Ingeniería Económica

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

UNIDAD II: ECUACIONES ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA 2.1

FLUJOS DE EFECTIVO.

Cualquier tipo de entidad, física o moral, siempre tiene movimiento de dinero. Una persona física cobra o percibe dinero (sueldo, pensión, comisión, etc.) y entrega a alguna otra entidad (tiendas, mercados, gobierno, etc.) parte de ese dinero para poder subsistir. Las personas morales (negocio formado por sociedad) perciben dinero por la venta de bienes o servicios producidos y se entrega dinero a los proveedores de insumos (mano de obra, materiales y servicios). Estos ingresos y pagos están dados en cierto intervalo de tiempo y se denomina Flujos de efectivo o flujos de caja.

2.1.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN FLUJO DE EFECTIVO Un flujo de efectivo puede ser positivo o negativo. a.-

FLUJOS POSITIVOS (+): Estos representan todas las entradas de dinero independientemente de donde provenga. 70

50 │ │ 30 │ 20 │ │ │ 15 (+) ─────┴─────────┴────────┴─────────┴───────┴─────── b.-

FLUJOS NEGATIVOS (-):  Estos representan todas las salidas o egresos de dinero independientemente del concepto que los origine.

─────┬─────────┬───────────┬───────────┬─────────── │ │ │ │ (-) 50 │ │ │ │ 60 │ 75 │ 100

En cualquier instante de tiempo, el flujo de efectivo podría representarse como:

Flujo de Efectivo Neto = Entradas - Desembolsos Un flujo de caja normalmente toma lugar en diferentes intervalos de tiempo dentro de un período de interés, un supuesto para simplificar es el de que todos los flujos de caja ocurren al final de cada periodo de interés. Esto se conoce como convención de fin de periodo. Un diagrama de flujo de caja es simplemente una representación gráfica de un flujo de caja en una escala de tiempo. El diagrama representa el planteamiento del problema y muestra que es lo dado y lo que debe encontrarse. 11

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIAS DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

Escala de tiempo típica para flujos de caja inicio

fin

inicio

fin  Años

├─────────┼─────────┼─────────┼─────────┼─────────┼─────── 0

1

2

│ │ └─────────┘

3

4

5

│ │ └─────────┘

Año 1

Año 3

Ejemplo 2.1: Supóngase que una persona depositó $15,000 en el banco el primero de enero de 1981 y puede retirar $19,500 el 1 de enero de 1985. La representación gráfica de este hecho desde el punto de vista de la persona que deposita es:

│$19,500 │ │ 0

1

2

3

4

años

├────────┼───────┼────────┼────────┼────────────── 1981

1982

1983

1984

1985

│ │ │ $15,000

En el momento en que la persona deposita o inicia el periodo se designa como el valor presente o simplemente P. El momento de retiro del dinero o fin del periodo se designa como valor futuro o F. No es usual representar el tiempo con los años calendarios si no simplemente como periodo de tiempo, por lo que al presente corresponde el periodo cero. Ejercicios: 1) El presidente de una compañía desea hacer 2 depósitos iguales, uno dentro de dos años y el segundo dentro de 4, de tal manera que se pueda hacer 5 retiros anuales de $100 que empezaran cuando se haga el segundo depósito. Además él quiere, retirar $500 más, un año después de que la serie de retiro termine. Dibuje un diagrama de flujo de caja. 2) Cuánto dinero se acumulará en 6 años si una persona deposita $500 hoy e incrementa este depósito en $50 anuales durante los próximos 6 años? Asuma que el interés es de 16% y dibuje el diagrama de flujo de efectivo. 3) Usted desea invertir dinero al 8% anual de tal manera que dentro de 6 años pueda retirar una suma total F. El consultor de inversiones y el banco han desarrollado los planes siguientes para usted: 1.- Depositar $351.8 ahora y $351.80 tres años después 2.- Depositar $136.32 anualmente, empezando el próximo año y terminando el año 6. Dibuje los diagramas de flujo de caja de cada plan si se desea calcular F.

12

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIAS DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

Escala de tiempo típica para flujos de caja inicio

fin

inicio

fin  Años

├─────────┼─────────┼─────────┼─────────┼─────────┼─────── 0

1

2

│ │ └─────────┘

3

4

5

│ │ └─────────┘

Año 1

Año 3

Ejemplo 2.1: Supóngase que una persona depositó $15,000 en el banco el primero de enero de 1981 y puede retirar $19,500 el 1 de enero de 1985. La representación gráfica de este hecho desde el punto de vista de la persona que deposita es:

│$19,500 │ │ 0

1

2

3

4

años

├────────┼───────┼────────┼────────┼────────────── 1981

1982

1983

1984

1985

│ │ │ $15,000

En el momento en que la persona deposita o inicia el periodo se designa como el valor presente o simplemente P. El momento de retiro del dinero o fin del periodo se designa como valor futuro o F. No es usual representar el tiempo con los años calendarios si no simplemente como periodo de tiempo, por lo que al presente corresponde el periodo cero. Ejercicios: 1) El presidente de una compañía desea hacer 2 depósitos iguales, uno dentro de dos años y el segundo dentro de 4, de tal manera que se pueda hacer 5 retiros anuales de $100 que empezaran cuando se haga el segundo depósito. Además él quiere, retirar $500 más, un año después de que la serie de retiro termine. Dibuje un diagrama de flujo de caja. 2) Cuánto dinero se acumulará en 6 años si una persona deposita $500 hoy e incrementa este depósito en $50 anuales durante los próximos 6 años? Asuma que el interés es de 16% y dibuje el diagrama de flujo de efectivo. 3) Usted desea invertir dinero al 8% anual de tal manera que dentro de 6 años pueda retirar una suma total F. El consultor de inversiones y el banco han desarrollado los planes siguientes para usted: 1.- Depositar $351.8 ahora y $351.80 tres años después 2.- Depositar $136.32 anualmente, empezando el próximo año y terminando el año 6. Dibuje los diagramas de flujo de caja de cada plan si se desea calcular F.

12

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIAS DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

2.2 EQUIVALENCIA Dos sumas son equivalentes (no iguales), cuando resulta indiferente recibir una suma de dinero hoy y recibir otra diferente de mayor cantidad cantidad transcurrida un período ; expresamos

este concepto con la fórmula general del interés compuesto. Hay dos reglas básicas en la preferencia de liquidez, sustentadas en el sacrificio de consumo: 1. Ante dos capitales de igual valor en distintos momentos, preferiremos aquel más cercano. 2. Ante dos capitales presentes en el mismo momento pero de diferente valor, preferiremos aquel de importe más elevado. La preferencia de liquidez es subjetiva, el mercado de capitales le da un valor objetivo a través del precio que fija a la transacción financiera con la tasa de interés. Para comparar dos capitales en distintos instantes, hallaremos el equivalente de los mismos en un mismo momento, y para ello utilizamos las fórmulas de las matemáticas financieras. Como vimos, no es posible sumar unidades monetarias de diferentes períodos de tiempo, porque no son iguales. Cuando expusimos el concepto de inversión, vimos que la persona ahorra o invierte $1,000 para obtener más de $1,000 al final de un período, determinamos que invertirá hasta cuando el excedente pagado por su dinero, no sea menor al valor asignado al sacrificio de consumo actual, es decir, a la tasa a la cual está dispuesta a cambiar consumo actual por consumo futuro. Equivalencia no quiere decir ausencia de utilidad o costos; justamente ésta permite cuantificar el beneficio o pérdida que significa significa el sacrificio de llevar a cabo una operación financiera. Un modelo matemático representativo de estas ideas, consiste en la siguiente ecuación:

F = P + COMPENSACIÓN POR APLAZAR CONSUMO

2.2.1

Donde F: Suma futura obtenida al final de n períodos (Valor Futuro) P: Suma de dinero colocada en el período 0 (Valor Actual) El valor actual es equivalente a mayor cantidad en fecha futura, siempre y cuando la tasa de interés sea mayor que cero.

13

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIAS DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

2.3 CONCEPTO DE DE INTERES Y PERIODO DE CAPITALIZACION CAPITALIZACION 2.3.1 INTERÉS El interés, tiene importancia fundamental en los movimientos de capitales, la colosal infraestructura financiera y crediticia descansa sobre este concepto básico de pagar por el uso del dinero tomado en préstamo. Sin el interés, el mercado de capitales o simplemente los negocios no existirían. El interés es el monto pagado por la institución financiera para captar recursos, así como el monto cobrado por prestar recursos (colocar). El interés es la diferencia entre la cantidad acumulada menos el valor inicial; sea que tratemos con créditos o con inversiones. El interés es la cantidad convenida que se paga por utilizar dinero ajeno o que se gana por invertir el dinero propio.

El interés es un precio, el cual expresa el valor de un recurso o bien sujeto a intercambio, es la renta pagada por el uso de recursos prestados, por período determinado. Es un factor de equilibrio, hace que el dinero tenga el mismo valor en el tiempo. Si la tasa de interés anual es el 8%, quiere decir que el prestamista recibe por concepto de intereses C$ 8, por cada C$ 100 prestado al año. Por otro lado si el inversionista está dispuesto a prestar C$ 100 a cambio de C$ 108 en dos años más, la tasa será de 8%, pero a diferente unidad de tiempo (2 años). El tipo de interés depende directamente de dos factores reales no monetarios: la preferencia por tener los recursos a la promesa de recursos futuros y la productividad de la inversión. El interés es el precio del dinero en el tiempo. Si contamos con una una determinada cantidad de dinero o capital inicial P (que denominamos valor actual o valor presente), éste puede producirnos rentabilidad en función del tiempo, si lo colocamos en una determinada actividad económica. Al final del período de tiempo n, cuando se desea evaluar los resultados de la actividad, se obtiene una cantidad F(que denominamos o valor futuro) y el interés es:

Interés = Valor futuro - Valor presente = F  – P

2.3.1

s ,   el cual es una La manifestación del valor del dinero en el tiempo se denomina  i n t e r é medida del aumento entre el capital inicial y el valor futuro. Cuando el interés se expresa como porcentaje del monto original por unidad de tiempo, el resultado es la ta s a d e i n te ré s. Esta se calcula como sigue:

i = (I / P)100% 14

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIAS DE INGENIERIA ECONOMICA

2.3.2

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

Ejemplo 2.2: Una persona ahorra en una cuenta C$ 500,000. Al cabo de un año retira su dinero y le regresan C$ 600,000. ¿Cuánto fue el interés que ganó por la transacción y cuál fue la tasa que lo produjo? Solución: El interés que ganó en la transacción es: La tasa de interés que lo produjo es:

I = 600,000 - 500,000 = C$ 100,000

I = (100,000/500,000)*100% = 20%

Se concluye que el interés ganado por la cuenta es del 20% anual.

2.3.2 TASAS DE INTERÉS UTILIZADAS EN LA BANCA NACIONAL N ACIONAL La determinación de la tasa efectiva o verdadera de interés de un préstamo depende de la que se haya convenido y el método con que el acreedor cargue el préstamo, la tasa convenida es la tasa efectiva de interés.  Ahora veamos los distintos tipos de interés utilizados por los mercados financieros.

a) De acuerdo a como se fija fija el interés interés en el tiempo  

Interés fijo: Es cuando la tasa de interés permanece constante en el tiempo. Interés variable: Es cuando la tasa de interés la calculamos sobre una base fija más un índice de referencia. El índice de referencia varía según las condiciones del mercado.

b) De acuerdo a los plazos de las tasas tasas de interés 

Interés de corto plazo: Es cuando los intereses que se devengan o se liquidan se



dan en un período inferior a 12 meses. Interés de largo plazo: Son intereses devengados o liquidados en períodos superiores a un año.

c) De acuerdo a si se cobran o pagan intereses intereses 

Tasa de interés activa: es la tasa de interés cobrada por los bancos y las



instituciones financieras en la colocación de dinero, o sea aquella cobrada a las las personas naturales y jurídicas a las cuales les ha sido otorgado financiamiento. Las tasas de interés corriente y las tasas de interés moratoria son tasas activas. Tasa de interés pasiva:  es la tasa de interés pagada por los bancos y las instituciones financieras a sus ahorrantes y depositantes en sus diferentes formas. La tasa pasiva de alguna manera constituye una tasa interés de rendimiento, por cuanto el ahorro es una inversión de bajo riesgo.

15

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIAS DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

La tasa de interés moratoria  es el porcentaje de recargo que se adiciona a la tasa de interés

pactada por incumplimiento de pago en la fecha establecida. Generalmente se calcula en base a los días transcurridos posterior a la fecha de vencimiento de la deuda. Cuando el pago de una cuota se retrasa, la tasa de interés moratoria se aplica únicamente al principal de dicha cuota vencida, durante el tiempo en mora. Por naturaleza, la tasa de interés pasiva es menor que la tasa de interés activa, ya que parte de la diferencia constituye la rentabilidad del mercado financiero. Dichas tasas en el caso de Nicaragua están determinadas por la demanda y la oferta de dinero, así como por el índice de riesgo país para las inversiones y otros factores como la estabilidad económica, política y social. Según el informe anual del Banco Central de Nicaragua al cierre del mes de Diciembre de 2016, el promedio ponderado de las tasas de interés activa y pasiva en el Sistema Financiero Nacional se muestra en la siguiente tabla: TASAS ACTIVAS MONEDA

 

CORDOBAS DOLARES

 

TASAS PASIVAS

CORTO

LARGO

CORTO

LARGO

PLAZO

PLAZO

PLAZO

PLAZO

11.57%

18.53%

4.14%

4.70%

8.90%

12.60%

10.40%

10.01%

Fuente: Banco Central de Nicaragua

2.3.3 PERIODO DE CAPITALIZACION El período de capitalización es el período mínimo necesario para que se pueda cobrar un interés, se llama así porque a su término ya se tiene o ya se forma más capital.

Ejemplo 2.3: Si una persona presta $1,000 al 10% de interés semanal tendrá $1,100 en una semana. De igual forma, si otra persona deposita $1,000 en un banco que paga 25% de interés anual, pasado el periodo de capitalización de un año, su capital habrá aumentado de $1,000 a $1,250.

2.4 INTERES SIMPLE 2.4.1 DEFINICION Se llama in te ré s s im p le   al que, por el uso del dinero a través de varios periodos de capitalización, no se cobra interés sobre el interés que se debe.   Se define como un

porcentaje fijo del valor presente multiplicado por el tiempo de duración de la actividad económica. El cálculo de los intereses se realiza solo una vez y solamente sobre el principal primitivo que permanece invariable en base al tiempo estipulado. Es decir, la retribución económica 16

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIAS DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base. Interés simple, es también la ganancia sólo del capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial. El interés simple de un principal P en n unidades de tiempo y a una tasa de interés i, está dado por la expresión:

I = P.i.n Variables básicas: I = P= n= i =

2.4.1 Interés acumulado o devengado. Principal o valor presente (Prestado o ahorrado) Plazo del préstamo o depósito en: años, meses o días. Tasa de interés anual (en porcentaje) a menos que se diga lo contrario

Para que esta fórmula se pueda usar correctamente es necesario que las variables relacionadas con el plazo del préstamo y la tasa de interés estén definidas en el mismo periodo de tiempo.

2.4.2 CLASIFICACION DEL INTERES SIMPLE a) Interés simple ordinario, comercial o bancario . Este presupone que un año tiene 360 días y cada mes 30 días.

I = P i(n/360)

2.4.2

Lo anterior provoca que muchas veces, las fechas de pago de un préstamo no coincidan exactamente con la fecha en que se otorgó el préstamo. Así por ejemplo, un préstamo que se otorgó el 15 de enero del 2007 y con un plazo de 1 año, no necesariamente vence el 15 de enero del 2008, sino que puede vencer el 10 de enero debido a que se trabaja con el año comercial de 360 días. Este es el sistema utilizado comúnmente por las instituciones que trabajan en crédito y finanzas.

b) Interés simple exacto. Este se basa en el calendario natural donde 1 año tiene 365 o 366 días, y el mes tiene 28, 29, 30 o 31 días.

I = P i(n/365)

2.4.3

El uso del año de 360 días simplifica los cálculos, pero aumenta el interés cobrado por el acreedor. Se desarrollan los ejemplos en el documento considerando el año bancario o comercial; cuando utilicemos el calendario natural indicaremos operar con el interés exacto.

17

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIAS DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

Ejemplo 2.5: Calcular el interés que devenga un préstamo de C$ 18,000 en un banco a una tasa de interés simple del 15% a plazo fijo de 8 meses. Datos: P = C$ 18,000

i = 20%

n = 8 meses

Solución: I = Pin = C$ 18,000 (0.2)*(8/12) = C$ 2,400 Ejemplo 2.6: Calcular la cantidad en conceptos de intereses al final del plazo que tendrá que pagar el Sr. Alberto Martínez si desea solicitar un préstamo de C$ 15,000 en un banco a una tasa de interés simple del 25% a un plazo fijo de 15 meses. Datos: P = C$ 15,000

i = 30% n = 18 meses

Solución: I = Pin = C$ 15,000 (0.25)*(15/12) = C$ 4,687.50

2.4.3 VALOR FUTURO A INTERESES SIMPLES DE UNA SUMA DE DINERO El valor futuro (F) de una cantidad (P) a interés simple, es la cantidad acumulada al final de cierto período de tiempo ( n) medido en años, meses o días y a una tasa de interés ( i) que incluye el principal más los intereses. Este valor estará dado por:

F= P + I

2.4.4

Sustituyendo I de (2.4.1) por su ecuación equivalente en 2.4.4 tendremos:

F = P(1 + in)

2.4.5

2.4.4 VALOR PRESENTE A INTERES SIMPLE DE UNA SUMA DE DINERO El valor presente o actual de una cantidad con vencimiento en el futuro, es el capital que a un tipo de interés dado, en períodos también dados, ascenderá a la suma debida. De acuerdo la fórmula (2.4.5), despejando (P) obtendremos el "Valor Presente" el cual está dado por:

P=

F (1 + in)

2.4.6

Despejando éstas fórmulas obtenemos el tipo de interés y el plazo:

i = (F/P - 1 )/n 18

n = (F/P - 1)/i

2.4.7 y 2.4.8

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIAS DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

El tipo de interés (i ) y el plazo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de interés es anual, el plazo debe ser anual, si el tipo de interés es mensual, el plazo irá en meses, etc.). Siendo indiferente adecuar la tasa al tiempo o viceversa. Al utilizar tasas de interés mensual, el resultado de n estará expresado en meses. En estas fórmulas la tasa de interés (i ) está indicada en forma decimal. Ejemplo 2.7: El Sr. Berrios deposita en el BDF C$ 120,000.00 en certificado a plazo fijo y a 16 meses de plazo, certificado que devenga el 12.5% anual. Determinar a) Los intereses acumulados y b) El valor futuro de los certificados.

Datos:

FORMULA

P = C$ 120,000.00 n = 16 meses i = 0.125

I = Pin F=P+I

SOLUCION "a"

SOLUCION "b"

I = (120,000.00)(0.125)(16/12) I = C$ 20,000.00

F = C$ 120,000 + 20,000.00 F = C$ 140,000.00

Ejemplo 2.8: ¿Cuánto recibió al momento de ser otorgado un préstamo industrial, el Sr. Sergio Suárez, si éste dos años después de otorgado el préstamo pagó un monto de C$ 200,000 a una tasa de interés del 18% anual?

Datos:

FORMULA

F = C$ 200,000 n = 2 año i = 0.18 P=?

P = F/(1+in)

SOLUCION P = 200,000/[1 + (0.18)(2)] = C$ 147,058.82

Ejemplo 2.9: Una persona deposita hoy C$ 15,000 en una cuenta de ahorros, retira al cabo de 10 meses C$ 3,000 en concepto de intereses. ¿De cuánto es la tasa de interés anual que paga el banco? Solución: El monto total es F=P+I F = 15,000 + 3,000 F = 18,000 El tiempo que estuvo P en el banco es 10/12 años, i = (18000/15000 -1)/(10/12) = 24% anual. 19

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

Ejemplo 2.10: José deposita C$ 2,300, en una libreta de ahorros al 9% anual, ¿cuánto tendrá después de 9 meses? Solución: Primero expresaremos la tasa en meses: 0.09/12 = 0.0075, mensual: VA = P = 2,300; i = 0.0075; n = 9; F = ? Después aplicamos la fórmula (2.3.5)

F = 2,300 [1 + (0.0075*9)] = C$ 2,455.25

Ejemplo 2.11: Un pequeño empresario, con utilidades por US$ 5,000 los deposita en su cuenta de ahorros en un banco al 9.7% anual. ¿Cuánto tendrá al final de 8 meses? Solución: Primero expresamos el plazo en años: (8 meses por 30 días = 240 días) 240/365 = 0.6575 años VA = 5,000; i = 0.097; n = 0.6575; VF = ? Después aplicamos la fórmula (2.3.5)

F = 5,000 *[1 + (0.097*0.6575)] = US$ 5,318.89

2.4.5 CALCULO DE INTERES MORATORIO Y AJUSTE DE INTERES SIMPLE. En los contratos de pagos de las obligaciones financieras se establece una tasa de interés adicional a la corriente. Esta tasa adicional se denomina tasa de interés moratoria y se entiende como el  porcentaje de recargo por el incumplimiento de pago en la fecha establecida y por lo general se calcula de acuerdo al tiempo transcurrido posterior a la fecha de vencimiento del pago de la cuota. Cuando el pago de una cuota se retrasa, la tasa de interés moratoria se aplica únicamente al principal de dicha cuota vencida, durante el tiempo en mora del pago. Utilizando el método de interés simple para efectuar el cálculo de interés moratorio se usa la fórmula 2.4.9 que se deriva de la fórmula 2.4.1

Imo = Pcv (im)(tm)

2.4.9

El retraso del pago de la cuota conlleva el ajuste del interés corriente aplicado al último saldo de la deuda durante el periodo retrasado. Este ajuste puede ser cobrado junto a la cuota retrasada o bien en la fecha de la próxima cuota, cuyo interés corriente debe también ser ajustado conforme al tiempo que transcurre entre el pago de la cuota retrasada y la fecha de la próxima. Este cálculo se realiza de acuerdo a la fórmula 2.4.10

Iaco = Sk (ic)(tm) 20

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

2.4.10

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

Donde Imo = Interés moratorio Iaco = Ajuste de interés corriente Pcv = Principal de la cuota vencida Sk = Ultimo saldo de la deuda Ic = Tasa de interés corriente pactada im = Tasa de interés moratoria tm = Tiempo de mora de la deuda Ejemplo 2.12: Una compañía está amortizando una deuda en el BAC y paga al final de cada mes una cuota de C$ 71,720.55 la cual está vencida y tiene 25 días de mora. El principal de la cuota es de C$ 54,626.23 y los intereses corrientes del mes son de C$ 17,094.32. El último saldo es de C$ 179,940.16. La tasa de interés corriente sobre el préstamo es del 9.5% anual sobre saldos y la tasa de interés moratoria es del 10% anual. ¿Qué cantidad deberá pagar la empresa para ponerse al día? Datos: Principal de la cuota = C$ 54,626.23 Tasa de interés corriente = 9.5 % Tasa de interés moratoria = 10% Días de mora de la cuota = 25 Ultimo saldo de la deuda = C$ 179,940.16 Solución: Calcularemos primero el interés moratorio y después el ajuste del interés corriente Imo = 54,626.23 (0.10) (25/360) = C$ 379.35 Iaco = 179,940.16 (0.095) (25/360) = C$ 1,187.11 Por tanto, el total a pagar será de Cuota + Imo + Iaco = C$ 73,287.01

2.4.6 PAGOS PARCIALES En las actividades financieras, es frecuente la costumbre de utilizar obligaciones en las que se aceptan pagos parciales o abonos, dentro del plazo de la obligación, en lugar de un solo pago en la fecha de vencimiento. En la solución de los problemas en los que intervienen obligaciones y sus intereses, se supone que todo dinero que se recibe o paga, por cualquier concepto, continúa en el proceso financiero dentro de un mismo juego de intereses, hasta la extinción de la obligación. En este tipo de obligaciones se presenta varias alternativas y el análisis y cálculo de los valores en  juego deberán hacerse de acuerdo con las condiciones del comercio y la banca local según el país.

21

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

REGLA DE LOS SALDOS INSOLUTOS Esta regla conocida como la regla americana, el interés se calcula sobre el saldo no pagado o insoluto de la deuda cada vez que se efectúa un pago parcial. Si el pago es menor que el interés vencido, el pago se lleva sin interés hasta que se hagan otros pagos parciales cuyo monto excede el interés vencido a la fecha del último de dichos pagos parciales. La regla funciona mediante un proceso iterativo, en el cual se indica que cada vez que se hace un pago debe calcularse el monto de la deuda hasta la fecha del pago y restar a ese monto el valor del pago; así, se obtiene el valor del saldo en la fecha de vencimiento, que será igual al último pago parcial y que saldrá totalmente la deuda. La incógnita es hallar el valor del último pago parcial en la fecha de vencimiento y que liquida totalmente la deuda. El procedimiento se llevara a efecto de la siguiente manera: = + = =

Saldo inicial de la deuda Interés devengado a la fecha de pago Monto de la deuda a la fecha de pago Valor del pago parcial Saldo insoluto

Ejemplo 2.13: Una persona tiene actualmente una deuda pendiente de $ 12,000 y por acuerdo con su acreedor la cancelará bajo las siguientes condiciones: $ 2,000 el día de hoy, pagos parciales de $ 3,000 y $ 4,000 dentro de tres y ocho meses respectivamente y el saldo final lo cancelará en un plazo de un año con intereses del 3% mensual sobre saldos. Calcular el pago que liquida la deuda en la fecha de vencimiento. Solución: = = + = = + = = + = =

22

Valor inicial de la deuda..................................... Valor del primer pago actual.............................. Saldo inicial de la deuda................................... Intereses a los 3 meses.................................... Monte de la deuda a los 3 meses....................... Valor del segundo pago parcial.......................... Saldo después del segundo pago....................... Intereses a los 8 meses...................................... Monto de la deuda a los 8 meses........................ Valor del tercer pago parcial................................ Saldo después del tercer pago............................ Intereses a la fecha de vencimiento..................... Monto en la fecha de vencimiento........................ Valor del último pago parcial................................ Saldo de la deuda en la fecha en vencimiento.....

$ 12,000.00 $ 2,000.00 $ 10,000.00 $ 900.00 $ 10,900.00 $ 3,000.00 $ 7,900.00 $ 1,185.00 $ 9,085.00 $ 4,000.00 $ 5,085.00 $ 610.20 $ 5,695.20 $ 5,695.20 $ 0.00

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

El uso de la regla de los saldos insolutos le permite al prestamista, ganar interés sobre los intereses capitalizados, en cada fecha de los pagos parciales. Por ejemplo, si un deudor de una obligación con intereses del 24% a un año de plazo, hace pagos mensuales con esta regla, se le cobra sobre saldos el 2% mensual con capitalización mensual, es decir intereses compuestos y no simples. Otra forma de expresar los resultados del ejemplo, es a través de la construcción de la tabla de amortización no periódica de la deuda, considerando que todo pago o cuota CK contiene dos elementos importantes tales como; los intereses devengados o vencidos I K  y la amortización al principal AK el cual disminuye el saldo, donde K es un contador y representa el K-ésimo pago parcial con 1  K  N; así, la cuota y la amortización se expresan en las fórmulas:

CK = AK + IK 

2.4.11

AK = CK - IK 

2.4.12

La tabla tiene cinco columnas básicas y muestra los resultados de la amortización de la deuda del ejemplo.

N° de Pago

Amortización AK

Intereses IK

Valor del Pago CK

0 1 2 3 4

$ 0.00 $ 2,000.00 $ 2,100.00 $ 2,815.00 $ 5,085.00

$ 0.00 $ 0.00 $ 900.00 $ 1,185.00 $ 610.20

$ $ $ $ $

0.00 2,000.00 3,000.00 4,000.00 5,695.20

TOTAL

$12,000.00

$ 2,695.20

$ 14,695.20

Saldo SK $ 12,000.00 $ 10,000.00 $ 7,900.00 $ 5,085.00 $ 0.00

Ejemplo 2.14: Supongamos en el ejemplo anterior que el deudor se retrasó 20 días en cancelar el tercer pago parcial de $ 4,000 y que los intereses en mora se cobra al 10% anual. ¿Qué valor deberá pagar para ponerse al corriente? Solución: Todo pago o cuota por lo general está compuesto por intereses y amortización al principal. En este caso se trata del tercer pago, por tanto tenemos: CK = AK + IK o sea C3 = A3 + I3 = 2,815 + 1,185 Como los intereses en mora se cobra sobre la base del principal vencido (AK = 2,815) del pago retrasado, por la fórmula los intereses moratorios son: Imo = Pcv * im * tm = (2,815) (0.10/12) (20/30) = 23

$ 15.64

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

El ajuste de interés corriente es el siguiente: Icoa = Sk * ic * tm = (7900) (0.03) (20/30) = $ 158.00 Por tanto, el pago con mora es $ 4,000 + $ 15.64 + $ 158.00 = $ 4,173.64

Ejercicios propuestos. 1. Determinar el valor futuro y el interés simple de: a) La cantidad de C$40,400 durante 100 días al 14% b) La cantidad de C$45,300 desde el 8 de diciembre 1994 al 15 de septiembre 1995, al 26.55% c) La cantidad de C$16,145.78 durante 10 meses al 20% d) La cantidad de C$20,000 desde el 20 de enero al 17 de octubre del mismo año al 15% 2. Una inversión de C$180,000 genera intereses pagaderos al final de cada mes por la cantidad de C$20,000 durante 10 meses. Calcule la tasa de rendimiento sobre la inversión. 3. En qué tiempo un capital de C$30,420 a) Produce C$8,000 al 20% de interés simple. b) Alcanza un monto de C$35,880 al 20% de interés simple c) Produce C$5,600 al 12% de interés simple. 4. La señora Díaz desea comprar una casa y se le presentan dos ofertas: (1) C$10,000 iniciales y C$8,000 después de 9 meses. (2) C$8,000 iniciales y C$10,000 después de un año. Si la tasa de interés es de 20% ¿qué oferta deberá seleccionar? 5. En el ambiente financiero se presentan las siguientes alternativas de inversión: a) Un capital de C$120,000 produce C$5,600 en 48 días. b) Un capital de C$68,500 produce C$6,525 en 79 días. c) Un capital de C$70,000 produce C$7,500 en 28 días. d) Un capital de C$58,800 produce C$6,200 en 55 días. ¿Cuál de las alternativas siguientes le es más rentable si usted es un prestamista? 6. El valor futuro de un préstamo es C$60,000 que vence dentro de 8 meses a una tasa de 15%. Calcule su valor. a) El día de hoy c) Dentro de 9 meses e) Dentro de 14 meses

24

b) Dentro de un año d) Dentro de 2 meses

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

2.5 INTERES COMPUESTO  Al interés de un periodo calculado sobre el principal más la cantidad acumulada de intereses s c o m p u es to . Así el cálculo de interés ganados en periodos anteriores se le llama in ter é s s o b re in ter é s  (esto refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo sobre significa in ter é el interés también). En este caso se dice que el interés es capitalizable, o convertible en capital y en consecuencia, también gana interés. El capital aumenta periódicamente y el interés convertible en capital también aumenta periódicamente durante el período de transacción. La suma vencida al final de la transacción es conocida como monto compuesto. A la diferencia entre el monto compuesto y el capital inicial se le conoce como in ter é s c o m p ue st o .

2.5.1.- DEDUCCION DE LA FORMULA DE INTERES COMPUESTO: VALOR FUTURO Para deducir la fórmula general del cálculo del interés compuesto, valor futuro, partiremos del ejemplo siguiente: Ejemplo 2.16: Una persona deposita en un banco $ 1,000 en una cuenta de ahorro a plazo fijo de un año. El banco capitaliza el interés trimestralmente a una tasa del 2% trimestral, ¿Cuál será el valor de la cuenta final del año? Ilustremos la situación en el siguiente cuadro.

Período

Valor Presente

Intereses

Valor Futuro

1 2 3 4

1,000.00 1,020.00 1,040.40 1,061.21

1,000.00(0.02) 1,020.00(0.20) 1,040.40(0.20) 1,061.21(0.20)

1,020.00 1,040.40 1,061.21 1,082.43

Los nuevos montos o valores futuros para cada período, se muestran a continuación en el gráfico de capitalización, donde el interés es integrado al capital en cada trimestre. 1,020

1,040.4

1,061.21

1,082.43

│ │ │ │ ══╤═════════════╧═════════════╧════════════╧═════════════╧═ │ 1 2 3 4 1,000

La situación anterior la podemos representar gráficamente, mostrando el valor presente y el valor futuro así: 25

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

US$ 1,082.43

│ ══╤══════════════════════════════════════════════════════╧═ │ 1 2 3 4 US$ 1,000

La fórmula general para el cálculo de interés compuesto la deducimos a partir de los resultados anteriores, la cual se muestra en el siguiente cuadro.

Período

Valor Presente

Intereses

Valor Futuro

1 2 3 4

P P(1 + i) P(1 + i)2 P(1 + i)3

Pi P(1 + i) * i P(1 + i)2 * i P(1 + i)3 * i

P(1 + i) P(1 + i)2 P(1 + i)3 P(1 + i)4

n

P(1 + i)n-1

P(1 + i)n-1 * i

P(1 + i)n

 A

B

A+B

De lo anterior podemos generalizar la fórmula de valor futuro a interés compuesto para n períodos de la siguiente manera:

F = P(1 + i) n  donde

2.5.1

F : Valor futuro o monto a interés compuesto de una deuda P : Capital inicial o valor presente; I : Tasa de interés efectiva que se capitaliza una vez en un año o tasa periódica; n : Número total de capitalizaciones de la transacción.

También el valor futuro es equivalente a la siguiente expresión:

F = P(1 + j/m) m.n  donde

2.5.2

j : Tasa de interés nominal que se capitaliza más de una vez en un año. m : frecuencia de capitalización o liquidación de interés según el periodo de la tasa j n : Plazo de la transacción medido en años; m.n : número total de capitalizaciones;  j/m : Tasa efectiva o periódica.

Retomando el ejemplo 2.16 y resolviéndolo por la fórmula (2.5.1) obtenemos lo siguiente: 26

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

DATOS

SOLUCION

P = US$ 1,000 i = 2% = 0.02 trimestral n = año m=4 N = 4(1) = 4

F = P(1 + i)n F = 1,000(1+0.02) 4 F = 1,000(1.082432) F = US$ 1,082.43

Como se podrá observar el resultado es el mismo, tanto por deducción como por inducción. En la solución anterior se recalca que el valor de 0.02 es lo que gana un dólar en un trimestre y 4x1 es el número de capitalizaciones durante el tiempo de la transacción, lo que significa que US $ 1,000 colocados al 0.02 trimestral producen al cabo de 4 trimestres un monto o valor futuro de US$ 1,082.43.  Al valor (1+i)n lo llamamos Factor d e capitalización p ago único   FCPU y lo designamos por (F/P,i%,n), que se lee: encontrar F dado P a la tasa i% en n períodos. La ecuación general se representa como:

F = P (F/P,i%,n) Si llamamos I al interés total percibido, obtenemos:

I = F-P

luego I = P(1+i)n - P

Simplificando obtenemos la fórmula de capitalización compuesta para calcular los intereses:

I = P [(1+i) n − 1]

2.5.3

Con esta fórmula obtenemos el interés (I) compuesto, cuando conocemos P, i y n. Ejemplo 2.17: Una persona adquiere 5 certificados de ahorro a plazo fijo en el BDF. El valor de cada certificado es de C$ 25,000; el interés que paga el banco es del 45% anual. ¿De cuánto es la ganancia en concepto de intereses, si mantiene los ahorros por 3 años? Solución: P = (25,000)(5)= 125,000 n = 3 años i = 45% anual Para calcular el valor futuro de los C$125,000 ahorrados se utiliza el factor de capitalización pago único. F = C$125,000(1 + 0.45)3 = C$ 381,078 I = F - P = 381,078 - 125,000 = C$ 256,078 27

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

Ejemplo 2.18: Calcular el valor futuro al final de 5 años de una inversión de C$ 20,000 con un costo de oportunidad del capital de 20% anual. Datos: P = VA = 20,000; n = 5; i = 0.20; F = ? Solución: F = C$ 20,000(1+0.20)5 F = C$ 49,766.40

2.5.2. DEDUCCION DE LA FORMULA DE VALOR PRESENTE A INTERES COMPUESTO El valor presente o actual, es el valor del dinero el día de hoy o el valor del dinero en cualquier fecha anterior a la de su vencimiento. El cálculo del valor presente responde a las siguientes preguntas: si se desea una determinada cantidad de dinero en el futuro, ¿cuánto se tendrá que invertir hoy, conociendo la tasa de interés y el plazo de la inversión? Otra forma de uso del valor presente, es por ejemplo, la determinación del valor actual de una deuda pendiente, si se desea pagarla por adelantado antes de la fecha de su vencimiento. De las fórmulas (2.5.1) o (2.5.2) al despejar la variable P obtenemos el valor presente a interés compuesto, de la siguiente manera:

P = F/(1 + i) n = F/(1 + i)-n 

2.5.4

P = F/(1 + j/m) m.n = F(1 + j/m)-m.n 

2.5.5

Todas las variables básicas que intervienen en las fórmulas (2.5.1) y (2.5.2), son válidas para las fórmulas (2.5.4) y (2.5.5).  Al valor (1+i)-n se le llama Factor valo r actual pago único (FVAPU)    y lo designamos por (P/F,i%,n). La ecuación general se representa como:

P = F (P/F,i%,n) De la ecuación (2.5.1) obtenemos también, las fórmulas para determinar los valores de i (dado VA, VF y n) y n (dado VA, VF e i).

= √  −  

28

    =  (+)

2.5.6 y 2.5.7

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

Ejemplo 2.19: ¿Cuál es la cantidad máxima que un inversionista está dispuesto a pagar por un bono, si desea obtener en su compra un rendimiento del 25%? Suponga que el bono tiene hoy un valor nominal de C$ 10,000, una vida de 5 años y paga una tasa de interés del 20% anual. Solución: Primeramente calculamos el valor futuro del bono. F = 10,000(1 + 0.20) 5 = C$ 24,883.20 La cantidad que el inversionista está dispuesto a pagar por el bono es: P = C$ 24,883.20/ (1 + 0.25) 5 = C$ 8,153.73 Ejemplo 2.20: La señora Juana López está interesada en acumular la cantidad de C$ 50,000 para comprarse un automóvil usado. En este momento dispone de C$ 20,000 y decide para su propósito, depositarlos en una cuenta de ahorro a plazo fijo en un banco que paga el 12% convertible trimestralmente. ¿Qué tiempo deberá esperar la señora López para comprar el vehículo? DATOS

SOLUCION

P = C$ 20,000 F = C$ 50,000  j = 0.12 m=4 i = 0.12/4 = 0.03 n=?

n =

ln(F/P) ln(1 + i)

n = ln(50,000/20,000) = ln2.5 ln(1 + 0.03) ln(1.03) n = 0.916290/0.029558 = 30.998888  31 trimestres

Lo que significa que la señora López deberá esperar: 7 años, 8 meses, 29 días, 21 horas, 35 minutos 52 segundos y 34 grados, para comprarse su vehículo. Ejemplo 2.21: Una persona nos ofrece pagarnos US$ 5,000 dentro de 3 años, siempre y cuando le entreguemos el día de hoy una cantidad al 10% anual. ¿Cuánto es el capital a entregar hoy? Datos: F = 5,000; n = 3; i = 0.10; VA = P = ? Solución:  Aplicamos la fórmula (2.5.4) tenemos: P =

5 000 = US$ 3,756.57 3 (1 + 0.10)

29

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

Ejemplo 2.22: Determinar la tasa de interés aplicada a un capital de C$ 25,000 que ha generado en tres años intereses totales por C$ 6,500. Datos: i = ?; P = 25,000; n = 3; I = 6,500; F = 25,000 + 6,500 = C$ 31,500 Solución: Aplicando la fórmula 2.5.6 tenemos:

=  ,, −  = . = .% Ejemplo 2.23: Calcular el tiempo que ha estado invertido un capital de C$ 35,000, si el monto producido fue C$ 56,455 con un interés del 9 % anual. Datos: P = 35,000; F = 56,455; i = 0.09; n = ?; Solución: Aplicando la fórmula 2.5.7 para calcular n tenemos:

,,    =  (.)  = . ñ

2.6

TASAS DE INTERES NOMINAL, TASAS DE INTERES EFECTIVO Y TASAS EQUIVALENTES

 Al iniciar esta unidad abordamos un tanto las tasas de interés sin profundizar en su significado. Trataremos de esclarecer los conceptos relacionados con las tasas nominales y las tasas efectivas; así mismo, la relación entre ellas y la relación entre dos tasas nominales. La tasa efectiva anual aplicada una sola vez, produce el mismo resultado que la tasa nominal según el período de capitalización. La tasa del período tiene la característica de ser simultáneamente nominal y efectiva.

2.6.1. TASA NOMINAL La tasa de interés nominal es la tasa que capitaliza más de una vez por año. Esta tasa convencional o de referencia por lo general lo fija la Superintendencia de Bancos o el Banco Central de un país para regular las operaciones activas (préstamos y créditos) y pasivas (depósitos y ahorros) del sistema financiero. La tasa nominal es la tasa de interés que la denominaremos "j", que se pacta a un año y el pago de interés se puede acordar que se realice cada día, cada mes, cada 2 meses, cada 3 meses, cada 6 meses etc. Esto no es otra cosa que acordar períodos de interés diario, mensuales, bimestrales, trimestrales etc. De ahí, que una tasa nominal es aquella que se expresa sobre la base de un año con períodos de capitalización diario, mensual, trimestral etc. 30

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

La ecuación de la tasa nominal es:

 j = tasa de interés por período * número de períodos

2.6.1

Ejemplo 2.24: Dada una tasa periódica mensual del 2%. Encuentre una tasa nominal anual capitalizable mensualmente La tasa mensual del 2% nos proporciona una tasa nominal anual convertible o capitalizable anualmente

j = (0.02)(12)=24%

2.6.2. TASA EFECTIVA La tasa efectiva determina la cantidad de utilidad periódica que realmente se adiciona al capital en el instante que se liquida. La tasa efectiva también puede ser diaria, mensual, bimensual trimestral etc. Cuando la tasa nominal se capitaliza una sola vez al año, entonces decimos que la tasa nominal es igual a la tasa efectiva anual. Cuando una tasa de interés se capitaliza (n) veces al año, entonces decimos que la tasa es necesariamente nominal, pues las tasas efectivas no se capitalizan. Ejemplo 2.25: a) 36% capitalizable mensualmente. Es una tasa nominal j con frecuencia m = 12 y tasa efectiva de i = j/m = 3% mensual b) 15% semestral. Es una tasa efectiva por semestre. c) 25% efectivo. Es una tasa efectiva ie anual con frecuencia m=1 d) 18% capitalizable semestralmente. Es una tasa nominal j con frecuencia m = 2 y tasa efectiva de i = j/m = 9% semestral. e) 24% trimestral capitalizable mensualmente. Es una tasa nominal j de periodo trimestral con frecuencia m = 3 y tasa efectiva de i = j/m = 8% mensual. Notación para la frecuencia de la tasa nominal anual. Capitalizable continuamente Capitalizable diariamente Capitalizable semanalmente Capitalizable mensualmente Capitalizable bimensualmente Capitalizable trimestralmente Capitalizable semestralmente

31

a.c.c a.c.d a.c.se a.c.m a.c.b a.c.t a.c.s

m→ ∞ m = 360 m = 52 m = 12 m=6 m=4 m=2

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

2.6.3.- TASAS EQUIVALENTES Las tasas equivalentes son aquellas que, en condiciones diferentes, producen la misma tasa efectiva anual. Esto significa que si una misma cantidad de dinero gana intereses a dos tasas

diferentes pero equivalentes, estas producirán la misma cantidad de dinero al final del año.

2.6.3.1 Relación entre la tasa nominal y tasa efectiva Conociendo la tasa nominal (j), procedemos a convertirla en tasa efectiva mediante los pasos siguientes: 1. Determinamos el número de capitalizaciones (m), ya que la tasa nominal nos dice el período de capitalización, entonces podemos hallar el número de períodos que hay en el tiempo definido por la tasa nominal. 2. Determinaremos la tasa efectiva periódica (i), que se obtiene a partir de (j) y (m) así:

i = j = interés nominal m No. de períodos

2.6.2

3. Pasamos la tasa efectiva periódica a tasa efectiva anual i e utilizando la siguiente fórmula

ie = (1 + ip )m - 1 = (1 + j/m)m - 1

2.6.3

Ejemplo 2.26: Convirtamos una tasa nominal del 30% anual capitalizable trimestralmente a una tasa efectiva anual. Solución: 1. El número de capitalizaciones m = 4 (porque hay 4 trimestres en el año) 2. La tasa periódica para el ejemplo será:

i = j/m = 0.30/4 = 0.075

Por lo tanto, una tasa nominal anual del 30% capitalizable trimestralmente es equivalente a una tasa efectiva trimestral del 7.5%. 3. Calculamos la tasa efectiva anual, donde m = 4, j = 0.30, así: ie = (1 + 0.30/4) 4 - 1 = 0.33546 = 33.55% efectivo anual Ejemplo 2.27: Convirtamos una tasa nominal del 24% semestral capitalizable mensualmente a una tasa efectiva anual. 1. El número de capitalizaciones m = 6 (porque hay 6 meses en un semestre) 32

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

2. La tasa periódica para el ejemplo será:

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

i = j/m = 0.24/6 = 0.04

 Así, una tasa del 24% semestral capitalizable mensualmente es equivalente a una tasa efectiva del 4% mensual. 3. La tasa efectiva anual será: ie = (1 + 0.24/6) 12 - 1 = 0.6010 = 60.10%  Así, para una misma tasa nominal, a mayor número de capitalizaciones mayor tasa de interés efectiva. La tasa efectiva siempre será mayor o igual a la tasa nominal. Ejemplo 2.28: Convirtamos una tasa nominal del 30% anual capitalizable una vez al año, a una tasa efectiva anual equivalente:  Aquí tenemos que: j = 0.30, m = 1, luego mediante la fórmula 2.5.3 tenemos: ie = (1 + 0.30/1) 1 - 1 = 1.30 - 1 = 0.30 = 30% Lo anterior nos confirma que: una tasa efectiva anual es igual a la tasa nominal cuando esta última capitaliza una sola vez al año. Ejemplo 2.29: ¿Qué tasa de interés efectiva semestral, es equivalente a una tasa de interés efectiva anual del 43.5%?

DATOS

SOLUCION

ie = 0.435 efectiva anual i = ie = j/m = ? efectiva semestral m=2

ie = (1 + i)m - 1 0.435 = (1 + i) 2 - 1 1 + i = (0.435 + 1) 0.5 i = 1.1979 - 1 = 0.1979 = 19.79%

Ejemplo 2.30: Tenemos una tarjeta de crédito cuya tasa de interés es 2.5% mensual. Determinar la tasa anual que realmente me cuesta.

Datos: ip = 0.025; m = 12; j = ?; i = ? Primeramente, calcularemos la tasa nominal equivalente a la tasa periódica mensual y posteriormente la convertiremos en una tasa efectiva anual  j = 0.025*12 = 0.30 ó 30% i = [1+ 0.025]12 -1= 0.3449 ó 34.49%

33

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

De la fórmula 2.6.3 podemos hallar la tasa nominal j y la tasa periódica i p si conocemos su frecuencia m y la tasa efectiva anual i e, esto es:

 j = m [(1 + ie)1/m  – 1]

2.6.4

ip = [(1 + ie)1/m  – 1]

2.6.5

2.6.3.2 Relación entre dos tasas nominales El valor futuro de P a la tasa nominal j2 con m2 capitalizaciones en el año es F2 = P(1 + j2 /m2)m2. El valor futuro de P a la tasa nominal j1 con m1 capitalizaciones en el año es F1 = P(1 + j1/m1)m1. Si ambas tasas son equivalentes, entonces al final del año los valores futuros son iguales, es decir F1 = F2 por tanto (1 + j1/m1)m1 = (1 + j 2/m2)m2 despejando j1 de la ecuación anterior se obtiene:

 j1 = m1[(1 + j2 /m2 )m2 /m1 - 1]

2.6.6

La fórmula 2.6.6 nos permite calcular la tasa j 1 capitalizable m1 veces en el año, equivalente a una tasa nominal j2 capitalizable m2 veces en el año. Ejemplo 2.31: Encuentre la tasa de interés capitalizable semestralmente, equivalente a la tasa del 12% capitalizable trimestralmente. Datos: j2 = 0.12

m2 = 4

m1 = 2

j1 = ?

Solución: Utilizando la fórmula 2.6.6 tenemos que  j1 = 2*[(1 + 0.12/4)4/2 - 1] = 2*[(1 + 0.03)2 - 1] = 0.1218 = 12.18%

34

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

2.6.3.3 Relación entre una tasa nominal continua y una tasa efectiva Las fórmulas del interés continuo simplifican frecuentemente la solución de modelos matemáticos complejos. En todas las fórmulas anteriores hemos utilizado el convenio de fin de período para pagos globales a interés discreto. A partir de ahora, en la solución de los ejemplos y/o ejercicios utilizaremos cualquiera de estos dos métodos según el requerimiento de cada caso. Cuando el interés capitaliza en forma continua, m se acerca al infinito, la fórmula (2.6.3) puede escribirse de forma diferente. Si se continuaran haciendo cálculos sobre periodos cada vez más cortos, por ejemplo, capitalizaciones cada hora, cada minuto...., se llegaría a un límite que se puede escribir como el límite i efectivo anual cuando el número de períodos m por año tiende a  y esto a su vez puede escribirse como:

i = e j – 1 donde

2.6.7

j: tasa de interés continua

Ejercicios propuestos 1.

Si una compañía invierte hoy $ 3,000 y va a recibir $ 6,000 dentro de 12 años ¿Cuál es la tasa de interés compuesta?

2.

Calcule el valor futuro de un crédito de C$ 45,000, si la tasa de interés es del 12% anual a un plazo de 5 años.

3.

Si usted invierte hoy C$ 180,000 en un negocio de bienes y raíces, ¿en cuánto debe vender su propiedad dentro de 10 años si quiere obtener una tasa de retorno del 12 % anual?

4. ¿Cuánto dinero podría tomar usted en un préstamo ahora si le paga al prestamista C$ 5,850 dentro de 2 años y la tasa de interés es del 10% anual? 5.

Si se invierten $3,500 ahora esperando obtener $8,700 en una fecha posterior, ¿Cuándo deberá recibirse el dinero a fin de ganar al menos el 8% de interés anual.

6.

Si se planea hacer un deposito ahora de tal manera que se tengan C$ 80,000 en una cuenta dentro de 5 años , ¿Cuánto deberá depositarse si la tasa de interés es del 8% anual.

7.

¿Cuánto dinero se acumularía en 25 años si se depositan C$ 1,800 dentro de un año, C$ 6,600 dentro de 6 años y C$ 7,500 dentro de 7 años, todos a una tasa de interés del 10% anual?

8.

¿Cuál es el interés que se gana un proyecto que requiere de una inversión inicial de C$7,000 y produce C$20,114 al término de su vida útil de 6 años? 35

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

9.

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

Un inversionista deposita un certificado a plazo fijo la cantidad de C$ 35,500 y desea que se le duplique, se sabe que el certificado gana una tasa de interés del 12% efectivo. Hallar el tiempo del plazo.

10. ¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de C$ 6,000 en una cuenta de ahorros que acumula el 12% semestral, para que se conviertan en C$ 16,000? 11. Si en una cuenta de ahorros que paga el 12% anual se depositan C$1,000 anuales durante 5 años, ¿Qué cantidad se acumularía al final del año 8, si el primer depósito se hizo al final del año 1? 12. ¿En qué tiempo un capital P se duplica a una tasa del 16% capitalizable mensualmente? ¿en qué tiempo se triplica? 13. Hallar la tasa nominal anual convertible mensualmente equivalente al 18% convertible bimensualmente. 14. Hallar la tasa de capitalización continúa equivalente al 15% efectiva anual. 15. Hallar la tasa nominal anual capitalizable trimestralmente equivalente al 15% capitalizable continuamente. 16. Una persona contrae una obligación financiera con el Banco del Norte a través de un préstamo comercial por la cantidad de C$325,000 a dos años de plazo y al 18% capitalizable mensualmente sobre saldo. Conviene cancelar la deuda mediante tres pagos de igual valor, dentro de un año, 18 meses y al término del plazo respectivamente. Halle el valor de cada pago, si se establece la fecha focal dentro de un año. 17. Un padre coloca C$12,500 en una cuenta de ahorros al nacer su hijo. Si la cuenta paga el 14% capitalizable semestralmente, ¿Cuánto habrá en la cuenta al cumplir 14 años y 6 meses el hijo? 18. El señor Pedro Munguía desea realizar un préstamo personal para invertir en su negocio por un valor de C$150,000 para cancelarlo en tres años y le ofrecen dos ofertas una al 18% capitalizable trimestralmente y 18.375% capitalizable semestralmente. ¿Cuál es la más conveniente? 19. ¿Cuál es el valor inmediato de las siguientes cantidades? a.C$24,500 pagaderos en seis años al 12.6% capitalizable mensualmente. b.C$45,800 pagaderos en 30 meses al 28% convertible semestralmente. c.C$55,700 pagaderos en dos años al 18% efectivo. 20. La señora Campos tiene dos ofertas para saldar una deuda pendiente con su acreedor, pagar C$16,000 en la fecha o pagar C$20,000 dentro de 5 años. ¿Qué opción debe aceptar si la tasa de interés es del 22% convertible semestralmente? 36

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

21. Una pequeña empresa de calzado tiene dos cuentas pendientes con el banco de préstamos, una de C$80,000 pagadera en 2 años y otra de C$65,000 pagadera en 18 meses, ambas con intereses al 25% capitalizable semestralmente. La empresa ha observado un decrecimiento notable en la demanda de sus productos y no puede asumir las obligaciones financieras a como están establecidas. El banco ha analizado la situación de su cliente y le ha propuesto el siguiente plan de pago, de las cuales la empresa debe aceptar una para cancelar las deudas, a una tasa del 18% capitalizable mensualmente. a) Un sólo pago dentro de 3 años. b) Dos pagos iguales, dentro de 2 y 4 años, respectivamente. c) Tres pagos iguales dentro de 1, 2 y 3 años, respectivamente. 22. Una persona desea acumular la cantidad de $35,000 dólares para comprarse una casa, si actualmente dispone de 10,000 dólares que los ahorrará en una cuenta que paga el 10% capitalizable trimestralmente, cuánto tiempo deberá esperar para acumular la cantidad deseada y comprar la casa? 23. ¿Cuánto debe invertir una persona ahora al 18% capitalizable trimestralmente para tener C$16,500 en su cuenta dentro de 8 años y 6 meses? 24. María obtiene un préstamo de US$15,000 con intereses al 16% capitalizable mensualmente. Acepta pagar $6,500 en 1 año y 5 meses y el saldo en 2 años y 4 meses. Halle el pago final para cancelar la deuda. 25. Un terreno es vendido por $18,600 en efectivo el día de hoy y $1,500 anuales por los próximos 4 años. Si la tasa de interés aplicable a esta transacción es del 12.5% capitalizable trimestralmente, ¿cuál es el precio de contado del terreno? 26. Un proyecto tiene un flujo de caja neto de la siguiente manera: primer año $2,500, segundo año $3,650, tercer año $4,580, cuarto año $4,320 y quinto año $5,320. ¿Cuál es el valor actual neto si la tasa de descuento es del 20% anual? 27. Si en una cuenta de ahorros que paga el 8% anual se depositan $2,000 anuales durante 4 años, ¿Qué cantidad se acumularía al final del año 8, si el primer depósito se hizo al final del año 1? 28. ¿Cuál es el interés que se gana un proyecto que requiere de una inversión inicial de $18,000 y produce $22,300 al término de su vida útil de cuatro años? 29. ¿En qué tiempo un capital de C$ 88,500 alcanza un valor de C$ 350,000 si es invertido al 8.5% capitalizable mensualmente? ¿en qué tiempo se duplica? 30. Un préstamo personal por $ 10,200 se obtuvo hace un mes, se cancela mediante dos pagos uno de C$ 5,600 el día de hoy y otro por la cantidad que usted determine dentro de 3 meses si el interés es del 10% semestral. 37

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

2.7 SERIE UNIFORME DE FLUJOS DE EFECTIVO. Normalmente las personas vinculadas a la actividad financiera reciben o pagan cantidades iguales de dinero o intervalos iguales de tiempo, a una tasa de interés compuesto y ocasionalmente continuo. Tales pagos o recibos los denominamos series uniformes de flujos de efectivo o anualidades, en el mercado financiero. Estas con frecuencia se utilizan en las diversas transacciones, ya sea, comerciales o financieras, tanto del sector público (gastos del gobierno) como del sector privado, esto se da en función de: depositar, retirar, amortizar o abonar igual cantidad de dinero; pagar primas de seguros de vida, recibir o pagar salarios nominales fijos, pagos de renta de la vivienda, amortizaciones a préstamos personales e internacionales. El hecho de llamarlas anualidades no significa que los pagos o recibos fijos se realicen anualmente. Las anualidades pueden ocurrir cada quince días, cada mes, cada trimestre, semestre anual o cualquier otro período que se escoja en la actividad financiera. La expresión de anualidad puede cambiarse por el de rentas, series uniformes, pagos periódicos, etc. En resumen: “Una serie uniforme de flujos de efectivo es un fluj o de caja con cantidades de dinero uniform es que se pagan o reciben a intervalos iguales de t iemp o a un a determ inad a tasa de int eré s c om pu esto . ”  

2.7.1 ELEMENTOS DE UNA SERIE UNIFORME DE FUJOS DE EFECTIVO O ANUALIDADES. 

Pago o recibo periódico: Usaremos la letra (A) para designar la magnitud del valor de cada flujo periódico.



Período de pago o período de capitalización de la anualidad:



Plazo o término de la anualidad:   Es el intervalo de tiempo transcurrido desde el

Es el intervalo de tiempo entre dos flujos sucesivos o sea el intervalo de tiempo en el cual los intereses acumulados se convierten en capital. comienzo del primer período en que se efectúa el primer flujo, hasta el final del último.



Tasa de interés: Por tratarse las anualidades de equivalencias financieras, las tasas de interés se trabajarán en sus tasas equivalentes efectivas (i) capitalización.

2.7.2 CLASIFICACIÓN DE UNA SERIE UNIFORME DE FLUJOS DE EFECTIVO O ANUALIDAD En correspondencia a la forma y al período de pago de las anualidades estas pueden clasificarse como sigue: 38

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

1. Anualidad ordinaria o vencida: Es aquella serie de pagos en la cual los pagos son efectuados al final de cada intervalo de pago es decir que el primer pago se hace al final del primer intervalo de pago y así sucesivamente.

2. Anualidad anticipada: Es aquella serie de pagos en que los pagos se presentan a inicios de cada período de capitalización y el último se produce un período antes del plazo de la anualidad.

3. Anualidad diferida: Es aquella serie de pagos cuyo primer pago se realiza después de transcurrido varios intervalos o períodos de capitalización.

4. Anualidad perpetua: Es aquella serie de pagos cuyo pago se inicia en una fecha fija y continúa para siempre, en términos matemáticos se interpreta que el plazo de la anualidad tiende al “infinito”.

39

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

2.7.3 ANUALIDAD ORDINARIAS O VENCIDAS 2.7.3.1 ANUALIDADES ORDINARIAS Y SU RELACION CON EL PRESENTE

P

El valor presente de la serie uniforme (anualidad) mostrada en la figura se puede determinar considerando cada valor A como un valor F en la fórmula del valor presente pago único y luego sumando los valores del valor  presente. P=

A + A + A + A +.......+ A + A . 2 3 4 n-1 1+i (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)n

Factorizando A P = A [

1 + 1 + 1 +........+ 1 + 1 ] 2 3 n-1 1 + i (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)n

La ecuación anterior se puede simplificar multiplicando ambos lados por 1/1+i para obtener: P = A[ 1 + 1 + 1 +........+ 1 + 1 ] 2 3 4 n n+1 1+i (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) Restando esta última ecuación de la anterior y despejando P se obtiene P - P=A[ 1 - 1 ] n+1 1+i (1+i) 1+i

P = A (1 + i)n - 1 , i 0 i(1 + i)n

2.7.1

El término entre corchetes, es denominado factor valor presente serie uniforme (FVPSU), lo denotaremos por (P/A,i%,n), la ecuación general se presenta como

P = A (P/A, i%, n) 40

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

2.7.2

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

Esta ecuación dará el valor presente P de una serie uniforme anual equivalente A, que comienza al final del año 1 se extiende durante n años a una tasa de interés i%. De la ecuación 2.7.1 podemos determinar el valor del flujo de efectivo A que se obtendría si se invierte una cantidad P en el tiempo cero.

A = P

i (1 + i)n  (1 + i)n - 1

2.7.3

la nomenclatura que emplearemos para definir esta fórmula es:

A = P (A/P, i%, n)

2.7.4

el factor (A/P, i%, n) es llamado Factor de recuperación de capital (FRC). Ejemplo 2.32: Un individuo desea depositar una suma de dinero en una cuenta de ahorros de tal modo que pueda hacer 5 retiros anuales iguales de C$ 2,000 antes que se agote el fondo. Si el primer retiro lo hace un año después del depósito y la cuenta paga un interés del 7% anual. ¿Cuánto debe de depositar? Datos:

A = C$ 2,000

n = 5 años i = 7% anual  A = C$2,000

 Años 0

1

2

3

4

5

P = 2,000( (1+0.07)5 – 1) / (0.07*(1.075)) P = 2,000(P/A,7%,5) = 2,000(4.1002) = C$8,200.4 Ejemplo 2.33: Una persona deposita C$ 100,000 en una cuenta que paga el 5% semestral. Si esta persona quisiera retirar cantidades iguales al final de cada semestre durante 5 años. ¿De qué tamaño deben ser los retiros? Datos:

41

P = C$100,000 n = 5 años(2 sem/año) i = 5% sem.

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

 A = ?

Semestre 0

2

4

6

8

10

 A = 100,000[(0.05)(1.0510)/(1.0510-1)]  A= 100,000(A/P,5%,10)  A = 100,000(0.1295) = C$ 12,950.50 Ejemplo 2.34: Si tenemos una anualidad de US$ 500 anual, durante cinco años vencidos. Si la tasa de descuento es igual a 13%, ¿cuál es el valor presente de la anualidad? Datos: A = 500; n = 5; i = 0.13; VA = ?  Aplicando la fórmula (2.7.1) tenemos: P = 500*

(1 + 0.13)5  - 1 0.13(1 + 0.13)5

= US$ 1,758.62

Ejemplo 2.35: Usted gana la lotería. Cuando va a cobrar, los ejecutivos de la lotería le proponen lo siguiente: cobrar hoy US$ 500,000 ó US$ 3,000 mensuales a una tasa del 6% anual capitalizable mensualmente durante los próximos 25 años. ¿Qué elige Ud.? Solución: En este caso, primero determinamos el valor presente de los US$ 3,000 mensuales para compararlos con los US$ 500,000. El dinero hoy vale más que en el futuro. i = 0.06/12 = 0.005 ; A = 3,000; n = (25*12) = 300 meses; i = 0.005; P = ?  Aplicando la fórmula (2.7.1) tenemos: P = 3,000

(1 + 0.005)300 - 1 0.005(1 + 0.005)300

= US$ 465,620.59

El valor presente de las 300 cuotas mensuales de US$ 3,000 descontadas a la tasa del 6% anual capitalizable mensualmente es US$ 465,620.59 inferior a los US$ 500,000 que cobraríamos hoy, en consecuencia, nuestra decisión será cobrar la lotería hoy.

42

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

Ejemplo 2.36: Una inversión de C$ 120,000 hoy, debe producir beneficios anuales por un valor de C$ 45,000 durante 5 años. Calcular la tasa de rendimiento del proyecto. Solución: P= 120,000; A = 45,000; n = 5; i = ? Utilizando la expresión Tasa de Excel tenemos

La tasa de rendimiento anual del proyecto es de 25.41% Ejemplo 2.37: Una institución tiene programado llevar a cabo campañas de venta entre sus afiliados y asume como monto de contado el valor de US$ 1,200, para su pago en 36 mensualidades constantes pospagables a 2.87% mensual. Calcular el valor de las cuotas mensuales. Solución: P = 1,200; i = 0.0287; n = 36; A = ?  A = 1200

0.0287(1 + 0.0287)36 (1 + 0.0287)36 -1

= US$ 53.90

2.7.3.2 ANUALIDADES ORDINARIAS Y SU RELACION CON EL FUTURO Para determinar la equivalencia a la tasa convenida i en el futuro, de una serie uniforme de flujos de efectivo, representamos por A el flujo neto al final del período, el cual ocurre durante n períodos. Por consiguiente, la cantidad acumulada F al final del año n, se puede obtener al sumar la equivalencia de cada una de las anualidades. Esta relación de una cantidad futura con una serie uniforme de flujos de efectivo, se representa gráficamente como:  ANUALIDADES

Semestre 0

1

2

3

4

…

n-3 n-2 n-1

n

F 43

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

Si comenzamos a sumar los flujos netos A de cada período a partir de n, obtenemos la siguiente serie: F = A + A(1 + i) + A(1 + i) 2 + A(1 + i) 3 + ... A(1 + i) n-1 factorizando: F= A*[1 + (1 + i) + (1 + i) 2 + (1 + i) 3 + ... (1 + i) n-1 ] lo que está dentro de los corchetes es una progresión geométrica cuya razón es (1 + i); la suma de términos de esta progresión es: S = (1 + i)n-1(1 + i) - 1 = (1 + i)n - 1 (1 + i) - 1 i Para calcular el valor futuro de la serie, dado el valor de A, utilizamos la siguiente relación:

F=A

(1 + i)n - 1 i

2.7.5

la nomenclatura que emplearemos para definir esta fórmula es:

F = A (F/A, i%, n)

2.7.6

el factor (F/A, i%, n) es llamado Factor de acumulación de capital (FAC). De la ecuación 2.7.5 podemos determinar el flujo neto A que es necesario desembolsar para acumular al final del período n una cantidad F:

A = F

i (1 + i)n - 1

2.7.7

la nomenclatura que emplearemos para definir está fórmula es:

A = F (A/F, i%, n)

2.7.8

el factor (A/F, i%, n) es llamado Factor fondo de amortización (FFA).

44

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

Ejemplo 2.38: Una empresa deposita en un fondo de amortización al final de cada mes la cantidad de C$5,000. ¿Cuál será el valor acumulado en el fondo al término del segundo año, si el fondo gana una tasa de interés del 12% anual capitalizable mensualmente?

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 ..

22

23 24

meses

 A = C$5,000

DATOS

SOLUCION

 A = C$5,000 n = 24 meses =(12*2)  j = 0.12 i = j/m = 0.12 /12= 0.01 mensual

F = 5,000 ((1.0124 - 1)/0.01) F = 5,000 (26.9735) F = C$ 134,867.50

F = A(F/A,i%,n) = 5,000 (F/A,1,24) = 5,000 (26.9735) = C$134,867.50 Ejemplo 2.39: ¿Cuánto deberá invertir la Sra. Gómez al final de cada 3 meses, durante los próximos 4 años en un fondo que paga el 16% anual capitalizable trimestralmente, con el objeto de acumular C$ 250,000al final del periodo?

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15 16 trimestre

 A = ?

DATOS

SOLUCION

F = 250,000  j = 0.16 anual m=4 i = 0.16/4 = 0.04 trimestral n = 4 años N = 16 trimestres  A = ?

A = 250,000(0.04/(1.0416  – 1)) A = 250,000(0.04582) A = C$11,455.00

 A = F(A/F,i%,n) = 250,000(A/F,4,16)  A = 250,000(0.04582) = C$11,455.00

45

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

Ejemplo 2.40: Si trimestralmente deposito C$ 1,800 en un banco que paga el 18% de interés anual capitalizando trimestralmente. ¿Qué monto habré acumulado después de 16 trimestres?. Solución:  A = 1,800; i = (0.18/4) = 0.045; n = 16; F = ? F = 1,800 (1+ 0.045)16  - 1 0.045

= C$ 40,894.81

2.7.4 CALCULO DEL VALOR PRESENTE Y DEL VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA  Anticipar (Del latín anticipare). Hacer que algo suceda antes del tiempo señalado o esperable o antes que otra cosa. Son aquellas anualidades valoradas anticipadamente a su final. El tiempo que transcurre entre el final de la anualidad y el momento de valoración es el período de anticipación.

P

Recuérdese que una anualidad anticipada es aquella cuyo pago periódico vence  –se efectúaal principio del intervalo de pago, por ejemplo la renta del edificio dónde están las instalaciones de su empresa. Considere una anualidad vencida con pago anual A durante un plazo n de años y una anualidad anticipada con las mismas condiciones. ¿Qué diferencia existe entre una y otra? De la comparación debe notarse que:  

La anualidad vencida no tiene pago al principio del plazo, en el primer periodo; mientras que la anualidad anticipada tiene pago al principio del plazo

 

La anualidad vencida tiene pago al final del plazo , mientras que anticipada no tiene pago al final del plazo, en el último periodo

46

la anualidad

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

Teniendo presente lo anterior se puede deducir que el valor presente de una anualidad anticipada A, en un plazo n, con una tasa de interés i; corresponde a la suma del pago A realizado al principio del plazo y el valor presente de los n - 1 pagos restantes

P = A + A ((1 + i)n -1 - 1) i (1 + i)n-1

2.7.9

la nomenclatura que emplearemos para definir esta fórmula es:

P = A + A (P/A, i%, n-1)

2.7.10

Para deducir la ecuación del valor futuro de una anualidad anticipada considere la ecuación 2.5.1 de la cual se conoce el valor presente P, al multiplicarla por (1 + i)n se halla la ecuación del valor futuro

F = A + A ((1 + i) n -1 - 1) (1 + i)n i (1 + i)n-1

2.7.11

la nomenclatura que emplearemos para definir esta fórmula es:

F = (A + A (P/A, i%, n-1)) * (F/P; i%;n)

2.7.12

Los valores actuales y futuros de las anualidades anticipadas son el resultado de actualizar o capitalizar con un período más las vencidas. Por esta razón los resultados de las anualidades anticipadas son siempre mayores que de las vencidas. Ejemplo 2.41: Determinar el valor actual y futuro de una renta de 28 cuotas anuales anticipadas de C$ 2,500 si la tasa de interés es del 9% anual. Datos:

A = 2,500; n = 28; i = 0.09; P = ?

Para el cálculo del valor actual P aplicamos la fórmula (2.7.9) P = 2,500 + 2,500 ((1 + 0.09)28 -1 - 1) 0.09 (1 +0.09)28-1

= C$27,566.45

Para el cálculo del valor futuro aplicamos la fórmula (2.7.11) F = 2,500 + 2,500 ((1 + 0.09 )28 -1 - 1)

0.09 (1 + 0.09)28-1

47

(1 + 0.09)28 = C$ 307,838.39

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

2.7.5 CALCULO DEL VALOR FUTURO Y EL VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA Son aquéllas anualidades valoradas con posterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen de la anualidad y el momento de valoración es el período de diferimiento, o de gracia o de carencia. Para valorar la anualidad diferida, primero calculamos la anualidad en su origen; considerándola como anualidad vencida determinamos el valor presente o actual; posteriormente descontamos el valor actual (como un solo capital) hasta el momento t elegido, a interés compuesto y a la tasa de interés vigente durante el período de diferimiento. El diferimiento únicamente afecta al valor actual, el valor futuro es calculado como una anualidad vencida. Las fórmulas para este tipo de anualidades son las mismas que para las anualidades vencidas y anticipadas con la diferencia que éstas tienen períodos de gracia.

K P Una anualidad es diferida cuando el primer pago se hace algún tiempo después del término del primer periodo de interés. La anualidad diferida se diferencia de la vencida y la anticipada en que existe un “periodo de desfase” k, durante el cual no se efectúan los pagos A, mismos

que deberán hacerse durante un determinado plazo n. Considere esta situación en la que realiza un préstamo bancario P, para pagarlo durante los próximos 16 meses (n), con la condición de hacer el primer pago en el cuarto mes (desfase k = 3); es decir que se harán n  – k pagos de C$ 500 mensual a una tasa de interés mensual del 10% mensual, ¿a cuánto asciende el valor del préstamo?. Para poder responder a esta interrogante se ha determinado la ecuación del valor presente de una anualidad diferida, a partir de las ecuaciones 2.7.1, 2.5.4 y de las características señaladas para este tipo de anualidad, se obtiene que

A [(1 + i)n -k  - 1] i (1 + i) n-k

P=

(1 + i)  –k 

2.7.13

la nomenclatura que emplearemos para definir esta fórmula es:

P = ( A (P/A, i%, n-k) ) * (P/F, i%, k) 48

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

2.7.14

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

Conociendo el valor presente de una anualidad diferida y multiplicando este valor por (1+ i )n se ha obtenido que el valor futuro de una anualidad diferida con un periodo de desfase k, en un plazo n y con una tasa de interés i es igual al valor futuro de una anualidad vencida, pero calculada para n – k periodos

A [(1 + i)n -k - 1] i

F=

2.7.15

la nomenclatura que emplearemos para definir esta fórmula es:

F = A (F/A, i%, n-k)

2.7.16

Ejemplo 2.42: Compramos hoy un producto a crédito por C$ 60,000, para pagar en 20 cuotas trimestrales, el primer abono lo hacemos al año de adquirido. Determinar la cuota asumiendo una tasa de 32% anual capitalizable trimestralmente.

Solución: P = 60,000; n = 20; i = (0.32/4) = 0.08; A = ?

Para calcular la cuota primero calcularemos el valor futuro del presente en el año tres: F = 60,000 (F/P, 8%,3) = 60,000 * (1.2597) = 75, 582 Posteriormente calculamos la anualidad como si fuera una anualidad vencida partiendo de un valor presente en el año 3  A = 75,582 (A/P, 8%, 20) = 75,582 * 0.10185 = 7,698.03 Por tanto el valor de la cuota a pagar es de C$ 7,698.03

2.7.6 ANUALIDAD PERPETUA Una anualidad perpetua es una aquella cuyo pago se inicia en una fecha fija y continúa para siempre, en términos matemáticos se interpreta que el plazo n de la anualidad tiende al “infinito”.

49

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

P

 A partir del valor presente P de una anualidad A, que representa una serie de pagos, depósitos o flujo periódico uniforme para cada uno de estos periodos y efectuando algunas modificaciones podríamos derivar las perpetuidades. La característica de una perpetuidad es que el número de periodos es grande, de forma que el valor de los últimos flujos al descontarlos es insignificante. El valor de la anualidad de muchos términos, llamada perpetuidad, es calculada con la siguiente fórmula:

A=P*i

2.7.17

Las perpetuidades permiten cálculos rápidos para determinar el valor de instrumentos de renta fija de muchos periodos. En este caso, A es el rendimiento periódico e « i » la tasa de interés relevante para cada período. Ejemplos de perpetuidades son las inversiones inmobiliarias con canon de arrendamiento, dada la tasa de interés aproximamos el valor de la inversión (A). Por lo general, la tasa de interés es casi siempre anual y el canon de arriendo es mensual, por lo cual deberá establecerse la tasa de interés equivalente para este período de tiempo. Otras aplicaciones importantes son las pensiones o rentas vitalicias. Ejemplo 2.43: Para que dos personas estudien becados en una universidad de prestigio, dentro de 10 años, es requisito fundamental -entre otros- depositar el día de hoy una suma de dinero en una institución financiera que paga mensualmente por ahorros de este tipo el 1.5% y que permite a la institución disponer de C$ 2,500 mensuales a perpetuidad. ¿Cuánto debo depositar el día de hoy? Solución:

A = 2,500; i = 0.005; P = ?  A = C$ 2,500 meses 0

119 120

n

P = 2,500/ 0.015 = C$ 166,666.67 El valor presente obtenido de C$ 166,666.67, estará ubicado en el mes 119, por tanto hay que llevarlo al mes 0, utilizando la ecuación 2.5.4. Mensualmente el dinero gana C$ 2,500 de interés. P = 166,666.67 (1 + 0.015)-119 = 28,339.34

50

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

1. Calcule el número de pagos de C$15,000 que se requeriría en el diagrama de flujo de caja siguiente para que los pagos anuales sean equivalentes al ahorro inicial de C$37,000. Utilice una tasa de interés del 10% anual.

│C$37,000 │ │  i=10% │ 5 6 7 8 n-2 n-1 n ├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼─────────┼──┼──┼──┼─── años 0 1 2 3 4 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──┴──┴──┴─────────┴──┴──┘ A = C$15,000/año

2.8 SERIES CON CRECIMIENTO ARITMETICO Y GEOMETRICO. 2.8.1 SERIES DE FLUJO DE EFECTIVO CON CRECIMIENTO ARITMETICO. Un gradiente uniforme es una serie de flujo de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme. Es decir que el flujo de caja ya sea ingreso o desembolso, cambia en la misma cantidad cada año. La cantidad de aumento o disminución es el gradiente. Por ejemplo los gastos de mantenimiento de un cierto equipo se puede incrementar una cierta cantidad constante cada periodo. El flujo de caja con crecimiento aritmético o serie gradiente aritmética es aquella que aparece en la figura. G│ G┌─────│ G┌─────├─────│ G┌───────────┤─────┤─────┤ G┌─────├───────────├─────├─────│ G┌─────├─────├───────────├─────├─────│ G┌─────├─────├─────├───────────├─────├─────│ G┌─────├─────├─────├─────├───────────├─────├─────│ ┌─────┼─────┼─────┼─────┤─────├───────────┤─────┤──── ┤ A │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ├─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼───────────┼─────┼─────┼── 0

1

2

3

4

5

6

n-2

n-1

n

Como puede observarse el flujo del primer periodo es A 1 y del segundo periodo en adelante el flujo se incrementa en una cantidad constante G. Dicho flujo es equivalente a tener.

51

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

(n-1)G

│ │ │ 4G │ │ │ 3G │ │ │ │ 2G │ │ │ │ │ G │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ├───┼───┼───┼───┼───┼─────┼────┼────┼──── (n-2)G (n-3)G │

A1

┌───┬───┬─────┬───┬───┐ │ │ │ │ │ │ ├───┼───┼───┼─────┼───┼───┼── 0

1

2

3

n-2

n-1

n

+

0

1

2

3

4

5

n-2

n-1

n

Existen varias maneras por medio de las cuales se pueden deducir los factores gradientes uniformes. Podemos utilizar el factor VAPU (P/F,i%,n), pero se podría obtener el mismo resultado empleando los factores cantidad compuesto serie uniforme o valor presente serie uniforme. Refiriéndonos a la figura anterior, encontramos que el valor presente en el año 0 de los pagos gradientes sería igual a la suma de los valores presentes de los pagos individuales, así: PG = G(P/F,i%,2) + 2G(P/F,i%,3) + 3G(P/F,i%,4) +... + (n-2)G(P/F,i%,n-1) + (n-1) G(P/F,i%,n) Factorizando G PG = G [ 1 + 2 + 3 + ...... + (n-2) 2 3 4 (1+i)   (1+i)   (1+i)   (1+i)n-1 

+

n-1 ] (1+i)n

Si multiplicamos la igualdad por (1+i) entonces: PG(1+i) = G [

1 1+i

+

2 + 3 + ...... + 2 3 (1+i)   (1+i)  

(n-2) + n-1 ] n-2 (1+i)   (1+i)n-1

Restando las ecuaciones: PG(1+i) - PG = G[

1 1+i

+

1 + 1 + ...... + 1 2 3 (1+i)   (1+i)   (1+i)n-1 

+

1-n ] (1+i)n

De donde: PG =

G [ 1 i 1+i

+

1 + 1 + ...... + 1 + 1 ] G*n . 2 3 n-1 n (1+i)   (1+i)   (1+i)   (1+i)   i(1+i)n

La expresión entre corchetes es el valor presente de una serie uniforme de 1 a n años, por tanto: 52

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

PG = G (1 + i)n – 1 G*n . n i i(1 + i) i(1 + i)n

PG = G i

(1 + i)n - 1 n i(1 + i)n (1 + i)n

2.8.1

La ecuación 2.8.1 es la relación general para convertir un gradiente uniforme G para n años en un valor presente en el año 0. El valor presente gradiente uniforme y la notación estándar del factor es: (P/G,i%,n) = 1 i

(1 + i)n - 1 - n . i(1 + i)n (1 + i)n

Nótese que el gradiente empieza en el año 2 y P se halla en el año 0. La ecuación 2.8.1 está representada por la notación estándar como:

PG = G(P/G,i%,n)

2.8.2

La serie anual uniforme equivalente del gradiente G puede obtenerse multiplicando el valor presente de la ecuación 2.8.1 por la expresión del factor (A/P,i%,n).  AG = PG * (A/P,i%,n)  AG = G(P/G,i%,n) * (A/P,i%,n)  AG = G(A/G,i%,n) Nótese que en la forma estándar la equivalencia de cancelación algebraica de P puede usarse para obtener (A/G,i%,n) De donde:  AG = G i

(1 + i)n -1 n n i(1 + i) (1 + i)n

 AG = G (1 + i)n - 1 -ni i i(1 + i)n

i(1 + i)n . (1 + i)n -1

i(1 + i)n . (1 + i)n -1

AG = G 1 n i (1 + i)n - 1

2.8.3

La expresión entre llaves de 2.8.3 se denomina factor serie uniforme gradiente uniforme y se identifica (A/G,i%,n). Hay que comprender que la serie anual no es sino un valor A equivalente al gradiente. Obsérvese que el gradiente empieza en el año 2 y que los valores A ocurren desde el año 1 hasta el año n inclusive. 53

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

El factor F/G (valor futuro gradiente uniforme) puede obtenerse multiplicando los factores P/G por F/P para los mismos valores de la tasa de interés y n de la siguiente manera: (P/G, i%,n)(F/P,i%,n) = (F/G,i%,n) De donde: FG = G(P/G,i%,n)(F/P,i%,n) FG = G i

(1 + i)n -1 n n i(1 + i) (1 + i)n

FG = G (1 + i)n - 1 -ni i i(1 + i)n

FG = G i

(1 + i)n

(1 + i)n .

(1+i)n - 1 - n i

2.8.4

 Así para situaciones de flujos de caja que incluyan gradientes aritméticos: 1. La cantidad base es una serie uniforme A que comienza en el año 1 y se extiende hasta el año n. 2. Para un gradiente creciente la cantidad de gradiente debe adicionarse a la cantidad de serie uniforme. 3. Para un gradiente decreciente la cantidad de gradiente debe restarse de la cantidad de serie uniforme. Las ecuaciones generales de cálculo de gradientes aritméticos son:

Valor Presente

PT = PA PG = A1(P/A; i%;n) G(P/G;i%;n)

2.8.5

Valor Futuro

FT = FA FG = A1(F/A; i%;n)

2.8.6

Anualidad

AT = A1

G(F/G;i%;n)

AG = A1 G(A/G;i%;n)

2.8.7

Ejemplo 2.44: Una persona piensa abrir una cuenta de ahorros que paga el 12% anual. Para empezar, piensa ahorrar al final del año C$5,000; sin embargo, puesto que su salario está creciendo constantemente, esta persona cree poder incrementar la cantidad a ahorrar en C$1,000 cada año. Si esta misma persona hiciera depósitos anuales de la misma magnitud. ¿De qué tamaño tendrían que ser para que la cantidad acumulada en 10 años fuera la misma? 54

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

Sol: En el siguiente gráfico se presenta la situación de la persona. Como podemos ver, se incrementa el ahorro en C$1,000; por lo tanto, podemos descomponer la serie en dos, una constante de 5,000 y una gradiente de 1,000.  A = 5,000

n = 10 años

i = 12% anual

G = 1,000 │

G┌─────│

┌─────├─────│ │ │ │ │ │ │ G ┌───────├─────├─────│ G┌─────├───────├─────├─────│ ┌─────├─────├───────├─────├─────│ 5,000│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ├─────┼─────┼─────┼ - - - ┼─────┼─────┤ G

0

1

2

3

8

9

10

 A= 5,000 + 1,000(A/G,12%,10)  A= 5,000 + 1,000(3.5846)  A= C$ 8,584.7

2.8.2 SERIE DE FLUJO DE EFECTIVO CON CRECIMIENTO GEOMÉTRICO Estos flujos ocurren en ambientes crónicos inflacionarios o bien en épocas de recesión. Bajo esta situación los flujos de caja pueden aumentar o disminuir de acuerdo a un % fijo de un periodo a otro. Este tipo de flujo de caja se llama serie gradiente, el cual se muestra en forma general en la figura. A1(1+j)n-1

│ │ │ │ │ │ │ │ │ 2 │ │ │ │ A1(1+j) │ │ │ │ │ A1(1+j) │ │ │ │ │ │ A1 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ├──────┼──────┼──────┼──────┼──────┼──────┼──────┼──────────┼──────┼── PERIODOS 6 A1(1+j)

0

1

2

3

4

5

6

7

n-1

n

donde A representa la cantidad de dinero en el año 1 y j representa la tasa de crecimiento. La derivación de la ecuación para el valor presente PE de una serie en escalera se muestra calculando el valor presente del flujo de caja de la figura.

55

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

PE =

A1 + (1+i)

= A1

1 1+i

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

A1(1+j) + (1+i)2  +

A1(1+j)2 (1+i)3 

+

A1(1+j)3 (1+i)4 

1+j + (1+j)2  + (1+j)3 (1+i)2  (1+i)3  (1+i)4 

+ .... + A1(1+j)n-1 (1+i)n + .... + (1+j)n-1 (1+i)n

Multiplicando ambos lados por 1 + j 1+i PE  1+j 1+i

= A1

1+j + (1+j)2 + (1+i)2  (1+i)3 

(1+j)3 +...... + 1+j)n . (1+i)4  (1+i)n+1

Restando las dos ecuaciones y factorizando P se obtiene: PE

1+j 1+i

- 1

(1+j)n (1+i)n+1 

= A1 

1 1+i

Resolviendo PE y simplificando se obtiene:

PE = A1 ((1 + j)/(1 + i))n - 1  j - i

sí j i

2.8.8

Donde P indica el valor presente de una serie geométrica partiendo en el año 1 con valor A de dinero. Sí j = i entonces:

PE = A1

n ( 1 + j)

= A1

n ( 1 + i)

2.8.9

El valor futuro FE del gradiente exponencial se calcula de la siguiente manera: FE = PE (1+i)n FE = A1 [ (1+j)/(1+i) ]n - 1  j - i

* (1 + i)n

FE = A1 (1 + j)n - (1 + i)n  j - i 56

sí j  i

sí j i

2.8.10

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

Si j = i entonces:

FE = A1 n (1 + j)n-1 = A1 n (1 + j)n-1 

2.8.11

Para encontrar el valor de una anualidad A E  equivalente a un gradiente geométrico calculamos primero el valor Futuro equivalente F E  y posteriormente hacemos uso de la fórmula de anualidad ordinaria vencida, dado el valor futuro. Sabemos que: FE = A1  (1+j)n - (1+i)n (j - i)

Pero también F = A (1+i)n -1 i

igualando tenemos:  A

(1+i)n - 1 = A1 (1 + j)n - (1 + i) n i (j - i)

donde al despejar A obtenemos:

AE = A1 (1+j)n - (1+i)n * (j - i)

i (1+i) n - 1

j i

2.8.12

Ejemplo 2.45: Un padre de familia ha destinado un fondo de dinero para que su hijo estudie el bachillerato. Al chico le faltan 9 semestres, y debido a la inflación, la colegiatura aumenta el 8% semestral. Si el padre de familia deposita este fondo en una cuenta bancaria que paga el 6% semestral. ¿Cuánto tendría que depositar si la colegiatura del primer semestre es de C$2,000? Suponga que el pago de la colegiatura ocurre al final del semestre. Sol:  A1= C$2,000 n = 9 semestres  j = 8% semestral i = 6% semestral P = 2,000(P/A,6%,8%,9) P = 2,000 * 1 – [1.08/1.06]9 0.06 - 0.08

57

= 2,000 (9.1604) = 18,320.90

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Determine la cantidad de dinero que debe depositar ahora una persona para poder retirar $3,600 anuales durante 10 años empezando dentro de 20 años si la tasa de interés es 15% anual. 2. ¿Cuál es el costo anual uniforme equivalente en los años 1 hasta 16 de $250 por año para 12 años, empezando el primer pago dentro de 5 años, si la tasa de interés es del 18% anual. 3. Una pareja adquirió una póliza de seguro y piensa utilizarla para financiar la universidad de su hijo. Si la póliza va a proporcionar $10,000 dentro de doce años, ¿cuánto puede retirar cada año durante cinco años si el niño empieza en la universidad dentro de quince años? Supóngase que la tasa de interés es del 18% anual. 4. Una mujer ha depositado $700 anuales durante 8 años. A partir del noveno año aumentó sus depósitos a $1,200 anuales durante 5 años. ¿Cuánto dinero tenía en su cuenta inmediatamente después que hizo su último depósito si la tasa de interés era del 12% anual? 5. ¿Cuánto dinero tendría en su cuenta la mujer del problema 4, dentro de treinta años si ella no hiciera más depósitos después del que hizo en el año trece? 6. Un hombre se propone ahorrar para cuando se jubile, de manera que pueda retirar dinero todos los años durante treinta años, empezando dentro de veinticinco años. El calcula que podrá empezar a ahorrar dentro de un año y se propone ahorrar $500 anuales. ¿Cuál será la cantidad anual uniforme que podrá retirar cuando se jubile si la tasa de interés es del 15% anual? 7. Un hombre de negocios compró un edificio usado y encontró que el aislamiento del techo era insuficiente. Estimó que con 6 pulgadas de espuma aisladora podría disminuir la cuenta de la calefacción en $25 mensual y el costo del aire acondicionado en $20 mensuales. Suponiendo que los seis primeros meses del año son de invierno y los seis siguientes de verano, ¿cuánto puede permitirse gastar en aislación si espera tener el edificio dos años solamente?. Suponga que i = 1 1/2% mensual? 8. Una pareja se propone hacer una inversión ahora para financiar la universidad de su hijo. Si el hijo pudiera retirar $1,000 anuales en los años 15 hasta 20 de tal manera que el último retiro cierre la cuenta, ¿cuánto debe invertirse ahora si el interés se calcula en 9% anual? 9. Si la pareja del problema anterior busca hacer un depósito uniforme durante 14 años en lugar de invertir una suma total, ¿cuánto deberían depositar cada año empezando dentro de un año?

58

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

10. Pizzaroni Pizza tiene un contrato de arrendamiento de diez años por 200 metros cuadrados de superficie en un centro comercial cerrado. El arriendo se paga anualmente a una tasa de $100 por metro cuadrado. Al final del cuarto año del contrato, el propietario de la pizzería decide comprar un edificio y reubicar su negocio. ¿Cuánto debe pagársele al propietario del centro comercial por el resto del contrato si la tasa de interés es 10% anual? 11. Para comparar el alquiler contra la compra de un microcomputador, un ingeniero ha determinado convenir pagos de comienzo de período (para arrendamiento) a pagos al final de período. La cantidad de comienzo de período fue de $1,000 por mes y el computador se alquiló durante 3 años. Si la tasa de interés nominal de la compañía es 18% anual capitalizable mensualmente, ¿cuál es la cantidad equivalente del final de período? 12. Determine los pagos de comienzo de año que podría ser equivalentes al siguiente flujo de caja. Use una tasa de interés de 20% anual. 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Año

├────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼──────── │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ┤ │ │ │ │ $1,200 │ │ │ │ │ └────┴────┴────┴────┘ $2,000

13. Si una pareja abre una cuenta de ahorros mediante un depósito de $1,500 cada año durante 14 años, ¿cuánto habrá en la cuenta después del último depósito si la tasa de interés es 12% anual? 14. ¿Cuánto habrá en la cuenta del problema 15 si la tasa de interés cambia a 15% después de los primeros 5 años? 15. Encuentre el valor de X en el diagrama siguiente, que haría igual a $22,000 el valor presente equivalente del flujo de caja, si la tasa de interés es 16% por año. P   =

$22,000

A

= $950

X

│ ┌──┬──┬──┬──┬──┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼─────── 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

Año

18. Calcule el valor de  x   en el siguiente flujo de caja, de tal manera que el valor total equivalente en el mes 7 sea $8,000, utilizando una tasa de interés del 1 1/2% mensual. Mes FC 59

0 200

1 200

2 200

3 200

4 200

5 X

6 X

7 X

8 X

9 500

10 500

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

11 500

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

19. Encuentre el valor de X de tal manera que el flujo de caja positivo sea exactamente equivalente al flujo de caja negativo, si la tasa de interés es 16% anual. $1,200

│ │ │ │

$1,000

│ │ │ │

│ │ │ │ │ │ │ │ │  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Año ───┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────────── 0 │ │ │ $500 │ │ X │2X │ $800

20. Calcule la cantidad de dinero en el año 7 que sería equivalente a los siguientes flujos de caja si la tasa de interés nominal es 15% anual capitalizable semestralmente. Mes FC

0 900

1 900

2 900

3 900

4 5 6 1,300 1,300 1,300

7 0

8 900

9 900

21. La compañía GRQ compra una máquina por $12,000 con un valor de salvamento esperado de $2,000. Los gastos de operación de la máquina serán de $18,000 anuales.  Además se necesita una revisión general importante, cada cinco años, con un costo de $2,800. ¿Cuál es el costo presente equivalente de la máquina si tiene una vida útil de 18 años y la tasa de interés es 15% anual? 22. ¿Cuánto dinero puede pedir prestado hoy si se compromete a pagar C$ 650 anuales durante 8 años, comenzando dentro de un año a una tasa de interés del 20% anual? 23. ¿Qué cantidad anual uniforme tendría que depositar durante 5 años para tener una suma actual equivalente de una inversión de C$ 9,000 a una tasa de interés del 14% anual? 24. ¿Cuál es el valor futuro de una serie anual uniforme de C$ 1,580 durante 12 años a una tasa de interés del 15% anual? 25. Una persona desea comprar una propiedad y le ofrecen el siguiente plan de pago: ocho pagos de C$ 70,000 cada años, empezando a pagar al final del año 1. ¿Cuál es el valor presente de esta oferta si la tasa de interés es del 18% anual? 26. ¿Cuánto debe depositarse al final de cada trimestre, en un fondo de inversiones que abona el 10%, capitalizable trimestralmente, para acumular $ 50,000 al cabo de 5 años? 27. Un contrato estipula pagos semestrales de $400 por los próximos 10 años y un pago adicional de $2,500 al término de dicho período. Hallar el valor presente equivalente del contrato al 9% capitalizable semestralmente. 60

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

28. Determine el valor actual y final de una serie de depósitos de $ 150,000 al final de cada año por 8 años, si la tasa de interés es del 22.5% efectivo anual. 29. ¿Qué pago uniforme de fin de año se requiere para pagar completamente una deuda de C$ 1,250,000 en 9 años, si el primer pago se efectúa dentro de un año y la tasa de interés anual es del 18%? 30. Un ingeniero ha determinado convenir pagos de comienzo de periodo (para arrendamiento) por la compra de un computador. La cantidad de comienzo de periodo fue de C$ 1,500 por mes y el computador se alquila durante 3 años. Si la tasa de interés nominal de la compañía es 18% anual capitalizable mensualmente, ¿Cuál es el valor presente y el valor futuro de la compra? 31. Una persona compra un automóvil en C$ 1,800,000. Si le exigen una cuota inicial del 40% y el saldo lo va a cancelar en 24 cuotas mensuales vencidas, ¿a cuánto ascendería la cuota suponiendo intereses del 26% anual capitalizable mensualmente? 32. Para reunir C$ 300,000 mediante 6 depósitos iguales y vencidos con interés efectivo del 5% ¿Cuál debe ser el valor de la cuota? 33. Un artículo cuyo precio de contado es C$ 30,000 se puede adquirir mediante 12 pagos mensuales de C$ 3,500 al principio de cada mes. ¿Cuál es la tasa efectiva mensual cobrada y la tasa nominal anual capitalizable mensualmente? 34. Calcular el valor de contado de una mercancía que es comprada mediante 8 pagos mensuales al principio de cada mes de C$ 3,000 y un pago final de C$ 10,000 al final de un año. Suponga intereses del 25% anual capitalizable mensualmente. 35. Una persona devenga un salario de C$ 3,500 al final de cada mes, de los cuales ahorra el 30% durante 7 años y 4 meses, a una tasa de interés del 1% mensual. ¿Podrá esta persona comprarse una casa cuyo valor, en esa época, es de C$ 140,000 con el importe de sus ahorros? 36. Una compañía petrolera está planeando vender una cantidad de pozos petrolíferos en producción. Se espera que los pozos produzcan 100,000 barriles de petróleo por año, durante 11 años más. Si el precio de venta por barril es actualmente de $35, ¿cuánto estaría usted dispuesto a pagar por los pozos si se espera que el precio del petróleo aumente $3 por barril cada 3 años, con el primer aumento dentro de 2 años?. Suponga que la tasa de interés es 12% anual para los primeros 4 años y 15% por año después y que las ventas de petróleo se hacen al final de cada año. 37. Calcule el valor presente y el valor futuro en el año 10 de los siguientes desembolsos. Suponga que i = 16% anual. AÑO DESEMBOLSO

61

0 3500

1 3500

2 3500

3 3500

4 5000

5 5000

6 5000

7 5000

8 5000

9 5000

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

10 15000

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

38. Un concesionario de un edificio compró un triturador de basura en $3,500. Mantuvo el triturador a un costo de $2,500 por año. Hizo una revisión general de la máquina cuatro años después de la compra, a un costo de $4,000. Dos años después de la revisión vendió el triturador en $18,000. ¿Cuál es el costo anual uniforme equivalente de la máquina si la tasa de interés era 12% anual? 39. ¿Cuánto dinero tendría que depositar usted durante seis años consecutivos, empezando dentro de un año, si desea retirar $45,000 dentro de 11 años? Suponga que la tasa de interés es 10% anual. 40. Una importante compañía manufacturera compró una máquina semiautomática por $13,000. Su mantenimiento anual y el costo de operación ascendieron a $1,700. Cinco años después de la adquisición inicial, la compañía decidió comprar una unidad adicional para que la máquina fuera totalmente automática. La unidad adicional tuvo un costo original de $7,100. El costo de operación de la máquina en condiciones totalmente automáticas fue $900 anuales. Si la compañía usó la máquina durante un total de 16 años y luego vendió la unidad automática adicional en $1,800 ¿cuál fue el costo anual uniforme equivalente de la máquina a una tasa de interés de 16%? 41. Una compañía solicita un préstamo de $8,000 a una tasa de interés nominal de 15% anual capitalizable mensualmente. La compañía desea pagar la deuda en 14 pagos mensuales iguales, empezando con el primer pago dentro de un mes; (a) ¿cuál debería ser el monto de cada pago?, (b) si después de 8 pagos la compañía desea pagar totalmente el saldo de la deuda en el noveno mes, ¿cuánto deberá pagar la compañía? 42. Si usted necesita tener $125,000 dentro de 21 años para la educación universitaria de su hijo, ¿cuánto deberá depositar cada año si hace su primer depósito ahora y el último dentro de 18 años? Suponga que la tasa de interés es 12% anual. 43. La señora Pérez compra un carro a través de un banco, de la siguiente forma: C$20,000 de cuota inicial y acuerda pagar mensualmente la cantidad de C$2,500 por 12 meses, el primero con vencimiento el día 20 de enero de 1995. ¿Cuál será el valor de contado del vehículo, si la tasa de interés es del 24% capitalizable mensualmente? ¿Cuál será el valor financiado? 44. Don José desea que el beneficio de un seguro de C$150,000 sea invertido al 10% anual y que dicha cantidad su viuda reciba C$7,500 anuales, haciéndose el primer pago inmediatamente, y durante todo el tiempo que viva. En la fecha de pago siguiente a la muerte de su esposa, el sobrante del fondo será donado al "Hogar del Niño". Si su esposa muere 7 años 10 meses más tarde. ¿Cuánto recibirá "El Hogar del Niño". 45. En esta fecha Danilo contrae una deuda con intereses al 20% capitalizable trimestralmente, la cual será pagada mediante desembolsos de C$500 al final de cada 3 meses por los próximos 5 años, seguidos de pagos de C$1,000 trimestrales por los siguientes 4 años. Calcule el importe de la deuda que pagará Danilo. 62

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

46. Una pareja piensa pedir un préstamo de $500 cada año durante los dos próximos años para cubrir los gastos de Navidad. Debido al aumento en los costos piensan pedir un préstamo de $550 dentro de 3 años, $600 al próximo año y $650 al año siguiente. Sin embargo, debido a la edad de sus hijos, esperan tener que pedir solamente $300 por año después de esa fecha. Calcule (a) el valor presente y (b) el costo anual uniforme equivalente a los desembolsos durante un total de 15 años usando una tasa de interés de 15% anual. 47. Una mujer ha depositado $ 700 anuales durante 8 años. A partir del noveno año aumentó sus depósitos a $ 1,200 anuales durante 5 años. ¿Cuánto dinero tenía en su cuenta inmediatamente después que hizo su último depósito si la tasa de interés era del 15% anual? 48. Con intereses al 20% anual capitalizable trimestralmente, ¿Cuál debe ser el valor de los pagos semestrales vencidos que hechos por 10 años amortizaran una deuda de C$ 1,200,000? ¿y si los pagos se hacen anticipados? 49. Un apartamento se arrienda mediante el pago de C$ 20,000 por mensualidades anticipadas y por el término de un año. Si una persona ofrece pagar todo el año por anticipado, ¿Cuánto deberá pagar suponiendo una tasa de interés del 30% capitalizable mensualmente? 50. Determine el valor actual y final de una serie de depósitos de $ 320 al final de cada mes durante 4 años, si la tasa de interés es del 12.1204% capitalizable trimestralmente. 51. La compañía ZN-OK está considerando dos tipos de máquina, las cuales realizarán el mismo trabajo. Los flujos de caja netos para cada una se tabulan a continuación. Calcule el valor presente de cada máquina utilizando una tasa de interés anual de 18%.  Año 0 1 2 3 4 5 6

Flujos de Caja Máquina A Máquina B $ + 2,000 $ + 2,000 2,000 2,000 2,000 2,500 2,500 3,000 2,500 3,500 2,500 4,000 2,500 2,500

Año 7 8 9 10 11 12

Flujos de Caja . Máquina A Maquina B $ + 3,000 $ + 2,500 3,500 2,500 4,000 2,500 4,500 3,000 3,000 3,500 3,000 4,000

52. Una persona solicita un préstamo de $8,000 a un 7% nominal por año capitalizado trimestralmente. Ella desea pagar la deuda en 12 cuotas semestrales, la primera de las cuales abonaría dentro de 3 meses. Si los pagos tienen incrementos en $50 cada vez, determine el monto del primer pago.

63

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

53. Encuentre el valor G en el siguiente diagrama que haría el flujo de ingreso equivalente al flujo de desembolso, usando una tasa de interés anual de 20%. A = $600

┌────┬────┬────┬────┬────┐ │ │ │ │ │ │ ├────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼─────────  0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

│

│ │

G

2G

11

12

│ │ │

│ │ │ │

3G

Año

4G

54. Calcule el valor de X para las serie de flujo de caja siguiente, de tal manera el valor total equivalente en el mes 5 sea $25,000 usando una tasa de interés nominal de 12% anual capitalizable mensualmente. Mes 0 1 2 3 4 5 6 7

Flujo de Caja 100 100 + x 100 + 2x 100 + 3x 100 + 4x 100 + 5x 100 + 6x 100 + 7x

Mes 8 9 10 11 12 13 14

Flujo de Caja 100 + 8x 100 + 9x 100 + 10x 100 + 11x 100 + 12x 100 + 13x 100 + 14x

55. Encuentre el valor de G de tal manera que el diagrama de flujo de caja de la izquierda sea equivalente al de la derecha. Use una tasa de interés anual de 13%. 4G

│ 2G │ │ G │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ──── ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼──────── Año 3G

$7,000

│ │ │ │ │ ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───Año $1,000

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

7

56. Despeje el valor de X utilizando una tasa de interés de 12% anual. 0

1

2

3

4

5

├───┼───┼───┼───┼───┼────── = │ │ │ │ │ └───┴───┴───┴───┘ $1,300

0

1

2

3

4

5

6

Año

├─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼────── │ │ │ │ │ │ │ X │ │ │ │ │ │ X+50 │ │ │ │ │ X+100 │ │ │ │ X+150 │ │ │ X+200 │ │ X+250 │ X+300

64

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

57. Si comprar una máquina cuesta $15,000 y los costos de operación son de $1,000 al final del primer año, $1,200 al final del segundo y así sucesivamente $200 más por un año hasta el año 12, ¿Cuál es el valor presente de la máquina si la tasa de interés es 15% anual capitalizable semestralmente? 58. Calcule el valor presente para la compañía Barcia Editores del alquiler de una computadora cuyo costo es de $15,000 para el primer año y de $16,000 para el segundo, y un incremento de 10% para los años subsiguientes. Asuma que los pagos del alquiler se hacen al principio del año utilizando un período de estudio de 7 años. La compañía necesita una tasa de retorno mínima de 16% anual. 59. Para el siguiente diagrama, encuentre el valor de X que hará el flujo de caja negativo igual al flujo de caja positivo de $800 en el tiempo cero. Suponga un interés de 15% anual. $800

│ 1 2 3 4 Año │0 ├────┼────┼────┼────┼─────── │ │ │ │ $100 │ │ │ $150 │ │ $200 │ X

60. Las ganancias de un proyecto lechero disminuye en $10,000 mensual. Si hubo ganancias el primer mes por $650,000, ¿cuál será el valor acumulado al final de un año, si las ganancias se reinvierten en una corporación financiera al 18% anual capitalizable mensualmente. 61. Encuentre el valor futuro (en el mes 9) del siguiente flujo de caja usando una tasa de interés mensual de 1%. │ F=?│ │ 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Mes

├────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼─────────── │ │ │ │ │ $800 │ │ │ │ $900 │ │ │ $1,000 │ │ $1,100 │ $1,200

62. Calcular el valor presente en el tiempo 0 de un arriendo que requiere un pago actual de $20,000 y que se incrementa en un 6% cada año. Asuma que los pagos se hacen al principio de año y que se toma el arriendo por un total de 10 años. Use un interés de 15% anual. 65

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA

INGENIERIA ECONOMICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

63. Calcule el valor presente de una máquina que tuvo un costo inicial de $29,000 con un salvamento de $5,000, después de 8 años, y un costo de operación anual de $13,000 para los tres primeros años, con un incremento de 10% cada año en los años subsiguientes. Use un interés del 15% anual. 64. Calcular el valor presente de una máquina cuyo costo es $55,000 y tiene una vida de 8 años con un costo de salvamento de $10,000 después de 9 años. Se estima un costo de operación de $10,000 en el primer año y de $11,000 en el segundo con un incremento del 10% por año en los años subsiguientes. Use una tasa de interés de 15% anual. 65. Calcule el costo equivalente anual de una máquina que costó $73,000 y que tendrá un costo de salvamento de $10,000 después de 9 años. El costo de operación es de $21,000 en el primer año, $22,050 en el segundo y se va incrementando en un 5% cada año. Se requiere una tasa de retorno de 19% anual. 66. Halle el valor presente del siguiente flujo de caja, utilizando una tasa anual de interés de 16%. $140

│ │

│ │ │

│ │ │ │

5

6

7

$100 $60

0

1

2

3

4

Año

├────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼───────── │ │ │ │ │ │ │ │ $100 │ │ │ │ │ │ │ $130 │ │ │ │ │ │ $160 │ │ │ │ │ $190 │ │ │ │ $220 │ │ │ │ │ │ $310 │ │ $380 │ $450

67. Halle el valor presente en el tiempo 0 del flujo de caja siguiente. Suponga que el interés es de 15% anual. 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Año

├────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────── │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │  $340 │ │ │ │ │ │ │  $360 │ │ │ │ │ │  $380 │ │ │ │ │  $400 │ │ │ │  $420 │ │ │  $440 │ │  $460 │  $480 $500

66

UNIDAD II: ECUACIONES DE EQUIVALENCIA DE INGENIERIA ECONOMICA