Ingenieria Mecanica Dinamica R C Hibbele 361
January 15, 2024 | Author: Anonymous | Category: N/A
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CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
A medida que la tabla se desliza hacia abajo a la izquierda, está sujeta a un movimiento plano general. Como se conocen las direcciones de las
CI
B
velocidades de sus extremos A y B , el IC está ubicado como se muestra. En este instante el tablero girará momentáneamente sobre este punto. Dibuje el tablero en varias otras posiciones y establezca el IC para cada caso. (© RC Hibbeler)
vB
Virginia
A
CI
dieciséis
rA/CI rB/CI RC/IC
B vB v rB/CI V
A
C
vA v rA/CI
Tenga en cuenta que el punto elegido como centro instantáneo de velocidad cero para el cuerpo solo se puede usar en el instante considerado, ya que el cuerpo cambia su posición de un instante al siguiente. El lugar geométrico de los puntos que definen la ubicación del IC durante el movimiento del cuerpo se denomina centroda, figura 1618a, por lo que cada punto de la centroda actúa como el IC del cuerpo sólo durante un instante. Aunque el IC puede usarse convenientemente para determinar la velocidad de cualquier punto en un cuerpo, generalmente no tiene aceleración cero y, por lo tanto, no debe usarse para encontrar las aceleraciones de los puntos en un cuerpo.
vC v rC/IC
Procedimiento de Análisis La velocidad de un punto en un cuerpo que está sujeto a un movimiento plano general se puede determinar con referencia a su centro instantáneo de
Figura 1619
velocidad cero siempre que la ubicación del IC se establezca primero usando uno de los tres métodos descritos anteriormente. Como se muestra en el diagrama cinemático de la figura 1619, el cuerpo se imagina como “extendido y fijo” en el IC de modo que, en el instante considerado, gira alrededor de este pasador con su velocidad angular V. La magnitud de la velocidad para cada uno de los puntos arbitrarios A, B y C del cuerpo se puede determinar utilizando la ecuación vr, donde r es la v = distancia radial desde el IC hasta cada punto. La línea de acción de cada vector de velocidad v es perpendicular a su línea radial asociada r, y la velocidad tiene un sentido de dirección que tiende a mover el punto de manera consistente con la rotación angular V de la línea radial, Fig. 16– 19
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16.6 CENTRO INSTANTÁNEO DE VELOCIDAD CERO
EJEMPLO 16.9 Muestre cómo determinar la ubicación del centro instantáneo de velocidad cero para (a) el elemento BC que se muestra en la figura 1620a; y (b) el enlace CB que se muestra en la figura 1620c. CI rB/IC VBC
B
RC/IC
tu
B
A
v
tu
C
vC
C
vB
(a)
(b)
SOLUCIÓN Parte (a). Como se muestra en la figura 1620a, el punto B se mueve en una
dieciséis
trayectoria circular tal que vB es perpendicular a AB. Por lo tanto, actúa en un ángulo u con respecto a la horizontal, como se muestra en la figura 1620b. El movimiento del punto B hace que el pistón avance horizontalmente con una velocidad vC. Cuando las líneas se dibujan perpendiculares a vB y vC, figura 1620b, se intersecan en el IC. b
Parte B). Los puntos B y C siguen trayectorias circulares de movimiento ya que los
D
vínculos AB y DC están sujetos a rotación alrededor de un eje fijo, figura 1620c.
C
Como la velocidad siempre es tangente a la trayectoria, en el instante considerado, vC en la barra DC y vB en la barra AB están dirigidas verticalmente hacia abajo, a lo
VCC
largo del eje del eslabón CB, figura 1620d. Las líneas radiales dibujadas perpendicularmente a estas dos velocidades forman líneas paralelas que se cruzan
A
B
S
en el "infinito"; es decir, rC>IC S y rB>IC . Por lo tanto, = (vC>rC>IC) S 0. Como resultado, el enlace CB se traduce momentáneamente . Sin embargo, un instante después de vCB , CB se moverá a una posición inclinada, lo que hará que el IC se mueva a una ubicación finita. vC RC/IC
C
BCV
CI rB/CI
B vB
(d) Figura 1620
(C)
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CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
EJEMPLO 16.10 El bloque D que se muestra en la figura 1621a se mueve con una rapidez de 3 m>s. Determine las velocidades angulares de los eslabones BD y AB, en el instante que se muestra.
B 0,4 metros
0,4 metros
90 45
A
45
3 m/s D
(a)
CI dieciséis
SOLUCIÓN
rB/CI vB
Cuando D se mueve hacia la derecha, AB gira en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto A.
B V
rD/IC BD
Por tanto, vB está dirigida perpendicularmente a AB. El centro instantáneo de velocidad cero para BD está ubicado en la intersección de los segmentos de línea trazados perpendicularmente a vB y vD, figura 1621b. De la geometría,
45 0,4 metros
= 0,4 tan 45 m = 0,4 m rB>IC D
vD 3 m/s rD>IC
0,4 metros
=
(b)
= 0,5657m
porque 45
Como se conoce la magnitud de vD , la velocidad angular del eslabón BD es
vBD
=
enfermedad venérea
3 m>s
=
0,5657 m
rD>IC
= 5,30 rad>sd
Respuesta
Por lo tanto, la velocidad de B es B
45
vB = vBD(rB>IC) = 5,30 rad>s (0,4 m) = 2,12 m>s c45
vB 2,12 m/s
0,4 metros
De la figura 1621c, la velocidad angular de AB es VAB
A
vAB
=
vB rB>A
=
2,12 m>s = 5,30 rad>sb 0,4 metros
(C) Figura 1621
NOTA: Intente resolver este problema aplicando vD = vB + vD>B a miembro BD.
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Respuesta
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16.6 CENTRO INSTANTÁNEO DE VELOCIDAD CERO
EJEMPLO 16.11 El cilindro que se muestra en la figura 1622a rueda sin deslizarse entre las dos placas móviles E y D. Determine la velocidad angular del cilindro y la velocidad de su centro C.
A
mi
vE = 0,25 m/s
C
0,125 metros
B
vD = 0,4 m/s
D
(a) dieciséis
SOLUCIÓN
A vA 0,25 m/s
Como no ocurre deslizamiento, los puntos de contacto A y B en el cilindro tienen las
V
mismas velocidades que las placas E y D, respectivamente.
CI
Además, las velocidades vA y vB son paralelas, de modo que por la proporcionalidad
RC/IC rC C
de los triángulos rectángulos, el IC está ubicado en un punto sobre la línea AB, figura 0,125 metros
1622b. Suponiendo que este punto está a una distancia x de B, tenemos vB = vx;
0,4 m>s = vx
vA = v(0,25 m x);
0,25 m>s = v(0,25 m x)
vB 0,4 m/s
(b) Figura 1622
Al dividir una ecuación en la otra se elimina v y se obtiene 0,4(0,25 x) = 0,25x x =
0.1 0,65
= 0,1538m
Por lo tanto, la velocidad angular del cilindro es
v =
vB =
0,4 m>s 0,1538 m
X
= 2,60 rad>sb
Respuesta
Por lo tanto, la velocidad del punto C es vrC>IC =
= 2,60 rad>s (0,1538 m 0,125 m) vC =
0,0750 m>s d
B
Respuesta
0,25 metros
X
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CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
EJEMPLO 16.12 El cigüeñal AB gira con una velocidad angular en el sentido de las manecillas del reloj de 10 rad>s, figura 1623a. Determine la velocidad del pistón en el instante mostrado.
C
0,75 pies
13.6
v
antes de Cristo
2,43 rad/s
B 45
v AB
10 rad/s
A
0,25 pies
dieciséis
(a)
SOLUCIÓN El cigüeñal gira alrededor de un eje fijo, por lo que la velocidad del punto B es
vB = 10 rad>s (0,25 pies) = 2,50 pies>s a45 Como se conocen las direcciones de las velocidades de B y C , entonces la ubicación del IC vC
para la biela BC es en la intersección de las líneas que se extienden desde estos puntos, perpendiculares a vB y vC, figura 1623b. Las magnitudes de rB>IC y rC>IC se pueden
CI
C
45,0
obtener de la geometría del triángulo y la ley de los senos, es decir,
76.4 0,75 pies pecado 45
=
rB>CI pecado 76.4
0,75 pies
rB>IC = 1,031 pies
58.6
0,75 pies 2,50 pies/s
pecado 45
B (b) Figura 1623
=
RC>IC pecado 58.6
rC>IC = 0,9056 pies El sentido de rotación de VBC debe ser el mismo que la rotación causada por vB sobre el IC, que es en sentido antihorario. Por lo tanto, vBC
=
vB rB>CI
=
2,5 pies>s = 2,425 rad>s 1,031 pies
Usando este resultado, la velocidad del pistón es = vBCrC>IC
= (2,425 rad>s)(0,9056 pies) = 2,20 pies>s Respuesta. vC
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16.6 CENTRO INSTANTÁNEO DE VELOCIDAD CERO
PROBLEMA PRELIMINAR P16–2. Establezca la ubicación del centro instantáneo de velocidad cero para encontrar la
4 m/s
velocidad del punto B.
C 1 metro
8 rad/s
B
B
45
1 metro
A
2 metros
3 m/s
Sin deslizamiento
(d)
(a)
dieciséis
A
2 metros
3 rad/s
0,5 m 3
4 rad/s
5B
4
2 metros
A
B
0,5 metros
(b)
0,5 metros
Sin deslizamiento
Sin deslizamiento
(mi)
A
0,5 metros
1,5 metros
4 rad/s
0,5 metros
B 0,3 metros
30
30 45
B
(C)
A
2 metros
(F)
problema P16–2
6 rad/s
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CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
PROBLEMAS FUNDAMENTALES F16–13. Determine la velocidad angular de la barra y la velocidad del punto C en
F16–16. Si el cable AB se desenrolla con una rapidez de 3 m>s y la cremallera C
el instante que se muestra.
tiene una rapidez de 1,5 m>s, determine la velocidad angular del engranaje y la velocidad de su centro O.
vA 6 m/s 3 m/s
A
A
0,3 metros
B 0,2 metros
2,5 metros
O 4 metros
C
C
1,5 m/s
2,5 metros
problema F16–16
B
dieciséis
F16–17. Determine la velocidad angular del eslabón BC y la velocidad del pistón
problema F16–13
C en el instante que se muestra.
F16–14. Determine la velocidad angular del eslabón BC y la velocidad del pistón 0,8 metros
C en el instante que se muestra.
0,2 metros
A
30
B
vAB 12 rad/s
C
A
C
B
v 6 rad/s 1,2 metros
0,6 metros
problema F16–17
problema F16–14 F16–18. Determine la velocidad angular de los eslabones BC y CD en el instante que se muestra. F16–15. Si el centro O de la rueda se mueve con una rapidez de vO = 6 m/s, determine la velocidad del punto A de la rueda. La cremallera B está fija.
D 0,2 metros
0,4 metros
0,6 metros
A
0,2 metros
0,3 metros
O
B
6 m/s B
A
30 vAB 10 rad/s
problema F16–18
problema F16–15
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C
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369
PROBLEMAS 16–81. En cada caso muestre gráficamente cómo ubicar el centro instantáneo de
16–83. El mecanismo moldeador está diseñado para dar un golpe de corte lento y un
velocidad cero del eslabón AB. Suponga que se conoce la geometría.
retorno rápido a una cuchilla unida a la corredera en C. Determine la velocidad angular del eslabón CB en el instante que se muestra, si el eslabón AB gira a 4 rad>s.
125mm C B
45
v
B
A
A
(a) v
v
v AB
4 rad/s dieciséis
A
(b)
B
300mm
C 60
B
(C)
A problema 16–81
problema 16–83
*16–84. La cinta transportadora se mueve hacia la derecha a v = 8 ft>s y, en el mismo instante, el cilindro gira en sentido antihorario a v = 2 rad>s sin deslizarse. Determine las velocidades del centro C y del punto B del cilindro en este instante.
16–82. Determine la velocidad angular del eslabón AB en el instante que se muestra si el bloque C se mueve hacia arriba a 12 in>s.
16–85. La cinta transportadora se mueve hacia la derecha a v = 12 ft>s y, en el mismo instante, el cilindro gira en sentido antihorario a v = 6 rad>s, mientras que su centro tiene una velocidad de 4 ft>s hacia la izquierda. Determine las velocidades de los puntos A y B en el disco en este instante. ¿El cilindro resbala en el transportador?
B A
v
AB
C 5 pulgadas
45
4 pulgadas
C 1 pie
30 B problema 16–82
A problemas 16–84/85
v
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CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
16–86. A medida que la cuerda se desenreda del cubo interior de la rueda, la rueda
*16–88. Si la barra AB tiene una velocidad angular vAB = 6 rad>s, determine la
gira a v = 2 rad>s en el instante que se muestra.
velocidad del bloque deslizante C en el instante que se muestra.
Determine las velocidades de los puntos A y B.
B
vAB 6 rad/s v
2 rad/s
200mm
A
5 pulgadas
B
tu
45
500mm 30 C
O 2 pulgadas
problema 16–88
dieciséis
A problema 16–86
16–89. Demuestre que si el aro de la rueda y su cubo mantienen contacto con las tres pistas cuando la rueda rueda, es necesario que ocurra un deslizamiento en el 16–87. Si la barra CD gira con una velocidad angular = 4 rad>s, determine las vCD velocidades angulares de las barras AB y CB en el instante mostrado.
A
cubo A si no ocurre un deslizamiento en B. Bajo estas condiciones, ¿cuál es la velocidad en A si la rueda tiene velocidad angular V?
30
v
r2 0,4 metros 1 metro
C
r1 A
B 0,5 metros
VCD
4 rad/s
D
problema 16–87
B
problema 16–89
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371
16–94. El cilindro B rueda sobre el cilindro fijo A sin resbalar. Si la barra
16–90. Debido al deslizamiento, los puntos A y B del borde del disco tienen las velocidades que se muestran. Determinar las velocidades de
conectada CD gira con una velocidad angular vCD = 5 rad>s, determine
el punto central C y el punto D en este instante.
la velocidad angular del cilindro B. El punto C es un punto fijo.
16–91. Debido al deslizamiento, los puntos A y B del borde del disco tienen las velocidades que se muestran. Determine las velocidades del punto central C y el punto E en este instante.
0,3 metros 0,1 metros
D
C B
vB 10 pies/s
A
vCD 5 rad/s
D 0,8 pies
45 mi
B 30
C
problema 16–94
F vA 5 pies/s
A
dieciséis
16–95. A medida que el automóvil avanza a 80 ft>s en una carretera
problemas 16–90/91
mojada, debido al deslizamiento, las ruedas traseras tienen una velocidad angular v = 100 rad>s. Determine las velocidades de los puntos A, B y C causadas por el movimiento.
80 pies/segundo
C
*16–92. El miembro AB gira a vAB Determine la velocidad = 6 rad>s. del punto D y la velocidad angular de los miembros BPD y CD.
16–93. El miembro AB gira a vAB Determine la velocidad
B 1,4 pies A
= 6 rad>s.
del punto P y la velocidad angular del miembro BPD.
100 rad/s
problema 16–95
*16–96. El piñón A rueda sobre la cremallera fija B con una velocidad angular v = 8 rad>s. Determine la velocidad de la cremallera C.
200mm
B
200mm
C
D 200mm
200mm 60
A
60
250mm
C
A
v
150mm
vAB 6 rad/s PAG
problemas 16–92/93
B problema 16–96
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372
CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
16–97. Si el engranaje central H y la corona R tienen velocidades angulares vH = 5
*16–100. El cilindro A rueda sobre el cilindro fijo B sin resbalar. Si la barra CD gira
rad>s y vR = 20 rad>s, respectivamente, determine la velocidad angular vS del
con una velocidad angular de = 3 rad>s, determine la velocidad angular de A.
engranaje recto S y la velocidad angular de su brazo adjunto OA.
VCD
16–98. Si el engranaje central H tiene una velocidad angular = 5 rad>s, determine la
vH velocidad angular del engranaje anular R de modo que el brazo OA unido al engranaje recto S permanezca estacionario (vOA = 0). ¿Cuál es la velocidad angular del engranaje recto?
C 200mm A
vR
50mm
250mm
A
H
VCD
S 200mm vS
O
150mm
D B
O
dieciséis
vH
problema 16–100
R
16101. El engranaje planetario A está conectado por pasador al extremo del eslabón
problemas 16–97/98
BC. Si el eslabón gira alrededor del punto fijo B a 4 rad>s, determine la velocidad angular de la corona dentada R.
99. El cigüeñal AB gira a vAB alrededor del eje fijo que pasa por
= 50 rad>s 16–
El engranaje solar D está fijo para que no gire.
el punto A, y el disco en C se mantiene fijo en su soporte en E. Determine la velocidad 16–102. Resuelva el problema 16101 si el engranaje solar D gira en sentido horario
angular de la varilla CD en el instante que se muestra.
a vD = 5 rad>s mientras que el eslabón BC gira en sentido antihorario a vBC = 4 rad>s.
mi
C
75mm 75mm
40mm
R
F D
D vBC 4 rad/s
300mm
150mm
60
A
B
C 75mm
vAB 50 rad/s
A
B 100mm
problemas 16–101/102
problema 16–99
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realidad virtual
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16.7 ANÁLISIS DE MOVIMIENTO RELATIVO : ACELERACIÓN
Camino
16.7 Análisis de movimiento relativo: aceleración
del punto A
A
Una ecuación que relaciona las aceleraciones de dos puntos sobre una barra (cuerpo rígido) sujeta a un movimiento plano general puede determinarse derivando vB = vA
ab Virginia
+ vB>A con respecto al tiempo. Esto produce dvB dt
=
dvA dt
+
Automóvil club británico
dvB>A
dt
B Camino
Los términos dvB>dt = aB y dvA>dt = aA se miden con respecto a un conjunto de ejes x, y fijos y representan las aceleraciones absolutas de los puntos B y A. El último término representa la aceleración de B con respecto a A como medido por un observador fijado a los ejes de traslación x, y que tienen su origen en el punto base A. En la Sec. 16.5 se mostró que para este observador el punto B parece moverse a lo largo de un arco circular que tiene un radio de curvatura rB>A. En consecuencia, aB>A
del punto B
Movimiento plano general (a)
Automóvil club británico
A
puede expresarse en términos de sus componentes tangencial y normal; es decir, aB>A = (aB>A)t + (aB>A)n , donde arB>A y (aB>A)n = v2 rB>A. Por lo tanto, la ecuación de aceleración relativa (aB>A)t = se puede escribir en la forma
dieciséis
Automóvil club británico
aB = aA + (aB>A)t + (aB>A)n
(1617)
B Traducción
dónde
(b)
aB = aceleración del punto B A
aA = aceleración del punto A
V
(aB>A)t = componente de aceleración tangencial de B con respecto a A. La magnitud es (aB>A)t = arB>A, y la dirección es perpendicular a rB>A. (aB>A)n = componente de aceleración normal de B con respecto a A. La magnitud es (aB>A)n = v2 rB>A, y la dirección siempre es de B hacia A. Los términos en la Ec. 1617 se representan gráficamente en la figura 1624. Aquí se ve que en un instante dado la aceleración de B, figura 1624a, se determina considerando que la barra se traslada con una aceleración aA, figura 1624b, y simultáneamente gira alrededor del punto base A con una velocidad instantánea. velocidad angular V y aceleración angular A, figura 1624c. La suma vectorial de estos dos efectos, aplicada a B, produce aB, como se muestra en la figura 1624d. Cabe señalar en la figura 1624a que, dado que los puntos A y B se mueven a lo largo de trayectorias curvas, las aceleraciones de estos puntos tendrán componentes tanto tangenciales como normales. (Recuerde que la aceleración de un punto es tangente a la trayectoria solo cuando la trayectoria es rectilínea o cuando es un punto de inflexión en una curva).
A aB/A
rB/A
(aB/A)n (un murcielago
B Rotación sobre el punto base A (c)
(aB/A)n
(un murcielago
ab Automóvil club británico
(d) Figura 1624
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CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
Camino de B
Dado que los componentes de aceleración relativa representan el efecto del movimiento circular observado a partir de ejes de traslación que tienen su origen en el
B
A
v
punto base A, estos términos se pueden expresar como (aB>A)t = A * rB>A y (aB>A)n = v2 rB>A, Ec. 16–14. Por lo tanto, la ecuación. 16–17 se convierte en
C
a
aB = aA + A * rB>A v2 rB>A
(1618)
dónde
(a)
aB = aceleración del punto B aA B
= aceleración del punto base A
(aB)t
(aB)n
A = aceleración angular del cuerpo V = velocidad angular del cuerpo rB>A
ab
= vector de posición dirigido de A a B
A
dieciséis
B
ab
C.A
C (b) Figura 1625
Si la ecuación. 1617 o 1618 se aplica de manera práctica para estudiar el movimiento acelerado de un cuerpo rígido que está conectado por un pasador a otros dos cuerpos, debe tenerse en cuenta que los puntos que coinciden en el pasador se mueven con la misma aceleración, ya que la trayectoria de movimiento sobre la que viajan es la misma. Por ejemplo, el punto B que se encuentra sobre la varilla BA o BC del mecanismo de manivela que se muestra en la figura 1625a tiene la misma aceleración, ya que las varillas están conectadas por pasadores en B. Aquí el movimiento de B es a lo largo de una trayectoria circular, de modo que aB se puede expresar en términos de sus componentes tangencial y normal. En el otro extremo de la varilla BC, el punto C se mueve a lo largo de una trayectoria rectilínea, que está definida por el pistón. Por lo tanto, aC es horizontal, figura 1625b. Finalmente, considere un disco que rueda sin deslizarse como se muestra en la figura 1626a.
V
Como resultado, vA = 0 y, por lo tanto, del diagrama cinemático de la figura 1626b, la velocidad del centro de masa G es
A
vG = vA + V * rG>A = 0 + (vk) * (rj) GRAMO
De modo que
r A
vG = vr
(a)
Este mismo resultado también se puede determinar usando el método IC donde el punto A es el IC. V
(1619)
Dado que G se mueve a lo largo de una línea recta, su aceleración en este caso se puede determinar a partir de la derivada de su velocidad con respecto al tiempo.
GRAMO
DvG = dv r dt dt
vG
RG/A
aG = ar
(16–20)
A (b) Figura 1626
Estos dos importantes resultados también se obtuvieron en el ejemplo 164. Se aplican también a cualquier objeto circular, como una bola, un engranaje, una rueda, etc., que ruede sin deslizarse.
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375
Procedimiento de Análisis B
La ecuación de aceleración relativa se puede aplicar entre dos puntos A y B de un cuerpo mediante un análisis vectorial cartesiano o escribiendo directamente las ecuaciones de componentes escalares x e y . Análisis de velocidad. Determine la velocidad angular V del cuerpo usando un análisis de velocidad como se discutió en la sección. 16.5 o 16.6. Además, determine las velocidades vA y vB de los puntos A y B si estos puntos se mueven a lo largo de trayectorias curvas.
V, A
ab
(aA)t
A
Diagrama cinemático de análisis vectorial. Establezca las direcciones de las coordenadas x, y fijas y dibuje el diagrama
(aA)n
cinemático del cuerpo. Indique en él aA, aB, V, A y rB>A. Si los puntos A y B se mueven a lo largo de trayectorias curvas, entonces sus aceleraciones deben indicarse en términos de sus componentes tangencial y normal, es decir, aA = (aA)t + (aA)n y aB = (aB)t + (aB)n . Ecuación de aceleración. Para aplicar aB = aA + A * rB>A v2 rB>A, exprese los vectores en forma de vector cartesiano y sustitúyalos en la ecuación. Evalúe el producto cruzado y luego iguale los respectivos componentes i y j para obtener dos ecuaciones escalares. Si la solución arroja una respuesta negativa para una magnitud desconocida , indica que el sentido de la dirección del vector es opuesto al que se muestra en el diagrama cinemático. Diagrama cinemático de análisis escalar. Si la ecuación de aceleración se aplica en forma escalar, entonces se deben establecer las magnitudes y direcciones de los componentes de aceleración relativa (aB>A)t y (aB>A)n . Para hacer esto, dibuje un diagrama cinemático como el que se muestra en la figura 1624c. Dado que se considera que el cuerpo está momentáneamente "clavado" en el punto base A, las magnitudes estos componentes son (aB>A)t = Su arB>A y (aB>A)n = v2 rB>A. de sentido de dirección se establece a partir del diagrama tal que (aB>A)t actúa perpendicular a rB>A, de acuerdo con el movimiento de rotación A del cuerpo, y (aB> A)n se dirige desde B hacia A.* Ecuación de aceleración.
Representa los vectores en aB = aA + (aB>A)t + (aB>A)n gráficamente mostrando sus magnitudes y direcciones debajo de cada término. Las ecuaciones escalares se determinan a partir de las componentes x e y de estos vectores. *La notación aB = aA + (aB>A(pin))t + (aB>A(pin))n puede ser útil para recordar que se supone que A está fijado.
C
dieciséis
Se muestra el mecanismo de una ventana. Aquí CA gira alrededor de un eje fijo a través de C y AB experimenta un movimiento plano general. Dado que el punto A se mueve a lo largo de una trayectoria curva, tiene dos componentes de aceleración, mientras que el punto B se mueve a lo largo de una trayectoria
recta y se especifica la dirección de su aceleración. (© RC Hibbeler
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CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
EJEMPLO 16.13 La barra AB que se muestra en la figura 1627a está confinada a moverse a lo
10 metros
A
largo de los planos inclinados en A y B. Si el punto A tiene una aceleración de 2
B
3 m>s y una velocidad de 2 m>s, ambas dirigidas hacia abajo en el plano en el instante en que la barra es horizontal, determine la aceleración angular de la barra en ese instante.
vA 2 m/s aA 3 m/s
2
45
SOLUCIÓN I (ANÁLISIS VECTORIAL)
45
Aplicaremos la ecuación de la aceleración a los puntos A y B de la barra. Para
(a)
hacerlo, primero es necesario determinar la velocidad angular de la barra. Demuestre que es v = 0.283 rad>sd usando la ecuación de velocidad o el
y
método de centros instantáneos. ab
X
A
A
B
rB/A
45
Diagrama cinemático. Dado que los puntos A y B se mueven a lo largo de
45
trayectorias rectilíneas, no tienen componentes de aceleración normales a las trayectorias. Hay dos incógnitas en la figura 1627b, a saber, aB y a.
v 0,283 rad/s
dieciséis
aA 3 m/s
2
Ecuación de aceleración. aB (b)
= aA + A * rB>A v2 rB>A aB cos 45i + aB sen 45j = 3 cos 45i 3 sen 45j + (ak) * (10i) (0.283)2 (10i) Realizando el producto vectorial e igualando las componentes i y j se obtiene
aB cos 45 = 3 cos 45 (0.283)2 (10)
(aB/A)t a rB/A
aB sen 45 = 3 sen 45 + a(10)
(1) (2)
10 metros
A
A
(aB/A)n v2 v 0,283 rad/s
rB/A
B
Resolviendo tenemos
ab = 1,87 m>s
rB/A
a = 0,344 rad>s
2 a45 2
d
Respuesta
(C) Figura 1627
SOLUCIÓN II (ANÁLISIS ESCALAR) Del diagrama cinemático, que muestra los componentes de aceleración relativa (aB>A)t y (aB>A)n , figura 1627c, tenemos
aB = aA + (aB>A)t + (aB>A)n 2
c a45 aB d = c 3 m>s d c+45 ca(10 m) d + c (0,283 rad>s)2 (10 m) dd C Igualando los componentes x e y se obtienen las Ecs. 1 y 2, y la solución procede como antes.
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libros electrónicos gratis ==> www.ebook777.com 16.7 ANÁLISIS DE MOVIMIENTO RELATIVO : ACELERACIÓN
377
EJEMPLO 16.14 El disco rueda sin deslizarse y tiene el movimiento angular que se muestra en la figura 1628a. Determine la aceleración del punto A en este instante.
v 6 rad/sa 4 2 rad/s GRAMO
0,5 pies
SOLUCIÓN I (ANÁLISIS VECTORIAL)
A
Diagrama cinemático. Dado que no se produce deslizamiento, aplicando la Ec. 1620, AG = ar = (4 rad>s
2
)(0,5 pies) = 2 pies>s
2
(a)
v 6 rad/sa 4 2 rad/s
Ecuación de aceleración.
2
Aplicaremos la ecuación de aceleración a los puntos G y A, figura 1628b,
2 pies/segundo
GRAMO
trapo
aA = aG + A : rA>G v2 rA>G aA = 2i (aA)y
+ (4k) : (0.5j) (6)2 (0.5j) = {18j} pies>s
2
dieciséis
(aA)x
A (b)
SOLUCIÓN II (ANÁLISIS ESCALAR)
v 6 rad/sa 4 2 rad/s
Usando el resultado para aG = 2 ft>s2 determinado anteriormente, y del diagrama cinemático, que muestra el movimiento relativo aA>G, figura 1628c, tenemos
GRAMO
2
2
c (aA)x S d + c (aA)y dC = c 2 pies>s dd + c (4 rad>s S+
(aA)x = 2 + 2 = 0
+ c
(aA)y = 18 pies>s
A
)(0,5 pies)
S d + c (6 rad>s)2 (0,5 pies) dC
(C) Figura 1628
2
Por lo tanto,
Automóvil club británico
= 2(0)2 + (18 pies>s
2 2
) = 18 pies>s
2
Respuesta
NOTA: El hecho de que aA = 18 ft>s2 indica que el centro instantáneo de velocidad cero, el punto A, no es un punto de aceleración cero.
trapo
(aA/G)y
aA = aG + (aA>G)x + (aA>G)y
(aA/G)x
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CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
EJEMPLO 16.15 El carrete que se muestra en la figura 1629a se desenreda de la cuerda, de modo que en el instante que se muestra tiene una velocidad angular de 3 rad>s y una aceleración 2
angular de 4 rad>s. B
. Determine la aceleración del punto B.
SOLUCIÓN I (ANÁLISIS VECTORIAL) El carrete "parece" estar rodando hacia abajo sin deslizarse en el punto A. Por lo tanto, podemos usar los resultados de la ecuación. 1620 para determinar la aceleración del
A
punto G, es decir, = ar = (4 rad>s aG
GRAMO
0,5 pies
2
0,75 pies
)(0,5 pies) = 2 pies>s
v 3 rad/s a 4 rad/s
2
2
Aplicaremos la ecuación de aceleración a los puntos G y B. Diagrama cinemático. El punto B se mueve a lo largo de una trayectoria curva que tiene un radio de curvatura desconocido .* Su aceleración estará representada por sus componentes
(a)
x e y desconocidas , como se muestra en la figura 1629b. Ecuación de aceleración. dieciséis
aB = aG + A * rB>G v2 rB>G (aB)xi + y
(aB)y j = 2j + (4k) * (0,75j) (3)2 (0,75j) X
(aB)y
Igualando los términos i y j , las ecuaciones componentes son (aB)x = 4(0.75) = 3 pies>s
(aB)x
2
S
(aB)y = 2 6.75 = 8.75 pies>s Por lo
(1) 2
2 T = 8,75 pies>s
(2)
rB/G
tanto, la magnitud y la dirección de aB son = 2(3)2 + (8.75)2 =
2
aG 2 pies/s
v 3 rad/s a 4 rad/s
2
ab 9.25 pies>s 2
u = tan1
8.75
Respuesta
= 71,1c
Respuesta
3
(b)
SOLUCIÓN II (ANÁLISIS ESCALAR) Este problema puede resolverse escribiendo directamente las ecuaciones de componentes escalares. El diagrama cinemático de la figura 1629c muestra los componentes de
B
(aB/G)t arB/G (aB/
aceleración relativa (aB>G)t y (aB>G)n . Así, aB = aG + (aB>G)t + (aB>G)n
G)n v2 rB/G
rB/G 0,75 pies
c (aB)x S d + c (aB)y dC GRAMO
2
v 3 rad/s a 4 rad/s
(C) Figura 1629
2
2 (0,75 pies)
= c 2 pies>s T d + c 4 rad>s S d + c (3 rad>s)2 (0,75 pies) d
T
Los componentes x e y producen las Ecs. 1 y 2 anteriores. *Tenga en cuenta que el radio de curvatura r de la trayectoria no es igual al radio del carrete ya que el carrete no gira alrededor del punto G. Además, r no está definido como la distancia de A (IC) a B, ya que la ubicación del IC depende solo de la velocidad de un punto y no de la geometría de su trayectoria.
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16.7 ANÁLISIS DE MOVIMIENTO RELATIVO : ACELERACIÓN
EJEMPLO 16.16 El collarín C de la figura 1630a se mueve hacia abajo con una aceleración 2 . En el instante que se muestra, tiene una rapidez de 2 m>s, lo que de 1 m>s. = da a los enlaces CB y AB una velocidad angular vAB = 10 rad>s. (Vea el ejemplo vCB 16.8.) Determine las aceleraciones angulares de CB y AB en este instante.
CA 1 m/s2 vC 2 m/s
C A
v
10 rad/s
AB
0,2 metros
vcb 10 rad/s B dieciséis
0,2 metros
(a)
SOLUCIÓN (ANÁLISIS VECTORIAL)
y
Diagrama cinemático. Los diagramas cinemáticos de ambos eslabones AB y CB se muestran en la figura 1630b. Para resolver, aplicaremos la ecuación cinemática adecuada a cada enlace. Ecuación de aceleración.
CA 1 m/s
X
C 2
A
Vínculo AB (rotación sobre un eje fijo):
rb/c 2
aB = AAB * rB vAB rB
vcb 10 rad/s
aB = (aABk) * (0,2j) (10)2 (0,2j) aB =
0,2 metros
Tenga en cuenta que aB tiene componentes n y t ya que se mueve a lo largo de una trayectoria circular.
Vínculo BC (movimiento plano general): Utilizando el resultado de aB y aplicando la Ec. 2
1618, tenemos aB = aC + ACB * rB>C vCB rB>C 0.2aABi + 20j = 1j + (aCBk) * (0.2i 0.2j) (10)2 (0.2i 0.2j ) 0.2aABi + 20j = 1j + 0.2aCBj + 0.2aCBi 20i + 20j De este modo,
0.2aAB = 0.2aCB 20 20 = 1 + 0.2aCB + 20
aCB aAB
rB
B
0,2aABi + 20j
resolver,
vAB 10 rad/s AAB
ACB
2
= 5 rad>s d = 95 rad>s
Respuesta
2
= 95 rad>s
2
b
Respuesta
(b) Figura 1630
0,2 metros
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CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
EJEMPLO 16.17 El cigüeñal AB gira con una aceleración angular en el sentido de las agujas del reloj de 20 2
rad>s en , Figura 1631a. Determine la aceleración del pistón en = 10 rad>s y
C
el instante en que AB está en la posición que se muestra. En este Ejemplo instante 16.12.) vAB vBC = 2.43 rad>s. (Consulte el
13.6
0,75 pies
SOLUCIÓN (ANÁLISIS VECTORIAL)
vBC 2,43 rad/s
Diagrama cinemático. Los diagramas cinemáticos para AB y BC se muestran en la figura 1631b. Aquí aC es vertical ya que C se mueve a lo largo de una trayectoria en línea recta.
B 45
vAB 10 rad/s aAB 20 rad/s A
2
Ecuación de aceleración. Expresar cada uno de los vectores de posición en forma de vector cartesiano
0,25 pies
rB = 5 0,25 sen 45i + 0,25 cos 45j6 pies = 5 0,177i + 0,177j6 pies rC>B = 50,75 (a)
sen 13,6i + 0,75 cos 13,6j6 pies = 50,177i + 0,729j6 pies
dieciséis
Cigüeñal AB (rotación sobre un eje fijo): aB = AAB * rB vAB rB
2
= (20k) * (0,177i + 0,177j) (10)2 (0,177i + 0,177j) = 521,21i 14,14j6 y
2
pies>s
Biela BC (movimiento plano general): Usando el resultado para aB y notando que aC está en la dirección vertical, tenemos
C.A
C 2
aC = aB + ABC * rC>B vBC rC>B aCj = 21,21i 14,14j + (aBCk) * (0,177i + 0,729j) (2,43)2 (0,177i + 0,729j)
RC/B
13.6 aC
0,75 cos 13,6 pies
aCj = 21,21i 14,14j + 0,177aBCj 0,729aBCi 1,04i 4,30j 0 = 20,17 0,729aBC
vBC 2,43 rad/s B 45 0,25 cos 45 pies rB
= 0.177aBC 18.45 aC vAB 10 rad/s aAB 20 rad/s A
2 X
Resolver rendimientos
a B C
= 27,7 rad>s
2
d
2
CA = 13,5 pies>s (b) Figura 1631
Respuesta
NOTA: Dado que el pistón se mueve hacia arriba, el signo negativo de aC indica 2
. que el pistón está desacelerando, es decir, aC = 5 13.5j6 ft>s Esto hace que la velocidad del pistón disminuya hasta que AB se vuelve vertical, momento en el cual el el pistón está momentáneamente en reposo.
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16.7 ANÁLISIS DE MOVIMIENTO RELATIVO : ACELERACIÓN
PROBLEMA PRELIMINAR P16–3. Establezca la ecuación de aceleración relativa entre los puntos A y B. Se da la velocidad angular.
6 m/s
2
v 3 rad/s
A B
2 metros
B
60
3 metros
(d) 45
2 metros
v 2,12 rad/s
A dieciséis
3 m/s 2 m/s
0,5 metros
2
A v 1,15 rad/s
(a)
4 rad/s
B
8 rad/s
30
v 4 rad/s
B
a 2 rad/s
2 metros
2
2 metros
2
45 A (mi)
Sin deslizamiento
(b)
4 metros
B
A
B v 4 rad/sa 2
0
1 metro
rad/s
6 rad/s
2 metros
A 0,5 metros
3 rad/s 2 2 rad/s
(F)
(C) problema P16–3
2
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CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
PROBLEMAS FUNDAMENTALES F16–19. En el instante que se muestra, el extremo A de la barra tiene la velocidad y la aceleración que se muestran. Determine la aceleración angular de la barra y la aceleración del extremo B de la barra.
F16–22. En el instante que se muestra, el cable AB tiene una velocidad de 3 m>s y 2 una aceleración de 1,5 m>s, una velocidad de , mientras que la cremallera tiene un 2 1,5 m>s y una aceleración de 0,75 m>s, la aceleración angular del . Determinar engranaje en este instante.
2
aA 5 m/s vA 6 m/s
2
aB 1,5 m/s vB 3 m/s
A 0,3 metros
A
B 0,2 metros
O
5 metros 4 metros
CA 0,75 m/s vC 1,5 m/s
2
C
problema F16–22
B dieciséis
F16–23. En el instante que se muestra, la rueda gira con una velocidad angular de v
problema F16–19 F16–20. El engranaje rueda sobre la cremallera fija con una velocidad angular de v =
= 12 rad>s y una aceleración angular de a = 6 rad>s Determine la aceleración angular 2 . del eslabón BC en el instante que se muestra.
12 rad>s y una aceleración angular de a = 6 rad>s 2 . Determine la aceleración del punto A.
A
a 6 rad/sv 12 rad/s
D
2 0,3 metros
0,3 metros
45
C
B
0,3 metros
1,2 metros
O a 6 rad/s2 frente a 12 rad/s problema F16–23
problema F16–20 F16–24. En el instante que se muestra, la rueda A gira con una velocidad angular de F16–21. El engranaje rueda sobre la cremallera fija B. En el instante que se muestra, el centro O del engranaje se mueve con una velocidad de vO = 6 m>s y una 2 . aceleración de aO = 3 m>s Determine la aceleración angular del engranaje y la
v = 6 rad>s y una aceleración angular de a = 3 rad>s Determine la aceleración 2 .y la aceleración del pistón C. angular del eslabón BC
aceleración de punto A en este instante. 0,8 metros
30
B
0,6 metros
A
0,3 metros
O
aO 3 m/s vO 6 m/s
2
0,2 metros
B
C
A
v 6 rad/s a 3 rad/s
2
problema F16–24
problema F16–21
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383
PROBLEMAS 16–103. La barra AB tiene los movimientos angulares que se muestran. Determine
16–106. El miembro AB tiene los movimientos angulares que se muestran.
la velocidad y aceleración del bloque deslizante C en este instante.
Determine la velocidad y aceleración del bloque deslizante C en este instante.
B
B 0,5 metros
vAB 4 rad/s 6 aAB
rad/s A
2
45
2 metros
1 metro
4 rad/s C A
60
5 rad/s2 dieciséis
C
5
0,5 metros
3
4
problema 16–106 problema 16–103
*16–104. En un instante dado, la parte inferior A de la escalera tiene una aceleración 2
aA y una velocidad vA = 6 f= t>s, 4 paies>s mbas actuando hacia la izquierda. Determine la
16–107. En un instante dado, el rodillo A sobre la barra tiene la velocidad y la
aceleración de la parte superior de la escalera, B, y la aceleración angular de la
aceleración que se muestran. Determine la velocidad y la aceleración del rodillo B,
escalera en este mismo instante.
y la velocidad angular y la aceleración angular de la barra en este instante.
16–105. En un instante dado, la parte superior B de la escalera tiene una aceleración 2
aB y una velocidad de = vB 2 = p ies>s 4 ft>s, ambas actuando hacia abajo. Determine la aceleración de la parte inferior A de la escalera y la aceleración angular de la escalera en este instante.
4 m/s A
6 m/s2 30
0,6 metros
B 16 pies
30 B
A
30
problemas 16–104/105
problema 16–107
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CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
*16–108. La barra está confinada para moverse a lo largo de la trayectoria debido
16–110. El bloque deslizante tiene el movimiento que se muestra. Determinar
a los pasadores en sus extremos. En el instante que se muestra, el punto A tiene
la velocidad angular y la aceleración angular de la rueda en ese instante.
el movimiento que se muestra. Determine la velocidad y la aceleración del punto B en este instante.
150mm vA 6 pies/s aA 3 pies/s
A 2
C 400mm
A 5 pies
B
B
vB 4 m/s aB 2 m/s2
3 pies
dieciséis
problema 16–110
problema 16–108 16–111. En un instante dado, el bloque deslizante A se mueve hacia la derecha con el movimiento que se muestra. Determine la aceleración angular del vínculo AB y la aceleración del punto B en este instante.
16–109. El miembro AB tiene los movimientos angulares que se muestran. Determine la velocidad angular y la aceleración angular de los miembros CB y DC.
vA 4 m/s aA 6 m/s2 A
30 B D
vAB 2 rad/s C
2 metros
200mm
60
100mm
B
450mm
aAB 4 rad/s2
2 metros
A
problema 16–109
problema 16–111
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16.7 ANÁLISIS DE MOVIMIENTO RELATIVO : ACELERACIÓN
*16–112. Determine la aceleración angular del eslabón CD si el eslabón AB tiene
16–115. Se enrolla una cuerda alrededor del carrete interior del engranaje. Si se
la velocidad angular y la aceleración angular que se muestran.
tira con una velocidad constante v, determine las velocidades y aceleraciones de los puntos A y B. El engranaje rueda sobre la cremallera fija.
D 0,5 metros 0,5 metros
B C 2r A
r
GRAMO
1 metro
v
aAB 6 rad/s2 vAB 3 rad/s A
dieciséis
B
problema 16–115
1 metro
problema 16–112
16–113. El carrete de cuerda tiene el movimiento angular que se muestra. Determine la velocidad y la aceleración del punto A en el instante que se muestra.
*16–116. El disco tiene una aceleración angular a = 8 rad>s y una velocidad
2
angular v = 3 rad>s en el instante que se muestra. Si no se desliza en A, determine 16–114. El carrete de cuerda tiene el movimiento angular que se muestra.
la aceleración del punto B.
Determine la velocidad y la aceleración del punto B en el instante que se muestra.
v a
a v
3 rad/s 2 8 rad/s
45
C
0,5 metros
8 rad/s2 3 rad/s
C
B
45
100mm A A problemas 16–113/114
problema 16–116
B
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CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
16–117. El disco tiene una aceleración angular a = 8 rad>s y una velocidad
2
16–119. La rueda rueda sin resbalar de tal manera que en el instante que se
angular v = 3 rad>s en el instante que se muestra. Si no se desliza en A, determine
muestra tiene una velocidad angular V y una aceleración angular A. Determine la
la aceleración del punto C.
velocidad y la aceleración del punto B sobre la barra en este instante.
v 3 rad/s 2 8 rad/sa
A
O v, un
2a 45
a
C
0,5 metros
B
45
B
problema 16–119
A dieciséis
problema 16–117
*16–120. El collar se mueve hacia abajo con el movimiento que se muestra. Determine la velocidad angular y la aceleración angular del engranaje en el instante que se muestra mientras rueda a lo largo de la cremallera fija.
16–118. Una sola polea que tiene un borde interior y otro exterior está conectada con un pasador al bloque en A. A medida que la cuerda CF se desenrolla del borde interior de la polea con el movimiento que se muestra, la cuerda DE se desenrolla del borde exterior. Determina el aceleración angular de la polea y la aceleración del bloque en el instante mostrado.
v 2 m/s a 3 m/s2
A
500mm
60 O
D 25mm
50mm F
VF aF
C
mi
150 mm 200 mm
A
2 m/s 3 m/s2 problema 16–120
problema 16–118
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B
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16.7 ANÁLISIS DE MOVIMIENTO RELATIVO : ACELERACIÓN
16–121. El mecanismo de manivela y engranajes unidos da movimiento basculante
16–123. Si el elemento AB tiene el movimiento angular que se muestra, determine
a la manivela AC, necesaria para el funcionamiento de una imprenta. Si el eslabón
la velocidad y la aceleración del punto C en el instante que se muestra.
DE tiene el movimiento angular que se muestra, determine las velocidades angulares respectivas del engrane F y el cigüeñal AC en este instante, y la aceleración angular del cigüeñal AC.
300mm
A
C F
B
100mm
vAB 3 rad/s aAB 8 rad/s2
50mm vDE 4 rad/s
75mm B
100mm
500mm
mi
D aDE 20 rad/s
2 tu
GRAMO
C
30
60 dieciséis
150mm
200mm
A
D problema 16–121 problema 16–123
16–122. Si el miembro AB tiene el movimiento angular que se muestra, determine la velocidad angular y la aceleración angular del miembro CD en el instante que se muestra.
*16–124. El disco rueda sin deslizarse de manera que tiene una aceleración angular
300mm
de a = 4 rad>sv = 2 rad>s en el instante que se
2
y la velocidad angular de
muestra. Determine la aceleración de los puntos A y B en el vínculo y la aceleración
A
B
angular del vínculo en este instante. Suponga que el punto A se encuentra en la periferia del disco, a 150 mm de C.
vAB 3 rad/s aAB 8 rad/s2
A 500mm
v 2 rad/sa 4 rad/s2
C
tu
60
500mm
C 150mm
200mm
B D
400mm problema 16–122
problema 16–124
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CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
16–125. Los extremos de la barra AB están limitados a moverse a lo largo de las
16–127. El bloque deslizante se mueve con una velocidad de vB = 5 ft>s y una
trayectorias que se muestran. En un instante dado, A tiene una velocidad de vA =
aceleración de aB . Determine la aceleración angular d= e 3la pb ies>s arra AB en el instante
4 ft>s y una aceleración de aA Determine la velocidad angular y la
= 7 pies>s
2.
2
que se muestra.
aceleración angular de AB en este instante.
B
2 pies
60 1,5 pies 2 pies
A A
vA 4 pies/s aA 7 pies/s
vB 5 pies/s 2 aB 3 pies/s
30
2
2 pies
B dieciséis
problema 16–125 problema 16–127 16–126. El mecanismo produce un movimiento intermitente del eslabón AB. Si la rueda dentada S gira con un ángulo = 2 rad>s2 y tiene una aceleración de velocidad determine la velocidad angular aS = 6 rad>s en el instante que se muestra, angular vS y la aceleración angular del eslabón AB en este instante. La rueda dentada S está montada en un eje que está separado de un eje colineal unido a AB en A. El pasador en C está unido a uno de los eslabones de la cadena de manera que se mueve
*16–128. El bloque deslizante se mueve con una velocidad de vB = 5 ft>s y una
verticalmente hacia abajo.
aceleración de aB = 3 ft>s la aceleración de A en el instante que 2 . Determinar se muestra.
200mm B
A
15
30
C
S vS 6 rad/s como 2 rad/s
150mm
1,5 pies
175mm A
2
D 50mm
vB 5 pies/s 2 aB 3 pies/s
30 2 pies
B
problema 16–128
problema 16–126
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16.8 ANÁLISIS DE MOVIMIENTO RELATIVO MEDIANTE EJES DE ROTACIÓN
16.8 Análisis de movimiento relativo usando ejes giratorios En las secciones anteriores, se describió el análisis de movimiento relativo para la velocidad y la aceleración utilizando un sistema de coordenadas de traslación. Este tipo de análisis es útil para determinar el movimiento de puntos en el mismo cuerpo rígido, o el movimiento de puntos ubicados en varios cuerpos conectados por clavijas. En algunos problemas, sin embargo, los cuerpos rígidos (mecanismos) se construyen de manera que se produzca deslizamiento en sus conexiones. El análisis cinemático para tales casos se realiza mejor si el movimiento se analiza utilizando un sistema de coordenadas que se traslada y rota. Además, este marco de referencia es útil para analizar los movimientos de dos puntos en un mecanismo que no están ubicados en el mismo cuerpo y para especificar la cinemática del movimiento de partículas cuando la partícula se mueve a lo largo de una trayectoria giratoria. En el siguiente análisis se desarrollarán dos ecuaciones que relacionan la velocidad y la aceleración de dos puntos, uno de los cuales es el origen de un marco de referencia en movimiento sujeto tanto a una traslación como a una rotación en el plano.*
dieciséis
Y
Posición. Considere los dos puntos A y B que se muestran en la figura 1632a.
.
Su ubicación está especificada por los vectores de posición rA y rB, que se miden con respecto al sistema de coordenadas fijo X, Y, Z. Como se muestra en la figura, el "punto
y
base" A representa el origen del sistema de coordenadas x, y, z , que se supone que se
xB
B
traslada y gira con respecto al sistema X, Y, Z. La posición de B con respecto a A está especificada por el vector de posición relativa rB>A. Los componentes de este vector pueden expresarse en términos de vectores unitarios a lo largo de los ejes X, Y , es decir, I y J, o mediante vectores unitarios a lo largo de los ejes x, y , es decir, i y j. Para
X
rB/A rB
A
el desarrollo que sigue, rB>A se medirá con respecto al marco de referencia en movimiento x, y . Por lo tanto, si B tiene coordenadas (xB, yB), figura 1632a, entonces
yB
real academia de bellas artes
X (a)
rB>A = xBi + yBj
Figura 1632
Usando la suma de vectores, los tres vectores de posición en la figura 1632a son relacionados por la ecuación
rB = rA + rB>A
(16–21)
En el instante considerado, el punto A tiene una velocidad vA y una aceleración aA, mientras que la velocidad angular y la aceleración angular de los ejes x, y son (omega) #
y = d>dt, respectivamente.
*El movimiento tridimensional más general de los puntos se desarrolla en la sec. 20.4.
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CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
Velocidad. La velocidad del punto B se determina tomando la derivada temporal de la ecuación. 16–21, lo que da como resultado drB>A
vB = vA +
(16–22)
dt
El último término de esta ecuación se evalúa de la siguiente manera: drB>A
dt
=
d (xBi + yBj) dt
=
dxB di i + xB dyB dj j + yB + dt dt dt dt
dt = a dxB
yo +
dyb
dt jb + axB di
dt
+ yB
DJ
dt b
(16–23)
Los dos términos en el primer conjunto de paréntesis representan los componentes de la velocidad del punto B medidos por un observador conectado al sistema de coordenadas en movimiento x, y, z . Estos términos serán denotados por el vector
dieciséis
(vB>A)xyz. En el segundo conjunto de paréntesis, la tasa de cambio de tiempo instantáneo de los vectores unitarios i y j se mide por un observador ubicado en el sistema de coordenadas fijo X, Y, Z. Estos cambios, di y dj, se deben únicamente a la rotación du de los ejes x, y, z , lo que hace que i se convierta en i = i + di y j en j = j + dj, figura 1632b. Como se muestra, las magnitudes de di y dj son iguales a 1 du, ya que i = i = j = j = 1. La dirección de di está definida por +j, ya que di es tangente a la trayectoria descrita por la punta de flecha de i en el límite como t S dt. Asimismo, dj actúa en la dirección i , figura 1632b. Por eso,
y
du
DJ
du j
i
di
j¿
1
yo yo 1
X
di
dt
=
du (j) = j dt
DJ
dt
= du (i) = i dt
Viendo los ejes en tres dimensiones, figura 1632c, y observando que = k, podemos expresar las derivadas anteriores en términos del producto vectorial como
(b) z
di = * i dt X
k y
i
DJ
= * j dt
(16–24)
Sustituyendo estos resultados en la Ec. 1623 y utilizando la propiedad distributiva del producto vectorial vectorial, obtenemos
j (C) Figura 1632 (continuación)
drB>A dt = (vB>A)xyz + * (xBi + yBj) = (vB>A)xyz + * rB>A
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(16–25)
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libros electrónicos gratis ==> www.ebook777.com 16.8 ANÁLISIS DE MOVIMIENTO RELATIVO MEDIANTE EJES DE ROTACIÓN
391
Por lo tanto, la ecuación. 16–22 se convierte en
vB = vA + * rB>A + (vB>A)xyz
(16–26)
dónde vB = velocidad de B, medida a partir de la referencia X, Y, Z
vA = velocidad del origen A de la referencia x, y, z , medida a partir de la referencia X, Y, Z (vB>A)xyz = velocidad de “B con respecto a A”, medida por un observador conectado a la referencia giratoria x, y, z
= velocidad angular de la referencia x, y, z , medida desde el Referencia X, Y, Z rB>A = posición de B con respecto a A
dieciséis
Comparando la Ec. 1626 con la ecuación. 1616 (vB = vA + * rB>A), que es válido para un marco de referencia de traslación, se puede ver que la única diferencia entre estas dos ecuaciones está representada por el término ( vB>A)xyz.
Al aplicar la Ec. 16–26, a menudo es útil entender lo que cada uno de los términos representan. En orden de aparición, son los siguientes:
vB
e velocidad absoluta de B
del cuadro X o, bservado Y, Z f m ovimiento de B
(igual)
Virginia
e vorigen elocidad acbsoluta laz del uadro xd, e y,
(más)
movimiento del marco x,
y y, z observado desde el Marco X, Y, Z
* rB>A e efecto e velocidad angular cyausado por rdotación del m arco x, , z
(más)
(vB>A)xyz
e con velocidad de B a A respecto
f mdel ovimiento de xB, oybservado marco , z
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CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
Aceleración. La aceleración de B, observada desde el sistema de coordenadas X, Y, Z , puede expresarse en términos de su movimiento medido con respecto al sistema de coordenadas giratorio tomando la derivada respecto al tiempo de la Ec. 16–26.
dvB
dvA
=
dt
dt
d
+
dt #
aB = aA +
drB>A d(vB>A)xyz + dt dt
* rB>A + *
* rB>A + *
drB>A d(vB>A)xyz + dt dt
(16–27)
#
Aquí
= d>dt es la aceleración angular de la coordenada x, y, z sistema. Dado que siempre es perpendicular al plano de movimiento, entonces mide
#
solo el cambio en magnitud de . La derivada drB>A>dt está definida por la ecuación. 16– 25, de modo que *
dieciséis
drB>A = * (vB>A)xyz + * ( * rB>A)
(16–28)
dt
Encontrar la derivada temporal de (vB>A)xyz = (vB>A)xi + (vB>A)y j, d(vB>A)xyz
dt
d(vB>A)x
= do
dt
yo +
d(vB>A)y
dt jd + c(vB>A)x di
DJ
dt + (vB>A)y dt d
Los dos términos en el primer conjunto de paréntesis representan los componentes de la aceleración del punto B medidos por un observador adjunto al sistema de coordenadas giratorio. Estos términos se denotarán por (aB>A)xyz. Los términos en el segundo conjunto de paréntesis se pueden simplificar usando las Ecs. 16–24. d(vB>A)xyz = (aB>A)xyz + * (vB>A)xyz
dt
Sustituyendo esto y la Ec. 1628 en la ecuación. 16–27 y reordenando términos,
#
aB = aA +
* rB>A + * ( * rB>A) + 2 * (vB>A)xyz + (aB>A)xyz (16–29)
dónde aB = aceleración de B, medida a partir de la referencia X, Y, Z aA = aceleración del origen A de la referencia x, y, z , medida a partir de la referencia X, Y, Z (aB>A)xyz, (vB>A)xyz = aceleración y velocidad de B con respecto a A, medidas por un observador conectado a la referencia giratoria x, y, z = aceleración #
,
angular y velocidad angular de x, y , referencia z , medida a partir de la referencia X, Y, Z rB>A = posición de B con respecto a A
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393
Si la ecuación. 1629 se compara con la ecuación. 1618, escrita en la referencia forma * rB>A + * ( * rB>A), que es válida para un marco de de traslación aB = aA +, se puede ver que la diferencia entre estas dos #
ecuaciones está representada por la términos 2 * (vB>A)xyz y (aB>A)xyz. En particular, 2 * (vB>A)xyz se denomina aceleración de Coriolis, en honor al ingeniero francés GC Coriolis, quien fue el primero en determinarla. Este término representa la diferencia en la aceleración de B medida desde los ejes x, y, z no giratorios y giratorios . Como lo indica el producto vectorial vectorial, la aceleración de Coriolis siempre será perpendicular a ambos y (vB>A)xyz. Es un componente importante de la aceleración que debe tenerse en cuenta siempre que se utilicen marcos de referencia giratorios. Esto ocurre a menudo, por ejemplo, cuando se estudian las aceleraciones y fuerzas que actúan sobre cohetes, proyectiles de largo alcance u otros cuerpos que tienen movimientos cuyas medidas se ven significativamente afectadas por la rotación de la tierra. La siguiente interpretación de los términos en la ecuación. 16–29 puede ser útil
al aplicar esta ecuación a la solución de problemas.
dieciséis
ab
e aceleración absoluta de B
del marco XB, , Z f m ovimiento de oY bservado
(igual)
e aorigen celeración e del acbsoluta uadro xd, yla,
Automóvil club británico
z (más) movimiento de
marco x, y, z
#
* rB>A
causado por la rotación de x, y, z c emarco fecto de aceleración angular
y observado desde el marco X, Y, Z
(más)
* ( * rB>A) e efecto de por velocidad angular rotación del ccausado uadro x, y,
z (más)
2 * (vB>A)xyz
relativo a las coordenadas x, y, z c efecto y la rcotación ombinado del m del arco movimiento x, y, z que B interactúan con el movimiento
(más)
(aB>A)xyz
e arespecto celeración e B con f movimiento B observado del dme arco x, y, z ad A
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CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
Procedimiento de Análisis Las ecuaciones 1626 y 1629 se pueden aplicar a la solución de problemas que involucran el movimiento plano de partículas o cuerpos rígidos mediante el siguiente procedimiento. Ejes de coordenadas. Elija una ubicación adecuada para el origen y la orientación adecuada de los ejes para marcos de referencia X, Y, Z fijos y X, Y, Z móviles.
La mayoría de las veces, las soluciones se obtienen fácilmente si en el instante considerado: 1. los orígenes son coincidentes 2. los ejes correspondientes son colineales 3. los ejes correspondientes son paralelos El marco móvil debe seleccionarse fijo al cuerpo o dispositivo a lo largo del cual dieciséis
ocurre el movimiento relativo. Ecuaciones cinemáticas. Después de definir el origen A de la referencia móvil y especificar el punto móvil B, las Ecs. 1626 y 1629 deben escribirse en forma simbólica vB = vA + * rB>A + (vB>A)xyz * rB>A + * ( * rB>A) + 2 * (vB>A)xyz + #
(aB>A)xyz aB = aA + Los componentes cartesianos de todos estos vectores pueden expresarse a lo largo de los ejes X, Y, Z o los ejes x, y, z . La elección es arbitraria siempre que se utilice un conjunto coherente de vectores unitarios. El movimiento de la referencia móvil se expresa mediante vA, aA, y ; y el #
movimiento de B con respecto a la referencia en movimiento es expresado por rB>A, (vB>A)xyz y (aB>A)xyz.
y B X
C A
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La rotación del basurero del camión sobre el punto C es operada por la extensión del cilindro hidráulico AB. Para determinar la rotación del recipiente debido a esta extensión, podemos usar las ecuaciones de movimiento relativo y fijar los ejes x, y al cilindro para que el movimiento relativo de la extensión del cilindro ocurra a lo largo del eje y . (© RC Hibbeler)
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395
EJEMPLO 16.18 En el instante u = 60, la barra de la figura 1633 tiene una velocidad angular de 3 rad>s 2
. de 2 m>s y la aceleración y una aceleración angular de 2 rad>s . 0.2 m, la velocidad es
es de 3 m>s, ambas medidas en relación con la barra. Determine la aceleración de 2
Y
, Coriolis y la velocidad y aceleración del collarín en este instante.
y
SOLUCIÓN Ejes de coordenadas. El origen de ambos sistemas de coordenadas se ubica en el punto
x 0,2 m
O
O, figura 1633. Dado que el movimiento del collarín se informa en relación con la barra,
3 rad/s
el marco de referencia en movimiento x, y, z está unido a la barra.
2 rad/s2 C
Ecuaciones cinemáticas. vC (1)
= vO + * rC>O + (vC>O)xyz
3 m/s2 2 m/s
30
#
aC = aO +
X
tu 60
acor
* rC>O + * ( * rC>O) + 2 * (vC>O)xyz + (aC>O)xyz (2)
X
Será más sencillo expresar los datos en términos de vectores de componentes i, j, k
Figura 1633
en lugar de componentes I, J, K. Por eso, Movimiento
Movimiento de C con respecto a
de referencia móvil vO
la referencia móvil rC>O =
= 0
50.2i6 m (vC>O)xyz
aO = 0
= 52i6 m>s (aC>O)xyz =
= 5 3k6 rad>s = 5 #
2
53i6 m>s 2
2k6 rad>s
La aceleración de Coriolis se define como aCor = 2 * (vC>O)xyz = 2(3k) * (2i) = 5 12j6 m>s
2
Respuesta
Este vector se muestra discontinuo en la figura 1633. Si se desea, se puede descomponer en componentes I, J que actúan a lo largo de los ejes X e Y , respectivamente. La velocidad y la aceleración del collarín se determinan sustituyendo los datos en las Ecs. 1 y 2 y evaluando los productos cruzados, lo que da vC = vO + * rC>O + (vC>O)xyz = 0 + (3k) * (0.2i) + 2i = 52i 0.6j6 m>s aC = aO +
Respuesta #
* rC>O + * ( * rC>O) + 2 * (vC>O)xyz + (aC>O)xyz = 0 + (2k) * (0.2i) + (3k) * [(3k) * (0.2i)] + 2(3k) * (2i) + 3i = 0 0,4j 1,80i 12j + 3i = 51,20i 12,4j6 m>s
2
Respuesta
dieciséis
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CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
EJEMPLO 16.19 La barra AB, que se muestra en la figura 1634, gira en el sentido de las manecillas del reloj
s, s
2
de tal manera que tiene una velocidad angular vAB = 3 rad>sy una aceleración = 4 rad>s B
angular aAB cuando u = 45. Determine el movimiento angular de la barra DE en este instante.
0,4 metros
El collar en C está conectado con pasador a AB y se desliza sobre la varilla DE.
D C
VDE, ADE
X, X
SOLUCIÓN Ejes de coordenadas. El origen de los marcos de referencia fijo y móvil se ubica en D, figura
vAB 3 rad/s 2 aAB 4 rad/ su 45
0,4 metros
mi
1634. Además, la referencia x, y, z está unida a la varilla DE y gira con ella, de modo que el movimiento relativo del collar es fácil de seguir.
A
Ecuaciones cinemáticas. vC = (1)
vD + * rC>D + (vC>D)xyz Figura 1634
dieciséis
#
aC = aD +
* rC>D + * ( * rC>D) + 2 * (vC>D)xyz + (aC>D)xyz (2)
Todos los vectores se expresarán en términos de componentes i, j, k . Movimiento
Movimiento de C con respecto a la
de referencia móvil vD =
referencia en movimiento
0 aD = 0
rC>D = 50.4i6m
= vDEk
(vC>D)xyz = (vC>D)xyzi (aC>D)xyz = (aC>D)xyzi
#
= aDEk Movimiento de C: dado que el collar se mueve a lo largo de una trayectoria circular de radio AC, su velocidad y aceleración se pueden determinar usando las Ecs. 16–9 y 16–14.
vC = VAB * rC>A = (3k) * (0.4i + 0.4j) = 51.2i 1.2j6 m>s aC = AAB * rC>A vAB rC>A 2
2
= (4k) * (0,4i + 0,4j) (3)2 (0,4i + 0,4j) = 5 2i 5,2j6 m>s Sustituyendo los datos en las Ecs. 1 y 2, tenemos vC = vD + * rC>D + (vC>D)xyz 1.2i 1.2j = 0 + (vDEk) * (0.4i) + (vC>D)xyzi 1.2i 1.2j = 0 0.4vDEj + (vC>D)xyzi (vC>D)xyz = 1,2 m>s = 3 vDE rad>s b
Respuesta
#
aC = aD + * rC>D + * ( * rC>D) + 2 * (vC>D)xyz + (aC>D)xyz 2i 5.2j = 0 + (aDEk) * (0.4i) + (3k) * [(3k) * (0.4i)] + 2(3k) * (1.2i) + (aC>D)xyzi 2i 5.2j = 0.4aDEj 3.6i 7.2j + (aC>D)xyzi (aC>D)xyz = 1,6 m>s = 5 rad>s = 5 rad>s aDE
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2 2
2
d
Respuesta
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16.8 ANÁLISIS DE MOVIMIENTO RELATIVO MEDIANTE EJES DE ROTACIÓN
EJEMPLO 16.20 Los planos A y B vuelan a la misma altura y tienen los movimientos que se muestran en la figura 1635. Determine la velocidad y la aceleración de A medidas por el piloto de B. SOLUCIÓN Ejes de coordenadas. Como se busca el movimiento relativo de A con respecto al piloto en B , los ejes x, y, z están unidos al plano B, figura 1635. En el instante considerado, el origen B coincide con el origen de la trama fija X, Y, Z.
Ecuaciones cinemáticas. (1)
vA = vB + * rA>B + (vA>B)xyz
y, y
#
aA = aB +
* rA>B + * ( * rA>B) + 2 * (vA>B)xyz + (aA>B)xyz (2)
700 km/h
Movimiento de referencia móvil: vB
dieciséis
= 5600j6 km>h (600)2
600 km/h 100 km/h2
= 900 km>h2 400
2 = mB (aB)n = r
A
=
#
50 km/
= 1,5 rad>h b
r =
100 km>h2 = 0,25 rad>h2 d
#
400 kilometros
= 50.25k6 rad>h2
Movimiento de A con respecto a la referencia móvil: rA>B = 5 4i6 km (vA>B)xyz = ? (aA>B)xyz = ? Sustituyendo los datos en las Ecs. 1 y 2, sabiendo que vA = 5700j6km>h y aA = 550j6 km>h2 , tenemos vA = vB + * rA>B + (vA>B)xyz 700j = 600j + (1.5k) * (4i) + (vA>B)xyz (vA>B)xyz = 594j6 km>h * rA>B + * ( * rA>B) + 2 * (vA>B)xyz
Respuesta
#
aA = aB +
4 kilómetros
h2 = 5 1,5k6 rad>h
400 kilometros
= (aB)t r
x, x
B 400 kilometros
aB = (aB)n + (aB)t = 5900i 100j6 km>h2 600 km>h vB =
rA/B
+ (aA>B)xyz 50j = (900i 100j) + (0,25k) * (4i) + (1,5k) * [(1,5k)
* (4i)] + 2(1,5k) * (94j) + (aA>B)xyz (aA>B)xyz = 5 1191i + 151j6 km>h2 Respuesta.
NOTA: La solución de este problema debe compararse con la del ejemplo 12.26, donde se ve que (vB>A)xyz (vA>B)xyz y (aB>A)xyz (aA>B)xyz.
Figura 1635
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CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
PROBLEMAS 16–129. En el instante que se muestra, la bola B rueda a lo largo de la ranura del
16–131. Mientras el puente giratorio se cierra con una rotación constante de 0.5
disco con una velocidad de 600 mm>s y una aceleración de 150 mm>s2, ambas
rad>s, un hombre corre a lo largo del camino a una velocidad constante de 5 pies>s
medidas en relación con el disco y en dirección opuesta a O. Si en el mismo
en relación con el camino. Determine su velocidad y aceleración en el instante d =
instante la disco tiene la velocidad angular y la aceleración angular que se muestran,
15 pies.
determine la velocidad y la aceleración de la pelota en este instante.
z v 6 rad/s a 3 rad/s
2 zd _
O
O
0,8 m B
y
X 0,4 metros
v 0,5 rad/s
dieciséis
X
y problema 16–129
problema 16–131
16–130. El brazo telescópico de la grúa gira con la velocidad angular y la aceleración angular que se muestran. En el mismo instante, la pluma se extiende con una rapidez constante de 0.5 ft>s, medida con respecto a la pluma. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleración del punto B en este instante. *16–132. Mientras el puente giratorio se cierra con una rotación constante de 0.5 rad>s, un hombre corre a lo largo de la calzada de tal manera que cuando d = 10 pies corre hacia afuera desde el centro a 5 pies>s con una aceleración de 2 pies>s 2
, tanto medida con respecto a la calzada. Determine su velocidad y aceleración en este instante.
60 pies
B vAB 0,02 rad/s aAB 2 0,01 rad/s 30
A
zd _
O
y
X
v 0,5 rad/s
problema 16–130
problema 16–132
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16.8 ANÁLISIS DE MOVIMIENTO RELATIVO MEDIANTE EJES DE ROTACIÓN
16–133. El agua sale del impulsor de la bomba centrífuga con una velocidad de 25
16–135. La varilla AB gira en sentido antihorario con una constante
m>s y una aceleración de 30 m>s2, ambas medidas en relación con el impulsor a
velocidad angular v = 3 rad>s. Determine la velocidad del punto C ubicado en el
lo largo de la línea de álabes AB.
doble collar cuando u = 30°. El collar consta de dos bloques deslizantes conectados
Determine la velocidad y la aceleración de una partícula de agua en A cuando sale
por pasadores que están obligados a moverse a lo largo de la trayectoria circular y
del impulsor en el instante que se muestra. El impulsor gira con una velocidad
la varilla AB.
angular constante de v = 15 rad>s.
*16–136. La varilla AB gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante v = 3 rad>s. Determine la velocidad y la aceleración del punto C ubicado en el collar doble cuando u = 45°. El collar consta de dos bloques deslizantes conectados por pasadores que están obligados a moverse a lo largo de la trayectoria circular y la varilla AB.
y B
B
C
30
A
v = 3 rad/s tu
A dieciséis
X 0,4 metros
v 15 rad/s 0,3 metros
problemas 16–135/136 problema 16–133
16–137. Las partículas B y A se mueven a lo largo de las trayectorias parabólica y circular, respectivamente. Si B tiene una velocidad de 7 m>s en la dirección que se muestra y su velocidad aumenta a 4 m>s2, mientras que A tiene una velocidad de 8 m>s en la dirección que se muestra y su velocidad disminuye a 6 m>s2, determine
16–134. El bloque A, que está unido a una cuerda, se mueve a lo largo de la ranura
la velocidad relativa y la aceleración relativa de B con respecto a A.
de una barra bifurcada horizontal. En el instante que se muestra, la cuerda se tira
y
hacia abajo a través del orificio en O con una aceleración de 4 m>s y su velocidad 2
es de 2 m>s. Determine la aceleración del bloque en este instante. La barra gira alrededor de O con una velocidad angular constante v = 4 rad>s.
x2 _
B
X
vB 7 m/s 2 metros
X
y
vA 8 m/s A A v
1 metro
O 100mm
problema 16–134
problema 16–137
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400
CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
16–138. El collar B se mueve hacia la izquierda con una rapidez de 5 m>s, que
16–141. El collarín C está sujeto a la varilla CD mientras se desliza sobre la varilla
aumenta a una tasa constante de 1,5 m>s2, en relación con el aro, mientras que el
AB. Si la barra AB tiene una velocidad angular de 2 rad>s y una aceleración angular
aro gira con la velocidad angular y la aceleración angular que se muestran.
de 8 rad>s2, ambas actuando en sentido antihorario, determine la velocidad angular
Determine las magnitudes de la velocidad y aceleración del collarín en este instante.
y la aceleración angular de la barra CD en el instante que se muestra.
A
v 6 rad/s a 3 rad/s
vAB 2 rad/s aAB
A
2
8 rad/s2 60 C
450mm
1,5 metros
B D
200mm
1 metro
B problema 16–141 problema 16–138 dieciséis
16–142. En el instante que se muestra, el brazo robótico AB gira en sentido antihorario a v = 5 rad>s y tiene una aceleración angular a = 2 rad>s girando en
16–139. El bloque D del mecanismo está confinado para moverse
2
dentro de la ranura del miembro CB. Si el eslabón AD gira a = 4 rad>s, determine la aceleración angular del
tasa constante de velocidad angular de vAD y la
miembro CB en el instante que se muestra.
sentido antihorario a v = 6 rad>s y . Simultáneamente, la empuñadura BC es a = 2 rad>s, ambos medidos en relación con una referencia fija . Determine la
2
,
velocidad y la aceleración del objeto sostenido en el agarre C.
B
125mm
y D
C
B
300mm
15
300mm 200mm
30
v¿, a¿
vAD 4 rad/s A
C
30 X
problema 16–139
A
*16–140. En el instante que se muestra, la barra AB tiene un ángulo = 4 rad>s y
v, un problema 16–142
velocidad vAB = 2 una aceleración angular de
2
rad>s
. Determine la velocidad angular y la aceleración angular aAB
16–143. La clavija B del engranaje se desliza libremente a lo largo de la ranura del
la barra CD en este instante. El collar en C está conectado con pasador a CD y se
eslabón AB. Si el centro O del engrane se mueve con la velocidad y la aceleración
desliza libremente a lo largo de AB.
mostradas, determine la velocidad angular y la aceleración angular del eslabón en
v AB a AB
A
este instante.
4 rad/s 2 rad/s
2
150mm
60
0,75 metros
B
vO 3 m/s aO 2 1,5 m/s
0,5 metros
C
D
600mm O
150mm
A
B problema 16–140
problema 16–143
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401
*16–144. Los autos en la atracción del parque de diversiones giran alrededor de =
16–147. Si el bloque deslizante C está fijo al disco que tiene una velocidad angular
2 rad>s, el eje en A con una velocidad angular constante vA>f medida en relación con el marco AB. Al mismo tiempo, el marco gira alrededor del soporte del
constante en sentido antihorario de 4 rad>s, determine la velocidad angular y la aceleración angular del brazo ranurado AB en el instante que se muestra.
eje principal en B con una velocidad angular constante vf = 1 rad>s. Determine la velocidad y aceleración del pasajero en C en el instante que se muestra.
y
B
40mm
D
C
60 mm 30 v 4 rad/s
8 pies 8 pies
A
C vA/f 2 rad/s
X
180mm
15 pies
30
B
vf 1 rad/s
dieciséis
60 A
problema 16–144
problema 16–147
16–145. Una atracción en un parque de diversiones consta de un brazo giratorio AB que tiene una velocidad angular constante vAB = 2 rad>s punto A y un automóvil montado en el extremo del brazo que tiene una velocidad angular constante V = {−0.5k} rad> s, medida en relación con el brazo. En el instante que se muestra,
*16–148. En el instante que se muestra, el automóvil A viaja con una velocidad de
determine la velocidad y aceleración del pasajero en C.
25 m>s, que disminuye a una tasa constante de 2 m>s2, mientras que el automóvil C viaja con una velocidad de 15 m>s, que aumenta a una tasa constante de 3 m>s. Determine la velocidad y la aceleración del automóvil A con respecto al automóvil C.
16–146. Una atracción en un parque de diversiones consta de un brazo giratorio = que tiene una aceleración angular de aAB cuando vAB = 2 rad>s
1 rad>s2 AB
en el instante que se muestra. Además, en este instante, el automóvil montado al final del brazo tiene una aceleración angular de A = {−0.6k} rad>s2 y una velocidad angular de V = {−0.5k} rad>s, medidas en relación con el brazo. Determine la velocidad y aceleración del pasajero C en este instante.
250 metros
45
v¿ 0,5 rad/s 15 m/s 2 2 m/s
B 10 pies
y
60
vAB 2 rad/s
200 metros
A 30
X
A problemas 16–145/146
15 m/s 2 3 m/s
B
2 pies
C
C
25 m/s 2 m/s
problema 16–148
2
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402
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CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
16–149. En el instante que se muestra, el automóvil B viaja con una velocidad de 15
16–151. El disco gira con el movimiento angular que se muestra.
m>s, que aumenta a razón constante de 2 m>s2, mientras que el automóvil C viaja
Determine la velocidad angular y la aceleración angular del eslabón ranurado AC en
con una velocidad de 15 m>s, que aumenta a razón constante de 3 m>s2. Determine
este instante. La clavija en B está fijada al disco.
la velocidad y la aceleración del automóvil B con respecto al automóvil C.
A 0,75 metros
30
250 metros
45 B
0,3 metros
15 m/s 2 2 m/s
C
B
30
15 m/s 2 3 m/s
200 metros
v 6 rad/sa 10 rad/s2 A
dieciséis
C
25 m/s problema 16–151
2 m/s
2
*16–152. El mecanismo de Ginebra se utiliza en un sistema de embalaje para problema 16–149
convertir el movimiento angular constante en un movimiento angular intermitente. La rueda de estrella A da un sexto de revolución por cada revolución completa de la rueda motriz B y la guía adjunta C. Para hacer esto, el pasador P, que está unido a B, se desliza en una de las ranuras radiales de A, girando así rueda A, y luego sale
16–150. El mecanismo de dos enlaces sirve para amplificar el movimiento angular.
de la ranura. Si B tiene una constante angular = 4 rad>s, determine VA y AA de la
El enlace AB tiene un pasador en B que se limita a moverse dentro de la ranura del
rueda A con una velocidad de vB en el instante que se muestra.
enlace CD. Si en el instante mostrado, AB (entrada) tiene una velocidad angular de vAB = 2.5 rad>s, determine la velocidad angular de CD (salida) en ese instante.
vB
4 rad/s
B D
150mm
B
C PAG
C 30 45
A
A
4 pulgadas
tu 30 vAB 2,5 rad/s
problema 16–150
problema 16–152
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403
PROBLEMAS PROBLEMAS CONCEPTUALES
C16–1. Un motor eléctrico hace girar la llanta en A a una velocidad angular constante y la fricción hace que la llanta ruede sin deslizarse sobre el borde interior de la rueda de la fortuna. Usando valores numéricos apropiados, determine la magnitud de la velocidad y aceleración de los pasajeros en una de las canastas. ¿Los pasajeros en las otras canastas experimentan este mismo movimiento? Explicar.
C16–3. La puerta plegable del hangar se abre mediante cables que se mueven hacia arriba a una velocidad constante de 0,5 m>s. Determine la velocidad angular de BC y la velocidad angular de AB cuando u = 45. El panel BC está clavado en C y tiene una altura igual a la altura de BA. Use valores numéricos apropiados para explicar su resultado.
C
A
dieciséis
tu
B
A
problema C16–3 (© RC Hibbeler) problema C16–1 (© RC Hibbeler) C16–2. La manivela AB gira en sentido antihorario a una
tasa constante V que hace que el brazo conector CD y la viga basculante DE se muevan. Dibuje un esquema que muestre la ubicación del IC para el brazo de conexión cuando u = 0, 90, 180 y 270. Además, ¿cómo se determinó la curvatura de la cabeza en E y
C16–4. Si las llantas no resbalan sobre el pavimento, determine los puntos de la llanta que tienen una velocidad máxima y mínima y los puntos que tienen una aceleración máxima y mínima. Usa valores numéricos apropiados para la velocidad del auto y el tamaño de las llantas para explicar tu resultado.
por qué está curvada de esta manera?
mi
D
C
B
tu
A
problema C16–2 (© RC Hibbeler)
problema C16–4 (© RC Hibbeler)
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404
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CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
REPASO DEL CAPÍTULO
Movimiento plano de cuerpo rígido
Un cuerpo rígido sufre tres tipos de movimiento plano: traslación, rotación alrededor de un eje fijo y movimiento plano general. Camino de traslación rectilínea
Traducción Cuando un cuerpo tiene traslación rectilínea, todas las partículas del cuerpo viajan a lo largo de trayectorias paralelas en línea recta. Si las trayectorias tienen el mismo radio de curvatura, se produce una traslación curvilínea. Si conocemos el movimiento de una de las partículas, también se conoce el movimiento de todas las demás.
Camino de traslación curvilínea
Rotación sobre un eje fijo dieciséis
Para este tipo de movimiento, todas las partículas se mueven a lo largo de trayectorias circulares. Aquí, todos los segmentos de línea en el cuerpo experimentan el mismo desplazamiento angular, velocidad angular y aceleración angular. Una vez que se conoce el movimiento angular del cuerpo, se puede obtener la velocidad de cualquier partícula a una distancia r del eje.
Rotación sobre un eje fijo
a = dv>dt La aceleración de cualquier partícula tiene dos componentes. La componente tangencial explica el cambio en la magnitud de la velocidad y la componente normal explica el cambio en la dirección de la velocidad.
v =
v = du>dt
a du = v dv
o
v0 + acto
u = u0 + v0t + 2 acto
1
v2 = 2 + 2ac(u u0) v0
CA constante v = vr
en = ar, un
Movimiento plano general
Cuando un cuerpo experimenta un movimiento plano general, simultáneamente se traslada y rota. Hay varios métodos para analizar este movimiento. Análisis de movimiento absoluto Si se conoce el movimiento de un punto en un cuerpo o el movimiento angular de una línea, entonces puede ser posible relacionar este movimiento con el de otro punto o línea usando un análisis de movimiento absoluto. Para ello se establecen unas coordenadas de posición lineal s o unas coordenadas de posición angular u (medidas desde un punto fijo o línea). Estas coordenadas de posición se relacionan luego usando la geometría del cuerpo. La derivada temporal de esta ecuación da la relación entre las velocidades y/o las velocidades angulares. Una segunda derivada temporal relaciona las aceleraciones y/o las aceleraciones angulares.
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Movimiento plano general
= v2 r
2
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405
Movimiento relativo usando ejes de traslación El movimiento del plano general también se puede analizar usando un análisis de movimiento relativo entre dos puntos A y B ubicados en el cuerpo. Este método considera el movimiento en partes: primero una traslación del punto base A seleccionado, luego una "rotación" relativa del cuerpo alrededor del punto A, que se mide desde un eje de traslación.
vB = vA + V * rB>A
Dado que el movimiento relativo se considera un movimiento
aB = aA + A * rB>A v2 rB>A
circular alrededor del punto base, el punto B tendrá una velocidad vB>A que es tangente al círculo. También tiene dos componentes de aceleración, (aB>A)t y (aB>A)n . También es importante darse cuenta de que aA y aB tendrán componentes tangenciales y normales si estos puntos se mueven a lo largo de trayectorias curvas.
Centro instantáneo de velocidad cero Si se
dieciséis
selecciona el punto base A con velocidad cero, entonces la ecuación de velocidad relativa se convierte en vB = V * rB>A. En este caso, el movimiento parece como si el cuerpo girara alrededor de un eje instantáneo que pasa por A. A
rA/CI
El centro instantáneo de rotación (IC) se puede establecer PAG
siempre que se conozcan las direcciones de las velocidades de dos puntos cualesquiera del cuerpo, o se conozcan la
V
velocidad de un punto y la velocidad angular. Dado que una línea radial r siempre será perpendicular a cada velocidad,
vA vP
B
entonces el IC está en el punto de intersección de estas dos
rP/CI
líneas radiales. Su ubicación medida se determina a partir de la geometría del
VIC 0 CI
rB/CI
vB
cuerpo. Una vez establecida, la velocidad de cualquier punto P del cuerpo puede determinarse a partir de v = vr, donde r se extiende desde el IC hasta el punto P.
Movimiento relativo usando ejes giratorios Los problemas que involucran miembros conectados que se deslizan entre sí o puntos que no están ubicados en el mismo cuerpo pueden analizarse usando un análisis de movimiento relativo referenciado desde un marco giratorio. Esto da lugar al término 2 * (vB>A)xyz que se denomina aceleración de Coriolis.
vB = vA + * rB>A + (vB>A)xyz #
aB = aA +
* rB>A + * ( * rB>A) + 2 * (vB>A)xyz + (aB>A)xyz
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406
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CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO
PROBLEMAS DE REVISIÓN R16–1. El mecanismo elevador A tiene una velocidad angular inicial de 60 rad>s y
R16–3. El tablero descansa sobre la superficie de dos tambores. En
una desaceleración constante de 1 rad>s2.
En el instante que se muestra, tiene una aceleración de 0.5 m>s2 hacia la derecha,
Determine la velocidad y la desaceleración del bloque que está siendo levantado
mientras que en el mismo instante los puntos en el borde exterior de cada tambor
por el cubo en el engrane B cuando t = 3 s.
tienen una aceleración con una magnitud de 3 m>s2. Si la tabla no resbala sobre los tambores, determine su velocidad debido al movimiento. 0,5 pies 2 pies
1 pie
A B
0,5 m/s
2
250mm
250mm
dieciséis
problema R16–3
problema R16–1 R16–2. Comenzando en (vA)0 = 3 rad>s, cuando u = 0, s = 0, la polea A recibe una aceleración angular a = (0.6u) rad>s donde u está en radianes. Determine
2 ,
la velocidad del bloque B cuando ha subido s = 0,5 m. La polea tiene un cubo interior D que está fijo a C y gira con él.
R16–4. Si la barra AB tiene una velocidad angular vAB, determine = 6 rad>s,
150mm
la velocidad del bloque deslizante C en el instante que se muestra.
corriente continua
A 50mm
75mm
vAB 6 rad/s B
B
200mm Tienes 45 años
s
500mm 30
problema R16–4
problema R16–2
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C
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PROBLEMAS DE REVISIÓN
R16–5. El centro de la polea se eleva verticalmente con una aceleración de 4
R16–7. El disco se mueve hacia la izquierda de manera que tiene una aceleración
m>s2 en el instante en que tiene una velocidad de 2 m>s. Si el cable no se desliza
angular a = 8 rad>s y una velocidad angular v = 3 rad>s en el instante que se
sobre la superficie de la polea, determine las aceleraciones del cilindro B y el punto
muestra. Si no se desliza en A, determine la aceleración del punto B.
2
C de la polea.
aA = 4 m/s2 vA = 2 m/s v a
C
D
A
3 rad/s 2 8 rad/s
30 0,5 m
80mm
B
C
A
problema R16–7
B
dieciséis
R16–8. En el instante dado, el miembro AB tiene los movimientos angulares que se muestran. Determine la velocidad y aceleración del bloque deslizante C en este instante.
problema R16–5
R16–6. En el instante que se muestra, el eslabón AB tiene una velocidad angular =
vAB = 2 rad>s y una aceleración angular aAB 6 rad>s2. Determine la
aceleración del pasador en C y la aceleración angular del eslabón CB en este instante, cuando u = 60°.
B 300mm
7 pulgadas
A
B 3 rad/s vAB 2 rad/s aAB 6 rad/s
A
2
2 rad/s
2
500mm 5 pulgadas
tu
C D
C
5
175mm problema R16–6
5 pulgadas
3
4
problema R16–8
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capitulo 17
(© Surasaki/Fotolia) Los tractores y otros equipos pesados pueden estar sujetos a cargas severas debido a las cargas dinámicas a medida que aceleran. En este capítulo mostraremos cómo determinar estas cargas para el movimiento plano.
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Cinética plana de un Cuerpo Rígido: Fuerza y Aceleración
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO ■ Introducir los métodos utilizados para determinar el momento de inercia de masa de un cuerpo. ■ Desarrollar las ecuaciones cinéticas planas de movimiento para un simétrico cuerpo rígido.
■ Discutir las aplicaciones de estas ecuaciones a cuerpos que experimentan traslación, rotación alrededor de un eje fijo y movimiento plano general.
17.1 Momento de inercia de la masa Dado que un cuerpo tiene un tamaño y una forma definidos, un sistema de fuerzas no concurrentes aplicado puede hacer que el cuerpo se traslade y gire. Los aspectos de traslación del movimiento se estudiaron en el Capítulo 13 y se rigen por la ecuación F = ma. En la próxima sección se mostrará que los aspectos rotacionales, causados por un momento M, están gobernados por una ecuación de la forma M = IA. El símbolo I en esta ecuación se denomina momento de inercia de la masa. En comparación, el momento de inercia es una medida de la resistencia de un cuerpo a la aceleración angular (M = IA) de la misma manera que la masa es una medida de la resistencia del cuerpo a la aceleración (F = ma).
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
El volante del motor de este tractor tiene un gran momento de inercia alrededor de su eje de rotación. Una vez que se pone en marcha, será difícil detenerlo, y esto a su vez evitará que el motor se cale y, en cambio, le permitirá mantener una potencia constante.
(© RC Hibbeler) Definimos el momento de inercia como la integral del “segundo momento” alrededor de un eje de todos los elementos de masa dm que componen el cuerpo.* Por ejemplo, el momento de inercia del cuerpo alrededor del eje z en la figura 171 es
z
17
2
mensaje directo
(171)
yo = Lm r
r
mensaje directo
Aquí, el "brazo de momento" r es la distancia perpendicular desde el eje z hasta el elemento arbitrario dm. Dado que la formulación involucra a r, el valor de I es diferente para cada eje sobre el cual se calcula. En el estudio de la cinética plana, el eje elegido para el análisis generalmente pasa por el centro de masa del cuerpo G y siempre es perpendicular al plano de movimiento. El momento de inercia con respecto a este eje se denotará como IG. Dado que r está al cuadrado en la Ec. 171, el momento de inercia de la masa es siempre una cantidad positiva . Las unidades comunes usadas para su medición son kg # m2 o slug # ft2 .
Figura 171
= r (x,y,z), Si el cuerpo consiste en material que tiene una densidad variable, r la masa elemental dm del cuerpo se puede expresar en términos de su densidad y volumen como dm = r dV. Sustituyendo dm en la Ec. 171, el momento de inercia del cuerpo se calcula usando elementos de volumen para la integración; es decir,
2
yo = VI r
r dV
(17–2)
*Otra propiedad del cuerpo, que mide la simetría de la masa del cuerpo con respecto a un sistema de coordenadas, es el producto de la inercia. Esta propiedad se aplica al movimiento tridimensional de un cuerpo y se analizará en el Capítulo 21.
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17.1 MOMENTO DE INERCIA DE MASA
En el caso especial de que r sea una constante, este término puede factorizarse fuera de la
z
integral, y la integración es entonces puramente una función de la geometría,
yo =
2dV r VI r
dm r dV
(173) z
Cuando el elemento de volumen elegido para la integración tiene dimensiones infinitesimales
y
en las tres direcciones, figura 172a, el momento de inercia del cuerpo debe determinarse
X
mediante la “integración triple”. Sin embargo, el proceso de integración se puede simplificar a
y
una sola integración siempre que el elemento de volumen elegido tenga un tamaño o espesor
X
diferencial en una sola dirección. Los elementos de carcasa o disco se utilizan a menudo para
(a)
este propósito.
z
Procedimiento de Análisis z
Para obtener el momento de inercia por integración, consideraremos solo cuerpos y
simétricos que tienen volúmenes que se generan al girar una curva alrededor de un eje. Un ejemplo de tal cuerpo se muestra en la figura 172a. Se pueden elegir dos tipos de elementos diferenciales.
y
dy
X
Elemento de concha.
(b)
Si se elige para la integración un elemento de capa que tiene una altura z, un radio r = y y un grosor dy , figura 172b, entonces el volumen es dV = (2py)(z)dy. z
Este elemento se puede utilizar en la Ec. 172 o 173 para determinar el momento de y
inercia Iz del cuerpo con respecto al eje z , ya que todo el elemento, debido a su "delgadez", se encuentra en la misma perpendicular y desde el eje z (vea el ejemplo
dz
17.1). distancia r = Elemento de disco. z
Si se elige para la integración un elemento de disco que tiene un radio y y un espesor dz , figura 172c, entonces el volumen es dV = (py2 )dz.
y
Este elemento es finito en la dirección radial y, en consecuencia, sus partes no se encuentran todas a la misma distancia radial r del eje z . Como resultado, la ecuación. 17–2 o 17–3 no se pueden usar para determinar Iz directamente.
X
(C)
En cambio, para realizar la integración primero es necesario determinar el momento de inercia del elemento con respecto al eje z y luego integrar este resultado (vea el Ejemplo 17.2).
Figura 172
17
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
EJEMPLO 17.1 Determine el momento de inercia del cilindro que se muestra en la figura 173a con respecto al eje z . La densidad del material, r, es constante.
z
z
r
dr.
R
hora 2
hora 2
O
y
O X
hora 2
y
hora 2
X
(a)
(b)
Figura 173
17
SOLUCIÓN
Elemento de concha. Este problema se puede resolver utilizando el elemento de capa de la figura 173b y una sola integración. El volumen del elemento es dV = (2pr)(h) dr, de modo que su masa es dm = rdV = r(2phr dr). Como todo el elemento se encuentra a la misma distancia r del eje z , el momento de inercia del elemento es 2
dIz = r dm = r2phr3 dr
Integrando sobre toda la región del cilindro se obtiene R 2
Iz = Lm r dm = r2ph L
r 3 dr = 0
rp R4 horas 2
La masa del cilindro es R
m = Lm dm = r2ph L
r dr = rphR2 0
de modo que
Iz = 2 1 mR2
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Respuesta
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413
EJEMPLO 17.2 determinar el momento de Si la densidad del material es 5 slug>ft3 , la inercia del sólido en la figura 174a con respecto al eje y .
y y
1 pie X
1 pie
dy 1 pie
1 pie
y2x _
y
(x,y)
X
(a)
X
(b) Figura 174
SOLUCIÓN
Elemento de disco. El momento de inercia se encontrará utilizando un elemento de disco, como se muestra en la figura 174b. Aquí el elemento corta la curva en el punto arbitrario (x,y) y tiene una masa
dm = r dV = r(px2 ) dy Aunque todas las partes del elemento no están ubicadas a la misma distancia del eje y , todavía es posible determinar el momento de inercia dIy del elemento con respecto al eje y . En el ejemplo anterior se demostró que el momento de inercia de un cilindro con respecto a su eje 1 longitudinal es I = donde 2mmR2 y R, son la masa y el radio del cilindro. Dado que la altura no está involucrada en esta fórmula, el disco mismo puede considerarse como un cilindro. Por lo tanto, para el elemento de disco de la figura 174b, tenemos 1
1
dIy = 2(dm)x2 = 2[r(px2 ) dy]x2 Sustituyendo x = y2 , r = 5 slug>ft3 e integrando con respecto a y, de y = 0 a y = 1 ft, se obtiene el momento de inercia de todo el sólido.
yo =
1 pie
p(5 slug>ft3 )
2L
x4 dy = 0
1 pie
p(5)
2L
y8 dy = 0.873 slug # ft2 Resp. 0
17
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414
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
y¿
mensaje directo
r A
r¿ GRAMO
X X
d
z
y¿
z¿
Figura 175
17
Teorema de los ejes paralelos. Si se conoce el momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje que pasa por el centro de masa del cuerpo, entonces el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje paralelo se puede determinar usando el teorema del eje paralelo. Este teorema se puede derivar considerando el cuerpo que se muestra en la figura 175. Aquí el eje z pasa por el centro de masa G, mientras que el eje z paralelo correspondiente se encuentra a una distancia constante d . Seleccionando el elemento diferencial de masa dm, que se encuentra en el punto (x, y), y aplicando el teorema de Pitágoras, podemos 2r respecto al e2je z 2 expresar el momento de inercia del cuerpo = (d + x) + y , como
2
+ y 2] dm
2
yo = Lm r dm = Lm [(d + x) 2
= Lm (x
Desde r
= x
+ y
2
) dm + 2d Lm x dm + d2 Lm dm
+ y 2 , la primera integral representa IG. La segunda integral es igual a cero, ya que el eje z pasa por el centro de masa del cuerpo, es decir, 1xdm = xm = 0 ya que x = 0. Finalmente, la tercera integral 2
2
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415
representa la masa total m del cuerpo. Por lo tanto, el momento de inercia con respecto al eje z se puede escribir como
I = IG + md2
(17–4)
dónde IG = momento de inercia sobre el eje z que pasa a través de la masa centro G m = masa del cuerpo d = distancia perpendicular entre los ejes paralelos z y z
Radio de giro. Ocasionalmente, el momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje específico se informa en los manuales utilizando el radio de giro, k. Esta es una propiedad geométrica que tiene unidades de longitud. Cuando se conocen él y la masa m del cuerpo , el momento de inercia del cuerpo se determina a partir de la ecuación
yo = mk2 o k = un yo
(17–5) metro
Note la similitud entre la definición de k en esta fórmula y r en el dm, que define el 2 momento de inercia de un elemental ecuación dI = r masa dm del cuerpo alrededor de un eje.
Cuerpos compuestos. Si un cuerpo consta de varias formas simples, como discos, esferas y barras, el momento de inercia del cuerpo con respecto a cualquier eje se puede determinar sumando algebraicamente los momentos de inercia de todas las formas compuestas calculadas con respecto al eje. La suma algebraica es necesaria ya que una parte compuesta debe considerarse como una cantidad negativa si ya se ha contado como una pieza de otra parte, por ejemplo, un "agujero" sustraído de una placa sólida. El teorema del eje paralelo es necesario para los cálculos si el centro de masa de cada parte compuesta no se encuentra en el eje. Para el cálculo, entonces, I = (IG + md2 ). Aquí, IG para cada una de las partes compuestas se determina por integración, o para formas simples, como varillas y discos, se puede encontrar en una tabla, como la que se proporciona en el interior de la contraportada de este libro.
17
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
EJEMPLO 17.3 Si la placa que se muestra en la figura 176a tiene una densidad de 8 000 kg/m3 y un espesor de 10 mm, determine su momento de inercia con respecto a un eje dirigido perpendicularmente a la página y que pasa por el punto O.
125mm 250mm
GRAMO
GRAMO
–
125mm GRAMO
250mm O
Espesor 10mm (b)
(a)
Figura 176
SOLUCIÓN La placa consta de dos partes compuestas, el disco de 250 mm de radio menos un disco de 125 mm de radio, figura 176b. El momento de inercia con respecto a O puede determinarse calculando el momento de inercia de cada una de estas partes con respecto a O y luego sumando los resultados algebraicamente. Los cálculos se realizan utilizando el teorema del eje paralelo junto con los datos enumerados en la tabla en el interior de la contraportada. 17
Disco. El momento de inercia de un disco con respecto al eje centroidal perpendicular al plano del disco es IG = el disco está ubicado a una 1 2mr2 . El centro de masa de distancia de 0.25 m del punto O. Por lo tanto,
Maryland
= rdVd = 8000 kg>m3 [p(0,25 m)2 (0,01 m)] = 15,71 kg 1 + mdd2 2
2 mdrd 1 = (15,71 kg)(0,25 m)2 + (15,71 kg)(0,25 m)2 2
(Id)O =
= 1.473 kg # m2 Agujero. Para el disco (agujero) de 125 mm de radio, tenemos mh
= rhVh = 8000 kg>m3 [p(0,125 m)2 (0,01 m)] = 3,927 kg 1 + mhd2 2
(Ih)O = 2 mhrh 1 = (3,927 kg)(0,125 m)2 + (3,927 kg)(0,25 m)2 2 = 0,276 kg # m2 Por lo tanto , el momento de inercia de la placa con respecto al punto O es IO = (Id)O (Ih)O
= 1,473 kg # m2 0,276 kg # m2 = 1,20 kg # m2
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Respuesta
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17.1 MOMENTO DE INERCIA DE MASA
EJEMPLO 17.4 El péndulo de la figura 177 está suspendido del pasador en O y consta de dos varillas delgadas. La barra OA pesa 10 lb y BC pesa 8 lb. Determine el momento de inercia del péndulo con respecto a un eje que pasa por (a) el punto O y (b) el centro de masa G del péndulo.
O –
y
SOLUCIÓN 2 pies
Parte (a). Utilizando la tabla de la contraportada interior, el momento de inercia de la varilla OA con respecto a un eje perpendicular a la página y 1 3ml2 . que pasa por el punto O de la varilla es IO =Por eso, (IOA) O = 1 ml2 = 3
GRAMO
A B
1 3 a 132,2 0 libras pies>s2 b(2 pies)2 = 0.414 slug # pies2
Este mismo valor se puede obtener usando IG = teorema.
(IOA) O = 1 ml2 + md2 = 12
C
0,75 pies 0,75 pies
ml2 y el eje paralelo
1 12
Figura 177
1 12 a 132,2 0 libras 10 libras pies>s2 b(2 pies)2 + a 32,2 pies>s2 b(1 pie)2
= 0,414 slug # ft2
Para varilla BC tenemos
1 (IBC) O =
17
ml2 + md2 = 12
1 12 a 832,2 libras libras pies>s2 b(1.5 pies)2 + a 832,2 pies>s2 b(2 pies)2
= 1.040 slug # ft2
Por lo tanto , el momento de inercia del péndulo con respecto a O es IO = 0,414 + 1,040 = 1,454 = 1,45 slug # ft2
Respuesta
Parte B). El centro de masa G se ubicará en relación con el punto O. Suponiendo que esta distancia es y, figura 177, y usando la fórmula para determinar el centro de masa, tenemos y
=
mmm metro
=
1(10>32,2) + 2(8>32,2) (10>32,2) + (8>32,2)
= 1,444 pies
El momento de inercia IG se puede encontrar de la misma manera que IO, lo que requiere aplicaciones sucesivas del teorema de los ejes paralelos para transferir los momentos de inercia de las barras OA y BC a G. Sin embargo, una solución más directa consiste en usar el resultado para IO, es decir,
IO = IG + md2 ; 1.454 slug # ft2 = IG + a 18 lb IG = 0.288 slug # ft2
32,2 pies>s2 b (1.444 pies) 2 Respuesta
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
PROBLEMAS 17–3. Determine el momento de inercia del anillo delgado con 17–1. Determine el momento de inercia Iy de la barra delgada. La densidad de la varilla r y el área de la sección transversal A son respecto al eje z . El anillo tiene una masa m. constantes. Exprese el resultado en términos de la masa total m de la barra .
z y
R
y yo
X
A problema 173
X
17
problema 17–1
17–2. El cilindro sólido tiene un radio exterior R, una altura h y está hecho de un material que tiene una densidad que varía = k + ar 2, como r Determine la donde k y a son constantes. desde su centro masa del cilindro y su momento de inercia con respecto al eje z .
*17–4. El paraboloide se forma girando el área sombreada alrededor del eje x . Determine el radio de giro kx. La densidad del material es r = 5 mg>m3 .
z y R y2 50x
100mm h X
200mm problema 17–4
problema 17–2
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17.1 MOMENTO DE INERCIA DE MASA
17–5. Determine el radio de giro kx del cuerpo. = 380 lb>ft3 . peso material es g específico del
17–7. El tronco se forma girando el área sombreada alrededor del eje x . Determine el momento de inercia Ix y exprese el resultado en términos de la masa total m del tronco. El tronco tiene una densidad constante r.
y
y y3 x
y
– bxb a
2 pulgadas
2b b
X
X
z
8 pulgadas
problema 17–5
a problema 17–7
17
17–6. La esfera se forma girando el área sombreada alrededor del eje x . Determine el momento de inercia Ix y exprese el resultado en términos de la masa total m de la esfera. El material tiene una densidad constante r.
*17–8. El hemisferio se forma girando el área sombreada alrededor del eje y . Determine el momento de inercia Iy y exprese el resultado en términos de la masa total m del hemisferio. El material tiene una densidad constante r.
y y
x2 y2r _
2
x2 y2r _
2
X
X
problema 17–6
problema 17–8
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
17–9. Determine el momento de inercia del prisma triangular homogéneo con respecto al eje y . Exprese el resultado en términos de la masa m del prisma. Sugerencia: para la integración, use elementos de placa delgada paralelos al plano x–y y que tengan un espesor dz.
17–11. El conjunto está formado por varillas delgadas que tienen una masa por unidad de longitud de 3 kg>m. Determine el momento de inercia de la masa del conjunto con respecto a un eje perpendicular a la página y que pasa por el punto O.
O 0,4 metros
z
0,8 metros
Ja (x a)
z
0,4 metros
problema 17–11
*17–12. Determine el momento de inercia del conjunto de acero
h
sólido con respecto al eje x . El acero tiene un peso específico de gst = 490 lb>ft3 . X
b
a y 0,25 pies
problema 17–9
0,5 pies
17 2 pies
X
3 pies
problema 17–12
17–10. El péndulo consta de una placa circular de 4 kg y una barra delgada de 2 kg. Determine el radio de giro del péndulo alrededor de un eje perpendicular a la página y que pasa por el punto O.
17–13. La rueda consta de un anillo delgado que tiene una masa de 10 kg y cuatro radios hechos de varillas delgadas y cada uno tiene una masa de 2 kg. Determine el momento de inercia de la rueda con respecto a un eje perpendicular a la página y que pasa por el punto A. O
2 metros
500mm
A
1 metro
problema 17–13
problema 17–10
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421
17–14. Si el anillo grande, el anillo pequeño y cada uno de los radios pesan 100
*17–16. Determine el momento de inercia de la masa del delgado
lb, 15 lb y 20 lb, respectivamente, determine el momento de inercia de la masa de la rueda con respecto a un eje.
placa alrededor de un eje perpendicular a la página y que pasa por el punto O. El material tiene una masa por unidad de área de 20 kg>m2 .
perpendicular a la página y que pasa por el punto A.
O
200mm
4 pies
200mm
1 pie
O
200mm
A problema 17–14
problema 17–16
17 17–15. Determine el momento de inercia con respecto a un eje perpendicular a
17–17. Determine la ubicación y del centro de masa G del conjunto y luego
la página y que pasa por el pasador en O.
calcule el momento de inercia con respecto a un eje perpendicular a la página y
La placa delgada tiene un agujero en su centro. Su espesor es de 50 mm, = 50
que pasa por G.
material tiene una densidad r
El bloque tiene una masa de 3 kg y el semicilindro tiene una masa de 5 kg.
kg>m3 . y el
17–18. Determine el momento de inercia del conjunto con respecto a un eje perpendicular a la página y que pasa por el punto O. El bloque tiene una masa de 3 kg y el semicilindro tiene una masa de 5 kg.
O
400mm
150mm
300mm GRAMO
1,40m
1,40m
–
y
200mm
O problema 17–15
problemas 17–17/18
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422
CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
17–19. Determinar el momento de inercia de la rueda. sobre un eje que es perpendicular a la página y pasa por el centro de masa G. El material tiene un = 90 lb>ft3 específico . peso gramo
17–22. Determine el momento de inercia de la manivela en voladizo con respecto al eje x . El material es acero con una Mg>m3 . densidad de r = 7.85
*17–20. Determinar el momento de inercia de la rueda. sobre un eje que es perpendicular a la página y pasa por el punto O. El material tiene un peso específico = 90 lb>ft3 . gramo
20mm 30mm 90mm 50mm 180mm
X 0,25 pies
1 pie
20mm
GRAMO
0,25 pies
X
2 pies
30mm 20mm
0,5 pies
O 1 pie
17
30mm
50mm
problema 17–22
problemas 17–19/20
17–21. El péndulo consiste en la barra delgada de 3 kg y la placa delgada de 5 kg. Determine la ubicación y del centro de masa G del péndulo; luego calcule el momento de inercia del péndulo con respecto a un eje perpendicular a la página y que pasa por G.
O
17–23. Determine el momento de inercia de la manivela en voladizo con respecto al eje x . El material es acero con una Mg>m3 . densidad de r = 7.85
20mm 30mm 90mm
y 50mm
2 metros
180mm
X
20mm
GRAMO
X 30mm
0,5 metros
1 metro
20mm
problema 17–21
50mm
30mm problema 17–23
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libros electrónicos gratis ==> www.ebook777.com 17.2 ECUACIONES CINÉTICAS PLANAS DE MOVIMIENTO
423
17.2 Ecuaciones cinéticas planas de movimiento En el siguiente análisis, limitaremos nuestro estudio de la cinética plana a los cuerpos rígidos que, junto con sus cargas, se consideran simétricos con respecto a un plano de referencia fijo.* Dado que el movimiento del cuerpo puede verse dentro del plano de referencia, todas las fuerzas (y momentos de par) que actúan sobre el cuerpo pueden entonces proyectarse sobre el plano. En la figura 178a se muestra un ejemplo de un cuerpo arbitrario de este tipo. Aquí el marco de referencia inercial x, y, z tiene su origen coincidente con el punto arbitrario P en el cuerpo. Por definición, estos ejes no giran y son fijos o se trasladan con velocidad constante.
y
F4
F1 M1 V GRAMO
M2 W X
PAG
F2 A
F3 (a)
Figura 178
Ecuación del movimiento de traslación. Las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo de la figura 178a representan el efecto de fuerzas gravitatorias, eléctricas, magnéticas o de contacto entre cuerpos adyacentes. Dado que este sistema de fuerzas se ha considerado previamente en la Sec. 13.3 para el análisis de un sistema de partículas, la ecuación resultante. 136 se puede utilizar aquí, en cuyo caso F = maG Esta ecuación se conoce como la ecuación de traslación del movimiento del centro de masa de un cuerpo rígido. Establece que la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo es igual a la masa del cuerpo por la aceleración de su centro de masa G. Para el movimiento del cuerpo en el plano x–y , la ecuación de traslación del movimiento se puede escribir en forma de dos ecuaciones escalares independientes, a saber, Fx = m(aG)x Fy = m(aG)y *Al hacer esto, la ecuación de movimiento rotacional se reduce a una forma bastante simplificada. El caso más general de la forma del cuerpo y la carga se considera en el Capítulo 21.
17
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
y
fi
X
i
fi
y
r
X
PAG
Ecuación del movimiento de rotación. Ahora determinaremos los efectos causados por los momentos del sistema de fuerzas externo calculado alrededor de un eje perpendicular al plano de movimiento (el eje z ) y que pasa por el punto P. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la iésima partícula, Fig. 178b, Fi representa la fuerza externa resultante que actúa sobre la partícula, y fi es la resultante de las fuerzas internas causadas por interacciones con partículas adyacentes. Si la partícula tiene una masa mi y su aceleración es ai , entonces su diagrama cinético se muestra en la figura 178c. Sumando momentos respecto al punto P, requerimos r * Fi + r * fi = r * mi ai
Diagrama de cuerpo libre de partículas
o
(b)
(MP)i = r * mi ai
=
Los momentos con respecto a P también se pueden expresar en términos de la aceleración del punto P, figura 178d. Si el cuerpo tiene una aceleración angular A y una velocidad angular V, entonces usando la Ec. 1618 tenemos
y
(MP)i = mi r * (aP + A * r v2 r) mi ai
X
i
17
El último término es cero, ya que r * r = 0. Expresando los vectores con componentes cartesianas y realizando las operaciones de productos cruzados se obtiene
y
r
X
PAG
=mi [r * aP + r * (A * r) v2 (r * r)]
(MP)ik = mi5(xi + yj) * [(aP)x i + (aP)y j] + (xi + yj) * [ak * (xi + yj)]6 mi [y(aP)x +
Diagrama cinético de partículas
(MP)ik =
(C)
x(aP)y + ax2 + ay2 ]k
a(MP)i = mi [y(aP)x + x(aP)y + ar
2
]
dejarme _ S dm e integrando con respecto a la masa total m del cuerpo, obtenemos la ecuación del momento resultante
y
_
aMP = a Lm y dmb(aP)x + a Lm x dmb(aP)y + a Lm r 2 dmba
AG
X
V GRAMO
_ r
_ y AP
X
PAG
A
(d) Figura 178 (continuación)
Aquí MP representa solo el momento de las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo con respecto al punto P. El momento resultante de las fuerzas internas es cero, ya que para todo el cuerpo estas fuerzas ocurren en pares colineales iguales y opuestos y, por lo tanto, el momento de cada par de las fuerzas sobre P se cancelan. Las integrales en el primer y segundo término de la derecha se ubicar el = 1y dm y el centro de masa G del cuerpo con respecto usan para a P, ya que ym xm = 1x dm, figura 178d. Además, la última integral representa el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje z , es decir, IP = 1r 2 dm. Así, aMP = ym(aP)x + xm(aP)y + IPa (17–6)
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17.2 ECUACIONES CINÉTICAS PLANAS DE MOVIMIENTO
Es posible reducir esta ecuación a una forma más simple si el punto P coincide con el centro de masa G del cuerpo. Si este es el caso, entonces x = = 0, y y por lo tanto*
y
F4
F1 M1
MG = IGa
(177) GRAMO
Esta ecuación de movimiento rotacional establece que la suma de los momentos de todas las fuerzas externas alrededor del centro de masa del cuerpo G es igual al producto del momento de inercia del cuerpo alrededor de un eje que pasa por G y la aceleración angular del cuerpo. La ecuación 176 también se puede reescribir en términos de las componentes x e y de aG y el momento de inercia del cuerpo IG. Si el punto G está ubicado en (x, y), figura 178d, entonces, por el teorema de los ejes paralelos, IP = IG + m(x2 + y2 ). Sustituyendo en la Ec. 176 y reorganizando los términos,
M2 W X
PAG
F2 Diagrama de cuerpo libre
F3
(mi)
obtenemos aMP = ym[(aP)x + ya] + xm[(aP)y + xa] + IGa (178) Del diagrama cinemático de la figura 178d, aP se puede expresar en términos de aG como
y
m(aG)y
aG = aP + A * r v2 r (aG)x i
_ X
+ (aG)y j = (aP)x i + (aP)y j + ak * (x i + y j) v2 (x i + y j)
YO G
Realizando el producto vectorial e igualando los respectivos componentes i y j se obtienen las dos ecuaciones escalares (aG)x = (aP)x ya xv2 (aG)y
A
GRAMO
_ y
revista)X
= (aP)y + xa yv2 De estas ecuaciones, [(aP)x + ya] = [(aG)x xv2 ] y [(aP)y + xa] = [(aG)y + yv2 ]. Sustituyendo estos resultados en la Ec. 178 y simplificando da
Figura 178 (continuación)
Este importante resultado indica que cuando los momentos de las fuerzas externas que se muestran en el diagrama de cuerpo libre se suman con respecto al punto P, figura 178e, son equivalentes a la suma de los “momentos cinéticos” de las componentes de maG con respecto a P más el “momento cinético” de IG A, figura 178f. En otras palabras, cuando se calculan los “momentos cinéticos”, (mk)P, figura 178f, los vectores m(aG)x y m(aG)y se tratan como vectores deslizantes; es decir, pueden actuar en cualquier punto de su línea de acción. De manera similar, IG A puede tratarse como un vector libre y, por lo tanto, puede actuar en cualquier punto. Sin embargo, es importante tener en cuenta que maG e IG A no son lo mismo que una fuerza o un momento de par. En cambio, son causados por los efectos externos de fuerzas y momentos de par que actúan sobre el cuerpo. Con esto en mente, por lo tanto, podemos escribir la Ec. 179 en una forma más general como PM = (mk)P
*También se reduce a esta misma forma simple MP = IPa si el punto P es un punto fijo (ver ecuación 1716) o la aceleración del punto P se dirige a lo largo de la línea PG.
diagrama cinético (F)
aMP = ym(aG)x + xm(aG)y + IGa (17–9)
(17–10)
17 X
PAG
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426
CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
y
F4
F1 M1
Aplicación General de las Ecuaciones de Movimiento. Para resumir este análisis, se pueden escribir tres ecuaciones escalares independientes para describir el movimiento plano general de un cuerpo rígido simétrico.
Fx = m(aG)x
GRAMO
M2
Fy = m(aG)y
W
MG = IGa
X
PAG
o
F2
PM = (k)P
Diagrama de cuerpo libre
F3
(17–11)
Al aplicar estas ecuaciones, siempre se debe dibujar un diagrama de cuerpo libre, figura 178e, para tener en cuenta los términos involucrados en Fx , Fy ,
(mi)
MG o MP. En algunos problemas también puede ser útil dibujar el diagrama cinético del cuerpo, figura 178f. Este diagrama representa gráficamente los y
términos m(aG)x , m(aG)y e IG A. Es especialmente conveniente cuando se usa para determinar las componentes de maG y el momento de estas componentes en (mk)P.*
m(aG)y _ X YO G
GRAMO
A
revista)X
_
17.3 Ecuaciones de movimiento: traslación
y
17
X
PAG
Cuando el cuerpo rígido de la figura 179a sufre una traslación, todas las partículas del cuerpo tienen la misma aceleración. Además, A = 0, en cuyo caso la ecuación de movimiento rotacional aplicada en el punto G se reduce a una forma simplificada, a saber, MG = 0. Ahora se discutirá la aplicación de esto y las ecuaciones de fuerza de movimiento para cada uno de los dos tipos de traducción.
diagrama cinético (F) Figura 178 (continuación)
Traducción rectilínea. Cuando un cuerpo se somete a traslación rectilínea, todas las partículas del cuerpo (losa) viajan a lo largo de trayectorias paralelas en línea recta. Los diagramas cinético y de cuerpo libre se muestran en la figura 179b. Como IG A = 0, solo se muestra maG en el diagrama cinético. Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento que se aplican en este caso se convierten en
F1
F4
Fx = m(aG)x
M1
Fy = m(aG)y
GRAMO
mg = 0
F2
M2
(1712)
F3 (a) *Por esta razón, el diagrama cinético se utilizará en la solución de un problema de ejemplo siempre que se aplique MP =
Figura 179
(k)P .
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427
17.3 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: TRASLACIÓN
F1
Traducción rectilínea
d mag A
M1
=
F4 GRAMO
F2
M2
A GRAMO
W
F3 (b)
También es posible sumar momentos respecto a otros puntos dentro o fuera del cuerpo, en cuyo caso se debe tener en cuenta el momento de maG . Por ejemplo, si se elige el punto A , que se encuentra a una distancia perpendicular d de la línea de acción de maG, se aplica la siguiente ecuación de momento: a+MA = (k)A;
MA = (maG)d
Aquí la suma de los momentos de las fuerzas externas y los momentos de par con respecto a A (MA, diagrama de cuerpo libre) es igual al momento de maG con respecto a A ((k)A, diagrama cinético).
17 t
F1
ar
Ctur vyo i l t i o a Tr a s mi
norte
Traslación curvilínea. Cuando un cuerpo rígido se somete a traslación curvilínea, todas las partículas del cuerpo tienen las mismas aceleraciones a medida que viajan a lo largo de trayectorias curvas , como se indica en la sección 16.1. Para el análisis, a menudo es conveniente usar un sistema de coordenadas inerciales que tenga un origen que coincida con el centro de masa del cuerpo en el instante considerado y ejes que estén orientados en las direcciones normal y tangencial a la trayectoria del movimiento, figura 179c. . Las tres ecuaciones escalares de movimiento son entonces
norte
F4
M1
M2
F2
GRAMO
B W
norte
F3
Pie = m(aG)t
(17–13)
mg = 0
=
Fn = m(aG)n
t
m(ag)t h
Si los momentos se suman con respecto al punto arbitrario B, figura 179c, entonces es necesario tener en cuenta los momentos, (k)B , de las dos componentes m(aG)n y m(aG)t con respecto a este punto. Del diagrama cinético, h y e representan las distancias perpendiculares (o “brazos de momento”) desde B hasta las líneas de acción de los componentes. Por lo tanto, la ecuación del momento requerido se convierte en
GRAMO
B
m(aG)n
mi
norte
(C)
a+MB = (mk)B;
MB = e[m(aG)t ] h[m(aG)n]
Figura 179
norte
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
Procedimiento de Análisis Los problemas cinéticos que involucran la traslación de un cuerpo rígido se pueden resolver mediante el siguiente procedimiento. Diagrama de cuerpo libre.
Primero se dibujan los diagramas de cuerpo libre y cinético de este bote y remolque para
Establezca el sistema de coordenadas inerciales x, yon , t y dibuje el diagrama de cuerpo libre para tener en cuenta todas las fuerzas externas y los momentos de par
aplicar las ecuaciones de movimiento. Aquí las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre causan el efecto que se muestra en el
que actúan sobre el cuerpo.
diagrama cinético. Si los momentos se suman alrededor del centro de masa, G, entonces MG = 0. Sin embargo, si se suman los momentos respecto al punto B , entonces c +MB = maG(d). (© RC Hibbeler)
Debe establecerse la dirección y el sentido de la aceleración del centro de masa aG del cuerpo. Identificar las incógnitas en el problema. Si se decide que la ecuación de movimiento rotacional MP = (mk)P se usará en la solución, entonces considere dibujar el diagrama cinético, ya que representa gráficamente los componentes m(aG)x , m(aG)y o m(aG)t , m(aG)n y por lo tanto es conveniente para “visualizar” los términos necesarios en la suma de momentos (mk)P.
W
Ecuaciones de movimiento. Aplique las tres ecuaciones de movimiento de acuerdo con la convención de signos
17
GRAMO
establecida.
A
B
T
Para simplificar el análisis, la ecuación de momento MG = 0 se puede reemplazar por la ecuación más general MP = (mk)P, donde el punto P generalmente se ubica en la
=
N / A
NÓTESE BIEN
intersección de las líneas de acción de tantas fuerzas desconocidas como sea posible.
Si el cuerpo está en contacto con una superficie rugosa y se produce un deslizamiento, utilice la ecuación de fricción F = mkN. Recuerde, F siempre actúa sobre el cuerpo
GRAMO
B
d
revista
para oponerse al movimiento del cuerpo relativo a la superficie con la que hace contacto. Cinemática. Utilice la cinemática para determinar la velocidad y la posición del cuerpo. Para traslación rectilínea con aceleración variable = dvG>dt aGdsG = vGdvG aG Para traslación rectilínea con aceleración constante 2
2
vG = (vG)0 + aGt vG = (vG)0 + 2aG[sG (sG)0] = (sG)0 + (vG)0t + 2 aGt sG
1
Para traducción curvilínea 2
(aG)n = vG >r (aG)t = dvG>dt (aG)t dsG = vG dvG
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2
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17.3 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: TRASLACIÓN
EJEMPLO 17.5 El automóvil que se muestra en la figura 1710a tiene una masa de 2 Mg y un centro de masa en G. Determine la aceleración si las ruedas traseras "motrices" siempre patinan, mientras que las ruedas delanteras giran libremente. Desprecie la masa de las ruedas. El coeficiente de fricción cinética entre las ruedas y la carretera es mk =
GRAMO
0,3 metros
A
0,25.
B 1,25 m 0,75 m (a)
SOLUCIÓN Diagrama de cuerpo libre. Como se muestra en la figura 1710b, la fuerza de fricción FB de la rueda trasera empuja el automóvil hacia adelante y, dado que ocurre un deslizamiento, FB = 0.25NB. Las fuerzas de fricción que actúan sobre las ruedas delanteras son cero, ya que estas ruedas tienen una masa despreciable.* Hay tres incógnitas en el problema, NA, NB y aG. Aquí sumaremos momentos sobre el centro de masa. El automóvil (punto G) acelera hacia la izquierda, es decir, en la dirección x negativa , figura 1710b.
y AG
X
2000 (9.81) norte
0,3 metros
GRAMO
Ecuaciones de movimiento. S+ Fx = m(aG)x; +
FB 0.25 NOTA
A
0.25NB = (2000 kg)aG
(1)
N / A
NÓTESE BIEN
1,25 metros 0,75 metros
NA + NB 2 0000(9.81) N = 0+ NB(0,75m) = 0 (3) cFy = m(aG)y; (2) a+MG = 0; NA(1,25m) ,25NB(0,3m ) (b)
17
resolver, aG = 1,59 m>s
2
d
Respuesta
2000 (9.81) norte
AN = 6,88 kN NB = 12,7 kN
0,3 metros
GRAMO
SOLUCIÓN II
FB 0.25 NOTA
A N / A
=
Diagramas de cuerpo libre y cinéticos. Si se aplica la ecuación del "momento" sobre el punto A, entonces la NA desconocida se eliminará de la ecuación. Para “visualizar” el momento de maG con respecto a A, incluiremos el diagrama cinético como parte del análisis, figura 1710c.
NÓTESE BIEN
1,25 metros
Ecuación de movimiento.
0,75 metros
2000 AG GRAMO
a+MA = (mk)A;
NOTA(2 m) [2000(9.81) N](1.25 m) = (2000 kg) aG (0,3 m)
Resolviendo esto y la Ec. 1 para aG conduce a una solución más simple que la obtenida de las Ecs. 1 a 3
*Con una masa de rueda despreciable, Ia = 0 y la fuerza de fricción en A requerida para hacer girar la rueda es cero. Si se incluyera la masa de las ruedas, entonces la solución sería más complicada, ya que se tendría que considerar un análisis de movimiento plano general de las ruedas (ver Sec. 17.5).
0,3 metros
A (C)
Figura 1710
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
EJEMPLO 17.6 La motocicleta que se muestra en la figura 1711a tiene una masa de 125 kg y un centro de masa en G1 , mientras que el ciclista tiene una masa de 75 kg y un centro de masa. Determine el coeficiente mínimo de fricción estática en G2 . las ruedas y el pavimento para que el ciclista haga un “wheely”, es decir, levante la rueda delantera del suelo como se muestra en la foto. ¿Qué aceleración es necesaria para hacer esto? Desprecie la masa de las ruedas y suponga que la rueda delantera puede rodar libremente.
(© RC Hibbeler)
735.75 norte 1226.25 norte
G2 0,3 metros
G1
0,6 metros
B 0,4 m 0,4 m (a)
pensión completa
B 0,4 m 0,4 m Nota
=
17
0,7 m
A
0,7 metros
A
NA 0
SOLUCIÓN Diagramas de cuerpo libre y cinético. En este problema consideraremos tanto a la motocicleta como al piloto como un solo sistema. Primero es posible determinar la
75 kg AG
ubicación del centro de masa para este "sistema" usando las ecuaciones x = x m>m y 125 kg AG
0,3 metros
0,6 metros
= el peso y la masa de la motocicleta y el yy m>m. Aquí, sin embargo, consideraremos
conductor por separado, como se muestra en los diagramas cinético y de cuerpo libre de la figura 1711b. Ambas partes se mueven con la misma aceleración. Hemos supuesto que la rueda delantera está a punto de dejar el suelo, por lo que la reacción
B (b)
normal NA 0. Las tres incógnitas del problema son NB, FB y aG.
Figura 1711
Ecuaciones de movimiento. S+ Fx = m(aG)x;
FB = (75 kg + 125 kg)aG
+ cFy = m(aG)y;
NB 735,75 N 1226,25 N = 0
(1)
a+MB = (mk)B; (735,75 N)(0,4 m) (1226,25 N)(0,8 m) = (75 kg aG)(0,9 m) (125 kg aG)(0,6 m) resolver, AG = 8,95 m>s
2
S
(2)
Respuesta
NB = 1962 N FB = 1790 N Por lo tanto, el coeficiente mínimo de fricción estática es
(ms) min =
FB NÓTESE BIEN
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=
1790 norte = 0,912 1962 norte
Respuesta
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17.3 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: TRASLACIÓN
EJEMPLO 17.7 La viga BD de 100 kg que se muestra en la figura 1712a está sostenida por dos varillas que tienen una masa despreciable. Determine la fuerza desarrollada en cada barra si en el instante u = 30, v = 6 rad>s.
A
C
V
tu 30
SOLUCIÓN
0,5 metros GRAMO
Diagramas de cuerpo libre y cinético. El rayo se mueve con traslación curvilínea ya que todos los puntos del rayo se mueven a lo largo de trayectorias circulares, cada trayectoria tiene el mismo radio de 0,5 m, pero diferentes centros de curvatura. Usando coordenadas normales y tangenciales, los diagramas de cuerpo libre y cinético de la viga se muestran en la figura 1712b. Debido a la traslación, G tiene el mismo movimiento que el pasador en B, que está conectado tanto a la barra como a la viga. Observe que la componente tangencial de la aceleración actúa hacia abajo a la izquierda debido a la dirección de A en el sentido de las manecillas
D
B
0,4 metros 0,4 metros (a)
del reloj, figura 1712c. Además, la componente normal de la aceleración siempre está dirigida hacia el centro de curvatura (hacia el punto A para la barra AB). Como la velocidad angular de AB es 6 rad>s cuando u = 30, entonces
(aG)n = v2 r = (6 rad>s)2 (0,5 m) = 18 m>s
2
Las tres incógnitas son TB, TD y (aG)t .
17 100 kg(aG)n
tuberculosis
30
DT
30
A
30
A
v 6 rad/s
=
GRAMO
un
0,5 metros
0,4 metros
0,4 metros
B
100 kg(ag)t
en
981 norte
(C) (b)
Figura 1712
Ecuaciones de movimiento. + aFn = m(aG)n; TB + TD 981 cos 30 N = 100 kg (18 m>s
2
) (1) (2)
+ bFt = m(aG)t ; 981 sen 30 = 100 kg(aG)t a+MG = 0; (TB cos 30)(0,4 m) + (TD cos 30)(0,4 m) = 0
(3)
La solución simultánea de estas tres ecuaciones da TB = DT = 1,32 kN (aG)t = 4,905 m>s
Respuesta
2
NOTA: También es posible aplicar las ecuaciones de movimiento a lo largo de los ejes horizontal y vertical x, y , pero la solución se vuelve más complicada.
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
PROBLEMAS PRELIMINARES P17–1. Dibuje los diagramas de cuerpo libre y cinético del objeto AB.
100 kg
2 metros
5
GRAMO
0,5 metros
3
2 metros
A
100 norte
B
4 0,5 metros
100 kg
GRAMO
B
A 3 metros
1 metro
2 metros
mk 0.2
1 metro
4 rad/s
(a)
(d)
100 kg 100 kg GRAMO
0,5 metros
GRAMO
0,5 metros
A
A
17
2 metros
B 2 metros
2 metros
3 metros
3 rad/s
B
60
1,5 metros
(mi)
(b)
B
100 kg 500 norte
2 metros
A
GRAMO
2 metros
1,5 metros
0,5 metros
100 kg GRAMO
30
A 5
B mk 0.2
1 metro
3 4
(C)
(F)
problema P17–1
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433
P17–2. Dibuje los diagramas de cuerpo libre y cinético del objeto de 100 kg.
20 N∙m
O
100 norte
2 rad/s 3 metros
2 metros
(a) v 4 rad/s O
(d)
4 rad/s O 45
17 O 2 metros
v 3 rad/s
3 metros
60 norte
45
(mi) (b)
5 metros
O 1 metro 2 metros
2 rad/s O
k 6 N/m
4 metros
2 rad/s 3 metros
30 N∙m
La longitud del resorte sin estirar es de 1 m. (F)
(C)
problema P17–2
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
PROBLEMAS FUNDAMENTALES F17–1. El carro y su carga tienen una masa total de 100 kg. Determine la aceleración del carro y las reacciones normales en el par de ruedas en A y B. Desprecie la masa de las ruedas.
Además, ¿cuál es la reacción normal correspondiente en las patas A y B? La mesa de 100@kg tiene un centro de masa en G y el coeficiente de fricción
100 norte
3
F17–4. Determine la aceleración máxima del camión sin que el conjunto se mueva en relación con el camión.
estática entre las patas de la mesa y la plataforma del camión es ms = 0.2.
5 4
0,6 metros 0,9 metros
1,2 metros
GRAMO
a
GRAMO
0,75 metros
A
B
0,5 metros
B
A
0,3 metros 0,4 metros
problema F17–4
problema F17–1
0,6 metros
F17–2. Si se permite que el gabinete de 80 kg ruede por el plano inclinado,
F17–5. En el instante que se muestra, ambas barras de masa despreciable
determine la aceleración del gabinete y las reacciones normales en el par de
giran con una velocidad angular en sentido antihorario de v = 5 rad>s, mientras
rodillos en A y B que tienen masa despreciable.
que la barra de 50 @ kg está sujeta a la fuerza horizontal de 100 @ N. Determine la tensión desarrollada en las varillas y la aceleración angular de las varillas en este instante.
17
A
C v 5 rad/s
GRAMO
1,5 metros
1,5 metros
15
D
100 N B
A
GRAMO
B
0,5 metros
problema F17–
0,5 metros
2 F17–3. El eslabón AB de 20 lb está sujeto a un marco móvil en A y se
1 metro
1 metro
problema F17–5
F17–6. En el instante que se muestra, el eslabón CD gira con una velocidad
mantiene en posición vertical por medio de una cuerda BC que puede soportar
angular de v = 6 rad>s. Si se somete a un momento de par M = 450 N # m,
una tensión máxima de 10 lb. Determine la aceleración máxima del marco sin
determine la fuerza desarrollada en el eslabón AB, las componentes horizontal
romper la cuerda. ¿ Cuáles son los componentes correspondientes de la reacción
y vertical de reacción en el pasador D y la aceleración angular del eslabón CD
en el pasador A?
en este instante. El bloque tiene una masa de 50 kg y un centro de masa en G. Desprecie la masa de los enlaces AB y CD. 0,1 metros 0,6 metros
A
a A
B
3 pies 0,4 metros
C GRAMO
4 pies
0,4 metros
D
v 6 rad/s
C
B 3 pies
problema F17–3
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M 450 Nm
problema F17–6
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17.3 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: TRASLACIÓN
PROBLEMAS *17–24. La puerta tiene un peso de 200 lb y un centro de gravedad en G.
17–27. El automóvil deportivo tiene un peso de 4500 lb y un centro de gravedad
Determine cuánto se mueve la puerta en 2 s, partiendo del reposo, si un hombre
en G. Si parte del reposo, hace que las ruedas traseras patinen a medida que
la empuja en C con una fuerza horizontal F = 30 lb. Además, encuentre las
acelera. Determine cuánto tiempo le toma alcanzar una velocidad de 10 ft>s.
reacciones verticales en los rodillos A y B.
Además, ¿cuáles son las reacciones normales en cada una de las cuatro ruedas en la carretera? Los coeficientes de fricción estática y cinética en la carretera = 0,5 y mk = 0,3,
17–25. La puerta tiene un peso de 200 lb y un centro de gravedad en G. Determine la fuerza constante F que se debe aplicar a la puerta para abrirla 12
respectivamente. Desprecie la masa are ms de las ruedas.
pies hacia la derecha en 5 s, partiendo del reposo. Además, encuentre las reacciones verticales en los rodillos A y B. GRAMO
2,5 pies
6 pies
6 pies
A
2 pies
4 pies
B
B
A
problema 17–27
*17–28. El conjunto tiene una masa de 8 Mg y se iza mediante el sistema de pluma y polea. Si el cabrestante en B jala el cable con una aceleración de 2 m>s2, determine la fuerza de compresión en el cilindro hidráulico necesaria para
C
12 pies
GRAMO
sostener la pluma. La pluma tiene una masa de 2 Mg y un centro de masa en G.
F
5 pies
17–29. El conjunto tiene una masa de 4 Mg y se eleva con el cabrestante en B.
3 pies
Determine la mayor aceleración del conjunto para que la fuerza de compresión en el cilindro hidráulico que sostiene la pluma no exceda los 180 kN. ¿Cuál es la tensión en el cable de apoyo? La pluma tiene una masa de 2 Mg y un centro de masa en G.
problemas 17–24/25
17–26. El avión a reacción tiene una masa total de 22 Mg y un centro de masa en G. Inicialmente, en el despegue, los motores proporcionan un empuje de 2T = 4 kN y T = 1,5 kN. Determina el
6 metros
aceleración del avión y las reacciones normales en la rueda de morro en A y cada una de las dos ruedas de ala ubicadas en B. Desprecie la masa de las ruedas y, debido a la baja velocidad, desprecie cualquier sustentación causada
2 metros
GRAMO
por las alas. C
4 metros
B 60 T¿
2,5 metros
GRAMO
2T
1 metro
AD
1,2 metros
2,3 metros
B
A
3m 6m 2 metros
problema 17–26
problemas 17–28/29
17
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
17–30. La viga uniforme AB tiene una masa de 8 Mg. Determine las cargas internas axial, cortante y de momento flexionante en el centro de la viga si una grúa le da una aceleración hacia arriba de 3 m>s2.
3 m/s
*17–32. Se aplica una fuerza de P = 300 N al carro de 60 kg. Determine las reacciones en ambas ruedas en A y en ambas las ruedas en B. Además, ¿cuál es la aceleración del carro? El centro de masa del carro está en G.
2 PAG
C 30
GRAMO
0,4 metros 0,3 metros
A 60
60
A
4 metros
B
0,3 metros
0,2 metros
B 0,08 metros
problema 17–32
problema 17–30
17 17–31. Un automóvil que pesa 4000 lb comienza a patinar y girar con los frenos aplicados en las cuatro ruedas. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre las ruedas y el camino es mk = 0.8, determine la altura crítica máxima h del centro de gravedad G tal que el automóvil no vuelque. El vuelco comenzará a ocurrir después de que el automóvil gire 90° desde su dirección original de movimiento y, como se muestra en la figura, experimente traslación mientras patina. Sugerencia: dibuje un diagrama
17–33. Determine la mayor fuerza P que se puede aplicar al carro de 60 kg, sin causar que una de las reacciones de las ruedas, ya sea en A o en B, sea cero. Además, ¿cuál es la aceleración del carro? El centro de masa del carro está en G.
de cuerpo libre del automóvil visto desde el frente. Cuando se produce un vuelco, las reacciones normales de las ruedas del lado derecho (o del lado del pasajero) son cero.
PAG
z 30
GRAMO
0,4 metros 0,3 metros
GRAMO
2,5 pies X 2,5 pies
B
A
h
0,3 metros
0,2 metros
y 0,08 metros
problema 17–33
problema 17–31
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17.3 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: TRASLACIÓN
437
17–34. El remolque con su carga tiene una masa de 150 kg y un centro de masa
17–37. La caja uniforme de 150 kg descansa sobre el carro de 10 kg.
en G. Si está sujeto a una fuerza horizontal de P = 600 N, determine la
Determine la fuerza máxima P que se puede aplicar al asa sin que la caja se
aceleración del remolque y la fuerza normal sobre el par de ruedas en A y en B.
vuelque sobre el carro. No se produce deslizamiento.
Las ruedas ruedan libremente y su masa es despreciable.
0,5 metros
GRAMO
PAG
P 600 N
1,25 metros
1 metro
0,25 metros
0,25 metros
0,5 metros
A
B
1,25 metros 0,75 metros
problema 17–34
problema 17–37
17–35. El escritorio tiene un peso de 75 lb y un centro de gravedad en G. 17
Determine su aceleración inicial si un hombre lo empuja con una fuerza F = 60 lb. El coeficiente de fricción cinética en A y B es mk = 0.2.
*17–36. El escritorio tiene un peso de 75 lb y un centro de gravedad en G.
17–38. La caja uniforme de 150 kg descansa sobre el carro de 10 kg.
Determine la aceleración inicial de un escritorio cuando el hombre aplica
Determine la fuerza máxima P que se puede aplicar al asa sin que la caja se
suficiente fuerza F para vencer la fricción estática en A y B. Además, encuentre
deslice o vuelque sobre el carrito. El coeficiente de fricción estática entre la caja y el carro es ms = 0,2.
las reacciones verticales en cada uno de los dos patas en A y en B. Los coeficientes de fricción estática y cinética en A y B son ms = 0.5 y mk = 0.2, respectivamente.
0,5 metros
PAG
F
1 pie
30
1 metro
GRAMO
2 pies A
B
2 pies
problemas 17–35/36
2 pies
problema 17–38
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438
CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
17–39. La barra tiene un peso por longitud w y está sostenida por el collar
17–42. La caja uniforme tiene una masa de 50 kg y descansa sobre el carro
liso. Si se suelta desde el reposo, determine la fuerza normal interna, la
que tiene una superficie inclinada. Determine la aceleración más pequeña
fuerza cortante y el momento flexionante en la barra en función de x.
que hará que la caja se vuelque o se deslice en relación con el carrito. ¿Cuál es la magnitud de esta aceleración? El coeficiente de fricción estática entre la caja y el carro es ms = 0,5.
0,6 metros
30
F
X
1 metro
15
problema 17–39
17
problema 17–42
*17–40. El tubo liso de 180 lb tiene una longitud de 20 pies y un diámetro despreciable. Se transporta en un camión como se muestra. Determine la aceleración máxima que puede tener el camión sin que la reacción normal en A sea cero. Determine también las componentes horizontal y vertical de la fuerza que
17–43. Determine la aceleración del gabinete de 150 lb
ejerce el camión sobre la tubería en B.
y la reacción normal debajo de las patas A y B si P = 35 lb. Los coeficientes de fricción estática y cinética entre los
17–41. El tubo liso de 180 lb tiene una longitud de 20 pies y un diámetro despreciable. Se transporta en un camión como se muestra. Si el camión 2
, acelera a = 5 ft>s, determine la reacción normal en A y las componentes de
gabinete y el plano son ms = 0.2 y mk = 0.15, respectivamente. El centro de gravedad del gabinete está ubicado en G.
fuerza horizontal y vertical que el camión ejerce sobre la tubería en B.
1 pie
1 pie
20 pies
A 5 pies PAG GRAMO
B 4 pies
3.5 pies
A
12 pies
problemas 17–40/41
problema 17–43
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B
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17.3 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: TRASLACIÓN
*17–44. La barra uniforme de masa m está unida por un pasador al collarín, que
17–47. La moto de nieve tiene un peso de 250 lb, centrado en G1, mientras que
se desliza a lo largo de la barra horizontal lisa. Si al collar se le da una aceleración
el ciclista tiene un peso de 150 lb, centrado en G2.
constante de a, determine el ángulo de inclinación de la barra u. Desprecie la
Si la aceleración es a = 20 ft>s, determine la a,ltura máxima h de G2 del conductor
masa del collar.
para que el patín delantero de la motonieve no se levante del suelo. Además,
2
¿cuáles son la fuerza de tracción (horizontal) y la reacción normal debajo de las orugas traseras en A?
a
A
*17–48. La moto de nieve tiene un peso de 250 lb, centrado en G1, mientras que el ciclista tiene un peso de 150 lb, centrado en G2. Si h = 3 pies, determine la aceleración máxima permisible de la moto de nieve a para que su patín delantero no se levante del suelo. Además, encuentre la fuerza de tracción (horizontal) y la reacción normal debajo de las orugas traseras en A.
tu
L
0,5 pies
a
G2 G1 problema 17–44
h 1 pie
A 17
1,5 pies
problemas 17–47/48 17–45. La compuerta abatible al final del remolque tiene una masa de 1.25 Mg y un centro de masa en G. Si está sostenida por el cable AB y la bisagra en C, determine la tensión en el cable cuando el camión comienza a acelerar a 5 m>
17–49. Si la masa del carro es de 30 kg y está sujeto a una fuerza horizontal de
s2. Además, ¿cuáles son las componentes horizontal y vertical de la reacción en
P = 90 N, determine la tensión en la cuerda AB y las componentes horizontal y
la bisagra C?
vertical de la reacción en el extremo C de la varilla uniforme BC de 15 kg .
17–46. La compuerta abatible al final del remolque tiene una masa de 1.25 Mg y
17–50. Si la masa del carro es de 30 kg, determine la fuerza horizontal P que
un centro de masa en G. Si está sostenida por el cable AB y la bisagra en C,
debe aplicarse al carro para que la cuerda AB se afloje. La barra uniforme BC
determine la desaceleración máxima del camión para que la compuerta no
tiene una masa de 15 kg.
comience a girar. adelante. ¿ Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la reacción en la bisagra C?
A
30 1 metro
B
B
30 G 1 metro
C
C
30
PAG
1,5 metros
45 problemas 17–45/46
problemas 17–49/50
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
17–51. El tubo tiene una masa de 800 kg y está siendo remolcado detrás del camión. Si la aceleración del camión es, determine el ángulo u y la en = 0,5 m>s
2
, tensión en el cable. El coeficiente de fricción cinética
entre la tubería y el suelo es mk = 0,1.
17–53. La caja C tiene un peso de 150 lb y descansa sobre el montacargas cuyo coeficiente de fricción estática es = 0.4. Determine la EM mayor aceleración angular inicial a, partiendo del reposo, que pueden
tener los eslabones paralelos AB y DE sin que la caja se deslice. No se producen propinas.
en B B
a
30
A
A
2 pies
45
C
mi GRAMO
tu
a
0,4 metros
2 pies
D
C
problema 17–51
problema 17–53
17
*17–52. La tubería tiene una masa de 800 kg y está siendo remolcada por un camión. Si el ángulo u = 30, determine la aceleración del camión y la tensión en el cable.
17–54. La caja C tiene un peso de 150 lb y descansa sobre el montacargas. Determine la fricción inicial y la fuerza normal del elevador
El coeficiente de fricción cinética entre la tubería y el suelo es mk = 0,1.
sobre la caja si a los eslabones paralelos se les da una aceleración 2
angular a = 2 rad>s
partiendo del reposo.
en B B
a
30
A
A
2 pies
45
mi GRAMO
tu
a
0,4 metros
2 pies
C
problema 17–52
problema 17–54
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D
C
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17.4 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: ROTACIÓN SOBRE UN EJE FIJO
17–55. La caja uniforme C de 100 kg descansa sobre el piso del elevador
*17–56. Las dos barras uniformes de 4 kg DC y EF están fijas (soldadas)
donde el coeficiente de fricción estática es ms = 0.4.
juntas en E. Determine la fuerza normal NE, la fuerza cortante VE y el
Determine la mayor aceleración angular inicial a, partiendo del reposo en
momento ME, que DC ejerce sobre EF en E si en el instante u = 60 BC
u = 90, sin que la caja se deslice. No se producen propinas.
tiene una velocidad angular v = 2 rad>s y una aceleración angular a = 4 rad>s como se muestra.
2
F
1,5 metros 0,6 metros
mi D
C
1,2 metros
C mi
B
1,5 metros
2 metros
2 metros
17
1,5 metros
D
tu
a
A
a 4 rad/s2 v 2
tu 60
tu
B
A
problema 17–55
problema 17–56
17.4 Ecuaciones de movimiento: Rotación
F3
sobre un eje fijo
Considere el cuerpo rígido (o losa) que se muestra en la figura 1713a, que está obligado a girar en el plano vertical alrededor de un eje fijo perpendicular a la página y que pasa por el pasador en O. La velocidad angular y la aceleración angular son causadas por el sistema de fuerza externa y momento de par que actúa sobre el cuerpo. Debido a que el centro de masa G del cuerpo se mueve alrededor de una trayectoria circular, la aceleración de este punto se representa mejor mediante sus componentes tangencial y normal. La componente tangencial de la aceleración tiene una magnitud de (aG)t = arG y debe actuar en una dirección que sea consistente con la aceleración angular A del cuerpo. La magnitud de la componente normal de la aceleración es (aG)n = v2 rG. Esta componente siempre está dirigida desde el punto G al O, independientemente del sentido de rotación de V.
rad/s
A V
M1 M2
F2 (aG)t
GRAMO
RG
(aG)n
O
F1 (a)
Figura 1713
F4
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
F3 A V
M1 M2
F2 (aG)t
F4
GRAMO
O
Los diagramas de cuerpo libre y cinético del cuerpo se muestran en la figura 1713b. Las dos componentes m(aG)t y m(aG)n , que se muestran en el diagrama cinético, están asociadas con las componentes tangencial y normal de la aceleración del centro de masa del cuerpo. El vector IG A actúa en la misma dirección que A y tiene una magnitud de IGa, donde IG es el momento de inercia del cuerpo calculado alrededor de un eje que es perpendicular a la página y pasa por G. De la derivación dada en la Sec. 17.2, las ecuaciones de movimiento que se aplican al cuerpo se pueden escribir en la forma
rG (aG)n
Fn = m(aG)n = mv2 rG Ft = m(aG)t = marG
F1
(1714)
MG = IGa
(a)
La ecuación de momentos puede ser reemplazada por una suma de momentos sobre cualquier punto P arbitrario dentro o fuera del cuerpo, siempre que se tengan en cuenta los momentos (mk)P producidos por IG A, m(aG)t y m(aG)n sobre el punto . Ecuación de momento sobre el punto O. A menudo es conveniente sumar momentos sobre el pasador en O para eliminar la fuerza desconocida FO. Del diagrama cinético de la figura 1713b, esto requiere a+MO = (mk)O; Tenga en cuenta que 17
F3
el momento de m(aG)n
MO = rGm(aG)t + IGa
(17–15)
no se incluye aquí ya que la línea de acción de este vector pasa por O. Sustituyendo
M1
(aG)t = rGa, podemos reescribir la ecuación anterior como a+MO = (IG + mrG ) a. Del 2 teorema de los ejes paralelos, IO = IG + md2 y, por lo tanto, el término entre paréntesis representa el momento de inercia del , cuerpo con respecto al eje fijo de rotación que
M2
F2
GRAMO
F4 W
pasa por O.* En consecuencia, podemos escribir las tres ecuaciones de movimiento del cuerpo como
O
FO
F1
Fn = m(aG)n = mv2 rG Ft = m(aG)t = marG
(1716)
=
MO = IOa
AIG m(ag)t GRAMO
Cuando use estas ecuaciones, recuerde que ;IOa www.ebook777.com 17.4 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: ROTACIÓN SOBRE UN EJE FIJO
443
Procedimiento de Análisis Los problemas cinéticos que involucran la rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo se pueden resolver mediante el siguiente procedimiento. Diagrama de cuerpo libre. Establezca el sistema de coordenadas inercial n, t y especifique la dirección y sentido de las aceleraciones (aG)n y (aG)t y la aceleración angular A del cuerpo. Recuerde que (aG)t debe actuar en una dirección que esté de acuerdo con el sentido de rotación de A, mientras que (aG)n siempre actúa hacia el eje de rotación, el punto O. Dibuje el diagrama de cuerpo libre para tener en cuenta todas las fuerzas externas y los momentos de par que actúan sobre el cuerpo. Determine el momento de inercia IG o IO. Identificar las incógnitas en el problema. T
Si se decide que se utilizará la ecuación de movimiento rotacional MP = (mk)P , es decir, P es un punto distinto de G u O, entonces considere dibujar el diagrama cinético para ayudar a “visualizar” los “momentos” desarrollado por los
GRAMO
componentes m(aG)n , m(aG)t e IG A al escribir los términos para la suma de momentos (mk)P.
METRO
Buey
W
O
17
Oye
Ecuaciones de movimiento.
=
Aplique las tres ecuaciones de movimiento de acuerdo con la convención de m(ag)t
signos establecida.
AIG
Si los momentos se suman con respecto al centro de masa del cuerpo, G, entonces MG = IGa, ya que (maG)t y (maG)n no crean ningún momento con respecto a G.
GRAMO
m(aG)n
Si se suman los momentos con respecto al soporte del pasador O en el eje de rotación, entonces (maG)n no crea ningún momento con respecto a O, y se puede
O
d
demostrar que MO = IOa. Cinemática. Utilice la cinemática si no se puede obtener una solución completa estrictamente a partir de las ecuaciones de movimiento.
Si la aceleración angular es variable, utilice un =
dv
du
a du = v dv v =
dt
dt
Si la aceleración angular es constante, utilice v =
v0 + acto 1
2
u = u0 + v0t + 2 acto v2 = 2 + 2ac(u u0) v0
La manivela de la plataforma de bombeo de petróleo experimenta una rotación alrededor de un eje fijo que es causado por un par motor M del motor. Las cargas que se muestran en el diagrama de cuerpo libre provocan los efectos que se muestran en el diagrama cinético. Si los momentos se suman alrededor del centro de masa, G, entonces MG = IGa. Sin embargo, si se suman los momentos respecto al punto O, observando que (aG)t = ad, entonces a+MO = IGa+ m(aG)td + m(aG)n(0) = (IG + md2 )a = IOa. (© RC Hibbeler)
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
EJEMPLO 17.8 El volante desbalanceado de 50 lb que se muestra en la figura 1714a tiene un radio de giro de kG = 0.6 pies alrededor de un eje que pasa por su centro de masa G.
0,5 pies
O
Si se suelta desde el reposo, determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador O.
GRAMO
SOLUCIÓN Diagramas de cuerpo libre y cinéticos. Como G se mueve en una trayectoria circular, tendrá componentes de aceleración tanto normal como tangencial.
Además, dado que a, que es causada por el peso del volante, actúa en el sentido de las
(a)
agujas del reloj, la componente tangencial de la aceleración debe actuar hacia abajo. ¿Por qué? Como v = 0, solo m(aG)t = marG e IGa se muestran en el diagrama cinético de la figura 1714b. Aquí, el momento de inercia con respecto a G es )(0,6 pies)2 = 0,559 slug # = mkG
2
2
= (50 lb>32,2 pies>s IG pies2
Las tres incógnitas son On , Ot y a. Ecuaciones de movimiento. d+ Fn = mv2 rG; + TFt = marG;
norte
Ot + 50 lb = a 50 lb
17
c+MG = IGa; 0,5 pies
Respuesta
encendido = 0
32,2 ft>s 2 b(a)(0,5 pies)
(1)
Ot (0,5 ft) = (0,5590 slug # ft2 )a
t
resolver, O GRAMO
En
a = 26,4 rad>s
2
Ot = 29,5 libras
Respuesta
Los momentos también se pueden sumar con respecto al punto O para eliminar On y Ot y así obtener una solución directa para A, figura 1714b. Esto se puede hacer de una de dos maneras.
Antiguo Testamento
50 libras
=
c+MO = (mk)O; RG IGa
(50 lb)(0,5 pies) = (0,5590 slug # ft2 )a + aprox. 50 lb 32,2 pies>s 2 ba (0,5 pies) d (0,5 pies) 50 libras (0,5 pies) = 0,9472a
OG
marG
IO = IG + mrG (b)
Figura 1714
(2)
Si se aplica MO = IOa , entonces, por el teorema de los ejes paralelos, el momento de inercia del volante con respecto a O es 2
= 0,559 + a 50 32,2 b(0,5)2 = 0,9472 slug # ft2
Por eso, c+MO = IOa; (50 lb)(0,5 pies) = (0,9472 slug # ft2 )a que es lo mismo que la ecuación. 2. Resolviendo para a y sustituyendo en la ecuación. 1 da la respuesta para Ot obtenida previamente.
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17.4 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: ROTACIÓN SOBRE UN EJE FIJO
EJEMPLO 17.9 En el instante que se muestra en la figura 1715a, la barra delgada de 20 kg tiene una velocidad angular de v = 5 rad>s. Determine la aceleración angular y las componentes de reacción horizontal y vertical del pasador sobre la varilla en este instante.
O
60 N∙m v 5 rad/s 3 metros
(a)
SOLUCIÓN
60 N∙m
En
Diagramas de cuerpo libre y cinéticos. Figura 1715b. Como se muestra en el diagrama
O
cinético, el punto G se mueve alrededor de una trayectoria circular, por lo que tiene dos componentes de aceleración. Es importante que la tangencial arG actúe hacia abajo ya que
Antiguo Testamento
1,5 metros
= debe estar de acuerdo con el componente en el sentido de rotación
incógnitas son On , Ot y a. Ecuación de movimiento. d+ Fn = mv2 rG; + TFt =
Encendido = (20 kg)(5 rad>s)2 (1,5 m)
marG; c+MG = IGa;
Ot + 20(9,81)N = (20 kg)(a)(1,5 m)
Resolviendo
Ot (1,5 m) + 60 N # m = 3 1 12(20 kg)(3 m)2 4a
On = 750 N Ot = 19,05 N a = 5,90 rad>s
O
2
marG Respuesta
(b)
Aquí, c+MO = (mk)O; 60 N # m + 20(9,81) N(1,5 m) = 3 1 12(20 kg)(3 m)2 4a + [20 kg(a)(1,5 m)](1,5 m)
Además, dado que IO =
Respuesta
ml2 para una barra delgada, podemos aplicar
1 3
c+MO = IOa; 60 N # m + 20(9,81) N(1,5 m) = 3 1 3(20 kg)(3 m)2 4a a = 5,90 rad>s
2
Respuesta
NOTA: En comparación, la última ecuación brinda la solución más simple para a y no requiere el uso del diagrama cinético.
GRAMO
RG
para eliminar On y Ot y obtener una solución directa para a.
2
17 AIG
mv2 rg
Una solución más directa a este problema sería sumar momentos con respecto al punto O
a = 5,90 rad>s
20(9.81) norte
=
de A. Las tres
GRAMO
Figura 1715
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
EJEMPLO 17.10 El tambor que se muestra en la figura 1716a tiene una masa de 60 kg y un radio de giro kO = 0.25 m. Una cuerda de masa despreciable se enrolla alrededor de la periferia del tambor y se une a un bloque que tiene una masa de 20 kg. Si se suelta el bloque, determine la aceleración angular del tambor.
0,4 mO A
SOLUCIÓN Diagrama de cuerpo libre. Aquí consideraremos el tambor y el bloque por separado, figura 1716b. Suponiendo que el bloque acelera hacia abajo en a, crea una aceleración angular A en sentido antihorario del tambor. El momento de inercia del tambor es
(a)
mkO
2
= (60 kg)(0,25 m)2 = 3,75 kg # m2 IO =
Hay cinco incógnitas, a saber, Ox , Oy , T, a y a. 60 (9,81) norte
Ecuaciones de movimiento. La aplicación de las ecuaciones de movimiento de traslación Fx = m(aG)x y Fy = m(aG)y al tambor no tiene consecuencias para la solución, ya que estas ecuaciones implican las incógnitas Ox y Oy . Así, para el
O 0,4 metros
T
17
tambor y el bloque, respectivamente, a+MO = IOa; T(0,4 m) = (3,75 kg #
Buey
y
T
m2 )a + cFy = m(aG)y; 20(9.81)N + T = (20 kg)a
(1)
Cinemática. Como el punto de contacto A entre la cuerda y
(2)
A
Oye
X
el tambor tiene una componente tangencial de aceleración a, figura 1716a, entonces a+a = ar;
a
a = a(0,4 m) 20 (9,81) norte
(3)
Resolviendo las ecuaciones anteriores, (b)
T = 106 N a = 4,52 m>sa = 11,3 rad>s
2
SOLUCIÓN II
60 (9,81) norte IOa
O 0,4 metros
Buey
=
0,4 metros
2
d
Respuesta
Diagramas de cuerpo libre y cinéticos. La tensión del cable T puede eliminarse del análisis considerando el tambor y el bloque como un solo sistema, figura 1716c. Se muestra el diagrama cinético ya que los momentos se sumarán alrededor del punto O.
O
Ecuaciones de movimiento. Usando la Ec. 3 y aplicando la ecuación de momentos respecto a O para eliminar las incógnitas Ox y Oy , tenemos a+MO = (k)O;
Oye
[20(9.81) N] (0.4 m) = (3.75 kg # m2 )a + [20 kg(a 0.4 m)](0.4 m) a = 11.3 rad>s NOTA: Si el bloque 2
fuera removido y 20(9.81) norte
(20 kg)a (c)
Respuesta
una fuerza de 20(9.81) N al cordón, demuestre que a = 20.9 rad>s ya que el bloque 2 . Este valor es mayor tiene una inercia, o resistencia a la aceleración.
Figura 1716
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17.4 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: ROTACIÓN SOBRE UN EJE FIJO
EJEMPLO 17.11 La barra delgada que se muestra en la figura 1717a tiene una masa m y una longitud l y se suelta desde el reposo cuando u = 0. Determine las componentes
A tu
horizontal y vertical de la fuerza que el pasador en A ejerce sobre la barra en el instante u = 90 . SOLUCIÓN
yo
Diagramas de cuerpo libre y cinéticos. El diagrama de cuerpo libre de la barra en la posición general u se muestra en la figura 1717b. Por conveniencia, las componentes de la fuerza en A se muestran actuando en las direcciones n y t . Tenga en cuenta que A actúa en el sentido de las agujas del reloj, por lo que (aG)t actúa en la dirección
(a)
+t . ml2 .
1 3
Ecuaciones de movimiento. Se sumarán momentos alrededor de A para eliminar An y At. + aFn = mv2 rG; + bFt = marG; c+MA
An mg sen u = mv2 (l>2)
(1)
= IAa;
At + mg cos u = ma(l>2) mg
(2) (3)
cos u(l>2) = 11 3 ml22a
Un A tu
En
– yo
2
Cinemática. Para un ángulo u dado, hay cuatro incógnitas en las tres ecuaciones anteriores: An , At , v y a. Como se muestra en la Ec. 3, a no es constante; más bien, depende de la posición u de la varilla. La cuarta ecuación necesaria se obtiene mediante cinemática, donde a y v pueden relacionarse con u mediante la ecuación (c+) (4)
GRAMO
tu
17
=
v dv = a du Tenga en cuenta que la dirección positiva en el sentido de las agujas del reloj para esta ecuación
miligramos
– ( 2
concuerda con la de la ecuación. 3. Esto es importante ya que estamos buscando una solución simultánea. GRAMO
mamá
IGÅ
(
Para resolver v en u = 90, elimine a de las Ecs. 3 y 4, lo que da
yo
mv2
– yo
2 (
v dv = (1.5g>l) cos u du Como v = 0 en u = 0, tenemos v
(b)
90
porque tu du
L 0 v dv = (1,5 g>l) L
Figura 1717
0
v2 = 3g>l Sustituyendo este valor en la Ec. 1 con u = 90 y resolviendo las Ecs. 1 a 3 rendimientos
un = 0
At = 0 An = 2,5 mg
Respuesta
NOTA: Si se usa MA = (k)A , se deben tener en cuenta los momentos de IG A y m(aG)t con respecto a A.
(
El momento de inercia de la barra con respecto al punto A es IA =
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
PROBLEMAS FUNDAMENTALES F17–7. La rueda de 100@kg tiene un radio de giro alrededor de su centro O de kO = 500 mm. Si la rueda parte del reposo, determine su velocidad angular en t = 3 s.
F17–10. En el instante que se muestra, el disco de 30 @ kg tiene una velocidad angular en sentido antihorario de v = 10 rad>s. Determine las componentes tangencial y normal de reacción del pasador O sobre el disco y la aceleración angular del disco en este instante.
0,6 metros
O
P 100 N
v 10 rad/s 5
3
P 50 N
4
O 0,3 metros
problema F17–10 F17–11. La barra delgada uniforme tiene una masa de 15 kg. problema F17–7
Determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador O y la
F17–8. El disco de 50@kg está sujeto al momento de par de M = (9t) N # m, donde
aceleración angular de la varilla justo después de cortar la cuerda.
t está en segundos. Determine la velocidad angular del disco cuando t = 4 s partiendo del reposo. 17
O 0,3 metros
M (9t) Nm
O
0,3 metros
0,6 metros
problema F17–11 F17–12. La barra delgada uniforme de 30 kg está siendo jalada por la cuerda que pasa sobre la pequeña clavija lisa en A. Si la barra tiene una velocidad angular en sentido antihorario de v = 6 rad>s en el instante que se muestra, determine las
problema F17–8
componentes tangencial y normal de reacción en el pasador O y la aceleración
F17–9. En el instante que se muestra, la barra delgada uniforme de 30 @ kg tiene
angular de la varilla.
una velocidad angular en sentido antihorario de v = 6 rad>s.
P 300 N
Determine las componentes tangencial y normal de reacción del pasador O sobre la barra y la aceleración angular de la barra en este instante.
A
0,8 metros
0,3 metros
0,6 metros
O
v 6 rad/s O
M 60 Nm
0,6 metros
problema F17–9
problema F17–12
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0,3 metros
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17.4 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: ROTACIÓN SOBRE UN EJE FIJO
PROBLEMAS 17–57. La rueda de 10 kg tiene un radio de giro kA = 200 mm.
*17–60. La barra doblada tiene una masa de 2 kg>m. Si se suelta desde el reposo en
Si la rueda está sujeta a un momento M = (5t) N # m, donde t está en segundos,
la posición que se muestra, determine su aceleración angular inicial y las componentes
determine su velocidad angular cuando t = 3 s partiendo del reposo. Además, calcule
horizontal y vertical de la reacción en A.
las reacciones que el pasador fijo A ejerce sobre la rueda durante el movimiento.
METRO
1,5 metros
A
C
A
problema 17–57 1,5 metros
17–58. La placa uniforme de 24 kg se suelta desde el reposo en la posición que se muestra. Determine su aceleración angular inicial y las reacciones horizontal y vertical en el pasador A.
B
A
17 problema 17–60
0,5 metros
17–61. Si se aplica una fuerza horizontal de P = 100 N al carrete de cable de 300 kg, determine su aceleración angular inicial. El carrete descansa sobre rodillos en A y B y tiene un radio de giro de kO = 0,6 m. 0,5 metros
problema 17–58 17–59. La barra delgada uniforme tiene una masa m. Si esto es liberado desde el reposo cuando u = 0, determine la magnitud de la fuerza reactiva ejercida sobre él por el pasador B cuando u = 90. PAG
L 3
0,75 metros
A
O 1 metro
B
tu
2 L 3
20
A
20
B
C problema 17–59
problema 17–61
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
17–62. La barra de 10 lb está articulada en su centro O y conectada a un resorte de torsión. El resorte tiene una rigidez k = 5 lb # ft>rad, de modo que el par desarrollado es M = (5u) lb # ft, donde u está en radianes. Si la barra se suelta desde el reposo cuando está vertical en u = 90, determine su velocidad angular en el instante u
17–65. El disco A tiene un peso de 5 lb y el disco B tiene un peso de 10 lb. Si no ocurre deslizamiento entre ellos, determine el momento de par M que debe aplicarse al disco A para darle una aceleración angular de 4 rad>s2.
= 0. 17–63. La barra de 10 lb está articulada en su centro O y conectada a un resorte de torsión. El resorte tiene una rigidez k = 5 lb # ft>rad, de modo que el par desarrollado es M = (5u) lb # ft, donde u está en radianes. Si la barra se suelta desde el reposo cuando está vertical en u = 90, determine su velocidad angular en el instante u
a 4 rad/s2
= 45. METRO
0,75 pies 0,5 pies
B A
1 pie
problema 17–65 tu
1 pie
O
17
problemas 17–62/63
*17–64. Una cuerda está enrollada alrededor de la superficie exterior del disco de 8 kg. Si se aplica a la cuerda una fuerza de F = (¼u2) N, donde u está en radianes, determine la aceleración angular del disco cuando haya dado 5 revoluciones. el disco tiene
17–66. El diagrama cinético que representa el movimiento de rotación general de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo que pasa por O se muestra en la figura. Muestre que IGA puede eliminarse moviendo los vectores m(aG)t y m(aG)n a = k2 G>rOG ubicado a una distancia rGP masa desde el centro del punto P, G del cuerpo. Aquí kG representa el radio de giro del cuerpo alrededor de un eje que pasa por G. El punto P se llama centro de percusión del cuerpo.
una velocidad angular inicial de v0 = 1 rad>s.
a
F
PAG
m(ag)t
300mm
YO G
a
GRAMO
O
v
RGP
m(aG)n O
ROG
problema 17–66
problema 17–64
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17.4 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: ROTACIÓN SOBRE UN EJE FIJO
17–67. Si la cuerda en B falla repentinamente, determine las componentes horizontal
17–69. El rollo de papel de 20 kg tiene un radio de giro kA = 90 mm alrededor de un
y vertical de la reacción inicial en el pasador A y la aceleración angular de la viga de
eje que pasa por el punto A. Está sostenido por pasadores en ambos extremos por
120 kg. Trate la viga como una barra delgada uniforme.
dos ménsulas AB. Si el rollo descansa contra una pared cuyo coeficiente de fricción cinética es μk = 0.2 y se aplica una fuerza vertical F = 30 N al extremo del papel, determine la aceleración angular del rollo a medida que se desenrolla el papel.
17–70. El rollo de papel de 20 kg tiene un radio de giro kA = 90 mm alrededor de un eje que pasa por el punto A. Está sostenido por pasadores en ambos extremos por dos ménsulas AB. Si el rollo descansa contra una pared cuyo coeficiente de fricción cinética es μk = 0.2, determine la fuerza vertical constante F que debe aplicarse al
800 norte
rollo para arrancar 1 m de papel en t = 3 s partiendo del reposo. Desprecie la masa de papel que se retira. B A
B 2 metros
2 metros
problema 17–67
300mm
17
A
C 125mm
*17–68. El dispositivo actúa como una barrera emergente para impedir el paso de un vehículo. Consiste en una placa de acero AC de 100 kg y un bloque de concreto sólido de contrapeso de 200 kg ubicados como se muestra en la figura. Determine el momento de inercia de la placa y el bloque alrededor del eje articulado que pasa por A. Desprecie la masa de los brazos de soporte AB. Además, determine la aceleración
F
angular inicial del conjunto cuando se suelta desde el reposo en u = 45°. problemas 17–69/70
17–71. El carrete de cable tiene una masa de 400 kg y un radio de giro de kA = 0,75 m. Determine su velocidad angular cuando t = 2 s, partiendo del reposo, si la fuerza 2 + 80) norte,
P = (20t cuando t está en segundos. Desprecie la masa del cable desenrollado y suponga que siempre tiene un radio de 0.5 m.
0,5 metros PAG
0,3 metros
1 metro
0,5 m A
0,5 m tu C.A.
_
1,25 metros
problema 17–68
problema 17–71
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452
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
*17–72. El disco de 30 kg gira originalmente a v = 125 rad>s. Si se coloca en el suelo, cuyo coeficiente de fricción cinética es μC = 0.5, determine el tiempo requerido para que se detenga el movimiento. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza que el miembro AB ejerce sobre el pasador en A durante este tiempo? Desprecie la masa de AB.
0,5 metros
17–74. El cilindro de 5 kg está inicialmente en reposo cuando se pone en contacto con la pared B y el rotor en A. Si el rotor siempre mantiene una velocidad angular constante en el sentido de las manecillas del reloj v = 6 rad>s, determine la aceleración angular inicial del cilindro . El coeficiente de fricción cinética en las superficies de contacto B y C es mk = 0,2.
B 0,3 metros
B
v 125 rad/s
0,5 metros
125mm
C
v 45
A
A
C
problema 17–72
17
problema 17–74
17–73. Se desenrolla un cable de un carrete sostenido por pequeños rodillos en A y B ejerciendo una fuerza T = 300 N sobre el cable. Calcule el tiempo necesario para desenredar 5 m de cable del carrete si el carrete y el cable tienen una masa total de 600 kg y un radio de giro de kO = 1,2 m. Para el cálculo, desprecie la masa del cable que se desenrolla y la masa de los rodillos en A y B. Los rodillos giran sin fricción.
17–75. La rueda tiene una masa de 25 kg y un radio de giro kB = 0,15 m. Originalmente gira a v = 40 rad>s. Si se coloca en el suelo, cuyo coeficiente de fricción cinética es mC = 0.5, determine el tiempo requerido para que se detenga el movimiento. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la reacción que el pasador en A ejerce sobre AB durante este tiempo? Desprecie la masa de AB.
0,4 metros
T 300 N 30
1,5 m 0,8 m
A
O 0,3 metros
B A
B
0,2 metros
v
C
1 metro
problema 17–75
problema 17–73
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libros electrónicos gratis ==> www.ebook777.com 17.4 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: ROTACIÓN SOBRE UN EJE FIJO
453
*17–76. El rollo de papel de 20 kg tiene un radio de giro kA = 120 mm alrededor
17–78. Dos cilindros A y B, que pesan 10 lb y 5 lb, respectivamente, están unidos
de un eje que pasa por el punto A. Está sostenido por pasadores en ambos
a los extremos de una cuerda que pasa por una polea (disco) de 3 lb. Si los
extremos por dos ménsulas AB. El rollo descansa sobre el piso, para el cual el
cilindros se sueltan desde el reposo, determine su velocidad en t = 0.5 s. El cable
coeficiente de fricción cinética es μk = 0.2. Si se aplica una fuerza horizontal F =
no resbala en la polea. Desprecie la masa de la cuerda.
60 N al extremo del papel, determine la aceleración angular inicial del rollo a medida que se desenrolla el papel.
Sugerencia: Analice el “sistema” formado por los cilindros y la polea.
0,75 pies
F
O
A 300mm B
B C 400mm
A
problema 17–76
problema 17–78
17 17–77. El disco D gira con una velocidad angular constante en el sentido de las manecillas del reloj de 30 rad>s. El disco E tiene un peso de 60 lb e inicialmente
17–79. Los dos bloques A y B tienen una masa de 5 kg y 10 kg, respectivamente.
está en reposo cuando se pone en contacto con D. Determine el tiempo requerido
Si la polea se puede tratar como un disco de 3 kg de masa y 0,15 m de radio,
para que el disco E alcance la misma velocidad angular que el disco D. El coeficiente de fricción cinética entre los dos discos es μk = 0,3. Desprecie el
determine la aceleración del bloque A. Ignore la masa de la cuerda y cualquier deslizamiento en la polea.
peso de la barra BC. *17–80. Los dos bloques A y B tienen una masa mA y mB, respectivamente, donde mB 7 mA. Si la polea se puede tratar como un disco de masa M, determine la aceleración del bloque A. Desprecie la masa de la cuerda y cualquier deslizamiento en la polea.
2 pies
B mi 1 pie
r O
2 pies
1 pie
C
A
D
A B
v problema 17–77
30 rad/s problemas 17–79/80
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
17–81. Determine la aceleración angular del trampolín de 25 kg y las componentes
17–83. El conjunto de dos barras se suelta desde el reposo en la posición que se
horizontal y vertical de la reacción en el pasador A en el instante en que el hombre
muestra. Determine el momento flector inicial en la unión fija B. Cada barra tiene una
salta. Suponga que la tabla es uniforme y rígida, y que en el instante en que salta, el
masa m y una longitud l.
resorte se comprime una cantidad máxima de 200 mm, v = 0, y la tabla está horizontal. Tome k = 7 kN>m.
A
B
yo
1,5 metros
yo
1,5 metros
A k C
problema 17–83
problema 17–81 17
*17–84. El inducido (varilla delgada) AB tiene una masa de 0,2 kg y puede pivotar alrededor del pasador en A. El electroimán E controla el movimiento , que ejerce una fuerza de atracción horizontal sobre el inducido en B de FB = (0,2(103 )l 17–82. La turbina liviana consta de un rotor que se alimenta de un par aplicado en su centro. En el instante en que el rotor está horizontal, tiene una velocidad angular de 15 rad>s y una aceleración angular en el sentido de las agujas del reloj de 8 rad>s. 2 Determine la fuerza normal interna, la fuerza cortante y el momento en una sección
.
que pasa por A. Suponga que el rotor es un 50 Varilla delgada de m de largo, con una
2
) N,
donde l en metros es el espacio entre la armadura y el imán en cualquier instante. Si la armadura se encuentra en el plano horizontal y originalmente está en reposo, determine la velocidad del contacto en B en el instante l = 0.01 m. Originalmente l = 0,02 m.
masa de 3 kg>m.
10 metros yo
B
A
25 metros
150mm
mi
A
problema 17–82
problema 17–84
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17.4 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: ROTACIÓN SOBRE UN EJE FIJO
17–85. La barra tiene un peso por longitud de w. Si gira en el plano vertical a
17–87. El péndulo de 100 kg tiene un centro de masa en G y un radio de giro
una velocidad constante v alrededor del punto O, determine la fuerza normal
alrededor de G de kG = 250 mm. Determine las componentes horizontal y vertical
interna, la fuerza cortante y el momento en función de x y u.
de la reacción del pasador A sobre la viga y la reacción normal del rodillo B en el instante u = 90° cuando el péndulo gira a v = 8 rad>s. Desprecie el peso de la viga y el soporte.
*17–88. El péndulo de 100 kg tiene un centro de masa en G y un radio de giro alrededor de G de kG = 250 mm. Determine las componentes horizontal y vertical de la reacción del pasador A sobre la viga y la reacción normal del rodillo B en el instante u = 0° cuando el péndulo gira a v = 4 rad>s. Desprecie el peso de la viga y el soporte.
O v C tu 0,75 metros
tu
v L 1 metro
GRAMO
X
A
B
problema 17–85 0,6 metros
0,6 metros
problemas 17–87/88 17–89. La “Rueda Catalina” es un fuego artificial que consiste en un tubo enrollado de polvo que está clavado en su centro. Si el polvo arde a una velocidad constante de 20 g>s tal que los gases de escape siempre ejercen una fuerza de magnitud constante de 0.3 N, dirigida tangente a la rueda, determine la velocidad angular de la rueda cuando el 75% de la masa se quema. 17–86. La barra delgada de 4 kg inicialmente está sostenida horizontalmente por un resorte en B y un pasador en A. Determine la aceleración angular de la barra
Inicialmente, la rueda está en reposo y tiene una masa de 100 g y un radio de r = 75 mm. Para el cálculo, considere que la rueda siempre es un disco delgado.
y la aceleración del centro de masa de la barra en el instante en que se aplica la fuerza de 100 N.
r C 0,3 norte
100 norte 1,5 metros
1,5 metros
B
A
k 20 N/m
problema 17–86
problema 17–89
17
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
F3
17.5 Ecuaciones de movimiento: movimiento plano general
V
M1
AG
F4
El cuerpo rígido (o losa) que se muestra en la figura 1718a está sujeto a un movimiento plano general causado por el sistema de fuerza y parmomento aplicado externamente.
A
GRAMO
Los diagramas de cuerpo libre y cinético del cuerpo se muestran en la figura 1718b.
M2 F2
Si se establece un sistema de coordenadas inerciales x e y como se muestra, las tres ecuaciones de movimiento son
F1 (a)
Fx = m(aG)x y
F3
Fy = m(aG)y
(1717)
MG = IGa X
M1 F4 GRAMO
M2
En algunos problemas puede ser conveniente sumar momentos alrededor de un punto P distinto de G para eliminar tantas fuerzas desconocidas como sea posible de la
W
suma de momentos. Cuando se usan en este caso más general, las tres ecuaciones de F2
movimiento son
17 F1
Fx = m(aG)x Fy = m(aG)y PM = (mk)P
(17–18)
revista
m(aG)y
Aquí (mk)P representa la suma de momentos de IG A y maG (o sus componentes) con
GRAMO
m(aG)x
respecto a P según lo determinado por los datos del diagrama cinético.
AIG
Ecuación del momento sobre el IC. Hay un tipo particular de problema que involucra un disco uniforme, o cuerpo de forma circular, que rueda sobre una superficie rugosa sin
(b)
deslizarse, figura 1719. Si sumamos los momentos con respecto al centro instantáneo
Figura 1718
de velocidad cero, entonces (mk)IC se convierte en IICa, de modo que A
F
CMI = IICa
CI
Figura 1719
(17–19)
Este resultado se compara con MO = IOa, que se usa para un cuerpo anclado en el punto O, Eq. 17–16. Ver problema. 17–90.
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17.5 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: MOVIMIENTO PLANO GENERAL
W
Gx GRAMO
Gy
A
FA
N / A
(© RC Hibbeler)
=
Procedimiento de Análisis
YO G
A
GRAMO
Los problemas cinéticos que involucran el movimiento plano general de un cuerpo rígido se pueden resolver mediante el siguiente procedimiento.
Diagrama de cuerpo libre.
revista d
A
Establezca el sistema de coordenadas inerciales x, y y dibuje el diagrama de cuerpo libre para el cuerpo. Especifique la dirección y el sentido de la aceleración del centro de masa, aG, y la aceleración angular A del cuerpo. Determine el momento de inercia IG. Identificar las incógnitas en el problema. Si se decide usar la ecuación de movimiento rotacional MP = (mk)P , entonces considere dibujar el diagrama cinético para ayudar a “visualizar” los “momentos” desarrollados por los componentes m(aG)x , m( aG)y , e IG A al escribir los términos en la suma de momentos (mk)P.
Ecuaciones de movimiento. Aplique las tres ecuaciones de movimiento de acuerdo con la convención de signos establecida. Cuando hay fricción, existe la posibilidad de movimiento sin resbalones ni vuelcos. Cada posibilidad de movimiento debe ser considerada.
Cinemática. Utilice la cinemática si no se puede obtener una solución completa estrictamente a partir de las ecuaciones de movimiento. Si el movimiento del cuerpo está restringido debido a sus soportes, se pueden obtener ecuaciones adicionales usando aB = aA + aB>A, que relaciona las aceleraciones de dos puntos cualesquiera A y B en el cuerpo. Cuando una rueda, disco, cilindro o bola rueda sin resbalar, entonces aG = ar.
A medida que avanza el compactador de suelo, o “rodillo de patas de oveja”, el rodillo tiene un movimiento plano general. Las fuerzas que se muestran en su 17 diagrama de cuerpo libre causan los efectos que se muestran en el diagrama cinético. Si los momentos se suman alrededor del centro de masa, G, entonces MG = IGa. Sin embargo, si los momentos se suman en torno al punto A (IC) , entonces a+MA = IGa + (maG)d = IAa.
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
EJEMPLO 17.12 Determine la aceleración angular del carrete en la figura 1720a. El carrete tiene una
100 norte
masa de 8 kg y un radio de giro de kG = 0,35 m. Las cuerdas de masa despreciable están envueltas alrededor de su centro interior y su borde exterior.
SOLUCIÓN Diagramas de cuerpo libre y cinético. Figura 1720b. La fuerza de 100 N hace que aG actúe GRAMO
A 0,5 metros
0,2 metros
hacia arriba. Además, A actúa en el sentido de las agujas del reloj, ya que el carrete se enrolla alrededor de la cuerda en A.
Hay tres incógnitas T, aG y a. El momento de inercia de el carrete sobre su centro de masa es = mkG
(a)
2
8 kg(0.35 m)2 = 0.980 kg # m2 IG =
Ecuaciones de movimiento.
100 norte T
+ cFy = m(aG)y; T + 100 N 78,48 N = (8 kg)aG c+MG = IGa; 100
(1)
N(0,2 m) T(0,5 m) = (0,980 kg # m2 )a Cinemática. Se obtiene una solución
(2)
completa si se utiliza la cinemática para relacionar aG con a. En este caso, el carrete “rueda sin deslizarse” sobre la cuerda en A. Por lo tanto, podemos usar los resultados del ejemplo 16.4 o 16.15 de modo que, (c+) aG Resolviendo las ecuaciones. 1 a 3,
17
GRAMO
0,5 metros
A
tenemos
= ar;
= a (0,5 m) aG
(3)
0,2 metros
2
a = 10,3 rad>s aG = 5,16 m>s
78,48 norte
Respuesta
2
T = 19,8 N
=
SOLUCIÓN II Ecuaciones de movimiento. Podemos eliminar la incógnita T sumando los momentos con respecto al punto A. A partir de los diagramas cinético y de cuerpo libre de las Figs. 1720b y 1720c, tenemos c+MA = (mk)A; 100 N (0,7 m) 78,48 N (0,5 m)
(8 kg) aG
= (0,980 kg # m2 )a + [(8 kg)aG](0,5 m) (0,980 kgm2 )
A
0,5 metros
A
Usando la Ec. (3),
GRAMO
a = 10,3 rad>s
2
Respuesta
SOLUCIÓN III Ecuaciones de movimiento. La forma más sencilla de resolver este problema es darse (b)
cuenta de que el punto A es el IC para el carrete. Entonces la ecuación. 1719 se aplica. c+MA = IAa; (100 N)(0,7 m) (78,48 N)(0,5 m) = [0,980 kg # m2 + (8 kg)(0,5 m)2 ]a
Figura 1720
a = 10,3 rad>s
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2
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459
EJEMPLO 17.13 La rueda de 50 lb que se muestra en la figura 1721 tiene un radio de giro kG = 0.70 ft. Si M 35 lbft
se aplica un momento de par de 35 @ lb # ft a la rueda, determine la aceleración de su centro de masa G. Los coeficientes de estática y la fricción cinética entre la rueda y el GRAMO
plano en A son = 0.3 y mk = 0.25, respectivamente. EM
1,25 pies
A
SOLUCIÓN Diagramas de cuerpo libre y cinético. Al inspeccionar la figura 1721b, se ve que el momento de par hace que la rueda tenga una aceleración angular en el sentido de las
(a)
manecillas del reloj de A. Como resultado, la aceleración del centro de masa, aG, está dirigida hacia la derecha. El momento de inercia es 50 libras
IG = mkG
50 libras
2 =
32.2 ft>s
2 (0,70 pies)2 = 0,7609 slug # pies2
35 libraspie
Las incógnitas son NA, FA, aG y a.
GRAMO
1,25 pies
Ecuaciones de movimiento. FA
cFy = m(aG)y; c+MG = IGa;
(1) FA = 50 libras 32,2
2 BOLSAS
=
S+ Fx = m(aG)x; +
17
N / A
pies>s NA 50 libras = 0
(2)
35 lb # ft 1.25 ft(FA) = (0.7609 slug # ft2 )a (3)
IG un
Se necesita una cuarta ecuación para una solución completa. revista
Cinemática (sin deslizamiento). Si se hace esta suposición, entonces (c+) aG = (1,25 pies)a
(4)
Resolviendo Ecs. 1 a 4, (b)
NA = 50,0 libras a = 11,0 rad>s
AF = 21,3 libras 2
Figura 1721
2
aG = 13,7 pies>s
Esta solución requiere que no se produzca deslizamiento, es decir, FA ... msNA. Sin embargo, dado que 21.3 lb 7 0.3(50 lb) = 15 lb, la rueda patina mientras rueda. (Corrimiento). La ecuación 4 no es válida, por lo que FA = mkNA, o FA = 0.25NA
(5)
Resolviendo Ecs. 1 a 3 y 5 rendimientos NA = 50,0 libras FA = 12,5 libras 2
a = 25,5 rad>s 2
aG = 8,05 pies>s
S
Respuesta
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
EJEMPLO 17.14 El poste esbelto uniforme que se muestra en la figura 1722a tiene una masa de 100 kg. Si los coeficientes de fricción estática y cinética entre el extremo del poste y la superficie son ms = 0.3 y mk = 0.25, respectivamente, determine la aceleración angular del poste en el instante en que se aplica la fuerza horizontal de 400 N. El polo está originalmente en reposo.
3 metros
400 norte 0,5 metros
A
(a)
SOLUCIÓN
Diagramas de cuerpo libre y cinético. Figura 1722b. La trayectoria de movimiento del centro de masa G será a lo largo de una trayectoria curva desconocida que tiene un radio de curvatura r, que inicialmente está en una línea vertical. Sin embargo, no hay una componente normal o y de aceleración ya que el polo está 2
originalmente en reposo, es decir, vG = 0, de modo que (aG)y = vG >r = 0. Supondremos que el centro de masa acelera hacia la derecha y que el polo tiene una aceleración angular en el sentido de las agujas del reloj de A. Las incógnitas son NA, FA, aG y a. Ecuación de movimiento.
GRAMO
981 norte
1 metro
S+ Fx = m(aG)x; +
1,5 metros
400 norte
NA 9m 81 = 0 N)(1 m) = [ 12(100 kg)(3 m)2 ]a (3) cFy = m(aG)y; (2) c+MG = IGa; FA(1,5 ) N ( 400 1
FA
Se necesita una cuarta ecuación para una solución completa. N / A
=
17
(1)
400 N FA = (100 kg)aG
Cinemática (sin deslizamiento). Con esta suposición, el punto A actúa como un “pivote” de manera que a está en el sentido de las manecillas del reloj, luego aG está dirigido a la derecha.
aG = (1,5 m) a
aG = arAG;
(4)
Resolviendo Ecs. 1 a 4 rendimientos (100 kg)aG
NA = 981 N FA = 300 N aG = 1 m>s
AIG
2
a = 0,667 rad>s
2
La suposición de que no hay deslizamiento requiere FA … msNA. Sin embargo, 300 N 7 0.3(981 N) = 294 N, por lo que el polo se desliza en A.
(b)
(Corrimiento). Para este caso la Ec. 4 no aplica. En su lugar, se debe utilizar la ecuación de fricción FA = mkNA . Por eso,
Figura 1722
FA = 0.25NA
(5)
Resolviendo Ecs. 1 a 3 y 5 rendimientos simultáneos NA = 981 N FA = 245 N aG a = 0,428 rad>s
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= 1,55 m>s 2
= 0,428 rad>s
2
d
2 Respuesta
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17.5 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: MOVIMIENTO PLANO GENERAL
EJEMPLO 17.15 La barra uniforme de 50 kg de la figura 1723a se mantiene en la posición de equilibrio mediante cuerdas AC y BD. Determine la tensión en BD y la aceleración angular de la barra inmediatamente después de cortar AC .
C
D
A
B
SOLUCIÓN
Diagramas de cuerpo libre y cinético. Figura 1723b. Hay cuatro incógnitas, TB, (aG)x , (aG)y y a.
3 metros
(a)
Ecuaciones de movimiento. S+ Fx = m(aG)x;
0 = 50 kg (aG)x
50(9.81) norte
tuberculosis
(aG)x = 0
a+MG = IGa; TB (1,5 m) = J 1
GRAMO
(1)
+ cFy = m(aG)y; TB 50(9.81)N = 50 kg (aG)y
12(50 kg)(3 m)2 R a
B 1,5 metros
(2)
17
Cinemática. Como la barra está en reposo justo después de cortar el cable, entonces su velocidad angular y la velocidad del punto B en este instante son 2 iguales a cero. Por lo tanto, (aB)n = vB >rBD = 0. Por lo tanto, aB solo tiene una
AIG
(50 kg)(aG)x
componente tangencial, que está dirigida a lo largo del eje x , figura 1723c. Aplicando la ecuación de aceleración relativa a los puntos G y B,
(50 kg)(aG)y (b)
aG = aB + A * rG/B v2 rG/B
(aG)yj = aBi + (ak) * (1.5i) 0 (aG)yj = aBi 1.5aj
(aG)y
Igualando las componentes i y j de ambos lados de esta ecuación,
GRAMO
rG/B
0 = aB
0
(3)
(aG)y = 1.5a
1,5 metros
(C)
Figura 1723
Resolviendo Ecs. (1) a (3) rendimientos 2
a = 4,905 rad>s TB = 123 N (aG)y = 7,36 m>s
(aG)x 0
Respuesta
Respuesta
2
B
ab
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
PROBLEMAS FUNDAMENTALES F17–13. La barra esbelta uniforme de 60 kg está inicialmente en reposo sobre un
F17–16. La esfera de 20@kg rueda por el plano inclinado sin resbalar. Determine
plano horizontal liso cuando se aplican las fuerzas. Determine la aceleración del centro de masa de la barra y la aceleración angular
la aceleración angular de la esfera y la aceleración de su centro de masa.
de la barra en este instante.
20 N 0,75 m
0,5 metros
0,15 metros
1,75 metros
30 80 norte
problema F17–13
problema F17–16
F17–14. El cilindro de 100@kg rueda sin resbalar en el plano horizontal. Determine la aceleración de su centro de masa y su aceleración angular.
F17–17. El carrete de 200@kg tiene un radio de giro alrededor de su centro de masa de kG = 300 mm. Si el momento de par se aplica al carrete y el coeficiente de fricción cinética entre el carrete y el suelo es mk = 0.2, determine la aceleración angular del carrete, la aceleración de G y la tensión en el cable.
17
0,3 metros
P 200 N
0,4 metros
B
A 0,6 metros
GRAMO
M 450 Nm
problema F17–14 problema F17–17
F17–15. La rueda de 20 @ kg tiene un radio de giro alrededor de su centro O de kO = 300 mm. Cuando la rueda se somete al momento de par, se desliza mientras rueda. Determine la aceleración angular de la rueda y la aceleración del centro de la rueda O. El coeficiente de fricción cinética entre la rueda y el plano es mk = 0,5.
F17–18. La varilla delgada de 12 @ kg está sujeta a un pequeño rodillo A que se desliza libremente a lo largo de la ranura. Si la barra se suelta desde el reposo en u = 0, determine la aceleración angular de la barra y la aceleración del rodillo inmediatamente después de la liberación.
0,4 metros
M 100 Nm
A tu
O 0,6 metros
problema F17–18
problema F17–15
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libros electrónicos gratis ==> www.ebook777.com 17.5 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: MOVIMIENTO PLANO GENERAL
463
PROBLEMAS 17–90. Si el disco de la figura 1719 rueda sin deslizarse, demuestre que cuando se suman los momentos con respecto al centro instantáneo de velocidad cero, IC, es posible usar la ecuación de momento MIC = IIC a, donde IIC representa el momento de inercia de el disco calculado sobre el eje instantáneo
17–93. La barra delgada de 12 kg tiene una velocidad angular en el sentido de las manecillas del reloj de v = 2 rad>s cuando está en la posición que se muestra.
Determine su aceleración angular y las reacciones normales de la superficie lisa A y B en este instante.
de velocidad cero. 17–91. El saco de boxeo de 20 kg tiene un radio de giro alrededor de su centro de masa G de kG = 0,4 m. Si inicialmente está en reposo y está sujeta a una fuerza horizontal F = 30 N, determine la aceleración angular inicial de la bolsa y la tensión en el cable de soporte AB.
B
3 metros
A
1 metro
60 B
A
17
0,3 metros
problema 17–93
GRAMO
0,6 metros
17–94. La llanta tiene un peso de 30 lb y un radio de giro de kG = 0.6 ft. Si los coeficientes de fricción estática y cinética entre la llanta y el avión son ms = 0.2 y mk rueda cuesta abajo. Establecer u = 12. = 0.15, determine la aceleración angular de la llanta como
F
problema 17–91
*17–92. La viga uniforme de 150 lb está inicialmente en reposo cuando las fuerzas se aplican a los cables. Determine la magnitud de la aceleración del centro de masa y la aceleración angular de la viga en este instante.
AF 100 libras
17–95. La llanta tiene un peso de 30 lb y un radio de giro de kG = 0.6 ft. Si los coeficientes de fricción estática y cinética entre la llanta y el plano son ms = 0.2 y mk plano inclinado de modo que la llanta = 0.15, determine el ángulo máximo u de la ruede sin resbalar.
FB 200 libras GRAMO
1,25 pies A
B
60
tu 12 pies
problema 17–92
problemas 17–94/95
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
*17–96. El carrete tiene una masa de 100 kg y un radio de giro de kG = 0,3
*17–100. Se aplica una fuerza de F = 10 N al anillo de 10 kg como se muestra.
m. Si los coeficientes de fricción estática y cinética en A son ms = 0.2 y mk =
Si no ocurre deslizamiento, determine la aceleración angular inicial del anillo
0.15, respectivamente, determine la aceleración angular del carrete si P = 50
y la aceleración de su centro de masa, G.
N.
Desprecie el espesor del anillo.
17–97. Resuelva el problema 1796 si la cuerda y la fuerza P = 50 N están
17–101. Si el coeficiente de fricción estática en C es μs = 0.3, determine la
dirigidas verticalmente hacia arriba.
fuerza máxima F que se puede aplicar al anillo de 5 kg sin que se deslice.
17–98. El carrete tiene una masa de 100 kg y un radio de giro kG = 0,3 m. Si
Desprecie el espesor del anillo.
los coeficientes de fricción estática y cinética en A son ms = 0.2 y mk = 0.15, respectivamente, determine la aceleración angular del carrete si P = 600 N.
F
A
45
PAG
GRAMO
250mm
400mm
30
GRAMO
0,4 metros
C
A
17
problemas 17–96/97/98
problemas 17–100/101
17–99. La barra uniforme de 12 kg está sostenida por un rodillo en A. Si se aplica al rodillo una fuerza horizontal de F = 80 N, determine la aceleración del centro del rodillo en el instante en que se aplica la fuerza.
17–102. La barra delgada de 25 lb tiene una longitud de 6 pies. Usando un collarín de masa despreciable, su extremo A está confinado para moverse a lo largo de la barra circular lisa de 322 pies de radio. El extremo B descansa sobre el piso, para el cual el coeficiente de cinética la fricción es mB = 0,4.
Desprecie el peso y el tamaño del rodillo.
Si la barra se suelta desde el reposo cuando u = 30°, determine la aceleración angular de la barra en este instante.
AF 80 N
A
6 pies 2 metros
3 2 pies
B
problema 17–99
tu
problema 17–102
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17.5 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: MOVIMIENTO PLANO GENERAL
17–103. La placa circular de 15 lb está suspendida de un pasador en A. Si el
17–106. La barra uniforme de masa m y longitud L está balanceada en posición
pasador está conectado a una pista a la que se le da una aceleración aA = 5
vertical cuando la fuerza horizontal P se aplica al rodillo en A. Determine la
pies/s2, determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en A y
aceleración angular inicial de la barra y la aceleración de su punto superior B.
la aceleración angular del lámina. La placa está originalmente en reposo. 17–107. Resuelva el problema 17–106 si se quita el rodillo y se coeficiente de fricción cinética en el suelo es μk. B
Automóvil club británico
A
L
GRAMO
2 pies
A PAG
problema 17–103
problemas 17–106/107 *17–108. El disco semicircular que tiene una masa de 10 kg gira a v = 4 rad>s 17 en el instante u = 60. Si el coeficiente de fricción estática en A es ms = 0.5, *17–104. Si P = 30 lb, determine la aceleración angular del rodillo de 50 lb. Suponga que el rodillo es un cilindro uniforme y que no se desliza.
17–105. Si el coeficiente de fricción estática entre el rodillo de 50 lb y el suelo
determine si el disco se desliza en este instante.
v O
es ms = 0.25, determine la fuerza máxima P que se puede aplicar al mango,
4 (0,4) ——— metro
0,4 metros
de modo que el rodillo ruede por el suelo sin resbalar. Además, encuentre la
3p
aceleración angular del rodillo. Suponga que el rodillo es un cilindro uniforme.
GRAMO
tu
A
problema 17–108
17–109. La alcantarilla de hormigón de 500 kg tiene un radio medio de 0,5 m. 2
, Si el camión tiene una aceleración de 3m>s, determine la aceleración angular de la alcantarilla. Suponga que la alcantarilla no resbala sobre la plataforma del camión y desprecie su espesor.
PAG
3 m/s
4 metros
1,5 pies
0,5 m
30
problemas 17–104/105
problema 17–109
2
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
17–110. El disco de 15 lb descansa sobre la placa de 5 lb. Una cuerda se
17–113. El disco uniforme de masa m gira con una velocidad angular de v0
enrolla alrededor de la periferia del disco y se une a la pared en B. Si se aplica
cuando se coloca en el suelo.
un par de torsión M = 40 lb # ft al disco, determine la aceleración angular del
Determine la aceleración angular inicial del disco y la aceleración de su centro de masa. El coeficiente de fricción cinética entre el disco y el piso es μk.
disco y el tiempo necesario para el extremo C del disco. placa para viajar 3 pies y golpear la pared. Suponga que el disco no se desliza sobre la placa y que la placa descansa sobre la superficie en D con un coeficiente de fricción cinética de μk = 0.2. Desprecie la masa de la cuerda.
17–114. El disco uniforme de masa m gira con una velocidad angular de v0 cuando se coloca en el suelo. Determine el tiempo antes de que empiece a rodar sin deslizarse. ¿Cuál es la velocidad angular del disco en este instante? El coeficiente de fricción cinética entre el disco y el piso es μk.
B
A M 40 libras pie 1,25 pies
v0
C D
3 pies
r
problema 17–110
17–111. El disco semicircular que tiene una masa de 10 kg gira a v = 4 rad>s en el instante u = 60. Si el coeficiente de fricción estática en A es ms = 0.5, determine si el disco se desliza en este instante. problemas 17–113/114
17
v
17–115. Se enrolla una cuerda alrededor de cada uno de los dos discos de 10
O 4 (0,4) ——— metro
0,4 metros
3p
kg. Si se sueltan desde el reposo, determine la aceleración angular de cada disco y la tensión en la cuerda C.
GRAMO
Desprecie la masa de la cuerda.
tu
A
problema 17–111 D
*17–112. La alcantarilla circular de concreto rueda con una velocidad angular de v = 0.5 rad>s cuando el hombre está en la posición que se muestra. En este instante, el centro de gravedad de la alcantarilla y el hombre están ubicados en el punto G, y el radio de giro alrededor de G es kG = 3.5 pies. Determine la aceleración angular de la alcantarilla. El peso combinado de la alcantarilla y el hombre es de 500 lb. Suponga que la alcantarilla rueda sin resbalar y que el
A 90mm
hombre no se mueve dentro de la alcantarilla.
v
C 4 pies
O
GRAMO
B 0,5 pies
90mm
problema 17–115
problema 17–112
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17.5 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: MOVIMIENTO PLANO GENERAL
*17–116. El disco de masa m y radio r rueda sin deslizarse sobre la trayectoria
17–119. La bola sólida de radio r y masa m rueda sin
circular. Determine la fuerza normal que la trayectoria ejerce sobre el disco y la
deslizándose por el canal de 60°. Determine su aceleración angular.
aceleración angular del disco si en el instante mostrado el disco tiene una velocidad angular de V.
tu
R v
r
30 problema 17–116
30
17–117. La viga uniforme tiene un peso W. Si originalmente está en reposo mientras
45
los cables la sostienen en A y B , determine la tensión en el cable A si el cable B falla repentinamente. Suponga que la viga es una barra delgada. problema 17–119 17
A
*17–120. Al presionar hacia abajo con el dedo en B, un anillo delgado que tiene una
B
masa m recibe una velocidad inicial v0 y un retroceso V0 cuando se suelta el dedo. Si el coeficiente de fricción cinética entre la mesa y el anillo es μk, determine la distancia que recorre el anillo hacia adelante antes de que deje de girar hacia atrás.
L––2
L––4
L––4
problema 17–117 17–118. La viga de 500 lb se apoya en A y B cuando se somete a una fuerza de 1000 lb como se muestra. Si el soporte del pasador en A falla repentinamente, determine la aceleración angular inicial de la viga y la fuerza del soporte del rodillo sobre la viga.
B
Para el cálculo, suponga que la viga es una barra delgada, por lo que se puede
v0
despreciar su espesor. 1000 libras
5
v0
3
4
r licenciado en Letras
8 pies
problema 17–118
2 pies
A problema 17–120
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
PROBLEMAS CONCEPTUALES C17–1. El camión se utiliza para tirar del contenedor pesado. Para que sea más efectivo proporcionar tracción a las ruedas traseras en A, ¿es mejor dejar el contenedor donde está o colocarlo en la parte delantera del remolque? Use valores numéricos apropiados para explicar su respuesta.
C17–3. ¿Cómo puede saber que el conductor está acelerando este SUV? Para explicar su respuesta, dibuje los diagramas de cuerpo libre y cinético. Aquí se suministra potencia a las ruedas traseras. ¿Se vería igual la foto si se suministrara energía a las ruedas delanteras? ¿Las aceleraciones serán las mismas? Use valores numéricos apropiados para explicar sus respuestas.
A
17 problema C17–1 (© RC Hibbeler)
C17–2. El tractor está a punto de remolcar el avión hacia la derecha. ¿Es posible que el conductor haga que la rueda delantera del avión se levante del suelo cuando acelera el tractor? Dibuje los diagramas de cuerpo libre y cinético y explique algebraicamente (letras) si esto podría ser posible y cómo.
problema C17–3 (© RC Hibbeler) C17–4. ¡Aquí hay algo que no debes probar en casa, al menos no sin usar un casco! Dibuje los diagramas de cuerpo libre y cinético y muestre lo que debe hacer el ciclista para mantener esta posición. Use valores numéricos apropiados para explicar su respuesta.
problema C17–2 (© RC Hibbeler)
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problema C17–4 (© RC Hibbeler)
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REPASO DEL CAPÍTULO
REPASO DEL CAPÍTULO Momento de inercia
El momento de inercia es una medida de la resistencia de un cuerpo a un cambio en su velocidad angular. se define por yo = 1r 2 dm y será diferente para cada uno
metro
eje sobre el que se calcula.
GRAMO
r
Muchos cuerpos están compuestos de formas simples. Si este es el caso, entonces se pueden usar los valores tabulares de I , como los que se dan en el interior de la contraportada de este libro. Para obtener el
mensaje directo
d
I = IG + md2
I
YO G
momento de inercia de un cuerpo compuesto sobre cualquier eje específico, se determina el momento de inercia de cada parte sobre el eje y se suman los resultados. Hacer esto a menudo requiere el uso del teorema del eje paralelo. 17 Ecuaciones Planares de Movimiento
Fx = m(aG)x
Fn = m(aG)n
Las ecuaciones de movimiento definen el movimiento de traslación y rotación de un cuerpo
Fy = m(aG)y
Pie = m(aG)t
rígido. Para tener en cuenta todos los términos de estas ecuaciones, siempre debe acompañar su aplicación un diagrama de cuerpo libre y, para algunos problemas, también puede ser conveniente dibujar el diagrama cinético que
mg = 0 traducción rectilínea
muestra maG e IGA .
Fn = m(aG)n = mv2 rG Ft = m(aG)t = marG MG = IGa o MO = IOa Rotación sobre un eje fijo
Fx = m(aG)x Fy = m(aG)y MG = IGa o MP = (mk)P Movimiento plano general17
mg = 0 Traducción curvilínea
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CAPÍTULO 17 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : FUERZA Y ACELERACIÓN
PROBLEMAS DE REVISIÓN R17–1. El carro de mano tiene una masa de 200 kg y un centro de masa en G. Determine las reacciones normales en cada una de las ruedas en A y B si se aplica
R17–3. El automóvil tiene una masa de 1.50 Mg y un centro de masa en G. Determine la aceleración máxima que puede tener si solo se suministra potencia a
una fuerza P = 50 N al mango. Desprecie la masa y la resistencia a la rodadura de
las ruedas traseras. Desprecie la masa de las ruedas en el cálculo y suponga que las ruedas que no reciben potencia pueden rodar libremente. Además, suponga
las ruedas.
que se produce el deslizamiento de las ruedas motrices, donde el coeficiente de fricción cinética es mk = 0,3. PAG
60
0,5 metros GRAMO
GRAMO
0,4 metros
0,2 metros
A
B
B
1,6 metros
0,4 metros
0,3 metros
1,3 metros
A
problema R17–3
0,2 metros
problema R17–1 17 R17–2. Las dos varillas de 3 lb EF y HI están fijadas (soldadas) al eslabón AC en E. Determine la fuerza axial interna Ex, la fuerza cortante Ey y el momento ME que ejerce la barra AC sobre FE en E si en el instante u = 30° El eslabón AB tiene una velocidad angular v = 5 rad>s y una aceleración angular a = 8 rad>s2 como se muestra.
R17–4. Un rollo de papel de 20 kg, originalmente en reposo, está sujeto por pasadores en sus extremos al soporte AB. El rodillo descansa contra una pared cuyo coeficiente de fricción cinética en C es = 0,3. Si se aplica uniformemente una fuerza de 40 N al extremo de mC de la hoja, determine la aceleración angular inicial del rollo y la tensión en el soporte a medida que se desenvuelve el papel. Para el cálculo, trate el rollo como un cilindro.
y B
2 pies
A
H
3 pies
a 8 rad/sv 5 rad/s
2
F
I
13
12
X
2 pies
5
mi
B
C
C 3 pies
a
A 120mm
tu 30 D
problema R17–2
60
P 40 N problema R17–4
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471
R17–5. En el instante que se muestra, dos fuerzas actúan sobre la barra delgada
R17–7. El carrete y el alambre envuelto alrededor de su núcleo tienen una masa
de 30 lb que está fijada en O. Determine la magnitud de la fuerza F y la aceleración
de 20 kg y un radio centroidal de giro kG = 250 mm. si el coeficiente de fricción
angular inicial de la barra de modo que la reacción horizontal que ejerce el pasador
cinética en el suelo es mB = 0.1, determine la aceleración angular del carrete
sobre la barra sea de 5 lb. dirigida a la derecha.
cuando se aplica el momento de par de 30 N # m.
O 30 nm 3 pies GRAMO
400mm 20 libras
200mm 3 pies
B F
problema R17–7
2 pies
17 problema R17–5
R17–8. Determine el giro inverso V que debe darse a la bola de 20 lb para que cuando a su centro se le dé una velocidad horizontal inicial vG = 20 ft>s, deje de girar y trasladarse en el mismo instante. El coeficiente de fricción cinética es mA = R17–6. El péndulo consta de una esfera de 30 lb y una barra delgada de 10 lb.
0,3.
Calcule la reacción en el pasador O justo después de cortar la cuerda AB .
v B
GRAMO
A
vG 20 pies/s 0,5 pies
O 1 pie 2 pies
problema R17–6
A problema R17–8
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capitulo 18
(© Arinahabich/Fotolia) Las montañas rusas deben poder deslizarse sobre bucles y giros, y tener suficiente energía para hacerlo de manera segura. El cálculo preciso de esta energía debe tener en cuenta el tamaño del automóvil a medida que avanza por la pista.
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Cinética plana de un cuerpo rígido: trabajo y energía OBJETIVOS DEL CAPÍTULO ■ Desarrollar formulaciones para la energía cinética de un cuerpo y definir las diversas formas en que trabajan una fuerza y un par. ■ Aplicar el principio de trabajo y energía para resolver problemas cinéticos planos de cuerpo rígido que involucran fuerza, velocidad y desplazamiento. ■ Mostrar cómo se puede usar la conservación de la energía para resolver
Problemas de cinética plana de cuerpo rígido.
y
18.1 Energía cinética
vi X
i
En este capítulo aplicaremos métodos de trabajo y energía para resolver problemas de
V
movimiento plano que involucran fuerza, velocidad y desplazamiento. Pero primero será necesario desarrollar un medio para obtener la energía cinética del cuerpo cuando el
r
y
cuerpo está sujeto a traslación, rotación alrededor de un eje fijo o movimiento plano general. vP
Para hacer esto, consideraremos el cuerpo rígido que se muestra en la figura 181, que está representado aquí por una losa que se mueve en el plano de referencia inercial xy .
X PAG
Una iésima partícula arbitraria del cuerpo, que tiene una masa dm, está ubicada a una distancia r del punto arbitrario P. Si en el instante que se muestra la partícula tiene una 2 . 2 vi velocidad vi , entonces la energía cinética de la partícula es Ti = d1 m
Figura 181
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CAPÍTULO 18 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : TRABAJO Y ENERGÍA
La energía cinética de todo el cuerpo se determina escribiendo expresiones similares
y
para cada partícula del cuerpo e integrando los resultados, es decir, vi
1
T =
X
2
2 Lm dm vi
i V
Esta ecuación también se puede expresar en términos de la velocidad del punto P.
r
Si el cuerpo tiene una velocidad angular V, entonces de la figura 181 tenemos
y
vP
vi = vP + vi>P = X
(vP)x i + (vP)y j + vk * (xi + yj) = [(vP)x vy]i
PAG
+ [(vP)y + vx]j
Figura 181 (repetida)
El cuadrado de la magnitud de vi es entonces
vi # vi = vi
2
= [(vP)x vy]
2
+ [(vP)y + vx] +
= (vP)x2 2(vP)xvy + v2 y2 + (vP)y
2
2
2(vP)yvx + v2 x2 2
2 = mP 2(vP)xvy + 2(vP)yvx + v2 r
Sustituyendo esto en la ecuación de los rendimientos de energía cinética
T =
1
1
2 a Lm dmbvP 2 (vP)xva Lm y dmb + (vP)yva Lm x dmb +
2 v2 a Lm r 2 dmb
18 La primera integral a la derecha representa la masa total m del cuerpo. Dado que = 1y dm ym y xm = 1x dm, la segunda y la tercera integral ubican el centro de masa G del cuerpo con respecto a P. La última integral representa el momento de inercia IP del cuerpo, calculado sobre el eje z que pasa por el punto P. Así ,
1 2 T = (vP)xvym + (vP)yvxm + 2 mvP
1 IPv2 2
(18–1)
Como caso especial, si el punto P coincide con el centro de masa G del cuerpo, entonces y = x = 0, y por tanto
T =
1
1
2 2 mvG + 2 IGv2
(18–2)
Ambos términos del lado derecho son siempre positivos, ya que vG yv están al cuadrado. El primer término representa la energía cinética de traslación, referenciada desde el centro de masa, y el segundo término representa la energía cinética de rotación del cuerpo alrededor del centro de masa.
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18.1 ENERGÍA CINÉTICA
Traducción. Cuando un cuerpo rígido de masa m se somete a traslación rectilínea o
v
curvilínea , figura 182, la energía cinética debida a la rotación es cero, ya que V = 0. Por lo tanto, la energía cinética del cuerpo es vGv _
T =
2 1 2 mvG
GRAMO
(18–3)
Rotación sobre un eje fijo. Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo que pasa por el punto O, figura 183, el cuerpo tiene energía cinética de traslación y de rotación , de
Traducción
modo que
Figura 182
T =
1 2 2 mvG
1 + 2
IGv2
(18–4) V
La energía cinética del cuerpo también se puede formular para este caso observando 1
que vG = rGv, de modo que T = 2(IG + mrG los 2 )v2 . Por el teorema de los ejes paralelos, vG
términos entre paréntesis representan el momento de inercia IO del cuerpo con respecto a un eje perpendicular al plano de movimiento y que pasa por el punto O. Por eso,*
GRAMO
O
T =
IOv2
RG
(18–5)
1 2
De la derivación, esta ecuación dará el mismo resultado que la Eq. 184, ya que da cuenta de las energías cinéticas de traslación y rotación del cuerpo.
Rotación sobre un eje fijo
Figura 183 18
Movimiento plano general. Cuando un cuerpo rígido se somete a un movimiento plano
V
general, figura 184, tiene una velocidad angular V y su centro de masa tiene una velocidad vG. Por lo tanto, la energía cinética es vG 1 2 T = 2 m vG
+
IGv2
1 2
(18–6) GRAMO
Esta ecuación también se puede expresar en términos del movimiento del cuerpo alrededor de su centro instantáneo de velocidad cero, es decir, T =
1 2IICv2
(18–7)
donde IIC es el momento de inercia del cuerpo con respecto a su centro instantáneo. La demostración es similar a la de la Ec. 18–5. (Véase el problema 181.)
* Cabe señalar la similitud entre esta derivación y la de MO = IOa. También se puede obtener el mismo resultado directamente de la Ec. 181 seleccionando el punto P en O y dándose cuenta de que vO = 0.
Movimiento plano general
Figura 184
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CAPÍTULO 18 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : TRABAJO Y ENERGÍA
Sistema de Cuerpos. Como la energía es una cantidad escalar, la energía cinética total de un sistema de cuerpos rígidos conectados es la suma de las energías cinéticas de todas sus partes móviles. Dependiendo del tipo de movimiento, la energía cinética de cada cuerpo se encuentra aplicando la Ec. 182 o las formas alternativas mencionadas anteriormente.
18.2 El trabajo de una fuerza La energía cinética total de este compactador de suelo consiste en la A menudo se encuentran varios tipos de fuerzas en problemas de cinética plana que energía cinética del cuerpo o armazón involucran un cuerpo rígido. El trabajo de cada una de estas fuerzas ha sido presentado de la máquina debido a su traslación, y en la Sec. 14.1 y se enumera a continuación como un resumen. las energías cinéticas de traslación y rotación del rodillo y las ruedas debido a su movimiento plano general. Aquí Trabajo de una fuerza variable. Si una fuerza externa F actúa sobre un cuerpo, el excluimos la energía cinética adicional trabajo realizado por la fuerza cuando el cuerpo se mueve a lo largo de la trayectoria desarrollada por las partes móviles del s, figura 185, es motor y el tren de transmisión. (© RC Hibbeler) (18–8)
UF = LF # dr = Ls F cos u ds
Aquí u es el ángulo entre las "colas" de la fuerza y el desplazamiento diferencial. La integración debe tener en cuenta la variación de la dirección y magnitud de la fuerza.
18 tu
s F
tu
F
Figura 185 s
FC tu
FC
Fc porque tu
tu
Trabajo de una fuerza constante. Si una fuerza externa Fc actúa sobre un cuerpo, figura 186, y mantiene una magnitud Fc constante y una dirección u constante, mientras el cuerpo experimenta una traslación s, entonces la ecuación anterior se puede integrar, de modo que el trabajo se convierte en
Fc porque tu
UFc = (Fc cos u)s Figura 186
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(18–9)
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18.2 EL TRABAJO DE UNA FUERZA
Trabajo de un Peso. El peso de un cuerpo solo realiza trabajo cuando el centro de masa G del cuerpo sufre un desplazamiento vertical y. Si este desplazamiento es hacia arriba, figura 187, el trabajo es negativo, ya que el peso es opuesto al desplazamiento.
GRAMO
s
W y
UW = W y
(1810)
GRAMO
W
Figura 187
Asimismo, si el desplazamiento es hacia abajo (y) el trabajo se vuelve positivo. En ambos casos, el cambio de elevación se considera pequeño, de modo que W, que es causado por la gravitación, es constante.
Trabajo de una fuerza de resorte. Si un resorte elástico lineal está unido a un cuerpo, la fuerza del resorte Fs = ks que actúa sobre el cuerpo funciona cuando el resorte se estira o se comprime desde s1 hasta una posición más lejana s2 . En ambos casos el trabajo será negativo ya que el desplazamiento del cuerpo es en dirección opuesta a la fuerza, figura 188. el trabajo es fs
k 2
Nosotros = 11 2 ks2
1 2ks1 22
(18–11) Posición no
donde s2 7 s1 .
estirada del resorte, s 0
s1 s
18 s2
Figura 188
Fuerzas que no realizan trabajo. Hay algunas fuerzas externas que no realizan ningún trabajo cuando el cuerpo se desplaza. Estas fuerzas actúan en puntos fijos del cuerpo o tienen una dirección perpendicular a su desplazamiento. Los ejemplos incluyen las reacciones en un soporte de pasador alrededor del cual gira un cuerpo, la reacción normal que actúa sobre un cuerpo que se mueve a lo largo de una superficie fija y el peso de un cuerpo cuando el centro de gravedad del cuerpo se mueve en un plano horizontal, Fig . 18–9. Una fuerza de fricción Ff que actúa sobre un cuerpo redondo
W
mientras rueda sin deslizarse sobre una superficie rugosa tampoco realiza trabajo.* Esto se debe a que, durante cualquier instante de tiempo dt, Ff actúa en un punto del cuerpo que tiene velocidad cero (centro instantáneo , IC) , por lo que el trabajo realizado por la fuerza sobre el punto es cero. En otras palabras, el punto no se desplaza en la dirección de la fuerza durante este instante. Dado que Ff contacta
V
r
puntos sucesivos solo por un instante, el trabajo de Ff será cero.
ff CI
norte
*El trabajo realizado por una fuerza de fricción cuando el cuerpo se desliza se analiza en la Sec. 14.3.
Figura 189
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478
CAPÍTULO 18 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : TRABAJO Y ENERGÍA
18.3 El trabajo de un momento de pareja METRO
Considere el cuerpo de la figura 1810a, que está sujeto a un momento de par M = Fr. Si el cuerpo experimenta un desplazamiento diferencial, entonces el trabajo realizado por las fuerzas del par se puede encontrar considerando el desplazamiento como la suma de una traslación separada más la rotación. Cuando el cuerpo se traslada, el trabajo de cada fuerza se produce solo por la componente de desplazamiento a lo largo de la línea de acción de las fuerzas dst , figura 1810b. Claramente, el trabajo "positivo" de una fuerza cancela el trabajo "negativo" de la otra. Cuando el cuerpo experimenta una rotación diferencial du alrededor del punto arbitrario O, figura 1810c, entonces cada fuerza experimenta un desplazamiento dsu = (r>2) du en la dirección de la fu
tu
(a)
Por lo tanto, el trabajo total realizado es
F r horario de verano
F
Traducción
dUM = Far 2dub + Far 2 dub = ( Fr ) du
(b)
= M du
El trabajo es positivo cuando M y dU tienen el mismo sentido de dirección y negativo si estos vectores están en sentido contrario.
Cuando el cuerpo gira en el plano un ángulo finito u medido en radianes, de u1 a u2 , el trabajo de un momento de par es por lo tanto
18
dsu
F du
O
r
du r
2
2
u2
dsu F
UM = L
m du
(1812)
u1
Rotación (c)
Figura 1810
Si el momento de par M tiene una magnitud constante, entonces
UM = M(u2 u1)
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(1813)
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18.3 LA OBRA DE UN MOMENTO DE PAREJA
EJEMPLO 18.1 La barra que se muestra en la figura 1811a tiene una masa de 10 kg y está sujeta a un momento de par de M = 50 N # my una fuerza de P = 80 N, que siempre se aplica perpendicular al extremo de la barra. Además, el resorte tiene una longitud sin estirar de 0,5 m y permanece en posición vertical debido a la guía de rodillos en B. Determine
B 0,75 metros
M = 50 Nm A
el trabajo total realizado por todas las fuerzas que actúan sobre la barra cuando ha
k 30 N/m
girado hacia abajo desde u = 0 hasta u = 90.
tu
P 80 N
2 metros
SOLUCIÓN
1 metro
Primero se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la barra para tener en cuenta todas las (a)
fuerzas que actúan sobre ella, figura 1811b. Peso W. Dado que el peso 10(9.81) N = 98.1 N se desplaza hacia abajo 1.5 m, el trabajo es UV = 98,1 N (1,5 m) = 147,2 J Sí
¿Por qué el trabajo es positivo? Momento de par M. El momento de par gira en un ángulo de u = p>2 rad. Por eso,
tu
Hacha
50 nm
fs
P 80 N
1,5 metros
UM = 50 N # m(p>2) = 78,5 J
98,1 norte 0,5 metros
Fuerza de resorteFs. Cuando u = 0 el resorte se estira (0,75 m 0,5 m) = 0,25 m, y cuando u = 90, el estiramiento es (2 m + 0,75 m) 0,5 m = 2,25 m. De este modo,
(b)
Figura 1811
1
Us = 3 1 2el (30 resorte N>m)(0.25 realiza mu )2 n 4trabajo = 75.0 J 2(30 N>m)(2.25 m)2 Por inspección, negativo sobre la barra ya que Fs actúa en la dirección opuesta al desplazamiento. Esto se comprueba con el resultado. Fuerza P. A medida que la barra se mueve hacia abajo, la fuerza se desplaza una distancia de (p>2)(3 m) = 4,712 m. El trabajo es positivo. ¿Por qué? ARRIBA = 80 N (4,712 m) = 377,0 J
Reacciones de pines. Las fuerzas Axe y Ay no realizan ningún trabajo ya que no están desplazadas. Trabajo Total. El trabajo de todas las fuerzas cuando la barra se desplaza es entonces
U = 147,2 J + 78,5 J 75,0 J + 377,0 J = 528 J
1 metro
Respuesta
18
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CAPÍTULO 18 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : TRABAJO Y ENERGÍA
18.4 Principio de trabajo y energía Aplicando el principio de trabajo y energía desarrollado en la Sec. 14.2 a cada una de las partículas de un cuerpo rígido y sumando los resultados algebraicamente, como la energía es un escalar, el principio de trabajo y energía para un cuerpo rígido se convierte en
T1 + U192 = T2
(18–14)
Esta ecuación establece que la energía cinética de traslación y rotación inicial del cuerpo , más el trabajo realizado por todas las fuerzas externas y los momentos de par que actúan sobre el cuerpo a medida que el cuerpo se mueve desde su posición inicial a su posición final, es igual a la energía cinética de traslación y rotación final del cuerpo . energía cinética. Tenga en cuenta que no es necesario considerar el trabajo de las fuerzas internas del cuerpo. Estas fuerzas ocurren en pares colineales iguales pero opuestos, de modo que cuando el cuerpo se mueve, el trabajo de una fuerza cancela el de su contraparte. Además, dado que el cuerpo es rígido, no se produce ningún movimiento relativo entre estas fuerzas, por lo que no se realiza ningún trabajo interno.
El contrapeso de este puente basculante realiza un trabajo positivo cuando se levanta el Cuando varios cuerpos rígidos están conectados por pasadores, conectados por puente y, por lo tanto, cancela el trabajo cables inextensibles o en malla entre sí, la Ec. 1814 se puede aplicar a todo el sistema negativo realizado por el peso del puente. (© RC Hibbeler) de cuerpos conectados. En todos estos casos, las fuerzas internas, que mantienen
unidos a los diversos miembros, no realizan trabajo y, por lo tanto, se eliminan del análisis.
18
El trabajo del par o momento desarrollado por los engranajes impulsores de los motores se transforma en energía cinética de rotación del tambor. (© RC Hibbeler)
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481
Procedimiento de Análisis El principio de trabajo y energía se usa para resolver problemas cinéticos que involucran velocidad, fuerza y desplazamiento, ya que estos términos están involucrados en la formulación. Para la aplicación, se sugiere que se utilice el siguiente procedimiento. Energía Cinética (Diagramas Cinemáticos). La energía cinética de un cuerpo se compone de dos partes. La energía cinética de traslación se relaciona con la velocidad del centro de masa, T = y se 1 2 2 determina la energía mvG c,inética de rotación utilizando el momento de inercia del cuerpo con respecto al centro de masa. En 1 2 IGv2 . el caso especial de rotación con respecto a un eje fijo (o T = rotación con respecto al IC), estas dos energías cinéticas se combinan IOv2 y 1 pueden expresar como T = donde IO 2ese s el momento de inercia con respecto al eje de rotación. Los diagramas cinemáticos de velocidad pueden ser útiles para determinar vG y v o para establecer una relación entre vG y v.* Trabajo (diagrama de cuerpo libre). Dibuje un diagrama de cuerpo libre del cuerpo cuando esté ubicado en un punto intermedio a lo largo de la trayectoria para tener en cuenta todas las fuerzas y momentos de par que realizan trabajo sobre el cuerpo a medida que se mueve a lo largo de la trayectoria. Una fuerza realiza trabajo cuando se mueve a través de un desplazamiento en la dirección de la fuerza. Las fuerzas que son funciones de desplazamiento deben integrarse para obtener el trabajo. Gráficamente, el trabajo es igual al área bajo la curva fuerza desplazamiento. El trabajo de un peso es el producto de su magnitud y el desplazamiento vertical, UW = Wy. Es positivo cuando el peso se mueve hacia abajo. El trabajo de un resorte tiene la forma Us = rigidez
ks2, donde k es el
1 2
del resorte y s es el estiramiento o compresión del resorte. El trabajo de un par es el producto del momento del par y el ángulo en radianes que gira, UM = Mu. Dado que se requiere la suma algebraica de los términos de trabajo, es importante que se especifique el signo correcto de cada término. Específicamente, el trabajo es positivo cuando la fuerza (momento de par) tiene la misma dirección que su desplazamiento (rotación); de lo contrario, es negativo. Principio de Trabajo y Energía. Aplicar el principio de trabajo y energía, T1 + U192 = T2 . Dado que esta es una ecuación escalar, se puede usar para resolver solo una incógnita cuando se aplica a un solo cuerpo rígido. *Una breve revisión de las Secs. Los ejercicios 16.5 a 16.7 pueden resultar útiles para resolver problemas, ya que los cálculos de la energía cinética requieren un análisis cinemático de la velocidad.
18
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CAPÍTULO 18 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : TRABAJO Y ENERGÍA
EJEMPLO 18.2 El disco de 30 kg que se muestra en la figura 1812a está sostenido por un pasador en su centro.
Determine el ángulo que debe recorrer para alcanzar una velocidad angular de 2 rad>s partiendo del reposo. Sobre él actúa un momento de par constante M = 5 N # m. El resorte originalmente no está estirado y su cuerda se enrolla alrededor del borde del disco. M 5 Nm 0,2 metros
O
k 10 N/m
(a)
SOLUCIÓN
Energía cinética. Como el disco gira alrededor de un eje fijo e inicialmente está en reposo, entonces T1 = 0
18
T2 =
1 2 IOv2 = 2 31 2(30 kg)(0,2 m)2 4(2 rad>s)2 = 1,2 J
1 2
Trabajo (diagrama de cuerpo libre). Como se muestra en la figura 1812b, las 294.3 norte
M 5 Nm
reacciones del pasador Ox y Oy y el peso (294.3 N) no realizan trabajo, ya que no se desplazan. El momento de par, que tiene una magnitud constante, realiza un trabajo positivo UM = Mu a medida que el disco gira en un ángulo de u rad en 1 el sentido de las agujas del reloj, y el resorte realiza un trabajo ks2 . 2 negativo Us = Principio de trabajo y energía.
O 5T16 + 5U126 = 5T26
Buey
0,2 metros
Oye
5T16 + y Mu
1 2
ks2 f = 5T26
1 fs
506 + e (5 N # m)u
2 (10 N>m)[u(0,2 m)]2 f = 51,2 J6 0.2u2 + 5u 1.2 = 0
(b)
Resolviendo esta ecuación cuadrática para la raíz positiva más pequeña,
Figura 1812
Respuesta
u = 0,2423 rad = 0,2423 rada 180 pb r= ad 13,9
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18.4 PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGÍA
EJEMPLO 18.3 La rueda que se muestra en la figura 1813a pesa 40 lb y tiene un radio de giro kG = 0.6 pies alrededor de su centro de masa G. Si se somete a un momento de par en el sentido de las manecillas del reloj de 15 lb # pies y rueda desde el reposo sin deslizarse, determine su velocidad angular después de que su centro G se mueve 0.5 ft.
k 10 libras/pie
A
El resorte tiene una rigidez k = 10 lb>ft e inicialmente no está estirado cuando se aplica el momento de par.
GRAMO
0,8 pies
15 libraspie
SOLUCIÓN
Energía Cinética (Diagrama Cinemático). Como la rueda está inicialmente en reposo,
(a)
T1 = 0
A
El diagrama cinemático de la rueda cuando está en la posición final se muestra en la figura 1813b. La energía cinética final se determina a partir de
V2
1,6 pies
(vG)2 GRAMO
T2 = =
2
0,8 pies
IICv2
1 2
1
CI
2 tazas 40 p libras 32,2 ies>s
T2 = 0,6211 v2
2
(0,6 pies)2 + ¢ 32,2 40 libras pies>s2 ≤(0,8 pies)2 dv2 2 (b)
2
Trabajo (diagrama de cuerpo libre). Como se muestra en la figura 1813c, solo funcionan la fuerza del resorte Fs y el momento de par. La fuerza normal no se mueve a lo largo de su línea de acción y la fuerza de fricción no realiza trabajo, ya que la rueda no resbala al 1 rodar. ks2 _ El trabajo de Fs se encuentra usando Us = Aquí 2el trabajo es negativo ya que Fs está en la dirección opuesta al desplazamiento. Como la rueda no se desliza cuando el centro
18 fs 40 libras
15 libraspie
G se mueve 0,5 pies, entonces la rueda gira u = sG>rG>IC = 0,5 pies>0,8 pies = 0,625 rad, figura 1813b. Por lo tanto, el resorte se estira s = urA>IC = (0.625 rad)(1.6 pies) = 1
pensión completa
pie. NÓTESE BIEN
Principio de Trabajo y Energía.
(C)
Figura 1813
5T16 + 5U126 = 5T26 1
5T16 + 5Mu 2 ks26 = 5T26
1 506 + e 15 libras # pies (0,625 rad)
2 (10 libras>pie)(1 pie)2 f = 50.6211 v2
v2 = 2,65 rad>s b
2
pies # lb6
Respuesta
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CAPÍTULO 18 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : TRABAJO Y ENERGÍA
EJEMPLO 18.4 El tubo de 700 kg está igualmente suspendido de los dos dientes del montacargas que se muestra en la foto. Está experimentando un movimiento oscilante tal que cuando u = 30 está momentáneamente en reposo. Determine las fuerzas normales y de fricción que actúan sobre cada diente y que se necesitan para sostener el tubo en el instante u = 0. Las medidas del tubo y la suspensión se muestran en la figura 1814a. Desprecie la masa del tirante y el espesor del tubo. O
tu 0,4 metros
GRAMO
0,15 metros
(© RC Hibbeler)
(a)
Figura 1814
SOLUCIÓN Debemos usar las ecuaciones de movimiento para encontrar las fuerzas sobre los dientes ya que estas fuerzas no realizan trabajo. Sin embargo, antes de hacer esto, aplicaremos el principio del trabajo y la energía para determinar la velocidad angular de la tubería cuando u = 0. 18
Energía Cinética (Diagrama Cinemático). Como la tubería originalmente está en reposo, entonces T1 = 0 La energía cinética final se puede calcular con referencia al punto fijo O o al centro de masa G. Para el cálculo, consideraremos que la tubería es un anillo delgado, de modo que IG = mr2 Si se considera el punto G , tenemos .
T2 =
1 2m(vG)2
2
+
IGv22
1 2
1 = 2(700 kg)[(0,4 m)v2]
2 +
1
2[700 kg(0,15 m)2 ]v2
2
= 63.875v2 2 Si se considera el punto O , entonces se debe usar el teorema de los ejes paralelos para determinar IO. Por eso, T2 =
1 IOv22 = 2[700 kg(0,15 m)2 + 700 kg(0,4 m)2 ]v2
1 2
= 63.875v2 2
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2
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Trabajo (Diagrama de cuerpo libre). Figura 1814b. Las fuerzas normales y de fricción en los dientes no realizan trabajo ya que no se mueven cuando la tubería se balancea. El peso realiza un trabajo positivo ya que se mueve hacia abajo a lo largo de una distancia vertical y = 0,4 m 0,4 cos 30 m = 0,05359 m.
485
Nuevo Testamento
PIE
O
tu
Principio de Trabajo y Energía. 0,4 metros
5T16 + 5U126 = 5T26 506 +
GRAMO
5700(9,81) N(0,05359 m)6 = 563,875v2 26 v2
y
= 2.400 rad>s
700 (9,81) norte
Ecuaciones de movimiento. Con referencia a los diagramas cinético y de cuerpo libre que se muestran en la figura 1814c, y usando el resultado para v2, tenemos
(b)
d+ Ft = m(aG)t ; FT = (700 kg)(aG)t + cFn = m(aG)n; NT 700(9,81) N = (700 kg)(2,400 rad>s)2 (0,4 m) c+MO = IOa; 0 = [(700 kg)(0,15 m)2 + (700 kg)(0,4 m)2 ]a Como (aG)t = (0.4 m)a, entonces a = 0, (aG)t = 0 FT = 0 NT = 8.480 kN Se utilizan dos dientes para soportar la carga, por lo tanto
18
F T = 0 =
= Nuevo Testamento
=
Respuesta
8.480kN
= 4,24 kN
Respuesta
2
NOTA: Debido al movimiento de balanceo, los dientes están sujetos a una fuerza normal mayor que la que tendrían si la carga fuera estática, en la cual = 700(9.81) =
N>2 = 3.43 kN. caso NT
Nuevo Testamento
PIE
O
O
700 kg(aG)n
0,4 metros
0,4 metros
= GRAMO
GRAMO
700 kg(ag)t AIG
700 (9,81) norte (C)
Figura 1814
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CAPÍTULO 18 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : TRABAJO Y ENERGÍA
EJEMPLO 18.5 La barra de 10 kg que se muestra en la figura 1815a está restringida para que sus extremos se muevan a lo largo de las ranuras acanaladas. La barra está inicialmente en reposo cuando u = 0. A 0,4 metros
Si sobre el bloque deslizante en B actúa una fuerza horizontal P = 50 N, determine la velocidad angular de la barra en el instante u = 45. Desprecie la fricción y la masa de los bloques A y B.
tu 0,4 metros
SOLUCIÓN
GRAMO
¿Por qué se puede usar el principio del trabajo y la energía para resolver este problema? Energía Cinética (Diagramas Cinemáticos). En la figura 1815b se muestran dos
P 50 N
diagramas cinemáticos de la barra, cuando está en la posición inicial 1 y en la posición
B
final 2. Cuando la barra está en la posición 1, T1 = 0 ya que (vG)1 = V1 = 0. En la posición 2 la velocidad angular es V2 y la velocidad del centro de masa es (vG)2 . Por
(a)
lo tanto, la energía cinética es T2 =
2
m(vG)2
1 2
+
2
IGv2
1 2
1 2 = 1 2(10 kg)(vG)2 + 2 3 1 12(10 kg)(0,8 m)2 4v2 2
2
= 5(vG)2 + 0,2667(v2)
(vG)1 0 G v1 0
2
Las dos incógnitas (vG)2 y v2 se pueden relacionar a partir del centro instantáneo de velocidad cero de la barra. Figura 1815b. Se ve que cuando A se mueve hacia abajo
(vA)2 CI A
V2
rG/CI
velocidad (vB)2 . Conociendo estas direcciones, el IC se ubica como se muestra en la figura. Por eso,
1
18
con una velocidad (vA)2 , B se mueve horizontalmente hacia la izquierda con una
(vG)2 = = (0,4 tan 45 m)v2 rG>ICv2
45G 0,4m _
45
(vG)2
= 0.4v2
(vB)2
Por lo tanto, 0,4 metros
B
2
2
T2 = 0.8v2 + 0.2667v2 = 1.0667v2 Por 2
2
supuesto, también podemos determinar este resultado usando T2 =
(b)
2
1 2
IICv2 .
Trabajo (diagrama de cuerpo libre). Figura 1815c. Las fuerzas normales NA y NB no realizan trabajo cuando la barra se desplaza. ¿Por qué? El peso de 98,1 N se desplaza A
N / A
0,4 metros
una distancia vertical de y = (0,4 0,4 cos 45) m; mientras que la fuerza de 50 N se mueve una distancia horizontal de s = (0.8 sen 45) m. Ambas fuerzas realizan un trabajo positivo. ¿Por qué?
45
Principio de Trabajo y Energía.
0,4 metros
5T16 + 5U126 = 5T26
(0,4 cos 45) m 98,1 norte
50 NB ( 0,8 sen 45) m NB
5T16 + 5W y + Ps6 = 5T26 506 + 598,1 N(0,4 m 0,4 cos 45 m) + 50 N(0,8 sen 45 m)6 = 51,0667v2 2 J6
(C)
Resolviendo para v2 da v2 = 6,11 rad>sb
Figura 1815
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Respuesta
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18.4 PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGÍA
PROBLEMA PRELIMINAR P18–1. Determine la energía cinética del objeto de 100 kg.
3 rad/s 2 rad/s O
100 kg
30 100 kg 3 metros
(a) (d)
4 metros
2 metros
O
2 rad/s
4 rad/s
100 kg 100 kg
(b)
18
2 metros
2 rad/s (mi)
100 kg 3 metros
100 kg
2 metros
2 metros
4 rad/s
Sin deslizamiento
(F)
(C)
problema P18–1
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CAPÍTULO 18 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : TRABAJO Y ENERGÍA
PROBLEMAS FUNDAMENTALES F18–1. La rueda de 80 @ kg tiene un radio de giro alrededor de su centro de masa
F18–4. La rueda de 50 kg está sujeta a una fuerza de 50 N. Si la rueda parte del
O de kO = 400 mm. Determine su velocidad angular después de que haya girado 20
reposo y rueda sin deslizarse, determine su velocidad angular después de haber
revoluciones partiendo del reposo.
girado 10 revoluciones.
0,6 metros
P 50 N
El radio de giro de la rueda alrededor de su centro de masa G es kG = 0,3 m.
O 30
problema F18–1 F18–2. La barra delgada uniforme de 50 lb está sujeta a un momento de par de M = 100 lb # ft. Si la barra está en reposo cuando u = 0, determine su velocidad angular problema F18–4
cuando u = 90.
F18–5. Si la barra delgada uniforme de 30 @ kg parte del reposo en la posición que
O
se muestra, determine su velocidad angular después de haber girado 4 revoluciones.
M100 lbft
Las fuerzas permanecen perpendiculares a la barra. tu
5 pies
30 norte
0,5 m 0,5 m
0,5 metros
1,5 metros
18
O
20 nm
20 norte
problema F18–5
problema F18–2 F18–3. La barra delgada uniforme de 50 @ kg está en reposo en la posición que se muestra cuando se aplica P = 600 N. Determine la velocidad angular de la barra cuando la barra alcanza la posición vertical.
F18–6. La rueda de 20 @ kg tiene un radio de giro alrededor de su centro G de kG = 300 mm. Cuando se somete a un momento de par de M = 50 N # m, rueda sin deslizar. Determine la velocidad angular de la rueda después de que su centro de masa G haya recorrido una distancia de sG = 20 m, partiendo del reposo.
A
0,4 metros 5 metros
M 50 Nm
4 metros
GRAMO
P 600 N B problema F18–6
problema F18–3
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18.4 PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGÍA
PROBLEMAS 18–1. En un instante dado el cuerpo de masa m tiene una velocidad angular V y su
*18–4. Se aplica una fuerza de P = 60 N al cable, lo que hace que el carrete de
centro de masa tiene una velocidad vG. Demuestre que IICv2 , su energía cinética
200 kg gire ya que está apoyado sobre los dos rodillos A y B del dispensador.
puede representar como T = donde IIC es el momento de inercia 1 d2se el cuerpo
Determine la velocidad angular del carrete después de haber dado dos vueltas
determinado con respecto al eje instantáneo de velocidad cero, ubicado a una
partiendo del reposo. Desprecie la masa de los rodillos y la masa del cable.
distancia rG>IC del centro de masa como se muestra.
Suponga que el radio de giro del carrete alrededor de su eje central permanece constante en kO = 0.6 m.
CI PAG
rG/CI O
0,75 metros 1 metro
GRAMO
vG
v A
B 0,6 metros
problema 18–4
problema 18–1
18–5. Se aplica una fuerza de P = 20 N al cable, lo que hace que el carrete de 175 kg gire ya que está apoyado sobre los dos rodillos A y B del dispensador. Determine 18–2. La rueda está hecha de un anillo delgado de 5 kg y dos varillas delgadas de
la velocidad angular del carrete después de haber dado dos vueltas partiendo del
2 kg. Si el resorte torsional unido al centro de la rueda tiene una rigidez k = 2 N #
reposo. Desprecie la masa de los rodillos y la masa del cable. El radio de giro del
m>rad, y la rueda se gira hasta que se desarrolla el momento de torsión M = 25 N
carrete alrededor de su eje central es kG = 0.42 m. 18
# m, determine la velocidad angular máxima de la rueda si se suelta del descanso
18–6. Se aplica una fuerza de P = 20 N al cable, lo que hace que el carrete de 175 18–3. La rueda está hecha de un anillo delgado de 5 kg y dos varillas delgadas de
kg gire sin resbalar sobre los dos rodillos A y B del dispensador. Determine la
2 kg. Si el resorte torsional unido al centro de la rueda tiene una rigidez k = 2 N #
velocidad angular del carrete después de haber dado dos vueltas partiendo del
m>rad, de modo que el momento de torsión en el centro de la rueda es M = (2u) N
reposo. Desprecie la masa del cable. Cada rodillo se puede considerar como un
# m, donde u está en radianes, determine el máximo velocidad angular de la rueda
cilindro de 18 kg, con un radio de 0,1 m. El radio de giro del carrete alrededor de
si se gira dos revoluciones y luego se suelta desde el reposo.
su eje central es kG = 0.42 m.
PAG
30
250mm 0,5 metros
GRAMO
O 500mm METRO
A
B 400mm
problemas 18–2/3
problemas 18–5/6
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CAPÍTULO 18 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : TRABAJO Y ENERGÍA
18–7. La polea doble consta de dos partes unidas entre sí. Tiene un peso de 50 lb y un radio de giro centroidal de kO = 0.6 pies y gira con una velocidad angular de 20 rad>s en el sentido de las manecillas del reloj. Determine la energía cinética del sistema. Suponga que ninguno de los cables se desliza en la polea.
18–10. El carrete tiene una masa de 40 kg y un radio de giro de kO = 0,3 m. Si el bloque de 10 kg se suelta desde el reposo, determine la distancia que debe caer el bloque para que el carrete tenga una velocidad angular v = 15 rad>s. Además, ¿cuál es la tensión en la cuerda mientras el bloque está en movimiento? Desprecie la masa de la cuerda.
*18–8. La polea doble consta de dos partes unidas entre sí. Tiene un peso de 50 lb y un radio de giro centroidal de kO = 0.6 pies y gira con una velocidad angular de 20 rad>s en el sentido de las manecillas del reloj. Determine la velocidad angular de la polea en el instante en que el peso de 20 lb se mueve 2 pies hacia abajo.
300mm 500mm O
v 20 rad/s
0,5 pies
1 pie
O
problema 18–10
B 30 libras A
18
18–11. La fuerza de T = 20 N se aplica a la cuerda de masa despreciable. Determine la velocidad angular de la rueda de 20 kg cuando ha girado 4 revoluciones partiendo del reposo. La rueda tiene un radio de giro de kO = 0,3 m.
20 libras
problemas 18–7/8
18–9. El disco, que tiene una masa de 20 kg, está sujeto al momento de par de M = (2u + 4) N # m, donde u está en radianes. Si parte del reposo, determine su velocidad angular cuando haya dado dos vueltas.
0,4 metros
O
300 mm M O
T 20 N problema 18–9
problema 18–11
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libros electrónicos gratis ==> www.ebook777.com 18.4 PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGÍA
*18–12. Determine la velocidad del cilindro de 50 kg después de haber descendido
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18–15. El péndulo consiste en un disco uniforme de 10 kg y una barra delgada
una distancia de 2 m. Inicialmente, el sistema está en reposo. El carrete tiene una
uniforme de 3 kg. Si se suelta desde el reposo en la posición que se muestra,
masa de 25 kg y un radio de giro alrededor de su centro de masa A de kA = 125 mm.
determine su velocidad angular cuando gira 90° en el sentido de las manecillas del reloj.
A
75mm B A
0,8 metros
M 30 N∙m D 2 metros
problema 18–15
*18–16. Un motor suministra un par constante M = 6 kN # m al tambor de bobinado problema 1812
que opera el ascensor. Si el ascensor tiene una masa de 900 kg, el contrapeso C tiene una masa de 200 kg y el tambor de bobinado tiene una masa de 600 kg y un radio de giro alrededor de su eje de k = 0,6 m, determine la velocidad del ascensor
18–13. La barra delgada uniforme de 10 kg está suspendida en reposo cuando se
después de se eleva 5 m partiendo del reposo.
aplica una fuerza de F = 150 N en su extremo. Determine la velocidad angular de la barra cuando ha girado 90° en el sentido de las manecillas del reloj desde la posición
Desprecie la masa de las poleas.
que se muestra. La fuerza es siempre perpendicular a la barra. 18 18–14. La barra delgada uniforme de 10 kg está suspendida en reposo cuando se aplica una fuerza de F = 150 N en su extremo. Determine la velocidad angular de la barra cuando ha girado 180° en el sentido de las manecillas del reloj desde la posición que se muestra. La fuerza es siempre perpendicular a la barra.
O
3 metros
METRO
C
F problemas 18–13/14
D
0,8 metros
problema 1816
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CAPÍTULO 18 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO : TRABAJO Y ENERGÍA
18–17. Al centro O del anillo delgado de masa m se le da una velocidad
18–19. La criba rotatoria S se utiliza para lavar piedra caliza.
angular de v0. Si el anillo rueda sin deslizarse, determine su velocidad angular
Cuando está vacío tiene una masa de 800 kg y un radio de giro de kG = 1,75
después de haber viajado una distancia de s por el plano. Desprecie su
m. La rotación se logra aplicando un par de torsión de M = 280 N # m
espesor.
alrededor de la rueda motriz en A. Si no ocurre deslizamiento en A y la rueda de apoyo en B puede rodar libremente, determine la velocidad angular de la pantalla después de que haya girado 5 revoluciones Desprecie la masa de A y B.
v0 s r O
S
2 metros
tu
0,3 metros
problema 18–17
B
M 280 N ∙m
A
problema 1819
18–18. La rueda tiene una masa de 100 kg y un radio de giro de kO = 0,2 m. Un motor suministra un par de torsión M = (40 u + 900) N # m, donde u está 18
en radianes, sobre el eje impulsor en O. Determine la velocidad del carro de carga, que tiene una masa de 300 kg, después de viajar s = 4 metros Inicialmente, el automóvil está en reposo cuando s = 0 y u = 0°. Desprecie la masa del cable conectado y la masa de las ruedas del automóvil.
*18–20. Si P = 200 N y la barra delgada uniforme de 15 kg parte del reposo en u = 0, determine la velocidad angular de la barra en el instante justo antes de u = 45.
METRO
0,3 metros
s
O
600mm A
45°
tu
P 200 N B
30
problema 18–20
problema 18–18
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