16­29a  se  desenreda  de  la  cuerda,  de  modo  que  en   el  instante  que  se  muestra  tiene  una  velocidad  angular  de  3  rad>s  y  una  aceleración   2

angular  de  4  rad>s. B

. Determine  la  aceleración  del  punto  B.

SOLUCIÓN  I  (ANÁLISIS  VECTORIAL) El  carrete  "parece"  estar  rodando  hacia  abajo  sin  deslizarse  en  el  punto  A.  Por  lo  tanto,   podemos  usar  los  resultados  de  la  ecuación.  16­20  para  determinar  la  aceleración  del  

A

punto  G,  es  decir,  =  ar  =  (4  rad>s  aG

GRAMO

0,5  pies

2

0,75  pies

)(0,5  pies)  =  2  pies>s

v  3  rad/s a  4  rad/s

2

2

Aplicaremos  la  ecuación  de  aceleración  a  los  puntos  G  y  B. Diagrama  cinemático.  El  punto  B  se  mueve  a  lo  largo  de  una  trayectoria  curva  que  tiene  un   radio  de  curvatura  desconocido .*  Su  aceleración  estará  representada  por  sus  componentes  

(a)

x  e  y  desconocidas ,  como  se  muestra  en  la  figura  16­29b. Ecuación  de  aceleración. dieciséis

aB  =  aG  +  A  *  rB>G  ­  v2  rB>G  (aB)xi  +   y

(aB)y  j  =  ­2j  +  (­4k)  *  (0,75j)  ­  (3)2  (0,75j) X

(aB)y

Igualando  los  términos  i  y  j ,  las  ecuaciones  componentes  son (aB)x  =  4(0.75)  =  3  pies>s  

(aB)x

2

S

(aB)y  =  ­2  ­  6.75  =  ­8.75  pies>s  Por  lo  

(1)   2

2   T  =  8,75  pies>s

(2)

rB/G

tanto,  la  magnitud  y  la  dirección  de  aB  son  =  2(3)2  +  (8.75)2  =  

2

aG  2  pies/s

v  3  rad/s a  4  rad/s

2

ab 9.25  pies>s 2

u  =  tan­1

8.75  

Respuesta

=  71,1c

Respuesta

3

(b)

SOLUCIÓN  II  (ANÁLISIS  ESCALAR) Este  problema  puede  resolverse  escribiendo  directamente  las  ecuaciones  de  componentes   escalares.  El  diagrama  cinemático  de  la  figura  16­29c  muestra  los  componentes  de  

B

(aB/G)t  arB/G  (aB/

aceleración  relativa  (aB>G)t  y  (aB>G)n .  Así,  aB  =  aG  +  (aB>G)t   +  (aB>G)n

G)n  v2  rB/G

rB/G  0,75  pies

c  (aB)x   S  d  +  c  (aB)y  dC GRAMO

2

v  3  rad/s a  4  rad/s

(C) Figura  16­29

2

2 (0,75  pies)

=  c  2  pies>s   T  d  +  c  4  rad>s  S  d  +  c  (3  rad>s)2  (0,75  pies)  d

T

Los  componentes  x  e  y  producen  las  Ecs.  1  y  2  anteriores. *Tenga  en  cuenta  que  el  radio  de  curvatura  r  de  la  trayectoria  no  es  igual  al  radio  del  carrete  ya   que  el  carrete  no  gira  alrededor  del  punto  G.  Además,  r  no  está  definido  como  la  distancia  de  A  (IC)   a  B,  ya  que  la  ubicación  del  IC  depende  solo  de  la  velocidad  de  un  punto  y  no  de  la  geometría  de  su   trayectoria.

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 379

16.7  ANÁLISIS  DE  MOVIMIENTO  RELATIVO :  ACELERACIÓN

EJEMPLO  16.16 El  collarín  C  de  la  figura  16­30a  se  mueve  hacia  abajo  con  una  aceleración   2 . En  el  instante  que  se  muestra,  tiene  una  rapidez  de  2  m>s,  lo  que   de  1  m>s.   = da  a  los  enlaces  CB  y  AB  una  velocidad  angular  vAB   =  10  rad>s.  (Vea  el   ejemplo  vCB  16.8.)  Determine  las  aceleraciones  angulares  de  CB  y  AB  en   este  instante.

CA  1  m/s2  vC   2  m/s

C A

v

10  rad/s

AB

0,2  metros

vcb 10  rad/s B dieciséis

0,2  metros

(a)

SOLUCIÓN  (ANÁLISIS  VECTORIAL)

y

Diagrama  cinemático.  Los  diagramas  cinemáticos  de  ambos  eslabones  AB  y   CB  se  muestran  en  la  figura  16­30b.  Para  resolver,  aplicaremos  la  ecuación   cinemática  adecuada  a  cada  enlace. Ecuación  de  aceleración.

CA  1  m/s

X

C 2

A

Vínculo  AB  (rotación  sobre  un  eje  fijo):

rb/c 2

aB  =  AAB  *  rB  ­  vAB  rB  

vcb 10  rad/s

aB  =  (aABk)  *  (­0,2j)  ­  (10)2  (­0,2j)  aB  =  

0,2  metros

Tenga  en  cuenta  que  aB  tiene  componentes  n  y  t  ya  que  se  mueve  a  lo  largo  de  una  trayectoria  circular.

Vínculo  BC  (movimiento  plano  general):  Utilizando  el  resultado  de  aB  y   aplicando  la  Ec.   2

16­18,  tenemos  aB  =  aC  +  ACB  *   rB>C  ­  vCB  rB>C  0.2aABi  +  20j  =  ­1j  +  (aCBk)  *  (0.2i  ­  0.2j)  ­  (10)2  (0.2i  ­   0.2j )  0.2aABi  +  20j  =  ­1j  +  0.2aCBj  +  0.2aCBi  ­  20i  +  20j De  este  modo,

0.2aAB  =  0.2aCB  ­  20 20  =  ­1  +  0.2aCB  +  20

aCB aAB

rB

B

0,2aABi  +  20j

resolver,

vAB  10  rad/s AAB

ACB

2

=  5  rad>s   d =  ­95  rad>s

Respuesta

2

=  95  rad>s

2

b

Respuesta

(b) Figura  16­30

0,2  metros

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

Machine Translated by Google 380

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

EJEMPLO  16.17 El  cigüeñal  AB  gira  con  una  aceleración  angular  en  el  sentido  de  las  agujas  del  reloj  de  20   2

rad>s  en   ,  Figura  16­31a.  Determine  la  aceleración  del  pistón  en  =  10  rad>s  y

C

el  instante  en  que  AB  está  en  la  posición  que  se  muestra.  En  este   Ejemplo   instante   16.12.)   vAB   vBC =  2.43  rad>s.  (Consulte  el  

13.6

0,75  pies

SOLUCIÓN  (ANÁLISIS  VECTORIAL)

vBC  2,43  rad/s

Diagrama  cinemático.  Los  diagramas  cinemáticos  para  AB  y  BC  se  muestran  en  la   figura  16­31b.  Aquí  aC  es  vertical  ya  que  C  se  mueve  a  lo  largo  de  una  trayectoria   en  línea  recta.

B 45

vAB  10  rad/s   aAB  20  rad/s A

2

Ecuación  de  aceleración.  Expresar  cada  uno  de  los  vectores  de  posición  en  forma   de  vector  cartesiano

0,25  pies

rB  =  5  ­0,25  sen  45i  +  0,25  cos  45j6  pies  =  5  ­0,177i  +  0,177j6  pies  rC>B  =  50,75   (a)

sen  13,6i  +  0,75  cos  13,6j6  pies  =  50,177i  +  0,729j6  pies

dieciséis

Cigüeñal  AB  (rotación  sobre  un  eje  fijo): aB  =  AAB  *  rB  ­  vAB  rB

2

=  (­20k)  *  (­0,177i  +  0,177j)  ­  (10)2  (­0,177i  +  0,177j)  =  521,21i  ­  14,14j6   y

2

pies>s

Biela  BC  (movimiento  plano  general):  Usando  el  resultado  para  aB  y  notando  que   aC  está  en  la  dirección  vertical,  tenemos

C.A

C 2

aC  =  aB  +  ABC  *  rC>B  ­  vBC  rC>B  aCj   =  21,21i  ­  14,14j  +  (aBCk)  *  (0,177i  +  0,729j)  ­  (2,43)2  (0,177i  +  0,729j)

RC/B

13.6   aC

0,75  cos  13,6  pies

aCj  =  21,21i  ­  14,14j  +  0,177aBCj  ­  0,729aBCi  ­  1,04i  ­  4,30j 0  =  20,17  ­  0,729aBC

vBC  2,43  rad/s B 45 0,25  cos  45  pies   rB

=  0.177aBC  ­  18.45  aC vAB  10  rad/s aAB  20  rad/s A

2 X

Resolver  rendimientos

a  B  C

=  27,7  rad>s

2

d

2

CA =  ­13,5  pies>s   (b) Figura  16­31

Respuesta

NOTA:  Dado  que  el  pistón  se  mueve  hacia  arriba,  el  signo  negativo  de  aC  indica   2

. que  el  pistón  está  desacelerando,  es  decir,  aC  =  5  ­13.5j6  ft>s  Esto  hace  que  la   velocidad  del  pistón  disminuya  hasta  que  AB  se  vuelve  vertical,  momento  en  el  cual   el  el  pistón  está  momentáneamente  en  reposo.

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 381

16.7  ANÁLISIS  DE  MOVIMIENTO  RELATIVO :  ACELERACIÓN

PROBLEMA  PRELIMINAR P16–3.  Establezca  la  ecuación  de  aceleración  relativa  entre  los  puntos  A  y  B.  Se  da   la  velocidad  angular.

6  m/s

2

v  3  rad/s

A B

2  metros

B

60

3  metros

(d) 45

2  metros

v  2,12  rad/s

A dieciséis

3  m/s 2  m/s

0,5  metros

2

A v  1,15  rad/s

(a)

4  rad/s

B

8  rad/s

30

v  4  rad/s

B

a  2  rad/s

2  metros

2

2  metros

2

45 A (mi)

Sin  deslizamiento

(b)

4  metros

B

A

B v  4  rad/sa  2  

0

1  metro

rad/s

6  rad/s

2  metros

A 0,5  metros

3  rad/s 2 2  rad/s

(F)

(C) problema  P16–3

2

Machine Translated by Google

382

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

PROBLEMAS  FUNDAMENTALES F16–19.  En  el  instante  que  se  muestra,  el  extremo  A  de  la  barra  tiene  la  velocidad  y   la  aceleración  que  se  muestran.  Determine  la  aceleración  angular  de  la  barra  y  la   aceleración  del  extremo  B  de  la  barra.

F16–22.  En  el  instante  que  se  muestra,  el  cable  AB  tiene  una  velocidad  de  3  m>s  y   2 una  aceleración  de  1,5  m>s,  una  velocidad  de   , mientras  que  la  cremallera  tiene  un 2 1,5  m>s  y  una  aceleración  de  0,75  m>s,  la  aceleración  angular  del   . Determinar engranaje  en  este  instante.

2

aA  5  m/s  vA   6  m/s

2

aB  1,5  m/s  vB   3  m/s

A 0,3  metros

A

B 0,2  metros

O

5  metros 4  metros

CA  0,75  m/s   vC  1,5  m/s

2

C

problema  F16–22

B dieciséis

F16–23.  En  el  instante  que  se  muestra,  la  rueda  gira  con  una  velocidad  angular  de  v  

problema  F16–19 F16–20.  El  engranaje  rueda  sobre  la  cremallera  fija  con  una  velocidad  angular  de  v  =  

=  12  rad>s  y  una  aceleración  angular  de  a  =  6  rad>s  Determine  la  aceleración  angular   2 . del  eslabón  BC  en  el  instante   que  se  muestra.

12  rad>s  y  una  aceleración  angular  de  a  =  6  rad>s 2 . Determine  la  aceleración  del  punto  A.

A

a  6  rad/sv   12  rad/s

D

2 0,3  metros

0,3  metros

45

C

B

0,3  metros

1,2  metros

O a  6  rad/s2   frente  a  12  rad/s problema  F16–23

problema  F16–20 F16–24.  En  el  instante  que  se  muestra,  la  rueda  A  gira  con  una  velocidad  angular  de   F16–21.  El  engranaje  rueda  sobre  la  cremallera  fija  B.  En  el  instante  que  se  muestra,   el  centro  O  del  engranaje  se  mueve  con  una  velocidad  de  vO  =  6  m>s  y  una   2 . aceleración  de  aO  =  3  m>s  Determine  la  aceleración  angular  del  engranaje   y  la  

v  =  6  rad>s  y  una  aceleración  angular  de  a  =  3  rad>s  Determine  la  aceleración   2 .y  la  aceleración  del  pistón  C. angular  del  eslabón  BC  

aceleración  de  punto  A  en  este  instante. 0,8  metros

30

B

0,6  metros

A

0,3  metros

O

aO  3  m/s   vO  6  m/s

2

0,2  metros

B

C

A

v  6  rad/s a  3  rad/s

2

problema  F16–24

problema  F16–21

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 16.7  ANÁLISIS  DE  MOVIMIENTO  RELATIVO :  ACELERACIÓN

383

PROBLEMAS 16–103.  La  barra  AB  tiene  los  movimientos  angulares  que  se  muestran.  Determine  

16–106.  El  miembro  AB  tiene  los  movimientos  angulares  que  se  muestran.

la  velocidad  y  aceleración  del  bloque  deslizante  C  en  este  instante.

Determine  la  velocidad  y  aceleración  del  bloque  deslizante  C  en  este  instante.

B

B 0,5  metros

vAB  4  rad/s  6   aAB

rad/s A

2

45

2  metros

1  metro

4  rad/s   C A

60

5  rad/s2 dieciséis

C

5

0,5  metros

3

4

problema  16–106 problema  16–103

*16–104.  En  un  instante  dado,  la  parte  inferior  A  de  la  escalera  tiene  una  aceleración   2

aA  y  una  velocidad  vA  =  6  f=   t>s,   4  paies>s mbas  actuando  hacia  la  izquierda.  Determine  la  

16–107.  En  un  instante  dado,  el  rodillo  A  sobre  la  barra  tiene  la  velocidad  y  la  

aceleración  de  la  parte  superior  de  la  escalera,  B,  y  la  aceleración  angular  de  la  

aceleración  que  se  muestran.  Determine  la  velocidad  y  la  aceleración  del  rodillo  B,  

escalera  en  este  mismo  instante.

y  la  velocidad  angular  y  la  aceleración  angular  de  la  barra  en  este  instante.

16–105.  En  un  instante  dado,  la  parte  superior  B  de  la  escalera  tiene  una  aceleración   2

aB  y  una  velocidad  de  =   vB   2  = p   ies>s 4  ft>s,  ambas  actuando  hacia  abajo.  Determine  la   aceleración  de  la  parte  inferior  A  de  la  escalera  y  la  aceleración  angular  de  la   escalera  en  este  instante.

4  m/s   A

6  m/s2 30

0,6  metros

B 16  pies

30 B

A

30

problemas  16–104/105

problema  16–107

Machine Translated by Google

384

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

*16–108.  La  barra  está  confinada  para  moverse  a  lo  largo  de  la  trayectoria  debido  

16–110.  El  bloque  deslizante  tiene  el  movimiento  que  se  muestra.  Determinar

a  los  pasadores  en  sus  extremos.  En  el  instante  que  se  muestra,  el  punto  A  tiene  

la  velocidad  angular  y  la  aceleración  angular  de  la  rueda  en  ese  instante.

el  movimiento  que  se  muestra.  Determine  la  velocidad  y  la  aceleración  del  punto  B   en  este  instante.

150mm vA  6  pies/s aA  3  pies/s

A 2

C 400mm

A 5  pies

B

B

vB  4  m/s   aB  2  m/s2

3  pies

dieciséis

problema  16–110

problema  16–108 16–111.  En  un  instante  dado,  el  bloque  deslizante  A  se  mueve  hacia  la  derecha   con  el  movimiento  que  se  muestra.  Determine  la  aceleración  angular  del  vínculo   AB  y  la  aceleración  del  punto  B  en  este  instante.

16–109.  El  miembro  AB  tiene  los  movimientos  angulares  que  se  muestran. Determine  la  velocidad  angular  y  la  aceleración  angular  de  los  miembros  CB  y  DC.

vA  4  m/s   aA  6  m/s2 A

30 B D

vAB  2  rad/s   C

2  metros

200mm

60

100mm

B

450mm

aAB  4  rad/s2

2  metros

A

problema  16–109

problema  16–111

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 385

16.7  ANÁLISIS  DE  MOVIMIENTO  RELATIVO :  ACELERACIÓN

*16–112.  Determine  la  aceleración  angular  del  eslabón  CD  si  el  eslabón  AB  tiene  

16–115.  Se  enrolla  una  cuerda  alrededor  del  carrete  interior  del  engranaje.  Si  se  

la  velocidad  angular  y  la  aceleración  angular  que  se  muestran.

tira  con  una  velocidad  constante  v,  determine  las  velocidades  y  aceleraciones  de   los  puntos  A  y  B.  El  engranaje  rueda  sobre  la  cremallera  fija.

D 0,5  metros 0,5  metros

B C 2r A

r

GRAMO

1  metro

v

aAB  6  rad/s2  vAB   3  rad/s A

dieciséis

B

problema  16–115

1  metro

problema  16–112

16–113.  El  carrete  de  cuerda  tiene  el  movimiento  angular  que  se  muestra. Determine  la  velocidad  y  la  aceleración  del  punto  A  en  el  instante  que  se  muestra.

*16–116.  El  disco  tiene  una  aceleración  angular  a  =  8  rad>s  y  una  velocidad  

2

angular  v  =  3  rad>s  en  el  instante  que  se  muestra.  Si  no  se  desliza  en  A,  determine   16–114.  El  carrete  de  cuerda  tiene  el  movimiento  angular  que  se  muestra.

la  aceleración  del  punto  B.

Determine  la  velocidad  y  la  aceleración  del  punto  B  en  el  instante  que  se  muestra.

v a

a v

3  rad/s   2 8  rad/s

45

C

0,5  metros

8  rad/s2   3  rad/s

C

B

45

100mm A A problemas  16–113/114

problema  16–116

B

Machine Translated by Google

386

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

16–117.  El  disco  tiene  una  aceleración  angular  a  =  8  rad>s  y  una  velocidad  

2

16–119.  La  rueda  rueda  sin  resbalar  de  tal  manera  que  en  el  instante  que  se  

angular  v  =  3  rad>s  en  el  instante  que  se  muestra.  Si  no  se  desliza  en  A,  determine  

muestra  tiene  una  velocidad  angular  V  y  una  aceleración  angular  A.  Determine  la  

la  aceleración  del  punto  C.

velocidad  y  la  aceleración  del  punto  B  sobre  la  barra  en  este  instante.

v 3  rad/s   2 8  rad/sa

A

O v,  un

2a 45

a

C

0,5  metros

B

45

B

problema  16–119

A dieciséis

problema  16–117

*16–120.  El  collar  se  mueve  hacia  abajo  con  el  movimiento  que  se  muestra.   Determine  la  velocidad  angular  y  la  aceleración  angular  del  engranaje  en  el  instante   que  se  muestra  mientras  rueda  a  lo  largo  de  la  cremallera  fija.

16–118.  Una  sola  polea  que  tiene  un  borde  interior  y  otro  exterior  está  conectada   con  un  pasador  al  bloque  en  A.  A  medida  que  la  cuerda  CF  se  desenrolla  del  borde   interior  de  la  polea  con  el  movimiento  que  se  muestra,  la  cuerda  DE  se  desenrolla   del  borde  exterior.  Determina  el aceleración  angular  de  la  polea  y  la  aceleración  del  bloque  en  el  instante  mostrado.

v  2  m/s  a  3   m/s2

A

500mm

60 O

D 25mm

50mm F

VF aF

C

mi

150  mm   200  mm

A

2  m/s   3  m/s2 problema  16–120

problema  16–118

www.ebook777.com

B

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 387

16.7  ANÁLISIS  DE  MOVIMIENTO  RELATIVO :  ACELERACIÓN

16–121.  El  mecanismo  de  manivela  y  engranajes  unidos  da  movimiento  basculante  

16–123.  Si  el  elemento  AB  tiene  el  movimiento  angular  que  se  muestra,  determine  

a  la  manivela  AC,  necesaria  para  el  funcionamiento  de  una  imprenta.  Si  el  eslabón  

la  velocidad  y  la  aceleración  del  punto  C  en  el  instante  que  se  muestra.

DE  tiene  el  movimiento  angular  que  se  muestra,  determine  las  velocidades   angulares  respectivas  del  engrane  F  y  el  cigüeñal  AC  en  este  instante,  y  la   aceleración  angular  del  cigüeñal  AC.

300mm

A

C F

B

100mm

vAB  3  rad/s   aAB  8  rad/s2

50mm vDE  4  rad/s

75mm B

100mm

500mm

mi

D aDE  20  rad/s

2 tu

GRAMO

C

30

60 dieciséis

150mm

200mm

A

D problema  16–121 problema  16–123

16–122.  Si  el  miembro  AB  tiene  el  movimiento  angular  que  se  muestra,  determine   la  velocidad  angular  y  la  aceleración  angular  del  miembro  CD  en  el  instante  que  se   muestra.

*16–124.  El  disco  rueda  sin  deslizarse  de  manera  que  tiene  una  aceleración  angular  

300mm

de  a  =  4  rad>sv  =  2  rad>s  en  el  instante  que  se  

2

y  la  velocidad  angular  de

muestra.  Determine  la  aceleración  de  los  puntos  A  y  B  en  el  vínculo  y  la  aceleración  

A

B

angular  del  vínculo  en  este  instante.  Suponga  que  el  punto  A  se  encuentra  en  la   periferia  del  disco,  a  150  mm  de  C.

vAB  3  rad/s   aAB  8  rad/s2

A 500mm

v  2  rad/sa   4  rad/s2

C

tu

60

500mm

C 150mm

200mm

B D

400mm problema  16–122

problema  16–124

Machine Translated by Google

388

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

16–125.  Los  extremos  de  la  barra  AB  están  limitados  a  moverse  a  lo  largo  de  las  

16–127.  El  bloque  deslizante  se  mueve  con  una  velocidad  de  vB  =  5  ft>s  y  una  

trayectorias  que  se  muestran.  En  un  instante  dado,  A  tiene  una  velocidad  de  vA  =  

aceleración  de  aB .  Determine  la  aceleración  angular  d=   e   3la     pb ies>s arra  AB  en  el  instante  

4  ft>s  y  una  aceleración  de  aA  Determine  la  velocidad  angular  y  la  

=  7  pies>s

2.

2

que  se  muestra.

aceleración  angular  de  AB  en  este  instante.

B

2  pies

60 1,5  pies 2  pies

A A

vA  4  pies/s aA  7  pies/s

vB  5  pies/s   2 aB  3  pies/s

30

2

2  pies

B dieciséis

problema  16–125 problema  16–127 16–126.  El  mecanismo  produce  un  movimiento  intermitente  del  eslabón  AB.  Si  la   rueda  dentada  S  gira  con  un  ángulo  =  2  rad>s2  y  tiene  una  aceleración  de  velocidad   determine  la  velocidad  angular  aS  =  6  rad>s  en  el  instante  que  se  muestra,   angular  vS  y  la  aceleración  angular  del  eslabón  AB  en  este  instante. La  rueda  dentada  S  está  montada  en  un  eje  que  está  separado  de  un  eje  colineal   unido  a  AB  en  A.  El  pasador  en  C  está  unido  a  uno  de  los  eslabones  de  la  cadena   de  manera  que  se  mueve

*16–128.  El  bloque  deslizante  se  mueve  con  una  velocidad  de  vB  =  5  ft>s  y  una  

verticalmente  hacia  abajo.

aceleración  de  aB  =  3  ft>s  la  aceleración  de  A  en  el  instante  que  2 .  Determinar se  muestra.

200mm B

A

15

30

C

S vS  6  rad/s como  2  rad/s

150mm

1,5  pies

175mm A

2

D 50mm

vB  5  pies/s 2 aB  3  pies/s

30 2  pies

B

problema  16–128

problema  16–126

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 389

16.8  ANÁLISIS  DE  MOVIMIENTO  RELATIVO  MEDIANTE  EJES  DE  ROTACIÓN

16.8  Análisis  de  movimiento  relativo   usando  ejes  giratorios En  las  secciones  anteriores,  se  describió  el  análisis  de  movimiento  relativo  para  la   velocidad  y  la  aceleración  utilizando  un  sistema  de  coordenadas  de  traslación.  Este  tipo   de  análisis  es  útil  para  determinar  el  movimiento  de  puntos  en  el  mismo  cuerpo  rígido,  o   el  movimiento  de  puntos  ubicados  en  varios  cuerpos  conectados  por  clavijas.  En  algunos   problemas,  sin  embargo,  los  cuerpos  rígidos  (mecanismos)  se  construyen  de  manera   que  se  produzca  deslizamiento  en  sus  conexiones.  El  análisis  cinemático  para  tales   casos  se  realiza  mejor  si  el  movimiento  se  analiza  utilizando  un  sistema  de  coordenadas   que  se  traslada  y  rota. Además,  este  marco  de  referencia  es  útil  para  analizar  los  movimientos  de  dos  puntos   en  un  mecanismo  que  no  están  ubicados  en  el  mismo  cuerpo  y  para  especificar  la   cinemática  del  movimiento  de  partículas  cuando  la  partícula  se  mueve  a  lo  largo  de  una   trayectoria  giratoria. En  el  siguiente  análisis  se  desarrollarán  dos  ecuaciones  que  relacionan  la  velocidad   y  la  aceleración  de  dos  puntos,  uno  de  los  cuales  es  el  origen  de  un  marco  de  referencia   en  movimiento  sujeto  tanto  a  una  traslación  como  a  una  rotación  en  el  plano.*

dieciséis

Y

Posición.  Considere  los  dos  puntos  A  y  B  que  se  muestran  en  la  figura  16­32a.

.

Su  ubicación  está  especificada  por  los  vectores  de  posición  rA  y  rB,  que  se  miden  con   respecto  al  sistema  de  coordenadas  fijo  X,  Y,  Z.  Como  se  muestra  en  la  figura,  el  "punto  

y

base"  A  representa  el  origen  del  sistema  de  coordenadas  x,  y,  z ,  que  se  supone  que  se  

xB

B

traslada  y  gira  con  respecto  al  sistema  X,  Y,  Z.  La  posición  de  B  con  respecto  a  A  está   especificada  por  el  vector  de  posición  relativa  rB>A.  Los  componentes  de  este  vector   pueden  expresarse  en  términos  de  vectores  unitarios  a  lo  largo  de  los  ejes  X,  Y ,  es   decir,  I  y  J,  o  mediante  vectores  unitarios  a  lo  largo  de  los  ejes  x,  y ,  es  decir,  i  y  j.  Para  

X

rB/A rB

A

el  desarrollo  que  sigue,  rB>A  se  medirá  con  respecto  al  marco  de  referencia  en   movimiento  x,  y .  Por  lo  tanto,  si  B  tiene  coordenadas  (xB,  yB),  figura  16­32a,  entonces

yB

real  academia  de  bellas  artes

X (a)

rB>A  =  xBi  +  yBj

Figura  16­32

Usando  la  suma  de  vectores,  los  tres  vectores  de  posición  en  la  figura  16­32a  son relacionados  por  la  ecuación

rB  =  rA  +  rB>A

(16–21)

En  el  instante  considerado,  el  punto  A  tiene  una  velocidad  vA  y  una  aceleración  aA,   mientras  que  la  velocidad  angular  y  la  aceleración  angular  de  los  ejes  x,  y  son  (omega)   #

y  =  d>dt,  respectivamente.

*El  movimiento  tridimensional  más  general  de  los  puntos  se  desarrolla  en  la  sec.  20.4.

Machine Translated by Google 390

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

Velocidad.  La  velocidad  del  punto  B  se  determina  tomando  la  derivada  temporal  de  la   ecuación.  16–21,  lo  que  da  como  resultado drB>A  

vB  =  vA  +

(16–22)

dt

El  último  término  de  esta  ecuación  se  evalúa  de  la  siguiente  manera: drB>A

dt

=

d  (xBi  +  yBj)  dt

=

dxB  di  i  +  xB   dyB  dj  j  +  yB   + dt  dt dt  dt

dt =  a  dxB

yo  +

dyb  

dt  jb  +  axB  di

dt

+  yB

DJ

dt  b

(16–23)

Los  dos  términos  en  el  primer  conjunto  de  paréntesis  representan  los  componentes  de   la  velocidad  del  punto  B  medidos  por  un  observador  conectado  al  sistema  de   coordenadas  en  movimiento  x,  y,  z .  Estos  términos  serán  denotados  por  el  vector  

dieciséis

(vB>A)xyz.  En  el  segundo  conjunto  de  paréntesis,  la  tasa  de  cambio  de  tiempo   instantáneo  de  los  vectores  unitarios  i  y  j  se  mide  por  un  observador  ubicado  en  el   sistema  de  coordenadas  fijo  X,  Y,  Z.  Estos  cambios,  di  y  dj,  se  deben  únicamente  a  la   rotación  du  de  los  ejes  x,  y,  z ,  lo  que  hace  que  i  se  convierta  en  i  =  i  +  di  y  j  en  j  =  j  +   dj,  figura  16­32b.  Como  se  muestra,  las  magnitudes  de  di  y  dj  son  iguales  a  1  du,  ya   que  i  =  i  =  j  =  j  =  1.  La  dirección  de  di  está  definida  por  +j,  ya  que  di  es  tangente  a  la   trayectoria  descrita  por  la  punta  de  flecha  de  i  en  el  límite  como  t  S  dt.  Asimismo,  dj   actúa  en  la  dirección  ­i ,  figura  16­32b.  Por  eso,

y

du

DJ

du j

i

di

j¿

1

yo  yo  1

X

di

dt

=

du  (j)  =  j  dt

DJ

dt

= du  (­i)  =  ­i  dt

Viendo  los  ejes  en  tres  dimensiones,  figura  16­32c,  y  observando  que  =  k,  podemos   expresar  las  derivadas  anteriores  en  términos  del  producto  vectorial  como

(b) z

di  =  *  i  dt X

k y

i

DJ

=  *  j  dt

(16–24)

Sustituyendo  estos  resultados  en  la  Ec.  16­23  y  utilizando  la  propiedad  distributiva  del   producto  vectorial  vectorial,  obtenemos

j (C) Figura  16­32  (continuación)

drB>A   dt =  (vB>A)xyz  +  *  (xBi  +  yBj)  =  (vB>A)xyz  +  *  rB>A

www.ebook777.com

(16–25)

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 16.8  ANÁLISIS  DE  MOVIMIENTO  RELATIVO  MEDIANTE  EJES  DE  ROTACIÓN

391

Por  lo  tanto,  la  ecuación.  16–22  se  convierte  en

vB  =  vA  +  *  rB>A  +  (vB>A)xyz

(16–26)

dónde vB  =  velocidad  de  B,  medida  a  partir  de  la  referencia  X,  Y,  Z

vA  =  velocidad  del  origen  A  de  la  referencia  x,  y,  z ,  medida  a   partir  de  la  referencia  X,  Y,  Z (vB>A)xyz  =  velocidad  de  “B  con  respecto  a  A”,  medida  por  un  observador   conectado  a  la  referencia  giratoria  x,  y,  z

=  velocidad  angular  de  la  referencia  x,  y,  z ,  medida  desde  el Referencia  X,  Y,  Z rB>A  =  posición  de  B  con  respecto  a  A

dieciséis

Comparando  la  Ec.  16­26  con  la  ecuación.  16­16  (vB  =  vA  +  *  rB>A),  que  es  válido  para   un  marco  de  referencia  de  traslación,  se  puede  ver  que  la  única  diferencia  entre  estas   dos  ecuaciones  está  representada  por  el  término  ( vB>A)xyz.

Al  aplicar  la  Ec.  16–26,  a  menudo  es  útil  entender  lo  que  cada  uno  de los  términos  representan.  En  orden  de  aparición,  son  los  siguientes:

vB

e  velocidad  absoluta  de  B

del   cuadro   X  o,  bservado Y,  Z f  m ovimiento   de  B

(igual)

Virginia

e  vorigen   elocidad   acbsoluta   laz del   uadro  xd,  e   y,  

(más)

movimiento  del  marco  x,  

y y,  z  observado  desde  el Marco  X,  Y,  Z

*  rB>A  e  efecto   e  velocidad   angular   cyausado por  rdotación   del  m arco  x,   ,  z

(más)

(vB>A)xyz

e  con   velocidad   de  B a  A respecto  

f  mdel   ovimiento   de  xB,     oybservado marco   ,  z

Machine Translated by Google 392

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

Aceleración.  La  aceleración  de  B,  observada  desde  el  sistema  de  coordenadas  X,  Y,  Z ,   puede  expresarse  en  términos  de  su  movimiento  medido  con  respecto  al  sistema  de   coordenadas  giratorio  tomando  la  derivada  respecto  al  tiempo  de  la  Ec.  16–26.

dvB

dvA

=

dt

dt

d

+

dt #

aB  =  aA  +

drB>A   d(vB>A)xyz + dt dt

*  rB>A  +  *

*  rB>A  +  *

drB>A   d(vB>A)xyz + dt dt

(16–27)

#

Aquí  

=  d>dt  es  la  aceleración  angular  de  la  coordenada  x,  y,  z sistema.  Dado  que  siempre  es  perpendicular  al  plano  de  movimiento,  entonces  mide  

#

solo  el  cambio  en  magnitud  de .  La  derivada  drB>A>dt  está  definida  por  la  ecuación.  16– 25,  de  modo  que *

dieciséis

drB>A   =  *  (vB>A)xyz  +  *  ( *  rB>A)

(16–28)

dt

Encontrar  la  derivada  temporal  de  (vB>A)xyz  =  (vB>A)xi  +  (vB>A)y  j, d(vB>A)xyz

dt

d(vB>A)x

=  do

dt

yo  +

d(vB>A)y

dt  jd  +  c(vB>A)x  di

DJ

dt +  (vB>A)y dt  d

Los  dos  términos  en  el  primer  conjunto  de  paréntesis  representan  los  componentes  de  la   aceleración  del  punto  B  medidos  por  un  observador  adjunto  al  sistema  de  coordenadas   giratorio.  Estos  términos  se  denotarán  por  (aB>A)xyz.  Los  términos  en  el  segundo   conjunto  de  paréntesis  se  pueden  simplificar  usando  las  Ecs.  16–24. d(vB>A)xyz   =  (aB>A)xyz  +  *  (vB>A)xyz

dt

Sustituyendo  esto  y  la  Ec.  16­28  en  la  ecuación.  16–27  y  reordenando  términos,

#

aB  =  aA  +

*  rB>A  +  *  ( *  rB>A)  +  2  *  (vB>A)xyz  +  (aB>A)xyz (16–29)

dónde aB  =  aceleración  de  B,  medida  a  partir  de  la  referencia  X,  Y,  Z aA  =  aceleración  del  origen  A  de  la  referencia  x,  y,  z ,  medida  a  partir   de  la  referencia  X,  Y,  Z (aB>A)xyz,  (vB>A)xyz  =  aceleración  y  velocidad  de  B  con  respecto  a  A,  medidas  por  un   observador  conectado  a  la  referencia  giratoria  x,  y,  z  =   aceleración   #

,

angular  y  velocidad  angular  de  x,  y ,  referencia  z ,  medida  a  partir   de  la  referencia  X,  Y,  Z  rB>A  =  posición  de  B  con  respecto  a  A

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 16.8  ANÁLISIS  DE  MOVIMIENTO  RELATIVO  MEDIANTE  EJES  DE  ROTACIÓN

393

Si  la  ecuación.  16­29  se  compara  con  la  ecuación.  16­18,  escrita  en  la   referencia   forma  *  rB>A  +  *  ( *  rB>A),  que  es  válida  para  un  marco  de   de  traslación  aB  =  aA  +,  se  puede  ver  que  la  diferencia  entre  estas  dos   #

ecuaciones  está  representada  por  la  términos  2  *  (vB>A)xyz  y  (aB>A)xyz.  En   particular,  2  *  (vB>A)xyz  se  denomina  aceleración  de  Coriolis,  en  honor  al   ingeniero  francés  GC  Coriolis,  quien  fue  el  primero  en  determinarla.  Este   término  representa  la  diferencia  en  la  aceleración  de  B  medida  desde  los   ejes  x,  y,  z  no  giratorios  y  giratorios .  Como  lo  indica  el  producto  vectorial   vectorial,  la  aceleración  de  Coriolis  siempre  será  perpendicular  a  ambos   y  (vB>A)xyz.  Es  un  componente  importante  de  la  aceleración  que  debe   tenerse  en  cuenta  siempre  que  se  utilicen  marcos  de  referencia  giratorios.   Esto  ocurre  a  menudo,  por  ejemplo,  cuando  se  estudian  las  aceleraciones  y   fuerzas  que  actúan  sobre  cohetes,  proyectiles  de  largo  alcance  u  otros   cuerpos  que  tienen  movimientos  cuyas  medidas  se  ven  significativamente  afectadas  por  la  rotación  de  la  tierra. La  siguiente  interpretación  de  los  términos  en  la  ecuación.  16–29  puede  ser  útil

al  aplicar  esta  ecuación  a  la  solución  de  problemas.

dieciséis

ab

e  aceleración  absoluta  de  B

del   marco   XB,   ,  Z f  m ovimiento   de     oY bservado

(igual)

e  aorigen   celeración   e   del  acbsoluta   uadro  xd,   yla,  

Automóvil  club  británico

z  (más) movimiento  de

marco  x,  y,  z  

#

*  rB>A

causado  por  la  rotación  de  x,  y,  z c  emarco fecto  de  aceleración  angular

y observado  desde el  marco  X,  Y,  Z

(más)

*  ( *  rB>A)  e  efecto  de  por   velocidad   angular   rotación   del  ccausado uadro  x,  y,  

z  (más)

2  *  (vB>A)xyz

relativo  a  las  coordenadas  x,  y,  z c  efecto   y  la  rcotación   ombinado   del  m del   arco   movimiento   x,  y,  z  que   B  interactúan  con  el  movimiento

(más)

(aB>A)xyz

e  arespecto   celeración   e  B  con  f  movimiento   B  observado del  dme  arco   x,  y,  z ad  A

Machine Translated by Google 394

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

Procedimiento  de  Análisis Las  ecuaciones  16­26  y  16­29  se  pueden  aplicar  a  la  solución  de  problemas  que   involucran  el  movimiento  plano  de  partículas  o  cuerpos  rígidos  mediante  el  siguiente   procedimiento. Ejes  de  coordenadas. Elija  una  ubicación  adecuada  para  el  origen  y  la  orientación  adecuada  de  los  ejes   para  marcos  de  referencia  X,  Y,  Z  fijos  y  X,  Y,  Z  móviles.

La  mayoría  de  las  veces,  las  soluciones  se  obtienen  fácilmente  si  en  el  instante   considerado:  1.  los  orígenes  son   coincidentes  2.  los  ejes  correspondientes  son   colineales  3.  los  ejes  correspondientes  son  paralelos El  marco  móvil  debe  seleccionarse  fijo  al  cuerpo  o  dispositivo  a  lo  largo  del  cual   dieciséis

ocurre  el  movimiento  relativo. Ecuaciones  cinemáticas. Después  de  definir  el  origen  A  de  la  referencia  móvil  y  especificar  el  punto  móvil   B,  las  Ecs.  16­26  y  16­29  deben  escribirse  en  forma  simbólica  vB  =  vA  +  *  rB>A   +  (vB>A)xyz  *   rB>A  +  *  ( *  rB>A)  +  2  *  (vB>A)xyz  +   #

(aB>A)xyz  aB  =  aA  + Los  componentes  cartesianos  de  todos  estos  vectores  pueden  expresarse  a  lo   largo  de  los  ejes  X,  Y,  Z  o  los  ejes  x,  y,  z .  La  elección  es  arbitraria  siempre  que   se  utilice  un  conjunto  coherente  de  vectores  unitarios. El  movimiento  de  la  referencia  móvil  se  expresa  mediante  vA,  aA,  y ;  y  el   #

movimiento  de  B  con  respecto  a  la  referencia  en  movimiento  es expresado  por  rB>A,  (vB>A)xyz  y  (aB>A)xyz.

y B X

C A

www.ebook777.com

La  rotación  del  basurero  del  camión   sobre  el  punto  C  es  operada  por  la   extensión  del  cilindro  hidráulico  AB. Para  determinar  la  rotación  del   recipiente  debido  a  esta  extensión,   podemos  usar  las  ecuaciones  de   movimiento  relativo  y  fijar  los  ejes  x,  y   al  cilindro  para  que  el  movimiento   relativo  de  la  extensión  del  cilindro   ocurra  a  lo  largo  del  eje  y .  (©  RC  Hibbeler)

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 16.8  ANÁLISIS  DE  MOVIMIENTO  RELATIVO  MEDIANTE  EJES  DE  ROTACIÓN

395

EJEMPLO  16.18 En  el  instante  u  =  60,  la  barra  de  la  figura  16­33  tiene  una  velocidad  angular  de  3  rad>s   2

. de  2  m>s  y  la  aceleración   y  una  aceleración  angular  de  2  rad>s .  0.2  m,  la  velocidad  es  

es  de  3  m>s,  ambas  medidas  en  relación  con  la  barra.  Determine  la  aceleración  de   2

Y

, Coriolis  y  la  velocidad  y  aceleración  del  collarín  en  este  instante.

y

SOLUCIÓN Ejes  de  coordenadas.  El  origen  de  ambos  sistemas  de  coordenadas  se  ubica  en  el  punto  

x  0,2  m

O

O,  figura  16­33.  Dado  que  el  movimiento  del  collarín  se  informa  en  relación  con  la  barra,  

3  rad/s  

el  marco  de  referencia  en  movimiento  x,  y,  z  está  unido  a  la  barra.

2  rad/s2 C

Ecuaciones  cinemáticas.  vC   (1)

=  vO  +  *  rC>O  +  (vC>O)xyz

3  m/s2   2  m/s

30

#

aC  =  aO  +

X

tu  60

acor

*  rC>O  +  *  ( *  rC>O)  +  2  *  (vC>O)xyz  +  (aC>O)xyz  (2)

X

Será  más  sencillo  expresar  los  datos  en  términos  de  vectores  de  componentes  i,  j,  k  

Figura  16­33

en  lugar  de  componentes  I,  J,  K.  Por  eso, Movimiento  

Movimiento  de  C  con  respecto  a  

de  referencia  móvil  vO  

la  referencia  móvil  rC>O  =  

=  0

50.2i6  m  (vC>O)xyz  

aO  =  0  

=  52i6  m>s  (aC>O)xyz  =  

=  5  ­3k6  rad>s  =  5   #

2

53i6  m>s 2

­2k6  rad>s

La  aceleración  de  Coriolis  se  define  como aCor  =  2  *  (vC>O)xyz  =  2(­3k)  *  (2i)  =  5  ­12j6  m>s

2

Respuesta

Este  vector  se  muestra  discontinuo  en  la  figura  16­33.  Si  se  desea,  se  puede   descomponer  en  componentes  I,  J  que  actúan  a  lo  largo  de  los  ejes  X  e  Y ,  respectivamente. La  velocidad  y  la  aceleración  del  collarín  se  determinan  sustituyendo  los  datos  en  las   Ecs.  1  y  2  y  evaluando  los  productos  cruzados,  lo  que  da  vC  =  vO  +  *  rC>O  +  (vC>O)xyz   =  0  +  (­3k)  *   (0.2i)  +  2i  =  52i  ­  0.6j6  m>s  aC  =  aO  +

Respuesta #

*  rC>O  +  *  ( *  rC>O)  +  2  *  (vC>O)xyz  +  (aC>O)xyz =  0  +  (­2k)  *  (0.2i)  +  (­3k)  *  [(­3k)  *  (0.2i)]  +  2(­3k)  *  (2i)  +  3i =  0  ­  0,4j  ­  1,80i  ­  12j  +  3i  =  51,20i  ­   12,4j6  m>s

2

Respuesta

dieciséis

Machine Translated by Google 396

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

EJEMPLO  16.19 La  barra  AB,  que  se  muestra  en  la  figura  16­34,  gira  en  el  sentido  de  las  manecillas  del  reloj  

s,  s

2

de  tal  manera  que  tiene  una  velocidad  angular  vAB  =  3  rad>sy  una  aceleración  =  4  rad>s B

angular  aAB  cuando  u  =  45.  Determine  el  movimiento  angular  de  la  barra  DE  en  este  instante.

0,4  metros

El  collar  en  C  está  conectado  con  pasador  a  AB  y  se  desliza  sobre  la  varilla  DE.

D C

VDE,  ADE

X,  X

SOLUCIÓN Ejes  de  coordenadas.  El  origen  de  los  marcos  de  referencia  fijo  y  móvil  se  ubica  en  D,  figura  

vAB  3  rad/s 2 aAB  4  rad/ su  45

0,4  metros

mi

16­34.  Además,  la  referencia  x,  y,  z  está  unida  a  la  varilla  DE  y  gira  con  ella,  de  modo  que  el   movimiento  relativo  del  collar  es  fácil  de  seguir.

A

Ecuaciones  cinemáticas.  vC  =   (1)

vD  +  *  rC>D  +  (vC>D)xyz Figura  16­34

dieciséis

#

aC  =  aD  +

*  rC>D  +  *  ( *  rC>D)  +  2  *  (vC>D)xyz  +  (aC>D)xyz  (2)

Todos  los  vectores  se  expresarán  en  términos  de  componentes  i,  j,  k . Movimiento  

Movimiento  de  C  con  respecto  a  la  

de  referencia  móvil  vD  =  

referencia  en  movimiento  

0  aD  =  0  

rC>D  =  50.4i6m  

=  ­vDEk

(vC>D)xyz  =  (vC>D)xyzi   (aC>D)xyz  =  (aC>D)xyzi

#

=  ­aDEk Movimiento  de  C:  dado  que  el  collar  se  mueve  a  lo  largo  de  una  trayectoria  circular  de  radio   AC,  su  velocidad  y  aceleración  se  pueden  determinar  usando  las  Ecs.  16–9  y  16–14.

vC  =  VAB  *  rC>A  =  (­3k)  *  (0.4i  +  0.4j)  =  51.2i  ­  1.2j6  m>s  aC  =  AAB  *  rC>A  ­  vAB  rC>A 2

2

=  (­4k)  *  (0,4i  +  0,4j)  ­  (3)2  (0,4i  +  0,4j)  =  5  ­2i  ­  5,2j6  m>s Sustituyendo  los  datos  en  las  Ecs.  1  y  2,  tenemos  vC  =  vD  +  *   rC>D  +  (vC>D)xyz  1.2i  ­  1.2j  =  0  +  (­vDEk)   *  (0.4i)  +  (vC>D)xyzi  1.2i  ­  1.2j  =  0  ­  0.4vDEj  +  (vC>D)xyzi (vC>D)xyz  =  1,2  m>s  =  3   vDE rad>s  b

Respuesta

#

aC  =  aD  +  *  rC>D  +  *  ( *  rC>D)  +  2  *  (vC>D)xyz  +  (aC>D)xyz  ­2i  ­  5.2j  =  0  +  (­aDEk)  *  (0.4i)  +   (­3k)  *  [(­3k)  *  (0.4i)]  +  2(­3k)  *  (1.2i)  +  (aC>D)xyzi  ­2i  ­  5.2j  =  ­0.4aDEj  ­  3.6i  ­  7.2j  +   (aC>D)xyzi  (aC>D)xyz  =  1,6  m>s  =  ­5   rad>s  =  5  rad>s aDE

www.ebook777.com

2 2

2

d

Respuesta

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 397

16.8  ANÁLISIS  DE  MOVIMIENTO  RELATIVO  MEDIANTE  EJES  DE  ROTACIÓN

EJEMPLO  16.20 Los  planos  A  y  B  vuelan  a  la  misma  altura  y  tienen  los  movimientos  que  se  muestran   en  la  figura  16­35.  Determine  la  velocidad  y  la  aceleración  de  A  medidas  por  el   piloto  de  B. SOLUCIÓN Ejes  de  coordenadas.  Como  se  busca  el  movimiento  relativo  de  A  con  respecto  al   piloto  en  B ,  los  ejes  x,  y,  z  están  unidos  al  plano  B,  figura  16­35.  En  el  instante   considerado,  el  origen  B  coincide  con  el  origen  de  la  trama  fija  X,  Y,  Z.

Ecuaciones  cinemáticas.   (1)

vA  =  vB  +  *  rA>B  +  (vA>B)xyz

y,  y

#

aA  =  aB  +

*  rA>B  +  *  ( *  rA>B)  +  2  *  (vA>B)xyz  +  (aA>B)xyz  (2)

700  km/h

Movimiento  de  referencia  móvil:  vB  

dieciséis

=  5600j6  km>h  (600)2  

600  km/h  100  km/h2

=  900   km>h2 400

2   = mB  (aB)n  = r

A

=

#

50  km/

=  1,5  rad>h   b

r =

100  km>h2   =  0,25  rad>h2  d

#

400  kilometros

=  50.25k6  rad>h2

Movimiento  de  A  con  respecto  a  la  referencia  móvil:  rA>B  =   5  ­4i6  km  (vA>B)xyz  = ?  (aA>B)xyz  = ? Sustituyendo  los  datos  en  las  Ecs.  1  y  2,  sabiendo  que  vA  =  5700j6km>h  y  aA  =   550j6  km>h2 ,  tenemos  vA  =  vB  +  *   rA>B  +  (vA>B)xyz  700j  =  600j  +  (­1.5k)   *  (­4i)  +  (vA>B)xyz  (vA>B)xyz  =  594j6  km>h  *  rA>B   +  *  ( *  rA>B)  +  2  *  (vA>B)xyz  

Respuesta

#

aA  =  aB  +

4  kilómetros

h2  =  5  ­1,5k6  rad>h

400  kilometros

= (aB)t r

x,  x

B 400  kilometros

aB  =  (aB)n  +  (aB)t  =  5900i  ­  100j6  km>h2  600  km>h   vB =

rA/B

+  (aA>B)xyz  50j  =  (900i  ­  100j)  +  (0,25k)  *  (­4i)  +  (­1,5k)  *  [(­1,5k)  

*  (­4i)]  +  2(­1,5k)  *  (94j)  +  (aA>B)xyz  (aA>B)xyz   =  5  ­1191i  +  151j6  km>h2  Respuesta.

NOTA:  La  solución  de  este  problema  debe  compararse  con  la  del  ejemplo  12.26,   donde  se  ve  que  (vB>A)xyz  (vA>B)xyz  y  (aB>A)xyz  (aA>B)xyz.

Figura  16­35

Machine Translated by Google

398

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

PROBLEMAS 16–129.  En  el  instante  que  se  muestra,  la  bola  B  rueda  a  lo  largo  de  la  ranura  del  

16–131.  Mientras  el  puente  giratorio  se  cierra  con  una  rotación  constante  de  0.5  

disco  con  una  velocidad  de  600  mm>s  y  una  aceleración  de  150  mm>s2,  ambas  

rad>s,  un  hombre  corre  a  lo  largo  del  camino  a  una  velocidad  constante  de  5  pies>s  

medidas  en  relación  con  el  disco  y  en  dirección  opuesta  a  O.  Si  en  el  mismo  

en  relación  con  el  camino.  Determine  su  velocidad  y  aceleración  en  el  instante  d  =  

instante  la  disco  tiene  la  velocidad  angular  y  la  aceleración  angular  que  se  muestran,  

15  pies.

determine  la  velocidad  y  la  aceleración  de  la  pelota  en  este  instante.

z v  6  rad/s a  3  rad/s

2 zd  _

O

O

0,8  m   B

y

X 0,4  metros

v  0,5  rad/s

dieciséis

X

y problema  16–129

problema  16–131

16–130.  El  brazo  telescópico  de  la  grúa  gira  con  la  velocidad  angular  y  la  aceleración   angular  que  se  muestran.  En  el  mismo  instante,  la  pluma  se  extiende  con  una   rapidez  constante  de  0.5  ft>s,  medida  con  respecto  a  la  pluma.  Determine  las   magnitudes  de  la  velocidad  y  aceleración  del  punto  B  en  este  instante. *16–132.  Mientras  el  puente  giratorio  se  cierra  con  una  rotación  constante  de  0.5   rad>s,  un  hombre  corre  a  lo  largo  de  la  calzada  de  tal  manera  que  cuando  d  =  10   pies  corre  hacia  afuera  desde  el  centro  a  5  pies>s  con  una  aceleración  de  2  pies>s   2

, tanto  medida  con  respecto  a  la  calzada.  Determine  su  velocidad   y  aceleración  en   este  instante.

60  pies

B vAB  0,02  rad/s  aAB   2 0,01  rad/s 30

A

zd  _

O

y

X

v  0,5  rad/s

problema  16–130

problema  16–132

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 399

16.8  ANÁLISIS  DE  MOVIMIENTO  RELATIVO  MEDIANTE  EJES  DE  ROTACIÓN

16–133.  El  agua  sale  del  impulsor  de  la  bomba  centrífuga  con  una  velocidad  de  25  

16–135.  La  varilla  AB  gira  en  sentido  antihorario  con  una  constante

m>s  y  una  aceleración  de  30  m>s2,  ambas  medidas  en  relación  con  el  impulsor  a  

velocidad  angular  v  =  3  rad>s.  Determine  la  velocidad  del  punto  C  ubicado  en  el  

lo  largo  de  la  línea  de  álabes  AB.

doble  collar  cuando  u  =  30°.  El  collar  consta  de  dos  bloques  deslizantes  conectados  

Determine  la  velocidad  y  la  aceleración  de  una  partícula  de  agua  en  A  cuando  sale  

por  pasadores  que  están  obligados  a  moverse  a  lo  largo  de  la  trayectoria  circular  y  

del  impulsor  en  el  instante  que  se  muestra.  El  impulsor  gira  con  una  velocidad  

la  varilla  AB.

angular  constante  de  v  =  15  rad>s.

*16–136.  La  varilla  AB  gira  en  sentido  antihorario  con  una  velocidad  angular   constante  v  =  3  rad>s.  Determine  la  velocidad  y  la  aceleración  del  punto  C  ubicado   en  el  collar  doble  cuando  u  =  45°.  El  collar  consta  de  dos  bloques  deslizantes   conectados  por  pasadores  que  están  obligados  a  moverse  a  lo  largo  de  la  trayectoria   circular  y  la  varilla  AB.

y B

B

C

30

A

v  =  3  rad/s tu

A dieciséis

X 0,4  metros

v  15  rad/s 0,3  metros

problemas  16–135/136 problema  16–133

16–137.  Las  partículas  B  y  A  se  mueven  a  lo  largo  de  las  trayectorias  parabólica  y   circular,  respectivamente.  Si  B  tiene  una  velocidad  de  7  m>s  en  la  dirección  que  se   muestra  y  su  velocidad  aumenta  a  4  m>s2,  mientras  que  A  tiene  una  velocidad  de   8  m>s  en  la  dirección  que  se  muestra  y  su  velocidad  disminuye  a  6  m>s2,  determine  

16–134.  El  bloque  A,  que  está  unido  a  una  cuerda,  se  mueve  a  lo  largo  de  la  ranura  

la  velocidad  relativa  y  la  aceleración  relativa  de  B  con  respecto  a  A.

de  una  barra  bifurcada  horizontal.  En  el  instante  que  se  muestra,  la  cuerda  se  tira  

y

hacia  abajo  a  través  del  orificio  en  O  con  una  aceleración  de  4  m>s  y  su  velocidad   2

es  de  2  m>s.  Determine  la  aceleración  del  bloque  en  este  instante.  La  barra  gira   alrededor  de  O  con  una  velocidad  angular  constante  v  =  4  rad>s.

x2  _

B

X

vB  7  m/s 2  metros

X

y

vA  8  m/s A A v

1  metro

O 100mm

problema  16–134

problema  16–137

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

Machine Translated by Google

400

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

16–138.  El  collar  B  se  mueve  hacia  la  izquierda  con  una  rapidez  de  5  m>s,  que  

16–141.  El  collarín  C  está  sujeto  a  la  varilla  CD  mientras  se  desliza  sobre  la  varilla  

aumenta  a  una  tasa  constante  de  1,5  m>s2,  en  relación  con  el  aro,  mientras  que  el  

AB.  Si  la  barra  AB  tiene  una  velocidad  angular  de  2  rad>s  y  una  aceleración  angular  

aro  gira  con  la  velocidad  angular  y  la  aceleración  angular  que  se  muestran.  

de  8  rad>s2,  ambas  actuando  en  sentido  antihorario,  determine  la  velocidad  angular  

Determine  las  magnitudes  de  la  velocidad  y  aceleración  del  collarín  en  este  instante.

y  la  aceleración  angular  de  la  barra  CD  en  el  instante  que  se  muestra.

A

v  6  rad/s a  3  rad/s

vAB  2  rad/s  aAB  

A

2

8  rad/s2 60 C

450mm

1,5  metros

B D

200mm

1  metro

B problema  16–141 problema  16–138 dieciséis

16–142.  En  el  instante  que  se  muestra,  el  brazo  robótico  AB  gira  en  sentido   antihorario  a  v  =  5  rad>s  y  tiene  una  aceleración  angular  a  =  2  rad>s  girando  en  

16–139.  El  bloque  D  del  mecanismo  está  confinado  para  moverse

2

dentro  de  la  ranura  del  miembro  CB.  Si  el  eslabón  AD  gira  a  =  4  rad>s,  determine  la   aceleración  angular  del  

tasa  constante  de  velocidad  angular  de  vAD  y  la  

miembro  CB  en  el  instante  que  se  muestra.

sentido  antihorario  a  v  =  6  rad>s  y   .  Simultáneamente,  la  empuñadura  BC  es a  =  2  rad>s,  ambos  medidos  en  relación  con  una  referencia  fija .  Determine  la  

2

,

velocidad  y  la  aceleración  del  objeto  sostenido  en  el  agarre  C.

B

125mm

y D

C

B

300mm

15

300mm 200mm

30

v¿,  a¿

vAD  4  rad/s A

C

30 X

problema  16–139

A

*16–140.  En  el  instante  que  se  muestra,  la  barra  AB  tiene  un  ángulo  =  4  rad>s  y  

v,  un problema  16–142

velocidad  vAB  =  2   una  aceleración  angular de  

2

rad>s

.  Determine  la  velocidad  angular  y  la  aceleración  angular  aAB  

16–143.  La  clavija  B  del  engranaje  se  desliza  libremente  a  lo  largo  de  la  ranura  del  

la  barra  CD  en  este  instante.  El  collar  en  C  está  conectado  con  pasador  a  CD  y  se  

eslabón  AB.  Si  el  centro  O  del  engrane  se  mueve  con  la  velocidad  y  la  aceleración  

desliza  libremente  a  lo  largo  de  AB.

mostradas,  determine  la  velocidad  angular  y  la  aceleración  angular  del  eslabón  en  

v AB a AB

A

este  instante.

4  rad/s 2  rad/s

2

150mm

60

0,75  metros

B

vO  3  m/s  aO   2 1,5  m/s

0,5  metros

C

D

600mm O

150mm

A

B problema  16–140

problema  16–143

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 16.8  ANÁLISIS  DE  MOVIMIENTO  RELATIVO  MEDIANTE  EJES  DE  ROTACIÓN

401

*16–144.  Los  autos  en  la  atracción  del  parque  de  diversiones  giran  alrededor  de  =  

16–147.  Si  el  bloque  deslizante  C  está  fijo  al  disco  que  tiene  una  velocidad  angular  

2  rad>s,  el   eje  en  A  con  una  velocidad  angular  constante  vA>f  medida  en   relación  con  el  marco  AB.  Al  mismo  tiempo,  el  marco  gira  alrededor  del  soporte  del  

constante  en  sentido  antihorario  de  4  rad>s,  determine  la  velocidad  angular  y  la   aceleración  angular  del  brazo  ranurado  AB  en  el  instante  que  se  muestra.

eje  principal  en  B  con  una  velocidad  angular  constante  vf  =  1  rad>s.  Determine  la   velocidad  y  aceleración  del  pasajero  en  C  en  el  instante  que  se  muestra.

y

B

40mm

D

C

60  mm   30 v  4  rad/s

8  pies 8  pies

A

C vA/f  2  rad/s

X

180mm

15  pies

30

B

vf  1  rad/s

dieciséis

60 A

problema  16–144

problema  16–147

16–145.  Una  atracción  en  un  parque  de  diversiones  consta  de  un  brazo  giratorio  AB   que  tiene  una  velocidad  angular  constante  vAB  =  2  rad>s  punto  A  y  un  automóvil   montado  en  el  extremo  del  brazo  que  tiene  una  velocidad  angular  constante  V  =   {−0.5k}  rad>  s,  medida  en  relación  con  el  brazo.  En  el  instante  que  se  muestra,  

*16–148.  En  el  instante  que  se  muestra,  el  automóvil  A  viaja  con  una  velocidad  de  

determine  la  velocidad  y  aceleración  del  pasajero  en  C.

25  m>s,  que  disminuye  a  una  tasa  constante  de  2  m>s2,  mientras  que  el  automóvil   C  viaja  con  una  velocidad  de  15  m>s,  que  aumenta  a  una  tasa  constante  de  3  m>s.   Determine  la  velocidad  y  la  aceleración  del  automóvil  A  con  respecto  al  automóvil  C.

16–146.  Una  atracción  en  un  parque  de  diversiones  consta  de  un  brazo  giratorio  =   que  tiene  una  aceleración  angular  de  aAB  cuando  vAB  =  2  rad>s  

1  rad>s2  AB  

en  el  instante  que  se  muestra.  Además,  en  este  instante,  el  automóvil  montado  al   final  del  brazo  tiene  una  aceleración  angular  de  A  =  {−0.6k}  rad>s2  y  una  velocidad   angular  de  V  =  {−0.5k}  rad>s,  medidas  en  relación  con  el  brazo.  Determine  la   velocidad  y  aceleración  del  pasajero  C  en  este  instante.

250  metros

45

v¿ 0,5  rad/s 15  m/s 2 2  m/s

B 10  pies

y

60

vAB  2  rad/s

200  metros

A 30

X

A problemas  16–145/146

15  m/s   2 3  m/s

B

2  pies

C

C

25  m/s 2  m/s

problema  16–148

2

Machine Translated by Google

402

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

16–149.  En  el  instante  que  se  muestra,  el  automóvil  B  viaja  con  una  velocidad  de  15  

16–151.  El  disco  gira  con  el  movimiento  angular  que  se  muestra.

m>s,  que  aumenta  a  razón  constante  de  2  m>s2,  mientras  que  el  automóvil  C  viaja  

Determine  la  velocidad  angular  y  la  aceleración  angular  del  eslabón  ranurado  AC  en  

con  una  velocidad  de  15  m>s,  que  aumenta  a  razón  constante  de  3  m>s2.  Determine  

este  instante.  La  clavija  en  B  está  fijada  al  disco.

la  velocidad  y  la  aceleración  del  automóvil  B  con  respecto  al  automóvil  C.

A 0,75  metros

30

250  metros

45 B

0,3  metros

15  m/s 2 2  m/s

C

B

30

15  m/s   2 3  m/s

200  metros

v  6  rad/sa   10  rad/s2 A

dieciséis

C

25  m/s problema  16–151

2  m/s

2

*16–152.  El  mecanismo  de  Ginebra  se  utiliza  en  un  sistema  de  embalaje  para   problema  16–149

convertir  el  movimiento  angular  constante  en  un  movimiento  angular  intermitente.   La  rueda  de  estrella  A  da  un  sexto  de  revolución  por  cada  revolución  completa  de  la   rueda  motriz  B  y  la  guía  adjunta  C.  Para  hacer  esto,  el  pasador  P,  que  está  unido  a   B,  se  desliza  en  una  de  las  ranuras  radiales  de  A,  girando  así  rueda  A,  y  luego  sale  

16–150.  El  mecanismo  de  dos  enlaces  sirve  para  amplificar  el  movimiento  angular.  

de  la  ranura.  Si  B  tiene  una  constante  angular  =  4  rad>s,  determine  VA  y  AA  de  la  

El  enlace  AB  tiene  un  pasador  en  B  que  se  limita  a  moverse  dentro  de  la  ranura  del  

rueda  A  con  una  velocidad  de  vB  en  el  instante  que  se  muestra.

enlace  CD.  Si  en  el  instante  mostrado,  AB  (entrada)  tiene  una  velocidad  angular  de   vAB  =  2.5  rad>s,  determine  la  velocidad  angular  de  CD  (salida)  en  ese  instante.

vB

4  rad/s

B D

150mm

B

C PAG

C 30 45

A

A

4  pulgadas

tu  30 vAB  2,5  rad/s

problema  16–150

problema  16–152

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 16.8  ANÁLISIS  DE  MOVIMIENTO  RELATIVO  MEDIANTE  EJES  DE  ROTACIÓN

403

PROBLEMAS PROBLEMAS  CONCEPTUALES

C16–1.  Un  motor  eléctrico  hace  girar  la  llanta  en  A  a  una  velocidad   angular  constante  y  la  fricción  hace  que  la  llanta  ruede  sin  deslizarse   sobre  el  borde  interior  de  la  rueda  de  la  fortuna.  Usando  valores   numéricos  apropiados,  determine  la  magnitud  de  la  velocidad  y   aceleración  de  los  pasajeros  en  una  de  las  canastas.  ¿Los  pasajeros   en  las  otras  canastas  experimentan  este  mismo  movimiento?   Explicar.

C16–3.  La  puerta  plegable  del  hangar  se  abre  mediante  cables  que   se  mueven  hacia  arriba  a  una  velocidad  constante  de  0,5  m>s.   Determine  la  velocidad  angular  de  BC  y  la  velocidad  angular  de  AB   cuando  u  =  45.  El  panel  BC  está  clavado  en  C  y  tiene  una  altura   igual  a  la  altura  de  BA.  Use  valores  numéricos  apropiados  para   explicar  su  resultado.

C

A

dieciséis

tu

B

A

problema  C16–3  (©  RC  Hibbeler) problema  C16–1  (©  RC  Hibbeler) C16–2.  La  manivela  AB  gira  en  sentido  antihorario  a  una

tasa  constante  V  que  hace  que  el  brazo  conector  CD  y  la  viga   basculante  DE  se  muevan.  Dibuje  un  esquema  que  muestre  la   ubicación  del  IC  para  el  brazo  de  conexión  cuando  u  =  0,  90,  180  y   270.  Además,  ¿cómo  se  determinó  la  curvatura  de  la  cabeza  en  E  y  

C16–4.  Si  las  llantas  no  resbalan  sobre  el  pavimento,  determine  los   puntos  de  la  llanta  que  tienen  una  velocidad  máxima  y  mínima  y  los   puntos  que  tienen  una  aceleración  máxima  y  mínima.  Usa  valores   numéricos  apropiados  para  la  velocidad  del  auto  y  el  tamaño  de  las   llantas  para  explicar  tu  resultado.

por  qué  está  curvada  de  esta  manera?

mi

D

C

B

tu

A

problema  C16–2  (©  RC  Hibbeler)

problema  C16–4  (©  RC  Hibbeler)

Machine Translated by Google

404

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

REPASO  DEL  CAPÍTULO

Movimiento  plano  de  cuerpo  rígido

Un  cuerpo  rígido  sufre  tres  tipos  de  movimiento  plano:  traslación,   rotación  alrededor  de  un  eje  fijo  y  movimiento  plano  general. Camino  de  traslación  rectilínea

Traducción Cuando  un  cuerpo  tiene  traslación  rectilínea,  todas  las  partículas  del   cuerpo  viajan  a  lo  largo  de  trayectorias  paralelas  en  línea  recta.  Si  las   trayectorias  tienen  el  mismo  radio  de  curvatura,  se  produce  una   traslación  curvilínea.  Si  conocemos  el  movimiento  de  una  de  las   partículas,  también  se  conoce  el  movimiento  de  todas  las  demás.

Camino  de  traslación  curvilínea

Rotación  sobre  un  eje  fijo dieciséis

Para  este  tipo  de  movimiento,  todas  las  partículas  se  mueven  a  lo   largo  de  trayectorias  circulares.  Aquí,  todos  los  segmentos  de  línea  en   el  cuerpo  experimentan  el  mismo  desplazamiento  angular,  velocidad   angular  y  aceleración  angular. Una  vez  que  se  conoce  el  movimiento  angular  del  cuerpo,  se  puede   obtener  la  velocidad  de  cualquier  partícula  a  una  distancia  r  del  eje.

Rotación  sobre  un  eje  fijo

a  =  dv>dt La  aceleración  de  cualquier  partícula  tiene  dos  componentes.  La   componente  tangencial  explica  el  cambio  en  la  magnitud  de  la   velocidad  y  la  componente  normal  explica  el  cambio  en  la  dirección  de   la  velocidad.

v  =

v  =  du>dt

a  du  =  v  dv

o

v0  +  acto

u  =  u0  +  v0t  +  2  acto

1

v2  =  2  +  2ac(u  ­  u0)  v0

CA  constante v  =  vr

en = ar,  un

Movimiento  plano  general

Cuando  un  cuerpo  experimenta  un  movimiento  plano  general,   simultáneamente  se  traslada  y  rota.  Hay  varios  métodos  para  analizar   este  movimiento. Análisis  de  movimiento   absoluto  Si  se  conoce  el  movimiento  de  un  punto  en  un  cuerpo  o  el   movimiento  angular  de  una  línea,  entonces  puede  ser  posible   relacionar  este  movimiento  con  el  de  otro  punto  o  línea  usando  un   análisis  de  movimiento  absoluto.  Para  ello  se  establecen  unas   coordenadas  de  posición  lineal  s  o  unas  coordenadas  de  posición   angular  u  (medidas  desde  un  punto  fijo  o  línea).  Estas  coordenadas   de  posición  se  relacionan  luego  usando  la  geometría  del  cuerpo.  La   derivada  temporal  de  esta  ecuación  da  la  relación  entre  las   velocidades  y/o  las  velocidades  angulares.  Una  segunda  derivada   temporal  relaciona  las  aceleraciones  y/o  las  aceleraciones  angulares.

www.ebook777.com

Movimiento  plano  general

=  v2  r  

2

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com REPASO  DEL  CAPÍTULO

405

Movimiento  relativo  usando  ejes  de  traslación  El   movimiento  del  plano  general  también  se  puede  analizar   usando  un  análisis  de  movimiento  relativo  entre  dos  puntos   A  y  B  ubicados  en  el  cuerpo.  Este  método  considera  el   movimiento  en  partes:  primero  una  traslación  del  punto  base   A  seleccionado,  luego  una  "rotación"  relativa  del  cuerpo   alrededor  del  punto  A,  que  se  mide  desde  un  eje  de  traslación.  

vB  =  vA  +  V  *  rB>A  

Dado  que  el  movimiento  relativo  se  considera  un  movimiento  

aB  =  aA  +  A  *  rB>A  ­  v2  rB>A

circular  alrededor  del  punto  base,  el  punto  B  tendrá  una   velocidad  vB>A  que  es  tangente  al  círculo.  También  tiene  dos   componentes  de  aceleración,  (aB>A)t  y  (aB>A)n . También  es  importante   darse  cuenta  de  que  aA  y  aB  tendrán  componentes   tangenciales  y  normales  si  estos  puntos  se  mueven  a  lo  largo   de  trayectorias  curvas.

Centro  instantáneo  de  velocidad  cero  Si  se  

dieciséis

selecciona  el  punto  base  A  con  velocidad  cero,  entonces  la   ecuación  de  velocidad  relativa  se  convierte  en  vB  =  V  *  rB>A.   En  este  caso,  el  movimiento  parece  como  si  el  cuerpo  girara   alrededor  de  un  eje  instantáneo  que  pasa  por  A. A

rA/CI

El  centro  instantáneo  de  rotación  (IC)  se  puede  establecer   PAG

siempre  que  se  conozcan  las  direcciones  de  las  velocidades   de  dos  puntos  cualesquiera  del  cuerpo,  o  se  conozcan  la  

V

velocidad  de  un  punto  y  la  velocidad  angular.  Dado  que  una   línea  radial  r  siempre  será  perpendicular  a  cada  velocidad,  

vA  vP

B

entonces  el  IC  está  en  el  punto  de  intersección  de  estas  dos  

rP/CI

líneas  radiales. Su  ubicación  medida  se  determina  a  partir  de  la  geometría  del  

VIC  0 CI

rB/CI

vB

cuerpo.  Una  vez  establecida,  la  velocidad  de  cualquier  punto   P  del  cuerpo  puede  determinarse  a  partir  de  v  =  vr,  donde  r   se  extiende  desde  el  IC  hasta  el  punto  P.

Movimiento  relativo  usando  ejes  giratorios   Los  problemas  que  involucran  miembros  conectados  que  se   deslizan  entre  sí  o  puntos  que  no  están  ubicados  en  el  mismo   cuerpo  pueden  analizarse  usando  un  análisis  de  movimiento   relativo  referenciado  desde  un  marco  giratorio.  Esto  da  lugar   al  término  2  *  (vB>A)xyz  que  se  denomina  aceleración  de   Coriolis.

vB  =  vA  +  *  rB>A  +  (vB>A)xyz #

aB  =  aA  +

*  rB>A  +  *  ( *  rB>A)  +  2  *  (vB>A)xyz  +  (aB>A)xyz

Machine Translated by Google

406

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  16  CINEMÁTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO

PROBLEMAS  DE  REVISIÓN R16–1.  El  mecanismo  elevador  A  tiene  una  velocidad  angular  inicial  de  60  rad>s  y  

R16–3.  El  tablero  descansa  sobre  la  superficie  de  dos  tambores.  En

una  desaceleración  constante  de  1  rad>s2.

En  el  instante  que  se  muestra,  tiene  una  aceleración  de  0.5  m>s2  hacia  la  derecha,  

Determine  la  velocidad  y  la  desaceleración  del  bloque  que  está  siendo  levantado  

mientras  que  en  el  mismo  instante  los  puntos  en  el  borde  exterior  de  cada  tambor  

por  el  cubo  en  el  engrane  B  cuando  t  =  3  s.

tienen  una  aceleración  con  una  magnitud  de  3  m>s2. Si  la  tabla  no  resbala  sobre  los  tambores,  determine  su  velocidad  debido  al   movimiento. 0,5  pies 2  pies

1  pie

A B

0,5  m/s

2

250mm

250mm

dieciséis

problema  R16–3

problema  R16–1 R16–2.  Comenzando  en  (vA)0  =  3  rad>s,  cuando  u  =  0,  s  =  0,  la  polea  A  recibe   una  aceleración  angular  a  =  (0.6u)  rad>s  donde  u  está  en  radianes.  Determine  

2 ,

la  velocidad  del  bloque  B  cuando  ha  subido  s  =  0,5  m.  La  polea  tiene  un  cubo   interior  D  que  está  fijo  a  C  y  gira  con  él.

R16–4.  Si  la  barra  AB  tiene  una  velocidad  angular  vAB,  determine   =  6  rad>s,  

150mm

la  velocidad  del  bloque  deslizante  C  en  el  instante  que  se  muestra.

corriente  continua

A 50mm

75mm

vAB  6  rad/s B

B

200mm Tienes  45  años

s

500mm 30

problema  R16–4

problema  R16–2

www.ebook777.com

C

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 407

PROBLEMAS  DE  REVISIÓN

R16–5.  El  centro  de  la  polea  se  eleva  verticalmente  con  una  aceleración  de  4  

R16–7.  El  disco  se  mueve  hacia  la  izquierda  de  manera  que  tiene  una  aceleración  

m>s2  en  el  instante  en  que  tiene  una  velocidad  de  2  m>s.  Si  el  cable  no  se  desliza  

angular  a  =  8  rad>s  y  una  velocidad  angular  v  =  3  rad>s  en  el  instante  que  se  

sobre  la  superficie  de  la  polea,  determine  las  aceleraciones  del  cilindro  B  y  el  punto  

muestra.  Si  no  se  desliza  en  A,  determine  la  aceleración  del  punto  B.

2

C  de  la  polea.

aA  =  4  m/s2   vA  =  2  m/s v a

C

D

A

3  rad/s 2 8  rad/s

30 0,5  m

80mm

B

C  

A

problema  R16–7

B

dieciséis

R16–8.  En  el  instante  dado,  el  miembro  AB  tiene  los  movimientos  angulares  que   se  muestran.  Determine  la  velocidad  y  aceleración  del  bloque  deslizante  C  en  este   instante.

problema  R16–5

R16–6.  En  el  instante  que  se  muestra,  el  eslabón  AB  tiene  una  velocidad  angular   =

vAB  =  2  rad>s  y  una  aceleración  angular  aAB  6  rad>s2.  Determine  la  

aceleración  del  pasador  en  C  y  la  aceleración  angular  del  eslabón  CB  en  este   instante,  cuando  u  =  60°.

B 300mm

7  pulgadas

A

B 3  rad/s vAB  2  rad/s aAB  6  rad/s

A

2

2  rad/s

2

500mm 5  pulgadas

tu

C D

C

5

175mm problema  R16–6

5  pulgadas

3

4

problema  R16–8

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

capitulo  17

(©  Surasaki/Fotolia) Los  tractores  y  otros  equipos  pesados  pueden  estar  sujetos  a  cargas  severas  debido   a  las  cargas  dinámicas  a  medida  que  aceleran.  En  este  capítulo  mostraremos  cómo   determinar  estas  cargas  para  el  movimiento  plano.

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

Cinética  plana  de  un Cuerpo  Rígido:   Fuerza  y  Aceleración

OBJETIVOS  DEL  CAPÍTULO ■  Introducir  los  métodos  utilizados  para  determinar  el  momento  de  inercia  de   masa  de  un  cuerpo.   ■  Desarrollar  las  ecuaciones  cinéticas  planas  de  movimiento  para  un  simétrico cuerpo  rígido.

■  Discutir  las  aplicaciones  de  estas  ecuaciones  a  cuerpos  que  experimentan   traslación,  rotación  alrededor  de  un  eje  fijo  y  movimiento  plano  general.

17.1  Momento  de  inercia  de  la  masa Dado  que  un  cuerpo  tiene  un  tamaño  y  una  forma  definidos,  un  sistema  de  fuerzas  no   concurrentes  aplicado  puede  hacer  que  el  cuerpo  se  traslade  y  gire.  Los  aspectos  de   traslación  del  movimiento  se  estudiaron  en  el  Capítulo  13  y  se  rigen  por  la  ecuación  F  =   ma.  En  la  próxima  sección  se  mostrará  que  los  aspectos  rotacionales,  causados  por  un   momento  M,  están  gobernados  por  una  ecuación  de  la  forma  M  =  IA.  El  símbolo  I  en  esta   ecuación  se  denomina  momento  de  inercia  de  la  masa.  En  comparación,  el  momento  de   inercia  es  una  medida  de  la  resistencia  de  un  cuerpo  a  la  aceleración  angular  (M  =  IA)  de   la  misma  manera  que  la  masa  es  una  medida  de  la  resistencia  del  cuerpo  a  la  aceleración   (F  =  ma).

Machine Translated by Google

410

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

El  volante  del  motor  de  este  tractor  tiene  un  gran  momento  de  inercia   alrededor  de  su  eje  de  rotación.  Una  vez  que  se  pone  en  marcha,  será   difícil  detenerlo,  y  esto  a  su  vez  evitará  que  el  motor  se  cale  y,  en  cambio,   le  permitirá  mantener  una  potencia  constante.

(©  RC  Hibbeler) Definimos  el  momento  de  inercia  como  la  integral  del  “segundo  momento”   alrededor  de  un  eje  de  todos  los  elementos  de  masa  dm  que  componen  el   cuerpo.*  Por  ejemplo,  el  momento  de  inercia  del  cuerpo  alrededor  del  eje  z  en  la  figura  17­1  es

z

17

2

mensaje  directo

(17­1)

yo  =  Lm  r

r

mensaje  directo

Aquí,  el  "brazo  de  momento"  r  es  la  distancia  perpendicular  desde  el  eje  z  hasta   el  elemento  arbitrario  dm.  Dado  que  la  formulación  involucra  a  r,  el  valor  de  I  es   diferente  para  cada  eje  sobre  el  cual  se  calcula.  En  el  estudio  de  la  cinética   plana,  el  eje  elegido  para  el  análisis  generalmente  pasa  por  el  centro  de  masa   del  cuerpo  G  y  siempre  es  perpendicular  al  plano  de  movimiento.  El  momento   de  inercia  con  respecto  a  este  eje  se  denotará  como  IG.  Dado  que  r  está  al   cuadrado  en  la  Ec.  17­1,  el  momento  de  inercia  de  la  masa  es  siempre  una  cantidad  positiva . Las  unidades  comunes  usadas  para  su  medición  son  kg  #  m2  o  slug  #  ft2   .

Figura  17­1

= r  (x,y,z),   Si  el  cuerpo  consiste  en  material  que  tiene  una  densidad  variable,  r la  masa  elemental  dm  del  cuerpo  se  puede  expresar  en  términos  de  su  densidad  y   volumen  como  dm  =  r  dV.  Sustituyendo  dm  en  la  Ec.  17­1,  el  momento  de  inercia  del   cuerpo  se  calcula  usando  elementos  de  volumen  para  la  integración;  es  decir,

2

yo  =  VI  r

r  dV

(17–2)

*Otra  propiedad  del  cuerpo,  que  mide  la  simetría  de  la  masa  del  cuerpo  con  respecto  a  un  sistema  de   coordenadas,  es  el  producto  de  la  inercia.  Esta  propiedad  se  aplica  al  movimiento  tridimensional  de  un   cuerpo  y  se  analizará  en  el  Capítulo  21.

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 411

17.1  MOMENTO  DE  INERCIA  DE  MASA

En  el  caso  especial  de  que  r  sea  una  constante,  este  término  puede  factorizarse  fuera  de  la  

z

integral,  y  la  integración  es  entonces  puramente  una  función  de  la  geometría,

yo  =

2dV r  VI  r

dm  r  dV

(17­3) z

Cuando  el  elemento  de  volumen  elegido  para  la  integración  tiene  dimensiones  infinitesimales  

y

en  las  tres  direcciones,  figura  17­2a,  el  momento  de  inercia  del  cuerpo  debe  determinarse  

X

mediante  la  “integración  triple”.  Sin  embargo,  el  proceso  de  integración  se  puede  simplificar  a  

y

una  sola  integración  siempre  que  el  elemento  de  volumen  elegido  tenga  un  tamaño  o  espesor  

X

diferencial  en  una  sola  dirección.  Los  elementos  de  carcasa  o  disco  se  utilizan  a  menudo  para  

(a)

este  propósito.

z

Procedimiento  de  Análisis z

Para  obtener  el  momento  de  inercia  por  integración,  consideraremos  solo  cuerpos   y

simétricos  que  tienen  volúmenes  que  se  generan  al  girar  una  curva  alrededor  de  un  eje.   Un  ejemplo  de  tal  cuerpo  se  muestra  en  la  figura  17­2a.  Se  pueden  elegir  dos  tipos  de   elementos  diferenciales.

y

dy

X

Elemento  de  concha.

(b)

Si  se  elige  para  la  integración  un  elemento  de  capa  que  tiene  una  altura  z,  un  radio  r   =  y  y  un  grosor  dy ,  figura  17­2b,  entonces  el  volumen  es  dV  =  (2py)(z)dy. z

Este  elemento  se  puede  utilizar  en  la  Ec.  17­2  o  17­3  para  determinar  el  momento  de   y

inercia  Iz  del  cuerpo  con  respecto  al  eje  z ,  ya  que  todo  el  elemento,  debido  a  su   "delgadez",  se  encuentra  en  la  misma  perpendicular  y  desde  el  eje  z  (vea  el  ejemplo  

dz

17.1).  distancia  r  = Elemento  de  disco. z

Si  se  elige  para  la  integración  un  elemento  de  disco  que  tiene  un  radio  y  y  un  espesor   dz ,  figura  17­2c,  entonces  el  volumen  es  dV  =  (py2 )dz.

y

Este  elemento  es  finito  en  la  dirección  radial  y,  en  consecuencia,  sus  partes  no  se   encuentran  todas  a  la  misma  distancia  radial  r  del  eje  z .  Como  resultado,  la  ecuación.   17–2  o  17–3  no  se  pueden  usar  para  determinar  Iz  directamente.

X

(C)

En  cambio,  para  realizar  la  integración  primero  es  necesario  determinar  el  momento   de  inercia  del  elemento  con  respecto  al  eje  z  y  luego  integrar  este  resultado  (vea  el   Ejemplo  17.2).

Figura  17­2

17

Machine Translated by Google

412

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

EJEMPLO  17.1 Determine  el  momento  de  inercia  del  cilindro  que  se  muestra  en  la  figura   17­3a  con  respecto  al  eje  z .  La  densidad  del  material,  r,  es  constante.

z

z

r

dr.

R

hora  2

hora  2

O

y

O X

hora  2

y

hora  2

X

(a)

(b)

Figura  17­3

17

SOLUCIÓN

Elemento  de  concha.  Este  problema  se  puede  resolver  utilizando  el   elemento  de  capa  de  la  figura  17­3b  y  una  sola  integración.  El  volumen  del   elemento  es  dV  =  (2pr)(h)  dr,  de  modo  que  su  masa  es  dm  =  rdV  =  r(2phr   dr).  Como  todo  el  elemento  se  encuentra  a  la  misma  distancia  r  del  eje  z ,   el  momento  de  inercia  del  elemento  es 2

dIz  =  r dm  =  r2phr3  dr

Integrando  sobre  toda  la  región  del  cilindro  se  obtiene R 2

Iz  =  Lm  r dm  =  r2ph  L

r 3  dr  =   0

rp R4   horas  2

La  masa  del  cilindro  es R

m  =  Lm  dm  =  r2ph  L

r  dr  =  rphR2 0

de  modo  que

Iz  =  2 1  mR2

www.ebook777.com

Respuesta

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 17.1  MOMENTO  DE  INERCIA  DE  MASA

413

EJEMPLO  17.2 determinar  el  momento  de Si  la  densidad  del  material  es  5  slug>ft3 ,  la   inercia  del  sólido  en  la  figura  17­4a  con  respecto  al  eje  y .

y y

1  pie X

1  pie

dy 1  pie

1  pie

y2x  _

y

(x,y)

X

(a)

X

(b) Figura  17­4

SOLUCIÓN

Elemento  de  disco.  El  momento  de  inercia  se  encontrará  utilizando  un   elemento  de  disco,  como  se  muestra  en  la  figura  17­4b.  Aquí  el  elemento   corta  la  curva  en  el  punto  arbitrario  (x,y)  y  tiene  una  masa

dm  = r  dV  =  r(px2 )  dy Aunque  todas  las  partes  del  elemento  no  están  ubicadas  a  la  misma   distancia  del  eje  y ,  todavía  es  posible  determinar  el  momento  de  inercia   dIy  del  elemento  con  respecto  al  eje  y .  En  el  ejemplo  anterior  se   demostró  que  el  momento  de  inercia  de  un  cilindro  con  respecto  a  su  eje   1 longitudinal  es  I  =  donde  2mmR2   y  R,   son  la  masa  y  el  radio  del  cilindro.  Dado   que  la  altura  no  está  involucrada  en  esta  fórmula,  el  disco  mismo  puede   considerarse  como  un  cilindro.  Por  lo  tanto,  para  el  elemento  de  disco  de   la  figura  17­4b,  tenemos 1

1

dIy  = 2(dm)x2  =  2[r(px2 )  dy]x2 Sustituyendo  x  =  y2 ,  r  =  5  slug>ft3  e  integrando  con  respecto  a  y,  de  y   =  0  a  y  =  1  ft,  se  obtiene  el  momento  de  inercia  de  todo  el  sólido.

yo  =

1  pie

p(5  slug>ft3 )

2L

x4  dy  = 0

1  pie

p(5)  

2L

y8  dy  =  0.873  slug  #  ft2  Resp. 0

17

Machine Translated by Google

414

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

y¿

mensaje  directo

r A

r¿ GRAMO

X X

d

z

y¿

z¿

Figura  17­5

17

Teorema  de  los  ejes  paralelos.  Si  se  conoce  el  momento  de  inercia  del  cuerpo   con  respecto  a  un  eje  que  pasa  por  el  centro  de  masa  del  cuerpo,  entonces  el   momento  de  inercia  con  respecto  a  cualquier  otro  eje  paralelo  se  puede  determinar   usando  el  teorema  del  eje  paralelo.  Este  teorema  se  puede  derivar  considerando   el  cuerpo  que  se  muestra  en  la  figura  17­5.  Aquí  el  eje  z  pasa  por  el  centro  de   masa  G,  mientras  que  el  eje  z  paralelo  correspondiente  se  encuentra  a  una   distancia  constante  d .  Seleccionando  el  elemento  diferencial  de  masa  dm,  que   se  encuentra  en  el  punto  (x,  y),  y  aplicando  el  teorema  de  Pitágoras,  podemos   2r respecto  al  e2je  z   2 expresar  el  momento  de  inercia  del  cuerpo  =  (d  +  x)  +  y   , como

2

+  y 2]  dm

2

yo  =  Lm  r dm  =  Lm  [(d  +  x) 2

=  Lm  (x

Desde  r

=  x

+  y

2

)  dm  +  2d  Lm  x  dm  +  d2  Lm  dm

+  y   2 , la  primera  integral  representa  IG.  La  segunda  integral   es  igual  a  cero,  ya  que  el  eje  z  pasa  por  el  centro  de  masa  del  cuerpo,  es  decir,   1xdm  =  xm  =  0  ya  que  x  =  0.  Finalmente,  la  tercera  integral 2

2

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 17.1  MOMENTO  DE  INERCIA  DE  MASA

415

representa  la  masa  total  m  del  cuerpo.  Por  lo  tanto,  el  momento  de  inercia  con  respecto   al  eje  z  se  puede  escribir  como

I  =  IG  +  md2

(17–4)

dónde IG  =  momento  de  inercia  sobre  el  eje  z  que  pasa  a  través  de  la  masa centro  G   m  =  masa  del  cuerpo  d  =   distancia  perpendicular  entre  los  ejes  paralelos  z  y  z

Radio  de  giro.  Ocasionalmente,  el  momento  de  inercia  de  un  cuerpo  con  respecto  a  un   eje  específico  se  informa  en  los  manuales  utilizando  el  radio  de  giro,  k.  Esta  es  una   propiedad  geométrica  que  tiene  unidades  de  longitud.  Cuando  se  conocen  él  y  la  masa   m  del  cuerpo ,  el  momento  de  inercia  del  cuerpo  se  determina  a  partir  de  la  ecuación

yo  =  mk2  o  k  =  un  yo

(17–5) metro

Note  la  similitud  entre  la  definición  de  k  en  esta  fórmula  y  r  en  el  dm,  que  define  el   2 momento  de  inercia  de  un  elemental ecuación  dI  =  r   masa  dm  del  cuerpo  alrededor  de  un  eje.

Cuerpos  compuestos.  Si  un  cuerpo  consta  de  varias  formas  simples,  como  discos,   esferas  y  barras,  el  momento  de  inercia  del  cuerpo  con  respecto  a  cualquier  eje  se   puede  determinar  sumando  algebraicamente  los  momentos  de  inercia  de  todas  las   formas  compuestas  calculadas  con  respecto  al  eje.  La  suma  algebraica  es  necesaria   ya  que  una  parte  compuesta  debe  considerarse  como  una  cantidad  negativa  si  ya  se   ha  contado  como  una  pieza  de  otra  parte,  por  ejemplo,  un  "agujero"  sustraído  de  una   placa  sólida.  El  teorema  del  eje  paralelo  es  necesario  para  los  cálculos  si  el  centro  de   masa  de  cada  parte  compuesta  no  se  encuentra  en  el  eje.  Para  el  cálculo,  entonces,  I   =  (IG  +  md2 ).  Aquí,  IG  para  cada  una  de  las  partes  compuestas  se  determina  por   integración,  o  para  formas  simples,  como  varillas  y  discos,  se  puede  encontrar  en  una   tabla,  como  la  que  se  proporciona  en  el  interior  de  la  contraportada  de  este  libro.

17

Machine Translated by Google 416

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

EJEMPLO  17.3 Si  la  placa  que  se  muestra  en  la  figura  17­6a  tiene  una  densidad  de  8  000  kg/m3  y   un  espesor  de  10  mm,  determine  su  momento  de  inercia  con  respecto  a  un  eje   dirigido  perpendicularmente  a  la  página  y  que  pasa  por  el  punto  O.

125mm 250mm

GRAMO

GRAMO

–

125mm GRAMO

250mm O

Espesor  10mm (b)

(a)

Figura  17­6

SOLUCIÓN   La  placa  consta  de  dos  partes  compuestas,  el  disco  de  250  mm  de  radio  menos  un   disco  de  125  mm  de  radio,  figura  17­6b.  El  momento  de  inercia  con  respecto  a  O   puede  determinarse  calculando  el  momento  de  inercia  de  cada  una  de  estas  partes   con  respecto  a  O  y  luego  sumando  los  resultados  algebraicamente.  Los  cálculos  se   realizan  utilizando  el  teorema  del  eje  paralelo  junto  con  los  datos  enumerados  en  la   tabla  en  el  interior  de  la  contraportada. 17

Disco.  El  momento  de  inercia  de  un  disco  con  respecto  al  eje  centroidal  perpendicular   al  plano  del  disco  es  IG  =  el  disco  está  ubicado  a  una   1  2mr2 . El  centro  de  masa  de distancia  de  0.25  m  del  punto  O.  Por  lo  tanto,

Maryland

=  rdVd  =  8000  kg>m3  [p(0,25  m)2  (0,01  m)]  =  15,71  kg  1  +  mdd2   2

2  mdrd 1 = (15,71  kg)(0,25  m)2  +  (15,71  kg)(0,25  m)2 2

(Id)O  =

=  1.473  kg  #  m2 Agujero.  Para  el  disco  (agujero)  de  125  mm  de  radio,  tenemos mh

=  rhVh  =  8000  kg>m3  [p(0,125  m)2  (0,01  m)]  =  3,927  kg  1  +  mhd2   2

(Ih)O  =  2  mhrh 1 = (3,927  kg)(0,125  m)2  +  (3,927  kg)(0,25  m)2 2 =  0,276  kg  #  m2 Por  lo  tanto ,  el  momento  de  inercia  de  la  placa  con  respecto  al  punto  O  es IO  =  (Id)O  ­  (Ih)O

=  1,473  kg  #  m2  ­  0,276  kg  #  m2  =   1,20  kg  #  m2

www.ebook777.com

Respuesta

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 417

17.1  MOMENTO  DE  INERCIA  DE  MASA

EJEMPLO  17.4 El  péndulo  de  la  figura  17­7  está  suspendido  del  pasador  en  O  y  consta   de  dos  varillas  delgadas.  La  barra  OA  pesa  10  lb  y  BC  pesa  8  lb.   Determine  el  momento  de  inercia  del  péndulo  con  respecto  a  un  eje   que  pasa  por  (a)  el  punto  O  y  (b)  el  centro  de  masa  G  del  péndulo.

O –

y

SOLUCIÓN 2  pies

Parte  (a).  Utilizando  la  tabla  de  la  contraportada  interior,  el  momento  de   inercia  de  la  varilla  OA  con  respecto  a  un  eje  perpendicular  a  la  página  y   1  3ml2 .   que  pasa  por  el  punto  O  de  la  varilla  es   IO  =Por  eso, (IOA)  O  = 1  ml2  =  3

GRAMO

A B

1 3  a  132,2   0  libras pies>s2  b(2  pies)2  =  0.414  slug  #  pies2

Este  mismo  valor  se  puede  obtener  usando  IG   =  teorema.

(IOA)  O  = 1  ml2  +  md2  =  12

C

0,75  pies  0,75  pies

ml2  y  el  eje  paralelo

1  12

Figura  17­7

1 12  a  132,2   0  libras 10  libras pies>s2  b(2  pies)2  +  a  32,2   pies>s2  b(1  pie)2

=  0,414  slug  #  ft2

Para  varilla  BC  tenemos

1 (IBC)  O  =

17

ml2  +  md2  =  12

1 12  a  832,2     libras   libras pies>s2  b(1.5  pies)2  +  a  832,2   pies>s2  b(2  pies)2

=  1.040  slug  #  ft2

Por  lo  tanto ,  el  momento  de  inercia  del  péndulo  con  respecto  a  O  es IO  =  0,414  +  1,040  =  1,454  =  1,45  slug  #  ft2

Respuesta

Parte  B).  El  centro  de  masa  G  se  ubicará  en  relación  con  el  punto  O. Suponiendo  que  esta  distancia  es  y,  figura  17­7,  y  usando  la  fórmula  para   determinar  el  centro  de  masa,  tenemos y

=

mmm metro

=

1(10>32,2)  +  2(8>32,2)   (10>32,2)  +  (8>32,2)

=  1,444  pies

El  momento  de  inercia  IG  se  puede  encontrar  de  la  misma  manera  que  IO,  lo   que  requiere  aplicaciones  sucesivas  del  teorema  de  los  ejes  paralelos  para   transferir  los  momentos  de  inercia  de  las  barras  OA  y  BC  a  G.  Sin  embargo,  una   solución  más  directa  consiste  en  usar  el  resultado  para  IO,  es  decir,

IO  =  IG  +  md2 ;  1.454  slug  #  ft2  =  IG  +  a  18  lb IG  =  0.288  slug  #  ft2

32,2  pies>s2  b  (1.444  pies)  2 Respuesta

Machine Translated by Google

418

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

PROBLEMAS 17–3.  Determine  el  momento  de  inercia  del  anillo  delgado  con   17–1.  Determine  el  momento  de  inercia  Iy  de  la  barra  delgada.  La   densidad  de  la  varilla  r  y  el  área  de  la  sección  transversal  A  son   respecto  al  eje  z .  El  anillo  tiene  una  masa  m. constantes.  Exprese  el  resultado  en  términos  de  la  masa  total  m  de  la  barra .

z y

R

y yo

X

A problema  17­3

X

17

problema  17–1

17–2.  El  cilindro  sólido  tiene  un  radio  exterior  R,  una  altura  h  y  está   hecho  de  un  material  que  tiene  una  densidad  que  varía  =  k  +  ar  2,   como  r  Determine  la   donde  k  y  a  son  constantes.  desde  su  centro   masa  del  cilindro  y  su  momento  de  inercia  con  respecto  al  eje  z .

*17–4.  El  paraboloide  se  forma  girando  el  área  sombreada  alrededor   del  eje  x .  Determine  el  radio  de  giro  kx. La  densidad  del  material  es  r =  5  mg>m3 .

z y R y2  50x

100mm h X

200mm problema  17–4

problema  17–2

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 419

17.1  MOMENTO  DE  INERCIA  DE  MASA

17–5.  Determine  el  radio  de  giro  kx  del  cuerpo.  =  380  lb>ft3 .  peso   material  es  g específico  del  

17–7.  El  tronco  se  forma  girando  el  área  sombreada  alrededor  del   eje  x .  Determine  el  momento  de  inercia  Ix  y  exprese  el  resultado   en  términos  de  la  masa  total  m  del  tronco.  El  tronco  tiene  una   densidad  constante  r.

y

y y3  x

y

– bxb a

2  pulgadas

2b b

X

X

z

8  pulgadas

problema  17–5

a problema  17–7

17

17–6.  La  esfera  se  forma  girando  el  área  sombreada  alrededor  del   eje  x .  Determine  el  momento  de  inercia  Ix  y  exprese  el  resultado   en  términos  de  la  masa  total  m  de  la  esfera. El  material  tiene  una  densidad  constante  r.

*17–8.  El  hemisferio  se  forma  girando  el  área  sombreada  alrededor   del  eje  y .  Determine  el  momento  de  inercia  Iy  y  exprese  el   resultado  en  términos  de  la  masa  total  m  del  hemisferio.  El  material   tiene  una  densidad  constante  r.

y y

x2  y2r  _

2

x2  y2r  _

2

X

X

problema  17–6

problema  17–8

Machine Translated by Google

420

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

17–9.  Determine  el  momento  de  inercia  del prisma  triangular  homogéneo  con  respecto  al  eje  y . Exprese  el  resultado  en  términos  de  la  masa  m  del  prisma.   Sugerencia:  para  la  integración,  use  elementos  de  placa  delgada   paralelos  al  plano  x–y  y  que  tengan  un  espesor  dz.

17–11.  El  conjunto  está  formado  por  varillas  delgadas  que  tienen   una  masa  por  unidad  de  longitud  de  3  kg>m.  Determine  el  momento   de  inercia  de  la  masa  del  conjunto  con  respecto  a  un  eje   perpendicular  a  la  página  y  que  pasa  por  el  punto  O.

O 0,4  metros

z

0,8  metros

Ja (x  a)

z

0,4  metros

problema  17–11

*17–12.  Determine  el  momento  de  inercia  del  conjunto  de  acero  

h

sólido  con  respecto  al  eje  x .  El  acero  tiene  un  peso  específico  de gst =  490  lb>ft3 . X

b

a y 0,25  pies

problema  17–9

0,5  pies

17 2  pies

X

3  pies

problema  17–12

17–10.  El  péndulo  consta  de  una  placa  circular  de  4  kg  y  una  barra   delgada  de  2  kg.  Determine  el  radio  de  giro  del  péndulo  alrededor   de  un  eje  perpendicular  a  la  página  y  que  pasa  por  el  punto  O.

17–13.  La  rueda  consta  de  un  anillo  delgado  que  tiene  una  masa   de  10  kg  y  cuatro  radios  hechos  de  varillas  delgadas  y  cada  uno   tiene  una  masa  de  2  kg.  Determine  el  momento  de  inercia  de  la   rueda  con  respecto  a  un  eje  perpendicular  a  la  página  y  que  pasa   por  el  punto  A. O

2  metros

500mm

A

1  metro

problema  17–13

problema  17–10

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 17.1  MOMENTO  DE  INERCIA  DE  MASA

421

17–14.  Si  el  anillo  grande,  el  anillo  pequeño  y  cada  uno  de  los  radios  pesan  100  

*17–16.  Determine  el  momento  de  inercia  de  la  masa  del  delgado

lb,  15  lb  y  20  lb,  respectivamente,  determine  el  momento  de  inercia  de  la  masa   de  la  rueda  con  respecto  a  un  eje.

placa  alrededor  de  un  eje  perpendicular  a  la  página  y  que  pasa  por  el  punto  O.  El   material  tiene  una  masa  por  unidad  de  área  de  20  kg>m2 .

perpendicular  a  la  página  y  que  pasa  por  el  punto  A.

O

200mm

4  pies

200mm

1  pie

O

200mm

A problema  17–14

problema  17–16

17 17–15.  Determine  el  momento  de  inercia  con  respecto  a  un  eje  perpendicular  a  

17–17.  Determine  la  ubicación  y  del  centro  de  masa  G  del  conjunto  y  luego  

la  página  y  que  pasa  por  el  pasador  en  O.

calcule  el  momento  de  inercia  con  respecto  a  un  eje  perpendicular  a  la  página  y  

La  placa  delgada  tiene  un  agujero  en  su  centro.  Su  espesor  es  de  50  mm,  =  50  

que  pasa  por  G.

material  tiene  una  densidad  r

El  bloque  tiene  una  masa  de  3  kg  y  el  semicilindro  tiene  una  masa  de  5  kg.

kg>m3 .  y  el  

17–18.  Determine  el  momento  de  inercia  del  conjunto  con  respecto  a  un  eje   perpendicular  a  la  página  y  que  pasa  por  el  punto  O.  El  bloque  tiene  una  masa   de  3  kg  y  el  semicilindro  tiene  una  masa  de  5  kg.

O

400mm

150mm

300mm GRAMO

1,40m

1,40m

–

y

200mm

O problema  17–15

problemas  17–17/18

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

Machine Translated by Google

422

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

17–19.  Determinar  el  momento  de  inercia  de  la  rueda. sobre  un  eje  que  es  perpendicular  a  la  página  y  pasa  por  el   centro  de  masa  G.  El  material  tiene  un  =  90  lb>ft3  específico .   peso  gramo

17–22.  Determine  el  momento  de  inercia  de  la  manivela  en   voladizo  con  respecto  al  eje  x .  El  material  es  acero  con  una   Mg>m3 .   densidad   de  r =  7.85  

*17–20.  Determinar  el  momento  de  inercia  de  la  rueda. sobre  un  eje  que  es  perpendicular  a  la  página  y  pasa  por  el  punto   O.  El  material  tiene  un  peso  específico =  90  lb>ft3 . gramo

20mm 30mm 90mm 50mm 180mm

X 0,25  pies

1  pie

20mm

GRAMO

0,25  pies

X

2  pies

30mm 20mm

0,5  pies

O 1  pie

17

30mm

50mm

problema  17–22

problemas  17–19/20

17–21.  El  péndulo  consiste  en  la  barra  delgada  de  3  kg  y  la  placa   delgada  de  5  kg.  Determine  la  ubicación  y  del  centro  de  masa  G   del  péndulo;  luego  calcule  el  momento  de  inercia  del  péndulo  con   respecto  a  un  eje  perpendicular  a  la  página  y  que  pasa  por  G.

O

17–23.  Determine  el  momento  de  inercia  de  la  manivela  en   voladizo  con  respecto  al  eje  x .  El  material  es  acero  con  una   Mg>m3 .   densidad   de  r =  7.85  

20mm 30mm 90mm

y 50mm

2  metros

180mm

X

20mm

GRAMO

X 30mm

0,5  metros

1  metro

20mm

problema  17–21

50mm

30mm problema  17–23

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 17.2  ECUACIONES  CINÉTICAS  PLANAS  DE  MOVIMIENTO

423

17.2  Ecuaciones  cinéticas  planas  de  movimiento En  el  siguiente  análisis,  limitaremos  nuestro  estudio  de  la  cinética  plana  a  los   cuerpos  rígidos  que,  junto  con  sus  cargas,  se  consideran  simétricos  con  respecto  a   un  plano  de  referencia  fijo.*  Dado  que  el  movimiento  del  cuerpo  puede  verse  dentro   del  plano  de  referencia,  todas  las  fuerzas  (y  momentos  de  par)  que  actúan  sobre  el   cuerpo  pueden  entonces  proyectarse  sobre  el  plano.  En  la  figura  17­8a  se  muestra   un  ejemplo  de  un  cuerpo  arbitrario  de  este  tipo.  Aquí  el  marco  de  referencia  inercial   x,  y,  z  tiene  su  origen  coincidente  con  el  punto  arbitrario  P  en  el  cuerpo.  Por   definición,  estos  ejes  no  giran  y  son  fijos  o  se  trasladan  con  velocidad  constante.

y

F4

F1 M1 V GRAMO

M2 W X

PAG

F2 A

F3 (a)

Figura  17­8

Ecuación  del  movimiento  de  traslación.  Las  fuerzas  externas  que  actúan  sobre  el   cuerpo  de  la  figura  17­8a  representan  el  efecto  de  fuerzas  gravitatorias,  eléctricas,   magnéticas  o  de  contacto  entre  cuerpos  adyacentes.  Dado  que  este  sistema  de   fuerzas  se  ha  considerado  previamente  en  la  Sec.  13.3  para  el  análisis  de  un   sistema  de  partículas,  la  ecuación  resultante.  13­6  se  puede  utilizar  aquí,  en  cuyo   caso F  =  maG Esta  ecuación  se  conoce  como  la  ecuación  de  traslación  del  movimiento  del  centro   de  masa  de  un  cuerpo  rígido.  Establece  que  la  suma  de  todas  las  fuerzas  externas   que  actúan  sobre  el  cuerpo  es  igual  a  la  masa  del  cuerpo  por  la  aceleración  de  su   centro  de  masa  G. Para  el  movimiento  del  cuerpo  en  el  plano  x–y ,  la  ecuación  de  traslación  del   movimiento  se  puede  escribir  en  forma  de  dos  ecuaciones  escalares  independientes,   a  saber, Fx  =  m(aG)x Fy  =  m(aG)y  *Al   hacer  esto,  la  ecuación  de  movimiento  rotacional  se  reduce  a  una  forma  bastante  simplificada. El  caso  más  general  de  la  forma  del  cuerpo  y  la  carga  se  considera  en  el  Capítulo  21.

17

Machine Translated by Google

424

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

y

fi

X

i

fi

y

r

X

PAG

Ecuación  del  movimiento  de  rotación.  Ahora  determinaremos  los  efectos   causados  por  los  momentos  del  sistema  de  fuerzas  externo  calculado  alrededor   de  un  eje  perpendicular  al  plano  de  movimiento  (el  eje  z )  y  que  pasa  por  el  punto   P.  Como  se  muestra  en  el  diagrama  de  cuerpo  libre  de  la  i­ésima  partícula,  Fig.   17­8b,  Fi  representa  la  fuerza  externa  resultante  que  actúa  sobre  la  partícula,  y   fi  es  la  resultante  de  las  fuerzas  internas  causadas  por  interacciones  con   partículas  adyacentes.  Si  la  partícula  tiene  una  masa  mi  y  su  aceleración  es  ai ,   entonces  su  diagrama  cinético  se  muestra  en  la  figura  17­8c.  Sumando  momentos   respecto  al  punto  P,  requerimos r  *  Fi  +  r  *  fi  =  r  *  mi  ai

Diagrama  de  cuerpo  libre  de  partículas

o

(b)

(MP)i  =  r  *  mi  ai

=

Los  momentos  con  respecto  a  P  también  se  pueden  expresar  en  términos  de  la   aceleración  del  punto  P,  figura  17­8d.  Si  el  cuerpo  tiene  una  aceleración  angular  A  y  una   velocidad  angular  V,  entonces  usando  la  Ec.  16­18  tenemos

y

(MP)i  =   mi  r  *  (aP  +  A  *  r  ­  v2  r) mi  ai

X

i

17

El  último  término  es  cero,  ya  que  r  *  r  =  0.  Expresando  los  vectores  con   componentes  cartesianas  y  realizando  las  operaciones  de  productos  cruzados   se  obtiene

y

r

X

PAG

=mi  [r  *  aP  +  r  *  (A  *  r)  ­  v2  (r  *  r)]

(MP)ik  =  mi5(xi  +  yj)  *  [(aP)x  i  +  (aP)y  j]  +  (xi  +   yj)  *  [ak  *  (xi  +  yj)]6  mi  [­y(aP)x  +  

Diagrama  cinético  de  partículas

(MP)ik  =

(C)

x(aP)y  +  ax2  +  ay2 ]k

a(MP)i  =  mi  [­y(aP)x  +  x(aP)y  +  ar

2

]

dejarme  _ S  dm  e  integrando  con  respecto  a  la  masa  total  m  del  cuerpo,   obtenemos  la  ecuación  del  momento  resultante

y

_

aMP  =  ­  a  Lm  y  dmb(aP)x  +  a  Lm  x  dmb(aP)y  +  a  Lm  r  2  dmba

AG

X

V GRAMO

_ r

_ y AP

X

PAG

A

(d) Figura  17­8  (continuación)

Aquí  MP  representa  solo  el  momento  de  las  fuerzas  externas  que  actúan  sobre   el  cuerpo  con  respecto  al  punto  P.  El  momento  resultante  de  las  fuerzas  internas   es  cero,  ya  que  para  todo  el  cuerpo  estas  fuerzas  ocurren  en  pares  colineales   iguales  y  opuestos  y,  por  lo  tanto,  el  momento  de  cada  par  de  las  fuerzas  sobre   P  se  cancelan.  Las  integrales  en  el  primer  y  segundo  término  de  la  derecha  se   ubicar  el  =  1y  dm  y  el  centro  de  masa  G  del  cuerpo  con  respecto  usan  para   a  P,  ya  que  ym  xm  =  1x  dm,  figura  17­8d.  Además,  la  última  integral  representa   el  momento  de  inercia  del  cuerpo  con  respecto  al  eje  z ,  es  decir,   IP  =  1r  2  dm.  Así,  aMP  =  ­ym(aP)x  +  xm(aP)y  +  IPa (17–6)

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 425

17.2  ECUACIONES  CINÉTICAS  PLANAS  DE  MOVIMIENTO

Es  posible  reducir  esta  ecuación  a  una  forma  más  simple  si  el  punto  P  coincide  con  el   centro  de  masa  G  del  cuerpo.  Si  este  es  el  caso,  entonces  x  =  =  0,  y  y  por  lo  tanto*

y

F4

F1 M1

MG  =  IGa

(17­7) GRAMO

Esta  ecuación  de  movimiento  rotacional  establece  que  la  suma  de  los  momentos   de  todas  las  fuerzas  externas  alrededor  del  centro  de  masa  del  cuerpo  G  es  igual  al   producto  del  momento  de  inercia  del  cuerpo  alrededor  de  un  eje  que  pasa  por  G  y  la   aceleración  angular  del  cuerpo. La  ecuación  17­6  también  se  puede  reescribir  en  términos  de  las  componentes  x  e   y  de  aG  y  el  momento  de  inercia  del  cuerpo  IG.  Si  el  punto  G  está  ubicado  en  (x,  y),   figura  17­8d,  entonces,  por  el  teorema  de  los  ejes  paralelos,  IP  =  IG  +  m(x2  +  y2 ). Sustituyendo  en  la  Ec.  17­6  y  reorganizando  los  términos,  

M2 W X

PAG

F2 Diagrama  de  cuerpo  libre

F3

(mi)

obtenemos  aMP  =  ym[­(aP)x  +  ya]  +  xm[(aP)y  +  xa]  +  IGa  (17­8) Del  diagrama  cinemático  de  la  figura  17­8d,  aP  se  puede  expresar  en  términos  de  aG   como

y

m(aG)y

aG  =  aP  +  A  *  r  ­  v2  r  (aG)x  i  

_ X

+  (aG)y  j  =  (aP)x  i  +  (aP)y  j  +  ak  *  (x  i  +  y  j)  ­  v2  (x  i  +  y  j)

YO  G

Realizando  el  producto  vectorial  e  igualando  los  respectivos  componentes  i  y  j  se   obtienen  las  dos  ecuaciones  escalares (aG)x  =  (aP)x  ­  ya  ­  xv2  (aG)y  

A

GRAMO

_ y

revista)X

=  (aP)y  +  xa  ­  yv2  De  estas   ecuaciones,  [­(aP)x  +  ya]  =  [­(aG)x  ­  xv2 ]  y  [(aP)y  +  xa]  =  [(aG)y  +  yv2 ].  Sustituyendo   estos  resultados  en  la  Ec.  17­8  y  simplificando  da

Figura  17­8  (continuación)

Este  importante  resultado  indica  que  cuando  los  momentos  de  las  fuerzas  externas   que  se  muestran  en  el  diagrama  de  cuerpo  libre  se  suman  con  respecto  al  punto  P,   figura  17­8e,  son  equivalentes  a  la  suma  de  los  “momentos  cinéticos”  de  las   componentes  de  maG  con  respecto  a  P  más  el  “momento  cinético”  de  IG  A,  figura   17­8f.  En  otras  palabras,  cuando  se  calculan  los  “momentos  cinéticos”,  (mk)P,  figura   17­8f,  los  vectores  m(aG)x  y  m(aG)y  se  tratan  como  vectores  deslizantes;  es  decir,   pueden  actuar  en  cualquier  punto  de  su  línea  de  acción.  De  manera  similar,  IG  A   puede  tratarse  como  un  vector  libre  y,  por  lo  tanto,  puede  actuar  en  cualquier  punto.   Sin  embargo,  es  importante  tener  en  cuenta  que  maG  e  IG  A  no  son  lo  mismo  que   una  fuerza  o  un  momento  de  par.  En  cambio,  son  causados  por  los  efectos  externos   de  fuerzas  y  momentos  de  par  que  actúan  sobre  el  cuerpo.  Con  esto  en  mente,  por  lo   tanto,  podemos  escribir  la  Ec.  17­9  en  una  forma  más  general  como PM  =  (mk)P

*También  se  reduce  a  esta  misma  forma  simple  MP  =  IPa  si  el  punto  P  es  un  punto  fijo  (ver ecuación  17­16)  o  la  aceleración  del  punto  P  se  dirige  a  lo  largo  de  la  línea  PG.

diagrama  cinético (F)

aMP  =  ­ym(aG)x  +  xm(aG)y  +  IGa  (17–9)

(17–10)

17 X

PAG

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

Machine Translated by Google

426

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

y

F4

F1 M1

Aplicación  General  de  las  Ecuaciones  de  Movimiento.  Para  resumir  este  análisis,   se  pueden  escribir  tres  ecuaciones  escalares  independientes  para  describir  el   movimiento  plano  general  de  un  cuerpo  rígido  simétrico.

Fx  =  m(aG)x

GRAMO

M2

Fy  =  m(aG)y

W

MG  =  IGa

X

PAG

o

F2

PM  =  (k)P

Diagrama  de  cuerpo  libre

F3

(17–11)

Al  aplicar  estas  ecuaciones,  siempre  se  debe  dibujar  un  diagrama  de  cuerpo   libre,  figura  17­8e,  para  tener  en  cuenta  los  términos  involucrados  en  Fx ,  Fy ,  

(mi)

MG  o  MP.  En  algunos  problemas  también  puede  ser  útil  dibujar  el  diagrama   cinético  del  cuerpo,  figura  17­8f.  Este  diagrama  representa  gráficamente  los   y

términos  m(aG)x ,  m(aG)y  e  IG  A.  Es  especialmente  conveniente  cuando  se  usa   para  determinar  las  componentes  de  maG  y  el  momento  de  estas  componentes   en  (mk)P.*

m(aG)y _ X YO  G

GRAMO

A

revista)X

_

17.3  Ecuaciones  de  movimiento:  traslación

y

17

X

PAG

Cuando  el  cuerpo  rígido  de  la  figura  17­9a  sufre  una  traslación,  todas  las   partículas  del  cuerpo  tienen  la  misma  aceleración.  Además,  A  =  0,  en  cuyo  caso   la  ecuación  de  movimiento  rotacional  aplicada  en  el  punto  G  se  reduce  a  una   forma  simplificada,  a  saber,  MG  =  0.  Ahora  se  discutirá  la  aplicación  de  esto  y   las  ecuaciones  de  fuerza  de  movimiento  para  cada  uno  de  los  dos  tipos  de   traducción.

diagrama  cinético (F) Figura  17­8  (continuación)

Traducción  rectilínea.  Cuando  un  cuerpo  se  somete  a  traslación  rectilínea,  todas   las  partículas  del  cuerpo  (losa)  viajan  a  lo  largo  de  trayectorias  paralelas  en   línea  recta.  Los  diagramas  cinético  y  de  cuerpo  libre  se  muestran  en  la  figura  17­9b. Como  IG  A  =  0,  solo  se  muestra  maG  en  el  diagrama  cinético.  Por  lo  tanto,  las   ecuaciones  de  movimiento  que  se  aplican  en  este  caso  se  convierten  en

F1

F4

Fx  =  m(aG)x

M1

Fy  =  m(aG)y

GRAMO

mg  =  0

F2

M2

(17­12)

F3 (a) *Por  esta  razón,  el  diagrama  cinético  se  utilizará  en  la  solución  de  un  problema  de  ejemplo  siempre  que  se  aplique  MP  =  

Figura  17­9

(k)P .

www.ebook777.com

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

Machine Translated by Google

427

17.3  ECUACIONES  DE  MOVIMIENTO:  TRASLACIÓN

F1

Traducción  rectilínea

d  mag A

M1

=

F4 GRAMO

F2

M2

A GRAMO

W

F3 (b)

También  es  posible  sumar  momentos  respecto  a  otros  puntos  dentro  o  fuera  del   cuerpo,  en  cuyo  caso  se  debe  tener  en  cuenta  el  momento  de  maG .  Por  ejemplo,  si   se  elige  el  punto  A ,  que  se  encuentra  a  una  distancia  perpendicular  d  de  la  línea  de   acción  de  maG,  se  aplica  la  siguiente  ecuación  de  momento: a+MA  =  (k)A;

MA  =  (maG)d

Aquí  la  suma  de  los  momentos  de  las  fuerzas  externas  y  los  momentos  de  par  con   respecto  a  A  (MA,  diagrama  de  cuerpo  libre)  es  igual  al  momento  de  maG  con   respecto  a  A  ((k)A,  diagrama  cinético).

17 t

F1

ar

Ctur vyo  i l t i o a Tr a s mi

norte

Traslación  curvilínea.  Cuando  un  cuerpo  rígido  se  somete  a  traslación  curvilínea,   todas  las  partículas  del  cuerpo  tienen  las  mismas  aceleraciones  a  medida  que  viajan   a  lo  largo  de  trayectorias  curvas ,  como  se  indica  en  la  sección  16.1.  Para  el  análisis,   a  menudo  es  conveniente  usar  un  sistema  de  coordenadas  inerciales  que  tenga  un   origen  que  coincida  con  el  centro  de  masa  del  cuerpo  en  el  instante  considerado  y   ejes  que  estén  orientados  en  las  direcciones  normal  y  tangencial  a  la  trayectoria  del   movimiento,  figura  17­9c. .  Las  tres  ecuaciones  escalares  de  movimiento  son  entonces

norte

F4

M1

M2

F2

GRAMO

B W

norte

F3

Pie  =  m(aG)t

(17–13)

mg  =  0

=

Fn  =  m(aG)n

t

m(ag)t h

Si  los  momentos  se  suman  con  respecto  al  punto  arbitrario  B,  figura  17­9c,  entonces   es  necesario  tener  en  cuenta  los  momentos,  (k)B ,  de  las  dos  componentes  m(aG)n  y   m(aG)t  con  respecto  a  este  punto.  Del  diagrama  cinético,  h  y  e  representan  las   distancias  perpendiculares  (o  “brazos  de  momento”)  desde  B  hasta  las  líneas  de   acción  de  los  componentes.  Por  lo  tanto,  la  ecuación  del  momento  requerido  se   convierte  en

GRAMO

B

m(aG)n

mi

norte

(C)

a+MB  =  (mk)B;

MB  =  e[m(aG)t ]  ­  h[m(aG)n]

Figura  17­9

norte

Machine Translated by Google 428

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

Procedimiento  de  Análisis Los  problemas  cinéticos  que  involucran  la  traslación  de  un  cuerpo  rígido  se  pueden   resolver  mediante  el  siguiente  procedimiento. Diagrama  de  cuerpo  libre.

Primero  se  dibujan  los  diagramas  de  cuerpo   libre  y  cinético  de  este  bote  y  remolque  para  

Establezca  el  sistema  de  coordenadas  inerciales  x,  yon ,  t  y  dibuje  el  diagrama  de   cuerpo  libre  para  tener  en  cuenta  todas  las  fuerzas  externas  y  los  momentos  de  par  

aplicar  las  ecuaciones  de  movimiento. Aquí  las  fuerzas  en  el  diagrama  de  cuerpo   libre  causan  el  efecto  que  se  muestra  en  el  

que  actúan  sobre  el  cuerpo.

diagrama  cinético.  Si  los  momentos  se  suman   alrededor  del  centro  de  masa,  G,  entonces  MG  =  0. Sin  embargo,  si  se  suman  los  momentos   respecto  al  punto  B ,  entonces  c  +MB  =   maG(d).  (©  RC  Hibbeler)

Debe  establecerse  la  dirección  y  el  sentido  de  la  aceleración  del  centro  de  masa  aG   del  cuerpo. Identificar  las  incógnitas  en  el  problema. Si  se  decide  que  la  ecuación  de  movimiento  rotacional  MP  =  (mk)P  se  usará  en  la   solución,  entonces  considere  dibujar  el  diagrama  cinético,  ya  que  representa   gráficamente  los  componentes  m(aG)x ,  m(aG)y  o  m(aG)t ,  m(aG)n  y  por  lo  tanto  es   conveniente  para  “visualizar”  los  términos  necesarios  en  la  suma  de  momentos  (mk)P.

W

Ecuaciones  de  movimiento. Aplique  las  tres  ecuaciones  de  movimiento  de  acuerdo  con  la  convención  de  signos  

17

GRAMO

establecida.

A

B

T

Para  simplificar  el  análisis,  la  ecuación  de  momento  MG  =  0  se  puede  reemplazar  por   la  ecuación  más  general  MP  =  (mk)P,  donde  el  punto  P  generalmente  se  ubica  en  la  

=

N /  A

NÓTESE  BIEN

intersección  de  las  líneas  de  acción  de  tantas  fuerzas  desconocidas  como  sea  posible.

Si  el  cuerpo  está  en  contacto  con  una  superficie  rugosa  y  se  produce  un  deslizamiento,   utilice  la  ecuación  de  fricción  F  =  mkN.  Recuerde,  F  siempre  actúa  sobre  el  cuerpo  

GRAMO

B

d

revista

para  oponerse  al  movimiento  del  cuerpo  relativo  a  la  superficie  con  la  que  hace   contacto. Cinemática. Utilice  la  cinemática  para  determinar  la  velocidad  y  la  posición  del  cuerpo. Para  traslación  rectilínea  con  aceleración  variable =  dvG>dt  aGdsG  =  vGdvG  aG Para  traslación  rectilínea  con  aceleración  constante 2

2

vG  =  (vG)0  +  aGt  vG  =  (vG)0  +  2aG[sG  ­  (sG)0] =  (sG)0  +  (vG)0t  +  2  aGt  sG

1

Para  traducción  curvilínea 2

(aG)n  =  vG >r   (aG)t  =  dvG>dt  (aG)t  dsG  =  vG  dvG

www.ebook777.com

2

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 429

17.3  ECUACIONES  DE  MOVIMIENTO:  TRASLACIÓN

EJEMPLO  17.5 El  automóvil  que  se  muestra  en  la  figura  17­10a  tiene  una  masa  de  2  Mg  y  un  centro   de  masa  en  G.  Determine  la  aceleración  si  las  ruedas  traseras  "motrices"  siempre   patinan,  mientras  que  las  ruedas  delanteras  giran  libremente.  Desprecie  la  masa  de   las  ruedas.  El  coeficiente  de  fricción  cinética  entre  las  ruedas  y  la  carretera  es  mk  =  

GRAMO

0,3  metros

A

0,25.

B   1,25  m  0,75  m (a)

SOLUCIÓN Diagrama  de  cuerpo  libre.  Como  se  muestra  en  la  figura  17­10b,  la  fuerza  de   fricción  FB  de  la  rueda  trasera  empuja  el  automóvil  hacia  adelante  y,  dado  que   ocurre  un  deslizamiento,  FB  =  0.25NB.  Las  fuerzas  de  fricción  que  actúan  sobre  las   ruedas  delanteras  son  cero,  ya  que  estas  ruedas  tienen  una  masa  despreciable.*   Hay  tres  incógnitas  en  el  problema,  NA,  NB  y  aG.  Aquí  sumaremos  momentos   sobre  el  centro  de  masa.  El  automóvil  (punto  G)  acelera  hacia  la  izquierda,  es  decir,   en  la  dirección  x  negativa ,  figura  17­10b.

y AG

X

2000  (9.81)  norte

0,3  metros

GRAMO

Ecuaciones  de  movimiento. S+  Fx  =  m(aG)x;  +  

FB  0.25  NOTA

A

­0.25NB  =  ­(2000  kg)aG

(1)

N /  A

NÓTESE  BIEN

1,25  metros 0,75  metros

NA  +  NB  ­  ­2  0000(9.81)   N  =  0+  NB(0,75m)  =  0  (3) cFy  =  m(aG)y;  (2)  a+MG  =  0;  ­NA(1,25m)   ,25NB(0,3m )   (b)

17

resolver, aG =  1,59  m>s  

2

d

Respuesta

2000  (9.81)  norte

AN  =  6,88  kN NB  =  12,7  kN

0,3  metros

GRAMO

SOLUCIÓN  II

FB  0.25  NOTA

A N /  A

=

Diagramas  de  cuerpo  libre  y  cinéticos.  Si  se  aplica  la  ecuación  del  "momento"  sobre   el  punto  A,  entonces  la  NA  desconocida  se  eliminará  de  la  ecuación.  Para  “visualizar”   el  momento  de  maG  con  respecto  a  A,  incluiremos  el  diagrama  cinético  como  parte   del  análisis,  figura  17­10c.

NÓTESE  BIEN

1,25  metros

Ecuación  de  movimiento.

0,75  metros

2000  AG GRAMO

a+MA  =  (mk)A;

NOTA(2  m)  ­  [2000(9.81)  N](1.25  m)  = (2000  kg)  aG  (0,3  m)

Resolviendo  esto  y  la  Ec.  1  para  aG  conduce  a  una  solución  más  simple  que  la   obtenida  de  las  Ecs.  1  a  3

*Con  una  masa  de  rueda  despreciable,  Ia  =  0  y  la  fuerza  de  fricción  en  A  requerida  para  hacer  girar  la  rueda  es  cero.  Si   se  incluyera  la  masa  de  las  ruedas,  entonces  la  solución  sería  más  complicada,  ya  que  se  tendría  que  considerar  un   análisis  de  movimiento  plano  general  de  las  ruedas  (ver  Sec.  17.5).

0,3  metros

A (C)

Figura  17­10

Machine Translated by Google 430

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

EJEMPLO  17.6 La  motocicleta  que  se  muestra  en  la  figura  17­11a  tiene  una  masa  de  125  kg  y  un  centro   de  masa  en  G1 ,  mientras  que  el  ciclista  tiene  una  masa  de  75  kg  y  un  centro  de  masa.   Determine  el  coeficiente  mínimo  de  fricción  estática  en  G2 .  las  ruedas  y  el   pavimento  para  que  el  ciclista  haga  un  “wheely”,  es  decir,  levante  la  rueda  delantera  del   suelo  como  se  muestra  en  la  foto.  ¿Qué  aceleración  es  necesaria  para  hacer  esto?   Desprecie  la  masa  de  las  ruedas  y  suponga  que  la  rueda  delantera  puede  rodar   libremente.

(©  RC  Hibbeler)

735.75  norte 1226.25  norte

G2 0,3  metros

G1

0,6  metros

B   0,4  m  0,4  m  (a)

pensión  completa

B 0,4  m  0,4  m  Nota

=

17

0,7  m  

A

0,7  metros

A

NA  0

SOLUCIÓN Diagramas  de  cuerpo  libre  y  cinético.  En  este  problema  consideraremos  tanto  a  la   motocicleta  como  al  piloto  como  un  solo  sistema.  Primero  es  posible  determinar  la  

75  kg  AG

ubicación  del  centro  de  masa  para  este  "sistema"  usando  las  ecuaciones  x  =  x  m>m  y   125  kg  AG

0,3  metros

0,6  metros

= el  peso  y  la  masa  de  la  motocicleta  y  el   yy  m>m.  Aquí,  sin  embargo,  consideraremos  

conductor  por  separado,  como  se  muestra  en  los  diagramas  cinético  y  de  cuerpo  libre   de  la  figura  17­11b.  Ambas  partes  se  mueven  con  la  misma  aceleración.  Hemos   supuesto  que  la  rueda  delantera  está  a  punto  de  dejar  el  suelo,  por  lo  que  la  reacción  

B (b)

normal  NA  0. Las  tres  incógnitas  del  problema  son  NB,  FB  y  aG.

Figura  17­11

Ecuaciones  de  movimiento. S+  Fx  =  m(aG)x;

FB  =  (75  kg  +  125  kg)aG

+  cFy  =  m(aG)y;  

NB  ­  735,75  N  ­  1226,25  N  =  0

(1)

a+MB  =  (mk)B;  ­(735,75  N)(0,4  m)  ­  (1226,25  N)(0,8  m)  = ­(75  kg  aG)(0,9  m)  ­  (125  kg  aG)(0,6  m) resolver, AG =  8,95  m>s

2

S

(2)

Respuesta

NB  =  1962  N FB  =  1790  N Por  lo  tanto,  el  coeficiente  mínimo  de  fricción  estática  es

(ms)  min  =

FB   NÓTESE  BIEN

www.ebook777.com

=

1790   norte  =  0,912   1962  norte

Respuesta

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 431

17.3  ECUACIONES  DE  MOVIMIENTO:  TRASLACIÓN

EJEMPLO  17.7 La  viga  BD  de  100  kg  que  se  muestra  en  la  figura  17­12a  está  sostenida  por  dos   varillas  que  tienen  una  masa  despreciable.  Determine  la  fuerza  desarrollada  en   cada  barra  si  en  el  instante  u  =  30,  v  =  6  rad>s.

A

C

V

tu  30

SOLUCIÓN

0,5  metros GRAMO

Diagramas  de  cuerpo  libre  y  cinético.  El  rayo  se  mueve  con  traslación  curvilínea  ya   que  todos  los  puntos  del  rayo  se  mueven  a  lo  largo  de  trayectorias  circulares,  cada   trayectoria  tiene  el  mismo  radio  de  0,5  m,  pero  diferentes  centros  de  curvatura.   Usando  coordenadas  normales  y  tangenciales,  los  diagramas  de  cuerpo  libre  y   cinético  de  la  viga  se  muestran  en  la  figura  17­12b.  Debido  a  la  traslación,  G  tiene   el  mismo  movimiento  que  el  pasador  en  B,  que  está  conectado  tanto  a  la  barra   como  a  la  viga.  Observe  que  la  componente  tangencial  de  la  aceleración  actúa   hacia  abajo  a  la  izquierda  debido  a  la  dirección  de  A  en  el  sentido  de  las  manecillas  

D

B

0,4  metros  0,4  metros (a)

del  reloj,  figura  17­12c.  Además,  la  componente  normal  de  la  aceleración  siempre   está  dirigida  hacia  el  centro  de  curvatura  (hacia  el  punto  A  para  la  barra  AB).  Como   la  velocidad  angular  de  AB  es  6  rad>s  cuando  u  =  30,  entonces

(aG)n  =  v2  r  =  (6  rad>s)2  (0,5  m)  =  18  m>s

2

Las  tres  incógnitas  son  TB,  TD  y  (aG)t .

17 100  kg(aG)n

tuberculosis

30

DT

30

A

30

A

v  6  rad/s

=

GRAMO

un

0,5  metros

0,4  metros

0,4  metros

B

100  kg(ag)t

en

981  norte

(C) (b)

Figura  17­12

Ecuaciones  de  movimiento. +  aFn  =  m(aG)n;  TB  +  TD  ­  981  cos  30  N  =  100  kg  (18  m>s

2

)  (1)  (2)

+  bFt  =  m(aG)t ;  981  sen  30  =  100  kg(aG)t a+MG  =  0;  ­(TB  cos  30)(0,4  m)  +  (TD  cos  30)(0,4  m)  =  0

(3)

La  solución  simultánea  de  estas  tres  ecuaciones  da TB  =  DT  =  1,32  kN (aG)t  =  4,905  m>s

Respuesta

2

NOTA:  También  es  posible  aplicar  las  ecuaciones  de  movimiento  a  lo  largo  de  los   ejes  horizontal  y  vertical  x,  y ,  pero  la  solución  se  vuelve  más  complicada.

Machine Translated by Google

432

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

PROBLEMAS  PRELIMINARES P17–1.  Dibuje  los  diagramas  de  cuerpo  libre  y  cinético  del   objeto  AB.

100  kg

2  metros

5

GRAMO

0,5  metros

3

2  metros

A

100  norte

B

4 0,5  metros

100  kg

GRAMO

B

A 3  metros

1  metro

2  metros

mk  0.2

1  metro

4  rad/s

(a)

(d)

100  kg 100  kg GRAMO

0,5  metros

GRAMO

0,5  metros

A

A

17

2  metros

B 2  metros

2  metros

3  metros

3  rad/s

B

60

1,5  metros

(mi)

(b)

B

100  kg 500  norte

2  metros

A

GRAMO

2  metros

1,5  metros

0,5  metros

100  kg GRAMO

30

A 5

B  mk  0.2

1  metro

3 4

(C)

(F)

problema  P17–1

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 17.3  ECUACIONES  DE  MOVIMIENTO:  TRASLACIÓN

433

P17–2.  Dibuje  los  diagramas  de  cuerpo  libre  y  cinético  del   objeto  de  100  kg.

20  N∙m

O

100  norte

2  rad/s 3  metros

2  metros

(a) v  4  rad/s O

(d)

4  rad/s O 45

17 O 2  metros

v  3  rad/s

3  metros

60  norte

45

(mi) (b)

5  metros

O 1  metro 2  metros

2  rad/s O

k  6  N/m

4  metros

2  rad/s 3  metros

30  N∙m

La  longitud  del  resorte  sin  estirar  es  de  1  m. (F)

(C)

problema  P17–2

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

Machine Translated by Google

434

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

PROBLEMAS  FUNDAMENTALES F17–1.  El  carro  y  su  carga  tienen  una  masa  total  de  100  kg. Determine  la  aceleración  del  carro  y  las  reacciones  normales  en  el  par  de   ruedas  en  A  y  B.  Desprecie  la  masa  de  las  ruedas.

Además,  ¿cuál  es  la  reacción  normal  correspondiente  en  las  patas  A  y  B?  La   mesa  de  100@kg  tiene  un  centro  de  masa  en  G  y  el  coeficiente  de  fricción  

100  norte

3

F17–4.  Determine  la  aceleración  máxima  del  camión  sin  que  el  conjunto  se   mueva  en  relación  con  el  camión.

estática  entre  las  patas  de  la  mesa  y  la  plataforma  del  camión  es  ms  =  0.2.

5 4

0,6  metros  0,9  metros

1,2  metros

GRAMO

a

GRAMO

0,75  metros

A

B

0,5  metros

B

A

0,3  metros  0,4  metros

problema  F17–4

problema  F17–1

0,6  metros

F17–2.  Si  se  permite  que  el  gabinete  de  80  kg  ruede  por  el  plano  inclinado,  

F17–5.  En  el  instante  que  se  muestra,  ambas  barras  de  masa  despreciable  

determine  la  aceleración  del  gabinete  y  las  reacciones  normales  en  el  par  de  

giran  con  una  velocidad  angular  en  sentido  antihorario  de  v  =  5  rad>s,  mientras  

rodillos  en  A  y  B  que  tienen  masa  despreciable.

que  la  barra  de  50  @  kg  está  sujeta  a  la  fuerza  horizontal  de  100  @  N.   Determine  la  tensión  desarrollada  en  las  varillas  y  la  aceleración  angular  de  las   varillas  en  este  instante.

17

A

C v  5  rad/s

GRAMO

1,5  metros

1,5  metros

15

D

100  N  B

A

GRAMO

B

0,5  metros

problema  F17–

0,5  metros

2  F17–3.  El  eslabón  AB  de  20  lb  está  sujeto  a  un  marco  móvil  en  A  y  se  

1  metro

1  metro

problema  F17–5

F17–6.  En  el  instante  que  se  muestra,  el  eslabón  CD  gira  con  una  velocidad  

mantiene  en  posición  vertical  por  medio  de  una  cuerda  BC  que  puede  soportar  

angular  de  v  =  6  rad>s.  Si  se  somete  a  un  momento  de  par  M  =  450  N  #  m,  

una  tensión  máxima  de  10  lb.  Determine  la  aceleración  máxima  del  marco  sin  

determine  la  fuerza  desarrollada  en  el  eslabón  AB,  las  componentes  horizontal  

romper  la  cuerda.  ¿ Cuáles  son  los  componentes  correspondientes  de  la  reacción  

y  vertical  de  reacción  en  el  pasador  D  y  la  aceleración  angular  del  eslabón  CD  

en  el  pasador  A?

en  este  instante.  El  bloque  tiene  una  masa  de  50  kg  y  un  centro  de  masa  en  G. Desprecie  la  masa  de  los  enlaces  AB  y  CD. 0,1  metros 0,6  metros

A

a A

B

3  pies 0,4  metros

C GRAMO

4  pies

0,4  metros

D

v  6  rad/s

C

B 3  pies

problema  F17–3

www.ebook777.com

M  450  Nm

problema  F17–6

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 435

17.3  ECUACIONES  DE  MOVIMIENTO:  TRASLACIÓN

PROBLEMAS *17–24.  La  puerta  tiene  un  peso  de  200  lb  y  un  centro  de  gravedad  en  G.  

17–27.  El  automóvil  deportivo  tiene  un  peso  de  4500  lb  y  un  centro  de  gravedad  

Determine  cuánto  se  mueve  la  puerta  en  2  s,  partiendo  del  reposo,  si  un  hombre  

en  G.  Si  parte  del  reposo,  hace  que  las  ruedas  traseras  patinen  a  medida  que  

la  empuja  en  C  con  una  fuerza  horizontal  F  =  30  lb.  Además,  encuentre  las  

acelera.  Determine  cuánto  tiempo  le  toma  alcanzar  una  velocidad  de  10  ft>s.  

reacciones  verticales  en  los  rodillos  A  y  B.

Además,  ¿cuáles  son  las  reacciones  normales  en  cada  una  de  las  cuatro  ruedas   en  la  carretera? Los  coeficientes  de  fricción  estática  y  cinética  en  la  carretera  =  0,5  y  mk  =  0,3,  

17–25.  La  puerta  tiene  un  peso  de  200  lb  y  un  centro  de  gravedad  en  G.   Determine  la  fuerza  constante  F  que  se  debe  aplicar  a  la  puerta  para  abrirla  12  

respectivamente.  Desprecie  la  masa  are  ms  de  las  ruedas.

pies  hacia  la  derecha  en  5  s,  partiendo  del  reposo.  Además,  encuentre  las   reacciones  verticales  en  los  rodillos  A  y  B. GRAMO

2,5  pies

6  pies

6  pies

A

2  pies

4  pies

B

B

A

problema  17–27

*17–28.  El  conjunto  tiene  una  masa  de  8  Mg  y  se  iza  mediante  el  sistema  de   pluma  y  polea.  Si  el  cabrestante  en  B  jala  el  cable  con  una  aceleración  de  2   m>s2,  determine  la  fuerza  de  compresión  en  el  cilindro  hidráulico  necesaria  para  

C

12  pies

GRAMO

sostener  la  pluma.  La  pluma  tiene  una  masa  de  2  Mg  y  un  centro  de  masa  en  G.

F

5  pies

17–29.  El  conjunto  tiene  una  masa  de  4  Mg  y  se  eleva  con  el  cabrestante  en  B.  

3  pies

Determine  la  mayor  aceleración  del  conjunto  para  que  la  fuerza  de  compresión   en  el  cilindro  hidráulico  que  sostiene  la  pluma  no  exceda  los  180  kN.  ¿Cuál  es  la   tensión  en  el  cable  de  apoyo?  La  pluma  tiene  una  masa  de  2  Mg  y  un  centro  de   masa  en  G.

problemas  17–24/25

17–26.  El  avión  a  reacción  tiene  una  masa  total  de  22  Mg  y  un  centro  de  masa   en  G.  Inicialmente,  en  el  despegue,  los  motores  proporcionan  un  empuje  de  2T   =  4  kN  y  T  =  1,5  kN.  Determina  el

6  metros

aceleración  del  avión  y  las  reacciones  normales  en  la  rueda  de  morro  en  A  y   cada  una  de  las  dos  ruedas  de  ala  ubicadas  en  B.  Desprecie  la  masa  de  las   ruedas  y,  debido  a  la  baja  velocidad,  desprecie  cualquier  sustentación  causada  

2  metros

GRAMO

por  las  alas. C

4  metros

B 60 T¿

2,5  metros

GRAMO

2T

1  metro

AD

1,2  metros

2,3  metros

B  

A

3m  6m 2  metros

problema  17–26

problemas  17–28/29

17

Machine Translated by Google

436

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

17–30.  La  viga  uniforme  AB  tiene  una  masa  de  8  Mg. Determine  las  cargas  internas  axial,  cortante  y  de  momento  flexionante  en   el  centro  de  la  viga  si  una  grúa  le  da  una  aceleración  hacia  arriba  de  3   m>s2.

3  m/s

*17–32.  Se  aplica  una  fuerza  de  P  =  300  N  al  carro  de  60  kg. Determine  las  reacciones  en  ambas  ruedas  en  A  y  en  ambas las  ruedas  en  B.  Además,  ¿cuál  es  la  aceleración  del  carro? El  centro  de  masa  del  carro  está  en  G.

2 PAG

C 30

GRAMO

0,4  metros 0,3  metros

A 60

60

A

4  metros

B

0,3  metros

0,2  metros

B 0,08  metros

problema  17–32

problema  17–30

17 17–31.  Un  automóvil  que  pesa  4000  lb  comienza  a  patinar  y  girar  con  los   frenos  aplicados  en  las  cuatro  ruedas.  Si  el  coeficiente  de  rozamiento   cinético  entre  las  ruedas  y  el  camino  es  mk  =  0.8,  determine  la  altura  crítica   máxima  h  del  centro  de  gravedad  G  tal  que  el  automóvil  no  vuelque.  El   vuelco  comenzará  a  ocurrir  después  de  que  el  automóvil  gire  90°  desde  su   dirección  original  de  movimiento  y,  como  se  muestra  en  la  figura,   experimente  traslación  mientras  patina.  Sugerencia:  dibuje  un  diagrama  

17–33.  Determine  la  mayor  fuerza  P  que  se  puede  aplicar  al  carro  de  60   kg,  sin  causar  que  una  de  las  reacciones  de  las  ruedas,  ya  sea  en  A  o  en   B,  sea  cero.  Además,  ¿cuál  es  la  aceleración  del  carro?  El  centro  de  masa   del  carro  está  en  G.

de  cuerpo  libre  del  automóvil  visto  desde  el  frente.  Cuando  se  produce  un   vuelco,  las  reacciones  normales  de  las  ruedas  del  lado  derecho  (o  del  lado   del  pasajero)  son  cero.

PAG

z 30

GRAMO

0,4  metros 0,3  metros

GRAMO

2,5  pies X 2,5  pies

B

A

h  

0,3  metros

0,2  metros

y 0,08  metros

problema  17–33

problema  17–31

www.ebook777.com

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

Machine Translated by Google

17.3  ECUACIONES  DE  MOVIMIENTO:  TRASLACIÓN

437

17–34.  El  remolque  con  su  carga  tiene  una  masa  de  150  kg  y  un  centro  de  masa  

17–37.  La  caja  uniforme  de  150  kg  descansa  sobre  el  carro  de  10  kg.

en  G.  Si  está  sujeto  a  una  fuerza  horizontal  de  P  =  600  N,  determine  la  

Determine  la  fuerza  máxima  P  que  se  puede  aplicar  al  asa  sin  que  la  caja  se  

aceleración  del  remolque  y  la  fuerza  normal  sobre  el  par  de  ruedas  en  A  y  en  B.  

vuelque  sobre  el  carro.  No  se  produce  deslizamiento.

Las  ruedas  ruedan  libremente  y  su  masa  es  despreciable.

0,5  metros

GRAMO

PAG

P  600  N

1,25  metros

1  metro

0,25  metros

0,25  metros

0,5  metros

A

B

1,25  metros 0,75  metros

problema  17–34

problema  17–37

17–35.  El  escritorio  tiene  un  peso  de  75  lb  y  un  centro  de  gravedad  en  G.   17

Determine  su  aceleración  inicial  si  un  hombre  lo  empuja  con  una  fuerza  F  =  60   lb.  El  coeficiente  de  fricción  cinética  en  A  y  B  es  mk  =  0.2.

*17–36.  El  escritorio  tiene  un  peso  de  75  lb  y  un  centro  de  gravedad  en  G.  

17–38.  La  caja  uniforme  de  150  kg  descansa  sobre  el  carro  de  10  kg.

Determine  la  aceleración  inicial  de  un  escritorio  cuando  el  hombre  aplica  

Determine  la  fuerza  máxima  P  que  se  puede  aplicar  al  asa  sin  que  la  caja  se  

suficiente  fuerza  F  para  vencer  la  fricción  estática  en  A  y  B.  Además,  encuentre  

deslice  o  vuelque  sobre  el  carrito. El  coeficiente  de  fricción  estática  entre  la  caja  y  el  carro  es  ms  =  0,2.

las  reacciones  verticales  en  cada  uno  de  los  dos  patas  en  A  y  en  B.  Los   coeficientes  de  fricción  estática  y  cinética  en  A  y  B  son  ms  =  0.5  y  mk  =  0.2,   respectivamente.

0,5  metros

PAG

F

1  pie

30

1  metro

GRAMO

2  pies A

B

2  pies

problemas  17–35/36

2  pies

problema  17–38

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

Machine Translated by Google

438

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

17–39.  La  barra  tiene  un  peso  por  longitud  w  y  está  sostenida  por  el  collar  

17–42.  La  caja  uniforme  tiene  una  masa  de  50  kg  y  descansa  sobre  el  carro  

liso.  Si  se  suelta  desde  el  reposo,  determine  la  fuerza  normal  interna,  la  

que  tiene  una  superficie  inclinada.  Determine  la  aceleración  más  pequeña  

fuerza  cortante  y  el  momento  flexionante  en  la  barra  en  función  de  x.

que  hará  que  la  caja  se  vuelque  o  se  deslice  en  relación  con  el  carrito.   ¿Cuál  es  la  magnitud  de  esta  aceleración?  El  coeficiente  de  fricción  estática   entre  la  caja  y  el  carro  es  ms =  0,5.

0,6  metros

30

F

X

1  metro

15

problema  17–39

17

problema  17–42

*17–40.  El  tubo  liso  de  180  lb  tiene  una  longitud  de  20  pies  y  un  diámetro   despreciable.  Se  transporta  en  un  camión  como  se  muestra. Determine  la  aceleración  máxima  que  puede  tener  el  camión  sin  que  la   reacción  normal  en  A  sea  cero. Determine  también  las  componentes  horizontal  y  vertical  de  la  fuerza  que  

17–43.  Determine  la  aceleración  del  gabinete  de  150  lb

ejerce  el  camión  sobre  la  tubería  en  B.

y  la  reacción  normal  debajo  de  las  patas  A  y  B  si  P  =  35  lb. Los  coeficientes  de  fricción  estática  y  cinética  entre  los

17–41.  El  tubo  liso  de  180  lb  tiene  una  longitud  de  20  pies  y  un  diámetro   despreciable.  Se  transporta  en  un  camión  como  se  muestra.  Si  el  camión   2

, acelera  a  =  5  ft>s,  determine  la  reacción  normal   en  A  y  las  componentes  de  

gabinete  y  el  plano  son  ms  =  0.2  y  mk  =  0.15,  respectivamente.  El  centro   de  gravedad  del  gabinete  está  ubicado  en  G.

fuerza  horizontal  y  vertical  que  el  camión  ejerce  sobre  la  tubería  en  B.

1  pie

1  pie

20  pies

A 5  pies PAG GRAMO

B 4  pies

3.5  pies

A

12  pies

problemas  17–40/41

problema  17–43

www.ebook777.com

B

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 439

17.3  ECUACIONES  DE  MOVIMIENTO:  TRASLACIÓN

*17–44.  La  barra  uniforme  de  masa  m  está  unida  por  un  pasador  al  collarín,  que  

17–47.  La  moto  de  nieve  tiene  un  peso  de  250  lb,  centrado  en  G1,  mientras  que  

se  desliza  a  lo  largo  de  la  barra  horizontal  lisa.  Si  al  collar  se  le  da  una  aceleración  

el  ciclista  tiene  un  peso  de  150  lb,  centrado  en  G2.

constante  de  a,  determine  el  ángulo  de  inclinación  de  la  barra  u.  Desprecie  la  

Si  la  aceleración  es  a  =  20  ft>s,  determine  la  a,ltura  máxima  h  de  G2  del  conductor  

masa  del  collar.

para  que  el  patín  delantero  de  la  motonieve  no  se  levante  del  suelo.  Además,  

2

¿cuáles  son  la  fuerza  de  tracción  (horizontal)  y  la  reacción  normal  debajo  de  las   orugas  traseras  en  A?

a

A

*17–48.  La  moto  de  nieve  tiene  un  peso  de  250  lb,  centrado  en  G1,  mientras  que   el  ciclista  tiene  un  peso  de  150  lb,  centrado  en  G2. Si  h  =  3  pies,  determine  la  aceleración  máxima  permisible  de  la  moto  de  nieve  a   para  que  su  patín  delantero  no  se  levante  del  suelo.  Además,  encuentre  la  fuerza   de  tracción  (horizontal)  y  la  reacción  normal  debajo  de  las  orugas  traseras  en  A.

tu

L

0,5  pies

a

G2 G1 problema  17–44

h 1  pie

A 17

1,5  pies

problemas  17–47/48 17–45.  La  compuerta  abatible  al  final  del  remolque  tiene  una  masa  de  1.25  Mg  y   un  centro  de  masa  en  G.  Si  está  sostenida  por  el  cable  AB  y  la  bisagra  en  C,   determine  la  tensión  en  el  cable  cuando  el  camión  comienza  a  acelerar  a  5  m>  

17–49.  Si  la  masa  del  carro  es  de  30  kg  y  está  sujeto  a  una  fuerza  horizontal  de  

s2.  Además,  ¿cuáles  son  las  componentes  horizontal  y  vertical  de  la  reacción  en  

P  =  90  N,  determine  la  tensión  en  la  cuerda  AB  y  las  componentes  horizontal  y  

la  bisagra  C?

vertical  de  la  reacción  en  el  extremo  C  de  la  varilla  uniforme  BC  de  15  kg .

17–46.  La  compuerta  abatible  al  final  del  remolque  tiene  una  masa  de  1.25  Mg  y  

17–50.  Si  la  masa  del  carro  es  de  30  kg,  determine  la  fuerza  horizontal  P  que  

un  centro  de  masa  en  G.  Si  está  sostenida  por  el  cable  AB  y  la  bisagra  en  C,  

debe  aplicarse  al  carro  para  que  la  cuerda  AB  se  afloje.  La  barra  uniforme  BC  

determine  la  desaceleración  máxima  del  camión  para  que  la  compuerta  no  

tiene  una  masa  de  15  kg.

comience  a  girar.  adelante.  ¿ Cuáles  son  las  componentes  horizontal  y  vertical   de  la  reacción  en  la  bisagra  C?

A

30 1  metro

B

B

30 G   1  metro

C

C

30

PAG

1,5  metros

45 problemas  17–45/46

problemas  17–49/50

Machine Translated by Google

440

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

17–51.  El  tubo  tiene  una  masa  de  800  kg  y  está  siendo  remolcado  detrás   del  camión.  Si  la  aceleración  del  camión  es,  determine  el  ángulo  u  y  la   en =  0,5  m>s

2

, tensión  en  el  cable.  El  coeficiente  de  fricción  cinética  

entre  la  tubería  y  el  suelo  es  mk =  0,1.

17–53.  La  caja  C  tiene  un  peso  de  150  lb  y  descansa  sobre  el   montacargas  cuyo  coeficiente  de  fricción  estática  es  =  0.4.  Determine  la   EM mayor  aceleración  angular  inicial  a,  partiendo  del  reposo,  que  pueden  

tener  los  eslabones  paralelos  AB  y  DE  sin  que  la  caja  se  deslice.  No  se   producen  propinas.

en B B

a

30  

A

A

2  pies

45

C

mi GRAMO

tu

a

0,4  metros

2  pies

D

C

problema  17–51

problema  17–53

17

*17–52.  La  tubería  tiene  una  masa  de  800  kg  y  está  siendo  remolcada   por  un  camión.  Si  el  ángulo  u  =  30,  determine  la  aceleración  del  camión   y  la  tensión  en  el  cable.

17–54.  La  caja  C  tiene  un  peso  de  150  lb  y  descansa  sobre  el   montacargas.  Determine  la  fricción  inicial  y  la  fuerza  normal  del  elevador  

El  coeficiente  de  fricción  cinética  entre  la  tubería  y  el  suelo  es  mk  =  0,1.

sobre  la  caja  si  a  los  eslabones  paralelos  se  les  da  una  aceleración   2

angular  a  =  2  rad>s

partiendo  del  reposo.

en B B

a

30  

A

A

2  pies

45

mi GRAMO

tu

a

0,4  metros

2  pies

C

problema  17–52

problema  17–54

www.ebook777.com

D

C

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 441

17.4  ECUACIONES  DE  MOVIMIENTO:  ROTACIÓN  SOBRE  UN  EJE  FIJO

17–55.  La  caja  uniforme  C  de  100  kg  descansa  sobre  el  piso  del  elevador  

*17–56.  Las  dos  barras  uniformes  de  4  kg  DC  y  EF  están  fijas  (soldadas)  

donde  el  coeficiente  de  fricción  estática  es  ms  =  0.4.

juntas  en  E.  Determine  la  fuerza  normal  NE,  la  fuerza  cortante  VE  y  el  

Determine  la  mayor  aceleración  angular  inicial  a,  partiendo  del  reposo  en  

momento  ME,  que  DC  ejerce  sobre  EF  en  E  si  en  el  instante  u  =  60  BC  

u  =  90,  sin  que  la  caja  se  deslice.  No  se  producen  propinas.

tiene  una  velocidad  angular v  =  2  rad>s  y  una  aceleración  angular  a  =  4  rad>s  como  se  muestra.

2

F

1,5  metros 0,6  metros

mi D

C

1,2  metros

C mi

B

1,5  metros

2  metros

2  metros

17

1,5  metros

D

tu

a

A

a  4  rad/s2  v  2  

tu  60

tu

B

A

problema  17–55

problema  17–56

17.4  Ecuaciones  de  movimiento:  Rotación

F3

sobre  un  eje  fijo

Considere  el  cuerpo  rígido  (o  losa)  que  se  muestra  en  la  figura  17­13a,  que  está   obligado  a  girar  en  el  plano  vertical  alrededor  de  un  eje  fijo  perpendicular  a  la  página   y  que  pasa  por  el  pasador  en  O.  La  velocidad  angular  y  la  aceleración  angular  son   causadas  por  el  sistema  de  fuerza  externa  y  momento  de  par  que  actúa  sobre  el   cuerpo.  Debido  a  que  el  centro  de  masa  G  del  cuerpo  se  mueve  alrededor  de  una   trayectoria  circular,  la  aceleración  de  este  punto  se  representa  mejor  mediante  sus   componentes  tangencial  y  normal.  La  componente  tangencial  de  la  aceleración  tiene   una  magnitud  de  (aG)t  =  arG  y  debe  actuar  en  una  dirección  que  sea  consistente  con   la  aceleración  angular  A  del  cuerpo. La  magnitud  de  la  componente  normal  de  la  aceleración  es  (aG)n  =  v2  rG. Esta  componente  siempre  está  dirigida  desde  el  punto  G  al  O,  independientemente   del  sentido  de  rotación  de  V.

rad/s

A V

M1 M2

F2 (aG)t

GRAMO

RG

(aG)n

O

F1 (a)

Figura  17­13

F4

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

Machine Translated by Google 442

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

F3 A V

M1 M2

F2 (aG)t

F4

GRAMO

O

Los  diagramas  de  cuerpo  libre  y  cinético  del  cuerpo  se  muestran  en  la  figura  17­13b. Las  dos  componentes  m(aG)t  y  m(aG)n ,  que  se  muestran  en  el  diagrama  cinético,   están  asociadas  con  las  componentes  tangencial  y  normal  de  la  aceleración  del  centro   de  masa  del  cuerpo.  El  vector  IG  A  actúa  en  la  misma  dirección  que  A  y  tiene  una   magnitud  de  IGa,  donde  IG  es  el  momento  de  inercia  del  cuerpo  calculado  alrededor   de  un  eje  que  es  perpendicular  a  la  página  y  pasa  por  G.  De  la  derivación  dada  en  la   Sec.  17.2,  las  ecuaciones  de  movimiento  que  se  aplican  al  cuerpo  se  pueden  escribir   en  la  forma

rG   (aG)n

Fn  =  m(aG)n  =  mv2  rG Ft  =  m(aG)t  =  marG

F1

(17­14)

MG  =  IGa

(a)

La  ecuación  de  momentos  puede  ser  reemplazada  por  una  suma  de  momentos   sobre  cualquier  punto  P  arbitrario  dentro  o  fuera  del  cuerpo,  siempre  que  se  tengan  en   cuenta  los  momentos  (mk)P  producidos  por  IG  A,  m(aG)t  y  m(aG)n  sobre  el  punto . Ecuación  de  momento  sobre  el  punto  O.  A  menudo  es  conveniente  sumar  momentos   sobre  el  pasador  en  O  para  eliminar  la  fuerza  desconocida  FO.  Del  diagrama  cinético   de  la  figura  17­13b,  esto  requiere  a+MO  =  (mk)O;  Tenga  en  cuenta  que   17

F3

el  momento  de  m(aG)n  

MO  =  rGm(aG)t  +  IGa

(17–15)

no  se  incluye  aquí  ya  que  la  línea  de  acción  de  este  vector  pasa  por  O.  Sustituyendo  

M1

(aG)t  =  rGa,  podemos  reescribir  la  ecuación  anterior  como  a+MO  =  (IG  +  mrG )  a.  Del   2 teorema  de  los  ejes  paralelos,  IO  =  IG  +  md2  y,  por  lo  tanto,  el  término  entre  paréntesis   representa  el  momento  de  inercia  del   , cuerpo  con  respecto  al  eje  fijo  de  rotación  que  

M2

F2

GRAMO

F4 W

pasa  por  O.*  En  consecuencia,  podemos  escribir  las  tres  ecuaciones  de  movimiento   del  cuerpo  como

O

FO

F1

Fn  =  m(aG)n  =  mv2  rG Ft  =  m(aG)t  =  marG

(17­16)

=

MO  =  IOa

AIG m(ag)t GRAMO

Cuando  use  estas  ecuaciones,  recuerde  que ;IOa  www.ebook777.com 17.4  ECUACIONES  DE  MOVIMIENTO:  ROTACIÓN  SOBRE  UN  EJE  FIJO

443

Procedimiento  de  Análisis Los  problemas  cinéticos  que  involucran  la  rotación  de  un  cuerpo  alrededor  de  un  eje   fijo  se  pueden  resolver  mediante  el  siguiente  procedimiento. Diagrama  de  cuerpo  libre. Establezca  el  sistema  de  coordenadas  inercial  n,  t  y  especifique  la  dirección  y   sentido  de  las  aceleraciones  (aG)n  y  (aG)t  y  la  aceleración  angular  A  del  cuerpo.   Recuerde  que  (aG)t  debe  actuar  en  una  dirección  que  esté  de  acuerdo  con  el   sentido  de  rotación  de  A,  mientras  que  (aG)n  siempre  actúa  hacia  el  eje  de   rotación,  el  punto  O. Dibuje  el  diagrama  de  cuerpo  libre  para  tener  en  cuenta  todas  las  fuerzas  externas   y  los  momentos  de  par  que  actúan  sobre  el  cuerpo. Determine  el  momento  de  inercia  IG  o  IO. Identificar  las  incógnitas  en  el  problema. T

Si  se  decide  que  se  utilizará  la  ecuación  de  movimiento  rotacional  MP  =  (mk)P ,   es  decir,  P  es  un  punto  distinto  de  G  u  O,  entonces  considere  dibujar  el   diagrama  cinético  para  ayudar  a  “visualizar”  los  “momentos”  desarrollado  por  los  

GRAMO

componentes  m(aG)n ,  m(aG)t  e  IG  A  al  escribir  los  términos  para  la  suma  de   momentos  (mk)P.

METRO

Buey

W

O

17

Oye

Ecuaciones  de  movimiento.

=

Aplique  las  tres  ecuaciones  de  movimiento  de  acuerdo  con  la  convención  de   m(ag)t

signos  establecida.

AIG

Si  los  momentos  se  suman  con  respecto  al  centro  de  masa  del  cuerpo,  G,  entonces   MG  =  IGa,  ya  que  (maG)t  y  (maG)n  no  crean  ningún  momento  con  respecto  a  G.

GRAMO

m(aG)n

Si  se  suman  los  momentos  con  respecto  al  soporte  del  pasador  O  en  el  eje  de   rotación,  entonces  (maG)n  no  crea  ningún  momento  con  respecto  a  O,  y  se  puede  

O

d

demostrar  que  MO  =  IOa. Cinemática. Utilice  la  cinemática  si  no  se  puede  obtener  una  solución  completa  estrictamente  a   partir  de  las  ecuaciones  de  movimiento.

Si  la  aceleración  angular  es  variable,  utilice un  =

dv

du  

a  du  =  v  dv  v  =

dt

dt

Si  la  aceleración  angular  es  constante,  utilice v  =

v0  +  acto 1

2

u  =  u0  +  v0t  +  2  acto  v2   =  2  +  2ac(u  ­  u0)  v0

La  manivela  de  la  plataforma  de  bombeo  de   petróleo  experimenta  una  rotación  alrededor  de  un   eje  fijo  que  es  causado  por  un  par  motor  M  del   motor.  Las  cargas  que  se  muestran  en  el  diagrama   de  cuerpo  libre  provocan  los  efectos  que  se   muestran  en  el  diagrama  cinético.  Si  los  momentos   se  suman  alrededor  del  centro  de  masa,  G,   entonces  MG  =  IGa.  Sin  embargo,  si  se  suman  los   momentos  respecto  al  punto  O,  observando  que   (aG)t  =  ad,  entonces  a+MO  =  IGa+  m(aG)td  +   m(aG)n(0)  =  (IG  +  md2 )a  =  IOa.  (©  RC  Hibbeler)

Machine Translated by Google

444

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

EJEMPLO  17.8 El  volante  desbalanceado  de  50  lb  que  se  muestra  en  la  figura  17­14a  tiene  un   radio  de  giro  de  kG  =  0.6  pies  alrededor  de  un  eje  que  pasa  por  su  centro  de  masa  G.

0,5  pies

O

Si  se  suelta  desde  el  reposo,  determine  las  componentes  horizontal  y   vertical  de  la  reacción  en  el  pasador  O.

GRAMO

SOLUCIÓN Diagramas  de  cuerpo  libre  y  cinéticos.  Como  G  se  mueve  en  una  trayectoria  circular,  tendrá   componentes  de  aceleración  tanto  normal  como  tangencial.

Además,  dado  que  a,  que  es  causada  por  el  peso  del  volante,  actúa  en  el  sentido  de  las  

(a)

agujas  del  reloj,  la  componente  tangencial  de  la  aceleración  debe  actuar  hacia  abajo.  ¿Por  qué? Como  v  =  0,  solo  m(aG)t  =  marG  e  IGa  se  muestran  en  el  diagrama  cinético  de  la  figura   17­14b.  Aquí,  el  momento  de  inercia  con  respecto  a  G  es )(0,6  pies)2  =  0,559  slug  #   =  mkG

2

2

=  (50  lb>32,2  pies>s  IG   pies2

Las  tres  incógnitas  son  On ,  Ot  y  a. Ecuaciones  de  movimiento.  d+   Fn  =  mv2  rG; +  TFt  =  marG;

norte

­Ot  +  50  lb  =  a  50  lb

17

c+MG  =  IGa; 0,5  pies

Respuesta

encendido  =  0

32,2  ft>s   2  b(a)(0,5  pies)

(1)

Ot  (0,5  ft)  =  (0,5590  slug  #  ft2 )a

t

resolver, O GRAMO

En

a  =  26,4  rad>s

2

Ot  =  29,5  libras

Respuesta

Los  momentos  también  se  pueden  sumar  con  respecto  al  punto  O  para  eliminar   On  y  Ot  y  así  obtener  una  solución  directa  para  A,  figura  17­14b.  Esto  se  puede   hacer  de  una  de  dos  maneras.

Antiguo  Testamento

50  libras

=

c+MO  =  (mk)O; RG IGa

(50  lb)(0,5  pies)  =  (0,5590  slug  #  ft2 )a  +  aprox.  50  lb 32,2  pies>s   2  ba  (0,5  pies)  d  (0,5  pies) 50  libras  (0,5  pies)  =  0,9472a

OG

marG

IO  =  IG  +  mrG (b)

Figura  17­14

(2)

Si  se  aplica  MO  =  IOa ,  entonces,  por  el  teorema  de  los  ejes  paralelos,  el   momento  de  inercia  del  volante  con  respecto  a  O  es 2

=  0,559  +  a  50  32,2   b(0,5)2  =  0,9472  slug  #  ft2

Por  eso, c+MO  =  IOa;  (50  lb)(0,5  pies)  =  (0,9472  slug  #  ft2 )a  que  es  lo  mismo   que  la  ecuación.  2.  Resolviendo  para  a  y  sustituyendo  en  la  ecuación.  1  da  la  respuesta  para   Ot  obtenida  previamente.

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 445

17.4  ECUACIONES  DE  MOVIMIENTO:  ROTACIÓN  SOBRE  UN  EJE  FIJO

EJEMPLO  17.9 En  el  instante  que  se  muestra  en  la  figura  17­15a,  la  barra  delgada  de  20  kg  tiene  una   velocidad  angular  de  v  =  5  rad>s.  Determine  la  aceleración  angular  y  las  componentes  de   reacción  horizontal  y  vertical  del  pasador  sobre  la  varilla  en  este  instante.

O

60  N∙m v  5  rad/s 3  metros

(a)

SOLUCIÓN

60  N∙m

En

Diagramas  de  cuerpo  libre  y  cinéticos.  Figura  17­15b.  Como  se  muestra  en  el  diagrama  

O

cinético,  el  punto  G  se  mueve  alrededor  de  una  trayectoria  circular,  por  lo  que  tiene  dos   componentes  de  aceleración.  Es  importante  que  la  tangencial  arG  actúe  hacia  abajo  ya  que  

Antiguo  Testamento

1,5  metros

= debe  estar  de  acuerdo  con  el  componente  en  el  sentido  de  rotación  

incógnitas  son  On ,  Ot  y  a. Ecuación  de  movimiento.  d+   Fn  =  mv2  rG;  +  TFt  =  

Encendido  =  (20  kg)(5  rad>s)2  (1,5  m)

marG;  c+MG  =  IGa;  

­Ot  +  20(9,81)N  =  (20  kg)(a)(1,5  m)

Resolviendo

Ot  (1,5  m)  +  60  N  #  m  =  3  1  12(20   kg)(3  m)2  4a

On  =  750  N  Ot  =  19,05  N  a  =  5,90  rad>s

O

2

marG Respuesta

(b)

Aquí, c+MO  =  (mk)O;  60  N  #  m  +  20(9,81)  N(1,5  m)  =  3  1  12(20  kg)(3  m)2   4a   +  [20  kg(a)(1,5  m)](1,5  m)

Además,  dado  que  IO  =

Respuesta

ml2  para  una  barra  delgada,  podemos  aplicar

1  3

c+MO  =  IOa;  60  N  #  m  +  20(9,81)  N(1,5  m)  =  3  1  3(20  kg)(3  m)2  4a a  =  5,90  rad>s

2

Respuesta

NOTA:  En  comparación,  la  última  ecuación  brinda  la  solución  más  simple  para  a  y  no   requiere  el  uso  del  diagrama  cinético.

GRAMO

RG

para  eliminar  On  y  Ot  y  obtener  una  solución  directa  para  a.

2

17 AIG

mv2  rg

Una  solución  más  directa  a  este  problema  sería  sumar  momentos  con  respecto  al  punto  O  

a  =  5,90  rad>s

20(9.81)  norte

=

de  A.  Las  tres  

GRAMO

Figura  17­15

Machine Translated by Google 446

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

EJEMPLO  17.10 El  tambor  que  se  muestra  en  la  figura  17­16a  tiene  una  masa  de  60  kg  y  un  radio   de  giro  kO  =  0.25  m.  Una  cuerda  de  masa  despreciable  se  enrolla  alrededor  de  la   periferia  del  tambor  y  se  une  a  un  bloque  que  tiene  una  masa  de  20  kg. Si  se  suelta  el  bloque,  determine  la  aceleración  angular  del  tambor.

0,4  mO A

SOLUCIÓN Diagrama  de  cuerpo  libre.  Aquí  consideraremos  el  tambor  y  el  bloque  por  separado,   figura  17­16b.  Suponiendo  que  el  bloque  acelera  hacia  abajo  en  a,  crea  una   aceleración  angular  A  en  sentido  antihorario  del  tambor. El  momento  de  inercia  del  tambor  es

(a)

mkO

2

=  (60  kg)(0,25  m)2  =  3,75  kg  #  m2  IO  =  

Hay  cinco  incógnitas,  a  saber,  Ox ,  Oy ,  T,  a  y  a. 60  (9,81)  norte

Ecuaciones  de  movimiento.  La  aplicación  de  las  ecuaciones  de  movimiento  de   traslación  Fx  =  m(aG)x  y  Fy  =  m(aG)y  al  tambor  no  tiene  consecuencias  para  la   solución,  ya  que  estas  ecuaciones  implican  las  incógnitas  Ox  y  Oy .  Así,  para  el  

O 0,4  metros

T

17

tambor  y  el  bloque,  respectivamente,  a+MO  =  IOa;  T(0,4  m)  =  (3,75  kg  #  

Buey

y

T

m2 )a  +  cFy  =  m(aG)y;  ­20(9.81)N  +  T  =  ­(20  kg)a  

(1)  

Cinemática.  Como  el  punto  de  contacto  A  entre  la  cuerda  y  

(2)

A

Oye

X

el  tambor  tiene  una  componente  tangencial  de  aceleración  a,  figura  17­16a,   entonces  a+a  =  ar;

a

a  =  a(0,4  m) 20  (9,81)  norte

(3)

Resolviendo  las  ecuaciones  anteriores, (b)

T  =  106  N  a  =  4,52  m>sa  =   11,3  rad>s

2

SOLUCIÓN  II

60  (9,81)  norte IOa

O 0,4  metros

Buey

=

0,4  metros

2

d

Respuesta

Diagramas  de  cuerpo  libre  y  cinéticos.  La  tensión  del  cable  T  puede  eliminarse  del   análisis  considerando  el  tambor  y  el  bloque  como  un  solo  sistema,  figura  17­16c.   Se  muestra  el  diagrama  cinético  ya  que  los  momentos  se  sumarán  alrededor  del   punto  O.

O

Ecuaciones  de  movimiento.  Usando  la  Ec.  3  y  aplicando  la  ecuación  de  momentos   respecto  a  O  para  eliminar  las  incógnitas  Ox  y  Oy ,  tenemos  a+MO  =  (k)O;  

Oye

[20(9.81)  N]  (0.4  m)  =  (3.75  kg  #  m2 )a  +  [20  kg(a  0.4   m)](0.4  m)  a  =  11.3  rad>s  NOTA:  Si  el  bloque   2

fuera  removido  y   20(9.81)  norte

(20  kg)a  (c)

Respuesta

una  fuerza  de  20(9.81)  N  al  cordón,  demuestre  que  a  =  20.9  rad>s  ya  que  el  bloque   2 .  Este  valor  es  mayor tiene  una  inercia,  o  resistencia  a  la  aceleración.

Figura  17­16

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 447

17.4  ECUACIONES  DE  MOVIMIENTO:  ROTACIÓN  SOBRE  UN  EJE  FIJO

EJEMPLO  17.11 La  barra  delgada  que  se  muestra  en  la  figura  17­17a  tiene  una  masa  m  y  una   longitud  l  y  se  suelta  desde  el  reposo  cuando  u  =  0.  Determine  las  componentes  

A tu

horizontal  y  vertical  de  la  fuerza  que  el  pasador  en  A  ejerce  sobre  la  barra  en  el   instante  u  =  90 . SOLUCIÓN

yo

Diagramas  de  cuerpo  libre  y  cinéticos.  El  diagrama  de  cuerpo  libre  de  la  barra  en   la  posición  general  u  se  muestra  en  la  figura  17­17b.  Por  conveniencia,  las   componentes  de  la  fuerza  en  A  se  muestran  actuando  en  las  direcciones  n  y  t . Tenga  en  cuenta  que  A  actúa  en  el  sentido  de  las  agujas  del  reloj,  por  lo  que  (aG)t  actúa  en  la  dirección  

(a)

+t .  ml2 .

1  3

Ecuaciones  de  movimiento.  Se  sumarán  momentos  alrededor  de  A  para  eliminar   An  y  At.  +  aFn  =  mv2  rG;   +  bFt  =  marG;  c+MA  

An  ­  mg  sen  u  =  mv2  (l>2)

(1)  

=  IAa;

At  +  mg  cos  u  =  ma(l>2)  mg  

(2)   (3)

cos  u(l>2)  =  11  3  ml22a

Un A tu

En

– yo

2

Cinemática.  Para  un  ángulo  u  dado,  hay  cuatro  incógnitas  en  las  tres  ecuaciones   anteriores:  An ,  At ,  v  y  a.  Como  se  muestra  en  la  Ec.  3,  a  no  es  constante;  más   bien,  depende  de  la  posición  u  de  la  varilla.  La  cuarta  ecuación  necesaria  se   obtiene  mediante  cinemática,  donde  a  y  v  pueden  relacionarse  con  u  mediante  la   ecuación  (c+)  (4)

GRAMO

tu

17

=

v  dv  =  a  du Tenga  en  cuenta  que  la  dirección  positiva  en  el  sentido  de  las  agujas  del  reloj  para  esta  ecuación  

miligramos

–  ( 2

concuerda  con  la  de  la  ecuación.  3.  Esto  es  importante  ya  que  estamos  buscando  una  solución   simultánea. GRAMO

mamá

IGÅ

(

Para  resolver  v  en  u  =  90,  elimine  a  de  las  Ecs.  3  y  4,  lo  que  da

yo

mv2

– yo

2  (

v  dv  =  (1.5g>l)  cos  u  du Como  v  =  0  en  u  =  0,  tenemos v

(b)

90

porque  tu  du

L 0 v  dv  =  (1,5  g>l)  L

Figura  17­17

0

v2  =  3g>l Sustituyendo  este  valor  en  la  Ec.  1  con  u  =  90  y  resolviendo  las  Ecs.  1  a  3   rendimientos

un  =  0

At  =  0  An  =  2,5  mg

Respuesta

NOTA:  Si  se  usa  MA  =  (k)A ,  se  deben  tener  en  cuenta  los  momentos  de  IG  A  y   m(aG)t  con  respecto  a  A.

(

El  momento  de  inercia  de  la  barra  con  respecto  al  punto  A  es  IA  =

Machine Translated by Google

448

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

PROBLEMAS  FUNDAMENTALES F17–7.  La  rueda  de  100@kg  tiene  un  radio  de  giro  alrededor  de  su  centro  O  de  kO   =  500  mm.  Si  la  rueda  parte  del  reposo,  determine  su  velocidad  angular  en  t  =  3  s.

F17–10.  En  el  instante  que  se  muestra,  el  disco  de  30  @  kg  tiene  una  velocidad   angular  en  sentido  antihorario  de  v  =  10  rad>s. Determine  las  componentes  tangencial  y  normal  de  reacción  del  pasador  O  sobre  el   disco  y  la  aceleración  angular  del  disco  en  este  instante.

0,6  metros

O

P  100  N

v  10  rad/s 5

3

P  50  N

4

O 0,3  metros

problema  F17–10 F17–11.  La  barra  delgada  uniforme  tiene  una  masa  de  15  kg. problema  F17–7

Determine  las  componentes  horizontal  y  vertical  de  la  reacción  en  el  pasador  O  y  la  

F17–8.  El  disco  de  50@kg  está  sujeto  al  momento  de  par  de  M  =  (9t)  N  #  m,  donde  

aceleración  angular  de  la  varilla  justo  después  de  cortar  la  cuerda.

t  está  en  segundos.  Determine  la  velocidad  angular  del  disco  cuando  t  =  4  s   partiendo  del  reposo. 17

O 0,3  metros

M  (9t)  Nm

O

0,3  metros

0,6  metros

problema  F17–11 F17–12.  La  barra  delgada  uniforme  de  30  kg  está  siendo  jalada  por  la  cuerda  que   pasa  sobre  la  pequeña  clavija  lisa  en  A.  Si  la  barra  tiene  una  velocidad  angular  en   sentido  antihorario  de  v  =  6  rad>s  en  el  instante  que  se  muestra,  determine  las  

problema  F17–8

componentes  tangencial  y  normal  de  reacción  en  el  pasador  O  y  la  aceleración  

F17–9.  En  el  instante  que  se  muestra,  la  barra  delgada  uniforme  de  30  @  kg  tiene  

angular  de  la  varilla.

una  velocidad  angular  en  sentido  antihorario  de  v  =  6  rad>s.

P  300  N

Determine  las  componentes  tangencial  y  normal  de  reacción  del  pasador  O  sobre  la   barra  y  la  aceleración  angular  de  la  barra  en  este  instante.

A

0,8  metros

0,3  metros

0,6  metros

O

v  6  rad/s O

M  60  Nm

0,6  metros

problema  F17–9

problema  F17–12

www.ebook777.com

0,3  metros

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 449

17.4  ECUACIONES  DE  MOVIMIENTO:  ROTACIÓN  SOBRE  UN  EJE  FIJO

PROBLEMAS 17–57.  La  rueda  de  10  kg  tiene  un  radio  de  giro  kA  =  200  mm.

*17–60.  La  barra  doblada  tiene  una  masa  de  2  kg>m.  Si  se  suelta  desde  el  reposo  en  

Si  la  rueda  está  sujeta  a  un  momento  M  =  (5t)  N  #  m,  donde  t  está  en  segundos,  

la  posición  que  se  muestra,  determine  su  aceleración  angular  inicial  y  las  componentes  

determine  su  velocidad  angular  cuando  t  =  3  s  partiendo  del  reposo.  Además,  calcule  

horizontal  y  vertical  de  la  reacción  en  A.

las  reacciones  que  el  pasador  fijo  A  ejerce  sobre  la  rueda  durante  el  movimiento.

METRO

1,5  metros

A

C

A

problema  17–57 1,5  metros

17–58.  La  placa  uniforme  de  24  kg  se  suelta  desde  el  reposo  en  la  posición  que  se   muestra.  Determine  su  aceleración  angular  inicial  y  las  reacciones  horizontal  y  vertical   en  el  pasador  A.

B

A

17 problema  17–60

0,5  metros

17–61.  Si  se  aplica  una  fuerza  horizontal  de  P  =  100  N  al  carrete  de  cable  de  300  kg,   determine  su  aceleración  angular  inicial.  El  carrete  descansa  sobre  rodillos  en  A  y  B   y  tiene  un  radio  de  giro  de  kO  =  0,6  m. 0,5  metros

problema  17–58 17–59.  La  barra  delgada  uniforme  tiene  una  masa  m.  Si  esto  es liberado  desde  el  reposo  cuando  u  =  0,  determine  la  magnitud  de  la  fuerza  reactiva   ejercida  sobre  él  por  el  pasador  B  cuando  u  =  90. PAG

L   3

0,75  metros

A

O 1  metro

B

tu

2 L   3

20

A

20

B

C problema  17–59

problema  17–61

Machine Translated by Google

450

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

17–62.  La  barra  de  10  lb  está  articulada  en  su  centro  O  y  conectada   a  un  resorte  de  torsión.  El  resorte  tiene  una  rigidez  k  =  5  lb  #  ft>rad,   de  modo  que  el  par  desarrollado  es  M  =  (5u)  lb  #  ft,  donde  u  está   en  radianes.  Si  la  barra  se  suelta  desde  el  reposo  cuando  está   vertical  en  u  =  90,  determine  su  velocidad  angular  en  el  instante  u  

17–65.  El  disco  A  tiene  un  peso  de  5  lb  y  el  disco  B  tiene  un  peso   de  10  lb.  Si  no  ocurre  deslizamiento  entre  ellos,  determine  el   momento  de  par  M  que  debe  aplicarse  al  disco  A  para  darle  una   aceleración  angular  de  4  rad>s2.

=  0. 17–63.  La  barra  de  10  lb  está  articulada  en  su  centro  O  y  conectada   a  un  resorte  de  torsión.  El  resorte  tiene  una  rigidez  k  =  5  lb  #  ft>rad,   de  modo  que  el  par  desarrollado  es  M  =  (5u)  lb  #  ft,  donde  u  está   en  radianes.  Si  la  barra  se  suelta  desde  el  reposo  cuando  está   vertical  en  u  =  90,  determine  su  velocidad  angular  en  el  instante  u  

a  4  rad/s2

=  45. METRO

0,75  pies 0,5  pies

B A

1  pie

problema  17–65 tu

1  pie

O

17

problemas  17–62/63

*17–64.  Una  cuerda  está  enrollada  alrededor  de  la  superficie   exterior  del  disco  de  8  kg.  Si  se  aplica  a  la  cuerda  una  fuerza  de  F   =  (¼u2)  N,  donde  u  está  en  radianes,  determine  la  aceleración   angular  del  disco  cuando  haya  dado  5  revoluciones.  el  disco  tiene

17–66.  El  diagrama  cinético  que  representa  el  movimiento  de   rotación  general  de  un  cuerpo  rígido  alrededor  de  un  eje  fijo  que   pasa  por  O  se  muestra  en  la  figura.  Muestre  que  IGA  puede   eliminarse  moviendo  los  vectores  m(aG)t  y  m(aG)n  a  =  k2  G>rOG   ubicado  a  una  distancia  rGP  masa  desde  el  centro  del  punto  P,   G  del  cuerpo.  Aquí  kG  representa  el  radio  de  giro  del  cuerpo   alrededor  de  un  eje  que  pasa  por  G.  El  punto  P  se  llama  centro  de   percusión  del  cuerpo.

una  velocidad  angular  inicial  de  v0 =  1  rad>s.  

a

F

PAG

m(ag)t

300mm

YO  G

a

GRAMO

O

v

RGP

m(aG)n O

ROG

problema  17–66

problema  17–64

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 451

17.4  ECUACIONES  DE  MOVIMIENTO:  ROTACIÓN  SOBRE  UN  EJE  FIJO

17–67.  Si  la  cuerda  en  B  falla  repentinamente,  determine  las  componentes  horizontal  

17–69.  El  rollo  de  papel  de  20  kg  tiene  un  radio  de  giro  kA  =  90  mm  alrededor  de  un  

y  vertical  de  la  reacción  inicial  en  el  pasador  A  y  la  aceleración  angular  de  la  viga  de  

eje  que  pasa  por  el  punto  A.  Está  sostenido  por  pasadores  en  ambos  extremos  por  

120  kg. Trate  la  viga  como  una  barra  delgada  uniforme.

dos  ménsulas  AB.  Si  el  rollo  descansa  contra  una  pared  cuyo  coeficiente  de  fricción   cinética  es  μk  =  0.2  y  se  aplica  una  fuerza  vertical  F  =  30  N  al  extremo  del  papel,   determine  la  aceleración  angular  del  rollo  a  medida  que  se  desenrolla  el  papel.

17–70.  El  rollo  de  papel  de  20  kg  tiene  un  radio  de  giro  kA  =  90  mm  alrededor  de  un   eje  que  pasa  por  el  punto  A.  Está  sostenido  por  pasadores  en  ambos  extremos  por   dos  ménsulas  AB.  Si  el  rollo  descansa  contra  una  pared  cuyo  coeficiente  de  fricción   cinética  es  μk  =  0.2,  determine  la  fuerza  vertical  constante  F  que  debe  aplicarse  al  

800  norte

rollo  para  arrancar  1  m  de  papel  en  t  =  3  s  partiendo  del  reposo.  Desprecie  la  masa   de  papel  que  se  retira. B A

B 2  metros

2  metros

problema  17–67

300mm

17

A

C 125mm

*17–68.  El  dispositivo  actúa  como  una  barrera  emergente  para  impedir  el  paso  de  un   vehículo.  Consiste  en  una  placa  de  acero  AC  de  100  kg  y  un  bloque  de  concreto   sólido  de  contrapeso  de  200  kg  ubicados  como  se  muestra  en  la  figura.  Determine  el   momento  de  inercia  de  la  placa  y  el  bloque  alrededor  del  eje  articulado  que  pasa  por   A.  Desprecie  la  masa  de  los  brazos  de  soporte  AB.  Además,  determine  la  aceleración  

F

angular  inicial  del  conjunto  cuando  se  suelta  desde  el  reposo  en  u  =  45°. problemas  17–69/70

17–71.  El  carrete  de  cable  tiene  una  masa  de  400  kg  y  un  radio  de  giro  de  kA  =  0,75   m.  Determine  su  velocidad  angular  cuando  t  =  2  s,  partiendo  del  reposo,  si  la  fuerza   2 +  80)  norte,

P  =  (20t  cuando  t  está  en  segundos.  Desprecie  la  masa  del  cable   desenrollado  y  suponga  que  siempre  tiene  un  radio  de  0.5  m.

0,5  metros PAG

0,3  metros

1  metro

0,5  m   A

0,5  m tu   C.A.

_

1,25  metros

problema  17–68

problema  17–71

Machine Translated by Google

452

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

*17–72.  El  disco  de  30  kg  gira  originalmente  a  v  =  125  rad>s. Si  se  coloca  en  el  suelo,  cuyo  coeficiente  de  fricción  cinética  es  μC   =  0.5,  determine  el  tiempo  requerido  para  que  se  detenga  el   movimiento.  ¿Cuáles  son  las  componentes  horizontal  y  vertical  de   la  fuerza  que  el  miembro  AB  ejerce  sobre  el  pasador  en  A  durante   este  tiempo?  Desprecie  la  masa  de  AB.

0,5  metros

17–74.  El  cilindro  de  5  kg  está  inicialmente  en  reposo  cuando  se   pone  en  contacto  con  la  pared  B  y  el  rotor  en  A.  Si  el  rotor  siempre   mantiene  una  velocidad  angular  constante  en  el  sentido  de  las   manecillas  del  reloj  v  =  6  rad>s,  determine  la  aceleración  angular   inicial  del  cilindro .  El  coeficiente  de  fricción  cinética  en  las   superficies  de  contacto  B  y  C  es  mk  =  0,2.

B 0,3  metros

B

v  125  rad/s

0,5  metros

125mm

C

v 45

A

A

C

problema  17–72

17

problema  17–74

17–73.  Se  desenrolla  un  cable  de  un  carrete  sostenido  por   pequeños  rodillos  en  A  y  B  ejerciendo  una  fuerza  T  =  300  N  sobre   el  cable.  Calcule  el  tiempo  necesario  para  desenredar  5  m  de  cable   del  carrete  si  el  carrete  y  el  cable  tienen  una  masa  total  de  600  kg   y  un  radio  de  giro  de  kO  =  1,2  m.  Para  el  cálculo,  desprecie  la  masa   del  cable  que  se  desenrolla  y  la  masa  de  los  rodillos  en  A  y  B.  Los   rodillos  giran  sin  fricción.

17–75.  La  rueda  tiene  una  masa  de  25  kg  y  un  radio  de  giro  kB  =   0,15  m.  Originalmente  gira  a  v  =  40  rad>s.  Si  se  coloca  en  el  suelo,   cuyo  coeficiente  de  fricción  cinética  es  mC  =  0.5,  determine  el   tiempo  requerido  para  que  se  detenga  el  movimiento.  ¿Cuáles  son   las  componentes  horizontal  y  vertical  de  la  reacción  que  el  pasador   en  A  ejerce  sobre  AB  durante  este  tiempo?  Desprecie  la  masa  de   AB.

0,4  metros

T  300  N 30

1,5  m   0,8  m

A

O 0,3  metros

B A

B

0,2  metros

v

C

1  metro

problema  17–75

problema  17–73

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 17.4  ECUACIONES  DE  MOVIMIENTO:  ROTACIÓN  SOBRE  UN  EJE  FIJO

453

*17–76.  El  rollo  de  papel  de  20  kg  tiene  un  radio  de  giro  kA  =  120  mm  alrededor  

17–78.  Dos  cilindros  A  y  B,  que  pesan  10  lb  y  5  lb,  respectivamente,  están  unidos  

de  un  eje  que  pasa  por  el  punto  A.  Está  sostenido  por  pasadores  en  ambos  

a  los  extremos  de  una  cuerda  que  pasa  por  una  polea  (disco)  de  3  lb.  Si  los  

extremos  por  dos  ménsulas  AB.  El  rollo  descansa  sobre  el  piso,  para  el  cual  el  

cilindros  se  sueltan  desde  el  reposo,  determine  su  velocidad  en  t  =  0.5  s.  El  cable  

coeficiente  de  fricción  cinética  es  μk  =  0.2.  Si  se  aplica  una  fuerza  horizontal  F  =  

no  resbala  en  la  polea.  Desprecie  la  masa  de  la  cuerda.

60  N  al  extremo  del  papel,  determine  la  aceleración  angular  inicial  del  rollo  a   medida  que  se  desenrolla  el  papel.

Sugerencia:  Analice  el  “sistema”  formado  por  los  cilindros  y  la  polea.

0,75  pies

F

O

A 300mm B

B C 400mm

A

problema  17–76

problema  17–78

17 17–77.  El  disco  D  gira  con  una  velocidad  angular  constante  en  el  sentido  de  las   manecillas  del  reloj  de  30  rad>s.  El  disco  E  tiene  un  peso  de  60  lb  e  inicialmente  

17–79.  Los  dos  bloques  A  y  B  tienen  una  masa  de  5  kg  y  10  kg,  respectivamente.  

está  en  reposo  cuando  se  pone  en  contacto  con  D.  Determine  el  tiempo  requerido  

Si  la  polea  se  puede  tratar  como  un  disco  de  3  kg  de  masa  y  0,15  m  de  radio,  

para  que  el  disco  E  alcance  la  misma  velocidad  angular  que  el  disco  D.  El   coeficiente  de  fricción  cinética  entre  los  dos  discos  es  μk  =  0,3.  Desprecie  el  

determine  la  aceleración  del  bloque  A.  Ignore  la  masa  de  la  cuerda  y  cualquier   deslizamiento  en  la  polea.

peso  de  la  barra  BC. *17–80.  Los  dos  bloques  A  y  B  tienen  una  masa  mA  y  mB,  respectivamente,   donde  mB  7  mA.  Si  la  polea  se  puede  tratar  como  un  disco  de  masa  M,  determine   la  aceleración  del  bloque  A. Desprecie  la  masa  de  la  cuerda  y  cualquier  deslizamiento  en  la  polea.

2  pies

B mi 1  pie

r  O

2  pies

1  pie

C

A

D

A B

v problema  17–77

30  rad/s problemas  17–79/80

Machine Translated by Google

454

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

17–81.  Determine  la  aceleración  angular  del  trampolín  de  25  kg  y  las  componentes  

17–83.  El  conjunto  de  dos  barras  se  suelta  desde  el  reposo  en  la  posición  que  se  

horizontal  y  vertical  de  la  reacción  en  el  pasador  A  en  el  instante  en  que  el  hombre  

muestra.  Determine  el  momento  flector  inicial  en  la  unión  fija  B.  Cada  barra  tiene  una  

salta.  Suponga  que  la  tabla  es  uniforme  y  rígida,  y  que  en  el  instante  en  que  salta,  el  

masa  m  y  una  longitud  l.

resorte  se  comprime  una  cantidad  máxima  de  200  mm,  v  =  0,  y  la  tabla  está  horizontal.   Tome  k  =  7  kN>m.

A

B

yo

1,5  metros

yo

1,5  metros

A k C

problema  17–83

problema  17–81 17

*17–84.  El  inducido  (varilla  delgada)  AB  tiene  una  masa  de  0,2  kg  y  puede  pivotar   alrededor  del  pasador  en  A.  El  electroimán  E  controla  el  movimiento ,  que  ejerce  una   fuerza  de  atracción  horizontal  sobre  el  inducido  en  B  de  FB  =  (0,2(10­3 )l 17–82.  La  turbina  liviana  consta  de  un  rotor  que  se  alimenta  de  un  par  aplicado  en  su   centro.  En  el  instante  en  que  el  rotor  está  horizontal,  tiene  una  velocidad  angular  de   15  rad>s  y  una  aceleración  angular  en  el  sentido  de  las  agujas  del  reloj  de  8  rad>s.   2 Determine  la  fuerza  normal  interna,  la  fuerza  cortante  y  el  momento  en  una  sección  

.

que  pasa  por  A.  Suponga  que  el  rotor  es  un  50  Varilla  delgada  de  m  de  largo,  con  una  

­2

)  N,  

donde  l  en  metros  es  el  espacio  entre  la  armadura  y  el  imán  en  cualquier  instante.  Si   la  armadura  se  encuentra  en  el  plano  horizontal  y  originalmente  está  en  reposo,   determine  la  velocidad  del  contacto  en  B  en  el  instante  l  =  0.01  m.  Originalmente  l  =   0,02  m.

masa  de  3  kg>m.

10  metros yo

B

A

25  metros

150mm

mi

A

problema  17–82

problema  17–84

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 455

17.4  ECUACIONES  DE  MOVIMIENTO:  ROTACIÓN  SOBRE  UN  EJE  FIJO

17–85.  La  barra  tiene  un  peso  por  longitud  de  w.  Si  gira  en  el  plano  vertical  a  

17–87.  El  péndulo  de  100  kg  tiene  un  centro  de  masa  en  G  y  un  radio  de  giro  

una  velocidad  constante  v  alrededor  del  punto  O,  determine  la  fuerza  normal  

alrededor  de  G  de  kG  =  250  mm.  Determine  las  componentes  horizontal  y  vertical  

interna,  la  fuerza  cortante  y  el  momento  en  función  de  x  y  u.

de  la  reacción  del  pasador  A  sobre  la  viga  y  la  reacción  normal  del  rodillo  B  en  el   instante  u  =  90°  cuando  el  péndulo  gira  a  v  =  8  rad>s.  Desprecie  el  peso  de  la   viga  y  el  soporte.

*17–88.  El  péndulo  de  100  kg  tiene  un  centro  de  masa  en  G  y  un  radio  de  giro   alrededor  de  G  de  kG  =  250  mm.  Determine  las  componentes  horizontal  y  vertical   de  la  reacción  del  pasador  A  sobre  la  viga  y  la  reacción  normal  del  rodillo  B  en  el   instante  u  =  0°  cuando  el  péndulo  gira  a  v  =  4  rad>s.  Desprecie  el  peso  de  la   viga  y  el  soporte.

O v C tu 0,75  metros

tu

v L 1  metro

GRAMO

X

A

B

problema  17–85 0,6  metros

0,6  metros

problemas  17–87/88 17–89.  La  “Rueda  Catalina”  es  un  fuego  artificial  que  consiste  en un  tubo  enrollado  de  polvo  que  está  clavado  en  su  centro.  Si  el  polvo  arde  a  una   velocidad  constante  de  20  g>s  tal  que  los  gases  de  escape  siempre  ejercen  una   fuerza  de  magnitud  constante  de  0.3  N,  dirigida  tangente  a  la  rueda,  determine   la  velocidad  angular  de  la  rueda  cuando  el  75%  de  la  masa  se  quema.   17–86.  La  barra  delgada  de  4  kg  inicialmente  está  sostenida  horizontalmente  por   un  resorte  en  B  y  un  pasador  en  A.  Determine  la  aceleración  angular  de  la  barra  

Inicialmente,  la  rueda  está  en  reposo  y  tiene  una  masa  de  100  g  y  un  radio  de  r   =  75  mm.  Para  el  cálculo,  considere  que  la  rueda  siempre  es  un  disco  delgado.

y  la  aceleración  del  centro  de  masa  de  la  barra  en  el  instante  en  que  se  aplica  la   fuerza  de  100  N.

r C 0,3  norte

100  norte 1,5  metros

1,5  metros

B  

A

k  20  N/m

problema  17–86

problema  17–89

17

Machine Translated by Google 456

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

F3

17.5  Ecuaciones  de  movimiento:  movimiento   plano  general

V

M1

AG

F4

El  cuerpo  rígido  (o  losa)  que  se  muestra  en  la  figura  17­18a  está  sujeto  a  un  movimiento   plano  general  causado  por  el  sistema  de  fuerza  y  par­momento  aplicado  externamente.

A

GRAMO

Los  diagramas  de  cuerpo  libre  y  cinético  del  cuerpo  se  muestran  en  la  figura  17­18b.

M2 F2

Si  se  establece  un  sistema  de  coordenadas  inerciales  x  e  y  como  se  muestra,  las  tres   ecuaciones  de  movimiento  son

F1 (a)

Fx  =  m(aG)x y

F3

Fy  =  m(aG)y

(17­17)

MG  =  IGa X

M1 F4 GRAMO

M2

En  algunos  problemas  puede  ser  conveniente  sumar  momentos  alrededor  de  un   punto  P  distinto  de  G  para  eliminar  tantas  fuerzas  desconocidas  como  sea  posible  de  la  

W

suma  de  momentos.  Cuando  se  usan  en  este  caso  más  general,  las  tres  ecuaciones  de   F2

movimiento  son

17 F1

Fx  =  m(aG)x Fy  =  m(aG)y PM  =  (mk)P

(17–18)

revista

m(aG)y

Aquí  (mk)P  representa  la  suma  de  momentos  de  IG  A  y  maG  (o  sus  componentes)  con  

GRAMO

m(aG)x

respecto  a  P  según  lo  determinado  por  los  datos  del  diagrama  cinético.

AIG

Ecuación  del  momento  sobre  el  IC.  Hay  un  tipo  particular  de  problema  que  involucra  un   disco  uniforme,  o  cuerpo  de  forma  circular,  que  rueda  sobre  una  superficie  rugosa  sin  

(b)

deslizarse,  figura  17­19.  Si  sumamos  los  momentos  con  respecto  al  centro  instantáneo  

Figura  17­18

de  velocidad  cero,  entonces  (mk)IC  se  convierte  en  IICa,  de  modo  que A

F

CMI  =  IICa

CI

Figura  17­19

(17–19)

Este  resultado  se  compara  con  MO  =  IOa,  que  se  usa  para  un  cuerpo  anclado  en  el   punto  O,  Eq.  17–16.  Ver  problema.  17–90.

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 457

17.5  ECUACIONES  DE  MOVIMIENTO:  MOVIMIENTO  PLANO  GENERAL

W

Gx GRAMO

Gy

A

FA

N /  A

(©  RC  Hibbeler)

=

Procedimiento  de  Análisis

YO  G

A

GRAMO

Los  problemas  cinéticos  que  involucran  el  movimiento  plano  general  de  un  cuerpo  rígido   se  pueden  resolver  mediante  el  siguiente  procedimiento.

Diagrama  de  cuerpo  libre.

revista d

A

Establezca  el  sistema  de  coordenadas  inerciales  x,  y  y  dibuje  el  diagrama  de   cuerpo  libre  para  el  cuerpo. Especifique  la  dirección  y  el  sentido  de  la  aceleración  del  centro  de  masa,  aG,  y  la   aceleración  angular  A  del  cuerpo. Determine  el  momento  de  inercia  IG. Identificar  las  incógnitas  en  el  problema. Si  se  decide  usar  la  ecuación  de  movimiento  rotacional  MP  =  (mk)P ,  entonces   considere  dibujar  el  diagrama  cinético  para  ayudar  a  “visualizar”  los  “momentos”   desarrollados  por  los  componentes  m(aG)x ,  m( aG)y ,  e  IG  A  al  escribir  los  términos   en  la  suma  de  momentos  (mk)P.

Ecuaciones  de  movimiento. Aplique  las  tres  ecuaciones  de  movimiento  de  acuerdo  con  la  convención  de  signos   establecida. Cuando  hay  fricción,  existe  la  posibilidad  de  movimiento  sin  resbalones  ni  vuelcos.   Cada  posibilidad  de  movimiento  debe  ser  considerada.

Cinemática. Utilice  la  cinemática  si  no  se  puede  obtener  una  solución  completa  estrictamente  a   partir  de  las  ecuaciones  de  movimiento. Si  el  movimiento  del  cuerpo  está  restringido  debido  a  sus  soportes,  se  pueden   obtener  ecuaciones  adicionales  usando  aB  =  aA  +  aB>A,  que  relaciona  las   aceleraciones  de  dos  puntos  cualesquiera  A  y  B  en  el  cuerpo. Cuando  una  rueda,  disco,  cilindro  o  bola  rueda  sin  resbalar,  entonces  aG  =  ar.

A  medida  que  avanza  el  compactador  de  suelo,  o   “rodillo  de  patas  de  oveja”,  el  rodillo  tiene  un  movimiento   plano  general.  Las  fuerzas  que  se  muestran  en  su   17 diagrama  de  cuerpo  libre  causan  los  efectos  que  se   muestran  en  el  diagrama  cinético.  Si  los  momentos  se   suman  alrededor  del  centro  de  masa,  G,  entonces  MG   =  IGa.  Sin  embargo,  si  los  momentos  se  suman  en   torno  al  punto  A  (IC) ,  entonces  a+MA  =  IGa  +  (maG)d  =  IAa.

Machine Translated by Google 458

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

EJEMPLO  17.12 Determine  la  aceleración  angular  del  carrete  en  la  figura  17­20a.  El  carrete  tiene  una  

100  norte

masa  de  8  kg  y  un  radio  de  giro  de  kG  =  0,35  m.  Las  cuerdas  de  masa  despreciable   están  envueltas  alrededor  de  su  centro  interior  y  su  borde  exterior.

SOLUCIÓN Diagramas  de  cuerpo  libre  y  cinético.  Figura  17­20b.  La  fuerza  de  100  N  hace  que  aG  actúe   GRAMO

A 0,5  metros

0,2  metros

hacia  arriba.  Además,  A  actúa  en  el  sentido  de  las  agujas  del  reloj,  ya  que  el  carrete  se  enrolla   alrededor  de  la  cuerda  en  A.

Hay  tres  incógnitas  T,  aG  y  a.  El  momento  de  inercia  de el  carrete  sobre  su  centro  de  masa  es  =   mkG

(a)

2

8  kg(0.35  m)2  =  0.980  kg  #  m2  IG  =  

Ecuaciones  de  movimiento.  

100  norte T

+  cFy  =  m(aG)y;  T  +  100  N  ­  78,48  N  =  (8  kg)aG  c+MG  =  IGa;  100  

(1)  

N(0,2  m)  ­  T(0,5  m)  =  (0,980  kg  #  m2 )a  Cinemática.  Se  obtiene  una  solución  

(2)

completa  si  se  utiliza  la  cinemática  para  relacionar  aG  con  a.  En  este  caso,  el  carrete   “rueda  sin  deslizarse”  sobre  la  cuerda  en  A.  Por  lo  tanto,  podemos  usar  los  resultados   del  ejemplo  16.4  o  16.15  de  modo  que,  (c+)  aG  Resolviendo  las  ecuaciones.  1  a  3,  

17

GRAMO

0,5  metros

A

tenemos

=  ar;

=  a  (0,5  m)  aG

(3)

0,2  metros

2

a  =  10,3  rad>s aG =  5,16  m>s  

78,48  norte

Respuesta

2

T  =  19,8  N

=

SOLUCIÓN  II Ecuaciones  de  movimiento.  Podemos  eliminar  la  incógnita  T  sumando  los  momentos   con  respecto  al  punto  A.  A  partir  de  los  diagramas  cinético  y  de  cuerpo  libre  de  las  Figs.   17­20b  y  17­20c,  tenemos  c+MA  =  (mk)A; 100  N  (0,7  m)  ­  78,48  N  (0,5  m)

(8  kg)  aG

=  (0,980  kg  #  m2 )a  +  [(8  kg)aG](0,5  m) (0,980  kgm2 )

A

0,5  metros

A

Usando  la  Ec.  (3),

GRAMO

a  =  10,3  rad>s

2

Respuesta

SOLUCIÓN  III Ecuaciones  de  movimiento.  La  forma  más  sencilla  de  resolver  este  problema  es  darse   (b)

cuenta  de  que  el  punto  A  es  el  IC  para  el  carrete.  Entonces  la  ecuación.  17­19  se   aplica.  c+MA  =  IAa;  (100  N)(0,7  m)  ­  (78,48  N)(0,5  m)  =  [0,980  kg   #  m2  +  (8  kg)(0,5  m)2 ]a

Figura  17­20

a  =  10,3  rad>s

www.ebook777.com

2

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 17.5  ECUACIONES  DE  MOVIMIENTO:  MOVIMIENTO  PLANO  GENERAL

459

EJEMPLO  17.13 La  rueda  de  50  lb  que  se  muestra  en  la  figura  17­21  tiene  un  radio  de  giro  kG  =  0.70  ft.  Si   M  35  lbft

se  aplica  un  momento  de  par  de  35  @  lb  #  ft  a  la  rueda,  determine  la  aceleración  de  su   centro  de  masa  G.  Los  coeficientes  de  estática  y  la  fricción  cinética  entre  la  rueda  y  el   GRAMO

plano  en  A  son  =  0.3  y  mk  =  0.25,  respectivamente.  EM

1,25  pies

A

SOLUCIÓN Diagramas  de  cuerpo  libre  y  cinético.  Al  inspeccionar  la  figura  17­21b,  se  ve  que  el   momento  de  par  hace  que  la  rueda  tenga  una  aceleración  angular  en  el  sentido  de  las  

(a)

manecillas  del  reloj  de  A.  Como  resultado,  la  aceleración  del  centro  de  masa,  aG,  está   dirigida  hacia  la  derecha.  El  momento  de  inercia  es 50  libras

IG  =  mkG

50  libras

2 =

32.2  ft>s  

2 (0,70  pies)2  =  0,7609  slug  #  pies2

35  libras­pie

Las  incógnitas  son  NA,  FA,  aG  y  a.

GRAMO

1,25  pies

Ecuaciones  de  movimiento. FA

cFy  =  m(aG)y;  c+MG   =  IGa;

(1) FA  =  50  libras 32,2  

2  BOLSAS

=

S+  Fx  =  m(aG)x;  +  

17

N /  A

pies>s  NA  ­  50  libras  =  0

(2)  

35  lb  #  ft  ­  1.25  ft(FA)  =  (0.7609  slug  #  ft2 )a  (3)

IG  un

Se  necesita  una  cuarta  ecuación  para  una  solución  completa. revista

Cinemática  (sin  deslizamiento).  Si  se  hace  esta  suposición,  entonces  (c+) aG =  (1,25  pies)a  

(4)

Resolviendo  Ecs.  1  a  4, (b)

NA  =  50,0  libras a  =  11,0  rad>s

AF  =  21,3  libras 2

Figura  17­21

2

aG =  13,7  pies>s  

Esta  solución  requiere  que  no  se  produzca  deslizamiento,  es  decir,  FA ...  msNA. Sin  embargo,  dado  que  21.3  lb  7  0.3(50  lb)  =  15  lb,  la  rueda  patina  mientras  rueda. (Corrimiento).  La  ecuación  4  no  es  válida,  por  lo  que  FA  =  mkNA,  o FA  =  0.25NA

(5)

Resolviendo  Ecs.  1  a  3  y  5  rendimientos NA  =  50,0  libras  FA  =  12,5  libras 2

a  =  25,5  rad>s 2

aG =  8,05  pies>s  

S

Respuesta

Machine Translated by Google 460

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

EJEMPLO  17.14 El  poste  esbelto  uniforme  que  se  muestra  en  la  figura  17­22a  tiene  una  masa  de   100  kg.  Si  los  coeficientes  de  fricción  estática  y  cinética  entre  el  extremo  del  poste   y  la  superficie  son  ms  =  0.3  y  mk  =  0.25,  respectivamente,  determine  la  aceleración   angular  del  poste  en  el  instante  en  que  se  aplica  la  fuerza  horizontal  de  400  N.  El   polo  está  originalmente  en  reposo.

3  metros

400  norte 0,5  metros

A

(a)

SOLUCIÓN

Diagramas  de  cuerpo  libre  y  cinético.  Figura  17­22b.  La  trayectoria  de  movimiento   del  centro  de  masa  G  será  a  lo  largo  de  una  trayectoria  curva  desconocida  que   tiene  un  radio  de  curvatura  r,  que  inicialmente  está  en  una  línea  vertical.  Sin   embargo,  no  hay  una  componente  normal  o  y  de  aceleración  ya  que  el  polo  está   2

originalmente  en  reposo,  es  decir,  vG  =  0,  de  modo  que  (aG)y  =  vG  >r  =  0.   Supondremos  que  el  centro  de  masa  acelera  hacia  la  derecha  y  que  el  polo  tiene   una  aceleración  angular  en  el  sentido  de  las  agujas  del  reloj  de  A.  Las  incógnitas  son  NA,  FA,  aG  y  a. Ecuación  de  movimiento.

GRAMO

981  norte

1  metro

S+  Fx  =  m(aG)x;  +  

1,5  metros

400  norte

NA  ­  9m 81   =  0 N)(1  m)  =  [ 12(100  kg)(3  m)2 ]a  (3) cFy  =  m(aG)y;  (2)  c+MG  =  IGa;  FA(1,5   )  ­N   (  400   1

FA

Se  necesita  una  cuarta  ecuación  para  una  solución  completa. N /  A

=

17

(1)

400  N  ­  FA  =  (100  kg)aG

Cinemática  (sin  deslizamiento).  Con  esta  suposición,  el  punto  A  actúa  como  un  “pivote”  de  manera   que  a  está  en  el  sentido  de  las  manecillas  del  reloj,  luego  aG  está  dirigido  a  la  derecha.

aG =  (1,5  m)  a  

aG  =  arAG;

(4)

Resolviendo  Ecs.  1  a  4  rendimientos (100  kg)aG

NA  =  981  N  FA  =  300  N aG =  1  m>s  

AIG

2

a  =  0,667  rad>s

2

La  suposición  de  que  no  hay  deslizamiento  requiere  FA  …  msNA.  Sin  embargo,  300   N  7  0.3(981  N)  =  294  N,  por  lo  que  el  polo  se  desliza  en  A.

(b)

(Corrimiento).  Para  este  caso  la  Ec.  4  no  aplica.  En  su  lugar,  se  debe  utilizar  la   ecuación  de  fricción  FA  =  mkNA .  Por  eso,

Figura  17­22

FA  =  0.25NA

(5)

Resolviendo  Ecs.  1  a  3  y  5  rendimientos  simultáneos NA  =  981  N  FA  =  245  N  aG a  =  ­0,428  rad>s

www.ebook777.com

=  1,55  m>s   2

=  0,428  rad>s

2

d

2 Respuesta

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 461

17.5  ECUACIONES  DE  MOVIMIENTO:  MOVIMIENTO  PLANO  GENERAL

EJEMPLO  17.15 La  barra  uniforme  de  50  kg  de  la  figura  17­23a  se  mantiene  en  la  posición  de   equilibrio  mediante  cuerdas  AC  y  BD.  Determine  la  tensión  en  BD  y  la  aceleración   angular  de  la  barra  inmediatamente  después  de  cortar  AC .

C

D

A

B

SOLUCIÓN

Diagramas  de  cuerpo  libre  y  cinético.  Figura  17­23b.  Hay  cuatro  incógnitas,  TB,   (aG)x ,  (aG)y  y  a.

3  metros

(a)

Ecuaciones  de  movimiento. S+  Fx  =  m(aG)x;

0  =  50  kg  (aG)x

50(9.81)  norte

tuberculosis

(aG)x  =  0

a+MG  =  IGa;  TB  (1,5  m)  =  J  1

GRAMO

(1)

+  cFy  =  m(aG)y;  TB  ­  50(9.81)N  =  ­50  kg  (aG)y

12(50  kg)(3  m)2  R  a

B 1,5  metros

(2)

17

Cinemática.  Como  la  barra  está  en  reposo  justo  después  de  cortar  el  cable,   entonces  su  velocidad  angular  y  la  velocidad  del  punto  B  en  este  instante  son   2 iguales  a  cero.  Por  lo  tanto,   (aB)n  =  vB  >rBD  =  0.  Por  lo  tanto,  aB  solo  tiene  una  

AIG

(50  kg)(aG)x

componente  tangencial,  que  está  dirigida  a  lo  largo  del  eje  x ,  figura  17­23c.   Aplicando  la  ecuación  de  aceleración  relativa  a  los  puntos  G  y  B,

(50  kg)(aG)y (b)

aG  =  aB  +  A  *  rG/B  ­  v2  rG/B

­  (aG)yj  =  aBi  +  (ak)  *  (­1.5i)  ­  0  ­(aG)yj  =   aBi  ­  1.5aj

(aG)y

Igualando  las  componentes  i  y  j  de  ambos  lados  de  esta  ecuación,

GRAMO

rG/B

0  =  aB

0

(3)

(aG)y  =  1.5a

1,5  metros

(C)

Figura  17­23

Resolviendo  Ecs.  (1)  a  (3)  rendimientos 2

a  =  4,905  rad>s TB  =  123  N (aG)y  =  7,36  m>s

(aG)x  0

Respuesta

Respuesta

2

B

ab

Machine Translated by Google

462

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

PROBLEMAS  FUNDAMENTALES F17–13.  La  barra  esbelta  uniforme  de  60  kg  está  inicialmente  en  reposo  sobre  un  

F17–16.  La  esfera  de  20@kg  rueda  por  el  plano  inclinado  sin  resbalar.  Determine  

plano  horizontal  liso  cuando  se  aplican  las  fuerzas. Determine  la  aceleración  del  centro  de  masa  de  la  barra  y  la  aceleración  angular  

la  aceleración  angular  de  la  esfera  y  la  aceleración  de  su  centro  de  masa.

de  la  barra  en  este  instante.

20  N   0,75  m

0,5  metros

0,15  metros

1,75  metros

30 80  norte

problema  F17–13

problema  F17–16

F17–14.  El  cilindro  de  100@kg  rueda  sin  resbalar  en  el  plano  horizontal.  Determine   la  aceleración  de  su  centro  de  masa  y  su  aceleración  angular.

F17–17.  El  carrete  de  200@kg  tiene  un  radio  de  giro  alrededor  de  su  centro  de   masa  de  kG  =  300  mm.  Si  el  momento  de  par  se  aplica  al  carrete  y  el  coeficiente   de  fricción  cinética  entre  el  carrete  y  el  suelo  es  mk  =  0.2,  determine  la  aceleración   angular  del  carrete,  la  aceleración  de  G  y  la  tensión  en  el  cable.

17

0,3  metros

P  200  N

0,4  metros

B

A 0,6  metros

GRAMO

M  450  Nm

problema  F17–14 problema  F17–17

F17–15.  La  rueda  de  20  @  kg  tiene  un  radio  de  giro  alrededor  de  su  centro  O  de   kO  =  300  mm.  Cuando  la  rueda  se  somete  al  momento  de  par,  se  desliza  mientras   rueda.  Determine  la  aceleración  angular  de  la  rueda  y  la  aceleración  del  centro  de   la  rueda  O.  El  coeficiente  de  fricción  cinética  entre  la  rueda  y  el  plano  es  mk  =  0,5.

F17–18.  La  varilla  delgada  de  12  @  kg  está  sujeta  a  un  pequeño  rodillo  A  que  se   desliza  libremente  a  lo  largo  de  la  ranura.  Si  la  barra  se  suelta  desde  el  reposo  en   u  =  0,  determine  la  aceleración  angular  de  la  barra  y  la  aceleración  del  rodillo   inmediatamente  después  de  la  liberación.

0,4  metros

M  100  Nm

A tu

O 0,6  metros

problema  F17–18

problema  F17–15

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 17.5  ECUACIONES  DE  MOVIMIENTO:  MOVIMIENTO  PLANO  GENERAL

463

PROBLEMAS 17–90.  Si  el  disco  de  la  figura  17­19  rueda  sin  deslizarse,   demuestre  que  cuando  se  suman  los  momentos  con  respecto  al   centro  instantáneo  de  velocidad  cero,  IC,  es  posible  usar  la   ecuación  de  momento  MIC  =  IIC  a,  donde  IIC  representa  el   momento  de  inercia  de  el  disco  calculado  sobre  el  eje  instantáneo  

17–93.  La  barra  delgada  de  12  kg  tiene  una  velocidad  angular  en  el  sentido  de   las  manecillas  del  reloj  de  v  =  2  rad>s  cuando  está  en  la  posición  que  se  muestra.

Determine  su  aceleración  angular  y  las  reacciones  normales  de  la   superficie  lisa  A  y  B  en  este  instante.

de  velocidad  cero. 17–91.  El  saco  de  boxeo  de  20  kg  tiene  un  radio  de  giro  alrededor   de  su  centro  de  masa  G  de  kG  =  0,4  m.  Si  inicialmente  está  en   reposo  y  está  sujeta  a  una  fuerza  horizontal  F  =  30  N,  determine   la  aceleración  angular  inicial  de  la  bolsa  y  la  tensión  en  el  cable   de  soporte  AB.

B

3  metros

A

1  metro

60 B

A

17

0,3  metros

problema  17–93

GRAMO

0,6  metros

17–94.  La  llanta  tiene  un  peso  de  30  lb  y  un  radio  de  giro  de  kG  =   0.6  ft.  Si  los  coeficientes  de  fricción  estática  y  cinética  entre  la   llanta  y  el  avión  son  ms  =  0.2  y  mk  rueda  cuesta  abajo.  Establecer   u  =  12. =  0.15,  determine  la  aceleración  angular  de  la  llanta  como

F

problema  17–91

*17–92.  La  viga  uniforme  de  150  lb  está  inicialmente  en  reposo   cuando  las  fuerzas  se  aplican  a  los  cables.  Determine  la  magnitud   de  la  aceleración  del  centro  de  masa  y  la  aceleración  angular  de   la  viga  en  este  instante.

AF  100  libras

17–95.  La  llanta  tiene  un  peso  de  30  lb  y  un  radio  de  giro  de  kG  =   0.6  ft.  Si  los  coeficientes  de  fricción  estática  y  cinética  entre  la   llanta  y  el  plano  son  ms  =  0.2  y  mk  plano  inclinado  de  modo  que   la  llanta   =  0.15,  determine  el  ángulo  máximo  u  de  la ruede  sin  resbalar.

FB  200  libras GRAMO

1,25  pies A

B

60

tu 12  pies

problema  17–92

problemas  17–94/95

Machine Translated by Google

464

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

*17–96.  El  carrete  tiene  una  masa  de  100  kg  y  un  radio  de  giro  de  kG  =  0,3  

*17–100.  Se  aplica  una  fuerza  de  F  =  10  N  al  anillo  de  10  kg  como  se  muestra.  

m.  Si  los  coeficientes  de  fricción  estática  y  cinética  en  A  son  ms  =  0.2  y  mk  =  

Si  no  ocurre  deslizamiento,  determine  la  aceleración  angular  inicial  del  anillo  

0.15,  respectivamente,  determine  la  aceleración  angular  del  carrete  si  P  =  50  

y  la  aceleración  de  su  centro  de  masa,  G.

N.

Desprecie  el  espesor  del  anillo.

17–97.  Resuelva  el  problema  17­96  si  la  cuerda  y  la  fuerza  P  =  50  N  están  

17–101.  Si  el  coeficiente  de  fricción  estática  en  C  es  μs  =  0.3,  determine  la  

dirigidas  verticalmente  hacia  arriba.

fuerza  máxima  F  que  se  puede  aplicar  al  anillo  de  5  kg  sin  que  se  deslice.  

17–98.  El  carrete  tiene  una  masa  de  100  kg  y  un  radio  de  giro  kG  =  0,3  m.  Si  

Desprecie  el  espesor  del  anillo.

los  coeficientes  de  fricción  estática  y  cinética  en  A  son  ms  =  0.2  y  mk  =  0.15,   respectivamente,  determine  la  aceleración  angular  del  carrete  si  P  =  600  N.

F

A

45

PAG

GRAMO

250mm

400mm

30

GRAMO

0,4  metros

C

A

17

problemas  17–96/97/98

problemas  17–100/101

17–99.  La  barra  uniforme  de  12  kg  está  sostenida  por  un  rodillo  en  A. Si  se  aplica  al  rodillo  una  fuerza  horizontal  de  F  =  80  N,  determine  la   aceleración  del  centro  del  rodillo  en  el  instante  en  que  se  aplica  la  fuerza.  

17–102.  La  barra  delgada  de  25  lb  tiene  una  longitud  de  6  pies.  Usando  un   collarín  de  masa  despreciable,  su  extremo  A  está  confinado  para  moverse  a   lo  largo  de  la  barra  circular  lisa  de  322  pies  de  radio.  El  extremo  B  descansa   sobre  el  piso,  para  el  cual  el  coeficiente  de  cinética  la  fricción  es  mB  =  0,4.

Desprecie  el  peso  y  el  tamaño  del  rodillo.

Si  la  barra  se  suelta  desde  el  reposo  cuando  u  =  30°,  determine  la  aceleración   angular  de  la  barra  en  este  instante.

AF  80  N

A

6  pies 2  metros

3  2  pies

B

problema  17–99

tu

problema  17–102

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 465

17.5  ECUACIONES  DE  MOVIMIENTO:  MOVIMIENTO  PLANO  GENERAL

17–103.  La  placa  circular  de  15  lb  está  suspendida  de  un  pasador  en  A.  Si  el  

17–106.  La  barra  uniforme  de  masa  m  y  longitud  L  está  balanceada  en  posición  

pasador  está  conectado  a  una  pista  a  la  que  se  le  da  una  aceleración  aA  =  5  

vertical  cuando  la  fuerza  horizontal  P  se  aplica  al  rodillo  en  A.  Determine  la  

pies/s2,  determine  las  componentes  horizontal  y  vertical  de  la  reacción  en  A  y  

aceleración  angular  inicial  de  la  barra  y  la  aceleración  de  su  punto  superior  B.

la  aceleración  angular  del  lámina.  La  placa  está  originalmente  en  reposo. 17–107.  Resuelva  el  problema  17–106  si  se  quita  el  rodillo  y  se coeficiente  de  fricción  cinética  en  el  suelo  es  μk. B

Automóvil  club  británico

A

L

GRAMO

2  pies

A PAG

problema  17–103

problemas  17–106/107 *17–108.  El  disco  semicircular  que  tiene  una  masa  de  10  kg  gira  a  v  =  4  rad>s   17 en  el  instante  u  =  60.  Si  el  coeficiente  de  fricción  estática  en  A  es  ms  =  0.5,   *17–104.  Si  P  =  30  lb,  determine  la  aceleración  angular  del  rodillo  de  50  lb.   Suponga  que  el  rodillo  es  un  cilindro  uniforme  y  que  no  se  desliza.

17–105.  Si  el  coeficiente  de  fricción  estática  entre  el  rodillo  de  50  lb  y  el  suelo  

determine  si  el  disco  se  desliza  en  este  instante.

v O

es  ms  =  0.25,  determine  la  fuerza  máxima  P  que  se  puede  aplicar  al  mango,  

4  (0,4) ———   metro

0,4  metros

de  modo  que  el  rodillo  ruede  por  el  suelo  sin  resbalar.  Además,  encuentre  la  

3p

aceleración  angular  del  rodillo.  Suponga  que  el  rodillo  es  un  cilindro  uniforme.

GRAMO

tu

A

problema  17–108

17–109.  La  alcantarilla  de  hormigón  de  500  kg  tiene  un  radio  medio  de  0,5  m.   2

, Si  el  camión  tiene  una  aceleración  de  3m>s,  determine  la  aceleración   angular   de  la  alcantarilla.  Suponga  que  la  alcantarilla  no  resbala  sobre  la  plataforma   del  camión  y  desprecie  su  espesor.

PAG

3  m/s

4  metros

1,5  pies

0,5  m

30

problemas  17–104/105

problema  17–109

2

Machine Translated by Google

466

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

17–110.  El  disco  de  15  lb  descansa  sobre  la  placa  de  5  lb.  Una  cuerda  se  

17–113.  El  disco  uniforme  de  masa  m  gira  con  una  velocidad  angular  de  v0  

enrolla  alrededor  de  la  periferia  del  disco  y  se  une  a  la  pared  en  B.  Si  se  aplica  

cuando  se  coloca  en  el  suelo.

un  par  de  torsión  M  =  40  lb  #  ft  al  disco,  determine  la  aceleración  angular  del  

Determine  la  aceleración  angular  inicial  del  disco  y  la  aceleración  de  su  centro   de  masa.  El  coeficiente  de  fricción  cinética  entre  el  disco  y  el  piso  es  μk.

disco  y  el  tiempo  necesario  para  el  extremo  C  del  disco.  placa  para  viajar  3   pies  y  golpear  la  pared.  Suponga  que  el  disco  no  se  desliza  sobre  la  placa  y   que  la  placa  descansa  sobre  la  superficie  en  D  con  un  coeficiente  de  fricción   cinética  de  μk  =  0.2.  Desprecie  la  masa  de  la  cuerda.

17–114.  El  disco  uniforme  de  masa  m  gira  con  una  velocidad  angular  de  v0   cuando  se  coloca  en  el  suelo. Determine  el  tiempo  antes  de  que  empiece  a  rodar  sin  deslizarse. ¿Cuál  es  la  velocidad  angular  del  disco  en  este  instante? El  coeficiente  de  fricción  cinética  entre  el  disco  y  el  piso  es  μk.

B

A M  40  libras  pie 1,25  pies

v0

C D

3  pies

r

problema  17–110

17–111.  El  disco  semicircular  que  tiene  una  masa  de  10  kg  gira  a  v  =  4  rad>s   en  el  instante  u  =  60.  Si  el  coeficiente  de  fricción  estática  en  A  es  ms  =  0.5,   determine  si  el  disco  se  desliza  en  este  instante. problemas  17–113/114

17

v

17–115.  Se  enrolla  una  cuerda  alrededor  de  cada  uno  de  los  dos  discos  de  10  

O 4  (0,4) ———   metro

0,4  metros

3p

kg.  Si  se  sueltan  desde  el  reposo,  determine  la  aceleración  angular  de  cada   disco  y  la  tensión  en  la  cuerda  C.

GRAMO

Desprecie  la  masa  de  la  cuerda.

tu

A

problema  17–111 D

*17–112.  La  alcantarilla  circular  de  concreto  rueda  con  una  velocidad  angular   de  v  =  0.5  rad>s  cuando  el  hombre  está  en  la  posición  que  se  muestra.  En  este   instante,  el  centro  de  gravedad  de  la  alcantarilla  y  el  hombre  están  ubicados   en  el  punto  G,  y  el  radio  de  giro  alrededor  de  G  es  kG  =  3.5  pies.  Determine  la   aceleración  angular  de  la  alcantarilla.  El  peso  combinado  de  la  alcantarilla  y  el   hombre  es  de  500  lb.  Suponga  que  la  alcantarilla  rueda  sin  resbalar  y  que  el  

A 90mm

hombre  no  se  mueve  dentro  de  la  alcantarilla.

v

C 4  pies

O

GRAMO

B 0,5  pies

90mm

problema  17–115

problema  17–112

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 467

17.5  ECUACIONES  DE  MOVIMIENTO:  MOVIMIENTO  PLANO  GENERAL

*17–116.  El  disco  de  masa  m  y  radio  r  rueda  sin  deslizarse  sobre  la  trayectoria  

17–119.  La  bola  sólida  de  radio  r  y  masa  m  rueda  sin

circular.  Determine  la  fuerza  normal  que  la  trayectoria  ejerce  sobre  el  disco  y  la  

deslizándose  por  el  canal  de  60°.  Determine  su  aceleración  angular.

aceleración  angular  del  disco  si  en  el  instante  mostrado  el  disco  tiene  una  velocidad   angular  de  V.

tu

R v

r

30 problema  17–116

30

17–117.  La  viga  uniforme  tiene  un  peso  W.  Si  originalmente  está  en  reposo  mientras  

45

los  cables  la  sostienen  en  A  y  B ,  determine  la  tensión  en  el  cable  A  si  el  cable  B   falla  repentinamente. Suponga  que  la  viga  es  una  barra  delgada. problema  17–119 17

A

*17–120.  Al  presionar  hacia  abajo  con  el  dedo  en  B,  un  anillo  delgado  que  tiene  una  

B

masa  m  recibe  una  velocidad  inicial  v0  y  un  retroceso  V0  cuando  se  suelta  el  dedo.   Si  el  coeficiente  de  fricción  cinética  entre  la  mesa  y  el  anillo  es  μk,  determine  la   distancia  que  recorre  el  anillo  hacia  adelante  antes  de  que  deje  de  girar  hacia  atrás.

L––2

L––4

L––4

problema  17–117 17–118.  La  viga  de  500  lb  se  apoya  en  A  y  B  cuando  se  somete  a  una  fuerza  de   1000  lb  como  se  muestra.  Si  el  soporte  del  pasador  en  A  falla  repentinamente,   determine  la  aceleración  angular  inicial  de  la  viga  y  la  fuerza  del  soporte  del  rodillo   sobre  la  viga.

B

Para  el  cálculo,  suponga  que  la  viga  es  una  barra  delgada,  por  lo  que  se  puede  

v0

despreciar  su  espesor. 1000  libras

5

v0

3

4

r licenciado  en  Letras

8  pies

problema  17–118

2  pies

A problema  17–120

Machine Translated by Google

468

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

PROBLEMAS  CONCEPTUALES C17–1.  El  camión  se  utiliza  para  tirar  del  contenedor  pesado.  Para   que  sea  más  efectivo  proporcionar  tracción  a  las  ruedas  traseras   en  A,  ¿es  mejor  dejar  el  contenedor  donde  está  o  colocarlo  en  la   parte  delantera  del  remolque?  Use  valores  numéricos  apropiados   para  explicar  su  respuesta.

C17–3.  ¿Cómo  puede  saber  que  el  conductor  está  acelerando  este   SUV?  Para  explicar  su  respuesta,  dibuje  los  diagramas  de  cuerpo   libre  y  cinético.  Aquí  se  suministra  potencia  a  las  ruedas  traseras. ¿Se  vería  igual  la  foto  si  se  suministrara  energía  a  las  ruedas   delanteras?  ¿Las  aceleraciones  serán  las  mismas?  Use  valores   numéricos  apropiados  para  explicar  sus  respuestas.

A

17 problema  C17–1  (©  RC  Hibbeler)

C17–2.  El  tractor  está  a  punto  de  remolcar  el  avión  hacia  la   derecha.  ¿Es  posible  que  el  conductor  haga  que  la  rueda  delantera   del  avión  se  levante  del  suelo  cuando  acelera  el  tractor? Dibuje  los  diagramas  de  cuerpo  libre  y  cinético  y  explique   algebraicamente  (letras)  si  esto  podría  ser  posible  y  cómo.

problema  C17–3  (©  RC  Hibbeler) C17–4.  ¡Aquí  hay  algo  que  no  debes  probar  en  casa,  al  menos   no  sin  usar  un  casco!  Dibuje  los  diagramas  de  cuerpo  libre  y   cinético  y  muestre  lo  que  debe  hacer  el  ciclista  para  mantener  esta   posición.  Use  valores  numéricos  apropiados  para  explicar  su   respuesta.

problema  C17–2  (©  RC  Hibbeler)

www.ebook777.com

problema  C17–4  (©  RC  Hibbeler)

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 469

REPASO  DEL  CAPÍTULO

REPASO  DEL  CAPÍTULO Momento  de  inercia

El  momento  de  inercia  es  una  medida  de  la resistencia  de  un  cuerpo  a  un  cambio  en  su   velocidad  angular.  se  define  por yo  =  1r  2 dm  y  será  diferente  para  cada  uno

metro

eje  sobre  el  que  se  calcula.

GRAMO

r

Muchos  cuerpos  están  compuestos  de   formas  simples.  Si  este  es  el  caso,  entonces   se  pueden  usar  los  valores  tabulares  de  I ,   como  los  que  se  dan  en  el  interior  de  la   contraportada  de  este  libro.  Para  obtener  el  

mensaje  directo

d

I  =  IG  +  md2

I

YO  G

momento  de  inercia  de  un  cuerpo  compuesto   sobre  cualquier  eje  específico,  se  determina   el  momento  de  inercia  de  cada  parte  sobre   el  eje  y  se  suman  los  resultados.  Hacer  esto   a  menudo  requiere  el  uso  del  teorema  del  eje  paralelo. 17 Ecuaciones  Planares  de  Movimiento

Fx  =  m(aG)x

Fn  =  m(aG)n

Las  ecuaciones  de  movimiento  definen  el   movimiento  de  traslación  y  rotación  de  un  cuerpo  

Fy  =  m(aG)y

Pie  =  m(aG)t

rígido.  Para  tener  en  cuenta  todos  los  términos   de  estas  ecuaciones,  siempre  debe  acompañar   su  aplicación  un  diagrama  de  cuerpo  libre  y,  para   algunos  problemas,  también  puede  ser   conveniente  dibujar  el  diagrama  cinético  que  

mg  =  0 traducción  rectilínea

muestra  maG  e  IGA .

Fn  =  m(aG)n  =  mv2  rG Ft  =  m(aG)t  =  marG MG  =  IGa  o  MO  =  IOa Rotación  sobre  un  eje  fijo

Fx  =  m(aG)x Fy  =  m(aG)y MG  =  IGa  o  MP  =  (mk)P Movimiento  plano  general17

mg  =  0 Traducción  curvilínea

Machine Translated by Google

470

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  17  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  FUERZA  Y  ACELERACIÓN

PROBLEMAS  DE  REVISIÓN R17–1.  El  carro  de  mano  tiene  una  masa  de  200  kg  y  un  centro  de  masa  en  G.   Determine  las  reacciones  normales  en  cada  una  de  las  ruedas  en  A  y  B  si  se  aplica  

R17–3.  El  automóvil  tiene  una  masa  de  1.50  Mg  y  un  centro  de  masa  en  G.   Determine  la  aceleración  máxima  que  puede  tener  si  solo  se  suministra  potencia  a  

una  fuerza  P  =  50  N  al  mango.  Desprecie  la  masa  y  la  resistencia  a  la  rodadura  de  

las  ruedas  traseras.  Desprecie  la  masa  de  las  ruedas  en  el  cálculo  y  suponga  que   las  ruedas  que  no  reciben  potencia  pueden  rodar  libremente.  Además,  suponga  

las  ruedas.

que  se  produce  el  deslizamiento  de  las  ruedas  motrices,  donde  el  coeficiente  de   fricción  cinética  es  mk  =  0,3. PAG

60

0,5  metros GRAMO

GRAMO

0,4  metros

0,2  metros

A

B

B

1,6  metros

0,4  metros

0,3  metros

1,3  metros

A

problema  R17–3

0,2  metros

problema  R17–1 17 R17–2.  Las  dos  varillas  de  3  lb  EF  y  HI  están  fijadas  (soldadas)  al  eslabón  AC  en   E.  Determine  la  fuerza  axial  interna  Ex,  la  fuerza  cortante  Ey  y  el  momento  ME  que   ejerce  la  barra  AC  sobre  FE  en  E  si  en  el  instante  u  =  30°  El  eslabón  AB  tiene  una   velocidad  angular  v  =  5  rad>s  y  una  aceleración  angular  a  =  8  rad>s2  como  se   muestra.

R17–4.  Un  rollo  de  papel  de  20  kg,  originalmente  en  reposo,  está  sujeto  por   pasadores  en  sus  extremos  al  soporte  AB.  El  rodillo  descansa  contra  una  pared   cuyo  coeficiente  de  fricción  cinética  en  C  es =  0,3.  Si  se  aplica  uniformemente  una  fuerza  de  40  N  al  extremo  de  mC  de  la   hoja,  determine  la  aceleración  angular  inicial  del  rollo  y  la  tensión  en  el  soporte  a   medida  que  se  desenvuelve  el  papel. Para  el  cálculo,  trate  el  rollo  como  un  cilindro.

y B

2  pies

A

H

3  pies

a  8  rad/sv  5   rad/s

2

F

I

13

12

X

2  pies

5

mi

B

C

C 3  pies

a

A 120mm

tu  30 D

problema  R17–2

60

P  40  N problema  R17–4

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com PROBLEMAS  DE  REVISIÓN

471

R17–5.  En  el  instante  que  se  muestra,  dos  fuerzas  actúan  sobre  la  barra  delgada  

R17–7.  El  carrete  y  el  alambre  envuelto  alrededor  de  su  núcleo  tienen  una  masa  

de  30  lb  que  está  fijada  en  O.  Determine  la  magnitud  de  la  fuerza  F  y  la  aceleración  

de  20  kg  y  un  radio  centroidal  de  giro  kG  =  250  mm.  si  el  coeficiente  de  fricción  

angular  inicial  de  la  barra  de  modo  que  la  reacción  horizontal  que  ejerce  el  pasador  

cinética  en  el  suelo  es  mB  =  0.1,  determine  la  aceleración  angular  del  carrete  

sobre  la  barra  sea  de  5  lb.  dirigida  a  la  derecha.

cuando  se  aplica  el  momento  de  par  de  30  N  #  m.

O 30  nm 3  pies GRAMO

400mm 20  libras

200mm 3  pies

B F

problema  R17–7

2  pies

17 problema  R17–5

R17–8.  Determine  el  giro  inverso  V  que  debe  darse  a  la  bola  de  20  lb  para  que   cuando  a  su  centro  se  le  dé  una  velocidad  horizontal  inicial  vG  =  20  ft>s,  deje  de   girar  y  trasladarse  en  el  mismo  instante.  El  coeficiente  de  fricción  cinética  es  mA  =   R17–6.  El  péndulo  consta  de  una  esfera  de  30  lb  y  una  barra  delgada  de  10  lb.  

0,3.

Calcule  la  reacción  en  el  pasador  O  justo  después  de  cortar  la  cuerda  AB .

v B

GRAMO

A

vG  20  pies/s 0,5  pies

O 1  pie 2  pies

problema  R17–6

A problema  R17–8

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

capitulo  18

(©  Arinahabich/Fotolia) Las  montañas  rusas  deben  poder  deslizarse  sobre  bucles  y  giros,  y  tener  suficiente   energía  para  hacerlo  de  manera  segura.  El  cálculo  preciso  de  esta  energía  debe   tener  en  cuenta  el  tamaño  del  automóvil  a  medida  que  avanza  por  la  pista.

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

Cinética  plana   de  un  cuerpo  rígido: trabajo  y  energía OBJETIVOS  DEL  CAPÍTULO ■  Desarrollar  formulaciones  para  la  energía  cinética  de  un  cuerpo  y  definir  las  diversas  formas  en   que  trabajan  una  fuerza  y  un  par.  ■  Aplicar  el  principio  de  trabajo  y  energía   para  resolver  problemas  cinéticos  planos  de  cuerpo  rígido  que  involucran  fuerza,  velocidad  y   desplazamiento.  ■  Mostrar  cómo  se  puede  usar  la  conservación  de  la  energía  para  resolver

Problemas  de  cinética  plana  de  cuerpo  rígido.

y

18.1  Energía  cinética

vi X

i

En  este  capítulo  aplicaremos  métodos  de  trabajo  y  energía  para  resolver  problemas  de  

V

movimiento  plano  que  involucran  fuerza,  velocidad  y  desplazamiento.  Pero  primero  será   necesario  desarrollar  un  medio  para  obtener  la  energía  cinética  del  cuerpo  cuando  el  

r

y

cuerpo  está  sujeto  a  traslación,  rotación  alrededor  de  un  eje  fijo  o  movimiento  plano  general. vP

Para  hacer  esto,  consideraremos  el  cuerpo  rígido  que  se  muestra  en  la  figura  18­1,  que   está  representado  aquí  por  una  losa  que  se  mueve  en  el  plano  de  referencia  inercial  x­y .  

X PAG

Una  i­ésima  partícula  arbitraria  del  cuerpo,  que  tiene  una  masa  dm,  está  ubicada  a  una   distancia  r  del  punto  arbitrario  P.  Si  en  el  instante  que  se  muestra  la  partícula  tiene  una   2 . 2 vi velocidad  vi ,  entonces  la  energía  cinética  de  la  partícula  es  Ti  =  d1  m  

Figura  18­1

Machine Translated by Google

474

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  18  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  TRABAJO  Y  ENERGÍA

La  energía  cinética  de  todo  el  cuerpo  se  determina  escribiendo  expresiones  similares  

y

para  cada  partícula  del  cuerpo  e  integrando  los  resultados,  es  decir, vi

1

T  =

X

2

2  Lm  dm  vi

i V

Esta  ecuación  también  se  puede  expresar  en  términos  de  la  velocidad  del  punto  P.

r

Si  el  cuerpo  tiene  una  velocidad  angular  V,  entonces  de  la  figura  18­1  tenemos

y

vP

vi  =  vP  +  vi>P  =   X

(vP)x  i  +  (vP)y  j  +  vk  *  (xi  +  yj)  =  [(vP)x  ­  vy]i  

PAG

+  [(vP)y  +  vx]j

Figura  18­1  (repetida)

El  cuadrado  de  la  magnitud  de  vi  es  entonces

vi  #  vi  =  vi

2

=  [(vP)x  ­  vy]

2

+  [(vP)y  +  vx]  +  

=  (vP)x2 ­  2(vP)xvy  +  v2  y2  +  (vP)y  ­  

2

2

2(vP)yvx  +  v2  x2 2

2  =  mP 2(vP)xvy  +  2(vP)yvx  +  v2  r

Sustituyendo  esto  en  la  ecuación  de  los  rendimientos  de  energía  cinética

T  =

1

1

2  a  Lm  dmbvP  2  ­  (vP)xva  Lm  y  dmb  +  (vP)yva  Lm  x  dmb  +

2 v2  a  Lm  r  2  dmb

18 La  primera  integral  a  la  derecha  representa  la  masa  total  m  del  cuerpo.  Dado  que  =  1y  dm   ym   y  xm  =  1x  dm,  la  segunda  y  la  tercera  integral  ubican  el  centro  de  masa  G  del  cuerpo   con  respecto  a  P.  La  última  integral  representa  el  momento  de  inercia  IP  del  cuerpo,   calculado  sobre  el  eje  z  que  pasa  por  el  punto  P.  Así ,

1 2 T  =  ­  (vP)xvym   +  (vP)yvxm  +  2  mvP

1 IPv2 2

(18–1)

Como  caso  especial,  si  el  punto  P  coincide  con  el  centro  de  masa  G  del  cuerpo,  entonces   y  =  x  =  0,  y  por  tanto

T  =

1

1

2  2  mvG + 2 IGv2

(18–2)

Ambos  términos  del  lado  derecho  son  siempre  positivos,  ya  que  vG  yv  están  al  cuadrado.   El  primer  término  representa  la  energía  cinética  de  traslación,  referenciada  desde  el  centro   de  masa,  y  el  segundo  término  representa  la  energía  cinética  de  rotación  del  cuerpo   alrededor  del  centro  de  masa.

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 475

18.1  ENERGÍA  CINÉTICA

Traducción.  Cuando  un  cuerpo  rígido  de  masa  m  se  somete  a  traslación  rectilínea  o  

v

curvilínea ,  figura  18­2,  la  energía  cinética  debida  a  la  rotación  es  cero,  ya  que  V  =  0.  Por   lo  tanto,  la  energía  cinética  del  cuerpo  es vGv  _

T  =

2 1  2  mvG

GRAMO

(18–3)

Rotación  sobre  un  eje  fijo.  Cuando  un  cuerpo  rígido  gira  alrededor  de  un  eje  fijo  que  pasa   por  el  punto  O,  figura  18­3,  el  cuerpo  tiene  energía  cinética  de  traslación  y  de  rotación ,  de  

Traducción

modo  que

Figura  18­2

T  =

1  2  2   mvG

1   +  2

IGv2

(18–4) V

La  energía  cinética  del  cuerpo  también  se  puede  formular  para  este  caso  observando   1

que  vG  =  rGv,  de  modo  que  T  =  2(IG  +  mrG  los   2 )v2 .  Por  el  teorema  de  los  ejes  paralelos,   vG

términos  entre  paréntesis  representan  el  momento  de  inercia  IO  del  cuerpo  con  respecto   a  un  eje  perpendicular  al  plano  de  movimiento  y  que  pasa  por  el  punto  O.  Por  eso,*

GRAMO

O

T  =

IOv2

RG

(18–5)

1  2

De  la  derivación,  esta  ecuación  dará  el  mismo  resultado  que  la  Eq.  18­4,  ya  que  da  cuenta   de  las  energías  cinéticas  de  traslación  y  rotación  del  cuerpo.

Rotación  sobre  un  eje  fijo

Figura  18­3 18

Movimiento  plano  general.  Cuando  un  cuerpo  rígido  se  somete  a  un  movimiento  plano  

V

general,  figura  18­4,  tiene  una  velocidad  angular  V  y  su  centro  de  masa  tiene  una  velocidad   vG.  Por  lo  tanto,  la  energía  cinética  es vG 1  2 T  =  2  m vG

+

IGv2

1  2

(18–6) GRAMO

Esta  ecuación  también  se  puede  expresar  en  términos  del  movimiento  del  cuerpo  alrededor   de  su  centro  instantáneo  de  velocidad  cero,  es  decir, T  =

1 2IICv2

(18–7)

donde  IIC  es  el  momento  de  inercia  del  cuerpo  con  respecto  a  su  centro  instantáneo.  La   demostración  es  similar  a  la  de  la  Ec.  18–5.  (Véase  el  problema  18­1.)

*  Cabe  señalar  la  similitud  entre  esta  derivación  y  la  de  MO  =  IOa.  También  se  puede  obtener  el  mismo  resultado   directamente  de  la  Ec.  18­1  seleccionando  el  punto  P  en  O  y  dándose  cuenta  de  que  vO  =  0.

Movimiento  plano  general

Figura  18­4

Machine Translated by Google

476

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  18  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  TRABAJO  Y  ENERGÍA

Sistema  de  Cuerpos.  Como  la  energía  es  una  cantidad  escalar,  la  energía  cinética   total  de  un  sistema  de  cuerpos  rígidos  conectados  es  la  suma  de  las  energías   cinéticas  de  todas  sus  partes  móviles.  Dependiendo  del  tipo  de  movimiento,  la   energía  cinética  de  cada  cuerpo  se  encuentra  aplicando  la  Ec.  18­2  o  las  formas   alternativas  mencionadas  anteriormente.

18.2  El  trabajo  de  una  fuerza La  energía  cinética  total  de  este   compactador  de  suelo  consiste  en  la   A  menudo  se  encuentran  varios  tipos  de  fuerzas  en  problemas  de  cinética  plana  que   energía  cinética  del  cuerpo  o  armazón   involucran  un  cuerpo  rígido.  El  trabajo  de  cada  una  de  estas  fuerzas  ha  sido  presentado   de  la  máquina  debido  a  su  traslación,  y   en  la  Sec.  14.1  y  se  enumera  a  continuación  como  un  resumen. las  energías  cinéticas  de  traslación  y   rotación  del  rodillo  y  las  ruedas  debido  a   su  movimiento  plano  general.  Aquí   Trabajo  de  una  fuerza  variable.  Si  una  fuerza  externa  F  actúa  sobre  un  cuerpo,  el   excluimos  la  energía  cinética  adicional   trabajo  realizado  por  la  fuerza  cuando  el  cuerpo  se  mueve  a  lo  largo  de  la  trayectoria   desarrollada  por  las  partes  móviles  del   s,  figura  18­5,  es motor  y  el  tren  de  transmisión.  (©  RC  Hibbeler) (18–8)

UF  =  LF  #  dr  =  Ls  F  cos  u  ds

Aquí  u  es  el  ángulo  entre  las  "colas"  de  la  fuerza  y  el  desplazamiento   diferencial.  La  integración  debe  tener  en  cuenta  la  variación  de  la   dirección  y  magnitud  de  la  fuerza.

18 tu

s F

tu

F

Figura  18­5 s

FC tu

FC

Fc  porque  tu

tu

Trabajo  de  una  fuerza  constante.  Si  una  fuerza  externa  Fc  actúa  sobre  un  cuerpo,   figura  18­6,  y  mantiene  una  magnitud  Fc  constante  y  una  dirección  u  constante,   mientras  el  cuerpo  experimenta  una  traslación  s,  entonces  la  ecuación  anterior  se   puede  integrar,  de  modo  que  el  trabajo  se  convierte  en

Fc  porque  tu

UFc  =  (Fc  cos  u)s Figura  18­6

www.ebook777.com

(18–9)

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 477

18.2  EL  TRABAJO  DE  UNA  FUERZA

Trabajo  de  un  Peso.  El  peso  de  un  cuerpo  solo  realiza  trabajo  cuando  el  centro  de   masa  G  del  cuerpo  sufre  un  desplazamiento  vertical  y.  Si  este  desplazamiento  es   hacia  arriba,  figura  18­7,  el  trabajo  es  negativo,  ya  que  el  peso  es  opuesto  al   desplazamiento.

GRAMO

s

W y

UW  =  ­W  y

(18­10)

GRAMO

W

Figura  18­7

Asimismo,  si  el  desplazamiento  es  hacia  abajo  (­y)  el  trabajo  se  vuelve  positivo.  En   ambos  casos,  el  cambio  de  elevación  se  considera  pequeño,  de  modo  que  W,  que  es   causado  por  la  gravitación,  es  constante.

Trabajo  de  una  fuerza  de  resorte.  Si  un  resorte  elástico  lineal  está  unido  a  un  cuerpo,   la  fuerza  del  resorte  Fs  =  ks  que  actúa  sobre  el  cuerpo  funciona  cuando  el  resorte  se   estira  o  se  comprime  desde  s1  hasta  una  posición  más  lejana  s2 . En  ambos  casos  el  trabajo  será  negativo  ya  que  el  desplazamiento  del  cuerpo  es  en   dirección  opuesta  a  la  fuerza,  figura  18­8.  el  trabajo  es fs

k 2

Nosotros  =  ­  11  2  ks2

­

1  2ks1  22

(18–11) Posición  no  

donde  s2  7  s1 .

estirada  del   resorte,  s  0

s1 s

18 s2

Figura  18­8

Fuerzas  que  no  realizan  trabajo.  Hay  algunas  fuerzas  externas  que  no  realizan  ningún   trabajo  cuando  el  cuerpo  se  desplaza.  Estas  fuerzas  actúan  en  puntos  fijos  del  cuerpo   o  tienen  una  dirección  perpendicular  a  su  desplazamiento.  Los  ejemplos  incluyen  las   reacciones  en  un  soporte  de  pasador  alrededor  del  cual  gira  un  cuerpo,  la  reacción   normal  que  actúa  sobre  un  cuerpo  que  se  mueve  a  lo  largo  de  una  superficie  fija  y  el   peso  de  un  cuerpo  cuando  el  centro  de  gravedad  del  cuerpo  se  mueve  en  un  plano   horizontal,  Fig .  18–9.  Una  fuerza  de  fricción  Ff  que  actúa  sobre  un  cuerpo  redondo  

W

mientras  rueda  sin  deslizarse  sobre  una  superficie  rugosa  tampoco  realiza  trabajo.*   Esto  se  debe  a  que,  durante  cualquier  instante  de  tiempo  dt,  Ff  actúa  en  un  punto  del   cuerpo  que  tiene  velocidad  cero  (centro  instantáneo ,  IC) ,  por  lo  que  el  trabajo   realizado  por  la  fuerza  sobre  el  punto  es  cero.  En  otras  palabras,  el  punto  no  se   desplaza  en  la  dirección  de  la  fuerza  durante  este  instante.  Dado  que  Ff  contacta  

V

r

puntos  sucesivos  solo  por  un  instante,  el  trabajo  de  Ff  será  cero.

ff CI

norte

*El  trabajo  realizado  por  una  fuerza  de  fricción  cuando  el  cuerpo  se  desliza  se  analiza  en  la  Sec.  14.3.

Figura  18­9

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

Machine Translated by Google

478

CAPÍTULO  18  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  TRABAJO  Y  ENERGÍA

18.3  El  trabajo  de  un  momento  de  pareja METRO

Considere  el  cuerpo  de  la  figura  18­10a,  que  está  sujeto  a  un  momento  de   par  M  =  Fr.  Si  el  cuerpo  experimenta  un  desplazamiento  diferencial,  entonces   el  trabajo  realizado  por  las  fuerzas  del  par  se  puede  encontrar  considerando   el  desplazamiento  como  la  suma  de  una  traslación  separada  más  la  rotación.   Cuando  el  cuerpo  se  traslada,  el  trabajo  de  cada  fuerza  se  produce  solo  por   la  componente  de  desplazamiento  a  lo  largo  de  la  línea  de  acción  de  las   fuerzas  dst ,  figura  18­10b.  Claramente,  el  trabajo  "positivo"  de  una  fuerza   cancela  el  trabajo  "negativo"  de  la  otra.  Cuando  el  cuerpo  experimenta  una   rotación  diferencial  du  alrededor  del  punto  arbitrario  O,  figura  18­10c,   entonces  cada  fuerza  experimenta  un  desplazamiento  dsu  =  (r>2)  du  en  la  dirección  de  la  fu

tu

(a)

Por  lo  tanto,  el  trabajo  total  realizado  es

F r horario  de  verano

F

Traducción  

dUM  =  Far  2dub      +  Far  2  dub  =  ( Fr )  du

(b)

=  M  du

El  trabajo  es  positivo  cuando  M  y  dU  tienen  el  mismo  sentido  de  dirección  y   negativo  si  estos  vectores  están  en  sentido  contrario.

Cuando  el  cuerpo  gira  en  el  plano  un  ángulo  finito  u  medido  en   radianes,  de  u1  a  u2 ,  el  trabajo  de  un  momento  de  par  es  por  lo  tanto

18

dsu

F   du

O

r

du r

2

2

u2

dsu F

UM  =  L

m  du

(18­12)

u1

Rotación   (c)

Figura  18­10

Si  el  momento  de  par  M  tiene  una  magnitud  constante,  entonces

UM  =  M(u2  ­  u1)

www.ebook777.com

(18­13)

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 479

18.3  LA  OBRA  DE  UN  MOMENTO  DE  PAREJA

EJEMPLO  18.1 La  barra  que  se  muestra  en  la  figura  18­11a  tiene  una  masa  de  10  kg  y  está  sujeta  a  un   momento  de  par  de  M  =  50  N  #  my  una  fuerza  de  P  =  80  N,  que  siempre  se  aplica   perpendicular  al  extremo  de  la  barra.  Además,  el  resorte  tiene  una  longitud  sin  estirar   de  0,5  m  y  permanece  en  posición  vertical  debido  a  la  guía  de  rodillos  en  B.  Determine  

B 0,75  metros

M  =  50  Nm A

el  trabajo  total  realizado  por  todas  las  fuerzas  que  actúan  sobre  la  barra  cuando  ha  

k  30  N/m

girado  hacia  abajo  desde  u  =  0  hasta  u  =  90.

tu

P  80  N

2  metros

SOLUCIÓN  

1  metro

Primero  se  dibuja  el  diagrama  de  cuerpo  libre  de  la  barra  para  tener  en  cuenta  todas  las   (a)

fuerzas  que  actúan  sobre  ella,  figura  18­11b. Peso  W.  Dado  que  el  peso  10(9.81)  N  =  98.1  N  se  desplaza  hacia  abajo  1.5  m,  el   trabajo  es UV  =  98,1  N  (1,5  m)  =  147,2  J Sí

¿Por  qué  el  trabajo  es  positivo? Momento  de  par  M.  El  momento  de  par  gira  en  un  ángulo  de  u  =  p>2  rad.  Por  eso,

tu

Hacha

50  nm

fs

P  80  N

1,5  metros

UM  =  50  N  #  m(p>2)  =  78,5  J

98,1  norte 0,5  metros

Fuerza  de  resorteFs.  Cuando  u  =  0  el  resorte  se  estira  (0,75  m  ­  0,5  m)  =  0,25  m,  y   cuando  u  =  90,  el  estiramiento  es  (2  m  +  0,75  m)  ­  0,5  m  =  2,25  m.  De  este  modo,

(b)

Figura  18­11

1

Us  =  ­  3  1  2el   (30   resorte   N>m)(0.25   realiza   mu )2   n  4trabajo     =  ­75.0  J  2(30  N>m)(2.25  m)2  ­  Por  inspección,   negativo  sobre  la  barra  ya  que  Fs  actúa  en  la  dirección  opuesta  al  desplazamiento.  Esto   se  comprueba  con  el  resultado. Fuerza  P.  A  medida  que  la  barra  se  mueve  hacia  abajo,  la  fuerza  se  desplaza  una   distancia  de  (p>2)(3  m)  =  4,712  m.  El  trabajo  es  positivo.  ¿Por  qué? ARRIBA  =  80  N  (4,712  m)  =  377,0  J

Reacciones  de  pines.  Las  fuerzas  Axe  y  Ay  no  realizan  ningún  trabajo  ya  que  no  están   desplazadas. Trabajo  Total.  El  trabajo  de  todas  las  fuerzas  cuando  la  barra  se  desplaza  es  entonces

U  =  147,2  J  +  78,5  J  ­  75,0  J  +  377,0  J  =  528  J

1  metro

Respuesta

18

Machine Translated by Google 480

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  18  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  TRABAJO  Y  ENERGÍA

18.4  Principio  de  trabajo  y  energía Aplicando  el  principio  de  trabajo  y  energía  desarrollado  en  la  Sec.  14.2  a  cada  una  de   las  partículas  de  un  cuerpo  rígido  y  sumando  los  resultados  algebraicamente,  como  la   energía  es  un  escalar,  el  principio  de  trabajo  y  energía  para  un  cuerpo  rígido  se   convierte  en

T1  +  U192  =  T2

(18–14)

Esta  ecuación  establece  que  la  energía  cinética  de  traslación  y  rotación  inicial  del   cuerpo ,  más  el  trabajo  realizado  por  todas  las  fuerzas  externas  y  los  momentos  de  par   que  actúan  sobre  el  cuerpo  a  medida  que  el  cuerpo  se  mueve  desde  su  posición  inicial   a  su  posición  final,  es  igual  a  la  energía  cinética  de  traslación  y  rotación  final  del   cuerpo .  energía  cinética.  Tenga  en  cuenta  que  no  es  necesario  considerar  el  trabajo   de  las  fuerzas  internas  del  cuerpo.  Estas  fuerzas  ocurren  en  pares  colineales  iguales   pero  opuestos,  de  modo  que  cuando  el  cuerpo  se  mueve,  el  trabajo  de  una  fuerza   cancela  el  de  su  contraparte.  Además,  dado  que  el  cuerpo  es  rígido,  no  se  produce   ningún  movimiento  relativo  entre  estas  fuerzas,  por  lo  que  no  se  realiza  ningún  trabajo  interno.

El  contrapeso  de  este  puente  basculante   realiza  un  trabajo  positivo  cuando  se  levanta  el   Cuando  varios  cuerpos  rígidos  están  conectados  por  pasadores,  conectados  por   puente  y,  por  lo  tanto,  cancela  el  trabajo   cables  inextensibles  o  en  malla  entre  sí,  la  Ec.  18­14  se  puede  aplicar  a  todo  el  sistema   negativo  realizado  por  el  peso  del  puente.  (©  RC  Hibbeler) de  cuerpos  conectados.  En  todos  estos  casos,  las  fuerzas  internas,  que  mantienen  

unidos  a  los  diversos  miembros,  no  realizan  trabajo  y,  por  lo  tanto,  se  eliminan  del   análisis.

18

El  trabajo  del  par  o  momento  desarrollado  por  los   engranajes  impulsores  de  los  motores  se  transforma   en  energía  cinética  de  rotación  del  tambor.  (©  RC  Hibbeler)

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 18.4  PRINCIPIO  DE  TRABAJO  Y  ENERGÍA

481

Procedimiento  de  Análisis El  principio  de  trabajo  y  energía  se  usa  para  resolver  problemas  cinéticos  que   involucran  velocidad,  fuerza  y  desplazamiento,  ya  que  estos  términos  están   involucrados  en  la  formulación.  Para  la  aplicación,  se  sugiere  que  se  utilice  el   siguiente  procedimiento. Energía  Cinética  (Diagramas  Cinemáticos). La  energía  cinética  de  un  cuerpo  se  compone  de  dos  partes.  La  energía  cinética   de  traslación  se  relaciona  con  la  velocidad  del  centro  de  masa,  T  =  y  se   1  2  2   determina  la  energía   mvG  c,inética  de  rotación utilizando  el  momento  de  inercia  del  cuerpo  con  respecto  al  centro  de  masa.  En   1 2 IGv2 . el  caso  especial  de  rotación  con  respecto  a  un  eje  fijo  (o  T  =   rotación  con  respecto  al  IC),  estas  dos  energías  cinéticas  se  combinan  IOv2  y   1 pueden  expresar  como  T  =  donde  IO  2ese   s  el  momento  de  inercia  con  respecto  al   eje  de  rotación. Los  diagramas  cinemáticos  de  velocidad  pueden  ser  útiles  para  determinar  vG   y  v  o  para  establecer  una  relación  entre  vG  y  v.* Trabajo  (diagrama  de  cuerpo  libre). Dibuje  un  diagrama  de  cuerpo  libre  del  cuerpo  cuando  esté  ubicado  en  un   punto  intermedio  a  lo  largo  de  la  trayectoria  para  tener  en  cuenta  todas  las   fuerzas  y  momentos  de  par  que  realizan  trabajo  sobre  el  cuerpo  a  medida  que   se  mueve  a  lo  largo  de  la  trayectoria. Una  fuerza  realiza  trabajo  cuando  se  mueve  a  través  de  un  desplazamiento  en   la  dirección  de  la  fuerza. Las  fuerzas  que  son  funciones  de  desplazamiento  deben  integrarse  para   obtener  el  trabajo.  Gráficamente,  el  trabajo  es  igual  al  área  bajo  la  curva  fuerza­ desplazamiento. El  trabajo  de  un  peso  es  el  producto  de  su  magnitud  y  el  desplazamiento   vertical,  UW  =  Wy.  Es  positivo  cuando  el  peso  se  mueve  hacia  abajo. El  trabajo  de  un  resorte  tiene  la  forma  Us  =  rigidez  

ks2, donde  k  es  el

1  2

del  resorte  y  s  es  el  estiramiento  o  compresión  del  resorte. El  trabajo  de  un  par  es  el  producto  del  momento  del  par  y  el  ángulo  en  radianes   que  gira,  UM  =  Mu. Dado  que  se  requiere  la  suma  algebraica  de  los  términos  de  trabajo,  es   importante  que  se  especifique  el  signo  correcto  de  cada  término.   Específicamente,  el  trabajo  es  positivo  cuando  la  fuerza  (momento  de  par)  tiene   la  misma  dirección  que  su  desplazamiento  (rotación);  de  lo  contrario,  es  negativo. Principio  de  Trabajo  y  Energía. Aplicar  el  principio  de  trabajo  y  energía,  T1  +  U192  =  T2 .  Dado  que  esta  es   una  ecuación  escalar,  se  puede  usar  para  resolver  solo  una  incógnita  cuando   se  aplica  a  un  solo  cuerpo  rígido. *Una  breve  revisión  de  las  Secs.  Los  ejercicios  16.5  a  16.7  pueden  resultar  útiles  para  resolver  problemas,   ya  que  los  cálculos  de  la  energía  cinética  requieren  un  análisis  cinemático  de  la  velocidad.

18

Machine Translated by Google

482

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  18  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  TRABAJO  Y  ENERGÍA

EJEMPLO  18.2 El  disco  de  30  kg  que  se  muestra  en  la  figura  18­12a  está  sostenido  por  un  pasador  en  su  centro.

Determine  el  ángulo  que  debe  recorrer  para  alcanzar  una  velocidad   angular  de  2  rad>s  partiendo  del  reposo.  Sobre  él  actúa  un  momento  de   par  constante  M  =  5  N  #  m.  El  resorte  originalmente  no  está  estirado  y   su  cuerda  se  enrolla  alrededor  del  borde  del  disco. M  5  Nm 0,2  metros

O

k  10  N/m

(a)

SOLUCIÓN

Energía  cinética.  Como  el  disco  gira  alrededor  de  un  eje  fijo  e  inicialmente   está  en  reposo,  entonces T1  =  0

18

T2  =

1 2 IOv2 = 2  31      2(30  kg)(0,2  m)2  4(2  rad>s)2  =  1,2  J

1  2

Trabajo  (diagrama  de  cuerpo  libre).  Como  se  muestra  en  la  figura  18­12b,  las   294.3  norte

M  5  Nm

reacciones  del  pasador  Ox  y  Oy  y  el  peso  (294.3  N)  no  realizan  trabajo,  ya  que   no  se  desplazan.  El  momento  de  par,  que  tiene  una  magnitud  constante,  realiza   un  trabajo  positivo  UM  =  Mu  a  medida  que  el  disco  gira  en  un  ángulo  de  u  rad  en   ­1   el  sentido  de  las  agujas  del  reloj,  y  el  resorte  realiza  un  trabajo   ks2 .  2 negativo  Us  =  Principio  de  trabajo  y  energía.

O 5T16  +  5U1­26  =  5T26

Buey

0,2  metros

Oye

5T16  +  y  Mu  ­

1  2

ks2  f  =  5T26  

1 fs

506  +  e  (5  N  #  m)u  ­

2 (10  N>m)[u(0,2  m)]2  f  =  51,2  J6 ­  0.2u2  +  5u  ­  1.2  =  0  

(b)

Resolviendo  esta  ecuación  cuadrática  para  la  raíz  positiva  más  pequeña,

Figura  18­12

Respuesta

u  =  0,2423  rad  =  0,2423  rada  180  pb     r= ad     13,9

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 483

18.4  PRINCIPIO  DE  TRABAJO  Y  ENERGÍA

EJEMPLO  18.3 La  rueda  que  se  muestra  en  la  figura  18­13a  pesa  40  lb  y  tiene  un  radio  de  giro  kG   =  0.6  pies  alrededor  de  su  centro  de  masa  G.  Si  se  somete  a  un  momento  de  par   en  el  sentido  de  las  manecillas  del  reloj  de  15  lb  #  pies  y  rueda  desde  el  reposo  sin   deslizarse,  determine  su  velocidad  angular  después  de  que  su  centro  G  se  mueve  0.5  ft.

k  10  libras/pie

A

El  resorte  tiene  una  rigidez  k  =  10  lb>ft  e  inicialmente  no  está  estirado   cuando  se  aplica  el  momento  de  par.

GRAMO

0,8  pies

15  libras­pie

SOLUCIÓN

Energía  Cinética  (Diagrama  Cinemático).  Como  la  rueda  está  inicialmente  en   reposo,

(a)

T1  =  0

A

El  diagrama  cinemático  de  la  rueda  cuando  está  en  la  posición  final  se   muestra  en  la  figura  18­13b.  La  energía  cinética  final  se  determina  a  partir  de

V2

1,6  pies

(vG)2 GRAMO

T2  = =

2

0,8  pies

IICv2

1  2

1

CI

2  tazas   40  p libras 32,2   ies>s

T2  =  0,6211  v2

2

(0,6  pies)2  +  ¢  32,2   40  libras pies>s2  ≤(0,8  pies)2  dv2  2 (b)

2

Trabajo  (diagrama  de  cuerpo  libre).  Como  se  muestra  en  la  figura  18­13c,   solo  funcionan  la  fuerza  del  resorte  Fs  y  el  momento  de  par.  La  fuerza   normal  no  se  mueve  a  lo  largo  de  su  línea  de  acción  y  la  fuerza  de  fricción   no  realiza  trabajo,  ya  que  la  rueda  no  resbala  al   ­1   rodar.  ks2  _ El  trabajo  de  Fs  se  encuentra  usando  Us  =  Aquí   2el  trabajo  es  negativo  ya  que  Fs  está   en  la  dirección  opuesta  al  desplazamiento.  Como  la  rueda  no  se  desliza  cuando  el  centro  

18 fs 40  libras

15  libras­pie

G  se  mueve  0,5  pies,  entonces  la  rueda  gira  u  =  sG>rG>IC  =  0,5  pies>0,8  pies  =  0,625   rad,  figura  18­13b.  Por  lo  tanto,  el  resorte  se  estira  s  =  urA>IC  =  (0.625  rad)(1.6  pies)  =  1  

pensión  completa

pie. NÓTESE  BIEN

Principio  de  Trabajo  y  Energía.

(C)

Figura  18­13

5T16  +  5U1­26  =  5T26 1

5T16  +  5Mu  ­  2  ks26  =  5T26

1 506  +  e  15  libras  #  pies  (0,625  rad)  ­

2 (10  libras>pie)(1  pie)2  f  =  50.6211  v2

v2 =  2,65  rad>s  b

2

pies  #  lb6

Respuesta

Machine Translated by Google 484

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  18  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  TRABAJO  Y  ENERGÍA

EJEMPLO  18.4 El  tubo  de  700  kg  está  igualmente  suspendido  de  los  dos  dientes  del  montacargas   que  se  muestra  en  la  foto.  Está  experimentando  un  movimiento  oscilante  tal  que   cuando  u  =  30  está  momentáneamente  en  reposo.  Determine  las  fuerzas  normales   y  de  fricción  que  actúan  sobre  cada  diente  y  que  se  necesitan  para  sostener  el  tubo   en  el  instante  u  =  0.  Las  medidas  del  tubo  y  la  suspensión  se  muestran  en  la  figura   18­14a.  Desprecie  la  masa  del  tirante  y  el  espesor  del  tubo. O

tu 0,4  metros

GRAMO

0,15  metros

(©  RC  Hibbeler)

(a)

Figura  18­14

SOLUCIÓN   Debemos  usar  las  ecuaciones  de  movimiento  para  encontrar  las  fuerzas  sobre   los  dientes  ya  que  estas  fuerzas  no  realizan  trabajo.  Sin  embargo,  antes  de   hacer  esto,  aplicaremos  el  principio  del  trabajo  y  la  energía  para  determinar  la   velocidad  angular  de  la  tubería  cuando  u  =  0. 18

Energía  Cinética  (Diagrama  Cinemático).  Como  la  tubería  originalmente  está  en   reposo,  entonces T1  =  0 La  energía  cinética  final  se  puede  calcular  con  referencia  al  punto  fijo  O  o  al  centro   de  masa  G.  Para  el  cálculo,  consideraremos  que  la  tubería  es  un  anillo  delgado,  de   modo  que  IG  =  mr2  Si  se  considera  el  punto  G ,  tenemos .

T2  =

1  2m(vG)2

2

+

IGv22

1  2

1 = 2(700   kg)[(0,4  m)v2]

2  +

1

2[700  kg(0,15  m)2 ]v2

2

=  63.875v2 2 Si  se  considera  el  punto  O ,  entonces  se  debe  usar  el  teorema  de  los  ejes  paralelos   para  determinar  IO.  Por  eso, T2  =

1 IOv22 = 2[700  kg(0,15  m)2  +  700  kg(0,4  m)2 ]v2

1  2

=  63.875v2 2

www.ebook777.com

2

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 18.4  PRINCIPIO  DE  TRABAJO  Y  ENERGÍA

Trabajo  (Diagrama  de  cuerpo  libre).  Figura  18­14b.  Las  fuerzas  normales  y  de   fricción  en  los  dientes  no  realizan  trabajo  ya  que  no  se  mueven  cuando  la  tubería   se  balancea.  El  peso  realiza  un  trabajo  positivo  ya  que  se  mueve  hacia  abajo  a  lo   largo  de  una  distancia  vertical  y  =  0,4  m  ­  0,4  cos  30  m  =  0,05359  m.

485

Nuevo  Testamento

PIE

O

tu

Principio  de  Trabajo  y  Energía. 0,4  metros

5T16  +  5U1­26  =  5T26  506  +  

GRAMO

5700(9,81)  N(0,05359  m)6  =  563,875v2  26 v2

y

=  2.400  rad>s

700  (9,81)  norte

Ecuaciones  de  movimiento.  Con  referencia  a  los  diagramas  cinético  y  de  cuerpo   libre  que  se  muestran  en  la  figura  18­14c,  y  usando  el  resultado  para  v2,  tenemos

(b)

d+  Ft  =  m(aG)t ;  FT  =  (700  kg)(aG)t  +  cFn  =   m(aG)n;  NT  ­  700(9,81)  N  =  (700  kg)(2,400  rad>s)2  (0,4  m)  c+MO  =  IOa;  0  =  [(700   kg)(0,15  m)2  +  (700  kg)(0,4  m)2 ]a Como  (aG)t  =  (0.4  m)a,  entonces a  =  0,  (aG)t  =  0 FT  =  0 NT  =  8.480  kN Se  utilizan  dos  dientes  para  soportar  la  carga,  por  lo  tanto

18

F T =  0 =

= Nuevo  Testamento

=

Respuesta

8.480kN

=  4,24  kN

Respuesta

2

NOTA:  Debido  al  movimiento  de  balanceo,  los  dientes  están  sujetos  a  una  fuerza   normal  mayor  que  la  que  tendrían  si  la  carga  fuera  estática,  en  la  cual  =  700(9.81)   =

N>2  =  3.43  kN.  caso  NT

Nuevo  Testamento

PIE

O

O

700  kg(aG)n

0,4  metros

0,4  metros

= GRAMO

GRAMO

700  kg(ag)t AIG

700  (9,81)  norte (C)

Figura  18­14

Machine Translated by Google 486

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  18  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  TRABAJO  Y  ENERGÍA

EJEMPLO  18.5 La  barra  de  10  kg  que  se  muestra  en  la  figura  18­15a  está  restringida  para  que  sus  extremos  se   muevan  a  lo  largo  de  las  ranuras  acanaladas.  La  barra  está  inicialmente  en  reposo  cuando  u  =  0. A 0,4  metros

Si  sobre  el  bloque  deslizante  en  B  actúa  una  fuerza  horizontal  P  =  50  N,  determine  la   velocidad  angular  de  la  barra  en  el  instante  u  =  45. Desprecie  la  fricción  y  la  masa  de  los  bloques  A  y  B.

tu 0,4  metros

SOLUCIÓN  

GRAMO

¿Por  qué  se  puede  usar  el  principio  del  trabajo  y  la  energía  para  resolver  este  problema? Energía  Cinética  (Diagramas  Cinemáticos).  En  la  figura  18­15b  se  muestran  dos  

P  50  N

diagramas  cinemáticos  de  la  barra,  cuando  está  en  la  posición  inicial  1  y  en  la  posición  

B

final  2.  Cuando  la  barra  está  en  la  posición  1,  T1  =  0  ya  que  (vG)1  =  V1  =  0.  En  la   posición  2  la  velocidad  angular  es  V2  y  la  velocidad  del  centro  de  masa  es  (vG)2 .  Por  

(a)

lo  tanto,  la  energía  cinética  es T2  =

2

m(vG)2

1  2

+

2

IGv2

1  2

1 2 = 1 2(10  kg)(vG)2 + 2  3   1  12(10  kg)(0,8  m)2  4v2  2

2

=  5(vG)2  +  0,2667(v2)

(vG)1  0  G  v1  0

2

Las  dos  incógnitas  (vG)2  y  v2  se  pueden  relacionar  a  partir  del  centro  instantáneo  de   velocidad  cero  de  la  barra.  Figura  18­15b.  Se  ve  que  cuando  A  se  mueve  hacia  abajo  

(vA)2 CI A

V2

rG/CI

velocidad  (vB)2 .  Conociendo  estas  direcciones,  el  IC  se  ubica  como  se  muestra  en  la   figura.  Por  eso,

1

18

con  una  velocidad  (vA)2 ,  B  se  mueve  horizontalmente  hacia  la  izquierda  con  una  

(vG)2  =  =  (0,4  tan  45  m)v2  rG>ICv2

45G  0,4m  _

45

(vG)2

=  0.4v2

(vB)2

Por  lo  tanto, 0,4  metros

B

2

2

T2  =  0.8v2  +  0.2667v2  =  1.0667v2  Por   2

2

supuesto,  también  podemos  determinar  este  resultado  usando  T2  =

(b)

2

1  2

IICv2 .

Trabajo  (diagrama  de  cuerpo  libre).  Figura  18­15c.  Las  fuerzas  normales  NA  y  NB  no   realizan  trabajo  cuando  la  barra  se  desplaza.  ¿Por  qué?  El  peso  de  98,1  N  se  desplaza   A

N /  A

0,4  metros

una  distancia  vertical  de  y  =  (0,4  ­  0,4  cos  45)  m;  mientras  que  la  fuerza  de  50  N  se   mueve  una  distancia  horizontal  de  s  =  (0.8  sen  45)  m. Ambas  fuerzas  realizan  un  trabajo  positivo.  ¿Por  qué?

45

Principio  de  Trabajo  y  Energía.

0,4  metros

5T16  +  5U1­26  =  5T26

(0,4  cos  45)  m 98,1  norte

50  NB  ( 0,8   sen  45)  m  NB

5T16  +  5W  y  +  Ps6  =  5T26 506  +  598,1  N(0,4  m  ­  0,4  cos  45  m)  +  50  N(0,8  sen  45  m)6  =  51,0667v2  2  J6

(C)

Resolviendo  para  v2  da v2 =  6,11  rad>sb

Figura  18­15

www.ebook777.com

Respuesta

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 487

18.4  PRINCIPIO  DE  TRABAJO  Y  ENERGÍA

PROBLEMA  PRELIMINAR P18–1.  Determine  la  energía  cinética  del  objeto  de  100  kg.

3  rad/s 2  rad/s O

100  kg

30 100  kg 3  metros

(a) (d)

4  metros

2  metros

O

2  rad/s

4  rad/s

100  kg 100  kg

(b)

18

2  metros

2  rad/s (mi)

100  kg 3  metros

100  kg

2  metros

2  metros

4  rad/s

Sin  deslizamiento

(F)

(C)

problema  P18–1

Machine Translated by Google

488

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

CAPÍTULO  18  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  TRABAJO  Y  ENERGÍA

PROBLEMAS  FUNDAMENTALES F18–1.  La  rueda  de  80  @  kg  tiene  un  radio  de  giro  alrededor  de  su  centro  de  masa  

F18–4.  La  rueda  de  50  kg  está  sujeta  a  una  fuerza  de  50  N.  Si  la  rueda  parte  del  

O  de  kO  =  400  mm.  Determine  su  velocidad  angular  después  de  que  haya  girado  20  

reposo  y  rueda  sin  deslizarse,  determine  su  velocidad  angular  después  de  haber  

revoluciones  partiendo  del  reposo.

girado  10  revoluciones.

0,6  metros

P  50  N

El  radio  de  giro  de  la  rueda  alrededor  de  su  centro  de  masa  G  es  kG  =  0,3  m.

O 30

problema  F18–1 F18–2.  La  barra  delgada  uniforme  de  50  lb  está  sujeta  a  un  momento  de  par  de  M  =   100  lb  #  ft.  Si  la  barra  está  en  reposo  cuando  u  =  0,  determine  su  velocidad  angular   problema  F18–4

cuando  u  =  90.

F18–5.  Si  la  barra  delgada  uniforme  de  30  @  kg  parte  del  reposo  en  la  posición  que  

O

se  muestra,  determine  su  velocidad  angular  después  de  haber  girado  4  revoluciones.  

M100  lbft

Las  fuerzas  permanecen  perpendiculares  a  la  barra. tu

5  pies

30  norte

0,5  m  0,5  m

0,5  metros

1,5  metros

18

O

20  nm

20  norte

problema  F18–5

problema  F18–2 F18–3.  La  barra  delgada  uniforme  de  50  @  kg  está  en  reposo  en  la  posición  que  se   muestra  cuando  se  aplica  P  =  600  N.  Determine  la  velocidad  angular  de  la  barra   cuando  la  barra  alcanza  la  posición  vertical.

F18–6.  La  rueda  de  20  @  kg  tiene  un  radio  de  giro  alrededor  de  su  centro  G  de  kG  =   300  mm.  Cuando  se  somete  a  un  momento  de  par  de  M  =  50  N  #  m,  rueda  sin   deslizar.  Determine  la  velocidad  angular  de  la  rueda  después  de  que  su  centro  de   masa  G  haya  recorrido  una  distancia  de  sG  =  20  m,  partiendo  del  reposo.

A

0,4  metros 5  metros

M  50  Nm

4  metros

GRAMO

P  600  N B problema  F18–6

problema  F18–3

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 489

18.4  PRINCIPIO  DE  TRABAJO  Y  ENERGÍA

PROBLEMAS 18–1.  En  un  instante  dado  el  cuerpo  de  masa  m  tiene  una  velocidad  angular  V  y  su  

*18–4.  Se  aplica  una  fuerza  de  P  =  60  N  al  cable,  lo  que  hace  que  el  carrete  de  

centro  de  masa  tiene  una  velocidad  vG.  Demuestre  que  IICv2 ,  su  energía  cinética  

200  kg  gire  ya  que  está  apoyado  sobre  los  dos  rodillos  A  y  B  del  dispensador.  

puede  representar  como  T  =  donde  IIC  es  el  momento  de  inercia  1   d2se   el  cuerpo  

Determine  la  velocidad  angular  del  carrete  después  de  haber  dado  dos  vueltas  

determinado  con  respecto  al  eje  instantáneo  de  velocidad  cero,  ubicado  a  una  

partiendo  del  reposo.  Desprecie  la  masa  de  los  rodillos  y  la  masa  del  cable.  

distancia  rG>IC  del  centro  de  masa  como  se  muestra.

Suponga  que  el  radio  de  giro  del  carrete  alrededor  de  su  eje  central  permanece   constante  en  kO  =  0.6  m.

CI PAG

rG/CI O

0,75  metros 1  metro

GRAMO

vG

v A

B 0,6  metros

problema  18–4

problema  18–1

18–5.  Se  aplica  una  fuerza  de  P  =  20  N  al  cable,  lo  que  hace  que  el  carrete  de  175   kg  gire  ya  que  está  apoyado  sobre  los  dos  rodillos  A  y  B  del  dispensador.  Determine   18–2.  La  rueda  está  hecha  de  un  anillo  delgado  de  5  kg  y  dos  varillas  delgadas  de  

la  velocidad  angular  del  carrete  después  de  haber  dado  dos  vueltas  partiendo  del  

2  kg.  Si  el  resorte  torsional  unido  al  centro  de  la  rueda  tiene  una  rigidez  k  =  2  N  #  

reposo.  Desprecie  la  masa  de  los  rodillos  y  la  masa  del  cable.  El  radio  de  giro  del  

m>rad,  y  la  rueda  se  gira  hasta  que  se  desarrolla  el  momento  de  torsión  M  =  25  N  

carrete  alrededor  de  su  eje  central  es  kG  =  0.42  m. 18

#  m,  determine  la  velocidad  angular  máxima  de  la  rueda  si  se  suelta  del  descanso

18–6.  Se  aplica  una  fuerza  de  P  =  20  N  al  cable,  lo  que  hace  que  el  carrete  de  175   18–3.  La  rueda  está  hecha  de  un  anillo  delgado  de  5  kg  y  dos  varillas  delgadas  de  

kg  gire  sin  resbalar  sobre  los  dos  rodillos  A  y  B  del  dispensador.  Determine  la  

2  kg.  Si  el  resorte  torsional  unido  al  centro  de  la  rueda  tiene  una  rigidez  k  =  2  N  #  

velocidad  angular  del  carrete  después  de  haber  dado  dos  vueltas  partiendo  del  

m>rad,  de  modo  que  el  momento  de  torsión  en  el  centro  de  la  rueda  es  M  =  (2u)  N  

reposo.  Desprecie  la  masa  del  cable.  Cada  rodillo  se  puede  considerar  como  un  

#  m,  donde  u  está  en  radianes,  determine  el  máximo  velocidad  angular  de  la  rueda  

cilindro  de  18  kg,  con  un  radio  de  0,1  m.  El  radio  de  giro  del  carrete  alrededor  de  

si  se  gira  dos  revoluciones  y  luego  se  suelta  desde  el  reposo.

su  eje  central  es  kG  =  0.42  m.

PAG

30

250mm 0,5  metros

GRAMO

O 500mm METRO

A

B 400mm

problemas  18–2/3

problemas  18–5/6

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

Machine Translated by Google

490

CAPÍTULO  18  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  TRABAJO  Y  ENERGÍA

18–7.  La  polea  doble  consta  de  dos  partes  unidas  entre  sí.  Tiene   un  peso  de  50  lb  y  un  radio  de  giro  centroidal  de  kO  =  0.6  pies  y   gira  con  una  velocidad  angular  de  20  rad>s  en  el  sentido  de  las   manecillas  del  reloj.  Determine  la  energía  cinética  del  sistema.   Suponga  que  ninguno  de  los  cables  se  desliza  en  la  polea.

18–10.  El  carrete  tiene  una  masa  de  40  kg  y  un  radio  de  giro  de   kO  =  0,3  m.  Si  el  bloque  de  10  kg  se  suelta  desde  el  reposo,   determine  la  distancia  que  debe  caer  el  bloque  para  que  el  carrete   tenga  una  velocidad  angular  v  =  15  rad>s.  Además,  ¿cuál  es  la   tensión  en  la  cuerda  mientras  el  bloque  está  en  movimiento? Desprecie  la  masa  de  la  cuerda.

*18–8.  La  polea  doble  consta  de  dos  partes  unidas  entre  sí.  Tiene   un  peso  de  50  lb  y  un  radio  de  giro  centroidal  de  kO  =  0.6  pies  y   gira  con  una  velocidad  angular  de  20  rad>s  en  el  sentido  de  las   manecillas  del  reloj.  Determine  la  velocidad  angular  de  la  polea   en  el  instante  en  que  el  peso  de  20  lb  se  mueve  2  pies  hacia   abajo.

300mm 500mm   O

v  20  rad/s

0,5  pies

1  pie

O

problema  18–10

B  30  libras A

18

18–11.  La  fuerza  de  T  =  20  N  se  aplica  a  la  cuerda  de  masa   despreciable.  Determine  la  velocidad  angular  de  la  rueda  de  20   kg  cuando  ha  girado  4  revoluciones  partiendo  del  reposo. La  rueda  tiene  un  radio  de  giro  de  kO  =  0,3  m.

20  libras

problemas  18–7/8

18–9.  El  disco,  que  tiene  una  masa  de  20  kg,  está  sujeto  al   momento  de  par  de  M  =  (2u  +  4)  N  #  m,  donde  u  está  en  radianes.   Si  parte  del  reposo,  determine  su  velocidad  angular  cuando  haya   dado  dos  vueltas.

0,4  metros

O

300  mm  M O

T  20  N problema  18–9

problema  18–11

www.ebook777.com

Machine Translated by Google

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com 18.4  PRINCIPIO  DE  TRABAJO  Y  ENERGÍA

*18–12.  Determine  la  velocidad  del  cilindro  de  50  kg  después  de  haber  descendido  

491

18–15.  El  péndulo  consiste  en  un  disco  uniforme  de  10  kg  y  una  barra  delgada  

una  distancia  de  2  m.  Inicialmente,  el  sistema  está  en  reposo.  El  carrete  tiene  una  

uniforme  de  3  kg.  Si  se  suelta  desde  el  reposo  en  la  posición  que  se  muestra,  

masa  de  25  kg  y  un  radio  de  giro  alrededor  de  su  centro  de  masa  A  de  kA  =  125  mm.

determine  su  velocidad  angular  cuando  gira  90°  en  el  sentido  de  las  manecillas  del   reloj.

A

75mm B A

0,8  metros

M  30  N∙m D 2  metros

problema  18–15

*18–16.  Un  motor  suministra  un  par  constante  M  =  6  kN  #  m  al  tambor  de  bobinado   problema  18­12

que  opera  el  ascensor.  Si  el  ascensor  tiene  una  masa  de  900  kg,  el  contrapeso  C   tiene  una  masa  de  200  kg  y  el  tambor  de  bobinado  tiene  una  masa  de  600  kg  y  un   radio  de  giro  alrededor  de  su  eje  de  k  =  0,6  m,  determine  la  velocidad  del  ascensor  

18–13.  La  barra  delgada  uniforme  de  10  kg  está  suspendida  en  reposo  cuando  se  

después  de  se  eleva  5  m  partiendo  del  reposo.

aplica  una  fuerza  de  F  =  150  N  en  su  extremo.  Determine  la  velocidad  angular  de  la   barra  cuando  ha  girado  90°  en  el  sentido  de  las  manecillas  del  reloj  desde  la  posición  

Desprecie  la  masa  de  las  poleas.

que  se  muestra.  La  fuerza  es  siempre  perpendicular  a  la  barra. 18 18–14.  La  barra  delgada  uniforme  de  10  kg  está  suspendida  en  reposo  cuando  se   aplica  una  fuerza  de  F  =  150  N  en  su  extremo.  Determine  la  velocidad  angular  de  la   barra  cuando  ha  girado  180°  en  el  sentido  de  las  manecillas  del  reloj  desde  la   posición  que  se  muestra.  La  fuerza  es  siempre  perpendicular  a  la  barra.

O

3  metros

METRO

C

F problemas  18–13/14

D

0,8  metros

problema  18­16

libros  electrónicos  gratis  ==>  www.ebook777.com

Machine Translated by Google

492

CAPÍTULO  18  CINÉTICA  PLANA  DE  UN  CUERPO  RÍGIDO :  TRABAJO  Y  ENERGÍA

18–17.  Al  centro  O  del  anillo  delgado  de  masa  m  se  le  da  una  velocidad  

18–19.  La  criba  rotatoria  S  se  utiliza  para  lavar  piedra  caliza.

angular  de  v0.  Si  el  anillo  rueda  sin  deslizarse,  determine  su  velocidad  angular  

Cuando  está  vacío  tiene  una  masa  de  800  kg  y  un  radio  de  giro  de  kG  =  1,75  

después  de  haber  viajado  una  distancia  de  s  por  el  plano.  Desprecie  su  

m.  La  rotación  se  logra  aplicando  un  par  de  torsión  de  M  =  280  N  #  m  

espesor.

alrededor  de  la  rueda  motriz  en  A.  Si  no  ocurre  deslizamiento  en  A  y  la  rueda   de  apoyo  en  B  puede  rodar  libremente,  determine  la  velocidad  angular  de  la   pantalla  después  de  que  haya  girado  5  revoluciones  Desprecie  la  masa  de  A   y  B.

v0 s r O

S

2  metros

tu

0,3  metros

problema  18–17

B

M  280  N  ∙m

A

problema  18­19

18–18.  La  rueda  tiene  una  masa  de  100  kg  y  un  radio  de  giro  de  kO  =  0,2  m.   Un  motor  suministra  un  par  de  torsión  M  =  (40  u  +  900)  N  #  m,  donde  u  está   18

en  radianes,  sobre  el  eje  impulsor  en  O.  Determine  la  velocidad  del  carro  de   carga,  que  tiene  una  masa  de  300  kg,  después  de  viajar  s  =  4  metros   Inicialmente,  el  automóvil  está  en  reposo  cuando  s  =  0  y  u  =  0°.  Desprecie  la   masa  del  cable  conectado  y  la  masa  de  las  ruedas  del  automóvil.

*18–20.  Si  P  =  200  N  y  la  barra  delgada  uniforme  de  15  kg  parte  del  reposo   en  u  =  0,  determine  la  velocidad  angular  de  la  barra  en  el  instante  justo  antes   de  u  =  45.

METRO

0,3  metros

s

O

600mm A

45°

tu

P  200  N B

30

problema  18–20

problema  18–18

www.ebook777.com