Ingenieria Economica

TERMINOLOGIA Y SIMBOLOS DE LA INGENIERIA ECONOMICA.

P

Valor o cantidad de dinero en un momento denotado como presente o tiempo “0” también P recibe el nombre de Valor Presente (VP), Valor Presente Neto (VPN), Flujo de Efectivo Descontado (FED) y Costo Capitalizado (CC).

F

Valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro “F”, también recibe en nombre de Valor Futuro (VF); unidades monetarias.

A

Serie de cantidades final del periodo.

de dinero consecutivas, iguales y del

“A” también se denomina Valor Anual (VA), y Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE); unidades monetarias por año, unidades monetarias por mes.

n Número de periodos de capitalización.

i t

interés, años, meses, días. Periodo de

Tasa de interés o tasa de retorno por periodo; porcentaje anual; porcentaje mensual, por ciento diario.

Tiempo expresado en periodos, años, meses, días.

DATOS PERSONALES.

Nombre:

Grupo:

Semestre:

Correo Electrónico:

GRAFICAS DE FLUJO DE EFECTIVO.

Sin estimaciones de Flujo de Efectivo durante un periodo establecido resulta imposible llevar a cabo un estudio de Ingeniería Económica . Las Entradas (ingresos) y Salidas (costos) estimaciones de dinero movimientos de dinero que realiza cualquier tipo de entidad ya sea física o moral. Se necesitan herramientas gráficas y algebraicas para representar de manera clara y sencilla los flujos de efectivo. • • • •

Ingresos de alguna venta. Reducción de costos de operación. Ahorros en costos de construcción y instalación. Ahorros en impuestos sobre la renta.

EJEMPLOS DE ENTRADAS DE FLUJO DE

• EJEMPLOS DE SALIDAS DE FLUJO DE EFECTIVO.

• • •

Costo de adquisición de activo. Costos de diseño de ingeniería. Costos de Operación. Impuestos sobre la renta.

jo de efectivo resulta imposible realizar estudios de Ingeniería Necesitamos herramientas gráficas y algebraicas paraEconómica representar de manera clara y sencilla l

Herramientas graficas que se utilizan

1 4

2

3

DIAGRAMAS DE FLUJO DE EFECTIVO.

DIAGRAMA DE FLUJO DE EFECTIVO: Herramienta muy importante en un análisis económico, particular cuando la serie de flujo de efectivo es compleja. Se dice que recibe dinero. Tendrá empresa.

una entidad tiene

un flujo de

flujo de efectivo

efectivo negativo

en

positivo cuando

cuando fluya o salga

de la

Al graficar un flujo de efectivo se utiliza una línea horizontal que represente el tiempo, el inicio del periodo se ubica en el extremo izquierdo y el final en el extremo derecho de la línea.. Los flujos de efectivo están representados por flechas con la punta hacia arriba o hacia abajo según sea positivo o negativo el flujo de efectivo con repecto a la cantidad analizada.

( -)

SALIDAS

ENTRADAS

( +)

(FLUJO DE EFECTIVO NEGATIVO).

(FLUJO DE EFECTIVO POSITIVO).

TIEMPO

FIN DEL PERIODO

(+) INICIO

(-)

NOTA: En Ingeniería Económica no es usual representar el tiempo en años, meses o días, simplemente como periodo de tiempo, por lo que al presente le corresponde el periodo “0”

EJERCICIOS DE

DIAGRAMAS DE FLUJO DE EFECTIVO.

EJERCICIO 1: Supóngase que una persona deposito $ 1,000 en el banco el 1 De Enero de 1990 y pudo retirar $1,750 el 31 de Dic del 1992 represente este hecho desde el punto de vista del ahorrador

EJERCICIO 2: Ahora represente el hecho anterior desde la perspectiva del banco

EJERCICIO 3:Una persona pide un préstamo al banco de $2,500 dlls para comprar en efectivo una Harley- Davison usada de $ 2,000 dlls y utiliza el resto para pagar un trabajo de pintura, pueden adoptarse varias perspectivas. a) Realiza el diagrama de la persona.

flujo d e efectivo

desde la perspectiva de

EJERCICIO 4: Supóngase que obtiene un préstamo de $ 2,000 ahora al 7% anual durante 10 años, y debe reembolsarlo en pagos anuales iguales. Determine los símbolos que se requieren para resolver el problema y sus valores.

EJERCICIO 5: Usted planea hacer un deposito único de $5,000 ahora en una cuenta de inversión que paga el 6% anual, y desea retirar una cantidad igual de $ 1,000 a fin de año durante 5 años comenzando el siguiente año. Al final del sexto año usted piensa cerrar la cuenta retirando el saldo. Defina los simbolos de Ingeniería Económica que implica el problema.

EJERCICIO 6: Usted desea comprar una Televisión de plasma la mejor opción la encuentra en Elektra, la forma de pago que le ofrece es de hacer 10 pagos iguales de $900, represente este hecho desde su punto de vista.

INTERES Y PERIODO DE CAPITALIZACIÓN.

CONCEPTO: Pago que se hace al propietario del capital por el uso del dinero.

PERIODO DE CAPITALIZACIÓN: Periodo mínimo necesario para que se pueda cobrar interés.

INTERES.

FORMULAS PARA EL CALCULO DE

CANTIDAD CANTIDAD QUE ORIGINAL SE DEBE AHORA

ADEUDO TOTAL PRINCIPAL (1+ TASA DE Ó TOTAL = ACUMULADOINTERES)

INTERES=

I N

INTERES.

VARIANTES DEL INTERES.

T E

INTERES PAGADO: Interés se paga cuando una persona u organización pide prestado (obtiene un préstamo y paga una cantidad mayor

INTERES GANADO: Cuando una persona u organización ahorra, invierte o presta direo y recibe una cantidad mayor.

R E S TASA DE INTERES

Porcentaje que se cobra de interés de determinada suma de capital

FORMULAS PARA EL CALCULO DE TASA DE

INTERES SUNAACUMULADO ORIGINAL POR *100 UNIDAD DE TIEMPO

i=

i=FP-1*100 *Esta ecuación se utiliza cuando no se conoce el interés acumulado por unidad de tiempo.

EJERCICIOS DE

INTERES Y TASA DE INTERES.

EJERCICIO 8: Un empleado de Laser Kinetics. Solicita un préstamo de $ 10,000 el 1 de Mayo y debe pagar un total de $ 10,700 exactamente un año después determine su tasa interés.

EJERCICIO 9: Stere Ophonics Inc. Tiene planes de solicitar un préstamo bancario de $ 20,000 durante un año al 9% de interés para adquirir equipo de grabación nuevo.

a) Calcule el interés y la cantidad total debida después de un año.

NOTA: La cantidad total a pagar también se calcula con la siguiente formula

ADEUDO TOTAL PRINCIPAL (1+ TASA DE Ó TOTAL = ACUMULADOINTERES)

EJERCICIO 10: Una compañía constructora que cotiza al publico reportó que acaba de pagar un préstamo recibido un año antes. Si la cantidad total de dinero que pagó la empresa fue de $ 1,600,000 y la tasa de interés sobre el préstamo fue del 10% anual ¿Cuánto dinero en préstamo recibió la compañía un año antes?.

EJERCICIO 11: Una persona presta $ 3,500 con la condición de que le paguen $4,025 al cabo de un año ¿ Cual es la tasa de interés anual que cobra el prestamista?

EJERCICIO 12: La compañía Hágase Rico Pronto invirtió $1000000 el 1 de Mayo y retiro un total de $ 106,000 exactamente un año después calcular. A) El interés ganado sobre la inversión inicial. B) La tasa de interés de la inversión.

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

INTERES SIMPLE

FORMULA

Se llama interés simple, al que por el uso del dinero a través de varios periodos de capitalización no se cobra interés sobre el interés que se debe. F= PRINCIPAL+ INTERES (TIEMPO)

FN=P(1+i)n INTERES COMPUESTO Ó CAPITALIZADO. FORMULA

Interes generado durante cada periodo de DONDE: interés se calcula sobre el principal más el monto total acumulado n =en todosde capitalización los periodos F= Valor Futuro. Periodos anteriores es un interés sobre interés. P=Cantidad inicial depositada i = Tasa de Interes

EJERCICIOS DE

INTERES SIMPLE Y COMPUESTO

EJERCICIO 13: Un prestamista cobra interés simple en sus operaciones. Si presta 3,500 durante 4 años al 15% de interés anual y acuerda que tanto el capital como los intereses se pagarán en una sola suma al final de los 4 años. ¿A cuanto asciende este pago único?

EJERCICIO 14: Ahora suponga que el mismo prestamista en vez de prestar su dinero al 15% de interés simple anual durante 4 años decide depositarlo en un banco que le paga un interés del 15% capitalizado por un periodo de 4 años ¿Cuánto tendrá acumulado al final del cuarto año?

EJERCICIO 15: Un banco local ofrece pagar un interés compuesto del 7% anual sobre las cuentas de ahorro nuevas. Un banco electrónico ofrece 7.5% de interés simple anual, por certificado de deposito a cinco años ¿Cuál oferta resulta mas atractiva para una empresa que desea invertir ahora $ 1,000, 000 para la expansión dentro de 5 años de su planta?.

EJERCICIO 16: Cierta empresa manufacturera a granel de mezcladores en línea planea solicitar un préstamo de $ 1,750,000 para actualizar una línea de producción si obtiene el dinero ahora puede hacerlo con una tasa de 7.5% de interés simple anual por cinco años. Si lo obtiene el año próximo, la tasa de interés será del 8% de interés compuesto anual, pero solo será por cuatro años . a) ¿Cuánto interés (total ) pagara en cada escenario?. b) La empresa debe tomar el préstamo ahora o dentro de un año.

EJERICICIO 17: Badger Pumnp Company invirtió $500,000 hace 5 años en una nueva línea de productos que ahora reditúa $ 1,000,000 ¿Qué tasa de rendimiento percibió la empresa sobre la base de a) Interes simple, b) interés compuesto.

EJERCICIO 18: Una persona espera recibir una herencia dentro de cinco años por un total de $ 50,000. Si la tasa de interés es del 12% anual capitalizado cada año. ¿A cuanto equivalen los $50, 000 al dia de hoy?

EQUIVALENCIAS ECONOMICAS.

E Q

•

Los términos equivalentes se utilizan muy a menudo para pasas de una escala a otra.

EJEMPLO:

U

12 PULGDAS = 1 PIE.

I

100 CM= 1 METRO.

V

•

A L E N C I A

Muchas medidas equivalentes son combinación de dos escalas.

EJEMPLO: 110 (KPH)=68 (MPH) •

Cuando consideremos juntos el valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés permiten formular el concepto de equivalencia económica que implica que dos sumas diferentes de dinero en diferentes tiempos tienen el mismo valor económico.

EJERCICIOS DE

EQUIVALENCIA ECONOMICA.

EJERCICIO 19: Si tengo $100 hoy a cuanto equivalen un año después y un año antes si la tasa de interés es del 6% anual.

EJERCICIO 20: Una empresa mediana de Consultoría en Ingeniería trata si de decidir si debe remplazar su mobiliario de oficina ahora o esperar un año para hacerlo. Si espera un año se piensa que el costo será de $16, 000 con una tasa de interés de 10% . ¿Cuál será el costo equivalente de hoy?.

EJERCICIO 21: Con una tasa de interés compuesto del 8% por año. ¿A cuánto equivalen $ 15,000 de hoy? a) Dentro de dos año. b) Hace tres años.

SOLUCIÓN: INCISO A. 1.- Conocemos la ecuación para calcular el valor futuro de una cantidad presente de interés compuesto, es la siguiente:

FN=P(1+i)n

SOLUCION INCISO B: 2.- Se necesita calcular el valor presente, de una cantidad futura la cantidad futura que tengo son los $ 1,000 pesos de hoy, necesito conocer su valor equivalente hace tres años es necesario despejar a “P”

f(1+i)n=P

≈ P=F1(1+i)n

NOTA: Estas ecuaciones son equivalentes obtengo el mismo resultado, la que utilizaremos en Ing Económica es la ecuación donde el valor futuro se queda en forma independiente.

FACTORES DE PAGO UNICO (F/P Y P/F).

FORMULA PARA CALCULAR VALOR ES FURUROS CUANDO CONOSCO UN VALOR PRESENTE.

FN=P(1+i)n

FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA DE PAGO UNICO (FCCPU) Ó FACTOR F/P

CONOSCO MI VALOR PRESENTE

F/P ESTA NOTACIÓN ME INDICA QUE ESTOY BUSCANDO UN VALOR FUTURO DE UN VALOR PRESENTE. LA “F” ES LO QUE ESTOY BUSCANDO, YLA “P” QUE ES LO QUE ESTA DADO P=F1(1+i)n

FORMULA PARA CONCER VALORES PRESENTES CUANDO CONOSCO VALORES FUTUROS.

FACTOR DE VALOR PRESENTE DE PAGO UNICO (FVPPU) Ó FACTOR P/F.

Se ha adoptado una notación estándar para los factores , la notación incluye los símbolos de flujo de efectivo la tasa de interés y el numero de periodos. Siempre esta en la forma general (X/Y, i,n). La literal “X” representa lo que se busca; mientras que la literal “Y” representa lo que esta dado, la “i” es la tasa de interés y “n” representa el número de periodos dados.

EJEMPLO:

(F/P, 6%,20)

FORMULA ORIGINAL FN=P(1+i)n

P=F1(1+i)n

Me indica que encuentre a “F” cuando “P” esta dado, con una tasa de interés del 6%, y el numero de periodos de capitalización es de 20.

FACTOR NOTACIÓN

NOTACIÓN SIMPLIFICADA

NOMBRE DEL FACTOR

EJERCICIOS DE FACTORES DE PAGO UNICO (F/P Y P/F).

EJERCICIO 20: Un Ingeniero recibió un bono de $12,000 que desea invertir ahora. Quiere calcular el valor equivalente después de 24 años, cuando planea usar todo el dinero resultante como enganche o pago inicial de una casa de vacaciones en una isla. Suponga que la tasa de retorno es de 8% anual para cada uno de los 24 años . A) Determine la cantidad que pueda pagar después de los 24 años; usando la notación simplificada.

EJERCICIO 21: Hewlet-Packart realizo un estudio que indica que $50,000 en loa reducción de, mantenimiento este año (es decir año 0), en una línea de procesamiento, fue el resultado de mejoramiento de la Tecnología de fabricación de circuitos integrados, en base a diseños que cambian repidamente. A) Si Hewlet- Packart considera que este tipo de ahorro vales un 20% anual, encuentre el valor equivalente de este resultado después de 5 años. B) Si el ahorro de $50,000 en mantenimiento ocurre ahora, calcule su valor equivalente 3 años antes con una tasa de interés de 20% anual.

EJERCICIO 22: Encuentre a “P” si i= 10% 1 40 30

2

3

4

5

EJERCICIO 23: La U.S. Border Patrol analiza la compra de un helicóptero nuevo para la vigilancia aérea de la Frontera de Nuevo Mexico y Texas con la Republica Mexicana, hace 4 años adquirió un helicóptero similar con un costo de $140,000 dlls. Con una tasa de interés de 7.5% anual.

EJERCICIO 24: ¿Para Cornig, Inc. Cuál es el valor de hoy de un costo futuro de $162,000 dentro de seis años con una tasa de interés del 12% anual?

SERIES UNIFORMES DE PAGO Y SU RELACIÓN CON EL PRESENTE.

• SERIES UNIFORMES DE PAGOS Y SU RELACIÓN CON EL PRESENTE

FORMULA.

Es muy común en la vida cotidiana realizar pagos, en donde la aportación es una serie de cantidades iguales durante ciertos periodos.

EJEMPLO: En la muebles etc.

compra

de casas, autos,

A=Pi(1+i)n(1+i)n-1 *CUANDO SE CONOCEN LOS PAGOS UNIFORMES Y SE DESCONOCE EL PRESENTE.

P=A(1+i)n-1i (1+i)n PARA PODER APLIVAR ESTAS FOMULAS ES NECESARIO RESPETAR LAS SIGUINETS REGLAS: 1. El valor presente es conocido. 2. Se conoce el valor de “n” pagos iguales llamados “A” 3. El primer pago se efectúa en el periodo 1 y el ultimo pago en el periodo “n”. 4. Los pagos no se suspenden en el transcurso de los “n” periodos.

P=A(1+i)n-1i (1+i)n

P=Ai (1+i)n(1+i)n-1

≈

NOTA: Al sustituir de una u otra forma se obtiene el mismo resultado.

EJERCICIOS DSERIES UNIFORMES DE PAGO.

EJERCICIO 24: Una persona compro una casa por $100,000 y decidió pagarla en diez anualidades iguales, haciendo el primer pago un año después de adquirirla la casa. Si la inmobiliaria cobra un interés del 10% capitalizado anualmente ¿A cuanto ascienden los pagos iguales que deben hacerse, de forma que con el ultimo pago se liquide totalmente la deuda.

Utilizando la ecuación de de series uniformes de conocer e “A” a través de un valor presente, se puede demostrar que haciendo pagos de $16,274.54 en forma continua durante 10 periodos consecutivos, con el ultimo pago se liquida totalmente la deuda de $100, 000 si la tasa de interés es de 10%. En el periodo cero se deben $100,000; para finales del año 1 se deberán $100,000 x 1.1= 11,000 pero en ese mismo momento se hace el primer pago , por lo que la deuda al final del primer año será de 11,000 – 16,274.54= 93 725.46. Al final del año 2 dado que se cobra un interés del 10%, se deberán 93, 725.46 x 1.1= 103 098 y se efectúa en ese momento el segundo pago, y así sucesivamente para poder ver estos movimientos se puede construir una tabla para poder ver los movimientos de flujos de efectivo:

AÑO

INTERES

DEUDA + INTERES

PAGO A FIN DE AÑO

DEUDA DESPUES DE PAGO

0

0

1

10,000

110,000

16,274.54

93,725.46

2

9372.54

103,098

16,274.54

86,823.46

3

8,682.34

95,505.80

16,274.54

79,231.26

100,000

4 5 6 7 8 9 10

0

EJERCICIO 25: Una ama de casa compra a crédito una lavadora y acuerda pagarla en 12pagos iguales mensuales de $95 comenzó dentro

de un mes. Si el proveedor cobra un interés del 2% mensual de sus ventas a crédito ¿Cuál es el valor de contado de la lavadora? Construye el diagrama de flujo de efectivo.

EJERCICIO 26: Encuentre a “A” si la tasa de interés es del 8%. A

A

A

A

1 5

2

3

4

60

EJERCICIO 27: Encuentre a “P” si i= 7%

20

20

20

1 5

2

3

4

P=?

FACTORES DE VALOR PRESENTE Y DE RECUPERACIÓN DE CAPITAL EN SERIES UNIFORMES (P/A A/P)

A=Pi(1+i)n(1+i)n-1

P=A(1+i)n-1i (1+i)n

FACTOR DE RECUPERACIÓN DE CAPITAL ( FRC)

FORMULA ORIGINAL

FACTOR NOTACIÓN

FACTOR DE PRESENTE DE UNIFORME (FVPSU)

NOTACIÓN SIMPLIFICADA

VALOR SERIE

NOMBRE DEL FACTOR

A=Pi(1+i)n(1+i)n-1

P=A(1+i)n-1i (1+i)n

EJERCICIO 28: ¿Cuánto dinero deberá destinarse para pagar ahora por $ 6,000 garantizados cada año durante 9 años, comenzando el próximo año, a una tasa de rendimiento del 16% anual?.

EJERCICIO 29: La Constructora ICA, en México analiza la compra una pala mecánica y un trascabo, para trabajos en la construcción de un

nuevo puente, hace 7 años se adquirió equipo similar con un costo de $475,000 dlls., con una tasa de interés del 5.8% anual ¿Cuál será el valor equivalente de dicho monto?.

SERIES DE PAGO Y SU RELACIÓN CON EL FUTURO.

En la vida cotidiana existen problemas que se relacionan con el futuro y una serie de pagos iguales, EJEMPLO: * PAGO DEL AFORE, *PAGO DE UN SEGURO, ETC. SEREIES DE PAGO Y SU RELACIÓN CON EL FUTURO.

FORMULAS:

F=A(1+i)n-1i

•

Cuando se desea conocer el monto de la serie te pagos uniformes y se conoce el valor futuro.

A=Fi(1+i)n-1

EJERCICIO 30: Si una persona ahorra $875 cada año en un banco que paga el 12% de interés capitalizado anualmente ¿Cuánto tendrá ahorrado al finalizar el noveno año, luego de 9 depósitos de fin de año?

EJERCICIO 31: La empresa Thomson Mechanical Products planea resrvar $150,000 dlls cada año para tal vez remplazar sus grandes motores sincrónicos de pulido una vez que sea necesario. Si el remplazo no fuera necesario durante 7 años ¿Cuánto tendría la compañía en la inversión que reservo si logra una tasa de rendimiento del 18% anual?.

EJERCICIO 32: Una persona desea contar con $13, 000 dentro de ocho años, su intensión para obtener esta suma es ahorrar una cantidad igual cada año, empezando el próximo año, en un banco que paga 7% interés capitalizado anualmente ¿A cuanto ascienden los depósitos iguales que deberá hacer los años 1 al 8 para juntar los $13,000.

EJERCICIO 33: Castores Autotransportes quiere tener dinero suficiente para comprar un Tracto camión nuevo dentro de 3 años. Si la unidad costara $ 250,000 ¿Cuánto debe de reservar cada año la compañía si la cuenta rinde 9% al año?

DERIVACIÓN DEL FACTOR DE FONDO DE AMORTIZACIÓN Y EL FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA SERIE UNIFORME (A/F Y F/A).

F=A(1+i)n-1i

A=Fi(1+i)n-1

FACTOR DE FONDO DE AMORTIZACIÓN

FORMULA ORIGINAL

FACTOR CANTIDAD COMPUESTA UNIFORME

FACTOR NOTACIÓN

NOTACIÓN SIMPLIFICADA

DE Ó SERIE

NOMBRE DEL FACTOR

F=A(1+i)n-1i

.

A=Fi(1+i)n-1

EJERCICIO 34: Forma plastic tiene grandes plantas de fabricación en Texas y Hong Kong. Su presidente quiere saber el valor futuro equivalente de una inversión de capital de $1 millón cada año durante 8 años, empezando un año a partir de ahora. El capital de Forma plastic gana a una tasa de 14% anual.

EJERCICIO 35: ¿ Cuanto dinero necesita depositar Carol empezando un año a partir de ahora a 5% por año para acumular $ 6,000 en siete años?.

cada año, que pueda

EJERCICIO 36: Una persona compro un auto de $ 24,000 y acordó pagarlo en 36 mensualidades iguales, a una tasa de interés del 1% mensual. Un plan alternativo de pago consiste en 2 anualidades de $4,218.50 al final del primer año y segundo año, y ya no pagar las ultimas 36 mensualidades iguales. El segundo plan consiste en pagar 24 mensualidades más dos anualidades de $ 4,218.50 al final de los meses 12 y 24.

EJERCICIO 37: Se pide un préstamo de $2,500 a un banco que cobra un interés del 9% anual capitalizado, el préstamo deberá cubrirse en 5 pagos

anuales iguales cada fin de año principiando un año después de recibir el préstamo ¿ A cuanto ascienden los pagos anuales iguales?

FACTORES DE GRADIANTE ARITMETICO P/G Y A/G.

GRADIANTE ARITMETICO.

Serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante . Es decir, el flujo de efectivo, ya sea ingreso o desembolso; cambia por la misma cantidad aritmética cada periodo. La cantidad del aumento o desembolso es el gradiante. EJEMPLO: UN ingeniero predice que el costo del mantenimiento de un robot aumentara en $500 anuales hasta que la maquina se desecha. ¿Cuál es el gradiante? EL GRADIANTE SON LOS $500 DIFERENCIAS ENTRE SERIES UNIFORMES “A” Y SERIES DE GRADIANTE “G”. *Las series “A” tienen cantidades de fin de año de igual valor. *En el

caso del gradiante, el flujo de efectivo de

NOTA: Al realizar el diagrama de flujo de efectivo, el 1 periodo no forma parte de la serie de gradiante, ya que no existe el incremento debido al gradiante. FORMULA PARA CALCULAR EL GRADIANTE ARITMETICO: GRADIANTE=Aumenton-1

EJEMPLO: Si una persona compra un automóvil usado con una garantía de un año, se podría esperar que durante el primer año de operación, tuviera que pagar tan solo la gasolina y el seguro; suponga que dicho costo es $ 1,500: es decir $1,500 es la cantidad base. Después del primer año la persona tendría que solventar el costo de las reparaciones, y razonablemente se espera que tales costos aumentaran cada año . Se estima que los costos totales aumentaran en $50 cada año, la cantidad al segundo año seria de $1550, al tercero $ 1600, y así sucesivamente al año n El símbolo “G” para los gradiantes se define como: Cambio aritmético constante en la magnitud de los ingresos o G desembolsos al siguiente ; G puede ser positivo o negativo.

Para esquematizar el diagrama de flujo de efectivo del ejemplo anterior nos queda de la siguiente forma: Nos indica que el primer periodo no forma parte del gradiante

1 4

2

$1500 $1550

3

n-1

n

n periodos

$1600 $1650

$1500 +(n-2)50

Nos indica que después del primer año el aumento es de $50 hasta n periodos

$1500 Nos indica que el incremento +(n-1)50 del gradiante se empieza a tomar a partir del segundo año ya que en el 1 año no forma parte del gradiante no hay aumento. EJERCICIO: Una compañía de ropa deportiva ha incluido un programa para registrar su logo. Espera obtener ingresos de $8,000 por derechos el próximo año por la venta de su logo. Se espera que los ingresos por derechos se incrementen de manera uniforme hasta un nivel de $20,000 en nueve años. Determine el Gradiente aritmético y construya su diagrama de flujo de efectivo.

FACTORES DE GRADIANTE P/G (FACTOR DE VALOR PRESENTE DE GRADIENTE ARITMETICO), A/G (FACTOR DE GRADIANTE ARITMETICO DE UNA SERIE UNIFORME F/G (FACTOR DE GRADIAENTE ARITMETICO, VALOR FUTURO).

P/ G

FACTOR DE VALOR PRESENTE DE GRADIANTE ARITMETICO

P=G 1i (1+i)ni-11n(1+i)n

ECUACION GENERAL PARA CONVERTIR UN GRADIANTE ARITMETICO “G” (SIN INCLUIR LA CANTIDAD BASE PARA “n” AÑOS EN UN VALOR PRESENTE EN EL AÑO 0.

NOTACIÓN SIMPLIFICADA:

DE GRADIANTES ARITMETICOS SE DEIVAN TRES FACTORES

A/ G

FACTOR DE GRADIANTE ARITMETICO DE UNA SERIE

P=G(PG,i,n) PRESENTE DADO UN GRADIANTE. ESTA ECUACIÓN GENERAL NOS A=G1i-n(1+i)n-1 SIRVE PARA CONOCER MONTO DE UNA SERIE PAGOS UNIFORMES DE GRADIANTE (SIN INCLUIR CANTIDAD BASE).

NOTACIÓN SIMPLIFICADA: A=G(AG,i,n) PAGO UNIFORME DADO UN GRADIANTE.

F/ G

FACTOR DE GRADIANTE ARITMETICO DE UN VALOR FUTURO

F=G 1i (1+i)n-1i-1

ECUACIÓN GENERAL PARA CONVERTIR UN GRADIANTE ARITMETICO “G”( SIN INCLUIR LA CANTIDAD BASE, EN UN VALOR FUTURO.

EL DE UN LA

El valor presente total Pt para serie considerarse por separado la base y el gradiente.

de

gradientes

debe

La cantidad base es la cantidad A de serie uniforme que empieza en el año 1 y se extingue hasta el año “n” su valor presente se simboliza con PA .

Para un gradiente creciente, la a la cantidad de la serie uniforme. El

cantidad gradiente debe agregarse valor presente es PG .

Para un gradiente decreciente, la cantidad gradiente debe restarse de la cantidad de la serie uniforme el valor presente es -PG.

Las ecuaciones generales para calcular el valor presente rotal Pt de los gradientes aritméticos son:

PT= PA+PG y

PT=PA-PG

De manera similar, las series anuales totales equivalentes son:

AT=A+AG

y

AT=A-AG

DONDE: A es el valor de la serie Anual uniforme y AG es la cantidad anual uniforme equivalente de la serie del gradiente. Las ecuaciones generales para calcular el valor futuro total F T de los gradientes aritméticos son:

FT= FA +FG

y

FT= FA – FG

LAS SERIES DEL GRADIAENTE Y EL PRESENTE.

Cuando se calculan series de gradiente y el presente, es necesario calcular por separado el valor presente del gradiente y el valor presente de la cantidad base.

CUANDO TIENE:

SE

TRABAJA

CON

SERIES

DE

GRADIENTE

SIEMPRE SE

1. Un número de “A” igual a “n”. 2. Un número de “G” en el mismo diagrama de (n-1), ya que en el periodo 1 todavía no existe el incremento debido al gradiente. 3. Se pueden obtener dos presentes P1 y P2 cuya suma es el PT incluyendo la cantidad presente del gradiente y la cantidad base.

EJERCICIO: Una persona adquirió un auto; espera que el costo mantenimiento sea de $150 al finalizar el primer año y que en subsecuentes aumente a razón de $ 50 anuales. Si la tasa de interés del 8% capitalizada cada año ¿Cuál es el valor presente de esta serie pagos durante un periodo de 6 años?.

de los es de

EJERCICIO: Una comercializadora vende computadoras personales bajo las siguientes condiciones: Hace el primer pago de $900 un mes después de la fecha de adquisición y nueve pagos mensuales adicionales, cada uno de los cuales disminuye en $50 el pago del mes anterior ( el segundo mes pagara $850, el tercer $800, etc). Si el interés que carga la comercializadora es de 1% capitalizado mensualmente ¿Cuál será el valor de contado por la compra de la computadora?.

EJERCICIO: El futbolista Inocencio del campo recientemente cumplió 21 años y su futuro en el deporte es muy comprometedor. Su contrato con el equipo “Jamelos” termino y el mismo equipo le ofreció un nuevo contrato durante seis años por la suma de $1.6 millones ($1,600,000) de dólares, pagaderos al momento de la firma. Por otro lado, el piensa que si eleva continuamente su nivel de juego, puede conseguir contratos anuales, el primero de los cuales sería por $250,000 cada contrato en lo sucesivo, pedir una suma adicional de $50,000 dll. Todos los contratos pagan lo convenido al principio del año. Si la tasa de interés que se considera es del 15% anual ¿Qué debe hacer inocencio si quiere planear los seis años de su carrera?

EJERCICIO: Encuentre el valor presente (en el momento 0) de los costos de proceso de cromado que aparecen en el siguiente diagrama de flujo de efectivo, suponga que i= 12 % anual.

P ¿? 5 6

1

2

3

4

$1000 $1200 $1400 $1600 $18000 $2000

EJERCICIO: Calcule el valor futuro en el año 10 con i=10% anual, para el flujo de efectivo que se muestra acontinuación. F= ¿? P ¿? 1 8 9 10

2

3

4

$4000 $4200 $4400 $4600 $4800 $5000

5

6

7

EJERCICIO : Tres condados adyacentes en florida acordaron emplear recursos fiscales ya destinados para remodelar los puentes mantenidos por el condado, en una junta reciente, los ingenieros de los condados estimaron que, al final del próximo año se deposita un total de $500,000 en una cuenta para la reparación de los viejos puentes de seguridad dudosa que se encuentran en los tres condados además, se estima que los depósitos aumentaran en $100,000 por año durante 9 años a partir de ese momento, y luego cesaran determine las cantidades equivalentes de A) Valor Presente. B) Serie anual Si los fondos del condado ganan interés a una tasa del 5% anual.

SERIES DE GRADIANTE GEOMETRICO

SERIES DE GRADIANTE GEOMETRICO

g.

Series de flujo de efectivo que aumenta o disminuye , mediante un porcentaje constante por ejemplo 5% anual a este cambio de le denomina GRADIANTE GEOMETRICO. Además de los símbolos utilizados i, n, ahora se necesita Tasa el termino : de cambio constante , en g= porcentaje, mediante la cual las cantidades aumentan o disminuyen de un periodo al siguiente.

Para determinar el valor presente total (Pg ) de una Pg=A11-1+g1+i)ni-g serie de gradiente geométrico , cuando g≠i se

utiliza la siguiente ecuación:

Pg=n1+i CUANDO g= i SE UTILIZA LA SIGUIENTE ECUACIÓN:

Cuando nuestro gradiente geométrico (g) es decreciente se utiliza la siguiente ecuación: Pg=-A11-1+g1+i)ni+g

NOTA: Para determinar valores equivalentes de series anuales “A” y valor futuro en una serié de gradiantes geométricos primero se determina el Pg (El valor presente del gradiente ) y luego se multiplica por los factores A/P ó F/P

¿CÓMO GRAFICAR UNA SERIE DE GRADIENTE GEOMETRICO?.

Pg=¿? i= dada. 1 4

2

3

n

g=dada A1= Es una cantidad inicial La cual no se considerada una cantidad base, como en el gradiente aritmético

A1 A1(1+g) A1(1+g)2 A1(1+g)3 A1(1+g)n-1

EJERCICIO: Los ingenieros de Sea Word, desarrollaron una innovación en una atracción acuática existente para hacerlo más excitante. La modificación cuesta solo $ 8,000 dlls. Y se espera que durante 6 años con un valor de salvamento de $1,300 para el mecanismo solenoide. Se espera que el costo de mantenimiento sea de $1,700 dlls el primer año, y que aumente a 11% anual en lo sucesivo determine el valor presente equivalente de la modificación y el costo de mantenimiento. La tasa de interés es del 8% anual.

EJERCICIO: Se vende una televisión a 24 pagos de $32 estos pagos se incrementan en un 6%, una persona realiza la compra a plazos y desea saber cual es el costo de la T.V. al termino de los 24 pagos, la tasa de interés que se cobra es del 3%.

EJERCICIO: El señor Pérez, inicio una inversión, con $1,000 en el año 1 con incrementos anuales del 10% durante 20 años. Suponga que la tasa de interés es del 6% anual. ¿ Cual es el valor presente de esta serie se inversión?.

EJERCICIO El señor Pedro Gómez quiere comprar un auto compacto le ofrecen los siguientes dos planes. El quiere saber en cual plan pagaría menos al final. A: Realizar 24 pagos de $750 con incrementos de $30 en cada pago y una tasa de interés del 9%. B: Realizar 24 pagos de $ 430 con incrementos de 8% y una tasa de interés del 12%.

TASAS NOMINALES Y EFECTIVAS.

TASA NOMINAL ES Y EFECTIVAS.

En los ejercicios realizados un año como el periodo más usual un interés.

se han considerado para cobrar o pagar

Sin embargo en la vida cotidiana hay periodos más cortos, en los cuales es posible ganar o pagar interés, estos periodos pueden ser semestrales, trimestrales, mensuales, o semanales. Las tasas de interés efectiva se utilizan cuando los periodos de capitalización ( o periodo de interés) son

TASA NOMINAL ANUAL .

TASA NOMINAL POR PERIODO.

Es el porcentaje de interés que solo después de transcurrido un año es posible cobrar.

Es el porcentaje de interés nominal que le corresponde a cada periodo de capitalización ó composición

ECUACION PARA CALCULAR EL INTERES NOMINAL POR PERIODO. inominal porperiodo=inominal anualnumero de periodos de capitalización

PERIODO DE COMPOSICIÓ NÓ CAPITALIZACI

PERIODO DE PAGO.

Es la unidad de tiempo más corta durante la que se paga o gana un interés , también se le conoce como periodo de capitalización. EJEMPLO: 2% SEMANAL, 1% MENSUAL, ETC.

Es la frecuencia con que se hacen los pagos o ingresos; es decir el periodo de transacción de flujo de efectivo.

EJEMPLO:

A: Un banco

paga a sus depositarios 12% de interés anual.

¿Cuál es la tasa de interés nominal anual?. R.- La tasa de interés nominal anual es del 12%(es el interés después de trascurrido un año es posible cobrar).

B:

El mismo banco en otra cuenta paga capitalizado cada 3 meses.

a sus depositarios 12% anual

¿Cuál es la tasa de interés nominal por periodo? R.- La nominal por periodo es del 3%.

tasa de interés

EJERCICIO: Si una compañía deposita dinero cada mes en una cuenta, que paga una tasa de interés nominal del 14% anual, con un periodo de composición semestral, el periodo de pago es un mes, el periodo de composición son 6 meses. A) REPRESENTA ESTE HECHO. B) ¿Cuál es la tasa de interés nominal por periodo de composición?.

EJERCICIO: Si Juan deposita cada año en una cuenta de ahorros, que le paga un interés del 10% anual capitalizado bimestralmente.

1.-¿Cuál es el periodo ___________________________________________

de

2.-¿Cuántos periodos ______________________

tienen al

de

3.- ¿Cuál es la tasa _________________________

composición se

de

interés

nominal

pago?

por

R.-

año?.

R.-

periodo:

R.-

__________________________________________________________________________

TASA DE INTERES EFECTIVAS.

TASA EFECTIVA POR PERIODO.

Es el porcentaje de interés de la tasa nominal anual, pero que se capitaliza en periodos menores a un año. Existiendo en este caso una tasa efectiva por periodo, y

ECUACIÓN PARA CACULAR LA TASA DE INTERES EFECTIVA ANUAL. iefectivaanual=1+inominal anualNo.de periodos por añonúmerode periodos por año

ECUACIÓN PARA CALCULAR LA TASA DE INTERES EFECTIVA PARA CUALQUIER PERIODO. (PERIODOS MENORES A UN AÑO) i=(1+rm)m-1 DONDE: i= tasa de interés efectiva por periodo. r= Tasa de interés nominal por periodo. m= numero de periodos de capitalización

Para comprender la diferencia entre estas tasas de interés nominales y efectivas , se determina el valor futuro de $100 dentro de un año utilizando ambas tasas. Si un banco paga el 12% de interés compuesto anualmente, el valor futuro de $100 utilizando la tasa de interés del 12% anual es: Fn=P(1+i)n

Fn= $100 (1+.12)1 = $112.00 Por otro lado si el banco paga un interés que es compuesto semestralmente, el valor futuro debe incluir el interés sobre el interés ganado en el primer periodo. Una tasa de interés del 12% anual , compuesto semestralmente significa que el banco pagará 6% de interés después de 6 meses y otro 6% después de 12 meses, por tanto se obtiene una tasa de interés efectiva del 12.36%. Por lo tanto la cantidad obtenida después de un año es la siguiente: Fn= $100 (1+.1236)1 = $112.36

NOTA: Se observa que el hecho de capitalizar en periodos menores de un año hace que la tasa efectiva anual sea ligeramente mayor que la tasa nominal anual. Esto se debe a que cuando se gana interés, por ejemplo , en un trimestre, ya se tiene una cantidad extra acumulada, sobre la cual se vuelve a ganar nuevamente interés.

EJERCICIO: Suponga que sobre una deuda de $10,000 se cobra un interés del 36% anual capitalizado cada semana, considere un año 52 semanas. a) ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual?. b) ¿Cuál es el valor dentro de un año de los $10,000?.

EJERCICIO: A continuación se listan las diferentes tasas de préstamo bancario para tres proyectos distintos de equipo de generación de electricidad. Determine el cada inciso las tasas de interés nominal por periodo y la tasa de interés efectiva anual. a) 9% anual, compuesto trimestralmente. b) 9% anual , compuesto mensualmente. c) 4.5% por 6 meses, compuesto semanalmente.

EJERCICIO: Triton una compañía que salió de Ford Motor Company, abastece de partes importantes de automóvil, a los fabricantes de automóviles alrededor del mundo, y constituye el abastecedor más importante de la Ford. Un Ingeniero perteneciente al comité de Triton que evalúa propuestas para incorporar maquinaria de medición de coordenadas, de la nueva generación, para la fabricación de partes de alta precisión. Tres propuestas de venta incluyen las tasas de interés que aparecen a continuación. Triton hará pagos semestrales exclusivamente, el Ingeniero que se encuentra confundido respecto a las tasas de interés efectivas ( Su valor anual y durante el periodo de pago de 6 meses). PROPUESTA NUM. 1: 9% Anual, compuesto trimestralmente. PROPUESTA NUM. 2: 3% Trimestral, compuesto trimestralmente. PROPUESTA NUM.3: 8.8% Anual, compuesto mensualmente. a) Determine la tasa efectiva por periodo si se harán pagos semestralmente , construya el diagrama de flujo de efectivo. b) ¿Cuáles son las tasas de interés efectivas anuales?. c) ¿Qué propuesta incluye la tasa anual efectiva más baja?.

EJERCICIO: Una compañía PUNTO-COM planea invertir dinero en un nuevo fondo de capital riesgoso, que actualmente reembolsa 18% anual con un periodo de composición diario . ¿Cuál es la tasa de interés efectiva A) anual B) Semestral.

EJERCICIO: Pedro obtuvo una nueva Nacional, con una tasa establecida del mensual. Para un saldo de $1000 al efectiva y el adeudo total al banco cuenta el hecho de que no se efectúa

tarjeta de crédito con un Banco 19% y un periodo de composición principio de año, calcule la tasa después de un año. Tomando en ningún pago durante el año.

EJERCICIO: Suponga que usted es un prestamista que cobra un interés nominal del 25%, en este momento esta por decidir si es mejor cobrar un interés en forma semanal o mensual ¿ En cual alternativa obtiene la tasa de interés efectiva más alta?

CALCULO DEL VALOR FUTURO (F) Y VALOR PRESENTE (P) PARA TASAS DE INTERES EFECTIVAS. Cuando se involucran tasas de interés efectivas, y se requiere conocer un valor futuro o valor presente de cierta cantidad , hay dos METODOS de calcular el F y P de pago único , el METODO 1 es más fácil de aplicar por que se utiliza la tablas de interés compuesto y la notación simplificada, las tabalas por lo general ofrecen el valor del factor. EL METODO 2: Se requiere de calculo mediante la formula para el factor, ya que esta tasa de interés efectiva que resulta no constituye un entero. METODO 1: Se determina la tasa de interés efectiva durante el periodo de composición PC, y se igualan “n” al número de periodos de composición entre P y F. las relaciones para calcular P y F son: P=F(PF, i %efetiva porPC, Num.total de PC) F=P(FP,i %efectiva por PC, Num.total de PC De nuestra notación simplificada original únicamente se sustituye la tasa de interés (i) por la tasa de i% efectiva que le corresponde a cada periodo de composición , y establece para cuantos periodos de composición quiero conocer su valor futuro o presente. EJERCICIO: Suponga que la tasa establecida de la tarjeta de crédito es una tasas del 15% anual, compuesto mensualmente, calcule el valor futuro de la deuda de $500 en dos años.

METODO 2: Se determina la tasa de interés efectiva para el periodo de (t) tiempo de la tasa nominal, ya sea “n” igual al número total de periodos utilizados el mismo periodo, las formulas de P y F son las

mismas, salvo que el termino efectiva anual.

de “i” se sustituye

por la tasa de interés

Se sustituye por la tasa de interés efectiva anual

FN=P(1+i)n Los periodos se expresan en años , ya que se utiliza una tasa de interés efectiva anual

EJERCICIO: Con los datos del ejercicio anterior calcula de los $500 utilizando el segundo método.

el valor futuro

EJERCICIO: Un Ingeniero que trabaja como consultor independiente realizo depósitos en una cuenta especial para cubrir gastos de viaje, el digrama de flujo de efectivo muestra estos depósitos. Calcule cuanto hay en la cuenta después de 10 años interés del 12% anual, compuesto semestralmente 1 9

2

3

4

5

10

$1,000 $1,500 $3,000

6

7

F= ¿? 8

a una tasa de

EJERCICIO: ¿Cuál es la tasa de interés efectivo anual que equivale a 18% efectivo anual, compuesto bimestralmente?.

EJERCICIO: Un interés del 12% anual compuesto mensualmente ¿Cuales tasas nominal y efectiva por 6 meses equivale?

EJERCICIO: Una tasa de interés del 16% anual, compuesto trimestralmente ¿A que tasa anual de interés efectiva equivale?.

EJERCICIO: Determine el factor F/P para 3 años , interés del 8% anual compuesto trimestralmente.

con una tasa de

EJERCICIO: Determine el factor P/F para 6 años, con una interés del 10% anual compuesto semestralmente.

tasa de

EJERCICIO: Una suma de $5,000 con una tasa de interés del 8% anual, compuesto mensualmente ¿ A cuanto dinero equivalía hace 8 años?

RELACIÓN DE EQUIVALENCIAS : TASAS DE INTERES EFECTIVAS PARA SERIES UNIFORMES.

Cuando se incluyen series uniformes o de gradiente en la sucesión de flujos de efectivo, y se involucran tasas de interés efectivas para calcular su valor se utilizan dos métodos, el primer método es esencialmente el mismo antes visto , salvo que ahora PP queda definido por la frecuencia de los flujos de efectivo. Esto también establece la unidad de tiempo de la tasa de interés efectiva.

POR EJEMPLO: Si los flujos de efectivo son trimestrales, el PP es un trimestre y por consiguiente, se necesita una tasa de interés efectiva trimestral. Si PP es igual a un trimestre, 5 años se traducen en un valor de “n” de 20 trimestre. Estos constituye una aplicación directa en la siguiente directriz general, cuando los flujos de efectivo implica una serie (por ejemplo A,G,g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de composición es necesario seguir los siguientes pasos. 1) Se calcula la tasa de interés efectiva i por periodo de pago, 2) Se determina “n” como el número total de periodos de pago.

Sustituyo la “i” por la tasa de i PP (es decir que tasa de interés le corresponde a la frecuencia de mi serie uniforme ó gradiente)

P=A(AP, i,n) Anoto el número total de PP

P=A(AP, i por PP, número total de periodos de PP) Cuando se utilizan formulas para resolver problemas en series uniformes y gradientes, la i de mi ecuación la sustituyo por la tasa de interés por periodo de pago, y n por el número total de periodos de pago Sustituyo la i por la tasa de interés por PP. A=Pi(1+i)n(1+i)n-1 Determino el número total de PP

EJERCICIO: Realiza el siguiente ejercicio.

EJERCICIO: Para pagar una deuda de $1000, por la cual cobra un interés de 18% anual capitalizado mensualmente , se requiere realizar 6 pagos mensuales iguales, empezando a pagar un mes después de SERIES DE FLUJO DE EFECTIVO

TASAS DE INTERES EFECTIVA

QUE ENCONTRAR QUE ESTA DADO

SOLUCIÓN

$500 Semestralmente 16% anual Encuentre P, dado A. durante 5 años compuesto mensualment e

$75 mensualmente 24% anual Encuentre F, dado A. durante 3 años compuesto semestralme nte

$180 trimestralmente 5% durante 15 años mensualment e

Encuentre F dado A.

Incremento de 25 1% mensual mensuales durante 4 años

Encontrar P dado G

$5,000 trimestralmente durante 6 años

Encontrar A dado P

1% mensual

haber contraído la deuda . Determine el valor de cada una de las mensualidades iguales necesarias para pagar la deuda.

TMAR, VPN, Y TIR

EJERCICIO: Contesta las preguntas en forma texto anterior.

correcta de acuerdo al

1.- ¿ CUALES SON LAS TECNICAS NECESARIAS QUE REQUIERE CUALQUIER INVERSIONISTA PARA TOMAR DECISIONES DE INVERSIÓN?.

2.- EXPLICA LA CONDUCTA ECONOMICA RACIONAL.

3.- ¿CUALES SON LAS SUPOSICIONES ECONOMICA RACIONAL DEL INVERSIONISTA?.

DE LA

CONDUCTA

4.-¿ CUAL ES LA PRIMERA INVERSIÓN QUE DEBEN EMPRESAS?.

REGLA PARA TOMAR DECISIONES DE TOMAR TANTO INDIVIDUOS, COMO

5.-¿QUÉ ES LA TMAR?.

6.- ¿Cómo SE DEFINE A LA TMAR?.

7.- ¿QUE SIGNIFICA PREMIO AL RIESGO?

8.- ¿CUÁLES SON LAS DOS SITUACIONES QUE SE TOMAN COMO REFERENCIA PARA CALCULAR EL PREMIO AL RIESGO?.

9.-¿CUÁLES SON LAS CARACTERISTICAS QUE DEBE TENER TODO METODO DE ANALISIS?.

DETERRMINACIÓN DE LA TMAR.

DETERMINACIO N DE LA TMAR.

Este punto es tal vez, el principal a determinar en el análisis económico, la TMAR es la tasa mínima Aceptable de Rendimiento, también llamada TIMA; Tasa de Interés Mínima Aceptable, TREMA; Tasa de Rendimiento Mínimo Aceptable. Se forma de dos componentes que son: TMAR= INFLACIÓN + PREMIO AL RIESGO. PREMIO AL dinero.

RIEGO: Es el verdadero crecimiento del

Para calculo de la TMAR , lo que realmente importa es la determinación del premio (o prima) de riesgo, para el calculo de la TMAR se utiliza la TMAR=i+f+if*100 siguiente ecuación DONDE: i=Tasa de interes bancaria f=Tasa de inflación

NOTA: Cuando la inversión se efectúa en una empres privada, la determinación se simplifica, generalmente es dada por la dirección general, por los propietarios de la empresa. Su valor siempre estará basado en el riesgo que corra la empresa en forma cotidiana en sus actividades productivas y mercantiles.

EJERCICIO: Los directores de Engine Power una empresa Estadounidense piensan invertir en México. ¿Cuál es la TMAR que deben aceptar?, si la inflación es del 5%, y la tasa de interés bancaria es del 4.2%.

EJERCICIO: Una empresa farmacéutica alemana piensa abrir una planta , tiene dos opciones para establecer su nueva planta, la primera opción Costa Rica, en donde la tasa de inflación es del 3.2% y la tasa de interés bancaria es del 2.7%, la segunda opción México, la tasa de inflación es del 4.3% y la tasa de interés bancaria es del 3.9% . ¿ En que país esta Industria Farmacéutica obtiene la mejor TMAR?.

ANALISIS DEL VALOR PRESENTE NETO.

VPN. (VALOR PRESENTE NETO).

El valor presente neto simplemente significa traer del futuro al presente cantidades monetarias a su valor equivalente . En términos formales de evaluación económica, cuando se trasladan cantidades del presente al futuro se dice que se utiliza una tasa de interés, pero cuando se trasladan cantidades de l futuro al presente, como en el calculo del VPN, se dice que se utiliza una tasa de descuento debido a lo cual los flujos de efectivo ya trasladados al presente se les llama flujos descontados. La pregunta que se hace cualquier inversionista es: El valor presente neto recibe este nombre y no simplemente valor presente por que a la suma de los ¿Convieneseinvertir proyecto flujos descontados le resta en la este inversión inicial,dadas lo que lasa expectativas de ganancia de inversión? es igual restarles a todas las ganancias futuras, la inversión que les dio origen, todo esto a su valor Para responder esta pregunta se puede equivalente en un solo ainstante en el tiempo que utilizar es el el VPN como criterio de selección. Para calcularlo solo presente. traslade los flujos de los años futuros al tiempo presente y réstelos a la inversión inicial, que ya esta en tiempo

FORMULA PARA EL CALCULO DEL VPN.

CRITERIOS DE SELECCIÓN DEL VPN.

VPN= Es -P+FNE1(1+i)1+FNE2(1+i)2+…FNEn(1+i)n claro que el inversionista espera que la ganancia superen, o al menos igualen a la inversión FNEn= Flujo neto de efectivo del año “n”, que inicial. corresponde a la ganancia neta después de impuestos en el año “n”. Es decir el VPN, es la ganancia o perdida en P= Inversión inicialdel en dinero el año en “0”.ese momento (Tiempo términos de valor Presente), después de haber la inversión inicial i= Tasa de referencia querecuperado corresponde a la TMAR. a una tasa igual a la TMAR . Por tanto si el VPN es positivo significa que habrá más allá de haber recuperado el dinero invertido y deberá aceptarse la inversión .

Si el VPN es negativo, significa que las ganancias no son suficientes para recuperar el dinero invertido. Si este es el resultado, debe rechazarse la inversión. Si el VPN es igual a cero, significa que solo se recupera la TMAR y por lo tanto, debe aceptarse la inversión en resumen: VPN ≥ 0 Acepte la inversión (mayor)

EJERCICIO: Se han invertido $32,000 en un negocio que , según los cálculos producirá ingresos de $ 7,500 el primer año, con incrementos de $500 anualmente durante 5 años. Al final de este tiempo , los activos que queden de la inversión podrían venderse en $ 5,000. Si la TMAR del

inversionista efectivo.

es del 15% anual, determine el VPN de los

flujos de

EJERCICIO. Con los mismo datos del ejercicio anterior calcule el VPN, tomando en cuenta una TMAR del 14% y del 12%.

NOTA: Se puede observar que al ir aumentando la TMAR, aplicada al calculo del VPN éste va disminuyendo hasta volverse cero y negativo.

GRAFICA DEL VPN “VS” TMAR.

EJERCICIO: Tomando en cuenta el construye la GRAFICA. TMAR

15%

14 %

VPN

y la

TMAR

del ejercicio anterior

12%

VPN $ VPN

$1100 $1071 $100 $500

TMAR % $-400

10% 17%

12%

14%

15%

16%

$-668 $-1000 $-1400 $-1984

En la grafica se puede observar que al ir aumentando la TMAR aplicada al cálculo del VPN este va disminuyendo hasta volverse cero y negativo. Como conclusiones generales acerca del uso del VPN método de análisis se puede decir los siguiente:

✔ Se interpreta fácilmente su resultado en términos monetarios. ✔ Existen criterios de evaluación.

como

EJERCICIO: Evel Designer Co., empresa fabricante de armamento invirtió $1,500,000 en la compra de e quipo para producir un cañón laser de largo alcance. El primer año las ganancias netas por la venta del novedoso producto fueron de $800,000, pero estas ganancias disminuyeron en $ 100,000 anuales hasta hacerse cero en el noveno año. Ante la nula demanda del cañón por el advenimiento de la paz, se decidió vender el equipo que lo fabricaba en $ 300,000 al final del decimo año. Si la TMAR es del 12% anual ¿Cuál es el VPN de la inversión?.

EJERCICIO. Suponga que se ha la posibilidad de invertir en una inversión inicial de $1,000 con de fin de año que se muestran los inversionistas es, ¿Conviene de ganancias e inversión?. Si la

$260 $505

1 4

$310

2

$330

hecho cierto estudio que tomo en cuenta Industria metalmecánica. Se calculo una la posibilidad de obtener las ganancias a continuación. La pregunta que hacen hacer el proyecto dadas las expectativas TMAR es del 20%.

$400

3

5

$ 1,000

ANALISIS DE VALOR PRESENTE DE ALTERNATIVAS CON VIDAS IGUALES.

Este análisis se utiliza cuando se quieren comparar varias alternativas con vidas iguales, usando el método de valor presente, este tipo de alternativas reciben el nombre de servicio igual. Se aplican las siguientes guías para seleccionar una alternativa:

UNA ALTERNATIVA: Calcule el VPN a partir de la TMAR. Si VPN ≥ 0, se alcanza o se excede la tasa mínima atractiva de rendimiento y la alternativa es finalmente viable.

DOS O MAS ALTERNATIVAS: Determine el VPN de cada alternativa usando la TMAR, seleccione aquella con el valor presente neto (VPN) que sea mayor en términos numéricos, es decir menos negativo o más positivo, indicando un VPN mayor de flujos de efectivo.

EJERCICIO: Realice una comparación del valor del valor presente de las maquinas de igual servicio, para las cuales a continuación se muestran los costos si la TMAR es del 10% anual, se espera que los ingresos para las tres alternativas son iguales: POR ENERGIA ELECTRICA Costo inicial. Costo Operación

Anual

Valor de Salvamento. Vida en Años

$-2,500 de $-900 $200 5

POR GAS

POR ENERGIA SOLAR.

$-3,500

$-6,000

$-1,700

$-150

$350

$100 5

5

VALOR DE SALVAMENTO: Valor de Salvamento (VS) valor de rescate (VR) o valor de recuperación (VR), son sinónimos que significan el valor de mercado de un activo, en cualquier momento de s u vida útil, valor de mercado a su vez, significa el valor monetario al que puede ser vendido en el año “n”.

EJERCICIO: Dos proyectos mutuamente excluyente tienen flujos de efectivo estimados que se indican a continuación, utilice un análisis de valor anual para determinar cuál debe seleccionarse, con una TMAR del 10% anual PROYECTO “Q”

PROYECTO “R”

Costo Inicial $

-42,000

-80,000

Costo Anual $

-6,000

-7,000 en el año 1 con incrementos de $1,000 por año

Valor de Recate

0

Vida en Años

2

$ 4,000. 4

TIR:

TIR

TASA INTERNA DE RENDIMIENTO.

La tasa interna de rendimiento nos sirve para conocer, exactamente cuál es el rendimiento anual sobre la inversión .

TIR: TIR la tasa de descuento que hace el VPN= 0. VPN=es0=-P+FNE1(1+i)1+FNE2(1+i)2+… FNEn(1+i)n

TIR: Es la tasa de descuento que hace la suma de los flujos P=FNE1(1+i)1+FNE2(1+i)2+…FNEn(1+i)n descontados sea igual a la inversión inicial.

Para calcular la TIR cuya determinación se realiza haciendo la (P) “inversión inicial” que sea igual a la suma de los flujos descontados, se deja a la sea Tas de descuento como una incógnita.

i=

TMAR ó

La “i” La resultante es la tasa interna rendimiento TIR usualmente se calcula por de tanteos.

TIR del proyecto o inversión.

En la evaluación económica de cualquier proyecto para cualquier tipo de inversión es necesario tomar en cuenta la TMAR y la TIR. Los criterios de evaluación para la al usar estos dos métodos son: TIR ≥ TMAR Acepte la inversión (mayor) TIR 0

incremento

de inversión si 

6. Tómese como base para el siguiente análisis de incremento de inversión la alternativa con mayor inversión, y compárela con la alternativa

EJERCICIO: Supóngase que existe un inversionista o un grupo de ellos, que desea instalar una escuela de estudios superiores universitarios, después de realizar una minuciosa investigación de mercado, concluyen que la demanda es muy elevada y solo tienen 7 millones para invertir. La universidad aun no está construida y se presentan alternativas para su diseño arquitectónico, con diferentes capacidades

3

El monto de la inversión inicial para cada proyecto es diferente, la TMAR que calcularon los inversionistas es del 7% anual. El problema de

los inversionistas es elegir entre las 3 continuación se presenta los siguientes datos.

alternativas

diferentes a

Por análisis incremental determínese si es conveniente invertir hasta $ 7,000,000, el periodo de análisis es de 10 años, tomando en cuenta el ALTERNATIVA

A

B

C

INVERSIOÓN

$4,000,500

$7,000,000

$6,000,000

BENEFICIO ANUAL

$643,000

$1,000,000

$870,000

beneficio anual.

Valor de Salvamento (VS) valor de rescate (VR) o valor de recuperación (VR), son sinónimos que significan el valor de mercado de un activo, en cualquier momento de su vida útil, valor de mercado a su vez, significa el valor monetario al que puede vendido en el año “n”. VALOR DEser SALVAMENTO. Cuando se quiere calcular el valor de salvamento, para un tiempo menor al establecido se utiliza la siguiente ecuación:

VALOR DE SALVAMENTO

Valor de salvamento en el periodo=P-P-VSnt DONDE: t=tiempo de calculo.n=tiempo de vida util

EJERCICIO: De las siguientes alternativas para un generador de energía eléctrica, determine su valor de salvamento en un periodo de 7 años. Diesel

Gasolina

Inversión inicial.

$ 80,500

$ 77,000

Vida Útil.

10 años

9 años

Valor de Salvamento

$10,500

$ 5,000

EJERCICIO: Un hombre de negocios tiene varias opciones para invertir en un local ubicado en un gran centro comercial. El tipo de negocio que puede instalar y sus ganancias se muestran a continuación. Negocio

Inversión

Beneficio Anual (1-10)

Agencia de Viajes

$130,000

$22,000

Electrodomésticos

$350,000

$192,000

Librería.

$225,000

$89,0000

Mueblería.

$510,000

$237,000

MODELOS DE DEPRECIACIÓN.

TERMINOLOGIA DE DEPRECIACIÓN.

INSTRUCCIONES: Investiga y anota en los espacios en blanco los conceptos que se indican. Depreciación:

Costo inicial o base no ajustada:

Valor en libros:

Periodo de recuperación.

Valor de mercado

Periodo de Recuperación:

Valor de mercado:

Tasa de Depreciación o Tasa de Recuperación.

Propiedad personal.

Propiedad Real.

Convención de medio año.

Propiedad inmobiliaria: El modelo de depreciación en línea recta es un método de depreciación utilizado como el estándar de comparación para la mayoría de los demás métodos, obtiene su nombre del hecho de que el valor en

MODELO DElibros DEPRECIACIÓN EN en LINEA RECTA. se reduce linealmente el tiempo puesto

que

la tasa de deprecación es la misma cada año, es uno sobre el periodo de recuperación. MODELO DE DEPRECIACION EN LINEA RECTA

La

depreciación en línea recta anual se

determina al multiplica el costo inicial (-) el valor de salvamento por (d) en forma de ecuación.

Dt=B-Sd Dt=B-Sn Donde: t= tiempo (Año 1,2,3,…..) Dt=Cargo anual de depreciación. B=Costo inicial o base no ajustada. S=Valor de salvamento estimado. d=Tasa de depreciación= 1/n n=Periodo de Recuperación.

B Valor en libros

S

1 Tiempo.

Puesto que el activo se deprecia por la misma cantidad (%)el valor en libros después de “t” años de servicio, el valor en libros “t”; será igual al costo inicial “B” menos la depreciación anual por “t”. Vlt=BtDt Anteriormente se definió a dt como la tasa de depreciación para un año especifico “t” no obstante, el modelo LR tiene las mismas tasas para los mismos años es decir: d=dt=1n

Donde: dt=Tasa de depreciación por año.

EJERCIO: Si un activo tiene un costo inicial de $50,000 con un valor de salvamento estimado de $10,000 después de 5 años. a) Calcule la depreciación anual. b)Determine r represente gráficamente el valor en libros del activo después de cada año utilizando el modelo de depreciación en línea recta.

EJERCICIO: Home Health Care, adquirió una unidad nueva de imágenes de sonar en $ 300,000 dlls, y la monto sobre un camión cuyo costo es de $100,000, que incluyen el chasis y el vehículo. El sistema formado por la unidad y el camión van a depreciarse como un solo activo. La vid funcional es de ocho años y el valor de rescate se estima en un 10% de la unidad de imagen. a)Calcular la depreciación en línea recta para determinar el valor de rescate y el valor en libros después de 4 años. b) Construya la grafica correspondiente.

EJERCICIO: Una estación de trabajo de computo es actualizada tiene un valor de “B” de $50,000 dlls, con un periodo de recuperación de 4 años haga una tabla y grafique los valores para la depreciación en línea recta y valor en libros para cada año. a) No hay valor de rescate. b) El valor de recate es de $16,000.

MODELO DE DEPRECIACIÓN ACELERADA.

Consiste en recuperar la inversión original de los activos fijos y diferidos, mediante el porcentaje mayor en los primeros años a partir de la adquisición lo cual es conveniente para la empresa, pues contara con mas disponibilidad de efectivo en los primeros años de operación cuando se tiene más dificultad de crecer y estabilizarse . Los métodos para calcular la depreciación acelerada son: 1.- Suma de los dígitos de los años (SDA). 2.-Saldo Decreciente (SD) . 3.- Saldo Doble decreciente (SDD) . 4.- Número de Unidades Producidas .

Método de Deprecación de suma de los dígitos de los años (SDA). Bajo este método el cargo anual por depreciación se obtiene multiplicando el valor neto por la depreciación (P-VS) por una fracción que resulta de dividir el número de años de vida útil restante sobre la suma de los dígitos de los años de vida útil restante sobre la suma de los dígitos de los años uno a “n” de la vida útil del activo. D=n-t-1nn+12(P-VS DONDE: D= Depreciación de suma de los dígitos de los años. t= Año a calcular la depreciación acelerada. n=Número de periodos de recuperación.

VS= Valor de Salvamento. La suma de los dígitos de los años se calcula mediante la siguiente fórmula: =n2(n+1)

EJERCICIO: Supóngase que se compra un activo a un precio de 1 millón de pesos con una vida útil de cinco años, y se quiere depreciarlo mediante el método SD. a) Calcule los cargos anuales de depreciación y su valor en libros.

EJERCICIO: Un sindicato que produce alimentos para sus agremiados a invertido $ $30,000, en equipo de producción, sus ingresos anuales por la venta de alimento son de $ 28,000 sus costos son de $20,000 anuales, el equipo tiene una vida útil de 5 años sin valor de salvamento al final de este periodo el sindicato sabe que debe hacer un cargo de depreciación anual pero no ha decidido el método de depreciación a utilizar el sindicato le pide la asesoría sobre cual método de depreciación debe emplear el de LR o SDA y se ha fijado una TMAR del 10%.

Depreciación de Saldo Decreciente (SD) y Doble Decreciente(SDD). El método de saldo decreciente también se conoce como método de porcentaje uniforme fijo. La depreciación de SD acelera la reducción del valor del activo debido a que la depreciación anual se determina multiplicando el valor en libros al principio de cada año por un porcentaje fijo (uniforme d) expresado en forma decimal. Si d= 0.1 entonces cada año se elimina el 10% del valor en libros. Por tanto la cantidad de depreciación disminuye año con año. La tasa de depreciación anual máxima (dmax) para el método SD es el doble de la tasa en línea recta esto es: dmax=2n En este caso, el método se conoce como el saldo decreciente doble SDD seria 210 de manera que 20% del valor en libros se renueve anualmente. Otro porcentaje muy utilizado para el método SD es de 150% de la tasa de línea recta donde D=1.5/n. La depreciación para el año “t” es la tasa fija, multiplicada por el valor en libros al final del año anterior. Dt=dmaxVLt-1

La tasa de depreciación real para cada año “t”, relativa al costo inicial “B” es:

dt=d(1-d)t-1

Si el valor en libros (VLt-1) no se conoce la depreciación en el año “t” se calcula usando “B” y “dt”. Dt=dB(1-d)t-1

El valor en libros en el año “t” se determina en una o dos formas: utilizando la tasa “d” y el costo inicial “B” o restando el cargo de depreciación actual anterior valor en libros las ecuaciones son: VLt=B(1-)t VLt=VLt-1-Dt

Es importante entender que el valor en libros en el método SD nunca llega a cero por que el valor en libros siempre esta disminuyendo en un porcentaje fijo el valor de salvamento implícito después de “n” años es la cantidad VLn, es decir: Valor de Salvamento=Saldo implicito=VLn=B(1-d)n Si se estima un valor de salvamento para el activo, este valor es el estimado no se emplean los métodos SD o SDD para calcular la depreciación anual sin embargo es el valor de salvamento implícito es menor que el valor del salvamento estimado es correcto dejar de cargar posteriores depreciaciones cuando el valor en libros este por debajo del valor de salvamento estimado.

EJERCICIO: Un dispositivo para pruebas de fibras ópticas será depreciado con el método SDD. El dispositivo tiene un costo inicial de $25,000 y un valor de salvamento estimado de $2500 después de 12 años. a) Calcula su depreciación y su valor en libros para los años 1 y 4. b) Calcula el valor de salvamento implícito después de 12 años.

EJERCICIO: Una empresa minera compro una unidad para calificar minerales aureos por computadora por $80,000 la unidad tiene una vida anticipada de 1º años y un valor de salvamento de $10,000. Utilice el método de SDD y SD para comparar el programa de depreciación y el valor en libros en cada año.

EJERCICIO: Una compañía del ramo alimenticio trabaja con una empacadora al vacio que compro hace 7 años en $84,000. Su vida útil al momento de la compra era de 12 años y su valor de salvamento era igual a $ 0 su uso ha sido tan intenso que puede venderse en $12,000 por lo cual se piensa en remplazarla por una empacadora de mejor tecnología que disminuye los costos al producir menos productos defectuosos en $53,000 al año durante el tiempo que permanezca en uso. La maquina nueva tiene un costo de $332,000 una vida útil de 5 años y un valor de salvamento de $32,000 al final de este periodo. Para ambas maquinas utilice la depreciación en línea recta, determine la conveniencia económica.