Ingeniería Estructural de Los Edificios Históricos_ Roberto Meli_ Cap-4 Métodos de Análisis

"Ars sine scientia nihil est" * Jean

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Alcance y limitaciones

el capítulo inicial se mencionaron las reservas que existen en el medio de la

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cualitativo; sin embargo, es importante el respaldo que pueden :¡r a la intuición y a la experiencia, los resultados del análisis de modelos :3presentativos de la estructura en cuestión, así como los derivados de mediciones ;rperimentales. En las últimas décadas ha habido un avance importante en los métodos experi:tentales y analíticos para el estudio estructural de los edificios históricos; además .3 cuenta con hemamientas analíticas muy poderosas que permiten resolver con un ::abajo computacional razonable, las estructuras más complejas. El punto débil de -; aplicación de estos procedimientos 1o constituye la determinación de los modelos . de los parámetros estructurales que definen su respuesta, ya que los defectos .eñalados con frecuencia en los resultados de análisis estructurales, se refieren ::incipalmente a casos en los que un especialista en análisis numérico se enfrentó al ::oblema sin el debido conocimiento del comportamiento de los materiales, de los ::ocesos constructivos y de 1a historia del monumento, lo cual le llevó a resolver un :-odelo analítico poco representativo de la estructura real. El propósito de este capítulo es describir los procedimientos de análisis disponi:-es. destacando ventajas y limitaciones. En términos generales, resulta convenien.= recurrir a una combinación de varios métodos de análisis, no tanto para fines de

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traducción literal es "El arte no es nada sin la ciencia". Sin embargo, estafrase, expresada por '. arcluitecto .francés llamado a opinar sobre una disputa que había acerca de la solución que debía -.-;rse a la estrucfura de cubierfa de la Catedral de Milán, debe interpretarse más en el sentido de .t ¡tráctica no es suficiente si no se conocen las reglas teóricas del oficio"

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70

INGENIERIA ESTRUCTUFIAL DE LOS EDIFICIOS HISTORICOS

Cimientos de edificios

de mampostería Las pesadas cargas de los edificios históricos de mampostería implican la transmisión de fuerzas importan-

tes al suelo de cimentación. Cuando el suelo no tiene buena capacidad

Tablones

de carga. es necesario ampliar el área de apoyo de columnas y muros mediante zapatas del mismo malerial. En suelos particularmente deformables, como las arcillas del valle de México, se recurría a pilotes cortos (estacones) de madera para dar mayor soporte al edificio.

3.10

Elementos de cimentación

La necesidad de transmitir las cargas de los elementos de soporte de la estructura a un suelo con una resistencia menor que la del material de dichos elementos de apoyo, da lugar a la necesidad de una "subestructltra", o sea una estructura de transición entre el suelo y la superestructura. Para muchas de las grandes construcciones antiguas se buscó un sitio donde la roca sólida aflorase, para así desplantar directamente los elementos estructurales (muros y columnas) de mampostería sobre la roca, sin necesidad de una cimentación propiamente dicha. El siguiente paso fue el engrosamiento de dichos elementos de soporte para formaf zapatas aisladas o corridas, de espesor sólo un poco mayor que el de los ele-

mentos estructurales. Esta fue la solución fípica para la cimentación de edificios sobre suelos de buena calidad. No son raros los casos de edificios antiguos que han experimentado problemas estructurales debido a hundimientos diferenciales de los puntos de apoyo de sus elementos de soporte; esto, aun en casos en que el suelo de apoyo era de razonable capacidad de carga. En estos suelos pueden presentarse hundimientos por la presencia de estratos inferiores más deformables o por las modificaciones en las propiedades de los suelos, debidas sobre todo a cambios importantes en los niveles de aguas freáticas. Los daños en estas situaciones pueden aparecer inclusive muchos siglos después de la construcción del edificio. Se encuentran tipos de cimentación especiales cuando los edificios se ubican en sitios de suelos muy deformables o, en caso extremo, pantanosos. Situaciones de este tipo se dan, por ejemplo, en la ciudad de México y en Venecia. En esos casos se recuría al empleo de una plataforma de mamposteríapata lograr la máxima superficie de contacto con el suelo y, en muchas ocasiones, al hincado de pilotes cortos formados por troncos de madera de 20 o 30 cm de diámetro. Estos pilotes transmiten la carga al suelo por fricción en su superficie de contacto. El funcionamiento estructural de estos elementos de cimentación no presenta características particulares, diferentes de las de 1os elementos de la superestructura. Los daños en la cimentación se deben principalmente a efectos de hundimientos

diferenciales o a deterioro por la humedad. El tratamiento de los problemas geotécnicos de las cimentaciones queda fuera del alcance de esta obra.

"Ars sine scientia nihil est"* Jean

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Mignot, L399

Alcance y limitaciones

En el capítulo inicial se mencionaron las reservas que existen en el medio de la ;onservación de los edificios históricos, sobre la utilización de los métodos de análisis estructural y sobre la validez de sus resultados. En el medio domina la preferencia :or lo intuitivo y 1o cualitativo; sin embargo, es importante el respaldo que pueden dar a la intuición y a la experiencia, los resultados del análisis de modelos :epresentativos de la estructura en cuestión, así como los derivados de mediciones :rperimentales. En las últimas décadas ha habido un avance importante en los métodos experi:lentales y analíticos para el estudio estructural de los edificios históricos; además >e cuenta con herramientas analíticas muy poderosas que permiten resolver con un ::ubajo computacional razonable, las estructuras más complejas. El punto débil de ,.r aplicación de estos procedimientos 1o constituye la determinación de los modelos

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de un análisis más refinado. La preparación de un modelo analítico representativo enfrenta serias dificultades,

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INGENIERIA ESTRUCTURAL DE LOS EDIFICIOS HISTORICOS Las condiciones de continuidad entre 1os distintos elementos son también difí: estructurcon tratar les de establecer. En la construcción moderna se acostumbra cuyos elementos están conectados de manera de evitar movimientos relativos en:- ellos, para así lograr una perfecta continuidad. En los edificios históricos los e-.*.ntoi suelen estar simplemente sobrepuestos, y existe la posibilidad de rotacior-= relativas en las zonas de contacto. El aspecto principal que limita el empleo de las heramientas comunes de análi.-, que * es la baja resistencia a esfuerzos de tensión de los materiales empleados, lo su¡ : no particularidad Esta lugar a agrietamientos y separación entre elementos. ' ordinan las cargas ser relevante para determinar las condiciones de esfuerzos ante debidas al propio peso de la construcción, ya que tales estructuras están concebicpara trabajar esencialmente ante esfuerzos de compresión. Sin embargo, para --

condiciones cercanas a la falla cuando se presentan fenómenos de inestabilidad. . agrietamiento y la falta de continuidad entre los elementos se vuelven críticos. -

igual que para los efectos de solicitaciones como cambios de temperatu:hundimientos diferenciales y sismos.

4.2 Métodos basados en el equilibrio de fuerzas Como se ha mencionado, las primeras guías para determinar la seguridad de

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estructuras consistieron en reglas geométricas que definían las relaciones que deb--guardarse entre las dimensiones de los principales elementos estflrcturales. El prir.paso hacia la cuantificación de las cargas y sus efectos se dio a mediados del sikVUI, con la aparición de métodos pafa determinar las trayectorias que siguen fuerzas internas que se generan para que las cargas que actúan sobre la estfuctur; ': puedan transmitir hacia sus apoyos y, finalmente, hacia su cimentación y al subsue La parte más simple del proceso anterior es lo que se denomina baiada de ca4 que implica la cuantificación de los pesos de los diferentes componentes de la c< lrucción y Ia identificación de las partes de la estructura sobre las que estos u:i.e.s\§s\t stc.\e\ct¿.tsrr.\t qrre, a\gurro: e\tr§e\\ss üe\a' es\tuc\ura' se t§§\ :'.



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:rrbre otro. J.e'ulta sencillo determinar la trayectoria de fuerzas cuando la estructura se puede -:t:3Sertor con un modelo isostático, o sea uno en el que las condiciones de equilibrio : suticientes para definir totalmente la manera en que las fuerzas son resistidas - :1¿ estructura. Estos modelos son aplicables, además de en aqr-rellos casos en los - -: los elementos se encuentran simplemente apoyados Llnos sobre otros. en otros ---. aunque estrictamente no son isostáticos. pueden simplificarse como tales. Ese :. .i caso de las armaduras de techo. en las que hay una conexión rígida entre los : :nentos que constituyen el arreglo triangulari sin embargo, el empotramiento que -= da en las conexiones produce momentos flexionantes pequeños, comparados con ¡ el'ectos de las fuerzas axiales actuantes, de modo que es admisible despreciarlos :::l determinar el flujo de fuerzas y considerar que las piezas están articr,rladas en -> extremos. \lás complejo resulta determinar los empujes horizontales que se generan cuando ,\ elementos de cubierta no son planos. EI coceo que se produce, no se puede

::antificar simplemente con consideraciones de equilibrio de fuerzas, sino que ::quiere calcular la trayectoria de estas fuerzas dentro del elemento. lo cual depende, ,Jemás de las condiciones de equilibrio, de las de continuidad (o de compatibilidad :: defbrmaciones) en los extremos del elemento y de las características de rigidez :¡1 material que compone la estructura. En términos de ingeniería estructural, se ::ata de sistemas hiperestáticos cuya solución requiere plantear condiciones ,dicionales a las de la estática, o sea a las de equilibrio; tales condiciones se refieren . la compatibilidad de las deformaciones. Los métodos de análisis para estas estructuras se basaban desde el siglo

XVIII

en

.e aplicación únicamente de las condiciones de equilibrio, pero imponiendo ciertas restricciones a las trayectorias de las fuerzas, de manera que el problema se volvía :státicamente determinado. El procedimiento consiste en el trazo delalínea de pre-

siones, que define el punto de cada sección en que se ubica la resultante de los :sfuerzos internos. Si se fija, con base en el conocimiento a priori de las condiciones de esfuerzos en la estructura, la posición de la línea de presiones en un número suficiente de puntos para que la estructura se vuelva estáticamente determinada, se puede encontrar la trayectoria completa de la línea de presiones. La solución se obtiene generalmente con procedimientos de estática gráfica (Schreyer, 1953), como el desarrollado por Méry, con base en los planteamientos inicialmente fbrmulados por Coulomb. En este proceso se determinan las secciones en que se presentan las excentricidades máximas entre la línea de presión y el eje del elemento. En estos

restringen el giro en sus extremos e introducen en ellas momentos flexionantes; sin embargo, por la esbeltez de las barras, el efeclo de los momentos es pequeño comparado con el de las cargas axiales y puede despreciarse. Al considerar que hay articulaciones en las conexiones entre las barras, Ias armaduras simples pueden resolverse con base en las condiciones de equilibrio, únicamente.

74

INGENIERIA ESTRUCTURAL DE LOS EDIFICIOS HISTORICOS

puntos, se propone que la línea de presiones pase por el límite del tercio medio de l" sección, de manera que toda la sección quede sujeta a esfuerzos de compresión Con esas hipótesis, se traza la trayectoria de la línea de presiones con base en la: condiciones de equilibrio; si la línea de presiones queda incluida en el tercio medic para todas 1as secciones del elemento, se garantiza que no se presenten esfuerzos d¡ tensión. y si además los esfuerzos de compresión se mantienen dentro de límite. admisibles, se garantiza que la estructur¿I es segura. Por ejemplo, para Lln arco semicircular sujeto a su peso propio, se aprovechan 1a. condiciones de simetría y el conocimiento de que 1as excentricidades máximas se presentan en la clave por el intradós, y en los arranques por el extradós, para ubicai los tres puntos de 1a línea de presiones, con el cual el problema se vuelve estáticamente determinado.

La aplicación clel método se limita a estructuras planas, por lo que el edificic tridimensional se modela como una serie de sistemas planos independientes. Estt' frecuentemente introduce errores significativos, al ignorar la interacción entre 1o: elementos planos, por las condiciones de continuidad en la dirección ortogonal a ie

Determinación de la línea de presiones mediante estática gráfica El procedimiento resulta sencillo para el caso de

d) Se supone que las secciones críticas son los arran-

arcos, y es manejable para estructuras en que se puede tener una estimación previa de la trayectoria que siguen las cargas y se puede ubicar la posición de las secciones crílicas. El análisis de un arco

ques del arco y su clave, y que la línea de presiones pasará por el extremo del tercio medio de cada sección crítica. Para el arranque del arco, la posición es tal que causa tensión en el extradós, y para la clave en el intradós. e) Por la posición supuesta de la línea de presión en

rebajado se presta a una explicación breve del procedimiento; se procede con los pasos siguientes: a) Se dibuja a escala el arco y su espesor. b) Se divide el arco en cierto número de sectores, o dovelas, y se calcula la carga que corresponde a cada dovela, determinando elvolumen de material ubicado en el tramo en cuestión. La carga, F, así detei-minada, se ubica en elcentro geométrico de la dovela. Si el arco es simétrico en geometría, distribución de cargas y condiciones de apoyo, se puede trabajar con la mitad del arco. c) Se trazan a escala las fuerzas F, correspondientes a cada dovela, formando un polígono de fuerzas; en este caso todas las fuerzas están alineadas sobre una vertical. La longitud de la recta obtenida será iguala la resultante de fuerzas aplicadas. Para determinar la posición de la resultante se elige un origen arbitrario, O, a la izquierda de la recta y se une éste con los extremos de cada segmento corres-

pondiente a las fuerzas F. Con paralelas a las rectas así obtenidas (1 a 5) se traza un polígono funicu' Ia¿ partiendo de un apoyo hasta llegar al otro apoyo (en este caso el centro del claro). La intersección de las líneas extremas (1 y 5 en este caso), define el punto de aplicación de la resultante.

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la clave (B), se traza una horizontal hasta cruzar con la línea de acción de la resultante (C); se une este punto con la posiciÓn supuesta para la línea de presiones en el arranque (A). La rectaAC define la línea de acción de la reacción en el apoyo. Se define un nuevo origen, O', a la izquierda del funicular inicial, trazando del extremo superior del funicular una horizontaly del inferior una paralela a la linea de acción de Ia reacción. Se liga O' con los puntos que limitan cada uno de los segmentos del funicular (1 a 5), y se obtienen las líneas de acción de las fuerzas internas para cada dovela.

g) Se trazan paralelas a cada línea de acción, partiendo de uno de los puntos prefijados hasta llegar

al otro; el polígono así determinado, indica

la

trayectoria de la línea de presiones. h) Si en cada sección la línea de presiones pasa dentro del tercio medio, no habrá tensiones en todo el desarrollo del arco, y los esfuerzos de compresión se pueden determinar directamente.

MÉTODOS DE ANÁLISIS

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caso simple de esta situación se da al resolver una cúpula esférica una serie de arcos, o gajos, que se analizan en forma separada. -; ralidez de estos métodos ha sido estudiada por Heyman (1995), utilizando onceptos de 1o que se llama análisis allfinite, o plástico. El razonamiento es del tipo siguiente: es un hecho que las soluciones así encontradas no son necesariamente las verdaderas, porque Lo garalfizan que se respeten las condiciones de compatibilidad de deformaciones ni las de continuidad en los apoyos; sin embargo, si la trayectoria de fuerzas encontrada (línea de presiones) cumple con el equilibrio, y no se violan condiciones de resistencia del material, esto es suficiente garantía de que la estructura es estable ante esa condición de carga, ya que su capacidad real de carga es mayor que la que resulta del análisis. La aseveración anterior se basa en el llamado teorema del límite inferior del análisis estructural, mediante el que se demuestra que si se determina una condición para la cual un conjunto de fuerzas internas está en equilibrio con las fuerzas externas, cargas y reacciones, y además que en ningún punto de la estructura se violan los límites de resistencia del material, puede afirmatse que la estruct\§a es seg\Ira.

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Cálculo de la línea de presiones por estática gráfica

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INGENIERIA ESTRUCTURAL DE LOS EDIFICIOS HISTORICOS

Línea de presiones en un arco rebajado Las cargas verticales producidas por el peso propio del arco producen esfuerzos en sus secciones. La posición de la resultante de los esfuerzos internos de compresión en cada sección define la linea de presiones. Debe haber equilibrio en las cargas aplicadas y las reacciones en los extremos del arco, asícomo entre la

necesarias, pero no suficientes, para definir la línea de presiones. La distancia entre la lÍnea de presiones

Heyman da más argumentos en favor de una solución que ignore las condiciones de compatibilidad; afirma que en estructuras de mampostería,la solución "exacta" no existe o es irrelevante. Las propiedades de rigidez del material y las condiciones de continuidad en los apoyos, además de ser difíciles de determinar, varían en el tiempo por diferentes factores. Los morteros están sujetos a flujo plástico, y las

y el eje del arco corresponde a Ia excentricidad de Ia resultante, y

deformaciones por este fenómeno modifican la rigidez relativa de diferentes secciones de la estructura; los apoyos se encuentran sujetos a movimientos por

define la magnitud de los momentos

asentamientos de la cimentación, y toda la estructura sufre deformaciones debidas a cambios de temperatura; todo esto, además de hacer variar las propiedades con el tiempo, produce agrietamientos que alteran significativamente las condiciones de

resultante de esfuerzos internos en cada sección y las cargas externas. Estas condiciones de equilibrio son

flexionantes inducidos en cada sección.

Trayectoria de cargas en estructuras abovedadas Las eslructuras abovedadas son hiperestáticas, y la determinación de la línea de presiones no puede

I Arbotante

hacerse en forma exacta a partir

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únicamenle de las condiciones de

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equilibrio. Una apreciación cualitativa de la trayectoria de las fuerzas sirve de base para el trazo

Columna---

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detallado de la lÍnea de presiones. La figura muestra tres casos típicos de las eslructuras de las iglesias medievales: cuando la altura de la nave es moderada, el empuje de la bóveda puede ser absorbido por un contrafuerte robusto (caso a); para bóvedas de gran altura, se lleva primero el coceo a un nivel más bajo mediante un arbotante, para no

dar lugar a un tamaño exagerado de contrafuerte (caso b); para grandes alturas se hacen necesarios dos niveles de arbotantes (caso c). En los tres casos, la trayectoria de las fuerzas sigue el mismo esquema, para lograr que el peso de los elementos verticales equilibre el momento de volteo inducido por el coceo de la bóveda.

Nave central

rigidez. De esta manera, la línea de presiones "real" varía en el tiempo y no puede pensarse en una solución única, basta con encontrar una solución que cumpla con la seguridad y que sea más conservadora que la real. La aplicación de la estática gráfrca a la solución de estructuras geométricamente complejas dista de ser trivial; se necesita una clara intuición acerca de la trayectoria de la línea de presiones y de la ubicación de las secciones críticas donde fijar las condiciones de esfuerzo máximo. Si no se eligen de manera adecuada estos puntos, al aplicar el procedimiento se encuentra que la línea de presiones queda fuera del

tercio medio o inclusive del espesor total de la sección, con lo cual se viola la condición de límite de resistencia del material; por tanto, la solución es inválida. Los cambios en la posición de las secciones críticas para las sucesivas iteraciones

77

MÉToDOS DE ANÁLISIS

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De una manera compacta, López Carmona realizó, sobre un corte a escala de la techumbre de la Catedral, los trazos y cálculos necesarios para determinar la línea de presiones, las fuerzas internas y los esfuerzos en el material (tomado de López Carmona, 1990).

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requieren también de práctica e intuición; de lo contrario, no se converge hacia una línea de presiones admisible. Apesar de 1o anterior, estos métodos permiten visualizar en una forma muy directa y objetiva el funcionamiento de una estructura, y apreciar si el flujo de cargas se efectúa de una manera eficiente, e identificar cuáles son las partes críticas que pueden ameritar una revisión más detallada y, posiblemente, una acción correctiva. Heyman propone el empleo de métodos basados en el equilibrio para el cálculo de la carga de ruptura de las estructuras de mampostería, mediante la determinación de la línea de presiones que colresponde a la formación de un mecanismo de colapso; para ello, en una estructura hiperestática, como un arco, una bóveda o una cúpula, debe formarse cierto número dearticulaci.ones plásticas obisagras phísticas,enlas que la línea de presiones pasa por un extremo de la sección; por tanto, la casi totalidad de ella se encuentra sometida a tensión. De esta manera, en dichas secciones se

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INGENIERIA ESTRUCTURAL DE LOS EDIFICIOS HISTORICOS

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Mecanismos de articulaciones plásticas en arcos Los croquis indican la trayectoria de la línea de presiones y la posición

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de las articulaciones plásticas de un

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arco (o una bóveda cilíndrica), para distintas condiciones de carga. Ante carga vertical uniforme, la bóveda forma primero tres articulaciones plásticas (b), con las cuales se vuelve estáticamente determinada;

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al aumentar más la carga, idealmente se forman otras dos articulaciones en los lomos (c). En realidad, una mínima asimetría de la carga o de la geomelría provoca que se forme primero una de las dos articulaciones en los lomos (d), con lo que se tiene un mecanismo y ocurre el colapso. Si los apoyos, como es común, ceden hacia afuera, el mecanismo es como el mostrado en (e); si los apoyos empujan hacia adentro se forma el mecanismo (f).

forma una grieta que permite el giro local en la sección, como sucede en una articulación propiamente dicha. Una vez ubicada la posición del número suficiente de articulaciones para que se forme el mecanismo, se determina la línea de presiones que pase por dichos puntos y lacargaque coresponde a la capacidad de la estructura al colapso. Surgen dudas sobre la validez de estos métodos de análisis a la ruptura, sobre todo en 1o relativo a la capacidad de la mampostería para generar articulaciones plásticas cuando se encuentra sometida a cargas axiales elevadas. Hay evidencia clara de que en estructuras hiperestáticas de mampostería se pueden generar agrietamientos importantes, sin que se pierda la capacidad de carga cuando son sometidas a movimientos de sus apoyos. Estas grietas pueden considerarse como

articulaciones plásticas, ya que permiten giros importantes que producen

Esquema de modelo para solución con

elementos finitos Se ilustra Ia manera en que una estructura se divide en partes

redistribuciones de las cargas aplicadas. Es dudoso, sin embargo, que esta capacidad de rotación se tenga cuando la deformación se debe al efecto directo de las cargas. El colapso, cuando los apoyos son fijos, no suele darse por fenómenos de inestabilidad debidos a la formación de un mecanismo, sino por fallas locales por aplastamiento del material, inestabilidad local, o deslizamiento debido a esfuerzos cortantes en las juntas de mortero. Por ello, los métodos de análisis a la ruptura deben emplearse con precauciones y, sobre todo, con el pleno conocimiento del comportamiento estructural del edificio en estudio, que permita asegur¿r que no se presentarán modos de falla diferentes del considerado en el análisis.

elementales (elementos finitos) para las cuales se conoce Ia solución ante cargas aplicadas en sus esquinas (nodos), Se plantean las ecuaciones de compatibilidad de esfuerzos y deformaciones en los nodos comunes a varios elementos, y se resuelve el sistema de ecuaciones simultáneas que resulta.

4.3 Métodos de análisis elástico lineal Se suelen llamar métodos elásti.cos los que se basan en la hipótesis de que el material estructural tiene un comportamiento lineal, tanto para esfuerzos de compresión

El número de elementos finitos necesario depende de la complejidad de la geometría y del sistema de cargas y de la precisión con que se quieran determinar los esfuerzos a nivel local. El tipo de elemento finito que conviene utilizar en cada caso depende principalmente de la geometría de la estructura.

a) Estructura

b) Malla

c) Equilibrio de un elemento

79

MÉToDOS DE ANÁLISIS

Esfuerzos inducidos por hundimientos correctivos en un eje transversal de la Catedral de México La estructura de la Caledral presenla severas distorsiones debido a los extraordinarios hundimientos diferenciales que ha tenido desde el inicio de su construcción, (véase capÍtulo 8). Para corregirlos, al menos parcialmenle, se impusieron hundimientos compensatorios y su efecto se estudió mediante análisis s

de elementos finilos. La representación gráfica de la

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solución de un modelo plano de un eje transversal del templo muestra que la corrección introduce

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esfuerzos de tensión, sobre todo en

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la cimentación.

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Modelo de elementos finitos del Sagrario

Metropolitano -os modelos tridimensionales de estructuras complejas dan lugar a

un

rúmero elevado de elemenlos finitos. La figura a) mueslra la geometría

jel modelo.

La figura b) es la salida gráfica del análisis de esfuerzos por

cs hundimientos diferenciales a los que está sometido el templo, \uevamente, este análisis sirve para tener una idea global del estado de esfuerzos, de la cual pueden identificarse zonas crÍticas que requieren un análisis más detallado, (RodrÍguez, 1997). La figura c) mueslra la :eformación de la estructura debida a los hundimientos de su

:imentación. Las deformaciones eslán fuertemente amplificadas con 'especto a las reales. La gráfica es útil para identificar las zonas de la

:structura afectadas más severamenle.

80

INGENIERIA ESTRUCTURAL DE LOS EDIFICIOS HISTORICOS

Solución de un arco por elemento finito Se presenta la salida gráfica del programa SAP2000 (Wilson y Habibullah, 1989) para un arco rebajado sujeto a tres condiciones de carga: su peso propio más una carga vertical uniforme, caso a); una abertura de sus apoyos, caso b); y un cierre de los mismos, caso c). Las franjas de color representan zonas con un mismo nivel de esfuerzos horizonlales. La escala de esfuerzos aparece a la derecha de cada figura. Estas representaciones gráficas proporcionan una vislón de conjunto del estado de esfuerzos, que es muy útil para entender el comportamienlo de la estructura. En este caso, el aspecto más interesante es la ubicación de las zonas de esfuerzos de tensión, que son diferentes en los tres casos. Nótese que las escalas son diferentes en cada uno, por lo que los colores no corresponden a un mismo intervalo de esfuerzos, Los valores positivos indican esfuerzos de tensión, y los negativos de compresión.

Tipos de elementos

finitos para modelos de edificios históricos Los elementos finitos más comunes son el elemento barra, el sólido y la cáscara; cada uno tiene una solución diferente para el estado de esfuerzos y deformaciones, y condiciones distintas para las fuerzas nodales. Para los edificios históricos se usan principalmenle los elementos sólidos en forma de bloques, o las cáscaras para las partes curvas en bóvedas y cúpulas.

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b) Elemento sólido

a) Elemento cascarón

[/ÉToDOS DE ANÁLISIS

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Determinación de la línea de presiones mediante análisis por elementos finitos Los análisis elásticos, por la técnica de elementos

sin embargo, relativamente sencillo incluir en los mis-

finitos, permiten una representación mucho más completa del estado de esfuerzos y de deformaciones de la estructura, que los que proporciona eltrazo de la línea de presiones y el cálculo del polígono funicular de fuerzas; sin embargo, los resultados típicos de los

mos un subprograma que realice este cálculo; adernás, de un posprocesador que realice una representación gráfica de los resultados. Las fuerzas que resultan en los nodos de los elementos deben proyectarse para obtener [os componentes en dirección normal a la sección, y sumarse para determinar la resultante y su posición.

análisis de elementos finitos resultan difíciles de interpretar, por ello generan desconfianza en los no iniciados en el manejo de estas técnicas. Por otra parte, el trazo de la línea de presiones con los métodos de estática gráfica resulta laborioso, y sólo con un conocimiento muy completo del comporlamiento de este tipo de estructuras, y con mucha

experiencia en la aplicación de dichas técnicas, se rogra una solución con un grado de aproxímación razonable.

EI análisis por elementos finitos proporciona la solución elástica correcta, y de ella puede determirarse la línea de presiones. Los paquetes de cómputo

usuales para el análisis por elementos finitos no ncluyen el cálculo de la resultante de fuerzas en la

La modificación anterior se realizó a partir de un programa básico de elementos finitos, habiéndose obtenido una herramienta específica para elanálisis de estructuras de mampostería (Roeder, 1998). En las figuras se muestra la solución para el mismo arco rebajado estudiado en las páginas anteriores. Para el efecto de carga vertical, se calcula la línea de presiones para comportamiento elástico uniforme. El trazo de la línea de presiones se obtiene de manera automática, junto con los valores de la resultante de fuerzas en cada sección. La figura muestra la solución para la mitad del arco. La técnica resulta muy conveniente para estructuras complejas.

sección, y por tanto de la línea de presiones. Resulta,

W = 19.6 KN/M

+

R = 176 KN

Línea de presiones en arcos, delerminada de análisis por elementos finitos

82

INGENIERIA ESTRUCTURAL DE LOS EDIFICIOS HISTORICOS

Dentro del amplio programa de estudio de los problemas estructurales de este templo, se ha elaborado uno de los modelos de elemento finito más grandes y más completos que se hayan empleado para el análisis de un monumento. La figura muestra una representación gráfica del modelo completo (Mola y Vitaliani, 1997),

como de tensión, o sea que las deformaciones internas aumentan proporcionalmente a los esfuerzos aplicados para cualquier valor de estos últimos. Esta hipótesis ha permitido obtener la solución "exacta" de la respuesta de modelos estructurales típicos, en los cuales se cumplen, no sólo las condiciones de equilibrio de fuerzas internas y externas, sino también las condiciones de compatibilidad de deformación.La:ruorta de la elasticidad, desarrollada en Francia desde el siglo XVIII, fue aplicada desde entonces, cada vezmás al análisis de estructuras de Ia ingenieúa mecánica y de la ingeniería civil. El comportamiento de los materiales estructurales no se apega estrictamente a la hipótesis de relación lineal esfuerzo-deformación, que es la base de la teoría elástica; sin embargo, las diferencias suelen considerarse aceptables para materiales como el acero, la madera y aun para el concreto reforzado. Para la mamposteía, sin embargo, las diferencias son más radicales; primeramente, el material tiene resistencia despreciable a esfuerzos de tensión, por lo que se encuentra sujeto a agrietamientos que generan deformaciones locales muy diferentes a las que corresponden a un

material de comportamiento lineal. Además, hay diversos efectos que alteran la distribución de esfuerzos en la mamposteía, como los cambios de temperatura, las deformaciones diferidas del mortero y los efectos de movimiento de sus apoyos. La gran variabilidad de las propiedades del material de una a otra sección, altera también la distribución de esfuerzos. En resumen, no puede esperarse que los resultados de un análisis elástico sean representativos de los esfuerzos y de las deformaciones reales de una estructura de mamposteía, sobre todo cuando se encuentra sometida a cargas que inducen flexiones significativas. Hasta hace algunas décadas, los métodos de análisis elástico se centraban en la búsqueda de soluciones "cerradas", o sea en encontrar funciones matemáticas que representasen la geometúa, condiciones de carga, propiedades mecánicas y respuesta. Esto sólo puede hacerse para casos que presentan ciertas condiciones de regularidad y sencillez, y aún así, la solución requiere de un esfuerzo mafemático considerable. Se llegaba a voluminosos manuales o tratados que presentaban, por ejemplo, las soluciones para arcos, cúpulas y cascarones de formas típicas y sujetas a condiciones de cargas usuales. Desde mediados del siglo XX comenzaron a tomar auge los métodos numéricos

para el análisis de sistemas estructurales, no en forma cerrada o matemáticamente

MÉTODoS DE ANÁLISIS

83

Análisis de elemento finito con propiedades mod¡f¡cadas El mismo arco rebajado resuelto

anteriormente para un comportamiento elástlco lineal y para tres condiciones de solicitación, se presenla aquí para un análisis lineal modificado en el cual los elementos finitos en que se presenlaron esfuerzos de tensión en el análisis Iineal inicial, han sido modif icados, asignándoles un módulo de elasticidad casi nulo. En esta forma se representa, aproximadamente, el efecto del agrietamiento. Al comparar éstas con las tres gráficas anteriores para comporlamiento llneal uniforme. se aprecia que el tamaño de la zona de tensión crece, asÍ como los esfuerzos máximos de compreslón. Para el efecto de carga vertical, las modificaciones en el estado de esfuerzos son muy pequeñas; para los efectos de movimientos de los apoyos, los esfuerzos inducidos son menores cuando se considera el agrietamiento; esto es debido a que el arco pierde mucha rigidez y puede ser deformado con mayor facilidad. Los valores de los esfuerzos de tensión no son represenlativos, ya que corresponden a un material ficticio.

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-::.r. sino por técnicas que, explicadas en fbrma simplista, consisten en suponer de la solución, y en comprobarlos y ajustarlos por aproxique el error en la solución quede en límites tan pequeños hasta sucesivas, -:.iones - :lo se desee. Estas técnicas aplicadas a estructuras de cierto grado de complejidad :,:lican una cantidad brutal de operaciones, de maneta que el auge de los métodos .-méricos sólo se dio cuando se pudo contar con computadoras capaces de realizar :eraciones a velocidades antes inimaginables. Un paso más reciente hacia la popularidad de los métodos numéricos de análisis :.¡ructural ha sido la aparición de paquetes de análisis de uso general, o sea capaces :: resolver una amplia gama de tipos de estructuras ante diversas condiciones de

,: : o algunos valores

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INGENIERIA ESTRUCTURAL DE LOS EDIFICIOS HISTORICOS

solicitación, aplicando una misma técnica. La técnica de aplicación generalizada para este propósito es la del elemento Jínito,qte consiste en dividir la estructura en una serie de elementos tipo para los cuales quedan planteadas en el respectivo programa de cómputo las ecuaciones de equilibrio y deformación; se establecen las

condiciones de compatibilidad en los nudos comunes a dos o más elementos (Zienkiewiczy Taylor, 1989). El análisis implica la solución de un número extraordinario de ecuaciones simultáneas, cientos de miles de ellas para una estructura de cierta complejidad. Esto se realiza en tiempos muy razonables, aun con las computadoras de escritorio ahora disponibles. Una dificultad severa en los inicios del uso de estos paquetes de cómputo, era el extraordinario trabajo para la preparación de los datos de entrada con los que se describe el problema en lo referente a las características geométricas del sistema, a las propiedades mecánicas de los materiales y al sistema de cargas. En el mismo sentido, había gran dificultad en interpretar el extraordinario volumen de resultados que aparecían de la solución del problema. Actualmente estas tareas han sido simplificadas, porque los paquetes tienen incorporados preprocesador¿s que permiten generar los datos en forma semiautomáfica y posprocesadores que presentan los resultados en forma compacta y preferentemente gráfica (Wilson y Habibullah, 1989). Obviamente, todo este refinamiento analítico y enonne capacidad de cálculo numérico no eliminan las objeciones enunciadas sobre Ia aplicabilidad de las soluciones elásticas a cierto tipo de estructuras, en particular a las de mampostería; añade un peligro adicional: el que la elegancia y la aparente perfección del método hagan perder el contacto con la estructura real y con la conciencia de las posibles diferencias que hay entre ésta y el modelo analítico que se analiza. Por ello, tales modelos sólo pueden ser construidos con la participación de alguien que conozca a fondo los materiales, los sistemas constructivos y el funcionamiento estructural, así como la historia del comportamiento y de las modificaciones que ha tenido el edificio en estudio. Con plena conciencia de las objeciones anteriores, deben reconocerse las ventajas y el potencial de estas técnicas. En los planteamientos elásticos se hacen cumplir condiciones, tanto de equilibrio como de compatibilidad de esfuerzos y de deformaciones; la debilidad de las hipótesis que estas soluciones implican, se refieren sólo a las condiciones de compatibilidad de esfuerzos y deformaciones; por su parte, las condiciones de equilibrio se plantean y se resuelven en forma precisa. De esta manera, la distribución de fuerzas internas, o sea la trayectoria o flujo de cargas internas, cumple con el equilibrio, y de acuerdo con el teorema del límite inferior constituye una solución conservadora de las fuerzas que se presentan en la estructur4 por lo cual si se puede demostrar que la estructura es estable y segura ante esta distribución de fuerzas, lo será en mayor medida ante la distribución correcta. En este sentido, la solución es tan válida, o tan objetable, como las que se obtienen con los métodos basados en el equilibrio, descritos en el inciso anterior. Los resultados que deben tomarse con más reservas de los análisis elásticos así planteados, son los que se refieren a los valores de los esfuerzos internos y de las deformaciones y desplazamientos de la estructura. Con una interpretación razonada, es factible tener indicaciones útiles sobre esfuerzos y deformaciones promedio, pero los valores locales son generalmente poco confiables. Con la interpretación anterior, los resultados de los análisis elásticos se revalúan desde un punto de vista de análisis al límite, o plástico, y constituyen en la actualidad la herramienta más viable para el estudio analítico de la seguridad de las estructuras complejas de los edificios históricos.

MÉTODOS DE ANÁLISIS

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4.4 Análisis no lineal

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La principal objeción al uso de los métodos elásticos de análisis es que no reco-:,.en el comportamiento no lineal de la mampostería propiciado por el agrietat-.ento que ocurre con frecuencia debido a su escasa resistencia a tensión. La no -realidad del comportamiento ante esfuerzos de compresión es mucho menos im: rnante; los modelos lineales consideran que las propiedades ante esfuerzos de ten.:.in son las mismas que ante los de compresión y que en ambos casos se mantienen :-..

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ariables para cualquier nivel de carga. Estas limitaciones se superan en gran medida si se construyen modelos en los que

material es lineal en compresión, pero tiene resistencia nula a esfuerzos de ten.,,in. La solución de modelos de tales características implica un método de análisis - - lineal, ya que al aumentar el nivel de carga, el tamaño deTazona en tensión crece, - :rdo necesario modificar las características del modelo en cada intervalo de carga. Dentro del ámbito de las técnicas de elemento finito, el planteamiento más claro :: :1 de conectar los elementos finitos mediante resortes que no resisten tensión y :-: desconectan los elementos cuando se da esa condición de esfuerzos. Si se tiene -:-: malla suficientemente fina de elementos en las zonas críticas, la separación .-;esiva de elementos reproduce la propagación de las grietas. Estos procedimien> presentan dificultades graves de convergencia y no reproducen las concentracio=-

-=s de esfuerzos que se tienen en los extremos de las grietas. El desarrollo más reciente se ha dado hacia modelos que no pretenden reproducir ::Jtas individuales, sino zonas generalizadas de agrietamiento por esfuerzos de los elementos finitos se modifican para =:-.ión, en las cuales las propiedades de -. 1lar en cuenta el agrietamiento. Se emplean índices de reducción de las propieda:=. de rigidez en función del nivel de esfuerzos. Estos últimos planteamientos son :.js táciles de resolver numéricamente que los que consideran grietas discretas; sin ::bargo, la complejidad de la modelación y de las soluciones numéricas sigue sien: muy elevada, por lo que su aplicación se ha limitado a problemas de investiga-.in. mientras que su aplicación al diagnóstico de edificios particulares, ha sido -: -ir limitada. Se ha dado preferencia al empleo de análisis elásticos sucesivos, en los que las de rigidez de algunas partes de la estructura se modifican, no de manera .,rpiedades y --¡omática progresiva, como en los métodos de análisis no lineal, sino en forma -:-:nual. Las modificaciones se deducen de los resultados de un primer análisis elás.-JLr de la estructura intacta, del cual se identifican las zonas sujetas a tensión que :¡uieren modificación; también las modificaciones pueden derivarse de la obser-

,.-tón de la estructura real, e intentar reproducir en el modelo zonas de agrieta:,:3nto o de debilidad, detectadas de la observación directa de la construcción. Resulta útil partir de un análisis lineal inicial del modelo de la estructura comple--. de éste identificar las partes de la estructura en que se presentan condiciones ] :--ricas de esfuerzos, a fin de construir para ellas modelos locales en los que se

-¡licen análisis no lineales o análisis lineales con propiedades modificadas.

4.5

Análisis dinámico

El cálculo de los efectos que sobre las estructuras producen las acciones externas, *rcalizausualmente considerando que estas últimas tienen valores constantes en

85

INGENIERIA ESTRUCTURAL DE LOS EDIFICIOS HISTORICOS

Análisis por elemento finito de la Catedral de México En el programa de estudios estructurales que se han realizado como respaldo del proyecto de rehabilitaciÓn de ta Catedral de México (véase capítulo 8), se han realizado análisis por elemento finito de diversos mo-

delos de la estructura, sometidos a diferentes condiciones de carga. El propósito de los análisis fue ayudar a comprender las condiciones de esfuerzos que se inducen en

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la estructura por efecto de su peso propio, por los hundimientos diferenciales que ha experimentado su cimentación desde la época de su construcción y que

han continuado desde entonces, además por [os movimientos a los que se somete la estructura durante el proceso de su rehabilitación, tendientes a corregir parcialmente los asentamientos diferenciales previos. Los análisis se realizaron con el sistema de cÓmputo SAP90 mencionado, que no tiene limitaciones explícitas en cuanlo a tamaño del modelo que es capazde resolver. Las limitaciones se introducen por el equipo de cómputo en que se emplea el sistema.

En estructuras de grandes dimensiones y complejidad, como la que nos ocupa, es necesario hacer un balance entre el tamaño de la parte que se quiere representar en el modelo y el de los elementos finitos con que se construye la malla; si ésfa es muy fina, es posible conocer con precisión las condiciones de esfuerzos locales en los elementos, pero no se puede representar así la estructura en su totalidad. Se optó por construir modelos con distinto grado de refinamiento; primeramente, uno global, relativamente burdo en cuanto altamaño de la malla, permitió estudiar la estructura casi completa, constituida por el sis-

tema de naves longitudinales, cúpula y crucero. Se consideró conveniente reproducir en este modelo la cimentación, aun a costas de eliminar la fachada principal, con sus torres y el ábside. Estas zonas pueden estudiarse por separado. Consta de 6 840 elementos finitos y 11 503 nudos. Para la cimentación, columnas

y muros se usaron elementos sólidos con forma de paralelepípedo, y para la cubierta elementos "cáscara" Mallas de elemento linito pata Ia representación de los componentes

de la bóveda

que representaron en forma esquemática, la geometría de las diferentes bóvedas y cúpulas.

Modelo de elemento finito

tridimensional de la estruciura y su cimentación

METODOS DE ANALISIS

Momento deb¡da ol peso de lo cupulo centtol

is--ezos producidos por peso propio en el modelo global El análisis por carga vertical del modelo global sir. ó principalmente para calibrar los resultados de las largas que actúan en los elementos principales, al :cmpararlos con los que se han determinado con pro-

:edimientos más simples, como una bajada de car-

;a. También sirvió, a través de la representación gráfide las franjas de distintos niveles de esfuerzos,

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: ara comprobar que no se presentaban zonas de es'-a'zos de tensión, lo que confirma que la estructura -acía sido concebida de manera adecuada. En cuanto = ¡s esfuerzos de compresión, éstos resultaban ba:s

comparados con la resistencia disponible de la estruc-

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-a malla de este modelo globalse consideró demaburda para entender la condición de esf uerzos = =:c ::::Ca a los hundimientos diferenciales, la cual es --:1o más crítica que la delpeso propio. Por ello, se

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este fenómeno sobre modelos locales que re-

:-:sentaban los principales ejes longitudinales y :-:-sversales de la estructura. La base de estos -:,:elos se sometió a la configuración de hundimien-:s : Íerenciales que se había registrado en cada pun-: -as propiedades estructurales de estos modelos

-'.aron

para representar el comportamiento de los

Deformada del modelo de una columna central debido a[ peso propio y al giro de su base

indicaciones útiles en cuanto a la magnitud de los esfuerzos inducidos en la estructura; esto se debe, por una parte, a lo burdo del modelo global, y por otra, a que los modelos planos no podían reproducir el comportamiento no lineal inducido por el agrietamiento debido a los hundimientos diferenciales. Para llegar a tener estimac-iones razonables de los esfuerzos fue necesario recurrir a modelos locales que reprodujeran porciones de la estructura en que las condiciones de carga y de restricciÓn en los extremos fueran conocidas y establecidas a priori, y de las cuales se pudiera construir una malla suficientemente fina. El caso que más interesaba era el de las columnas bajo la cúpula central, para las cuales se

construyó un modelo local con unas condiciones simplificadas de vinculación al resto de la estructura; el modelo fue sometido a las cargas de peso propio determinadas del modelo global, y a unos desplazamientos y giros de sus apoyos iguales a los medidos en sitio. La configuración deformada de la columna, obtenida del análisis, resulta muy similar a la observada, y la distribución de esfuerzos revela momentos flexionantes elevados que no se detectaban en los modelos

-=:eriales ante solicitaciones que aumentan ;-::mente con el tiempo. Por ello se supusieron más burdos. Los esfuerzos calculados mostraron inci- -,:- os de elasticidad reducidos con respecto a los buena correlación con los agrietamientos y lospartes :e:=rinados en pruebas de laboratorio para cargas :l: :,:ia duración. Los efectos de flujo plástico influyen :¿::¡iarmente en los elementos de mampostería que ::: -:3nen grandes cantidades de mortero, como son ,a-.

: =:edes de mampostería. Los resultados de estos

!-¿ s s indican la presencia de zonas de esfuerzos iÉ,::cs de tensión, que corresponden a las partes que presentan fuertes agrietamientos. = !r=:structura -JUno de los dos análisis mencionados dio

pientes aplastamientos que presentan algunas de las columnas. Los esfuerzos calculados guardan

semejanza con los que se midieron en sitio con técnica del gato plano (ver capítulo 6).

Ia

Los resultados de estos análisis son indicativos de las precauciones que hay que tener en el manejo de estas técnicas de análisis, y a la vez del beneficio que se puede tener de su uso, principalmente, para la comprensión del funcionamiento estructural global y la identificación de zonas críticas.

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INGENIERIA ESTRUCTURAL DE LoS EDIFICIOS

HISTORICOS

I

luego' esto es el tiempo, o sea, que actúan de forma estática' Desde f:lti:.fd forma l"',tu,::i:'^1¡11H en peso propio y aun para otras solicitaciones que varían los hundimientos de la cimentación y los cambios volumétricos.debldos I

"olno contracciónyavariacionesdetemperatura.Tambiénaccionesqueson',]111:5

y sismo, se suelen modelarmel'Tl mente dinámicas, como los efectos de viento de pata el.caso de u':.o11 fuerzas estáticas equivalentes: presiones laterales uniformes anterr"l:',t5 y fuerzas de inerciá concentradas para el de sismo. La simplificación

justificación por ser los edificios históricos, generalmente, estructuras muy rigldñl de manera que las fuerzas externas inducidas no se amplifican en forma imnon{ debido a la vibración propia del edificio. I Hay situaciones, sin embargo, en las que es importante realizat análisis dinráml cos de los edificios históricos, como es el caso del efecto de las vibraciones { relativamente alta frecuencia, inducidas por el tráfico o por equipos vibratorios q están funcionando dentro o en las cercanías del edificio, y el de la respuesta sísn-'en situaciones en que su efecto dinámico resulte importante a nivel global o loc' Probablemente, la aplicación más útil de los análisis dinámicos sea la que se h'para determinar las características de vibración de la estructura, como las frecu..

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Frecuencias y modos de vibrar del Sagrario Metropolitano del peso prop : Con el mismo paquete de cómputo que se empleó para los análisis estáticos de los efectos La solución al problema c: de los hundimientos, se determinaron las propiedades de vibración del edificio. figura algur:: la en muestran Se y frecuencias. sus valores caracteríslicos proporcionó los modos de vibrar y transversal, longitudinal traslaclón de a modos primeros corresponden modos de vibrar. Los dos que el modelo estudiadc respectivamente; el perÍodo resulta algo mayor en direcciÓn norte-sur, indicando particular del :: poco más flexible en esa direcciÓn que en la transversal. El modo 5 representa un problema (RodrÍg::: conjunto del torsional vibración y 6 una el modo ia vibración vertical de la pesada cúpula central,

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MÉTODOS DE ANÁLISIS

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Se muestran las frecuencias modos de vibrar de la lorre

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surponiente de la Catedral de lVéxico. El análisis se realizó con el mismo programa de elemen'to finito empleado Para estudiar el cuerPo principal de la catedral. Los dos modos princiPales de vibración corresponden a una flexión general de la torre; Ios otros mocios corresponden a frecuencias de vibración mucho mayores (períodos menores) y son Poco excitados Po: los movlmientos sísmlcos en el s i o ya que éstos tienen frecuencias dominantes muY bajas, como se comenta en el caPítulo siguiente.

Respuesta ante un movim¡ento delterreno = -0.40 en 32.00 s Máximo = 0.42 en 32.98 s

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0.24 0.16 a.08

Sobre el mismo modelo de elemen:c finito de la tone surPoniente de la Catedral de México, se realizó el análisis dinámico para calcular la respuesta ante un movimiento det

lerreno. En este caso, el movimientc es el que se registrÓ durante el sismo del 19 de sePtiembre de '1985, en otro sitio de la zona de

lago de la ciudad de México. En la figura se muestra la historia de aceleraciones impuestas en la base y la calculada en Ia cÚsPide de Ia torre: se aprecia que la aceleracio' máxima en la cúsPide es 2.3 veces superior a la máxima regislrada en el terreno, lo que indica que la vibración de la torre amPlifica en forma importante el movimiento de

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Dirección Este - Oeste

Mínimo = -0.18 en 28.08 s Máximo = 0.17 en 28.90 s

su base, y que las fuerzas inducidas por los sismos en esta eslructura son significativas.

90

INGENIERIA ESTRUCTURAL DE LOS EDIFICIOS HISTORICOS

cias y formas modales. Esto permite valorar la importancia de los efectos dinámicc. que pueden inducir distintas fuentes externas. Para los análisis dinámicos de edificios históricos, raÍayez es posible recurrir los modelos simplificados de masas y resortes que es común emplear para los editicios modernos. Por la complejidad de las estructuras es en general necesario reculr-: a modelos de elementos finitos. De hecho, los mismos paquetes de cómputo Que sutilizan para los análisis estáticos suelen incluir opciones para la realización de anú-

lisis dinámicos. Se ufiliza el mismo modelo geométrico y se adicionan algunos ditos de propiedades de masas y amortiguamiento. Las ecuaciones de equilibrio so:. ahora de equilibrio dinámico, e incluyen características de inercia , rigidez y amori-guamiento. Los análisis se realizan a diferentes niveles, el básico es para determinar los valc,res característicos del sistema dinámico, o sea frecuencias y modos de vibrar. Est,proporciona una visión completa de las características dinámicas de la estructura " de su respuesta ante diferentes vibraciones impuestas. El nivel más refinado de análisis es para el cálculo de la historia completa de la respuesta del sistema ante un" condición de vibración, definida por una historia de movimientos impuestos a :u base.

Respuesta dinámica de una estructura de bloques La respuesta dinámica de una estructura de bloques no está regida por las ecuaciones clásicas de equilibrio dinámico que suponen que el movimiento de la estructura es debido a la deformación del material. Aquíel material puede considerarse infinitamente rÍgido, y

el movimiento de la estructura como debido exclusivamente a rotaciones y traslaciones en las juntas enlre los bloques. La ecuación diferencial de equilibrio dinámico debe plantearse en función de un mecanismo cinemático que defina los puntos de rotación. En la figura se indican los mecanismos cinemáticos de un bloque aislado, que puede representar una columna monolítica

Para el diseño sísmico se emplean también análisis de tipo espectral, en los que scalculan solamente los máximos de la respuesta en 1o principales modos de vibrar. i se supelponen mediante cierta regla que permite estimar el máximo de la respuesi'

total. Indudablemente, 1os análisis dinámicos implican una labor numérica todavía má. cuantiosa que la de los análisis estáticos. pero ésta se encuentra todavía dentro de l" capacidad de los modernos equipos de cómputo, aun para modelos relativament. complejos. Los métodos de análisis dinámico basados en la solución de modelos elástico. lineales adolecen de las mismas limitaciones que para el análisis estático, en:aplicación a estructuras de mampostería. Sobre todo en 1o referente al cálculo de i' respuesta sísmica, el agrietamiento en materiales que no resisten tensiones modific" sustancialmente la respuesta; por ello deben extremarse las precauciones, mencionadas en 1a sección anterior, en cuanto a la modelación de las estructuras y a iinterpretación de los resultados del análisis. Existe cierto tipo de edificios históricos en el que el análisis dinámico elástico e. definitivamente inaplicable; se trata de aquellos en los que los desplazamientos I' vibraciones de la estructura se deben esencialmente a movimientos locales en 1a. uniones entre grandes bloques prácticamente indeformables. En los monolitos. . elementos de grandes bloques superpuestos, con una junta en seco, o con una del-sada capa de mortero. las deformaciones se concentran en dichas juntas; la flexiór. produce la abertura de la junta y después su cierre, con cierto impacto en el que sr

o una pared sometida a movimiento normal a su plano. Se muestra lambién el mecanismo correspondiente a una columna de tres bloques superpuestos, y el de un pórtico formado por dos postes y un cabezal sobrepuesto. La revisión de la seguridad sÍsmica de elemenlos de este tipo no puede hacerse con los métodos comunes para estrucluras flexibles, sino con base en la solución de los modelos de bloques rÍgidos especificos.

a) lVonolito

b) Bloques

c) Trilito

MÉTODOS DE ANÁLISIS

:

una cantidad significativa de la energía de vibraci6n.Lafuetza cortante pro,Jemás deslizamientos entre los bloques y rotaciones en planta. :lanteamiento de las ecuaciones dinámicas para este tipo de comportamiento

complejo por ser altamente no lineal, y por tener que tomar en cuenta el del impuesto por el cierre brusco de grietas. Se han desarrollado plogramas to para la solución de casos relativamente sencillos, pero la interpretación resultados es notablemente compleja. El análisis de este tipo se ha aplicado al de algunos elementos relativamente simples, como las columnas de los temgriegos.

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