Ingenieria Economica

 

INGENIERIA ECONOMICA MATEMATICA FINANCIERA RACIONAL 1. 1.   CONCEPTOS BASICOS – PROBLEMAS PEOPURSTOS Y RESULETOS CONCEPTOS BASICOS : 1.- Tasa de Interés : tasa de ganancia de una unidad monetaria al cabo de un periodo de tiempo. 2.- Interés :  Ganancia de dinero a través del tiempo de lo que se deduce que necesariamente tiene que pasar el tiempo para generar generar interés. La matemática financiera se utiliza para hacer cálculos de ganancias frente a los costos que permita la toma de decisiones en los negocios y en el conjunto de la economía. Como se Ha podido apreciar iniciamos los conceptos con la tasa de interés, la misma que tiene que ser aplicada a ciertas cantidades reales o supuestas de dinero , ya que los economistas/ financistas son personas que manejan el dinero, trataremos de expresar al dinero de las distintas formas que se pueda utilizar.

FORMAS DE DINERO :  

Como stock de dinero

 

Como flujo de dinero

STOCK DE DINERO : es una cantidad de dinero en un momento determinado de tiempo. Ejm. Aperturar una cuenta de ahorro por 2,000.00 y no lo toca por el lapso l apso de 01 año. Los 2,000.00 se denomina stock inicial pasado el año y como el banco le ha estado abonando interés, la cantidad a cobrar será mayor esta cantidad de denomina stock final de dinero.

 

 

FLUJO DE DINERO : Es una sumasuca de cantidades de dinero o corrientes de dinero a través través del tiempo, que pueden ser depósitos, retiros, cobros, abonos etc. cuando estos flujos sean uniformes (efectivos en cantidad y tiempo) lo denominaremos “flujo constant e de dinero “ 

NOTACIONES : P = Stock inicial de dinero (Valor presente, valor actual, capital, Valor liquido etc. ) S = Stock final de dinero (Valor futuro, Valor nominal, monto etc. ) R = Flujo Corriente de dinero (Serie uniforme, corriente al efectivo, ventas etc.) n = #de periodos (horizonte temporal, tiempo, plazo número total de periodo etc.)  i = tasa de interés por periodo-

CAPITALIZACION .Generar o ganar interés a travez del tiempo ( prospectivo )

CAPITALIZACION

S

 i = ?

P

n

ACTUALIZACION : Quitar interés a una cantidad futura que por cálculo se tiene ( retrospectiva )

ACTUALIZACION

P

S

 i = ?

n

 

 

HORIZONTE TEMPORAL .Tiempo que dura un proceso financiero. El edificio la estructura de la matemática financiera tiene su simiente , su piedra angular, su inicio en la tasa de interés; i nterés;

 i  

I = P . i  

Interes Compuesto

Interes Simple

n

I = P [ ( 1 + i ) -1] 

I = P . i . n   CAPITALIZACION 

S=P+I

S=P+I

n

S = P + P. i . n  

S = P + P [( 1 + i ) -1 ]

S = P ( 1 +  i . n ) 

S = P ( 1 + i )  

 

n

PRIMERA FUNCION FINANCIERA

 

  Como se llega a la primera función financiera Periodo ( 0 )

P

Periodo ( 1 )

P

Periodo ( 2 )

(P

Periodo ( 3 )

  )]  => P ( 1 + i )   P( 1 + i )  +[P( 1 + i )  ] i     +P[( 1 + i )  + ( 1 + i )   i 

Periodo ( 4 )

P( 1 + i )  +[P( 1 + i )  ] i  +P[( 1 + i )  + ( 1 + i )  i    )]  => P ( 1 + i )  

+ P i  + P i ) + (P + P i ) i 

periodo ( n ) P(1+ i )

2

2

=> P i    + 2 P i  + P

=> P ( 1 + i )  

2

2

2

2

3

2

3

3

3

4

n-1

 +[P(1+ i )

n-1

 ] i    +P [(1+ i )

n-1

 +(1+ i )

n-1

n

  )] => P ( 1 + i )    i 

Como se llega a determinar el interés compuesto n

P + I = P ( 1 + i )   I = P ( 1 + i )

n

I = P [ ( 1 + i )

- P n

-1 ]

TRATAMIENTO DE LOS INTERESES Si realiza un deposito en un banco que anuncia un interés anual de 120 % capitalizable trimestralmente , el ahorrista o depositante puede cobrar este interés al finalizar el trimestre o bien puede mantenerlo en su cuenta la misma que se veria incrementada por la capitalización ,estos interés generarían generarían ganancias de nuevos intereses. ( interés sobre el interés ) presentando dos alternativas :

 

   

Retirar los intereses ( no se reinvierte )   Mantener los intereses ( reinvertir o capitalizar ) Estas 02 alternativas a su vez da origen a las 02 areas areas de la matemática matemática financiera financiera que hemos visto en la estructura inicial  

El interés simple o interés no capitalizable capitalizable   El interés compuesto o interés capitalizable

SOBRE EL INTERES EFECTIVO O NOMINAL. TASA NOMINAL .Se trata de un valor de referencia utilizado en las operaciones financieras que suele ser fijado por las autoridades, o por las entidades financieras, comerciales, naturales, etc. para regular los préstamos, créditos, u otros.

TASA EFECTIVA.Es la tasa que efectiva o realmente se se cobra o paga y está determinada por los sistemas de capitalización. (Mensual, trimestral, semestral, etc.)

OBSERVEMOS: De la primera función financiera n

S = P ( 1 + i )  

Tomando como base la unidad monetaria P=1 S=? n=4

 i = 40 %

S = 1 ( 1 + 0.1 ) S = 1 ( 1.1 ) S = 1 ( 1.4641 ) S = 1.4641

4

4

efectivamente se obtuvo un rendimiento de 46.41% de una tasa dada de 40%

 

Deduciendo : 4

1.4641 = 1 ( 1 + 0.1 )   4

1.4642 = ( 1 + 0.1 )  

Entonces: n 1 + i efec efec  = ( 1 + i per per )   

n 1 + i = ( 1 + i ’ )  

Dónde : Periódico

Efectivo

Solo por especificar o diferenciar : J = nominal

 i = efectiva  i  ’ = periodica  i  ’ =

J

 



puede expresarse 1 + i = ( 1 +

J 

 

n )  

definitivamente : n

1 + i = ( 1 + i ’ )  

 

 

Hasta este punto hemos diversificado la tasa de interés como

 i, J, i   ’, solo para fines

deterministicos-pedagogicos y de comprension, hacia adelante toda tasa de interes se expresara tan solamente como ( i ). Veamos algunos ejemplos : S = 1000 ( 1 + 0.05 )

12

= 1795.8563

El rendimiento efectivo anual será :

 i =

 –  

 

=

 i  0.7958563 que también se obtiene de la siguiente manera :

J 

n

1 + i = ( 1 +

)

1 + i = ( 1 +

 ) 

n

1 + i = ( 1 + i  )

 

12

1 + i = ( 1 +0.05 )

 

12

 

1 + i = 1.7958563

 i = 0.7958563

PROBLEMAS RESUELTOS 1.  Encuentre el interés interés efectivo anual para una tasa de 60% anual capitalizable capitalizable mensualmente, si se cuenta con los siguientes siguientes datos:

 i =? ( efectivo ) n = 12 (doce meses en un año)

 

 i = 60% (nominal (J)) Buscando la periódica:

 i = 0.60 12

 i = 0.05 Aplicando la formula general: 4

( 1 + i  )= ( 1 + i  )   12

(1 + i ))= = (1 + 0.05) 12

 i = (1 .05 )

-1 

 i = 0.7958563

2.  Considerando periodos de capitalización trimestral, con una tasa de 120% anual determina el interés efectivo anual.

n

( 1 + i  )= ( 1 + i  )   4

( 1 + i  )= ( 1 + 1.20  ) 4

( 1 + i  )= ( 1 + 0.3  ) ( 1 + i  )= ( 1.3  )

4

4

 

( 1 + i  )= 2.8561

= 2.8561 - 1   i  = 1.8561  i  = 185.61 %  i 

 

3.  Teniendo en cuenta los datos del problema problema N° 2 construya construya un un abanico de tasas efectivas si los periodos de capitalización son semestrales, trimestrales, mensuales, diarias, etc. Dato general

Tasa anual 120%

PERIODICA

Nominal

DIARIA

120 %

EFECTIVA ( % )

120 = 60% 2

156

120 = 30% 4

185.61

120 = 10% 12

156

120 = 0.33% 360

231.3498

120 = 0.01% 8940

231.98

120 = 0.0002313 518400

232.04310

120 = 0.000003858 31104000

232.11002

4.  Si la tasa de interés efectivo que paga un banco al año es de 151.8179117 % y capitaliza mensualmente. Encuentre Encuentre la tasa de interés nominal y periódico.

 i = 151.8179117 n = 12

 i = ? ( nominal ) entonces : n

( 1 + i ) = ( 1 + i ’ )   1 + 1.518179117

=

12

( 1 + i ’ )  

 

 

2. 518179117

=

( 1 + i ) 

1.08 i   ( 1 + i )

1.08 – 1 =  i  

 i = 0.08

 i = 8 %

 i nominal nominal  =  i  periodico x ( n ) periodico  i = 8 ( 12 )  i = 96 % ( nominal ) 5.  Si la tasa de interés efectiva anual es de 213.8428377 % la periódica es de 10% , encuentre el número de periodos y/o el periodo de capitalización

 i = 213.8428377 (efectiva )  i ’ = 10 % ( periódica ) n=? n

( 1 + i ) = ( 1 + i ’ )   n

( 1 + 2.138428377 ) = ( 1 +0.1 )   n

3.138428377 = ( 1 .1 )   Log ( 3.138428377 ) = nLog ( 1.1.) n = Log ( 3.138428377 ) nLog ( 1.1.) n=

0.4967122219 0.04139268516

n = 12

número de periodos

* Capitalización Mensual

EL CIRCUITO MATEMÁTICO FIANANCIERO

 

El circuito matemático matemático se construye a travez de la extecion extecion de la primera función función o relación financiera S

= P ( 1 + i )

n

.

Como generalmente las deudas se pagan en cuotas fijas y vencidas se presenta el siguiente diagrama :

0

R

R

1

2

R

R

R

R

R

R n

Sobre la base de flujos vencidos se derivan seis formulas claves que interrelacionadas se denomina Circuito Financiero y que permiten dominar la matemática financiera, proporcionándonos un instrumental para analizar créditos, prestamos, inversiones en boba, proyectos, amortizaciones, depreciaciones, valuaciones de bonos, arrendamientos financieros, etc. LAS FUNCIONES FINANCIERAS Las combinaciones de dinero entre stock y flujo determinan las seis funciones financieras en vista que “ El dinero se puede transformar de seis maneras financieramente

equivalentes ” .  P = stock inicial S = stock final R = flujo Nios dan las siguientes combinaciones :

1.- P S

4.- S R

2.- S P

5.- R P

3.- R S

6.- P R

ITEM

FUNCION FINANCIERA

SIGLA

FORMULA

USO

 

1

Factor Simple Capitalizacion

de F.S.C.

2

Factor

simple

4

5

Factor capitalización serie

F.S.Δ 

de de la F.C.S.

Factor de Deposito al Fondo de amortización

FDF Δ 

Factor de recueracion de capital

Factor actualización serie

 ____1 ____ n ( 1 + i  )  

( 1 + i  )

P = S (FSΔ )  

n

S = S (FCS )

 i  

 ____ i  ____

F.R.C.

6

S = P ( FSC )

de

actualizcion

3

n

( 1 + i  )  

de de la F.Δ.S 

( 1 + i  )

n

 i  ( 1 +  i  ) ( 1 + i  )

n

( 1 + i  )

R = S (FDF Δ )  

- 1 

n

 

- 1 

R = P (FRC )

n

 –  – 1

 i ( 1 + i )

n

 

P = R ( F.Δ.S )  

La matemática financiera esta gobernada por estas 06 formulas que permiten al analista económico financiero maneja cualquier operación financiera o evaluar diversas alternativas de inversión. Cada formula tiene una función especifica por lo que se recomienda que ante ante un problema o alternativa visualice y analice el proceso proceso que lleve a cabo la fórmula y observar si se trata del proceso requerido. detallando : El F.S.C.

“ Sirve para transformar un stock inicial en stock final de dinero  

El F.S.Δ.

“ Sirve para transformar un stock Final en stock inicial de dinero dinero

 

El F.C.S.

“ Se utiliza para transformar un flujo en stock Final de dinero 

FDF Δ

“ Se utiliza para transformar un stock Final en un flujo de dinero  

F.R.C.

“ Sirve para convertir convertir un stock inicial en flujo de dinero

F.Δ.S.

“ Sirve para convertir un flujo en un stock inicial de dinero 

Observe y deduzca que solo son son transformaciones transformaciones entre stock stock y flujo. Para cálculos matemáticos financieros financieros con interés capitalizable capitalizable solo es necesario conocer y aprender aprender las 06 formulas claves y su funcionamiento funcionamiento a través del modelo matemático financiero. financiero. MODELO MATEMATICO FIANCIERO Sentido retrospectivo (Actualización ) 

R = S (FDFΔ) 

S S = S (FCS ) 

P = S (FSΔ )  R P = S (FSΔ ) 

R

R

R

R

R S = P ( FSC )  

n

0

P R = P (FRC )

Sentido proyectivo (Capitalización )  P = Stock inicial S = Stock final R = Flujo Constante n = Periodos

 i = Tasa de interés por periodo

 

USO DE LAS FUNCIONES FINANCIERAS USO DEL FACTOR SIMPLE DE CAPITALIZACION : El Factor sinole de capitalización ( F.S.C. ) Sirve para transformar un stock inicial ( P ) en un stock final ( S ).

S  i = ?

P

n

Se sigue el siguiente procedimiento : P = Stock inicial conocido

 i = Tasa de interés determinado n = Periodos S = Stock final por determinar Entonces : S = P ( FSC ) n

S = P ( 1 + i  )   Ejemplos : 1.- En cuanto se convertira S/. 500 en un año a una tasa de 60% a nivel capitalizable mensualmente. P = S/. 500  n = 12 ( 12 meses en un horizonte horizonte de 1 año )

 i = 5% ( interés por periodo ) S=? Emtonces :

 

S = P ( FSC )n i   S = P ( FSC

0.05 )12  

Expresión formulistica literal

n

S = P ( 1 + i  )   S = 500 ( 1+ 0.05 ) 12 S = 500 ( 1.05 ) 12  S = 500 ( 1.795856326 ) S = 897.03 2.- Si una financiera capitaliza trimestralmente y se deja un deposito de S/. 2,000.00 por el lapso de 02 años a una tasa de interés anual anual del 120%. Calcule el monto al finalizar dicho periodo. P = S/. 2,000 

 i = 30% ( 120 / 4 ) n = 8 (Trimestres en 02 años ) S=? Entonces 

S = P ( FSC )n i   S = P ( FSC

0.30 )8  

S = P ( 1 + i  )n  S = 2000 ( 1+ 0.30 )

8

8

S = 2000 ( 1.30 )   S = 2000 ( 8.15730721 ) S = 16,314.60

 

3.- Si la tasa de Interés efectiva anual es de 79.5856326% y la capitalización es mensual, encuentre el monto de un deposito de S/. 2,500.00 para el lapso de 1 año. P = S/. 2,500 

 i efec efec = 30% ( 120 / 4 ) n = 12 S=? Entonces : Tenemos interés efectivo, debemos convertirlo a periodo. n

( 1 + 0.795856326 ) = ( 1 + i  )   1.795856326 = ( 1 + i  )12 

 √√  

12

= 1 + i 

1.05 = 1 + i   i =

Entonces :

S = P ( FSC )n i   0.05

S = P ( FSC )12

 

n

S = P ( 1 + i  )   S = 2500 ( 1+ 0.05 ) 8 S = 2500 ( 1.05 ) 12  S = 2500 ( 1.795856326 ) S = 4,489.64

5 % 

 

2.-USO DEL FACTOR SIMPLE DE ACTUALIZACION ( F.S. Δ. )   Este factor se constituye en el inverso del F.S.C. y se utiliza para Transformar un stock final ( S ) en un stock inicial de dinero ( P ).

ACTUALIZACION

S

 i = ?

P

n

Cabe resaltar que que se trata de reducir ( quitar ) una suma futura ( S ) a su valor valor inicial o presente

( P ) , es decir que los cálculos se realizan realizan en sentido “ retros retrospectivo pectivo “ en estos

casos y por lo generalmente a la tasa de interés ( que capitaliza en sentido proyectivo ), se le denomina “ tipo o tasa de descuento “,  

P = S ( FS Δ )  i   n

P=S

*(   )+

 

Ejemplos : 1.- Cual es el valor presente de una cantidad furura equivalente a S/. 500,000 a un interés anual de 96% , capitalizable mensualmente. S = 500,000  i = 96% P=? n = 12 S = 500,000  i = 0.08 P=?

P = S(F.S.

P=S



)

   (   ) * +

n =12

 

  P=S

*()+ 

 

P = 500,000

   

P = 500,000 (0.397113759) P = 198,556.8793

2.- ¿Cuánto se debe depositar hoy día en mi banco que capitaliza trimestralmente una tasa de interés anual de 96%, si se desea tener dentro de un año S/.100,000. S = 500,000  i = 24% P=?

S = 100,000 P=?  i = 96%

TRIM.

n =4 trimestres

  

= 24%

n = 04 (trimestres en un año)

P = S(F.S. P=S



)

   *(*()+)+   +  *

P = 100,000

P = 100,000

P = 42,297.35978

 

3.- Se provee que dentro de un año un automóvil estará valorizado en $16,000 cuotas. Se debe depositar hoy día en una financiera que capitaliza mensualmente a la nueva tasa anual para moneda extranjera de 8%. S = 16,000  i = 0.66666666 P=?

n =12 meses

S = 16,000 P=? n = 12  i = 0.006666

P=S

*(̂)+

 

   + **()  +   []

P = 16,000

P = 16,000

P =16,000

 

P = $14,773.7834

S = R (F .C

   

)

*()+  (  ) *  +

S=R

 

S = 100

 

*  + 

S = 100

S = 100(44.50199888) S = 4450.2

 

  4.- Se tiene un sueldo de S/. 500 mensual si se deposita todos los meses el 60% de dicho sueldo en un banco que capitaliza mensualmente mensualmente al 2%, cuanto se abra al término de un año. S=? R = 12 0.60(500) = 300 n=  i = 0.02



S = R (F.C. S = 300

)

 (  ) *  + 

S = 300(13.41208975) S = 4,023.63

USO DEL CUERPO DE DEPOSITO AL FONDO DE AMORTIZACION (F.D.F.∆) Este factor sirve para transformar un stock final (S) de flujos constantes de dinero (R). Como su le indica es un fondo autorizante que busca reunir una cantidad “X” en el factor.  

R=?

R=  i 

R = S (F. D. F. R=S



)

* ( )  +

EJEMPLO

 

S=

n 

 

1.- Se desea capitalizar S/.20,000 dentro de 4 años. ¿Cuánto se tendría que depositar mensualmente en un banco que baja al 60%? Anual capitalizado mensualmente S = 20,000 R =?

 i = 0.05

n = 48(meses en 4 años) R=?

R= ?

S = 20,000

n = 24 

 i  = 0.05 

R = S (F. D. F.



)

() 

R = 20,000

R = 20,000 (0.00531843058) R = 106.37 2.- Se calcula de acuerdo acuerdo a las tendencias inflacionarias inflacionarias que un automóvil automóvil dentro de 02 años estará valorizado en S/. 50,000. ¿Cuánto se debe depositar mensualmente en un banco que capitaliza mensualmente al 8%? R=?

R= ?  i  = 0.08 

R = S (F. D. F.

)

 

()  

R = 50,000

R = 50,000 (0.01497796161) R = 748.9

S = 50,000

n = 24 

 

USO DEL FACTOR DE RECUPERACION DE CAPITAL (F.R.C) Este factor es usado para transformar stock inicial (P) en flujos constantes de dinero(R); fundamentalmente es utilizado para determinar repagos de préstamos, en consecuencia se convierten en un flujo de pagos de armadas constantes. R=? R R R

P=

n

R = P(F R=P

R=?

 

)

* ( ) + ( ) 

 

EJEMPLO Cuál es la cuota trimestral uniforme a cobrar por un préstamo de S/.600,000 a una empresa constructora a la tasa de 60% anual, convertible trimestralmente y a traves de 3 años.  R=

R

R

R

 

 i = 0.15

P = 600,000

n = 12

P = 600,000 R =? n = 12  i = 0.15

R = P(F



R = 600,000

R = 600,000

)

    (    ) * ( ) + *  +

R = 600,000 ( 0.184480776 ) R = 110,688.5 

 

 

 

  2.- Un vehiculo valorizado en $ 12,000 puede ser adquirido a travez de 06 cuotas mensuales a un interés anual de 12% . a) encuentre el valor de las cuotas mensuales. b) prepare un cuadro de servicio de la deuda.

R

R

R

R

R

R =?

 

 i = 0.15

P = 12,000 P = 12,000 R =?  i = 0.01

n=6 DONDE :

R = P(F



R = 12,000

R = 12,000

)

     (    (   )    ) * + *  +

R = 12,000 ( 0.1725483657 ) R = 2,070.58

 

n=6

 

  b) 

n

SALDO

INTERES

AMORTIZACION

CUOTA

01

12,000

120

1950.58

2070.58

02

10,049.42

100.49

1970.09

2070.58 2 070.58

03

8,079.33

80.79

1989.79

2070.58

04

6,089.59

60.90

2009.68

2070.58

05

4,079.86

40.80

2029.78

2070.58

06

2,050.08

20,50

2050.08

2070.58

423,48

12,000.00

12,423.48

TOTAL

6. 6.   FACTORES DE ACTUALIZACION DE LA SERIE ( F.A.S.) Este factor permite transformar flujos constantes constantes ( R ) en stock inicial d de e dinero ( P ) . Es un factor muy usado para calcular la capacidad de endeudamien endeudamiento to de una persona o empresa. En el área de proyectos es usada para determinar el valor actual y se utiliza siempre y cuando ( R ) constante y a intervalos regulares regulares R

R

R

R

R

R

R

R

 i  

P=?

n

 

 

P = R ( F.Δ.S n i )  n

P = R (( 1 + i  )   – –1)  i 

 i 

( 1+ )

n

 

Ejemplo : 1.- Se tiene un flujo de ingresos trimestrales de a S/. 35,000 durante 03 años. Cual es el equivalente hoy, a la tasa tasa de 60% anual convertible trimestralmente. trimestralmente.

R = 35,000

………

R

R

R

R

 i = 0.15

P=?

n = 12

P=? R = 35,000

 i = 0.15 n = 12 Entonces

P = R ( F.Δ.S120.15 ) 12

P = 35000 (( 1 + 0.15  )   – –1) 12 0.15 ( 1 + 0.15 )   P = 35000 (4.350250105 ) 0.9025375158

P = 35000 ( 5.420617999 ) P = 179,696.57

 

2.- Una persona que gana anualmente S/. 500 dispone del 50 % de un sueldo para amortizar una deuda que pretende contraer, cual cual debe ser el valor de la deuda, si la tasa tasa de interés a cobrarse mensualmente es del 10% durante o6 meses. 250

250

250

250

250

250

 i = 0.1

P=?

n=6

P = 250 R=?

 i = 0.1 n=6 Entonces :

P = R ( F.Δ.

 )  

 (     )   *  (    )+   + *

P = 250 P = 250

 

P = 250 ( 4.3552607 ) P = 1,088.82

INTERACCION DE FACTORES FLUJO DIFERIDO : Existe movimientos de dinero particularmente en créditos y/o prestamos donde se concede periodos de gracia; significa significa que el repago repago de los mismos mismos se difiere cierto periodo de tiempo, transcurrido transcurrido el cual se inicia la recuperación recuperación del capital. Con los 06 factores financieros ya estudiados es sencillo determinar estos movimientos :

 

  Ejemplo :

1

P

2

3

4

PERIODO DE GRACIA

R

R

R

R

5

6

7

8

R

RECUPERACION DEL CAPITAL

1.- Establezca las cuotas constantes que debe cancelarse mensualmente por un préstamo escolar de S/. 2,000 a un interés del 60% anual con un periodo de gracia de 3 meses y un horizonte temporal de 08 mese ( 05 cuotas ) P = 2,000

 i = 0.05 3

n=8

 i = 0.05

PERIODO DE GRACIA

R=?

R

R

R

R

R

4

5

6

7

8

PERIODO DE REPAGO

E P = 2000

1

2

3

4

5

6

7

8

F.S.C. F.R.C.

los 03 primeros meses meses no se am amortiza ortiza la deuda a partir del mes N° 4 se cancela cancela mediante 05 cuotas constantes.

 

  POR PARTES : I PARTE

II PARTE

( Capitalizamos 03 mese )

( Recuperamos en 05 cuotas ) R

01

02

P = 2000

03

P’

R

04

05

R 06

R

R

07

08

P’ 

(S)

P’ = P

(    ) 

R = P’ 

3

(    ) *(())+  *  +

P’ =

2000

( 1+ 0.05 )  

R =

2315.25 

P’ =

2000

( 1.157625 ) 

R =

2315.25 

P’ =

2,315.25 

R =

534.753 

Un solo Planteo :

 

R=P

( (   )()(  ) )

R = 2000

R = 2000 ( 1.157625 )

()   * + 

R = 2315.250 ( 0.2309747985 ) R = 534.753

 

 

 

2.- Se trata de un horizonte horizonte temporal de 18 años y un flujo anual de $ 5000 desde desde fines del 7mo año , hasta finalizar el 18 av0 año. Calcule cual es el valor presente a la tasa de 5% anula

6

R = 5000

R  R R R 

7

15 16 17 18

8 9

P=? Se trata de transformar un flujo constante diferido de 06 años, en un stock inicial



  se transforma el flujo en un stockt transitorio hasta el   mencionado stock transitorio se inicio del año 07 a continuación con el equivalente con el



transforma en stock inicial definitivo a inicio del horizonte. R = $ 5,000 P=?

 i = 0.05 n = 18

P=R

(    ) (    )

P = 5000

 

  (   ) + *  * () ()+ 

P= 5000(

 ) (   ) 

P= 5000 ( 8.863251636 ) ( 0.7462153964 ) P= 5000 ( 6.613894833 ) P= 33,069.5 3.- Con losdatos del problema 2 encuentre el stock final equivalente : a)  Se trata de 12 cuotas que se capitaliza hasta el 18 avo año,partiendo del 7 mo año.

 

 

S= R

(    ) (* )+   

 

S=

5000 

S=

5000 ( 15.91712652 )

S=

79,585.6

b)  El stock inicial encontrado lo capitalizamos a los 18 años.

S= P

(    )

  18

S=

33,069.5 ( 1 + 0.05 )

S=

33,069.5 ( 2.406619234 )

S=

79,585.6

FLUJOS ANTICIPADOS Como se anticipo en el I capitulo capitulo el calculo financiero racional ( El circuito matemático matemático financiero ) se deriva sobre la base de flujos vencidos, sin embargo es uasual principalmente el sistema bancario el encontrarse con flujos anticipados; para tales casos simplemente se busca busca equivalencia a travez de las formulas formulas financieras ya conocidas. conocidas. Ejemplos : 1.- Se tiene un flujo anticipado trimestral de S/. 200 a travez de 04 trimestres. Calcule el stock final a la tasa del 60% anual capitalizable capitalizable trimestralmente . S=? R = 200 n= 4

 i = 0.15

 

  sobre calculo racional a flujos vencidos el horizonte sera :

R

R

1

2

R

S=? R

3

4

Sobre flujos anticipados anticipados sencillamente se transforma transforma a flujos vencidos vencidos mediante la agregación del interés del periodo – en este caso del trimestre. R ( flujo vencido ) 0

1

R ( flujo anticipado ) 0

1

¿Cómo se transforma el anticioado en vencido ? R 0

R ( 1+ i ) 1

R ( 1+ i ) 0

1

( Flujo anticipado Convertido en flujio vencido )

En el problema : S=? R 0

R

R

R

1

2

3

4

R ( 1+ i )

R ( 1+ i )

S=? R ( 1+ i )

2

3

4

( anticipado )

Convertido o equivalente :

R ( 1+ i ) 0 Entonces :

1

 

S = R ( 1+ i ) ( F.C.

)  )

 

 (     ) S = 200 ( 1+ 0.15 )*  +     S = 200 ( 1.15 )    * S = 200 ( 1.15 )( 4.993375 ) +  

 

 

S = 1,148.48 2.- Se ha contraido una deuda de $ 20,000.00 para ser cancelada en 04 cuotas trimestrales anticipadas,a un interés anual de 80% encuentre el valor de cada cuota. R=? P = $ 20,000

 i = 0.20 n= 4 R

R

R

R ( anticipado )

0 P = 20,000

1

2  i = 0.20

3

4

R ( 1+ i )

R ( 1+ i )

Busquemos su equivalencia :

R ( 1+ i ) 0 P = 20,000 Entonces :

R ( 1+ i ) =P

(    )

 

   (  )   ) =20000  *(  )+

R ( 1+ i 

1

R ( 1+ i ) 2  i = 0.20

3

4

( vencido o equivalente )

 

*  +

R ( 1+ i ) =20000 

 

[] ]

R ( 1+ i ) =20000 

 

R ( 1+ i ) =( 7725,78 )

    

R =

R = 6,438.15 

OTRO METODO: El flujo vencido equivalente R ( 1+  i  ) actualizado debe ser igual al préstamo o stock inicial P = 20,000. Entonces :

P = R ( 1+ i ) P = R ( 1+ i )

(    )  (  ) *(  )+  + *

 

 

20000 = R ( 1+ i )

 

20000 = R ( 1.2 ) ( 2.588734568 ) 20000 = R (3.106481482 ) R = 6,438.15 Otra forma : ( Razone Razone )

R = ( P - R )

(    ) *( ())+ * + 

R = ( 20000 20000 - R ) 

 

 

R = ( 20000 20000 - R ) 

R = ( 20000 20000 - R )( 0.4747252747 )

 

R = 9494.5 - 0.4747252747 R 1.4747252747R = 9494.5 R=

   

R = 6,438.15  Su equivalente ( siga razonando )

P – R = R

(    )  (  ) *(  )+ *  +  

20000 – R = R 

 

20000 – R = R 

 



20000 – R = R ( 2.1064481482 ) 20000 = 3.1064481482 3.1064481482 R R=

   

R = 6,438.15

SISTEMA DE CUOTAS CRECIENTES Las cuotas no son uniformes durante todo el horizonte temporal, inicialmente supongamos que crecen aritméticamente; este sistema se utiliza cuando el duedor no tiene liquidez sifciente y se espera que en los siguientes periodos los ingresos liquidos crecerán. Ejemplo : 1.- Se trata de un préstamo bajo la forma de hipoteca social y sistema de cuotas crecientes; el préstamo asciende a $ 10,000.00 que ceran cancelados en 12 meses, a cuotas crecientes trimestrales. ( uniforme dentro del trimestre); que inicialmente cancelara el 40% de su ingreso familiar el mismo que asciende a $ 750 y que la tasa anual es del 60% convertible mensualmente. Prepare un cronograma de pago y encuentre el valor de las 12 cuotas mensuales.

 

  c

c

c

c+g

1 P = 10,000

2

3

4

c+g c+g  c+2g 5

6  i = 0.05

7

c+2g c+2g c+3g c+3g

c+3g

8

12

9

10

11

Debe entenderse que el flujo de pagos pagos actualizados debe ser equivalentes equivalentes al valor del préstamo; sabiendo que que existe flujo uniforme dentro de ccada ada trimestre apliquemos el F. .S y F.S. . convenientemente :





g = gradiente ( valor que crece trimestralmente ) c = cuota inicial 40% de 750 c = 300 300

300

1 P = 10,000

2

P=C

300

300+g

300+g

4

5

3

300+g

6  i = 0.05

300+2g 300+2g 300+2g 300+3g 300+3g 300+3g

7

8

9

10

11

12

 (    )(   (    )(    ) (     )    ) (  ))(    )   )  (    )  (    ) ]    ) [(  (  )) (  +g

+2g

3g

10,000 = 300

10,000 = 300

+

 

+g

 

*( ( ))+ *( ( ))+ *()  ()  ()+  + g

 

 

[] + g [] []  10,000 = 2658.976514 + g []   g = 7341.023486   g= 

10,000 = 300

g = 628.351

 

CRONOGRAMA DE PAGOS :

SALDO

INTERES

AMORTIZACION

01

12,000

120

1950.58

02

10,049.42

100.49

1970.09

03

8,079.33

80.79

1989.79

04

6,089.59

60.90

2009.68

05

4,079.86

40.80

2029.78

06

2,050.08

20,50

2050.08

423,48

12,000.00

n

TOTAL

CUOTA 2070.58 2070.58 2070.58 2070.58 2070.58 2070.58

12,423.48