Ingeniería Económica

Ingeniería Económica Profesor: Haga clic para modificar el estilo de Bendaña Castillo Alfonso Rene

subtítulo del patrón

Idania Aquino Cruz Janet Zavala Rodríguez Andrés de Jesús Hernández Martínez

8/25/12

Temario Primer parcial Progresión aritmética (ejercicios grupo 32) Progresión geométrica (ejercicios grupo 33) Código de programa que resuelve ecuaciones de segundo grado Interés simple

Segundo parcial Interés compuesto

Tercer parcial 8/25/12

Progresión aritmética (ejercicios del grupo 32) Instrucción: El siguiente cuadro muestra la forma en que esta estructurado cada uno de los ejercicios: el número 1 contiene el problema a resolver y las formulas que se utilizan , el 2 una breve descripción de cómo se resuelve, el 3 desarrollo del problema y el número 4 muestra el resultado de dicho problema. Ver cuadro 1

1.- Problema y 3.- Desarrollo formulas del problema utilizadas Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del patrón 2.- Descripción

4.Resultado

Cuadro 1 Prototipo de estructurado de cada uno de los ejercicios

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En el siguiente ejercicio, hallar an y sn en la progresión aritmética dada para el número indicado de términos.

an= 2+ (11-1).4 an= 2 + (10).4 an= 2 + 40 an= 42

1) 2, 6, 10, … hasta 11 términos. Formula: 1.- an=a₁ + (n-1).d 2.- sn=n/2 (a₁ + an)

Para obtener an se utiliza la formula 1, por que como ya conocemos los demás datos solo sustituimos los que ya tenemos y hallamos an. Para sn formula 2, por que como ya se hallo an, sustituimos los valores.

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sn= 11/2 (2 + 42) sn= 11/2 (44) sn= 484/2 sn= 242

a₁= 2 n= 11 d= 4 an= 42 sn= 242

En el siguiente ejercicio, hallar an y sn en la progresión aritmética dada por el número indicado de términos. 5) -8, -13/2, -5, … hasta 16 términos. Formula: 1.- an=a₁ + (n-1).d 2.- sn=n/2 (a₁ + an)

Para obtener an se utiliza la formula 1, por que como ya conocemos los demás datos solo sustituimos los que ya tenemos y hallamos an. Para sn formula 2, por que como ya se hallo an, sustituimos los valores.

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an= -8 + (16-1). (3/2) an= -8 + (15). 3/2 an= -8 +45/2 an= -16+45 2 an=29/2 sn= 16/2 (-8 + 29/2) sn= 16/2 (-16+29) 2 sn= 14/2(13/2) sn= 208/4 sn= 52

a₁= -8 n= 16 d= 3/2 an= 29/2 sn= 52

En el siguiente ejercicio, se dan tres de los cinco elementos de una progresión aritmética. Calcular los otros dos elementos. 9) a₁=11, d=-2, sn=-28. Formulas: 1.- sn= n/2 [2a₁ + (n-1).d] 2.- an= a₁ + (n-1).d Para este problema nos piden hallar n y an, para ello se hace utilidad de dos formulas con la primera hallamos el valor de n, mediante la factorización de términos, un ves hallado el valor de n, podemos encontrar an mediante la formula 2.

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2a₁n+dn₂-dn-2sn=0 dn₂+2a₁n-dn-2sn=0 =-2n₂+2(11)n-(-2)n-2(-28) = -2n₂+22n+2n+56 =-2n₂+24n+56 -2n₂+24n+56=0 n=x= -b±√b²-4ac 2a x= -24±√(24)²-4(-2)(56) 2(-2) x= -24±√576+448 -4 x= -24±√1024 -4 x= -24±32 -4

x= -24+32 -4 X= -24-32 -4 n₁= -2 n₂=+14 -56=22n-2n²+2n -56=24n-2n² 2n²-24n-56=0 n²-12n-28=0 (n-24) (n+2)=0 n₁=-2 n₂=+14 an=11+ (14-1) .-2 an= 11 + (13). -2 an= 11+ (-23) an= 11-26 an= -15

a₁= 11 n= 14 d= -2 an= -15 sn= -28

En el siguiente ejercicio, se dan tres de los cinco elementos de una progresión aritmética. Calcular los otros dos elementos. 13) a₁=45, d=-3, sn=357. Formulas: 1.- sn= n/2 [2a₁ + (n-1).d] 2.- an= a₁ + (n-1).d

Para este problema nos piden hallar n y an, para ello se hace utilidad de la formula 1 para hallar el valor de n, mediante la factorización de términos, un ves hallado el valor, podemos encontrar an mediante la formula 2,con solo sustituir los valores.

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an₂+2a₁n+-dn-2sn=0 =-3n₂+2(45)n-(-3)n-2(357) -3n₂+90n+3n-714=0 -3n₂+93n-714=0 n=x=-b±√b²-4ac 2a x=-93±√93²-4(-3)(-714) 2(3) an= 45 + (17-1)-3 an= 45 + (16)-3 an=45 + (48) an= 45-48 an=-3

x= -93 ±√8641-8568 -6 x= -93±√81 -6 x= -93±9 -6 x= -93+9 -6 x=-93-9 -6 n₁=14 n₂= 17

a₁= 45 d= -3 sn= 357 an= -3 n₁= n₂=

17) Obtener la media aritmética de 7 y -11.

Formula: M= a+b 2

A= 7+(-11) = -4 = -2 2 2

Se tiene que a=7 y b=-11, entonces debemos encontrar la media aritmética (M), para obtenerla, solo hacemos la suma de a+b que en este caso son los extremos y el resultado de esta entre 2 para hallarla. a=7

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b=-11

M=-2

23) El tercer término de una progresión aritmética es -3 y el octavo término es 2. hallar la diferencia y el sexto término. Formulas: 1.- an= a₁ + (n-1).d

Mediante la utilización de la formula 1 podemos hallar primero cual es el valor de la diferencia, para que así encontremos el 6 término en la progresión aritmética. Lo cual nos queda: -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2 Sexto termino, mediante la diferencia de 1.

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2=-3 + (6-1) d 2= -3 + 6d-d 2= -3 + 5d 2+3=5d 5d=5 d= 5 5 d=1 a₆ = a₄ = a₃ + (n-1)d = -3 + (4-1)(1) = -3 + 3 a₄=a₆=0

a₃= -3 a₈= 2 d= 1 a₆= 0

25) El quinto término de una progresión aritmética es 2 y el noveno término es -10. Obtener el séptimo término y la suma de los primeros 12 términos. Formulas: 1.- an=a₁ +(n-1)d 2.- sn= n/2 (a₁+an)

-10=2+(5-1)d -10=2+(4)d -10=2+4d 2+4d+10=0 4d=-12 d= -12 4 d= -3

a₇=a₅ + (n-1)d a₃= a₇=2 + (3-1).-3 =2+(2).-3 a₃= a₇=2-6 a₇=-4

sn=12/2 (14+(-19)) sn= 12/2(-5) sn= -60/2 = -30 sn=30

Para la obtención primero hallamos la diferencia con la formula 1, y hacemos la sustitución de los datos, para después con la formula 2 hallar la suma de los 12 términos, mediante la sustitución de términos. 14,11,8, 5, 2, -1, -4, -7, -10, -13, -16, -19

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a₅=2 a₉=-10 a₇= -4 sn= -30

a₈=a₈+ (n-1)d a₈=2+ (8-1)-3 =2+(7)-3 a₈=2-21 a₈=-19 = an= a₁₂ -19=a₁+(12-1).-3 -19=a₁-33 a₁=-33-19=0

43) Un cuerpo en caída libre recorre aproximadamente 4.9 metros en el primer segundo, y en cada segundo subsecuente recorre 9.8 metros más que en el segundo anterior. Se deja caer una piedra de lo alto de una torre y se observa que tarda 4 segundos en llegar al suelo; hallar la altura de la torre y la distancia recorrida por la piedra en el último segundo. Formulas: 1.- sn=n/2 (a₁+an)

Se tiene que sn equivale a la altura (h), y an a la distancia (d). Entonces solo se sustituyen los valores dados en la formula para poder hallar, an y sn. 1 segundo = 4.9 metros 2 segundos = 4.9 + 9.8= 14.7 1 segundo = 4.9 metros 2 segundos = 1 seg + 9.8 3 segundos = 2 seg + 9.8 ó a₁=a₁ an=segundos a₃= a₁ +a₂

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a ₁ Tarda 4 seg. encaer

a₄=an=

a₁= 4.9 d= 9-8 n= 4 an=a₁ + (n-1)d an=4.9 + (4-1)9.8 an= 4.9 + (3)9.8 an= 4.9 + 29.4 d=an= 34.3 (distancia recorrida en el ultimo segundo)

h=sn= 4/2 (4.9+34.3) h=sn= 2 (39.4) h=sn= 78.4 (altura dela torre)

d= 34.3 h= 78.4

donde d=9.8 a₂=a₁+d

Progresión geométrica (ejercicios del grupo 33) Instrucción: El siguiente cuadro muestra la forma en que esta estructurado cada uno de los ejercicios: el número 1 contiene el problema a resolver y las formulas utilizadas, el 2 una breve descripción de cómo se resuelve, el 3 desarrollo del problema y el número 4 muestra el resultado de dicho problema. Ver cuadro 2

1.- Problema y 3.- Desarrollo formulas del problema utilizadas

2.- Descripción

4.Resultado

Cuadro 2 Prototipo de estructurado de cada uno de los ejercicios

8/25/12

En el siguiente ejercicio, hallar an y sn en la progresión geométrica dada para el número indicado de términos. 1) 2, 4, 8, … hasta 10 términos. Formulas: 1.- an=a₁.rⁿ‾¹ 2.- r=an an-1 3.- sn=a₁-r.an 1-r

Para obtener an se utiliza la formula 1, por que para esto ya se hayo la razón y como se conocen los demás datos solo sustituimos los que ya tenemos y hallamos an. Para sn formula 3, por que como ya se hallo an, sustituimos los valores.

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r= a₂ / a₁ = 4⁄2 = 2 an=2.(2)¹⁰‾¹ an=2.2⁹=2 (512) an= 1024 sn= 2-2.1024 =2-2048 1-2 -1 sn= -2046 -1 sn= 2046

a₁= 2 n= 10 r= 2 an= 1024 sn= 2046

En el siguiente ejercicio, hallar an y sn en la progresión geométrica dada para el número indicado de términos. 5) 48, 24, 16, … hasta 6 términos. Formulas: 1.- r=an an-1 2.- an=a₁.rⁿ‾¹ 3.- sn=a₁-r.an 1-r

Para obtener an se utiliza la formula 2, por que para esto ya se hayo la razón y como se conocen los demás datos solo sustituimos los que ya tenemos y hallamos an. Para sn formula 3, por que como ya se hallo an, sustituimos los valores.

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r= a₂ / a₂-₁ = 24/48 = ½ an=48(0.5)⁶‾¹ an=48.(0.5)° = 48.1/32 an= 3/2 sn= 48-(0.5).(3/2) 1-0.5 sn= 48-3/4 = 189/4 ½ ½ sn= 94 ½

a₁= 48 n= 6 r= ½= 0.3 an= 3⁄2 sn= 94 ½

En el siguiente ejercicio, se dan tres de los cinco elementos de una progresión geométrica. Calcular los otros dos elementos. 9) a₁=2, a₆=64, n=6. Formulas: 1.- an=a₁.rⁿ‾¹ r =an an-1 2.- sn=a₁-r.an 1-r

Para este problema nos piden hallar sn y r, para ello se hace utilidad de dos formulas con la primera hallamos el valor de la razón, y luego podemos encontrar an mediante sustitución en la formula 2.

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64=2.r⁶‾¹ = 2.r⁵= 64/2=r⁵ = 32=r⁵ r⁵ = 32 r=(32) ⅕ r= 2 sn= 2-2.64 1-2 sn= 2-128 = 126/1 -1 sn= 126

a₁= 2 n= 6 an= 64 r= 2 sn= 126

En el siguiente ejercicio, se dan tres de los cinco elementos de una progresión geométrica. Calcular los otros dos elementos. 11) r=2, s₇=635, n=7. Formulas: 1.- sn= a₁(1-rⁿ) 1-r 2.- an=a₁.rⁿ‾¹ Para este problema nos piden hallar sn y r, para ello se hace utilidad de dos formulas con la primera hallamos el valor de la razón, y luego podemos encontrar an mediante sustitución en la formula 2.

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635= a₁(12⁷) 1-2 635= a₁(1128) -1 -635= a₁ (127) an= 5-(2)⁷⁻¹ -635/-127=a₁ an= a₁=55-2⁶ a7= 320

a₁= 5 n= 7 r= 2 an= 320 s₇=635

16) Interpolar tres medios geométricos entre 2 y 8. a₁=2, an=8, n=5 Formulas: 1.- an=a₁.rⁿ‾¹

Para interpolar los 3 medios geométricos solo se necesita hallar la razón con la formula 1.

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8= 2. r⁵‾¹ 8/2=r ⁵‾¹ 4=r⁴ r=(4)1/4 r= 1.41

a₁= 2 a₂= 2 41 50 a₃= 3.98 a₄= 5.60 a₇= 7.9 = 8

19) El tercer termino de una progresión geométrica es 3, y el séptimo término es 3/16. Calcular la razón y el primer término.

Formula: 1.- an= a₁.rⁿ‾¹ Para hallar la razón se hace utilidad de la formula 1, mediante el despeje de a₁, y la sustitución en el despeje 2.

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3= a₁.r3‾¹ = 3= a₁.r² ₆(1) 3=a₁.r ⁷‾¹ = 3/16=a₁.r⁶ ₈(2) 1) Despejar a₁ a₁=3/r² 2) Sustituir en (2) 3/16=3/r²  3/16=3r⁴ Por tanto 3/16= r⁴  1/16=r⁴ r= (1/10)¼ r= ½ a₁=an/rⁿ‾¹  a₁=3 16 (½ )⁷₆¹ à) a₁ = 3/16/ à) 1/64 ₈ a₁=12

a₃= 3 a₇= 3/16 r= ½ a₁=12

29) Una bomba para extracción de aire expulsa en cada movimiento la décima parte del aire de un tanque. Calcular la fracción del volumen original de aire que queda en el tanque, al final de ocho movimientos. Formula: 1.- an= a₁.rⁿ‾¹

Para saber la fricción del volumen, al final de 8 movimientos, se utiliza la formula 1, en la cual se tiene que a₇=an.

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an=a ₈

a₁ Tengo: =10/10 =1

an= a₁.rⁿ‾¹ a₇=(9/10)¹(1/10)⁷ a₇= (9/10)⁸ 1/10 a₇=(9 * 1)⁸ 10 10 a₇(9*1)⁸ = (9/10)⁸ 10 a₈= (9/10)⁸

r=1/10 a₇=an= (9/10)⁸ (volumen de aire que guarda el tanque) n=8 a₁= 9/10 por que es descendiente (la progresión no aumenta disminuye)

PROGRAMA: CÓDIGO DEL PROGRAMA QUE RESUELVE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (EN C Ó C++)

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/*Programa que resuelve ecuaciones de 2do grado, mediante el uso de la fórmula general. *Creado por: Andrés de Jesús Hernández Martínez Idania Aquino Cruz Janet Zavala Rodríguez *Grupo: 7ITI1 *Fecha de creación: 20 mayo de 2012 *Fecha de la última modificación: 03 junio de 2012 */ //Declaracion de librerias #include #include #include #include //Declaración de funciones void solucionE(float a, float b, float c); int error(int tmp); int valida(char array[]); //Validación de error de entrada de datos int error(int tmp) { if(tmp>0) { system("cls"); printf("\nEntrada de datos incorrecta.(Presiona cualquier tecla para continuar)"); getch(); tmp=0; } else

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{ tmp=0; } return tmp; } //Validación de números flotantes y enteros (+,-) int validaFE(char array[]) { //Declaración de variables locales int i, val=0, cont=0,tam=0; while(array[tam]!='\0')//Calcula el tamaño del array tam++; if((array[0]!='.')&&(array[0]!=13)&&(array[tam]!='.')&&tam